极坐标与参数方程题型及解题方法

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Ⅰ复习提问

1、 极坐标系和直角坐标系有什么区别?学校老师课堂如何讲解极坐标参数方程的?

2、 如何把极坐标系转化为直角坐标系?

答:将极坐标的极点O 作为直角坐标系的原点,将极坐标的极轴作为直角坐标系x 轴的正半轴。如果点P 在直角坐标系下的坐标为(x ,y ),在极坐标系下的坐标为),(θρ, 则有下列关系成立:

ρθρ

θy

sin x

cos =

=

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3、 参数方程{

cos sin x r y r θθ

==表示什么曲线?

4、 圆(x-a)2+(y-b)2=r2的参数方程是什么?

5、 极坐标系的定义是什么?

答:取一个定点O ,称为极点,作一水平射线Ox ,称为极轴,在Ox 上规定单位长度,这样就组成了一个极坐标系设OP=ρ,又∠xOP=θ.

ρ和θ的值确定了,则P 点的位置就

确定了。ρ叫做P 点的极半径,θ叫做P 点的极角,),(θρ叫做P 点的极坐标(规定ρ写在前,θ写在后)。显然,每一对实数),(θρ决定平面上一个点的位置 6、参数方程的意义是什么?

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Ⅱ 题型与方法归纳

1、 题型与考点(1)

{

极坐标与普通方程的互相转化极坐标与直角坐标的互相转化

(2)

{

参数方程与普通方程互化

参数方程与直角坐标方程互化

(3) {

利用参数方程求值域参数方程的几何意义

2、解题方法及步骤 (1)、参数方程与普通方程的互化

化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数,常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法;化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数,即选定合适的参数t ,先确定一个关系()x f t =(或()y g t =,再代入普通方程

(),0F x y =,求得另一关系()y g t =(或()x f t =).一般地,常选择的参数有角、有向

线段的数量、斜率,某一点的横坐标(或纵坐标)

例1、方程22

22

t t

t t

x t y --?=-??=+??(为参数)表示的曲线是( ) A. 双曲线 B.双曲线的上支 C.双曲线的下支 D.圆

解析:注意到2t t

与2t

-互为倒数,故将参数方程的两个等式两边分别平方,再相减,即可消去含t 的项,()

()2

2

2222224t t

t t x y ---=--+=-,

即有22

4y x -=,又注意到

202222t t t y ->+≥=≥,,即,可见与以上参数方程等价的普通方程为

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2242y x y -=≥().显然它表示焦点在y 轴上,以原点为中心的双曲线的上支,选B 练习1、与普通方程2

10x y +-=等价的参数方程是( )(t 为能数)

222

sin cos ....cos 1sin x t x tgt x t x A B C D y t y tg t y t y t

===????=?

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????==-==????? 解析:所谓与方程210x y +-=等价,是指若把参数方程化为普通方程后不但形式一致而且,x y 的变化范围也对应相同,按照这一标准逐一验证即可破解.

对于A 化为普通方程为[][]2101101x y x y +-=∈-∈,,,,; 对于B 化为普通方程为210(1]x y x R y +-=∈∈-∞,,,; 对于C 化为普通方程为210[0)(1]x y x y +-=∈+∞∈-∞,,,,; 对于D 化为普通方程为[][]2101101x y x y +-=∈-∈,,,,.

而已知方程为210(1]x y x R y +-=∈∈-∞,,,,

显然与之等价的为B. 练习2、设P 是椭圆222312x y +=上的一个动点,则2x y +的最大值是 ,最小值为 .

分析:注意到变量(),x y 的几何意义,故研究二元函数2x y +的最值时,可转化为几何问题.若设2x y t +=,则方程2x y t +=表示一组直线,(对于t 取不同的值,方程表示不同的直线),显然(),x y 既满足2

2

2312x y +=,又满足2x y t +=,故点(),x y 是方程组

222312

2x y x y t

?+=?

+=?的公共解,依题意得直线与椭圆总有公共点,从而转化为研究消无后的一元二次方程的判别式0?≥问题.

解析:令2x y t +=,对于(),x y 既满足22

2312x y +=,又满足2x y t +=,故点(),x y 是方程组2223122x y x y t

?+=?+=?的公共解,依题意得()22

1182120y t y t -?+-=,由

()22644112120t t ?=-??-≥,

解得:t ≤≤所以2x y +

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最小值为(2)、极坐标与直角坐标的互化 利用两种坐标的互化,可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题,这二者互化的前提条件是(1)极点与原点重合;(2)极轴与x 轴正方向重合;(3)取相同的单位长度.设点P 的直

角坐标为(),x y ,它的极坐标为(),ρθ,则 222

cos sin x y x y

y tg x ρρθρθθ?=+=??

??==

???

或;若把直角坐标化为极坐标,求极角θ时,应注意判断点P 所在的象限(即角θ的终边的位置),以便正确地求出角θ.

例2、极坐标方程2

4sin

52

θ

ρ?=表示的曲线是( )

A. 圆

B. 椭圆

C. 双曲线的一支

D. 抛物线

分析:这类问题需要将极坐标方程转化为普通方程进行判断.

解析:由2

1cos 4sin

422cos 5

22

θ

θ

ρρρρθ-?=?

=-=

,化为直角坐标系方程为25x =,化简得225

54

y x =+.显然该方程表示抛物线,故选D.

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练习1、

已知直线的极坐标方程为sin 42πρθ?

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?+= ???

,则极点到该直线的距离是

解析:极点的直角坐标为()0,0o

,对于方程sin 4πρθρθθ??

?+==? ??????

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可得sin cos 1ρθρθ∴+=,化为直角坐标方程为10x y +-=

,因此点到直线的距离为2

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练习2、极坐标方程2cos 0ρθρ-=转化成直角坐标方程为( )

A .201y y +==2x 或

B .1x =

C .201y +==2x 或x

D .1y =

分析:极坐标化为直解坐标只须结合转化公式进行化解.

解析:(cos 1)0,0,cos 1x ρρθρρθ-==

===或,因此选C.

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练习3、点M

的直角坐标是(1-,则点M 的极坐标为( )

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A .(2,)3

π B .(2,)3π- C .2(2,

)3π D .(2,2),()3k k Z π

π+∈ 解析:2(2,2),()3

k k Z π

π+∈都是极坐标,因此选C. (3)、参数方程与直角坐标方程互化

例题3:已知曲线1C 的参数方程为?????=+-=θ

θsin 10cos 102y x (θ为参数),曲线2C 的极坐标方

程为θθρsin 6cos 2+=.

(1)将曲线1C 的参数方程化为普通方程,将曲线2C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)曲线1C ,2C 是否相交,若相交请求出公共弦的长,若不相交,请说明理由.

解:(1)由?????=+-=θ

θ

sin 10cos 102y x 得

10)2(22=++y x

∴曲线1C 的普通方程为10)2(2

2

=++y x ∵θθρsin 6cos 2+= ∴θρθρρsin 6cos 22

+=

∵θρθρρsin ,cos ,2

2

2

==+=y x y x

∴y x y x 622

2

+=+,即10)3()1(2

2

=-+-y x

∴曲线2C 的直角坐标方程为

D

A

F

E

O

B

C

10)3()1(22=-+-y x

(2)∵圆1C 的圆心为)0,2(-,圆2C 的圆心为)3,1( ∴10223)30()12(C 2221<=-+--=C

∴两圆相交

设相交弦长为d ,因为两圆半径相等,所以公共弦平分线段21C C

∴22

2

)10()2

23(

)2

(=+d ∴22=d

∴公共弦长为22 练习1、坐标系与参数方程.

已知曲线C :θ??

+=θ

+=(sin 21cos 23y x 为参数,0≤θ<2π), (Ⅰ)将曲线化为普通方程;

(Ⅱ)求出该曲线在以直角坐标系原点为极点,x 轴非负半轴为极轴的极坐标系下的极坐标方程.

解析:(Ⅰ)023222=--+y x y x

(Ⅱ)()

θ+θ=ρsin cos 32

(4)利用参数方程求值域 例题4、在曲线1C :??

?=+=)y x 为参数θθ

θ

(sin cos 1上求一点,使它到直线2C

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12

(112

x t t y t ?

=-???

?=-??为参数)的距离最小,并求出该点坐标和最小距离。 解:直线C 2化成普通方程是x+y-22-1=0

设所求的点为P (1+cos θ,sin θ) 则C 到直线C 2的距离d=

2

|

122sin cos 1|-+++θθ

=|sin(θ+

4

π

)+2| 当234ππ

θ=+时,即θ=4

时,d 取最小值1

此时,点P 的坐标是(1-

22,-2

2)

练习1、在平面直角坐标系xOy 中,动圆2228cos 6sin 7cos 80x y x y θθθ+--++=(θ∈R )的圆心为(,)P x y ,求2x y -的取值范

解:由题设得4c o s ,

3s i n x y θθ=??=?(θ为参数,θ∈R ) 于是.

28c o s 3s i 73c o s ()x y θθθ?-=-+,

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所以

2x y -

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练习2、已知曲线C 的极坐标方程是θρsin 2=,设直线L 的参数方程是??

???=+-=,

54253t

y t x (t 为参数).

(Ⅰ)将曲线C 的极坐标方程转化为直角坐标方程;

(Ⅱ)设直线L 与x 轴的交点是M ,N 曲线C 上一动点,求MN 的最大值.

解:(1)曲线C 的极坐标方程可化为:

θρρsin 22=

又 θρθρρsin ,cos ,222===

+y x y x .

所以,曲线C 的直角坐标方程为:

0222=-+y y x .

(2)将直线L 的参数方程化为直角坐标方程得:)2(3

4

--=x y 令 0=y 得 2=x 即M 点的坐标为)0,2(

又曲线C 为圆,圆C 的圆心坐标为)1,0(,半径1=r , 则5=

MC

∴15+=

+≤r MC MN

(5)直线参数方程中的参数的几何意义

例5、已知直线l 经过点(1,1)P ,倾斜角6

π

α=,

①写出直线l 的参数方程;

②设l 与圆422=+y x 相交与两点,A B ,求点P 到,A B 两点的距离之积.

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解 (1)直线的参数方程为1cos 61sin 6x t y t ππ?=+????=+??

,即12112x y t ?=+???

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?=+??. (2

)把直线12112

x y t ?=+???

?=+??代入422=+y x ,

得2221

(1)(1)4,1)2022

t t t t +

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++=+-=,122t t =-, 则点P 到,A B 两点的距离之积为2.

练习1、求直线415

315x t y t

?

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=+????=--??

(为参数t

)被曲线)4πρθ=+所截的弦长.

解:将方程415315x t y t ?=+???

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?=--??

,)4

π

ρθ=+

分别化为普通方程:

3410x y ++=,220,x y x y +-+=

17

.

105

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d =11圆心C (,-=,弦长=22

(6)、参数方程与极坐标的简单应用

参数方程和极坐标的简单应用主要是:求几何图形的面积、曲线的轨迹方程或研究某些函数的最值问题.

例6、已知ABC ?的三个顶点的极坐标分别为55623A B C πππ??

????

- ? ? ?????

?

?

,,,,,,判

断三角形ABC 的三角形的形状,并计算其面积.

分析:判断△ABC 的形状,就需要计算三角形的边长或角,在本题中计算边长较为容易,不妨先计算边长.

解析:如图,对于55366

AOB BOC AOC πππ

∠=∠=∠=,,,

又5,OA OB OC ===

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222

2cos AC OA OC OA OC AOC

=+-??

∠(

2

2

5525cos

6

π

=+-?? B

A

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O x C

133

=

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,AC

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,BC=

同理,,AC BC

∴=,ABC

∴?为等腰三角形,5

AB OA OB

===

又,所以AB边上的高

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2 h==

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,

1

5

224

ABC

S

?

∴=?=

练习1、如图,点A在直线x=5上移动,等腰△OPA的顶角∠OPA为120°(O,P,A按顺时

针方向排列),求点P的轨迹方程.

解析:取O为极点,x正半轴为极轴,建立极坐标系,则

直线5

x=的极坐标方程为cos5

ρθ=,设A(

ρ,

θ),

P(),ρθ,因点A在直线cos5

ρθ=上,

00

cos51

ρθ

∴=<>

OPA

?

为等腰三角形,且

120

OPA OP OA

ρρ

∠=?==

,而,,以及30

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POA

∠=?

00

302

ρθθ

∴=-?<>

,且,把<2>代入

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<1>,得点

P的轨迹的极坐标方程为:()

cos305

θ-?=.

Ⅲ趁热打铁

1.把方程1

xy=化为以t参数的参数方程是()

A.

1

2

1

2

x t

y t-

?

=

?

?

?=

?

B.

sin

1

sin

x t

y

t

=

?

?

?

=

??

C.

cos

1

cos

x t

y

t

=

?

?

?

=

??

D.

tan

1

tan

x t

y

t

=

?

?

?

=

??

解析:D 1

xy=,x取非零实数,而A,B,C中的x的范围有各自的限制

2.曲线

25

()

12

x t

t

y t

=-+

?

?

=-

?

为参数与坐标轴的交点是()

A.

21

(0,)(,0)

52

、B.

11

(0,)(,0)

52

、C.(0,4)(8,0)

-、D.

5

(0,)(8,0)

9

解析:B 当0

x=时,

2

5

t=,而12

y t

=-,即

1

5

y=,得与y轴的交点为

1

(0,)

5

当0

y=时,

1

2

t=,而25

x t

=-+,即

1

2

x=,得与x轴的交点为

1

(,0)

2

3.直线

12

()

2

x t

t

y t

=+

?

?

=+

?

为参数被圆229

x y

+=截得的弦长为()

A.

12

5

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B

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C

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D

y

P A

O x

解析:B

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1

12

2

1

x

x t

y t

y

?

=+

?

=+

??

?

??

=+

??=+

??

,把直线

12

2

x t

y t

=+

?

?

=+

?

代入229

x y

+=得222

(12)(2)9,5840

t t t t

+++=+-=

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12

12

5

t t-===

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12

t-=

4.若点(3,)

P m在以点F为焦点的抛物线

2

4

()

4

x t

t

y t

?=

?

=

?

为参数上,

则PF等于()

A.2B.3C.4D.5

解析:C 抛物线为24

y x

=,准线为1

x=-,PF为(3,)

P m到准线1

x=-的距离,即为4

5.已知曲线

2

2

()

2

x pt

t p

y pt

?=

?

=

?

为参数,为正常数上的两点,

M N对应的参数分别为

12,

t t

和,12

t t+=

且,那么MN=_______________。

解析:

1

4p t显然线段MN垂直于抛物线的对称轴。即x轴,

121

222

MN p t t p t

=-=

6.圆的参数方程为

3sin4cos

()

4sin3cos

x

y

θθ

θ

θθ

=+

?

?

=-

?

为参数,则此圆的半径为_______________。解析:由

3sin4cos

4sin3cos

x

y

θθ

θθ

=+

?

?

=-

?

得2225

x y

+=故半径为5

7.分别在下列两种情况下,把参数方程

1

()cos

2

1

()sin

2

t t

t t

x e e

y e e

θ

θ

-

-

?

=+

??

?

?=-

??

化为普通方程:

(1)θ为参数,t为常数;(2)t为参数,θ为常数;

解:(1)当0

t=时,0,cos

y xθ

==,即1,0

x y

≤=

且;

当0t ≠时,cos ,sin 11()()2

2

t t t t x y e e e e θθ--=

=

+-

而2

2

sin

cos 1θθ+=,即

2

2

22111()()4

4

t

t t

t x y e e e e --+

=+-

(2)当,k k Z θπ=∈时,0y =,1()2

t

t x e e -=±

+,即1,0x y ≥=且; 当,2k k Z πθπ=+∈时,0x =,1()2

t t

y e e -=±-,即0x =;

当,2k k Z πθ≠∈时,得2cos 2sin t t t t x e e y e e θθ--?+=????-=??,即222cos sin 222cos sin t

t x y e x y e θθθθ-?=+????=-

??

得222222(

)()cos sin cos sin t

t

x y x y e e

θθθθ

-?=+- 即22

2

21cos sin x y θθ

-=。

8

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.过点P 作倾斜角为α的直线与曲线22121x y +=交于点,M N , 求PM PN ?的值及相应的α的值

极坐标与参数方程题型及解题方法

解:设直线为cos ()sin x t t y t αα?=

???=?

为参数,代入曲线并整理得

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223(1sin ))02

t t αα+++

= 则122321sin PM PN t t α?==+ 所以当2

sin 1α=时,即2πα=,PM PN ?的最小值为34,此时2πα=

9.参数方程cos (sin cos )

()sin (sin cos )x y θθθθθθθ=+??=+?

为参数表示什么曲线?

解:显然tan y x θ=,则22

2222

111,cos cos 1y y x x θθ

+==+

2

222112tan cos sin cos sin 2cos cos 221tan x θθθθθθθθ=+=

+=?++ 即222222

22

2

1

11,(1)12

111y y y y x x x x y y y x x x

x x

+=?

+=+=++++ 得21y y

x x x

+=+,即220x y x y +--= Ⅳ 温故强化

1.下列在曲线sin 2()cos sin x y θ

θθθ

=??

=+?为参数上的点是( )

A

.1

(,2

B .31

(,)42

-

C

. D

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. 解析:B 转化为普通方程:2

1y x =+,当34x =-时,12

y =

2.将参数方程2

2

2sin ()sin x y θ

θθ

?=+??=??为参数化为普通方程为( ) A .2y x =- B .2y x =+ C .2(23)y x x =-≤≤ D .2(01)y x y =+≤≤ 解析:C 转化为普通方程:2y x =-,但是[2,3],[0,1]x y ∈∈

3. 若A 33,π?? ???,B -?

? ??

?36,π,则|AB|=___________,S AOB ?=___________。(其中O 是极

点)

解析:在极坐标系中画出点A 、B ,易得∠=?AOB 150

(

)

??AOB AB OA OB OA OB AOB

AB S OA OB AOB OAB 中,由余弦定理,得:

2

2

2

2223323315018933233

2

621212331509

4

=+-?∠∴=+-????=+=+=+=??∠=????=

cos cos sin sin

4.直线122

()112

x t t y t ?=-???

?=-+??为参数被圆224x y +=截得的弦长为______________

解析: 直线为10x y +-=

,圆心到直线的距离d =

=

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,弦长的一半为2

=

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5. 直线x x t

y y t

=+=-???003(t 为参数)上任一点P 到()P x y 000,的距离为__________

解析:所求距离为2|t|(把直线的参数方程化为标准形式)

6. 若、是椭圆

的焦点,为椭圆上不在轴上的点,则的重心F F x y P x PF F G 1222

122516

1+=? 的轨迹方程为____________。

解析:设()()()()G x y P F F ,,,,而,,,54303012cos sin θθ- 由重心坐标公式,得:()x y =+-+==++=??

?????533353400343cos cos sin sin θθθθθ(为参数) 消参,得点G 的轨迹方程为925916

122

x y +=

7. 若方程m m ρθρθθcos sin cos 22360+-=的曲线是椭圆,求实数的取值范围。 解析:将方程两边同乘以ρ,化为: ()()m ρθρθρθc o s s i n c o s 22

360+-=

即整理,得:

若方程表示椭圆,则须满足:

mx y x x m m y m m 222

2

236039

31+-=-?

? ??

?+= ()()9

03

0930303322m m

m m m m m >>≠??????

????>≠?∈+∞且,,

8. 求椭圆x y P 22

94

110+=上一点与定点(,)之间距离的最小值 解析:(先设出点P 的坐标,建立有关距离的函数关系)

()()()()

设,,则到定点(,)的距离为P P d 32103120565535165

22

2

2

cos sin cos sin cos cos cos θθθθθθθθ=-+-=-+=-?

? ???+

当时,取最小值cos )θθ=

(3545

5

d 9.在椭圆22

11612x y +=上找一点,使这一点到直线2120x y --

=的距离的最小值。

解析:设椭圆的参数方程为4cos x y θ

极坐标与参数方程题型及解题方法

θ=???=??

,d =

极坐标与参数方程题型及解题方法

3)33

θ

θθθ=

极坐标与参数方程题型及解题方法

极坐标与参数方程题型及解题方法

极坐标与参数方程题型及解题方法

-=+- 当cos()13

π

θ+=时,min 5

d =

极坐标与参数方程题型及解题方法

,此时所求点为(2,3)-。

10.求直线11:()5x t l t y =+???=-?

极坐标与参数方程题型及解题方法

极坐标与参数方程题型及解题方法

?为参数和直线2:0l x y --=的交点P 的坐标,及点P 与(1,5)Q -

的距离。

解析:将15x t

y =+???=-

+??代入0x y -

-=得t =

极坐标与参数方程题型及解题方法

极坐标与参数方程题型及解题方法

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得(1P +,而(1,5)Q -

极坐标与参数方程题型及解题方法

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极坐标与参数方程题型及解题方法

,得PQ ==

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