2019届高三理科数学一轮总复习第四章 平面向量(教师用书)

第四章平面向量

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理解向量的几何表示

知识络

4.1 平面向量的概念及线性运算

典例精析

题型一向量的有关概念

【例1】下列

①向量AB的长度与BA的长度相等；

②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；

③两个有共同起点的单位向量，其终点必相同；

④向量AB与向量CD是共线向量，则A、B、C、D必在同一直线上.

其中真

【解析】①对；零向量与任一向量是平行向量，但零向量的方向任意，故②错；③显然错；AB与CD是共线向量，则A、B、C、D可在同一直线上，也可共面但不在同一直线上，故④错.故是真

【点拨】正确理解向量的有关概念是解决本题的关键，注意到特殊情况，否定某个

【变式训练1】下列各式：

a∙；

①|a|＝a

②(a∙b) ∙c＝a∙ (b∙c)；

③－＝；

④在任意四边形ABCD中，M为AD的中点，N为BC的中点，则AB＋DC＝2MN；

⑤a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，且a与b不共线，则(a＋b)⊥(a－b).

其中正确的个数为( )

A.1

B.2

C.3

D.4

【解析】选D.| a|＝a a ∙正确；(a ∙b) ∙c ≠a ∙ (b ∙c)； OA －OB ＝BA 正确；如下图所示，

MN =MD +DC +CN 且MN =++BN ，

两式相加可得2＝＋，即

因为a ，b 不共线，且|a|＝|b|＝1，所以a ＋b ，a －b 为菱形的两条对角线，

即得(a ＋b)⊥(a －b). 所以

题型二 与向量线性运算有关的问题

【例2】如图，ABCD 是平行四边形，AC 、BD 交于点O ，点M 在线段DO 上，且

=31，点N 在线段OC 上,且=OC 3

1

,设=a, =b,试用a 、b 表示，，.

【解析】在▱ABCD 中，AC ，BD 交于点O ， 所以＝12＝12(－)＝1

2

(a －b)，

AO ＝OC ＝1

2AC ＝12(AB ＋AD )＝12

(a ＋b).

又＝13， ＝1

3，

所以AM ＝AD ＋DM ＝b ＋1

3DO

＝b ＋13×12(a －b)＝16a ＋56

b ，

AN ＝AO ＋ON ＝OC ＋13

OC

＝43OC ＝43×12(a ＋b)＝2

3(a ＋b). 所以MN ＝AN －AM ＝23(a ＋b)－(16a ＋56b)＝12a －16

b. 【点拨】向量的线性运算的一个重要作用就是可以将平面内任一向量由平面内两个不共线的向量表示，即平面向量基本定理的应用，在运用向量解决问题时，经常需要进行这样的变形.

【变式训练2】O 是平面α上一点，A 、B 、C 是平面α上不共线的三点，平面α内的动点P 满足＝＋λ(＋)，若λ＝1

2

时，则∙(＋)的值为 .

【解析】由已知得－＝λ(＋)，

即＝λ(＋)，当λ＝12时，得＝1

2(＋)，

所以2AP ＝AB ＋AC ，即AP －AB ＝AC －AP ， 所以BP ＝，

所以＋＝＋＝0，

所以PA ∙ (PB ＋PC )＝PA ∙0＝0，故填0. 题型三 向量共线问题

【例3】 设两个非零向量a 与b 不共线.

(1)若AB ＝a ＋b ， BC ＝2a ＋8b ， CD ＝3(a －b)， 求证：A ，B ，D 三点共线；

(2)试确定实数k ，使ka ＋b 和a ＋kb 共线.

【解析】(1)证明：因为AB ＝a ＋b ， BC ＝2a ＋8b ， CD ＝3(a －b)， 所以BD ＝BC ＋CD ＝2a ＋8b ＋3(a －b)＝5(a ＋b)＝5AB ， 所以AB ， BD 共线.又因为它们有公共点B ， 所以A ，B ，D 三点共线. (2)因为ka ＋b 和a ＋kb 共线，

所以存在实数λ，使ka ＋b ＝λ(a ＋kb)， 所以(k －λ)a ＝(λk －1)b.

因为a 与b 是不共线的两个非零向量，

所以k －λ＝λk －1＝0，所以k 2

－1＝0，所以k ＝±1.

【点拨】(1)向量共线的充要条件中，要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法的运用和方程思想.

(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.

【变式训练3】已知O 是正三角形BAC 内部一点，OA +2OB +3OC =0，则△OAC 的面积与△OAB 的面积之比是（ ）

A.3

2 B.23

C.2

D.13

【解析】如图，在三角形ABC 中， ＋2＋3＝0，整理可得＋＋2(＋)＝0.令三角形ABC 中AC 边的中点为E ，BC 边的中点为F ，则点O 在点F 与点E 连线的1

3

处，即OE ＝2OF.

设三角形ABC 中AB 边上的高为h ，则S △OAC ＝S △OAE ＋S △OEC ＝12∙OE ∙ (h 2＋h 2)＝1

2OE ·h ，

S △OAB ＝12AB ∙12h ＝1

4

AB ·h ，

由于AB ＝2EF ，OE ＝2

3

EF ，所以AB ＝3OE ，

所以S △OAC S △OAB ＝h h AB OE ∙∙4

121

＝23

.故选B.

总结提高

1.向量共线也称向量平行，它与直线平行有区别，直线平行不包括共线(即重合)的情形，而向量平行则包括共线(即重合)的情形.

2.判断两非零向量是否平行，实际上就是找出一个实数，使这个实数能够和其中一个向量把另外一个向量表示出来.

3.当向量a 与b 共线同向时，|a ＋b|＝|a|＋|b|； 当向量a 与b 共线反向时，|a ＋b|＝||a|－|b||； 当向量a 与b 不共线时，|a ＋b|＜|a|＋|b|.

4.2 平面向量的基本定理及其坐标表示

典例精析

题型一 平面向量基本定理的应用

【例1】如图▱ABCD 中,M,N 分别是DC ，BC 中点.已知AM =a,=b,试用a ，b 表示，AD 与AC 【解析】易知＝＋ ＝＋1

2

，

AN ＝AB ＋BN ＝AB ＋1

2

AD ，

即⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧=+=+.21,21b a

所以AB ＝23(2b －a)， AD ＝2

3(2a －b).

所以＝＋＝2

3

(a ＋b).

【点拨】运用平面向量基本定理及线性运算，平面内任何向量都可以用基底来表示.此处方程思想的运用值得仔细领悟

.

【变式训练1】已知D 为△ABC 的边BC 上的中点，△ABC 所在平面内有一点P ，满足PA ＋BP ＋CP ＝0|

|AD 等于( ) A.1

3

B.1

2

C.1

D.2

【解析】由于D 为BC 边上的中点，因此由向量加法的平行四边形法则，易知＋＝2，因此结合＋＋＝0即得＝2，因此易得P ，A ，D 三点共线且D 是PA |

|AD PD ＝1，即选C.

题型二 向量的坐标运算

【例2】 已知a ＝(1，1)，b ＝(x ，1)，u ＝a ＋2b ，v ＝2a －b. (1)若u ＝3v ，求x ；(2)若u ∥v ，求x. 【解析】因为a ＝(1，1)，b ＝(x ，1)，

所以u ＝(1，1)＋2(x ，1)＝(1，1)＋(2x ，2)＝(2x ＋1，3)， v ＝2(1，1)－(x ，1)＝(2－x ，1). (1)u ＝3v ⇔(2x ＋1，3)＝3(2－x ，1) ⇔(2x ＋1，3)＝(6－3x ，3)， 所以2x ＋1＝6－3x ，解得x ＝1. (2)u ∥v ⇔(2x ＋1，3)＝λ(2－x ，1)

⇔⎩⎨⎧=-=+λ

λ3),2(12x x ⇔(2x ＋1)－3(2－x)＝0⇔x ＝1.

【点拨】对用坐标表示的向量来说，向量相等即坐标相等，这一点在解题中很重要，应引起重视. 【变式训练2】已知向量a n ＝(cos n π7，sin n π7)(n ∈N *)，|b|＝1.则函数y ＝|a 1＋b|2＋|a 2＋b|2

＋|a 3

＋b|2

＋…＋|a 141＋b|2

的最大值为 .

【解析】设b ＝(cos θ，sin θ)，所以y ＝|a 1＋b|2

＋|a 2＋b|2

＋|a 3＋b|2

＋…＋|a 141＋b|2

＝(a 1)2

＋b

2

＋2(cos π7，sin π7)(cos θ，sin θ)＋…＋(a 141)2＋b 2

＋2(cos 141π7，sin 141π7)(cos θ，sin θ)＝282

＋2cos(π

7

－θ)，所以y 的最大值为284.

题型三 平行(共线)向量的坐标运算

【例3】已知△ABC 的角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，设向量m ＝(a ，b)，n ＝(sin B ，sin A)，p ＝(b －2，a －2).

(1)若m ∥n ，求证：△ABC 为等腰三角形；

(2)若m ⊥p ，边长c ＝2，角C ＝π

3，求△ABC 的面积.

【解析】(1)证明：因为m ∥n ，所以asin A ＝bsin B. 由正弦定理，得a 2

＝b 2

，即a ＝b.所以△ABC 为等腰三角形. (2)因为m ⊥p ，所以m ·p ＝0，即 a(b －2)＋b(a －2)＝0，所以a ＋b ＝ab. 由余弦定理，得4＝a 2

＋b 2

－ab ＝(a ＋b)2

－3ab ， 所以(ab)2

－3ab －4＝0. 所以ab ＝4或ab ＝－1(舍去). 所以S △ABC ＝12absin C ＝12×4×3

2＝ 3.

【点拨】设m ＝(x 1，y 1)，n ＝(x 2，y 2)，则 ①m ∥n ⇔x 1y 2＝x 2y 1；②m ⊥n ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.

【变式训练3】已知a ，b ，c 分别为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝(2cosC －1，－2)，n ＝(cos C ，cos C ＋1).若m ⊥n ，且a ＋b ＝10，则△ABC 周长的最小值为( )

A.10－5 3

B.10＋5 3

C.10－2 3

D.10＋2 3

【解析】由m ⊥n 得2cos 2C －3cos C －2＝0，解得cos C ＝－12或cos C ＝2(舍去)，所以c 2＝a 2＋b 2

－

2abcos C ＝a 2

＋b 2

＋ab ＝(a ＋b)2

－ab ＝100－ab ，由10＝a ＋b≥2ab ⇒ab≤25，所以c 2

≥75，即c≥53，所以a ＋b ＋c≥10＋53，当且仅当a ＝b ＝5时，等号成立.故选B.

总结提高

1.向量的坐标表示，实际是向量的代数表示，在引入向量的坐标表示后，即可使向量运算完全代数化，将数与形紧密地结合起来.向量方法是几何方法与代数方法的结合体，很多几何问题可转化为熟知的向量运算.

2.向量的运算中要特别注意方程思想的运用.

3.向量的运算分为向量形式与坐标形式.向量形式即平行四边形法则与三角形法则，坐标形式即代入向量的直角坐标.

4.3 平面向量的数量积及向量的应用

典例精析

题型一 利用平面向量数量积解决模、夹角问题

【例1】 已知a ，b 夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，求： (1)|a ＋b|；

(2)(a ＋2b) ·(a ＋b)；

(3)a 与(a ＋b)的夹角θ.

【解析】(1)(a ＋b)2

＝a 2

＋b 2

＋2a ·b ＝16＋4－2×4×2×1

2＝12，

所以|a ＋b|＝2 3.

(2)(a ＋2b) ·(a ＋b)＝a 2

＋3a ·b ＋2b 2

＝16－3×4×2×1

2

＋2×4＝12.

(3)a ·(a ＋b)＝a 2

＋a ·b ＝16－4×2×12＝12.

所以cos θ＝

||||)(b a a b a a ++∙＝124×23＝32

，所以θ＝π6.

【点拨】利用向量数量积的定义、性质、运算律可以解决向量的模、夹角等问题.

【变式训练1】已知向量a ，b ，c 满足：|a|＝1，|b|＝2，c ＝a ＋b ，且c ⊥a ，则a 与b 的夹角大小是 .

【解析】由c ⊥a ⇒c ·a ＝0⇒a 2

＋a ·b ＝0， 所以cos θ＝－1

2，所以θ＝120°.

题型二 利用数量积来解决垂直与平行的问题

【例2】 在△ABC 中，AB ＝(2，3)， AC ＝(1，k)，且△ABC 的一个内角为直角，求k 的值. 【解析】①当∠A ＝90°时，有AB ·AC ＝0， 所以2×1＋3·k ＝0，所以k ＝－2

3；

②当∠B ＝90°时，有AB ·＝0，

又BC ＝AC －AB ＝(1－2，k －3)＝(－1，k －3)， 所以2×(－1)＋3×(k－3)＝0⇒k ＝11

3；

③当∠C ＝90°时，有·＝0， 所以－1＋k ·(k －3)＝0， 所以k 2

－3k －1＝0⇒k ＝3±132.

所以k 的取值为－23，113或3±13

2

.

【点拨】因为哪个角是直角尚未确定，故必须分类讨论.在三角形中计算两向量的数量积，应注意方向及两向量的夹角.

【变式训练2】△ABC 中，AB ＝4，BC ＝5，AC ＝6， 求·＋·＋·.

【解析】因为2·＋2·＋2·

＝(AB ·BC ＋CA ·AB )＋(CA ·AB ＋BC ·CA )＋(BC ·CA ＋BC ·AB ) ＝AB ·(BC ＋CA )＋CA ·(AB ＋BC )＋BC ·(CA ＋AB ) ＝AB ·BA ＋CA ·AC ＋BC ·CB ＝－42

－62

－52

＝－77.

所以·＋·＋·＝－77

2.

题型三 平面向量的数量积的综合问题

【例3】数轴Ox ，Oy 交于点O ，且∠xOy ＝π

3，构成一个平面斜坐标系，e 1，e 2分别是与Ox ，Oy 同向的

单位向量，设P 为坐标平面内一点，且＝xe 1＋ye 2，则点P 的坐标为(x ，y)，已知Q(－1，2).

(1)求|OQ |的值及OQ 与Ox 的夹角；

(2)过点Q 的直线l ⊥OQ ，求l 的直线方程(在斜坐标系中). 【解析】(1)依题意知，e 1·e 2＝1

2，

且OQ ＝－e 1＋2e 2，

所以2

＝(－e 1＋2e 2)2

＝1＋4－4e 1·e 2＝3. 所以|OQ |＝ 3.

又OQ ·e 1＝(－e 1＋2e 2) ·e 1＝－e 2

1＋2e 1∙e 2＝0. 所以OQ ⊥e 1，即OQ 与Ox 成90°角. (2)设l 上动点P(x ，y)，即＝xe 1＋ye 2， 又OQ ⊥l ，故⊥QP ，

即[(x ＋1)e 1＋(y －2)e 2] ·(－e 1＋2e 2)＝0. 所以－(x ＋1)＋(x ＋1)－(y －2) ·1

2＋2(y －2)＝0，

所以y ＝2，即为所求直线l 的方程.

【点拨】综合利用向量线性运算与数量积的运算，并且与不等式、函数、方程、三角函数、数列、解析几何等相交汇，体现以能力立意的

【变式训练3】在平面直角坐标系xOy 中，点A(5，0).对于某个正实数k ，存在函数f(x)

＝ax 2

(a ＞0)，使得OP ＝λ∙||OA OA |

|OQ OQ

)(λ为常数)，其中点P ，Q 的坐标分别为(1，f(1))，(k ，f(k))，则k 的取值范围为( )

A.(2，＋∞)

B.(3，＋∞)

C.(4，＋∞)

D.(8，＋∞)

|

|OA OA ||OQ ，＋＝，则＝λ.因为P(1，

a)，Q(k ，ak 2

)，OM ＝(1，0)，ON ＝(

k k 2

＋a 2k

4

，

ak

2k 2

＋a 2k

4

)，OG ＝(

k k 2

＋a 2k

4

＋1，

ak

2k 2

＋a 2k

4

)，则直

线OG 的方程为y ＝ak

2

k ＋k 2＋a 2k 4x ，又OP ＝λOG ，所以P(1，a)在直线OG 上，所以a ＝ak

2

k ＋k 2＋a 2k 4

，所以a 2

＝1－2k

.

因为|OP |＝1＋a 2

＞1，所以1－2k ＞0，所以k ＞2. 故选A.

总结提高

1.本节是平面向量这一章的重要内容，要准确理解两个向量数量积的定义及几何意义，熟练掌握向量数量积的性质及运算律；数量积不满足结合律，即(a ·b) ·c≠a·(b ·c)；数量积不满足消去律，即a ·b ＝a ·c 推不出b ＝c.

2.通过向量的数量积，可以计算向量的长度，平面内两点间的距离，两个向量的夹角，判断两直线是否垂直.

3.向量的线性运算、数量积运算是平面向量的最基本知识，在解决向量与不等式、函数、方程、数列、三角函数、解析几何等综合性问题时，往往要找到其内在的联系以获得正确的解题途径.

2020版高考数学一轮复习第4章平面向量第1讲平面向量的概念及线性运算讲义(理)(含解析)

第四章平面向量 第1讲平面向量的概念及线性运算 [考纲解读] 1.了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和两个向量相等的含义，理解向量的几何表示． 2.掌握向量加法、减法的运算，理解其几何意义．(重点) 3.掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义，了解向量线性运算的性质及其几何意义．(难点) [考向预测] 从近三年高考情况来看，本讲一般不直接考查．预测2020年高考中，平面向量的线性运算是考查的热点，常以客观题的形式呈现，属中、低档试题. 1．向量的有关概念

2．向量的线性运算

3．共线向量定理 向量a (a ≠0)与b 共线，当且仅当有唯一的一个实数λ，使得□01b ＝λa . 1．概念辨析 (1)在△ABC 中，D 是BC 的中点，E 是AD 的中点，则AE → ＝1 4(AC →＋AB →)．( ) (2)若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .( ) (3)向量AB → 与向量CD → 是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点在一条直线上．( ) (4)当两个非零向量a ，b 共线时，一定有b ＝λa ，反之成立．( ) 答案 (1)√ (2)× (3)× (4)√ 2．小题热身 (1)下列命题正确的是( ) A ．若|a |＝|b |，则a ＝b B ．若|a |>|b |，则a >b C ．若a ＝b ，则a ∥b D ．若|a |＝0，则a ＝0 答案 C 解析 A 错误，模相等，方向相同的向量才是相等向量；B 错误，向量不能比较大小；C 正确，若a ＝b ，则a 与b 方向相同，故a ∥b ；D 错误，若|a |＝0，则a ＝0.

2019-2020年高考数学一轮复习 第五篇 平面向量 第2讲 平面向量基本定理及其坐标表示教案 理 新人教版

2019-2020年高考数学一轮复习 第五篇 平面向量 第2讲 平面向量基 本定理及其坐标表示教案 理 新人教版 【xx 年高考会这样考】 1．考查平面向量基本定理的应用． 2．考查坐标表示下向量共线条件． 【复习指导】 本讲复习时，应理解基本定理，重点运用向量的坐标进行加、减、数乘的运算以及向量共线的运算． 基础梳理 1．平面向量基本定理 如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中不共线的向量e 1，e 2叫表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则 a ＋ b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 2 1. (2)向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →|＝x 2－x 1 2 ＋y 2－y 1 2 . 3．平面向量共线的坐标表示 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠0，当且仅当x 1y 2－x 2y 1＝0时，向量a ，b 共线． 一个区别 向量坐标与点的坐标的区别： 在平面直角坐标系中，以原点为起点的向量OA → ＝a ，点A 的位置被向量a 唯一确定，此时点 A 的坐标与a 的坐标统一为(x ，y )，但应注意其表示形式的区别，如点A (x ，y )，向量a ＝OA → ＝(x ，y )． 当平面向量OA →平行移动到O 1A 1→时，向量不变，即O 1A 1→＝OA →＝(x ，y )，但O 1A 1→ 的起点O 1和终点A 1的坐标都发生了变化．

2019-2020年高考数学一轮复习第4章平面向量4.1平面向量的概念及线性运算课后作业理

2019-2020年高考数学一轮复习第4章平面向量4.1平面向量的概念及线 性运算课后作业理 一、选择题 1．(xx·武汉调研测试)如图所示的方格纸中有定点O ，P ，Q ，E ，F ，G ，H ，则OP →＋OQ → ＝( ) A.OH → B.OG → C.EO → D.FO → 答案 D 解析 在方格纸上作出OP → ＋OQ → ，如图所示，则容易看出OP → ＋OQ →＝FO → ，故选D. 2．已知A ，B ，C 三点不共线，且点O 满足OA →＋OB → ＋OC → ＝0，则下列结论正确的是( )

A.OA → ＝13AB →＋2 3BC → B.OA → ＝23AB →＋13BC → C.OA → ＝13AB →－2 3BC → D.OA → ＝－23AB →－1 3 BC → 答案 D 解析 ∵OA → ＋OB →＋OC → ＝0，∴O 为△ABC 的重心，∴OA →＝－23×12(AB →＋AC →)＝－1 3(AB →＋AC →) ＝－13(AB →＋AB →＋BC →)＝－13(2AB →＋BC →)＝－23AB →－1 3 BC → .故选D. 3．(xx·衡水中学三调)在△ABC 中，AN → ＝1 4NC →，P 是直线BN 上的一点，且满足AP →＝mAB → ＋ 2 5 AC →，则实数m 的值为( ) A ．－4 B ．－1 C ．1 D ．4 答案 B 解析 根据题意设BP →＝nBN →(n ∈R )，则AP →＝AB → ＋BP → ＝AB → ＋nBN → ＝AB → ＋n (AN → －AB → )＝AB → ＋ n ? ?? ??15AC →－AB →＝(1－n )AB → ＋n 5AC → ，又AP → ＝mAB → ＋2 5AC → ， ∴???? ? 1－n ＝m ，n 5＝2 5 ，解得? ?? ?? n ＝2， m ＝－1，故选B. 4．(xx·石家庄一模)A ，B ，C 是圆O 上不同的三点，线段CO 与线段AB 交于点D (点O 与点D 不重合)，若OC →＝λOA → ＋μOB → (λ，μ∈R )，则λ＋μ的取值范围是( ) A ．(0,1) B ．(1，＋∞) C．(1，2] D ．(－1,0) 答案 B 解析 设OC →＝mOD → ，则m >1，因为OC → ＝λOA → ＋μOB → ， 所以mOD → ＝λOA → ＋μOB → ，即OD → ＝λm OA →＋μm OB → ，又知A ，B ，D 三点共线，所以λm ＋μ m ＝1， 即λ＋μ＝m ，所以λ＋μ>1，故选B. 5．(xx·广东模拟)已知点O ，A ，B 不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且OP → ＝3OA →－OB → 2 ，则( )

2019届高考数学(理)大一轮课时跟踪检测【27】平面向量的基本定理及坐标表示(含答案)

课时跟踪检测(二十七) 平面向量的基本定理及坐标表示 第Ⅰ组：全员必做题 1．(2018·辽宁高考)已知点A(1,3)，B(4，－1)，则与向量AB 同方向的单位向量为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫35，－45 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫45，－35 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫－35，45 D.⎝ ⎛⎭ ⎪⎫－45，35 2．已知△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD ＝2DB ，CD ＝r AB ＋s AC ，则r ＋s 的值是( ) A.23 B.43 C ．－3 D ．0 3．(2018·江苏五市联考)已知向量a ＝⎝ ⎛⎭ ⎪⎫8，12x ，b ＝(x,1)，其中x>0，若(a －2b)∥(2a ＋b)，则x 的值为( ) A ．4 B ．8 C ．0 D ．2 4.创新题若α，β是一组基底，向量γ＝x α＋y β(x ，y ∈R)，则称(x ，y)为向量γ在基底α，β下的坐标，现已知向量a 在基底p ＝(1，－1)，q ＝(2,1)下的坐标为(－2,2)，则a 在另一组基底m ＝(－1,1)，n ＝(1,2)下的坐标为( ) A ．(2,0) B ．(0，－2) C ．(－2,0) D ．(0,2) 5.如图，在平行四边形ABCD 中，O 是对角线AC ，BD 的交点，N 是 线段OD 的中点，AN 的延长线与CD 交于点E ，则下列说法错误的是( ) A ．AC ＝A B ＋AD B ．BD ＝AD －AB C ．AO ＝12AB ＋12A D D ．A E ＝53AB ＋AD 6．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP ＝2OB ，点Q 是AC 的中点，若PA ＝(4,3)，PQ ＝(1,5)，则BC ＝________. 7．(2018·九江模拟)P ＝{a|a ＝(－1,1)＋m(1,2)，m ∈R}，Q ＝{b|b ＝(1，－2)＋n(2,3)，n ∈R}是两个向量集合，则P∩Q 等于________． 8．已知向量OA ＝(1，－3)， OB ＝(2，－1)，OC ＝(k ＋1，k －2)，若A ，B ，C 三点能构成三角形，则实数k 应满足的条件是________． 9．已知a ＝(1,0)，b ＝(2,1)．求：

专题07 平面向量-2019年高考理数母题题源系列(全国Ⅰ专版)(解析版)

专题07 平面向量 【母题来源一】【2019年高考全国I 卷理数】已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为 A ．π 6 B ． π3 C ．2π3 D ．5π6 【答案】B 【解析】因为()-a b ⊥b ，所以2 ()-⋅=⋅-a b b a b b =0，所以2⋅=a b b ， 所以cos θ=22 ||12||2⋅==⋅a b b a b b ，所以a 与b 的夹角为π 3 ， 故选B ． 【名师点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0,]π． 【母题来源二】【2018年高考全国I 卷理数】在ABC △中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点， 则EB = A ．31 44AB AC - B ． 13 44AB AC - C ．31 44 AB AC + D ．13 44 AB AC + 【答案】A 【解析】根据向量的运算法则，可得() 111111 222424 BE BA BD BA BC BA BA AC = +=+=++ 11131 24444 BA BA AC BA AC = ++=+， 所以31 44EB AB AC =-.故选A.

【名师点睛】该题考查的是有关平面向量的基本问题，涉及的知识点有三角形的中线向量、向量加法的三角形法则、共线向量的表示以及相反向量的问题，在解题的过程中，需要认真对待每一步运算. 【母题来源三】【2017年高考全国I 卷理数】已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |=2，|b |=1，则| a +2b |=___________． 【答案】3【解析】方法一：2 2 2 |2|||44||4421cos 60412+=+⋅+=+⨯⨯⨯+=a b a a b b ， 所以|2|1223+==a b . 方法二：利用如下图形，可以判断出2+a b 的模长是以2为边长，一夹角为60°的菱形的对角线的长度，则为3 【名师点睛】平面向量中涉及有关模长的问题时，常用到的通法是将模长进行平方，利用向量数量积的知识进行解答，很快就能得出答案；另外，向量是一个工具型的知识，具备代数和几何特征，在做这类问题时可以使用数形结合的思想，会加快解题速度.

(新课标)2020高考数学大一轮复习 第4章 第2节 平面向量的基本定理及坐标表示课时作业 理

课时作业(二十七) 平面向量的基本定理及坐标表示 一、选择题 1．已知点A (1,3)，B (4，－1)，则与向量AB → 同方向的单位向量为( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫3 5 ，－45 B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫4 5 ，－35 C.⎝ ⎛⎭ ⎪⎫－35，45 D ．⎝ ⎛⎭ ⎪⎫－45，35 答案：A 解析：AB →＝(3，－4)，|AB → |＝5. 与AB → 同方向的单位向量为AB → |AB →| ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫35 ，－45，故应A. 2．如图，平面内的两条相交直线OP 1和OP 2将该平面分割成四个部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包含边界)．设OP →＝mOP 1→＋nOP 2→ ，且点P 落在第Ⅲ部分，则实数m ，n 满足( ) A ．m >0，n >0 B ．m >0，n <0 C ．m <0，n >0 D ．m <0，n <0 答案：B 解析：由题意及平面向量基本定理，得 在OP →＝mOP 1→＋nOP 2→ 中，m >0，n <0. 故应选B. 3．在平面直角坐标系中，点O (0,0)，P (6,8)，将向量OP → 绕点O 逆时针方向旋转3π4后 得向量OQ → ，则点Q 的坐标是( ) A ．(－72，－2) B ．(－72，2) C ．(－46，－2) D ．(－46，2) 答案：A 解析：∵点O (0,0)，P (6,8)， ∴OP → ＝(6,8)， 设OP → ＝(10cos θ，10sin θ)，

则cos θ＝35，sin θ＝4 5 ， ∵向量OP →绕点O 逆时针方向旋转3π4后得向量OQ → ， 设Q (x ，y )，则 x ＝10cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋ 3π4＝10⎝ ⎛⎭ ⎪⎫cos θcos 3π4－sin θsin 3π4 ＝－72， y ＝10sin ⎝ ⎛ ⎭⎪⎫θ＋ 3π4＝10⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θcos 3π4＋cos θsin 3π4 ＝－2， ∴Q 点的坐标为(－72，－2)． 故应选A. 4．若a ＝(2cos α，1)，b ＝(sin α，1)，且a ∥b ，则tan α等于( ) A ．2 B ．1 2 C ．－2 D ．－12 答案：A 解析：∵a ∥b ，则a ＝λb ， ∴2cos α－sin α＝0，即tan α＝2. 故应选A. 5．设向量a ＝(1，－3)，b ＝(－2,4)，若表示向量4a,3b －2a ，c 的有向线段首尾相接能构成三角形，则向量c 为( ) A ．(1，－1) B ．(－1,1) C ．(－4,6) D ．(4，－6) 答案：D 解析：设向量c ＝(x ，y )， ∵向量4a,3b －2a ，c 首尾相接能构成三角形， ∴4a ＋3b －2a ＋c ＝0， 即⎩ ⎪⎨ ⎪⎧ 4－6－2＋x ＝0， －12＋12－－6＋y ＝0， 解得x ＝4，y ＝－6， 即c ＝(4，－6)． 故应选D.

2019-2020年高三数学一轮复习 专题突破训练 平面向量 理

2019-2020年高三数学一轮复习专题突破训练平面向量理 一、选择、填空题 1、（xx年北京高考）在中，点M，N满足若，则；． 2、（xx年北京高考）已知向量、满足，，且，则_______ 3、（xx年北京高考）向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c＝λa＋μb(λ，μ∈R)，则__________. 4、（朝阳区xx届高三一模）在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A1，0，B1，1，且∠BOP 90。设OP OA kOB k R，则| |＝ 5、（东城区xx届高三二模）已知非零向量满足，与的夹角为，则的取值范围是． 6、（房山区xx届高三一模）向量，，若与的夹角等于，则的最大值为（） A．B．C．D． 7、（海淀区xx届高三二模）设关于的不等式组表示的平面区域为，已知点，点是上的动点. ，则的取值范围是 . 8、（石景山区xx届高三一模）如图，在的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量 满足，则 9、（西城区xx届高三一模）已知平面向量a , b满足a = (1, −1), (a+ b) ⊥ (a−b),那么｜b｜＝. 10、（东城区xx届高三上学期期末）已知向量，不共线，若（）∥（），则实数_______ 11、（石景山区xx届高三上学期期末）如图，在边长为2的菱形中，为中点，则． 12、（朝阳区xx届高三上学期期中）已知平面向量满足，，且，则向量的坐标是______ 13、（海淀区xx届高三上学期期中）如图所示，在△ABC中，为边上的一点，且.若，则.

D C B A 14、（海淀区xx 届高三上学期期中）已知向量，. 若，则（ ） （A ） （B ） （C ） （D ） 15、（朝阳区xx 届高三上学期期末）点在的内部，且满足，则的面积与的面积之比是 A ． B ． 3 C ． D ．2 16、（西城区xx 届高三上学期期末）设命题：平面向量和，，则为（ ） （A ）平面向量和， （B ）平面向量和， （C ）平面向量和， （D ）平面向量和， 17、（北京四中xx 届高三上学期期中）设，向量，，，且，，则 ＝ （A ） （B ） （C ） （D ） 18、（朝阳区xx 届高三上学期期中）设是两个非零的平面向量，下列说法正确的是 ① 若，则有； ② ； ③ 若存在实数λ，使得＝λ，则； ④若，则存在实数λ，使得＝λ. A. ①③ B. ①④ C.②③ D. ②④ 19、（朝阳区xx 届高三第二次综合练习）已知平面上三点A ，B ，C ，满足，则= （ ）． A ．48 B ．-48 C ．100 D ．-100 20、（通州区xx 高三4月模拟考试（一））如图，在四边形中，，，，，动点在内（含边界）运动，设， 则的取值范围是______． 二、解答题 1、已知向量)cos 2,cos 2(),sin 3,cos 3(x x n x x m -==，函数． （Ⅰ）求的最小正周期和对称轴方程； （Ⅱ）在锐角中，角的对边分别为，若且，，求的值． 2、中，角、、所对应的边分别为、、，若.

2020版高考数学一轮总复习专题5平面向量与解三角形5.1平面向量的概念及线性运算平面向量基本定理检测

5.1 平面向量的概念及线性运算、平面向量基本定理 【真题典例】 挖命题 【考情探究】

分析解读 1.向量的线性运算及其几何意义、向量的坐标表示是高考的重点考查对象(例:2017浙江10题). 2.向量与其他知识的交汇成为高考命题的趋势,向量与平面几何、解析几何、三角函数、解三角形等的结合成为高考命题的亮点. 3.预计2020年高考中平面向量的线性运算会重点考查,复习时应加以重视. 破考点 【考点集训】 考点一平面向量的线性运算及几何意义 1.(2018浙江杭州地区重点中学第一学期期中,10)在△ABC中,已知 ∠C=,||<||,=λ+(1-λ)(0<λ<1),则||取最小值时( ) A.||>||>|| B.||>||>|| C.||>||>|| D.||>||>|| 答案 B 2.(2017浙江镇海中学模拟练习(二),9)在△ABC中,+=4,||=2,记 h(λ)=,则{h(λ)}的最大值为( ) A.1 B. C. D. 答案 B 考点二平面向量基本定理及坐标表示

1.(2018浙江“七彩阳光”联盟期中,6)已知两向量a=(cos α,sin α),b=(cos β,sin β),其中0<β<α<,则|a+b|+|a-b|的取值范围是( ) A.(2,2) B.(2,2) C.(2,4) D.(2,4) 答案 A 2.(2017浙江金华十校调研,16)设单位向量a,b的夹角为α,且α∈,若对任意的 (x,y)∈{(x,y)||xa+yb|=1,x,y≥0},都有|x+2y|≤成立,则a·b的最小值为. 答案 炼技法 【方法集训】 方法1 平面向量线性运算的解题方法 1.(2018浙江高考模拟训练冲刺卷一,10)已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=120°.动点P在以C为圆心,1为半径的圆上,且=λ+μ,λ,μ∈R,则λ+μ的最大值是( ) A. B. C.2 D.3 答案 D 2.(2017浙江镇海中学模拟卷(六),16)已知向量a,b,|a|=2, |b|=1,向量 c=xa+2(1-x)b(x∈R),若|c|取最小值时,向量m满足(a-m)·(c-m)=0,则|m|的取值范围是. 答案 方法2 平面向量的坐标运算的解题方法 1.(2018浙江镇海中学期中,9)在平面内,·=·=·=6,动点P,M满足||=2,=,则||的最大值是( ) A.3 B.4 C.8 D.16 答案 B

2020高三人教版数学(理)一轮复习课时作业：第4章 第2节 平面向量的基本定理及坐标表示

课时作业 一、选择题 1．在△ABC 中，点P 在BC 上，且BP →＝2PC →，点Q 是AC 的中点，若P A → ＝(4，3)，PQ →＝(1，5)，则BC →等于 ( ) A ．(－2，7) B ．(－6，21) C ．(2，－7) D ．(6，－21) B [B C →＝3PC →＝3(2PQ →－P A →)＝6PQ →－3P A →＝(6，30)－(12，9)＝(－6，21)．] 2．已知平面向量a ＝(1，2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ，则2a ＋3b ＝ ( ) A ．(－2，－4) B ．(－3，－6) C ．(－4，－8) D ．(－5，－10) C [由a ＝(1，2)，b ＝(－2，m )，且a ∥b ， 得1×m ＝2×(－2)⇒m ＝－4，从而b ＝(－2，－4)， 那么2a ＋3b ＝2(1，2)＋3(－2，－4)＝(－4，－8)．] 3．(2014·昆明模拟)如图所示，向量OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，A ，B ，C 在一条直线上，且AC →＝－3CB →，则 ( ) A ．c ＝－12a ＋3 2b B ．c ＝32a －1 2b C ．c ＝－a ＋2b D ．c ＝a ＋2b A [∵AC →＝－3C B →，∴O C →－OA →＝－3(OB →－OC → )． ∴OC →＝－12OA →＋32OB →，即c ＝－12a ＋32 b .] 4．(2014·郑州模拟)已知平面直角坐标系内的两个向量a ＝(1，2)，b ＝(m ，3m －2)，且平面内的任一向量 c 都可以唯一的表示成c ＝λa ＋μb (λ、μ为实数)，则

2019届一轮复习人教A版 平面向量 学案.doc

平面向量 【考点梳理】 1.平面向量的两个重要定理 (1)向量共线定理：向量a (a ≠0)与b 共线当且仅当存在唯一一个实数λ，使b ＝λa . (2)平面向量基本定理：如果e 1，e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2，其中e 1，e 2是一组基底. 2.平面向量的两个充要条件 若两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则 (1)a ∥b ⇔a ＝λb ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0. (2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. 3.平面向量的三个性质 (1)若a ＝(x ，y )，则|a |＝a·a ＝x2＋y2. (2)若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝ （x2－x1）2＋（y2－y1）2. (3)若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为a 与b 的夹角， 则cos θ＝a·b |a||b|＝ x1x2＋y1y2 x21＋y 21x 2＋y 2 . 4.平面向量的三个锦囊 (1)向量共线的充要条件：O 为平面上一点，则A ，B ，P 三点共线的充要条件是OP →＝λ1OA →＋λ2OB →(其中λ1＋λ2 ＝1). (2)三角形中线向量公式：若P 为△OAB 的边AB 的中点，则向量OP →与向量OA →，OB →的关系是OP →＝12(OA →＋OB →). (3)三角形重心坐标的求法：G 为△ABC 的重心⇔ GA →＋ GB →＋ GC →＝0⇔G ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ xA ＋xB ＋xC 3，yA ＋yB ＋yC 3. 【题型突破】 题型一、平面向量的有关运算 【例1】(1)设向量a ＝(m ，1)，b ＝(1，2)，且|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，则m ＝________. (2)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1 AB →

第29讲 平面向量的概念与线性运算(原卷版)2021届新课改地区高三数学一轮专题复习

第29讲：平面向量的概念与线性运算 一、课程标准 1.了解向量的实际背景，理解平面向量和向量相等的含义，理解向量的几何表示． 2.掌握向量加、减法的运算，并理解其几何意义． 3.掌握向量数乘的运算，并理解其几何意义，以及两个向量共线的含义． 4.了解向量的线性运算性质及其几何意义. 二、基础知识回顾 知识梳理 1. 向量的有关概念 (1)零向量：长度为0的向量叫零向量，其方向是不确定的． (2)平行(共线)向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量．我们规定零向量与任一向量平行． (3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量． (4)相等向量：长度相等且方向相同的向量． (5)相反向量：与向量a长度相等，方向相反的向量叫做a的相反向量． 2. 向量的线性运算 (1)向量加法满足交换律a＋b＝b＋a，结合律(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)． 向量加法可以使用三角形法则，平行四边形法则． (2)向量的数乘：实数λ与向量a的积是一个向量，记作λa，它的长度和方向规定如下： ①|λa|＝|λ||a|； ②当λ>0时，λa与a方向相同； 当λ<0时，λa与a方向相反； 当a＝0时，λa＝0； 当λ＝0时，λa＝0． (3)实数与向量的运算律：设λ，μ∈R，a，b是向量，则有： ①λ(μa)＝(λμ)a； ②(λ＋μ)a＝λa＋μa； ③λ(a＋b)＝λa＋λb． 3. 向量共线定理： 如果有一个实数λ，使b＝λa(a≠0)，那么b与a是共线向量；反之，如果b与a(a≠0)是共线向量，那么

有且只有一个实数λ，使b ＝λa ． 三、自主热身、归纳总结 1、在下列结论中，正确的是( ) A . 若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合 B . 模相等的两个平行向量是相等向量 C . 若a 和b 都是单位向量，则a ＝b D. 两个相等向量的模相等 2、对于非零向量a ，b ，“a ＋b ＝0”是“a ∥b”的( ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3、已知MP →＝4e 1＋2e 2，PQ → ＝2e 1＋t e 2，若M 、P 、Q 三点共线，则t ＝( ) A. 1 B. 2 C. 4 D. －1 4、（2019秋•如皋市期末）在梯形ABCD 中，//AB CD ，2AB CD =，E ，F 分别是AB ，CD 的中点，AC 与BD 交于M ，设AB a =，AD b =，则下列结论正确的是( ) A ．1 2 AC a b =+ B ．1 2 BC a b =-+ C ．1233BM a b =-+ D ．1 4 EF a b =-+ 5、在△ABC 中，||AB →＝||AC →＝|| AB →－AC →，则∠BAC ＝_____． 6、已知P 是△ABC 所在平面内的一点，若CB ―→＝λP A ―→＋PB ―→ ，其中λ∈R ，则点P 一定在( ) A ．△ABC 的内部 B ．A C 边所在直线上 C ．AB 边所在直线上 D ．BC 边所在直线上 四、例题选讲 考点一、平面向量的有关概念 例1、（2019年徐州开学初考试）给出下列四个命题： ①若|a |＝|b |，则a ＝b ； ②若A ，B ，C ，D 是不共线的四点，则“AB →＝DC → ”是“四边形ABCD 为平行四边形”的充要条件； ③若a ＝b ，b ＝c ，则a ＝c ； ④a ＝b 的充要条件是|a |＝|b |且a ∥b . 其中正确命题的序号是( )

2019-2020高中数学人教A版必修四教师用书：2.1 平面向量的实际背景及基本概念 Word版

姓名，年级： 时间：

2．1 平面向量的实际背景及基本概念 [教材研读] 预习课本P74～76，思考以下问题 1．向量是如何定义的?向量与数量有什么区别？ 2．怎样表示向量？向量的相关概念有哪些? 3．两个向量（向量的模）能否比较大小？ 4．零向量与单位向量有什么特殊性？0与0的含义有什么区别? 5．如何判断相等向量或共线向量?向量错误!与向量错误!是相等向量吗？［要点梳理］

1．向量的概念和表示方法 （1)概念：既有大小，又有方向的量称为向量． (2)向量的表示 2.向量的长度（或称模）与特殊向量 （1)向量的长度(或模)定义：向量的大小叫做向量的长度(或模）． （2)向量的长度表示：向量错误!,a的长度分别记作：|错误!|，|a｜。 (3）特殊向量： ①长度为0的向量为零向量，记作0； ②长度等于1个单位的向量，叫做单位向量． 3．向量间的关系 （1）相等向量：长度相等且方向相同的向量，叫做相等向量,记作:a ＝b。 （2)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫共线向量；a平行

于b，记作a∥b；规定零向量与任一向量平行． ［自我诊断] 判断(正确的打“√"，错误的打“×”) 1．两个向量能比较大小．（) 2．向量的模是一个正实数．（) 3．单位向量的模都相等．( ） 4．向量错误!与向量错误!是相等向量．( ) ［答案］1。×2。× 3.√ 4.× 错误! 思考：已知下列各量: ①力；②功；③速度；④质量；⑤温度；⑥位移;⑦加速度；⑧重力; ⑨路程;⑩密度． 其中是数量的有__________，是向量的有__________． 提示:②④⑤⑨⑩①③⑥⑦⑧ 下列说法正确的有__________．（填序号) ①若｜a|＝｜b|，则a与b的长度相等且方向相同或相反； ②若|a｜＝｜b|，且a与b的方向相同，则a＝b；

四川省2020届高三数学理一轮复习典型题专项训练：平面向量

四川省2020届高三数学理一轮复习典型题专项训练 平面向量 1、（成都市2019届高三第一次（12月）诊断性检测）已知G 为△ABC 的重心，过点G 的直线与边AB,AC 分别相交于点P,Q.若AP AB λ=,则当△ABC 与△APQ 的面积之比为 209时，实数λ的值为_____. 2、（达州市2019届高三第一次诊断性测试）扇形OAB 的半径为1，圆心角为90º，P 是弧AB 上的动点，则()OP OA OB -的最小值是 A ．－1 B ．0 C ．－2 D ．12 3、（绵阳市2019届高三第一次（11月）诊断性考试）已知向量(1,2)a =，(,1)b x =，若a b ⊥，则x =（ ） A ．2 B ． -2 C ．1 D ．-1 4、（遂宁市2019届高三零诊）过ABC ∆的重心O 的直线分别交线段AB AC 、于M 、N ， 若,,0AM xAB AN y AC xy ==≠，则4x y +的最小值为 A ．2 B ．3 C ．4 D ．9 5、（成都市2019届高三第二次诊断）已知向量)1,3(=a ,)3,3(-=b ,则向量b 在向量a 方向上的投影为 A ．- 3 B ． 3 C ．-1 D ．1 6、（遂宁市2019届高三零诊）设向量)1,2(=a ，)1,1(-=b ，若b a -与b a m +垂直，则 实数=m ▲ 7、（广元市2019届高三第二次高考适应性统考）在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2， BC ＝1，∠ABC ＝60°，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且 的最小值为 ． 8、（泸州市2019届高三第二次教学质量诊断性考试）在△ABC 中 ，AB ＝3， AC ＝4，则方向上的投影是（ ） A ．4 B ．－4 C ．3 D ．－3 9、（绵阳市2019届高三第二次（1月）诊断性考试）设a ，b 是互相垂直的单位向量，且 （λa ＋b ）⊥（a ＋2b ），则实数λ的值是 A 、2 B 、－2 C 、1 D 、－1

2019年高考数学一轮复习第4章平面向量、数系的扩充与复数的引入第3节平面向量的数量积及其应

第三节平面向量的数量积及其应用 ［考纲传真］1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义 2 了解平面向量的数量积与向量 投影的关系3掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算4能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题6会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题. 双基自主测评I基础知识环能力全面巩固■ (对应学生用书第61页) ［基础知识填充］ 1. 向量的夹角 (1)定义：已知两个非零向量a和b，如图4-3-1 ,作0A= a, 0B= b，则/ AOB= 0 (0 °w 0 < 180° )叫作a与b的夹角. 0 b B 图4-3-1 (2)当0 = 0°时，a与b共线同向. 当0 = 180°时，a与b共线反向. 当0 =90°时，a与b互相垂直. '— 2•平面向量的数量积 (1) 定义：已知两个非零向量a和b,它们的夹角为0，则数量| a|| b| • cos 0叫做a 与b的数量积(或内积).规定：零向量与任一向量的数量积为0. (2) 几何意义：数量积a • b等于a的长度| a|与b在a的方向上的投影| b|cos 0的乘积 Jk 曜 或b的长度| b|与a在b方向上射影| a|cos 0的乘积. 3. 平面向量数量积的运算律 (1) 交换律：a • b= b • a； (2) 数乘结合律：(入a) • b=入(a • b) = a •(入b)； (3) 分配律：a •( b+ c) = a • b+ a • C. 4. 平面向量数量积的性质及其坐标表示 122 结论几何表示坐标表小

专题5.3 平面向量的数量积(测)-2019年高考数学(理)一轮复习讲练测(解析版)

2019年高考数学讲练测【新课标版】【测】 第五章平面向量 第03节平面向量的数量积 班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的． 1.【2018届广西柳州高级中学5月模拟】已知向量，则是的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 2.【2018届黑龙江省仿真模拟（四）】若向量，满足：，，，则（） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 ∵向量，满足：，，， ∴， 解得=． 故选：B．

3.【陕西省咸阳市2018年高考5月信息专递】已知两个向量和的夹角为，，则向量在方 向上的正射影的数量为（ ） A ． B ． C ． D ． 【答案】D 【解析】分析: 根据向量数量积定义计算 ，结合向量投影的定义进行求解即可． 4. ,2,1=b 且⊥+)(，则与的夹角为（ ） A. 30 B. 60 C. 120 D. 150 【答案】C 【解析】由a b a ⊥+)(知，()a b a +∙=2 a a b +∙=0，所以2 a b a ∙=-=-1，所以cos ,a b = |||| a b a b ∙=1 2-， 所以与的夹角为 120，故选C. 5.【2018届山东省沂水县第一中学三轮考】设向量，且 ，则 （ ） A ． 2 B ． C ． D ． 4 【答案】A 【解析】 ∵ ∴，又 ， ∴，即 故选：A

6.【2018届北京市石景山区一模】已知平面向量满足，与的夹角为，若，则实数的值为（） A． B． C． D． 【答案】D 7.【2018届河北省武邑中学五模】非零向量满足：，，则与夹角的大小为( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 根据题意，设=，=，则﹣=﹣=， 若||=||，，即||=||，且⊥， 则△OAB为等腰直角三角形， 则与的夹角为180°﹣45°=135°， 故选：A． 8．【浙江省金华市浦江县2018年高考适应性考试】已知平面向量，满足且 ，则的最大值为（） A． 1 B． 2 C． 3 D． 4 【答案】B

高考数学(理)一轮复习考点突破学案：《平面向量的数量积》

第3讲 平面向量的数量积 [最新考纲] 1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义． 2．了解平面向量的数量积与向量投影的关系． 3．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算． 4．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 知 识 梳 理 1．平面向量的数量积 (1)定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ 叫作a 与b 的数量积(或内积)，记作a ·b ，即a ·b ＝|a ||b |cos θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a ＝0. (2)几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积． 2．平面向量数量积的性质及其坐标表示 设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为向量a ，b 的夹角． (1)数量积：a ·b ＝|a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2. (2)模：|a |＝a ·a ＝x 2 1＋y 2 1. (3)夹角：cos θ＝ a · b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2 x 21＋y 21·x 22＋y 2 2 . (4)两非零向量a ⊥b 的充要条件：a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0. (5)|a ·b |≤|a ||b |(当且仅当a ∥b 时等号成立)⇔|x 1x 2＋y 1y 2|≤ x 2 1＋y 2 1·x 2 2＋y 2 2. 3．平面向量数量积的运算律 (1)a ·b ＝b ·a (交换律)． (2)λa ·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )(结合律)． (3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c (分配律)． 辨 析 感 悟 1．对平面向量的数量积的认识 (1)两个向量的数量积是一个向量，向量加、减、数乘运算的结果是向量．(×) (2)(2013·湖北卷改编)已知点A (－1,1)，B (1,2)，C (－2，－1)，D (3,4)，则向量AB →在CD → 方向上的投影为－32 2 .(×) (3)若a ·b ＞0，则a 和b 的夹角为锐角；若a ·b ＜0，则a 和b 的夹角为钝角．(×)

2019-2020学年高中数学三维设计人教A版浙江专版必修4讲义：复习课(三) 平面向量 Word版含答案.doc

复习课(三) 平面向量 1．题型为选择题和填空题．主要考查向量的线性运算及对向量有关概念的理解，常与向量共线和平面向量基本定理及数量积运算交汇命题． 2．向量的加法遵循三角形法则和平行四边形法则，减法可以转化为加法进行运算，向量的加减法满足交换律、结合律，数乘运算满足结合律、分配律．实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形方向在向量的线性运算中都可以使用． [典例] (北京高考)在△ABC 中，点M ，N 满足AM ＝2MC ，BN ＝NC .若MN ＝x AB ＋y AC ，则x ＝________；y ＝________. [解析] ∵AM ＝2MC ，∴AM ＝2 3AC . ∵BN ＝NC ，∴AN ＝1 2(AB ＋AC )， ∴MN ＝AN －AM ＝12(AB ＋AC )－2 3AC ＝12AB －1 6 AC . 又MN ＝x AB ＋y AC ， ∴x ＝12，y ＝－16. [答案] 12 －1 6 [类题通法] 向量线性运算的基本原则 向量的加法、减法和数乘运算统称为向量的线性运算．向量的线性运算的结果仍是一个向量，因此，对它们的运算法则、运算律的理解和运用要注意向量的大小和方向两个方面． [题组训练] 1．若A (3，－6)，B (－5,2)，C (6，y )三点共线，则y ＝( ) A ．13 B ．－13 C ．9 D ．－9 解析：选D AB ＝(－8,8)，AC ＝(3，y ＋6)． ∵AB ∥AC ， ∴－8(y ＋6)－24＝0.

∴y ＝－9. 2．设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外， |BC |2＝16，|AB ＋AC |＝|AB －AC |，则|AM |＝( ) A ．8 B ．4 C ．2 D ．1 解析：选C 由|BC |2＝16，得|BC |＝4. ∵|AB ＋AC |＝|AB －AC |＝|BC |＝4， |AB ＋AC |＝2|AM |， ∴|AM |＝2. 3．已知点O ，A ，B 不在同一条直线上，点P 为该平面上一点，且OP ＝3OA －OB 2 ，则( ) A ．点P 在线段A B 上 B ．点P 在线段AB 的反向延长线上 C ．点P 在线段AB 的延长线上 D ．点P 不在直线AB 上 解析：选B 由于2OP ＝3OA －OB ， ∴2OP －2OA ＝OA －OB ，即2AP ＝BA ， ∴AP ＝1 2 BA ，则点P 在线段AB 的反向延长线上． 1．题型既有选择题、填空题，又有解答题，主要考查数量积运算、向量的垂直等问题，常与平面几何、三角函数、解析几何等知识交汇命题． 2．解决此类问题要掌握平面向量数量积的两种求法：一是根据数量积的定义，即a ·b ＝|a ||b |cos θ，二是利用坐标运算，即a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2；同时还要掌握利用数量积求向量的夹角、求向量的长度和判断两个向量垂直的方法． [典例] (1)(福建高考)设a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，c ＝a ＋kb .若b ⊥c ，则实数k 的值等于( ) A ．－32 B ．－53 C.53 D.32 (2)(四川高考)设四边形ABCD 为平行四边形，|AB |＝6，|AD |＝4.若点M ，N 满足BM ＝3MC ，DN ＝2NC ，则AM · NM ＝( )

高三数学第一轮复习测试及详细解答(4)—《平面向量》

高三数学第一轮复习单元测试（4）—《平面向量》 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的. 1．如图1所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点， 则向量=CD （ ） A ．BA BC 21+ - B ．BA BC 21-- C ．BA BC 21- D ．BA BC 2 1 + 2．与向量a ==⎪⎭ ⎫ ⎝⎛b ,21,27⎪⎭ ⎫ ⎝⎛27,21的夹解相等，且模为1的向量是 （ ） A ．⎪⎭ ⎫- ⎝⎛53,5 4 B ．⎪⎭⎫- ⎝⎛53,54或⎪⎭ ⎫ ⎝⎛-53,54 C ．⎪⎭⎫- ⎝ ⎛ 31,322 D ．⎪⎭⎫- ⎝ ⎛31,322或⎪⎭⎫ ⎝⎛-31,322 3．设a r 与b r 是两个不共线向量，且向量a b λ+r r 与() 2b a --r r 共线，则λ= （ ） A ．0 B ．－1 C ．－2 D ．0.5 4．已知向量()1,3= a ， b 是不平行于x 轴的单位向量，且3= ⋅b a ，则b = （ ） A ．⎪ ⎪ ⎭ ⎫ ⎝ ⎛21,23 B ．⎪⎪ ⎭ ⎫ ⎝ ⎛23,2 1 C ．⎪⎪⎭ ⎫ ⎝ ⎛433, 4 1 D ．（1，0） 5．如图,已知正六边形P 1P 2P 3P 4P 5P 6,下列向量 的数量积中最大的是（ ） A ．3121P P P P ⋅ B ．4121P P P P ⋅ C ．5121P P P P ⋅ D ．6121P P P P ⋅ 6．在OAB ∆中，OA a =u u u r ，OB b =u u u r ，OD 是AB 边上的高，若AD AB λ=u u u r u u u r ，则实数λ等 于 （ ） A ．2 ()a b a a b ⋅-- B ．2 ()a a b a b ⋅-- C ．()a b a a b ⋅-- D ．()a a b a b ⋅--