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双曲线点差法

点差法公式在双曲线中点弦问题中的妙用

圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型，在选择题、填空题和解答题中都是命题的热点。它的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。

若已知直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”，它的一般结论叫做点差法公式。本文就双曲线的点差法公式在高考中的妙用做一些粗浅的探讨，以飨读者。

定理在双曲线122

22=-b y a x （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于M 、N 两点，点

),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则22

00a

b x y k MN

=?. 证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有???????=-=-)2(.1)1(,122

222222

1221 b y a x b

y a x )2()1(-，得.022

122

1=---b

y a x x

.22

12121212a

b x x y y x x y y =++?--∴ 又.22,0

0021211212x y x y x x y y x x y y k MN ==++--=

.2200a

b x y k MN

=?∴ 同理可证，在双曲线122

22=-b

x a y （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于M 、N 两点，

点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2

00b a x y k MN

=?. 典题妙解

例1 已知双曲线13

=-x y C ，过点)1,2(P 作直线l 交双曲线C 于A 、B 两点.

（1）求弦AB 的中点M 的轨迹；

（2）若P 恰为弦AB 的中点，求直线l 的方程. 解：（1）,3,12

==b a 焦点在y 轴上.

设点M 的坐标为),(y x ，由22b a x y k AB

=?得：3

21=?--x y x y ，整理得：.03232

=+--y x y x

∴所求的轨迹方程为.032322=+--y x y x

（2） P 恰为弦AB 的中点，

∴由2200b a x y k AB

=?得：,3

121=?AB k 即.32

=AB k ∴直线l 的方程为)2(3

1-=

-x y ，即.0132=--y x 例2 已知双曲线22:2

=-y x C 与点).2,1(P

（1）斜率为k 且过点P 的直线l 与C 有两个公共点，求k 的取值范围；（2）是否存在过点P 的弦AB ，使得AB 的中点为P ？（3）试判断以)1,1(Q 为中点的弦是否存在.

解：（1）直线l 的方程为)1(2-=-x k y ，即.2k kx y -+=

由??

?=--+=.

22,

2y x k kx y 得.064)2(2)2(2

222=+-+---k k x k k x k

直线l 与C 有两个公共点，

∴得??

???+----=?≠-.0)64)(2(4)2(4,

022

2222 k k k k k k 解之得：k ＜

且.2±≠k ∴k 的取值范围是).2

,2()2,2()2,( ---∞

（2）双曲线的标准方程为.2,1,12

222

==∴=-b a y x 设存在过点P 的弦AB ，使得AB 的中点为P ，则由2200a

b x y k AB =?得：.1,22=∴=?k k 由（1）可知，1=k 时，直线l 与C 有两个公共点，

∴存在这样的弦.这时直线l 的方程为.1+=x y

（3）设以)1,1(Q 为中点的弦存在，则由2

200a b x y k AB

=?得：.2,21=∴=?k k 由（1）可知，2=k 时，直线l 与C 没有两个公共点，

∴设以)1,1(Q 为中点的弦不存在.

例3 过点)0,2(-M 作直线l 交双曲线1:2

=-y x C 于A 、B 两点，已知OB OA OP +=（O 为坐标原点），求点P 的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线.

解：在双曲线1:2

=-y x C 中，122==b a ，焦点在x 轴上.设弦AB 的中点为Q .

,OB OA OP +=

由平行四边形法则知：2=，即Q 是线段OP 的中点. 设点P 的坐标为),(y x ，则点Q 的坐标为??

??2,2y x . 由22

2a b

x y k AB

=?得：14222=?+=

?+x y x y x y x y

，整理得：.042

=+-x y x

配方得：

4)2(22=-+y x . ∴点P 的轨迹方程是

4)2(2

2=-+y x ，它是中心为)0,2(-，对称轴分别为x 轴和直线02=+x 的双曲线.

例 4. 设双曲线C 的中心在原点，以抛物线4322-=x y 的顶点为双曲线的右焦点，抛物线的准线为双曲线的右准线．（Ⅰ）试求双曲线C 的方程；

（Ⅱ）设直线:21l y x =+与双曲线C 交于,A B 两点，求AB ；

（Ⅲ）对于直线1:+=kx y l ，是否存在这样的实数k ，使直线l 与双曲线C 的交点,A B 关于直

线4:'

+=ax y l (a 为常数)对称，若存在，求出k 值；若不存在，请说明理由．

解：

（Ⅰ）由2

4y =-得)3

2(322

=x y ，

∴3=p ，抛物线的顶点是)0,3

，准线是3

213223=+-

=x . ∴在双曲线C 中，????

???

==.

321,322

a c . ∴.1,3122==

b a ∴双曲线C 的方程为1322=-y x . （Ⅱ）由???=-+=.

13,

122

2y x x y 得：0242=++x x . 设),(),,(2211y x B y x A ，则2,42121=-=+x x x x .

∴102]24)4)[(21(]4))[(1(||22212212=?--+=-++=x x x x k AB .

（Ⅲ）假设存在这样的实数k ，使直线l 与双曲线C 的交点,A B 关于直线'l 对称，则'l 是线段AB 的垂直平分线. 因而k a 1-

=，从而41

:'+-=x k

y l . 设线段AB 的中点为),(00y x P . 由22

00a b x y k AB

=?得：30

0=?x y k ，∴003x ky =.…………………………………………① 由41

00+?-

=x k

y 得：k x ky 400+-=.…………………………………………………② 由①、②得：3,00==y k x .

由100+=kx y 得：132+=k ，∴2±=k .

又由???+==-.

1,1322kx y y x 得：.022)3(2

2=++-kx x k

直线l 与双曲线C 相交于A 、B 两点，

∴)3(8422--=?k k ＞0，即2k ＜6，且32≠k .

∴符合题意的k 的值存在，2±=k .

金指点睛

1. (03全国)已知双曲线中心在原点且一个焦点为)0,7(F ，直线1-=x y 与其相交于M 、N 两点，MN 的中点的横坐标为3

，则此双曲线的方程为（）

A.14322=-y x

B. 13422=-y x

C. 12522=-y x

D. 15222=-y x

2.（02江苏）设A 、B 是双曲线12

=-y x 上两点，点)2,1(N 是线段AB 的中点.

（1）求直线AB 的方程；

（2）如果线段AB 的垂直平分线与双曲线相交于C 、D 两点，那么A 、B 、C 、D 四点是否共圆，为什么？

3. 已知双曲线1322

=-y x ，过点)2

,21(--P 作直线l 交双曲线于A 、B 两点.

（1）求弦AB 的中点M 的轨迹;

（2）若点P 恰好是弦AB 的中点，求直线l 的方程和弦AB 的长.

4、双曲线C 的中心在原点，并以椭圆

113

252

2=+y x 的焦点为焦点，以抛物线x y 322-=的准线为右准线.

（1）求双曲线C 的方程；

（2）设直线)0(3:≠+=k kx y l 与双曲线C 相交于A 、B 两点，使A 、B 两点关于直线

)0(6:'≠+=m mx y l 对称，求k 的值.

参考答案

1. 解：在直线1-=x y 中，1=k ，32-

=x 时，3

-=y . 由22

00a b x y k MN =?得22253

235

1a b ==--

又由??

???==+=72

522222c b a a b 得5,22

2==b a . 故答案选D.

2. 解：（1）2,12

==b a ，焦点在x 上. 由2

00a b x y k AB

=?得：22=?AB k ，∴1=AB k . ∴所求的直线AB 方程为)1(12-?=-x y ，即01=+-y x .

（2）设直线CD 的方程为0=++m y x ，点)2,1(N 在直线CD 上， ∴021=++m ，3-=m .

∴直线CD 的方程为03=-+y x .

又设弦CD 的中点为),(y x M ，由22a b x y k CD =?得：21=?-x y

，即x y 2-=.

由?

??-==-+.2,

03x y y x 得6,3=-=y x .

∴点M 的坐标为)6,3(-.

又由??

??=-=+-.12,0122y x y x 得)4,3(),0,1(B A -.

由两点间的距离公式可知：102||||||||====MD MC MB MA . 故A 、B 、C 、D 四点到点M 的距离相等，即A 、B 、C 、D 四点共圆. 3. 解：（1）3,12

==b a ，焦点在x 上. 设点M 的坐标为),(y x .

若直线l 的的斜率不存在，则x l ⊥轴，这时直线l 与双曲线没有公共点，不合题意，故直线l 的的斜

率存在.

由22

b x y k AB

=?得：

123

=?++

x y x y ，整理，得：033262

2=-+-y x y x .

∴点M 的轨迹方程为0332622=-+-y x y x .

（2）由22

00a

x y k AB =?得：32

123

=--

?AB k ，∴1=AB k .

∴所求的直线l 方程为)2

(123+?=+x y ，即1-=x y .

由??

???-==-

.1,132

2x y y x 得022=-+x x ，解之得：1,221=-=x x . ∴.2332||1||122

=?=

-+=x x k AB

4. 解：（1）在椭圆

113

252

2=+y x 中，32,13,522=-===b a c b a ，

∴焦点为)0,32(),0,32(21F F -.

在抛物线x y 322-=中，3=

p ，∴准线为2

x . ∴在双曲线中，

2=c a . 从而.3,3==b a ∴所求双曲线C 的方程为19

2=-y x . （2）直线'l 是弦AB 的垂直平分线，∴k m 1-

=，从而61

:'+?-=x k

y l . 设弦AB 的中点为),(00y x P .

由22

00a b x y k AB

=?得：30

0=?x y k ，∴003x ky =.…………………………………………① 由61

00+?-

=x k

y 得：k x ky 600+-=.…………………………………………………② 由①、②得：2

,2300==y k x

又 300+=kx y ，

∴

32329+?=k

k ，即12=k . ∴1±=k .

由??

???+==-.3,1932

2kx y y x 得.0186)3(2

2=++-kx x k 直线l 与双曲线C 相交于A 、B 两点，

∴)3(723622--=?k k ＞0，即2k ＜6，且32≠k . ∴1±=k 符合题意.

故k 的值为1±.

定比点差法及其应用解说

定比点差法及其应用解说一、定比分点若，则称点为点、的定比分点．当时，点在线段上，称为内分点；当

（）时，点在线段的延长线上，称为外分点．定比分点坐标公式：若点，，，则点的坐标为二、点差法点差法其实可以看作是方程的相减，是对方程的一个巧妙的处理。若点在有心二次曲线上，则有两式作差得此即有心二次曲线的垂径定理，可以解决与弦的中点相关的问题． 1、弦的中点点差法一个妙用：例1 已知椭圆，直线交椭圆于两点，为的中点，求证：为定值。

分析用常规方法设直线也可以解决，但是计算就很繁杂，在这里使用点差法。解设，，在椭圆上：，作差得：即：，因为所以，为定值。以上结论与弦的中点有关，也称为垂径定理。考虑当椭圆为圆的时候，，则，，正好也符合圆的“垂径定理”。

在双曲线中同样有类似的结论，但定值为，在这里就不再推导了。 2、弦上的定比分点当弦上的点不再是中点时，就成了定比分点：设，，，则点坐标可以表示为：，证明设，，化简可得：，同理这时候就出现了这样形式的式子。如果再凑出，可能大家就会有点感觉了：可以将椭圆的方程乘上一个再作差，得到这样的式子。因此我们想到了“定比点差法”这样的技巧。例2 已知椭圆，在椭圆外，过作直线交椭圆于两点，在线段上且满足：，求证：点在定直线上。

分析按照以上思路，要出现和这样的式子，很容易想到设的坐标，再表示出的坐标。解设，，，则，结合图形得：则，在椭圆上：①，② 得：即，所以在定直线上。下面介绍定比点差法：若点在有心二次曲线上，则有两式作差得

点差法

点差法（选做）对点差法掌握不太熟练的同学建议阅读例题及变式，选做练习题，注意知二得一。例题：过点M （1，1）作斜率为﹣1 2 的直线与椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>相交于A ，B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于．分析：利用点差法，结合M 是线段AB 的中点，斜率为﹣ 1 2 ，即可求出椭圆C 的离心率．解析：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则221122 1.x y a b +=，22 2222 1.x y a b +=， ∵过点M （1，1）作斜率为﹣1 2 的直线与椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>相交于A ，B 两点， M 是线段AB 的中点，∴两式相减可得 22212().02a b +-= ，a ∴= ∴c b ==， ∴2c e a = = ．故答案为：2 ．点评：若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为),(11y x A 、),(22y x B ，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。一般用于已知斜率与中点坐标两者之一或两者都已知或未知，进而求解求解其它参数（离心率）的情况．结论：在椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>中，若直线l 与椭圆相交于M,N 两点，点P （x 0，y 0）是弦MN 中点，弦MN 所在的直线l 的斜率是MN K ,则有：MN K .2 020y b x a =-. 变式一：已知直线与椭圆22 194 x y +=交于A ，B 两点，设线段AB 的中点为P ，若直线的斜率为k 1，直线OP 的斜率为k 2，则k 1k 2等于分析：利用“平方差法”、线段中点坐标公式、斜率计算公式即可得出．解析：设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），P （x 0，y 0）．则 1202x x x +=，12 02 y y y +=，

点差法在圆锥曲线的应用

中点弦与点差法在圆锥曲线的应用【考情分析】 1、高考要求（1）了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用；（2）掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率）；（3）了解双曲线的定义、结合图形和标准方程、知道它的简单几何性质（范围、对称性、顶点、离心率、渐近线）；（4）了解曲线与方程的对应关系；（5）理解数形结合的思想；（6）了解圆锥曲线的简单应用。从全国卷考试说明，全国卷椭圆和抛物线要求比较高，都是“掌握”和“理解”，而对双曲线要求大大降低，是“了解”；直线与圆锥曲线、曲线与方程的要求都是“了解”。【复习本专题的意义】解析几何是高考的重点，也是难点。一轮复习应该在注重知识面广的同时，要根据文科数学的特点加强思想方法的渗透，总结一些源于教材而高于教材的重要结论和解题规律，做到基础扎实、结论熟练、思路清晰、方法准确、讲练得体，并引导学生充分结合考试说明和命题规律，学会整理知识要点、解题方法、解题技巧，分类收集典型考例，深入浅出，自然实现重点突出，难点的突破，在能力提升同时也为二轮复习打下前站，为二轮复习的飞跃打下坚实的基础。与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。涉及到解决圆锥曲线中点弦的问题，常采用“点差法”来求解。“点差法”是利用直线和圆锥曲线的两个交点，把交点代入圆锥曲线的方程，得到两个等式，两式相减，可以得到一个与弦的斜率及中点相关的式子（也称中点和斜率结合公式），再结合已知条件，运用学过的知识使问题得到解决。当题目涉及弦的中点、斜率时，一般都可以用点差法来解。与韦达定理法复杂繁琐的计算相比，点差法可以大大减少运算量，优化解题过程，达到“设而不求”的目的。本微专题将从求弦的斜率与弦的中点问题、求弦中点轨迹、求弦的中点坐标、弦的垂直平分线问题和求曲线的方程等方面引导学生自主学习、合作探究，使一轮复习备考落实到实处，为2019年高考取胜作充分准备。【教学内容】直线与二次曲线相交，特别是直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是解析几何中的重要内容之一，也是高考的一个热点问题。这类问题一般有以下三种类型：（1）求中点弦所在直线方程问题；（2）求弦中点的轨迹方程问题；（3）求弦中点的坐标问题。其解法有代点相减法、设而不求法、参数法、待定系数法及中心对称变换法等。一、求中点弦所在直线方程问题

(完整版)用“点差法”解圆锥曲线的中点弦问题

用“点差法”解圆锥曲线的中点弦问题与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式求解，但运算量较大。若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为),(11y x A 、),(22y x B ，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。下面就如何用点差法计算举几个例子供大家参考。一、求以定点为中点的弦所在直线的方程例1、过椭圆14 162 2=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。解：设直线与椭圆的交点为),(11y x A 、),(22y x B Θ )1,2(M 为AB 的中点 ∴421=+x x 221=+y y Θ又A 、B 两点在椭圆上，则1642121=+y x ，1642 222=+y x 两式相减得0)(4)(22212221=-+-y y x x 于是0))((4))((21212121=-++-+y y y y x x x x ∴2 1244)(421212121-=?-=++-=--y y x x x x y y 即21-=AB k ，故所求直线的方程为)2(2 11--=-x y ，即042=-+y x 。例2、已知双曲线12 2 2=-y x ，经过点)1,1(M 能否作一条直线l ，使l 与双曲线交于A 、B ，且点M 是线段AB 的中点。若存在这样的直线l ，求出它的方程，若不存在，说明理由。解：设存在被点M 平分的弦AB ，且),(11y x A 、),(22y x B 则221=+x x ，221=+y y 122121=-y x ，122 222=-y x 两式相减，得 0))((21))((21212121=-+--+y y y y x x x x ∴22 121 =--=x x y y k AB 故直线)1(21:-=-x y AB

点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用

点差法公式在椭圆中点弦问题中的妙用定理在椭圆122 22=+b y a x （a ＞b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，点) ,(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则22 00a b x y k MN -=?. 证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有???????=+=+)2(.1)1(,122 22 2222 1221 b y a x b y a x )2()1(-，得.022 22 122 22 1=-+-b y y a x x .22 12121212a b x x y y x x y y -=++?--∴ 又.22,21211212x y x y x x y y x x y y k MN ==++--= .22 a b x y k MN -=?∴ 同理可证，在椭圆122 22=+a y b x （a ＞b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，点) ,(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则22 00b a x y k MN -=?. 典题妙解例1 设椭圆方程为14 2 2 =+y x ，过点)1,0(M 的直线l 交椭圆于点A 、B ，O 为坐标原点，点P 满足 1()2OP OA OB =+ ，点N 的坐标为?? ? ??21,21.当l 绕点 M 旋转时，求：（1）动点P 的轨迹方程；（2）||NP 的最大值和最小值. 解：（1）设动点P 的坐标为),(y x .由平行四边形法则可知：点P 是弦AB 的中点 .

高考数学“点差法”在解析几何题中的应用

“点差法”在解析几何题中的应用在处理直线与圆锥曲线相交形成的弦中点的有关问题时，我们经常用到如下解法：设弦的两个端点坐标分别为1122,,x y x y 、，代入圆锥曲线得两方程后相减，得到弦中点坐标与弦所在直线斜率的关系，然后加以求解，这即为“点差法” ，此法有着不可忽视的作用，其特点是巧代斜率.本文列举数例，以供参考. 1求弦中点的轨迹方程例1已知椭圆2 212x y ，求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程. 例2直线:50l ax y a （a 是参数）与抛物线 2:1f y x 的相交弦是AB ，则弦AB 的中点轨迹方程是 . 2求曲线方程例3已知ABC 的三个顶点都在抛物线 232y x 上，其中2,8A ，且ABC 的重心G 是抛物线的焦点，求直线 BC 的方程. 例4已知椭圆222210x y a b a b 2a c ，有一条倾斜角为4的直线交椭圆于 A B 、两点，若AB 的中点为11,24C ，求椭圆方程. 3确定参数的范围例6若抛物线2:C y x 上存在不同的两点关于直线:3l y m x 对称，求实数m 的取值范围. .

4证明定值问题例7已知AB 是椭圆222210x y a b a b 不垂直于x 轴的任意一条弦，P 是 AB 的中点，O 为椭圆的中心.求证：直线AB 和直线OP 的斜率之积是定值. . 5处理存在性问题例8已知双曲线221 12x y ，过1,1B 能否作直线l ，使l 与双曲线交于P ，Q 两点，且B 是线段PQ 的中点，这样的直线如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理由. 点差法练习 1、已知双曲线2 212y x ，过点(1,1)B 能否作出直线m ，使m 与所给双曲线交于1Q ，2Q 且点B 为线段12Q Q 的中点？若存在，求出它的方程；若不存在，说明理由。 2、已知直线1y ax 和双曲线2231x y 交于,A B 两点，是否存在实数a ，使,A B 两点关于直线2y x 对称？3、已知椭圆22221(0)x y a b a b ，,A B 是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x ，求证：22220a b a b x a a

圆锥曲线点差法

圆锥曲线--- 点差法 1、椭圆14162 2=+y x 的弦被点)1,2(P 所平分，求此弦所在直线的方程. 2、椭圆22 1369x y +=的一条弦被(4,2)A 平分,那么这条弦所在的直线方程是. 3、已知椭圆1222=+y x ，求过点?? ? ??2121，P 且被P 平分的弦所在的直线方程． 4、已知直线y =－x +1与椭圆)0(122 22>>=+b a b y a x 相交于A 、B 两点，且线段AB 的中点在直线02:=-y x l 上，求此椭圆的离心率. 5、已知椭圆C 的方程x y 22 43 1+=，试确定m 的取值范围，使得对于直线4y x m =+，椭圆C 上有不同两点关于该直线对称. 6、在抛物线24y x =上恒有两点关于直线y =kx +3对称，求k 的取值范围. 7、已知P 、Q 是椭圆C ：1242 2=+y x 上的两个动点，)26,1(M 是椭圆上一定点， F 是其左焦点，且|PF |、|MF |、|QF |成等差数列. 求证：线段PQ 的垂直平分线经过一个定点A ； 8、已知椭圆1257522=+x y 的一条弦的斜率为3，它与直线2 1=x 的交点恰为这条弦的中点M ，求点M 的坐标。 9、过点M （-2,0）的直线m 与12 22 =+y x 交于21,P P ,线段21P P 的中点为P ,设直线m 的斜率为),0(1 1≠k k 直线OP 的斜率为2k ，则21k k 的值为 10、椭圆122=+by ax 与直线x y -=1交于A 、B 两点，过原点与线段AB 中点的直线的斜率为 23，b a 的值为

11、过椭圆14 92 2=+y x 内一点M （2,0）引椭圆的动弦AB ，则弦AB 的中点N 的轨迹方程是 12、点P （8,1）平分双曲线4422=-y x 的一条弦，则这条弦所在的直线方程 13、已知椭圆2222=+y x 及椭圆外一点（0,2），过这点任意引直线与椭圆交于点A 、B ，求弦AB 的中点P 的轨迹方程。 14、求k 的取值范围，使抛物线02:2=-+kx y y C )0(≠k 上存在关于直线1:-=x y l 对称的两点。 15、已知直线l 与椭圆164:22=+y x C 交于21,P P ,线段21P P 的中点为P ，设直线 l 的斜率为k )0(≠k ，直线OP 的斜率为 'k 。求证：'kk 是一个定值。 16、已知双曲线12 122=-y x ，过点B(1,1)是否存在直线l ，使l 与双曲线交于P 、Q 两点，且B 是线段PQ 的中点，若存在，求直线方程；若不存在，说明理由。 17、在双曲线113 122 2=-x y 的一支上不同三点，A 、B （6,26）、C 与焦点F(0,5)的距离成等差数列，求证：线段AC 的垂直平分线l 经过一定点。

点差法弦长公式

点差法 1.过点(1，0)的直线l 与中心在原点，焦点在x 轴上且离心率为 2 2的椭圆C 相交于A 、B 两点，直线y =2 1x 过线段AB 的中点，同时椭圆C 上存在一点与右焦点关于直线l 对称，试求直线l 与椭圆C 的方程. 命题意图：本题利用对称问题来考查用待定系数法求曲线方程的方法，设计新颖，基础性强，属★★★★★级题目. 知识依托：待定系数法求曲线方程，如何处理直线与圆锥曲线问题，对称问题. 错解分析：不能恰当地利用离心率设出方程是学生容易犯的错误.恰当地利用好对称问题是解决好本题的关键. 技巧与方法：本题是典型的求圆锥曲线方程的问题，解法一，将A 、B 两点坐标代入圆锥曲线方程，两式相减得关于直线AB 斜率的等式.解法二，用韦达定理. 解法一：由 e =2 2 =a c ,得21 222=-a b a ,从而a 2=2b 2, c =b . 设椭圆方程为x 2+2y 2=2b 2,A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)在椭圆上. 则x 12+2y 12=2b 2,x 22+2y 22=2b 2,两式相减得，(x 12－x 22)+2(y 12－y 22)=0, .) (2212 12121y y x x x x y y ++-=-- 设AB 中点为(x 0,y 0),则k AB =－ 2y x ,又(x 0,y 0)在直线y =21 x 上，y 0=2 1x 0,

于是－ 02y x = －1,k AB =－1,设l 的方程为y =－x +1. 右焦点(b ,0)关于l 的对称点设为(x ′,y ′), ?? ?-='='???????++'-='=-'' b y x b x y b x y 11 1 22 1解得则由点(1,1－b )在椭圆上，得1+2(1－b )2=2b 2,b 2=8 9 ,1692=a . ∴所求椭圆C 的方程为2 29 1698y x + =1,l 的方程为y =－x +1. 解法二：由 e =21 ,22222=-=a b a a c 得,从而a 2=2b 2,c =b . 设椭圆C 的方程为x 2+2y 2=2b 2,l 的方程为y =k (x －1), 将l 的方程代入C 的方程，得(1+2k 2)x 2－4k 2x +2k 2－2b 2=0,则 x 1+x 2= 2 2 214k k +,y 1+y 2=k (x 1－1)+k (x 2－1)=k (x 1+x 2)－2k =－ 2 212k k +. 直线 l ：y =2 1x 过AB 的中点( 2 ,22 121y y x x ++),则 2 2 22122121k k k k +?=+-,解得 k =0，或k =－1. 若k =0,则l 的方程为y =0,焦点F (c ,0)关于直线l 的对称点就是F 点本身，不能在椭圆C 上，所以k =0舍去，从而k =－1，直线l 的方程为y =－(x －1),即y =－x +1,以下同解法一. 2.(★★★★★)已知圆C 1的方程为(x －2)2+(y －1) 2 =3 20,椭圆 C 2的方程为2 2 22b y a x +=1(a ＞b ＞0)， C 2的离心率为 2 2 ，如果C 1与C 2相交于A 、B 两点，且线段AB 恰为圆C 1的直径，求直线AB 的方程和椭圆C 2的方程.

用点差法解圆锥曲线的中点弦问题

用点差法解圆锥曲线的中点弦问题与圆锥曲线的弦的中点有关的问题，我们称之为圆锥曲线的中点弦问题。解圆锥曲线的中点弦问题的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为),(11y x A 、),(22y x B ，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。一、以定点为中点的弦所在直线的方程例1、过椭圆14 162 2=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。解：设直线与椭圆的交点为),(11y x A 、),(22y x B Θ )1,2(M 为AB 的中点 ∴421=+x x 221=+y y Θ又A 、B 两点在椭圆上，则1642121=+y x ，1642 222=+y x 两式相减得0)(4)(22212221=-+-y y x x 于是0))((4))((21212121=-++-+y y y y x x x x ∴ 2 1244)(421212121-=?-=++-=--y y x x x x y y 即21-=AB k ，故所求直线的方程为)2(2 11--=-x y ，即042=-+y x 。例2、已知双曲线12 2 2=-y x ，经过点)1,1(M 能否作一条直线l ，使l 与双曲线交于A 、B ，且点M 是线段AB 的中点。若存在这样的直线l ，求出它的方程，若不存在，说明理由。策略：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线，然后验证它是否满足题设的条件。本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理。解：设存在被点M 平分的弦AB ，且),(11y x A 、),(22y x B 则221=+x x ，221=+y y 122121=-y x ，122 222=-y x 两式相减，得 0))((2 1))((21212121=-+--+y y y y x x x x ∴22121 =--=x x y y k AB 故直线)1(21:-=-x y AB 由?? ???=--=-12)1(2122y x x y 消去y ，得03422=+-x x ∴ 08324)4(2<-=??--=? 这说明直线AB 与双曲线不相交，故被点M 平分的弦不存在，即不存在这样的直线l 。评述：本题如果忽视对判别式的考察，将得出错误的结果，请务必小心。由此题可看到中点弦问题中判断点的M 位置非常重要。（1）若中点M 在圆锥曲线内，则被点M 平分的弦一般存在；（2）若中点M 在圆锥曲线外，则被点M 平分的弦可能不存在。二、过定点的弦和平行弦的中点坐标和中点轨迹例3、已知椭圆1257522=+x y 的一条弦的斜率为3，它与直线2 1=x 的交点恰为这条弦的中点M ，求点M 的坐标。

抛物线点差法

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点差法————抛物线中点弦问题中的妙用定理在抛物线)0(22 ≠=m mx y 中，若直线l 与抛物线相交于M 、N 两点,点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则m y k MN =?0. 证明:设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ,则有?????==) 2(.2) 1(,2222121 mx y mx y )2()1(-，得).(2212 221x x m y y -=- .2)(121 21 2m y y x x y y =+?--∴ 又0121 21 22,y y y x x y y k MN =+--= . m y k MN =?∴0. 注意:能用这个公式的条件：（１）直线与抛物线有两个不同的交点;(２）直线的斜率存在. 同理可证,在抛物线)0(22 ≠=m my x 中,若直线l 与抛物线相交于M 、N 两点,点),(00y x P 是弦ＭN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ,则 m x k MN =?01. 注意:能用这个公式的条件:(1）直线与抛物线有两个不同的交点；(２)直线的斜率存在，且不等于零. 典题妙解例1 抛物线x y 42 =的过焦点的弦的中点的轨迹方程是（ ) A. 12 -=x y Ｂ. )1(22 -=x y C. 2 1 2- =x y D. 122-=x y 解：2=m ，焦点)0,1(在x 轴上．设弦的中点M 的坐标为),(y x ．由m y k MN =?得： 21 =?-y x y , 整理得：)1(22 -=x y ． ∴所求的轨迹方程为)1(22-=x y .故选B ．

用点差法解圆锥曲线问题

解圆锥曲线问题常用的八种方法与七种常规题型

解圆锥曲线问题常用的八种方法与七种常规题型总论：常用的八种方法 1、定义法 2、韦达定理法 3、设而不求点差法 4、弦长公式法 5、数形结合法 6、参数法（点参数、K 参数、角参数） 7、代入法中的顺序 8、充分利用曲线系方程法七种常规题型（1）中点弦问题（2）焦点三角形问题（3）直线与圆锥曲线位置关系问题（4）圆锥曲线的有关最值（范围）问题（5）求曲线的方程问题 1．曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决。 2．曲线的形状未知-----求轨迹方程（6）存在两点关于直线对称问题（7）两线段垂直问题常用的八种方法 1、定义法（1）椭圆有两种定义。第一定义中，r 1+r 2=2a 。第二定义中，r 1=ed 1 r 2=ed 2。（2）双曲线有两种定义。第一定义中，a r r 221=-，当r 1>r 2时，注意r 2的最小值为c-a ：第二定义中，r 1=ed 1，r 2=ed 2，尤其应注意第二定义的应用，常常将半径与“点到准线距离”互相转化。（3）抛物线只有一种定义，而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线问题用定义解决更直接简明。

2、韦达定理法因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用。 3、设而不求法解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过渡使问题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而产生的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x 1,y 1),B(x 2,y 2),弦AB 中点为M(x 0,y 0)，将点A 、B 坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关系，这是一种常见的“设而不求”法，具体有：（1）)0(122 22>>=+b a b y a x 与直线相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)，则有 02 20=+k b y a x 。(其中K 是直线AB 的斜率) （2）)0,0(122 22>>=-b a b y a x 与直线l 相交于A 、B ，设弦AB 中点为M(x 0,y 0)则有 020 20=-k b y a x (其中K 是直线AB 的斜率) （3）y 2=2px （p>0）与直线l 相交于A 、B 设弦AB 中点为M(x 0,y 0),则有2y 0k=2p,即y 0k=p. (其中K 是直线AB 的斜率) 4、弦长公式法弦长公式：一般地，求直线与圆锥曲线相交的弦AB 长的方法是：把直线方程y kx b =+代入圆锥曲线方程中，得到型如ax bx c 2 0++=的方程，方程的两根设为x A ，x B ，判别式为△，则||||AB k x x A B =+-=12·| |12a k △ ·+，若直接用结论，能减少配方、开方等运算过程。 5、数形结合法解析几何是代数与几何的一种统一，常要将代数的运算推理与几何的论证说明结合起来

点差法公式在双曲线中点弦问题中的妙用

点差法公式在双曲线中点弦问题中的妙用广西南宁外国语学校隆光诚（邮政编码530007）圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型，在选择题、填空题和解答题中都是命题的热点。它的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。若已知直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”，它的一般结论叫做点差法公式。本文就双曲线的点差法公式在高考中的妙用做一些粗浅的探讨，以飨读者。定理在双曲线 12 22 2=- b y a x （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于M 、N 两点，点 ),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2 20 0a b x y k MN = ? . 证明：设M 、N 两点的坐标分别为),(11y x 、),(22y x ，则有???????=-=-)2(.1)1(,122 2222 22 1 221 b y a x b y a x )2()1(-，得 .02 2 2 2 12 2 2 2 1=-- -b y y a x x .2 21 2121 212a b x x y y x x y y = ++? --∴ 又.22, 00 02 1211 212x y x y x x y y x x y y k MN = = ++--= .2 20 0a b x y k MN =? ∴ 同理可证，在双曲线 12 22 2=- b x a y （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2 20 0b a x y k MN = ? . 典题妙解例1 已知双曲线13 :2 2 =- x y C ，过点)1,2(P 作直线l 交双曲线C 于A 、B 两点.

“点差法”在解析几何题中的应用

“点差法”在解析几何题中的应用东北师大附属中学 2012.6.1 朱屿在处理直线与圆锥曲线相交形成的弦中点的有关问题时，我们经常用到如下解法：设弦的两个端点坐标分别为()()1122,,x y x y 、，代入圆锥曲线得两方程后相减，得到弦中点坐标与弦所在直线斜率的关系，然后加以求解，这即为“点差法”，此法有着不可忽视的作用，其特点是巧代斜率.本文列举数例，以供参考. 1 求弦中点的轨迹方程例1 已知椭圆2 212 x y +=，求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程. 解设弦的两个端点分别为()()1122,,,P x y Q x y ，PQ 的中点为(),M x y . 则22 1112x y +=，（1）222212x y +=，（2） ()()12-得： ()22 22121202 x x y y -+-=， ()1212 1212 02x x y y y y x x +-∴ ++=-. 又12 121212 2,2, 2y y x x x y y y x x -+=+==-，40x y ∴+=. 弦中点轨迹在已知椭圆内，∴所求弦中点的轨迹方程为40x y +=（在已知椭圆内）. 例2 直线():50l ax y a --+=（a 是参数）与抛物线() 2 :1f y x =+的相交弦是AB ，则弦AB 的中点轨迹方程是 .

解设()()1122,,A x y B x y 、，AB 中点(),M x y ，则122x x x +=. ()():150l a x y --+=，l ∴过定点()1,5N -，5 1 AB MN y k k x +∴==-. 又()2 111y x =+，（1）()2 221y x =+，（2） ()()12-得：()()()()22 12121212112y y x x x x x x -=+-+=-++， 12 1212 2AB y y k x x x x -∴==++-. 于是 5 221 y x x +=+-，即227y x =-. 弦中点轨迹在已知抛物线内，∴所求弦中点的轨迹方程为227y x =-（在已知抛物线内）. 2 求曲线方程例3 已知ABC ?的三个顶点都在抛物线232y x =上，其中()2,8A ，且ABC ?的重心G 是抛物线的焦点，求直线BC 的方程. 解由已知抛物线方程得()8,0G .设BC 的中点为()00,M x y ，则 A G M 、、三点共线，且2AG GM =，G ∴分AM 所成比为2，于是 022812 82012 x y +?=??+? +?=??+，解得0011 4 x y =??=-?，()11,4M ∴-. 设()()1122,,,B x y C x y ，则128y y +=-. 又21132y x =，（1）22232y x =，（2）

点差法习题(有答案)

点差法习题【学习目标】圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型，在选择题、填空题和解答题中都是命题的热点。它的一般方法是：联立直线和圆锥曲线的方程，借助于一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、中点坐标公式及参数法求解。若已知直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”，它的一般结论叫做点差法公式。使用说明及学法指导】 1、通过证明定理，熟悉“点差法”的运用； 2、记住点差法推导出的公式，并熟练应用；若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为),(11y x A 、),(22y x B ，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。一、自主证明 1、定理在椭圆122 22=+b y a x （a ＞b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，点 ),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则 22 00a b x y k MN -=?. 同理可证，在椭圆122 22=+a y b x （a ＞b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，点 ),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则 22 00b a x y k MN -=?. 2、定理在双曲线122 22=-b y a x （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于M 、N 两点，点 ),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则22 00a b x y k MN =?. 同理可证，在双曲线122 22=-b x a y （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于M 、N 两点，点 ),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则 22 00b a x y k MN =?. 3、定理在抛物线 )0(22≠=m mx y 中，若直线l 与抛物线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为 MN k ，则m y k MN =?0.

点差法应用

),(11y x ) ,(22y x 解析几何解题思路分析求曲线方程、求弦长、求角、求面积、求特征量、求最值、证明某种关系、证明定值、求轨迹、求参数的取值范围、探索型、存在性讨论等问题仍将是常见的问题. 重点题型要熟练掌握，如：（1）中点弦问题具有斜率的弦中点问题，常用设而不求法（点差法）：设曲线上两点为代入方程，然后两方程相减，再应用中点关系及斜率公式，消去四个参数. （2）焦点三角形问题椭圆或双曲线上一点，与两个焦构成的三角形问题，常用正、余弦定理搭桥（3）直线与圆锥曲线位置关系问题直线与圆锥曲线的位置关系的基本方法是解方程组，进而转化为一元二次方程后利用判别式，应特别注意数形结合的办法（4）圆锥曲线的有关最值（范围）问题----定点定值问题圆锥曲线中的有关最值（范围）问题，常用代数法和几何法解决 <1>若命题的条件和结论具有明显的几何意义，一般可用图形性质来解决; <2>若命题的条件和结论体现明确的函数关系式，则可建立目标函数（通常利用二次函数，三角函数，均值不等式）求最值（5）求曲线的方程问题 <1>曲线的形状已知--------这类问题一般可用待定系数法解决； <2>曲线的形状未知-----求轨迹方程（6）存在两点关于直线对称问题在曲线上两点关于某直线对称问题，可以按如下方式分三步解决：求两点所在的直线，求这两直线的交点，使这交点在圆锥曲线形内（当然也可以利用韦达定理并结合判别式来解决）

“点差法”在解析几何题中的应用在处理直线与圆锥曲线相交形成的弦中点的有关问题时，我们经常用到如下解法：设弦的两个端点坐标分别为()()1122,,x y x y 、，代入圆锥曲线得两方程后相减，得到弦中点坐标与弦所在直线斜率的关系，然后加以求解，这即为“点差法”，此法有着不可忽视的作用，其特点是巧代斜率.本文列举数例，以供参考. 1 求弦中点的轨迹方程例1 已知椭圆2 212 x y +=，求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程. 解设弦的两个端点分别为()()1122,,,P x y Q x y ，PQ 的中点为(),M x y . 则22 1112x y +=，（1）222212x y +=，（2） ()()12-得： ()22 22121202 x x y y -+-=， ()1212 1212 02x x y y y y x x +-∴ ++=-. 又12 121212 2,2, 2y y x x x y y y x x -+=+==-，40x y ∴+=. 弦中点轨迹在已知椭圆内，∴所求弦中点的轨迹方程为40x y +=（在已知椭圆内）. 例2 直线():50l ax y a --+=（a 是参数）与抛物线()2 :1f y x =+的相交弦是AB ，则弦AB 的中点轨迹方程是 . 解设()()1122,,A x y B x y 、，AB 中点(),M x y ，则122x x x +=. ()():150l a x y --+=，l ∴过定点()1,5N -，5 1 AB MN y k k x +∴==-. 又()2 111y x =+，（1）()2 221y x =+，（2） ()()12-得：() ()()()2 2 12121212112y y x x x x x x -=+-+=-++， 12 1212 2AB y y k x x x x -∴= =++-.

六、点差法求轨迹方程(高中数学解题妙法)

六、点差法求轨迹方程本内容主要研究点差法法求轨迹方程.圆锥曲线中与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点1122(,),(,)A x y B x y 的坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得12x x +，12y y +，12x x -，12y y -等关系式，由于弦AB 的中点(,)P x y 的坐标满足122x x x =+，122y y y =+且直线AB 的斜率为 2121 y y x x --，由此可求得弦AB 中点的轨迹方程. 先看例题：例：已知椭圆2 212 x y +=，求斜率为2的平行弦中点的轨迹方程 . ①－②得()()()()022*******=-++-+y y y y x x x x ．由题意知21x x ≠，则上式两端同除以21x x -，有 ()()022 1212121=-+++x x y y y y x x 将③④代入得022 121=--+x x y y y x ．⑤

将22 121=--x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为： 04=+y x ．（椭圆内部分）已知椭圆2 212 x y +=，过()2,1A 引椭圆的割线，求截得的弦的重点的轨迹方程. （3）将 212121--=--x y x x y y 代入⑤得所求轨迹方程为： 022222=--+y x y x ．（椭圆内部分）整理：圆锥曲线中与弦的中点有关的轨迹问题可用点差法，其基本方法是把弦的两端点1122(,),(,)A x y B x y 的坐标代入圆锥曲线方程，然而相减，利用平方差公式可得12x x +，12y y +，12x x -，12y y -等关系式，由于弦AB 的中点(,)P x y 的坐标满足122x x x =+， 122y y y =+且直线AB 的斜率为 2121 y y x x --，由此可求得弦AB 中点的轨迹方程. 再看一个例题，加深印象例：已知椭圆2 212 x y +=，过()2,1A 引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程. 解：设弦两端点分别为()11y x M ，，()22y x N ，，线段MN 的中点()y x R ，，则 221122221212222222x y x y x x x y y y ?+=?+=??+=??+=?，①，②， ③，④ ①－②得()()()()022*******=-++-+y y y y x x x x ．

圆锥曲线中“点差法”的应用

圆锥曲线中“点差法”的应用丹江口市一中数学组严高翔在处理直线与圆锥曲线相交形成的弦中点的有关问题时，我们经常用到如下解法：设弦的两个端点坐标分别为()()1122,,x y x y 、，代入圆锥曲线得两方程后相减，得到弦中点坐标与弦所在直线斜率的关系，然后加以求解，这即为“点差法”，此法有着不可忽视的作用，其特点是巧代斜率,设而不求，优化运算。本文列举数例，以供参考。一．以定点为中点的弦所在直线的方程例1、过椭圆 14 162 2=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。解：设直线与椭圆的交点为),(11y x A 、),(22y x B )1,2(M 为AB 的中点 ∴421=+x x 221=+y y 又A 、B 两点在椭圆上，则 1642121=+y x ，1642222=+y x 两式相减得 0)(4)(2 2212221=-+-y y x x 于是0))((4))((21212121=-++-+y y y y x x x x ∴2 1 244)(421212121-=?-=++-=--y y x x x x y y 即21- =AB k ，故所求直线的方程为)2(2 1 1--=-x y ，即042=-+y x 。例2、已知双曲线12 2 2 =-y x ，经过点)1,1(M 能否作一条直线l ，使l 与双曲线交于A 、B ，且点M 是线段AB 的中点。若存在这样的直线l ，求出它的方程，若不存在，说明理由。策略：这是一道探索性习题，一般方法是假设存在这样的直线，然后验证它是否满足题设的条件。本题属于中点弦问题，应考虑点差法或韦达定理。解：设存在被点M 平分的弦AB ，且),(11y x A 、),(22y x B 则221=+x x ，221=+y y 12212 1=-y x ，12 2 22 2=-y x 两式相减，得