二次根式的知识结构图
二次根式的知识结构图
知识点一：二次根式的概念
形如√a(a≥0)的式子叫做二次根式。
注：在二次根式中，被开放数可以是数，也可以是单项式、多项式、分式等代数式，但必须注意：因为负数没有平方根，所以a≥0是√a为二次根式的前提条件，如√5，√(x2+1)，
√(x－1) (x≥1)等是二次根式，而√(-2)，√(-x2-7)等都不是二次根式。
知识点二：取值范围
1. 二次根式有意义的条件：由二次根式的意义可知，当a≥0时√a有意义，是二次根式，所以要使二次根式有意义，只要使被开方数大于或等于零即可。
2. 二次根式无意义的条件：因负数没有算术平方根，所以当a﹤0时，√a没有意义。
知识点三：二次根式√a(a≥0)的非负性
√a(a≥0)表示a的算术平方根，也就是说，√a(a≥0)是一个非负数，即
√a≥0(a≥0)。
注：因为二次根式√a表示a的算术平方根，而正数的算术平方根是正数，0的算术平方根是0，所以非负数(a≥0)的算术平方根是非负数，即
√a≥0(a≥0)，这个性质也就是非负数的算术平方根的性质，和绝对值、偶次方类似。这个性质在解答题目时应用较多，如若√a＋√b=0，则a=0,b=0；若√a ＋|b|=0，则a=0,b=0；若√a＋b2=0，则a=0,b=0。
知识点四：二次根式（√a）的性质
(√a)2=a(a≥0)
文字语言叙述为：一个非负数的算术平方根的平方等于这个非负数。
注：二次根式的性质公式(√a)2=a(a≥0)是逆用平方根的定义得出的结论。上面的公式也可以反过来应用：若a≥0，则
a=(√a)2，如：2=(√2)2，1/2=(√1/2)2.
知识点五：二次根式的性质
√a2=|a|
文字语言叙述为：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值。
注：
1、化简√a2时，一定要弄明白被开方数的底数a是正数还是负数，若是正数或0，则等于a本身，即
√a2=|a|=a (a≥0)；若a是负数，则等于a的相反数-a,即√a2=|a|=－a (a﹤0)；
2、√a2中的a的取值范围可以是任意实数，即不论a 取何值，√a2一定有意义；
3、化简√a2时，先将它化成|a|，再根据绝对值的意义来进行化简。
知识点六：(√a)2与√a2的异同点
1、不同点：(√a)2与√a2表示的意义是不同的，(√a)2表示一个非负数a的算术平方根的平方，而√a2表示一个实数a的平方的算术平方根；在(√a)2中，而√a2中a可以是正实数，0，负实数。但(√a)2与√a2都是
非负数，即(√a)2≥0，√a2≥0。因而它的运算的结果是有差别的，(√a)2=a(a≥0)，而√a2=|a|。
2、相同点：当被开方数都是非负数，即a≥0时，
(√a)2=√a2；a﹤0时，(√a)2无意义，而√a2=|a|=－a.
二次根式知识梳理
《二次根式》知识梳理 本章的知识结构框图： 一、二次根式的概念 1．代数式)0(≥a a 叫二次根式，a m 也是。 2．二次根式有意义的条件：0≥a 3．训练题型 设x 是实数，当x 满足什么条件时，下列各式有意义？ （1）x 231- （2）x 2- （3）122+-x x （4）4 1--x x 二、二次根式的性质 1．性质 性质1 ?? ???-==).0(),0(0),0(2a ＜a a a ＞a a 性质2 ()()02≥=a a a 性质3 ()0,0≥≥?=b a b a ab
性质4 ()0,0?≥=b a b a b a 2．训练题型 利用二次根式的性质进行计算或化简，例： （1）72，41 （2）()0182≥x x （3）3a （4）()092 ?b a b （5）()23π- （6） () 3,122-=+-x x x 3、常见问题和解决技巧 （1）重要公式不理解 被开方数是字母或代数式时，总忘记添绝对值。 口诀化方法解决：去帽子，套棍子。 （2）化简二次根式不熟练 在教学中始终渗透分解因数4、9、25及其它们的组合。 强化训练48、50、72、75、108、125等数的开方。 化简顺序：从数字到字母。 （3）化去根号内的分母时结果错位 解决方法：由外到里、由里到外、公式兼用 再分母有理化 三、最简二次根式、同类二次根式 1．最简二次根式的定义 （1）被开方数中各因式的指数都为1； （2）被开方数不含分母（根号内不含分母） （3）分母里不含根号。 “因式”包括字母和数字 2．同类二次根式的定义 几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式。 3．训练题型 ()???≤-≥==)0(02a a a a a a x x x x 222=x x x x x 22=x x x x x x 22222?=?=x x x =2=?=x 2x x 2x
二次函数知识点梳理
二次函数得基础 一、考点、热点回顾 二次函数知识点 一、二次函数概念: 1.二次函数得概念:一般地,形如（就是常数,)得函数,叫做二次函数。这里需要强调：与一元二次 方程类似，二次项系数，而可以为零.二次函数得定义域就是全体实数. ２、二次函数得结构特征: ⑴等号左边就是函数,右边就是关于自变量得二次式,得最高次数就是２. ⑵就是常数,就是二次项系数,就是一次项系数,就是常数项． 二、二次函数得基本形式 １、二次函数基本形式:得性质: a 得绝对值越大,抛物线得开口越小。 2、得性质:上加下减。 ３、得性质：左加右减。 ４、得性质:
三、二次函数图象得平移 在原有函数得基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”. 概括成八个字“左加右减,上加下减”. 方法二: ⑴沿轴平移:向上(下）平移个单位,变成 (或） ⑵沿轴平移:向左(右）平移个单位,变成（或) 四、二次函数与得比较 从解析式上瞧,与就是两种不同得表达形式,后者通过配方可以得到前者,即,其中． 五、二次函数图象得画法 五点绘图法:利用配方法将二次函数化为顶点式,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图、一般我们选取得五点为：顶点、与轴得交点、以及关于对称轴对称得点、与轴得交点，（若与轴没有交点,则取两组关于对称轴对称得点)、 画草图时应抓住以下几点:开口方向,对称轴,顶点,与轴得交点,与轴得交点、 六、二次函数得性质 1、当时,抛物线开口向上,对称轴为,顶点坐标为． 当时,随得增大而减小；当时,随得增大而增大；当时,有最小值． 2、当时,抛物线开口向下,对称轴为,顶点坐标为.当时,随得增大而增大;当时,随得增大而减小;当时,有最大值. 七、二次函数解析式得表示方法 1、一般式:(,,为常数,)； 2、顶点式:(,,为常数,); 3、两根式：(，,就是抛物线与轴两交点得横坐标）、 注意:任何二次函数得解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非所有得二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与轴有交点,即时,抛物线得解析式才可以用交点式表示．二次函数解析式得这三种形式可以互化、 八、二次函数得图象与各项系数之间得关系 1、二次项系数 二次函数中，作为二次项系数,显然． ⑴当时,抛物线开口向上，得值越大,开口越小,反之得值越小,开口越大; ⑵当时,抛物线开口向下,得值越小,开口越小,反之得值越大,开口越大. 总结起来,决定了抛物线开口得大小与方向,得正负决定开口方向,得大小决定开口得大小． 2、一次项系数 在二次项系数确定得前提下,决定了抛物线得对称轴. ⑴在得前提下, 当时,，即抛物线得对称轴在轴左侧; 当时,,即抛物线得对称轴就就是轴; 当时,,即抛物线对称轴在轴得右侧. ⑵在得前提下，结论刚好与上述相反，即 当时，,即抛物线得对称轴在轴右侧; 当时,，即抛物线得对称轴就就是轴; 当时,,即抛物线对称轴在轴得左侧. 总结起来,在确定得前提下,决定了抛物线对称轴得位置. 得符号得判定：对称轴在轴左边则,在轴得右侧则,概括得说就就是“左同右异” 总结: 3、常数项 ⑴当时,抛物线与轴得交点在轴上方,即抛物线与轴交点得纵坐标为正;
中考数学复习专题二次函数知识点归纳
二次函数知识点归纳 一、二次函数概念 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。 这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： o o 结论：a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 总结： 2. 2y ax c =+的性质： 结论：上加下减。 a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()00， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值0． 0a < 向下 ()00， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值0．
总结： 3. ()2 y a x h =-的性质： 结论：左加右减。 总结： 4. ()2 y a x h k =-+的性质： 总结： a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0c ， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而增大；0x <时，y 随x 的增大而减小；0x =时，y 有最小值c ． 0a < 向下 ()0c ， y 轴 0x >时，y 随x 的增大而减小；0x <时，y 随x 的增大而增大；0x =时，y 有最大值c ． a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质 0a > 向上 ()0h ， X=h x h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值0． 0a < 向下 ()0h ， X=h x h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值0． a 的符号 开口方向 顶点坐标 对称轴 性质
二次函数知识点汇总(全)
二次函数知识点 一、二次函数概念： 1．二次函数的概念：一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． 2. 二次函数2y ax bx c =++的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量x 的二次式，x 的最高次数是2． ⑵ a b c ，，是常数，a 是二次项系数，b 是一次项系数，c 是常数项． 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数基本形式：2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。
3. ()2 y a x h =-的性质： 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质： 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2 y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ， 处，具体平移方法如下： 【或左(h <0)】向右(h >0)【或左(h 平移|k|个单位
2. 平移规律 在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”． 概括成八个字“左加右减，上加下减”． 方法二： ⑴c bx ax y ++=2 沿 y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成 m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2） ⑵c bx ax y ++=2 沿轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2 变成 c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2） 四、二次函数()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++的比较 从解析式上看，()2 y a x h k =-+与2y ax bx c =++是两种不同的表达形式，后者通过配方可以得到前者， 即2 2424b ac b y a x a a -??=++ ??? ，其中2424b ac b h k a a -=-=，． 五、二次函数2y ax bx c =++图象的画法 五点绘图法：利用配方法将二次函数2y ax bx c =++化为顶点式2()y a x h k =-+，确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点画图.一般我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点()0c ， 、以及()0c ，关于对称轴对称的点()2h c ，、与x 轴的交点()10x ，，()20x ，（若与x 轴没有交点，则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与x 轴的交点，与y 轴的交点. 六、二次函数2y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <- 时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大；当2b x a =-时，y 有最小值2 44ac b a -．
实数学习的的学习的知识结构图.doc
实数知识结构图实数的概念及分类 1、实数的分类 实数有理数 正有理数 零 负有理数 正无理数 有限小数和无限循环小数 无理数无限不循环小数 负无理数 2、无理数：无限不循环小数叫做无理数。 在理解无理数时，要抓住“无限不循环”这一实质，归纳起来有四类： （ 1）开方开不尽的数，如7, 3 2 等； π （ 2）有特定意义的数，如圆周率π，或化简后含有π的数，如+8 等； 3 （3）有特定结构的数，如 0.1010010001 等； （4）某些三角函数值，如 sin60o等。实 数的倒数、相反数和绝对值 1、相反数 实数与它的相反数是一对数（只有符号不同的两个数叫做互为相反数，零的相反数是零），从数轴上看，互为相反数的两个数所对应的点关于原点对称，如果 a 与 b 互为相反数，则有a+b=0， a=-b，反之亦成立。 2、绝对值 在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离，叫做该数的绝对值。 可看成它的相反数，若|a|=a，则 a≥0；若 |a|=-a，则 a≤0。 （ |a|≥0）。零的绝对值是它本身，也 3、倒数 如果 a 与 b 互为倒数，则有ab=1，反之亦成立。 1 和 -1 的倒数等于本身。零没有倒数。 4、数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴（画数轴时，要注意上述规定的三要素缺一不可） 实数与数轴的点是一一对应的。 平方根、算数平方根和立方根 。 1、算术平方根：一般地，如果一个正数 方根。特别地，0 的算术平方根是0。 x 的平方等于a，即x2=a，那么这个正数x 就叫做 a 的算术平表示方法：记作“ a ”，读作根号a。 性质：正数和零的算术平方根都只有一个，零的算术平方根是零。 2、平方根：一般地，如果一个数 x 的平方等于 a，即 x2=a，那么这个数 x 就叫做 a 的平方根（或二次方根）。 表示方法：正数 a 的平方根记做“ a ”，读作“正、负根号a”。 性质：一个正数有两个平方根，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根。 3、开平方：求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平方。