立体几何中的向量方法(一)—证明平行与垂直讲义

立体几何中的向量方法(一)—证明平行与垂直讲义

一、知识梳理

1．直线的方向向量与平面的法向量的确定

(1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量．

(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α内两不共线向量，n 为平面α的法向量，则求法向

量的方程组为⎩⎪⎨⎪⎧

n ·a ＝0，n ·b ＝0. 2．用向量证明空间中的平行关系

(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)⇔v 1∥v 2.

(2)设直线l 的方向向量为v ，与平面α共面的两个不共线向量v 1和v 2，则l ∥α或l ⊂α⇔存在两个实数x ，y ，使v ＝x v 1＋y v 2.

(3)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ∥α或l ⊂α⇔v ⊥u .

(4)设平面α和β的法向量分别为u 1，u 2，则α∥β⇔u 1 ∥u 2.

3．用向量证明空间中的垂直关系

(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1⊥l 2⇔v 1⊥v 2⇔v 1·v 2＝0.

(2)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ⊥α⇔v ∥u .

(3)设平面α和β的法向量分别为u 1和u 2，则α⊥β⇔u 1⊥u 2⇔u 1·u 2＝0.

二、基础检测

题组一：思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)直线的方向向量是唯一确定的．( )

(2)平面的单位法向量是唯一确定的．( )

(3)若两平面的法向量平行，则两平面平行．( )

(4)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行．( )

(5)若a ∥b ，则a 所在直线与b 所在直线平行．( )

(6)若空间向量a 平行于平面α，则a 所在直线与平面α平行．( )

题组二：教材改编

2．设u ，v 分别是平面α，β的法向量，u ＝(－2,2,5)，当v ＝(3，－2,2)时，α与β的位置关系为__________；当v ＝(4，－4，－10)时，α与β的位置关系为________．

3．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是底面正方形ABCD 的中心，M 是D 1D 的中点，N 是A 1B 1的中点，则直线ON ，AM 的位置关系是________．

题组三：易错自纠

4．已知A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，则下平面ABC 单位法向量的是

5．直线l的方向向量a＝(1，－3,5)，平面α的法向量n＝(－1,3，－5)，则有()

A．l∥αB．l⊥α

C．l与α斜交D．l⊂α或l∥α

6．已知平面α，β的法向量分别为n1＝(2,3,5)，n2＝(－3,1，－4)，则()

A．α∥βB．α⊥β

C．α，β相交但不垂直D．以上均不对

三、典型例题

题型一：利用空间向量证明平行问题

典例如图所示，平面P AD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△P AD是直角三角形，且P A＝AD＝2，E，F，G分别是线段P A，PD，CD的中点．求证：PB∥平面EFG.

引申探究：若本例中条件不变，证明平面EFG∥平面PBC.

思维升华：(1)恰当建立空间直角坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键．

(2)证明直线与平面平行，只需证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可．这样就把几何的证明问题转化为向量运算．

跟踪训练如图，在四面体A－BCD中，AD⊥平面BCD，BC⊥CD，AD＝2，BD＝22，M是AD的中点，P是BM的中点，点Q在线段AC上，且AQ＝3QC.

证明：PQ∥平面BCD.

题型二：利用空间向量证明垂直问题

命题点1：证线面垂直

典例如图所示，正三棱柱(底面为正三角形的直三棱柱)ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点．求证：AB1⊥平面A1BD.

命题点2：证面面垂直

典例如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧面P AD⊥底面ABCD，且P A＝

PD＝

2

2AD，设E，F分别为PC，BD的中点．

(1)求证：EF∥平面P AD；

(2)求证：平面P AB⊥平面PDC.

思维升华：证明垂直问题的方法

(1)利用已知的线面垂直关系构建空间直角坐标系，准确写出相关点的坐标，从而将几何证明转化为向量运算．其中灵活建系是解题的关键．

(2)其一证明直线与直线垂直，只需要证明两条直线的方向向量垂直；其二证明线面垂直，只需证明直线的方向向量与平面内不共线的两个向量垂直即可，当然，也可证直线的方向向量与平面的法向量平行；其三证明面面垂直：①证明两平面的法向量互相垂直；②利用面面垂直的判定定理，只要能证明一个平面内的一条直线的方向向量为另一个平面的法向量即可．

跟踪训练如图所示，已知四棱锥P—ABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC ＝2CD，侧面PBC⊥底面ABCD.证明：

(1)P A⊥BD；

(2)平面P AD⊥平面P AB.

题型三：利用空间向量解决探索性问题

典例如图，棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC和∠A1AC均为60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD.

(1)求证：BD⊥AA1；

(2)在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1，若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由．

思维升华：对于“是否存在”型问题的探索方式有两种：一种是根据条件作出判断，再进一步论证；另一种是利用空间向量，先设出假设存在点的坐标，再根据条件求该点的坐标，即找到“存在点”，若该点坐标不能求出，或有矛盾，则判定“不存在”．

跟踪训练：如图，在四棱锥P ABCD 中，平面P AD ⊥平面ABCD ，P A ⊥PD ，P A ＝PD ，AB ⊥AD ，AB ＝1，AD ＝2，AC ＝CD ＝ 5.

(1)求证：PD ⊥平面P AB ；

(2)求直线PB 与平面PCD 所成角的正弦值；

(3)在棱P A 上是否存在点M ，使得BM ∥平面PCD ？若存在，求AM AP

的值；若不存在，说明理由． 注意：利用向量法解决立体几何问题

典例 (12分)如图1所示，正△ABC 的边长为4，CD 是AB 边上的高，E ，F 分别是AC 和BC 边的中点，现将△ABC 沿CD 翻折成直二面角A －DC －B ，如图2所示．

(1)试判断直线AB 与平面DEF 的位置关系，并说明理由；

(2)求二面角E －DF －C 的余弦值；

(3)在线段BC 上是否存在一点P ，使AP ⊥DE ？证明你的结论．

四、反馈练习

1．已知平面α内有一点M (1，－1,2)，平面α的一个法向量为n ＝(6，－3,6)，则下列点P 中，在平面α内的是( )

A ．P (2,3,3)

B ．P (－2,0,1)

C ．P (－4,4,0)

D ．P (3，－3,4)

2．设u ＝(－2,2，t )，v ＝(6，－4,4)分别是平面α，β的法向量．若α⊥β，则t 等于( )

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

3.如图，F 是正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的棱CD 的中点，E 是BB 1上一点，若D 1F ⊥DE ，则有( )

A ．

B 1E ＝EB B ．B 1E ＝2EB

C ．B 1E ＝12

EB D ．E 与B 重合 4．已知平面α内的三点A (0,0,1)，B (0,1,0)，C (1,0,0)，平面β的一个法向量n ＝(－1，－1，－1)，则不重合的两个平面α与β的位置关系是________________________．

5．已知AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )，若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数x ＋y ＝________.

6．已知点P 是平行四边形ABCD 所在的平面外一点，如果AB →＝(2，－1，－4)，AD →＝(4,2,0)，AP →＝(－1,2，

－1)．对于结论：①AP ⊥AB ；②AP ⊥AD ；③AP →是平面ABCD 的法向量；④AP →∥BD →.其中正确的序号是

________．

答案 ①②③

7．正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是C 1C ，B 1C 1的中点．求证：MN ∥平面A 1BD .

8.如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB ＝12

PD .证明：平面PQC ⊥平面DCQ .

9.如图所示，四棱锥P —ABCD 的底面是边长为1的正方形，P A ⊥CD ，P A ＝1，PD ＝2，E 为PD 上一点，PE ＝2ED .

(1)求证：P A ⊥平面ABCD ；

(2)在侧棱PC 上是否存在一点F ，使得BF ∥平面AEC ？若存在，指出F 点的位置，并证明；若不存在，请说明理由．

10．如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝2a 3，

则MN与平面BB1C1C的位置关系是()

A．相交B．平行

C．垂直D．MN在平面BB1C1C内

11.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，E，F分别是棱BC，DD1上的点，如果B1E⊥平面ABF，则CE与DF的和为________．

12．如图，圆锥的轴截面SAB是边长为2的等边三角形，O为底面中心，M为SO的中点，动点P在圆锥底面内(包括圆周)．若AM⊥MP，则点P形成的轨迹长度为________．

用向量的方法证明平行与垂直关系

用向量的方法证明平行与垂直关系

用向量的方法证明平行与垂直关系 知识点一：求平面的法向量 例1.已知平面 α经过三点A(1,2,3)，B(2,0，－1)， C(3，－2，0)，试求平面α的一个法向量． 解: ∵A(1,2,3)，B(2,0，－1)，C(3，－2,0)， AB ＝(1，－2，－4)，AC →＝(1，－2，－4)， 设平面α的法向量为n ＝(x ，y ，z)． 依题意，应有n ·AB = 0， n · AC → = 0. 即⎩⎨ ⎧ x －2y －4z ＝0 2x －4y －3z ＝0 ，解得⎩⎨ ⎧ x ＝2y z ＝0 . 令y ＝1，则x ＝2. ∴平面α的一个法向量为n ＝(2,1,0)． 【反思】用待定系数法求平面的法向量，关键是在 平面内找两个不共线向量，列出方程组，取其中一组解(非零向量)即可． “用向量法”求法向量的解题步骤： （1）设平面的一个法向量为),,(z y x n =； （2）找出（或求出）平面内的两个不共线 的向量的坐标),,(),,,(2 2 2 1 1 1 c b a b c b a a ==；（3）根据法 向量的定义列出方程组 ⎪⎪⎨ ⎧=•0 a n ；

练习：， 如图所示，已知点(,0,0),(0,,0),(0,0,)A a B b C c ，求平面ABC 的一个法向量。 知识点二：利用向量方法证平行关系 （1）线线平行：设直线1 l 、2 l 的方向向量分别为、 ，则l l λ=⇔⇔////2 1 （2）线面平行： ①由线面平行的判定定理，只要证明已知直线的方向向量与平面内的某一向量平行即可； ②设直线l 的方向向量为，平面α的法向量为 ，则0//=⋅⇔⊥⇔μμαl ；

45立体几何中的向量方法（Ⅰ）——证明平行与垂直（5篇模版）

45立体几何中的向量方法（Ⅰ）——证明平行与垂直（5篇模 版） 第一篇：45立体几何中的向量方法(Ⅰ)——证明平行与垂直第45课时立体几何中的向量方法(Ⅰ) ——证明平行与垂直 编者：刘智娟审核：陈彩余班级_________ 学号_________ 姓名_________第一部分预习案 一、学习目标 1.理解直线的方向向量与平面的法向量；能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直和平行关系 2.了解向量方法在研究立体几何问题中的应用 二、知识回顾 1．直线的方向向量与平面的法向量 (1)直线l上的向量e(e≠0)以及与e共线的向量叫做直线l的方向向量． (2)如果表示非零向量n的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称向量n垂直于平面α，记作n⊥α.此时，我们把向量n叫做平面α的法向量． 2．用向量证明空间中的平行关系 (1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合)⇔ v1∥v 2(2)设直线l的方向向量为v，与平面α共面的两个不共线向量v1和v2，则l∥α或l⊂α⇔存在两个实数x，y，使＝xv1＋yv2 (3)设直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则l∥α或l⊂α⇔⊥.(4)设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β⇔u1 ∥u2.3．用向量证明空间中的垂直关系 v2＝0.(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1·

(2)设直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则l⊥α⇔∥ u2＝0.(3)设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β⇔u1⊥u2⇔u1· 三、基础训练 1．两条不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1＝(1,0，－1)，v2＝(－2，0,2)，则l1与l2的位置关系是__________ →→→→→2．已知AB＝(1,5，－2)，BC＝(3,1，z)，若AB⊥BC，BP＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则实数x，y，z分别为______________． b＝(2,0,4)，c＝(－4，3．已知＝(－2，－3,1)，－6,2)，则下列结论正确的序号是________．①∥c，b∥c;②∥b，⊥c；③∥，⊥;④以上都不对． →→4．已知AB＝(2,2,1)，AC＝(4,5,3)，则平面ABC的单位法向量为____________． 5．若平面α、β的法向量分别为v1＝(2，－3,5)，v2＝(－3,1，－4)，则α、β的位置关系为____________． 第二部分探究案 探究一利用空间向量证明平行问题 问题 1、如图所示，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，△PAD 是直角三角形，且PA＝AD＝2，E、F、G分别是线段PA、PD、CD 的中点． 求证：PB∥平面EFG.探究二利用空间向量证明垂直问题 问题 2、如图所示，正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱长都为2，D为CC1的中点． 求证：AB1⊥平面A1BD.探究三利用空间向量解决探索性问题 问题 3、如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AD＝1，E为CD的中点．

第十一讲 立体几何(一) 平行与垂直.

第十一讲立体几何（一）平行与垂直 【内容要点】 垂直与平行是高考的重点内容之一，考查内容灵活多样.本节主要帮助考生深刻理解线面平行与垂直、面面平行与垂直的判定与性质，并能利用它们解决一些问题. 直线与平面是立体几何的核心内容，主要包括：三条公理、三个推论、三线平行公理（公理4）、三垂线定理及其逆定理、三种位置关系（直线与直线、直线与平面、平面与平面）。其中“平行问题”与“垂直问题”是两类重要的证明问题。 【例题剖析】 例1. 如图，已知平面α∥β∥γ，A，C∈α，B，D∈γ，异面直线AB和CD分别与β交于E和G，连结AD和BC分别交β于F，H． (2)判断四边形EFGH是哪一类四边形； (3)若AC=BD=a，求四边形EFGH的周长． 需经过分别与AB(或CD)共面的直线(例如AD)进行过渡，再利用平面几何知识达到论证的目标。 (2)在(1)的基础上，不难判断EFGH四边形的类型。 (3)利用(1)、(2)的结果再进一步进行探索。 解：(1)由AB，AD确定的平面，与平行平面β和γ的交线分别为

(2)面CBD分别交β，γ于HG和BD．由于β∥γ，所以HG∥BD．同理EH∥AC．故EFGH为平行四边形。 评述此问题的最终解决都是利用平面几何的有关知识进行的，这里利用了辅助平面ABD和ADC是关键所在，本题也是利用线面、面面、线线平行的互相转化这一基本思想得到最后结果的． 例2. 正方形ABCD和正方形ABEF所在平面互相垂直，点M，N分别在对角线AC和BF上，且AM=FN 求证：MN∥平面BEC 分析：证线面平行⇐线线平行，需找出面BEC中与MN平行的直线。 证明（一）：作NK∥AB交BE于K，作MH∥AB交BC于H ∴MH∥NK ∵ABCD与ABEF是两个有公共边AB的正方形 ∴它们是全等正方形 ∵AM=FN ∴CM=BN 又∠HCM=∠KBN，∠HMC=∠KNB ∴△HCM≌△KBN ∴MH=NK ∴MHKN是平行四边形∴MN∥HK ∵HK⊂平面BEC MN⊄平面BEC ∴MN∥平面BEC 证明（二）：分析：利用面面平行⇒线面平行 过N作NP∥BE，连MP，∵NP∥AF ∴FN/FB=AP/AB ∵AM=FN，AC=BF ∴FN/FB=AM/AC ∴AP/AB=AM/AC ∴MP∥BC ∴平面MNP∥平面BCE ∴MN∥平面BCE 解题中经常需要作互相平行的直线，为了使作直线的位置符合要求，构造成平行四边形，利用平行四边形对边这一关系是作平行线的依据之一。 例3.正方体ABCD—A1B1C1D1中，MN是异面直线A1D与AC的公垂线段，求证：MN//BD1。 分析：由于MN⊥A1D且MN⊥AC联想到线面平行的性质定理，只需证明MN⊥平面α，且BD1⊥平面α，为此在图形中发现满足该要求的平面α，由直觉猜测平面ACB1，即是要找的α，再予以验证即可，这似乎容易证明。

立体几何中的向量方法 ——证明平行与垂直

立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直 【基础检测】 1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)． (1)直线的方向向量是唯一确定的．( ) (2)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行．( ) (3)若两平面的法向量平行，则两平面平行或重合．( ) (4)若空间向量a 平行于平面α，则a 所在直线与平面α平行．( ) 2．已知A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，则下列向量是平面ABC 法向量的是( ) A ．(－1,1,1) B ．(1，－1,1) C ．? ?? ? － 33，－33，－ 33 D ．?? ?? 33，33 ，－33 3．已知直线l 的方向向量v ＝(1,2,3)，平面α的法向量为u ＝(5,2，－3)，则l 与α的位置关系是__ __. 4．设u ，v 分别是平面α，β的法向量，u ＝(－2,2,5)，当v ＝(3，－2,2)时，α与β的位置关系为__ _；当v ＝(4，－4，－10)时，α与β的位置关系为_ __. 5．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是底面正方形ABCD 的中心，M 是D 1D 的中点，N 是A 1B 1的中点，则直线ON ，AM 的位置关系是__ __. 题型一 利用空间向量证明平行问题 (1)恰当建立空间直角坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键． (2)证明直线与平面平行，只需证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可．这样就把几何的证明问题转化为向量运算．

45立体几何中的向量方法(Ⅰ)——证明平行与垂直

第45课时 立体几何中的向量方法(Ⅰ) ——证明平行与垂直 编者：刘智娟 审核：陈彩余 第一部分 预习案 一、学习目标 1. 理解直线的方向向量与平面的法向量；能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直和平行关系 2. 了解向量方法在研究立体几何问题中的应用 二、知识回顾 1．直线的方向向量与平面的法向量 (1)直线l 上的向量e (e ≠0)以及与e 共线的 向量叫做直线l 的方向向量． (2)如果表示非零向量n 的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称向量n 垂直于平面α，记作n ⊥α.此时，我们把向量n 叫做平面α的法向量． 2．用向量证明空间中的平行关系 (1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为1v 和2v ，则l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)? 1v ∥2v (2)设直线l 的方向向量为v ，与平面α共面的两个不共线向量1v 和2v ，则l ∥α或l ?α?存在两个实数x ，y ，使＝x 1v ＋y 2v (3)设直线l 的方向向量为，平面α的法向量为，则l ∥α或l ?α?⊥. (4)设平面α和β的法向量分别为1u ，2u ，则α∥β?1u ∥2u . 3．用向量证明空间中的垂直关系 (1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为1v 和2v ，则l 1⊥l 2?1v ⊥2v ?1v · 2v ＝0. (2)设直线l 的方向向量为，平面α的法向量为，则l ⊥α?∥ (3)设平面α和β的法向量分别为1u 和2u ，则α⊥β?1u ⊥2u ?1u · 2u ＝0. 三、基础训练 1．两条不重合直线l 1和l 2的方向向量分别为1v ＝(1,0，－1)，2v ＝(－2，0,2)，则l 1与l 2的位置关系是__________ 2．已知AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )，若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数x ，y ，z 分别为______________． 3．已知＝(－2，－3,1)，b ＝(2,0,4)，c ＝(－4，－6,2)，则下列结论正确的序号是________． ①∥c ，b ∥c ; ②∥b ，⊥c ； ③∥，⊥; ④以上都不对． 班级_________ 学号_________ 姓名_________

用向量的方法证明平行与垂直关系

用向量的方法证明平行与垂直关系 平行与垂直是向量的重要性质，可以用向量的方法进行证明。接下来，我将介绍如何用向量的方法证明平行和垂直关系，以及一些相关的性质和 定理。 1.平行性质的证明： 两个向量a和b平行的定义是它们的方向相同或相反，并且它们的长 度可以不相等。下面是两个向量平行的证明方法： 方法一：向量比例法 如果向量a和b平行，那么可以找到一个非零实数k，使得a=k*b。 可以通过比较向量的坐标分量来找到这个常数k。如果两个向量平行，它 们的对应坐标分量之间的比值应该相等。 举例来说，如果有向量a=(1,2,3)和向量b=(2,4,6)，我们可以通过 将它们的相同位置的坐标分量相除来证明它们平行，如下所示：1/2=2/4=3/6=1/2 这表明向量a和b的对应坐标分量比值相等，因此它们是平行的。 方法二：向量点乘法 如果两个向量a和b平行，那么它们的点乘等于它们的长度之积。即a·b=，a，*，b，其中，a，和，b，分别表示向量a和b的长度。 假设有向量a=(x1, y1, z1)和向量b=(x2, y2, z2)，那么它们的点 乘为a·b = x1*x2 + y1*y2 + z1*z2、另一方面，它们的长度之积为，a，*，b， = sqrt(x1^2 + y1^2 + z1^2) * sqrt(x2^2 + y2^2 + z2^2)。如

果将这两个等式相等，即a·b = ，a，*，b，那么可以得出向量a和b 平行。 2.垂直性质的证明： 两个向量a和b垂直的定义是它们的点乘为零，即a·b=0。下面是 两个向量垂直的证明方法： 方法一：向量内积法 两个向量a和b的点乘为a·b=x1*x2+y1*y2+z1*z2、如果a·b=0， 那么可以证明向量a和b垂直。 举例来说，如果有向量a=(1,2,3)和向量b=(2,-1,-2)，我们可以计 算它们的点乘为： a·b=1*2+2*(-1)+3*(-2)=0 因此，向量a和b垂直。 方法二：向量叉乘法 向量a和b的叉乘为一个新的向量c，记为c=axb。如果向量c与向 量a和b都垂直，那么可以证明坐标系中三个向量a、b和c互相垂直。 举例来说，如果有向量a=(1,0,0)和向量b=(0,1,0)，它们的叉乘为：c=axb=(0*0-1*1,1*0-0*0,0*1-0*0)=(0,0,-1) 可以观察到向量c与向量a和b都垂直，因此可以证明向量a和b垂直。 平行和垂直性质的定理：

高中数学第三章空间向量与立体几何3.2立体几何中的向量方法3.2.2利用向量解决平行、垂直问题讲义

3.2.2 利用向量解决平行、垂直问题 1．用向量方法证明空间中的平行关系 (1)证明线线平行 设直线l，m的方向向量分别是a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，则l∥m?□01a∥b?□02 a＝λb?□03a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)． (2)证明线面平行 设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)， 平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)， 则l∥α?□04a⊥u?□05a·u＝0?□06a1a2＋b1b2＋c1c2＝0. (3)证明面面平行 ①设平面α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β?□07u∥v?u＝λv?□08a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)． ②由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可． 2．用向量方法证明空间中的垂直关系 (1)证明线线垂直 设直线l1的方向向量u1＝(a1，b1，c1)，直线l2的方向向量u2＝(a2，b2，c2)，则l1⊥l2?□09u1⊥u2?□10u1·u2＝0?□11a1a2＋b1b2＋c1c2＝0. (2)证明线面垂直 设直线l的方向向量是u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量v＝(a2，b2，c2)，则l⊥α?□12 u∥v?□13u＝λv(λ∈R)?□14a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)． (3)证明面面垂直 若平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β?□15u ⊥v?□16u·v＝0?□17a1a2＋b1b2＋c1c2＝0. 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若两直线方向向量的数量积为0，则这两条直线一定垂直相交．( ) (2)若一直线与平面垂直，则该直线的方向向量与平面内的所有直线的方向向量的数量积为0.( )

高考数学(理)总复习：立体几何中的向量方法(解析版)

高考数学（理）总复习：立体几何中的向量方法 题型一 利用向量证明平行与垂直 【题型要点】 向量证明平行与垂直的4步骤 (1)建立空间直角坐标系，建系时，要尽可能地利用载体中的垂直关系； (2)建立空间图形与空间向量之间的关系，用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素； (3)通过空间向量的运算求出平面向量或法向量，再研究平行、垂直关系； (4)根据运动结果解释相关问题． 【例1】如图，在直三棱柱ADE —BCF 中，面ABFE 和面ABCD 都是正方形且互相垂直，点M 为AB 的中点，点O 为DF 的中点．运用向量方法证明： (1)OM ∥平面BCF ； (2)平面MDF ⊥平面EFCD . 【证明】 方法一 (1)由题意，得AB ，AD ，AE 两两垂直，以点A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系． 设正方形边长为1，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (1,1,0)，D (0,1,0)，F (1,0,1)，M ⎪⎭ ⎫ ⎝⎛0,0,2 1 ， O ⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛21,21,21. OM →＝⎪⎭ ⎫ ⎝ ⎛ --21,2 1,0，BA →＝(－1,0,0)， ∴OM →·BA →＝0, ∴OM →⊥BA →. ∵棱柱ADE —BCF 是直三棱柱， ∴AB ⊥平面BCF ，∴BA → 是平面BCF 的一个法向量， 且OM ⊄平面BCF ，∴OM ∥平面BCF .

(2)设平面MDF 与平面EFCD 的一个法向量分别为 n 1＝(x 1，y 1，z 1)，n 2＝(x 2，y 2，z 2)． ∵DF →＝(1，－1,1)，DM →＝⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-0,1,2 1，DC →＝(1,0,0)，CF → ＝(0，－1,1)， 由⎩⎪⎨⎪⎧ n 1· DF →＝0，n 1·DM →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1－y 1＋z 1＝0，12x 1－y 1 ＝0， 令x 1＝1，则n 1＝⎪⎭ ⎫ ⎝⎛- 21,21 ,1.同理可得n 2＝(0,1,1)． ∵n 1·n 2＝0，∴平面MDF ⊥平面EFCD . 方法二 (1)OM →＝OF →＋FB →＋BM →＝12DF →－BF →＋12BA → ＝12(DB →＋BF →)－BF →＋12BA → ＝－12BD →－12BF →＋12BA → ＝－12(BC →＋BA →)－12BF →＋12BA → ＝－12BC →－12 BF →. ∴向量OM →与向量BF →，BC → 共面， 又OM ⊄平面BCF ，∴OM ∥平面BCF . (2)由题意知，BF ，BC ，BA 两两垂直， ∵CD →＝BA →，FC →＝BC →－BF →， ∴OM →·CD →＝⎪⎭ ⎫ ⎝⎛--F B C B 2 12 1BA →＝0， OM →·FC →＝⎪⎭ ⎫ ⎝⎛--F B C B 2 12 1·(BC →－BF →) ＝－12BC →2＋12 BF → 2＝0.

立体几何中的向量方法(一)—证明平行与垂直讲义

立体几何中的向量方法(一)—证明平行与垂直讲义 一、知识梳理 1．直线的方向向量与平面的法向量的确定 (1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量． (2)平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α内两不共线向量，n 为平面α的法向量，则求法向 量的方程组为⎩⎪⎨⎪⎧ n ·a ＝0，n ·b ＝0. 2．用向量证明空间中的平行关系 (1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)⇔v 1∥v 2. (2)设直线l 的方向向量为v ，与平面α共面的两个不共线向量v 1和v 2，则l ∥α或l ⊂α⇔存在两个实数x ，y ，使v ＝x v 1＋y v 2. (3)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ∥α或l ⊂α⇔v ⊥u . (4)设平面α和β的法向量分别为u 1，u 2，则α∥β⇔u 1 ∥u 2. 3．用向量证明空间中的垂直关系 (1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1⊥l 2⇔v 1⊥v 2⇔v 1·v 2＝0. (2)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ⊥α⇔v ∥u . (3)设平面α和β的法向量分别为u 1和u 2，则α⊥β⇔u 1⊥u 2⇔u 1·u 2＝0. 二、基础检测 题组一：思考辨析 1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)直线的方向向量是唯一确定的．( ) (2)平面的单位法向量是唯一确定的．( ) (3)若两平面的法向量平行，则两平面平行．( ) (4)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行．( ) (5)若a ∥b ，则a 所在直线与b 所在直线平行．( ) (6)若空间向量a 平行于平面α，则a 所在直线与平面α平行．( ) 题组二：教材改编 2．设u ，v 分别是平面α，β的法向量，u ＝(－2,2,5)，当v ＝(3，－2,2)时，α与β的位置关系为__________；当v ＝(4，－4，－10)时，α与β的位置关系为________． 3．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是底面正方形ABCD 的中心，M 是D 1D 的中点，N 是A 1B 1的中点，则直线ON ，AM 的位置关系是________． 题组三：易错自纠 4．已知A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，则下平面ABC 单位法向量的是

2020年高考数学(理)总复习：立体几何中的向量方法(解析版)

2020 年高考数学（理）总复习：立体几何中的向量方法 题型一 利用向量证明平行与垂直 【题型重点】 向量证明平行与垂直的 4 步骤 (1)成立空间直角坐标系，建系时，要尽可能地利用载体中的垂直关系； (2)成立空间图形与空间向量之间的关系， 用空间向量表示出问题中所波及的点、 直线、 平面的因素； (3)经过空间向量的运算求出平面向量或法向量，再研究平行、垂直关系； (4)依据运动结果解说有关问题． 【例 1】如图，在直三棱柱 ADE —BCF 中，面 ABFE 和面 ABCD 都是正方形且相互垂直，点 M 为 AB 的中点，点 O 为 DF 的中点．运用向量方法证明： (1)OM ∥平面 BCF ； (2)平面 MDF ⊥平面 EFCD . 【证明】 方法一 (1)由题意，得 AB ， AD ， AE 两两垂直，以点 A 为原点成立如图所 示的空间直角坐标系． 设正方形边长为 1，则 A(0,0,0) ， B(1,0,0) ， C(1,1,0) ，D (0,1,0) ，F(1,0,1) ， M 1 ,0,0 ， 2 O 1 , 1 , 1 . 2 2 2 → 1 1 → OM ＝ 0, , 2 ，BA ＝ (－ 1,0,0)， 2 → → → → ∴ OM ·BA ＝ 0, ∴ OM ⊥BA. ∵棱柱 ADE — BCF 是直三棱柱， → ∴ AB ⊥平面 BCF ，∴ BA 是平面 BCF 的一个法向量， 且 OM? 平面 BCF ，∴ OM ∥平面 BCF .

(2)设平面 MDF 与平面 EFCD 的一个法向量分别为 n 1＝ (x 1，y 1，z 1)， n 2＝ (x 2， y 2， z 2)． → → ∵ DF ＝ (1，－ 1,1)， DM ＝ 1 → → ，－ 1,1)， , 1,0 ， DC ＝ (1,0,0) ，CF ＝(0 2 → x 1－ y 1＋ z 1＝0， n 1·DF ＝ 0， 得 1 由 → 2x 1－ y 1＝ 0， n 1·DM ＝ 0， 令 x 1＝ 1，则 n 1＝ 1, 1 , 1 .同理可得 n 2＝ (0,1,1) ． 2 2 ∵ n 1·n 2＝ 0，∴平面 MDF ⊥平面 EFCD . 方法二 → → → → 1 → → 1 → (1)OM ＝ OF ＋FB ＋ BM ＝ DF － BF ＋ 2 BA 2 1→→→ 1 → 1 → 1 → 1 → ＝ (DB ＋ BF)－ BF ＋ BA ＝－ 2 BD － BF ＋ BA 2 2 2 2 1 → → 1 → 1 → ＝－ ( BC ＋ BA)－ BF ＋ BA 2 2 2 1 → 1 → ＝－ 2BC －2BF. ∴向量 → 与向量 →，→ 共面， OM BF BC 又 OM? 平面 BCF ，∴ OM ∥平面 BCF . (2)由题意知， BF ， BC ， BA 两两垂直， → → → → → ∵ CD ＝BA ， FC ＝BC －BF ， → → 1 1 BF → ∴ OM ·CD ＝ 2 BC BA ＝ 0， 2 → → 1 1 OM ·FC ＝ 2 BCBF 2 → → ·(BC － BF) 1 → 2 1 → 2 ＝ 0. ＝－ BC ＋ BF 2 2

立体几何中平行与垂直的证明（5篇模版）

立体几何中平行与垂直的证明（5篇模版） 第一篇：立体几何中平行与垂直的证明 立体几何中平行与垂直的证明 姓名 2.掌握正确的判定和证明平行与垂直的方法.D 1【学习目标】1.通过学习更进一步掌握空间中线面的位置关系; 例1．已知正方体ABCD—A1B1C1D1，O是底ABCD对角线的交点． 求证：（1）C1O//平面AB1D1；（2）A1C⊥平面AB1D1．【反思与小结】1.证明线面平行的方法：2.证明线面垂直的方法： AD C1 BC【变式一】如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB>1，点E在棱AB上移动。求证：D1E⊥A1D； 【反思与小结】1．证明线线垂直的方法： 1．谈谈对“点E在棱AB上移动”转化的动态思考 2．比较正方体、正四棱柱、长方体 【变式二A】如图平面ABCD⊥平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩 形，且AF= D 1A E B C C AD=2,G是EF的中点，2（1）求证平面AGC⊥平面BGC；（2）求空间四边形AGBC的体积。

反思与小结1．证明面面垂直的方法：2．如果把【变式二A】的图复原有什么新的认识？【变式二B】.如图，在直三棱柱(侧棱与底面垂直的三棱柱)ABC-A1B1C1中，AB=8，AC=6，BC （Ⅰ）求证： =10，D是BC边的中点.AB⊥A1C；（Ⅱ）求证：AC1∥ 面AB1D； 【反思与小结】和前面证明线线垂直、线面平行比较有什么新的认识？【变式三】如图组合体中，三棱柱ABC-A1B1C1的侧面ABB1A1 是圆柱的轴截面，C是圆柱底面圆周上不与A、B重合一个点.（Ⅰ）求证：无论点C如何运动，平面A1BC⊥平面A1AC； （Ⅱ）当点C是弧AB的中点时，求四棱锥A1-BCC1B1与圆柱的体积比． 【反思与小结】 1．观察两个图之间的变化联系，写出感受。 2．和【变式一】进行比较，谈谈你把握动态问题的新体会 【变式四】如图，四边形ABCD 为矩形，AD⊥平面ABE，AE＝EB＝BC＝2，F 为CE上的点，且BF⊥平面ACE． （1）求证：AE⊥BE； （2）设M在线段AB上，且满足AM＝2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面DAE.【反思与小结】1．和前面两个动态问题比较，解答本题的思路和方法有什么不同？_P【变式五】如图5所示，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB=BC=CA=3，M为AB的中点，四点P、A、M、C都在球O的球面上。 （1）证明：平面PAB⊥平面PCM；（2）证明：线段PC的中点为球O的球心； 【反思与小结】1．探讨球与正方体、长方体等与球体之间的关系。 2．结合前面几组图形的分割变化规律，说明正方体、正四棱 柱、长方体、直三棱柱、四棱锥、三棱锥的变化联系。 3．总结立几中证明“平行与垂直”的思路和方法 课后练习

精品导学案：立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直

第7讲 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直 [最新考纲] 1．理解直线的方向向量及平面的法向量． 2．能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系． 3．能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理. 知 识 梳 理 1．直线的方向向量与平面的法向量的确定 (1)直线的方向向量：l 是空间一直线，A ，B 是直线l 上任意两点，则称AB → 为直线l 的方向向量，与AB → 平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量． (2)平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α内两不共线向量，n 为平面α的法向量，则求法向量的方程组为⎩⎨⎧ n· a ＝0，n· b ＝0. 2．空间位置关系的向量表示 辨 析 感 悟 1．平行关系 (1)直线的方向向量是唯一确定的．(×) (2)两不重合直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1＝(1,0，－1)，v 2＝(－2,0,2)，则l 1

与l 2的位置关系是平行．(√) 2．垂直关系 (3)已知AB →＝(2,2,1)，AC → ＝(4,5,3)，则平面ABC 的单位法向量是n 0＝±⎝ ⎛⎭ ⎪⎫13，－23，23.(√) (4)(2014·青岛质检改编)如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是底面正方形ABCD 的中心，M 是D 1D 的中点，N 是A 1B 1的中点，则直线NO ，AM 的位置关系是异面垂直．(√) [感悟·提升] 1．一是切莫混淆向量平行与向量垂直的坐标表示，二是理解直线平行与直线方向向量平行的差异，如(2)．否则易造成解题不严谨． 2．利用向量知识证明空间位置关系，要注意立体几何中相关定理的活用，如证明直线a ∥b ，可证向量a ＝λb ，若用直线方向向量与平面法向量垂直判定线面平行，必需强调直线在平面外等. 学生用书 第125页 考点一 利用空间向量证明平行问题 【例1】 如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是C 1C ，B 1C 1的中点．求证：MN ∥平面A 1BD .

2019届一轮复习人教B版 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直学案

第44讲 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直 考纲要求 考情分析 命题趋势 1．直线的方向向量与平面的法向量的确定 (1)直线的方向向量：在直线上任取一__非零__向量作为它的方向向量． (2)平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为错误! 2．用向量证明空间中的平行关系 (1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合)⇔__v1∥v2__. (2)设直线l的方向向量为v，与平面α共面的两个不共线向量v1和v2，则l∥α或l⊂α⇔__存在两个实数x，y，使v＝x v1＋y v2__. (3)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l⊂α⇔__v⊥u__. (4)设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β⇔__u1∥u2__. 3．用向量证明空间中的垂直关系 (1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2， 则l1⊥l2⇔__v1⊥v2__⇔__v1·v2＝0__. (2)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α⇔__v∥u__. (3)设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β⇔__u1⊥u2__⇔__u1·u2＝0__. 1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．

(1)直线的方向向量是唯一确定的．( × ) (2)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行．( √ ) (3)若两平面的法向量平行，则两平面平行或重合．( √ ) (4)若空间向量a 平行于平面α，则a 所在直线与平面α平行．( × ) 2．已知A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，则下列向量是平面ABC 法向量的是( C ) A ．(－1,1,1) B ．(1，－1,1) C ．⎝ ⎛⎭ ⎫ － 33，－33，－ 33 D ．⎝⎛ ⎭⎫ 33，33 ，－33 解析AB →＝(－1,1,0)，AC → ＝(－1,0,1)，经计算得C 符合题意． 3．已知直线l 的方向向量v ＝(1,2,3)，平面α的法向量为u ＝(5,2，－3)，则l 与α的位置关系是__l ∥a 或l ⊂α__. 解析∵v ＝(1,2,3)，u ＝(5,2，－3)，1×5＋2×2＋3×(－3)＝0， ∴v ⊥u ，∴l ∥a 或l ⊂α. 4．设u ，v 分别是平面α，β的法向量，u ＝(－2,2,5)，当v ＝(3，－2,2)时，α与β的位置关系为__α⊥β__；当v ＝(4，－4，－10)时，α与β的位置关系为__α∥β__. 解析当v ＝(3，－2,2)时，u ⊥v ，则α⊥β，当v ＝(4，－4，－10)时，u ∥v ，则α∥β. 5．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是底面正方形ABCD 的中心，M 是D 1D 的中点，N 是A 1B 1的中点，则直线ON ，AM 的位置关系是__异面垂直__. 解析以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立直角坐标系，设正方体棱长为2，则A (2,0,0)，M (0,0,1)，O (1,1,0)，N (2,1,2)，则ON →＝(1,0,2)，∴ON →·AM →＝0，∴ON → ⊥AM → ，∴ON ⊥AM . 一 利用空间向量证明平行问题 (1)恰当建立空间直角坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键． (2)证明直线与平面平行，只需证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线

高考理科数学专题：立体几何中的向量方法：证明平行与垂直(含答案和解析)

1．直线的方向向量与平面的法向量的确定 (1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量． (2)平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α内两不共线向量，n 为平面α的法向 量，则求法向量的方程组为⎩⎪⎨⎪⎧ n ·a ＝0，n ·b ＝0. 2．用向量证明空间中的平行关系 (1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)⇔v 1∥v 2. (2)设直线l 的方向向量为v ，与平面α共面的两个不共线向量v 1和v 2，则l ∥α或l ⊂α⇔存在两个实数x ，y ，使v ＝x v 1＋y v 2. (3)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ∥α或l ⊂α⇔v ⊥u . (4)设平面α和β的法向量分别为u 1，u 2，则α∥β⇔u 1 ∥u 2. 3．用向量证明空间中的垂直关系 (1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1⊥l 2⇔v 1⊥v 2⇔v 1·v 2＝0. (2)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ⊥α⇔v ∥u . (3)设平面α和β的法向量分别为u 1和u 2，则α⊥β⇔u 1⊥u 2⇔u 1·u 2＝0. 【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)直线的方向向量是唯一确定的．( × ) (2)平面的单位法向量是唯一确定的．( × ) (3)若两平面的法向量平行，则两平面平行．( √ ) (4)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行．( √ ) (5)若a ∥b ，则a 所在直线与b 所在直线平行．( × ) (6)若空间向量a 平行于平面α，则a 所在直线与平面α平行．( × ) 1．已知A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，则下列向量是平面ABC 法向量的是( )

向量法证明平行与垂直-人教版高中数学

知识图谱 -利用向量证明空间中的平行关系-利用向量证明空间中的垂直关系直线的方向向量与直线的向量方程利用向量方法证明线面平行关系利用向量方法证明线线与面面的平行关系利用向量方法证明线线垂直平面的法向量利用向量方法证明线面垂直利用向量方法证明面面垂直第02讲_向量法证明平行与垂直 错题回顾 利用向量证明空间中的平行关系 知识精讲 一．直线的方向向量与直线的向量方程 1．点的位置向量 在空间中，我们取一定点作为基点，那么空间中任意一点的位置就可以用向量来表示，我们把向量称为点的位置向量． 2．直线的方向向量 空间中任一直线的位置可以由上的一个定点以及一个定方向确定，如图，点是直线上的一点，向量表示直线的方向向量，则对于直线上任一点，有，这样点和向量，不仅可以确定直线的位置，还

可具体表示出上的任意点；直线上的向量以及与共线的向量叫做的方向向量． 3．直线的向量方程 直线上任意一点，一定存在实数，使得①，①式可以看做直线的参数方程，直线的参数方程还可以作如下表示：对空间中任意一确定点，点在直线上的充要条件是存在唯一的实数满足等式 ②，如果在上取，则上式可以化为 ③；①②③都叫做空间直线的向 量参数方程． 二．平面的法向量 1．平面法向量的定义 已知平面，如果向量的基线与平面垂直，则向量叫作平面的法向量或者说向量与平面正交．

2．平面法向量的性质 （1）平面上的一个法向量垂直于平面共面的所有向量； （2）一个平面的法向量有无限多个，它们互相平行． 三．用向量方法证明空间中的平行关系 1．线线平行 设直线的方向向量分别是，则要证明或与重合，只需要证明，即． 2．线面平行 （1）设直线的方向向量是，平面的法向量是，要证明，只需要证明； （2）根据线面平行的判定定理：如果直线（平面外）与平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行；所以，要证明一条直线和一个平面平行，也可以在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量是共线向量即可； （3）根据共面向量定理可知：如果一个向量和两个不共线的向量是共面向量，那么这个向量与这两个不共面向量确定的平面一定平行．已知两个不共线向量与平面共面，一条直线的一个方向向量为，则由共面向量定理，可得或在内存在两个实数，使．