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点差法

用点差法解圆锥曲线的中点弦问题

与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。

若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为),(11y x A 、),(22y x B ，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。一、以定点为中点的弦所在直线的方程例1、过椭圆

内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线

的方程。

解：设直线与椭圆的交点为),(11y x A 、),(22y x B

)1,2(M 为AB 的中点 ∴421=+x x 221=+y y 又A 、B 两点在椭圆上，则1642

1=+y x ，1642

2=+y x

两式相减得0)(4)(2

2212221=-+-y y x x 于是0))((4))((21212121=-++-+y y y y x x x x

∴

44)

(421212

121-

=?-

=++-=--y y x x x x y y

即2

1-=AB k ，故所求直线的方程为)2(2

11--=-x y ，即042=-+y x 。

例2、已知双曲线12

x ，经过点)1,1(M 能否作一条直线l ，使l 与双曲线交于A 、B ，

且点M 是线段AB 的中点。若存在这样的直线l ，求出它的方程，若不存在，说明理

由。

策略：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线，然后验证它是否满足

题设的条件。本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理。

解：设存在被点M 平分的弦AB ，且),(11y x A 、),(22y x B

则221=+x x ，221=+y y

1=-

y x ，12

2=-

y x

两式相减，得

0))((2

1))((21212121=-+-

-+y y y y x x x x ∴22

121=--=

x x y y k AB

故直线)1(21:-=-x y AB

由??

???=--=-12)1(2122

y x x y 消去y ，得03422=+-x x ∴ 08324)4(2

<-=??--=?

这说明直线AB 与双曲线不相交，故被点M 平分的弦不存在，即不存在这样的直线l 。评述：本题如果忽视对判别式的考察，将得出错误的结果，请务必小心。由此题可看到中点弦问题中判断点的M 位置非常重要。（1）若中点M 在圆锥曲线内，则被点M 平分的弦一

般存在；（2）若中点M 在圆锥曲线外，则被点M 平分的弦可能不存在。二、过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹例3、已知椭圆

125

的一条弦的斜率为3，它与直线2

x 的交点恰为这条弦的中点

M ，求点M 的坐标。

解：设弦端点),(11y x P 、),(22y x Q ，弦PQ 的中点),(00y x M ，则2

10=

12021==+x x x ， 0212y y y =+

又

125

x y ，

125

x y

两式相减得0))((75))((2521212121=-++-+x x x x y y y y 即0)(3)(221210=-+-x x y y y ∴

12123y x x y y -

=--

121=--=x x y y k ∴3230

y ，即2

10-

∴点M 的坐标为)2

1,2

。

例4、已知椭圆

125

,求它的斜率为3的弦中点的轨迹方程。

解：设弦端点),(11y x P 、),(22y x Q ，弦PQ 的中点),(y x M ，则

x x x 221=+， y y y 221=+

又

125

x y ，

125

x y

两式相减得0))((75))((2521212121=-++-+x x x x y y y y 即0)(3)(2121=-+-x x x y y y ，即

x x x y y 32

121-

=--

121=--=x x y y k ∴33=-

x ，即0=+y x

由?????=+=+12575

y y x ，得)235,235(-P )235,235(-Q 点M 在椭圆内

∴它的斜率为3的弦中点的轨迹方程为)2352

35(0<

=+x y x

三、求与中点弦有关的圆锥曲线的方程

例5、已知中心在原点，一焦点为)50,0(F 的椭圆被直线23:-=x y l 截得的弦的中点的

横坐标为

1，求椭圆的方程。

解：设椭圆的方程为12

2=+

x a

y ，则502

2=-b a ┅┅①

设弦端点),(11y x P 、),(22y x Q ，弦PQ 的中点),(00y x M ，则

10=

x ，2

12300-

=-=x y ∴12021==+x x x ，12021-==+y y y

又

1=+

x a

y ，

2=+

x a

两式相减得0))(())((21212

21212=-++-+x x x x a y y y y b

即0)()(212212=-+--x x a y y b

∴

121b

a x x y y =--∴

2=b

a ┅┅②

联立①②解得752=a ，252=b

∴所求椭圆的方程是

125

四、圆锥曲线上两点关于某直线对称问题例6、已知椭圆

，试确定的m 取值范围，使得对于直线m x y +=4，椭圆上总

有不同的两点关于该直线对称。

解：设),(111y x P ，),(222y x P 为椭圆上关于直线m x y +=4的对称两点，),(y x P 为弦2

1P P 的中点，则12432

1=+y x ，12432

2=+y x 两式相减得，0)(4)(32

1=-+-y y x x 即0))((4))((321212121=-++-+y y y y x x x x

x x x 221=+，y y y 221=+，

121-

=--x x y y

∴x y 3= 这就是弦21P P 中点P 轨迹方程。

它与直线m x y +=4的交点必须在椭圆内

联立???+==m

x y x y 43，得??

?-=-=m

y m x 3 则必须满足2

33x y -

<，

即2

33)3(m m -<，解得13

13213

132<

课后习题

1．直线y =x ―1被双曲线2x 2

―y 2

=3所截得的弦的中点坐标是（） A ．(1, 2)B ．(―2, ―1)C ．(―1, ―2)D ．(2, 1) 2．过点M （－2，0）的直线m 与椭圆

=+y x

交于P 1，P 2，线段P 1P 2的中点为P ，

设直线m 的斜率为k 1（01≠k ），直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2的值为（）

A ．2

B ．－2

C ．

1 D ．－

3．椭圆ax 2

+by 2

=1与直线y=1－x 交于A 、B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为

3，则

a 的值为（） A ．

3 B ．

32 C ．

39 D ．

32 4．中心为(0, 0)，一焦点为F

(0, 5)，截直线y =3x －2所得弦的中点的横坐标为2

1的椭圆

方程为（） A ．

125

= B ．

175

= C ．

22175

= D ．

22125

5．过点P （1,1）的直线与抛物线y 2

＝4x 交于A 、B 两点，且P 点恰好是弦AB 的中点，则AB 的斜率为； 6．已知椭圆

136

=，以及椭圆内一点P (4, 2)，则以P 为中点的弦所在的直线的斜率

是（）A ． B ．－

C ．2

D ．－2

7．过椭圆

内一点M (2,0) 引椭圆的动弦AB , 则弦AB 的中点N 的轨迹方程是

8．点P(8，1)平分双曲线x 2－4y 2

＝4的一条弦，则这条弦所在的直线方程； 9．已知椭圆x 2+2y 2=4,则以（1,1）为中点的弦长为； 10．已知中心在原点，顶点12,A A 在x 轴上，离心率为

的双曲线经过点(6,6)P

（I ）求双曲线的方程；(II)动直线l 经过12A P A ?的重心G ，与双曲线交于不同的两点,M N ，问是否存在直线l 使G 平分线段M N 。试证明你的结论。

11．已知某椭圆的焦点是F1(－4,0)，F2(4,0),过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且|F1B|＋|F2B|=10,椭圆上不同的两点A（x1,y1），C（x2，y2）满足条件：|F2A|,|F2B|,|F2C|成等差数列，

（1）求该椭圆的方程；（2）求弦AC中点的横坐标；（3）设弦AC的垂直平分线的方程为y＝kx+m，求m的取值范围。

解：

定比点差法及其应用解说

定比点差法及其应用解说一、定比分点若，则称点为点、的定比分点．当时，点在线段上，称为内分点；当

（）时，点在线段的延长线上，称为外分点．定比分点坐标公式：若点，，，则点的坐标为二、点差法点差法其实可以看作是方程的相减，是对方程的一个巧妙的处理。若点在有心二次曲线上，则有两式作差得此即有心二次曲线的垂径定理，可以解决与弦的中点相关的问题． 1、弦的中点点差法一个妙用：例1 已知椭圆，直线交椭圆于两点，为的中点，求证：为定值。

分析用常规方法设直线也可以解决，但是计算就很繁杂，在这里使用点差法。解设，，在椭圆上：，作差得：即：，因为所以，为定值。以上结论与弦的中点有关，也称为垂径定理。考虑当椭圆为圆的时候，，则，，正好也符合圆的“垂径定理”。

在双曲线中同样有类似的结论，但定值为，在这里就不再推导了。 2、弦上的定比分点当弦上的点不再是中点时，就成了定比分点：设，，，则点坐标可以表示为：，证明设，，化简可得：，同理这时候就出现了这样形式的式子。如果再凑出，可能大家就会有点感觉了：可以将椭圆的方程乘上一个再作差，得到这样的式子。因此我们想到了“定比点差法”这样的技巧。例2 已知椭圆，在椭圆外，过作直线交椭圆于两点，在线段上且满足：，求证：点在定直线上。

分析按照以上思路，要出现和这样的式子，很容易想到设的坐标，再表示出的坐标。解设，，，则，结合图形得：则，在椭圆上：①，② 得：即，所以在定直线上。下面介绍定比点差法：若点在有心二次曲线上，则有两式作差得

点差法

点差法（选做）对点差法掌握不太熟练的同学建议阅读例题及变式，选做练习题，注意知二得一。例题：过点M （1，1）作斜率为﹣1 2 的直线与椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于．分析：利用点差法，结合M 是线段AB 的中点，斜率为﹣ 1 2 ，即可求出椭圆C 的离心率．解析：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则221122 1.x y a b +=，22 2222 1.x y a b +=， ∵过点M （1，1）作斜率为﹣1 2 的直线与椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>相交于A ，B 两点， M 是线段AB 的中点，∴两式相减可得 22212().02a b +-= ，a ∴= ∴c b ==， ∴2c e a = = ．故答案为：2 ．点评：若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为),(11y x A 、),(22y x B ，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。一般用于已知斜率与中点坐标两者之一或两者都已知或未知，进而求解求解其它参数（离心率）的情况．结论：在椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>中，若直线l 与椭圆相交于M,N 两点，点P （x 0，y 0）是弦MN 中点，弦MN 所在的直线l 的斜率是MN K ,则有：MN K .2 020y b x a =-. 变式一：已知直线与椭圆22 194 x y +=交于A ，B 两点，设线段AB 的中点为P ，若直线的斜率为k 1，直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2等于分析：利用“平方差法”、线段中点坐标公式、斜率计算公式即可得出．解析：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），P （x 0，y 0）．则 1202x x x +=，12 02 y y y +=，

点差法在圆锥曲线的应用

中点弦与点差法在圆锥曲线的应用【考情分析】 1、高考要求（1）了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；（2）掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）；（3）了解双曲线的定义、结合图形和标准方程、知道它的简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率、渐近线）；（4）了解曲线与方程的对应关系；（5）理解数形结合的思想；（6）了解圆锥曲线的简单应用。从全国卷考试说明，全国卷椭圆和抛物线要求比较高，都是“掌握”和“理解”，而对双曲线要求大大降低，是“了解”；直线与圆锥曲线、曲线与方程的要求都是“了解”。【复习本专题的意义】解析几何是高考的重点，也是难点。一轮复习应该在注重知识面广的同时，要根据文科数学的特点加强思想方法的渗透，总结一些源于教材而高于教材的重要结论和解题规律，做到基础扎实、结论熟练、思路清晰、方法准确、讲练得体，并引导学生充分结合考试说明和命题规律，学会整理知识要点、解题方法、解题技巧，分类收集典型考例，深入浅出，自然实现重点突出，难点的突破，在能力提升同时也为二轮复习打下前站，为二轮复习的飞跃打下坚实的基础。与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。涉及到解决圆锥曲线中点弦的问题，常采用“点差法”来求解。“点差法”是利用直线和圆锥曲线的两个交点，把交点代入圆锥曲线的方程，得到两个等式，两式相减，可以得到一个与弦的斜率及中点相关的式子（也称中点和斜率结合公式），再结合已知条件，运用学过的知识使问题得到解决。当题目涉及弦的中点、斜率时，一般都可以用点差法来解。与韦达定理法复杂繁琐的计算相比，点差法可以大大减少运算量，优化解题过程，达到“设而不求”的目的。本微专题将从求弦的斜率与弦的中点问题、求弦中点轨迹、求弦的中点坐标、弦的垂直平分线问题和求曲线的方程等方面引导学生自主学习、合作探究，使一轮复习备考落实到实处，为2019年高考取胜作充分准备。【教学内容】直线与二次曲线相交，特别是直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是解析几何中的重要内容之一，也是高考的一个热点问题。这类问题一般有以下三种类型：（1）求中点弦所在直线方程问题；（2）求弦中点的轨迹方程问题；（3）求弦中点的坐标问题。其解法有代点相减法、设而不求法、参数法、待定系数法及中心对称变换法等。一、求中点弦所在直线方程问题

点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用

点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用定理在椭圆122 22=+b y a x （a ＞b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，点) ,(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则22 00a b x y k MN -=?. 证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有???????=+=+)2(.1)1(,122 22 2222 1221 b y a x b y a x )2()1(-，得.022 22 122 22 1=-+-b y y a x x .22 12121212a b x x y y x x y y -=++?--∴ 又.22,21211212x y x y x x y y x x y y k MN ==++--= .22 a b x y k MN -=?∴ 同理可证，在椭圆122 22=+a y b x （a ＞b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，点) ,(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则22 00b a x y k MN -=?. 典题妙解例1 设椭圆方程为14 2 2 =+y x ，过点)1,0(M 的直线l 交椭圆于点A 、B ，O 为坐标原点，点P 满足 1()2OP OA OB =+ ，点N 的坐标为?? ? ??21,21.当l 绕点 M 旋转时，求：（1）动点P 的轨迹方程；（2）||NP 的最大值和最小值. 解：（1）设动点P 的坐标为),(y x .由平行四边形法则可知：点P 是弦AB 的中点 .

高考数学“点差法”在解析几何题中的应用

“点差法”在解析几何题中的应用在处理直线与圆锥曲线相交形成的弦中点的有关问题时，我们经常用到如下解法：设弦的两个端点坐标分别为1122,,x y x y 、，代入圆锥曲线得两方程后相减，得到弦中点坐标与弦所在直线斜率的关系，然后加以求解，这即为“点差法” ，此法有着不可忽视的作用，其特点是巧代斜率.本文列举数例，以供参考. 1求弦中点的轨迹方程例1已知椭圆2 212x y ，求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程. 例2直线:50l ax y a （a 是参数）与抛物线 2:1f y x 的相交弦是AB ，则弦AB 的中点轨迹方程是 . 2求曲线方程例3已知ABC 的三个顶点都在抛物线 232y x 上，其中2,8A ，且ABC 的重心G 是抛物线的焦点，求直线 BC 的方程. 例4已知椭圆222210x y a b a b 2a c ，有一条倾斜角为4的直线交椭圆于 A B 、两点，若AB 的中点为11,24C ，求椭圆方程. 3确定参数的范围例6若抛物线2:C y x 上存在不同的两点关于直线:3l y m x 对称，求实数m 的取值范围. .

4证明定值问题例7已知AB 是椭圆222210x y a b a b 不垂直于x 轴的任意一条弦，P 是 AB 的中点，O 为椭圆的中心.求证：直线AB 和直线OP 的斜率之积是定值. . 5处理存在性问题例8已知双曲线221 12x y ，过1,1B 能否作直线l ，使l 与双曲线交于P ，Q 两点，且B 是线段PQ 的中点，这样的直线如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由. 点差法练习 1、已知双曲线2 212y x ，过点(1,1)B 能否作出直线m ，使m 与所给双曲线交于1Q ，2Q 且点B 为线段12Q Q 的中点？若存在，求出它的方程；若不存在，说明理由。 2、已知直线1y ax 和双曲线2231x y 交于,A B 两点，是否存在实数a ，使,A B 两点关于直线2y x 对称？3、已知椭圆22221(0)x y a b a b ，,A B 是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x ，求证：22220a b a b x a a

点差法弦长公式

点差法 1.过点(1，0)的直线l 与中心在原点，焦点在x 轴上且离心率为 2 2的椭圆C 相交于A 、B 两点，直线y =2 1x 过线段AB 的中点，同时椭圆C 上存在一点与右焦点关于直线l 对称，试求直线l 与椭圆C 的方程. 命题意图：本题利用对称问题来考查用待定系数法求曲线方程的方法，设计新颖，基础性强，属★★★★★级题目. 知识依托：待定系数法求曲线方程，如何处理直线与圆锥曲线问题，对称问题. 错解分析：不能恰当地利用离心率设出方程是学生容易犯的错误.恰当地利用好对称问题是解决好本题的关键. 技巧与方法：本题是典型的求圆锥曲线方程的问题，解法一，将A 、B 两点坐标代入圆锥曲线方程，两式相减得关于直线AB 斜率的等式.解法二，用韦达定理. 解法一：由 e =2 2 =a c ,得21 222=-a b a ,从而a 2=2b 2, c =b . 设椭圆方程为x 2+2y 2=2b 2,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)在椭圆上. 则x 12+2y 12=2b 2,x 22+2y 22=2b 2,两式相减得，(x 12－x 22)+2(y 12－y 22)=0, .) (2212 12121y y x x x x y y ++-=-- 设AB 中点为(x 0,y 0),则k AB =－ 2y x ,又(x 0,y 0)在直线y =21 x 上，y 0=2 1x 0,

于是－ 02y x = －1,k AB =－1,设l 的方程为y =－x +1. 右焦点(b ,0)关于l 的对称点设为(x ′,y ′), ?? ?-='='???????++'-='=-'' b y x b x y b x y 11 1 22 1解得则由点(1,1－b )在椭圆上，得1+2(1－b )2=2b 2,b 2=8 9 ,1692=a . ∴所求椭圆C 的方程为2 29 1698y x + =1,l 的方程为y =－x +1. 解法二：由 e =21 ,22222=-=a b a a c 得,从而a 2=2b 2,c =b . 设椭圆C 的方程为x 2+2y 2=2b 2,l 的方程为y =k (x －1), 将l 的方程代入C 的方程，得(1+2k 2)x 2－4k 2x +2k 2－2b 2=0,则 x 1+x 2= 2 2 214k k +,y 1+y 2=k (x 1－1)+k (x 2－1)=k (x 1+x 2)－2k =－ 2 212k k +. 直线 l ：y =2 1x 过AB 的中点( 2 ,22 121y y x x ++),则 2 2 22122121k k k k +?=+-,解得 k =0，或k =－1. 若k =0,则l 的方程为y =0,焦点F (c ,0)关于直线l 的对称点就是F 点本身，不能在椭圆C 上，所以k =0舍去，从而k =－1，直线l 的方程为y =－(x －1),即y =－x +1,以下同解法一. 2.(★★★★★)已知圆C 1的方程为(x －2)2+(y －1) 2 =3 20,椭圆 C 2的方程为2 2 22b y a x +=1(a ＞b ＞0)， C 2的离心率为 2 2 ，如果C 1与C 2相交于A 、B 两点，且线段AB 恰为圆C 1的直径，求直线AB 的方程和椭圆C 2的方程.

抛物线点差法

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点差法————抛物线中点弦问题中的妙用定理在抛物线)0(22 ≠=m mx y 中，若直线l 与抛物线相交于M 、N 两点,点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则m y k MN =?0. 证明:设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ,则有?????==) 2(.2) 1(,2222121 mx y mx y )2()1(-，得).(2212 221x x m y y -=- .2)(121 21 2m y y x x y y =+?--∴ 又0121 21 22,y y y x x y y k MN =+--= . m y k MN =?∴0. 注意:能用这个公式的条件：（１）直线与抛物线有两个不同的交点;(２）直线的斜率存在. 同理可证,在抛物线)0(22 ≠=m my x 中,若直线l 与抛物线相交于M 、N 两点,点),(00y x P 是弦ＭN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ,则 m x k MN =?01. 注意:能用这个公式的条件:(1）直线与抛物线有两个不同的交点；(２)直线的斜率存在，且不等于零. 典题妙解例1 抛物线x y 42 =的过焦点的弦的中点的轨迹方程是（ ) A. 12 -=x y Ｂ. )1(22 -=x y C. 2 1 2- =x y D. 122-=x y 解：2=m ，焦点)0,1(在x 轴上．设弦的中点M 的坐标为),(y x ．由m y k MN =?得： 21 =?-y x y , 整理得：)1(22 -=x y ． ∴所求的轨迹方程为)1(22-=x y .故选B ．

点差法公式在双曲线中点弦问题中的妙用

点差法公式在双曲线中点弦问题中的妙用广西南宁外国语学校隆光诚（邮政编码530007）圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型，在选择题、填空题和解答题中都是命题的热点。它的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。若已知直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”，它的一般结论叫做点差法公式。本文就双曲线的点差法公式在高考中的妙用做一些粗浅的探讨，以飨读者。定理在双曲线 12 22 2=- b y a x （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于M 、N 两点，点 ),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2 20 0a b x y k MN = ? . 证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有???????=-=-)2(.1)1(,122 2222 22 1 221 b y a x b y a x )2()1(-，得 .02 2 2 2 12 2 2 2 1=-- -b y y a x x .2 21 2121 212a b x x y y x x y y = ++? --∴ 又.22, 00 02 1211 212x y x y x x y y x x y y k MN = = ++--= .2 20 0a b x y k MN =? ∴ 同理可证，在双曲线 12 22 2=- b x a y （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2 20 0b a x y k MN = ? . 典题妙解例1 已知双曲线13 :2 2 =- x y C ，过点)1,2(P 作直线l 交双曲线C 于A 、B 两点.

“点差法”在解析几何题中的应用

“点差法”在解析几何题中的应用东北师大附属中学 2012.6.1 朱屿在处理直线与圆锥曲线相交形成的弦中点的有关问题时，我们经常用到如下解法：设弦的两个端点坐标分别为()()1122,,x y x y 、，代入圆锥曲线得两方程后相减，得到弦中点坐标与弦所在直线斜率的关系，然后加以求解，这即为“点差法”，此法有着不可忽视的作用，其特点是巧代斜率.本文列举数例，以供参考. 1 求弦中点的轨迹方程例1 已知椭圆2 212 x y +=，求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程. 解设弦的两个端点分别为()()1122,,,P x y Q x y ，PQ 的中点为(),M x y . 则22 1112x y +=，（1）222212x y +=，（2） ()()12-得： ()22 22121202 x x y y -+-=， ()1212 1212 02x x y y y y x x +-∴ ++=-. 又12 121212 2,2, 2y y x x x y y y x x -+=+==-，40x y ∴+=. 弦中点轨迹在已知椭圆内，∴所求弦中点的轨迹方程为40x y +=（在已知椭圆内）. 例2 直线():50l ax y a --+=（a 是参数）与抛物线() 2 :1f y x =+的相交弦是AB ，则弦AB 的中点轨迹方程是 .

解设()()1122,,A x y B x y 、，AB 中点(),M x y ，则122x x x +=. ()():150l a x y --+=，l ∴过定点()1,5N -，5 1 AB MN y k k x +∴==-. 又()2 111y x =+，（1）()2 221y x =+，（2） ()()12-得：()()()()22 12121212112y y x x x x x x -=+-+=-++， 12 1212 2AB y y k x x x x -∴==++-. 于是 5 221 y x x +=+-，即227y x =-. 弦中点轨迹在已知抛物线内，∴所求弦中点的轨迹方程为227y x =-（在已知抛物线内）. 2 求曲线方程例3 已知ABC ?的三个顶点都在抛物线232y x =上，其中()2,8A ，且ABC ?的重心G 是抛物线的焦点，求直线BC 的方程. 解由已知抛物线方程得()8,0G .设BC 的中点为()00,M x y ，则 A G M 、、三点共线，且2AG GM =，G ∴分AM 所成比为2，于是 022812 82012 x y +?=??+? +?=??+，解得0011 4 x y =??=-?，()11,4M ∴-. 设()()1122,,,B x y C x y ，则128y y +=-. 又21132y x =，（1）22232y x =，（2）

点差法习题(有答案)

点差法习题【学习目标】圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型，在选择题、填空题和解答题中都是命题的热点。它的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。若已知直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”，它的一般结论叫做点差法公式。使用说明及学法指导】 1、通过证明定理，熟悉“点差法”的运用； 2、记住点差法推导出的公式，并熟练应用；若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为),(11y x A 、),(22y x B ，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。一、自主证明 1、定理在椭圆122 22=+b y a x （a ＞b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，点 ),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则 22 00a b x y k MN -=?. 同理可证，在椭圆122 22=+a y b x （a ＞b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，点 ),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则 22 00b a x y k MN -=?. 2、定理在双曲线122 22=-b y a x （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于M 、N 两点，点 ),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则22 00a b x y k MN =?. 同理可证，在双曲线122 22=-b x a y （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于M 、N 两点，点 ),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则 22 00b a x y k MN =?. 3、定理在抛物线 )0(22≠=m mx y 中，若直线l 与抛物线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为 MN k ，则m y k MN =?0.

点差法应用

),(11y x ) ,(22y x 解析几何解题思路分析求曲线方程、求弦长、求角、求面积、求特征量、求最值、证明某种关系、证明定值、求轨迹、求参数的取值范围、探索型、存在性讨论等问题仍将是常见的问题. 重点题型要熟练掌握，如：（1）中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数. （2）焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点，与两个焦构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥（3）直线与圆锥曲线位置关系问题直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式，应特别注意数形结合的办法（4）圆锥曲线的有关最值（范围）问题----定点定值问题圆锥曲线中的有关最值（范围）问题，常用代数法和几何法解决 <1>若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决; <2>若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数（通常利用二次函数，三角函数，均值不等式）求最值（5）求曲线的方程问题 <1>曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决； <2>曲线的形状未知-----求轨迹方程（6）存在两点关于直线对称问题在曲线上两点关于某直线对称问题，可以按如下方式分三步解决：求两点所在的直线，求这两直线的交点，使这交点在圆锥曲线形内（当然也可以利用韦达定理并结合判别式来解决）

“点差法”在解析几何题中的应用在处理直线与圆锥曲线相交形成的弦中点的有关问题时，我们经常用到如下解法：设弦的两个端点坐标分别为()()1122,,x y x y 、，代入圆锥曲线得两方程后相减，得到弦中点坐标与弦所在直线斜率的关系，然后加以求解，这即为“点差法”，此法有着不可忽视的作用，其特点是巧代斜率.本文列举数例，以供参考. 1 求弦中点的轨迹方程例1 已知椭圆2 212 x y +=，求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程. 解设弦的两个端点分别为()()1122,,,P x y Q x y ，PQ 的中点为(),M x y . 则22 1112x y +=，（1）222212x y +=，（2） ()()12-得： ()22 22121202 x x y y -+-=， ()1212 1212 02x x y y y y x x +-∴ ++=-. 又12 121212 2,2, 2y y x x x y y y x x -+=+==-，40x y ∴+=. 弦中点轨迹在已知椭圆内，∴所求弦中点的轨迹方程为40x y +=（在已知椭圆内）. 例2 直线():50l ax y a --+=（a 是参数）与抛物线()2 :1f y x =+的相交弦是AB ，则弦AB 的中点轨迹方程是 . 解设()()1122,,A x y B x y 、，AB 中点(),M x y ，则122x x x +=. ()():150l a x y --+=，l ∴过定点()1,5N -，5 1 AB MN y k k x +∴==-. 又()2 111y x =+，（1）()2 221y x =+，（2） ()()12-得：() ()()()2 2 12121212112y y x x x x x x -=+-+=-++， 12 1212 2AB y y k x x x x -∴= =++-.

六、点差法求轨迹方程(高中数学解题妙法)

六、点差法求轨迹方程本内容主要研究点差法法求轨迹方程.圆锥曲线中与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点1122(,),(,)A x y B x y 的坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得12x x +，12y y +，12x x -，12y y -等关系式，由于弦AB 的中点(,)P x y 的坐标满足122x x x =+，122y y y =+且直线AB 的斜率为 2121 y y x x --，由此可求得弦AB 中点的轨迹方程. 先看例题：例：已知椭圆2 212 x y +=，求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程 . ①－②得()()()()022*******=-++-+y y y y x x x x ．由题意知21x x ≠，则上式两端同除以21x x -，有 ()()022 1212121=-+++x x y y y y x x 将③④代入得022 121=--+x x y y y x ．⑤

将22 121=--x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为： 04=+y x ．（椭圆内部分）已知椭圆2 212 x y +=，过()2,1A 引椭圆的割线，求截得的弦的重点的轨迹方程. （3）将 212121--=--x y x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为： 022222=--+y x y x ．（椭圆内部分）整理：圆锥曲线中与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点1122(,),(,)A x y B x y 的坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得12x x +，12y y +，12x x -，12y y -等关系式，由于弦AB 的中点(,)P x y 的坐标满足122x x x =+， 122y y y =+且直线AB 的斜率为 2121 y y x x --，由此可求得弦AB 中点的轨迹方程. 再看一个例题，加深印象例：已知椭圆2 212 x y +=，过()2,1A 引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程. 解：设弦两端点分别为()11y x M ，，()22y x N ，，线段MN 的中点()y x R ，，则 221122221212222222x y x y x x x y y y ?+=?+=??+=??+=?，①，②， ③，④ ①－②得()()()()022*******=-++-+y y y y x x x x ．

圆锥曲线中“点差法”的应用

圆锥曲线中“点差法”的应用丹江口市一中数学组严高翔在处理直线与圆锥曲线相交形成的弦中点的有关问题时，我们经常用到如下解法：设弦的两个端点坐标分别为()()1122,,x y x y 、，代入圆锥曲线得两方程后相减，得到弦中点坐标与弦所在直线斜率的关系，然后加以求解，这即为“点差法”，此法有着不可忽视的作用，其特点是巧代斜率,设而不求，优化运算。本文列举数例，以供参考。一．以定点为中点的弦所在直线的方程例1、过椭圆 14 162 2=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。解：设直线与椭圆的交点为),(11y x A 、),(22y x B )1,2(M 为AB 的中点 ∴421=+x x 221=+y y 又A 、B 两点在椭圆上，则 1642121=+y x ，1642222=+y x 两式相减得 0)(4)(2 2212221=-+-y y x x 于是0))((4))((21212121=-++-+y y y y x x x x ∴2 1 244)(421212121-=?-=++-=--y y x x x x y y 即21- =AB k ，故所求直线的方程为)2(2 1 1--=-x y ，即042=-+y x 。例2、已知双曲线12 2 2 =-y x ，经过点)1,1(M 能否作一条直线l ，使l 与双曲线交于A 、B ，且点M 是线段AB 的中点。若存在这样的直线l ，求出它的方程，若不存在，说明理由。策略：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线，然后验证它是否满足题设的条件。本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理。解：设存在被点M 平分的弦AB ，且),(11y x A 、),(22y x B 则221=+x x ，221=+y y 12212 1=-y x ，12 2 22 2=-y x 两式相减，得

差分法(点差法)在圆锥曲线中的应用

差分法（点差法）在圆锥曲线中的应用圆锥曲线综合题是每年高考必考的题目，这些题目的解法灵活多变，其中涉及圆锥曲线中点弦的有关问题，用差分法求解，具有构思精巧，简便易行的优点，现举例说明如下：（一）在椭圆中的应用： ()()()()()()()()2222 11 22 221212121212 1212121122 11 11 2 2,,mx ny mx ny mx ny m x x x x n y y y y y y x x y y AB AB x x AB A x y B x y +=+=+=+-++-=-++-??????? ??? 设是椭圆上不重合的两点，则，，两式相减得是直线的斜率，，是线段的中点坐标，所以1式可以解决与椭圆弦的斜率及中点有关的问题，此法称为代点作差法，简称，点差法。 ()221 1625400 x y +=例：求以椭圆内一点P 3，1为中点的弦AB 所在的直线方程。 ()()()()()()11222222 1122 221212121212121212,, A B 1625400 1625400 1625400 25048 6 2A x y B x y x y x y x y x x x x y y y y y y x x y y x x +=?+=??+=??+-++-=-+=+=∴=-- 解：设弦AB 的两个端点的坐标分别为，、两点在椭圆上，则，两式相减得 16由题知，，()12AB 12, 25 48 : 3, 48251690. 25 y y l x x y x x -∴=--+-=-即（二）在双曲线中的应用：在处理有关弦的问题时,也可以应用”点差法”。但特别需要注意的是椭圆是封闭型曲线，而双曲线是开放型曲线，求解后应检查其存在性，否则容易产生增根。

“点差法”在平面解析几何中应用举例

“点差法”在平面解析几何中的应用举例摘要:平面解析几何是高中数学的重要部分，是高考的必考知识点，不但历年高考解答题必考，选择填空题也考查，所以高考所占分值比重大。运算能力是数学学科素养的基本能力.在平面解析几何题中要用到大量的代数运算，特别是圆锥曲线的二次方程相对于直线一次方程来说计算难度明显加大，简化计算，提高运算水平，提升数学核心素养势在必行。关键词: 点差法;核心素养；高中数学数学核心素养是数学学习者在学习数学时所应达到的综合性能力,运算能力是数学学科素养的基本能力.在平面解析几何题中要用到大量的代数运算，运算是平面解析几何学习中的难点。繁杂运算是令学生感到头痛的首要问题.特别是圆锥曲线由于运算量大、思维量大、推导烦琐,学生经常望题兴叹,甚至自动放弃. 其实，许多解析几何题中的繁杂计算，不是不可避免的。“点差法”常用来解决平面解释几何有关中点弦，参数，对称等方面的问题，出奇制胜，简化解题过程。“点差法”就是设点，作差二个步骤:若设直线与曲线的交点（弦的端点）坐标为),(11y x A 、),(22y x B ，将这两点代入曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量，我们称这种设点（设而不求）代入再作差的方法为“点差法”．本文就点差法公式在平面解析几何中应用举例说明，做一些粗浅的探讨. 一．求弦中点的坐标．例1．已知椭圆1257522=+ x y 的一条弦的斜率为3，它与直线2 1 =x 的交点恰为这条弦的中点M ，求点M 的坐标．解：设弦端点),(11y x P 、),(22y x Q ，弦PQ 的中点),(00y x M ，则2 1 0= x 12021==+x x x ， 0212y y y =+ 又 125752121=+x y ，125 752 222=+x y 两式相减得0))((75))((2521212121=-++-+x x x x y y y y 即0)(3)(221210=-+-x x y y y ∴ 212123 y x x y y -=-- 32121=--= x x y y k ∴ 3230=-y ，即2 1 0-=y

第7讲点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用

第7讲点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用定理在椭圆122 22=+b y a x （a ＞b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，点) ,(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则22 00a b x y k MN -=?. 证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有???????=+=+)2(.1)1(,122 22 2222 1221 b y a x b y a x )2()1(-，得.022 22 122 22 1=-+-b y y a x x .22 12121212a b x x y y x x y y -=++?--∴ 又.22,21211212x y x y x x y y x x y y k MN ==++--= .22 a b x y k MN -=?∴ 同理可证，在椭圆122 22=+a y b x （a ＞b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，点) ,(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则22 00b a x y k MN -=?. 典题妙解例1 设椭圆方程为14 2 2 =+y x ，过点)1,0(M 的直线l 交椭圆于点A 、B ，O 为坐标原点，点P 满足 1()2OP OA OB =+，点N 的坐标为?? ? ??21,21.当l 绕点 M 旋转时，求：（1）动点P 的轨迹方程；（2）||NP 的最大值和最小值. 解：（1）设动点P 的坐标为),(y x .由平行四边形法则可知：点P 是弦AB 的中点 .

点差法公式在双曲线中点弦问题中的妙用

点差法公式在双曲线中点弦问题中的妙用 Prepared on 22 November 2020

点差法公式在双曲线中点弦问题中的妙用广西南宁外国语学校隆光诚（邮政编码530007）圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型，在选择题、填空题和解答题中都是命题的热点。它的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。若已知直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”，它的一般结论叫做点差法公式。本文就双曲线的点差法公式在高考中的妙用做一些粗浅的探讨，以飨读者。定理在双曲线122 22=-b y a x （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于M 、N 两点，点 ),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2 2 00a b x y k MN = ?. 证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有???????=-=-)2(.1)1(,122 22 2222 1221 b y a x b y a x )2()1(-，得.022 22 122 22 1=---b y y a x x 又.22,0 0021211212x y x y x x y y x x y y k MN ==++--=

同理可证，在双曲线122 22=-b x a y （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于 M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则 22 00b a x y k MN =?. 典题妙解例1 已知双曲线13 :2 2 =-x y C ，过点)1,2(P 作直线l 交双曲线C 于A 、B 两点. （1）求弦AB 的中点M 的轨迹；（2）若P 恰为弦AB 的中点，求直线l 的方程. 解：（1）,3,122==b a 焦点在y 轴上. 设点M 的坐标为),(y x ，由22b a x y k AB =?得：3 1 21=?--x y x y ，整理得：.032322=+--y x y x ∴所求的轨迹方程为.032322=+--y x y x （2） P 恰为弦AB 的中点， ∴由2200b a x y k AB =?得：,3121=?AB k 即.32 =AB k ∴直线l 的方程为)2(3 2 1-= -x y ，即.0132=--y x 例2 已知双曲线22:22=-y x C 与点).2,1(P （1）斜率为k 且过点P 的直线l 与C 有两个公共点，求k 的取值范围；（2）是否存在过点P 的弦AB ，使得AB 的中点为P （3）试判断以)1,1(Q 为中点的弦是否存在. 解：（1）直线l 的方程为)1(2-=-x k y ，即.2k kx y -+=

(完整版)圆锥曲线中点差法的应用(归纳)

圆锥曲线中点差法的应用一、知识点归纳： 1、若椭圆的方程为，即焦点在轴上，若直线与椭圆相交，被椭22 221(0)x y a b a b +=>>x l 圆所截得弦为，其中点设为，则该直线的斜率与该弦的中点与原点的斜率之积为AB P 常数，即；22l PO b k k a =-A 若椭圆的方程为，即焦点在轴上，若直线与椭圆相交，被椭22 221(0)y x a b a b +=>>y l 圆所截得弦为，其中点设为，则该直线的斜率与该弦的中点与原点的斜率之积为AB P 常数，即；22l PO a k k b =-A 2、若双曲线的方程为，即焦点在轴上，若直线与椭圆相交，22 221(0,0)x y a b a b -=>>x l 被椭圆所截得弦为，其中点设为，则该直线的斜率与该弦的中点与原点的斜率之AB P 积为常数，即；22l PO b k k a =A 若双曲线的方程为，即焦点在轴上，若直线与椭圆相交，22 221(0,0)y x a b a b -=>>y l 被椭圆所截得弦为，其中点设为，则该直线的斜率与该弦的中点与原点的斜率之AB P 积为常数，即；22l PO a k k b =A 二、练习题 1、已知双曲线的中心为原点，是的焦点，过F 的直线与相交于A ，B 两 E (3,0)P E l E 点，且AB 的中点为,则的方程式为 (12,15)N --E (A) (B) (C) (D) 22136x y -=22 145x y -=22163x y -=22154 x y -=2、已知椭圆：的右焦点为（3,0），过点的直线交于，E )0(122 22>>=+b a b y a x F F E A

点差法巧解圆锥曲线

点差法巧解圆锥曲线高中部周钢点差法是指在求解圆锥曲线时，题目中交代直线与圆锥曲线相交被截的线段中点坐标，利用直线和圆锥曲线的两个交点，把交点代入圆锥曲线的方程并作差，求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程的一种特殊方法。点差法在解决特定问题时，可以减少很多的运算，因此对于这种方法，我们应该予以重视。例1：过点()1,4P 作抛物线x y 82=的弦AB ，恰被点P 平分，求AB 所在直线的方程. 解：法一、设AB 所在直线的方程为()()014≠+-=k x k y ，由()?? ?=+-=x y x k y 81 42 ，消去x 并整理，得083282=+--k y ky . 设()11,y x A ，()22,y x B ，由根与系数的关系，得k y y 821=+，又P 是AB 的中点，所以 12 21=+y y . 所以428 =?=k k ，所以直线AB 的方程为()441-=-x y ，即0154=--y x . 法二、设()11,y x A ，()22,y x B ，则有12 18x y =，22 28x y =，两式相减，得()()()2121218x x y y y y -=+-，又221=+y y ，则482 11212=+=--= y y x x y y k ，所以直线AB 的方程为()441-=-x y ，即0154=--y x . 通过例1可以看出：法一为传统解法，在联立求解过程中，可能出现计算失误导致最终结果的偏差；法二为点差法，利用中点直接解出直线斜率，计算简便。例1比较简单，传统方法亦可解决，但已经能够看出点差法在计算方面的优势。例2：已知椭圆C 的两个焦点分别为()0,11-F ，()0,12F ，M 是此椭圆上的一点，且 21MF MF ⊥8=. （1）求椭圆C 的方程；（2）点B 是椭圆C 短轴的一个端点，且其纵坐标大于零，M 、N 是椭圆C 上不同于点B

点差法

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