初三数学一元二次方程讲义教案章节练习总练习

一元二次方程的解法

【要点综述】：

一元二次方程和一元一次方程都是整式方程，它是初中数学的一个重点内容，也是学生今后学习数学的基础。

在没讲一元二次方程的解法之前，先说明一下它与一元一次方程区别。根据定义可知，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程，一般式为：

。

一元二次方程有三个特点：(1)只含有一个未知数；(2)未知数的最高次数是2；(3)是整式方程。

因此判断一个方程是否为一元二次方程，要先看它是否为整式方程，若是，再对它进行整理，如能整理为

的形式，那么这个方程就是一元二次方程。

1、下列方程中哪些是一元二次方程？试说明理由。

（1）3523-=+x x ,（2）42=x ,（3）2112

x x x =-+-,（4）22)2(4+=-x x

(5)3x 2+x=20，(6)2x 2-3xy+4=0，(7)x 2-

1x =4，(8)x 2=0，(9)x 2-3

x

+3=0 2、将下列方程化为一般形式，并分别指出它们的二次项系数、一次项系数和常数项：

1）y y =26 2）（x-2）(x+3)=8 3）2

)2()43)(3(+=-+x x x

4)x x 3222-= 5)2x(x-1)=3(x-5)-4 6) ()()()()231122

2

-+=+--y y y y

3、()x x 6542

=+-化成一般形式是___________________________________，其中一

次项系数是___________

4、方程02

=-x x 的一次项系数是___________，常数项是__________

下面再讲一元二次方程的解法。解一元二次方程的基本思想方法是通过“降次”，将它

化为两个一元一次方程。

一元二次方程的基本解法有四种：1、直接开平方法；2、配方法；3、公式法；4、因式分解法。如下表： 方法 适合方程类型

注意事项

直接开平方法

≥0时有解，＜0时无解。

配方法

二次项系数若不为1，必须先把系数化为1，再进行配方。

公式法

≥0时，方程有解；

＜0

时，方程无解。先化为一般形式再用公式。 因式分解法

方程的一边为0，另一边分解成两个一次因式的积。

方程的一边必须是0，另一边可用任何方法分解因式。

例1：用开平方法解下面的一元二次方程。

（1）；（2）

（3）；（4）

分析：直接开平方法就是用直接开平方求解一元二次方程的方法。用直接开平方法解形如的方程，

其解为。通过观察不难发现第（1）、（2）两小题中的方程显然用直接开平方法好做；

第（3）题因方程左边可变为完全平方式，右边的121＞0，所以此方程也可用直接开平方法解；

第（4）小题，方程左边可利用平方差公式，然后把常数移到右边，即可利用直接开平方法进行解答了。

解：（1）

∴（注意不要丢解）

由得，

由得，

∴原方程的解为：，

（2）

由得，

由得

∴原方程的解为：，

（3）

∴，

∴

∴，

∴原方程的解为：，

（4） ∴，即

∴

，

∴，

∴原方程的解为：，

说明：解一元二次方程时，通常先把方程化为一般式，但如果不要求化为一般式， 像本题要求用开平方法直接求解，就不必化成一般式。用开平方法直接求解，应注意方程两边同时开方时，

只需在一边取正负号，还应注意不要丢解。 【附训练典题】

1、用直接开平方法解下列方程：

（1）； （2）

； （3）

； （4）

.

（5）2225x =； （6）2

1440y -=． （7）2

(1)9x -=； （8）2

(21)3x +=； （9）2

(61)250x --=． （10）2

81(2)16x -=． （11）2

5(21)180y -=； （12）

21

(31)644

x +=； （13）26(2)1x +=； （14）2

()(00)ax c b b a -=≠，≥ 例3 ：用配方法解下列一元二次方程。 （1）

；（2）

分析：用配方法解方程，应先将常数移到方程右边，再将二次项系数化为1，

变为的形式。第（1）题可变为，然后在方程两边同时加上一次项系数的一半的平方，

即：，方程左边构成一个完全平方式，右边是一个不小于0的常数，

即：，

接下去即可利用直接开平方法解答了。第（2）题在配方时应特别注意在方程两边同时加上一次项系数的一半的平方。

解：（1）

二次项系数化为1，移常数项得：，

配方得：，即

直接开平方得：

∴，

∴原方程的解为：，

（2）

二次项系数化为1，移常数项得：

方程两边都加上一次项系数一半的平方得：

即

直接开平方得：

∴，

∴原方程的解为：，

说明：配方是一种基本的变形，解题中虽不常用，但作为一种基本方法要熟练掌握。 配方时应按下面的步骤进行：先把二次项系数化为1，并把常数项移到一边； 再在方程两边同时加上一次项系数一半的平方。最后变为完全平方式利用直接开平方法即可完成解题任务。

【附训练典题】

1. 填空

（1）28x x ++（ ）=（x + ）2

．

（2）22

3x x -

+（ ）＝（x - ）2． （3）2b y y a

-+（ ）＝（y - ）2

．

2. 用适当的数（式）填空：

23x x -+

(x =-

2)； 2x px -+

＝(x -

2)

23223(x x x +-=+

2)+

．

3. 方程22

103

x x -

+=左边配成一个完全平方式，所得的方程是

．

4. 用配方法解下列方程

210x x +-= 23610x x +-= 21

(1)2(1)02

x x ---+

= 23610x x --= 22540x x --= 210x x --=

23920x x -+=

.

例4：用公式法解下列方程。

（1）；（2）

分析：用公式法就是指利用求根公式，使用时应先把一元二次方

程化成一般形式，

然后计算判别式的值，当

≥0时，把各项系数的值代入求

根公式即可得到方程的根。

但要注意当＜0时，方程无解。第（1）小题应先移项化为一般式，再计算出

判别式的值，

判断解的情况之后，方可确定是否可直接代入求根公式；第（2）小题为了避免分数运算的繁琐，

可变形为，求出判别式的值后，再确定是否可代入求根公式求解。

解：（1），

化为一般式：

求出判别式的值：＞0

代入求根公式：，

∴，

（2）

化为一般式：

求出判别式的值：＞0

∴

∴，

说明：公式法可以用于解任何一元二次方程，在找不到简单方法时，即考虑化为一般形式后使用公式法。

但在应用时要先明确公式中字母在题中所表示的量，再求出判别式的值，解得的根要进行化简。

【附训练典题】

1、用公式法解下列方程：

（1）；（2）；

（3）；（4）.

例5：用分解因式法解下列方程。

（1）；（2）

分析：分解因式法是把方程变形为一边是零，把另一边的二次三项式分解成两个一次因式的积的形式，

让两个一次因式分别等于零，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程所得到的根，

就是原方程的两个根。第（1）题已经是一般式，可直接对左边分解因式；

第（2）题必须先化简变为一般式后再进行分解因式。

解：（1）

左边分解成两个因式的积得：

于是可得：，

∴，

（2）

化简变为一般式得：

左边分解成两个因式的积得：

于是可得：，

∴，

说明：十字相乘法

ABx2+（AD+BC）+CD=0 ＝＞(Ax+C）（Bx+D）=0

Ax C

↖↗

↙↘

Bx D (A,B,C,D不一定都是正数)

使用分解因式法时，方程的一边一定要化为0，这样才能达到降次的目的。

把方程一边化为0，把另一边分解因式的方法可以用于解今后遇到的各类方程。因为这是把方程降次的重要手段之一。

从上述例题来看，解一元二次方程的基本思路是向一元一次方程转化，

转化的方法主要为开平方法和使方程一边为0，把方程另一边分解因式，配方，或利用求根公式法。

另外，在解一元二次方程时，要先观察方程是否可以应用开平方、分解因式等简单方法，找不到简单方法时，

即考虑化为一般形式后使用公式法。

总结：直接开平方法是最基本的方法。公式法和配方法是最重要的方法。公式法适用于任何一元二次方程，在使用公式法时，一定要把原方程化成一般形式，以便确定系数，而且

在使用公式前应先计算出判别式的值，以便判断方程是否有解。配方法是推导公式的工具，掌握公式法后就可以直接用公式法解一元二次方程了，所以一般不用配方法解一元二次方程。但是，配方法在学习其他数学知识时有广泛的应用，是初中要求掌握的重要的数学方法之一。最常用的方法还是因式分解法，在应用因式分解法时，一般要先将方程写成一般式，同时应使二次项系数化为正数。因此在解一元二次方程时，首先观察是否可以应用开平方、分解因式等简单方法，找不到简单方法时，即考虑化为一般形式后使用公式法。通常先把方程化为一般式，但如果不化为一般式就可以找到简便解法时就应直接求解。

【附训练典题】

（1）； （2）

； （3）

； （4）

.

【选用适当的方法解下列方程】 （1）； （2）； （3）； （4）

；

（5）； （6）

；

（7）

； （8）

（9）0342

=+-x x ； （10）()()2465-=-+x x ； （11）()()03232

=-+-x x x （12）06262

=--x x

（13）23(1)12x +=； （14）2

410y y ++=； （15）2884x x -=； （16）2

310y y ++= （17）()9322

=-x ； （18）162

=-x x ；

（19）051632

=++x x ； （20）()()2

2

31623-=+x x

（21）(3)(1)5x x +-=； （22）2

31060x x -+=

（23）2(3)2(3)x x x -=-； （24）

2

(3)2(1)7x x x --+=- （25）

7

1618151++

+=+++x x x x ； （26）5

2515+=+x x . 例5、已知，解关于的方程

。

分析：注意满足

的的值将使原方程成为哪一类方程。

解：由得：或

当时，原方程为，即，解得

当

时，原方程为

，即

，

解得

，.

说明：由本题可见，只有

项系数不为0，且为最高次项时，方程才是一元二次方程，

才能使用一元二次方程的解法，题中对一元二次方程的描述是不完整的，应该说明最高

次项系数不为0。

通常用一般形式描述的一元二次方程更为简明，即形如的方程

叫作关于的一元二次方程。

若本题不给出条件

，就必须在整理后对

项的字母系数分情况进行讨论。

【附训练典题】（注：当要求方程为一元一次方程时，要求二次项系数为零且一次项系数不为零）

1、方程（2a —4）x 2 —2bx+a=0, 在什么条件下此方程为一元二次方程？在什么条件下此方程为一元一次方程？

2、()()023112

=++++-m x m x m ，当m=________时，方程为关于x 的一元一次

方程；当m__________时，方程为关于x 的一元二次方程

3、 求证：当m 取任何实数时，一元二次方程0422=-++m mx x 有两个不相等的实数根．

4、当=k 时，方程05)3()4(2

2=+-+-x k x k 不是关于X 的一元二次方程． 一元二次方程根的判别式（△＝b 2－4ac ） 当△＞0时，方程有两个不相等的实数根

当△＝0时，方程有两个相等的实数根（有一个根） 当△＜0时，方程无实数根

当一次项系数为零时，方程两个根为互为相反数

1、已知关于x 的一元二次方程2

2

(21)10m x m x +-+=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是 ．

A ．x ≥7

B ．x ≤7

C ．x>7

D ．x<7

2、关于x 的方程0132

=+-x x _____实数根.（注：填写“有”或“没有”） 3、一元二次方程0132=-+-m x x .

（1）若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围. （2）若方程有两个相等的实数根，求此时方程的根

4．已知方程062)1(2=+++-k x k x 的两个实根的平方和为13，求k 的值． 5、若方程0122=+-+m x x 没有实数根，求证方程1122=++m mx x 一定有两个不相等的实数根．

6、 已知关于x 的方程0)3(22

=++-mn x n m x ,且0>>n m .证明:这个方程有两个不相等的实数根;证明:这个方程的两根中,有一个比n 大,另一个比n 小．

7、不解方程，判断一元二次方程022632

=+--x x x 的根的情况是 ． 8、(2004·锦州市)若关于X 的方程052=++k x x 有实数根，则k 的取值范围是 ．

9．已知：当m 时，方程0)2()12(2

2

=-+++m x m x 有实数根． 10．关于x 的方程0)4(2)1(2

2

2

=++-+k kx x k 的根的情况是 ．

11、已知关于2的方程0)12(2

2

=+--m x m x 有两个不相等的实数根，那么m 的最大整数值是

12、不解方程，判别下列方程根的情况．

5)3(2)1(=+x x ;0352)2(2=--x x

;04129)3(2=++x x .0)2()12)(4(2=++-y y y

（5）1522--=+x x ；（2）213=-+-x x ；（6）0231=---x x ．

综合运用：

（1）与数字有关的问题

1、一个两位数，十位数字与个位数字之和是5，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新两位数与原来的两位数的乘积为736，求原来的两位数

2、一个两位数，个位数字比十位数字大3，个位数字的平方恰好等于这个两位数，则这个两位数是多少？

3、某两位数的十位数字是082

=-x x 的解，则其十位数字是多少；某两位数的个位数字是方程082

=-x x 的解，则其个位数是多少？

4、一个两位数，个位上数字比十位数字小4，且个位数字与十位数字的平方和比这两位数小4，设个位数字为x ，求这个两位数？

5、一个两位数，个位上的数字是十位数字的平方还多1，若把个位上的数字与十位上的数

字对调，所得的两位数比原数大27，求原两位数？

6、一个三位数，百位上数字为2，十位上数字比个位上数字小3，这个三位数个位、十位、百位上的数字之积的6倍比这个三位数小20，求这个三位数？

7、三个连续奇数，它们的平方和为251，求这三个数？

8、两个数的和为16，积为48，则这两个正整数各是多少？

9、若两个连续正整数的平方和为313，则这两个正整数的和是多少？

10、三个连续正整数中，前两个数的平方和等于第三个数的平方，则这三个数从小到大依次是多少？

11、三个连续偶数，使第三个数的平方等于前两个数的平方和，求这三个数？

12、有四个连续整数，已知它们的和等于其中最大的与最小的两个整数的积，求这四个数？

（2）与几何图形面积有关的问题 1、已知a 、b 、c 是ABC ?的三条边，且方程0)(2)(2

=-+-+-b a x a b x b c 有两个相等实数根，那么，这个三角形是

2、若一个三角形的三边长均满足方程0862

=+-x x ，则此三角形的周长为_____________ 3、设a 、6、c 为三角形的三条边长．求证：方程0)(2

2

2

2

2

2

=+-++c x a c b x b 无实根． 4．若方程0)(2)(2

2

2

2

2

2

2

=-+-++b c x c b x C a 有两个相等的实数根，且a 、b 、c 是

ABC ?的三条边，求证：ABC ?是等腰三角形．

5、一个直角三角形三边的长是三个连续整数，求这三条边的长和它的面积

6、如右图，是一个正方体的展开图，标注了字母A 的面是正方体的正面，

如果正方体的左面和右面所标注代数式的值相等，则x 的值是 。

7、如图，在矩形ABCD 中，已知3AB=2BC ，并且AB 、BC 的长是

方程02)2(2

=+--k x k x 的两个根，求k 的值．

8、直角三角形两直角边的比是8：15，而斜边的长等于6.8cm ，那么这个直角三角形的面积等于多少？

9、直角三角形的面积为6，两直角边的和为7，则斜边长为多少？ 3、用一条长12厘米的铁丝折成一个斜边长是5厘米的直角三角形，则两直角边的长是多少？ 10、一个三角形的两边长为2和4，第三边长是方程0121022

=+-x x 的解，则三角形的周长为多少

11、若三角形的三边长均满足方程0862

=+-x x ，则此三角形的周长为多少？

12、一块长80cm ，宽60cm 的薄钢片，在四个角截去四个相同的小正方形，然后将四边折起，做成如图所示的底面积是15002

cm 且无盖的长方体盒子. 求截去的小正方形的边长.

A C D

13．已知三角形两边长分别为2和4，第三边是方程x 2-4x+3=0的解，求这个三角形的周长． 14、从一块正方形的木板上锯下2m 宽的长方形木条，剩下部分的面积是482

m ，则这块木板的面积是多少？

（3）一元二次方程实际应用练习题：

1、一块矩形的地，长是24米，宽是12米，要在它的中央划一块矩形的花坛，四周铺上草地，其宽都相同，花坛占大块矩形面积的

9

5

，求草地的宽？ 2、有一间长18m ，宽7m 的会议室，在它的中间铺一块地毯，地毯的面积是会议室面积的

3

1，四周未铺地毯处的宽度相同，则求所留宽度是多少？

5、一根铁丝长48cm ，围成一个面积为140cm 2

的矩形，求这个矩形的长和宽分别是多少？ 6、建一个面积为480平方米的长方形存车处，存车处的一面靠墙，另三面用铁栅栏围起来，已知铁栅栏的长是92米，求存车处的长和宽各是多少？

7、将进货单价为30元的商品按40元售出时，每天能卖出500个. 已知这种商品每涨价1元，其每天销售量就减少10个，为了每天能赚取8000元的利润，且尽量减少库存，售价应定为多少？

7、某商店的童装按标价的九折出售，仍可获利20%，若进价为每件21元，求每件标价为多少元？

8、一个小组有若干个人，新年互送贺卡一张，已知全组共送贺卡72张，求这个小组有多少人？ 9、生物兴趣小组的学生，将自己收集的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共赠送了182件，求全组有多少名同学？

10、有一种植物的主干长出了若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、分支和小分支的总数是111，每个支干长出多少小分支？

11、某工厂1月份产值为50万元，采用先进技术后，第一季度产值共为182万元，2月份和3月份的平均增长率为多少？

12、某农场的产量两年从50万公斤增加到60.5万公斤，平均每年增产百分之几？？

13、某化肥厂今年一月份的化肥产量为4万吨，第一季度共生产化肥13.2万吨，问2、3月份平均每月的增长率是多少？

14、某超市一月份的营业额为200万元，一月、二月、三月的营业额共1000万元，求平均每月增长率为多少？

15、某种粮大户今年产粮20万千克，计划后年产粮达到28.8万千克，若每年粮食增产的百分率相同，求平均每年增产的百分数？

16、某钢厂今年一月份产量为4万吨，第一季度共生产13.24万吨，问二、三月份平均每月的增长率是多少？

17、如图，在四边形ABCD 中，AB=BC ，对角线BD 平分 ∠ABC ，P 是BD 上一点，过点P 作PM ⊥AD ，PN ⊥CD ，垂足分别为M 、N 。

（1） 求证：∠ADB=∠CDB ；

（2）若∠ADC=90?，求证：四边形MPND 是正方形。 18、如图，在

ABCD 中，AB=6cm ，AD=9cm ，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，交DC 的

延长线于点F ，BG ⊥AE ，垂足为G ，BG=42cm ，则EF ＋CF 的长为 cm ，说明理由。

19、市政府计划2年内将人均住房面积由现在的10m 2提高到14.4m ，求每年人均住房面积增长率．

分析：设每年人均住房面积增长率为x ．?一年后人均住房面积就应该是10+?10x=10（1+x ）；二年后人均住房面积就应该是10（1+x ）+10（1+x ）x=10（1+x ）2

解：设每年人均住房面积增长率为x ，

20、 如图，在△ABC 中，∠B=90°，点P 从点B 开始，沿AB 边向点B 以1cm/s?的速度移动，点Q 从点B 开始，沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动，如果AB=6cm ，BC=12cm ，?P 、Q 都从B 点同时出发，几秒后△PBQ 的面积等于8cm 2？

B

C

A

Q

https://www.wendangku.net/doc/97117311.html,

P

21、某公司一月份营业额为1万元，第一季度总营业额为3.31万元，求该公司二、三月份营业额平均增长率是多少？

22、某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙（墙长25m ），?另三边用木栏围成，木栏长40m ．

（1）鸡场的面积能达到180m 2吗？能达到200m 吗？ （2）鸡场的面积能达到210m 2吗？

22、在一次手工制作中，某同学准备了一根长4米的铁丝，由于需要，现在要制成一个矩形方框，并且要使面积尽可能大，你能帮助这名同学制成方框，?并说明你制作的理由吗？ 23．新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500?元，?市场调研表明：?当销售价为2900元时，平均每天能售出8台；而当销售价每降50元时，平均每天就能多售出4台，商场要想使这种冰箱的销售利润平均每天达5000元，每台冰箱的定价应为多少元？

24．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，?为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当降价措施，经调查发现，?如果每件衬衫每降价一元，商场平均每天可多售出2件．

①若商场平均每天赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？

②每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？请你设计销售方案．

25、某电厂规定：该厂家属区的每户居民一个月用电量不超过A 千瓦时，?那么这户居民这个月只交10元电费，如果超过A 千瓦时，那么这个月除了交10?元用电费外超过部分还要按每千瓦时

100

A

元收费． （1）若某户2月份用电90千瓦时，超过规定A 千瓦时，则超过部分电费为多少元？（?用A 表示）

（2月份 用电量（千瓦时） 交电费总金额（元） 3 80 25 4

45

10

根据上表数据，求电厂规定的A 值为多少？

26、今年初，湖北武穴市发生禽流感，某养鸡专业户在禽流感后，打算改建养鸡场，建一个面积为150m 2的长方形养鸡场．为了节约材料，鸡场的一边靠着原有的一条墙，墙长am ，另三边用竹篱围成，如果篱笆的长为35m ，问鸡场长与宽各为多少？（其中a ≥20m ） 27．如图所示，某小区居民筹集资金1600元，计划在一块上下底分别为10米，20米的梯形空地上种植花木．

（1）他们在ΔAMD 和ΔBMC 地带上种植太阳花，单价为8元2

/m ，当ΔAMD 地带种满花后，共花160元，请计算ΔBMC 地带种花所需费用；

（2）若其余地带有玫瑰和茉莉两种花可供选择，单价分别为12元2

/m 和10元2

/m ，应选择种哪种花木，刚好用完所筹集的资金？

（第32题）

28．A 、B 两地间的路程为150千米，甲、乙两车分别从A 、B 两地同时出发，相向而行，2小时相遇；相遇后，各以原来速度继续行驶，甲车到达B 地立即原路返回，返回时的速度是原来的2倍，结果甲乙两车同时到达A 地，求甲车的原速度和乙车的速度．

29．某农户在山上种了脐橙果树44株，现进入第三年收获，收获时，先随意采摘了5株果树上的脐橙称的每株果树上的脐橙重量如下：(单位：千克) 35，35，34，39，37． (1)根据样本平均数估计这年脐橙的总产量约是多少？

(2)各市场上脐橙售价为每千克5元，则这年该农户脐橙收入是多少元？

(3)已知该农户第一年卖脐橙收入为5500元，估计第二年、第三年卖脐橙收入的平均增长率是多少？

30．某广告公司设计一幅周长为12米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米1000元．设矩形一边为x 米，面积为S 平方米．

(1)求出S 与x 之间的函数关系式，并确定自变量x 的取值范围；

(2)为使广告牌美观、大方，要求做成黄金矩形，请你按要求设计，并计算出可获得的设计费约是多少元？(精确到元)

(参考资料：若矩形的长为a ，宽为b ，且满足a 2＝b (a ＋b )，则称这样的矩形为黄金矩形；5≈2.2))

31、某种商品因换季准备打折出售，如果按原价的七五折出售，将赔25元，二按原价的九折出售，将赚20元，则这种商品的原价是（ ）

32、百货商店服装柜在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元.为了迎接“六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存.经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件.要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？

33、某农户在山上种了脐橙果树44株，现进入第三年收获。收获时，先随意采摘5株果树上的脐橙，称得每株果树上的脐橙质量如下(单位：千克)：35，35，34，39，37

(1)根据样本平均数估计，这年脐橙的总产量约是多少?

(2)若市场上的脐橙售价为每千克5元，则这年该农户卖脐橙的收入将达多少元?

(3)已知该农户第一年卖脐橙的收入为5500元，根据以上估算，试求第二年、第三年卖脐橙收入的年平均增长率。

三、综合提高题

1、已知方程2（m+1）x 2+4mx+3m=2，根据下列条件之一求m 的值．

（1）方程有两个相等的实数根；（2）方程有两个相反的实数根； （3）方程的一个根为0．

2．如果a 、b 2-12b+36=0，那么ab 的值是_______． 3、若关于2的方程04

1)1(2

2=+

--a x a x 有两个不相等的实数根，试化简代数式 .441912422a a a a +--+-

4、当m 是什么整数时，0442=+-x mx 与0544422=--+-m m mx x 的根都是整数?

5、．求方程01493488114142

2=++-+-y x y xy x 的实数解．

6、设m 、k 为有理数，当k 为何值时，关于z 的方程0423442

2=+-++-k m m x mx x

的根为有理数?

7、已知关于x 的一元二次方程.012

=-+kx x

(1)求证：方程有两个不相等的实数根；

(2)设方程的两根分别为z ，，X 。，且满足,2121x x x x ?=+求k 的值

8、如果x 2-4x+y 2

，求（xy ）z 的值．

9、已知：x 2+4x+y 2-6y+13=0，求

22

2x y

x y -+的值．

10、用公式法解关于x 的方程：x 2-2ax-b 2+a 2=0．

11、设x 1，x 2是一元二次方程ax 2+bx+c=0（a ≠0）的两根，

（1）试推导x 1+x 2=-

b a ，x 1·x 2=

c a

； （2）?求代数式a （x 13+x 23）+b （x 12+x 22）+c （x 1+x 2）的值．

12、在参加足球世界杯预选赛的球队中，每两支队都要进行两次比赛，共要比赛30

场，则参赛队有 支。

13、关于x 的方程012)2(2=-+-+k kx x k 的两个实数根为α、β，且22βα=,求k 的值.

14、若二次三项式x 2＋4x ＋k 在实数范围内可以分解为两个一次式的积，则k 的取值范围是______．

15、如果关于x 的二次三项式x 2＋kx ＋k ＋3是一个完全平方式，那么k 的值__________. 16、若方程42=-+

x m 无实数根,则m 的取值范围是_________.

17、

=7-x ，则x 的取值范围是（ ） 18、若2x 2-5x ＋

1

5282

+-x x -5＝0，则2x 2-5x -1的值为_________．

19、已知???==13y x 是方程组???=-=+0

522

2y m x y x 的解,那么m 的值是________. 20、如果关于x 的一元二次方程2x 2

＋3x ＋5m ＝0的两个实数根都小于1，那么实数m 的取值范围是______．

21、若一元二次方程2x 2-6x ＋3＝0的两根为α 、β ，则(α -β )2的值为

例4：已知关于x 的一元二次方程(m-1)x 2+3x-5m+4=0有一根为2，求m 。

22、若c （c ≠0）为关于x 的一元二次方程x 2+bx+c=0的根，则c+b 的值为（ ） 23、、在实数范围内定义一种运算 “*” ， 其规则为 2

2

a b a b *=-, 根据这个规则， 方程（x+3）*2=0的解为 。

24、．若关于x 的方程04)3(22=-++x t x 的一个根为α,且62

=-

α

α,求t 的值.

25、已知方程2x 2＋3x －4 = 0，求作一个一元二次方程，使它的两根分别是已知方程两根的

平方．

26、关于x 的方程0)1(2=+--m x m m x 的两根分别为a 、b ，如果点C （a ，b ）在直线2+-=x y 上. 求m 的值.

22．关于x 的一元二次方程(2m -1)x 2-4mx ＋m ＋3＝0的两个实数根绝对值相等，求m 的值．

27、已知：关于x 的方程022=++m x k x 的两个实数根为α、β，关于y 的方程

04252=++-m ky y 的两个实数根为3+α、3+β．求k 、m 的值．

28、关于x 的方程 (a+c )x 2＋bx －(a+2c )=0的两根之和为1，两根的平方和为2．求a :b :c ． 29、已知方程x 2＋ax ＋ｂ= 0的两个根的比是3:4，方程根的判别式的值等于2，求这个方程的两个根．

一元二次方程的定义教案

第二章一元二次方程 1 认识一元二次方程 第1课时一元二次方程的定义 【知识与技能】 探索一元二次方程及其相关概念，能够辨别各项系数，能够从实际问题中抽象出方程知识. 【过程与方法】 在探索问题的过程中使学生感受方程是刻画现实世界的一个模型，体会方程与实际生活的联系. 【情感态度】 通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用. 【教学重点】 一元二次方程的概念. 【教学难点】 如何把实际问题转化为数学方程. 一、情境导入,初步认识 问题1：有一块矩形铁皮，长100cm，宽50cm.在它的四个角分别切去一个正方形，然后将四周突出的部分折起，就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积是3600cm2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？ 问题2：一个长为10米的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，如果梯子的顶端下滑1米，那么梯子的底端滑动多少米？ 你能设出未知数，列出相应的方程吗？ 【教学说明】为学生创设了一个回忆、思考的情境，又是本课一种很自然的引入，为本课的探究活动做好铺垫. 二、思考探究，获取新知

你能通过观察下列方程得到它们的共同特点吗？ （1）(100-2x)(50-2x)＝3600 （2）（x+6）2+72=102 【教学说明】 分组合作、小组讨论，经过讨论后交流小组的结论，可以发现上述方程都不是所学过的方程，特点是两边都是整式，且整式的最高次数是2. 【归纳结论】方程的等号两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2的方程叫作一元二次方程； 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0（a、b、c为常数，a≠0） 这种形式叫作一元二次方程的一般形式.其中ax2是二次项，a是二次项的系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项. 活动中教师应重点关注： (1) 引导学生观察所列出的两个方程的特点； (2)让学生类比前面复习过的一元一次方程定义得到一元二次方程定义； (3)强调定义中体现的3个特征： ①整式；②一元；③2次. 【教学说明】 让学生充分感受所列方程的特点，再通过类比的方法得到定义，从而达到真正理解定义的目的. 三、运用新知，深化理解 1.下列方程是一元二次方程的有. （1）x2+1/x-5=0（2）x2-3xy+7=0 （3）=4（4）m3-2m+3=0 x2-5=0（6）ax2-bx=4 （5） 2 解答：（5） 2.已知方程（m+2）x2+（m+1）x-m=0，当m满足_______时，它是一元一次方程；当m满足_______时，它是一元二次方程. 解析：当m+2=0，即m=-2时，方程是一元一次方程；当m+2≠0，即m≠

教案 一元二次方程的应用——利润问题

一元二次方程的应用——利润问题教学设计 （江西省赣州市安远县第三中学胡周明 342100） 教学目标： 1.知识与技能目标 （1）以一元二次方程解决的实际问题为载体，使学生初步掌握数学建模的基本方法. （2）通过对一元二次方程应用问题的学习和研究，让学生体验数学建模的过程，从而学会发现、提出日常生活、生产或其他学科中可以利用一元二次方程来 解决的实际问题，并正确地用语言表述问题及其解决过程. 2.过程与方法目标 通过自主探索、合作交流，使学生经历动手实践、展示讲解、探究讨论等活动， 发展学生数学思维，培养学生合作学习意识、动手、动脑习惯，激发学生学习 热情。 3.情感态度与价值观目标 使学生认识到数学与生活紧密相连，数学活动充满着探索与创造，让他们在学 习活动中获得成功的体验，建立自信心，从而使学生更加热爱数学、热爱生活. 教学重点： 列一元二次方程解利润问题应用题. 教学难点： 发现利润问题中的等量关系，将实际问题提炼成数学问题. 关键：建立一元二次方程的数学模型 教法： 创设情境——引导探究——类比归纳——鼓励创新. 学法： 自主探索——合作交流——反思归纳——乐于创新. 教学过程： 一、复习回顾，引入新知 1、提问1、以前我们学习了列几次方程解应用题？ ①列一元一次方程解应用题； ②列二元一次方程组解应用题； ③列分式方程解应用题 提问2、列方程解应用题的基本步骤怎样 ①审（审题）； ②找（找出题中的量，分清有哪些已知量、未知量，哪些是要求的未知量和所 涉及的基本数量关系）； ③设（设元，包括设直接未知数和间接未知数）； ④表（用所设的未知数字母的代数式表示其他的相关量）； ⑤列（列方程）； ⑥解（解方程）； ⑦检验（注意根的准确性及是否符合实际意义）. 2．某糖厂2002年食糖产量为at，如果在以后两年平均增长的百分率为x，?那么预计2004年的产量将是________． 3. 某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500

21.1一元二次方程教案.1一元二次方程教案.doc

21.1 一元二次方程 一、内容和内容解析 1．内容：一元二次方程的概念，一元二次方程的一般形式． 2．内容解析：一元二次方程是方程在一元一次方程基础上“次”的推广，同时它是解决诸多实际问题的需要，为勾股定理、相似等知识提供运算工具，是二次函数的基础．21 世纪教育网版权所有针对一系列实际问题，建立方程，引导学生观察这些方程的 共同特点，从而归纳得出一元二次方程的概念及一般形式．在这个过程中，通过归纳具 体方程的共同特点，得出一元二次方程的概念，体现了研究代数学问题的一般方法；一 般形式ax2+bx+c=0（a≠0）也是对具体方程从“元”（未知数的个数）、“次数”和“项 数”等角度进行归纳的结果；a≠0的条件是确保满足“二次”的要求，从另一个侧面为理解一元二次方程的概念提供了契机． 二、目标和目标解析 1．教学目标 （1）体会一元二次方程是刻画实际问题的重要数学模型，初步理解一元二次方程的 概念． （2）了解一元二次方程的一般形式，会将一元二次方程化成一般形式． 2．目标解析 （1）通过建立一元方程解决相关的实际问题，让学生体会到未知数相乘导致方程的 次数升高，继而产生一元二次方程．学生能举例说明一元二次方程存在的实际背景，感 受一元二次方程是重要的数学模型，体会到学习的必要性 （2）将不同形式的一元二次方程统一为一般形式，学生从数学符号的角度，体会概 括出数学模型的简洁和必要，针对“二次”规定a≠0的条件，完善一元二次方程的概念．学生能够将一元二次方程整理成一般形式，准确的说出方程的各项系数，并能确定简单的 字母系数方程为一元二次方程的条件． 三、教学问题诊断分析 一元二次方程是学生学习的第四个方程知识，首先在七年级学习了一元一次方程， 接着扩展“元”得到二元一次、三元一次方程，完成了二元一次方程组的学习，八年级 分式的教学，使得对实际问题的刻画从整式推广到有理式，分式方程得以出现，到一元 二次方程第一次实现“次”的提升．学生必然存在着疑问，为什么有些背景列得的方 程是二次的呢？教学中要直面学生的疑问，显化学生的疑问，启发学生自己解释疑问， 才能避免“灌输”，体现知识存在的必要性，增强学好的信念． 培养建模思想，进一步提升数学符号语言的应用能力，让学生自己概括出一元二次 方程的概念，得出一般形式，对初三学生是必须的，也是适可的． 本课的教学重点应该放在形成一元二次方程概念的过程上，不能草草给出方程的概念就反复辨析练习，在概念的理解上要下功夫． 本课的教学难点是一元二次方程的概念． 四、教学过程设计 1．创设情境，引入新知 教师展示教科书本章的章前图，请同学们阅读章前问题，并回答： 问题1．这个方程属于我们学过的某一类方程吗？ 师生活动:学生整理已经学过的方程类型，复习方程的概念，元与次的概念，观察新方程，分析此方程的元与次，尝试为新方程命名． 【设计意图】使学生认识到一元二次方程是刻画某些实际问题的模型，体会学习的 必要性，在学生已有的知识的体系中合理的构建一元二次方程这一新知识． 问题2．这样的方程在其他实际问题中是否还存在呢？你能再想出一个例子吗？

解一元二次方程--教学设计(张洁)

一、关联认知经验， 明确研究方向 问题（1）我们上节课已经学习了一元二次方程的概念，按照你以往的学习经验，接下来我们要研究什么呢？ 活动（1）请每组同学写出一些一元二次方程，为了方便观察，我们统一都写成一元二次方程的一般形式. 活动（2）虽然同学们写的都是一般形式，但是我们还是发现大家能够写出看起来是各式各样的一元二次方程.当我们要研究一个比较复杂的情形时可以怎么办呢？对，分类.那么请同学试着将这些一元二次方程分分类吧. 活动（3）请每组同学领一张任务纸，讨论呈现方式后，将自己小组同学写出的所有一元二次方程进行归类。学生预案： 根据已有的学习一元一次方程和分式 方程的经验，我们是按照方程的概念、解 法和应用的顺序展开研究，下面应该研究 一元二次方程的解法了. 学生预案： 分类方法可能有： （1）按等号左边多项式所含的项数分； （2）按系数是否为零分等情况； 教师预案： 根据学生的分类情况及时回应，如果 学生分类范围比较大，追问还能细分么？ 例子中若含有x2+1=0，x2+2x=0则引导学 生细分为两种情况，例子中若不含 x2+2x=0，教师不急于补充，在接下来的环 节中引导学生自主写出. 经过讨论，发现当a>0时，根据b、c 正、零、负的不同取值，一元二次方程共 有9种不同的类型；当a<0时，依据等式 的基本性质可将方程变为a>0的情形，因 此我们可以直接对b、c进行分类,对这9 类情形进行解法探究. 学生预案： 类别的呈现会出现直接罗列、树状 图、列表格等不同的形式。 教师预案： 用实物投影全班展示,比一比谁的呈 现方式更加直观简洁。 让学生有意识的 根据自己的学习经验， 总结代数学中研究方 程的一般顺序.自主提 出研究的内容和方向. 让学生自己写一 元二次方程，是对定义 的一次复习，同时也是 训练学生的发散思维， 提高同学的参与度和 研究兴趣的一种策略. 使学生在分类活 动中逐步认识一元二 次方程的各种形式，为 探究一元二次方程的 解法布好局，学生在接 下来的学习中探究每 个不同形式的方程解 法，也就完成了整个单 元中解法探索的整合 教学.使学生的学习是 连贯的、系统的，知识 的建构是完整的. “列表格”是数学中 常用的分析问题的方 法，既有直观简洁的特 征，又能体现分类者的 思维顺序。这里，通过 填表加深学生对一元 二次方程各项系数的 认识，以及方程不同类 型的理解，并为后续研

一元二次方程教案设计

《一元二次方程》教学设计 四川省旺苍县英萃中学校何剑 教学目标： 1、知识与技能目标 （1）通过对实际问题的分析，感受方程作为刻画现实世界有效模型的意义，通过观察、归纳一元二次方程的概念。 （2）能对具体情景中的数学信息作出合理的解释，能用方程来描述和刻画事物间的等量关系。 2、过程与方法目标 体验数学与日常生活密切相关的联系，认识到许多问题可以用数学方法解决，体验实际问题“数学化”的过程。 3、情感态度与价值观 体会在解决问题的过程中同学间合作交流的重要性，体验数学活动的成功经验，激发学生的学习激情。 教学重点： 1、理解什么是一元二次方程，以及一元二次方程的有关概念。 2、经历探索等量关系式，列方程的过程。 教学难点： 分析与确定问题中的等量关系，能用方程来描述和刻画事物间的等量关系。 教学方法与教学手段 互动式、合作探究；投影仪

教学过程： 一、情景导入，回顾概念 1、求课桌的长和宽 教师利用投影仪向学生展示：你的课桌面积为0.24m 2,已知长比宽多20cm ，求课桌的长和宽是多少？ 学生根据老师给出的信息，寻找正确答案。 老师提问：你是怎样求出课桌的长和宽的？ 运用方程： 设课桌的宽为xm ，长比宽多0.2m ，则长应为(x+0.2)m ，要求课桌的面积，就要用到矩形面积公式：长×宽＝面积，就可以得到方程：x(x+0.2)=0.24，解出方程就可以求得宽。 2、求握手的人数。 游戏：请4个同学上讲台，每两人握一次手，看一共要握多少次手。 学生根据握手的次数，很容易得到答案是6次。 变式训练：一个小组的女生，每两人握一次手，共握了15次，求这个小组有女生多少人。 运用方程：设有x 个女生，每个女生要与其他剩下的(x-1)个女生握手，所以一共要握x(x-1)次，由于甲和乙握手后就不再需要乙和甲握手，所以共握手次数应为)1(2 1-x x 次，则方程为： 15)1(21=-x x ，整理得302=-x x 解出方程便得到女生人数。 请学生回顾：什么是一元二次方程。

一元二次方程的应用教案

个性化教案（内部资料，存档保存，不得外泄） 海豚教育个性化教案编号：

教案正文： 一元二次方程的应用 第一课时 一、解应用题步骤： 1．审题； 2．设未知数，包括直接设未知数和间接设未知数两种； 3．找等量关系列方程； 4．解方程； 5．判断解是否符合题意； 6．写出正确的解． 二、常见类型 (一)平均率问题a(1±x)n=b 1、某房屋开发公司经过几年的不懈努力，开发建设住宅面积由2000年4万平方米，到2002年的7万平方米。设这两年该房屋开发公司开发建设住宅面积的年平均增长率为x ，则可列方程为________________； 2、宏欣机械厂生产某种型号的鼓风机，一月至六月份的产量如下： 月份一二三四五六 产量(台) 50 51 48 50 52 49 (1)求上半年鼓风机月产量和平均数、中位数； (2)由于改进了生产技术，计划八月份生产鼓风机72台，与上半年月产量平均数相比，七、八月鼓风机生 产量平均每月的增长率是多少？ 3、美化城市，改善人们的居住环境已成为城市建设的一项重 要内容．某市城区近几年来，通过拆迁旧房，植草，栽树，修 建公园等措施，使城区绿地面积不断增加（如图所示） (1)根据图中所提供的信息，回答下列问题：2001年底的绿地 面积为公顷，比2000年底增加了公 顷；在1999年，2000年，2001年这三年中，绿地面积增 加最多的是年； （2）为满足城市发展的需要，计划到2003年底使城区绿地 总面积达到72．6公顷，试求今明两年绿地面积的年平均增 长率．

4、王红梅同学将100元压岁钱第一次按一年定期储蓄存入银行,到期后将本金和利息取出,并用掉了50元,剩下的有全部按一年定期存入,这时存款的年利率已下降到第一次存款年利率的的一半,这样到期后可得本金和利息共63元,求第一次存款时的年利率是多少? 第二课时 (二)面积问题 1、如图12—1，在宽20米，长32米的矩形耕地上，修筑同样宽的三条路(两条纵向，一条横向，并且横向与纵向互相垂直)，把这块耕地分成大小相等的六块试验田，要使试验田的面积是570平方米，问道路应该多宽? 2、一块长和宽分别为40厘米和250厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体纸盒，使它的底面积为450平方厘米.那么纸盒的高是多少？ 3、在一幅长80cm，宽50cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图（如图所示），如果要使整个挂图的面积是2 5400cm，求金色纸边的宽为多少？

九年级数学上册-21.2-解一元二次方程(第1课时)教案-(新版)新人教版

21.1 解一元二次方程（1） 【教学目标】 知识与技能：1.会用开平方法解形如x 2=p 或(mx+n)2=p(p ≥0)的一元二次方程 2.探索利用配方法解一元二次方程的一般步骤；能够利用配方法解一元二次方程． 过程与方法： 在探索配方法时，使学生感受前后知识的联系，体会配方的过程以及方法。 情感态度价值观：体会由未知向已知转化的思想方法． 【教学重难点】 重点：用直接开平方法和配方法解一元二次方程． 难点：把一元二次方程通过配方转化为(x 十m)2＝n(n ≥0)的形式. 【教学过程】 一、复习引入 【问题】 1.求出下列各式中x 的值，并说说你的理由． （1）x 2=9 （2）x 2=5 （3）x 2=a （a>0）． 说明：复习平方根的意义，解形如x 2=n 的方程，为继续学习引入作好铺垫． 2.什么是完全平方式？ 3. 填上适当的数，使下列各式成立. （1）x 2+ 6x+ =(x+3)2 (2) x 2+8x+ =(x+ )2 （3）a 2+2ab+ =(a+ )2 (4)a 2-2ab+ =(a- )2 二、探索新知 【问题】一桶某种油漆可刷的面积为1 500 dm 2，李林用这桶油漆恰好刷完10个同样的正方体的盒子的全部 外表，你能算出盒子的棱长吗？ 分析：学生独立分析题意，发现若设正方体的棱长为x dm ，则一个正方体的表面积为6x 2 dm 2，根据一桶油 漆可以刷的面积，列出方程：10×6x 2=1500 整理，得x 2=25 x=±5 x 1=5,x 2=-5 棱长不能为负数，所以盒子的棱长为5 dm 说明：在学生列出方程后，让学生讨论方程的解法，由于所列出的方程形式比较简单，可以运用平方根的定义（即开平方法）来求出方程的解．让学生感受开平方可以解一些简单的一元二次方程． 归纳：一般地，对于方程2x p = （1）当P ＞0时，方程有两个不等的实数根 （2）当P=0时，方程有两个相等的实数根 （3）当P ＜0时，方程没有实数根 【探究】你认为怎样解方程2(3)5x +=？ 学生独立分析问题，发现和【问题】中的方程形式类似，可以利用平方根的定义，直接开平方得到 35x +=±，于是得到13x =-23x =- 归纳：在解一元二次方程时通常通过“降次”把它转化为两个一元一次方程． 说明：在学生讨论方程的解法时，注意引导学生根据降次的思想，利用配方的方法解决问题，进而体会配方法解方程的一般步骤．

一元二次方程优质课教学设计

《一元二次方程》 2.1一元二次方程教学设计 一、内容和内容解析 （1）内容：一元二次方程的概念, 一元二次方程的一般形式 （2）内容解析：一元二次方程是中学数学的主要内容之一，在初中数学中占有重要地位。我们从知识的发展来看，学生通过一元二次方程的学习，可以对已学过实数、一元一次方程、整式、二次根式等知识加以巩固，同时一元二次方程又是今后学生学习可化为一元二次方程的方程、一元二次不等式、二次函数以及高次方程等知识的基础。初中数学中，一些常用的解题方法、计算技巧以及主要的数学思想，在本章教材中都有比较多的体现、应用和提升。我们从知识的横向联系上来看，学习一元二次方程对其它学科有重要意义。 二、目标和目标解析 （1）目标：理解一元二次方程的概念；了解一元二次方程的一般形式；会把一个一元二次方程化为一般形式；会判断一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项。（2）目标解析： 1．通过实际问题的解决，让学生体会到未知数相乘（或因面积问题）导致方程的次数升高，从而说明一元二次方程存在的实际背景，感受一元二次方程是重要的数学模型，体会到学习的必要性． 2．将不同形式的一元二次方程统一为一般形式，学生从数学符号的角度，体会概括出数学模型的简洁和必要，针对“二次”规定a≠0的条件，完善一元二次方程的概念。学生能够将一元二次方程整理成一般形式，准确的说出方程的各项系数，并能确定简单的字母系数方程为一元二次方程的条件． 三、学情分析 教学对象是九年级学生，他们有强烈的好奇心和求知欲，当他们在解决实际问题时，发现列出的方程不再是以前所学过的一元一次方程或是可化为一元一次方程的其他方程时，他们自然会想需要进一步研究和探索有关方程的问题。而从学生的认知结构上来看，前面我们已经系统的研究了一元一次方程及相关概念、整式、分式、二次根式。这就为我们继续研究一元二次方程奠定了基础。 四、教学问题诊断分析

(完整版)2.3一元二次方程的应用教案(1)

2．3一元二次方程的应用（1）教案 一、教材分析 1、教材地位和作用 本节课是浙教版八年级数学下册第二章《一元二次方程》的内容，这是一个理论联 系实际的好教材，充分体现了数学的应用价值。之前，学生已学习了一元二次方程的概念、解法，已初步具有了应用波利亚解题表列一元一次方程、二元一次方程组、分式方 程等解应用题的能力，本节课将进一步学习问题解决的方法与步骤，它是前一部分知识 的应用与巩固，也为今后学习二次函数等知识奠定基础。学好本节知识，可以培养学生 分析问题、解决问题的能力，逻辑思维能力、信息迁移能力以及数学方法的应用能力等。 2、教学目标 数学教学应以学生的发展为本，培养能力为重，综上分析及教学大纲要求，本课时教学目标制定如下： 知识目标：会分析实际应用问题中的数量关系，找出等量关系，并列一元二次方程解应用题； 能力目标：联系实际，经历“问题情境-----建立模型------求解-------解释与应用”的过程，培养学生化实际问题为数学问题的能力及分析问题、解决问题的能力; 情感目标：结合实践与探索，培养学生合作互助的精神，体验探索成果的喜悦. 3、教学重点和难点 由于本节内容涉及的实际应用问题都是通过列一元二次方程解决的，所 以确定教学重点是列一元二次方程解应用题。要列出一元二次方程的关键是 找出等量关系，从实际问题中挖掘出相等关系需要较强的联系实际能力、分 析能力，因此本节的教学难点是寻找等量关系列方程，例2涉及的是现实生 活中的增长率问题，数量关系复杂，学生不容易理解，它是教学的又一难点。二、教学方法与手段： 本节课利用多媒体辅助教学，扩大课堂容量，提高课堂效率。根据教材 内容和学生的认知特点，采用边分析、边讨论，层层设疑、讲练结合的启发 式教学方法，例题选择由浅入深，从学生熟悉的实际问题开始，将实际问题“数学化”，建立方程模型，引导学生自主探索、发现、归纳，充分调动学生 的积极性和主动性。 三、学法指导：

一元二次方程全教案

21.1 一元二次方程 一、教学内容：认识一元二次方程 二、教材分析： 教科书先以一个设计人体雕像的实际问题作为开篇，并在第一节又给出两个实际问题，通过建立方程，并引导学生思这些方程的共同特点，从而归纳得出一元二次方程的概念、一般形式，给出一元二次方程根的概念．在这个过程，通过归纳具体方程的共同特点，定义一元二次方程的概念，体现了研究代数学问题的一般方法．一般形式也是对具体方程从“元”（未知数的个数）、“次数”和“项数”等角度进行归纳的结果； 三、学情分析： 初中阶段是智力发展的关键年龄，学生逻辑思维从经验型逐步向理论型发展，观察能力、记忆能力和想象能力也随着迅速发展。从年龄特点来看，初中学生好动、好奇、好表现，注意力易分散，爱发表见解，希望得到老师的表扬，所以在教学中应抓住学生这一特点，一方面要运用直观生动的生活实例，激发学生的兴趣，使他们的注意力始终集中在课堂上；另一方面要创造条件和机会，让学生发表见解，发挥学生学习的主动性。促进学生个性发展。从认知基础上看，学生已经学习了一元一次方程、平方根、因式分解等知识，为本章的学习奠定了基础。学生在利用方程解决实际问题的过程中，会发现仅用这些知识是不能够解决的，因此迫切的需要一元二次方程这个解决问题的工具。 四、教学目标 （一）知识与技能 1.理解一元二次方程概念是以未知数的个数和次数为标准的. 2.掌握一元二次方程的一般形式以及三种特殊形式，能将一个一元二次方程化为一般形式 3.理解二次根式的根的概念，会判断一个数是否是一个一元二次方程的根 （二）过程与方法 通过根据实际问题列方程，向学生渗透知识来源于生活.

（三）情感态度价值观 通过观察，思考，交流，获得一元二次方程的概念及其一般形式和其它三种特殊形式. 五、教学重难点 教学重点：一元二次方程的一般形式和一元二次方程的根的概念 教学难点：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型 六、教学方法和手段： 讲授法、练习法 七、学法指导 讲授指导 八、教学过程 一、复习引入 小学学习过简易方程，上初中后学习了一元一次方程，二元一次 方程组，可化为一元一次方程的分式方程，运用方程方法可以解决众多代数问题和几何求值问题，是非常常见的一种数学方法。从这节课开始学习一元二次方程知识.先来学习一元二次方程的有关概念. 二、探究新知 （一）探究课本问题2 分析： 1.参赛的每两个队之间都要比赛一场是什么意思？ 2.全部比赛场数是多少？若设应邀请x 个队参赛，如何用含x 的 代数式表示全部比赛场数？ 整理所列方程后观察： 1.方程中未知数的个数和次数各是多少？ 2.下列方程中和上题的方程有共同特点的方程有哪些？ 4x+3=0；0422=-+x x ；042=-+y x ；0350752=+-x x ；0621=-+x x

一元二次方程(全章共21课教案)人教版

第十二章一元二次方程 第1课一元二次方程 一、教学目的 1．使学生理解并能够掌握整式方程的定义． 2．使学生理解并能够掌握一元二次方程的定义． 3．使学生理解并能够掌握一元二次方程的一般表达式以及各种特殊形式． 二、教学重点、难点 重点：一元二次方程的定义． 难点：一元二次方程的一般形式及其二次项系数、一次项系数和常数项的识别． 三、教学过程 复习提问 1．什么叫做方程？什么叫做一元一次方程？ 2．指出下面哪些方程是已学过的方程？分别叫做什么方程？ (l)3x+4=l； (2)6x-5y=7； 3．结合上述有关方程讲解什么叫做“元”，什么叫做“次”． 引入新课 1．方程的分类： 通过上面的复习，引导学生答出： 学过的几类方程是 没学过的方程是 x2-70x+825=0，x(x+5)=150． 这类“两边都是关于未知数的整式的方程，叫做整式方程．”而在整式方程中，“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程叫做一元二次方程．” 据此得出复习中学生未学过的方程是 (4)一元二次方程：x2-70x+825=0，x(x+5)=150． 同时指导学生把学过的方程分为两大类：

2．一元二次方程的一般形式 注意引导学生考虑方程 x2-70x+825=0 和方程x(x+5)=150，即x2+5x=150， 可化为：x2+5x-150=0． 从而引导学生认识到：任何一个一元二次方程，经过整理都可以化为 ax2+bx+c=0(a≠0) 的形式．并称之为一元二次方程的一般形式．强调，其中ax2，bx，c分别称为二次项、一次项、常数项；a，b分别称为二次项系数、一次项系数．要特别注意：二次项系数a是不等于0的实数(a=0时，方程化为bx+c=0，不再是二次方程了)；b，c可为任意实数．例把方程5x(x+3)=3(x-1)+8化成一般形式．并写出它的二次项系数、一次项系数及常数项． 讲解例题 课堂练习 P5-6 1、2 课堂小结 1．方程分为两大类： 判别整式方程与分式方程的关键是看分母中是否含有未知数；判别一元一次方程，一元二次方程的关键是看方程化为一般形式后，未知数的最高次数是一次还是二次．2．一元二次方程的定义：一个整式方程，经化简形成只含有一个未知数且未知数的最高次数是2，则这样的整式方程称一元二次方程．其一般形式是ax2+bx+c=0(a≠0)，其中b，c均可为任意实数，而a不能等于零． 作业：教材中相关习题． 第2课一元二次方程的解法(一) 一、教学目的 1．使学生掌握用直接开平方法解一元二次方程． 2．引导学生通过特殊情况下的解方程，小结、归纳出解一元二次方程ax2+c=0(a＞0，c ＜0)的方法． 二、教学重点、难点 重点：准确地求出方程的根． 难点：正确地表示方程的两个根． 三、教学过程 复习过程 回忆数的开方一章中的知识，请学生回答下列问题，并说明解决问题的依据． 求下列各式中的x： 1．x2=225； 2．x2-169=0；3．36x2=49； 4．4x2-25=0． 回答解题过程中的依据． 解题的依据是：一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数．

一元二次方程教案

学生姓名：闫鹏飞郭 新 教师姓名：李双虎授课日期：7月27日授课科目：数学授课时间：8:30 第几课时：第十八课时 本 次 授 课 内 容 及 授 课 目 标 （教师填写）教学目标：了解一元二次方程及有关概念；掌握通过配方法、公式法、因式分解法降次 ──解一元二次方程；掌握依据实际问题建立一元二次方程的数学模型的方 法；应用熟练掌握以上知识解决问题． 教学重点：一元二次方程及其它有关的概念． 教学难点：一元二次方程配方法解题．用公式法解一元二次方程时的讨论． 教学过程： 1、1、）长方形门的高比宽多6尺8寸，门的对角线长1丈，?那么门的高和宽各是多 少？ 2、）如图，如果 AC CB AB AC ，那么点C叫做线段AB的黄金分割点． 3、）如果假设AB=1，AC=x，那么BC=________，根据题意，得：________． 整理得：_________． 3、将方程（8-2x）（5-2x）=18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系 数、一次项系数及常数项． 4.将方程（x+1）2+（x-2）（x+2）=?1化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二 次项、二次项系数；一次项、一次项系数；常数项． 5、求证：关于x的方程（m2-8m+17）x2+2mx+1=0，不论m取何值，该方程都是一元 二次方程．

新航线一线教师授课表 备注：请学生、教师根据实际情况认真填写并签字确认，我们将以此为依据，进行教学调整 学生签字： 学习管理师签字： 6、配方：填上适当的数，使下列等式成立： （1）x 2+12x+ =(x+6)2 （2）x 2―12x+ =(x ― )2 （3）x 2+8x+ =(x+ )2 从上可知：常数项配上一次项系数的一半的平方。 7、：解方程：x 2+8x ―9=0 8、某林场计划修一条长750m ，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6m 2，?上口宽比 渠深多2m ，渠底比渠深多0.4m ． （1）渠道的上口宽与渠底宽各是多少？ （2）如果计划每天挖土48m 3，需要多少天才能把这条渠道挖完？ 作 业 课 后 单元测试题1----8 思考题1 学生 评语

《一元二次方程的应用》教案

《一元二次方程的应用》教案 教学内容 本节课主要学习建立一元二次方程的数学模型解决问题． 教学目标 知识技能 1．能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型． 2．能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理． 数学思考 经历将实际问题抽象为代数问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对之进行描述． 解决问题 通过解决传播问题，学会将实际应用问题转化为数学问题，体验解决问题策略的多样性，发展实践应用意识． 情感态度 通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用． 重难点、关键 重点：列一元二次方程解有关问题的应用题． 难点：发现问题中的等量关系． 关键：建立一元二次方程的数学模型解问题． 教学准备 教师准备：制作课件，精选习题． 学生准备：复习有关知识，预习本节课内容． 教学过程 一、复习引入 我们已经知道，生产、生活中的一些实际问题，有时可以利用一元二次方程来描述其中已知量与未知量之间的相等关系，运用一元二次方程的有关知识，常常可以使这些实际问题得到解决. 【思考】 列方程解应用题的基本步骤有哪些？应注意什么？ 【活动方略】

教师演示课件，给出题目． 学生口答，老师点评． 二、探索新知 【问题情境】 例：某林场计划修一条长750m ，断面为等腰梯形的渠道，断面面积为1.6m 2 ，上口宽比 渠深多2m ，渠底比渠深多0.4m ． (1)渠道的上口宽与渠底宽各是多少？ (2)如果计划每天挖土48m 3 ，需要多少天才能把这条渠道挖完？ 分析：因为渠深最小，为了便于计算，不妨设渠深为x m ，则上口宽为x +2，渠底为x +0.4，那么，根据梯形的面积公式便可建模． 解：(1)设渠深为x m 则渠底为(x +0.4)m ，上口宽为(x +2)m 依题意，得： 1 2 (x +2+x +0.4)x =1.6 整理，得：5x 2 +6x -8=0 解得：x 1= 4 5 =0.8m ，x 2=-2(舍) ∴上口宽为2.8m ，渠底为1.2m ． (2) 1.6750 48 =25天 答：渠道的上口宽与渠底深各是2.8m 和1.2m ；需要25天才能挖完渠道． 例：某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元，为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么商场平均每天可多售出100张，商场要想平均每天盈利120元，每张贺年卡应降价多少元？ 老师点评：总利润=每件平均利润×总件数．设每张贺年卡应降价x 元，则每件平均利润应是(0.3-x )元，总件数应是(500+ 0.1 x ×100) 解：设每张贺年卡应降价x 元 则(0.3-x )(500+1000.1 x )=120 解得：x =0.1 答：每张贺年卡应降价0.1元． 例：在该题中，若设甲种药品成本的平均下降率为x ，请填下表

初中数学人教版九年级上册：第21章《一元二次方程》全章教案

初中数学人教版九年级上册实用资料 第二十一章 一元二次方程 21．1 一元二次方程 1．通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，分清二次项及其系数、一次项及其系数与常数项等概念． 2．了解一元二次方程的解的概念，会检验一个数是不是一元二次方程的解． 重点 通过类比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)和一元二次方程的解等概念，并能用这些概念解决简单问题． 难点 一元二次方程及其二次项系数、一次项系数和常数项的识别． 活动1 复习旧知 1．什么是方程？你能举一个方程的例子吗？ 2．下列哪些方程是一元一次方程？并给出一元一次方程的概念和一般形式． (1)2x －1 (2)mx ＋n ＝0 (3)1 x ＋1＝0 (4)x 2＝1 3．下列哪个实数是方程2x －1＝3的解？并给出方程的解的概念． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 活动2 探究新知 根据题意列方程． 1．教材第2页 问题1. 提出问题： (1)正方形的大小由什么量决定？本题应该设哪个量为未知数？ (2)本题中有什么数量关系？能利用这个数量关系列方程吗？怎么列方程？ (3)这个方程能整理为比较简单的形式吗？请说出整理之后的方程． 2．教材第2页 问题2. 提出问题： (1)本题中有哪些量？由这些量可以得到什么？ (2)比赛队伍的数量与比赛的场次有什么关系？如果有5个队参赛，每个队比赛几场？一共有20场比赛吗？如果不是20场比赛，那么究竟比赛多少场？ (3)如果有x 个队参赛，一共比赛多少场呢？ 3．一个数比另一个数大3，且两个数之积为0，求这两个数． 提出问题： 本题需要设两个未知数吗？如果可以设一个未知数，那么方程应该怎么列？ 4．一个正方形的面积的2倍等于25，这个正方形的边长是多少？ 活动3 归纳概念 提出问题： (1)上述方程与一元一次方程有什么相同点和不同点？ (2)类比一元一次方程，我们可以给这一类方程取一个什么名字？

初中数学八年级下册第2章一元二次方程2.1一元二次方程教案新版浙教版

2.1 一元二次方程 教学内容 一元二次方程的概念及一元二次方程的一般式及有关概念． 教学目标 了解一元二次方程的概念；一般式ax2+bx+c=0(a≠0)及其派生的概念；应用一元二次方程的概念解决一些简单题目． 1．通过设置问题，建立数学模型，模仿一元一次方程的概念给一元二次方程下定义．2．一元二次方程的一般形式及其有关概念． 3．解决一些概念性的题目. 4．通过生活学习数学，并用数学解决生活中的问题来激发学生的学习热情． 重难点 重点：一元二次方程的概念及其一般形式和一元二次方程的有关概念并用这些概念解决问题． 难点：通过提出问题，建立一元二次方程的数学模型，再由一元一次方程的概念迁移到一元二次方程的概念． 教学过程 一、情景导入 学生活动：列方程． 问题(1)古算趣题：“执竿进屋” 笨人执竿要进屋，无奈门框拦住竹，横多四尺竖多二，没法急得放声哭. 有个邻居聪明者，教他斜竿对两角，笨伯依言试一试，不多不少刚抵足. 借问竿长多少数，谁人算出我佩服. 如果假设门的高为x尺，那么这个门的宽为_______尺，长为_______尺. 根据题意，得________． 整理、化简，得__________． 二、探索新知 学生活动：请口答下面问题． (1)上面方程整理后含有几个未知数？ (2)按照整式中的多项式的规定，它的最高次数是几次？ (3)有等号吗？还是与多项式一样只有式子？ 老师点评：(1)只含一个未知数x；(2)它的最高次数是2；(3)有等号，是方程． 因此，像这样的方程两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程． 一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经过整理，都能化成如下形式ax2+bx+c=0

21.1一元二次方程(教学设计)

第1课时 21.1一元二次方程(教学设计) 课型：新授课 编制：张媚 九年级（ ）班 姓名 学习目标： 1、知识与技能： 了解一元二次方程的概念,一元二次方程的一般形式ax 2+bx+c=0(a ≠0)，应用一元二次方程概念解决一些简单问题。 2、过程与方法： 通过独立思考，小组交流，探究一元二次方程的概念和一元二次方程的一般形式。 3、情感与态度： 培养学生自学能力与小组合作的意识。 重点： 一元二次方程的一般形式ax 2+bx+c=0(a ≠0) 难点：一元二次方程的一般形式ax 2+bx+c=0(a ≠0)转化。 学情分析：本节课以实际问题为例，通过自主学习，小组探究交流讨论，引出一元二次方程的概念，有利于学生感受和理解，对每个知识点，进行归纳整理，设计适当练习，加深对知识理解，发展学生的能力，突破重点，降低难点。但现有 学生运算能力较差，将一元二次方程的化为一般形式ax 2+bx+c=0(a ≠0)有一定困 难，对实际问题列一元二次方程也会出现困难。 导学过程： 一、自学指导： 阅读教材第1至4页，并完成预习内容.. 问题1 如图，有一块长方形铁皮，长100 cm ，宽50 cm ，在它的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒.如果要制作的无盖方盒的底面积 为3 600 cm 2，那么铁皮各角应切去多大的正方形？ 分析：设切去的正方形的边长为x cm ，则盒底的长为 ，宽为 .得方程 ， 整理得 化简，得 .① 问题2 要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场.根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？ 分析：全部比赛的场数为 设应邀请x 个队参赛，每个队要与其他 个队各赛1场，所以全部比赛共 ____ 场. 列方程_ ____ = . 化简整理得 .② 知识探究 (1)方程①②中未知数的个数各是多少？ 个 (2)它们最高次数分别是几次？ 次 方程①②的共同特点是：这些方程的两边都是整式，只含有 未知数(一元)，并且未知数的最高次数是 的整式方程. 自学反馈 1.一元二次方程的概念. 2.一元二次方程的一般形式: 自学检测： 下列方程中哪些是一元二次方程？（看课件） 二、合作探究（例题学习） 活动1小组讨论 例1将方程3x （x －1）＝5(x ＋2)化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项. 05212 =+-x x )(

一元二次方程应用教案(1)

风华中学八年级数学组集体备课资料 课题一元二次方程的应用 科目数学设计者丁亚校对人 课时 1课时使用者时间 一、教学目标（知识与能力，过程与方法情感态度价值观） 1.能够根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，可化为一元二次方程 的分式方程解应用题。 2.能根据问题的实际意义检验所得的结果是否合理。 3.在经历建立方程模型解决实际问题的过程中，培养和提高学生分析问题和解 决问题的能力，体会数学建模和符号化思想，感受数学的应用价值。 二、教学重点 学会列一元二次方程解应用题。 三、教学难点 选择合适的方法解一元二次方程。 四、教学过程

第四课时 例1：要组织一次篮球赛，赛制为单循环（每两队赛一场），计划安排15场比赛，应邀请多少个球队？ 变式：双循环（两队赛两场）主客场 练习1：一个旅行团互相握手祝福，共握手36次，求该团共有多少人？ 练习2：生物小组的学生，将自己收集的标本，向其他成员各赠送一件，全组共赠送182件。这个小组共有多少名同学？ 练习3：往返于甲，乙两地的客车，中途要停靠三个站，如果站与站之间的路程及端点与甲，乙两地的路程都不相等，问： （1）有多少种不同的票价？ （2）要准备多少种车票？ 练习4：如果直线l上依次有3个点A,B,C，那么 （1）在直线l上共有多少条线段？ （2）在直线l上增加一个点，共增加了多少条线段？ （3）如果在直线l上增加到n个点，则共有多少条线段？ 例2：有一个人患了流感，经过两轮传染后，共121人患了流感，每轮传染平均一人传染几个人？继续第三轮传染，问第三轮有多少人被传染？ 练习5：某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有81台电脑被感染。请你用学过的知识分析，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？若病毒得不到有效控制，3轮感染后，被感染的电脑会不会超过700台？ 小结：谈谈这节课你有哪些收获？

初中数学一元二次方程教案

初中数学一元二次方程教案 一元二次方程式是初中数学教学的重点内容，教学的顺利进行需要有一个教案。下面为你整理了初中数学一元二次方程的教案，希望对你有帮助。 学情分析： 学生在七年级和八年级已经学习了整式、分式、二次根式、一元一次方程、二元一次方程、分式方程，在此基础上本节课将从实际问题入手，抽象出一元二次方程的概念及一元二次方程的一般形式. 教学目标 知识技能： 1、理解一元二次方程的概念. 2、掌握一元二次方程的一般形式，正确认识二次项系数、一次项系数及常数项. 数学思考： 1、通过一元二次方程的引入，培养学生建模思想，归纳、分析问题及解决问题的能力. 2、通过一元二次方程概念的学习，培养学生对概念理解的完整性和深刻性. 3、由知识来源于实际，树立转化的思想，由设未知数、列方程向学生渗透方程的思想，从而进一步提高学生分析问题、解决问题的

能力. 解决问题： 在分析、揭示实际问题的数量关系并把实际问题转化为数学模型(一元二次方程)的过程中使学生感受方程是刻画现实世界数量关系的工具，增加对一元二次方程的感性认识. 情感态度： 1、培养学生自主自主学习、探究知识和合作交流的意识. 2、激发学生学数学的兴趣，体会学数学的快乐，培养用数学的意识. 教学重点： 一元二次方程的概念及一般形式. 教学难点： 1、由实际问题向数学问题的转化过程. 2、正确识别一元二次方程一般形式中的“项”及“系数”. 教学互动设计： 一、自主学习感受新知 【问题1】有一块面积为900平方米的长方形绿地，并且长比宽多10米，则绿地的长和宽各为多少? 【分析】设长方形绿地的宽为x米，依题意列方程为：x(x+10)=900; 整理得：x2+10x-900=0 ① 【问题2】学校图书馆去年年底有图书5万册，预计至明年年底

[初中数学]一元二次方程全章教案 人教版

《一元二次方程》全章教案 第一课时 1 设计思路 通过探究实际问题中的数量关系极其变化规律，经历由具体问题抽象出一元二次方程的过程。从而引出一元二次方程的一般式，并能识别各项的系数。培养学生的观察能力和思维能力。 3 教学目标 1． 通过探究实际问题中的数量关系极其变化规律，2． 经历由具体问题抽象出一元 二次方程的过程。 2．解一元二次方程的概念；正确掌握一元二次方程的一般形式。 教学重点：正确掌握一元二次方程的概念和一般形式。 教学难点：正确理解和掌握一般形式中的a ≠0 ，“项”和“系数”。 三、教学过程 1 1) 会根据实际问题中的数量关系列出方程。 1．方形桌面的面积是2m 2，求它的边长？ 2．矩形花圃一面靠墙，另外三面所围的栅栏的总长度是19米。 如果花圃的面积是24m 2，求花圃的长和宽？ 3． 我校图书馆的藏书在两年内从5万册增加到7.2万册， 平均每年增长的百分率是多少？ 4． 长5米的梯子斜靠在墙上，梯子的底端与墙 的距离是3米。如果梯子底端向右滑动的距离与 梯子顶端向下滑动的距离相等，求梯子滑动的距离。 根据题意列出方程 22=x 2225)3()4(=++-x x 2.7)1(52=+x 24)219(=-x x

(二)观察以上四个方程它们有什么共同特点 1 都是整式方程; ②只含一个未知数; ③未知数的最高次数是2. (三)一元二次方程的概念: 像这样的等号两边都是整式, 只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程叫做一元二次方程 (四) 例1:判断下列方程是否为一元二次方程： )0(0).7(0 ).6()2)(1(3).5(023).4(1).3(1 ).2(1).1(222222的常数为不等于m mx c bx ax x x x y x x x x x x x ==+++-=-=+-= ==+ (五)一元二次方程的一般形式: ax 2+ bx +c=0(a 、b 、c 为常数且a ≠ 0) 注意:为什么要限制a ≠0，b ,c 可以为零吗？ 并指出一元二次方程中一二次项、一次项、常数项：二次项系数、一次项系数(六) 例2:一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项. 2(2)510 2.20x x +-= 2(1)109000x x --= 2(4)30x x += 2(3)2150x -= (5) 3)2(2 =+x (6)0)3)(3(=-+x x 四、归纳小结 （一）小组讨论学习成果,并总结本节课的知识点,提出疑点,由同学解答或老师解答. （二）教师讲解、板演例题、小结（突出重难点）