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北京市西城区2007-2008学年度高三抽样测试(数学文)

北京市西城区2008年抽样测试高三数学（文）

本试卷分第一卷（选择题）和第二卷（非选择题）两部分. 共150分. 考试时间120分钟.

第一卷（选择题共40分）

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的. ） 1．已知集合{,}A a b =，{,,}B a b c =，{,,}C b c d =，那么集合()A B C 等于（）

A ．{,,}a b c

B ．{,,}a b d

C ．{,,}b c d

D ．{,,,}a b c d

2．向量a =(1,2)，向量b =(,2)x -，且a ⊥(a -b )，则实数x 等于（）

A ．4-

B ．4

C ．0

D ．9 3．已知3sin 5α=

，且,2παπ??

∈ ???

，那么2

sin2cos αα的值等于

（）

A ．3

B ．

C ．32

D ．

4．设函数2 0()() 0.x x f x g x x ?<=?>?，，

，

若()f x 是奇函数，则(2)g 的值是

（）

A ．1

B ．4-

C ．14

D ．4 5．平面α⊥平面β的一个充分条件是

（）

A ．存在一条直线l l l αβ⊥⊥，，

B ．存在一个平面////γγαγβ，，

C ．存在一个平面γγαγβ⊥⊥，，

D ．存在一条直线//l l l αβ⊥，，

6．若直线l ：1y kx =-与直线10x y +-=的交点位于第一象限，则实数k 的取值范围是（） A ．(,1)-∞- B ．(,1]-∞- C ．(1,)+∞ D ．[1,)+∞ 7．将编号为1，2，3，4，5的五个球放入编号为1，2，3，4，5的五个盒子，每个盒内放一个球，若恰好有三个球的编号与盒子编号相同，则不同的投放方法的种数为（） A ．6种 B ．10种 C ．20种 D ．30种

8．对于任意实数a ，b ，定义, ,min{,}, .a a b a b b a b ≤?=?

设函数2()3, ()log f x x g x x =-+=，则函数()min{(),()}h x f x g x =的最大值是

（）

A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

第二卷（非选择题共110分）

二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分. 把答案填在题中横线上.）

9．椭圆2

2 1 4

x y +=的离心率是 . 10．已知(2)n x +的展开式中共有5项，则=n _______，展开式中的常数项为_______（用数字作答）. 11．已知数列{}n a 的前n 项和21n S n =-，其中1,2,3,,n = 那么5a = . 12．在ABC ?中，已知2AC =，3BC =，5

cos 13

A =-

，则sin B = . 13．已知点(,)P x y 的坐标满足条件1,1,10,x y x y ≤??

≤??+-≥?

点O 为坐标原点，那么||PO 的最大值等于______，最小

值等于 .

14．已知点(0,0)A ，(3,0)B ，(0,1)C . 设AD BC ⊥于D ，那么有CD CB λ=

，其中λ= .

三、解答题（本大题共6小题，共80分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 15．（本小题满分12分）

已知函数()sin cos f x x x ωω=- (0ω>) 的最小正周期是π. （Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）若]2

0[π

∈x ，且()0f x =，求x 的值.

16．（本小题满分13分）

设n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且124,,S S S 成等比数列. （Ⅰ）求

a a 的值；（Ⅱ）若59a =，求n a 及n S 的表达式.

17．（本小题满分13分）

甲、乙两人进行投篮训练，已知甲投球命中的概率是

12，乙投球命中的概率是3

.假设两人投球命中与否相互之间没有影响.

（Ⅰ）如果两人各投球1次，求恰有1人投球命中的概率；

（Ⅱ）如果两人各投球2次，求这4次投球中至少有1次命中的概率. 18．（本小题满分14分）

如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1AC BC CC ==， AC BC ⊥，点D 是AB 的中点.

（Ⅰ）求证：11CD A ABB ⊥平面；（Ⅱ）求证：11//AC CDB 平面；

（Ⅲ）求直线1B B 和平面1CDB 所成角的大小. 19．（本小题满分14分）

已知函数()|2|f x x x =-. （Ⅰ）解不等式()3f x <；

（Ⅱ）设02a <<，求()f x 在[0]a ，上的最大值. 20．（本小题满分14分）

设点)23

,0(F ，动圆P 经过点F 且和直线3

y =-

相切 .记动圆的圆心P 的轨迹为曲线W .

（Ⅰ）求曲线W 的方程；

（Ⅱ）过点F 作互相垂直的直线12,l l ，分别交曲线W 于,A B 和,C D . 求四边形ABCD 面积的最小值 .

参考答案

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分. 1．D 2．D 3．C 4．A 5．D 6．C 7．B 8．B

1D 提示： ∵A ＝{a,b},B={a,b,c}，∴A ∩B ＝{a,b},∵C ＝{b,c,d}, （A ∩B ）∪C ＝{a ，b,c,d}，选择D

2D 提示：(1,2),(,2),(1,4),(),()0,a b x a b x a a b a a b ==-∴-=-⊥--=

180,x -+=9x =，

选择D ；

提

示

：

22sin 22sin cos 2sin 2tan cos cos cos αααα

αααα

===，

3sin ,(,),52

ααπ=∈

4cos ,5α∴=-3tan 4α=-，3

2tan 2

α=-，选择C;

4A 提示：∵f(x)表示奇函数，∴f(-x)＝- f(x)；∵2(0)

()()(0)

x x f x g x x ?<=?>?，当x>0时，-x<0，f(-x)=- - f(x)=2-x ,

∴g(x)= - 2-x (x>0), g(2)=-

,选择A 5D 提示：对于A ，由l ⊥α，l ⊥β知，α∥β或α与β重合；对于B,由γ∥α，γ∥β知α∥β；对于C, 由γ⊥α，γ⊥β知，α与β

平行或相交；都不符合要求，排除。选择D ；

1 y

6C 提示：（数形结合）如图，作出直线x+y-1=0,它与x 轴、y 轴交点为（1，0）、（0，1），直线y ＝kx-1过点（0，-1），因此，直线y ＝kx-1与直线x+y-1=0交点在第一象限时,k>1,选择C;

7B 提示：从1，2，3，4，5中选出3个与编号相同的球的放法有3510C =种方法，

；另两个球有1种方法，所以共有10种不同方法。选择B;

8B 提示：依题意，2log (2)()3(2)

x x h x x x ?≤=?-+>?，易知h （x ）的最大值为1，选择B;

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9．

2 10．4；16 11．9 12．81

3 13．2；22

14．14

注：两空的题目，第一个空2分，第二个空3分.

932e =

提示：依题意，a=2,b=1,c=3,3

e = 10 4，16提示：∵（x+2）n 展开式共有5项，∴n ＝4，此时常数项是第五项24＝16 11 9 提示：当n=1时，a 1＝S 1=0,当n ≥2时，a n ＝S n - S n-1＝n 2-(n-1)2＝2n-1，所以a 5＝9 12

813提示：∵cosA=513

-,∴sinA ＝1213，由正弦定理知12

2813sin 313

B ?

== 132

2,2

提示，作出不等式表示的可行域如图，易知当P （1，1）

时，|OP|max =

2,当P （11,22）时，|OP|min =

； 141

提示：如图|AB|=3,|AC|=1, |CB|=2,由于AD ⊥BC,且CD CB λ= ，所以C 、D 、B 共线，

||1

||4

CD CB =, λ= 14. 三、解答题：本大题共6小题，共80分.

15．（本小题满分12分）（Ⅰ）解： ()sin cos 2sin .4f x x x x πωωω?

?=-=

- ??

? ………………3分

0ω> ， ()

f x ∴的最小正周期是2π

依题意得

2π

πω

=， 2.ω∴= ………………6分

（Ⅱ）解：

y y=1

x=1

x+y=1

y B C

由（Ⅰ）得).4

2(2)(π

-=x x f

依题意得,0)4

2sin(=-π

x ，

因为0,2

x π

≤≤ 所以324

4x π

π-

≤-

≤

，所以20.4

x π

-= 解得.8

x π

……………12分

16．（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：

设等差数列{}n a 的公差是d .

124 ,,S S S 成等比数列， 2

214 S S S ∴=， ……………2分

即 2111(2)(46)a d a a d +=+，

化简得 212d a d =，注意到0d ≠， 1 2d a ∴=. …………… 5分

211

111

3.a a d a a a a +∴=== …………… 7分（Ⅱ）解：

511 499a a d a =+== ， 1 1

a ∴=， 2.d = ……………9分 1 (1)21n a a n d n ∴=+-=-.……………11分

21()

n n n a a S n +=

= ……………13分 17．（本小题满分13分）

（Ⅰ）解：记 “甲投球1次命中”为事件A ，“乙投球1次命中”为事件B .根据互斥事件的概率加法

公式和相互独立事件的概率乘法公式，所求的概率是

53)211()531(21)()()()()()(=?-+-?=

?+?=?+?A P B P B P A P A B P B A P 7分（Ⅱ）解：

事件“两人各投球2次均不命中”的概率为11221

225525

P =???=，…………10分

∴ 两人各投球2次，这4次投球中至少有1次命中的概率为124

1.2525

-= …… 13分

18．（本小题满分14分）

解法一：（Ⅰ）证明：

111 ABC A B C - 是直三棱柱，

∴ 平面11.ABC A ABB ⊥平面 AC BC =，点D 是AB 的中点，

CD AB ∴⊥，

11 CD A ABB ∴⊥平面. ……4分

（Ⅱ）证明：

连结1BC ，设1BC 与1B C 的交点为E ，连结DE .

D 是AB 的中点，

E 是1BC 的中点， 1 //.DE AC ∴ ……7分

111 DE CDB AC CDB ?? 平面，平面， 11 //.AC CDB ∴平面…… 9分

（Ⅲ）解：由（Ⅰ）知 11CD A ABB ⊥平面，

111 CDB A ABB ∴⊥平面平面，且1111CDB A ABB DB = 平面平面，

∴ 直线1B B 和平面1CDB 所成的角就是1B B 和1DB 所成的角，

即1BB D ∠是直线1B B 和平面1CDB 所成的角. ……12分在1Rt DBB ?中， 112

t a n 2

DB BB D B B =

= ，

∴ 直线1B B 和平面1CDB 所成角的大小是2

arctan

. ……14分解法二：

在直三棱柱111ABC A B C -中，1AC BC CC ==， AC BC ⊥， 1 AC BC CC ∴、、两两垂直 .

如图，以C 为原点，直线1CA CB CC ，，分别为x 轴，

y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系 . 设12AC BC CC ===.

则1(0 0 0)(2 0 0)(0 2 0)(0 0 2)C A B C ，，，，，，，，，，，，1(0 2 2)B ，，，

(1 1 0).D ，，

（Ⅰ）证明：

1 (1 10)(

2 20)(0 02)CD AB B B ==-=-

，，，，，，，，， 0,01=?=?∴B B CD AB CD ， 1

.C D A B C D B B

⊥⊥，

又1AB B B B = ， 11 CD A ABB ∴⊥平面.…… 4分（Ⅱ）证明：

设1BC 与1B C 的交点为E ，则(0 1 1).E ，

， 1111 (1 0 1)(2 0 2) //.2DE AC DE AC DE AC =-=-∴=∴

，，，，，，，… 7分

111 DE CDB AC CDB ?? 平面，平面， 11 //.AC CDB ∴平面 ……9分

（Ⅲ）解：

由（Ⅰ）知 11CD A ABB ⊥平面，

111 CDB A ABB ∴⊥平面平面，且1111CDB A ABB DB = 平面平面，

∴ 直线1B B 和平面1CDB 所成的角就是1B B 和1DB 所成的角，

即1BB D ∠是直线1B B 和平面1CDB 所成的角. ……12分

1 (1 1 2)B D =--

，，，

|||,cos 1111=

??>=

<∴BD B B BD B B D B B B ， ∴ 直线1B B 和平面1CDB 所成角的大小是6

arccos

. ……14分 19．（本小题满分14分）（Ⅰ）解：

2222 |2| 3 2 3 2230230x x x x x x x x x x ≥??

，，

或或，

，， ∴ 不等式()3f x <的解集为{|3}.x x < …… 5分

（Ⅱ）解：

222

2(1)1 2()|2|2(1)1 2.x x x x f x x x x x x x ?-=--≥?=-=?-+=--+

，，

∴ ()f x 的单调递增区间是(1] [2)-∞+∞，

和，；单调递减区间是[1 2]，. ……8分（1）当10≤

()(2)f a a a =-；……11分

（2）当21<

上是增函数，在[1]a ，上是减函数，此时()f x 在[0]a ，上的最大值是(1)1f =. ……14分 20．（本小题满分14分）

（Ⅰ）解：过点P 作PN 垂直直线3

y =-

于点.N 依题意得||||PF PN =，

所以动点P 的轨迹为是以)23,0(F 为焦点，直线3

y =-为准线的抛物线， ……4分即曲线W 的方程是26.x y = ……5分（Ⅱ）解：

依题意，直线12,l l 的斜率存在且不为0，

y kx =+代入26x y =，化简得2690x kx --=. ……8分

设1122() () A x y B x y ，，

，，则12126 9.x x k x x +==-， 2222212121212 ||()()(1)[()4]6(1)AB x x y y k x x x x k ∴=-+-=++-=+，

……10分同理可得21||61.CD k ??

=+ ???

……11分

∴四边形ACBD 的面积2222111||||18(1)1182722

，即1k =±时，min 72.S = 故四边形ACBD 面积的最小值是72. ……14分