抛物线点差法

点差法公式在抛物线中点弦问题中的妙用

圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型，在选择题、填空题和解答题中都是命题的热点。它的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。

若已知直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”，它的一般结论叫做点差法公式。本文就抛物线的点差法公式在高考中的妙用做一些粗浅的探讨，以飨读者。

定理 在抛物线)0(22≠=m mx y 中，若直线l 与抛物线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则m y k MN =?0.

证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有?????==)

2(.2)

1(,222212

1 mx y mx y

)2()1(-，得).(2212

221x x m y y -=-

.2)(121

212m y y x x y y =+?--∴

又0121

2122,y y y x x y y k MN =+--=

.

m y k MN =?∴0.

注意：能用这个公式的条件：（1）直线与抛物线有两个不同的交点；（2）直线的斜率存在. 同理可证，在抛物线)0(22

≠=m my x 中，若直线l 与抛物线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则

m x k MN

=?01.

注意：能用这个公式的条件：（1）直线与抛物线有两个不同的交点；（2）直线的斜率存在，且不等于零.

典题妙解

例1 抛物线x y 42

=的过焦点的弦的中点的轨迹方程是（ ）

A. 12-=x y

B. )1(22

-=x y C. 2

12

-

=x y

D. 122

-=x y

解：2=m ，焦点)0,1(在x 轴上. 设弦的中点M 的坐标为),(y x .

由m y k MN =?得：

21

=?-y x y ，

整理得：)1(22-=x y .

∴所求的轨迹方程为)1(22

-=x y

.故选B.

例2 抛物线22x y =上一组斜率为2的平行弦中点的轨迹方程是（ ） A. 2

1=

x （y ＞

2

1） B. 2

1=

y （x ＞

2

1） C. x y 2=（x ＞1） D. 12+=x y

解：由22x y =得y x 212=，4

1=∴m ，焦点在y 轴上. 设平行弦的中点M 的坐标为),(y x .

由

m x k MN

=?1得：4

12

1=?x ，

2

1=∴x .

在22x y =中，当2

1=

x 时，2

1=

y .

∴点M 的轨迹方程为2

1=x （y ＞2

1）.

故答案选A.

例3 （03上海）直线1-=x y 被抛物线x y 42=截得的线段的中点坐标是___________. 解：2=m ，焦点)0,1(在x 轴上. 设弦MN 的中点P 的坐标为),(y x ，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则.1=MN k 由m y k MN =?0得：20=y ，

.120-=∴x 从而30=x .

∴所求的中点坐标是)2,3(.

例 4 抛物线的顶点在原点，焦点在x 轴上，它和直线1-=x y 相交，所得的弦的中点在

52

2

=+y

x 上，求抛物线的方程.

解：设抛物线的方程为)0(22

≠=m mx y ，直线与抛物线的两个交点为M 、N ，弦MN 的中点P 的坐标为),(00y x .

由m y k MN =?0得：m y =0，

.1100+=+=∴m y x

又 点),1(m m P +在圆522=+y x 上，

.5)1(2

2

=++∴m

m

解之得：,2-=m 或.1=m

由???=-=.

2,12mx y x y 得：.01)1(22=++-x m x 直线与抛物线有两个不同的交点， 4)1(42

-+=?∴m ＞0.

∴m ＜2-，或m ＞0. .1=∴m

故所求的抛物线方程为.22x y =

例5.已知抛物线x y 122=上永远有关于直线m x y l +=4:对称的相异两点，求实数m 的取值范围. 解：设抛物线上A 、B 两点关于直线l 对称，且弦AB 的中点为),(00y x P . 根据题意，点P 在直线l 上，l AB ⊥，∴4

1-=AB k .

又x y 122=，mx y 22=，∴6=m . 由m y k AB =?0，得：64

10=?-

y ，∴240-=y .

又由m x y +=004，得：4

240+-

=m x .

点),(00y x P 在抛物线的开口内，

∴2

)24(-＜)4

24(12+-

?m .

解之得：m ＜216-.

故实数m 的取值范围)216,(--∞.

例6. （05全国Ⅲ文22）设),(),,(2211y x B y x A 两点在抛物线2

2x y =上，l 是AB 的垂直平分线. （Ⅰ）当且仅当21x x +取何值时，直线l 经过抛物线的焦点F ？证明你的结论. （Ⅱ）当3,121-==x x 时，求直线l 的方程

.

解：（Ⅰ）y x 2

12=

，∴)8

1

,0(,41

F p =

. 设线段AB 的中点为),(00y x P ，直线l 的斜率为k ，则0212x x x =+.

若直线l 的斜率不存在，当且仅当021=+x x 时，AB 的垂直平分线l 为y 轴，经过抛物线的焦点F. 若直线l 的斜率存在，则其方程为00)(y x x k y +-=，k

k AB 1-=.

由

p x k AB

=?01得：410=

-kx ，∴k

x 410-

=.

若直线l 经过焦点F ，则得：

0004

18

1y y kx +=+-=，4

10-=y ，与00≥y 相矛盾.

∴当直线l 的斜率存在时，它不可能经过抛物线的焦点F.

综上所述，当且仅当021=+x x 时，直线l 经过抛物线的焦点F. （Ⅱ）当3,121-==x x 时，.102

,12

),18,3(),2,1(2

102

10=+=

-=+=

-y y y x x x B A

由

p x k AB

=?01得：4

1=

k .

∴所求的直线l 的方程为10)1(4

1++=x y ，即.0414=+-y x

金指点睛

1. 已知直线02=--y x 与抛物线x y 42

=交于A 、B 两点，那么线段AB 的中点坐标是________. 2. 直线2-=kx y 与抛物线x y 82

=交于不同的两点P 、Q ，若PQ 中点的横坐标是2，则||PQ =____. 3. 已知抛物线C 的顶点在原点，焦点在x 轴的正半轴上，直线14:+-=x y l 被抛物线C 所截得的弦AB 的中点M 的纵坐标为2-，则抛物线C 的方程为____________.

4. 设1P 2P 为抛物线y x =2

的弦，如果这条弦的垂直平分线l 的方程为3+-=x y ，求弦1P 2P 所在的直线方程.

5. 过点)1,4(Q 作抛物线x y 82

=的弦AB ，若弦AB 恰被Q 平分，则AB 所在的直线方程为_______. 6. 已知抛物线2

2x y =上有不同的两点A 、B 关于直线m x y l +=:对称，求实数m 的取值范围. 7. （05全国Ⅲ理21）设),(),,(2211y x B y x A 两点在抛物线2

2x y =上，l 是AB 的垂直平分线. （Ⅰ）当且仅当21x x +取何值时，直线l 经过抛物线的焦点F ？证明你的结论.

（Ⅱ）当直线l 的斜率为2时，求l 在y 轴上的截距的取值范围.

8. (08陕西文理20) 已知抛物线22x y C =：，直线2+=kx y 交C 于A 、B 两点，M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的垂线交C 于点N.

（Ⅰ）证明：抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行；

（Ⅱ）是否存在实数k 使0=?NB NA ，若存在，求k 的值；若不存在，请说明理由.

参考答案

1. 解：x y 42=，mx y 22=，∴2=m . 直线的斜率为1. 由m y k MN =?0得：20=y . 代入0200=--y x 求得40=x .

∴线段AB 的中点坐标是)2,4(.

2. 解：x y 82=，mx y 22=，∴4=m .

在2-=kx y 中，20=x 时，220-=k y ，∴若PQ 中点的纵坐标是220-=k y . 由m y k AB =?0得：4)22(=-k k ，即022=--k k . 解之得：2=k 或1-=k .

由???=-=.

8,22x y kx y 得：04)2(422=++-x k x k . 直线与抛物线交于不同的两点，

∴????

?-+=?≠.

016)2(16,

02

22 k k k 解之得：k ＞1-且0≠k .

∴2=k .

由???=-=.

8,222x y x y 得：041642=+-x x . 即0142=+-x x . 设),(),,(2211y x Q y x P ，则1,42121==+x x x x .

∴[

]

152)416(54)()1(||212

212

=-=

-++=

x x x x k PQ .

3. 解：x y 82

=，mx y 22

=，∴4=m .

由m y k AB =?0得：4=AB k .

∴AB 所在的直线方程为)4(41-=-x y ，即0154=--y x . 4. 解：设抛物线的方程为mx y 22=（m ＞0）. 在14+-=x y 中，斜率为4-，2-=y 时，4

3=x . ∴弦AB 的中点M 的坐标为)2,4

3(--

.

由m y k AB =?0得：m =-?-)2(4，∴8=m .

∴所求的抛物线的方程为x y

162

=.

5. 解：y x =2，my x 22=，∴21=

m . 弦1P 2P 所在直线的斜率为1. 设弦1P 2P 的中点坐标为),(00y x .由

m x k P P =?02

11得：2

10=

x .

弦1P 2P 的中点也在直线3+-=x y 上，∴2

532

10=

+-

=y .弦1P 2P 的中点坐标为)2

5

,21(.

∴弦1P 2P 所在的直线方程为)2

1(12

5-

?=-

x y ，即02=+-y x .

6. 解：设弦AB 的中点为),(00y x P . 根据题意，l AB ⊥，∴1-=AB k .

又y x 2

12

=

，my x

22

=，∴4

1=

m .

由

m x k AB

=?01，得：4110=?-x ，∴4

10-

=x .

又由m x y +=00，得：m y +-

=4

10.

点),(00y x P 在抛物线的开口内，

∴2

)41(-

＜

)4

1(2

1m +-?.

解之得：m ＞8

3.

故实数m 的取值范围),8

3

(+∞.

7. 解：（Ⅰ）y x 2

12

=

，∴)8

1

,0(,41

F p m =

=. 设线段AB 的中点为),(00y x P ，直线l 的斜率为k ，则0212x x x =+.

若直线l 的斜率不存在，当且仅当021=+x x 时，AB 的垂直平分线l 为y 轴，经过抛物线的焦点F.

若直线l 的斜率存在，则其方程为00)(y x x k y +-=，k

k AB 1-=.

由

m x k AB

=?01得：410=

-kx ，∴k

x 410-

=.

若直线l 经过焦点F ，则得：

0004

18

1y y kx +=+-=，4

10-=y ，与00≥y 相矛盾.

∴当直线l 的斜率存在时，它不可能经过抛物线的焦点F.

综上所述，当且仅当021=+x x 时，直线l 经过抛物线的焦点F. （Ⅱ）当2=k 时，由（Ⅰ）知，8

10-

=x ，直线l 的方程为4

120+

+=y x y ，

∴它在y 轴上的截距4

10+

=y b ，4

10-

=b y .

直线AB 的方程为00)(2

1y x x y +--

=，即16

521-

+-

=b x y .

代入22x y =并整理得：08

5242

=+

-+b x x .

直线AB 与抛物线有两个不同交点， ∴)8

52(161+--=?b ＞0，即932-b ＞0.

∴b ＞

32

9.

故l 在y 轴上的截距的取值范围是),329(+∞.

8.（Ⅰ）证明：41,2

12

=

==

p m y x ，设点M 的坐标为),(00y x

当0=k 时，点M 在y 轴上，点N 与原点O 重合，抛物线C 在点N 处的切线为x 轴，与AB 平行.

当0≠k 时，由

p x k AB

=?01得：4

0k x =

.

∴822

2

k

x y N ==. 得点N 的坐标为)8,4(2

k

k . 设抛物线C 在点N 处的切线方程为)4

(82

k x m k

y -

=-

，即8

)4

(2

k

k x m y +

-

=.

代入22x y =，得：8

)4

(22

2

k

k x m x +

-

=，

整理得：08

4

22

2

=-

+

-k

km mx x .

0)(2)8

4

(

82

2

22

2

=-=+-=-

-=?k m k

km m k

km m ，

∴k m =，即抛物线C 在点N 处的切线的斜率等于直线AB

故抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行.

（Ⅱ）解：若0=?NB NA ，则NB NA ⊥，即?=∠90ANB .

∴||2||2||2||MN BM AM AB ===.

4

822

00+=

+=k

kx y ，

∴8

168

4

8||2

2

2

0+=

-

+=

-=k

k

k

y y MN N .

由???=+=.

2,22

x y kx y 得0222=--kx x . 设),(),,(2211y x B y x A ，则1,2

2121-==

+x x k x x .

∴)16)(1(2

1)44

)(

1(]4))[(1(||2

2

2

2

212

212

++=

++=

-++=

k

k

k

k

x x x x k AB .

∴

8

162)16)(1(2

12

2

2

+?

=++k k

k

. 即4

)16()16)(1(2

2

2

2+=

++k k k .

化简，得：4

1612

2

+=

+k

k ，即42

=k .

∴2±=k .

故存在实数2±=k ，使0=?NB NA .

定比点差法及其应用解说

定比点差法及其应用解说 一、定比分点 若 ，则称点为点 、的 定比分点． 当 时，点在线段 上，称为内分点； 当

（ ）时，点在线段的延长线上，称为外分点． 定比分点坐标公式：若点，，，则点的坐标为 二、点差法 点差法其实可以看作是方程的相减，是对方程的一个巧妙的处理。 若点在有心二次曲线 上，则有 两式作差得 此即有心二次曲线的垂径定理，可以解决与弦的中点相关的问题． 1、弦的中点 点差法一个妙用： 例1 已知椭圆，直线交椭圆于两点，为的中点，求证：为定值。

分析用常规方法设直线也可以解决，但是计算就很繁杂，在这里使用点差法。解设，， 在椭圆上：， 作差得： 即：， 因为 所以，为定值。 以上结论与弦的中点有关，也称为垂径定理。 考虑当椭圆为圆的时候，，则，，正好也符合圆的“垂径定理”。

在双曲线中同样有类似的结论，但定值为，在这里就不再推导了。 2、弦上的定比分点 当弦上的点不再是中点时，就成了定比分点： 设，，，则点坐标可以表示为： ， 证明设，，化简可得： ，同理 这时候就出现了这样形式的式子。 如果再凑出，可能大家就会有点感觉了： 可以将椭圆的方程乘上一个再作差，得到这样的式子。 因此我们想到了“定比点差法”这样的技巧。 例2 已知椭圆，在椭圆外，过作直线交椭圆于两点，在线段上且满足：，求证：点在定直线上。

分析按照以上思路，要出现和这样的式子，很容易想到设的坐标，再表示出的坐标。 解设，，， 则，结合图形得： 则， 在椭圆上：①，② 得： 即 ，所以在定直线上。 下面介绍定比点差法： 若点在有心二次曲线上，则有 两式作差得

点差法

点差法（选做） 对点差法掌握不太熟练的同学建议阅读例题及变式，选做练习题，注意知二得一。 例题：过点M （1，1）作斜率为﹣1 2 的直线与椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于 ． 分析：利用点差法，结合M 是线段AB 的中点，斜率为﹣ 1 2 ，即可求出椭圆C 的离心率． 解析：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则221122 1.x y a b +=，22 2222 1.x y a b +=， ∵过点M （1，1）作斜率为﹣1 2 的直线与椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>相交于A ，B 两点， M 是线段AB 的中点，∴两式相减可得 22212().02a b +-= ，a ∴= ∴c b ==， ∴2c e a = = ．故答案为：2 ． 点评：若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为),(11y x A 、),(22y x B ，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。一般用于已知斜率与中点坐标两者之一或两者都已知或未知，进而求解求解其它参数（离心率）的情况． 结论：在椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>中，若直线l 与椭圆相交于M,N 两点，点P （x 0，y 0） 是弦MN 中点，弦MN 所在的直线l 的斜率是MN K ,则有：MN K .2 020y b x a =-. 变式一：已知直线与椭圆22 194 x y +=交于A ，B 两点，设线段AB 的中点为P ，若直线的斜率为k 1，直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2等于 分析：利用“平方差法”、线段中点坐标公式、斜率计算公式即可得出． 解析：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），P （x 0，y 0）．则 1202x x x +=，12 02 y y y +=，

九年级数学二次函数几种解析式的求法素材

二次函数的解析式求法 求二次函数的解析式这类题涉及面广，灵活性大，技巧性强，笔者结合近几年来的中考 试题，总结出几种解析式的求法，供同学们学习时参考。 一、 三点型 例1 已知一个二次函数图象经过（-1，10）、（2，7）和（1，4）三点，那么这个函 数的解析式是_______。 分析 已知二次函数图象上的三个点，可设其解析式为y=ax 2 +bx+c,将三个点的坐标代 入，易得a=2,b=-3,c=5 。故所求函数解析式为y=2x 2-3x+5. 这种方法是将坐标代入y=ax 2+bx+c 后，把问题归结为解一个三元一次方程组，求出待定系 数 a, b , c, 进而获得解析式y=ax 2+bx+c. 二、交点型 例2 已知抛物线y=-2x 2+8x-9的顶点为A ，若二次函数y=ax 2+bx+c 的图像经过A 点， 且与x 轴交于B （0，0）、C （3，0）两点，试求这个二次函数的解析式。 分析 要求的二次函数的图象与x 轴的两个交点坐标，可设y=ax(x-3),再求也y=-2x 2+8x-9的顶点A （2，-1）。将A 点的坐标代入y=ax(x-3),得到a=21 ∴y=21x(x-3),即 y= x x 23212 . 三、顶点型 例 3 已知抛物线y=ax 2 +bx+c 的顶点是A(-1,4)且经过点(1,2)求其解析式。 分析 此类题型可设顶点坐标为(m,k)，故解析式为y=a(x-m)2+k.在本题中可设y=a(x+1)2+4.

再将点(1,2)代入求得a=-21 ∴y=-,4)1(212++x 即y=-.272 12+-x x 由于题中只有一个待定的系数a ，将已知点代入即可求出，进而得到要求的解析式。 四、平移型 例 4 二次函数y=x 2 +bx+c 的图象向左平移两个单位，再向上平移3个单位得二次函 数,122+-=x x y 则b 与c 分别等于 (A)2,-2;(B)-6,6;(c)-8,14;(D)-8,18. 分析 逆用平移分式，将函数y=x 2 -2x+1的顶点（1，0）先向下平移3个单位，再向右平移 两个单位得原函数的图象的顶点为（3，-3）。 ∴y=x 3)3(22--=++x c bx =x .662 +-x ∴b=-6,c=6. 因此选（B ） 五、弦比型 例 5 已知二次函y=ax 2+bx+c 为x=2时有最大值2，其图象在X 轴上截得的线段长为 2，求这个二次函数的解析式。 分析 弦长型的问题有两种思路，一是利用对称性求出交点坐标，二是用弦比公式d=a ?

点差法在圆锥曲线的应用

中点弦与点差法在圆锥曲线的应用 【考情分析】 1、高考要求 （1）了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用； （2）掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）； （3）了解双曲线的定义、结合图形和标准方程、知道它的简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率、渐近线）； （4）了解曲线与方程的对应关系； （5）理解数形结合的思想； （6）了解圆锥曲线的简单应用。 从全国卷考试说明，全国卷椭圆和抛物线要求比较高，都是“掌握”和“理解”，而对双曲线要求大大降低，是“了解”；直线与圆锥曲线、曲线与方程的要求都是“了解”。 【复习本专题的意义】 解析几何是高考的重点，也是难点。一轮复习应该在注重知识面广的同时，要根据文科数学的特点加强思想方法的渗透，总结一些源于教材而高于教材的重要结论和解题规律，做到基础扎实、结论熟练、思路清晰、方法准确、讲练得体，并引导学生充分结合考试说明和命题规律，学会整理知识要点、解题方法、解题技巧，分类收集典型考例，深入浅出，自然实现重点突出，难点的突破，在能力提升同时也为二轮复习打下前站，为二轮复习的飞跃打下坚实的基础。 与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。涉及到解决圆锥曲线中点弦的问题，常采用“点差法”来求解。“点差法”是利用直线和圆锥曲线的两个交点，把交点代入圆锥曲线的方程，得到两个等式，两式相减，可以得到一个与弦的斜率及中点相关的式子（也称中点和斜率结合公式），再结合已知条件，运用学过的知识使问题得到解决。当题目涉及弦的中点、斜率时，一般都可以用点差法来解。与韦达定理法复杂繁琐的计算相比，点差法可以大大减少运算量，优化解题过程，达到“设而不求”的目的。 本微专题将从求弦的斜率与弦的中点问题、求弦中点轨迹、求弦的中点坐标、弦的垂直平分线问题和求曲线的方程等方面引导学生自主学习、合作探究，使一轮复习备考落实到实处，为2019年高考取胜作充分准备。 【教学内容】 直线与二次曲线相交，特别是直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是解析几何中的重要内容之一，也是高考的一个热点问题。这类问题一般有以下三种类型：（1）求中点弦所在直线方程问题；（2）求弦中点的轨迹方程问题；（3）求弦中点的坐标问题。其解法有代点相减法、设而不求法、参数法、待定系数法及中心对称变换法等。 一、求中点弦所在直线方程问题

点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用

点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用 定理 在椭圆122 22=+b y a x （a ＞b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，点) ,(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则22 00a b x y k MN -=?. 证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ， 则有???????=+=+)2(.1)1(,122 22 2222 1221 b y a x b y a x )2()1(-，得.022 22 122 22 1=-+-b y y a x x .22 12121212a b x x y y x x y y -=++?--∴ 又.22,21211212x y x y x x y y x x y y k MN ==++--= .22 a b x y k MN -=?∴ 同理可证，在椭圆122 22=+a y b x （a ＞b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，点) ,(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则22 00b a x y k MN -=?. 典题妙解 例1 设椭圆方程为14 2 2 =+y x ，过点)1,0(M 的直线l 交椭圆于点A 、B ，O 为坐标原点，点P 满足 1()2OP OA OB =+ ，点N 的坐标为?? ? ??21,21.当l 绕点 M 旋转时，求： （1）动点P 的轨迹方程； （2）||NP 的最大值和最小值. 解：（1）设动点P 的坐标为),(y x .由平行四边形法则可知：点P 是弦AB 的中点 .

二次函数待定系数法求函数解析式

精心整理 专题训练求二次函数的解析式 一、已知三点求解析式 1.抛物线y＝ax2＋bx＋c经过（－1，－22），（0，－8），（2，8）三点，求它的开口方 2. 3. 4. 5. 6. 7. 线的顶点记为M，它的对称轴与x轴的交点记为N.（1）求抛物线C的解析式；（2）求点M的坐标； 8.已知：如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过A，B，C三点.求此抛物线的解析式.

9.如图所示，求此抛物线的解析式。 10.如图，抛物线c bx x y ++-=2 2 1与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且OA ＝2，OC ＝3．求抛物线的解析式． 11．如图所示，抛物线y ＝ax 2＋bx －4a 经过点A （－1，0），C （0， 4）. （1（212.. 13.3）. 和y 二、已知顶点或对称轴求解析式 1.在平面直角坐标系内，二次函数图象的顶点为A （1，－4），且过点B （3，0），求该二次函数的解析式. 2.已知二次函数图象的顶点是（1，－3），且经过点M （2，0），求这个函数的解析式.

3.如果抛物线的顶点坐标是（3，－1），与y 轴的交点是（0，－4），求它的解析式。 4.已知抛物线y ＝x 2＋kx ＋k ＋3，若抛物线的顶点在y 轴上，求此抛物线的解析式。 5.已知抛物线经过点A （1，0），B （0，3），且对称轴是直线x ＝2，求该抛物线的解析式. 6.已知某二次函数，当x =3时，函数有最小值－2，且函数图象与y 轴交于)2 5 ,0(，求此二次函数的解析式。 7. 8.9.10.直线x ＝1的函 11.如图，已知抛物线的顶点为A （1， 4），抛物线与y 轴交于点B （0，3），与x 轴交于C ，D 两点.P 是x 轴上的一个动点.（1）求此抛物线的解析式；（2）当P A ＋PB 的 1 0 1 2 3 10 5 2 1 2

高考数学“点差法”在解析几何题中的应用

“点差法”在解析几何题中的应用 在处理直线与圆锥曲线相交形成的弦中点的有关问题时，我们经常用到如下解法：设弦的两个端点坐标分别为1122,,x y x y 、，代入圆锥曲线得两方程后相减，得到弦中 点坐标与弦所在直线斜率的关系，然后加以求解，这即为“点差法” ，此法有着不可忽视的作用，其特点是巧代斜率.本文列举数例，以供参考. 1求弦中点的轨迹方程 例1已知椭圆2 212x y ，求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程. 例2直线:50l ax y a （a 是参数）与抛物线 2:1f y x 的相交弦是AB ，则弦AB 的中点轨迹方程是 . 2求曲线方程 例3已知ABC 的三个顶点都在抛物线 232y x 上，其中2,8A ，且ABC 的重心G 是抛物线的焦点，求直线 BC 的方程. 例4已知椭圆222210x y a b a b 2a c ，有一条倾斜角为4的直线交椭圆于 A B 、两点，若AB 的中点为11,24C ，求椭圆方程. 3确定参数的范围 例6若抛物线2:C y x 上存在不同的两点关于直线:3l y m x 对称，求实数m 的取值范围. .

4证明定值问题 例7已知AB 是椭圆222210x y a b a b 不垂直于x 轴的任意一条弦，P 是 AB 的中点，O 为椭圆的中心.求证：直线AB 和直线OP 的斜率之积是定值. . 5处理存在性问题 例8已知双曲线221 12x y ，过1,1B 能否作直线l ，使l 与双曲线交于P ，Q 两点，且B 是线段PQ 的中点，这样的直线如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由. 点差法练习 1、已知双曲线2 212y x ，过点(1,1)B 能否作出直线m ，使m 与所给双曲线交于1Q ，2Q 且点B 为线段12Q Q 的中点？若存在，求出它的方程；若不存在，说明理由。 2、已知直线1y ax 和双曲线2231x y 交于,A B 两点，是否存在实数a ，使,A B 两点关于 直线2y x 对称？3、已知椭圆22221(0)x y a b a b ，,A B 是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交 于点0(,0)P x ，求证：22220a b a b x a a

点差法弦长公式

点差法 1.过点(1，0)的直线l 与中心在原点，焦点在x 轴上且离心率为 2 2的 椭圆C 相交于A 、B 两点，直线y =2 1x 过线段AB 的中点，同时椭圆C 上存在一点与右焦点关于直线l 对称，试求直线l 与椭圆C 的方程. 命题意图：本题利用对称问题来考查用待定系数法求曲线方程的方法，设计新颖，基础性强，属★★★★★级题目. 知识依托：待定系数法求曲线方程，如何处理直线与圆锥曲线问题，对称问题. 错解分析：不能恰当地利用离心率设出方程是学生容易犯的错误.恰当地利用好对称问题是解决好本题的关键. 技巧与方法：本题是典型的求圆锥曲线方程的问题，解法一，将A 、B 两点坐标代入圆锥曲线方程，两式相减得关于直线AB 斜率的等式.解法二，用韦达定理. 解法一：由 e =2 2 =a c ,得21 222=-a b a ,从而a 2=2b 2, c =b . 设椭圆方程为x 2+2y 2=2b 2,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)在椭圆上. 则x 12+2y 12=2b 2,x 22+2y 22=2b 2,两式相减得，(x 12－x 22)+2(y 12－y 22)=0, .) (2212 12121y y x x x x y y ++-=-- 设AB 中点为(x 0,y 0),则k AB =－ 2y x ,又(x 0,y 0)在直线y =21 x 上，y 0=2 1x 0,

于是－ 02y x = －1,k AB =－1,设l 的方程为y =－x +1. 右焦点(b ,0)关于l 的对称点设为(x ′,y ′), ?? ?-='='???????++'-='=-'' b y x b x y b x y 11 1 22 1解得则 由点(1,1－b )在椭圆上，得1+2(1－b )2=2b 2,b 2=8 9 ,1692=a . ∴所求椭圆C 的方程为2 29 1698y x + =1,l 的方程为y =－x +1. 解法二：由 e =21 ,22222=-=a b a a c 得,从而a 2=2b 2,c =b . 设椭圆C 的方程为x 2+2y 2=2b 2,l 的方程为y =k (x －1), 将l 的方程代入C 的方程，得(1+2k 2)x 2－4k 2x +2k 2－2b 2=0,则 x 1+x 2= 2 2 214k k +,y 1+y 2=k (x 1－1)+k (x 2－1)=k (x 1+x 2)－2k =－ 2 212k k +. 直线 l ：y =2 1x 过AB 的中点( 2 ,22 121y y x x ++),则 2 2 22122121k k k k +?=+-,解得 k =0，或k =－1. 若k =0,则l 的方程为y =0,焦点F (c ,0)关于直线l 的对称点就是F 点本身，不能在椭圆C 上，所以k =0舍去，从而k =－1，直线l 的方程为y =－(x －1),即y =－x +1,以下同解法一. 2.(★★★★★)已知圆C 1的方程为(x －2)2+(y －1) 2 =3 20,椭圆 C 2的方程为2 2 22b y a x +=1(a ＞b ＞0)， C 2的离心率为 2 2 ，如果C 1与C 2相交于A 、B 两点，且线段AB 恰为 圆C 1的直径，求直线AB 的方程和椭圆C 2的方程.

求二次函数解析式的四种方法详解

求二次函数解析式的四种基本方法 二次函数是初中数学的一个重要内容，也是高中数学的一个重要基础。熟练地求出二次函数的解析式是解决二次函数问题的重要保证。 二次函数的解析式有三种基本形式： 1、一般式：y=ax 2 +bx+c (a ≠0)。 2、顶点式：y=a(x －h)2+k (a ≠0)，其中点(h,k)为顶点，对称轴为x=h 。 3、交点式：y=a(x －x 1)(x －x 2) (a ≠0)，其中x 1,x 2是抛物线与x 轴的交点的横坐标。 4.对称点式： y=a(x －x 1)(x －x 2)+m (a ≠0) 求二次函数的解析式一般用待定系数法，但要根据不同条件，设出恰当的解析式： 1、若给出抛物线上任意三点，通常可设一般式。 2、若给出抛物线的顶点坐标或对称轴或最值，通常可设顶点式。 3、若给出抛物线与x 轴的交点或对称轴或与x 轴的交点距离，通常可设交点式。 4.若已知二次函数图象上的两个对称点（x 1、m)(x 2、m),则设成： y=a(x －x 1)(x －x 2)+m (a ≠0)，再将另一个坐标代入式子中，求出a 的值，再化成一般形式即可。 探究问题，典例指津： 例1、已知二次函数的图象经过点)4,0(),5,1(---和)1,1(．求这个二次函数的解析式． 分析：由于题目给出的是抛物线上任意三点，可设一般式y=ax 2+bx+c (a ≠0)。 解：设这个二次函数的解析式为y=ax 2+bx+c (a ≠0) 依题意得：?????=++-=-=+-145c b a c c b a 解这个方程组得：?? ???-===432c b a ∴这个二次函数的解析式为y=2x 2 +3x －4。 例2、已知抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为)1,4(-，与y 轴交于点)3,0(，求这条抛物线的解析式。 分析：此题给出抛物线c bx ax y ++=2的顶点坐标为)1,4(-，最好抛开题目给出的c bx ax y ++=2，重新设顶点式y=a(x －h)2+k (a ≠0)，其中点(h,k)为顶点。 解：依题意，设这个二次函数的解析式为y=a(x －4)2 －1 (a ≠0) 又抛物线与y 轴交于点)3,0(。

抛物线点差法

抛物线点差法

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点差法————抛物线中点弦问题中的妙用 定理 在抛物线)0(22 ≠=m mx y 中，若直线l 与抛物线相交于M 、N 两点,点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则m y k MN =?0. 证明:设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ,则有?????==) 2(.2) 1(,2222121 mx y mx y )2()1(-，得).(2212 221x x m y y -=- .2)(121 21 2m y y x x y y =+?--∴ 又0121 21 22,y y y x x y y k MN =+--= . m y k MN =?∴0. 注意:能用这个公式的条件：（１）直线与抛物线有两个不同的交点;(２）直线的斜率存在. 同理可证,在抛物线)0(22 ≠=m my x 中,若直线l 与抛物线相交于M 、N 两点,点),(00y x P 是弦ＭN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ,则 m x k MN =?01. 注意:能用这个公式的条件:(1）直线与抛物线有两个不同的交点；(２)直线的斜率存在，且不等于零. 典题妙解 例1 抛物线x y 42 =的过焦点的弦的中点的轨迹方程是（ ) A. 12 -=x y Ｂ. )1(22 -=x y C. 2 1 2- =x y D. 122-=x y 解：2=m ，焦点)0,1(在x 轴上． 设弦的中点M 的坐标为),(y x ． 由m y k MN =?得： 21 =?-y x y , 整理得：)1(22 -=x y ． ∴所求的轨迹方程为)1(22-=x y .故选B ．

二次函数y=abc解析式求法

第8课时二次函数y＝ax2＋bx＋c解析式求法 一、学习目标： 1．会用待定系数法求二次函数的解析式； 2．实际问题中求二次函数解析式． 二、课前基本练习 1．已知二次函数y＝x2＋x＋m的图象过点（1，2），则m的值为________________．2．已知点A（2，5），B（4，5）是抛物线y＝4x2＋bx＋c上的两点，则这条抛物线的对称轴为_____________________． 3．将抛物线y＝－(x－1)2＋3先向右平移1个单位，再向下平移3个单位，则所得抛物线的 解析式为____________________． 4．抛物线的形状、开口方向都与抛物线y＝－1 2x 2相同，顶点在（1，－2），则抛物线 的解 析式为________________________________． 三、例题分析 例1 已知抛物线经过点A（－1，0），B（4，5），C（0，－3），求抛物线的解析式． 例2 已知抛物线顶点为（1，－4），且又过点（2，－3）．求抛物线的解析式． 例3 已知抛物线与x轴的两交点为（－1，0）和（3，0），且过点（2，－3）．求抛物线的解析式． 四、归纳 用待定系数法求二次函数的解析式用三种方法： 1．已知抛物线过三点，设一般式为y＝ax2＋bx＋c． 2．已知抛物线顶点坐标及一点，设顶点式y＝a(x－h)2＋k． 3．已知抛物线与x轴有两个交点（或已知抛物线与x轴交点的横坐标），设两根式：y＝a(x－x1)(x－x2) ．（其中x1、x2是抛物线与x轴交点的横坐标） 五、实际问题中求二次函数解析式 例4 要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为 3m，水柱落地处离池中心3m，水管应多长？ 六、课堂训练 1．已知二次函数的图象过（0，1）、（2，4）、（3，10）三点，求这个二次函数的关系式． 2．已知二次函数的图象的顶点坐标为（－2，－3），且图像过点（－3，－2），求这个二次 函数的解析式． 3．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像与x轴交于A（1，0），B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3），求二次函数的顶点坐标．

二次函数解析式的8种求法

二次函数解析式的8种求法 河北 高顺利 二次函数的解析式的求法是数学教学的难点，学不易掌握．他的基本思想方法是待定系数法，根据题目给出的具体条件，设出不同形式的解析式，找出满足解析式的点，求出相应的系数．下面就不同形式的二次函数解析式的求法归纳如下，和大家共勉： 一、定义型： 此类题目是根据二次函数的定义来解题，必须满足二个条件：1、a ≠0； 2、x 的最高次数为2次． 例1、若 y =( m 2+ m )x m 2 – 2m －1是二次函数，则m = ． 解：由m 2+ m ≠0得:m ≠0，且 m ≠－ 1 由m 2–2m –1 = 2得m =－1 或m =3 ∴ m = 3 ． 二、开放型 此类题目只给出一个条件，只需写出满足此条件的解析式，所以他的答案并不唯一． 例2、(1)经过点A （0，3）的抛物线的解析式是 ． 分析：根据给出的条件，点A 在y 轴上，所以这道题只需满足c b a y ++=χχ2 中的C =3，且a ≠0即可∴32++=χχy （注：答案不唯一） 三、平移型： 将一个二次函数的图像经过上下左右的平移得到一个新的抛物线．要借此类题目，应先将已知函数的解析是写成顶点式y = a ( x – h )2 + k ，当图像向左（右）平移n 个单位时，就在x – h 上加上（减去）n ；当图像向上（下）平移m 个单位时，就在k 上加上（减去）m ．其平移的规律是：h 值正、负，右、左移；k 值正负，上下移．由于经过平移的图像形状、大小和开口方向都没有改变，所以a 得值不变．

例3、二次函数 253212++=χχy 的图像是由22 1χ=y 的图像先向 平移 个 单位，再向 平移 个单位得到的． 解： 253212++= χχy = ()232 12-+χ， ∴二次函数 253212++=χχy 的图像是由221χ=y 的图像先向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到的． 这两类题目多出现在选择题或是填空题目中 四、一般式 当题目给出函数图像上的三个点时，设为一般式c b a y ++=χχ2 ，转化成一个三元一次方程组，以求得a ，b ，c 的值； 五、顶点式 若已知抛物线的顶点或对称轴、极值，则设为顶点式()k h x a y +-=2．这顶点坐标为（ h ，k ），对称轴方程x = h ，极值为当x = h 时，y 极值=k 来求出相应的系数； 六、两根式 已知图像与 x 轴交于不同的两点()()1200x x ，，， ，设二次函数的解析式为()()21x x x x a y --=，根据题目条件求出a 的值． 例4、根据下面的条件，求二次函数的解析式： 1．图像经过（1，－4），（－1，0），（－2，5） 2．图象顶点是（－2，3），且过（－1，5） 3．图像与x 轴交于（－2，0），（4，0）两点，且过（1，－ 29） 解：1、设二次函数的解析式为：c b a ++=χχγ2，依题意得： 40542a b c a b c a b c -=++??=-+??=-+? 解得：?? ???-=-==321c b a

点差法公式在双曲线中点弦问题中的妙用

点差法公式在双曲线中点弦问题中的妙用 广西南宁外国语学校 隆光诚（邮政编码530007） 圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型，在选择题、填空题和解答题中都是命题的热点。它的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。 若已知直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”，它的一般结论叫做点差法公式。本文就双曲线的点差法公式在高考中的妙用做一些粗浅的探讨，以飨读者。 定理 在双曲线 12 22 2=- b y a x （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于M 、N 两点，点 ),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2 20 0a b x y k MN = ? . 证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有???????=-=-)2(.1)1(,122 2222 22 1 221 b y a x b y a x )2()1(-，得 .02 2 2 2 12 2 2 2 1=-- -b y y a x x .2 21 2121 212a b x x y y x x y y = ++? --∴ 又.22, 00 02 1211 212x y x y x x y y x x y y k MN = = ++--= .2 20 0a b x y k MN =? ∴ 同理可证，在双曲线 12 22 2=- b x a y （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于M 、N 两点， 点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2 20 0b a x y k MN = ? . 典题妙解 例1 已知双曲线13 :2 2 =- x y C ，过点)1,2(P 作直线l 交双曲线C 于A 、B 两点.

二次函数解析式的几种求法

二次函数解析式的几种求法 初三《数学》“函数及其图象”的难点是二次函数，其重点是求函数的解析式。近几年全国各省市初中毕业会考、中考等，大都有求函数解析式这类题目出现。为使学生更好地掌握这部分知识，就如何求二次函数解析式的问题，谈谈下面几种方法。 一、 已知三点求二次函数的解析式 当已知二次函数的图象经过三已知点时，通常把这三点的坐标 代入一般式c bx ax y ++=2中，可得以a 、b 、c 为未知数的三元方程组，解此方程组求得a 、b 、c 的值再代入一般式可得所求函数解析式。 例1、已知二次函数的图象经过点A )2 3,2(-、B )6,7(、C )30,5(-，求这个二次函数的解析式。 解：设这个二次函数的解析式为c ba ax y ++=2，则由题意得： ???????=+-=++-=++3052567492324c b a c b a c b a 解这个方程组，得21=a ，3-=b ，25=c . 故所求的二次函数的解析式为2 53212+-=x x y . 二、已知顶点坐标、对称轴、或极值求二次函数的解析式 当已知顶点坐标、对称轴、或极值时，可设其解析式为n m x a y +-=2)(（即顶点式）较为简便。 例2、已知二次函数图象的顶点为（2，5），且与y 轴的交点的 纵坐标为13，求这个二次函数的解析式。 解：设这个二次函数的解析式为5)2(2+-=x a y . ∵它与y 轴的交点为（0，13）， ∴135)20(2=+-a ， ∴2=a 故 所求的解析式为5)2(22+-=x y . 即 13822+-=x x y 例3、已知二次函数的图象过点（－1，2），对称轴为1=x 且最小值为－2，求这个函数的解析式。 解：由题设知抛物线的顶点为（1，－2），因此，设所求二次函

“点差法”在解析几何题中的应用

“点差法”在解析几何题中的应用 东北师大附属中学 2012.6.1 朱屿 在处理直线与圆锥曲线相交形成的弦中点的有关问题时，我们经常用到如下解法：设弦的两个端点坐标分别为()()1122,,x y x y 、，代入圆锥曲线得两方程后相减，得到弦中点坐标与弦所在直线斜率的关系，然后加以求解，这即为“点差法”，此法有着不可忽视的作用，其特点是巧代斜率.本文列举数例，以供参考. 1 求弦中点的轨迹方程 例1 已知椭圆2 212 x y +=，求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程. 解 设弦的两个端点分别为()()1122,,,P x y Q x y ，PQ 的中点为(),M x y . 则22 1112x y +=，（1）222212x y +=，（2） ()()12-得： ()22 22121202 x x y y -+-=， ()1212 1212 02x x y y y y x x +-∴ ++=-. 又12 121212 2,2, 2y y x x x y y y x x -+=+==-，40x y ∴+=. 弦中点轨迹在已知椭圆内，∴所求弦中点的轨迹方程为40x y +=（在已知椭圆内）. 例2 直线():50l ax y a --+=（a 是参数）与抛物线() 2 :1f y x =+的相交弦是AB ，则弦AB 的中点轨迹方程是 .

解 设()()1122,,A x y B x y 、，AB 中点(),M x y ，则122x x x +=. ()():150l a x y --+=，l ∴过定点()1,5N -，5 1 AB MN y k k x +∴==-. 又()2 111y x =+，（1）()2 221y x =+，（2） ()()12-得：()()()()22 12121212112y y x x x x x x -=+-+=-++， 12 1212 2AB y y k x x x x -∴==++-. 于是 5 221 y x x +=+-，即227y x =-. 弦中点轨迹在已知抛物线内，∴所求弦中点的轨迹方程为227y x =-（在已知抛物线内）. 2 求曲线方程 例3 已知ABC ?的三个顶点都在抛物线232y x =上，其中()2,8A ， 且ABC ?的重心G 是抛物线的焦点，求直线BC 的方程. 解 由已知抛物线方程得()8,0G .设BC 的中点为()00,M x y ，则 A G M 、、三点共线，且2AG GM =，G ∴分AM 所成比为2，于是 022812 82012 x y +?=??+? +?=??+， 解得0011 4 x y =??=-?，()11,4M ∴-. 设()()1122,,,B x y C x y ，则128y y +=-. 又21132y x =，（1）22232y x =，（2）

点差法习题(有答案)

点差法习题 【学习目标】 圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型，在选择题、填空题和解答题中都是命题的热点。它的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。 若已知直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”，它的一般结论叫做点差法公式。 使用说明及学法指导】 1、通过证明定理，熟悉“点差法”的运用； 2、记住点差法推导出的公式，并熟练应用； 若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为),(11y x A 、),(22y x B ，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。 一、自主证明 1、定理 在椭圆122 22=+b y a x （a ＞b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，点 ),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则 22 00a b x y k MN -=?. 同理可证，在椭圆122 22=+a y b x （a ＞b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，点 ),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则 22 00b a x y k MN -=?. 2、定理 在双曲线122 22=-b y a x （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于M 、N 两点，点 ),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则22 00a b x y k MN =?. 同理可证，在双曲线122 22=-b x a y （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于M 、N 两点，点 ),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则 22 00b a x y k MN =?. 3、定理 在抛物线 )0(22≠=m mx y 中，若直线l 与抛物线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为 MN k ，则m y k MN =?0.

十种二次函数解析式求解方法

十种二次函数解析式求解方法 〈一〉三点式。 1， 已知抛物线y=ax 2+bx+c 经过A （3，0），B （32，0），C （0，-3）三点，求抛物线的解析式。 2， 已知抛物线y=a(x-1)２+4 ， 经过点A （2，3），求抛物线的解析式。 〈二〉顶点式。 1， 已知抛物线y=x 2-2ax+a 2+b 顶点为A （2，1），求抛物线的解析式。 2， 已知抛物线 y=4(x+a)2-2a 的顶点为（3，1），求抛物线的解析式。 〈三〉交点式。 1， 已知抛物线与 x 轴两个交点分别为（3，0）,(5,0),求抛物线y=(x-a)(x-b)的解析式。 2， 已知抛物线线与 x 轴两个交点（4，0），（1，0）求抛物线y= 21a(x-2a)(x-b)的解析式。 〈四〉定点式。 1， 在直角坐标系中，不论 a 取何值，抛物线222 5212-+-+-=a x a x y 经过x 轴上一定点Q ，直线2)2(+-=x a y 经过点Q,求抛物线的解析式。 2， 抛物线y= x 2 +(2m-1)x-2m 与x 轴的一定交点经过直线y=mx+m+4，求抛物线的解析式。 3， 抛物线y=ax 2+ax-2过直线y=mx-2m+2上的定点A ，求抛物线的解析式。 〈五〉平移式。 1， 把抛物线y= -2x 2 向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到抛物线y=a( x-h)2 +k,求此抛 物线解析式。

2， 抛物线32-+-=x x y 向上平移,使抛物线经过点C(0,2),求抛物线的解析式. 〈六〉距离式。 1， 抛物线y=ax 2+4ax+1(a ﹥0)与x 轴的两个交点间的距离为2，求抛物线的解析式。 2， 已知抛物线y=m x 2+3mx-4m(m ﹥0)与 x 轴交于A 、B 两点，与 轴交于C 点，且AB=BC,求此抛物线的解析式。 〈七〉对称轴式。 1、 抛物线y=x 2-2x+(m 2-4m+4)与x 轴有两个交点，这两点间的距离等于抛物线顶点到y 轴距离的2倍，求抛物 线的解析式。 2、 已知抛物线y=-x 2+ax+4, 交x 轴于A,B （点A 在点B 左边）两点，交 y 轴于点C,且OB-OA= 43OC ，求此抛物线的解析式。 〈八〉对称式。 1， 平行四边形ABCD 对角线AC 在x 轴上，且A （-10，0），AC=16，D （2，6）。AD 交y 轴于E ，将三角形ABC 沿x 轴折叠，点B 到B 1的位置，求经过A,B,E 三点的抛物线的解析式。 2， 求与抛物线y=x 2+4x+3关于y 轴（或x 轴）对称的抛物线的解析式。 〈九〉切点式。 1， 已知直线y=ax-a 2(a ≠0) 与抛物线y=mx 2 有唯一公共点，求抛物线的解析式。 2， 直线y=x+a 与抛物线y=ax 2 +k 的唯一公共点A （2，1）,求抛物线的解析式。 〈十〉判别式式。 1、 已知关于X 的一元二次方程（m+1）x 2+2(m+1)x+2=0有两个相等的实数根，求抛物线y=-x 2+(m+1)x+3解析 式。 2、 已知抛物线y=(a+2)x 2-(a+1)x+2a 的顶点在x 轴上,求抛物线的解析式。 3、已知抛物线y=(m+1)x 2+(m+2)x+1与x 轴有唯一公共点，求抛物线的解析式。

点差法应用

),(11y x ) ,(22y x 解析几何解题思路分析 求曲线方程、求弦长、求角、求面积、求特征量、求最值、证明某种关系、证明定值、求轨迹、求参数的取值范围、探索型、存在性讨论等问题仍将是常见的问题. 重点题型要熟练掌握，如： （1）中点弦问题 具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为 代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数. （2）焦点三角形问题 椭圆或双曲线上一点，与两个焦构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥 （3）直线与圆锥曲线位置关系问题 直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式，应特别注意数形结合的办法 （4）圆锥曲线的有关最值（范围）问题----定点定值问题 圆锥曲线中的有关最值（范围）问题，常用代数法和几何法解决 <1>若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决; <2>若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数（通常利用二次函数，三角函数， 均值不等式）求最值 （5）求曲线的方程问题 <1>曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决； <2>曲线的形状未知-----求轨迹方程 （6） 存在两点关于直线对称问题 在曲线上两点关于某直线对称问题，可以按如下方式分三步解决：求两点所在的直线，求这两直线的交点，使这交点在圆锥曲线形内（当然也可以利用韦达定理并结合判别式来解决）

“点差法”在解析几何题中的应用 在处理直线与圆锥曲线相交形成的弦中点的有关问题时，我们经常用到如下解法：设弦的两个端点坐标分别为()()1122,,x y x y 、，代入圆锥曲线得两方程后相减，得到弦中点坐标与弦所在直线斜率的关系，然后加以求解，这即为“点差法”，此法有着不可忽视的作用，其特点是巧代斜率.本文列举数例，以供参考. 1 求弦中点的轨迹方程 例1 已知椭圆2 212 x y +=，求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程. 解 设弦的两个端点分别为()()1122,,,P x y Q x y ，PQ 的中点为(),M x y . 则22 1112x y +=，（1）222212x y +=，（2） ()()12-得： ()22 22121202 x x y y -+-=， ()1212 1212 02x x y y y y x x +-∴ ++=-. 又12 121212 2,2, 2y y x x x y y y x x -+=+==-，40x y ∴+=. 弦中点轨迹在已知椭圆内，∴所求弦中点的轨迹方程为40x y +=（在已知椭圆内）. 例2 直线():50l ax y a --+=（a 是参数）与抛物线()2 :1f y x =+的相交弦是AB ， 则弦AB 的中点轨迹方程是 . 解 设()()1122,,A x y B x y 、，AB 中点(),M x y ，则122x x x +=. ()():150l a x y --+=，l ∴过定点()1,5N -，5 1 AB MN y k k x +∴==-. 又()2 111y x =+，（1）()2 221y x =+，（2） ()()12-得：() ()()()2 2 12121212112y y x x x x x x -=+-+=-++， 12 1212 2AB y y k x x x x -∴= =++-.