极坐标与参数方程题型及解题方法

Ⅰ复习提问

1、 极坐标系和直角坐标系有什么区别？学校老师课堂如何讲解极坐标参数方程的？

2、 如何把极坐标系转化为直角坐标系？

答：将极坐标的极点O 作为直角坐标系的原点，将极坐标的极轴作为直角坐标系x 轴的正半轴。如果点P 在直角坐标系下的坐标为（x ，y ），在极坐标系下的坐标为),(θρ, 则有下列关系成立：

ρθρ

θy

sin x

cos =

=

3、 参数方程{

cos sin x r y r θθ

==表示什么曲线？

4、 圆(x-a)2+(y-b)2=r2的参数方程是什么？

5、 极坐标系的定义是什么？

答：取一个定点O ，称为极点，作一水平射线Ox ，称为极轴，在Ox 上规定单位长度，这样就组成了一个极坐标系设OP=ρ，又∠xOP=θ.

ρ和θ的值确定了，则P 点的位置就

确定了。ρ叫做P 点的极半径，θ叫做P 点的极角，),(θρ叫做P 点的极坐标（规定ρ写在前，θ写在后）。显然，每一对实数),(θρ决定平面上一个点的位置 6、参数方程的意义是什么？

Ⅱ 题型与方法归纳

1、 题型与考点（1）

{

极坐标与普通方程的互相转化极坐标与直角坐标的互相转化

（2）

{

参数方程与普通方程互化

参数方程与直角坐标方程互化

(3) {

利用参数方程求值域参数方程的几何意义

2、解题方法及步骤 （1）、参数方程与普通方程的互化

化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角的或代数的）消去法；化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t ，先确定一个关系()x f t =（或()y g t =，再代入普通方程

(),0F x y =，求得另一关系()y g t =（或()x f t =）.一般地，常选择的参数有角、有向

线段的数量、斜率，某一点的横坐标（或纵坐标）

例1、方程22

22

t t

t t

x t y --?=-??=+??（为参数）表示的曲线是（ ） A. 双曲线 B.双曲线的上支 C.双曲线的下支 D.圆

解析：注意到2t t

与2t

-互为倒数，故将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，即可消去含t 的项，()

()2

2

2222224t t

t t x y ---=--+=-，

即有22

4y x -=，又注意到

202222t t t y ->+≥=≥，，即，可见与以上参数方程等价的普通方程为

2242y x y -=≥（）.显然它表示焦点在y 轴上，以原点为中心的双曲线的上支，选B 练习1、与普通方程2

10x y +-=等价的参数方程是（ ）（t 为能数）

222

sin cos ....cos 1sin x t x tgt x t x A B C D y t y tg t y t y t

===????=?

????==-==????? 解析：所谓与方程210x y +-=等价，是指若把参数方程化为普通方程后不但形式一致而且,x y 的变化范围也对应相同，按照这一标准逐一验证即可破解.

对于A 化为普通方程为[][]2101101x y x y +-=∈-∈，，，，； 对于B 化为普通方程为210(1]x y x R y +-=∈∈-∞，，，； 对于C 化为普通方程为210[0)(1]x y x y +-=∈+∞∈-∞，，，，; 对于D 化为普通方程为[][]2101101x y x y +-=∈-∈，，，，.

而已知方程为210(1]x y x R y +-=∈∈-∞，，，，

显然与之等价的为B. 练习2、设P 是椭圆222312x y +=上的一个动点，则2x y +的最大值是 ，最小值为 .

分析：注意到变量(),x y 的几何意义，故研究二元函数2x y +的最值时，可转化为几何问题.若设2x y t +=，则方程2x y t +=表示一组直线，（对于t 取不同的值，方程表示不同的直线），显然(),x y 既满足2

2

2312x y +=，又满足2x y t +=，故点(),x y 是方程组

222312

2x y x y t

?+=?

+=?的公共解，依题意得直线与椭圆总有公共点，从而转化为研究消无后的一元二次方程的判别式0?≥问题.

解析：令2x y t +=，对于(),x y 既满足22

2312x y +=，又满足2x y t +=，故点(),x y 是方程组2223122x y x y t

?+=?+=?的公共解，依题意得()22

1182120y t y t -?+-=，由

()22644112120t t ?=-??-≥，

解得：t ≤≤所以2x y +

最小值为（2）、极坐标与直角坐标的互化 利用两种坐标的互化，可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题，这二者互化的前提条件是（1）极点与原点重合；（2）极轴与x 轴正方向重合；（3）取相同的单位长度.设点P 的直

角坐标为(),x y ，它的极坐标为(),ρθ，则 222

cos sin x y x y

y tg x ρρθρθθ?=+=??

??==

???

或；若把直角坐标化为极坐标，求极角θ时，应注意判断点P 所在的象限（即角θ的终边的位置），以便正确地求出角θ.

例2、极坐标方程2

4sin

52

θ

ρ?=表示的曲线是（ ）

A. 圆

B. 椭圆

C. 双曲线的一支

D. 抛物线

分析：这类问题需要将极坐标方程转化为普通方程进行判断.

解析：由2

1cos 4sin

422cos 5

22

θ

θ

ρρρρθ-?=?

=-=

，化为直角坐标系方程为25x =，化简得225

54

y x =+.显然该方程表示抛物线，故选D.

练习1、

已知直线的极坐标方程为sin 42πρθ?

?+= ???

，则极点到该直线的距离是

解析：极点的直角坐标为()0,0o

，对于方程sin 4πρθρθθ??

?+==? ??????

可得sin cos 1ρθρθ∴+=，化为直角坐标方程为10x y +-=

，因此点到直线的距离为2

练习2、极坐标方程2cos 0ρθρ-=转化成直角坐标方程为（ ）

A ．201y y +==2x 或

B ．1x =

C ．201y +==2x 或x

D ．1y =

分析：极坐标化为直解坐标只须结合转化公式进行化解.

解析：(cos 1)0,0,cos 1x ρρθρρθ-==

===或，因此选C.

练习3、点M

的直角坐标是(1-，则点M 的极坐标为（ ）

A ．(2,)3

π B ．(2,)3π- C ．2(2,

)3π D ．(2,2),()3k k Z π

π+∈ 解析：2(2,2),()3

k k Z π

π+∈都是极坐标，因此选C. （3）、参数方程与直角坐标方程互化

例题3：已知曲线1C 的参数方程为?????=+-=θ

θsin 10cos 102y x （θ为参数），曲线2C 的极坐标方

程为θθρsin 6cos 2+=．

（1）将曲线1C 的参数方程化为普通方程，将曲线2C 的极坐标方程化为直角坐标方程； （2）曲线1C ，2C 是否相交，若相交请求出公共弦的长，若不相交，请说明理由．

解：（1）由?????=+-=θ

θ

sin 10cos 102y x 得

10)2(22=++y x

∴曲线1C 的普通方程为10)2(2

2

=++y x ∵θθρsin 6cos 2+= ∴θρθρρsin 6cos 22

+=

∵θρθρρsin ,cos ,2

2

2

==+=y x y x

∴y x y x 622

2

+=+，即10)3()1(2

2

=-+-y x

∴曲线2C 的直角坐标方程为

D

A

F

E

O

B

C

10)3()1(22=-+-y x

（2）∵圆1C 的圆心为)0,2(-，圆2C 的圆心为)3,1( ∴10223)30()12(C 2221<=-+--=C

∴两圆相交

设相交弦长为d ，因为两圆半径相等，所以公共弦平分线段21C C

∴22

2

)10()2

23(

)2

(=+d ∴22=d

∴公共弦长为22 练习1、坐标系与参数方程.

已知曲线C ：θ??

?θ

+=θ

+=(sin 21cos 23y x 为参数，0≤θ<2π)， （Ⅰ）将曲线化为普通方程；

（Ⅱ）求出该曲线在以直角坐标系原点为极点，x 轴非负半轴为极轴的极坐标系下的极坐标方程．

解析：（Ⅰ）023222=--+y x y x

（Ⅱ）()

θ+θ=ρsin cos 32

（4）利用参数方程求值域 例题4、在曲线1C ：??

?=+=）y x 为参数θθ

θ

(sin cos 1上求一点，使它到直线2C

：

12

(112

x t t y t ?

=-???

?=-??为参数）的距离最小，并求出该点坐标和最小距离。 解：直线C 2化成普通方程是x+y-22-1=0

设所求的点为P （1+cos θ,sin θ) 则C 到直线C 2的距离d=

2

|

122sin cos 1|-+++θθ

=|sin(θ+

4

π

)+2| 当234ππ

θ=+时，即θ=4

5π

时，d 取最小值1

此时，点P 的坐标是（1-

22，-2

2）

练习1、在平面直角坐标系xOy 中，动圆2228cos 6sin 7cos 80x y x y θθθ+--++=（θ∈R ）的圆心为(,)P x y ，求2x y -的取值范

解：由题设得4c o s ,

3s i n x y θθ=??=?（θ为参数，θ∈R ） 于是.

28c o s 3s i 73c o s ()x y θθθ?-=-+，

所以

2x y -

练习2、已知曲线C 的极坐标方程是θρsin 2=，设直线L 的参数方程是??

???=+-=,

54253t

y t x （t 为参数）．

（Ⅰ）将曲线C 的极坐标方程转化为直角坐标方程；

（Ⅱ）设直线L 与x 轴的交点是M ，N 曲线C 上一动点，求MN 的最大值.

解：（1）曲线C 的极坐标方程可化为：

θρρsin 22=

又 θρθρρsin ,cos ,222===

+y x y x .

所以，曲线C 的直角坐标方程为：

0222=-+y y x .

（2）将直线L 的参数方程化为直角坐标方程得：)2(3

4

--=x y 令 0=y 得 2=x 即M 点的坐标为)0,2(

又曲线C 为圆，圆C 的圆心坐标为)1,0(，半径1=r ， 则5=

MC

∴15+=

+≤r MC MN

（5）直线参数方程中的参数的几何意义

例5、已知直线l 经过点(1,1)P ,倾斜角6

π

α=，

①写出直线l 的参数方程;

②设l 与圆422=+y x 相交与两点,A B ，求点P 到,A B 两点的距离之积.

解 （1）直线的参数方程为1cos 61sin 6x t y t ππ?=+????=+??

，即12112x y t ?=+???

?=+??． （2

）把直线12112

x y t ?=+???

?=+??代入422=+y x ，

得2221

(1)(1)4,1)2022

t t t t +

++=+-=，122t t =-， 则点P 到,A B 两点的距离之积为2．

练习1、求直线415

315x t y t

?

=+????=--??

（为参数t

）被曲线)4πρθ=+所截的弦长.

解：将方程415315x t y t ?=+???

?=--??

，)4

π

ρθ=+

分别化为普通方程：

3410x y ++=，220,x y x y +-+=

17

.

105

d =11圆心C （，－＝，弦长＝22

（6）、参数方程与极坐标的简单应用

参数方程和极坐标的简单应用主要是：求几何图形的面积、曲线的轨迹方程或研究某些函数的最值问题.

例6、已知ABC ?的三个顶点的极坐标分别为55623A B C πππ??

????

- ? ? ?????

?

?

，，，，，,判

断三角形ABC 的三角形的形状，并计算其面积.

分析：判断△ABC 的形状，就需要计算三角形的边长或角，在本题中计算边长较为容易，不妨先计算边长.

解析：如图，对于55366

AOB BOC AOC πππ

∠=∠=∠=，，，

又5,OA OB OC ===

222

2cos AC OA OC OA OC AOC

=+-??

∠(

2

2

5525cos

6

π

=+-?? B

A

O x C

133

=

，AC

∴

，BC=

同理，，AC BC

∴=，ABC

∴?为等腰三角形，5

AB OA OB

===

又，所以AB边上的高

2 h==

,

1

5

224

ABC

S

?

∴=?=

练习1、如图，点A在直线x=5上移动，等腰△OPA的顶角∠OPA为120°（O，P，A按顺时

针方向排列），求点P的轨迹方程.

解析：取O为极点，x正半轴为极轴，建立极坐标系，则

直线5

x=的极坐标方程为cos5

ρθ=，设A（

ρ，

θ），

P(),ρθ，因点A在直线cos5

ρθ=上，

00

cos51

ρθ

∴=<>

OPA

?

为等腰三角形，且

120

OPA OP OA

ρρ

∠=?==

，而，，以及30

POA

∠=?

00

302

ρθθ

∴=-?<>

，且，把<2>代入

<1>，得点

P的轨迹的极坐标方程为：()

cos305

θ-?=.

Ⅲ趁热打铁

1．把方程1

xy=化为以t参数的参数方程是（）

A．

1

2

1

2

x t

y t-

?

=

?

?

?=

?

B．

sin

1

sin

x t

y

t

=

?

?

?

=

??

C．

cos

1

cos

x t

y

t

=

?

?

?

=

??

D．

tan

1

tan

x t

y

t

=

?

?

?

=

??

解析：D 1

xy=，x取非零实数，而A，B，C中的x的范围有各自的限制

2．曲线

25

()

12

x t

t

y t

=-+

?

?

=-

?

为参数与坐标轴的交点是（）

A．

21

(0,)(,0)

52

、B．

11

(0,)(,0)

52

、C．(0,4)(8,0)

-、D．

5

(0,)(8,0)

9

、

解析：B 当0

x=时，

2

5

t=，而12

y t

=-，即

1

5

y=，得与y轴的交点为

1

(0,)

5

；

当0

y=时，

1

2

t=，而25

x t

=-+，即

1

2

x=，得与x轴的交点为

1

(,0)

2

3．直线

12

()

2

x t

t

y t

=+

?

?

=+

?

为参数被圆229

x y

+=截得的弦长为（）

A．

12

5

B

C

D

y

P A

O x

解析：B

1

12

2

1

x

x t

y t

y

?

=+

?

=+

??

?

??

=+

??=+

??

，把直线

12

2

x t

y t

=+

?

?

=+

?

代入229

x y

+=得222

(12)(2)9,5840

t t t t

+++=+-=

12

12

5

t t-===

12

t-=

4．若点(3,)

P m在以点F为焦点的抛物线

2

4

()

4

x t

t

y t

?=

?

=

?

为参数上，

则PF等于（）

A．2B．3C．4D．5

解析：C 抛物线为24

y x

=，准线为1

x=-，PF为(3,)

P m到准线1

x=-的距离，即为4

5．已知曲线

2

2

()

2

x pt

t p

y pt

?=

?

=

?

为参数,为正常数上的两点,

M N对应的参数分别为

12,

t t

和，12

t t+=

且，那么MN=_______________。

解析：

1

4p t显然线段MN垂直于抛物线的对称轴。即x轴，

121

222

MN p t t p t

=-=

6．圆的参数方程为

3sin4cos

()

4sin3cos

x

y

θθ

θ

θθ

=+

?

?

=-

?

为参数，则此圆的半径为_______________。解析：由

3sin4cos

4sin3cos

x

y

θθ

θθ

=+

?

?

=-

?

得2225

x y

+=故半径为5

7．分别在下列两种情况下，把参数方程

1

()cos

2

1

()sin

2

t t

t t

x e e

y e e

θ

θ

-

-

?

=+

??

?

?=-

??

化为普通方程：

（1）θ为参数，t为常数；（2）t为参数，θ为常数；

解：（1）当0

t=时，0,cos

y xθ

==，即1,0

x y

≤=

且；

当0t ≠时，cos ,sin 11()()2

2

t t t t x y e e e e θθ--=

=

+-

而2

2

sin

cos 1θθ+=，即

2

2

22111()()4

4

t

t t

t x y e e e e --+

=+-

（2）当,k k Z θπ=∈时，0y =，1()2

t

t x e e -=±

+，即1,0x y ≥=且； 当,2k k Z πθπ=+∈时，0x =，1()2

t t

y e e -=±-，即0x =；

当,2k k Z πθ≠∈时，得2cos 2sin t t t t x e e y e e θθ--?+=????-=??，即222cos sin 222cos sin t

t x y e x y e θθθθ-?=+????=-

??

得222222(

)()cos sin cos sin t

t

x y x y e e

θθθθ

-?=+- 即22

2

21cos sin x y θθ

-=。

8

．过点P 作倾斜角为α的直线与曲线22121x y +=交于点,M N ， 求PM PN ?的值及相应的α的值

解：设直线为cos ()sin x t t y t αα?=

???=?

为参数，代入曲线并整理得

223(1sin ))02

t t αα+++

= 则122321sin PM PN t t α?==+ 所以当2

sin 1α=时，即2πα=，PM PN ?的最小值为34，此时2πα=

9．参数方程cos (sin cos )

()sin (sin cos )x y θθθθθθθ=+??=+?

为参数表示什么曲线？

解：显然tan y x θ=，则22

2222

111,cos cos 1y y x x θθ

+==+

2

222112tan cos sin cos sin 2cos cos 221tan x θθθθθθθθ=+=

+=?++ 即222222

22

2

1

11,(1)12

111y y y y x x x x y y y x x x

x x

+=?

+=+=++++ 得21y y

x x x

+=+，即220x y x y +--= Ⅳ 温故强化

1．下列在曲线sin 2()cos sin x y θ

θθθ

=??

=+?为参数上的点是（ ）

A

．1

(,2

B ．31

(,)42

-

C

． D

． 解析：B 转化为普通方程：2

1y x =+，当34x =-时，12

y =

2．将参数方程2

2

2sin ()sin x y θ

θθ

?=+??=??为参数化为普通方程为（ ） A ．2y x =- B ．2y x =+ C ．2(23)y x x =-≤≤ D ．2(01)y x y =+≤≤ 解析：C 转化为普通方程：2y x =-，但是[2,3],[0,1]x y ∈∈

3. 若A 33，π?? ???，B -?

? ??

?36，π，则|AB|=___________，S AOB ?=___________。（其中O 是极

点）

解析：在极坐标系中画出点A 、B ，易得∠=?AOB 150

(

)

??AOB AB OA OB OA OB AOB

AB S OA OB AOB OAB 中，由余弦定理，得：

2

2

2

2223323315018933233

2

621212331509

4

=+-?∠∴=+-????=+=+=+=??∠=????=

cos cos sin sin

4．直线122

()112

x t t y t ?=-???

?=-+??为参数被圆224x y +=截得的弦长为______________

解析： 直线为10x y +-=

，圆心到直线的距离d =

=

，弦长的一半为2

=

5. 直线x x t

y y t

=+=-???003（t 为参数）上任一点P 到()P x y 000，的距离为__________

解析：所求距离为2|t|（把直线的参数方程化为标准形式）

6. 若、是椭圆

的焦点，为椭圆上不在轴上的点，则的重心F F x y P x PF F G 1222

122516

1+=? 的轨迹方程为____________。

解析：设()()()()G x y P F F ，，，，而，，，54303012cos sin θθ- 由重心坐标公式，得：()x y =+-+==++=??

?????533353400343cos cos sin sin θθθθθ（为参数） 消参，得点G 的轨迹方程为925916

122

x y +=

7. 若方程m m ρθρθθcos sin cos 22360+-=的曲线是椭圆，求实数的取值范围。 解析：将方程两边同乘以ρ，化为： ()()m ρθρθρθc o s s i n c o s 22

360+-=

即整理，得：

若方程表示椭圆，则须满足：

mx y x x m m y m m 222

2

236039

31+-=-?

? ??

?+= ()()9

03

0930303322m m

m m m m m >>≠??????

????>≠?∈+∞且，，

8. 求椭圆x y P 22

94

110+=上一点与定点（，）之间距离的最小值 解析：（先设出点P 的坐标，建立有关距离的函数关系）

()()()()

设，，则到定点（，）的距离为P P d 32103120565535165

22

2

2

cos sin cos sin cos cos cos θθθθθθθθ=-+-=-+=-?

? ???+

当时，取最小值cos )θθ=

(3545

5

d 9．在椭圆22

11612x y +=上找一点，使这一点到直线2120x y --

=的距离的最小值。

解析：设椭圆的参数方程为4cos x y θ

θ=???=??

，d =

3)33

θ

θθθ=

-=+- 当cos()13

π

θ+=时，min 5

d =

，此时所求点为(2,3)-。

10．求直线11:()5x t l t y =+???=-?

?为参数和直线2:0l x y --=的交点P 的坐标，及点P 与(1,5)Q -

的距离。

解析：将15x t

y =+???=-

+??代入0x y -

-=得t =

得(1P +，而(1,5)Q -

，得PQ ==

高中数学极坐标与参数方程大题(详解)

参数方程极坐标系 解答题 1．已知曲线C：+=1，直线l：（t为参数） （Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程． （Ⅱ）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值． +=1 ， ， 的距离为 则 取得最小值，最小值为 2．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的极坐标方程为： ，曲线C的参数方程为：（α为参数）． （I）写出直线l的直角坐标方程； （Ⅱ）求曲线C上的点到直线l的距离的最大值． 的极坐标方程为： cos=

∴ y+1=0 （ d= 的距离的最大值． 3．已知曲线C1：（t为参数），C2：（θ为参数）． （1）化C1，C2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线； （2）若C1上的点P对应的参数为t=，Q为C2上的动点，求PQ中点M到直线C3：（t为参数）距离的最小值． ：（化为普通方程得：+ t=代入到曲线 sin =，），﹣

4．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立直角坐标系，圆C的极坐标方程为 ，直线l的参数方程为（t为参数），直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C 上不同于A，B的任意一点． （Ⅰ）求圆心的极坐标； （Ⅱ）求△PAB面积的最大值． 的极坐标方程为，把 ，利用三角形的面积计算公式即可得出． 的极坐标方程为，化为= 把 ∴圆心极坐标为； （t ， = 距离的最大值为 5．在平面直角坐标系xoy中，椭圆的参数方程为为参数）．以o为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．求椭圆上点到直线距离的最大值和最小值．

极坐标与参数方程 经典练习题含答案详解

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．曲线25()12x t t y t =-+?? =-?为参数与坐标轴的交点是（ ）． A ．21(0,)(,0)5 2 、 B ．11(0,)(,0)5 2 、 C ．(0,4)(8,0)-、 D ．5(0,)(8,0)9 、 2．把方程1xy =化为以t 参数的参数方程是（ ）． A ．1 21 2x t y t -?=???=? B ．sin 1sin x t y t =???=?? C ．cos 1cos x t y t =???=?? D ．tan 1tan x t y t =???=?? 3．若直线的参数方程为12()23x t t y t =+?? =-?为参数，则直线的斜率为（ ）． A ． 23 B ．23- C ．32 D ．32 - 4．点(1,2)在圆18cos 8sin x y θ θ=-+??=? 的（ ）． A ．内部 B ．外部 C ．圆上 D ．与θ的值有关 5．参数方程为1()2 x t t t y ?=+? ??=?为参数表示的曲线是（ ）． A ．一条直线 B ．两条直线 C ．一条射线 D ．两条射线 6．两圆???+=+-=θθsin 24cos 23y x 与? ??==θθ sin 3cos 3y x 的位置关系是（ ）． A ．内切 B ．外切 C ．相离 D ．内含 7 ．与参数方程为)x t y ?=?? =??为参数等价的普通方程为（ ）． A ．22 14 y x + = B ．22 1(01)4y x x +=≤≤ C ．22 1(02)4y x y +=≤≤ D ．22 1(01,02)4 y x x y +=≤≤≤≤

极坐标与参数方程题型三：最值问题

极坐标与参数方程题型二：最值问题 13.在直角坐标系中，曲线的参数方程为，（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为. (1) 求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程； (2) 设为曲线上的动点，求点到上点的距离的最小值，并求此时点的坐标. 14、已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：? ????x ＝2＋t ，y ＝2－2t (t 为参数)． (1)写出曲线C 的参数方程、直线l 的普通方程； (2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值． 15、以原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）将极坐标方程化为普通方程，并选择恰当的参数写出它的参数方程； （2）若点()y x P ,在该圆上，求y x +的最大值和最小值．

16、已知曲线C 的极坐标方程θρsin 2=，直线l 的参数方程)(22223为参数t t y t x ??? ????=+=， 以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系； （1）求曲线l C 与直线的直角坐标方程. （2）若M 、N 分别为曲线l C 与直线上的两个动点，求||MN 的最小值. 17、已知直线l 的参数方程为1212 x t y ?=????=+??（t 为参数），曲线C 的参数方程为 2cos sin x y θθ =+??=?（θ为参数）。（1）已知在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，点P 的极坐标为(4, )3π，判断点P 与直线l 的位置关系；（2）设点Q 是曲线C 上的一个动点，求点Q 到直线l 的距离的最小值与最大值。 18、以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线l 的参数方程为???=+=α αsin cos 1t y t x (t 为参数，πα<<0)，曲线C 的极坐标方程为θθρcos 4sin 2=． （Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程； （Ⅱ）设直线l 与曲线C 相交于A 、B 两点，当α变化时，求AB 的最小值．

高中数学选修4-4极坐标与参数方程练习题

极坐标与参数方程单元练习1 一、选择题（每小题5分，共25分） 1、已知点M 的极坐标为?? ? ??35π，，下列所给出的四个坐标中能表示点M 的坐标是（ ）。 A. B. C. D. ?? ? ? ? -355π， 2、直线：3x-4y-9=0与圆：? ??==θθ sin 2cos 2y x ，(θ为参数)的位置关系是( ) A.相切 B.相离 C.直线过圆心 D.相交但直线不过圆心 3、在参数方程? ??+=+=θθ sin cos t b y t a x （t 为参数）所表示的曲线上有B 、C 两点，它们对应的参数值分别为t 1、 t 2，则线段BC 的中点M 对应的参数值是（ ） 4、曲线的参数方程为???-=+=1 2 32 2t y t x (t 是参数)，则曲线是（ ） A 、线段 B 、双曲线的一支 C 、圆 D 、射线 5、实数x 、y 满足3x 2 ＋2y 2 =6x ，则x 2 ＋y 2 的最大值为（ ） A 、 27 B 、4 C 、2 9 D 、5 二、填空题（每小题5分，共30分） 1、点()22-， 的极坐标为 。 2、若A ，B ?? ? ? ? -64π， ，则|AB|=___________，___________。（其中O 是极点） 3、极点到直线()cos sin 3ρθθ+=________ _____。 4、极坐标方程2sin 2cos 0ρθθ-?=表示的曲线是_______ _____。 5、圆锥曲线()为参数θθ θ ?? ?==sec 3tan 2y x 的准线方程是 。

6、直线l 过点()5,10M ，倾斜角是 3 π ，且与直线032=--y x 交于M ，则0MM 的长为 。 三、解答题（第1题14分，第2题16分，第3题15分；共45分） 1、求圆心为C ，半径为3的圆的极坐标方程。 2、已知直线l 经过点P(1,1),倾斜角6 π α=， （1）写出直线l 的参数方程。 （2）设l 与圆42 2=+y x 相交与两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积。 3、求椭圆14 92 2=+y x ）之间距离的最小值，与定点（上一点01P 。 极坐标与参数方程单元练习1参考答案 【试题答案】一、选择题：1、D 2、D 3、B 4、D 5、B 二、填空题：1、??? ? ?-422π， 或写成?? ? ? ? 4722π，。 2、5，6。 3、。 4、()2 2sin 2cos 02y x ρθρθ-==，即，它表示抛物线。 5、13 13 9±=y 。6、3610+。 三、解答题 1、1、如下图，设圆上任一点为P （ ），则((((2366 OP POA OA π ρθ=∠=- =?=，， ((((cos Rt OAP OP OA POA ?=?∠中， 6cos 6πρθ? ?∴=- ???而点O )32,0(π A )6 ,0(π符合 2、解：（1）直线的参数方程是是参数）t t y t x (;211,23 1??? ????+=+= （2）因为点A,B 都在直线l 上，所以可设它们对应的参数为t 1和t 2,则点A,B 的坐标分别为 ),211,231(11t t A ++ )2 1 1,231(22t t B ++ 以直线L 的参数方程代入圆的方程42 2 =+y x 整理得到02)13(2=-++t t ① 因为t 1和t 2是方程①的解，从而t 1t 2＝－2。所以|PA|·|PB|= |t 1t 2|＝|－2|＝2。 3、（先设出点P 的坐标，建立有关距离的函数关系）

极坐标与参数方程含答案(经典39题)(整理版)

高考极坐标参数方程(经典39题) 1．在极坐标系中，以点(2,)2 C π 为圆心，半径为3的圆C 与直线:() 3 l R π θρ= ∈交于,A B 两点. （1）求圆C 及直线l 的普通方程. （2）求弦长AB . 2．在极坐标系中，曲线2 :sin 2cos L ρθθ=，过点A （5，α） （α为锐角且3tan 4α= ）作平行于()4 R π θρ=∈的直线l ，且l 与曲线L 分别交于B ，C 两点. (Ⅰ)以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，取与极坐标相同单位长度，建立平面直 角坐标系，写出曲线L 和直线l 的普通方程； (Ⅱ)求|BC|的长. 3．在极坐标系中，点M 坐标是)2 , 3(π ，曲线C 的方程为)4 sin(22π θρ+ =；以 极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率是1-的直线l 经过点M ． （1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）求证直线l 和曲线C 相交于两点A 、B ，并求||||MB MA ?的值． 4．已知直线l 的参数方程是)(24222 2 是参数t t y t x ??? ??? ?+== ，圆C 的极坐标方程为 )4 cos(2π θρ+=． （1）求圆心C 的直角坐标； （2）由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值．

5．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为()为参数t t y t a x ,3?? ?=+=.在极坐标 系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为θρcos 4=. （Ⅰ）求圆C 在直角坐标系中的方程； （Ⅱ）若圆C 与直线l 相切，求实数a 的值. 6．在极坐标系中，O 为极点，已知圆C 的圆心为 (2, ) 3π ，半径r=1，P 在圆C 上运 动。 （I ）求圆C 的极坐标方程； （II ）在直角坐标系（与极坐标系取相同的长度单位，且以极点O 为原点，以极轴为x 轴正半轴）中，若Q 为线段OP 的中点，求点Q 轨迹的直角坐标方程。 7．在极坐标系中，极点为坐标原点O ，已知圆C 的圆心坐标为 ) 4,2(C π，半径为2，直线l 的极坐标方程为22)4sin(= θ+πρ. （1）求圆C 的极坐标方程； （2）若圆C 和直线l 相交于A ，B 两点，求线段AB 的长. 8．平面直角坐标系中，将曲线? ? ?==ααsin cos 4y x （α为参数）上的每一点纵坐标不变， 横坐标变为原来的一半，然后整个图象向右平移1个单位，最后横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍得到曲线1C ．以坐标原点为极点，x 的非负半轴为极轴，建立的极坐标中的曲线2C 的方程为θρsin 4=，求1C 和2C 公共弦的长度．

高中数学选修4-4-极坐标与参数方程-知识点与题型

一、极坐标系 1．极坐标系与点的极坐标 (1)极坐标系：如图4－4－1所示，在平面内取一个定点O ，叫做极点，自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标：平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．其中ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角． 2 题型一 极坐标与直角坐标的互化 1、已知点P 的极坐标为，则点P 的直角坐标为 （ ） A.（1，1） B.（1，-1） C.（-1，1） D.（-1，-1） 2、设点的直角坐标为，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点的极坐标为（ ） A ． B ． C ． D ． 3．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________． 4．在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是( ) A ．ρ＝cos θ B ．ρ＝sin θ C ．ρcos θ＝1 D ．ρsin θ＝1 5．曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________． 6. 在极坐标系中，求圆ρ＝2cos θ与直线θ＝π 4 (ρ>0)所表示的图形的交点的极坐标． 题型二 极坐标方程的应用 由极坐标方程求曲线交点、距离等几何问题时，如果不能直接用极坐标解决，可先转化为直角坐标方程，然后求解．

极坐标与参数方程题型和方法归纳

极坐标与参数方程题型和方法归纳

极坐标与参数方程题型和方法归纳 题型一：极坐标（方程）与直角坐标（方程）的相互转化，参数方程与普通方程相互转化，极坐标方程与参数方程相互转化。方法如下： {22222 cos sin tan (0x y x y x y y x x ραρα ρρθ==?=++??=≠+?? ???????→ ←???????或(1)极坐标方程直角坐标方程 2 2 1θθ=????????????→←????????????消参（代入法、加减法、sin +cos 等）圆、椭圆、直线的参数方程 (2)参数方程直角坐标方程 ??→??→←??←?? (3)参数方程直角坐标方程(普通方程)极坐标方程 1、已知直线l 的参数方程为 11233x t y t ? =+? ? ?=? （t 为参数） 以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的方程为2sin 3cos 0 θρθ=. （Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程；（Ⅱ）写出直线 l 与曲线C 交点的一个极坐标. 题型二：三个常用的参数方程及其应用 （1）圆 222 ()()x a y b r -+-=的参数方程是：

cos sin ()x a r y b r θ θθ =+?? =+?为参数 （2）椭圆 22 221(0,0,)x y a b a b a b +=>>≠的参数方程是： cos ,()sin x a y b θ θθ=?? =? 为参数 （3）过定点0 (,)P x y 倾斜角为α的直线l 的标准参数方程为： 00cos ,()sin x x t t y y t α α =+?? =+?为参数 对（3）注意： P 点所对应的参数为0 t =，记直线 l 上任意两点,A B 所对应的参数分别为1 2 ,t t ，则① 12 AB t t =-,② 1212121212,0 ,0 t t t t PA PA t t t t t t ?+?>?+=+=? -? ）以坐标原点O 为极点， 以x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l 的极坐标方程为cos 24 πρθ??+=- ?? ? （Ⅰ）设P 是曲线C 上的一个动点，当2a =时，求点P 到直线l 的距离的最小值；

最新极坐标与参数方程测试题(有详解答案)

2017高二文科极坐标与参数方程测试题 一、选择题 1.直线12+=x y 的参数方程是（ ） A 、???+==1 22 2 t y t x （t 为参数） B 、???+=-=1412t y t x （t 为参数） C 、 ???-=-=121 t y t x （t 为参数） D 、? ? ?+==1sin 2sin θθy x （t 为参数） 2.极坐标方程cos 2sin 2ρθθ=表示的曲线为（ ） A ．一条射线和一个圆 B ．两条直线 C ．一条直线和一个圆 D ．一个 3.已知??? ? ? -3,5πM ，下列所给出的不能表示点的坐标的是( ) A 、?? ? ? ?- 3,5π B 、?? ? ? ?34, 5π C 、?? ? ? ?- 32,5π D 、?? ? ? ?- -35,5π 4.极坐标系中，下列各点与点P （ρ，θ）（θ≠k π，k ∈Z ）关于极轴所在直线 对称的是（ ） A ．（-ρ，θ） B ．（-ρ，-θ） C ．（ρ，2π-θ） D ．（ρ，2π+θ） 5.点() 3,1-P ，则它的极坐标是 ( ) A 、?? ? ??3, 2π B 、?? ? ? ?3 4, 2π C 、?? ? ? ?- 3,2π D 、?? ? ? ?- 3 4,2π 6.直角坐标系xoy 中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建极坐标系，设点A,B 分别在曲 线13cos :sin x C y θθ =+??=? （θ为参数）和曲线2:1C ρ=上，则AB 的最小值为( ). A.1 B.2 C.3 D.4 7.参数方程为1()2 x t t t y ? =+ ???=?为参数表示的曲线是（ ） A ．一条直线 B ．两条直线 C ．一条射线 D ．两条射线 8.( )124123x t t x ky k y t =-?+==?=+?若直线为参数与直线垂直，则常数（ ）

最新极坐标参数方程题型归纳--7种

极坐标与参数方程(高考真题)题型归纳 一、极坐标方程与直角坐标方程的互化 1.(2015·广东理，14)已知直线l 的极坐标方程为2ρsin ????θ－π4＝2，点A 的极坐标为A ????22，7π 4，则点A 到直线l 的距离为________． [立意与点拨] 本题考查极坐标与平面直角坐标的互化、点到直线的距离，属于容易题．解答本题先进行极直互化，再求距离． 二、参数方程与直角坐标方程的互化 【解析】椭圆方程为：14622=+y x ，因为1cos sin 2 2=+x x ，令???==α αcos 2sin 6y x ，则有 X+2y=αsin 6+αcos 4=()?α++sin 166,最大值22，最小值22- 三、根据条件求直线和圆的极坐标方程 四、求曲线的交点及交点距离 4．(2015·湖北高考)在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l 的极坐标方程为ρ(sin θ－3cos θ)＝0，曲线C 的参数方程为? ??x ＝t －1t ， y ＝t ＋ 1t (t 为参数)，l 与C 相交于A ，B 两点，则|AB |＝________． 【解析】 直线l 的极坐标方程ρ(sin θ－3cos θ)＝0化为直角坐标方程为3x －y ＝0，曲线C 的参 数方程? ??x ＝t －1t ，y ＝t ＋ 1t 两式经过平方相减，化为普通方程为y 2－x 2＝4，联立? ??? ?3x －y ＝0，y 2－x 2＝4 解得???x ＝－22，y ＝－322或? ??x ＝2 2， y ＝32 2 . 所以点A ????－22，－322，B ???? 22，322. 所以|AB |＝ ????－22－222＋??? ?－322－3222＝2 5.

高考极坐标与参数方程大题题型汇总(附详细答案)

高考极坐标与参数方程大题题型汇总 1．在直角坐标系xoy 中，圆C 的参数方程1cos (sin x y ? ?? =+??=?为参数） ．以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系． （1）求圆C 的极坐标方程； （2）直线l 的极坐标方程是 C 的交点为 O 、P ,与直线l 的交点为Q ，求线段PQ 的长． 解:(1)圆C 的普通方程是22(1)1x y -+=，又cos ,sin x y ρθρθ==; 所以圆C 的极坐标方程是2cos ρθ=. ---5分 (2)设11(,)ρθ为点P 的极坐标，则有 设22(,)ρθ为点Q 的极坐标，则有 由于12θθ=，所以，所以线段PQ 的长为2. 2．已知直线l 的参数方程为431x t a y t =-+??=-? （t 为参数），在直角坐标系xOy 中，以O 点为极 点， x 轴的非负半轴为极轴，以相同的长度单位建立极坐标系，设圆M 的方程为 26sin 8 ρρθ-=-． （1）求圆M 的直角坐标方程； （2）若直线l 截圆M a 的值． 解：（1）∵2 222268(36si )n 81x y y x y ρρθ+--=-?=-?+-=， ∴圆M 的直角坐标方程为2 2 (3)1x y +-=；(5分）

（2）把直线l的参数方程 4 31 x t a y t =-+ ? ? =- ? （t为参数）化为普通方程得：34340 x y a +-+=， ∵直线l截圆M所得弦长 为，且圆M的圆心(0,3) M到直线l的距 离 |163|19 522 a d a - ===?=或 37 6 a=，∴ 37 6 a=或 9 2 a=．(10分）3．已知曲线C的参数方程为 ?? ? ? ? + = + = α α sin 5 1 cos 5 2 y x (α为参数)，以直角坐标系原点为极点，Ox轴正半轴为极轴建立极坐标系。 （1）求曲线c的极坐标方程 （2）若直线l的极坐标方程为 ρ (sinθ+cosθ)=1，求直线l被曲线c截得的弦长。 解：(1)∵曲线c的参数方程为 ?? ? ? ? + = + = α α sin 5 1 cos 5 2 y x (α为参数) ∴曲线c的普通方程为(x-2)2+(y-1)2=5 将? ? ? = = θ ρ θ ρ sin cos y x 代入并化简得： ρ =4cosθ+2sinθ 即曲线c的极坐标方程为 ρ =4cosθ+2sinθ (2)∵l的直角坐标方程为x+y-1=0 ∴圆心c到直线l的距离为d=2 2 =2∴弦长为22 5-=23 4．已知曲线C： 2 21 9 x y += ，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为 sin() 4 π ρθ-= （1）写出曲线C的参数方程，直线l的直角坐标方程； （2）设P是曲线C上任一点，求P到直线l的距离的最大值.

高三极坐标与参数方程练习题

高三极坐标与参数方程 练习题 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

高三极坐标与参数方程练习题 1．点M 的极坐标)3 2,5(π化为直角坐标为（ ） A ．)235,25(-- B ．)235,25(- C ．)235,25(- D ．)2 35,25( 2．点M 的直角坐标为)1,3(--化为极坐标为（ ） A ．)65,2(π B ．)67,2(π C ．)611,2(π D ．)6 ,2(π 3．已知曲线C 的参数方程为)(1 232为参数t t y t x ???+==则点)4,5(),1,0(21M M 与曲线C 的位置 关系是（ ） A ．1M 在曲线C 上，但2M 不在。 B ．1M 不在曲线C 上，但2M 在。 C ．1M ，2M 都在曲线C 上。 D ．1M ，2M 都不在曲线C 上。 4．椭圆 )(sin 51cos 3为参数θθθ???+-=+=y x 的两个焦点坐标是( ) A ．(-3，5)，(-3，-3) B ．(3，3)，(3，-5) C ．(1，1)，(-7，1) D ．(7，-1)，(-1，-1) 5．曲线的极坐标方程ρ=４sinθ化 成直角坐标方程为( ) A ．x 2+(y+2)2=4 B ．x 2+(y-2)2=4 C ．(x-2)2+y 2=4 D ．(x+2)2+y 2=4 6．极坐标方程4sin 2θ=3表示曲线是 ( ) A ．两条射线 B ．抛物线 C ．圆 D ．两条相交直线 7.在极坐标系中，曲线C 1与C 2的方程分别为2ρcos 2θ＝sin θ与ρcos θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C 1与C 2交点的直角坐标为________． 8. 参数方程 ?? ???+=+=θθθθcos 1sin cos 1cos y x (θ为参数)化成普通方程为 。 9. 抛物线y 2=2px(p ＞0)的一条过焦点的弦被焦点分成m 、n 长的两段，则 n m 11+ = 。 10. 在极坐标系中，点? ????2，π6到直线ρ sin ? ????θ－π6＝1的距离是________． 11. 将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C . (1)写出C 的参数方程；

高中数学选修4-4-极坐标与参数方程-知识点与题型

选做题部分 极坐标系与参数方程 一、极坐标系 1．极坐标系与点的极坐标 (1)极坐标系：如图4－4－1所示，在平面内取一个定点O ，叫做极点，自极点O 引一条射线Ox ，叫做极轴；再选定一个长度单位，一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系． (2)极坐标：平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ来刻画，这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．其中ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角． 2．极坐标与直角坐标的互化 点M 直角坐标(x ，y ) 极坐标(ρ，θ) 互化公式 题型一 极坐标与直角坐标的互化 1、已知点P 的极坐标为)4 ,2(π ，则点P 的直角坐标为 （ ） A.（1，1） B.（1，-1） C.（-1，1） D.（-1，-1） 2、设点P 的直角坐标为(3,3)-，以原点为极点，实轴正半轴为极轴建立极坐标系(02)θπ≤<，则点P 的极坐标为（ ） A ．3(32, )4π B ．5(32,)4π- C ．5(3,)4π D ．3(3,)4 π- 3．若曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ＋4cos θ，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为________． 4．在极坐标系中，过点(1,0)并且与极轴垂直的直线方程是( ) A ．ρ＝cos θ B ．ρ＝sin θ C ．ρcos θ＝1 D ．ρsin θ＝1 5．曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则曲线C 的极坐标方程为________． 6. 在极坐标系中，求圆ρ＝2cos θ与直线θ＝π 4 (ρ>0)所表示的图形的交点的极坐标．

极坐标与参数方程真题

1.（2019江苏）在极坐标系中，已知两 点3, ,42A B ππ??? ????? ，直线l 的方程为sin 34 ρθπ?? += ?? ? . （1）求A ，B 两点间的距离；（2）求点B 到直线l 的距离. 2．(2018江苏)在极坐标系中，直线l 的方程为π sin()26ρθ-=，曲线C 的方程为4cos ρθ=， 求直线l 被曲线C 截得的弦长． 3．（2017江苏）在平面坐标系中xOy 中，已知直线l 的参考方程为82 x t t y =-+?? ?=??（t 为参数），曲线C 的参数方程为2 2x s y ?=??=??（s 为参数）．设P 为曲线C 上的动点，求点P 到直 线l 的距离的最小值． （Ⅱ）设点P 在1C 上，点Q 在2C 上，求||PQ 的最小值及此时P 的直角坐标． 4．（2016江苏）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为()11,2,x t t y ? =+?? ??=??为参数， 椭圆C 的参数方程为()cos , 2sin ,x y θθθ=??=? 为参数，设直线l 与椭圆C 相交于,A B 两点，求线 段AB 的长． 5．（2015江苏）已知圆C 的极坐标方程为2sin()404 π ρθ+--=，求圆C 的半径.

答案部分 1、解：（1）设极点为O .在△OAB 中，A （3， 4π），B ，2 π ）， 由余弦定理，得AB =（2）因为直线l 的方程为sin()34ρθπ+=，则直线l 过点)2π，倾斜角为 34 π． 又)2B π，所以点B 到直线l 的距离为3sin( )242 ππ ?-=. 2、因为曲线C 的极坐标方程为=4cos ρθ，所以曲线C 的圆心为(2,0)，直径为4的圆． 因为直线l 的极坐标方程为πsin()26ρθ-=，则直线l 过(4,0)A ，倾斜角为π 6， 所以A 为直线l 与圆C 的一个交点．设另一个交点为B ，则∠OAB =π 6 ． 连结OB ，因为OA 为直径，从而∠OBA = π2 ， O l 所以π 4cos 6 AB ==l 被曲线C 截得的弦长为 3．直线l 的普通方程为280x y -+=. 因为点P 在曲线C 上，设2(2,)P s ， 从而点P 到直线l 的的距离22d = =， 当 s = min 5 d = . 因此当点P 的坐标为(4,4)时，曲线C 上点P 到直线l 的距离取到最小值 5 .

极坐标与参数方程题型及解题方法

Ⅰ复习提问 1、 极坐标系和直角坐标系有什么区别？学校老师课堂如何讲解极坐标参数方程的？ 2、 如何把极坐标系转化为直角坐标系？ 答：将极坐标的极点O 作为直角坐标系的原点，将极坐标的极轴作为直角坐标系x 轴的正半轴。如果点P 在直角坐标系下的坐标为（x ，y ），在极坐标系下的坐标为),(θρ, 则有下列关系成立： ρθρ θy sin x cos = = 3、 参数方程{ cos sin x r y r θθ ==表示什么曲线？ 4、 圆(x-a)2+(y-b)2=r2的参数方程是什么？ 5、 极坐标系的定义是什么？ 答：取一个定点O ，称为极点，作一水平射线Ox ，称为极轴，在Ox 上规定单位长度，这样就组成了一个极坐标系设OP=ρ，又∠xOP=θ. ρ和θ的值确定了，则P 点的位置就 确定了。ρ叫做P 点的极半径，θ叫做P 点的极角，),(θρ叫做P 点的极坐标（规定ρ写在前，θ写在后）。显然，每一对实数),(θρ决定平面上一个点的位置 6、参数方程的意义是什么？

Ⅱ 题型与方法归纳 1、 题型与考点（1） { 极坐标与普通方程的互相转化极坐标与直角坐标的互相转化 （2） { 参数方程与普通方程互化 参数方程与直角坐标方程互化 (3) { 利用参数方程求值域参数方程的几何意义 2、解题方法及步骤 （1）、参数方程与普通方程的互化 化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式（三角的或代数的）消去法；化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t ，先确定一个关系()x f t =（或()y g t =，再代入普通方程 (),0F x y =，求得另一关系()y g t =（或()x f t =）.一般地，常选择的参数有角、有向 线段的数量、斜率，某一点的横坐标（或纵坐标） 例1、方程2222 t t t t x t y --?=-? ?=+??（为参数）表示的曲线是（ ） A. 双曲线 B.双曲线的上支 C.双曲线的下支 D.圆 解析：注意到2t t 与2t -互为倒数，故将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减，即可消去含t 的项，()() 2 2 2222224t t t t x y ---=--+=-， 即有22 4y x -=，又注意到 202222t t t y ->+≥=≥，，即，可见与以上参数方程等价的普通方程为 2242y x y -=≥（）.显然它表示焦点在y 轴上，以原点为中心的双曲线的上支，选B

极坐标与参数方程高考题含答案

极坐标与参数方程高考题 1.在直角坐标系xOy 中，直线1:2C x =-，圆()()2 2 2:121C x y -+-=，以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系. （I ）求12,C C 的极坐标方程. （II ）若直线3C 的极坐标方程为()π R 4 θρ=∈，设23,C C 的交点为,M N ，求2C MN ? 的面积. 解：（Ⅰ）因为cos ,sin x y ρθρθ==，∴1C 的极坐标方程为cos 2ρθ=-，2C 的极坐标方程为22cos 4sin 40ρρθρθ--+=. （Ⅱ）将= 4 π θ代入2 2cos 4sin 40ρρθρθ--+=，得 240 ρ-+=，解得1ρ=， 2ρ，|MN|=1ρ－2ρ，因为2C 的半径为1，则2C MN V 的面积o 1 1sin 452 ?=12 . 2.已知曲线194:2 2=+y x C ，直线???-=+=t y t x l 222:（t 为参数） （1）写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程； （2）过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求PA 的最大值与最小值. 解：(1)曲线C 的参数方程为(θ为参数).直线l 的普通方程为2x+y-6=0. (2)曲线C 上任意一点P(2cos θ,3sin θ)到l 的距离为 |4cos θ+3sin θ-6|,

则|PA|==|5sin(θ+α)-6|,其中α为锐角,且tan α= 43 . 当sin(θ+α)=-1时,|PA|取得最大值,.当sin(θ+α)=1时,|PA|取得最小 值,. 3.在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C 的极坐 标方程为ρ=2cos θ02πθ?? ∈???? ，, (1)求C 的参数方程;(2)设点D 在C 上,C 在D 处的切线与直线x+2垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定D 的坐标. 解：(1)C 的普通方程为(x-1)2+y 2=1(0≤y ≤1).可得C 的参数方程为: x 1cos sin y θ θ=+??=? (0≤θ ≤π). (2)设D(1+cos θ,sin θ).由(1)知C 是以G(1,0)为圆心,1为半径的上半圆. 因为C 在点D 处的切线与l 垂直,所以直线GD 与l 的斜率相同,tan θ,θ= 3 π .故D 的 直角坐标为32（. 4.将圆x 2+y 2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C. (1)写出C 的参数方程; (2)设直线l:2x+y-2=0与C 的交点为P 1,P 2,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程.

极坐标与参数方程经典试题带详细解答

极坐标与参数方程经典试题带详细解答

————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期： 2

1．极坐标系与直角坐标系xoy 有相同的长度单位，以原点O 为极点，以x 轴正半轴为 极轴.已知直线l 的参数方程为12232 x t y t ?=+?? ??=??（t 为参数），曲线C 的极坐标方程为 2sin 8cos ρθθ=.（Ⅰ）求C 的直角坐标方程；（Ⅱ）设直线l 与曲线C 交于,A B 两 点，求弦长||AB . 2．已知直线l 经过点1 (,1)2P ，倾斜角α＝ 6 π ，圆C 的极坐标方程为2cos()4πρθ=-. (1)写出直线l 的参数方程，并把圆C 的方程化为直角坐标方程； (2)设l 与圆C 相交于两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积． 3．（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程 已知直线l 的参数方程是)(242 2 2 2 是参数t t y t x ??? ? ?? ? +==，圆C 的极坐标方程为 )4 cos(2π θρ+=． （I ）求圆心C 的直角坐标；(Ⅱ)由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值． 4．已知极坐标系的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与直角坐标系中x 轴的正半轴重合，且两坐标系有相同的长度单位，圆C 的参数方程为12cos 12sin x y α α =+??=-+?（α为参数）， 点Q 的极坐标为7(22,)4 π。 （1）化圆C 的参数方程为极坐标方程； （2）直线l 过点Q 且与圆C 交于M ，N 两点，求当弦MN 的长度为最小时，直线l 的直角坐标方程。 5．在极坐标系中，点M 坐标是)2, 3(π ，曲线C 的方程为)4 sin(22π θρ+ =；以极点 为坐标原点，极轴为x 轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率是1-的直线l 经过点M ． （1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）求证直线l 和曲线C 相交于两点A 、B ，并求||||MB MA ?的值．

极坐标与参数方程知识点及题型归纳总结

极坐标与参数方程知识点及题型归纳总结 知识点精讲 一、极坐标系 在平面上取一个定点O ，由点O 出发的一条射线Ox 、一个长度单位及计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，合称为一个极坐标系.点O 称为极点，Ox 称为极轴.平面上任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从Ox 到OM 的角度θ (弧度制)来刻画(如图16-31和图16-32所示). 这两个实数组成的有序实数对(,)ρθ称为点M 的极坐标. ρ称为极径，θ称为极角. 二、极坐标与直角坐标的互化 设M 为平面上的一点，其直角坐标为(,)x y ，极坐标为(,)ρθ，由图16-31和图16-32可知，下面的关系式成立: cos sin x y ρθρθ=??=?或222 tan (0) x y y x x ρθ?=+? ?=≠?? （对0ρ<也成立）. 三、极坐标的几何意义 r ρ=——表示以O 为圆心，r 为半径的圆； 0θθ=——表示过原点(极点)倾斜角为0θ的直线，0(0)θθρ=≥为射线； 2cos a ρθ=表示以(,0)a 为圆心过O 点的圆. (可化直角坐标: 2 2cos a ρρθ=2 2 2x y ax ?+=2 2 2 ()x a y a ?-+=.) 四、直线的参数方程 直线的参数方程可以从其普通方程转化而来，设直线的点斜式方程为 00()y y k x x -=-，其中tan (k αα=为直线的倾斜角)，代人点斜式方程: 00sin ()()cos 2 y y x x απ αα-= -≠,即00cos sin x x y y αα--=. 记上式的比值为t ,整理后得00cos t sin x x t y y αα =+??=+?,2π α=也成立，故直线的参数方程为

极坐标参数方程高考练习含答案解析(非常好的练习题)

极坐标与参数方程高考精练（经典39题） 1．在极坐标系中，以点(2,)2C π 为圆心，半径为3的圆C 与直线:()3l R π θρ=∈交于,A B 两点.（1）求圆C 及直线 l 的普通方程.（2）求弦长AB . 2．在极坐标系中，曲线2:sin 2cos L ρθθ=，过点A （5，α）（α为锐角且3tan 4α=）作平行于()4 R πθρ=∈的直线l ，且l 与曲线L 分别交于B ，C 两点. (Ⅰ)以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，取与极坐标相同单位长度，建立平面直角坐标系，写出曲线L 和直线l 的普通方程；(Ⅱ)求|BC|的长. 3．在极坐标系中，点M 坐标是)2,3(π ，曲线C 的方程为)4 sin(22πθρ+=；以极点为坐标原点，极轴为x 轴的正半 轴建立平面直角坐标系，斜率是1-的直线l 经过点M ． （1）写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）求证直线l 和曲线C 相交于两点A 、B ，并求||||MB MA ?的值．

4．已知直线l 的参数方程是)(242222是参数t t y t x ???????+==，圆C 的极坐标方程为)4cos(2πθρ+=． （1）求圆心C 的直角坐标；（2）由直线l 上的点向圆C 引切线，求切线长的最小值． 5．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为()为参数t t y t a x ,3???=+=.在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长 度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C 的方程为θρcos 4=. （Ⅰ）求圆C 在直角坐标系中的方程； （Ⅱ）若圆C 与直线l 相切，求实数a 的值. 6．在极坐标系中，O 为极点，已知圆C 的圆心为(2,)3π，半径r=1，P 在圆C 上运动。 （I ）求圆C 的极坐标方程；（II ）在直角坐标系（与极坐标系取相同的长度单位，且以极点O 为原点，以极轴为x 轴正半轴）中，若Q 为线段OP 的中点，求点Q 轨迹的直角坐标方程。

极坐标与参数方程知识点、题型总结

极坐标与参数方程知识点、题型总结 一、伸缩变换：点),(y x P 是平面直角坐标系中的任意一点，在变换 ???>?='>?='). 0(,y y 0),(x,x :μμλλ?的作用下，点),(y x P 对应到点),(y x P '''，称伸缩变换 一、 1、极坐标定义：M 是平面上一点，ρ表示OM 的长度，θ是M Ox ∠，则有序实数实 数对(,)ρθ,ρ叫极径，θ叫极角；一般地，[0,2)θπ∈，0ρ≥。，点P 的直角坐标、极坐标分别为(x ，y )和(ρ，θ) 2、直角坐标?极坐标 cos sin x y ρθρθ=??=?2、极坐标?直角坐标222 tan (0)x y y x x ρθ?=+??=≠?? 3、求直线和圆的极坐标方程：方法一、先求出直角坐标方程，再把它化为极坐标方程 方法二、（1）若直线过点M (ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为： ρsin(θ－α)＝ρ0sin(θ0－α)（2）若圆心为M (ρ0，θ0)，半径为r 的圆方程为ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ02－r 2＝0 二、参数方程：（一）．参数方程的概念：在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标y x ,都是某个变数t 的函数???==), (),(t g y t f x 并且对于t 的每一个允许值，由这个方程所确 定的点),(y x M 都在这条曲线上，那么这个方程就叫做这条曲线的参数方程，联系变数y x ,的变数t 叫做参变数，简称参数。相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程。 （二）．常见曲线的参数方程如下：直线的标准参数方程 1、过定点（x 0，y 0），倾角为α的直线： αα sin cos 00t y y t x x +=+=（t 为参数） （1）其中参数t 的几何意义：点P （x 0，y 0），点M 对应的参数为t ，则PM =|t| (2)直线上12,P P 对应的参数是12,t t 。|P 1P 2|＝|t 1－t 2|＝ t 1＋t 2 2 －4t 1t 2.