初中数学(最短路径问题)典型题型和解题技巧

初中数学[最短路径问题]典型题型及解题技巧

最短路径问题中,关键在于，我们善于作定点关于动点所在直线的对称点，或利用平移和展开图来处理。这对于我们解决此类问题有事半功倍的作用。理论依据：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”“立体图形展开图”。教材中的例题“饮马问题”，“造桥选址问题”“立体展开图”。考的较多的还是“饮马问题”。

知识点：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。“饮马问题”，“造桥选址问题”。考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。

解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变

式问题考查。

一、两点在一条直线异侧

例：已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB

最小。

解：连接AB,线段AB与直线L的交点P ，就是所求。（根据：两点之间线

段最短.）

二、两点在一条直线同侧

例：图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短．

解：只有A、C、B在一直线上时，才能使AC+BC最小．作点A关于直线“街

道”的对称点A′，然后连接A′B，交“街道”于点C，则点C就是所求的

点．

三、一点在两相交直线内部

例：已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边OM，ON

上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小.

解：分别作点A关于OM，ON的对称点A′，A″；连接A′，A″，分别交OM，

ON于点B、点C，则点B、点C即为所求

分析：当AB、BC和AC三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周

长最小

例：如图，A.B 两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN ，桥造在何处才能使从A 到B 的路径AMNB 最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直） 解：1.将点B 沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E ，

2.连接AE 交河对岸与点M, 则点M 为建桥的位置，MN 为所建的桥。 证明：由平移的性质，得 BN ∥EM 且BN=EM, MN=CD, BD ∥CE, BD=CE,

所以A.B 两地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,

若桥的位置建在CD 处，连接AC.CD.DB.CE,

则AB 两地的距离为：

AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,

在△ACE 中，∵AC+CE ＞AE, ∴AC+CE+MN ＞AE+MN,即AC+CD+DB ＞AM+MN+BN

所以桥的位置建在CD 处，AB 两地的路程最短。

例：如图，A 、B 是两个蓄水池，都在河流a 的同侧，为了方便灌溉作物，?要在河边建一个抽水站，将河水送到A 、B 两地，问该站建在河

边什么地方，?可使所修的渠道最短，试在图中确定该点。 作法：作点B 关于直线 a 的对称点点C,连接AC 交直线a 于点D ，则点D 为建抽水站的位置。

证明：在直线 a 上另外任取一点E ，连接AE.CE.BE.BD,

∵点B.C 关于直线 a 对称,点D.E

在直线 a 上，∴DB=DC,EB=EC,

∴AD+DB=AD+DC=AC,

AE+EB=AE+EC

在△ACE 中，AE+EC ＞AC,

即 AE+EC ＞AD+DB

所以抽水站应建在河边的点D 处，

例：某班举行晚会，桌子摆成两直条(如图中的AO ，BO)，AO 桌面上摆满了桔子，OB 桌面上摆满了糖果，坐在C 处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？ 作法：1.作点C 关于直线 OA 的对称点点D,

2. 作点C 关于直线 OB 的对称点点E,

3.连接DE 分别交直线OA.OB 于点M.N ， 则CM+MN+CN 最短

例：如图：C 为马厩，D 为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮他确定这一天的最短路线。 作法：1.作点C 关于直线 OA 的 对称点点F, 2. 作点D 关于直线 OB 的对称点点E, 3.连接EF 分别交直线OA.OB 于点G.H ，

则CG+GH+DH 最短 四、求圆上点，使这点与圆外点的距离最小的方案设计

在此问题中可根据圆上最远点与最近点和点的关系可得最优· · C D A B E a A O B E N

C M A· B M N E A O B

D ·C H F G E

D

设计方案。

例:一点到圆上的点的最大距离为9，最短距离为1，则圆的半径为多少？

（5或4）

四、点在圆柱中可将其侧面展开求出最短路程

将圆柱侧面展成长方形，圆柱体展开的底面周长是长方形的长，圆柱的高是长方形的宽．可求出最短路程

例：如图所示，是一个圆柱体，ABCD是它的一个横截面，AB=，BC=3，一只

蚂蚁，要从A点爬行到C点，那么，最近的路程长为（）

A．7 B．C．D．5

分析：要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．

解：将圆柱体展开，连接A、C，

∵==?π?=4，BC=3，

根据两点之间线段最短，

AC==5．故选D．

五、在长方体（正方体）中，求最短路程

1）将右侧面展开与下底面在同一平面内，求得其路程

2）将前表面展开与上表面在同一平面内，求得其路程

3）将上表面展开与左侧面在同一平面内，求得其路程了

然后进行比较大小，即可得到最短路程.

例：有一长、宽、高分别是5cm，4cm，3cm的长方体木块，一只蚂蚁要从长

方体的一个顶点A处沿长方体的表面爬到长方体上和A相对的顶点B处，则

需要爬行的最短路径长为（）

A．5cm B．cm C．4cm D．3cm

分析：把此长方体的一面展开，在平面内，两点之间线段最短．利用勾股定理求点A和B点间的线段长，即可得到蚂蚁爬行的最短距离．在直角三角形中，一条直角边长等于长方体的高，另一条直角边长等于长方体的长宽之和，利用勾股定理可求得．

解：因为平面展开图不唯一，

故分情况分别计算，进行大、小比较，再从各个路线中确定最短的路线．

（1）展开前面、右面，由勾股定理得AB2=（5+4）2+32=90；

（2）展开前面、上面，由勾股定理得AB2=（3+4）2+52=74；

（3）展开左面、上面，由勾股定理得AB2=（3+5）2+42=80；

所以最短路径长为cm．

例：如图是一个长4m，宽3m，高2m的有盖仓库，在其内壁的A处（长的

四等分）有一只壁虎，B处（宽的三等分）有一只蚊子，则壁虎爬到蚊子处

最短距离为（）

A．4.8 B．C．5 D．

分析：先将图形展开，再根据两点之间线段最短可知．

解：有两种展开方法：

①将长方体展开成如图所示，连接A、B，

根据两点之间线段最短，AB==；

②将长方体展开成如图所示，连接A、B，则AB==5＜；

所以最短距离 5

例：有一棵9米高的大树，树下有一个1米高的小孩，如果大树在距地面4米处折断（未完全折断），则小孩至少离开大树米之外才是安全的．

分析：根据题意构建直角三角形ABC，利用勾股定理解答．

解：如图，BC即为大树折断处4m减去小孩的高1m，则BC=4﹣

1=3m，AB=9﹣4=5m，

在Rt△ABC中，AC===4．

例：如图，在一个长为2米，宽为1米的矩形草地上，如图堆放着一根长方体

的木块，它的棱长和场地宽AD平行且＞AD，木块的正视图是边长为0.2米的

正方形，一只蚂蚁从点A处，到达C处需要走的最短路程是米．（精确到

0.01米）

分析：解答此题要将木块展开，然后根据两点之间线段最短解答．

解：由题意可知，将木块展开，相当于是AB+2个正方形的宽，

∴长为2+0.2×2=2.4米；宽为1米．

于是最短路径为：=2.60米．

例：如图，AB为⊙O直径，AB=2，OC为半径，OC⊥AB,D为AC三等分点，

点P为OC上的动点，求AP+PD的最小值。

分折：作D关于OC的对称点D’，于是有PA+PD’≥AD’,

处，等号成立，易求AD’=3。

（当且仅当P运动到P

o

六、在圆锥中，可将其侧面展开求出最短路程

将圆锥侧面展开，根据同一平面内的问题可求出最优设计方案

例：如图，一直圆锥的母线长为QA=8，底面圆的半径r=2，若一只小蚂蚁从A

点出发，绕圆锥的侧面爬行一周后又回到A点，则蚂蚁爬行的最短路线长是

（结果保留根式）

小虫爬行的最短路线的长是圆锥的展开图的扇形的弧所对的弦长，

根据题意可得出：2πr=n.π.OA,/180则，

n×π×8

则2×π×2=

，

解得：n=90°，

由勾股定理求得它的弦长AA

一、题中出现一个动点。

当题中只出现一个动点时,可作定点关于动点所在直线的对称点,利用两点之间线段最短,或三角形两边之和小于第三边求出最值.

例：如图，在正方形ABCD中，点E为AB上一定点，

且BE=10,CE=14,P为BD上一动点，求PE+PC最小值。

分析：作E关于BD对称点E’，E’在AB上，

有PE+PC=PE’+PC≥E’C易求E’C=26。

二、题中出现两个动点。

当题中出现两个定点和两个动点时,应作两次定点关于动点所在直线的对称点.利用两点

之间线段最短求出最值。

例：如图，在直角坐标系中有四个点, A(-8,3),B(-4,5)C(0，

n),D(m,0),当四边形ABCD周长最短时,求m

n

。

分折:因AB长为定值,四边形周长

最短时有BC+CD+DA最短,作B关于y轴对称点B’,

A关于x轴对称点A’,

DA+DC+BC=DA’+DC+B’C≥B’A’(当D,C运动到AB和x轴y轴的交点时等号成立),易求直线A’B’解折式y=

2 3x

+

7

3,C0(0,

7

3),D0(-

7

2,0),此时

m

n=-

2

3

三、题中出现三个动点时。

在求解时应注意两点：

(1)作定点关于动点所在直线的对称点,

(2)同时要考虑点点,点线,线线之间的最短问题.

例：如图，在菱形ABCD中,AB=2,∠BAD=60,E,F,P分别为AB,BC,AC上动点,求PE+PF最小值

180

分折:作E关于AC所直线的对称点E’,于是有,

PE+PF=PF+PE’≥E’F,又因为E在AB上运动,故当EF和AD,BC垂直时，E0F最短,易求E0F=3。

R，求△PQR周长的最小值。

分折：作P关于OA，OB对称点P1，P2 。

于是有PQ+QR+PR=QP1+QR+RP2≥P1P2，

由对称性易知△P1OP2为等腰RT△,OP=OP1=OP2=10,P1P2=102

总之，在这一类动点最值问题中,关键在于，我们善于作定点关于动点

所在直线的对称点，或动点关于动点所在直线的对称点。这对于我们解决此类问题有事半功倍的作用。

1、运用轴对称解决距离最短问题

运用轴对称及两点之间线段最短的性质，将所求线段之和转化为一条线段的长，是解决距离之和最小问题的基本思路，不论题目如何变化，运用时要抓住直线同旁有两点，这两点到直线上某点的距离和最小这个核心，所有作法都相同．

注意：利用轴对称解决最值问题应注意题目要求根据轴对称的性质、利用三角形的三边关系，通过比较来说明最值问题是常用的一种方法．解决这类最值问题时，要认真审题，不要只注意图形而忽略题意要求，审题不清导致答非所问．

2、利用平移确定最短路径选址

选址问题的关键是把各条线段转化到一条线段上．如果两点在一条直线的同侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成线段的差最大，如果两点在一条直线的异侧时，过两点的直线与原直线的交点处构成的线段的和最小，都可以用三角形三边关系来推理说明，通常根据最大值或最小值的情况取其中一个点的对称点来解决．

解决连接河两岸的两个点的最短路径问题时，可以通过平移河岸的方法使河的宽度变为零，转化为求直线异侧的两点到直线上一点所连线段的和最小的问题．

在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换把不在一条直线上的两条线段转化到一条直线上，从而作出最短路径的方法来解决问题．