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抛物线点差法

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点差法————抛物线中点弦问题中的妙用

定理在抛物线)0(22

≠=m mx y 中，若直线l 与抛物线相交于M 、N 两点,点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则m y k MN =?0.

证明:设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ,则有?????==)

2(.2)

1(,2222121 mx y mx y

)2()1(-，得).(2212

221x x m y y -=-

.2)(121

2m y y x x y y =+?--∴

又0121

22,y y y x x y y k MN =+--=

m y k MN =?∴0.

注意:能用这个公式的条件：（１）直线与抛物线有两个不同的交点;(２）直线的斜率存在. 同理可证,在抛物线)0(22

≠=m my x 中,若直线l 与抛物线相交于M 、N 两点,点),(00y x P 是弦ＭN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ,则

m x k MN

=?01.

注意:能用这个公式的条件:(1）直线与抛物线有两个不同的交点；(２)直线的斜率存在，且不等于零.

典题妙解

例1 抛物线x y 42

=的过焦点的弦的中点的轨迹方程是（ ) A. 12

-=x y Ｂ. )1(22

-=x y C. 2

=x y D. 122-=x y

解：2=m ，焦点)0,1(在x 轴上．设弦的中点M 的坐标为),(y x ．由m y k MN =?得：

=?-y x y

, 整理得：)1(22

-=x y ．

∴所求的轨迹方程为)1(22-=x y .故选B ．

例２抛物线2

2x y =上一组斜率为2的平行弦中点的轨迹方程是( ) A. 21=

x (y ＞21）Ｂ. 2

1=y (x >21

）Ｃ. x y 2=（x >1） D. 12+=x y

解：由2

2x y =得y x 212=，41=∴m ，焦点在y 轴上. 设平行弦的中点M 的坐标为),(y x .

由

m x k MN

=?1得：41

21=?x ，

∴x ．在2

2x y =中,当21=x 时,2

1=y . ∴点M 的轨迹方程为2

1=x （y ＞21

）.

故答案选A.

例3 （03上海）直线1-=x y 被抛物线x y 42

=截得的线段的中点坐标是___________. 解：2=m ,焦点)0,1(在x 轴上. 设弦ＭＮ的中点P 的坐标为),(y x ,弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ,则.1=MN k 由m y k MN =?0得:20=y ,

.120-=∴x 从而30=x .

∴所求的中点坐标是)2,3(.

例４抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，它和直线1-=x y 相交,所得的弦的中点在

522=+y x 上，求抛物线的方程．

解:设抛物线的方程为)0(22

≠=m mx y ,直线与抛物线的两个交点为Ｍ、N ，弦M Ｎ的中点Ｐ的坐标为),(00y x .

由m y k MN =?0得:m y =0,

.1100+=+=∴m y x

又点),1(m m P +在圆52

=+y x 上,

.5)1(22=++∴m m

解之得:,2-=m 或.1=m

由???=-=.

2,12mx y x y 得：.01)1(22=++-x m x 直线与抛物线有两个不同的交点,

4)1(42-+=?∴m >０. ∴m <2-，或ｍ>0.

.1=∴m

故所求的抛物线方程为.22

x y =

例5.已知抛物线x y 122

=上永远有关于直线m x y l +=4:对称的相异两点，求实数m 的取值范围. 解:设抛物线上A 、B 两点关于直线l 对称,且弦A Ｂ的中点为),(00y x P . 根据题意,点P 在直线l 上,l AB ⊥，∴4

-=AB k . 又x y 122

=,mx y 22

=，∴6=m .

由m y k AB =?0,得：64

0=?-

y ,∴240-=y ．又由m x y +=004，得:4

0+-=m x .

点),(00y x P 在抛物线的开口内，

∴2)24(-＜)4

(12+-

?m . 解之得:m ＜216-.

故实数m 的取值范围)216,(--∞.

例6．（０５全国Ⅲ文22)设),(),,(2211y x B y x A 两点在抛物线2

2x y =上,l 是AB 的垂直平分线. (Ⅰ)当且仅当21x x +取何值时,直线l 经过抛物线的焦点Ｆ？证明你的结论. (Ⅱ）当3,121-==x x 时,求直线l 的方程. 解：（Ⅰ）y x 212=

,∴)8

,0(,41F p =. 设线段AB 的中点为),(00y x P ，直线l 的斜率为k ,则0212x x x =+．

若直线l 的斜率不存在，当且仅当021=+x x 时，A Ｂ的垂直平分线l 为y 轴，经过抛物线的焦点Ｆ.

若直线l 的斜率存在,则其方程为00)(y x x k y +-=，k

k AB 1-=. 由

p x k AB

=?01得:410=

-kx ，∴k

x 410-=. 若直线l 经过焦点Ｆ,则得:

0004181y y kx +=+-=，4

0-=y ，与00≥y 相矛盾. ∴当直线l 的斜率存在时，它不可能经过抛物线的焦点F ．

综上所述,当且仅当021=+x x 时，直线l 经过抛物线的焦点F. (Ⅱ）当3,121-==x x 时,.102

,12),18,3(),2,1(2

10210=+=-=+=

-y y y x x x B A 由

p x k AB

=?01得:4

k . ∴所求的直线l 的方程为10)1(4

++=

x y ，即.0414=+-y x 金指点睛

1. 已知直线02=--y x 与抛物线x y 42

=交于A 、B 两点，那么线段AB 的中点坐标是_＿__＿_＿_．

2. 直线2-=kx y 与抛物线x y 82

=交于不同的两点P 、Q ，若P Ｑ中点的横坐标是2，则||PQ =____． 3．已知抛物线C 的顶点在原点,焦点在x 轴的正半轴上，直线14:+-=x y l 被抛物线C 所截得的弦AB 的中点M 的纵坐标为2-,则抛物线C 的方程为__＿__＿___＿__.

4. 设1P 2P 为抛物线y x =2

的弦，如果这条弦的垂直平分线l 的方程为3+-=x y ,求弦1P 2P 所在的直线方程.

5. 过点)1,4(Q 作抛物线x y 82=的弦AB ，若弦AB 恰被Q 平分，则AB 所在的直线方程为__＿＿___．

６. 已知抛物线2

2x y =上有不同的两点A 、B 关于直线m x y l +=:对称，求实数m 的取值范围. 7．（05全国Ⅲ理21）设),(),,(2211y x B y x A 两点在抛物线2

2x y =上，l 是AB 的垂直平分线．（Ⅰ）当且仅当21x x +取何值时，直线l 经过抛物线的焦点F ？证明你的结论. (Ⅱ）当直线l 的斜率为２时,求l 在y 轴上的截距的取值范围.

8． (08陕西文理20）已知抛物线2

2x y C =：,直线2+=kx y 交Ｃ于A 、B 两点，M 是线段A Ｂ的中点，过M 作x 轴的垂线交C 于点N ．

（Ⅰ)证明:抛物线C 在点Ｎ处的切线与AB 平行；

(Ⅱ）是否存在实数k 使0=?NB NA ,若存在，求k 的值；若不存在，请说明理由.

参考答案

1. 解:x y 42

=,mx y 22

=,∴2=m . 直线的斜率为1. 由m y k MN =?0得:20=y . 代入0200=--y x 求得40=x .

∴线段AB 的中点坐标是)2,4(．

2. 解：x y 82

=，mx y 22

=,∴4=m .

在2-=kx y 中，20=x 时,220-=k y ，∴若ＰＱ中点的纵坐标是220-=k y . 由m y k AB =?0得：4)22(=-k k ，即022=--k k . 解之得:2=k 或1-=k ．

由???=-=.

8,22x y kx y 得:04)2(422=++-x k x k . 直线与抛物线交于不同的两点,

∴?????-+=?≠.

016)2(16,02

22 k k k

解之得:k >1-且0≠k . ∴2=k .

由???=-=.

8,222x y x y 得：041642=+-x x . 即0142=+-x x . 设),(),,(2211y x Q y x P ,则1,42121==+x x x x .

∴[]

152)416(54)()1(||212212=-=-++=x x x x k PQ ．

3. 解:x y 82

=,mx y 22

=,∴4=m . 由m y k AB =?0得:4=AB k ．

∴AB 所在的直线方程为)4(41-=-x y ，即0154=--y x . ４．解：设抛物线的方程为mx y 22

=（m >0）.

在14+-=x y 中,斜率为4-，2-=y 时，43=

x ． ∴弦A Ｂ的中点M 的坐标为)2,4

(--. 由m y k AB =?0得：m =-?-)2(4，∴8=m ．

∴所求的抛物线的方程为x y 162=.

5. 解:y x =2

，my x 22

=,∴2

m ．弦1P 2P 所在直线的斜率为 1. 设弦1P 2P 的中点坐标为),(00y x ．由

m x k P P =?02

11得：2

10=

x . 弦1P 2P 的中点也在直线3+-=x y 上，∴2

53210=+-

=y .弦1P 2P 的中点坐标为)25,21(.

∴弦1P 2P 所在的直线方程为)2

(125-?=-

x y ，即02=+-y x ． 6．解：设弦AB 的中点为),(00y x P . 根据题意，l AB ⊥,∴1-=AB k . 又y x 212=，my x 22=，∴4

=m . 由

m x k AB

=?01，得：4110=

?-x ，∴4

0-=x ．又由m x y +=00，得:m y +-

0．点),(00y x P 在抛物线的开口内,

∴2)4

(-＜

)41

(21m +-?. 解之得：m ＞8

故实数m 的取值范围),8

(+∞.

7. 解:（Ⅰ)y x 212= ,∴)8

,0(,41F p m ==．

设线段A Ｂ的中点为),(00y x P ，直线l 的斜率为k ，则0212x x x =+.

若直线l 的斜率不存在,当且仅当021=+x x 时，AB 的垂直平分线l 为y 轴，经过抛物线的焦点F. 若直线l 的斜率存在,则其方程为00)(y x x k y +-=，k

k AB 1-=. 由

m x k AB

=?01得：410=

-kx ，∴k

x 410-=.

若直线l 经过焦点Ｆ，则得：

0004181y y kx +=+-=，4

0-=y ，与00≥y 相矛盾． ∴当直线l 的斜率存在时，它不可能经过抛物线的焦点F.

综上所述,当且仅当021=+x x 时,直线l 经过抛物线的焦点Ｆ. （Ⅱ)当2=k 时,由（Ⅰ）知,81

0-=x ,直线l 的方程为4

120+

+=y x y , ∴它在ｙ轴上的截距410+

=y b ，410-=b y ．直线AB 的方程为00)(21y x x y +--=,即16

21-+-=b x y .

代入2

2x y =并整理得：08

5242=+-+b x x ．

直线AB 与抛物线有两个不同交点,

∴)8

2(161+--=?b ＞0,即932-b >０.

∴b ＞32

故l 在y 轴上的截距的取值范围是),32

(+∞．

８.(Ⅰ）证明:4

,212===p m y x ，设点M 的坐标为),(00y x .

当0=k 时，点M 在y 轴上，点N 与原点O 重合,抛物线C 在点Ｎ处的切线为x 轴,与AB 平行.

当0≠k 时,由

p x k AB

=?01得：4

0k x =

. ∴8

222

k x y N ==. 得点N 的坐标为)8,4(2k k .

设抛物线C 在点N 处的切线方程为)4(82k x m k y -=-,即8)4(2

k k x m y +-=. 代入2

2x y =，得：8

)4(22

k k x m x +-=,

整理得：08

422

=-+-k km mx x ． 0)(2)8

4(82222

=-=+-=--=?k m k km m k km m ，

∴k m =，即抛物线C 在点N 处的切线的斜率等于直线A Ｂ的斜率．

故抛物线Ｃ在点N 处的切线与AB 平行.

y O

B N

y O

B N

(Ⅱ)解：若0=?NB NA ,则NB NA ⊥，即?=∠90ANB .

∴||2||2||2||MN BM AM AB ===.

2200+=+=k kx y ，

∴8

848||2220+=-+=-=k k k y y MN N . 由???=+=.

x y kx y 得0222=--kx x . 设),(),,(2211y x B y x A ,则1,2

2121-==

+x x k

x x ． ∴)16)(1(2

)44)(1(]4))[(1(||2222

212

++=++=-++=k k k k x x x x k AB ．

∴8162)16)(1(21222+?=++k k k . 即4)16()16)(1(222

2+=++k k k . 化简,得：4

16122

+=+k k ，即42=k ．

∴2±=k ．

故存在实数2±=k ,使0=?NB NA .

点差法

点差法（选做）对点差法掌握不太熟练的同学建议阅读例题及变式，选做练习题，注意知二得一。例题：过点M （1，1）作斜率为﹣1 2 的直线与椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于．分析：利用点差法，结合M 是线段AB 的中点，斜率为﹣ 1 2 ，即可求出椭圆C 的离心率．解析：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则221122 1.x y a b +=，22 2222 1.x y a b +=， ∵过点M （1，1）作斜率为﹣1 2 的直线与椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>相交于A ，B 两点， M 是线段AB 的中点，∴两式相减可得 22212().02a b +-= ，a ∴= ∴c b ==， ∴2c e a = = ．故答案为：2 ．点评：若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为),(11y x A 、),(22y x B ，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。一般用于已知斜率与中点坐标两者之一或两者都已知或未知，进而求解求解其它参数（离心率）的情况．结论：在椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>中，若直线l 与椭圆相交于M,N 两点，点P （x 0，y 0）是弦MN 中点，弦MN 所在的直线l 的斜率是MN K ,则有：MN K .2 020y b x a =-. 变式一：已知直线与椭圆22 194 x y +=交于A ，B 两点，设线段AB 的中点为P ，若直线的斜率为k 1，直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2等于分析：利用“平方差法”、线段中点坐标公式、斜率计算公式即可得出．解析：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），P （x 0，y 0）．则 1202x x x +=，12 02 y y y +=，

点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用

点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用定理在椭圆122 22=+b y a x （a ＞b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，点) ,(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则22 00a b x y k MN -=?. 证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有???????=+=+)2(.1)1(,122 22 2222 1221 b y a x b y a x )2()1(-，得.022 22 122 22 1=-+-b y y a x x .22 12121212a b x x y y x x y y -=++?--∴ 又.22,21211212x y x y x x y y x x y y k MN ==++--= .22 a b x y k MN -=?∴ 同理可证，在椭圆122 22=+a y b x （a ＞b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，点) ,(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则22 00b a x y k MN -=?. 典题妙解例1 设椭圆方程为14 2 2 =+y x ，过点)1,0(M 的直线l 交椭圆于点A 、B ，O 为坐标原点，点P 满足 1()2OP OA OB =+ ，点N 的坐标为?? ? ??21,21.当l 绕点 M 旋转时，求：（1）动点P 的轨迹方程；（2）||NP 的最大值和最小值. 解：（1）设动点P 的坐标为),(y x .由平行四边形法则可知：点P 是弦AB 的中点 .

点差法弦长公式

点差法 1.过点(1，0)的直线l 与中心在原点，焦点在x 轴上且离心率为 2 2的椭圆C 相交于A 、B 两点，直线y =2 1x 过线段AB 的中点，同时椭圆C 上存在一点与右焦点关于直线l 对称，试求直线l 与椭圆C 的方程. 命题意图：本题利用对称问题来考查用待定系数法求曲线方程的方法，设计新颖，基础性强，属★★★★★级题目. 知识依托：待定系数法求曲线方程，如何处理直线与圆锥曲线问题，对称问题. 错解分析：不能恰当地利用离心率设出方程是学生容易犯的错误.恰当地利用好对称问题是解决好本题的关键. 技巧与方法：本题是典型的求圆锥曲线方程的问题，解法一，将A 、B 两点坐标代入圆锥曲线方程，两式相减得关于直线AB 斜率的等式.解法二，用韦达定理. 解法一：由 e =2 2 =a c ,得21 222=-a b a ,从而a 2=2b 2, c =b . 设椭圆方程为x 2+2y 2=2b 2,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)在椭圆上. 则x 12+2y 12=2b 2,x 22+2y 22=2b 2,两式相减得，(x 12－x 22)+2(y 12－y 22)=0, .) (2212 12121y y x x x x y y ++-=-- 设AB 中点为(x 0,y 0),则k AB =－ 2y x ,又(x 0,y 0)在直线y =21 x 上，y 0=2 1x 0,

于是－ 02y x = －1,k AB =－1,设l 的方程为y =－x +1. 右焦点(b ,0)关于l 的对称点设为(x ′,y ′), ?? ?-='='???????++'-='=-'' b y x b x y b x y 11 1 22 1解得则由点(1,1－b )在椭圆上，得1+2(1－b )2=2b 2,b 2=8 9 ,1692=a . ∴所求椭圆C 的方程为2 29 1698y x + =1,l 的方程为y =－x +1. 解法二：由 e =21 ,22222=-=a b a a c 得,从而a 2=2b 2,c =b . 设椭圆C 的方程为x 2+2y 2=2b 2,l 的方程为y =k (x －1), 将l 的方程代入C 的方程，得(1+2k 2)x 2－4k 2x +2k 2－2b 2=0,则 x 1+x 2= 2 2 214k k +,y 1+y 2=k (x 1－1)+k (x 2－1)=k (x 1+x 2)－2k =－ 2 212k k +. 直线 l ：y =2 1x 过AB 的中点( 2 ,22 121y y x x ++),则 2 2 22122121k k k k +?=+-,解得 k =0，或k =－1. 若k =0,则l 的方程为y =0,焦点F (c ,0)关于直线l 的对称点就是F 点本身，不能在椭圆C 上，所以k =0舍去，从而k =－1，直线l 的方程为y =－(x －1),即y =－x +1,以下同解法一. 2.(★★★★★)已知圆C 1的方程为(x －2)2+(y －1) 2 =3 20,椭圆 C 2的方程为2 2 22b y a x +=1(a ＞b ＞0)， C 2的离心率为 2 2 ，如果C 1与C 2相交于A 、B 两点，且线段AB 恰为圆C 1的直径，求直线AB 的方程和椭圆C 2的方程.

抛物线点差法

点差法————抛物线中点弦问题中的妙用定理在抛物线)0(22 ≠=m mx y 中，若直线l 与抛物线相交于M 、N 两点,点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则m y k MN =?0. 证明:设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ,则有?????==) 2(.2) 1(,2222121 mx y mx y )2()1(-，得).(2212 221x x m y y -=- .2)(121 21 2m y y x x y y =+?--∴ 又0121 21 22,y y y x x y y k MN =+--= . m y k MN =?∴0. 注意:能用这个公式的条件：（１）直线与抛物线有两个不同的交点;(２）直线的斜率存在. 同理可证,在抛物线)0(22 ≠=m my x 中,若直线l 与抛物线相交于M 、N 两点,点),(00y x P 是弦ＭN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ,则 m x k MN =?01. 注意:能用这个公式的条件:(1）直线与抛物线有两个不同的交点；(２)直线的斜率存在，且不等于零. 典题妙解例1 抛物线x y 42 =的过焦点的弦的中点的轨迹方程是（ ) A. 12 -=x y Ｂ. )1(22 -=x y C. 2 1 2- =x y D. 122-=x y 解：2=m ，焦点)0,1(在x 轴上．设弦的中点M 的坐标为),(y x ．由m y k MN =?得： 21 =?-y x y , 整理得：)1(22 -=x y ． ∴所求的轨迹方程为)1(22-=x y .故选B ．

点差法公式在双曲线中点弦问题中的妙用

点差法公式在双曲线中点弦问题中的妙用广西南宁外国语学校隆光诚（邮政编码530007）圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型，在选择题、填空题和解答题中都是命题的热点。它的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。若已知直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”，它的一般结论叫做点差法公式。本文就双曲线的点差法公式在高考中的妙用做一些粗浅的探讨，以飨读者。定理在双曲线 12 22 2=- b y a x （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于M 、N 两点，点 ),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2 20 0a b x y k MN = ? . 证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有???????=-=-)2(.1)1(,122 2222 22 1 221 b y a x b y a x )2()1(-，得 .02 2 2 2 12 2 2 2 1=-- -b y y a x x .2 21 2121 212a b x x y y x x y y = ++? --∴ 又.22, 00 02 1211 212x y x y x x y y x x y y k MN = = ++--= .2 20 0a b x y k MN =? ∴ 同理可证，在双曲线 12 22 2=- b x a y （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2 20 0b a x y k MN = ? . 典题妙解例1 已知双曲线13 :2 2 =- x y C ，过点)1,2(P 作直线l 交双曲线C 于A 、B 两点.

点差法习题(有答案)

点差法习题【学习目标】圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型，在选择题、填空题和解答题中都是命题的热点。它的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。若已知直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”，它的一般结论叫做点差法公式。使用说明及学法指导】 1、通过证明定理，熟悉“点差法”的运用； 2、记住点差法推导出的公式，并熟练应用；若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为),(11y x A 、),(22y x B ，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。一、自主证明 1、定理在椭圆122 22=+b y a x （a ＞b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，点 ),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则 22 00a b x y k MN -=?. 同理可证，在椭圆122 22=+a y b x （a ＞b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，点 ),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则 22 00b a x y k MN -=?. 2、定理在双曲线122 22=-b y a x （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于M 、N 两点，点 ),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则22 00a b x y k MN =?. 同理可证，在双曲线122 22=-b x a y （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于M 、N 两点，点 ),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则 22 00b a x y k MN =?. 3、定理在抛物线 )0(22≠=m mx y 中，若直线l 与抛物线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为 MN k ，则m y k MN =?0.

六、点差法求轨迹方程(高中数学解题妙法)

六、点差法求轨迹方程本内容主要研究点差法法求轨迹方程.圆锥曲线中与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点1122(,),(,)A x y B x y 的坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得12x x +，12y y +，12x x -，12y y -等关系式，由于弦AB 的中点(,)P x y 的坐标满足122x x x =+，122y y y =+且直线AB 的斜率为 2121 y y x x --，由此可求得弦AB 中点的轨迹方程. 先看例题：例：已知椭圆2 212 x y +=，求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程 . ①－②得()()()()022*******=-++-+y y y y x x x x ．由题意知21x x ≠，则上式两端同除以21x x -，有 ()()022 1212121=-+++x x y y y y x x 将③④代入得022 121=--+x x y y y x ．⑤

将22 121=--x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为： 04=+y x ．（椭圆内部分）已知椭圆2 212 x y +=，过()2,1A 引椭圆的割线，求截得的弦的重点的轨迹方程. （3）将 212121--=--x y x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为： 022222=--+y x y x ．（椭圆内部分）整理：圆锥曲线中与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点1122(,),(,)A x y B x y 的坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得12x x +，12y y +，12x x -，12y y -等关系式，由于弦AB 的中点(,)P x y 的坐标满足122x x x =+， 122y y y =+且直线AB 的斜率为 2121 y y x x --，由此可求得弦AB 中点的轨迹方程. 再看一个例题，加深印象例：已知椭圆2 212 x y +=，过()2,1A 引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程. 解：设弦两端点分别为()11y x M ，，()22y x N ，，线段MN 的中点()y x R ，，则 221122221212222222x y x y x x x y y y ?+=?+=??+=??+=?，①，②， ③，④ ①－②得()()()()022*******=-++-+y y y y x x x x ．

第7讲点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用

第7讲点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用定理在椭圆122 22=+b y a x （a ＞b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，点) ,(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则22 00a b x y k MN -=?. 证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有???????=+=+)2(.1)1(,122 22 2222 1221 b y a x b y a x )2()1(-，得.022 22 122 22 1=-+-b y y a x x .22 12121212a b x x y y x x y y -=++?--∴ 又.22,21211212x y x y x x y y x x y y k MN ==++--= .22 a b x y k MN -=?∴ 同理可证，在椭圆122 22=+a y b x （a ＞b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，点) ,(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则22 00b a x y k MN -=?. 典题妙解例1 设椭圆方程为14 2 2 =+y x ，过点)1,0(M 的直线l 交椭圆于点A 、B ，O 为坐标原点，点P 满足 1()2OP OA OB =+，点N 的坐标为?? ? ??21,21.当l 绕点 M 旋转时，求：（1）动点P 的轨迹方程；（2）||NP 的最大值和最小值. 解：（1）设动点P 的坐标为),(y x .由平行四边形法则可知：点P 是弦AB 的中点 .

点差法公式在双曲线中点弦问题中的妙用

点差法公式在双曲线中点弦问题中的妙用 Prepared on 22 November 2020

点差法公式在双曲线中点弦问题中的妙用广西南宁外国语学校隆光诚（邮政编码530007）圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型，在选择题、填空题和解答题中都是命题的热点。它的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。若已知直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”，它的一般结论叫做点差法公式。本文就双曲线的点差法公式在高考中的妙用做一些粗浅的探讨，以飨读者。定理在双曲线122 22=-b y a x （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于M 、N 两点，点 ),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2 2 00a b x y k MN = ?. 证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有???????=-=-)2(.1)1(,122 22 2222 1221 b y a x b y a x )2()1(-，得.022 22 122 22 1=---b y y a x x 又.22,0 0021211212x y x y x x y y x x y y k MN ==++--=

同理可证，在双曲线122 22=-b x a y （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于 M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则 22 00b a x y k MN =?. 典题妙解例1 已知双曲线13 :2 2 =-x y C ，过点)1,2(P 作直线l 交双曲线C 于A 、B 两点. （1）求弦AB 的中点M 的轨迹；（2）若P 恰为弦AB 的中点，求直线l 的方程. 解：（1）,3,122==b a 焦点在y 轴上. 设点M 的坐标为),(y x ，由22b a x y k AB =?得：3 1 21=?--x y x y ，整理得：.032322=+--y x y x ∴所求的轨迹方程为.032322=+--y x y x （2） P 恰为弦AB 的中点， ∴由2200b a x y k AB =?得：,3121=?AB k 即.32 =AB k ∴直线l 的方程为)2(3 2 1-= -x y ，即.0132=--y x 例2 已知双曲线22:22=-y x C 与点).2,1(P （1）斜率为k 且过点P 的直线l 与C 有两个公共点，求k 的取值范围；（2）是否存在过点P 的弦AB ，使得AB 的中点为P （3）试判断以)1,1(Q 为中点的弦是否存在. 解：（1）直线l 的方程为)1(2-=-x k y ，即.2k kx y -+=

点差法巧解圆锥曲线

点差法巧解圆锥曲线高中部周钢点差法是指在求解圆锥曲线时，题目中交代直线与圆锥曲线相交被截的线段中点坐标，利用直线和圆锥曲线的两个交点，把交点代入圆锥曲线的方程并作差，求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程的一种特殊方法。点差法在解决特定问题时，可以减少很多的运算，因此对于这种方法，我们应该予以重视。例1：过点()1,4P 作抛物线x y 82=的弦AB ，恰被点P 平分，求AB 所在直线的方程. 解：法一、设AB 所在直线的方程为()()014≠+-=k x k y ，由()?? ?=+-=x y x k y 81 42 ，消去x 并整理，得083282=+--k y ky . 设()11,y x A ，()22,y x B ，由根与系数的关系，得k y y 821=+，又P 是AB 的中点，所以 12 21=+y y . 所以428 =?=k k ，所以直线AB 的方程为()441-=-x y ，即0154=--y x . 法二、设()11,y x A ，()22,y x B ，则有12 18x y =，22 28x y =，两式相减，得()()()2121218x x y y y y -=+-，又221=+y y ，则482 11212=+=--= y y x x y y k ，所以直线AB 的方程为()441-=-x y ，即0154=--y x . 通过例1可以看出：法一为传统解法，在联立求解过程中，可能出现计算失误导致最终结果的偏差；法二为点差法，利用中点直接解出直线斜率，计算简便。例1比较简单，传统方法亦可解决，但已经能够看出点差法在计算方面的优势。例2：已知椭圆C 的两个焦点分别为()0,11-F ，()0,12F ，M 是此椭圆上的一点，且 21MF MF ⊥8=. （1）求椭圆C 的方程；（2）点B 是椭圆C 短轴的一个端点，且其纵坐标大于零，M 、N 是椭圆C 上不同于点B

点差法

“秒杀”高考综合题系列之(一)—— 点差法在解析几何综合题中的应到高三的同学都知道，浙江省高考在解析几何章节的考查内容肯定包含一道综合题，一般多是椭圆和抛物线，按照命题的规律和趋势，我们发现以下两点：（1）理科数学在此章节一般考察椭圆，文科数学一般考察抛物线；（2）考察的题型一般是直线与解析几何的位置关系。诸位可以翻看一下浙江过往几年的考试试卷看看。上过从老师高考班的同学应该记得，在解决解析几何图形与直线相切这个位置关系的题型的时候，“抄一个，代一个”这六个字可以帮助大家快速提升做题速度。如果大家要用判别式、位置关系等通法解决此类问题时，耗费5~10分钟不说，5~10分钟的计算量还不一定能保证结果正确。但诸位如果知道“抄一个，代一个”，一旦看到直线与圆、椭圆、双曲线、抛物线等相切问题时，应做到能在10秒钟以内准确地写出切线的方程。当然，直线与上面图形的位置关系除了相切以外，另外一种更常考的位置是相交。在相交的题型中，一旦看到“弦长”或者“面积”等关键词时，应立即想到“设直线、代曲线、根与系数搞定一切”（弦长公式）。相信大家对这种题型应该有较深的体会了。今天我在这里要跟大家探讨的是：题目中出现“直线与椭圆交于两点A、B”（即AB是椭圆内的一条弦）、“AB中点M”等关键词时的解题方法。“点差法”精髓在于“设而不求”，通过点差法有个重要的结论要求大家记住。设椭圆方程为，任意一条直线交椭圆于，两点，则

两式相减得到，移向整理后得到：即：（M为AB中点）同样的道理，对于长轴在y轴上的椭圆，结论为. 也就是说：椭圆内任意弦AB所在直线的斜率与过该弦中点并且经过原点的直线的斜率乘积为一个常数。【再拓展】当A、B两点离的非常近时，可以将这个结论看做：过椭圆上某点P有一条切线，则请看2009年浙江高考第21题已知椭圆：的右顶点为，过的焦点且垂直长轴的弦长为．（I）求椭圆的方程；（II）设点在抛物线：上，在点处的切线与交于点．当线段的中点与的中点的横坐标相等时，求的最小值．也许很多同学都看过所谓“标准答案”给我们的解题过程，设出直线方程后代入，经过两次判别式来确定h的取值范围。这也是很多参考书上给出的参考解题思路。不过按照此种通法解题思路，计算量和整理的工作至少需要7~10多分钟。

双曲线点差法

点差法公式在双曲线中点弦问题中的妙用圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型，在选择题、填空题和解答题中都是命题的热点。它的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。若已知直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”，它的一般结论叫做点差法公式。本文就双曲线的点差法公式在高考中的妙用做一些粗浅的探讨，以飨读者。定理在双曲线122 22=-b y a x （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于M 、N 两点，点 ),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则22 00a b x y k MN =?. 证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有???????=-=-)2(.1)1(,122 222222 1221 b y a x b y a x )2()1(-，得.022 22 122 22 1=---b y y a x x .22 12121212a b x x y y x x y y =++?--∴ 又.22,0 0021211212x y x y x x y y x x y y k MN ==++--= .2200a b x y k MN =?∴ 同理可证，在双曲线122 22=-b x a y （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2 2 00b a x y k MN =?. 典题妙解例1 已知双曲线13 :2 2 =-x y C ，过点)1,2(P 作直线l 交双曲线C 于A 、B 两点.

点差法弦长公式

点差法弦长公式 Document number：NOCG-YUNOO-BUYTT-UU986-1986UT

y 0=2 1x 0,于是－ 02y x = －1,k AB =－1,设l 的方程为y =－x +1. 右焦点(b ,0)关于l 的对称点设为(x ′,y ′), ?? ?-='='???????++'-='=-'' b y x b x y b x y 11 1 22 1解得则由点(1,1－b )在椭圆上，得1+2(1－b )2=2b 2,b 2=8 9 ,1692=a . ∴所求椭圆C 的方程为2 29 1698y x + =1,l 的方程为y =－x +1. 解法二：由 e =21 ,22222=-=a b a a c 得,从而a 2=2b 2,c =b . 设椭圆C 的方程为x 2+2y 2=2b 2,l 的方程为y =k (x －1), 将l 的方程代入C 的方程，得(1+2k 2)x 2－4k 2x +2k 2－2b 2=0,则 x 1+x 2= 2 2 214k k +,y 1+y 2=k (x 1－1)+k (x 2－1)=k (x 1+x 2)－2k =－ 2 212k k +. 直线 l ：y =2 1 x 过AB 的中点(2 ,22 121y y x x ++),则 2 2 22122121k k k k +?=+-,解得k =0，或k =－1. 若k =0,则l 的方程为y =0,焦点F (c ,0)关于直线l 的对称点就是F 点本身，不能在椭圆C 上，所以k =0舍去，从而k =－1，直线l 的方程为y =－(x －1),即y =－x +1,以下同解法一. 2.(★★★★★)已知圆C 1的方程为(x －2)2 +(y －1) 2 =3 20,椭圆 C 2的方程为2 2 22b y a x +=1(a ＞b ＞0)，C 2的离心率为 2 2 ，如果C 1与C 2相交于A 、B 两点，且线段 AB 恰为圆C 1的直径，求直线AB 的方程和椭圆C 2的方程.

点差法理解版

点差法点差就是在求解圆锥曲线并且题目中交代直线与圆锥曲线相交被截的线段中点坐标的时候，利用直线和圆锥曲线的两个交点，并把交点代入圆锥曲线的方程，并作差。求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程。利用点差法可以减少很多的计算，所以在解有关的问题时用这种方法比较好。点差法：适应的常见问题：弦的斜率与弦的中点问题； ①注意：点差法的不等价性；（考虑⊿>0） ②“点差法”常见题型有：求中点弦方程、求（过定点、平行弦）弦中点轨迹、垂直平分线问题。在解答平面解析几何中的某些问题时，如果能适时运用点差法，可以达到“设而不求”的目的，同时，还可以降低解题的运算量，优化解题过程. 这类问题通常与直线斜率和弦的中点有关或借助曲线方程中变量的取值范围求出其他变量的范围。与圆锥曲线的弦的中点有关的问题,我们称之为圆锥曲线的中点弦问题. 解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是:联立直线和圆锥曲线的方程,借助于一元二次方程的根的判别式,根与系数的关系,中点坐标公式及参数法求解. 若设直线与圆锥曲线的交点(弦的端点)坐标为,,将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差,得到一个与弦的中点和斜率有关的式子,可以大大减少运算量.我们称这种代点作差的方法为"点差法". 求直线方程或求点的轨迹方程例1 过椭圆x2＋4y2=16内一点P(1，1)作一直线l，使直线l被椭圆截得的线段恰好被点P平分，求直线l的方程. 解：设弦的两端点为P1(x1,y1)、P2(x2,y2)，则x1^2＋4y1^2=16，x2^2＋ 4y2^2=16，两式相减，得(x1﹣x2)(x1＋x2)＋4(y1﹣y2)(y1+y2)=0，因为点p｛1，1｝，所以x1＋x2=1+1，y1+y2=1+1，∴等式两边同除(x1﹣x2)，有2+8k=0∴k=﹣0.25.故直线l的方程为y﹣1=﹣0.25(x﹣1)，即4y + x﹣5=0

点差法公式在抛物线中点弦问题中的妙用

如对您有帮助，请购买打赏，谢谢您！点差法公式在抛物线中点弦问题中的妙用圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型，在选择题、填空题和解答题中都是命题的热点。它的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。若已知直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”，它的一般结论叫做点差法公式。本文就抛物线的点差法公式在高考中的妙用做一些粗浅的探讨，以飨读者。定理在抛物线)0(22 ≠=m mx y 中，若直线l 与抛物线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则m y k MN =?0. 证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有?????==)2(.2)1(,2222121 mx y mx y )2()1(-，得).(2212221x x m y y -=- 又0121 2122,y y y x x y y k MN =+--= . m y k MN =?∴0. 注意：能用这个公式的条件：（1）直线与抛物线有两个不同的交点；（2）直线的斜率存在. 同理可证，在抛物线)0(22≠=m my x 中，若直线l 与抛物线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则m x k MN =?01 . 注意：能用这个公式的条件：（1）直线与抛物线有两个不同的交点；（2）直线的斜率存在，且不等于零. 典题妙解例1 抛物线x y 42=的过焦点的弦的中点的轨迹方程是（） A. 12-=x y B. )1(22-=x y C. 2 12-=x y D. 122-=x y 解：2=m ，焦点)0,1(在x 轴上. 设弦的中点M 的坐标为),(y x . 由m y k MN =?得： 21=?-y x y ，整理得：)1(22-=x y . ∴所求的轨迹方程为)1(22-=x y .故选B.

用点差法解圆锥曲线的中点弦问题

用点差法解圆锥曲线的中点弦问题与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为),(11y x A 、),(22y x B ，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。本文用这种方法作一些解题的探索。一、以定点为中点的弦所在直线的方程例1、过椭圆14 162 2=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。解：设直线与椭圆的交点为),(11y x A 、),(22y x B )1,2(M 为AB 的中点 ∴421=+x x 221=+y y 又A 、B 两点在椭圆上，则1642121=+y x ，1642 222=+y x 两式相减得0)(4)(22212221=-+-y y x x 于是0))((4))((21212121=-++-+y y y y x x x x ∴2 1244)(421212121-=?-=++-=--y y x x x x y y 即21-=AB k ，故所求直线的方程为)2(2 11--=-x y ，即042=-+y x 。例2、已知双曲线12 2 2=-y x ，经过点)1,1(M 能否作一条直线l ，使l 与双曲线交于A 、B ，且点M 是线段AB 的中点。若存在这样的直线l ，求出它的方程，若不存在，说明理由。策略：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线，然后验证它是否满足题设的条件。本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理。解：设存在被点M 平分的弦AB ，且),(11y x A 、),(22y x B 则221=+x x ，221=+y y 122121=-y x ，122 222=-y x

抛物线点差法

点差法公式在抛物线中点弦问题中的妙用圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型，在选择题、填空题和解答题中都是命题的热点。它的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。若已知直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”，它的一般结论叫做点差法公式。本文就抛物线的点差法公式在高考中的妙用做一些粗浅的探讨，以飨读者。定理在抛物线)0(22≠=m mx y 中，若直线l 与抛物线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则m y k MN =?0. 证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有?????==) 2(.2) 1(,222212 1 mx y mx y )2()1(-，得).(2212 221x x m y y -=- .2)(121 212m y y x x y y =+?--∴ 又0121 2122,y y y x x y y k MN =+--= . m y k MN =?∴0. 注意：能用这个公式的条件：（1）直线与抛物线有两个不同的交点；（2）直线的斜率存在. 同理可证，在抛物线)0(22 ≠=m my x 中，若直线l 与抛物线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则 m x k MN =?01. 注意：能用这个公式的条件：（1）直线与抛物线有两个不同的交点；（2）直线的斜率存在，且不等于零. 典题妙解例1 抛物线x y 42 =的过焦点的弦的中点的轨迹方程是（） A. 12-=x y B. )1(22 -=x y C. 2 12 - =x y D. 122 -=x y 解：2=m ，焦点)0,1(在x 轴上. 设弦的中点M 的坐标为),(y x .

1. 中点弦问题(点差法)

圆锥曲线常规题型方法归纳与总结 ①中点弦问题;②焦点三角形;③直线与圆锥位置关系问题;④圆锥曲线的相关最值（范围）问题;⑤求曲线的方程问题;⑥存在两点关于直线对称问题;⑦两线段垂直问题圆锥曲线的中点弦问题------点差法与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。解题策略：具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为),(11y x A 、),(22y x B ，将这两点代入圆锥曲线的方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式（当然在这里也要注意斜率不存在的请款讨论），消去四个参数。如：（1）)0(122 22>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有 02 020=+k b y a x 。（2）)0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有 02 020=-k b y a x （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p. 一、求以定点为中点的弦所在直线的方程例1、过椭圆14 162 2=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。解：设直线与椭圆的交点为),(11y x A 、),(22y x B )1,2(M 为AB 的中点 ∴421=+x x 221=+y y 又A 、B 两点在椭圆上，则1642121=+y x ，1642 222=+y x

点差法整理版

“点差法”巧解椭圆中点弦题型一、重要结论及证明过程在椭圆122 22=+b y a x （a ＞b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则22 00a b x y k MN -=?. 证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有???????=+=+)2(.1)1(,122 222222 1221 b y a x b y a x )2()1(-，得.02 2 22 122 22 1=-+-b y y a x x .22 12121212a b x x y y x x y y -=++?--∴ 又.22,21211212x y x y x x y y x x y y k MN ==++--= .22 a b x y k MN -=?∴ 同理可证，在椭圆122 22=+a y b x （a ＞b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，点) ,(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则22 00b a x y k MN -=?. 二、典型例题 1 、设椭圆方程为14 2 2 =+y x ，过点)1,0(M 的直线l 交椭圆于点A 、B ，O 为坐标原点，点P 满足)(21OB OA OP += ，点N 的坐标为?? ? ??21,21.当l 绕点M 旋转时，求：（1）动点P 的轨迹方程；（2）||NP 的最大值和最小值.

2 、在直角坐标系xOy 中，经过点)2,0(且斜率为k 的直线l 与椭圆12 22 =+y x 有两个不同的交点P 和Q.（1）求k 的取值范围；（2）设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A 、B ，是否存在常数k ，使得向量OQ OP +与AB 共线？如果存在，求k 的取值范围；如果不存在，请说明理由. 3、已知椭圆12222=+b y a x （a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为1F 、2F ，离心率22 =e ，右准线方程为 2=x . (Ⅰ) 求椭圆的标准方程； (Ⅱ) 过点1F 的直线l 与该椭圆相交于M 、N 两点，且3 26 2||22=+N F M F ，求直线l 的方程.

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