极坐标、参数方程题型大全

参 数 方 程 集 中 训 练 题 型 大 全 答题时间：300分钟 满分:300分 命题人：杨晓帆

参２７．在极坐标系中，点(ρ,θ)与(-ρ, π-θ)的位置关系为( )。 A ．关于极轴所在直线对称 B ．关于极点对称 C ．关于直线θ=2

π (ρ∈R) 对称

D ．重合

２８．极坐标方程 4ρsin

2

2θ

=5 表示的曲线是( )。

A ．圆

B ．椭圆

C ．双曲线的一支

D ．抛物线

２９．点 P 1(ρ1,θ1) 与 P 2(ρ2,θ2) 满足ρ1 +ρ2=0，θ1 +θ2 = 2π，则 P 1、P 2 两点 的位置关系是( )。

A ．关于极轴所在直线对称

B ．关于极点对称

C ．关于θ=2

π所在直线对称 D ．重合

３０．椭圆?

?

?Φ+-=Φ

+=sin 51cos 33y x 的两个焦点坐标是( )。

A ．(-3, 5)，(-3, -3)

B ．(3, 3)，(3, -5)

C ．(1, 1)，(-7, 1)

D ．(7, -1)，(-1, -1) 六、1．若直线的参数方程为12()23x t

t y t

=+??

=-?为参数，则直线的斜率为（ ）

A ．23

B ．23-

C ．

32

D ．3

2

-

2．下列在曲线sin 2()cos sin x y θ

θθθ

=??

=+?为参数上的点是（ ）

A ．1(

,2 B ．31

(,)42

- C ． D ． 3．将参数方程2

2

2sin ()sin x y θ

θθ

?=+??=??为参数化为普通方程为（ ）

A ．

2y x =- B ．2y x =+ C ．2(23)y x x =-≤≤ D ．2(01)y x y =+≤≤

4．化极坐标方程2

cos 0ρθρ-=为直角坐标方程为（ ）

A ．201y y +==2

x

或 B ．1x = C ．201y +==2x 或x D ．1y =

5．点M

的直角坐标是(1-，则点M

的极坐标为（ ）

A ．(2,

)3

π

B ．(2,)3π-

C ．2(2,)3π

D ．(2,2),()3k k Z π

π+∈

6．极坐标方程cos 2sin 2ρθ

θ=表示的曲线为（ ）

A ．一条射线和一个圆

B ．两条直线

C ．一条直线和一个圆

D ．一个圆 七、1．直线l 的参数方程为()x a t

t y b t

=+??=+?为参数，l 上的点1P 对应的参数是1t ，则点1P 与(,)P a b 之

间的距离是（ ）

A ．

1t B ．12t C

1

D

1

2．参数方程为1()2

x t t t y ?=+?

??=?为参数表示的曲线是（ ）

A ．一条直线

B ．两条直线

C ．一条射线

D ．两条射线

3

．直线112()x t t y ?=+??

??=-??为参数和圆2216x y +=交于,A B 两点，

则

AB 的中点坐标为（ ）

A ．(3,3)- B

．( C

．3)- D

．(3,

4

．圆5cos ρ

θθ=-的圆心坐标是（ ）

A ．4(5,)3π--

B ．(5,)3π-

C ．(5,)3π

D ．5(5,)3

π

- 5

．与参数方程为)x t y ?=??

=??为参数等价的普通方程为（ ） A ．214y +=2

x B ．21(01)4

y x +=≤≤2x

C ．21(02)4y y +=≤≤2

x D ．21(01,02)4

y x y +=≤≤≤≤2

x 6．直线2()1x t

t y t

=-+??

=-?为参数被圆22(3)(1)25x y -++=所截得的弦长为（ ）

A

B ．1

40

4

C

D

八、1．把方程1xy

=化为以t 参数的参数方程是（ ）

A ．1

21

2x t y t -?

=???=?

B ．sin 1sin x t y t =???=??

C ．cos 1cos x t y t =??

?=??

D ．tan 1tan x t

y t =???

=?? 2．曲线25()12x t

t y t

=-+??

=-?为参数与坐标轴的交点是（ ）

A ．21(0,)(,0)52、

B ．11(0,)(,0)52

、 C ．(0,4)(8,0)-、

D ．5

(0,)(8,0)9

、 3．直线12()2x t

t y t

=+??

=+?为参数被圆229x y +=截得的弦长为（ ）

A ．

125 B

C

D

4．若点(3,)P m 在以点F 为焦点的抛物线2

4()4x t t y t

?=?

=?为参数上， 则

PF

等于（ ）

A ．2

B ．3

C ．4

D ．5 5．极坐标方程cos 20ρθ

=表示的曲线为（ ）

A ．极点

B ．极轴

C ．一条直线

D ．两条相交直线 6．在极坐标系中与圆4sin ρθ=相切的一条直线的方程为（ ）

A ．cos 2ρθ

= B ．sin 2ρθ=

C ．4sin()3π

ρθ=+

D ．4sin()3

π

ρθ=-

参、５．把参数方程?

??+==1cos sin αα

y x (α为参数)化为普通方程，结果是

。

１５．把直角坐标系的原点作为极点，x 的正半轴作为极轴，并且在两种坐标系中取相同的长度单位，若曲线的极坐标方程是1

cos 412

2

-=

θP ，则它的直角坐标方程是。

六、1．直线34()45x t

t y t

=+??=-?为参数的斜率为______________________。

2．参数方程()2()

t t

t t

x e e

t y e e --?=+??=-??为参数的普通方程为__________________。

3．已知直线113:()24x t

l t y t

=+??

=-?为参数与直线2:245l x y -=相交于点B ，又点(1,2)A ，

则AB =_______________。

4．直线122

()112

x t t y t ?=-???

?=-+??为参数被圆224x y +=截得的弦长为______________。

5．直线cos sin 0x y αα+=的极坐标方程为____________________。

七、1．曲线的参数方程是211()1x t t y t ?=-?

≠??=-?

为参数,t 0，则它的普通方程为__________________。

2．直线3()14x at

t y t =+??

=-+?

为参数过定点_____________。

3．点P(x,y)是椭圆2

22312x y +=上的一个动点，则2x y +的最大值为___________。

4．曲线的极坐标方程为1

tan cos ρθθ

=?

，则曲线的直角坐标方程为________________。

5．设()y tx t =为参数则圆2240x y y +-=的参数方程为__________________________。

八、1．已知曲线2

2()2x pt t p y pt ?=?=?为参数,为正常数上的两点,M N

对应的参数分别为12,t t 和，

120t t +=且，那么MN

=_______________。

2

．直线2()3x t y ?=-??

=+??为参数上与点(2,3)A -

_______。 3．圆的参数方程为3sin 4cos ()4sin 3cos x y θθ

θθθ=+??=-?

为参数，则此圆的半径为_______________。

4．极坐标方程分别为cos ρ

θ=与sin ρθ=的两个圆的圆心距为_____________。

5．直线cos sin x t y t θ

θ=??

=?与圆42cos 2sin x y αα=+??=?

相切，则θ=_______________。

参、３．如图，过点M (-2, 0) 的直线ι依次与圆(x +

2

9)2 + y 2 = 16和抛物线 y 2

= - 4x

交于A 、B 、C 、D 四点，且|AB| = |CD|，求直线ι的方程。

\

４．过点 P(-2, 0) 的直线ι与抛物线 y 2

= 4x 相交所得弦长为8，求直线ι的方程。

５．求直线?

??+-=+-=t y t

x 321 ( t 为参数)被抛物线 y 2

= 16x 截得的线段AB 中点 M 的坐

标及点 P(-1, -2) 到 M 的距离。

８．A 为椭圆252x +

9

2

y =1上任一点，B 为圆( x - 1)2 + y 2

= 1 上任一点，求 | AB | 的

最大值和最小值 。

９．A 、B 在椭圆2

2

a

x +22b

y = 1(a > b > 0)上，OA ⊥OB ，求△AOB 面积的最大值和最小值。

１０．椭圆2

2

a x +22b

y =1(a > b > 0)的右顶点为A ，中心为O ，若椭圆在第 一象限的弧

上存在点P ，使∠OPA=90°，求离心率的范围。 一1、求圆心为C 36，π??

?

?

?，半径为3的圆的极坐标方程。

2、已知直线l 经过点P(1,1),倾斜角6

π

α=

，

（1）写出直线l 的参数方程。 （2）设l 与圆422

=+y x 相交与两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积。

3、求椭圆

14

92

2=+y x ）之间距离的最小值，与定点（上一点01P 。

三、18．上截得的弦长。为参数）被双曲线（求直线13222=-??

?=+=y x t t

y t

x

四、14．设椭圆4x 2+y 2

=1的平行弦的斜率为2，求这组平行弦中点的轨迹．

五、19．ABC ?的底边,2

1

,10B A BC ∠=

∠=以B 点为极点，BC 为极轴，求顶点A 的轨迹方程。

20．在平面直角坐标系中已知点A （3，0），P 是圆珠笔()

122

=+y x

上一个运点，且AOP ∠的平分线

交PA 于Q 点，求Q 点的轨迹的极坐标方程。

六1．已知点(,)P x y 是圆2

22x y y +=上的动点，

（1）求2x y +的取值范围；

（2）若0x y a ++≥恒成立，求实数a 的取值范围。

\\\\

2

．求直线11:()5x t

l t y =+???

=-+??为参数

和直线2:0l x y --=的交点P 的坐标，及点P 与(1,5)Q -的距离。 \\

3．在椭圆

2211612

x y +=上找一点，使这一点到直线2120x y --=的距离的最小值。

七、1．参数方程cos (sin cos )

()sin (sin cos )

x y θθθθθθθ=+??=+?为参数表示什么曲线？

2．点P 在椭圆

22

1169

x y +=上，求点P 到直线3424x y -=的最大距离和最小距离。

\

3．已知直线l 经过点(1,1)P ,倾斜角6

π

α=

，

（1）写出直线l 的参数方程。 （2）设l 与圆422

=+y x 相交与两点,A B ，求点P 到,A B 两点的距离之积。

八、1．分别在下列两种情况下，把参数方程

1

()cos

2

1

()sin

2

t t

t t

x e e

y e e

θ

θ

-

-

?

=+

??

?

?=-

??

化为普通方程：

（1）θ为参数，t为常数；（2）t为参数，θ为常数；

2

．过点P作倾斜角为α的直线与曲线22

121

x y

+=交于点,

M N，求PM PN

?的最小值及相应的α的值。

参 数 方 程 集 中 训 练 题 型 大 全 答案 田硕

２７．A 【习题分析】

与点M(ρ,θ)关于极轴对称的点有(ρ,-θ)或(-ρ,π-θ)，关于θ=

2

π所在直线对称的点有(-ρ,-θ)或

(ρ,π-θ)，关于极点对称的点有(-ρ,θ)或(ρ,π+θ)。掌握好点与极坐标的对应关系，及点之间特殊的对称关系是很有用处的。 ２８．D 【习题分析】

化为4P 2cos 1θ-?=5。即ρ=

θ

cos 125

-，表示抛物线，应选D 。判断曲线类型一般不外乎直线、

圆、圆锥曲线等，因此需化为相应方程即可。 ２９．C 【习题分析】

点 P 2 坐标为(-ρ1, 2π-θ1)也即为(ρ1, 3π-θ1)， ∴点P 1、P 2关于θ=

2

π

所在直线对称，应选C 。

判断点的对称，应记忆好相应坐标之间的关系，必要时 可结合图形。

３０．B 【习题分析】

先将椭圆方程化为普通方程，得：

9

)3(2

-x +

25

)1(2+y =1。

然后由平移公式?

?

?-=+=1`3

`y y x x 。

及在新系中焦点（0, ±4）可得答案，应选B 。

【填空】 ５．x 2+(y-1) 2=1 【习题分析】

将原方程变形为???=-=α

α

cos 1sin y x ，两边相加即可得x 2 + (y - 1)2 =1。

１５．3x 2-y 2=1 【习题分析】

原方程可化为 4ρ2cos 2θ-ρ2 =1。将ρcos θ= x ， p 2 = x 2 + y 2 代入上式，得 4x 2 - x 2 - y 2 = 1，即 3x 2 - y 2 = 1。 【计算】

３．x=-2或2x-y+4=0或2x=y=4=0 【习题分析】

设直线的参数方程为?

??=+-=αα

sin cos 2t y t x (t 为参数) 代入圆的方程和抛物线的方程，化简并利用| AB

| = | CD |

?t A + t D = t C + t B , 根据韦达定理可迅速获解。

４．

)2(3

3

+±

=x y 【习题分析】

设：??

?+=+-=α

α

sin 0cos 2t y t x ( t 为参数)，α为直线ι

的倾角，

代入抛物线方程整理得：

ι

2

sin 2α - (4cos α) t + 8 = 0

由韦达定理得 t 1 + t 2 =

α

α2sin cos 4 t 12t 2 =

α

2sin 8。

弦长| t 1 - t 2 | = 8，整理得 4sin 4α+ 3sin 2α-1 = 0

解得 sin 2α=

4

1 ∴sin α= ±

2

10 ≤α<π

∴ α=

6

π或

6

5π

即所求直线ι的方程为 y = ±

3

3

(x + 2) ５．

3532+，3

3

8，

3

16

34+ 【习题分析】

不能把原参数方程直接代入 y = 16x 2 中，因为原参数不是 标准式，不具有几何意义，在求 | PM | 时不用两点间距离 公式，而用参数的几何意义直接得出。 因而解本题用到两个结论：1． 弦的中点对应参

数为： t =

2

2

1t t +，2． 点P(直线经过的定点)到弦中点M 的距离|PM=|

2

2

1t t +|

６．217

【习题分析】

由

4

2x +y 2=1有P(2cos θ,sin θ)，则2x+y=4cos θ+sin θ=

17

sin(θ+φ)(tan φ= 4), ∴(2x + y)大=

17。

若已知椭圆(圆或双曲线)上一点，用参数方程来设坐标较方便，用此法可以解决 Ax + By 型的最值问题。

８．7,

14

15

3- 【习题分析】

圆心C （1，0），求|AB|的最值，只需求AC 的最值，设A （5cos θ,3sin θ） 用两点间距离公式求解|AC|。 解决本题的关键在于将圆上的动点B 转化到定点—圆心C 。

９．

2

ab ，2

2

22b a b a +

【习题分析】

从椭圆中心(抛物线顶点)出发的线段长有关的问题，可将???==θ

θ

sin cos p y p x 直接代入普通方程，转化

为极坐标方程,

设A （ ρ1，θ），B （ρ2，θ±2

π）则有

S △AOB =

2

1| ρ1ρ2 | 进一步处理。

１０．

2

2≤e<1

【习题分析】

设 P(acos θ, bsin θ)(0 <θ< 90°)， ∵∠OPA=90° ∴有

θ

θcos sin a b 2

a

a b -θθ

cos sin = -1? (a 2-b 2)cos 2θ

- acos 2θ+ b 2=0

解得 cos θ

=2

2

2b a b -或cos θ=1(舍)。

∴当2

2

2

b a b -≤1，即 a ≥

2b ，也即

2

2≤e < 1时，

存在这样的点P ，使∠OPA=90°。

练习1参考答案

三、解答题

1、1、如下图，设圆上任一点为P （ρθ，），则((((2366

OP POA OA π

ρθ=∠=-=?=，，

((((cos Rt OAP OP OA POA ?=?∠中，

6c o s 6πρθ?

?

∴=-

??

?

而点O )32,

0(π A )6

,0(π

符合

2、解：（1）直线的参数方程是是参数）t t y t x (;211,231???

????+=+= （2）因为点A,B 都在直线l 上，所以可设它们对应的参数为t 1和t 2,则点A,B 的坐标分别为

),211,231(11t t A ++

)2

1

1,231(22t t B ++ 以直线L 的参数方程代入圆的方程422

=+y x

整理得到

2)13(

2=-++t t

①

因为t 1和t 2是方程①的解，从而t 1t 2＝－2。 所以|PA|2|PB|= |t 1t 2|＝|－2|＝2。

3、（先设出点P 的坐标，建立有关距离的函数关系）

()()

3cos 2sin 10P P d θθθ=设，，则到定点（，）的距离为

3c o s )

5d θθ=(当时，

练习3参考答案

18．解：把直线参数方程化为标准参数方程为参数）

（ 23 212t t y t x ???

?

???

=+=

1 23 21212

2

22=????

??-??? ?

?+=-t t y x ，得：代入 06 4 2=--t t 整理，得： ，则，设其二根为 21t t

6 4 2121-=?=+t t t t ，

()()10240644 4 22122121==--=

-+=

-=t t t t t t AB 从而弦长为

练习4参考答案

14．取平行弦中的一条弦AB 在y 轴上的截距

m 为参数，并设

A(x 1

，

设弦AB

的中点为M(x

，y)，则

极坐标与参数方程单元练习5

三．解答题（共75分）

练习5参考答案

19.解:设()θρ,M

是曲线上任意一点,在ABC ?

中由正弦定理得:

2

sin

10)

2

3

sin(θ

θπρ

=-

得A 的轨迹是:2

sin 40302

θ

ρ-=

20.解:以O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,设()θρ,Q

,()θ2,1P

O AP O Q P O Q A S S S ???=+

θθρθρ2sin 1321

sin 21sin 321???=+?∴ θρcos 2

3

=

坐标系与参数方程单元练习6

坐标系与参数方程单元练习6参考答案

一、选择题 1．D

233

122

y t k x t --=

==--

2．B 转化为普通方程：21y x =+，当34x =-

时，1

2

y =

3．C 转化为普通方程：2y x =-，但是[2,3],[0,1]x y ∈∈

4．

C (cos 1)0,0,cos 1x ρρθρρθ-=====或

5．C 2(2,2),()3

k k Z π

π+

∈都是极坐标 6．C

2cos 4sin cos ,cos 0,4sin ,4sin ρθθθθρθρρθ====或即

则,2

k π

θπ=+

或224x y y +=

二、填空题 1．54-

455

344

y t k x t --=

==-- 2．

221,(2)416

x y x -=≥ 22

()()4

22222

t

t t t t

t

y x e x e e y y x x y y e e x e ---??+==+?????+-=??=-??-=??? 3．

5

2

将1324x t y t

=+??

=-?代入245x y -=得12t =，则5(,0)2B ，而

(1,2)A ，得5

2AB =

4

．

直线为

10

x y +-=，圆心到直线的距

离

d =

=，弦长的一半

为

2

=

5．2

π

θ

α=

+ cos cos sin sin 0,cos()0ρθαρθαθα+=-=，取2

π

θα-=

三、解答题

1．解：（1）设圆的参数方程为cos 1sin x y θ

θ

=??

=+?，

22cos sin 1)1x y θθθ?+=++=++

121x y ≤+≤

（2）cos sin 10x y a a θθ+

+=+++≥

(cos sin )1)1

4

1a a π

θθθ∴≥-+-=+-∴≥ 2

．解：将15x t

y =+???=-+??

代入0x y --=

得t =，

得(1P +，而(1,5)Q -

，得PQ ==3

．解：设椭圆的参数方程为4cos x y θ

θ

=???=??

，d =

3)33

θ

θθθ=

-=+- 当cos()13

π

θ

+

=

时，min 5

d =

，此时所求点为(2,3)-。

坐标系与参数方程单元练习7参考答案

一、选择题 1．C

1

=

2．D

2y =表示一条平行于x 轴的直线，而2,2x x ≥≤-或，所以表示两条射线

3．D

22

1(1)()1622

t ++-=，得2880t t --=，12128,42t t t t ++==

中点为1143

24x x y y ?

=+??=??????

=?

??=-??4．A

圆心为5(

,22

- 5．D

222

22

,11,1,0,011,0244

y y x t t x x t t y ==-=-+=≥≤-≤≤≤而得

6．C

222112

x x t y t y ?=-+??=-+?????

=-??=???，把直线21x t y t =-+??=-?代入 22(3)(1)25x y -++=得222(5)(2)25,720t t t t -++-=-+=

12t t -==

12t -=二、填空题 1．

2

(2)

(1)(1)

x x y x x -=

≠- 111,,1x t t x -==-而21y t =-， 即

22

1(2)

1()(1)1(1)

x x y x x x -=-=≠-- 2．(3,1)-

14

3y x a

+=-，(1)4120y a x -++-=对于任何a 都成立，则3,1x y ==-且 3

椭圆为22

164

x y +

=

，设,2sin )P θθ，

24sin )x y θθθ?+=+=+≤4．2

x

y = 2

22

2

1s i n t a n ,c o s s i n ,

c o s s i n ,c o s c o s

θρθρθθρθρθθθ=?

===即2

x y =

5．2

2

24141t x t t y t ?

=??+??=?+?

22()40x tx tx +-=，当0x =时，0y =；当0x ≠时，2

41t

x t =

+；

高中数学极坐标与参数方程大题(详解)

参数方程极坐标系 解答题 1．已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数） （Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程． （Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值． +=1 ， ， 的距离为 则 取得最小值，最小值为 2．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的极坐标方程为： ，曲线C的参数方程为：（α为参数）． （I）写出直线l的直角坐标方程； （Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值． 的极坐标方程为： cos=

∴ y+1=0 （ d= 的距离的最大值． 3．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）． （1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （2）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：（t为参数）距离的最小值． ：（化为普通方程得：+ t=代入到曲线 sin =，），﹣

4．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C的极坐标方程为 ，直线l的参数方程为（t为参数），直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C 上不同于A，B的任意一点． （Ⅰ）求圆心的极坐标； （Ⅱ）求△PAB面积的最大值． 的极坐标方程为，把 ，利用三角形的面积计算公式即可得出． 的极坐标方程为，化为= 把 ∴圆心极坐标为； （t ， = 距离的最大值为 5．在平面直角坐标系xoy中，椭圆的参数方程为为参数）．以o为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．求椭圆上点到直线距离的最大值和最小值．

极坐标与参数方程 经典练习题含答案详解

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．曲线25()12x t t y t =-+?? =-?为参数与坐标轴的交点是（ ）． A ．21(0,)(,0)5 2 、 B ．11(0,)(,0)5 2 、 C ．(0,4)(8,0)-、 D ．5(0,)(8,0)9 、 2．把方程1xy =化为以t 参数的参数方程是（ ）． A ．1 21 2x t y t -?=???=? B ．sin 1sin x t y t =???=?? C ．cos 1cos x t y t =???=?? D ．tan 1tan x t y t =???=?? 3．若直线的参数方程为12()23x t t y t =+?? =-?为参数，则直线的斜率为（ ）． A ． 23 B ．23- C ．32 D ．32 - 4．点(1,2)在圆18cos 8sin x y θ θ=-+??=? 的（ ）． A ．内部 B ．外部 C ．圆上 D ．与θ的值有关 5．参数方程为1()2 x t t t y ?=+? ??=?为参数表示的曲线是（ ）． A ．一条直线 B ．两条直线 C ．一条射线 D ．两条射线 6．两圆???+=+-=θθsin 24cos 23y x 与? ??==θθ sin 3cos 3y x 的位置关系是（ ）． A ．内切 B ．外切 C ．相离 D ．内含 7 ．与参数方程为)x t y ?=?? =??为参数等价的普通方程为（ ）． A ．22 14 y x + = B ．22 1(01)4y x x +=≤≤ C ．22 1(02)4y x y +=≤≤ D ．22 1(01,02)4 y x x y +=≤≤≤≤

极坐标与参数方程题型三：最值问题

极坐标与参数方程题型二：最值问题 13.在直角坐标系中，曲线的参数方程为，（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为. (1) 求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程； (2) 设为曲线上的动点，求点到上点的距离的最小值，并求此时点的坐标. 14、已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：? ????x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)． (1)写出曲线C 的参数方程、直线l 的普通方程； (2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值． 15、以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程； （2）若点()y x P ,在该圆上，求y x +的最大值和最小值．

16、已知曲线C 的极坐标方程θρsin 2=，直线l 的参数方程)(22223为参数t t y t x ??? ????=+=， 以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系； （1）求曲线l C 与直线的直角坐标方程. （2）若M 、N 分别为曲线l C 与直线上的两个动点，求||MN 的最小值. 17、已知直线l 的参数方程为1212 x t y ?=????=+??（t 为参数），曲线C 的参数方程为 2cos sin x y θθ =+??=?（θ为参数）。（1）已知在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，点P 的极坐标为(4, )3π，判断点P 与直线l 的位置关系；（2）设点Q 是曲线C 上的一个动点，求点Q 到直线l 的距离的最小值与最大值。 18、以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l 的参数方程为???=+=α αsin cos 1t y t x (t 为参数，πα<<0)，曲线C 的极坐标方程为θθρcos 4sin 2=． （Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程； （Ⅱ）设直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，当α变化时，求AB 的最小值．

高中数学选修4-4极坐标与参数方程练习题

极坐标与参数方程单元练习1 一、选择题（每小题5分，共25分） 1、已知点M 的极坐标为?? ? ??35π，，下列所给出的四个坐标中能表示点M 的坐标是（ ）。 A. B. C. D. ?? ? ? ? -355π， 2、直线：3x-4y-9=0与圆：? ??==θθ sin 2cos 2y x ，(θ为参数)的位置关系是( ) A.相切 B.相离 C.直线过圆心 D.相交但直线不过圆心 3、在参数方程? ??+=+=θθ sin cos t b y t a x （t 为参数）所表示的曲线上有B 、C 两点，它们对应的参数值分别为t 1、 t 2，则线段BC 的中点M 对应的参数值是（ ） 4、曲线的参数方程为???-=+=1 2 32 2t y t x (t 是参数)，则曲线是（ ） A 、线段 B 、双曲线的一支 C 、圆 D 、射线 5、实数x 、y 满足3x 2 ＋2y 2 =6x ，则x 2 ＋y 2 的最大值为（ ） A 、 27 B 、4 C 、2 9 D 、5 二、填空题（每小题5分，共30分） 1、点()22-， 的极坐标为 。 2、若A ，B ?? ? ? ? -64π， ，则|AB|=___________，___________。（其中O 是极点） 3、极点到直线()cos sin 3ρθθ+=________ _____。 4、极坐标方程2sin 2cos 0ρθθ-?=表示的曲线是_______ _____。 5、圆锥曲线()为参数θθ θ ?? ?==sec 3tan 2y x 的准线方程是 。

6、直线l 过点()5,10M ，倾斜角是 3 π ，且与直线032=--y x 交于M ，则0MM 的长为 。 三、解答题（第1题14分，第2题16分，第3题15分；共45分） 1、求圆心为C ，半径为3的圆的极坐标方程。 2、已知直线l 经过点P(1,1),倾斜角6 π α=， （1）写出直线l 的参数方程。 （2）设l 与圆42 2=+y x 相交与两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积。 3、求椭圆14 92 2=+y x ）之间距离的最小值，与定点（上一点01P 。 极坐标与参数方程单元练习1参考答案 【试题答案】一、选择题：1、D 2、D 3、B 4、D 5、B 二、填空题：1、??? ? ?-422π， 或写成?? ? ? ? 4722π，。 2、5，6。 3、。 4、()2 2sin 2cos 02y x ρθρθ-==，即，它表示抛物线。 5、13 13 9±=y 。6、3610+。 三、解答题 1、1、如下图，设圆上任一点为P （ ），则((((2366 OP POA OA π ρθ=∠=- =?=，， ((((cos Rt OAP OP OA POA ?=?∠中， 6cos 6πρθ? ?∴=- ???而点O )32,0(π A )6 ,0(π符合 2、解：（1）直线的参数方程是是参数）t t y t x (;211,23 1??? ????+=+= （2）因为点A,B 都在直线l 上，所以可设它们对应的参数为t 1和t 2,则点A,B 的坐标分别为 ),211,231(11t t A ++ )2 1 1,231(22t t B ++ 以直线L 的参数方程代入圆的方程42 2 =+y x 整理得到02)13(2=-++t t ① 因为t 1和t 2是方程①的解，从而t 1t 2＝－2。所以|PA|·|PB|= |t 1t 2|＝|－2|＝2。 3、（先设出点P 的坐标，建立有关距离的函数关系）

极坐标与参数方程含答案(经典39题)(整理版)

高考极坐标参数方程(经典39题) 1．在极坐标系中，以点(2,)2 C π 为圆心，半径为3的圆C 与直线:() 3 l R π θρ= ∈交于,A B 两点. （1）求圆C 及直线l 的普通方程. （2）求弦长AB . 2．在极坐标系中，曲线2 :sin 2cos L ρθθ=，过点A （5，α） （α为锐角且3tan 4α= ）作平行于()4 R π θρ=∈的直线l ，且l 与曲线L 分别交于B ，C 两点. (Ⅰ)以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，取与极坐标相同单位长度，建立平面直 角坐标系，写出曲线L 和直线l 的普通方程； (Ⅱ)求|BC|的长. 3．在极坐标系中，点M 坐标是)2 , 3(π ，曲线C 的方程为)4 sin(22π θρ+ =；以 极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率是1-的直线l 经过点M ． （1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）求证直线l 和曲线C 相交于两点A 、B ，并求||||MB MA ?的值． 4．已知直线l 的参数方程是)(24222 2 是参数t t y t x ??? ??? ?+== ，圆C 的极坐标方程为 )4 cos(2π θρ+=． （1）求圆心C 的直角坐标； （2）由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值．

5．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为()为参数t t y t a x ,3?? ?=+=.在极坐标 系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为θρcos 4=. （Ⅰ）求圆C 在直角坐标系中的方程； （Ⅱ）若圆C 与直线l 相切，求实数a 的值. 6．在极坐标系中，O 为极点，已知圆C 的圆心为 (2, ) 3π ，半径r=1，P 在圆C 上运 动。 （I ）求圆C 的极坐标方程； （II ）在直角坐标系（与极坐标系取相同的长度单位，且以极点O 为原点，以极轴为x 轴正半轴）中，若Q 为线段OP 的中点，求点Q 轨迹的直角坐标方程。 7．在极坐标系中，极点为坐标原点O ，已知圆C 的圆心坐标为 ) 4,2(C π，半径为2，直线l 的极坐标方程为22)4sin(= θ+πρ. （1）求圆C 的极坐标方程； （2）若圆C 和直线l 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长. 8．平面直角坐标系中，将曲线? ? ?==ααsin cos 4y x （α为参数）上的每一点纵坐标不变， 横坐标变为原来的一半，然后整个图象向右平移1个单位，最后横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到曲线1C ．以坐标原点为极点，x 的非负半轴为极轴，建立的极坐标中的曲线2C 的方程为θρsin 4=，求1C 和2C 公共弦的长度．

高中数学选修4-4-极坐标与参数方程-知识点与题型

一、极坐标系 1．极坐标系与点的极坐标 (1)极坐标系：如图4－4－1所示，在平面内取一个定点O ，叫做极点，自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标：平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．其中ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角． 2 题型一 极坐标与直角坐标的互化 1、已知点P 的极坐标为，则点P 的直角坐标为 （ ） A.（1，1） B.（1，-1） C.（-1，1） D.（-1，-1） 2、设点的直角坐标为，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点的极坐标为（ ） A ． B ． C ． D ． 3．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________． 4．在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是( ) A ．ρ＝cos θ B ．ρ＝sin θ C ．ρcos θ＝1 D ．ρsin θ＝1 5．曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________． 6. 在极坐标系中，求圆ρ＝2cos θ与直线θ＝π 4 (ρ>0)所表示的图形的交点的极坐标． 题型二 极坐标方程的应用 由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解．

极坐标和参数方程知识点典型例题及其详解(供参考)

极坐标和参数方程知识点+典型例题及其详解 知识点回顾 （一）曲线的参数方程的定义： 在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x 、y 都是某个变数t 的函数，即 ???==) ()(t f y t f x 并且对于t 每一个允许值，由方程组所确定的点M （x ，y ）都在这条曲线上，那么方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系x 、y 之间关系的变数叫做参变数，简称参数． （二）常见曲线的参数方程如下： 1．过定点（x 0，y 0），倾角为α的直线： αα sin cos 00t y y t x x +=+= （t 为参数） 其中参数t 是以定点P （x 0，y 0）为起点，对应于t 点M （x ，y ）为终点的有向线段PM 的数量，又称为点P 与点M 间的有向距离． 根据t 的几何意义，有以下结论． ○ 1．设A 、B 是直线上任意两点，它们对应的参数分别为t A 和t B ，则AB ＝A B t t -＝B A A B t t t t ?--4)(2． ○ 2．线段AB 的中点所对应的参数值等于2 B A t t +． 2．中心在（x 0，y 0），半径等于r 的圆： θθ sin cos 00r y y r x x +=+= （θ为参数） 3．中心在原点，焦点在x 轴（或y 轴）上的椭圆： θθsin cos b y a x == （θ为参数） （或 θ θsin cos a y b x ==） 中心在点（x0,y0）焦点在平行于x 轴的直线上的椭圆的参数方程为参数）ααα(. sin ,cos 00???+=+=b y y a x x 4．中心在原点，焦点在x 轴（或y 轴）上的双曲线：

极坐标与参数方程题型和方法归纳

极坐标与参数方程题型和方法归纳

极坐标与参数方程题型和方法归纳 题型一：极坐标（方程）与直角坐标（方程）的相互转化，参数方程与普通方程相互转化，极坐标方程与参数方程相互转化。方法如下： {22222 cos sin tan (0x y x y x y y x x ραρα ρρθ==?=++??=≠+?? ???????→ ←???????或(1)极坐标方程直角坐标方程 2 2 1θθ=????????????→←????????????消参（代入法、加减法、sin +cos 等）圆、椭圆、直线的参数方程 (2)参数方程直角坐标方程 ??→??→←??←?? (3)参数方程直角坐标方程(普通方程)极坐标方程 1、已知直线l 的参数方程为 11233x t y t ? =+? ? ?=? （t 为参数） 以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的方程为2sin 3cos 0 θρθ=. （Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）写出直线 l 与曲线C 交点的一个极坐标. 题型二：三个常用的参数方程及其应用 （1）圆 222 ()()x a y b r -+-=的参数方程是：

cos sin ()x a r y b r θ θθ =+?? =+?为参数 （2）椭圆 22 221(0,0,)x y a b a b a b +=>>≠的参数方程是： cos ,()sin x a y b θ θθ=?? =? 为参数 （3）过定点0 (,)P x y 倾斜角为α的直线l 的标准参数方程为： 00cos ,()sin x x t t y y t α α =+?? =+?为参数 对（3）注意： P 点所对应的参数为0 t =，记直线 l 上任意两点,A B 所对应的参数分别为1 2 ,t t ，则① 12 AB t t =-,② 1212121212,0 ,0 t t t t PA PA t t t t t t ?+?>?+=+=? -? ）以坐标原点O 为极点， 以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为cos 24 πρθ??+=- ?? ? （Ⅰ）设P 是曲线C 上的一个动点，当2a =时，求点P 到直线l 的距离的最小值；

最新极坐标与参数方程测试题(有详解答案)

2017高二文科极坐标与参数方程测试题 一、选择题 1.直线12+=x y 的参数方程是（ ） A 、???+==1 22 2 t y t x （t 为参数） B 、???+=-=1412t y t x （t 为参数） C 、 ???-=-=121 t y t x （t 为参数） D 、? ? ?+==1sin 2sin θθy x （t 为参数） 2.极坐标方程cos 2sin 2ρθθ=表示的曲线为（ ） A ．一条射线和一个圆 B ．两条直线 C ．一条直线和一个圆 D ．一个 3.已知??? ? ? -3,5πM ，下列所给出的不能表示点的坐标的是( ) A 、?? ? ? ?- 3,5π B 、?? ? ? ?34, 5π C 、?? ? ? ?- 32,5π D 、?? ? ? ?- -35,5π 4.极坐标系中，下列各点与点P （ρ，θ）（θ≠k π，k ∈Z ）关于极轴所在直线 对称的是（ ） A ．（-ρ，θ） B ．（-ρ，-θ） C ．（ρ，2π-θ） D ．（ρ，2π+θ） 5.点() 3,1-P ，则它的极坐标是 ( ) A 、?? ? ??3, 2π B 、?? ? ? ?3 4, 2π C 、?? ? ? ?- 3,2π D 、?? ? ? ?- 3 4,2π 6.直角坐标系xoy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建极坐标系，设点A,B 分别在曲 线13cos :sin x C y θθ =+??=? （θ为参数）和曲线2:1C ρ=上，则AB 的最小值为( ). A.1 B.2 C.3 D.4 7.参数方程为1()2 x t t t y ? =+ ???=?为参数表示的曲线是（ ） A ．一条直线 B ．两条直线 C ．一条射线 D ．两条射线 8.( )124123x t t x ky k y t =-?+==?=+?若直线为参数与直线垂直，则常数（ ）

最新极坐标参数方程题型归纳--7种

极坐标与参数方程(高考真题)题型归纳 一、极坐标方程与直角坐标方程的互化 1.(2015·广东理，14)已知直线l 的极坐标方程为2ρsin ????θ－π4＝2，点A 的极坐标为A ????22，7π 4，则点A 到直线l 的距离为________． [立意与点拨] 本题考查极坐标与平面直角坐标的互化、点到直线的距离，属于容易题．解答本题先进行极直互化，再求距离． 二、参数方程与直角坐标方程的互化 【解析】椭圆方程为：14622=+y x ，因为1cos sin 2 2=+x x ，令???==α αcos 2sin 6y x ，则有 X+2y=αsin 6+αcos 4=()?α++sin 166,最大值22，最小值22- 三、根据条件求直线和圆的极坐标方程 四、求曲线的交点及交点距离 4．(2015·湖北高考)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 的极坐标方程为ρ(sin θ－3cos θ)＝0，曲线C 的参数方程为? ??x ＝t －1t ， y ＝t ＋ 1t (t 为参数)，l 与C 相交于A ，B 两点，则|AB |＝________． 【解析】 直线l 的极坐标方程ρ(sin θ－3cos θ)＝0化为直角坐标方程为3x －y ＝0，曲线C 的参 数方程? ??x ＝t －1t ，y ＝t ＋ 1t 两式经过平方相减，化为普通方程为y 2－x 2＝4，联立? ??? ?3x －y ＝0，y 2－x 2＝4 解得???x ＝－22，y ＝－322或? ??x ＝2 2， y ＝32 2 . 所以点A ????－22，－322，B ???? 22，322. 所以|AB |＝ ????－22－222＋??? ?－322－3222＝2 5.

极坐标与参数方程经典练习题

第八讲 极坐标系与参数方程 ◆ 知识梳理 一、极坐标 1、极坐标定义：M 是平面上一点，ρ表示OM 的长度，θ是MOx ∠，则有序实数实数对(,)ρθ,ρ叫极径，θ叫极角；一般地，[0,2)θπ∈，0ρ≥。 2、极坐标和直角坐标互化公式：cos sin x y ρθρθ=??=? 或2 2 2 tan (0)x y y x x ρθ?=+? ?= ≠?? ，θ的象限由点(x,y)所在象限确定. 二、常见曲线的极坐标方程 1、圆的极坐标方程 （1）圆心在极点，半径为R 的圆的极坐标方程是 ； （2）圆心在极轴上的点)0,(a 处，且过极点O 的圆的极坐标方程是 ； （3）圆心在点)2,(π a 处且过极点的圆O 的极坐标方程是 。 2、直线的极坐标方程 （1）过极点且极角为k 的直线的极坐标方程是 ； （2）过点)0,(a ，且垂直于极轴的直线的极坐标方程是 ； （3）过点)0)(0,(>a a ，且与极轴所成的角为α的直线的极坐标方程是 ； （4）过点),(11θρ，且与极轴所成的角为α的直线的极坐标方程是 。 三、常见曲线的参数方程 ◆ 随堂练习

第一部分：极坐标系 1、点M 的直角坐标是(-，则点M 的极坐标为（ ） A ．(2,)3π B ．(2,)3π- C ．2(2,)3π D ．(2,2),()3k k Z π π+∈ 2、极坐标方程cos 2sin 2ρθθ=表示的曲线为（ ） A ．一条射线和一个圆 B ．两条直线 C ．一条直线和一个圆 D ．一个圆 3、在极坐标系中，直线24sin =??? ? ? +πθρ被圆4=ρ截得的弦长为__ . 4、设A （2， 32π），B （3，3 π ）是极坐标系上两点，则|AB|= _. 5、 已知某圆锥曲线C 的极坐标方程是22225 916cos ρθ =+，则曲线C 的离心率为（ ） A ．45 B ．53 C ．35 D ．4 5 6、 在极坐标系中，已知曲线)3,1(.cos 4:)3 cos(:21-∈==+m C m C 若和θρπ θρ，则曲线C 1与C 2 的位置关系是 A ．相切 B ．相交 C ．相离 D ．不确定 7、以坐标原点为极点，横轴的正半轴为极轴的极坐标系下，有曲线C ：4cos ρθ=，过极点的直线 θ?=（R ?∈且?是参数）交曲线C 于两点0，A ，令OA 的中点为M. （1）求点M 在此极坐标下的轨迹方程（极坐标形式）.（2）当53 π ?=时，求M 点的直角坐标. 8、已知直线l k k C l 若直线和圆),0)(4cos(2:4)4sin(:≠+?==-π θρπθρ上的点到圆C 上的点的最小 距离等于2。 （I ）求圆心C 的直角坐标；（II ）求实数k 的值。

高考极坐标与参数方程大题题型汇总(附详细答案)

高考极坐标与参数方程大题题型汇总 1．在直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程1cos (sin x y ? ?? =+??=?为参数） ．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求圆C 的极坐标方程； （2）直线l 的极坐标方程是 C 的交点为 O 、P ,与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长． 解:(1)圆C 的普通方程是22(1)1x y -+=，又cos ,sin x y ρθρθ==; 所以圆C 的极坐标方程是2cos ρθ=. ---5分 (2)设11(,)ρθ为点P 的极坐标，则有 设22(,)ρθ为点Q 的极坐标，则有 由于12θθ=，所以，所以线段PQ 的长为2. 2．已知直线l 的参数方程为431x t a y t =-+??=-? （t 为参数），在直角坐标系xOy 中，以O 点为极 点， x 轴的非负半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，设圆M 的方程为 26sin 8 ρρθ-=-． （1）求圆M 的直角坐标方程； （2）若直线l 截圆M a 的值． 解：（1）∵2 222268(36si )n 81x y y x y ρρθ+--=-?=-?+-=， ∴圆M 的直角坐标方程为2 2 (3)1x y +-=；(5分）

（2）把直线l的参数方程 4 31 x t a y t =-+ ? ? =- ? （t为参数）化为普通方程得：34340 x y a +-+=， ∵直线l截圆M所得弦长 为，且圆M的圆心(0,3) M到直线l的距 离 |163|19 522 a d a - ===?=或 37 6 a=，∴ 37 6 a=或 9 2 a=．(10分）3．已知曲线C的参数方程为 ?? ? ? ? + = + = α α sin 5 1 cos 5 2 y x (α为参数)，以直角坐标系原点为极点，Ox轴正半轴为极轴建立极坐标系。 （1）求曲线c的极坐标方程 （2）若直线l的极坐标方程为 ρ (sinθ+cosθ)=1，求直线l被曲线c截得的弦长。 解：(1)∵曲线c的参数方程为 ?? ? ? ? + = + = α α sin 5 1 cos 5 2 y x (α为参数) ∴曲线c的普通方程为(x-2)2+(y-1)2=5 将? ? ? = = θ ρ θ ρ sin cos y x 代入并化简得： ρ =4cosθ+2sinθ 即曲线c的极坐标方程为 ρ =4cosθ+2sinθ (2)∵l的直角坐标方程为x+y-1=0 ∴圆心c到直线l的距离为d=2 2 =2∴弦长为22 5-=23 4．已知曲线C： 2 21 9 x y += ，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为 sin() 4 π ρθ-= （1）写出曲线C的参数方程，直线l的直角坐标方程； （2）设P是曲线C上任一点，求P到直线l的距离的最大值.

高三极坐标与参数方程练习题

高三极坐标与参数方程 练习题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

高三极坐标与参数方程练习题 1．点M 的极坐标)3 2,5(π化为直角坐标为（ ） A ．)235,25(-- B ．)235,25(- C ．)235,25(- D ．)2 35,25( 2．点M 的直角坐标为)1,3(--化为极坐标为（ ） A ．)65,2(π B ．)67,2(π C ．)611,2(π D ．)6 ,2(π 3．已知曲线C 的参数方程为)(1 232为参数t t y t x ???+==则点)4,5(),1,0(21M M 与曲线C 的位置 关系是（ ） A ．1M 在曲线C 上，但2M 不在。 B ．1M 不在曲线C 上，但2M 在。 C ．1M ，2M 都在曲线C 上。 D ．1M ，2M 都不在曲线C 上。 4．椭圆 )(sin 51cos 3为参数θθθ???+-=+=y x 的两个焦点坐标是( ) A ．(-3，5)，(-3，-3) B ．(3，3)，(3，-5) C ．(1，1)，(-7，1) D ．(7，-1)，(-1，-1) 5．曲线的极坐标方程ρ=４sinθ化 成直角坐标方程为( ) A ．x 2+(y+2)2=4 B ．x 2+(y-2)2=4 C ．(x-2)2+y 2=4 D ．(x+2)2+y 2=4 6．极坐标方程4sin 2θ=3表示曲线是 ( ) A ．两条射线 B ．抛物线 C ．圆 D ．两条相交直线 7.在极坐标系中，曲线C 1与C 2的方程分别为2ρcos 2θ＝sin θ与ρcos θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1与C 2交点的直角坐标为________． 8. 参数方程 ?? ???+=+=θθθθcos 1sin cos 1cos y x (θ为参数)化成普通方程为 。 9. 抛物线y 2=2px(p ＞0)的一条过焦点的弦被焦点分成m 、n 长的两段，则 n m 11+ = 。 10. 在极坐标系中，点? ????2，π6到直线ρ sin ? ????θ－π6＝1的距离是________． 11. 将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C . (1)写出C 的参数方程；

高中数学选修4-4-极坐标与参数方程-知识点与题型

选做题部分 极坐标系与参数方程 一、极坐标系 1．极坐标系与点的极坐标 (1)极坐标系：如图4－4－1所示，在平面内取一个定点O ，叫做极点，自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标：平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．其中ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角． 2．极坐标与直角坐标的互化 点M 直角坐标(x ，y ) 极坐标(ρ，θ) 互化公式 题型一 极坐标与直角坐标的互化 1、已知点P 的极坐标为)4 ,2(π ，则点P 的直角坐标为 （ ） A.（1，1） B.（1，-1） C.（-1，1） D.（-1，-1） 2、设点P 的直角坐标为(3,3)-，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系(02)θπ≤<，则点P 的极坐标为（ ） A ．3(32, )4π B ．5(32,)4π- C ．5(3,)4π D ．3(3,)4 π- 3．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________． 4．在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是( ) A ．ρ＝cos θ B ．ρ＝sin θ C ．ρcos θ＝1 D ．ρsin θ＝1 5．曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________． 6. 在极坐标系中，求圆ρ＝2cos θ与直线θ＝π 4 (ρ>0)所表示的图形的交点的极坐标．

-全国卷极坐标与参数方程高考题汇编

极坐标与参数方程（全国卷高考题） 1、（2011）坐标系与参数方程：在直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为 2cos 22sin x y αα =?? =+?（α为参数），M 是C 1上的动点，P 点满足2OP OM =u u u v u u u u v ,P 点的轨迹为曲 线C 2 (Ⅰ)求C 2的方程 (Ⅱ)在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3 π θ=与C 1的异于 极点的交点为A ，与C 2的异于极点的交点为B ，求AB . 解：（I ）设P(x,y),则由条件知M( 2 ,2Y X ).由于M 点在C 1上，所以 ??? ???????????+=?=sin 222,cos 22y x 即 ? ?? ????+=?=sin 44cos 4y x 从而2C 的参数方程为4cos 44sin x y α α =??=+?（α为参数） （Ⅱ）曲线1C 的极坐标方程为4sin ρθ=，曲线2C 的极坐标方程为8sin ρθ=。 射线3 π θ=与1C 的交点A 的极径为14sin 3 π ρ=， 射线3 π θ= 与2C 的交点B 的极径为28sin 3 π ρ=。 所以21||||AB ρρ-== 2、（2012）已知曲线C 1的参数方程是??? x ＝2cos φ y ＝3sin φ(φ为参数)，以坐标原点为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 2的极坐标方程是ρ=2.正方形ABCD 的 顶点都在C 2上，且A 、B 、C 、D 以逆时针次序排列，点A 的极坐标为(2，π 3) (Ⅰ)求点A 、B 、C 、D 的直角坐标； (Ⅱ)设P 为C 1上任意一点，求|PA| 2+ |PB|2 + |PC| 2+ |PD|2的取值范围。 【解析】（1）点,,,A B C D 的极坐标为5411(2,),(2,),(2,),(2, )3636 ππππ

极坐标与参数方程题型及解题方法

Ⅰ复习提问 1、 极坐标系和直角坐标系有什么区别？学校老师课堂如何讲解极坐标参数方程的？ 2、 如何把极坐标系转化为直角坐标系？ 答：将极坐标的极点O 作为直角坐标系的原点，将极坐标的极轴作为直角坐标系x 轴的正半轴。如果点P 在直角坐标系下的坐标为（x ，y ），在极坐标系下的坐标为),(θρ, 则有下列关系成立： ρθρ θy sin x cos = = 3、 参数方程{ cos sin x r y r θθ ==表示什么曲线？ 4、 圆(x-a)2+(y-b)2=r2的参数方程是什么？ 5、 极坐标系的定义是什么？ 答：取一个定点O ，称为极点，作一水平射线Ox ，称为极轴，在Ox 上规定单位长度，这样就组成了一个极坐标系设OP=ρ，又∠xOP=θ. ρ和θ的值确定了，则P 点的位置就 确定了。ρ叫做P 点的极半径，θ叫做P 点的极角，),(θρ叫做P 点的极坐标（规定ρ写在前，θ写在后）。显然，每一对实数),(θρ决定平面上一个点的位置 6、参数方程的意义是什么？

Ⅱ 题型与方法归纳 1、 题型与考点（1） { 极坐标与普通方程的互相转化极坐标与直角坐标的互相转化 （2） { 参数方程与普通方程互化 参数方程与直角坐标方程互化 (3) { 利用参数方程求值域参数方程的几何意义 2、解题方法及步骤 （1）、参数方程与普通方程的互化 化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角的或代数的）消去法；化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t ，先确定一个关系()x f t =（或()y g t =，再代入普通方程 (),0F x y =，求得另一关系()y g t =（或()x f t =）.一般地，常选择的参数有角、有向 线段的数量、斜率，某一点的横坐标（或纵坐标） 例1、方程2222 t t t t x t y --?=-? ?=+??（为参数）表示的曲线是（ ） A. 双曲线 B.双曲线的上支 C.双曲线的下支 D.圆 解析：注意到2t t 与2t -互为倒数，故将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，即可消去含t 的项，()() 2 2 2222224t t t t x y ---=--+=-， 即有22 4y x -=，又注意到 202222t t t y ->+≥=≥，，即，可见与以上参数方程等价的普通方程为 2242y x y -=≥（）.显然它表示焦点在y 轴上，以原点为中心的双曲线的上支，选B

极坐标与参数方程经典试题带详细解答

极坐标与参数方程经典试题带详细解答

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1．极坐标系与直角坐标系xoy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为 极轴.已知直线l 的参数方程为12232 x t y t ?=+?? ??=??（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为 2sin 8cos ρθθ=.（Ⅰ）求C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 交于,A B 两 点，求弦长||AB . 2．已知直线l 经过点1 (,1)2P ，倾斜角α＝ 6 π ，圆C 的极坐标方程为2cos()4πρθ=-. (1)写出直线l 的参数方程，并把圆C 的方程化为直角坐标方程； (2)设l 与圆C 相交于两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积． 3．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程 已知直线l 的参数方程是)(242 2 2 2 是参数t t y t x ??? ? ?? ? +==，圆C 的极坐标方程为 )4 cos(2π θρ+=． （I ）求圆心C 的直角坐标；(Ⅱ)由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值． 4．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系中x 轴的正半轴重合，且两坐标系有相同的长度单位，圆C 的参数方程为12cos 12sin x y α α =+??=-+?（α为参数）， 点Q 的极坐标为7(22,)4 π。 （1）化圆C 的参数方程为极坐标方程； （2）直线l 过点Q 且与圆C 交于M ，N 两点，求当弦MN 的长度为最小时，直线l 的直角坐标方程。 5．在极坐标系中，点M 坐标是)2, 3(π ，曲线C 的方程为)4 sin(22π θρ+ =；以极点 为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率是1-的直线l 经过点M ． （1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）求证直线l 和曲线C 相交于两点A 、B ，并求||||MB MA ?的值．

极坐标与参数方程知识点及题型归纳总结

极坐标与参数方程知识点及题型归纳总结 知识点精讲 一、极坐标系 在平面上取一个定点O ，由点O 出发的一条射线Ox 、一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系.点O 称为极点，Ox 称为极轴.平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ (弧度制)来刻画(如图16-31和图16-32所示). 这两个实数组成的有序实数对(,)ρθ称为点M 的极坐标. ρ称为极径，θ称为极角. 二、极坐标与直角坐标的互化 设M 为平面上的一点，其直角坐标为(,)x y ，极坐标为(,)ρθ，由图16-31和图16-32可知，下面的关系式成立: cos sin x y ρθρθ=??=?或222 tan (0) x y y x x ρθ?=+? ?=≠?? （对0ρ<也成立）. 三、极坐标的几何意义 r ρ=——表示以O 为圆心，r 为半径的圆； 0θθ=——表示过原点(极点)倾斜角为0θ的直线，0(0)θθρ=≥为射线； 2cos a ρθ=表示以(,0)a 为圆心过O 点的圆. (可化直角坐标: 2 2cos a ρρθ=2 2 2x y ax ?+=2 2 2 ()x a y a ?-+=.) 四、直线的参数方程 直线的参数方程可以从其普通方程转化而来，设直线的点斜式方程为 00()y y k x x -=-，其中tan (k αα=为直线的倾斜角)，代人点斜式方程: 00sin ()()cos 2 y y x x απ αα-= -≠,即00cos sin x x y y αα--=. 记上式的比值为t ,整理后得00cos t sin x x t y y αα =+??=+?,2π α=也成立，故直线的参数方程为

极坐标参数方程高考练习含答案解析(非常好的练习题)

极坐标与参数方程高考精练（经典39题） 1．在极坐标系中，以点(2,)2C π 为圆心，半径为3的圆C 与直线:()3l R π θρ=∈交于,A B 两点.（1）求圆C 及直线 l 的普通方程.（2）求弦长AB . 2．在极坐标系中，曲线2:sin 2cos L ρθθ=，过点A （5，α）（α为锐角且3tan 4α=）作平行于()4 R πθρ=∈的直线l ，且l 与曲线L 分别交于B ，C 两点. (Ⅰ)以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，取与极坐标相同单位长度，建立平面直角坐标系，写出曲线L 和直线l 的普通方程；(Ⅱ)求|BC|的长. 3．在极坐标系中，点M 坐标是)2,3(π ，曲线C 的方程为)4 sin(22πθρ+=；以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半 轴建立平面直角坐标系，斜率是1-的直线l 经过点M ． （1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）求证直线l 和曲线C 相交于两点A 、B ，并求||||MB MA ?的值．

4．已知直线l 的参数方程是)(242222是参数t t y t x ???????+==，圆C 的极坐标方程为)4cos(2πθρ+=． （1）求圆心C 的直角坐标；（2）由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值． 5．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为()为参数t t y t a x ,3???=+=.在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长 度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为θρcos 4=. （Ⅰ）求圆C 在直角坐标系中的方程； （Ⅱ）若圆C 与直线l 相切，求实数a 的值. 6．在极坐标系中，O 为极点，已知圆C 的圆心为(2,)3π，半径r=1，P 在圆C 上运动。 （I ）求圆C 的极坐标方程；（II ）在直角坐标系（与极坐标系取相同的长度单位，且以极点O 为原点，以极轴为x 轴正半轴）中，若Q 为线段OP 的中点，求点Q 轨迹的直角坐标方程。

极坐标与参数方程知识点、题型总结

极坐标与参数方程知识点、题型总结 一、伸缩变换：点),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 ???>?='>?='). 0(,y y 0),(x,x :μμλλ?的作用下，点),(y x P 对应到点),(y x P '''，称伸缩变换 一、 1、极坐标定义：M 是平面上一点，ρ表示OM 的长度，θ是M Ox ∠，则有序实数实 数对(,)ρθ,ρ叫极径，θ叫极角；一般地，[0,2)θπ∈，0ρ≥。，点P 的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ) 2、直角坐标?极坐标 cos sin x y ρθρθ=??=?2、极坐标?直角坐标222 tan (0)x y y x x ρθ?=+??=≠?? 3、求直线和圆的极坐标方程：方法一、先求出直角坐标方程，再把它化为极坐标方程 方法二、（1）若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为： ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)（2）若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r 的圆方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ02－r 2＝0 二、参数方程：（一）．参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标y x ,都是某个变数t 的函数???==), (),(t g y t f x 并且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确 定的点),(y x M 都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数y x ,的变数t 叫做参变数，简称参数。相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。 （二）．常见曲线的参数方程如下：直线的标准参数方程 1、过定点（x 0，y 0），倾角为α的直线： αα sin cos 00t y y t x x +=+=（t 为参数） （1）其中参数t 的几何意义：点P （x 0，y 0），点M 对应的参数为t ，则PM =|t| (2)直线上12,P P 对应的参数是12,t t 。|P 1P 2|＝|t 1－t 2|＝ t 1＋t 2 2 －4t 1t 2.