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第一章命题逻辑基本概念

课后练习题答案

1.将下列命题符号化，并指出真值：

（1）p∧q,其中，p:2是素数，q:5是素数,真值为1；

（2）p∧q,其中，p:是无理数，q:自然对数的底e是无理数,真值为1；

（3）p∧┐q,其中，p:2是最小的素数，q:2是最小的自然数,真值为1；

（4）p∧q,其中，p:3是素数，q:3是偶数,真值为0；

（5）┐p∧┐q,其中，p:4是素数，q:4是偶数,真值为0.

2.将下列命题符号化，并指出真值：

（1）p∨q,其中，p:2是偶数，q:3是偶数,真值为1；

（2）p∨q,其中，p:2是偶数，q:4是偶数,真值为1；

（3）p∨┐q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为0；

（4）p∨q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为1；

（5）┐p∨┐q,其中，p:3是偶数，q:4是偶数,真值为0；

3.（1）(┐p∧q)∨(p∧┐q),其中，小丽从筐里拿一个苹果，q：小丽从筐里拿一个梨；

（2）(p∧┐q)∨(┐p∧q),其中，p：刘晓月选学英语，q：刘晓月选学日语；.

4.因为p与q不能同时为真.

5.设p:今天是星期一，q:明天是星期二，r:明天是星期三：

（1）p→q，真值为1（不会出现前件为真，后件为假的情况）；

（2）q→p，真值为1（也不会出现前件为真，后件为假的情况）；

（3）p q，真值为1；

（4）p→r，若p为真，则p→r真值为0，否则，p→r真值为1.

第二章命题逻辑等值演算

本章自测答案

5.(1)：∨∨,成真赋值为00、10、11；

(2)：0，矛盾式，无成真赋值；

(3)：∨∨∨∨∨∨∨,重言式，000、001、010、011、100、101、110、111全部为成真赋值；

7.(1)：∨∨∨∨?∧∧；

(2)：∨∨∨?∧∧∧；

8.(1)：1?∨∨∨,重言式；

(2)：∨?∨∨∨∨∨∨；

(3)：∧∧∧∧∧∧∧?0，矛盾式.

11.(1)：∨∨?∧∧∧∧；

(2)：∨∨∨∨∨∨∨?1；

(3)：0?∧∧∧.

12.A?∧∧∧∧?∨∨.

第三章命题逻辑的推理理论

本章自测答案

6.在解本题时，应首先将简单陈述语句符号化，然后写出推理的形式结构*，其次就是判断*是否为重言式，若*是重言式，推理就正确，否则推理就不正确，这里不考虑简单语句之间的内在联系

(1)、(3)、(6)推理正确，其余的均不正确，下面以(1)、(2)为例，证明(1)推理正确，(2)推理不正确

(1)设p:今天是星期一，q:明天是星期三，推理的形式结构为

(p→q)∧p→q(记作*1)

在本推理中，从p与q的内在联系可以知道，p与q的内在联系可以知道，p与q不可能同时为真，但在证明时，不考虑这一点，而只考虑*1是否为重言式.

可以用多种方法（如真值法、等值演算法、主析取式）证明*1为重言式，特别是，不难看出，当取A为p,B为q时，*1为假言推理定律，即(p→q)∧p→q ? q

(2)设p:今天是星期一，q:明天是星期三，推理的形式结构为

(p→q)∧p→q(记作*2)

可以用多种方法证明*2不是重言式，比如，等值演算法、主析取范式（主和取范式法也可以）等

(p→q)∧q→p

?(┐p∨q) ∧q →p

?q →p

?┐p∨┐q

??∨∨

从而可知，*2不是重言式，故推理不正确，注意，虽然这里的p与q同时为真或同时为假，但不考虑内在联系时，*2不是重言式，就认为推理不正确.

9.设p:a是奇数，q:a能被2整除，r:a：是偶数

推理的形式结构为

(p→q┐)∧(r→q)→(r→┐p) (记为*)

可以用多种方法证明*为重言式，下面用等值演算法证明：

(p→┐q)∧(r→q)→(r→┐p)

?(┐p∨┐q) ∨(q∨┐r)→(┐q∨┐r) (使用了交换律)

?(p∨q)∨(┐p∧r)∨┐q∨┐r

?(┐p∨q)∨(┐q∧┐r)

?┐p∨(q∨┐q)∧┐r

10.设p:a,b两数之积为负数，q:a,b两数种恰有一个负数，r：a，b都是负数.

推理的形式结构为

(p→q)∧┐p→(┐q∧┐r)

?(┐p∨q) ∧┐p→(┐q∧┐r)

?┐p→(┐q∧┐r) (使用了吸收律)

?p∨(┐q∧┐r)

?∨∨∨

由于主析取范式中只含有5个W极小项，故推理不正确.

11.略

14.证明的命题序列可不惟一，下面对每一小题各给出一个证明

① p→(q→r)前提引入

② P前提引入

③ q→r①②假言推理

④ q前提引入

⑤ r③④假言推理

⑥ r∨s前提引入

（2）证明：

① ┐(p∧r)前提引入

② ┐q∨┐r①置换

③ r前提引入

④ ┐q ②③析取三段论

⑤ p→q前提引入

⑥ ┐p④⑤拒取式

（3）证明：

① p→q前提引入

② ┐q∨q①置换

③ (┐p∨q)∧(┐p∨p) ②置换

④ ┐p∨(q∧p③置换

⑤ p→(p∨q) ④置换

15.(1)证明：

① S结论否定引入

② S→P前提引入

③ P①②假言推理

④ P→(q→r)前提引入

⑤ q→r③④假言推论

⑥ q前提引入

⑦ r⑤⑥假言推理

（2）证明：

① p附加前提引入

② p∨q①附加

③ (p∨q)→(r∧s)前提引入

④ r∧s②③假言推理

⑤ s④化简

⑥ s∨t⑤附加

⑦ (s∨t)→u前提引入

⑧ u⑥⑦拒取式

16.(1)证明：

① p结论否定引入

② p→ ┐q前提引入

③ ┐q ①②假言推理

④ ┐r∨q前提引入

⑤ ┐r③④析取三段论

⑥ r∧┐s前提引入

⑦ r⑥化简

⑧ ┐r∧r⑤⑦合取

（2）证明：

① ┐(r∨s)结论否定引入

② ┐r∨┐s①置换

③ ┐r②化简

④ ┐s②化简

⑤ p→r前提引入

⑥ ┐p③⑤拒取式

⑦ q→s前提引入

⑧ ┐q④⑦拒取式

⑨ ┐p∧┐q⑥⑧合取

⑩ ┐(p∨q)⑨置换

口p∨q前提引入

⑾①口┐(p∨q) ∧(p∨q) ⑩口合取

17．设p：A到过受害者房间，q: A在11点以前离开，r：A犯谋杀罪，s：看门人看见过A。

前提：(p∧┐q) →r , p ,q →s , ┐s

结论：r

证明：

① q→s 前提引入

② ┐s 前提引入

③ ┐q ①②拒取式

④ p 前提引入

⑤ p∧┐q ③④合取

⑥（p∧┐q）→r 前提引入

⑦ r ⑤⑥假言推理

18．（1）设 p：今天是星期六，q：我们要到颐和园玩，s：颐和园游人太多。

前提：p→(p∨r) , s→┐q , p , s

结论：r

证明：

① s→┐q前提引入

② s前提引入

③ ┐q①②假言推理

④ p前提引入

⑤ p→(q∨r)前提引入

⑥ q∨r④⑤假言推理

⑦r③⑥析取三段论

（2）设p:小王是理科学生，q：小王数学成绩好，r：小王是文科学生。

前提：p→q ,┐r→p ,┐q

结论：r

证明：

① p→q前提引入

② ┐q前提引入

③ ┐p①②拒取式

④ ┐r→p前提引入

⑤ r③④拒取式

第四章 (一阶)谓词逻辑基本概念

本章自测答案

4.(1)┐x(F(x)∧ ┐G(x))?x( F (x) →G (x) ),其中,F(x)：x是有理数,G(x) ：x能表示成分数；

(2)┐x( F (x) →G (x) ) ?x(F(x)∧ ┐G(x)),其中,F (x)：x在北京卖菜,G (x) ：x是外地人；

(3)x( F (x) →G (x) ),其中,F (x)：x是乌鸦,G (x) ：x是黑色的；

(4)xF(x)∧ G(x)),其中,F (x)：x是人,G (x) ：x天天锻炼身体。

因为本题中没有指明个体域,因而使用全总个体域。

5.(1)x y (F(x) ∧ G( y ) → H(x,y)),其中,F(x)：x是火车,G(y) ：y是轮船,H(x,y)：x比y快；

(2)x y (F(x) ∧ G( y ) → H(x,y)),其中,F(x)：x是火车,G(y) ：y是汽车,

H(x,y)：x比y快；

(3)┐x(F(x)∧y(G (y) → H (x,y)))?x(F(x) → y(G(y) ∧ ┐H(x,y))),其中,F(x)：x是汽车,G (y) ：y是火车,H(x,y)：x比y快；

(4)┐x(F(x)→y(G(y) → H(x,y)))?x y(F(x)∧G(y)∧┐H(x,y))),其中,F(x)：x是汽车,G(y) ：y是火车,H(x,y)：x比y慢。

6.各命题符号化形式如下：

(1)x y (x ．y = 0)；

(2)x y (x ．y = 0)；

(3)x y (y =x+1)

(4)x y(x ．y = y．x)

(5)x y(x ．y =x+ y)

(6)x y (x + y ＜0 )

9.(1)对任意数的实数x和y,若x ＜y,则x ≠ y；

(2)对任意数的实数x和y,若x–y = 0,则x＜y；

(3)对任意数的实数x和y,若x＜y,则x–y≠0；

(4)对任意数的实数x和y,若x–y ＜0,则x=y.

其中,(1)(3)真值为1(2)与(4)真值为0.

11.(1)、(4)为永真式,(2)、(6)为永假式,(3)、(5)为可满足式。

这里仅对(3)、(4)、(5)给出证明。

(3)取解释I 为：个体域为自然数集合N,F(x,y)：x ≤ y,在下,x y F(x,y)为真,而x y F(x,y)也为真(只需取x =0即可),于是(3)中公式为真,取解释为：个体域仍为自然数集合N,而F(x,y)：x = y。此时,x yF(x,y)为真(取y为x即可),可是x yF(x,y)为假,于是(3)中公式在下为假,这说明(3)中公式为可满足式。

(4)设I为任意一个解释,若在I下,蕴涵式前件xy F(x,y)为假,则

x yF(x,y)→y xF(x,y)为真,若前件x yF(x,y)为真,必存在I的个体域D1中的个体常项x0,使yF(x0,y)为真,并且对于任意

y∈,F(x0,y)为真,由于有x0∈,F(x0,y)为真,所以xF(x,y)为真,又其中y是任意个体变项,所以y xF(x,y )为真,由于I的任意性,所以(4)中公式为永真式(其实,次永真式可用第五章的构造证明法证明之)。

(5)取解释为：个体域为自然数集合,F(x,y)：x = y在下,(5)中公式为真,而将F(x,y)改为F(x,y)：x ＜ y,(5)中公式就为假了,所以它为可满足式。

13．（1）取解释为：个体域为自然数集合N，F（x）：x为奇数，G（x）：x为偶数，在下， x（F（x）∨G（x））为真命题。

取解释为：个体域为整数集合Z，F（x）：x为正整数，G（x）：x为为负整数，在下， x（F（x）∨G（x））为假命题。

（2）与（3）可类似解答。

14．提示：对每个公式分别找个成真的解释，一个成假的解释。

第五章谓词逻辑等值演算与推理

本章自测答案

2.(1) (F(a)∧ F(b)∧ F (c)) ∧ (G (a )∨G (b)∨G (c))

(2) (F(a)∧ F(b)∧ F (c)) ∨ (G (a)∧G (b)∧G (c))

(3) (F(a)∧ F(b)∧ F (c)) → (G (a)∧G (b)∧G (c))

(4) (F(a ,y) ∨ F(b,y)∨ F (c,y)) → (G (a)∨G (b)∨G (c))

5.提示：先消去量词，后求真值，注意，本题3个小题消去量词时，量词的辖域均不能缩小，经过演算真值分别为：1,0,1 .

(1) 的演算如下：

x yF(x,y)

?x (F(x,3)∨F(x,4))

?(F(3,3)∨F(3,4))∧(F(4,3)∨F(4 ,4))

?1∧1?1

6.乙说得对，甲错了。本题中，全称量词的指导变元为x ，辖域为(F (x)→G(x,y)),其中F(x )与G(x,y)中的x都是约束变元，因而不能将量词的辖域缩小。

7.演算的第一步，应用量词辖域收缩与扩张算值式时丢掉了否定联结词“ ┐”。演算的第二步，在原错的基础上又用错了等值式，即

(F(x)∧(G(y)→ H(x,y))) ≠(F(x) ∧G(y)→H (x,y))

12.公式的前束范式不唯一，下面每题各给出一个答案。

(1) x y (F(x)→ G(z,y));

(2) x t (x,y) → G(x,t,z));

(3) x4 ((F(,y) →G(,y))∧(G(,y) →F(x4,y)));

(4) ((F()→G(,)) → (H () → L(,)));

(5) (F(,)→(F() → ┐G (,))).

13.(1)x y(F(x) ∧G(y) ∧H(x ,y)),其中，F(x):x是汽车，G(y)：y是火车，H(x，y)：x比y跑的快；

(2)x y(F(x) ∧G(y)→H(x ,y)),其中，F(x):x是火车，G(y)：y是汽车，H(x，y)：x比y跑的快；

(3)x y(F(x) ∧G(y) ∧┐H(x ,y)),其中，F(x):x是火车，G(y)：y是汽车，H(x，y)：x比y跑的快；

(4)x y(F(x) ∧G(y) → ┐H(x ,y)),其中，F(x):x是飞机，G(y)：y是汽车，H(x，y)：x比y慢；

14.(1)对F(x) → xG(x)不能使用EI规则，它不是前束范式，首先化成前束范式。

F(x) → xG(x) <=> x(F(y)→G(x))

因为量词辖域(F(y)→G(x))中，除x外还有自由出现的y，所以不能使用EI规则。

(2)对x F(x) → y G(y)也应先化成前束范式才能消去量词，其前束范式为x y(F(x) →G(y)),要消去量词，既要使用UI规则，又要使用EI 规则。

(3)在自然推理系统F中EG规则为

A(c)/∴x(x)

其中c为特定的个体常项，这里A(y) = F(y) →G(y)不满足要求。

(4)这里，使F(a)为真的a不一定使G(a)为真，同样地使G(b)为真的b不一定使F(b)为真，如，F(x):x为奇数，G(x):x为偶数，显然F(3)∧G(4)为真，但不存在使F(x)∧G(x)为真的个体。

(5)这里c为个体常项，不能对F(c)→G(c)引入全称量词。

15.(1)证明：①xF(x) 前提引入

②xF(x)→ y((F(y)∨G(y)) →R(y)) 前提引入

③y((F(y)∨G(y)) →R(y) ①②假言推理

④F(c) ①EI

⑤(F(c)∨G(c))→R(c) ③UI

⑥F(c)∨G(c)④附加

⑦R(c)⑤⑥假言推理

⑧xR(x) ⑦EG

(2)证明①xF(x) 前提引入

②x((F(x)→G(a)∧R(x)))前提引入

③F(c)①EI

④F(c)→G(a)∧R(a)②UI

⑤G(a)∧R(c)③④假言推理

⑥R(c)⑤化简

⑦F(c)∧R(c)③⑥合取

⑧x(F(x)∧R(x))⑦EG

(3)证明：①┐xF(x) 前提引入

②x┐F(x)①置换

③┐F(c)②UI

④x(F(x)∨G(x))前提引入

⑤F(c)∨G(c)④UI

⑥F(c)③⑤析取三段论

⑦xF(x) ⑥EG

(4)证明①x(F(x)∨G(x))前提引入

②F(y)∨G(y)①UI

③x(┐G(x)∨┐R(x))前提引入

④┐G(y)┐R(y)③UI

⑤x R(x) 前提引入

⑥R(y)⑤UI

⑦┐G(y)④⑥析取三段论

⑧F（y）②⑦析取三段论

⑨xF(x) ⑧UG

17．本题不能用附加前提证明法.

20.(1)与(2)均可用附加前提证明法。

22.(1)设F(x)：x为偶数，G(x):x能被2整除。

前提:x(F(x)→G(x))，F(6)

结论：G(6)

(2)设F(x)：x是大学生，G(x):x是勤奋的，a：王晓山。

前提:x(F(x)→G(x))，┐G(a)

结论：┐F(a)

23.(1)设F(x)：x是有理数，G(x):x是实数，H(x)：x是整数。

前提:x( F(x)→G(x))，x(F(x)∧H(x))

结论:x(G(x)∧H(x))

证明提示：先消存在量词。

(2)设F(x)：x是有理数，G(x):x是无理数，H(x)：x是实数，I(x)：x是虚数。

前提:x((F(x)∨G(x)) →H(x))，x( I(x)→┐H(x))

结论:x(I(x)→(┐F(x)∧┐G(x)))

证明①x(I(x)→(┐H(x))前提引入

②I(y)→H(y)①UI

③x((F(x)∨G(x))→H(x))前提引入

④(F(y)∨G(y))→H(y)③UI

⑤┐H(y)→(┐F(y)∧┐G(y))④置换

⑥I(y)→(┐F(y)∧┐G(y))②⑤假言三段论

⑦x(I(x)→(┐F(x)∧┐G(x))⑧UG

24.设F(x)：x喜欢步行，G(x)：x喜欢骑自行车，H(x)：x喜欢乘汽车。

前提:x(┐F(x)→┐G(x))，x(G(x)∨H(x))，x┐H(x)

结论:x┐F(x)

证明①x┐H(x)前提引入

②┐H(c)①UI

③x(G(x)∨H(x))前提引入

④G(c)∨H(c)③UI

⑤G(c)②④析取三段论

⑥x(F(x) →G(x))前提引入

⑦F(c)→┐G(c)⑥UI

⑧┐F(c)⑤⑦拒取式

⑨x┐F(x)⑧UG

25.设F(x)：x是科学工作者，G(x)：x是刻苦钻研的，H(x)：x是聪明的，I(x)：x在事业中获得成功。

前提:x(F(x)→G(x))，x(G(x)∧H(x)→I(x))，a：王大海，F(a)，H(a)

结论：I(a)

证明①F(a)前提引入

②x(F(x)→G(x))前提引入

③F(a)→G(a)②UI

④G(a)①③假言推理

⑤H(a)前提引入

⑥x(G(x)∧H(x)→I(x))前提引入

⑦G(a)∧H(a)→I(a)⑥UI

⑧G(a)∧H(a)④⑤合取

⑨I(a)⑦⑧假言推理

第六章集合代数

本章自测答案

4.(1) ③ (2) ④ (3) ⑤ (4) ⑦ (5) ⑧

6.只有(2)为真，其余为假。

9.(1) {4}；(2) {1,3,5,6}；(3) {2,3,4,5,6}；(4) {, { 1 }}；(5) {{ 4 },{1,4}}.

11.(1)； (2) {1,4,5}.

22.(2)、(3)、(4)、(8)、(10)为真，其余为假。

24.(1)为真，其余为假，因为

(P-Q) = P ? (P-Q)∩Q = P∩Q ?= P∩Q

(2)(3)(4)的反例：P ={1} ，Q ={2}

26.(A–B)∪(B–A) = (A∩B)∪(B∩A)

=(A∪B)∩(B∪B)∩(A∪A)∩(B∪A)

=(A∪B)∩E∩(A∩B)=(A∪B)-(A∩B)

27.(1)(A-B)-C = A∩B∩ C =A∩(B∪C) = A-(B∪C)

(2)(A-C)-(B-C)A∩C∩(B∩C)

=A∩C∩(B∪C) = (A∩C∩B)∪(A∩C∩C)

=A∩∩C=(A–B)- C

(3)(A–B-C=A∩B∩ C =A∩C∩B=(A–C)–B

28.(1)A∩(B∪A) = (A∩B)∪(A∩A) =(A∩B)∪

=A∩B=B∩A

(2)((A∪B)∩A) = (A∪B)∪ A

=(A∩B)∪A = A

29.由第26题有(A-B)∪(B-A)=(A∪B)–(A∩B)，故(A-B)∪(B-A)A∪B。假若x∈A∩B，那么x∈A∪B，因此x(A∪B)-(A∩B),与(A-B)∪(B-A) = (A∪B)-(A∩B) = A∪B矛盾.

30.A B?x(x∈A→x∈B)?x(x B→x A)

?x(x∈B→x∈A)?B A

A B ?A∪A A∪B ? E A∪B

而A∪B E，因此A B ?A∪B=E反之，

A∪B = E ? A∩(A∪B)= A ? A∩B = A ? A B

综合上述，A B?A∪B = E

A B ? A-B =? A-B B

反之A-B B ? (A-B)∪B B ? A∪B B ? A∪B = B ? A B

综合上述A B?A-B B

31.任取x ,x∈A ? {x} A=>{x}∈P(A)=>{x}∈P(B)=>{x}B ? x∈B

32.先证C A∧C B ? C A∩B,任取x,x∈C ? x∈C∧x∈C ? x∈A∧x∈B ? x∈A∪B,从而得到C A∪B.再证C A∩B ? C A∧C B，这可以由C A∩B A,C A∩B B得到。

33.P Q ? P-Q=? P-Q P，反之，P-Q P ?P∩(P-Q)P∩P ? P-Q=? P Q

34.令X=，则有∪Y =，即Y = .

35.A B ? A∪A B∪ A ? E B∪A因为E为全集,B∪A E综合上述B∪A=E.

36.由A∩C B∩C,A-C B-C，利用A∪C B∪D有：

(A∩C)∪(A-C) (B∩C)∪(B-C)

? (A∩C)∪(A∩C)(B∩C)∪(B∩C)

? (A∩(C∪C)(B∩(C∪C) ? A∩E B∩E ? A B

37.恒等变形法

B=B∩(B∪A)=B∩(AB)=B∩(AC)

=(B∩A)∪(B∩C)=(A∩C)∪(B∩C)

=(A∪B)∩C=(A∪C)∩C=C

39.任取x，有x∈P(A) ? x A ? x B ? x∈P(B)，因此P(A)P(B).

40.(1)任取x有

x∈P(A)∩P(B)?x∈P(A)∧x∈P(B)?x A∧x B

?x A∩B?x∈P(A∩B)

(2)任取x有

x∈P(A)∪P(B)?x∈P(A)∨x∈P(B)?x A∧x B

? x A∪B?x∈P(A∪B)

注意与(1)的推理不同，上面的推理中有一步是“ ?”符号，而不是“?”符号。

(3)反例如下：A = {1}，B = {2}，则

P(A)∪P(B)= {,{1},{2}}

P(A∪B)={,{1},{2},{1,2}}

第七章二元关系

本章自测答案

3.(1) 任取< x,y >,有

∈(A ∩ B)×(C ∩ D) <=>x∈A ∩ B ∧ y ∈C ∩ D

?x ∈A∧x ∈ B∧y ∈C∧y ∈ D

?(x ∈A∧y ∈C )∧(x∈B∧y∈D)

?∈A×C∧< x,y >∈B×D

?∈(A×C)∩(B×D)

(2)都为假,反例如下:

A ={1},

B ={1,2},

C ={2},

D ={3}

4.(1)为假,反例如下:A ={1}, B =,C = {2};

(2)为真,证明如下:任取有

∈A×(B∩C)×(C∩D)?x∈A∩B∧y∈B∧y∈C

?(x∈A∧y∈B)∧(x∈A∧y∈C)

?∈A×B∧∈A×C?∈(A×B)∩(A×C)

(3)为真,令A = 即可;

(4)为假,反例如下: A =

7.={<2,2>,<3,3 >,<4,4>}

={<2 . 3>,<2,4>,<3,2>,<3,4>,<4,2>,<4,3>} ∪

L A={<2,2>,<2,3>,<2,4>,<3,3>,<3,4>,<4,4>}

D A={<2,2>,<2,4>,<3,3>,<4,4>}

9.(1){<1,2>,<1,4>,<1,6>,<2,1>,<2,2>,<2,4> <2,6>,<4,1>,<4,2>,<4,4>, <4,6> <6,1>, <6,2>,<6,4> <6,6>}

(2){<1,2>,<2,1>};

(3){<1,1>,<2,1>,<4,1>,<6,1>,<2,2>,<4,2>,<4,4>,<6,6>}

(4){<1,2>,<2,2>,<4,2>,<6,2>}

12.（略）

13.A∩B = {<1,2>,<2,4>,<3,3>,<1,3>,<4,2>}, A ∩ B ={<2,4>}

domA = {1,2,3},domB = {1,2,4},dom(A ∪ B) = {1,2,3,4}

ranA = {2,3,4},ranB = {2,3,4},ran(A ∪ B) = {4},fld(A - B) = {1,2,3}

14.R R = {<0,2>,<0,3>,<1,3>}

R= {<1,0>,<2,0>,<3,0>,<2,1>,<3,1>,<3,2>}

R{0,1} = {<0,1>,<0,2>,<0,3>,<1,2>,<1,3>}

R[{1,2}] = {2,3}

18.(1)F(G∪H) = F G∪F H

任取 ,有

∈F (G∪H)?t(∈F∧∈G∪H)

?t(∈F∧(∈G∨∈H))

?t((∈F∧∈G)∨(∈F∧∈H))

?t(∈F∧∈G)∨t(∈F∧∈H))

?∈F G∨∈F H?∈F G∪F H

(2)和(4)类似可证

19.(2)任取y,有

y∈R[T∪W]?x(x∈T∪W∧∈R)

?x((x∈T∨x∈W)∧∈R

?x((x∈A∧∈R)∨(x∈W∧∈R))

?x(x∈T∧∈R)∨x(x∈W∧∈R)

?y∈R[T]∨y∈R[W]?y∈R[T]∩R[W]

(3)任取,有

∈F(A∩B)?x∈A∩B∈F

?x∈A∧x∈B∧∈F

?(x∈A∧∈F)(x∈B∧∈F)

?∈F A∧∈F B

?∈F A∩F B

20.(1)任取,有

∈(∪) <=>∈∪

?∈∨∈

?∈∪

(2)和(1)类似可证.

21.只有对称性,因为1+1≠10,<1,1>R,R不是自反的,又由于<5,5>∈R,因此R不是反自反的,根据xRy?x+y = 10=>yRx ,可知R是对称的,又由于<1,9>,<9,1>都是属于R,因此R不是反对称的, <1,9>,<9,1>都属于R,如果R是传递的,必有<1,1>属于R.但这是不成立的,因此R也不是传递的.

22.(1)关系图如图7.15所示; (P148)

(2)具有反自反性、反对称性、传递性.

26.(1)R={<3,3>,<3,1>,<3,5>}, = {<3,3>,<3,1>,<3,5>}

(2)r(R)={<1,1>,<1,5>,<2,2>,<2,5>,<3,3>,<3,1>,<4,4>,<4,5>,<5,5>,<6,6>}

s(R)={<1,5>,<5,1>,<2,5>,<5,2>,<3,3>,<3,1>,<1,3>,<4,5>,<5,4>}

T(R)={<1,5>,<2,5>,<3,3>,<3,1>,<3,5>,<4,5>}

31.(1)R = {<2,3>,<3,2>,<2,4>,<4,2>,<3,4>,<4,3>}∪；(2)R； (3)R.

32.(1)不是等价关系，因为<1,1> R，R不是自反的；

(2)不是等价关系，因为R不是传递的，1R3，3R2但是没有1R2；

(3)不是等价关系，因为<2,2> R，R不是自反的；

(4)不是等价关系，因为R不是传递的。

(5)是等价关系。

33．关系图如图7.17说示 (P151)

[a] = [b] ={a,b},[c] = [d] = {c,d}

38.现取x，有x∈A ? ∈R ? ∈R∧∈R

? ∈R∧∈? ∈R∩R

任取,有∈ R∩ ? ∈R∧∈

? ∈∧∈R ? ∈R∩R

任取,,有

∈R∩ ∧∈R∩

? ∈R∧∈∧∈R∧∈

? (∈R∧∈R)∧(∈∧∈

? ∈R∧∈R? ∈R∩R

42.x,x∈A ? ∈R ? ∈R∧∈R ? ∈T,T是自反的。

x,y∈A,∈T?∈R∧∈R

?∈R∧∈R ? ∈T,T是对称的。

x,y,z∈A,∈T∧∈T

?∈R∧∈R∧∈R∧∈R

? ∈R∧∈R∧∈R∧∈R

? ∈R∧∈R ? ∈T

T是传递的。

43．哈斯图如下图所示.

44.(a)偏序集,A={1,2,3,4,5},R={<1,3>,<1,5>,<2,4>,<2,5>,<3,5>,<4,5>}∪

(b)偏序集,A={a,b,c,d,e,f},R={,,}∪

(c)偏序集,A={1,2,3,4,5}, R={<1,2>,<1,4>,<1,5>,<1,3>,<2,4>,<2,5>,<3,4>,<3,5>,<4,5>}∪

45.(a)A={a,b,c,d,e,f,g}, ={,,,,,,, ,,}∪ (b)A = {a,b,c,d,e,f,g},R口 = {,,,,,,}∪

46.哈斯图如图7.19所示（P153）

（1）极大元e,f；极小元a,f；没有最大与最小元。

（2）极大元a,b,d,e；极小元a,b,c,e；没有最大与最小元。

第八章函数

本章自测答案

2. = {,,… }

= {<1,a>,<2,a>}, = {<1,a>,<2,b>}, = {<1,a>,<2,c>}

= {<1,b>,<2,a>}, = {<1,b>,<2,b>}, = {<1,b>,<2,c>}

= {<1,c>,<2,a>}, = {<1,c>,<2,b>}, = {<1,c>,<2,c>}

3.(1)双射，反函数=,f({8}=|8|),({4}={4}；

(2)双射，反函数：R→ R，（x）= logx, ({1}) = {2}, ({1,2}) ={0,1}；

(3)单射，({5}) = {<5,6>}, ({2,3}) = {2}；

(4)单射，({2,3}) = {5,7}, ({1,3}) = {0,1}；

(5)单射，({-1,2}) = {1,2}, ({1}) = {-1,1}；

(6)单射，((0,1)) = (1/4,3/4),([1/4,1/2]) = [0,1/2]；

(8)单射，((0,1)) = (1,+∞),({2,3}) = {1/2,1/3}.

4.(1) 单射 (2) 不单射,也不满射 (3) 不单射,也不满射 (4) 满射 (5) 单射 (6) 不单射，也不满射.

5.(1) 为真，其余都为假.

7.(1) 结果不唯一，={,,,};

(2) 结果不唯一，={,,,}

(3) 不能

(4) 存在单射还书的充要条件是m ≤ n ，存在满射函数的充要条件是m ≥ n,

存在双射函数的充要条件是m = n .

9.双射函数与单射函数都是n!个

10.(1)不是单射，不是满射，也不是双射；

(2){<1,1>,<0,2>,<2,0>};

(3){3,5,7}

17.f g(x)=2x +7, b f(x) =2x +4, f f(x) =x +6, g g(x) =4x +3,

h f(x)=x/2 +3, g h(x) = x +1/2, f h(x) =(x +5)/2 g h f(x) =x +7/2

18.f f(n) =n+2, g f(n)=2n+1, f g(n)=2n+2, g h(n) =0

h g(n)=, h g f(n)=.

19.(1)g f(x)=x+8x +14, f g(x)=x+2

(2)都不是单射，也不是满射和双射。

(3)g和h有反函数，g:R→R,g(x) = x–4; h:R→R,h(x)=

20．

(1)f g:N→N, f g(x)

(2)不是单射，不是满射，也不是双射。

21.(1)单射，假设f() = f()，那么<,+1> = <,+1>。根据有序对相等的条件得=，因此f是单射的，但是f不是满射的，因为<0,0>ran

(2)不存在反函数

(3)ran={｜n∈N}

24.这些函数都是不唯一的，以下只是一个可能的结果。

(1)f = {<1,a>,<2,b>,<3,c>}

(2)f(x) = 2x

(3)f(x) = ｜x｜ - 1

(4)f(x) = e

第九章集合的基数

本章自测答案

1.令:P(A)→2,(T) = Xт, 假如,∈P(A),且≠,那么存在x只属于和之中的一个集合，不妨设x∈∧x,因此∈(),∈()，

于是（）≠（）,从而证明了是单射的，对于任意g∈2,令B={x｜x∈A,g(x) = 1}，则B∈P(A), 且(B)= Xв = g.

2.令:[1,2] →[0,1],(x) = x – 1,则为[1,2]到[0,1]的双射函数.

3.令:A→N,(x) = x/2 , 则为双射函数.

6.提示：根据A ≈ C,B ≈ D，存在双射：A→C,g:B→D,构造函数h：A×B→C×D,h() = <(a),g(b)>容易证明h的双射性。

7.A = {2n｜n∈N},B = {2|k∈N},C=Z

9.(1) 3∪6 = 6, 2∩5 = 2;

(2)4–3 ={3},3⊕1 = {1,2}

(3)∪4 = 3, ∩1 = 0

(4)1×4 = {<0,0>,<0,1>,<0,2>,<0,3>},2= {,,,}，其中:

={<0,0>,<1,0>} = {<0,0>,<1,1>}

={<0,1>,<1,0>} = {<0,1>,<1,1>}

10.(1)3, (2), (3), (4), (5), (6),

第十章代数系统

本章自测答案

3.(1)可以，A = {-1,0,1}.

(2)不可以.

4.(1)封闭 (2)不封闭 (4)加法不封闭，乘法封闭 (5)不封闭 (7)封闭 (9)加法不封闭，乘法封闭

5.(1)没有交换律、结合律，对于一个运算不能考虑分配律；

(3)加法满足交换律、结合律，乘法满足结合律，乘法对加法满足分配律；

(4)乘法满足结合律

(6)加法和乘法都满足交换律、结合律，乘法对加法满足分配律；

6.(1)没有单位元、零元，没有可逆元素。

(3)n阶全0矩阵是加法单位元，也是乘法的零元；n阶单位矩阵是乘法单位元；加法没有零元。任意n阶矩阵M对于加法都是可逆元，起逆元为– M；只有n阶可逆矩阵(行列式不为0)对乘法是可逆元，其逆元为M .

(4) 乘法单元为n阶单位矩阵，没有零元。每个矩阵M都有逆元M .

(6) 加法单位元0，没有零元，每个元素x都可逆，其逆元是它的相反数– x 。

当n = 1时，乘法有单位元1，只有两个可逆元素：1 = 1, ( - 1) = - 1.

当n＞1时乘法没有单位元和可逆元素。

(7)没有单位元和零元，也没有可逆元素。

(8)乘法单位元为1，只有1是可逆元素，1 = 1

(9)乘法单位元为1，只有1是可逆元素，1 = 1

(10)乘法没有单位元、零元以及可逆元素。

8.(1)不可交换。反例：<0,1> * <1,2> = <0,1>,<1,2> * <0,1> = <0,3>.

可结合，因为,,∈Q × Q

( * ) * = *

* ( * ) = *

不是幂等的，因为<1,1> * <1,1> = <1,2>

(2) 容易严整<1,0>为单位元，没有零元，当a≠0 时，的逆元为<1/ a,- b/a>

11.(1)能构成代数系统。满足交换律、结合律、无单位元，零元是1；

(3)能构成代数系统。满足交换律、结合律，单位元是10，零元是1。

15.(1)能 (2)不能 (3)不能 (4)能

第十一章半群与群

本章自测答案

2.(1)构成半群、独异点和群；

(3)构成半群，不构成独异点，也不构成群；

(4)构成半群、独异点和群

5.(1)假设a*b ≠ b*a，那么或者a*b = a , a = b ；或者a*b = b , b*a = a。若为前者，则

(a*b)*a = a*a = b , a*(b*a) = a*b = a

与结合律矛盾，若为后者，有

(a*b)* a = b*a = a ; a*(b*a) = a*a = b

也与结合律矛盾。

(2) 假设b*b = a ，那么或者a*b = b*a = a，或者a*b = b*a = b 。若为前者，则

(b*a)*a = a*a = b ; b*(a*a) = b*b = a

与结合律矛盾，若为后者，有

(b*a)*a = b*a = b ; b*(a*a) = b*b = a

也与结合律矛盾。

7.任取a + bi , c + di∈G , 有

(a + bi)+(c + di)=(a + c)+(b + d)i∈G

任取a + bi , c + di , e + i ∈G ,有

((a + bi)+(c + di))+(e + i)=(a + c)+(b + d)i +(r + i)

= (a + c + e) + (b + d + ) i

同理

(a + bi)+((c + di)+(e + i))=(a + c + e) + (b + d + ) i

单位元是0，a + bi的逆元是– a – bi .

9. 能构成群，运算封闭。x , y , z ∈A , 有

(x y)z = (x + y - 2) z = (x + y - 2) + z – 2 = x + y + z – 4

x(y z) = xо(y + z - 2) = x + (y + z - 2) – 2 = x + y + z – 4

结合律成立，单位元是2，x的逆元是4 – x。

11．设矩阵A=, B=， C=， D=，

(ab)(b a)=a(bb)a=aa=e

(b a)(ab)=b(a a)b=b b=e

因此b a 是ab的逆元，根据逆元唯一性，命题得证.

(4) 当m，n为自然数时任意给顶n，对m进行归纳，a∈G，有

下面对n或m小于0的情况进行验证,不妨设n＜0,m≥0,则n=-t,t＞0

(a)=(a)=((a))=(a)=a=a

其他类似情况可以类似加以验证.

(5)设G为交换群，当n为自然数时对n归纳。

N = 0,(ab)= e = ee = a b

假设(ab)= a b,则

(ab)= (ab)(ab) =(a b)ab = a(b a)b

= a(ab)b = (a a)(b b) = a b

根据归纳法，命题得证.

若n＜0,令n=-m,m＞0 ，那么有

(ab)=(ba)=(ba)=((ba))=(a b)

=(a)(b) =a b=a b

16.若x∈G有x= e,因此x∈G有x= x.x ,y∈G，有

xy = (xy) = y x = yx

17.设a是幕等元，则aa = a,即aa = ae.根据消去律必有a = e.

19.由x=e?|x|=1或2,换句话说。对于G中元素x，如果|x|＞2,必有x≠x，由于|x|=|x|，阶大于2的元素成对出现，共有偶数个，那么剩下的1阶元总共应该是偶数个，1阶元只有1个，就是单位元，从而证明了G中必有的2阶元.

22.a∈N(a),N(a)≠,任取x,y∈N(a),有

ay = ya ? a(ay)a= a(ya)a? ya = a y

(xy)a = x(y a) = x(a y) = x(ya)

= x(ay ) = (xa)y = a(xy )

根据判定定理，N(a)为G的子群。

30.(1)是同态，不是单同态，也不是满同态。() = {-1,1},ker = 2Z;

(2)是同态，不是单同态，也不是满同态。() = {cosx + i·sinx｜x∈Z},ker = {0};

(3)是同态，不是单同态，是满同态，()={cosx + i·sinx｜x∈R}= A,ker={2kπ｜k∈Z}

31.设：→ ，：→ ，因此:→ ,

x,y∈，有

(xy) =((xy)) =((x)(y))

=((x))((y)) =(x)(x)

因此是到的同态。

32.由于：→ 是双射，因此：→ 也是双射。

x,y∈,a,b∈,使得(a) = x,(b) = y.从而得到

(x)= a,(y) = b

(xy) =((a)(b)) = ((ab)) = ab =(x)(y)

33.设是循环群，a，a∈有

a a=ａ =ａ =ａａ

因此G是Abel群，但是Abel群不一定是循环群，例如KIein四元群是Abel群，但不是循环群。

34.设=,:→ ,y∈(),ａ∈,使得(ａ)=y

y=(ａ)=()=()=((a))

因此(a)是生成元，即()=<(a)>.

35.(1)生成元为a,a,a,a,a,a,a,a

(2)子群为={e},=G,={e,a,a,a,a},={e,a,a},

36.(1)στ=，τσ=，σ=，τ=，στσ=

(2)στ= (1 4 2 3 )，τ = (1 4 2 5 3 )，στσ = (1 5 2 4 3 )

(3)στ = (1 4)(1 2)(1 3)奇置换

τ = (14)(12)(15)(13)偶置换

στσ = (15)(12)(14)(13) 偶置换

（3）是环，不是整环和域，因为乘法没有么元；

（4）不是环，因为正整数关于加法的负元不存在，关于加法不构成群；

（5）不是环，因为关于乘法不封闭。

6.(1) ( - a )( - a) = - - (a a) = 1 , ( - a)( - a ) = - - ( a a ) = 1

因此 - a 是( - a)的逆元，根据逆元的唯一性得( - a) = - a

(2) (b a )(a b) = b (a a) b = 1 , (ab) (b a ) = a (b b ) a = 1

因此b a 是ab的逆元，根据逆元唯一性有(a b) = b a .