第1章_命题逻辑

第一章命题逻辑

1.1第7页

1. 给出下列命题的否定命题： （1）大连的每条街道都临海。 否命题：不是大连的每条街道都临海。 （2）每一个素数都是奇数。

否命题： 并非每一个素数都是奇数。 2. 对下述命题用中文写出语句： （1）()P R Q ?∧→

如果非P 与R ，那么Q 。 （2）Q R ∧ Q 并且R 。

4. 给出命题P Q →，我们把Q P →、P Q ?→?、Q P ?→?分别称为命题P Q →的逆命题、反命题、逆反命题。

（1）如果天不下雨，我将去公园。

解：逆命题：如果我去公园，则天不下雨； 反命题：如果天下雨，则我不去公园；

逆反命题：如果我不去公园，则天下雨了。 （2）仅当你去我才逗留。

解：（此题注意：p 仅当q 翻译成p q →） 逆命题：如果你去，那么我逗留。

反命题：如果我不逗留，那么你没去。 逆反命题：如果你没去，那么我不逗留。 （3）如果n 是大于2的正整数，那么方程n

n n x

y z +=无整数解。

解：逆命题：如果方程n

n n x

y z +=无整数解，那么n 是大于2的正整数。

反命题：如果n 不是大于2的正整数，那么方程n n n

x y z +=有整数解。

逆反命题：如果方程n n n

x y z +=有整数解，那么n 不是大于2的正整数。

7. 给P 和Q 指派真值T ，给R 和S 指派真值F ，求出下列命题的真值。 （1）(()(()()))P Q R Q P R S ?∧∨?∨??→∨?

=(()(()()))T T F T T F F ?∧∨?∨??→∨? =()T F T ?∨→ =T F ∨ =T

（2）()Q P Q P ∧→→

=()T T T T ∧→→

=T T T ∧→ =T T → =T

（3）((()))()P Q R P Q S ∨→∧??∨?

=((()))()T T F T T F ∨→∧??∨? =(())T T F T ∨→? =T T ? =T

（4）()()P R Q S →∧?→

=()()T F T F →∧?→

=()F F F ∧→ =F

8． 构成下列公式的真值表： （1）()Q P Q P ∧→→

P Q ()Q P Q ∧→

()Q P Q P ∧→→

F F F T F T T F T F F T T

T

T

T

（2）()()()P Q R P Q P R ?∨∧?∨∧∨ P Q R ()P Q R ?∨∧ ()()P Q P R ∨∧∨ ()()()P Q R P Q P R ?∨∧?∨∧∨

F F F T F F F F T T F F F T F T F F F T T F T F T F F F T F T F T F T F T T F F T F T T

T

F

T

F

（3）()P Q Q P P R ∨→∧→∧? P Q R ()P Q Q P ∨→∧

P R ∧? ()P Q Q P P R ∨→∧→∧?

F F F T F F F F T T F F F T F F F T F T T F F T T F F F T T T F T F F T T T F T T T T

T

T

T

F

F

（4）()P P Q R Q R ?→∧?→∧∨? P Q R ()P P Q R ?→∧?→

()P P Q R Q R ?→∧?→∧∨?

F

F

F

T

T

F F T F F F T F T T F T T F F T F F T T T F T F F T T F F T T

T

T

F

F

9. 使用真值表证明：如果P Q ?为T ，那么P Q →和Q P →都是T ，反之亦然。 证明：

P Q P Q ?

P Q →

Q P →

F F T T T F T F T F T

F

F

F

T

T T T T T

由上表可知：当P Q ?为T 时，P Q →和Q P →都是T ；P Q →和Q P →为T 时，

P Q ?为T 。故命题得证。

10. 使用真值表证明：对于P 和Q 的所有值，P Q →与P Q ?∨有同样的真值。

P Q P Q →

P Q ?∨

F F T T F T T T T F F F T

T

T

T

11. 一个有两个运算对象的逻辑运算符，如果颠倒其运算对象的次序，产生一逻辑等价命题，则称此逻辑运算符是可交换的。

（1）确定所给出的逻辑运算符哪些是可交换的：∧，∨，→，?。 （2）用真值表证明你的判断。 解：（1）∧，∨，?是可交换的。 （2）真值表如下： P Q P Q ∧

Q P ∧

P Q ∨

Q P ∨

P Q → Q P → P Q ? Q P ?

F F F F F F T T T T F T F F T T T F F F T F F F T T F T F F T

T

T

T

T

T

T

T

T

T

12.设*是具有两个运算对象的逻辑运算符，如果()x y z **和()x y z **逻辑等价，那么运算符*是可结合的。

（1）确定逻辑运算符∧，∨，→，?哪些是可结合的？ （2）用真值表证明你的判断。 解：（1）,,∧∨?是可结合的。 （2）真值表如下：

P Q R ()P Q R ∧∧ ()P Q R ∨∨ ()P Q R →→ ()P Q R ??

F F F F F F T F F T F T T T F T F F T F T F T T F T T F T F F F T T T T F T F T T F T T F F T F F T T

T

T

T

T

T

P Q R ()P Q R ∧∧ ()P Q R ∨∨ ()P Q R →→ ()P Q R ??

F F F F F T T F F T F T T T F T F F T T T F T T F T T F T F F F T T T T F T F T T F T T F F T F F T

T

T

T

T

T

T

13. 令P 表示命题“苹果是添的”，Q 表示命题“苹果是红的”，R 表示命题“我买苹果”。试将下列命题符号化：

（1）如果苹果甜而红，那么我买苹果。 （2）苹果不是甜的。

（3）我没买苹果，因为苹果不红也不甜。 解：（1）P Q R ∧→ （2）P ?

（3）R P Q ?→?∧?

14．解：如何我问你是你是不是总说谎的，你会说是吗？ 回答不是的都是说实话的，回答是的都是说谎的。

1.2第15页

1. 指出下面命题公式哪些是重言式、永假式或可满足式。 解：

（1）重言式

P P T ∨?= （2）永假式

P P F ∧?= （3）重言式

()P P T →??= （4）重言式 ()()()()P Q P Q P Q P Q T ?∧??∨?=?∨???∨?= （5）重言式

()()()()P Q P Q P Q P Q T ?∨??∧?=?∧???∧?=

（6）重言式 ()()P Q Q P →??→?

=()()P Q Q P T ?∨?∨?= （7）重言式 (()())()P Q Q P P Q →∧→?? =()()P Q P Q T ???= （8）重言式 ()()P Q R P Q P R ∧∨→∧∨∧

=(()())()P Q P R P Q P R ∧∨∧→∧∨∧

=()()P Q P R P Q P R ∧∨∧→∧∨∧

=T

（9）重言式 P P Q ∧?→ =F Q T →= （10）可满足式 P Q Q ∨?→

=()P Q Q P Q Q ?∨?∨=?∧∨，当Q 为真时公式为真，Q 为假时公式为假。故为可

满足式。 （11）重言式

P P Q P P Q T →∨=?∨∨=

（12）重言式 ()P Q P P Q P P Q P T ∧→=?∧∨=?∨?∨= （13）可满足式 ()()P Q P P Q ∧???的真值表如下：

P Q P Q P ∧?

P Q ?

()()P Q P P Q ∧???

F F T T T F T T F F T F F F T T

T

T

T

T

（14）可满足式 (()())(()())P Q R S P R Q S →∨→→∨→∨ =()()P Q R S P R Q S ?∨∨?∨→?∧?∨∨

=(()())(()())P R Q S P R Q S ?∨?∨∨→?∧?∨∨

当Q 或S 有一个为真时公式为真；当Q 和S 均为假时，若P 和R 真值相同时，公式

为真；真值不同时，公式为假。故公式是可满足式。

2. 写出与下面给出的公式等价并且仅含有联接词∧与?的最简公式。 （1）((()))P Q R P ??→∨

(((()))((())))(()(()))(())()()P Q R P Q R P P P Q R P Q R P P T Q R P P Q R P P P P Q R ??→→∨∧→∨→???∨?∨∨∧?∨∨→??∧∧?∧?∨??∧?∧?∨??∧??∧∧?

（2）(())()P Q R P R ∨→→∨

(())()(())()(())()()(()())()()()

()P Q R P R P Q R P R P Q R P R P Q P R P R

P Q R P R P Q R R P R P Q R P Q R ??∨∨→∨???∨∨∨∨?∨∧?∨∨?∨∨∧?∨∨?∨∧?∨∨?∨∨∧?∨∨?∨∨???∧?∧?

（3）P Q R ∨∨? ()P Q R ???∧?∧ （4）()P Q R P ∨?∧→ (())

()()P Q R P P Q R P P Q R

P Q R ?∨??∧∨?∨∨?∨?∨∨????∧?∧

（5）()P Q P →→ ()()P Q P P Q P T

?→?∨??∨?∨? 3. 写出与下面的公式等价并且仅含联结词∨和?的最简公式。 （1）()P Q P ∧∧?

P Q P

F

?∧∧??

（2）(())P Q Q P Q →∨?∧?∧ ()()

P T P Q

T P Q

P Q P Q ?→∧?∧?∧?∧??∧??∨?

（3）()P Q R P ?∧?∧?→ ()

()()()()

P Q R P P Q R P Q P P Q R F P Q R P Q R ??∧?∧∨??∧?∧∨?∧?∧??∧?∧∨??∧?∧??∨∨?

4. 使用常用恒等式证明下列各式，并给出下列各式的对偶式。 （1）()()P Q P Q P ??∨?∨??∨? 证明：

()()()()

()

P Q P Q P Q P Q P Q Q P T P

??∨?∨??∨?∧∨∧??∧∨??∧?

对偶式：()()P Q P Q P ??∧?∧??∧?

（2）()()()()P Q P Q P Q P Q ∨?∧∨∧?∨????∨ 证明：

()()()(())()()

()()

()()

P Q P Q P Q P Q Q P Q P P Q P P P Q P Q P Q ∨?∧∨∧?∨??∨?∧∧?∨??∧?∨??∧?∨∧??∧????∨

对偶式：()()()()P Q P Q P Q P Q ∧?∨∧∨?∧????∧ （3）(())Q P Q P T ∨??∨∧?

证明：

(())(())()()()Q P Q P Q P Q P Q P Q P P Q P Q T

∨??∨∧?∨??∨∨??∨∧?∨??∧?∨?∧??

对偶式：(())Q P Q P F ∧??∧∨? 5. 试证明下列合式公式是永真式。 （1）(())P Q P T ∧→? 证明：

(())()P Q P P Q P P Q P T

∧→??∧∨??∨?∨?

（2）(())P Q P F ??∨→?? 证明：

(())(())()P Q P P Q P P Q P

P Q P F

??∨→???∨∨???∨∧??∧?∧?

（3）()()Q P P Q P →∧?→?

证明：

()()()()()

Q P P Q Q P P Q P Q Q P F P

→∧?→??∨∧∨?∨?∧?∨?

（4）()()P P P P F →?∧?→?

证明：

()()()()

P P P P P P P P P P F

→?∧?→??∨?∧∨??∧?

6. 证明下列蕴含式。 （1）P Q P Q ∧?→ 证明：

()()()()P Q P Q P Q P Q P Q P Q P Q Q T

∧→→??∧∨?∨??∨?∨?∨??∨?∨? （2）()()()P Q R P Q P R →→?→→→ 证明：

(())(()())(())(()())

()(())

()()P Q R P Q P R P Q R P Q P R P Q R P Q P R P Q R P Q R T

→→→→→→??∨?∨→??∨∨?∨??∨?∨→∧?∨?∨??∨?∨→?∨?∨? （3）P Q P P Q →?→∧

证明：

()()()(())()(()())()()()()P Q P P Q P Q P P Q P Q P P P Q P Q P Q P Q P Q T

→→→∧?→→?∨∧?→→?∨∧?∨?→→?∨?→→→?

（4）()P Q Q P Q →→?∨ 证明：

(())()(())()(())()(()())()()()P Q Q P Q P Q Q P Q P Q Q P Q P Q Q Q P Q P Q P Q T

→→→∨???∨∨→∨?∧?∨→∨?∨∧?∨→∨?∨→∨?

（5）()()P P Q P P R Q R ∨?→→∨?→?→ 证明：

(()())()(()())()

(()())()

()()P P Q P P R Q R T Q T R Q R F Q F R Q R Q R Q R T

∨?→→∨?→→→?→→→→→?∨→∨→→?→→→? （6）()()Q P P R P P R Q →∧?→→∧??→

证明：

(()())()(()())()(()())()()()()()Q P P R P P R Q Q F R F R Q Q F R F R Q Q R R Q R Q R Q T

→∧?→→∧?→→?→→→→→??∨→?∨→→??→?→→?→→→?

7. 对一个重言式使用代入规则后仍为一个重言式，对一个可满足式和一个矛盾式，使用代入规则后，结果如何？对重言式、可满足式和矛盾式，使用替换规则后，结果如何？ 解：对于代入规则：

（1）如果是可满足式，使用代入规则后可能是重言式、可满足式或矛盾式。如：可满足式P Q ∨，将Q 分别替换为P ?，R 分别得到重言式P P ∨?和可满足式P R ∨，对于可满足式P Q ∧，将Q 替换为P ?得到矛盾式P P ∧?。

（2）如果是矛盾式，使用代入规则后仍然是矛盾式。设P 是矛盾式，则P ?是重言式。而对于重言式使用代入规则后仍为重言式，即P '?是重言式，故P '是矛盾式。

对于替换规则：由于替换规则是一种对子公式逻辑上等价的替换，故对于重言式、可满足式和矛盾式使用替换规则后其真值不变。 8. 求出下列各式的代入实例。

（1）((()))P Q P P →→→；用P Q →代P ，用(())P Q P →→代Q 。 解：(((()(()))())())P Q P Q P P Q P Q →→→→→→→→ （2）(()())P Q Q P →→→；用Q 代P ，用P ?代Q

解：(()())Q P P Q →?→?→ 9．证明下列等价式：

（1）(())(())(())Q A C A P C A P Q C ∧→∧→∨?∧→→ 证明：(())(())Q A C A P C ∧→∧→∨

(())(())()()()()Q A C A P C A C Q A C P A C P Q ??∧∨∧?∨∨??∨∨?∧?∨∨??∨∨∧? (())(())(())()()()

A P Q C

A P Q C A P Q C A P Q C A C P Q ∧→→??∧?∨∨??∨??∨∨??∨∧?∨??∨∨∧?

因此，(())(())(())Q A C A P C A P Q C ∧→∧→∨?∧→→，得证。

1.3第22页

1.求下列各式的主合取范式。

（1）()()()P Q R P Q R P Q R ∧∧∨?∧∧∨?∧?∧?

((())(()))()(()())()()()

()()()()

()()()()()(1,2,4,5,6)

P Q R P Q R P Q R P P Q R P Q R Q R P Q R P Q Q R P R Q R P Q R P Q R P Q R P Q R P Q R ?∧∧∨?∧∧∨?∧?∧??∨?∧∧∨?∧?∧??∧∨?∧?∧???∨∧∨?∧?∨∧?∨??∨∨?∧?∨∨∧∨∨?∧?∨?∨∧∨?∨?∏

（2）()()()P Q P Q P Q ∧∨?∧∨∧? (())()

()()()(0)

P P Q P Q Q P Q P Q Q Q P Q

?∨?∧∨∧??∨∧??∨∧∨??∨?∏

（3）()()P Q P Q R ∧∨?∧∧

()()()()()()()()()()

()()()()()(0,1,2,4,5)

P P P Q P R P Q Q Q Q R P Q P R P Q Q Q R P Q R P Q R P Q R P Q R P Q R ?∨?∧∨∧∨∧?∨∧∨∧∨?∨∧∨∧?∨∧∧∨?∨∨∧∨∨?∧∨?∨∧?∨∨∧?∨∨??∏

2.求下列公式的主析取范式和主合取范式： （1）()()P Q P Q ?∨?→?? 合取范式：

()(()())()(()())()()()()()(0)

P Q P Q Q P P Q P Q Q P P Q Q P P Q P Q P Q P Q P Q ?→?→→?∧?→??→?∨→?∧?→??→?∨?→???∨?∨∨?∧∨∨?∨?∏ 析取范式：(1,2,3)∏

（2）((()))P P Q Q R ∨?→∨?→

合取范式：

((()))

(0)

P P Q Q R P Q R

?∨∨∨∨?∨∨?∏ 析取范式：(1,2,3)∑

（3）(())(())P Q R P Q R →∧∧?→?∧?

合取范式：

(())(())

()()()()

()()()()()()(1,2,3,4,5,6)P Q R P Q R P Q P R P Q P R P Q R P Q R P Q R P Q R P Q R P Q R ??∨∧∧∨?∧???∨∧?∨∧∨?∧∨???∨∨∧?∨∨?∧?∨?∨∧∨?∨∧∨?∨?∧∨∨??∏析取范式：(0,7)∑

（4）()()P Q S P Q R ∧?∧∨?∧∧

析取范式：

()()()()

(6,7,9,11)

P Q R S P Q R S P Q R S P Q R S ?∧?∧∧∨∧?∧?∧∨?∧∧∧∨?∧∧∧??∑

合取范式：(0,1,2,3,4,5,8,10,12,13,14,15)∏

1.4第27页

1.试用真值表法证明：A E ∧不是A B ?,()B C D ?∧,()C A E ?∨和A E ∨的有效结论。

解：构造真值表如下： A B C D E A B ?

()B C D ?∧ ()C A E ?∨

A E ∨

A E ∧

0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1

1

1

1

1 1 0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1

1

1

1

1

1

第6，31行前提取值均为1时，结论为0。故命题得证。

2.1H ，2H 和3H 是前提。在下列情况下，试确定结论C 是否有效（可以使用真值表法证明。） （1）1:H P Q →

:()C P P Q →∧

证明：真值表如下：

P Q P Q →

()P P Q →∧

0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 0 1 1

1

1

第1，2，4行当前提取值为1时，结论都为1。故结论C 是有效的。

（2）1:H P Q ?∨ 2:()H Q R ?∧?

3:H R ?

:C P ?

证明： {1} （1） ()Q R ?∧? P 规则

{1}

（2）

Q R ?∨ T 规则，（1），11E {3} （3） R ?

P 规则 {1，3} （4） Q ? T 规则，（2），（3），9I {5}

（5）

P Q ?∨ P 规则

{1，3，5}（6）

P ?

T 规则，（4），（5），11E

结论C 是有效结论。

（3）1:()H P Q P →→

2:H P Q → :C R

（4）1:H P Q → 2:H Q R →

:C P R →

证明： {1} （1）

P P 规则（附加前提） {2} （2） P Q → P 规则

{1，2} （3） Q T 规则，（1），（2），10I {4}

（4） Q R → P 规则

{1，2，4} （5） R T 规则，（3），（4），10I

{1，2，4}

（6）

P R →

CP 规则，（1），（5）

3.不构成真值表证明：A C ∨不是()A B C ?→、()B A C ??∨?、()C A B ?∨?和B 的有效结论。 证明：（1） B P 规则 （2） ()B A C ??∨? P 规则 （3） A C ?∨? T 规则，(1)(2) （4） ()A B C ?→ P 规则 （5） A C ? T 规则,(1)(4) （6） ()()A C A C ∧∨?∧? T 规则(5) （7） ()A C ?∧ T 规则(3)

（8） A C ?∧? T 规则(6)(7)

（9）

()A C ?∨ T 规则(8)

因此，()A C ?∨是题目的有效结论，A C ∨不是。

4.使用推理的方法证明：L M ∨是P Q R ∧∧和()()Q R L M ?→∨的有效结论。 证明：

{1} （1） P Q R ∧∧ P 规则 {1} （2） R

T 规则，（1），2I {1} （3） Q R ?∨ T 规则，（2），4I {1} （4） Q R → T 规则，（3），27E {1} （5） Q

T 规则，（1），2I {1} （6） R Q ?∨ T 规则，（5），4I {1} （7） R Q →

T 规则，（6），27E

{1} （8） Q R ? T 规则，（4），（7），26E {9}

（9）

()()Q R L M ?→∨ P 规则 {1，9}

（10）

L M ∨ T 规则，（8），（9），10I

5.不构成真值表证明下列命题公式不能同时全为真。

（1）P Q ?，Q R →，R S ?∨，P S ?→，S ? 证明：

{1} （1） S ? P 规则 {2} （2） P S ?→ P 规则 {1，2} （3） P T 规则，（1），（2），11I {4} （4） P Q ? P 规则

{1，2，4}

（5） Q T 规则，（3），（4），10I {6}

（6） Q R → P 规则

{1，2，4，6}

（7）

R T 规则，（5），（6），10I {8} （8）

R S ?∨

P 规则 (1，2，4，6，8) （9）

S

T 规则，（7），（8），9I

推出结论与前提矛盾，因此命题公式不能同时为真。 （2）R M ∨，R S ?∨，M ?，S ? 证明：

{1} （1） M ? P 规则

{2} （2） R M ∨ P 规则 {1，2} （3） R T 规则，（1），（2），9I {4}

（4）

R S ?∨

P 规则

{1，2，4} （5）

S

T 规则，（3），（4），9I

推出的结论与命题公式S ?矛盾，因此命题公式不能同时为真。

6. 1H ，2H 和3H 是前提，根据推理规则断定，在下列情况下C 是否是有效结论。 （1）1:H P Q ∨ 2:H P R →

3:H Q R →

:C R

证明： {1} （1） R ?

P 规则（假设前提） {2} （2） P R → P 规则 {1，2} （3） P ?

T 规则，（1），（2），11I {4} （4） P Q ∨

P 规则

{1，2，4}

（5） Q T 规则，（3），（4），9I {6}

（6） Q R → P 规则

{1，2，4，6} （7） R T 规则，（5），（6），10I {1，2，4，6}

（8）

R R ?∧ T 规则，（1），（7），16I {1，2，4，6} （9）

R

F 规则，（1），（8）

因此C 是有效结论。

（2）1:()H P Q R →→

2:H R

:C P 证明：因为()P Q R P Q R →→??∨?∨，再由前提2:H R ，得到P ?、Q ?的值任意，即P 、Q 的值任意。因此C 不是有效结论。

7.证明下列结论的有效性。

（1）()P Q ?∧?，Q R ?∨，R P ??? 证明：（1）

R ? P 规则

（2）

Q R ?∨ P 规则

（3） Q ? T 规则，（1），（2），9I （4） ()P Q ?∧? P 规则

（5） P Q ?∨

T 规则，（4），11E

（6）

P ? T 规则，（3），（5），9I

（2）()P Q R ∧→，R S ?∨?，S P Q ???∨? 证明：（1） S P 规则 （2） R S ?∨? P 规则 （3） R ? T 规则（1）（2） （4） ()P Q R ∧→ P 规则 （5） ()P Q ?∧ T 规则（3）（4） （6） P Q ?∨? T 规则（5） 8.导出下列结论（如果需要，就是用规则CP ） （1）,,P Q Q R R S P S ?∨?∨→?→

证明： （1） P P 规则（假设前提） （2） P Q ?∨ P 规则

（3） Q T 规则（1）（2）

（4） Q R ?∨ P 规则

（5） R T 规则（3）（4） （6） R S → P 规则

（7） S T 规则（5）（6） （8） P S → CP 规则（1）（7） （2）()P Q P P Q →?→∧

证明： （1） P P 规则（假设前提） （2） P Q → P 规则

（3） Q T 规则（1）（2） （4） P Q ∧ T 规则（1）（3） （5） ()P P Q →∧ CP 规则（1）（4） （3）()()P Q R P Q R ∨→?∧→

证明： （1） P Q ∧ P 规则（假设前提） （2） P T 规则（1） （3） Q T 规则（1） （4） P Q ∨ T 规则（2）（3） （5） ()P Q R ∨→ P 规则

（6） R T 规则（4）（5） （7） ()P Q R ∧→ CP 规则（1）（6） 9.证明下列各式的有效性（如果需要，就使用间接证明法）。 （1）(),,,R Q R S S Q P Q P →?∨→?→??

证明： （1） P ?? P 规则（假设前提） （2） P T 规则（1） （3） P Q → P 规则

（4） Q T 规则（2）（3） （5） S Q →? P 规则

（6） S ? T 规则（4）（5） （7） R S ∨ P 规则

（8） R T 规则（6）（7） （9） R Q →? P 规则

（10） Q ? T 规则（8）（9） （11） Q Q ∧? T 规则（4）（10） （12） P ? F 规则（1）（11） （2）,,,S Q R S R P Q P →?∨????

证明： （1） P ?? P 规则（假设前提） （2） P T 规则（1） （3） P Q ? P 规则

（4） Q T 规则（2）（3） （5） S Q →? P 规则

（6） S ? T 规则（4）（5） （7） R S ∨ P 规则

（8） R T 规则（6）（7） （9） R ? P 规则

（10） R R ∧? T 规则（8）（9） （11） P ? F 规则（1）（10） （3）()(),(()),P Q R S Q P R R P Q ?→→?∨→∨??? 证明： （1） R P 规则

（2） ()Q P R →∨? P 规则

（3） Q P → T 规则（1）（2） （4） R S ∨ T 规则（1）

（5） ()()P Q R S ?→→?

∨ P 规则 （6） ()P Q ??→ T 规则（4）（5） （7） P Q → T 规则（6） （8） ()()P Q Q P →∧→ T 规则（3）（7） （9） P Q ? T 规则（8）

第一章习题解答

第一章 命题逻辑 习题与解答 ⒈ 判断下列语句是否为命题，并讨论命题的真值。 ⑴ 032=-x 。 ⑵ 前进！ ⑶ 如果2078>+，则三角形有四条边。 ⑷ 请勿吸烟！ ⑸ 你喜欢鲁迅的作品吗？ ⑹ 如果太阳从西方升起，你就可以长生不老。 ⑺ 如果太阳从东方升起，你就可以长生不老。 解 ⑶,⑹,⑺表达命题，其中⑶,⑹表达真命题，⑺表达假命题。 ⒉ 将下列命题符号化： ⑴ 逻辑不是枯燥无味的。 ⑵ 我看见的既不是小张也不是老李。 ⑶ 他生于1963年或1964年。 ⑷ 只有不怕困难，才能战胜困难。 ⑸ 只要上街，我就去书店。 ⑹ 如果晚上做完了作业并且没有其它事情，小杨就看电视或听音乐。 ⑺ 如果林芳在家里，那么他不是在做作业就是在看电视。 ⑻ 三角形三条边相等是三个角相等的充分条件。 ⑼ 我进城的必要条件是我有时间。 ⑽ 他唱歌的充分必要条件是心情愉快。 ⑾ 小王总是在图书馆看书，除非他病了或者图书馆不开门。 解 ⑴ p ：逻辑是枯燥无味的。 “逻辑不是枯燥无味的”符号化为p ?。 ⑵ p ：我看见的是小张。q ：我看见的是老李。 “我看见的既不是小张也不是老李”符号化为q p ?∧?。 ⑶ p ：他生于1963年。q ：他生于1964年。 “他生于1963年或1964年”符号化为q p ⊕。 ⑷ p ：害怕困难。q ：战胜困难。 “只有不怕困难，才能战胜困难”符号化为p q ?→。 ⑸ p ：我上街。q ：我去书店。 “只要上街，我就去书店”符号化为q p →。 ⑹ p ：小杨晚上做完了作业。q ：小杨晚上没有其它事情。 r ：小杨晚上看电视。s ：小杨晚上听音乐。 “如果晚上做完了作业并且没有其它事情，小杨就看电视或听音乐”符号化为s r q p ∨→∧。 ⑺ p ：林芳在家里。q ：林芳做作业。r ：林芳看电视。 “如果林芳在家里，那么他不是在做作业就是在看电视”符号化为r q p ∨→。

华南理工《离散数学》命题逻辑练习题(含答案)(最新整理)

第一章命题逻辑 1.1 命题与联结词 一、单项选择题 1、 A．明年“五一”是晴天。 B．这朵花多好看呀！。 C．这个男孩真勇敢啊！ D．明天下午有会吗？ 在上面句子中，是命题的是( ) 2. A．1＋101＝110 B．中国人民是伟大的。 C．这朵花多好看呀！ D．计算机机房有空位吗？ 在上面句子中，是命题的是( ) 3. A．如果天气好，那么我去散步。 B．天气多好呀！ C．x=3。 D．明天下午有会吗？ 在上面句子中( )是命题 4．下面的命题不是简单命题的是( ) A．3是素数或4是素数 B．2018年元旦下大雪 C．刘宏与魏新是同学 D．圆的面积等于半径的平方与π之积 5．下面的表述与众不一致的一个是( ) A．P：广州是一个大城市 B．?P：广州是一个不大的城市 C．?P：广州是一个很不小的城市 D．?P：广州不是一个大城市 6．设，P：他聪明；Q：他用功。在命题逻辑中，命题： “他既聪明又用功。” 可符号化为：( ) A．P ∧Q B．P→Q C．P∨?Q D．P∧?Q 7．设：P ：刘平聪明。Q：刘平用功。在命题逻辑中，命题： “刘平不但聪明，而且用功”可符号化为：( ) A．P ∧Q B．?P∨Q C．P∨?Q D．P∧?Q 8．设：P：他聪明；Q：他用功。则命题“他虽聪明但不用功。” 在命题逻辑中可符号化为( ) A．P ∧Q B．P→Q C．P∨?Q D．P∧?Q 9．设：P：我们划船。Q：我们跑步。在命题逻辑中，命题： “我们不能既划船又跑步。” 可符号化为：( ) A．P→Q B．?（P ∧Q） C．P∨Q D．P∧?Q 10．设：P：王强身体很好；Q：王强成绩很好。命题“王强身体很好，成绩也很好。”在命题逻辑中可符号化为( ) A．P ∨Q B．P→Q C．P∧?Q D．P∧Q 11．设：P：你努力；Q：你失败。则命题“除非你努力，否则你将失败。”

离散数学第一章命题逻辑知识点总结

数理逻辑部分 第1章命题逻辑 命题符号化及联结词 命题: 判断结果惟一的陈述句 命题的真值: 判断的结果 真值的取值: 真与假 真命题: 真值为真的命题 假命题: 真值为假的命题 注意: 感叹句、祈使句、疑问句都不是命题，陈述句中的悖论以及判断结果不惟一确定的也不是命题。 简单命题(原子命题)：简单陈述句构成的命题 复合命题：由简单命题与联结词按一定规则复合而成的命题 简单命题符号化 用小写英文字母p, q, r, … ,p i,q i,r i (i≥1）表示 简单命题 用“1”表示真，用“0”表示假 例如，令p：是有理数，则p 的真值为 0 q：2 + 5 = 7，则q 的真值为 1 联结词与复合命题 1.否定式与否定联结词“” 定义设p为命题，复合命题“非p”（或“p的否定”）称 为p的否定式，记作p. 符号称作否定联结词，并规定p为真当且仅当p为假. 2.合取式与合取联结词“∧” 定义设p,q为二命题,复合命题“p并且q”(或“p与q”)称为p与q 的合取式，记作p∧q. ∧称作合取联结词，并规定 p∧q为真当且仅当p 与q同时为真 注意：描述合取式的灵活性与多样性 分清简单命题与复合命题 例将下列命题符号化. (1) 王晓既用功又聪明. (2) 王晓不仅聪明，而且用功. (3) 王晓虽然聪明，但不用功. (4) 张辉与王丽都是三好生. (5) 张辉与王丽是同学. 解令p：王晓用功，q：王晓聪明，则 (1) p∧q (2) p∧q (3) p∧q. 令r : 张辉是三好学生，s :王丽是三好学生 (4) r∧s. (5) 令t : 张辉与王丽是同学，t 是简单命题 . 说明:

《命题逻辑》课外习题及答案

第一章命题逻辑 课外习题及解答 练习一 1、判断下列语句是否是命题，若是命题则请将其形式化： （1）a+b （2）x>0 （3）“请进！” （4）所有的人都是要死的，但有人不怕死。 （5）我明天或后天去苏州。 （6）我明天或后天去苏州的说法是谣传。 （7）我明天或后天去北京或天津。 （8）如果买不到飞机票，我哪儿也不去。 （9）只要他出门，他必买书，不管他余款多不多。 （10）除非你陪伴我或代我雇辆车子，否则我不去。 （11）只要充分考虑一切论证，就可得到可靠见解；必须充分考虑一切论证，才能得到可靠见解。 （12）如果只有懂得希腊文才能了解柏拉图，那么我不了解柏拉图。 （13）不管你和他去不去，我去。 （14）侈而惰者贫，而力而俭者富。（韩非：《韩非子?显学》） （15）骐骥一跃，不能十步；驽马十驾，功在不舍；锲而舍之，朽木不折；锲而不舍，金石可镂。（荀况：《荀子?劝学》） 解（1）a+b 不是命题 （2）x>0 不是命题（x是变元） （3）“请进！”不是命题 （4）所有的人都是要死的，但有人不怕死。是命题 可表示为p∧┐q，其中p：所有的人都是要死的，q：所有的人都怕死（5）我明天或后天去苏州。是命题 可表示为p∨q，其中p：我明天去苏州；q：我后天去苏州 （6）我明天或后天去苏州的说法是谣传。是命题 可表示为┐(p∨q)，其中p、q同（5） （7）我明天或后天去北京或天津。是命题 可表示为p∨q∨r∨s，其中p：我明天去北京，q：我明天去天津，r：我后天去北京，s：我后天去天津 （8）如果买不到飞机票，我哪儿也不去。是命题 可表示为┐p→┐q，其中，p：我买到飞机票，q：我出去 （9）只要他出门，他必买书，不管他余款多不多。是命题 可表示为(p∧q→r)∧(┐p∧q→r)或q→r，其中p：他余款多，q：他出门，r：他买书（10）除非你陪伴我或代我雇辆车子，否则我不去。是命题 可表示为(p∨q) ? r，其中p：你陪伴我，q：你代我雇车，r：我去 （11）只要充分考虑一切论证，就可得到可靠见解；必须充分考虑一切论证，才能得到可靠见解。是命题 可表示为(p→q) ∧(q→p )或p ?q，其中p：你充分考虑了一切论证，q：你得到了可靠见解 （12）如果只有懂得希腊文才能了解柏拉图，那么我不了解柏拉图。是命题 可表示为(q→p ) →┐q，其中p：我懂得希腊文，q：我了解柏拉图 （13）不管你和他去不去，我去。是命题 可表示为(p→r) ∧(q→r) ∧( ┐p→r) ∧( ┐q→r)或r，其中p：你去，q：他去，r：我去

第1章 命题逻辑

习题1 1．下列句子中那些是命题？ (1) 4是无理数. (2) 2+5＝8. (3) x+5＞3. (4) 你有铅笔吗？ (5) 这只兔子跑得真快呀！ (6) 请不要讲话！ (7) 我正在说谎话. 解：(1)(2)是命题。(7)是悖论。 2．判断下列语句是不是命题。若是，给出命题的真值。（1）北京是中华人民共和国的首都。 （2）陕西师大是一座工厂。 （3）你喜欢唱歌吗？ （4）若7+8＞18，则三角形有4条边。 （5）前进！ （6）给我一杯水吧！ 解：(1)(2)(4)是命题，真值分别是1,0,1。 3．写出下列命题的否定式： （1）存在一些人是大学生； （2）所有的人都是要死的； （3）并非花都有香味。 解：(1) 不存在一些人是大学生。 （2）并非所有的人都是要死的； （3）花都有香味。 4．设P：我生病，Q：我去学校，符号化下列命题。 (1) 只有在生病时，我才不去学校。 (2) 若我生病，则我不去学校。 (3) 当且仅当我生病时，我才不去学校。 (4) 若我不生病，则我一定去学校。 解：（1）Q→P （2）P→Q （3）P Q （4）P→Q 5．设p：李平聪明，q：李平用功。符号化下列命题。 (1) 李平既聪明又用功。 (2) 李平虽然聪明，但不用功。 (3) 李平不但聪明，而且用功。

(4) 李平不是不聪明，而是不用功。 (5) 张三或李四都可以做这件事。 解：（1）p ∧q （2）p ∧q （3）p ∧q （4）(p)∧q ，或p ∧q （5）设p ：张三可以做这件事，q ：李四可以做这件事。命题符号化为p ∨q 。 6．设p ：天下雨，q ：我骑车上班。符号化下列命题。 (1) 如果天不下雨，我就骑车上班。 (2) 只要天不下雨，我就骑车上班。 (3) 只有天不下雨，我才骑车上班。 (4) 除非天下雨，否则我就骑车上班。 (5) 如果天下雨，我就不骑车上班。 解：（1）p →q （2）p →q （3）q →p ，p →q （4）q →p ，p →q （5）p →q 7．将下列命题符号化。 (1) 小王是游泳冠军或百米赛跑冠军。 解：设p ：小王是游泳冠军，q ：小王是百米赛跑冠军。 原语句化为p ∨q 。 (2) 小王现在在宿舍或在图书馆。 解：设p ：小王在宿舍，q ：小王在图书馆。原语句化为p ∨q 。 (3) 选小王或小李中的一人当班长。 解：设p ：选小王当班长，q ：选小李当班长。 但因为p,q 不可能同时为真, 故应符号化为： (p ∧q)∨(p ∧q) (4) 如果我上街，我就去书店看看，除非我很累。 解：设ｐ：我上街，ｑ：我去书店看看，ｒ：我很累。 原语句化为ｒ→(ｐ→ｑ)或(ｒ∧ｐ)→ｑ。 (5) 小丽是计算机系的学生，她生于1982或1983年，她是三好生。 解：设p ：小丽是计算机系的学生，q ：小丽生于1982年，r ：小丽生于1983年，s ：小丽是三好生。原语句化为p ∧(q ∨r)∧s 。 (6) 我去镇上，当且仅当我有时间且天不下雪。 解：设p:我去镇上，q:我有时间，r:天下雪。原语句化为p ?q ∧r 。 (7) 我若去镇上则我有时间，并且我若有时间则去镇上。 解：设p:我去镇上，q:我有时间。原语句化为p ?q 。 (8) 我有时间或我去镇上，此话不对。 解：设p:我去镇上，q:我有时间。原语句化为(p ∨q)。 8.求下列命题公式的真值表。 (1)()p p q ∧→? (2)()()p q q p ?→→→?

(完整版)命题逻辑复习题及答案

命题逻辑 一、选择题（每题3分） 1、下列句子中哪个是命题？ ( C ) A 、你的离散数学考试通过了吗？ B 、请系好安全带！ C 、 π是有理数 D 、 本命题是假的 2、下列句子中哪个不是命题？ ( C ) A 、你通过了离散数学考试 B 、我俩五百年前是一家 C 、 我说的是真话 D 、 淮海工学院是一座工厂 3、下列联接词运算不可交换的是( C ) A 、∧ B 、∨ C 、 → D 、 ? 4、命题公式P Q ?→不能表述为( B ) A 、P 或Q B 、非P 每当Q C 、非P 仅当Q D 、除非P ，否则Q 5、永真式的否定是 ( B ) A 、 永真式 B 、永假式 C 、可满足式 D 、 以上答案均有可能 6、下列哪组赋值使命题公式()P P Q →∧的真值为假( D ) A 、P 假Q 真 B 、P 假Q 假 C 、P 真Q 真 D 、P 真Q 假 7、下列为命题公式()P Q R ∧∨?成假指派的是( B ) A 、100 B 、101 C 、110 D 、111 8、 下列公式中为永真式的是 ( C ) A 、()P P Q →∧ B 、()P P Q ?→∧ C 、()P Q Q ∧→ D 、()P Q Q ∨→ 9、 下列公式中为非永真式的是( B ) A 、 ()P P Q ∧?→ B 、()P P Q ∨?→ C 、()P P Q ∧?→ D 、()P P Q ∨?→ 10、下列表达式错误的是( D ) A 、()P P Q P ∨∧? B 、()P P Q P ∧∨? C 、()P P Q P Q ∨?∧?∨ D 、()P P Q P Q ∧?∨?∨ 11、下列表达式正确的是( D ) A 、P P Q ?∧ B 、P Q P ?∨ C 、()Q P Q ???→ D 、Q Q P ??→?)( 12、下列四个命题中真值为真的命题为( B ) （1）224+=当且仅当3是奇数 （2）224+=当且仅当3不是奇数； （3）224+≠当且仅当3是奇数 （4）224+≠当且仅当3不是奇数 A 、（1）与（2） B 、（1）与（4） C 、（2）与（4） D 、（3）与（4） 13、设P ：龙凤呈祥是成语，Q ：雪是黑的，R ：太阳从东方升起，则下列假命题为( A ) A 、R Q P ∧→ B 、Q P S →∧ C 、P Q R →∨ D 、 Q P S →∨ 14、设P ：我累，Q ：我去打球，则命题：“除非我累，否则我去打球”的符号化为（ B ） A 、P Q → B 、Q P ?→ C 、 Q P →? D 、P Q ?→? 15、设P ：我听课，Q ：我睡觉，则命题 “我不能一边听课，一边睡觉”的符号化为( B ) A 、P Q → B 、Q P ?→ C 、 Q P →? D 、P Q ?→? 提示：()P Q P Q ?∧?→? 16、设P ：停机；Q ：语法错误；R ：程序错误， 则命题 “停机的原因在于语法错误或程序错误” 的符号化为（ D ） A 、R Q P ∧→ B 、P Q R →∨ C 、Q R P ∧→ D 、Q R P ∨→ 17、设P ：你来了；Q ：他唱歌；R ：你伴奏 则命题 “如果你来了，那末他唱不唱歌将看你是否伴奏而定” 的符号化为（ D ） A 、()P Q R →∧ B 、()P Q R →→ C 、()P R Q →→ D 、()P Q R →? 18、在命运题逻辑中，任何非永真命题公式的主合取范式都是（ A ） A 、 存在并且唯一 B 、存在但不唯一 C 、 不存在 D 、 不能够确定

第一章 命题逻辑

第一章命题逻辑 1.什么叫做命题？是陈述句子都是命题吗？请举例说明之。 2.命题的真值有几种？为什么？并说明这些真值的定义。 3.判断下面句子哪些是命题。如果是命题，说出它的真值。 1．离散数学是计算机科学与技术专业的理论基础。 2．2不是素数。 3．x＋y＝6 4．明天有雨吗？ 5．火星上也有过人类。 4.什么叫做简单命题？什么叫做复合命题？如何表示复合命题？ 5.命题逻辑中定义了几个逻辑联结词？都用什么符号表示？分别叫做什么名称？在自然语言中都表达什么含义？ 6.填空：P、Q是命题变元，则 P∧Q的真值为真，当且仅当( ) P∨Q的真值为假，当且仅当（） P∨Q的真值为假，当且仅当( ) P→Q的真值为假，当且仅当（） P?Q的真值为真，当且仅当( )

8.填空 已知P∧Q为T，则P为( )，Q为( )。 已知P∨Q为F，则P为( )，Q为( )。 已知P为F，则P∧Q为( )。 9.填空 已知P为T，则P∨Q为( )。 已知P∨Q为T，且P为F ，则Q为( )。 10.填空 已知P为F，则P→Q为( )。 已知Q为T，则P→Q为( )。 11.填空 已知P为T，P→Q为T，则Q为( )。 已知?Q为T, P→Q为T，则P为( )。 已知P?Q为T，P为T , 则Q为( )。 12.填空 已知P?Q为F，P为T , 则Q为( )。 P?P 的真值为( )。 P→P 的真值为( )。 13.设P,Q,R代表的意义如下： P：苹果是甜的。 Q：苹果是红的。 R：我买苹果。 试用自然语言说明下面复合命题所表示的含义。 1．(P∧Q)→R 2．(?P∧?Q)→?R 3．R?(P∧Q)

命题逻辑

第一章命题逻辑 一、选择： 1．下列句子中哪些是命题。 （1）我是教师。（2）禁止吸烟。（3）蚊子是鸟类动物。（4）上课去！（5）月亮比地球大。 选项：①（1）（2）（4）（5）②（1）（2）（3）（4） ③（1）（3）（5）④（1）（3）（4）（5） 2．设P：我生病，Q：我去学校。 （1）虽然我生病，但我仍去学校。符号化为： （2）只有在生病的时候，我才不去学校。符号化为： （3）如果我生病，那么我不去学校。符号化为： 选项：①P∨Q ②P∧Q ③P→Q ④P→?Q ⑤P?Q ⑥?Q→P 3．对于下列各式： （1）(P∧(P→Q))→Q （2）P→(P∨Q) （3）Q→(P∧Q) （4）(?P∧(P∨Q))→Q （5）(P→Q)→Q 永真式有： ①（1）（2）（3）②（1）（3）（5）③（1）（3）（4） ④（1）（2）（4）⑤（1）（2）（3）（4）⑥（1）（2）（3）（4）（5）4．求与下列各式逻辑等价的命题公式。

（1）P??Q?（2）P∧(P∨Q)? （3）(P∨(P∧Q))→R?（4）P→(P→Q)? ①P②P→R③(?P∨Q)∧(P∨?Q) ④(P∨Q)∧(?P∨?Q) ⑤P→Q⑥P∧R 5．对于前提：A→B, C→?B, C∨D, D→?B，其有效结论为： ①A②B③C④D⑤?A⑥?B ⑦?C ⑧?D 6．对于前提：S→?Q, S∨R, ?R, ?P?Q，其有效结论为： ①?S②Q③R④P⑤?P 7．对于下列各式： （1）(?P∧Q)∨(?P∧?Q) 可化简为 （2）Q→(P∨(P∧Q)) 可化简为 （3）((?P∨Q)?(?Q→?P))∧P 可化简为 ①P②?P③Q ④?Q⑤Q→P⑥P→Q 8．对于下列命题公式的主析取范式， （1）(P∨Q)∧(?P∨?Q)∧(?P∨Q) 有个极小项。 （2）(P∧Q)∨(?P∧Q)) 有个极小项。 （3）P∨Q∨R 有个极小项。 ①1 ②2 ③3 ④4 ⑤5 ⑥6 ⑦7 ⑧8

第1章-命题逻辑

第一章命题逻辑 1.1第7页 1. 给出下列命题的否定命题： （1）大连的每条街道都临海。 否命题：不是大连的每条街道都临海。 （2）每一个素数都是奇数。 否命题： 并非每一个素数都是奇数。 2. 对下述命题用中文写出语句： （1）()P R Q ?∧→ 如果非P 与R ，那么Q 。 （2）Q R ∧ Q 并且R 。 4. 给出命题P Q →，我们把Q P →、P Q ?→?、Q P ?→?分别称为命题P Q →的逆命题、反命题、逆反命题。 （1）如果天不下雨，我将去公园。 解：逆命题：如果我去公园，则天不下雨； 反命题：如果天下雨，则我不去公园； 逆反命题：如果我不去公园，则天下雨了。 （2）仅当你去我才逗留。 解：（此题注意：p 仅当q 翻译成p q →） 逆命题：如果你去，那么我逗留。 反命题：如果我不逗留，那么你没去。 逆反命题：如果你没去，那么我不逗留。 （3）如果n 是大于2的正整数，那么方程n n n x y z +=无整数解。 解：逆命题：如果方程n n n x y z +=无整数解，那么n 是大于2的正整数。 反命题：如果n 不是大于2的正整数，那么方程n n n x y z +=有整数解。 逆反命题：如果方程n n n x y z +=有整数解，那么n 不是大于2的正整数。 7. 给P 和Q 指派真值T ，给R 和S 指派真值F ，求出下列命题的真值。 （1）(()(()()))P Q R Q P R S ?∧∨?∨??→∨? =(()(()()))T T F T T F F ?∧∨?∨??→∨? =()T F T ?∨→ =T F ∨ =T （2）()Q P Q P ∧→→ =()T T T T ∧→→ =T T T ∧→ =T T → =T （3）((()))()P Q R P Q S ∨→∧??∨? =((()))()T T F T T F ∨→∧??∨? =(())T T F T ∨→? =T T ? =T （4）()()P R Q S →∧?→

《离散数学》第1—7章 习题详解

第一章命题逻辑基本概念课后练习题答案 1、是命题的为（1）、（2）、（3）、（6）、（7）、（10）、（11）、（12）、（13） 是简单命题的为（1）、（2）、（7）、（10）、（13） 是真命题的为（1）、（2）、（3）、（10）、（11） 真值现在不知道的为（13） 2、3略 4.将下列命题符号化，并指出真值：

（1）p∧q,其中，p:2是素数，q:5是素数,真值为1； （2）p∧q,其中，p:是无理数，q:自然对数的底e是无理数,真值为1； （3）p∧┐q,其中，p:2是最小的素数，q:2是最小的自然数,真值为1； （4）p∧q,其中，p:3是素数，q:3是偶数,真值为0； （5）┐p∧┐q,其中，p:4是素数，q:4是偶数,真值为0. 5.将下列命题符号化，并指出真值： （1）p∨q,其中，p:2是偶数，q:3是偶数,真值为1； （2）p∨q,其中，p:2是偶数，q:4是偶数,真值为1； （3）p∨┐q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为0； （4）p∨q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为1； （5）┐p∨┐q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为0； 6.（1）(┐p∧q)∨(p∧┐q),其中，小丽从筐里拿一个苹果，q：小丽从筐里拿一个梨； （2）(p∧┐q)∨(┐p∧q),其中，p：刘晓月选学英语，q：刘晓月选学日语；. 7.因为p与q不能同时为真. 8. 设p:2<1，q:3<2 (1) p→q，真值为1 (2) p→┐q，真值为1 (3) ┐q→p，真值为0 (4) ┐q→p，真值为0 (5) ┐q→p，真值为0 (6) p→q，真值为1 9.（2）、（6）真值为0，其余为1 10. （1）、（4）真值为0，其余为1 11、12略 13.设p:今天是星期一，q:明天是星期二，r:明天是星期三： （1）p→q，真值为1（不会出现前件为真，后件为假的情况）； （2）q→p，真值为1（也不会出现前件为真，后件为假的情况）； （3）p q，真值为1； （4）p→r，若p为真，则p→r真值为0，否则，p→r真值为1. 14略 15、p、q为真命题，r为假命题，（4）的真值为1，其余为0 16、（4）的真值为1，其余为0 17、真 18、小王会唱歌，小李不会跳舞 19、（1）（4）（6）为重言式，（3）为矛盾式，其余为非重言式的可满足式 20、（1）01,10,11 （2）00,10,11 （3）00,01,10 （4）01,10,11 21、（1）011；（2）010,110,101,100；（3）100,101

第一章 命题逻辑

第一章命题逻辑 习题与解答 ⒈判断下列语句是否为命题，并讨论命题的真值。 ⑴0 x。 - 2= 3 ⑵前进！ ⑶如果20 +，则三角形有四条边。 8> 7 ⑷请勿吸烟！ ⑸你喜欢鲁迅的作品吗？ ⑹如果太阳从西方升起，你就可以长生不老。 ⑺如果太阳从东方升起，你就可以长生不老。 解⑶,⑹,⑺表达命题，其中⑶,⑹表达真命题，⑺表达假命题。 ⒉将下列命题符号化： ⑴逻辑不是枯燥无味的。 ⑵我看见的既不是小张也不是老李。 ⑶他生于1963年或1964年。 ⑷只有不怕困难，才能战胜困难。 ⑸只要上街，我就去书店。 ⑹如果晚上做完了作业并且没有其它事情，小杨就看电视或听音乐。 ⑺如果林芳在家里，那么他不是在做作业就是在看电视。 ⑻三角形三条边相等是三个角相等的充分条件。 ⑼我进城的必要条件是我有时间。 ⑽他唱歌的充分必要条件是心情愉快。 ⑾小王总是在图书馆看书，除非他病了或者图书馆不开门。 解⑴p：逻辑是枯燥无味的。 “逻辑不是枯燥无味的”符号化为p ?。 ⑵p：我看见的是小张。q：我看见的是老李。 “我看见的既不是小张也不是老李”符号化为q ?。 ∧ p? ⑶p：他生于1963年。q：他生于1964年。 “他生于1963年或1964年”符号化为q p⊕。 ⑷p：害怕困难。q：战胜困难。 “只有不怕困难，才能战胜困难”符号化为p q? →。 ⑸p：我上街。q：我去书店。 “只要上街，我就去书店”符号化为q p→。 ⑹p：小杨晚上做完了作业。q：小杨晚上没有其它事情。 r：小杨晚上看电视。s：小杨晚上听音乐。 “如果晚上做完了作业并且没有其它事情，小杨就看电视或听音乐”符号化为→ ∧。 p∨ s r q ⑺p：林芳在家里。q：林芳做作业。r：林芳看电视。 “如果林芳在家里，那么他不是在做作业就是在看电视”符号化为r →。 q p∨

第一章命题逻辑习题教学教材

第一章命题逻辑习题

第一章 命题逻辑 一、选择 1、下列语句是命题的有（ ）。 A 、2是素数； B 、x+5 > 6； C 、地球外的星球上也有人； D 、这朵花多好 看呀！。 2、下列语句不是命题的有（ ）。 A 、 x=13； B 、离散数学是计算机系的一门必修课； C 、鸡有三只 脚； D 、太阳系以外的星球上有生物； E 、你打算考硕士研究生吗？ 3、下列语句是命题的有（ ）。 A 、 明年中秋节的晚上是晴天； B 、0>+y x ； C 、0>xy 当且仅当x 和y 都大于0； D 、我正在说谎。 4、下列各命题中真值为真的命题有（ ）。 B 、 2+2=4当且仅当3是奇数；B 、2+2=4当且仅当3不是奇 数； C 、2+2≠4当且仅当3是奇数； D 、2+2≠4当且仅当3不是奇数 5、下列各符号串，不是合式公式的有（ ）。 A 、R Q P ?∧∧)(； B 、)()((S R Q P ∧→→； C 、R Q P ∧∨∨； D 、S R Q P ∨∧∨?))((。 6、下列公式是重言式的有（ ）。 A 、)(Q P ??； B 、Q Q P →∧)(； C 、P P Q ∧→?)(； D 、 P Q P ?→)( 7、下列问题成立的有（ ）。 A 、 若C B C A ∨?∨，则B A ?； B 、若C B C A ∧?∧，则 B A ?； C 、若B A ???，则B A ?； D 、若B A ?，则B A ???。 8、命题逻辑演绎的CP 规则为（ ）。

B 、 在推演过程中可随便使用前提； B 、在推演过程中可随便使用前面演绎出的某些公式的逻辑结果； C 、如果要演绎出的公式为C B →形式，那么将B 作为前提，设法演绎 出C ； D 、设)(A Φ是含公式A 的命题公式，A B ?，则可用B 替换)(A Φ中 的A 。 R Q P →→)(的合取范式为（ ）。 A 、R Q P ∨?∧)( ； B 、)()(R Q R P ∨?∧∨ ； C 、 ) ()()()()()(R Q P R Q P R Q P R Q P R Q P R Q P ∧?∧?∨∧∧?∨∧?∧∨∧∧∨?∧?∧∨∧?∧ D 、)()()()(R Q P R Q P R Q P R Q P ∨?∨?∧∨?∨∧∨?∨∧∨∨。 9、下列符号串是合式公式的有（ ） A 、Q P ?； B 、Q P P ∨?； C 、)()(Q P Q P ?∨∧∨?； D 、 )(Q P ??。 10、下列等价式成立的有（ ）。 A 、P Q Q P ?→??→； B 、R R P P ?∧∨)(； C 、 Q Q P P ?→∧)(； D 、R Q P R Q P →∧?→→)()(。 11、若n A A A Λ21,和B 为wff ，且B A A A n ?∧∧∧Λ21则（ ）。 A 、称n A A A ∧∧∧Λ21为 B 的前件； B 、称B 为n A A A Λ21,的有效结论 C 、当且仅当F B A A A n ?∧∧∧∧Λ21； D 、当且仅当 F B A A A n ??∧∧∧∧Λ21。 12、A ，B 为二合式公式，且B A ?，则（ ）。 A 、 B A →为重言式； B 、**B A ?； C 、B A ?； D 、**B A ?； E 、B A ?为重言式。 13、下述命题公式中，是重言式的为（ ）。

第一章命题逻辑习题

第一章 命题逻辑 一、选择 1、 下列语句是命题的有（ ）。 A 、2是素数； B 、x+5 > 6； C 、地球外的星球上也有人； D 、这朵花多好看呀！。 2、下列语句不是命题的有（ ）。 A 、 x=13； B 、离散数学是计算机系的一门必修课； C 、鸡有三只脚； D 、太阳系以外的星球上有生物； E 、你打算考硕士研究生吗？ 3、下列语句是命题的有（ ）。 A 、 明年中秋节的晚上是晴天； B 、0>+y x ； C 、0>xy 当且仅当x 和y 都大于0； D 、我正在说谎。 4、下列各命题中真值为真的命题有（ ）。 B 、 2+2=4当且仅当3是奇数；B 、2+2=4当且仅当3不是奇数； C 、2+2≠4当且仅当3是奇数； D 、2+2≠4当且仅当3不是奇数 5、下列各符号串，不是合式公式的有（ ）。 A 、R Q P ?∧∧)(； B 、)()((S R Q P ∧→→； C 、R Q P ∧∨∨； D 、S R Q P ∨∧∨?))((。 6、下列公式是重言式的有（ ）。 A 、)(Q P ??； B 、Q Q P →∧)(； C 、P P Q ∧→?)(； D 、P Q P ?→)( 7、下列问题成立的有（ ）。 A 、 若C B C A ∨?∨，则B A ?； B 、若C B C A ∧?∧，则B A ?； C 、若B A ???，则B A ?； D 、若B A ?，则B A ???。 8、命题逻辑演绎的CP 规则为（ ）。 B 、 在推演过程中可随便使用前提； B 、在推演过程中可随便使用前面演绎出的某些公式的逻辑结果； C 、如果要演绎出的公式为C B →形式，那么将B 作为前提，设法演绎出C ； D 、设)(A Φ是含公式A 的命题公式，A B ?，则可用B 替换)(A Φ中的A 。 R Q P →→)(的合取范式为（ ）。 A 、R Q P ∨?∧)( ； B 、)()(R Q R P ∨?∧∨ ； C 、 ) ()()()()()(R Q P R Q P R Q P R Q P R Q P R Q P ∧?∧?∨∧∧?∨∧?∧∨∧∧∨?∧?∧∨∧?∧

第1章命题逻辑练习题

第一章命题逻辑练习题 一、填空题 1 公式()()p q p q ∧?∨?∧的成真赋值为 2 公式p p q r →∨∨的成假赋值为 3 设A 为任意的公式，B 为重言式，则A B ∨的类型为 4 设B 为含命题变项,,p q r 的矛盾式，则(())B p q r ∧?→的公式类型是 5 设公式A 含命题变项,,p q r ，已知A 的成真赋值为000,011，100,110，则A 的 主析取范式为 6 设公式B 含命题变项,,,p q r s ，已知B 的成假赋值为0010，0100,1010,1001， 则B 的主合取范式为 7 已知公式A 是重言式，B 是矛盾式，则A B →的公式类型是 ， A B ??的公式类型是 二、将下列命题符号化 1. 小王既不怕吃苦，又很爱钻研。 2 2与4都是素数，这是不对的。 3 “2或4是素数，这是不对的”是不对的。 3 只能选张晓或王雷其中一个当班长。 4 托尔斯泰是俄罗斯人或英国人。 5 只要别人有困难，老王就帮助别人，除非困难解决了。 6 如果天不下雨且我有时间，我就去逛街。 三、判断下列公式的类型 1 (())()p q p r q ∧?→∧∧； 2 (()(()()))p q p q p q r ??→∧?∨?∧∨； 3 ()()p q p q ?∨?→?? 四 求下列公式的主析取范式和主合取范式 1 ((()))p p q q r ∨?→∨?→ 2 ()()p q q r p r ∨→∧→∧? 3 ()()q p p q →∧?∧ 4 ()p p q r →∨?∨ 五、 已知公式A 含命题变项,,p q r ，公式的成真赋值为011,100,101，求公式

命题逻辑复习题及答案

命 题逻辑 一、选择题（每题3分） 1、下列句子中哪个是命题？ ( C ) A 、你的离散数学考试通过了吗？ B 、请系好安全带！ C 、 π是有理数 D 、 本命题是假的 2、下列句子中哪个不是命题？ ( C ) A 、你通过了离散数学考试 B 、我俩五百年前是一家 C 、 我说的是真话 D 、 淮海工学院是一座工厂 3、下列联接词运算不可交换的是( C ) A 、∧ B 、∨ C 、 → D 、 ? 4、命题公式P Q ?→不能表述为( B ) A 、P 或Q B 、非P 每当Q C 、非P 仅当Q D 、除非P ，否则Q 5、永真式的否定是 ( B ) A 、 永真式 B 、永假式 C 、可满足式 D 、 以上答案均有可能 6、下列哪组赋值使命题公式()P P Q →∧的真值为假( D ) A 、P 假Q 真 B 、P 假Q 假 C 、P 真Q 真 D 、P 真Q 假 7、下列为命题公式()P Q R ∧∨?成假指派的是( B ) A 、100 B 、101 C 、110 D 、111 8、 下列公式中为永真式的是 ( C ) A 、()P P Q →∧ B 、()P P Q ?→∧ C 、()P Q Q ∧→ D 、()P Q Q ∨→ 9、 下列公式中为非永真式的是( B ) A 、 ()P P Q ∧?→ B 、()P P Q ∨?→ C 、()P P Q ∧?→ D 、()P P Q ∨?→ 10、下列表达式错误的是( D ) A 、()P P Q P ∨∧? B 、()P P Q P ∧∨? C 、()P P Q P Q ∨?∧?∨ D 、()P P Q P Q ∧?∨?∨ 11、下列表达式正确的是( D ) A 、P P Q ?∧ B 、P Q P ?∨ C 、()Q P Q ???→ D 、Q Q P ??→?)( 12、下列四个命题中真值为真的命题为( B ) （1）224+=当且仅当3是奇数 （2）224+=当且仅当3不是奇数； （3）224+≠当且仅当3是奇数 （4）224+≠当且仅当3不是奇数 A 、（1）与（2） B 、（1）与（4） C 、（2）与（4） D 、（3）与（4） 13、设P ：龙凤呈祥是成语，Q ：雪是黑的，R ：太阳从东方升起，则下列假命题为( A ) A 、R Q P ∧→ B 、Q P S →∧ C 、P Q R →∨ D 、 Q P S →∨ 14、设P ：我累，Q ：我去打球，则命题：“除非我累，否则我去打球”的符号

第1章 命题逻辑练习题

第1章 命题逻辑 一、单项选择题 1. 下列命题公式等值的是( ) B B A A Q P Q Q P Q B A A B A A Q P Q P ),()D (),() C ()(),()B (,)A (∧∨?∨∨?∨→→→?→→∨?∧? 2. 设命题公式G ：)(R Q P ∧→?,则使公式G 取真值为1的P ，Q ，R 赋值分别是 ( ) 0,0,1)D (0,1,0)C (1,0,0)B (0,0,0)A ( 3. 命题公式Q Q P →∨)(为 ( ) (A) 矛盾式 (B) 仅可满足式 (C) 重言式 (D) 合取范式 4 命题公式)(Q P →?的主析取范式是( )． (A) Q P ?∧ (B) Q P ∧? (C) Q P ∨? (D) Q P ?∨ 5. 前提条件P Q P ,?→的有效结论是( )． (A) P (B) ?P (C) Q (D)?Q 6. 设P ：我将去市里，Q ：我有时间．命题“我将去市里，仅当我有时间时”符号化为 ( ) Q P Q P Q P P Q ?∨??→→)D ()C ()B ()A ( 二、填空题 1. 设命题公式G ：P →?(Q →P )，则使公式G 为假的真值指派是 2. 设P ：我们划船，G ：我们跑步，那么命题“我们不能既划船，又跑步”可符号化为 3. 含有三个命题变项P ，Q ，R 的命题公式P ∧Q 的主析取范式是 4. 若命题变元P ，Q ，R 赋值为(1,0,1)，则命题公式G ＝)())((Q P R Q P ∨??→∧的 真值是 5. 命题公式P →?(P ∧Q )的类型是 ． 6. 设A ，B 为任意命题公式，C 为重言式，若C B C A ∧?∧，那么B A ?是 式(重言式、矛盾式或可满足式) 三、解答化简计算题 1. 判别下列语句是否命题？如果是命题，指出其真值. (1) 中国是一个人口众多的国家. (2) 存在最大的质数. (3) 这座楼可真高啊！ (4) 请你跟我走! (5) 火星上也有人. 2.作命题公式))(()(P Q P Q P ∨∧→→的真值表，并判断该公式的类型． 3. 试作以下二题：(1) 求命题公式(P ∨?Q )→(P ∧Q )的成真赋值． (2) 设命题变元P ,Q ,R 的真值指派为(0,1,1),求命题公式 ))()(()(Q R Q P R P →?∨→?∧?的真值． 4. 化简下式命题公式))()((P Q P Q P ∧?∧?∨∧ 5. 求命题公式))()((Q P P Q P ∧?∧→→的主合取范式. 6. 求命题公式R P R Q P P R Q ∨?∨→?∧→?∧)())((的真值． 7. 求命题公式)()(Q P Q P ?→∧→?的主析取范式，并求该命题公式的成假赋值． 8. 将命题公式)(P R Q P →?∧?∧?化为只含∨和?的尽可能简单的等值式． 9. 求命题公式)()(Q P Q P ?∨?∧∧的真值表. 四、证明题