立体几何中的向量方法——证明平行及垂直

立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直

1．直线的方向向量与平面的法向量确实定

(1)直线的方向向量：在直线上任取一非零向量作为它的方向向量．

(2)平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α两不共线向量，n 为平面α的法向量，

则求法向量的方程组为⎩⎨⎧

n ·a ＝0，n ·b ＝0.

2．用向量证明空间中的平行关系

(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)⇔v 1∥v 2.

(2)设直线l 的方向向量为v ，与平面α共面的两个不共线向量v 1和v 2，则l ∥α或l ⊂α⇔存在两个实数*，y ，使v ＝*v 1＋y v 2.

(3)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ∥α或l ⊂α⇔v ⊥u .

(4)设平面α和β的法向量分别为u 1，u 2，则α∥β⇔u 1∥u 2.

3．用向量证明空间中的垂直关系

(1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1和v 2，则l 1⊥l 2⇔v 1⊥v 2⇔v 1·v 2＝0.

(2)设直线l 的方向向量为v ，平面α的法向量为u ，则l ⊥α⇔v ∥u .

(3)设平面α和β的法向量分别为u 1和u 2，则α⊥β⇔u 1⊥u 2⇔u 1·u 2＝0.

【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打"√〞或"×〞)

(1)直线的方向向量是唯一确定的．()

(2)平面的单位法向量是唯一确定的．()

(3)假设两平面的法向量平行，则两平面平行．()

(4)假设两直线的方向向量不平行，则两直线不平行．()

(5)假设a ∥b ，则a 所在直线与b 所在直线平行．()

(6)假设空间向量a 平行于平面α，则a 所在直线与平面α平行．()

1．以下各组向量中不平行的是()

A ．a ＝(1,2，－2)，b ＝(－2，－4,4)

B ．c ＝(1,0,0)，d ＝(－3,0,0)

C ．e ＝(2,3,0)，f ＝(0,0,0)

D ．g ＝(－2,3,5)，h ＝(16,24,40)

2．平面α有一点M (1，－1,2)，平面α的一个法向量为n ＝(6，－3,6)，则以下点P 中，在平面α的是()

A ．P (2,3,3)

B ．P (－2,0,1)

C ．P (－4,4,0)

D ．P (3，－3,4)

3．AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )，假设AB →⊥BC →，BP →＝(*－1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数*，y ，z 分别为______________．

4．假设A (0,2，198)，B (1，－1，58)，C (－2,1，58

)是平面α的三点，设平面α的法向量n ＝(*，y ，z )，则*∶y ∶z ＝________.

题型一 证明平行问题

例1(2013·改编)如图，在四面体A －BCD 中，AD ⊥平面BCD ，BC ⊥

CD ，AD ＝2，BD ＝22，M 是AD 的中点，P 是BM 的中点，点Q 在

线段AC 上，且AQ ＝3QC .

证明：PQ ∥平面BCD .

如图，在棱长为2的正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E ，F ，M ，N 分别是棱AB ，

AD ，A 1B 1，A 1D 1的中点，点P ，Q 分别在棱DD 1，BB 1上移动，且DP ＝BQ ＝λ(0<λ<2)．

(1)当λ＝1时，证明：直线BC 1∥平面EFPQ ；

(2)是否存在λ，使平面EFPQ 与平面PQMN 所成的二面角为直二面角？假设存在，求出λ的值；假设不存在，说明理由．

题型二 证明垂直问题

例2 如下图，正三棱柱(底面为正三角形的直三棱

柱)ABC —A 1B 1C 1的所有棱长都为2，D 为CC 1的中点．求证：AB 1

⊥平面A 1BD .

如下图，在四棱锥P －ABCD 中，PC ⊥平面ABCD ，PC ＝

2，在四边形ABCD 中，∠B ＝∠C ＝90°，AB ＝4，CD ＝1，点M 在

PB 上，PB ＝4PM ，PB 与平面ABCD 成30°角．

(1)求证：CM ∥平面PAD ；

(2)求证：平面PAB ⊥平面PAD .

题型三 解决探索性问题

例3 如图，棱柱ABCD－A1B1C1D1的所有棱长都等于2，∠ABC和∠A1AC均为60°，平面AA1C1C⊥平面ABCD.

(1)求证：BD⊥AA1；

(2)求二面角D－A1A－C的余弦值；

(3)在直线CC1上是否存在点P，使BP∥平面DA1C1，假设存在，求出点P的位置，假设不存在，请说明理由．

如下图，四棱锥S—ABCD的底面是正方形，每条侧棱

的长都是底面边长的2倍，P为侧棱SD上的点．

(1)求证：AC⊥SD.

(2)假设SD⊥平面PAC，则侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面

PAC.假设存在，求SE∶EC的值；假设不存在，试说明理由．

利用向量法解决立体几何问题

典例：如图，四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面

ABCD，E为PD的中点．

(1)证明：PB∥平面AEC；

(2)设二面角D－AE－C为60°，AP＝1，AD＝3，求三棱锥E

－ACD的体积．

A组专项根底训练

1．假设直线l的方向向量为a＝(1,0,2)，平面α的法向量为n＝(－2,0，－4)，则()

A．l∥αB．l⊥α

C．l⊂αD．l与α相交

2．假设AB→＝λCD→＋μCE→，则直线AB与平面CDE的位置关系是()

A．相交B．平行

C．在平面D．平行或在平面

3．A(4,1,3)，B(2，－5,1)，C(3,7，－5)，则平行四边形ABCD的顶点D的坐标是() A．(2,4，－1) B．(2,3,1)

C．(－3,1,5) D．(5,13，－3)

4．a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，假设a，b，c三向量共面，则实数λ等于()

A.627

B.637

C.607

D.657

5．如图，在长方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，AB ＝2，AA 1＝3，AD ＝

22，P 为C 1D 1的中点，M 为BC 的中点．则AM 与PM 所成的角为

()

A ．60°

B ．45°

C ．90°

D ．以上都不正确

6．平面α的三点A (0,0,1)，B (0,1,0)，C (1,0,0)，平面β的一个法向量n ＝(－1，－1，－

1)，则不重合的两个平面α与β的位置关系是________．

7．设点C (2a ＋1，a ＋1,2)在点P (2,0,0)、A (1，－3,2)、B (8，－1，4)确定

的平面上，则a ＝________.

8．如图，在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，棱长为a ，M 、N 分别为A 1B 和

AC 上的点，A 1M ＝AN ＝2a 3

，则MN 与平面BB 1C 1C 的位置关系是________． 9．如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD ∥QA ，QA ＝AB

＝12

PD .证明：平面PQC ⊥平面DCQ . 10．如图，在底面是矩形的四棱锥P －ABCD 中，PA ⊥底面ABCD ，E ，F 分别是PC ，PD 的中点，PA ＝AB ＝1，BC ＝2.

(1)求证：EF ∥平面PAB ；

(2)求证：平面PAD ⊥平面PDC .

B 组 专项能力提升

11．如图，正方形ABCD 与矩形ACEF 所在平面互相垂直，AB ＝2，

AF ＝1，M 在EF 上，且AM ∥平面BDE ，则M 点的坐标为()

A ．(1,1,1)

B ．(23，23

，1) C ．(22，22

，1) D ．(

24，24

，1)

12．设u ＝(－2,2，t )，v ＝(6，－4,4)分别是平面α，β的法向量，假设α⊥β，则t 等于()

A ．3

B ．4

C ．5

D ．6

13．在正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，P 为正方形A 1B 1C 1D 1四边上的

动点，O 为底面正方形ABCD 的中心，M ，N 分别为AB ，BC 的中点，

点Q 为平面ABCD 一点，线段D 1Q 与OP 互相平分，则满足MQ →＝λMN

→的实数λ有________个．

14．如下图，直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，△ABC 为等腰直角三角形，

∠BAC ＝90°，且AB ＝AA 1，D 、E 、F 分别为B 1A 、C 1C 、BC 的中

点．求证：

(1)DE ∥平面ABC ；

(2)B 1F ⊥平面AEF .

15．在四棱锥P —ABCD 中，PD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，PD ＝DC ，E 、F 分别是AB 、PB 的中点．

(1)求证：EF ⊥CD ；

(2)在平面PAD 求一点G ，使GF ⊥平面PCB ，并证明你的结论．

(完整版)立体几何中平行与垂直证明方法归纳

c c ∥∥b a b a ∥?本文档系统总结归纳了立体几何中平行与垂直证明方法，特别适合于高三总复习时对学生构建知识网络、探求解题思路、归纳梳理解题方法。是一份不可多得的好资料。 一、“平行关系”常见证明方法 （一）直线与直线平行的证明 1) 利用某些平面图形的特性：如平行四边形的对边互相平行 2) 利用三角形中位线性质 3) 利用空间平行线的传递性（即公理4）： 平行于同一条直线的两条直线互相平行。 4) 利用直线与平面平行的性质定理： 如果一条直线与一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。 5) 利用平面与平面平行的性质定理： 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行． 6) 利用直线与平面垂直的性质定理： 垂直于同一个平面的两条直线互相平行。 a b α β b a a =??βαβ α∥b a ∥? b a b a ////??? ? ?? ==γβγαβαI I β α ⊥⊥b a b a ∥?α a b

7) 利用平面内直线与直线垂直的性质： 在同一个平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。 8) 利用定义：在同一个平面内且两条直线没有公共点 （二）直线与平面平行的证明 1) 利用直线与平面平行的判定定理： 平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。 2) 利用平面与平面平行的性质推论： 两个平面互相平行，则其中一个平面内的任一直线平行于另一个平面。 3) 利用定义：直线在平面外，且直线与平面没有公共点 （三）平面与平面平行的证明 常见证明方法： 1) 利用平面与平面平行的判定定理： 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 α b a β α a β αα∥?a β ∥a ?α αββ////∩??b a P b a b a =α β//?α β b a P b ∥a b a αα??α ∥a ?

立体几何中的向量方法 ——证明平行与垂直

立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直 【基础检测】 1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)． (1)直线的方向向量是唯一确定的．( ) (2)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行．( ) (3)若两平面的法向量平行，则两平面平行或重合．( ) (4)若空间向量a 平行于平面α，则a 所在直线与平面α平行．( ) 2．已知A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，则下列向量是平面ABC 法向量的是( ) A ．(－1,1,1) B ．(1，－1,1) C ．? ?? ? － 33，－33，－ 33 D ．?? ?? 33，33 ，－33 3．已知直线l 的方向向量v ＝(1,2,3)，平面α的法向量为u ＝(5,2，－3)，则l 与α的位置关系是__ __. 4．设u ，v 分别是平面α，β的法向量，u ＝(－2,2,5)，当v ＝(3，－2,2)时，α与β的位置关系为__ _；当v ＝(4，－4，－10)时，α与β的位置关系为_ __. 5．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是底面正方形ABCD 的中心，M 是D 1D 的中点，N 是A 1B 1的中点，则直线ON ，AM 的位置关系是__ __. 题型一 利用空间向量证明平行问题 (1)恰当建立空间直角坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键． (2)证明直线与平面平行，只需证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线的方向向量平行，然后说明直线在平面外即可．这样就把几何的证明问题转化为向量运算．

45立体几何中的向量方法(Ⅰ)——证明平行与垂直

第45课时 立体几何中的向量方法(Ⅰ) ——证明平行与垂直 编者：刘智娟 审核：陈彩余 第一部分 预习案 一、学习目标 1. 理解直线的方向向量与平面的法向量；能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直和平行关系 2. 了解向量方法在研究立体几何问题中的应用 二、知识回顾 1．直线的方向向量与平面的法向量 (1)直线l 上的向量e (e ≠0)以及与e 共线的 向量叫做直线l 的方向向量． (2)如果表示非零向量n 的有向线段所在直线垂直于平面α，那么称向量n 垂直于平面α，记作n ⊥α.此时，我们把向量n 叫做平面α的法向量． 2．用向量证明空间中的平行关系 (1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为1v 和2v ，则l 1∥l 2(或l 1与l 2重合)? 1v ∥2v (2)设直线l 的方向向量为v ，与平面α共面的两个不共线向量1v 和2v ，则l ∥α或l ?α?存在两个实数x ，y ，使＝x 1v ＋y 2v (3)设直线l 的方向向量为，平面α的法向量为，则l ∥α或l ?α?⊥. (4)设平面α和β的法向量分别为1u ，2u ，则α∥β?1u ∥2u . 3．用向量证明空间中的垂直关系 (1)设直线l 1和l 2的方向向量分别为1v 和2v ，则l 1⊥l 2?1v ⊥2v ?1v · 2v ＝0. (2)设直线l 的方向向量为，平面α的法向量为，则l ⊥α?∥ (3)设平面α和β的法向量分别为1u 和2u ，则α⊥β?1u ⊥2u ?1u · 2u ＝0. 三、基础训练 1．两条不重合直线l 1和l 2的方向向量分别为1v ＝(1,0，－1)，2v ＝(－2，0,2)，则l 1与l 2的位置关系是__________ 2．已知AB →＝(1,5，－2)，BC →＝(3,1，z )，若AB →⊥BC →，BP →＝(x －1，y ，－3)，且BP ⊥平面ABC ，则实数x ，y ，z 分别为______________． 3．已知＝(－2，－3,1)，b ＝(2,0,4)，c ＝(－4，－6,2)，则下列结论正确的序号是________． ①∥c ，b ∥c ; ②∥b ，⊥c ； ③∥，⊥; ④以上都不对． 班级_________ 学号_________ 姓名_________

用向量的方法证明平行与垂直关系

用向量的方法证明平行与垂直关系 平行与垂直是向量的重要性质，可以用向量的方法进行证明。接下来，我将介绍如何用向量的方法证明平行和垂直关系，以及一些相关的性质和 定理。 1.平行性质的证明： 两个向量a和b平行的定义是它们的方向相同或相反，并且它们的长 度可以不相等。下面是两个向量平行的证明方法： 方法一：向量比例法 如果向量a和b平行，那么可以找到一个非零实数k，使得a=k*b。 可以通过比较向量的坐标分量来找到这个常数k。如果两个向量平行，它 们的对应坐标分量之间的比值应该相等。 举例来说，如果有向量a=(1,2,3)和向量b=(2,4,6)，我们可以通过 将它们的相同位置的坐标分量相除来证明它们平行，如下所示：1/2=2/4=3/6=1/2 这表明向量a和b的对应坐标分量比值相等，因此它们是平行的。 方法二：向量点乘法 如果两个向量a和b平行，那么它们的点乘等于它们的长度之积。即a·b=，a，*，b，其中，a，和，b，分别表示向量a和b的长度。 假设有向量a=(x1, y1, z1)和向量b=(x2, y2, z2)，那么它们的点 乘为a·b = x1*x2 + y1*y2 + z1*z2、另一方面，它们的长度之积为，a，*，b， = sqrt(x1^2 + y1^2 + z1^2) * sqrt(x2^2 + y2^2 + z2^2)。如

果将这两个等式相等，即a·b = ，a，*，b，那么可以得出向量a和b 平行。 2.垂直性质的证明： 两个向量a和b垂直的定义是它们的点乘为零，即a·b=0。下面是 两个向量垂直的证明方法： 方法一：向量内积法 两个向量a和b的点乘为a·b=x1*x2+y1*y2+z1*z2、如果a·b=0， 那么可以证明向量a和b垂直。 举例来说，如果有向量a=(1,2,3)和向量b=(2,-1,-2)，我们可以计 算它们的点乘为： a·b=1*2+2*(-1)+3*(-2)=0 因此，向量a和b垂直。 方法二：向量叉乘法 向量a和b的叉乘为一个新的向量c，记为c=axb。如果向量c与向 量a和b都垂直，那么可以证明坐标系中三个向量a、b和c互相垂直。 举例来说，如果有向量a=(1,0,0)和向量b=(0,1,0)，它们的叉乘为：c=axb=(0*0-1*1,1*0-0*0,0*1-0*0)=(0,0,-1) 可以观察到向量c与向量a和b都垂直，因此可以证明向量a和b垂直。 平行和垂直性质的定理：

立体几何中的向量方法—证明平行和垂直

1、依据学习目标。课前认真预习，完成自主学习内容； 2、课上思考，积极讨论，大胆展示，充分发挥小组合作优势，解决疑难问题； 3、当堂完成课堂检测题目； 4、★的多少代表题目的难以程度。★越多说明试题越难。不同层次学生选择相应题目完成 【学习目标】1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘； 2．了解空间向量的基本定理； 3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积 的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；能用向量的数量积判断向量的共线与 垂直。 【教学重点】理解空间向量的概念；掌握空间向量的运算方法 【教学难点】理解空间向量的概念；掌握空间向量的运算方法 在四棱锥 设直线，则 v

的正方体 I 2. 如图，在棱长为a (1) 试证：A1、G、C三点共线； (2) 试证：A1C⊥平面 3.【改编自高考题】如图所示，四棱柱 的正方形，侧棱A (1)证明：AC⊥A1B； (2)是否在棱A1A上存在一点P，使得C1【学后反思】 本节课我学会了 掌握了那些？ 还有哪些疑问？ 2017届高二数学导学案编写邓兴明审核邓兴明审批

1、依据学习目标。课前认真预习，完成自主学习内容； 2、课上思考，积极讨论，大胆展示，充分发挥小组合作优势，解决疑难问题； 3、当堂完成课堂检测题目； 4、★的多少代表题目的难以程度。★越多说明试题越难。不同层次学生选择相应题目完成 【学习目标】1.掌握各种空间角的定义，弄清它们各自的取值范围.2.掌握异面直线所成的角，二面角的平面角，直线与平面所成的角的联系和区别.3.体会求空间角中的转化思想、数形结合思想，熟练掌握平移方法、射影方法等.4.灵活地运用各种方法求空间角． 【教学重点】灵活地运用各种方法求空间角 【教学难点】灵活地运用各种方法求空间角 —l—β的两个面α，β的法向量，则向量 的大小就是二面角的平面角的大小(如图②③)． 【课堂合作探究】 利用向量法求异面直线所成的角 B1C1，∠ACB＝90°，CA＝CB＝CC1，D 的正方体ABCD—A1B1C1D1中，求异面直线

高中数学第三章空间向量与立体几何3.2立体几何中的向量方法3.2.2利用向量解决平行、垂直问题讲义

3.2.2 利用向量解决平行、垂直问题 1．用向量方法证明空间中的平行关系 (1)证明线线平行 设直线l，m的方向向量分别是a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)，则l∥m?□01a∥b?□02 a＝λb?□03a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)． (2)证明线面平行 设直线l的方向向量为a＝(a1，b1，c1)， 平面α的法向量为u＝(a2，b2，c2)， 则l∥α?□04a⊥u?□05a·u＝0?□06a1a2＋b1b2＋c1c2＝0. (3)证明面面平行 ①设平面α，β的法向量分别为u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)，则α∥β?□07u∥v?u＝λv?□08a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)． ②由面面平行的判定定理，要证明面面平行，只要转化为相应的线面平行、线线平行即可． 2．用向量方法证明空间中的垂直关系 (1)证明线线垂直 设直线l1的方向向量u1＝(a1，b1，c1)，直线l2的方向向量u2＝(a2，b2，c2)，则l1⊥l2?□09u1⊥u2?□10u1·u2＝0?□11a1a2＋b1b2＋c1c2＝0. (2)证明线面垂直 设直线l的方向向量是u＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量v＝(a2，b2，c2)，则l⊥α?□12 u∥v?□13u＝λv(λ∈R)?□14a1＝λa2，b1＝λb2，c1＝λc2(λ∈R)． (3)证明面面垂直 若平面α的法向量u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量v＝(a2，b2，c2)，则α⊥β?□15u ⊥v?□16u·v＝0?□17a1a2＋b1b2＋c1c2＝0. 1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若两直线方向向量的数量积为0，则这两条直线一定垂直相交．( ) (2)若一直线与平面垂直，则该直线的方向向量与平面内的所有直线的方向向量的数量积为0.( )

高考数学(理)总复习：立体几何中的向量方法(解析版)

高考数学（理）总复习：立体几何中的向量方法 题型一 利用向量证明平行与垂直 【题型要点】 向量证明平行与垂直的4步骤 (1)建立空间直角坐标系，建系时，要尽可能地利用载体中的垂直关系； (2)建立空间图形与空间向量之间的关系，用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、平面的要素； (3)通过空间向量的运算求出平面向量或法向量，再研究平行、垂直关系； (4)根据运动结果解释相关问题． 【例1】如图，在直三棱柱ADE —BCF 中，面ABFE 和面ABCD 都是正方形且互相垂直，点M 为AB 的中点，点O 为DF 的中点．运用向量方法证明： (1)OM ∥平面BCF ； (2)平面MDF ⊥平面EFCD . 【证明】 方法一 (1)由题意，得AB ，AD ，AE 两两垂直，以点A 为原点建立如图所示的空间直角坐标系． 设正方形边长为1，则A (0,0,0)，B (1,0,0)，C (1,1,0)，D (0,1,0)，F (1,0,1)，M ⎪⎭ ⎫ ⎝⎛0,0,2 1 ， O ⎪ ⎭ ⎫ ⎝⎛21,21,21. OM →＝⎪⎭ ⎫ ⎝ ⎛ --21,2 1,0，BA →＝(－1,0,0)， ∴OM →·BA →＝0, ∴OM →⊥BA →. ∵棱柱ADE —BCF 是直三棱柱， ∴AB ⊥平面BCF ，∴BA → 是平面BCF 的一个法向量， 且OM ⊄平面BCF ，∴OM ∥平面BCF .

(2)设平面MDF 与平面EFCD 的一个法向量分别为 n 1＝(x 1，y 1，z 1)，n 2＝(x 2，y 2，z 2)． ∵DF →＝(1，－1,1)，DM →＝⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-0,1,2 1，DC →＝(1,0,0)，CF → ＝(0，－1,1)， 由⎩⎪⎨⎪⎧ n 1· DF →＝0，n 1·DM →＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧ x 1－y 1＋z 1＝0，12x 1－y 1 ＝0， 令x 1＝1，则n 1＝⎪⎭ ⎫ ⎝⎛- 21,21 ,1.同理可得n 2＝(0,1,1)． ∵n 1·n 2＝0，∴平面MDF ⊥平面EFCD . 方法二 (1)OM →＝OF →＋FB →＋BM →＝12DF →－BF →＋12BA → ＝12(DB →＋BF →)－BF →＋12BA → ＝－12BD →－12BF →＋12BA → ＝－12(BC →＋BA →)－12BF →＋12BA → ＝－12BC →－12 BF →. ∴向量OM →与向量BF →，BC → 共面， 又OM ⊄平面BCF ，∴OM ∥平面BCF . (2)由题意知，BF ，BC ，BA 两两垂直， ∵CD →＝BA →，FC →＝BC →－BF →， ∴OM →·CD →＝⎪⎭ ⎫ ⎝⎛--F B C B 2 12 1BA →＝0， OM →·FC →＝⎪⎭ ⎫ ⎝⎛--F B C B 2 12 1·(BC →－BF →) ＝－12BC →2＋12 BF → 2＝0.

2020年高考数学(理)总复习：立体几何中的向量方法(解析版)

2020 年高考数学（理）总复习：立体几何中的向量方法 题型一 利用向量证明平行与垂直 【题型重点】 向量证明平行与垂直的 4 步骤 (1)成立空间直角坐标系，建系时，要尽可能地利用载体中的垂直关系； (2)成立空间图形与空间向量之间的关系， 用空间向量表示出问题中所波及的点、 直线、 平面的因素； (3)经过空间向量的运算求出平面向量或法向量，再研究平行、垂直关系； (4)依据运动结果解说有关问题． 【例 1】如图，在直三棱柱 ADE —BCF 中，面 ABFE 和面 ABCD 都是正方形且相互垂直，点 M 为 AB 的中点，点 O 为 DF 的中点．运用向量方法证明： (1)OM ∥平面 BCF ； (2)平面 MDF ⊥平面 EFCD . 【证明】 方法一 (1)由题意，得 AB ， AD ， AE 两两垂直，以点 A 为原点成立如图所 示的空间直角坐标系． 设正方形边长为 1，则 A(0,0,0) ， B(1,0,0) ， C(1,1,0) ，D (0,1,0) ，F(1,0,1) ， M 1 ,0,0 ， 2 O 1 , 1 , 1 . 2 2 2 → 1 1 → OM ＝ 0, , 2 ，BA ＝ (－ 1,0,0)， 2 → → → → ∴ OM ·BA ＝ 0, ∴ OM ⊥BA. ∵棱柱 ADE — BCF 是直三棱柱， → ∴ AB ⊥平面 BCF ，∴ BA 是平面 BCF 的一个法向量， 且 OM? 平面 BCF ，∴ OM ∥平面 BCF .

(2)设平面 MDF 与平面 EFCD 的一个法向量分别为 n 1＝ (x 1，y 1，z 1)， n 2＝ (x 2， y 2， z 2)． → → ∵ DF ＝ (1，－ 1,1)， DM ＝ 1 → → ，－ 1,1)， , 1,0 ， DC ＝ (1,0,0) ，CF ＝(0 2 → x 1－ y 1＋ z 1＝0， n 1·DF ＝ 0， 得 1 由 → 2x 1－ y 1＝ 0， n 1·DM ＝ 0， 令 x 1＝ 1，则 n 1＝ 1, 1 , 1 .同理可得 n 2＝ (0,1,1) ． 2 2 ∵ n 1·n 2＝ 0，∴平面 MDF ⊥平面 EFCD . 方法二 → → → → 1 → → 1 → (1)OM ＝ OF ＋FB ＋ BM ＝ DF － BF ＋ 2 BA 2 1→→→ 1 → 1 → 1 → 1 → ＝ (DB ＋ BF)－ BF ＋ BA ＝－ 2 BD － BF ＋ BA 2 2 2 2 1 → → 1 → 1 → ＝－ ( BC ＋ BA)－ BF ＋ BA 2 2 2 1 → 1 → ＝－ 2BC －2BF. ∴向量 → 与向量 →，→ 共面， OM BF BC 又 OM? 平面 BCF ，∴ OM ∥平面 BCF . (2)由题意知， BF ， BC ， BA 两两垂直， → → → → → ∵ CD ＝BA ， FC ＝BC －BF ， → → 1 1 BF → ∴ OM ·CD ＝ 2 BC BA ＝ 0， 2 → → 1 1 OM ·FC ＝ 2 BCBF 2 → → ·(BC － BF) 1 → 2 1 → 2 ＝ 0. ＝－ BC ＋ BF 2 2

立体几何中的向量方法：平行与垂直讲解

3.2 立体几何中的向量方法 3.2.1 平行与垂直关系 【基础知识在线】 知识点一 空间的方向向量与平面的法向量★★★ 考点：求空间直线的方向向量与平面的法向量 利用方向向量与法向量表示空间角 利用方向向量与法向量表示平行与垂直关系 知识点二 线线、线面、面面平行的向量表示★★★★★ 考点：利用线线、线面、面面平行的向量表示证明平行关系 知识点三 线线、线面、面面垂直的向量表示★★★★★ 考点：利用线线、线面、面面垂直的向量表示证明垂直关系 【解密重点·难点·疑点】 问题一：空间的方向向量与平面的法向量 1. 空间中任意一条直线l 的位置可以由l 上一个定点A 以及一个定方向确定．点A 是直线l 上一点，向量a 表示直线l 的方向，这个向量a 叫做直线的方向向量. 2. 直线α⊥l ，取直线l 的方向向量a ，则向量a 称为平面α的法向量. (1)平面α的一个法向量垂直于与平面α共面的所有向量. (2)一个平面的法向量有无数个，且它们互相平行. 3.平面的法向量的求法 （1）已知平面的垂线时，在垂线上取一非零向量即可. (2)已知平面内两不共线向量()()321321,,,,,b b b b a a a a ==时，常用待定系数法: 设法向量(),,,z y x u =由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅,00n b n a 得⎩⎨⎧=++=++,00 321 321z b y b x b z a y a x a 在此方程组中，对z y x ,,中 的任一个赋值，求出另两个，所得u 即为平面的法向量.利用此方法时，方程组有无数组解，赋得值不同，所得法向量就不同，但它们是共线向量. 4.用向量语言表述线面之间的平行与垂直关系 : 设直线m l ,的方向向量分别为b a ,，平面βα,的法向量分别为v u ,，则 线线平行：;,////R k b k a b a m l ∈=⇔⇔ 即：两直线平行或重合⇔两直线的方向向量共线． 线线垂直：;0=⋅⇔⊥⇔⊥b a b a m l

立体几何中平行与垂直的证明（5篇模版）

立体几何中平行与垂直的证明（5篇模版） 第一篇：立体几何中平行与垂直的证明 立体几何中平行与垂直的证明 姓名 2.掌握正确的判定和证明平行与垂直的方法.D 1【学习目标】1.通过学习更进一步掌握空间中线面的位置关系; 例1．已知正方体ABCD—A1B1C1D1，O是底ABCD对角线的交点． 求证：（1）C1O//平面AB1D1；（2）A1C⊥平面AB1D1．【反思与小结】1.证明线面平行的方法：2.证明线面垂直的方法： AD C1 BC【变式一】如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AD=AA1=1,AB>1，点E在棱AB上移动。求证：D1E⊥A1D； 【反思与小结】1．证明线线垂直的方法： 1．谈谈对“点E在棱AB上移动”转化的动态思考 2．比较正方体、正四棱柱、长方体 【变式二A】如图平面ABCD⊥平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩 形，且AF= D 1A E B C C AD=2,G是EF的中点，2（1）求证平面AGC⊥平面BGC；（2）求空间四边形AGBC的体积。

反思与小结1．证明面面垂直的方法：2．如果把【变式二A】的图复原有什么新的认识？【变式二B】.如图，在直三棱柱(侧棱与底面垂直的三棱柱)ABC-A1B1C1中，AB=8，AC=6，BC （Ⅰ）求证： =10，D是BC边的中点.AB⊥A1C；（Ⅱ）求证：AC1∥ 面AB1D； 【反思与小结】和前面证明线线垂直、线面平行比较有什么新的认识？【变式三】如图组合体中，三棱柱ABC-A1B1C1的侧面ABB1A1 是圆柱的轴截面，C是圆柱底面圆周上不与A、B重合一个点.（Ⅰ）求证：无论点C如何运动，平面A1BC⊥平面A1AC； （Ⅱ）当点C是弧AB的中点时，求四棱锥A1-BCC1B1与圆柱的体积比． 【反思与小结】 1．观察两个图之间的变化联系，写出感受。 2．和【变式一】进行比较，谈谈你把握动态问题的新体会 【变式四】如图，四边形ABCD 为矩形，AD⊥平面ABE，AE＝EB＝BC＝2，F 为CE上的点，且BF⊥平面ACE． （1）求证：AE⊥BE； （2）设M在线段AB上，且满足AM＝2MB，试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面DAE.【反思与小结】1．和前面两个动态问题比较，解答本题的思路和方法有什么不同？_P【变式五】如图5所示，在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC，AB=BC=CA=3，M为AB的中点，四点P、A、M、C都在球O的球面上。 （1）证明：平面PAB⊥平面PCM；（2）证明：线段PC的中点为球O的球心； 【反思与小结】1．探讨球与正方体、长方体等与球体之间的关系。 2．结合前面几组图形的分割变化规律，说明正方体、正四棱 柱、长方体、直三棱柱、四棱锥、三棱锥的变化联系。 3．总结立几中证明“平行与垂直”的思路和方法 课后练习

用向量的方法证明平行与垂直关系

用向量的方法证明平行与垂直关系 LT

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- - 5 - - μ，则0//=⋅⇔⊥⇔μμαa a l ； ③由共面向量定理知，只要证已知直线的方向向量能够用平面内两个不共线向量表示即可. （3）面面平行： ①证明两个平面的法向量平行，即两个平面的法向量νμ//； ②证明一个平面内两条相交直线的方向向量分别和另一个平面内的两条相交直线的方向向量平行. 例2在正方体1111D C B A ABCD -中，O 是11D B 的中点，求证： 1 1//ODC C B 面. 证方法一：∵1 B C =1 A D ， ∴D A C B 1 1 //，又1 1 ODC D A 面⊂,1 1 ODC C B 面⊄ ∴1 1 //ODC C B 面 证法二： ∵1 B C =1 1 B C +1 B B =1B O +1O C +1 D O +OD =1OC +OD . ∴ 1B C ，1 OC ，OD 共面. 又B 1C ⊄ 面ODC 1，∴B 1C ∥面ODC 1. 证法三: 如图建系空间直角坐标系xyz D -，设正方体 的棱长为1，则可得

- - 6 - - B 1(1,1,1)，C(0,1,0)，O ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ 12，12，1， C 1(0,1,1)， 1B C ＝(－1,0，－1)， OD ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－1 2，－1， 1 OC ＝⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ －12，12，0. 设平面ODC 1的法向量为n ＝(x 0，y 0，z 0)， 则 10, 0, n OD n OC ⎧⨯=⎪⎨⨯=⎪⎩ 得 ⎩⎪⎨⎪⎧ －12x 0－12y 0－z 0＝0 ① －12x 0＋1 2 y 0＝0 ② 令x 0＝1，得y 0＝1，z 0＝－1，∴n ＝(1,1，－1)． 又 1 B C ·n ＝－1×1＋0×1＋(－1)×(－1)＝ 0，

2019届一轮复习人教B版 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直学案

第44讲 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直 考纲要求 考情分析 命题趋势 1．直线的方向向量与平面的法向量的确定 (1)直线的方向向量：在直线上任取一__非零__向量作为它的方向向量． (2)平面的法向量可利用方程组求出：设a，b是平面α内两不共线向量，n为平面α的法向量，则求法向量的方程组为错误! 2．用向量证明空间中的平行关系 (1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则l1∥l2(或l1与l2重合)⇔__v1∥v2__. (2)设直线l的方向向量为v，与平面α共面的两个不共线向量v1和v2，则l∥α或l⊂α⇔__存在两个实数x，y，使v＝x v1＋y v2__. (3)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l∥α或l⊂α⇔__v⊥u__. (4)设平面α和β的法向量分别为u1，u2，则α∥β⇔__u1∥u2__. 3．用向量证明空间中的垂直关系 (1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2， 则l1⊥l2⇔__v1⊥v2__⇔__v1·v2＝0__. (2)设直线l的方向向量为v，平面α的法向量为u，则l⊥α⇔__v∥u__. (3)设平面α和β的法向量分别为u1和u2，则α⊥β⇔__u1⊥u2__⇔__u1·u2＝0__. 1．思维辨析(在括号内打“√”或“×”)．

(1)直线的方向向量是唯一确定的．( × ) (2)若两直线的方向向量不平行，则两直线不平行．( √ ) (3)若两平面的法向量平行，则两平面平行或重合．( √ ) (4)若空间向量a 平行于平面α，则a 所在直线与平面α平行．( × ) 2．已知A (1,0,0)，B (0,1,0)，C (0,0,1)，则下列向量是平面ABC 法向量的是( C ) A ．(－1,1,1) B ．(1，－1,1) C ．⎝ ⎛⎭ ⎫ － 33，－33，－ 33 D ．⎝⎛ ⎭⎫ 33，33 ，－33 解析AB →＝(－1,1,0)，AC → ＝(－1,0,1)，经计算得C 符合题意． 3．已知直线l 的方向向量v ＝(1,2,3)，平面α的法向量为u ＝(5,2，－3)，则l 与α的位置关系是__l ∥a 或l ⊂α__. 解析∵v ＝(1,2,3)，u ＝(5,2，－3)，1×5＋2×2＋3×(－3)＝0， ∴v ⊥u ，∴l ∥a 或l ⊂α. 4．设u ，v 分别是平面α，β的法向量，u ＝(－2,2,5)，当v ＝(3，－2,2)时，α与β的位置关系为__α⊥β__；当v ＝(4，－4，－10)时，α与β的位置关系为__α∥β__. 解析当v ＝(3，－2,2)时，u ⊥v ，则α⊥β，当v ＝(4，－4，－10)时，u ∥v ，则α∥β. 5．如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是底面正方形ABCD 的中心，M 是D 1D 的中点，N 是A 1B 1的中点，则直线ON ，AM 的位置关系是__异面垂直__. 解析以D 为原点，DA 为x 轴，DC 为y 轴，DD 1为z 轴，建立直角坐标系，设正方体棱长为2，则A (2,0,0)，M (0,0,1)，O (1,1,0)，N (2,1,2)，则ON →＝(1,0,2)，∴ON →·AM →＝0，∴ON → ⊥AM → ，∴ON ⊥AM . 一 利用空间向量证明平行问题 (1)恰当建立空间直角坐标系，准确表示各点与相关向量的坐标，是运用向量法证明平行和垂直的关键． (2)证明直线与平面平行，只需证明直线的方向向量与平面的法向量的数量积为零，或证直线的方向向量与平面内的不共线的两个向量共面，或证直线的方向向量与平面内某直线

精品导学案：立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直

第7讲 立体几何中的向量方法(一)——证明平行与垂直 [最新考纲] 1．理解直线的方向向量及平面的法向量． 2．能用向量语言表述线线、线面、面面的平行和垂直关系． 3．能用向量方法证明立体几何中有关线面位置关系的一些简单定理. 知 识 梳 理 1．直线的方向向量与平面的法向量的确定 (1)直线的方向向量：l 是空间一直线，A ，B 是直线l 上任意两点，则称AB → 为直线l 的方向向量，与AB → 平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量． (2)平面的法向量可利用方程组求出：设a ，b 是平面α内两不共线向量，n 为平面α的法向量，则求法向量的方程组为⎩⎨⎧ n· a ＝0，n· b ＝0. 2．空间位置关系的向量表示 辨 析 感 悟 1．平行关系 (1)直线的方向向量是唯一确定的．(×) (2)两不重合直线l 1和l 2的方向向量分别为v 1＝(1,0，－1)，v 2＝(－2,0,2)，则l 1

与l 2的位置关系是平行．(√) 2．垂直关系 (3)已知AB →＝(2,2,1)，AC → ＝(4,5,3)，则平面ABC 的单位法向量是n 0＝±⎝ ⎛⎭ ⎪⎫13，－23，23.(√) (4)(2014·青岛质检改编)如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 是底面正方形ABCD 的中心，M 是D 1D 的中点，N 是A 1B 1的中点，则直线NO ，AM 的位置关系是异面垂直．(√) [感悟·提升] 1．一是切莫混淆向量平行与向量垂直的坐标表示，二是理解直线平行与直线方向向量平行的差异，如(2)．否则易造成解题不严谨． 2．利用向量知识证明空间位置关系，要注意立体几何中相关定理的活用，如证明直线a ∥b ，可证向量a ＝λb ，若用直线方向向量与平面法向量垂直判定线面平行，必需强调直线在平面外等. 学生用书 第125页 考点一 利用空间向量证明平行问题 【例1】 如图所示，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M ，N 分别是C 1C ，B 1C 1的中点．求证：MN ∥平面A 1BD .

2019专题八：空间向量在立体几何中的应用——用向量讨论垂直与平行(提高)含答案

专题八：空间向量在立体几何中的应用——用向量讨论垂直与平行 【学习目标】 1. 知识与技能：掌握用向量方法证明立体几何中的线、面的垂直与平行问题； 2. 过程与方法：通过对定理的证明，认识到向量是解决立体几何问题的基本方法； 3. 情感、态度与价值观：用向量的方法证明立体几何中的定理，培养学生从多角度研究立体几何问题的能力. 【要点梳理】 要点一：直线的方向向量和平面的法向量 1. 直线的方向向量： 若A 、B 是直线l 上的任意两点，则为直线l 的一个方向向量；与平行的任意非零向量也是直线l 的方向向量. 要点诠释： （1）在直线上取有向线段表示的向量，或在与它平行的直线上取有向线段表示的向量，均为直线的方向向量. （2）在解具体立体几何题时，直线的方向向量一般不再叙述而直接应用，可以参与向量运算或向量的坐标运算. 2. 平面的法向量定义： 已知平面，直线，取的方向向量，有，则称为为平面的法向量. 要点诠释：一个平面的法向量不是唯一的，在应用时，可适当取平面的一个法向量. 已知一平面内两条相交直线的方向向量，可求出该平面的一个法向量. 3. 平面的法向量确定通常有两种方法： （1） 几何体中有具体的直线与平面垂直，只需证明线面垂直，取该垂线的方向向量即得平面的法向量； （2） 几何体中没有具体的直线，一般要建立空间直角坐标系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下： （i ）设出平面的法向量为n =（x y z ，，）； （ii ）找出（求出）平面内的两个不共线的向量的坐标a=（a 1，b 1，c 1），b=（a 2，b 2，c 2）； （iii ）根据法向量的定义建立关于x y z ，，的方程. AB AB αl α⊥l a α⊥a a α0 n a n b ⋅=⎧⎨ ⋅=⎩