概率论复习题及答案
概率论与数理统计复习题
一．事件及其概率
1.设 A, B, C 为三个事件，试写出下列事件的表达式：
(1) A, B, C都不发生； (2)A, B, C 不都发生；(3) A, B, C 至少有一个发生；(4) A, B, C至多有一个发生。
解： (1) ABC A B C
(2)ABCABC
(3) A B C
(4)BC AC AB
2.设 A , B 为两相互独立的随机事件, P( A)0.4 , P( B) 0.6 ,求 P( A B), P( A B), P( A | B) 。
解： P( A B) P( A) P(B) P( AB) P( A) P(B) P(A)P( B) 0.76 ；
P(A B) P(AB) P(A)P(B) 0.1 3.设 A, B 互斥， P(A) 0.5 ， P( A B) 0.9 ，求 P( B), P(A B) 。
解： P(B) P(A B) P(A) 0.4, P( A B) P( A)0.5 。
4. 设P( A) 0.5, P(B) 0.6, P(A | B) 0.5，求 P(A B), P( AB) 。
解： P( AB) P( B)P( A | B) 0.3, P( A B) P( A)P( B) P( AB) 0.8,
P(AB)P( A B)P( A)P( A)B。0. 2
5.设 A, B, C 独立且 P( A) 0.9, P(B) 0.8, P(C ) 0.7, 求 P(A B C) 。
解： P(A B C) 1 P( A B C) 1 P( ABC) 1 P(A)P(B)P(C) 0.994 。
6.袋中有 4 个黄球，6个白球，在袋中任取两球，求
(1)取到两个黄球的概率；
(2)取到一个黄球、一个白球的概率。
C422P C41C618
解： (1) P； (2)C2。
C21515
1010
7. 从0 ~ 9十个数字中任意选出三个不同的数字，求三个数字中最大数为5的概率。
C11C521解： P。
C10312
8. 从 (0,1)
中任取两数，求两数之和小于
0.8 的概率。
1
0.8
0.8
解： P
2
0.32。
1
9. 甲袋中装有 5 只红球， 15 只白球，乙袋中装有 4 只红球， 5 只白球，现从甲袋中任取一球放入乙袋中，再
从乙袋中任取一球，问从乙袋中取出红球的概率为多少？
解：设 A
“从甲袋中取出的是红球 ”， B “从乙袋中取出的是红球 ”，则：
1 3 1
2 P( A)
,P(A)
,P(B |A)
,PB(A|),
4
4
2
5
由全概率公式得：
P(B) P(A)P( B | A) P( A) P(B | A)
17 。
40
10. 某大卖场供应的微波炉中， 甲、乙、丙三厂产品各占 50%、40%、10%，而三厂产品的合格率分别为 95%、85%、 80%，求
(1) 买到的一台微波炉是合格品的概率；
(2) 已知买到的微波炉是合格品，则它是甲厂生产的概率为多大？
解： (1) 设 A 1 , A 2 , A 3 分别表示买到的微波炉由甲、乙、丙厂生产，
B 表示买到合格品，则
P( A 1 ) 0. 5P, A(2 )
0.P4 3,A ( )
P0. B1,1 A(
| ) P0.B92 5A,
( | P) 3B0.A,85, ( | )
3
由全概率公式得 P( B)
P( A i ) P(B | A i ) 0.895 ；
i 1
(2) P(A 1|B)
P( A 1B) P(A 1)P(B | A 1) 0.475
95
。
P(B)
P(B)
0.895 179
二．一维随机变量及其数字特征
1. 已知 X 的概率密度函数 f ( x)
kx
1,
0 x 2
X
1
,EX 。
0,
else
，求 k, P
1 , 2
解：
f (x)dx
( kx 1)dx
2k
2 1
k
2
2
1
x 1 d x
9
，
EX
1
x 1 dx
P X
1 1
x
2 。
2
2
2
2
2
1 6
2
3
2. 设 X ~ B(3 , 0.1)，求 P
X
2,P{X 1} 。
解： P{X 2}
C 32
(0.1) 2
(0.9)
0.027, P{ X 1}
1 P{X 0} 1 0.9
3
0.271。
3. 设三次独立随机试验中事件
A 出现的概率相同， 已知事件 A 至少出现一次的概率为
37 ，求 A 在一次试
p 。
64
验中出现的概率
解：三次试验中
A 出现的次数 X ~ B(3, p) ，由题意：
P{ X 1} 1 P X 0 1 C 30 p 0 (1 p)
3
1 (1 p)
3
37 p
1 。
64
4
1000
4. 某种灯管的寿命 X （单位：小时）的概率密度函数为
f ( x)
x 2
, x 1000 ，
0, else
(1) 求P{X 1500} ；
(2) 任取 5只灯管，求其中至少有 2 只寿命大于 1500 的概率。
解： (1)
P{ X 1500}
1000 2 ；
1500
x 2
dx
3
(2) 设 5 只灯管中寿命大于 1500 的个数为 Y ，则 Y ~ B
5,
2
，故
3
1
5
2
1
4
232 。
P{Y 2}
1 P{ Y 0} P{ Y 1} 1
5
3
3 3
243
5. 设 X ~ B(n, p), EX
1.6, DX 1.28, 求 n, p 。
解： EX np 1.6, DX np(1 p) 1.28 n 8, p
0.2。
6. 设 X ~
(2) ，求 P{ X
2}, E(X
2
2X 3) 。
解：
P{X
2} 1 3e 2
，
E(X
2
2 X 3) E(X 2
) 2EX
3
EX
2
DX
2EX
3 4 2 4 3
7 。
7. 设X~U[
1,6] ，求 P
4
X 2 。
1
6
， P
1
dx
解：
f (x)
7
,
1 x 4
X
2
2 f ( x)dx
1
0dx
2
3 。
0,
else
4
4
1 7 7
8. 设X 服从(
1,5) 上的均匀分布，求方程 t
2
Xt
1 0有实根的概率。
1
1 x
5
1 1
解： f (x)
,
0} P{ X 2
4 0} 5
6
， P{
dx
。
0, else
2
6
2
9. 设 X ~U[1,3] ，求 EX, DX, E
1 。
X
解： EX
2, DX
(3
2 1
, f (x)
1 , 1 x
3
1
3
1 1 dx
1
ln 3 。
1)
2
, E
12
3
0,else
X 1
x 2
2
10. 设某机器生产的螺丝长度
X ~ N (10.05,0.0036) 。规定长度在范围 10.05 0.12 内为合格，求螺丝不合
格的概率。
解：螺丝合格的概率为
P 10.05 0.12
X
10.05 0.12
0.12
X 10.05
0.12
P
0.06
0.06
0.06
(2) ( 2) 2 ( 2) 1 0.9544
故螺丝不合格的概率为 1 0.9544 0.0456 。
11. 设 X ~ N(0,4) ，Y
2 X
3000 ，求 EY 、 DY 及 Y 的分布。
解： EY 2EX 3000 3000, DY 4DX
16, Y ~ N (3000,16) 。
12. 设 X 与Y 独立，且
X ~ N (1,1), Y ~ N (1,3), 求 E(2 X Y), D(2 X Y) 。
解： E(2X Y ) 2EX EY 1, D(2 X Y) 4DX
DY
7 。
13. 设X~ (4),Y~B
4,
1
,
XY
0.6, 求 D(3X 2Y)。
2
解： D(3X 2Y) 9DX 4DY
12 XY DX DY
25.6 。
14. 设X~U[
1,2] ，求 Y X 的概率密度函数。
解： F Y ( y)
P Y y P{ X
y}
(1) 当 y 0 时， F Y ( y) 0 ；
(2) 当 0
y
1时， F Y y
1
2 ( y) dx
y ；
y 3
3
(3) 当 1
y
2时， F Y 1
0dx
y 1
dx
y 1
( y)
1
3 3 ；
y
(4) 当 y
2 时， F Y ( y) 1 ；
0,
2
y,
故 F Y ( y)
3
y 1, 3
1,
y 0
2
0 y 1
,
0 y
1 3
1,
，
f Y ( y) F Y ( y)
1 y 2
。
1 y
2
3
0,
else
y 2
三．二维随机变量及其数字特征
1. 已知 ( X , Y) 的联合分布律为：
Y
112
X
50.10.40
50.2a0.2
(1)求 a ；
(2) 求P X 0,Y 1 ,P{Y 1|X 5}；
(3)求 X ,Y 的边缘分布律；
(4)求XY；
(5)判断 X , Y 是否独立。
解： (1) a 0.1;
(2)0.3, 0.2 ；
(3)X : 0.5, 0.5; Y : 0.3, 0.5, 0.2 ；
(4)EX0, EY 0.6, E( XY) 0 cov( X ,Y) 0, XY 0 ；
(5)
0.10.4
0.2，不独立。
0.1
2.已知 ( X , Y) 的联合分布律为：
X
02
1
Y
11 a
6
9
111
b
3 9
且X 与 Y 相互独立，求：
(1)a,b 的值；
(2)P{ XY 0} ；
(3)X , Y 的边缘分布律；
(4)EX, EY, DX, DY ；
(5)Z XY 的分布律。
a 11
12
解： (1)
96a
1b1
, b; 189
93
4 5 (2) P{XY 0} 1 P{XY 0} 1
；
9
9
(3) X :1,1,1;Y:1, 2
；
6 3
2 3 3
(4) EX
5
, EX 213, DX EX
2
(EX )
2
53 , EY
2
,EY
2
2
, DY
EY
2
(EY)2
2
；
6
6
36 3
3
9
(5) P{ Z
1}
1
,P{Z 0}
5
, P{Z 2}
1 。
9
9
3
3. 已知 ( X ,Y ) 的概率密度函数为 f (x, y)
c(x y), 0 x
2,0 y
1
，求：
0,
else
(1) 常数 c ；
(2) 关于变量 X 的边缘概率密度函数 f X ( x) ；
(3) E(X Y) 。
2 1 2 1 dx 2c c 3c 1
c
1 ； 解： (1)
f (x, y)dxdy dx c(x y)dy
c x
2
3
1
1 1 1 0
x 2
(2)
f X (x)
f (x, y) dy
( x y) dy
x
,
3
3
2
；
0,
else
(3) E(X Y)
( x y) f ( x, y) dxdy
2
1 1
2 dy
16 dx
( x
y)
。
3
9
4. 设 ( X ,Y ) 的概率密度函数为：
Axy,
0 x 1,0
y
x
f ( x, y)
else
，
0,
(1) 求 A ； (2) 求 f X ( x ), f Y ( y) ；
(3) 判断 X , Y 是否独立；
(4)求P
Y
1
,PX Y 1；
2
(5) 求 cov( X ,Y) 。
1 x
A
解： (1)dx
Axydy
1 A 8 ；
8
x
4x 3
, 0 x 1
(2) f X (x)
f ( x, y)dy
8xydy
，
0, else
1
y 2
), 0 y 1
f Y ( y)
f ( x, y)dx
8xydx 4 y(1 y
；
0,
else
(3) f x y f x f y X, Y 不独立；
( , ) X ( ) Y ( )
P X
1 1
15 ，PXY1
1/2 1 y 1 ； (4)
1 4x 3
dx
dy
y 8xydx
2
2
16 0
6
(5) EX
4
, EY
8
,E(XY)
4
, cov( X ,Y) E(XY)
E( X ) E(Y)
4 。
5
15 9
225
四．中心极限定理
1. 某种电器元件的寿命服从指数分布
E(0.01) （单位：小时），现随机抽取 16 只，求其寿命之和大于
1920
小时的概率。
解：设第 i
X i (i 1,2, ,16), 则 E( X i ) 100, D( X i )
10000。令 X
16
只电器元件的寿命为
X i
，
i 1
则 EX
1600, DX 160000 。由中心极限定理得
PX 1920 P
X 1600
1920 1600
(0.8) 0.2119。
160000
0.8 1
400
2. 生产灯泡的合格率为
0.8 ，记 10000 个灯泡中合格灯泡数为
X ，求
(1) E(X)与 D(X)；
(2) 合格灯泡数在 7960 ~ 8040 之间的概率。
解： (1) X ~ B(10000,0,8), E( X ) 10000 0.8
8000, D ( X ) 10000 0.8 0.2 1600 ；
(2) 由中心极限定理得
P 7960
X
8040
p
7960
8000 X
8000
8040 8000
( 1)
40
40
(1)
40
2 (1) 1 0.6826 。
3. 有一批建筑房屋用的木柱， 其中 80% 的长度不小于 3m ，现从这批木柱中随机地取 100 根，问至少有 30
根短于 3m 的概率是多少？
解：设这 100 根木柱中短于
3m 的个数为 X ，则
X ~ B(100,0.2), EX 100 0.2 20, DX 100 0.2 0.8 16 ；
由中心极限定理得
P X 30
X
EX 30 20 2.5 1
(2.5) 0.0062。
P DX
16
4. 某单位设置一电话总机，共有 200 架电话分机。设每个电话分机是否使用外线通话相互独立，设每时刻
每个分机有 0.05 的概率要使用外线通话。 问总机至少需要多少外线才能以不低于
0.9 的概率保证每个分
机要使用外线时可供使用 ?
解：设至少需要 k 条外线。使用外线的分机数
X ~ B(200,0.05) ，
EX 200 0.05 10, DX 200 0.05 0.95 9.5 。
由中心极限定理得：
P X k
P X EX
k 10
k 10
0.9
DX 9.5
9.5
k
10
1.28
k 13.9452 。
9.5
五．抽样分布
1. 从一批零件中抽取
6 个样本，测得其直径为
1.5,2,
2.3,1.7,2.5,1.8 ，求 x , s 2
。
解： x
1 6
x i 2
1 6
( x i x ) 2
0.1427 。
6 i
1.9667, s
5 i
1
1
2. 设 X 1, X 2 是来自正态总体 N (0,9) 的简单随机样本，已知
Y a( X 1
X 2)2
服从
2
分布，求 a 。
X 1 X 2
X 1 X 2
2
1
解： X 1
X 2 ~ N (0,18) ~ N (0,1)
~
2
。
18
18
(1) a
18
3. 总体 X ~ N (72,100) ，
(1) 对容量 n
50 的样本，求样本均值 X 大于 70 的概率；
(2) 为使 X 大于 70 的概率不小于 0.95 ，样本容量至少应为多少？
解： (1) X ~ N 72,2 ,P(X 70)
1
70
72 ( 2)
( 2)
0.92；
2 1
(2) X ~N
72,
100
, P(X
70) 1
70 72
1
n n 0.95
n
100 / n
5
5
n 1.645
n 67.65 。
5
10
4.
设
X 1, X 2,
, X 10 取自正态总体 N (0,0.09) ，求 P
X i
2
1.44 。
i 1
n
)
2
( X i
10
解：由于
i 1
2
~
2 (n) ，故 P{
X i
2
1.44}
P{ 2
(10)
16} 0.1
。
i 1
5. 设 X 1, X 2,
, X n 来自总体 X ~ N ( ,
2
) ， S 2 为样本方差，求 ES 2 , DS 2
。
( n 1)S
2
~ 2
( n
2 E 2 2
(n 1)
2 (n 1)
2
,
解：
2
1),E(S ) n 1
n 1
2
2
2
4
2
4
D(S ) D n 1
(n 1) (n
1)2
2(n
1) n 。
1
六．参数估计
1. 设随机变量 X ~ B(n, p) ，其中 n 已知。 X 为样本均值 , 求 p 的矩估计量。
解：
EX np
X
? X 。
p n
2. 设总体 X 的概率密度函数为：
f (x)
1 ,
x 1
1
，其中
是未知参数，求
的矩估计量。
0,
else
解： EX
1
X
? 2 X 1。
2
3. 设总体 X 的分布律为
X 1
2
3
P
1
2
现有样本： 1,1,1, 3,1, 2, 3, 2, 2,1, 2, 2, 3,1,1, 2 ，求
的矩估计值与最大似然估计值。
解： (1) EX
2 3(1 2 )
3 3
X
?3
X
7 ?5
，将 x
代入得
；
3
4
12
(2) 似然函数 L
P{ X 1 1, X 2 1,
, X 16
2}
P{ X 1
1} P{ X 2 1} P{ X 16
2}
7 6
(1
2 )
3
对数似然函数 ln L
13ln 3ln(1 2 )，令
ln L 13
6 0，得
?
13 。
1 2
23
4. 设总体 X 的概率密度函数为
f (x)
x
1,
0 x 1
0,
。
else
现测得 X 的 8 个数据： 0.6, 0.4, 0.8, 0.6, 0.8, 0.7, 0.6, 0.6 ，求
的矩估计值和最大似然估计值。
解： (1) E(X)
xf ( x)dx
1
x x
1
dx ，令 E(X ) X ，得
1
?
X
0.6375 1.76；
X
1
0.6375
1
n
n
n
1
n
(2) 似然函数 L
f ( x i )
x i
1 n
x i
，对数似然函数 ln L n ln
( 1) ln x i ，令
i 1
i 1
i 1
i 1
ln L n
n
0，得
?
n
8
ln x i
n
2.13 。
i 1
ln x i
3.7626
i 1
5. 设轴承内环的锻压零件的平均高度X 服从正态分布 N ( ,0.42
) 。现在从中抽取 20 只内环，其平均高度
x 32.3 毫米，求内环平均高度的置信度为
95% 的置信区间。
解：
2
X
z , X
z 。将 x 32.3,0.4, n 20, z 0.025 1.96 代入，
已知，置信区间为
n
2
n
2
得所求置信区间为 (32.125, 32.475) 。
6. 为了估计一批钢索所能承受的平均张应力( 单位：千克力 / 平方米 ) ，从中随机地选取了 10 个样品作实验 ,
由实验所得数据算得： x 6720, s 220 ，设钢索所能承受的张应力服从正态分布
, 试在置信水平 95%
下求这批钢索所能承受的平均张应力的置信区间。
解：
2
未知，置信区间为
X
S t (n 1), X S t (n 1) 。
n 2
n
2
将
x
6720, s 220, n
10, t 0.025 (9)
代入，得所求置信区间为 (6562.6, 6877.4) 。
2.2622
7. 冷铜丝的折断力服从正态分布，从一批铜丝中任取
10 根，测试折断力，得数据为
578， 572， 570， 568， 572， 570， 570， 596， 584，572
求： (1) 样本均值和样本方差； (2) 方差的置信区间（
0.05 ）。
解： (1) x
1
10
x i 575.2, s
2
1
10
(x i
x )
2
75.73 ；
10 i 1
9 i 1
(2)
未知，置信区间为
(n 1)s 2
, (n 1)s 2
9 75.73 , 9 75.73
(35.83, 252.40) 。
2
( n 1) 2
(n 1) 19.0228 2.7004
2
1
2
七．假设检验
1. 某糖厂用自动打包机装糖，已知每袋糖的重量( 单位：千克 ) 服从正态总体分布 N ( , 4 ) ，今随机地抽
查了 9 袋，称出它们的重量如下：
50
， 48， 49， 52， 51， 47， 49， 50， 50
问在显著性水平 0. 05 下能否认为袋装糖的平均重量为
50 千克？
解：由题意需检验
H 0:50,H 1:50。
2
已知，拒绝域为U
X
z 1.96 ，将
/ n
2
x 49.5556, 0
50, 2, n 9 代入，得 U
0.6667 。未落入拒绝域中，故接受
H 0 ，即可以认
为袋装糖的平均重量为
50 千克。
2. 某批矿砂的 5 个样本的含金量为：
3.25, 3.27, 3.24, 3.26, 3.24
设测定值总体服从正态分布，问在显著性水平
0.1 下能否认为这批矿砂的金含量的均值为
3.25 ？
解：由题意需检验 H 0 :
3.25,H 1 :
3.25。 2
未知，拒绝域为 T
X 0
t (n 1) 2.1318，
S /
n
2
将 x
3.252, 0
3.25, s 0.013,n 5代入得 T
0.344 。未落入拒绝域中，故接受
H 0 ，即可以认
为这批矿砂的含金量的均值为 3.25 。
3. 某种螺丝的直径
X~N( ,64) ，先从一批螺丝中抽取 10 个测量其直径，其样本均值
x 575.2 ，方差
s
2
68.16 。问能否认为这批螺丝直径的方差仍为
64 （
0.05 ）？
解：由题意需检验
H 0 :
2
64, H 1 : 2
64 。 未知，拒绝域为
2
(n
1)S
2
2 (n 1) 2.7或
2 1
2
2
2
(n 1) 19 。将 n 2
68.16,
2
64
2
9.585。未落入拒绝域中， 故接受 H 0 ，
10, s
代入得
2
即可以认为这批螺丝直径的方差仍为
64 。
4. 某厂生产的电池的寿命长期以来服从方差
2
5000 的正态分布。 现从一批产品中随机抽取 26 个电池，
测 得 其 寿 命 的 样 本 方 差 s 2
9200 ，问能否推断这批电池寿命的波动性较以前有显著的增大
（
0.02 ）？
解：由题意需检验
H 0
:
2
5000, H 1
:
2 5000 。 未知，拒绝域为
2
(n 1)S
2
2
(n 1)
2
41.566 。将 n
2
9200 代入得
2
46 ，落入拒绝域
2 0.02
(25)
26, s
中，故拒绝 H 0 ，即能推断这批电池寿命的波动性较以前有显著增大。
概率论与数理统计习题集及答案
概率论与数理统计习题 集及答案 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
《概率论与数理统计》作业集及答 案 第1章概率论的基本概念 §1 .1 随机试验及随机事件 1. (1) 一枚硬币连丢3次，观察正面H﹑反面T 出现的情形. 样本空间是： S= ； (2) 一枚硬币连丢3次，观察出现正面的次数. 样本空间是： S= ； 2.(1) 丢一颗骰子. A：出现奇数点，则A= ；B：数点大于2，则 B= . (2) 一枚硬币连丢2次， A：第一次出现正面，则A= ； B：两次出现同一面，则= ； C：至少有一次出现正面，则 C= . §1 .2 随机事件的运算 1. 设A、B、C为三事件，用A、B、C的运算关系表示下列各事件： (1)A、B、C都不发生表示为： .(2)A与B都发生,而C不发生表示为： . (3)A与B都不发生,而C发生表示为： .(4)A、B、C中最多二个发生表示为： . (5)A、B、C中至少二个发生表示为： .(6)A、B、C中不多于一个发生表示为： . 2. 设}4 =x B = x ≤ ≤ x < S：则 x A x 2: 1: 3 }, { { }, = {≤< 0: 5 ≤
（1）=?B A ，（2）=AB ，（3） =B A ， （4）B A ?= ，（5）B A = 。 §1 .3 概率的定义和性质 1. 已知6.0)(,5.0)(,8.0)(===?B P A P B A P ，则 (1) =)(AB P , (2)()(B A P )= , (3))(B A P ?= . 2. 已知, 3.0)(,7.0)(==AB P A P 则)(B A P = . §1 .4 古典概型 1. 某班有30个同学,其中8个女同学, 随机地选10个,求:(1)正好有2个女同学的概率, (2)最多有2个女同学的概率,(3) 至少有2个女同学的概率. 2. 将3个不同的球随机地投入到4个盒子中,求有三个盒子各一球的概率. §1 .5 条件概率与乘法公式 1．丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7, 则其中一颗为1的概率是 。 2. 已知,2/1)|(,3/1)|(,4/1)(===B A P A B P A P 则 =?)(B A P 。 §1 .6 全概率公式 1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随 机地抽一个签，说明两人抽“中‘的概率相同。
《概率论与数理统计》期末考试试题及解答
一、填空题（每小题3分，共15分） 1． 设事件B A ,仅发生一个的概率为0.3，且5.0)()(=+B P A P ，则B A ,至少有一个不发 生的概率为__________. 答案：0.3 解： 3.0)(=+B A B A P 即 )(25.0)()()()()()(3.0AB P AB P B P AB P A P B A P B A P -=-+-=+= 所以 1.0)(=AB P 9.0)(1)()(=-==AB P AB P B A P . 2． 设随机变量X 服从泊松分布，且)2(4)1(==≤X P X P ，则==)3(X P ______. 答案： 161-e 解答： λλ λ λλ---= =+==+==≤e X P e e X P X P X P 2 )2(, )1()0()1(2 由 )2(4)1(==≤X P X P 知 λλλ λλ---=+e e e 22 即 0122 =--λλ 解得 1=λ，故 16 1)3(-= =e X P 3． 设随机变量X 在区间)2,0(上服从均匀分布，则随机变量2 X Y =在区间)4,0(内的概率 密度为=)(y f Y _________. 答案： 04,()()0,. Y Y X y f y F y f <<'===? 其它 解答：设Y 的分布函数为(),Y F y X 的分布函数为()X F x ，密度为()X f x 则 2 ()()())))Y X X F y P Y y P X y y y y y =≤=≤ =≤- - 因为~(0,2)X U ，所以(0X F = ，即()Y X F y F = 故
《概率论与数理统计》复习题1答案
《概率论与数理统计》复习题一答案 一、是非题 1、对事件A 与B , 一定成立等式()A B B A -=. (错) 2、对事件A 和B , 若()()1P A P B +>, 则这两个事件一定不是互不相容的. (对) 3、设1, ,n X X 是来自总体2 ~(,)X N μσ的简单样本, 则统计量1 1n i i X X n ==∑和 21 ()n i i X X =-∑不独立. (错) 4、若事件A 的概率()0P A =, 则该事件一定不发生. (错) 5、设总体X 的期望()E X μ=存在, 但未知, 那么1 1n i i X n =∑为参数μ的相合估计量. (对) 二、填空题 6、已知随机事件A 和B 的概率分别为()0.7P A =和()0.5P B =, 且()0.15P B A -=,那么, (|)P B A = ()()()0.50.15 0.5()()0.7 P AB P B P B A P A P A ---===. 7、设随机变量X 服从区间[1,1]-上的均匀分布, 随机变量2 Y X =, 则它们的协方差系数cov(,)X Y = ()()()0 E X E Y E XY -=; 事件12Y ? ? ≤ ???? 的概率12P Y ? ?≤= ??? ?12dx =?. 8、甲乙两人独立抛掷一枚均匀硬币各两次, 则甲抛出的正面次数不少于乙的概率为 11 16 . 9、如果1,,n X X 是来自总体~(1,)X b p (服从01-分布)的简单样本, 而1,,n x x 是 其样本观测值. 那么最大似然函数为1 1 (1) n n i i i i x n x p p ==- ∑ ∑-. 三、选择题 10、随机变量X 以概率1取值为零, Y 服从(1,)b p (01-分布), 则正确的是
概率论与数理统计复习题带答案
;第一章 一、填空题 1.若事件A?B且P（A）=, P(B) = , 则 P(A－B)=（）。 2.甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为，乙击中敌机的概率为．求敌 机被击中的概率为（）。 3.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中不少于二个发生可表示为 ++）。 （AB AC BC 4.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为，，，则这 三台机器中至少有一台发生故障的概率为（）。 5.某人进行射击，每次命中的概率为０.6 独立射击４次，则击中二次的概率为 （）。 6.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ与Ｃ都不发生可表示为（ABC）。 7.设Ａ、Ｂ、Ｃ为三个事件，则事件Ａ，Ｂ，Ｃ中不多于一个发生可表示为 （AB AC BC）； 8.若事件A与事件B相互独立，且P（A）=, P(B) = , 则 P(A|B)=（）； 9.甲、乙各自同时向一敌机炮击，已知甲击中敌机的概率为，乙击中敌机的概率为．求敌机 被击中的概率为（）； A-)=（）10.若事件A与事件B互不相容，且P（A）=, P(B) = , 则 P(B 11.三台机器相互独立运转，设第一，第二，第三台机器不发生故障的概率依次为，，，则这三 台机器中最多有一台发生故障的概率为（）。 A)=（）; 12.若事件A?B且P（A）=, P(B) = , 则 P(B A)=（） 13.若事件A与事件B互不相容，且P（A）=, P(B) = , 则 P(B 14.Ａ、Ｂ为两互斥事件，则A B=（ S ） 15.Ａ、Ｂ、Ｃ表示三个事件，则Ａ、Ｂ、Ｃ恰有一个发生可表示为 ++） （ABC ABC ABC
概率论复习题及答案
概率论与数理统计复习题 一．事件及其概率 1. 设,,A B C 为三个事件，试写出下列事件的表达式： (1) ,,A B C 都不发生；(2),,A B C 不都发生；(3),,A B C 至少有一个发生；(4),,A B C 至多有一个发生。 解：(1) ABC A B C =?? (2) ABC B =?? (3) A B C ?? (4) BC AC AB ?? 2. 设B A ,为两相互独立的随机事件,4.0)(=A P ,6.0)(=B P ,求(),(),(|)P A B P A B P A B ?-。 解：()()()()()()()()0.76P A B P A P B P AB P A P B P A P B ?=+-=+-=； ()()()()0.16,(|)()0.4P A B P AB P A P B P A B P A -=====。 3. 设,A B 互斥，()0.5P A =，()0.9P A B ?=，求(),()P B P A B -。 解：()()()0.4,()()0.5P B P A B P A P A B P A =?-=-==。 4. 设()0.5,()0.6,(|)0.5P A P B P A B ===，求(),()P A B P AB ?。 解：()()(|)0.3,()()()()0.8,P AB P B P A B P A B P A P B P AB ==?=+-= ()()()()0. 2P A B P A B P A P A B = -=-=。 5. 设,,A B C 独立且()0.9,()0.8,()0.7,P A P B P C ===求()P A B C ??。 解：()1()1()1()()()0.994P A B C P A B C P ABC P A P B P C ??=-??=-=-=。 6. 袋中有4个黄球，6个白球，在袋中任取两球，求 (1) 取到两个黄球的概率； (2) 取到一个黄球、一个白球的概率。 解：(1) 24210215C P C ==；(2) 11462 108 15 C C P C ==。 7. 从0~9十个数字中任意选出三个不同的数字，求三个数字中最大数为5的概率。 解：12153 101 12 C C P C ==。
概率统计练习册习题解答(定)
苏州科技学院 《概率论与数理统计》活页练习册习题解答 信息与计算科学系 概率论与数理统计教材编写组 2013年8月
习题1-1 样本空间与随机事件 1．选择题 （1）设,,A B C 为三个事件，则“,,A B C 中至少有一个不发生”这一事件可表示为（ D ） （A ）AB AC BC （B ）A B C （C ）ABC ABC ABC （D ）A B C （2）设三个元件的寿命分别为123,,T T T ，并联成一个系统，则只要有一个元件正常工作则系统能正常工作，事件“系统的寿命超过t ”可表示为（ D ） A {}123T T T t ++> B {}123TT T t > C {}{}123min ,,T T T t > D {}{} 123max ,,T T T t > 2．用集合的形式表示下列随机试验的样本空间Ω与随机事件A ： （1）同时掷三枚骰子，记录三枚骰子的点数之和，事件A 表示“点数之和大于10”。 解：{},18543 ，，，＝Ω ；{} 18,,12,11 ＝A 。 （2）对目标进行射击，击中后便停止射击，观察射击的次数；事件A 表示“射击次数不超过5次”。 解：{ } ，，，＝321Ω；{}54321A ，，，，＝。 （3）车工生产精密轴干，其长度的规格限是15±0.3。现抽查一轴干测量其长度，事件A 表示测量 长度与规格的误差不超过0.1。 。 3．设A ，B ，C 为三个事件，用A ，B ，C 的运算关系表示下列各事件： （1） A ， B ， C 都发生：解： ABC ； （2） A ， B ，C （3） A 发生， B 与 C （4） A ， B ， C 中至少有一个发生：解：C B A ?? （5） A ，B ，C 4．设某工人连续生产了4个零件，i A 表示他生产的第i 个零件是正品（4,3,2,1=i ），试用i A 表示 下列各事件： （1）只有一个是次品；
概率论与数理统计-学习指导与练习册习题答案
一．填空题 1．ABC 2、50? 3、20? 4、60? 二．单项选择题 1、B 2、C 3、C 4、A 5、B 三．计算题 1．（1）略 （2）A 、321A A A B 、321A A A ?? C 、321321321A A A A A A A A A ?? D 、321321321321A A A A A A A A A A A A ??? 2．解 )()()()(AB P B P A P B A P -+=?= 8 5 812141=-+ 8 3 )()()()(=-=-=AB P B P AB B P B A P 8 7 )(1)(=-=AB P AB P 2 1 )()()])([(=-?=?AB P B A P AB B A P 3．解：最多只有一位陈姓候选人当选的概率为53 14 6 2422=-C C C 4．)()()()()()()()(ABC P BC P AC P AB P C P B P A P C B A P +---++=?? = 85 5．解：（1）n N n A P ! )(= （2）n n N N n C B P ! )(=、 （3）n m n m n N N C C P --=)1()(
一．填空题 1．0．8 2、50? 3、 32 4、73 5、4 3 二．单项选择题 1、D 2、B 3、D 4、B 三．计算题 1． 解：设i A ：分别表示甲、乙、丙厂的产品（i =1，2，3） B ：顾客买到正品 )/()()(11A B P A P B P =)/()(22A B P A P +)/()(33A B P A P + = 83.065.05 1 85.0529.052=?+?+? 83 34 )()/()()/(222== B P A B P A P B A P 2．解：设i A ：表示第i 箱产品（i =1，2） i B ：第i 次取到一等品（i =1，2） （1） )/()()(1111A B P A P B P =)/()(212A B P A P +=4.030 18 21501021=?+? （2）同理4.0)(2=B P （3）)/()()(121121A B B P A P B B P =)/()(2212A B B P A P + = 19423.029 17301821499501021=??+?? 4856.04 .019423 .0)()()/(12112=== B P B B P B B P （4）4856.04 .019423 .0)()()/(212121=== B P B B P B B P 3． 解：设i A ：表示第i 次电话接通（i =1，2，3） 101)(1= A P 10191109)(21=?= A A P 10 1 8198109)(321=??=A A A P
概率论复习题及答案
复习提纲 （一）随机事件和概率 （1）理解随机事件、基本事件和样本空间的概念，掌握事件之间的关系与运算。 （2）了解概率的定义，掌握概率的基本性质和应用这些性质进行概率计算。 （3）理解条件概率的概念，掌握概率的加法公式、乘法公式、全概率公式、Bayes 公式， 以及应用这些公式进行概率计算。 （4）理解事件的独立性概念，掌握应用事件独立性进行概率计算。 （5）掌握Bernoulli 概型及其计算。 （二）随机变量及其概率分布 （1）理解随机变量的概念。 （2）理解随机变量分布函数)}{)((x X P x F ≤=的概念及性质，理解离散型随机变量的分布律及其性质，理解连续型随机变量的概率密度及其性质，会应用概率分布计算有关事件的概率。 （3）掌握二项分布、Poisson 分布、正态分布、均匀分布和指数分布。 （4）会求简单随机变量函数的概率分布。 （三）二维随机变量及其概率分布 （1）了解二维随机变量的概念。 （2）了解二维随机变量的联合分布函数及其性质，了解二维离散型随机变量的联合分布律 及其性质，并会用它们计算有关事件的概率。 （3）了解二维随机变量分边缘分布和条件分布，并会计算边缘分布。 （4）理解随机变量独立性的概念，掌握应用随机变量的独立性进行概率计算。 （5）会求两个随机变量之和的分布，计算多个独立随机变量最大值、最小值的分布。 （6）理解二维均匀分布和二维正态分布。 （四）随机变量的数字特征 （1）理解数学期望和方差的概念，掌握它们的性质与计算。 （2）掌握6种常用分布的数学期望和方差。 （3）会计算随机变量函数的数学期望。 （4）了解矩、协方差和相关系数的概念和性质，并会计算。 （五）大数定律和中心极限定理 （1）了解Chebyshev 不等式。 （2）了解Chebyshev 大数定律和Benoulli 大数定律。 （3）了解独立同分布场合的中心极限定理和De Moivre-Laplace 中心极限定理的应用条件 和结论，并会用相关定理近似计算有关随机事件的概率。
概率论与数理统计期末考试题及答案
创作编号： GB8878185555334563BT9125XW 创作者： 凤呜大王* 模拟试题一 一、 填空题（每空3分，共45分） 1、已知P(A) = 0.92, P(B) = 0.93, P(B|A ) = 0.85, 则P(A|B ) = 。 P( A ∪B) = 。 3、一间宿舍内住有6个同学，求他们之中恰好有4个人的生日在同一个月份的概率： ；没有任何人的生日在同一个月份的概率 ； 4、已知随机变量X 的密度函数为：, ()1/4, 020,2 x Ae x x x x ??
8、设总体~(0,)0X U θθ>为未知参数，12,,,n X X X 为其样本， 1 1n i i X X n ==∑为样本均值，则θ的矩估计量为： 。 9、设样本129,, ,X X X 来自正态总体(,1.44)N a ，计算得样本观察值10x =， 求参数a 的置信度为95%的置信区间： ； 二、 计算题（35分） 1、 (12分)设连续型随机变量X 的密度函数为： 1, 02()2 0, x x x ??≤≤?=???其它 求：1）{|21|2}P X -<；2）2 Y X =的密度函数()Y y ?；3）(21)E X -； 2、(12分)设随机变量(X,Y)的密度函数为 1/4, ||,02,(,)0, y x x x y ?<<??
概率统计复习题答案
概率统计复习题 （同济大学浙江学院） 一、知识要点 1.古典概率计算公式 设Ω为样本空间，A 为事件，则事件A 发生的概率为 ().A A n P A n ?? = ? ?Ω?? 概率公式 ⑴和的概率公式 ()( )() ().P A B P A P B P A B =+- 当,A B 互不相容时()A B ?=? ()()().P A B P A P B =+ 当,A B 独立时()()()()P AB P A P B ?= ()()() ()().P A B P A P B P A P B =+- ⑵条件概率公式 ()() () |.P AB P A B P B = ⑶乘法公式 ()()()|.P AB P A B P A = ⑷全概率公式及逆概率公式 设12,,,n A A A 为完备事件组，B 为任意一事件，则 ()()()1|;n i i i P B P A P B A ==∑ ()() () (|)|.i i i P B A P A P A B P B = 2.6个常用分布和数字特征 名称 分布形式 期望 方差 ()2E X 01- p ()1p p - p 二项分布 ()() 1n k k k n P X k C p p -==- np ()1np p - np
泊松分布 ()e ! k P X k k λλ-== λ λ 2λλ+ 均匀分布 ()1 , ,0, else. a x b f x b a ?<=?? 1 λ 2 1λ 2 2λ 正态分布 ()()2 2 21 e 2πx f x μσσ -- = μ 2σ 22σμ+ 3.正态分布概率计算 ⑴若()2,X N μσ ，则().b a P a X b μμσσ--???? <<=Φ-Φ ? ????? ⑵若()2,,,X N Y aX b μσ=+ 则()22,.Y N a b a μσ+ 4.二维连续型随机变量的边缘密度函数 设(),X Y 为二维连续型随机变量，(),f x y 为其联合密度函数，则边缘密度函数分别为 ()()()(),d ,,d .X Y f x f x y y f y f x y x ∞∞ -∞ -∞ ==?? 随机变量(),X Y 是独立的()()(),.X Y f x y f x f y ?= 5.数字特征 ⑴数学期望 ①离散型 ()1.n i i i E X x p ==∑ ②连续型 ()()d .E X xf x x ∞ -∞ =? ③函数的期望 离散型，设X 是离散型随机变量，()Y g X =为随机变量的函数，则 ()()1.n i i i E Y g x p ==∑
概率统计试题及答案
<概率论>试题 一、填空题 1．设 A 、B 、C 是三个随机事件。试用 A 、B 、C 分别表示事件 1）A 、B 、C 至少有一个发生 2）A 、B 、C 中恰有一个发生 3）A 、B 、C 不多于一个发生 2．设 A 、B 为随机事件， P (A)=0.5，P(B)=0.6，P(B A)=0.8。则P(B )A U ＝ 3．若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3，P(A B)=0.7,U 则α= 4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行，那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为 5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次，其命中率分别为0.6和0.5，现已知目标被命中，则它是甲射中的概率为 6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)k P X k A k ===???则 A=______________ 7. 已知随机变量X 的密度为()f x =? ??<<+其它,010,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则a = ________ b =________ 8. 设X ～2 (2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击，若至少命中一次的概率为80 81 ，则该射手的命中率为_________ 10.若随机变量ξ在（1，6）上服从均匀分布，则方程x 2+ξx+1=0有实根的概率是 11.设3{0,0}7P X Y ≥≥= ，4 {0}{0}7 P X P Y ≥=≥=，则{max{,}0}P X Y ≥= 12.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{a b,c}X Y ≤≤<= 13.用（,X Y ）的联合分布函数F （x,y ）表示P{X a,b}Y <<= 14.设平面区域D 由y = x , y = 0 和 x = 2 所围成，二维随机变量(x,y)在区域D 上服从均匀分
概率统计试题和答案
题目答案的红色部分为更正部分，请同志们注意下 统计与概率 1.(2017课标1，理2)如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的 太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中 心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( B ) A ．14 B ． π8 C ．12 D ． π 4 2.(2017课标3，理3)某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图． 根据该折线图，下列结论错误的是( A ) A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加 C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月 D ．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳 3.(2017课标2，理13)一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则D X = 。 4.（2016年全国I 理14）5(2)x x + 的展开式中，x 3的系数是 10 .（用数字填写答案） 5.（2016年全国I 理14）某公司的班车在7:30，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是( B ) （A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）3 4 5.（2016年全国2理10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ， ()22,x y ，…，(),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π的近 似值为( C )（A ） 4n m （B ）2n m （C ）4m n （D ）2m n 6.（2016年全国3理4）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中月平均最高气温和平均最低气 温的雷达图。图中A 点表示十月的平均最高气温约为150 C ，B 点表示四月的平均 最低气温约为50 C 。下面叙述不正确的是( D ) (A) 各月的平均最低气温都在00 C 以上 (B) 七月的平均温差比一月的平均温差大 (C) 三月和十一月的平均最高气温基本相同 (D) 平均气温高于200 C 的月份有5个 7.（15年新课标1理10）投篮测试中，每人投3次，至少投中2次才能通过测试。已知某同学每次投
概率论基础复习题及答案
《概率论基础》本科 填空题（含答案） 1． 设随机变量ξ的密度函数为p(x), 则 p(x) ≥0; ?∞ ∞ -dx x p )(= 1 ；Eξ=?∞ ∞ -dx x xp )(。 考查第三章 2． 设A,B,C 为三个事件，则A,B,C 至少有一个发生可表示为：C B A ；A,C 发生而B 不发生可表示 C B A ；A,B,C 恰有一个发生可表示为：C B A C B A C B A ++。 考查第一章 3． 设随机变量)1,0(~N ξ，其概率密度函数为)(0x ?，分布函数为)(0x Φ，则)0(0?等于π 21，)0(0Φ等 于 0.5 。 考查第三章 4． 设随机变量ξ具有分布P{ξ=k}=5 1 ，k=1,2,3,4,5，则Eξ= 3 ，Dξ= 2 。 考查第五章 5． 已知随机变量X ，Y 的相关系数为XY r ,若U=aX+b,V=cY+d, 其中ac>0. 则U ，V 的相关系数等于 XY r 。 考查第五章 6． 设),(~2 σμN X ，用车贝晓夫不等式估计：≥<-)|(|σμk X P 211k - 考查第五章 7． 设随机变量ξ的概率函数为P{ξ=i x }=i p ,...,2,1=i 则 i p ≥ 0 ；∑∞ =1 i i p = 1 ；Eξ= ∑∞ =1 i i i p x 。 考查第一章 8． 设A,B,C 为三个事件，则A,B,C 都发生可表示为：ABC ；A 发生而B,C 不发生可表示为：C B A ；A,B,C 恰有一个发生可表示为：C B A C B A C B A ++。 考查第一章 9． )4,5(~N X ，)()(c X P c X P <=>，则=c 5 。 考查第三章
概率统计试题及答案
西南石油大学《概率论与数理统计》考试题及答案 一、填空题(每小题3分,共30分) 1、“事件,,A B C 中至少有一个不发生”这一事件可以表示为 . 2、设()0.7,()0.3P A P AB ==,则()P A B =U ________________. 3、袋中有6个白球,5个红球,从中任取3个,恰好抽到2个红球的概率 . 4、设随机变量X 的分布律为(),(1,2,,8),8 a P X k k ===L 则a =_________. 5、设随机变量X 在(2,8)内服从均匀分布,则(24)P X -≤<= . 6、设随机变量X 的分布律为，则2Y X =的分布律是 . 7、设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,且已知,X X E 1)]2)(1[(=-- 则=λ . 8、设129,,,X X X L 是来自正态总体(2,9)N -的样本,X 是样本均植,则X 服从的分布是 . 二、(本题12分)甲乙两家企业生产同一种产品.甲企业生产的60件产品中有12件 是次品,乙企业生产的50件产品中有10件次品.两家企业生产的产品混合在一起存放,现从中任取1件进行检验.求: (1)求取出的产品为次品的概率; (2)若取出的一件产品为次品,问这件产品是乙企业生产的概率. 三、(本题12分)设随机变量X 的概率密度为 , 03()2,342 0, kx x x f x x ≤
概率统计试题库及答案
、填空题 1、设 A 、B 、C 表示三个随机事件，试用 A 、B 、C 表示下列事件：①三个事件都发生 ____________ ；__②_ A 、B 发生，C 3、 设 A 、 B 、C 为三个事件，则这三个事件都不发生为 ABC; A B C.） 4、 设 A 、B 、C 表示三个事件，则事件“A 、B 、C 三个事件至少发生一个”可表示为 ，事件“A 、B 、 C 都发生”可表 示为 ， 5、 设 A 、 B 、 C 为三事件，则事件“A 发生 B 与 C 都不发生”可表示为 ________ 事__件; “A 、B 、C 不都发生”可表 示为 ____________ ；_事_ 件“A 、B 、C 都不发生”可表示为 ____ 。_（_ABC ,A B C ;A B C ） 6、 A B ___________ ；__ A B ___________ ；__A B ___________ 。_（_ B A ， A B ， A B ） 7、 设事件 A 、B 、C ，将下列事件用 A 、B 、C 间的运算关系表示：（1）三个事件都发生表示为： _______ ；_（_ 2）三 个 事件不都发生表示为： ________ ；_（_ 3）三个事件中至少有一个事件发生表示为： _____ 。_（_ ABC ， A B C ， A B C ） 8、 用 A 、B 、C 分别表示三个事件，试用 A 、B 、C 表示下列事件： A 、B 出现、C 不出现 ；至少有一 个 事 件 出 现 ； 至 少 有 两 个 事 件 出 现 。 （ ABC,A B C,ABC ABC ABC ABC ） 9、 当且仅当 A 发生、 B 不发生时，事件 ________ 发_生_ 。（ A B ） 10、 以 A 表 示 事 件 “甲 种 产 品 畅 销 ， 乙 种 产 品 滞 销 ”， 则 其 对 立 事 件 A 表 示 。（甲种产品滞销或乙种产品畅销） 11、 有R 1, R 2 , R 3 三个电子元件，用A 1,A 2,A 3分别表示事件“元件R i 正常工作”（i 1,2,3） ，试用 A 1,A 2,A 3表示下列事件： 12、 若事件 A 发生必然导致事件 B 发生，则称事件 B _____ 事_件 A 。（包含） 13、 若 A 为不可能事件，则 P （A ）= ；其逆命题成立否 。（0，不成立） 14、 设Ａ、Ｂ为两个事件， P （A ）＝０ .5, P （A －B ）=0.2，则 P （A B ） 。（0.7） 15、 设P A 0.4，P A B 0.7，若 A, B 互不相容，则P B ______________ ；_若 A, B 相互独立，则P B _______ 。_（_0.3， 概率论与数理统计试题库 不发生 _________ ；__③三个事件中至少有一个发生 2、 设 A 、B 、C 为三个事件，则这三个事件都发生为 _______________ 。_（__A_BC ， ABC ， A B C ） ；三个事件恰有一个发生 为 ABC; ABC ABC ABC ）。 ；三个事件至少有一个发生为 事件“A 、 B 、C 三事件中至少有两个发生”可表示为 。（ A B C ， ABC ， AB BC AC ） 三个元件都正常工作 ；恰有一个元件不正常工作 至少有一个元件 正常工作 。（ A 1 A 2 A 3, A 1A 2 A 3 A 1 A 2A 3 A 1A 2A 3,A 1 A 2 A 3）
大学概率统计复习题(答案)
第一章 1.设P （A ）=31，P （A ∪B ）=21 ，且A 与B 互不相容，则P （B ）=____6 1_______. 2. 设P （A ）=31，P （A ∪B ）=21 ，且A 与B 相互独立，则P （B ）=______4 1_____. 3．设事件A 与B 互不相容，P （A ）=0.2，P （B ）=0.3，则P （B A ）=___0.5_____. 4．已知P （A ）=1/2，P （B ）=1/3，且A ，B 相互独立，则P （A B ）=________1/3________. 5．设P （A ）=0.5，P （A B ）=0.4，则P （B|A ）=___0.2________. 6．设A ，B 为随机事件，且P(A)=0.8，P(B)=0.4，P(B|A)=0.25，则P(A|B)=____ 0.5______． 7．一口袋装有3只红球，2只黑球，今从中任意取出2只球，则这两只恰为一红一黑的概率是________ 0.6________． 8．设袋中装有6只红球、4只白球，每次从袋中取一球观其颜色后放回，并再放入1只同 颜色的球，若连取两次，则第一次取得红球且第二次取得白球的概率等于____12/55____. 9．一袋中有7个红球和3个白球，从袋中有放回地取两次球，每次取一个，则第一次取得红球且第二次取得白球的概率p=___0.21_____. 10．设工厂甲、乙、丙三个车间生产同一种产品，产量依次占全厂产量的45%，35%，20%，且各车间的次品率分别为4%，2%，5%.求：（1）从该厂生产的产品中任取1件，它是次品的概率； 3.5% （2）该件次品是由甲车间生产的概率. 35 18
概率论试题及答案
试卷一 一、填空（每小题2分，共10分） １．设是三个随机事件，则至少发生两个可表示为______________________。 ２. 掷一颗骰子，表示“出现奇数点”，表示“点数不大于3”，则表示______________________。 ３．已知互斥的两个事件满足，则___________。 ４．设为两个随机事件，，，则___________。 ５．设是三个随机事件，，，、， 则至少发生一个的概率为___________。 二、单项选择（每小题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号内。每小题2分，共20分） 1. 从装有2只红球，2只白球的袋中任取两球，记“取到2只白球”，则（）。 (A) 取到2只红球(B)取到1只白球 (C)没有取到白球(D)至少取到1只红球 2．对掷一枚硬币的试验, “出现正面”称为（）。 (A)随机事件(B)必然事件 (C)不可能事件(D)样本空间 3. 设A、B为随机事件，则（）。 (A) A (B) B (C) AB(D) φ 4. 设和是任意两个概率不为零的互斥事件，则下列结论中肯定正确的是（）。 (A) 与互斥(B)与不互斥 (C)(D) 5. 设为两随机事件，且，则下列式子正确的是（）。 (A) (B) (C)(D) 6. 设相互独立，则（）。 (A) (B) (C)(D) 7.设是三个随机事件，且有，则 （）。 (A) 0.1 (B) 0.6 (C) 0.8 (D)0.7 8. 进行一系列独立的试验，每次试验成功的概率为p，则在成功2次之前已经失败3次的概率为（）。 (A) p2(1–p)3(B) 4 p (1–p)3 (C) 5 p2(1–p)3(D) 4 p2(1–p)3 9. 设A、B为两随机事件，且，则下列式子正确的是（）。 (A) (B) (C) (D) 10. 设事件A与B同时发生时，事件C一定发生，则（）。
概率统计习题含答案
作业2（修改2008－10） 4. 掷一枚非均匀的硬币,出现正面的概率为(01)p p <<,若以X 表示直至掷到正、反面 都出现为止所需投掷的次数,求X 的概率分布. 解 对于2,3,k =L ,前1k -次出现正面,第k 次出现反面的概率是1(1)k p p --,前1k -次出现反面,第k 次出现正面的概率是1(1)k p p --,因而X 有概率分布 11()(1)(1)k k P X k p p p p --==-+-,2,3,k =L . 5. 一个小班有8位学生,其中有5人能正确回答老师的一个问题.老师随意地逐个请学生回答,直到得到正确的回答为止,求在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数的概率分布. 第1个能正确回答的概率是5/8, 第1个不能正确回答,第2个能正确回答的概率是(3/8)(5/7)15/56=, 前2个不能正确回答,第3个能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(5/6)5/56=, 前3个不能正确回答,第4个能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(5/5)1/56=, 前4个都不能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(0/5)0=. 设在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数为X ,则X 有分布 6. 设某人有100位朋友都会向他发送电子邮件,在一天中每位朋友向他发出电子邮件的概率都是0.04,问一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是多少?试用二项分布公式和泊松近似律分别计算. 解 设一天中某人收到X 位朋友的电子邮件,则~(100,0.04)X B ,一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是(4)P X ≥. 1) 用二项分布公式计算 3 1001000(4)1(4)10.04(10.04)0.5705k k k k P X P X C -=≥=-<=--=∑. 2) 用泊松近似律计算 331004 1000 04(4)1(4)10.04(10.04)10.5665! k k k k k k P X P X C e k --==≥=-<=--≈-=∑ ∑ .
概率统计练习题8答案
《概率论与数理统计》练习题8答案 考试时间：120分钟 题目部分，（卷面共有22题，100分，各大题标有题量和总分） 一、选择题（10小题，共30分） 1、设有10个人抓阄抽取两张戏票，则第三个人抓到有戏票的事件的概率等于( )。 A 、0 B 、1 4 C 、18 D 、15 答案：D 2、如果,A B 为任意事件，下列命题正确的是( )。 A 、如果,A B 互不相容，则,A B 也互不相容 B 、如果,A B 相互独立，则,A B 也相互独立 C 、如果,A B 相容，则,A B 也相容 D 、AB A B =? 答案：B 3、设随机变量ξ具有连续的分布密度()x ξ?，则a b ηξ=+ (0,a b ≠是常数)的分布密度为( )。 A 、 1y b a a ξ?-?? ? ?? B 、1y b a a ξ?-?? ??? C 、1y b a a ξ?--?? ??? D 、 1y b a a ξ??? - ? ??? 答案：A 4、设,ξη相互独立，并服从区间[0，1]上的均匀分布则( )。 A 、ζξη=+服从[0，2]上的均匀分布， B 、ζξη=-服从[- 1，1]上的均匀分布， C 、{,}Max ζξη=服从[0，1]上的均匀分布，
D 、(,)ξη服从区域01 01x y ≤≤??≤≤? 上的均匀分布 答案：D 5、~(0, 1), 21,N ξηξ=-则~η( )。 A 、(0, 1)N B 、(1, 4)N - C 、(1, 2)N - D 、(1, 3)N - 答案：B 6、设1ξ，2ξ都服从区间[0，2]上的均匀分布，则12()E ξξ+=( )。 A 、1 B 、2 C 、0.5 D 、4 答案：B 7、设随机变量ξ满足等式{||2}116P E ξξ-≥=，则必有( )。 A 、14D ξ= B 、14 D ξ> C 、1 4 D ξ< D 、{} 15216 P E ξξ-<= 答案：D 8、设1(,,)n X X 及1(,,)m Y Y 分别取自两个相互独立的正态总体21(, )N μσ及 2 2(, )N μσ的两个样本，其样本(无偏)方差分别为21 S 及22 S ，则统计量2 122 S F S =服从F 分 布的自由度为( )。 A 、(1, 1)n m -- B 、(, )n m C 、(1, 1)n m ++ D 、( 1, 1,)m n -- 答案：A 9、在参数的区间估计中，给定了置信度，则分位数( )。 A 、将由置信度的大小唯一确定； B 、将由有关随机变量的分布唯一确定； C 、可按置信度的大小及有关随机变量的分布来选取； D 、可以任意规定。 答案：C 10、样本容量n 确定后,在一个假设检验中,给定显著水平为α,设此第二类错误的概率为β，则必有( )。