立体几何向量法

立体几何向量法

篇一：

标题:立体几何向量法(创建与标题相符的正文并拓展)

正文:

立体几何向量法是解决立体几何问题的一种重要方法。向量法基于向量的加法和数量积运算,可以帮助我们快速求解立体几何问题。本文将介绍向量法的原理和应用,并对其进行拓展。

向量法的原理:

向量是指在空间中用来描述矢量场的一种量。在立体几何中,向量通常表示为两个向量之间的数量积。向量加法和数量积运算是基本的几何运算,它们可以用于解决各种几何问题。向量法正是基于向量的加法和数量积运算,从而解决各种立体几何问题。

向量法的应用:

向量法在立体几何中有广泛的应用,包括求解几何图形的周长、面积、体积等问题。向量法还可以用于求解向量场的性质,如向量的模、夹角、散度等。向量法还可以用于三维建模、虚拟现实等领域。

向量法的拓展:

向量法在立体几何中的应用非常广泛,但也有一些扩展。例如,我们可以使用向量法来解决空间曲线的问题。空间曲线是指空间中一段连续的曲线,可以用向量来表示。向量法可以用于求解空间曲线的参数化问题,从而简化问题的计算复杂度。

向量法还可以与其他方法相结合,如解析几何法和数值计算方法等。这些方

法可以帮助我们解决更加复杂的立体几何问题。

总之,立体几何向量法是一种解决立体几何问题的重要方法,它基于向量的加法和数量积运算,可以帮助我们快速求解各种几何问题。向量法在立体几何、虚拟现实、空间曲线等领域都有广泛的应用。

篇二：

立体几何向量法是解决立体几何问题的一种重要方法,它基于向量的基本概念和运算法则,通过求解向量的组合问题来推导出几何图形的变化关系。本文将介绍立体几何向量法的基本概念和运算规则,并对其进行拓展,以帮助读者更好地理解和应用该方法。

一、立体几何向量法的概念和原理

在立体几何中,向量是指用来描述空间中物体运动、位置、方向等的数学量。向量可以进行加、减、乘、除等基本运算,并且可以与坐标系中的点、线、面等元素进行组合,形成复杂的几何图形。立体几何向量法是利用向量的运算规则来解决立体几何问题的一种方法。

二、立体几何向量法的基本运算规则

1. 向量的加法和减法

向量的加法和减法是指将两个向量相加或相减,得到一个新的向量。向量的加法和减法遵循以下规则:

(1) 两个向量a和b的加法结果为:向量a + 向量b;

(2) 两个向量a和b的减法结果为:向量a - 向量b。

2. 向量的乘法和除法

向量的乘法和除法是指将一个向量乘以或除以另一个向量,得到一个新的向

量。向量的乘法和除法也遵循以下规则:

(1) 两个向量a和b的乘法结果为:向量a ×向量b;

(2) 两个向量a和b的除法结果为:向量a ÷向量b。

三、立体几何向量法的应用

立体几何向量法在解决许多几何问题时都有很大的应用价值,例如:

(1)求解平面几何中的向量问题,例如向量的长度、夹角等;

(2)求解立体几何中的向量问题,例如向量的组合、变换等;

(3)求解空间几何中的向量问题,例如向量的坐标、旋转等。

四、拓展:向量在三维空间中的应用

在三维空间中,向量可以进行加法和减法,并且可以与坐标系中的点、线、面等元素进行组合,形成复杂的三维几何图形。向量的坐标是指向量在空间中的位置,可以通过向量的叉积运算得到。向量的旋转是指将一个向量绕着一个中心点旋转一定的角度,可以通过向量的夹角运算得到。向量的投影是指将一个向量投射到二维或三维坐标系中,可以通过向量的模长运算得到。

2023年高中数学基础知识梳理及基础题型归纳-立体几何模块-第七节 立体几何中的向量方法

第七节 立体几何中的向量方法 一、空间向量与平行关系 【知识点11】直线的方向向量与平面的法向量 (1)直线的方向向量的定义 直线的方向向量是指和这条直线平行或共线的非零向量，一条直线的方向向量有无数个． (2)平面的法向量的定义 直线l ⊥α，取直线l 的方向向量a ，则a 叫做平面α的法向量． 注：直线的方向向量(平面的法向量)不唯一？ 【例1】如图3，已知ABCD 是直角梯形，∠ABC ＝90°，SA ⊥平面ABCD ，SA ＝AB ＝BC ＝1，AD ＝1 2 ，试建立适当的坐标系． (1)求平面ABCD 的一个法向量； (2)求平面SAB 的一个法向量； (3)求平面SCD 的一个法向量． 【反思】1.利用待定系数法求平面法向量的步骤 (1)设向量：设平面的法向量为n ＝(x ，y ，z)． (2)选向量：在平面内选取两个不共线向量，. (3)列方程组：由列出方程组． (4)解方程组： (5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1)． (6)得结论：得到平面的一个法向量． 2．求平面法向量的三个注意点 (1)选向量：在选取平面内的向量时，要选取不共线的两个向量． (2)取特值：在求n 的坐标时，可令x ，y ，z 中一个为一特殊值得另两个值，就是平面的

一个法向量． (3)注意0：提前假定法向量n＝(x，y，z)的某个坐标为某特定值时一定要注意这个坐标不为0. [练习1]正方体ABCD­A1B1C1D1中，E、F分别为棱A1D1、A1B1的中点，在如图3­2­2所示的空间直角坐标系中，求： 图3­2­2 (1)平面BDD1B1的一个法向量； (2)平面BDEF的一个法向量．

立体几何中的向量方法总结

立体几何中的向量方法基础篇一（几何证明） 一．求直线方向向量 1.已知()()4,2,2,2,1,1B A -且),,6(y x a =为直线AB 的方向向量，求y x ,。 二．平面的法向量 2.在空间中，已知()()()0,1,1,1,1,0,1,0,1C B A ，求平面ABC 的一个法向量。 3.如图，在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为正方形， 2,==⊥DC PD ABCD PD 平面，E 为PC 中点 （1）分别写出平面PDC ABCD PAD ,,的一个法向量； （2）求平面EDB 的一个法向量； （3）求平面ADE 的一个法向量。 三．向量法证明空间平行与垂直 1.如图，已知正方形ABCD 和矩形ACEF 所在的平面互相垂直，M AF AB ,1,2== 为EF 的中点，求 证：BDE AM 平面//

2. 如图，正方体''''D C B A ABCD -中，F E ,分别为CD BB ,'的中点，求证：ADE F D 平面⊥'。 3. 如图，在四棱锥ABCD E -中，BCE CD BCE AB 平面平面⊥⊥, 0120,22=∠====BCE CD CE BC AB ，求证：平面ABE ADE 平面⊥。 巩固练习： 1. 如图，在正方体''''D C B A ABCD -中，P 是'DD 的中点，O 是底面ABCD 的中心， （1）求证：O B '为平面PAC 的一个法向量；（2）求平面CD B A ''的一个法向量。

2. 如图，在直棱柱'''C B A ABC -中，4',5,4,3====AA AB BC AC （1）求证：'BC AC ⊥ （2）在AB 上是否存在点D ，使得'//'CDB AC 平面，若存在，确定D 点位置，若不存在，说明理由。 3. 如图，已知长方体''''D C B A ABCD -中，2==BC AB ，E AA ,4'=为'CC 的上的点，C B BE '⊥， 求证：BED C A 平面⊥' 4. 在三棱柱'''C B A ABC -中，1',2,,'===⊥⊥AA BC AB BC AB ABC AA 平面，E 为'BB 的中点，求证：C C AA AEC '''平面平面⊥

立体几何中的向量方法(一)证明平行与垂直

立体几何中的向量方法（一）证明平行与垂直【考点梳理】 1．直线的方向向量和平面的法向量 (1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量. (2)平面的法向量：直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面α的法向量. 2．空间位置关系的向量表示 位置关系向量表示 直线l1，l2的方向向量分 别为n1，n2l1∥l2n1∥n2⇔n1＝λn2 l1⊥l2n1⊥n2⇔n1·n2＝0 直线l的方向向量为n，平面α的法向量为m l∥αn⊥m⇔n·m＝0 l⊥αn∥m⇔n＝λm 平面α，β的法向量分 别为n，m α∥βn∥m⇔n＝λm α⊥βn⊥m⇔n·m＝0 【考点突破】 考点一、利用空间向量证明平行问题 【例1】如图，在四面体A－BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD ＝22，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC. 证明：PQ∥平面BCD. [解析]法一如图，取BD的中点O，以O为原点，OD，OP所在射线分别为y，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系O－xyz. 由题意知，A(0，2，2)，B(0，－2，0)，D(0，2，0). 设点C的坐标为(x0，y0，0).

因为AQ →＝3QC →， 所以Q ⎝ ⎛⎭⎪⎫34 x 0，24＋34y 0，12. 因为M 为AD 的中点，故M (0，2，1). 又P 为BM 的中点，故P ⎝ ⎛ ⎭⎪⎫0，0，12， 所以PQ →＝⎝ ⎛⎭ ⎪⎫34x 0，24＋34y 0，0. 又平面BCD 的一个法向量为a ＝(0，0，1)，故PQ → ·a ＝0. 又PQ ⊄平面BCD ， 所以PQ ∥平面BCD . 法二 在线段CD 上取点F ，使得DF ＝3FC ，连接OF ，同法一建立空间直角坐标系，写出点A ，B ，C 的坐标，设点C 坐标为(x 0，y 0，0). ∵CF →＝14CD →，设点F 坐标为(x ，y ，0)，则 (x －x 0，y －y 0，0)＝1 4(－x 0，2－y 0，0)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝34x 0，y ＝24＋3 4y 0，∴OF →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34x 0，24＋34y 0，0 又由法一知PQ →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫34x 0，24＋34y 0，0， ∴OF →＝PQ →，∴PQ ∥OF . 又PQ ⊄平面BCD ，OF ⊂平面BCD ， ∴PQ ∥平面BCD .

立体几何中的向量方法——证明平行及垂直

立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直 1．直线的方向向量与平面的法向量确实定 (1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量． (2)平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α两不共线向量，n 为平面α的法向量， 则求法向量的方程组为⎩⎨⎧ n ·a ＝0，n ·b ＝0. 2．用向量证明空间中的平行关系 (1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)⇔v 1∥v 2. (2)设直线l 的方向向量为v ，与平面α共面的两个不共线向量v 1和v 2，则l ∥α或l ⊂α⇔存在两个实数*，y ，使v ＝*v 1＋y v 2. (3)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ∥α或l ⊂α⇔v ⊥u . (4)设平面α和β的法向量分别为u 1，u 2，则α∥β⇔u 1∥u 2. 3．用向量证明空间中的垂直关系 (1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1⊥l 2⇔v 1⊥v 2⇔v 1·v 2＝0. (2)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ⊥α⇔v ∥u . (3)设平面α和β的法向量分别为u 1和u 2，则α⊥β⇔u 1⊥u 2⇔u 1·u 2＝0. 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打"√〞或"×〞) (1)直线的方向向量是唯一确定的．() (2)平面的单位法向量是唯一确定的．() (3)假设两平面的法向量平行，则两平面平行．() (4)假设两直线的方向向量不平行，则两直线不平行．() (5)假设a ∥b ，则a 所在直线与b 所在直线平行．() (6)假设空间向量a 平行于平面α，则a 所在直线与平面α平行．() 1．以下各组向量中不平行的是() A ．a ＝(1,2，－2)，b ＝(－2，－4,4) B ．c ＝(1,0,0)，d ＝(－3,0,0) C ．e ＝(2,3,0)，f ＝(0,0,0)

高考数学(理)总复习：立体几何中的向量方法(解析版)

高考数学（理）总复习：立体几何中的向量方法 题型一 利用向量证明平行与垂直 【题型要点】 向量证明平行与垂直的4步骤 (1)建立空间直角坐标系，建系时，要尽可能地利用载体中的垂直关系； (2)建立空间图形与空间向量之间的关系，用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素； (3)通过空间向量的运算求出平面向量或法向量，再研究平行、垂直关系； (4)根据运动结果解释相关问题． 【例1】如图，在直三棱柱ADE —BCF 中，面ABFE 和面ABCD 都是正方形且互相垂直，点M 为AB 的中点，点O 为DF 的中点．运用向量方法证明： (1)OM ∥平面BCF ； (2)平面MDF ⊥平面EFCD . 【证明】 方法一 (1)由题意，得AB ，AD ，AE 两两垂直，以点A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系． 设正方形边长为1，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (1,1,0)，D (0,1,0)，F (1,0,1)，M ⎪⎭ ⎫ ⎝⎛0,0,2 1 ， O ⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛21,21,21. OM →＝⎪⎭ ⎫ ⎝ ⎛ --21,2 1,0，BA →＝(－1,0,0)， ∴OM →·BA →＝0, ∴OM →⊥BA →. ∵棱柱ADE —BCF 是直三棱柱， ∴AB ⊥平面BCF ，∴BA → 是平面BCF 的一个法向量， 且OM ⊄平面BCF ，∴OM ∥平面BCF .

(2)设平面MDF 与平面EFCD 的一个法向量分别为 n 1＝(x 1，y 1，z 1)，n 2＝(x 2，y 2，z 2)． ∵DF →＝(1，－1,1)，DM →＝⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-0,1,2 1，DC →＝(1,0,0)，CF → ＝(0，－1,1)， 由⎩⎪⎨⎪⎧ n 1· DF →＝0，n 1·DM →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1－y 1＋z 1＝0，12x 1－y 1 ＝0， 令x 1＝1，则n 1＝⎪⎭ ⎫ ⎝⎛- 21,21 ,1.同理可得n 2＝(0,1,1)． ∵n 1·n 2＝0，∴平面MDF ⊥平面EFCD . 方法二 (1)OM →＝OF →＋FB →＋BM →＝12DF →－BF →＋12BA → ＝12(DB →＋BF →)－BF →＋12BA → ＝－12BD →－12BF →＋12BA → ＝－12(BC →＋BA →)－12BF →＋12BA → ＝－12BC →－12 BF →. ∴向量OM →与向量BF →，BC → 共面， 又OM ⊄平面BCF ，∴OM ∥平面BCF . (2)由题意知，BF ，BC ，BA 两两垂直， ∵CD →＝BA →，FC →＝BC →－BF →， ∴OM →·CD →＝⎪⎭ ⎫ ⎝⎛--F B C B 2 12 1BA →＝0， OM →·FC →＝⎪⎭ ⎫ ⎝⎛--F B C B 2 12 1·(BC →－BF →) ＝－12BC →2＋12 BF → 2＝0.

知识归纳：立体几何中的向量方法

知识归纳：立体几何中的向量方法 1.直线的方向向量：我们把直线l 上的向量以及与共线的向量叫做直线l 的方向向量. 2.平面的法向量：如果表示向量a 的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作α⊥，如果α⊥，那么向量叫做平面α的法向量.给定一个点，以向量为法向量的平面是完全确定的. 3.空间向量解决立体几何问题的“三步曲”： （1）建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉及到的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题； （2）通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题； （3）把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义． 4.用向量研究空间线面关系，设空间两条直线21,l l 的方向向量分别为21,e e ，两个平面2 1,αα的法向量分别为21,n n ，则有如下结论 5.用向量法求线线角：AB 与CD 的夹角和AB 与CD 的夹角相等或互补.公式为 cos ,|||| AB CD AB CD AB CD ⋅<>= . 6.法向量求线面角：设平面β的斜线l 与平面β所成的角为α1，斜线l 与平面β的法向量所成角α2，则α1与α2互余或与α2的补角互余.求出斜线与平面的法向量所成的角后，即可求出斜线与平面所成的角的大小.公式为cos ,|||| AB n AB n AB n ⋅<>= . 7.法向量求面面角：一个二面角的平面角α1与这个二面角的两个半平面的法向量所成的角α2相等或互补.求出两平面的法向量所成的角后，即可求出二面角的大小.公式为

12 1212cos ,|||| n n n n n n ⋅<>= . 8.向量法求异面直线间的距离：设分别以这两异面直线上任意两点为起点和终点的向量为 ，与这两条异面直线都垂直的向量为，则两异面直线间的距离是在方向上的正射影向 量的模.公式为d 9.向量法求点到平面的距离：设分别以平面外一点P 与平面内一点M 为起点和终点的向量为，平面的法向量为，则P 到平面的距离d 等于在方向上正射影向量的模.公式为 | |n d =

用向量方法解立体几何题

用向量方法求空间角和距离 前言： 在高考的立体几何试题中,求角与距离是常考查的问题,其传统的“三步曲”解法:“作图、证明、解三角形”,作辅助线多、技巧性强,是教学和学习的难点．向量进入高中教材,为立体几何增添了活力,新思想、新方法与时俱进,本专题将运用向量方法简捷地解决这些问题． 1.求空间角问题 空间的角主要有：异面直线所成的角；直线和平面所成的角；（平面和平面所成的角）二面角． （１）求异面直线所成的角 设a 、b 分别为异面直线a 、b 的方向向量, 则两异面直线所成的角α=arccos |||||| a b a b （２）求线面角 设l 是斜线l 的方向向量，n 是平面α的法向量， 则斜线l 与平面α所成的角α=arcsin |||||| l n l n （３）求二面角 a l ⊥，在β内 b l ⊥，其方向如图，则二方法一：在α内 平面角α=arccos |||| a b a b 面角l αβ--的 方法二：设12,,n n 是二面角l αβ--的两个半平面的法向量，其方向一个指向内侧，另一个指向外侧，则二面角l αβ--的平面角 α=12 12arccos |||| n n n n

2.求空间距离问题 构成空间的点、线、面之间有七种距离，这里着重介绍点面距离的求法，像异面直线间的 距离、线面距离、面面距离都可化为点面距离来求． （１）求点面距离 方法一：设n 是平面α的法向量，在α内取一点B, 则 A 到 α的距离|| |||cos ||| AB n d AB n θ== 方法二：设AO α⊥于O,利用AO α⊥和点O 在α内 的向量表示，可确定点O 的位置，从而求出||AO ． （２）求异面直线的距离 方法一：找平面β使b β⊂且a β，则异面直线a 、b 的距离就转化为直线a 到平面β的距离，又转化为点A 到平面β的距离． 方法二：在a 上取一点A, 在b 上取一点B, 设a 、b 分别为异面直 线a 、b 的方向向量,求n （n a ⊥， n b ⊥），则异面直线a 、b 的距离|| |||cos ||| AB n d AB n θ== （此方法移植于点面距离的求法）． 例１．如图，在棱长为２的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别是 棱1111,A D A B 的中点． （Ⅰ）求异面直线1DE FC 与所成的角； （II ）求1BC 和面EFBD 所成的角； （III ）求1B 到面EFBD 的距离 记异面直线1DE FC 与所成的角为α， 解：（Ⅰ） 则α 等于向量 1 DE FC 与的夹角或其补角， 1 1 ||||111111cos || ()() ||||||DE FC DE FC DD D E FB B C DE FC α∴=++=

3.2立体几何中的向量方法（经典例题及答案详解）

3.2立体几何中的向量方法（经典例题及答案详解） 3.2立体几何中的向量方法 第一课时立体几何中的向量方法（1） 教学要求：向量运算在几何证明与计算中的应用．掌握利用向量运算解几何题的方法，并能解简单的立体几何问题． 教学重点：向量运算在几何证明与计算中的应用． 教学难点：向量运算在几何证明与计算中的应用． 教学过程： 一、复习引入 1. 用向量解决立体几何中的一些典型问题的基本思考方法是：⑴如何把已知的几何条件（如线段、角度等）转化为向量表示；⑵考虑一些未知的向量能否用基向量或其他已知向量表式；⑶如何对已经表示出来的向量进行运算，才能获得需要的结论？ 2. 通法分析：利用两个向量的数量积的定义及其性质可以解决哪些问题呢？⑴利用定义a ·b ＝|a ||b |cos ＜a ,b ＞或cos ＜a ,b ＞＝ a b a b ??r r r r ，可求两个向量的数量积或夹角问题； ⑵利用性质a ⊥b ?a ·b ＝０可以解决线段或直线的垂直问题； ⑶利用性质a ·a ＝｜a ｜2，可以解决线段的长或两点间的距离问题． 二、例题讲解 1. 出示例1：已知空间四边形OABC 中，OA BC ⊥，OB AC ⊥．求证：OC AB ⊥．证明：·OC AB u u u u r u u u r ＝·()OC OB OA -u u u u r u u u r u u u r ＝·OC OB u u u u r u u u r －·OC OA u u u u r u u u r ．∵OA BC ⊥，OB AC ⊥，∴·0OA BC =u u u r u u u r ，·0OB AC =u u u r u u u u r ，·()0OA OC OB -=u u u r u u u u r u u u r ，·()0OB OC OA -=u u u r u u u u r u u u r ．∴··OA OC OA OB =u u u r u u u u r u u u r u u u r ，··OB OC OB OA =u u u r u u u u r u u u r u u u r ．∴· OC OB u u u u r u u u r ＝·OC OA u u u u r u u u r ，·OC AB

立体几何的向量方法

立体几何的向量方法 一、 求法向量 平面的法向量：如果表示向量n 的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量n 垂直于平面α,记作n ⊥α，那 么向量n 叫做平面α的法向量. 向量表示平行、垂直关系： 设直线,l m 的方向向量分别为,a b ，平面,αβ 的法向量分别为,u v ，则 ① l ∥m ⇔a ∥b a kb ⇔= ② l ∥α⇔a u ⊥ 0a u ⇔⋅= ③ α∥β⇔u ∥v .u kv ⇔= 求平面的法向量步骤： ⑴ 设平面的法向量为(,,)n x y z = ； ⑵ 找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标； ⑶ 根据法向量的定义建立关于,,x y z 的方程组； ⑷ 解方程组,取其中的一个解,即得法向量. 1．已知()()2,2,1,4,5,3AB AC == ，求平面ABC 的一个法向量. 二、 用向量求空间线段的长度 求出空间线段的长度：用空间向量表示空间线段，然后利用公式 a ； 三、点到平面的距离的求法 用向量求点到平面的距离的方法： 设A ,α∈空间一点P 到平面α的距离为d ,平面α的一个法向量为n ，则 D. = |||| PA n n ∙ 求点到平面的距离的步骤： ⑴ 建立空间直角坐标系，写出平面内两个不共线向量的坐标；⑵ 求平面的一个法向量的坐标； ⑶ 找出平面外的点与平面内任意一点连接向量的坐标；⑷ 代入公式求出距离.

四、两条异面直线间的距离的求法 用向量方法求两条异面直线间的距离，可以先找到它们的公垂线方向的一个向量n ，再在两条直线上分别取一点,A B ，则两条异面直线间距离n AB d n ∙= 求解. 五、求二面角的平面角 若二面角两个面的法向量分别是12,n n ，二面角为θ 则12cos cos ,n n θ=- ，而 六．直线在平面上的投影 若B 是平面上的一点，A 为平面外的一点，那么直线在平面上的投影为S, n cos cos(AB,n) AB.sin S θθ== 为平面的法向量， 121212cos ,.|||| n n n n n n ∙<>=

高中数学向量法在立体几何中的应用

向量法在立体几何中的应用 近几年的高考立体几何题，绝大部分都可以利用几何法和向量法去求解。在利用几何法求解时需要考生有较强的空间思维能力与逻辑推理能力，必须有较完整的“一作、二证、三计算”的步骤；而利用向量法来求解，仅需将空间问题转化成有关向量的运算问题来处理，即将几何问题转化为代数问题，简捷方便,不用作图而直接计算。下面就利用向量法解决立体几何中角的问题、距离的问题时得到的一些方法进行归类和梳理。 一、用向量法处理空间角问题 1、用向量求两条异面直线所成的角 求异面直线n m ,所成的角，我们只需要分别在直线n m ,上取定方向 向量,,b a 则异面直线n m ,所成的角θ等于向量b a ,所成的角或其补角（如图1所示） ，即b a = ><=,cos cos θ 。 【例题】如图2，底面ABCD 为直角梯形， 90=∠ABC ，⊥PB 面 ABCD ，22====CD BP BC BA ，E 为PD 的中点。求异面直线BD 与PA 所成角的大小 解：如图3建立空间直角坐标系xyz B -，则有 ()()()()0,2,0,2,0,0,0,1,2,0,0,0A P D B 得()()2,2,0,0,1,2-==PA BD ，设异面直线BD 与PA 所成角的大小为θ，则 ，1010852 ,cos cos =⨯= = ><=PA BD θ1010arccos =∴θ，即异面直线BD 与PA 所成角的大小为10 10 arccos 。 利用向量法求空间直线所成的角，可避免作辅助线及复杂严谨的论证等诸多麻烦。题中通过>

立体几何中的向量方法及二面角的平面角求法总结

讲义：立体几何中的向量方法及二面角的平面角求法总结 一、几种角的范围 1、 _________________________________ 二面角平面角的范围： 2、 _________________________________ 线面角的范围： 3、 _________________________________ 直线倾斜角范围： 4、异面直线夹角范围：_______________ 5、向量夹角范围：_________________ 二、立体几何中的向量方法 1.三个重要向量 (1)直线的方向向量：直线的方向向量是指和这条直线平行(或重合)的向量，一条直线的方向向量有 ______ . (2)平面的法向量：直线I丄平面a取直线I的方向向量，则这个向量叫做平面a的法向量.显然一个平面的法向量有 ____ ，它们是共线向量. (3)直线的正法向量：直线L:Ax+By+C=O的正法向量为n=(A,B). 2.直线的方向向量与平面的法向量在确定直线和平面位置关系中的应用 (1)直线l i的方向向量为u 1= (a i, b i, c i),直线l2的方向向量为比=(a2, b2, C2). 女口果丨1 //丨2,那么U1 // U2? 5=右2? _____________________________ ； 女口果丨1丄l2, 那么U1丄U2? U1 U2= 0? ________________ ⑵直线I的方向向量为u= (a1, b1, C1),平面a的法向量为n= (a2, b2, C2). 若I // a 贝U u 丄n? u n = 0? _________________ 若I 丄a 贝U u // n? u = k n? _____________________ (3)平面a的法向量为U1 = (a1, b1, C1)，平面B的法向量为u2= (a2, b2, C2). 若all B U1 / U2? U1 = k u2? (a1, b1, G)=_________ ； 若a丄B 贝y U1 丄U2? U1 U2= 0? ____________________ 3.利用空间向量求空间角 (1)求两条异面直线所成的角：设a, b分别是两异面直线I1, I2的方向向量，则

专题8.7 立体几何中的向量方法(讲)(解析版)

专题8.7 立体几何中的向量方法 1.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角的计算问题； 2.了解向量方法在研究立体几何问题中的应用. 知识点一 异面直线所成的角 设a ，b 分别是两异面直线l 1，l 2的方向向量，则 知识点二 求直线与平面所成的角 设直线l 的方向向量为a ，平面α的法向量为n ，直线l 与平面α所成的角为θ，则sin θ＝|cos 〈a ，n 〉|＝ |a ·n | |a ||n | . 知识点三 求二面角的大小 (1)如图①，AB ，CD 是二面角α－l －β的两个面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝__〈AB → ，CD →〉. (2)如图②③，n 1，n 2 分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足|cos θ|＝|cos 〈n 1，n 2〉|，二面角的平面角大小是向量n 1与n 2的夹角(或其补角).

【特别提醒】 1.线面角θ的正弦值等于直线的方向向量a与平面的法向量n所成角的余弦值的绝对值，即sin θ＝|cos 〈a，n〉|，不要误记为cos θ＝|cos〈a，n〉|. 2.二面角与法向量的夹角：利用平面的法向量求二面角的大小时，当求出两半平面α，β的法向量n1，n2时，要根据向量坐标在图形中观察法向量的方向，来确定二面角与向量n1，n2的夹角是相等，还是互补. 考点一用空间向量求异面直线所成的角 （2018年浙江卷）如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，【典例1】 A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2． （Ⅰ）证明：AB1⊥平面A1B1C1； （Ⅱ）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值． 【答案】（Ⅰ）见解析 （Ⅱ） 【解析】 方法一： （Ⅰ）由得， 所以. 故. 由，得， 由得， 由，得，所以，故. 因此平面. （Ⅱ）如图，过点作，交直线于点，连结. 由平面得平面平面， 由得平面， 所以是与平面所成的角.学科.网 由得，

高考数学一轮复习第7讲 立体几何中的向量方法

第7讲立体几何中的向量方法 1．直线的方向向量和平面的法向量 (1)直线的方向向量 直线l上的向量e或与01共线的向量叫做直线l的方向向量，显然一条直02无数个． (2)平面的法向量 如果表示向量n03垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α，记作n⊥α，此时向量n叫做平面α的法向量． 04无数个，且它们是05共线向量． (3)设直线l，m的方向向量分别为a，b，平面α，β的法向量分别为u，v，则 l∥m06a∥b⇔07a＝k b，k∈R； l⊥m08a⊥b⇔09a·b＝0； l∥α10a⊥u⇔11a·u＝0； l⊥α12a∥u⇔13a＝k u，k∈R； α∥β14u∥v⇔15u＝k v，k∈R； α⊥β16u⊥v⇔17u·v＝0. 2．空间向量与空间角的关系 (1)两条异面直线所成角的求法 设两条异面直线a，b的方向向量分别为a，b，其夹角为θ，则cosφ＝|cosθ| 18|a·b| |a||b|(其中φ为异面直线a，b所成的角，范围是(0°，90°])．

(2)直线与平面所成角的求法 如图所示，设直线l 的方向向量为e ，平面α的法向量为n ，直线l 与平面α所成的角为φ，两向量e 与n 的夹角为θ，则有sin φ＝|cos θ|＝19|e ·n | |e ||n |，φ的取值范围是[0°，90°]． (3)求二面角的大小 如图①，AB ，CD 是二面角α－l －β的两个半平面内与棱l 垂直的直线，则二面角的大小θ＝20〈AB →，CD →〉. 如图②③，n 1，n 2分别是二面角α－l －β的两个半平面α，β的法向量，则二面角的大小θ满足cos θ＝cos 〈n 1，n 2〉或－cos 〈n 1，n 2〉，取值范围是[0°，180°]． 确定平面法向量的方法 (1)直接法：观察是否有垂直于平面的向量，若有，则此向量就是法向量． (2)待定系数法：取平面内的两个相交向量a ，b ，设平面的法向量为n ＝(x ，y ，z )，由⎩⎨⎧ n ·a ＝0，n · b ＝0，解方程组求得． 1．平面α的一个法向量为(1,2,0)，平面β的一个法向量为(2，－1,0)，则平面α和平面β的位置关系是( ) A ．平行 B ．相交但不垂直

立体几何中的向量方法-人教版高中数学

知识图谱 -利用向量方法求线线角与线面角-利用向量方法求二面角-利用向量方法求距离直线与直线的夹角直线与平面的夹角向量法求二面角含有参数的二面角求法点到点线面的距离线与线面的距离第03讲_立体几何中的向量方法 错题回顾 利用向量方法求线线角与线面角 知识精讲 一．用向量方法求线线角与线面角 1．两条异面直线所成的角 （1）定义：设是两条异面直线，过空间任一点作直线， 则与所夹的锐角或直角叫做所成的角； （2）范围：两异面直线所成的角的取值范围是； （3）向量求法：设直线的方向向量为，其夹角为，则有 ． 2．直线与平面所成的角 （1）定义：直线与平面所成的角，是指直线与它在这个平面内的射影所成的角； （2）斜线和它在平面内的射影所成的角，是斜线和这个平面内所有直线 所称角中最小的角； （3）范围：直线和平面所成角的取值范围是；

（4）向量求法：设直线的方向向量为，平面的法向量为，直线与 平面所成的角为，与的夹角为，则有或 ，此外还可以根据定义得到直线与平面所成的角如下图： ． 三点剖析 一．方法点拨 1．在用向量法求两条直线的夹角时，如果两条直线方向向量的夹角余弦值是负数时，则取绝对值，要正数，因为两条直线的夹角范围是．2．在用向量法求直线与平面的夹角时，如果算出的是负值时，则线面角的正弦值也需要取正值． 题模精讲 题模一直线与直线的夹角 例1.1、 已知是异面直线，，且，则所成的角是( ) B、 A、 C、 D、

例1.2、 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，A B=，BC=1，PA=2，E为PD的中点． （Ⅰ）求直线AC与PB所成角的余弦值； （Ⅱ）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，并求出N点到AB和AP的距离． 例1.3、 如图所示，正四面体的高的中点为的中点为．（1）求证：两两垂直； （2）求． 题模二直线与平面的夹角 例2.1、 若斜线段的长度是它在平面内的射影长的倍，则与所成角的正切值为__________． 例2.2、

立体几何中的向量方法总结

立体几何中的向量方法基础篇一(几何证明) •求直线方向向量 1•已知A 1,1,2 ,B 2,2,4且a (6,x,y)为直线AB的方向向量，求x,y 二.平面的法向量 2•在空间中，已知 A 1,0,1 ,B 0,1,1 ,C 1,1,0 ,求平面ABC的一个法向量。 3•如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD为正方形, PD 平面ABCD, PD DC 2， E 为 PC 中点 (1)分别写出平面PAD, ABCD , PDC的一个法向量； (2)求平面EDB的一个法向量； (3)求平面ADE的一个法向量。 i B 三.向量法证明空间平行与垂直 1.如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直, 证：AM //平面BDE

B 2.如图，正方体 ABCD A'B'C'D'中，E, F 分别为BB',CD 的中点，求证： D'F 平面ADE 。 D f C f 3.如图，在四棱锥 E ABCD 中，AB 平面BCE,CD 平面BCE AB BC CE 2CD 2, BCE 1200 ,求证：平面 ADE 巩固练习: 平面ABE 。

(1)求证：B 'O PAC 1.如图，在正方体ABCD A'B'C'D'中, P是DD'的中点, O是底面ABCD的中心,

B 2.如图，在直棱柱 AB C A'B'C'中，AC 3, BC 4, AB 5, AA' 4 (1) 求证：AC BC' (2) 在AB 上是否存在点D ,使得AC'//平面CDB',若存在，确定 D 点位置，若不存在，说明理由。 3.如图，已知长方体 ABCD A'B'C'D'中，AB BC 2，AA' 4, E 为CC'的上的点，BE B'C ， 求证：A'C 平面BED 4. 在三棱柱 ABC A'B'C'中，AA'平面ABC, AB BC, AB BC 2, AA' 1，E 为 BB'的中点, 求证：平面AEC' 平面 AA'C'C B

数学一轮复习第七章立体几何第7讲立体几何中的向量方法学案含解析

第7讲立体几何中的向量方法 [考纲解读]1。理解直线的方向向量及平面的法向量，并能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系．(重点) 2.能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理，并能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题．(难点) ［考向预测］从近三年高考情况来看，本讲为高考必考内容．预测2021年高考将会以空间向量为工具证明平行与垂直以及进行空间角的计算．试题以解答题的形式呈现，难度为中等偏上。 1．用向量证明空间中的平行关系 (1）设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合）⇔错误!v1∥v2⇔v1＝λv2. （2)设直线l的方向向量为v，与平面α共面的两个不共线向量为v1和v2，则l∥α或l⊂α⇔存在两个实数x，y,使v＝错误!x v1＋y v2。 （3)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l⊂α⇔错误!v⊥u⇔错误!v·u＝0。 （4）设平面α和β的法向量分别为u1，u2,则α∥β⇔错误!u1

∥u2⇔u1＝λu2。 2．用向量证明空间中的垂直关系 (1）设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2⇔错误!v1⊥v2⇔错误!v1·v2＝0. （2)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u,则l⊥α⇔错误!v∥u⇔错误!v＝λu. (3）设平面α和β的法向量分别为u1和u2,则α⊥β⇔错误!u1⊥u2⇔错误!u1·u2＝0。 3．两条异面直线所成角的求法 设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则 4．直线和平面所成角的求法 如图所示，设直线l的方向向量为e,平面α的法向量为n，直线l与平面α所成的角为φ，两向量e与n的夹角为θ，则有sinφ＝|cosθ|＝错误!错误!,φ的取值范围是［0°，90°]．

11.6立体几何中的向量方法(1)——法向量与平行

11.6立体几何中的向量方法（学案）——法向量、平行 【一、方向向量与法向量】 1.A 是直线l 上任意一点，取AB →＝a →，则称a →为直线l 的方向向量。 2.如果l ⊥α，那么l 的方向向量a →就称为α法向量。 3.设直线l 1、l 2的方向向量分别为a →，b → ，平面α、β的法向量分别为n →、m → ，则 l 1∥l 2⇔ 。l 1⊥l 2⇔ 。l 1∥α⇔ 。 l 1⊥α⇔ 。α∥β⇔ 。α⊥β⇔ 。 【二、法向量的求法】 例1.已知平面α经过三点A (1,2,3)，B (2,0，－1)，C (3，－2,0)，求平面α的一个法向量． 例2.正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，棱长为2，E ，F 分别是BB 1，CD 的中点，分别求平面AED 与平面A 1FD 1的法向量 练1.设u ，v 分别是不同的平面α，β的法向量，根据下列条件判断α，β的位置关系： ①u ＝(－1,1，－2)，v ＝⎝ ⎛⎭⎫3，2，－12 ②u ＝(3,0,0)，v ＝(－2,0,0) ③u ＝(4,2，－3)，v ＝(1,4，－2) 练2设u 是平面α的法向量，a 是直线l 的方向向量，根据下列条件判断α与l 的位置关系： ①u ＝(2,2，－1)，a ＝(－6,8,4) ②u ＝(2，－3,0)，a ＝(8，－12,0) ③u ＝(1,4,5)，a ＝(－2,4,0) 练3.设平面α的法向量为(1,2，－2),平面β的法向量为(－2，－4，k ),若α∥β,则k ＝( ) A ．2 B ．－4 C ．4 D ．－2 A B

【三、向量法证明平行】 例3．已知在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E、M、N分别是BC、AE、CD1的中点，AD＝AA1＝a，AB＝2a. 求证：MN∥平面ADD 1A1. 例4.已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，E、F分别是BB1、DD1的中点，求证： (1)FC1∥平面ADE； (2)平面ADE∥平面B 1C1F. 例5.在正方体ABCD－A1B1C1D1中，求证：平面A1BD∥平面CB1D1.

立体几何中的向量公式

向量法解立体几何 用传统的方法解立体几何需要烦琐的分析、复杂的计算。而用向量法解题思路清晰、过程简洁。对立体几何的常见问题都可以起到化繁为简，化难为易的效果。 一. 证明两直线平行 已知两直线a 和b , b D C a B A ∈∈,,,,则⇔b a //存在唯一的实数λ使CD AB λ= 二. 证明直线和平面平行 1。已知直线αα∈∈⊄E D C a B A a ,,,,,且三点不共线,则a ∥⇔α存在有序实数对μλ,使CE CD AB μλ+= 2。已知直线,,,a B A a ∈⊄α和平面 α的法向量n ，则a ∥n AB ⊥⇔α 三.证明两个平面平行 已知两个不重合平面βα,，法向量分别为n m ,,则α∥n m //⇔β 四．证明两直线垂直 已知直线b a ,。b D C a B A ∈∈,,,，则0=•⇔⊥CD AB b a 五。证明直线和平面垂直 已知直线α和平面a ，且A 、B a ∈，面α的法向量为m ，则m AB a //⇔⊥α 六.证明两个平面垂直 已知两个平面βα,,两个平面的法向量分别为n m ,,则n m ⊥⇔⊥βα 七．求两异面直线所成的角 已知两异面直线b a ,，b D C a B A ∈∈,,,，则异面直线所成的角θ 为：CD AB •=θcos 八．求直线和平面所成的角 A B

已知A ，B 为直线a 上任意两点,n 为平面α的法向量,则a 和平面α所成的角θ为: 1． ⎪⎭ ⎫ ⎝⎛•2,0π 时-=2πθ 2． ⎪⎭⎫ ⎝⎛∈ππ,2 时2πθ-= 九．求二面角 1．已知二面角βα--l ，且l CD l AB D C B A ⊥⊥∈∈,,,,且βα，则二面角的平面角θ的大小为 :=θ 2.已知二面角,βα--l n m ,分别为面βα,的法向量，则二面角的平面角θ的 大小与两个法向量所成的角相等或互补。即-=πθ 注：如何判断二面角的平面角和法向量所成的角的关系。 (1)通过观察二面角锐角还是钝角,再由法向量的成的角求之。 (2）通过观察法向量的方向,判断法向量所成的角与二面角的平面角相等还是互补。 十.求两条异面直线的距离 已知两条异面直线b a ,，m 是与两直线都垂直的向量，b B a A ∈∈,则两条 异面直线的距离d = 十一。求点到面的距离 已知平面α和点A,B 且αα∈∉B A ,,m 为平面α的法向量，则点A 到平面α 的距离d =

专题07 立体几何中的向量方法(解析版)

专题07 立体几何中的向量方法 【要点提炼】 1.直线与平面、平面与平面的平行与垂直的向量方法 设直线l 的方向向量为a ＝(a 1，b 1，c 1)，平面α，β的法向量分别为μ＝(a 2，b 2，c 2)，v ＝(a 3，b 3，c 3)，则 (1)线面平行 l ∥α⇔a ⊥μ⇔a ·μ＝0⇔a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2＝0. (2)线面垂直 l ⊥α⇔a ∥μ⇔a ＝k μ⇔a 1＝ka 2，b 1＝kb 2，c 1＝kc 2. (3)面面平行 α∥β⇔μ∥v ⇔μ＝λv ⇔a 2＝λa 3，b 2＝λb 3，c 2＝λc 3. (4)面面垂直 α⊥β⇔μ⊥v ⇔μ·v ＝0⇔a 2a 3＋b 2b 3＋c 2c 3＝0. 2.直线与直线、直线与平面、平面与平面的夹角计算 设直线l ，m 的方向向量分别为a ＝(a 1，b 1，c 1)，b ＝(a 2，b 2，c 2)，平面α，β的法向量分别为μ＝(a 3，b 3，c 3)，v ＝(a 4，b 4，c 4)(以下相同). (1)线线夹角 设l ，m 的夹角为θ⎝ ⎛ ⎭⎪⎫0≤θ≤π2，则 cos θ＝|a ·b | |a ||b |＝|a 1a 2＋b 1b 2＋c 1c 2|a 21＋b 21＋c 21a 22＋b 22＋c 2 2. (2)线面夹角 设直线l 与平面α的夹角为θ⎝ ⎛ ⎭⎪⎫0≤θ≤π2，则 sin θ＝|cos a ，μ |＝|a ·μ| |a ||μ|. (3)面面夹角 设平面α，β的夹角为θ(0≤θ＜π)， 则|cos θ|＝|cos μ，v |＝|μ·v ||μ||v |.