有限元法的力学基础

有限元法的力学基础

有限元法是一种数值分析方法，利用数学和计算机技术解决实际工程问题。其力学基础主要包括材料力学、结构力学和数值分析。

一、材料力学

有限元法的首要任务是分析工程结构的受力情况，而这涉及到材料的应力和应变等基本力学问题。材料力学是有限元法的基础，它研究材料在外力作用下变形和破坏的规律及其数学描述。在计算中，材料本构方程是将应力和应变联系起来的核心方程式，通过解析材料的物理特性，可以建立精确的应力-应变关系。

应力是物体受力过程中单位面积所受的力。在研究材料力学问题时，应力通常分为三个方向：轴向应力、切向应力和法向应力。材料因内部力的作用而使形状改变的现象称之为应变。应变分为线性应变和非线性应变两种类型。材料的本构方程则是将应力和应变通过数学公式联系起来，其中最重要的参数是杨氏模量、泊松比、屈服强度等材料力学性质指标。

二、结构力学

有限元法主要应用于结构力学中，因为任何实际的结构都受到力的作用，这些力包括静载、动载、温度变化

等。结构力学是研究结构受力和变形状态的学科，它的核心是研究结构刚度和强度等性质。结构刚度是指结构抵抗外界力的能力，强度则是指结构承受载荷发生破坏前的最大强度。

在有限元法中，将结构划分成有限个小单元，然后使用材料力学原理及结构力学原理计算每个小单元的应力和应变及整个结构的位移。通过建立坐标系，可以把每个小单元在局部坐标系下的变形通过旋转变换到全局坐标系下。将各个小单元的变形叠加起来，就可以求得整个结构的位移和变形。

三、数值分析

有限元法是一种数值分析方法，因此数值分析对于有限元法的运用也是相当重要的。数值分析是研究利用数值方法解决科学和工程问题的一门学科。有限元法可以通过数学公式和计算机程序来模拟物理现象，从而得出求解问题的解。数值分析中最重要的就是数值计算误差和截断误差的控制，只有通过合理的参数设置和计算方法，才能得到高精度的结果。

总体来看，有限元法的力学基础涉及材料力学、结构力学和数值分析三个方面。只有这些基础知识有一个深入的理解，才能更好地掌握有限元法的应用。

有限元法的理论基础

有限元法的理论基础 有限元法是一种离散化的数值计算方法，对于结构分析而言，它的理论基础是能量原理。能量原理表明，在外力作用下，弹性体的变形、应力和外力之间的关系受能量原理的支配，能量原理与微分方程和定解条件是等价的。下面介绍有限元法中经常使用的虚位移原理和最小势能原理。 1.虚位移原理 虚位移原理又称虚功原理，可以叙述如下：如果物体在发生虚位移之前所受的力系是平衡的(物体内部满足平衡微分方程，物体边界上满足力学边界条件），那么在发生虚位移时，外力在虚位移上所做的虚功等于虚应变能（物体内部应力在虚应变上所做的虚功）。反之，如果物体所受的力系在虚位移（及虚应变）上所做的虚功相等，则它们一定是平衡的。可以看出，虚位移原理等价于平衡微分方程与力学边界条件。所以虚位移原理表述了力系平衡的必要而充分的条件。 虚位移原理不仅可以应用于弹性性力学问题，还可以应用于非线性弹性以及弹塑性等非线性问题。 2.最小势能原理 最小势能原理可以叙述为：弹性体受到外力作用时，在所有满足位移边界条件和变形协调条件的可以位移中，真实位移使系统的总势能取驻值，且为最小值。根据最小势能原理，要求弹性体在外力作用下的位移，可以满足几何方程和位移边界条件且使物体总势能取最小值的条件去寻求答案。最小势能原理仅适用于弹性力学问题。 有限元法求解问题的基本步骤 弹性力学中的有限元法是一种数值计算方法，对于不同物理性质和数学模型的问题，有限元法的基本步骤是相同的，只是具体方式推导和运算求解不同，有限元求解问题的基本步骤如下。 2.2.1问题的分类 求解问题的第一步就是对它进行识别分析，它包含的更深层次的物理问题是什么比如是静力学还是动力学，是否包含非线性，是否需要迭代求解，要从分析中得等到什么结果等。对这些问题的回答会加深对问题的认识与理解，直接影响到以后的建模与求解方法的选取等。 2.2.2建模 在进行有限元离散化和数值求解之值，我们为分析问题设计计算模型，这一步包括决定哪种特征是所要讨论的重点问题，以便忽略不必要的细节，并决定采用哪种理论或数学公式描述结果的行为。因此，我们可以忽略几何不规则性，把一些载荷看做是集中载荷，并把某些支撑看做是固定的。材料可以理想化为线弹性和各向同性的。根据问题的维数、载荷以及理论化的边界条件，我们能够决定采用梁理论、板弯曲理论、平面弹性理论或者一些其他分析理论描述结构性能。在求解中运用分析理论简化问题，建立问题的模型。 2.2.3连续体离散化 连续体离散化，习惯上称为有限元网络划分，即将连续体划分为有限个具有规则形状的单元的集合，两相邻单元之间只通过若干点相互连接，每个连接点称为节点。单元节点的设置、性质、数目等应视问题的性质、描述变形的需要和计算精度而定，如二维连续体的单元可为三角形、四边形，三维连续体的单元可以是四面体、长方体和六面体等。为合理有效地表示连续体，需要适当选择单元的类型、数目、大小和排列方式。 离散化的模型与原来模型区别在于，单元之间只通过节点相互连接、相互作用，而无其他连接。因此这种连接要满足变形协调条件。离散化是将一个无限多自由度的连续体转化为一个有限多自由度的离散体过程，因此必然引起误差。主要有两类：建模误差和离散化误差。建模误差可以通过改善模型来减少，离散化误差可通过增加单元数目来减少。因此当单元数

有限元分析基础

有限元分析基础 1.1 有限元法的优势 在数值分析方法中有限元法是使用最广泛的，因为它对复杂的边界条件、各种几何形状、不同的材料性能有很强的适用性，对力学的各类问题、位势格列问题的计算格式有一定的通用性，这种分析方法还有良好的效率与计算精度。就力学概念而言，有限单元法的基础还是传统力学分析方法，只不过结构变成了连续体，它是将一个结构力学中的一个结构整体分成了若干个基本结构构件，这些基本结构构件就被称作是“单元”。有限单元法将一个结构整体看做由有限个相当微小的结构单元体。进而假设各单元体仅在节点处产生力和位移，这样一个具有无限个自由度的连续体就简化变成了有限个自由度的力学模型，结构分析的方法就可以利用求解。建立的模型每个节点的节点力和位移求解方式与结构力学方法是完全相同的，这也是精确地，显而易见的是物理模型将单元划分的越小，它将越接近于真实连续体，最终的解也将收敛于精确解。 从数学观点来看，可以利用有限单元法来求解偏微分方程问题的近似解。很多位势问题和经典连续体的力学问题都是由未知场函数的偏微分方程组与一定的边界条件来表征的，有限元法就是通过变分原理以及分区插值等离散化处理，将这类二次泛函的极值问题形象转化为常见的一维多元线性代数方程，可以便于求解。 有限单元法分析的问题类型决定了采用何种有限元分析主题程序，当然既可以是静力学问题也可以是动力学问题，既可以可以是温度场或者流场问题，也可以是稳态场或者瞬态场问题，线性和非线性的问题等等。 1.2 有限单元法分析实现手段 有限元分析软件是实现有限单元法的主要手段。面向工程的有限元软件在国际上比较通用的有：ANSYS、ABAQUS、ADINA等。ANSYS作为工程数值模拟软件的代表，是一款具有很多用途的有限元分析类型的软件，随着版本的不同，其分析功能也在完善和扩充当中，它可以灵活的提供结构线性分析和热扰动分析，也可以对一些结构、一定流体、电力问题、电磁场问题及碰撞等问题进行求解。它的前置问题处理、解题程序步骤以及后置结果处理已经相当完善，它可以结合有限元分析方法、计算机图形学方法和一些优化技术，是解决现代工程问题

(完整版)有限元法的基本原理

第二章有限元法的基本原理 有限元法吸取了有限差分法中的离散处理内核，又继承了变分计算中选择试探函数并对区域积分的合理方法。有限元法的理论基础是加权余量法和变分原理，因此这里首先介绍加权余量法和变分原理。 2.1等效积分形式与加权余量法 加权余量法的原理是基于微分方程等效积分的提法，同时它也是求解线性和非线性微分方程近似解的一种有效方法。在有限元分析中，加权余量法可以被用于建立有限元方程，但加权余量法本身又是一种独立的数值求解方法。 2.1.1 微分方程的等效积分形式 工程或物理学中的许多问题，通常是以未知场函数应满足的微分方程和边界条件的形式提出来的，可以一般地表示为未知函数u 应满足微分方程组 12()()()0A A A ?? ?== ? ??? u u u M （在Ω内） （2-1） 域Ω可以是体积域、面积域等，如图2-1所示。同时未知函数u 还应满足边界条件 12()()()0B B B ?? ?== ? ??? u u u M （在Γ内） （2-2） 要求解的未知函数u 可以是标量场（例如压力或温度），也可以是几个变量组成的向量场（例如位移、应变、应力等）。A ，B 是表示对于独立变量（例如空间坐标、时间坐标等）的微分算子。微分方程数目应和未知场函数的数目相对应，因此，上述微分方程可以是单个的方程，也可以是一组方程。所以在以上两式中采用了矩阵形式。 以二维稳态的热传导方程为例，其控制方程和定解条件如下： ()()()0A k k q x x y y φφφ????=++=???? （在Ω内） （2-3）

0()0q B k q n φφφφφ?-=Γ?=??-=Γ???（在上）（在上） （2-4） 这里φ表示温度（在渗流问题中对应压力）；k 是流度或热传导系数（在渗流问题中对应流度/K μ）；φ和q 是边界上温度和热流的给定值（在渗流问题中分别对应边界上的压力和边界上的流速）；n 是有关边界Γ的外法线方向；q 是源密度（在渗流问题中对应井的产量）。 在上述问题中，若k 和q 只是空间位置的函数时，问题是线性的。若k 和q 是φ及其导数的函数时，问题则是非线性的。 由于微分方程组（2-1）在域Ω中每一点都必须为零，因此就有 1122()(()())0u d v A u v A u d ΩΩ Ω≡++Ω≡? ?T V A L （2-5） 其中 12v V v ?? ?= ? ??? M （2-6） 其中V 是函数向量，它是一组和微分方程个数相等的任意函数。 式（2-5）是与微分方程组（2-1）完全等效的积分形式。我们可以说，若积分方程对于任意的V 都能成立，则微分方程（2-1）必然在域内任一点都得到满足。同理，假如边界条件（2-2）亦同时在边界上每一点都得到满足，对于一组任意函数，下式应当成立 1122 ()(()())0u d v B u v B u d ΓΓΓ≡++Γ≡??VB L 因此积分形式 ()()0u d u d ΓΓ Ω+Γ=??T T V A V B 对于所有的V 和V 都成立是等效于满足微分方程（2-1）和边界条件（2-2）。我们把（2-7）式称为微分方程的等效积分形式。 2.1.2等效积分的“弱”形式 在一般情况下，对（2-7）式进行分部积分得到另一种形式： ()()()()0T T v d v d ΩΓ Ω+Γ=??C D u E F u （2-8） 其中C ，D ，E ，F 是微分算子，它们中所包含的导数的阶数较（2-7）式的低，这样对函数u 只需要求较低阶的连续性就可以了。在（2-8）式中降低连续性要求是以提高V 和V 的连续性要求为代价的，由于原来对V 和V （在（2-7）式中）并无连续性要求，但是适当提高对其连续性的要求并不困难，因为它们是可以选择的已知函数。这种降低对函数u 连续性要求的作法在近似计算中，尤其是在有限单元法中是十分重要的。（2-8）式称为微分方程

有限元法的力学基础

有限元法的力学基础 有限元法是一种数值分析方法，利用数学和计算机技术解决实际工程问题。其力学基础主要包括材料力学、结构力学和数值分析。 一、材料力学 有限元法的首要任务是分析工程结构的受力情况，而这涉及到材料的应力和应变等基本力学问题。材料力学是有限元法的基础，它研究材料在外力作用下变形和破坏的规律及其数学描述。在计算中，材料本构方程是将应力和应变联系起来的核心方程式，通过解析材料的物理特性，可以建立精确的应力-应变关系。 应力是物体受力过程中单位面积所受的力。在研究材料力学问题时，应力通常分为三个方向：轴向应力、切向应力和法向应力。材料因内部力的作用而使形状改变的现象称之为应变。应变分为线性应变和非线性应变两种类型。材料的本构方程则是将应力和应变通过数学公式联系起来，其中最重要的参数是杨氏模量、泊松比、屈服强度等材料力学性质指标。 二、结构力学 有限元法主要应用于结构力学中，因为任何实际的结构都受到力的作用，这些力包括静载、动载、温度变化

等。结构力学是研究结构受力和变形状态的学科，它的核心是研究结构刚度和强度等性质。结构刚度是指结构抵抗外界力的能力，强度则是指结构承受载荷发生破坏前的最大强度。 在有限元法中，将结构划分成有限个小单元，然后使用材料力学原理及结构力学原理计算每个小单元的应力和应变及整个结构的位移。通过建立坐标系，可以把每个小单元在局部坐标系下的变形通过旋转变换到全局坐标系下。将各个小单元的变形叠加起来，就可以求得整个结构的位移和变形。 三、数值分析 有限元法是一种数值分析方法，因此数值分析对于有限元法的运用也是相当重要的。数值分析是研究利用数值方法解决科学和工程问题的一门学科。有限元法可以通过数学公式和计算机程序来模拟物理现象，从而得出求解问题的解。数值分析中最重要的就是数值计算误差和截断误差的控制，只有通过合理的参数设置和计算方法，才能得到高精度的结果。 总体来看，有限元法的力学基础涉及材料力学、结构力学和数值分析三个方面。只有这些基础知识有一个深入的理解，才能更好地掌握有限元法的应用。

材料力学和有限元法

材料力学和有限元法 进行应力分析时有限元法的基础是材料力学。所以当学习和利用有限元法时，首先材料力学的知识很有用。材料力学有关的内容丰富的教科书有很多，也许没有兴趣去阅读。但是为了正确使用有限元法所必需的材料力学的范围不能太广。在这里以术语解说为中心，关于必要的材料力学和有限元法的一些内容来说明一下。 1 载荷与位移 作为材料力学的基础首先要知道载荷，位移、应变、应力。载荷也被称为力、外力、负荷，机械和结构必须能承受必要的载荷。 只要有载荷作用，即使是肉眼看不见的微小程度，机械和结构总归有点变形。此时，机械或结构的各点移动量称为位移，取与整个物体相对的表现称为变形。整个物体如果位移一样的话，即使位移量很大也没有变形。表示各位置的变形程度是应变。对应于这个应变，材料内部产生的抵抗力，即对载荷材料内部的抵抗力称为应力。 如上所述，只要有载荷存在就有位移、应变、应力的存在，这四种只要有其一存在就会有其他三种存在。 用数学公式连接这四种关系的学问称为材料力学。用材料力学能够求出结构的位移、应力，这只限于简单的形状和单一载荷形式。有限元法能够在现实复杂的机械或结构和任意载荷情况下，求出位移、应变、应力， 给出应变和位移能够求出应力。为了合理地利用有限元法，作为一种架桥，材料力学和它的思考方法是非常重要的。

2.载荷(load) 载荷也称为力、外力、负荷等，可以分成如下所示的各种类型。大多情况下对应于所处的情况混合使用。一个载荷因为有各种表现，现整理成如下所说的那样来表示。载荷的记号，对于集中载荷常用F、P、W，对于弯矩常用M，对于扭矩常用T，对于分布载荷常用f、p、q、w 等。 (1)根据构件内生成的应力来分类拉伸载荷，压缩载荷，弯曲载荷，剪切载荷，扭转载荷。 (2)采用理论公式的载荷分类轴向力(N)、横向载荷(N)、弯矩(N·m)、扭矩(N·m) (3)按载荷的分布状态分类分布载荷(均匀分布和任意分布) 集中载荷(分布载荷的范围相对狭隘情况下的近似) (4)给予坐标的一点的载荷分类(在有限元法中这样的表示很多) Fx,Fy,Fz,Mx,My,MzFx，意思为x 轴方向上的载荷，Mx，意思为绕x 轴转的弯矩载荷 (5)由加在构件上的载荷的变化形式分类静载荷(不随时间变化的载荷) 动载荷(不规则载荷、周期载荷、正弦波载荷、冲击载荷)

弹性力学基础及有限单元法

第一章 1、弹性力学的任务是什么 弹性力学的任务是分析各种结构物或其构件在弹性阶段的应力和位移，校核它们是否具有所需的强度和刚度，并寻求或改进它们的计算方法。 2、弹性力学的基本假设是什么？为什么要采用这些假设？ (1) 假设物体是连续的——物体内部由连续介质组成，物体中没有空隙，因此物体中的应力、应变、位移等量是连续的•可以用坐标的连续函数表示。实际上，所有的物体均由分子构成，但分子的大小及分子间的距离与物体的尺寸相比是很微小的，故可以不考虑物体内的分个构造。根据这个假设所得的结果与实验结果是符合的。 (2) 假设物体是匀质的和各向同性的一一物体内部各点与各方向上的介质相同， 因此，物体各部分的物理性质是相同的。这样，物体的弹性常数(弹性模量、泊松比)不随位置坐标和方向而变化。钢材由微小结晶体组成，晶体本身是各向异性的、但由于晶体很微小而排列又不规则，按其材料的平均性质，可以认为钢材是各向同性的。木材不是各向同性的。 (3) 假设物体是完全弹性的一一物体在外加因家(裁荷、温度变化等)的作用下发生变形，在外加固素去除后，物体完全恢复其原来形状而没有任何剩余变形。同时还假定材料服从胡克定律，即应力与形变成正比。 (4) 假设物体的变形是很小的——在载荷或温度变化等的作用下，物体变形而产生的位移，与物体的尺寸相比，是很微小的。在研究物体受力后的平衡状态时， 可以不考虑物体尺寸的改变。在研究物体的应变时，可以赂去应变的乘积，因此， 在微小形变的情况下弹性理论中的微分方程将是线性的。 (5) 假设物体内无初应力一一认为物体是处于自然状态，即在载荷或温度变化等作用之前，物体内部没合应力。也就是说，出弹性理论所求得的应力仅仅是由于载荷或温度变化等所产生的。物体中初应力的性质及数值与物体形成的历史有 关。若物体中有韧应力存在，则由弹性理论所求得的应力加上初应力才是物体中的实际应力。 上面基本假设中•假设(4)是属于几何假设，其他假设是属于物理假设。 3、举例说明各向同性的物体和各向异性的物体。 钢材由微小结晶体组成，晶体本身是各向异性的、但由于晶体很微小而排列又不规则，按其材料的平均性质，可以认为钢材是各向同性的。木材是各异性的。 4、弹性力学和材料力学相比，其研究方法和对象有什么区别？ P3 弹性力学具体的研究对象主要为梁、校、坝体、无限弹性体等实体结构以及板、壳等受 力体。 在材料力学课程中，基本上只研究所谓杆状构件，也就是长度远大干高度和觅度的构 件。这种构件在拉压、剪切、弯曲、扭转作用下的应力和位移，是材料力学的主要研究内 容。

4-第3章 有限元分析的力学基础

第3章有限元分析的力学基础 由固体材料组成的具有一定形状的物体在一定约束边界下（外力、温度、位移约束等）将产生变形(deformation)，该物体中任意一个位置的材料都处于复杂的受力状态之中，本章将定义用于刻画任意形状弹性变形体的力学变量和表达这些变量之间的关系。具体地，将在五个简化条件下，定义有关位移、变形、力的三大类变量，推导这些变量之间的三大类方程，给出典型的两类边界条件，本章的主要内容就是弹性力学中的基础部分。 3.1 变形体的描述、变量定义、分量表达 3.1.1 变形体 在外力的作用下，若物体内任意两点之间发生相对移动，这样的物体叫做变形体(deformed body)，它与材料的物理性质密切相关。如果从几何形状的复杂程度来考虑，变形体又可分为简单形状变形体和任意形状变形体。简单变形体如杆、梁、柱等，材料力学和结构力学研究的主要对象就是简单变形体，而弹性力学则处理任意形状变形体。有限元方法所处理的对象为任意形状变形体，因而，弹性力学中有关变量和方程的描述将是有限元方法的重要基础。 3.1.2 基本变量 当一个变形体受到外界的作用(如外力或约束的作用)时，如何来描述它？首先，我们可以观察到物体在受力后产生了内部和外部位置的变化，因此，物体各点的位移应该是最直接的变量，它将受到物体的形状、组成物体的材质以及外力的影响，变形体的完整描述如图3.1所示。 图3.1 变形体的描述 描述位移是最直接的，因为可以直接观测，描述力和材料特性是间接的，需要我们去定义新的变量，如图3.2所示，可以看出应包括位移、变形程度、受力状态这三个方面的变量，当然，还应有材料参数来描述物体的材料特性。

材料力学有限元法知识点总结

材料力学有限元法知识点总结材料力学是一门研究物质内部结构、性质和变形行为的学科，而有限元法则是一种在工程和科学领域中广泛应用的数值计算方法。有限元法可以将一个复杂的实体划分为无数小的单元，通过对这些小单元进行分析和计算，最终得到整个实体的力学性质和行为。本文将对材料力学有限元法的一些核心概念和知识点进行总结。 1. 有限元法基础概念 有限元法基于将实际连续的物体离散为有限数量的单元，通过计算每个单元的受力、变形等性质，再通过组合这些单元的结果来近似整个物体的行为。它包含以下几个基础概念： 1.1 单元（Element）：有限元法中的基本组成单元，可以是一维的线段、二维的三角形或四边形，或三维的四面体、六面体等。 1.2 节点（Node）：单元的角点或边上的点，用于定义单元之间的连接关系和边界条件。 1.3 自由度（Degree of Freedom）：每个节点与力学性质相关的物理量，如位移、应力等。根据问题的不同，在每个节点上可能有一个或多个自由度。 1.4 单元刚度矩阵（Element Stiffness Matrix）：描述单元内部受力和变形关系的矩阵，在有限元法中通过组合所有单元的刚度矩阵来得到整个系统的刚度矩阵。

1.5 全局刚度矩阵（Global Stiffness Matrix）：由所有单元刚度矩阵组合而成的整个系统的刚度矩阵，用于计算节点的位移和应力。 2. 有限元法的数学原理 有限元法的数学原理主要基于以下两个方面： 2.1 变分原理（Variational Principle）：有限元法的数学基础是根据变分原理推导实现的。它通过对结构的势能进行变分并进行最小化，得到满足结构力学行为和边界条件的位移和应力场。 2.2 加权残差法（Weighted Residuals Method）：有限元法通过将变分原理中的势能函数展开为一系列基函数的线性组合，并使用权重函数对残差进行加权求和的方式进行近似。这样可以将求解连续问题转化为离散问题，进而进行数值计算。 3. 有限元法的步骤 有限元法的具体步骤包括以下几个方面： 3.1 网格划分（Meshing）：将要分析的实体进行离散化处理，划分成若干个小单元，并在节点上定义自由度。 3.2 构建单元刚度矩阵：根据材料力学性质和单元类型，建立单元刚度矩阵。刚度矩阵的计算方法因单元类型而异，可以通过理论推导或数值积分等方式得到。 3.3 组装全局刚度矩阵：将单元刚度矩阵根据节点自由度的关系进行组装，构建整个系统的全局刚度矩阵。

有限元分析的基本原理

有限元分析的基本原理 有限元分析法是一种通用的数值分析技术，它利用有限数目的计算元素来对结构的应力、变形以及失效的可能性进行分析，它简化了复杂的工程结构在实际受力情况下的模拟计算，可以预测出构件的性能、变形和可能失效等。有限元分析是用数学模型来模拟生活用来模拟工程中结构抗压、抗弯、抗剪、抗疲劳等性能。有限元分析有三个基本原理：结构变形、力学方程和材料本构方程。 首先，有限元分析的基础原理是结构变形。结构变形是指在施加外力作用下，受力的结构的空间变形和大小的变化，它是有限元分析的基础，该原理说明了满足力学方程的解决方法如何以有限元的形式出现。通常情况下，我们会把构件的耦合变形分成很多小的计算元(这些计算元之间有连接约束)，减少变形的不确定性，从而提高分析的 准确性。 其次，有限元分析的基础原理是力学方程。满足力学方程条件的解决方案就是有限元分析，也就是把问题分解成很多小的子问题来求解。力学方程最常见的形式是基于有限元技术的动态和静态结构分析。动态结构分析是指结构在某个加载下的振动反应，涉及到施加外力、弹性和惯性效应。静态结构分析则指结构在不同类型外力作用下的变形。 最后，有限元分析的基础原理是材料本构方程。材料本构方程是指材料受拉力作用而形成变形和应力的关系，它可以用来描述材料在承受外力时的作用。本构方程有很多不同的形式，最常用的形式是弹

性体的本构方程，它说明了当受到外力作用时，材料的拉伸和压缩的反应，从而将其应用于有限元分析技术。 以上就是有限元分析的基本原理，它是构成有限元分析的基础，而且这些基本原理也被广泛应用于工程中对结构性能进行模拟和分析。有限元分析可以帮助工程师准确地估算出结构在特定加载条件下的变形和应力，也可以帮助他们判断结构在疲劳荷载作用下是否会发生破坏。有限元分析也可以帮助设计者更好地分析结构在复杂（多变）条件下的性能，以确定结构的最优设计。所以，有限元分析的基本原理是工程分析的基础，合理的运用可以节约大量的时间和精力，从而达到性能最优的结构设计。

有限元分析基础

有限元分析基础 第一章有限元法概述 在机械设计中，人们常常运用材料力学、结构力学等理论知识分析机械零构件的强度、刚度和稳定性问题。但对一些复杂的零构件，这种分析常常就必须对其受力状态和边界条件进行简化。否则力学分析将无法进行。但这种简化的处理常常导致计算结果与实际相差甚远，有时甚至失去了分析的意义。所以过去设计经验和类比占有较大比重。因为这个原因，人们 也常常在设计中选择较大的安全系数。如此也就造成所设计的机械结构整体尺寸和重量偏大，而局部薄弱环节强度和刚度又不足的设计缺陷。 近年来，数值计算机在工程分析上的成功运用，产生了一门全新、高效的工程计算分析学科一一有限元分析方法。该方法彻底改变了传统工程分析中的做法。使计算精度和计算领 域大大改善。 § 1.1有限元方法的发展历史、现状和将来 一，历史 有限元法的起源应追溯到上世纪40年代（20世纪40年代）。1943年R.Courant从数学 的角度提出了有限元法的基本观点。50年代中期在对飞机结构的分析中，诞生了结构分析 的矩阵方法。1960年R.W.CIough在分析弹性力学平面问题时引入了"Finite Element Method ”这一术语，从而标志着有限元法的思想在力学分析中的广泛推广。 60、70年代计算机技术的发展，极大地促进了有限元法的发展。具体表现在： 1）由弹性力学的平面问题扩展到空间、板壳问题。 2）由静力平衡问题一一稳定性和动力学分析问题。 3）由弹性问题一一弹塑性、粘弹性等问题。 二，现状 现在有限元分析法的应用领域已经由开始时的固体力学，扩展到流体力学、传热学和电 磁力学等多个传统的领域。已经形成了一种非常成熟的数值分析计算方法。大型的商业化有 限元分析软件也是层出不穷，如： SAP 系列的代表SAP2000 （Structure Analysis Program） 美国安世软件公司的ANSYS大型综合有限元分析软件 美国航天航空局的NASTRAN系列软件 除此以外，还有MASTER、ALGO、ABIQUES、ADINA、COSMOS 等。 三，将来 有限元的发展方向最终将和CAD的发展相结合。运用“四个化”可以概括其今后的发 展趋势。那就是：可视化、集成化、自动化和网络化。 § 1.2有限元法的特点 机械零构件的受力分析方法总体说来分为解析法和数值法两大类。如大家学过的材料力学、结构力学等就是经典的解析力学分析方法。在这些解析力学方法中，弹性力学的分析方 法在数学理论上是最为严谨的一种分析方法。 其解题思路是：从静力、几何和物理三个方面综合考虑，建立描述弹性体的平衡、应力、应变和位移三者之间的微分方程，然后考虑边界条件，从而求出微分方程的解析解。其最大的有点就是，严密精确。缺点就是微分方程的求解困难，很多情况下，无法求解。 数值方法是一种近似的计算方法。具体又分为“有限差分法”和“有限元法”。 “有限差分法”是将得到的微分方程离散成近似的差分方程。通过对一系列离散的差分

有限元法基础

有限元法基础 一、引言 有限元法（Finite Element Method，简称FEM）是一种常用的数值计算方法，广泛应用于工程领域。它通过将复杂的实际问题离散化为有限个简单的子问题，利用数值计算方法求解，从而得到问题的近似解。本文将介绍有限元法的基础知识和应用。 二、有限元法的基本原理 有限元法的基本思想是将求解区域划分为有限个简单的几何单元，如三角形、四边形等，每个几何单元内部的物理量假设为一个局部函数，通过组合这些局部函数来逼近整个求解区域内的物理量。有限元法的基本步骤包括：建立数学模型、离散化、建立有限元方程、求解有限元方程、后处理。 三、建立数学模型 建立数学模型是有限元法的第一步，它包括确定问题的几何形状、边界条件和材料特性等。在建立数学模型时，需要根据实际问题的特点选择适当的数学方程描述物理现象，如弹性力学方程、热传导方程等。 四、离散化 离散化是将求解区域划分为有限个几何单元的过程。常见的几何单元有三角形、四边形、六面体等。离散化的精细程度取决于问题的

复杂度和精度要求，一般来说，划分得越细，结果越精确，但计算量也越大。 五、建立有限元方程 建立有限元方程是根据离散化后的几何单元和数学模型，利用变分原理或加权残差法推导出的。有限元方程是一个代数方程组，包含未知数和已知数，未知数是几何单元内的物理量，已知数是边界条件和材料特性等。 六、求解有限元方程 求解有限元方程是通过数值计算方法解算方程组，得到未知数的近似解。常用的求解方法有直接法、迭代法和松弛法等。在求解过程中，需要注意数值稳定性和计算精度的控制。 七、后处理 后处理是对求解结果进行分析和可视化的过程。通过后处理，可以得到问题的各种物理量分布、应力分布等，进一步分析和评估计算结果的合理性和准确性。 八、有限元法的应用 有限元法广泛应用于工程领域，如结构力学分析、流体力学分析、热传导分析等。在结构力学分析中，有限元法可以用于计算结构的应力、应变、变形等；在流体力学分析中，有限元法可以用于模拟流体的流动行为；在热传导分析中，有限元法可以用于计算物体的

有限元法基本原理及应用教学设计

有限元法基本原理及应用教学设计 一、引言 有限元法作为结构力学、流体力学、热力学等学科中最常用的数值分析方法之一，已经广泛地用于工程领域。本文将介绍有限元法的基本原理，并结合教学实践，提出一些应用场景下的教学方法。 二、有限元法基本原理 有限元法是一种通过将连续体分割成一系列互相联系的单元，再在每个单元内 进行局部近似的方法。其基本步骤如下： 1.确定问题的几何形状，将其离散化为有限数量的单元。 2.寻找适当的函数形式，用于单元内的场函数近似。 3.根据边界条件、本构关系等确定模型中所需的参数。 4.利用有限元法求解离散模型中的场函数，获得结果。 其中，第一步和第二步是离散化的过程，第三步是确定问题的物理参数，第四 步是利用有限元方法来求解局部近似的结果。 三、教学设计 3.1 教学目标 通过本教学，学生应该能够： 1.理解有限元法的基本原理。 2.能够根据问题特点选择有限元法模型，熟练掌握其求解方法。 3.能够独立地完成一定的有限元法计算，掌握基本的讨论和分析技巧。

3.2 教学内容 教学内容的设计应该以让学生掌握有限元法的基本原理和中小型有限元法计算 实验为主。具体包括： 1.有限元法基本概念和基本原理。 2.有限元法求解流程。 3.有限元法中力学问题的处理方法。 4.有限元法计算程序的操作实践及其调试过程。 3.3 教学方法 教学方法应该根据教学目标和教学内容来选择。具体而言，可以采用以下教学 方法： 1.讲授法：介绍有限元法的基本理论、公式、步骤等。 2.组织实践：每个学生都可以应用所学的有限元法计算流程，通过校内 实践检验所得结果，加深学习效果。 3.讨论演示法：引导学生根据教材内容和实践结果展开讨论，举一反三， 形成总结性的详细讨论分享现象，并进行比较，以及某些特殊情况的讨论。 4.自学法：学生在自习时间用充足的学习资料在当地的工程和计算机实 验室研读，掌握有限元法的道理和方法。 3.4 教学评估 教学评估应包括考试成绩和实际计算结果。在学年末进行考试，考试的内容应 该包括基本理论和实践的实际应用以及进行有限元法计算产生结果的分析。

有限元方法

有限元方法（FEM）的基础是变分原理和加权余量法。 其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。 采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法 有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机的发展慢慢用于流体力学的数值模拟。在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。根据所采用的权函数和插值函数的不同，有限元方法也分为多种计算格式。从权函数的选择来说，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽辽金法，从计算单元网格的形状来划分，有三角形网格、四边形网格和多边形网格，从插值函数的精度来划分，又分为线性插值函数和高次插值函数等。不同的组合同样构成不同的有限元计算格式。对于权函数，伽辽金(Galerkin)法是将权函数取为逼近函数中的基函数；最小二乘法是令权函数等于余量本身，而内积的极小值则为对代求系数的平方误差最小；在配置法中，先在计算域内选取N个配置点。令近似解在选定的N个配置点上严格满足微分方程，即在配置点上令方程余量为0。插值函数一般由不同次幂的多项式组成，但也有采用三角函数或指数函数组成的乘积表示，但最常用的多项式插值函数。 有限元插值函数分为两大类，一类只要求插值多项式本身在插值点取已知值，称为拉格朗日(Lagrange)多项式插值；另一种不仅要求插值多项式本身，还要求它的导数值在插值点取已知值，称为哈密特(Hermite)多项式插值。单元坐标有笛卡尔直角坐标系和无因次自然坐标，有对称和不对称等。常采用的无因次坐标是一种局部坐标系，它的定义取决于单元的几何形状，一维看作长度比，二维看作面积比，三维看作体积比。在二维有限元中，三角形单元应用的最早，近来四边形等参元的应用也越来越广。对于二维三角形和四边形电源单元，常采用的插值函数为有Lagrange插值直角坐标系中的线性插值函数及二阶或更高阶插值函数、面积坐标系中的线性插值函数、二阶或更高阶插值函数等。 对于有限元方法，其基本思路和解题步骤可归纳为： (1)建立积分方程，根据变分原理或方程余量与权函数正交化原理，建立与微分方程初边值问题等价的积分表达式，这是有限元法的出发点。 (2)区域单元剖分，根据求解区域的形状及实际问题的物理特点，将区域剖分为若干相互连接、不重叠的单元。区域单元划分是采用有限元方法的前期准备工作，这部分工作量比较大，除了给计算单元和节点进行编号和确定相互之间的关系之外，还要表示节点的位置坐标，同时还需要列出自然边界和本质边界的节点序号和相应的边界值。

有限元法的基础理论

一、里兹法与迦辽金法（摘自电磁场有限元方法 金建铭） 1. 里兹法 里兹法是一种变分方法，其中边值问题用变分表达式（也称泛函）表示，泛函的极小值对应于给定边界条件下的控制微分方程。通过求泛函相对于其变量的极小值可得到近似解。 2. 伽辽金法 伽辽金法属于残数加权方法类型，它通过对微分方程的残数求加权的方法得到方程的解。 若u 是方程的近似解，将u 代入方程可得到非零的残数： r Lu f =- u 的最佳近似应能使残数r 在Ω内所有点上有最小值。残数加权方法要求： 0i i R rd ωΩ =Ω=⎰ 这里i R 表示残数的加权积分，i ω是所选的加权函数。 在伽辽金法中，加权函数与近似解展开中所用的函数相同。通常，这样可得到最精确的 解。 二、有限元方法 里兹法和伽辽金法中，在整个解域内找出能表示或至少近似表示问题真实解的试探函数是非常重要的。然而对于许多问题，这个步骤是十分困难的，对二维和三维问题尤其如此。为此，我们可将整个区域划分成小子域，并应用定义在每个子域上的试探函数。因为子域是小区域，因而在每一子域内函数的变化不大，所以定义在子域上的试探函数通常比较简单。这正是有限元法的基本思想。应用里兹法的过程通常称为里兹有限元法或变分有限元法，而应用伽辽金方法的过程通常称为伽辽金有限元方法。 有限元法与经典里兹法和伽辽金法的不同之处是在试探函数的公式上。在经典里兹法和伽辽金法中，试探函数由定义在全域上的一组基函数组成。这种组合必须能够（至少近似）表示真实解，也必须满足适当的边界条件。在有限元法中，试探函数是由定义在组成全域的子域上的一组基函数构成。因为子域很小，所以定义在子域上的基函数能够十分简单。 三、关于形函数（摘自有限元法在电磁计算中的应用 张榴晨） 对于一个待求的微分方程，用一组线性独立的尝试函数i ψ和待定系数i C 来表示方程的近似解，并用加权余数法（迦辽金法）来求解这些待定系数。求解待定系数的代数方程组为： 1 []1,2,,n i j i j i d C q d j n ψψψΩ Ω =∇∇Ω=Ω =∑⎰ ⎰ 这里j ψ为所选择的加权函数，应用迦辽金法时，所选取的加权函数即为尝试函数。 有限元中应用的尝试函数代表了单元上近似解的一种插值关系，它决定了近似解在单元上的形状。因此尝试函数在有限元法中又称为形函数。对于一维有限元来说，形函数为一个直线段；对一维高阶有限元来说，形函数为一个曲线段；对二维一阶有限元来说，形函数为一个平面；对二维高阶有限元来说，形函数为一个曲面；三维有限元来说，形函数为多维平面或曲面。选择形函数时可以使一个任意元上的函数只与该元所对应的节点势函数值有关，而与其它各点的值无关。 1. 一维有限元

有限元法基础重点要点

1. 有限元的雏形是刚架位移法 2. 有限元位移法的基本原理：假想把连续体分割成数目有限的小块单 元，彼此间只在数目有限的指定点处互相联结，将单元上作用的外力化 为等效节点力，在单元内部用一个简单的函数来近似表示位移分量的分 布规律，按照本构方程建立单元节点力和位移之间的关系，把所有单元的这种关系组集起来，得到一组以节点位移为未知量的代数方程组，解以方程，即可得到节点位移，由此即可求得单元的应变应力。 3. 力学分析方法：解析法、数值法 2.数值分析方法包括：有限差分法、有限元法、边界元法、离散元法、流形元法 4•有限元法是伴随着电子计算机技术的进步而发展起来的一种数值分析方法5. 有限元按基本未知量可划分为3种:(1)以节点位移为基本未知量的位移法⑵以节点力为基本未知量的力法(3)以部分节点位移和节点力为基本未知量的混合法 6. 数值分析两类问题:(1)在解析法基础上进行近似数值计算①对连续体力学问题建立基本微分方程②对微分方程进行处理，转化为简单方程(2)在力学模型上进行近似的数值计算①将连续体简化为由有限单元组成的离散化模型②对离散化模型求出数值简化 7. 有限元的三大基石:(1)理论基础(2)数学推导矩阵(3)计算机 8. 弹性体虚功原理：如果弹性体处于平衡状态，那么，外力在允许的微小虚位移上所做的功等于整个弹性体内的应力在虚应变上所做的功。 9. 有限元的基本思路:(1)简化计算简图(2)将结构离散成在节点处联结的各个单元体(3)编排单元号码与节点号码①②③(4)将非节点荷载移置到节点上(5)求出以节点位移表示的单元节点力(6)建立节点平衡方程式(7)求出节点位移，节点力及应力 10. 平面刚架：如何将非节点力转到节点上？(虚功原理) (1)在局部 坐标系内查计算手册，求着单元的杆端力N V、M( 2)将杆端加负号，加到相应的节点上 11. 弹性力学问题有限元法的基本方法和步骤？ ( 1)连续弹性体的离散化(2)单元特征分析，以节点位移｛△ ｝e为基本未知量，设选一个单元位移函数｛f｝，从而得到[N][B][C]以及单元刚度矩阵[K]e(3)总体结构合成，通过节点的平衡方程从而建立节点力，节点荷载的线性方程(4) 求解上述线性方程组12. 形函数(反映单元形状/状态函数)N=1/2A(a i+b i X+ey)(i,j,m) 1 x i y i 1 x j y j A=1/2 1x m y m A为三角形ijm 的面积。形函数矩阵[N]= N i 0 N j 0 N m 0 J Q N i 0 N j 0 N m.

有限元法的基本原理

第二章有限单元法的基本原理 作为一种比较成熟的数值计算方法，有限元的数学基础是变分原理。经过半个过世纪的发展，它的数学基础已经比较完善。 从数学角度分析，有限元法是以变分原理和剖分插值为基础的数值计算方法。它广泛的应用于解算各种类型的偏微分方程，特别对椭圆型方程，因为椭圆型方程的边值问题等价于适当的变分问题，即能量积分的级值问题。通过变分，导出相应的泛涵，再把作用域从几何上剖分为足够小的单元，这样就能够用简单的图形去拟合复杂的边界，用简单的初等函数去模拟单元的性质。在解算中先对每个单元进行分析，后在通过连接单元的节点对作用域的整体进行分析，就是对泛涵求极值，从而把一个复杂的偏微分方程求解问题，变成解线形代数方程组的问题。尽管这样会出现大量的未知数，由于采用了矩阵分析的方法，总体上很有规律，适合编制程序用计算机完成。 通常的数学考虑包括这些：1）从古典变分方法原理去定义微分方程边值问题的广义解以及在古典变分方法的框架对有限元进行理论分析。2）保证偏微分方程边值问题的提法正确，即要求解存在、唯一和稳定，即保证数值解法是可靠的。3）有限元中重要的一点是采用了分块多项式插值函数，因此，有限元的误差估计转化为插值逼近的误差估计问题。4）有限元的收敛性和误差估计。 由于本文是应用有限元的理论解决大地测量中的问题，因此，这里将不讨论上叙问题，而是从固体力学的基本方程出发，通过虚功原理建立起离散化的有限元方程。另外，还以八节点六面体单元为例，简要叙述了实际中最常用的等参单元的概念及其数值变化的一些公式。 §2.1 弹性力学基本方程 有限元法中经常要用到弹性力学的基本方程，这里写出这些方程的矩阵表达式。2-1-1、平衡方程 对任意一点的受力情况分析，沿坐标轴方向x, y ,z分解得到平衡方程