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证明Q8的每个子群都是正规子群

证明Q 8的每个子群都是正规子群。

证明：│Q 8│=8，单位元：???? ??11 ，2阶元：????- ?

?-11 6个4阶元：±???? ??

-11，±???? ??i i ，±???? ??i i 因为，设G 是群，x ∈G

│x │=min{n ∈N │x n =1}=K ?{1,x,…,x k-1}≤G ?k ││G │

任意的K ≤Q 8，│K ││8，│K │=1，2，4，8

若│K │=2，则K=?

????????? ??±11=Z （Q 8）

若H

∵H G ??x ∈G ，xH=Hx ? ①x ∈H ，xH=Hx

②x ?H,G=H ∪Hx=xH ∪H ?Hx=xH

老师的第二种证法没看懂。

由一道习题谈子群的乘积是子群的判定条件

Pure Mathematics 理论数学, 2019, 9(4), 546-550 Published Online June 2019 in Hans. https://www.wendangku.net/doc/f62105194.html,/journal/pm https://https://www.wendangku.net/doc/f62105194.html,/10.12677/pm.2019.94072 The Subgroup’s Judgment Conditions Based on Subgroup Product from an Exercise Qian Sun, Xiaolian Liao Department of Mathematics, Hunan University of Humanities and Technology, Loudi Hunan Received: Jun. 5th, 2019; accepted: Jun. 15th, 2019; published: Jun. 27th, 2019 Abstract Since the product of a subgroup of a finite group G is not necessarily a subgroup of G, how to judge the product of a subgroup as a subgroup is a question worthy of discussion. Starting from an after-class exercise, we will explore that the product of two subgroups of a finite group is the judgment condition of the subgroup, mainly deduce that the product of two subgroups of a group is the judgment condition of the subgroup, and generalize the number of groups to three cases. Keywords Group, Subgroup, Invariant Group, Product of Subgroups 由一道习题谈子群的乘积是子群的判定条件孙倩，廖小莲湖南人文科技学院数学系，湖南娄底收稿日期：2019年6月5日；录用日期：2019年6月15日；发布日期：2019年6月27日摘要由于有限群G的子群的乘积不一定是G的子群，如何判断子群的乘积为子群是一个值得探讨的问题。我们将从一道课后习题出发，来探索有限群的子群的乘积是子群的判定条件，重点推导一个群的两个子群的乘积是子群的判断条件，并将子群个数推广到三个的情形。

正规子群

§3.4 正规子群同态基本定理在本节中讨论群的同态基本定理。首先考虑一种特殊的等价关系。 3.4.1 定理H是G的子群，在G上定义二元关系~如下： a ~ b当且仅当ab-1∈H，则~是G上等价关系。证(1) 任给a∈G，都有aa-1 = e∈H，所以a ~ a； (2) 任给a, b∈G，如果a ~ b，则ab-1∈H，所以ba-1 = (b-1)-1a-1 = (ab-1)-1∈H，因此b ~ a； (3) 任给a, b, c∈G，如果a ~ b且b ~ c，则ab-1, bc-1∈H，所以ac-1 = aec-1 = a(b-1b)c-1 = (ab-1)(bc-1)∈H，因此a ~ c。■这种等价关系记为~H，称为由H生成的等价关系。由H生成的等价关系中的等价类有一个明显的表示。 3.4.2 定理H是G的子群，~H是由H生成的等价关系。 (1) 任给a∈G，都有a= Ha = {ha | h∈H}。特别地，e= He = H。 (2) 任给a∈G，都有|a|= |H|。证(1) 任给x∈a，都有x ~H a，由~H的定义得xa-1∈H，设xa-1 = h∈H，则x = xe = x(a-1a) =(xa-1)a = ha，因此y∈Ha。任给x∈Ha，都存在h∈H，使得x = ha，所以xa-1 = (ha)a-1 = h(aa-1) = he = h∈H，由~H的定义得x ~H a，因此x∈|a|。 (2) 取H到a的映射F：H→a F(h) = ha。显然F是满射。任给x, y∈H，如果F(x) = F(y)，则xa = ya，由消去律得x = y，所以F是单射。因为F是双射，所以|a| = |H|。■ 因为e= H，所以a~H b当且仅当ab-1∈H=e当且仅当ab-1~H e。 1

3。2 正规子群与商群

§3.2 正规子群与商群对一般的群G 及N G ≤，左、右陪集不一定相等，即一般aN N a ≠，（见上一章例子，3,{(1),(12)}G S N ==，(13)(13)N N ≠）。但对某些群G 及其子群N G ≤，总有性质：,a G aN Na ?∈=。例如，取3,G S = 3{(1),(123),(132)},N A G ==≤ 则当 a 取3(1),(123),(132)A ∈时，总有aN N a =。而当a 取(12),(13),(23)时， (12){(12),(23),(13)}(12)N N ==， (13){(13),(23),(12)}(13)N N ==， (23){(23),(13),(12)}(23)N N ==，所以3a G S ?∈=，都有aN N a =。再比如，交换群的子群总满足上述性质。设G 是群，N G ≤，若,a G aN Na ?∈=有，则称N 是G 的正规子群（Normal subgroup ），记作N G 。由前面，3A 是3S 的正规子群：33.A S 交换群的子群都是正规子群；任何群的中心都是的正规子群：()C G G 。 {}e 和G 总是G 的正规子群，称为平凡正规子群，其余的正规子群称为非平凡正规子群。

定理1. 设N G ≤，则 1 ,N G a G aNa N -??∈? 有； ?,,a G x N ?∈?∈ 都有1 .axa N -∈ 例1 证明：次交错群n A 是次对称群n S 的正规子群：n n A S 。例2. 设(){|(),||0}n n G G L R A A M R A =∈≠ 且， (){|||1}n N SL R A A R A =∈= ，且，证明：N G 。证明：,X G A N ?∈?∈，则 111 ||||||||||||||||1,X AX X A X X A X A ---==== 从而，1X AX N -∈，所以N G 。例3 证明：{}44(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)K S = 。证明：注意，4K 中除单位元之外其余3个元素是4S 中仅有的2 阶偶置换。现44,x K S σ?∈?∈，则1 x σσ -的阶为2且是偶置换，从而1 4 x K σσ-∈，故44K S 。由,H K K N H N ≤≤?≤，即子群具有传递性。但正规子群不具有传递性，即由,H K K N 推不出H N 。例如，由例3，44K S 。现取{}44(1),(12)(34)B K =≤，由于4K 是交换群，显然有4 4B K 。但是4 B 不是4S 的正规子群，因为取 4(13)S ∈，有{}{}44(13)(13),(1234)(13),(1432)(13)B B =≠=。

不变子群判别条件

不变子群判别条件摘要：不变子群是一类重要的子群，它在群的理论中起着重要的作用.判断一个子群是否不变子群，除了应用定义外，也可以应用其判别条件，本文在就对这些判别条件进行归纳，同时证明诸判别条件的等价性并给出一些应用. 关键词：不变子群，陪集，共轭，正规化子，同余关系 1.判断一个子群为不变子群的条件. 1.1．与定义等价的判别条件 1.H G，即?a∈G, 有aH=Ha 2.?a∈G,有aHa1-=H 3.?a∈G,有aHa1-?H 4.?a∈G,?h∈H,有aha1-∈H 5.?a∈G,有aH?Ha 6.?a∈G,有H?a1-Ha 7.aHbH=abH, ?a,b∈G 即两个左陪集的乘积仍是左陪集 8.H在G中的每个左陪集都是一个右陪集 9.?a∈G,有a1-Ha=H 10.?a∈G,有a1-Ha?H 11.?a∈G,?h∈H,有a1-ha∈H 12.?a∈G,有Ha?aH 13.?a∈G,有H?aHa1-

14.HaHb=Hab, ?a,b∈G 即两个右陪集的乘积仍是右陪集 15.H在G中的每个右陪集都是一个左陪集 16.以群G之子集H为模的G之剩余类（即陪集）之集合关于陪集之积运算构成群.（即商群存在） 17.H是G的子群，则G中由aRb,当a1-b∈H，所定义的关系R为同余关系 18.N (H)=G G 19.若n∈N，则所属的G的共轭元素C(n)?H。即H由G的若干整个的共轭类组成。 1.2.直接判断一个子群为不变子群的条件 1．指数为2的子群为不变子群. 证明:设群G，H是G的子群，由题设[G:H]=2 ∴G=eH∪aH=He∪Ha ?aH=Ha ?a∈G, 即H G 2．设G为群，H是G的子群,?a∈G, a1-ha?H, 则H是G的不变子群. 证明:a1-ha?H ? a(a1-Ha)a1-?aHa1-? H?aHa1-又 (a1-)1-Ha1-?H 即aHa1-?H ∴?a∈G,a1-Ha=H ? aH=Ha ?a∈G 即H G 3.群G的中心C是G的一个不变子群. 证明:∵C与G中的每个元素都可交换∴对?a∈G,有aC=Ca ∴C G 4.交换群的子群都是不变子群. 证明:设G是交换群,H是G的子群,有aH={ah︱h∈H}={ha︱h∈H }=Ha ?a∈G ∴H G 5.设A,B都是G的不变子群，则A∩B 是G的不变子群.

论述全特征子群特征子群与正规子群之间的关系

本科生代数论文课题:论述全特征子群，特征子群与正规子群之间的关系班级：2011级应用数学班姓名：xx 学号：xxxxxxxx 专业：xxxxxxxxxxx 学院：xxxxxxxxxxxxxxxxxxxx 指导老师：xxxx

摘要本论文通过对近世代数的一些基本定理及相关性质的阐述，如：全特征子群，特征子群，正规子群等等。从而推导出全特征字群，特征子群，正规子群间的关系。本文先从全特征子群开始研究，依次为特征子群，正规子群。经过本文对全特征字群，特征子群，正规子群的研究，我发现了其规律：全特征子群包含与特征子群，特征子群包含于正规子群。一．陪集的引入定理1 设H是群G的一个子群，a∈G。则称群G的子集aH=｛ax|x∈H｝为群H关于子群H的一个左陪集。而称Ha=｛xa|x∈H｝为群G关于子群H的一个右陪集。左陪集的相关性质：⑴如果a∈H,则a∈aH。 ⑵a∈H ﹤﹦﹥aH=H ⑶b∈aH﹤﹦﹥aH=bH ⑷aH=bH，即a与b同在一个作陪集中﹤﹦﹥ a b∈H（b ∈H） ⑸若aH∩bH≠空集，则aH=bH 定理2 设H，K是群G的两个子群，则群G关于交H∩K的所有左陪集，就是关于H与K的左陪集的所有非空的交。即有：c（H∩K）=cH∩cK。定理3如果用aH，bH，cH，…表示子群G中的所有不同的左陪集，则有等式G=aH∪bH∪cH…,称其为群G关于子群H的左陪集分解。而称｛a,b,c, …｝为G关于H的一个左陪集代表系。同理关于有陪集的分解：G=H a ∪H b ∪Hc …。则称{ a ，b ，c ，…}是关于子群H的一个右陪集代表系。例1：取S的子群H={(1)，（12）}，则（1）H={（1），（12）}，H（1）={（1），（12）}，（13）H={（13），（123）}，H（13）={（13），（132）}，（132）H={(132),(23)};H （123）={（123），（23）}。则有:S=H∪(13)H∪(132)H=H∪H(13)∪H（123）。定理4群G中关于子群H的互异的左（或右）陪集的个数，叫做H在G的指数，记为：（G∶H）。定理5设H是有限群G的一个子群，则：|G|=|H|（G∶H），从而任何子群的阶和指数都是群G的阶的因数。推论有限群中的每个元素的阶都整除群的阶。例2：由于S(3)=6，故三次对称群S(3)的子群及元素的阶都是6的因数。例如：子群H={（1），（12）}的阶是2，指数是3，且有|S(3)|=|H|（S(3):H）,即6=2 ?3。定理6设G是一个有限群，又K≤H≤G，则：（G∶K）（H∶K）=（G∶K）。二．自同构群的定义定理1 设M是一个有代数运算的集合（不必是群），则M的

特殊群的子群,不变子群与商群

他解决了分圆方程xp -1=0（p 为质数）可用根式求解，这表明并非所有高次方程不能用根式求解。因此，可用根式求解的是所有高次方程还是部分高次方程的问题需进一步查明. 随后，挪威数学家阿贝尔开始解决这个问题.1824年到1826年，他修正了鲁菲尼证明中的缺陷，严格证明如果一个方程可以根式求解，则出现在根的表达式中的每个根式都可表示成方程的根和某些单位根的有理数.并且利用这个定理又证明出了阿贝尔定理：一般高于四次的方程不可能代数地求解.接着他进一步思考哪些特殊的高次方程才可用根式解的问题.在高斯分圆方程可解性理论的基础上，他解决了任意次的一类特殊方程的可解性问题，发现这类特殊方程的特点是一个方程的全部根都是其中一个根（假设为x ）的有理函数，并且任意两个根1()q x 与2()q x 满足1221()()q q x q q x =，1q ，2()q x 为有理函数.现在称这种方程为阿贝尔方程。阿贝尔解决了构造任意次数的代数可解的方程的问题，却没能解决判定已知方程是否可用根式求解的问题.在此基础上法国数学家伽罗瓦创立群论是为了应用于方程论，主要的成就是提出了群的概念，并用群论彻底解决了根式求解代数方程的问题，而且由此发展了一整套关于群和域的理论，人们称之为伽罗华理论.正是这套理论创立了抽象代数学，把代数学的研究推向了一个新的里程.群论是研究也不仅仅局限于数学领域，在研究物理问题中群论也是重要的工具.并且用群论解决有些问题可以更加简捷，在粒子物理等方面的应用也是很广泛的.在化学中它可以应用于基本粒子、核结构、原子结构和晶体结构等许多方面，分析它在分子偶极距、旋光性上的应用能说明杂化轨道的形成过程. 1 群及其同态与同构定义1.1 设G 是一个非空集合，*是它的一个代数运算，如果满足以下条件： Ⅰ.结合律成立，即对G 中任意元素,,a b c 都有 ()()**a b c a b c =； Ⅱ.中有元素e ，叫做G 的左单位元，它对G 中每个元素a 都有 ea a =；

有限群的几乎次正规子群与可解性

有限群的几乎次正规子群与可解性摘要：引进几乎次正规子群的概念，应用某些子群的几乎次正规性给出了有限群为可解群的若干充分条件。关键词：几乎次正规子群可解群有限群在群论中，人们常常利用有限群g的子群的性质来研究原群的结构。1996年王燕鸣引进了c-正规的概念，称有限群g的子群h在g 中c-正规的，如果存在g的正规子群k，使得g=hk且h∩k≤hg。2003年张新建等减弱c-正规的条件，给出了s-正规子群的概念，称有限群g的子群h在g中s-正规的, 如果存在g的次正规子群k，使得g=hk且h∩khsg,其中hsg是包含在h中的g的最大次正规子群。2006年杨高才从另一个方面减弱了c-正规的条件，给出了几乎正规子群的概念，称有限群g的子群h在g中几乎正规，如果存在g的正规子群n，使得nh和n∩h都是g的正规子群。本文将引入一个比s-正规和几乎正规更加广泛的概念——几乎次正规，并研究某些子群具有几乎次正规性质的有限群的结构。文中的所有群皆为有限群，soc(g)表示g的基柱；h g表示h是g的正规子群；h g 表示h是g的次正规子群；h≤g表示h是g的子群;h＜g表示h是g的真子群；sylp(g)表示群g的sylowp-子群集合；表示某一素数集； (g)表示|g|的素因子的集；p,q表示素数。所用的概念和符号参考文献[4]。 1 基本概念

定义1 群g的子群h称为在g中几乎次正规，如果存在g的一个次正规子群n，使得nh和n∩h都是g的次正规子群。注：显然s-正规子群, 几乎正规子群和次正规子群一定是几乎次正规子群。但反之不真。事实上，设g=s4为四次对称群， h1={(1),(1,2,3),(1,3,2)}是g的几乎次正规子群，但不是g的s-正规子群，也不是g的次正规子群。h2={(1),(1,2),(3,4)}是g的几乎次正规子群，但不是g的几乎正规子群。为了获得本文的主要结果，我们先证明下面的引理。引理1 若群g的子群h在g中几乎次正规， (1)k是g的子群并且h≤k,则h也k是的几乎次正规子群。 (2)t是g的正规子群且t≤h，则h/t在g/t中几乎次正规当且仅当h/t在g/t中几乎次正规。证明 (1)h在g中几乎次正规，那么存在n g使得hn g且h ∩n g。注意到k∩n k，我们有(k∩n)h=nh∩k k且(k∩n)∩h=h ∩n k,故h是k的几乎次正规子群。 (2)h在g中几乎次正规，那么存在n g使得hn g且h∩n g。同时注意到nt/t为g/t的次正规子群，我们有(nt/t)∩(h/t)=(n ∩h)t/t g/t且(nt/t)(h/t)=nh/t g/t,即h/t在g/t中几乎次正规。反之若h/t在g/t中几乎次正规，那么存在s/t g/t使得 (s/t)(h/t)=sh/t g/t,且(s/t)∩(h/t)=s∩h/t g/t。显然 s,sh,s∩h都是g中的次正规子群，即h在g中几乎次正规。

全特征子群,特征子群,正规子群的关系

《近世代数》论文课程：《近世代数》姓名：XXX 学号：XXXXXXX 专业：XXXXXXXXXXXXX

全特征子群，特征子群，正规子群的关系内容：1）引入群的定理 2）表述其关系 3）证明并且举例 4）总结摘要：本论文通过对近世代数的一些基本定理及相关性质的阐述，如：全特征子群，特征子群，正规子群等等。从而推导出全特征字群，特征子群，正规子群间的关系。本文的结构是先从相关的定理及相关性质着手，然后根据定理及相关性质来推导全特征字群，特征子群，正规子群间的关系。本文先从全特征子群开始研究，依次为特征子群，正规子群。经过本文对全特征字群，特征子群，正规子群的研究，我发现了其规律：全特征子群包含与特征子群，特征子群包含于正规子群;全特征子群特征子群正规子群。一、有关群的定理定理1设H是群G的一个子群，如果H对G的每个自同态映射都不变，既对每个自同态映射θ都有 θ（H）∈H，则称H为群G的一个全特征子群。定理2设H是群G的一个子群，a∈G。则称群G的子集aH=｛ax|x∈H｝为群H关于子群H的一个左陪集。而称Ha=｛xa|x∈H｝为群G关于子群H的一个右陪集。左陪集的相关性质：⑴如果a∈H,则a∈aH。 ⑵a∈H ﹤﹦﹥aH=H ⑶b∈aH﹤﹦﹥aH=bH ⑷aH=bH，即a与b同在一个作陪集中﹤﹦﹥ a b∈H（b ∈H） ⑸若aH∩bH≠空集，则aH=bH

定理3对群G的所有自同构都不变的子群，亦即对G的任何自同构ε都有 ε（N）∈N 的子群N，叫做G的一个特征子群。定理4如果用aH，bH，cH，…表示子群G中的所有不同的左陪集，则有等式G=aH∪bH∪cH…,称其为群G关于子群H的左陪集分解。而称｛a,b,c, …｝为G关于H的一个左陪集代表系。同理关于有陪集的分解：G=H a ∪H b ∪Hc …。则称{ a ，b ，c ，…}是关于子群H的一个右陪集代表系。例1：取S的子群H={(1)，（12）}，则（1）H={（1），（12）}，H（1）={（1），（12）}，（13）H={（13），（123）}，H（13）={（13），（132）}，（132）H={(132),(23)};H（123）={（123），（23）}。则有:S=H∪(13)H∪(132)H=H∪H(13)∪H（123）。定理5 设H，K是群G的两个子群，则群G关于交H∩K的所有左陪集，就是关于H与K的左陪集的所有非空的交。即有：c（H∩K）=cH∩cK。定理6设N是群G的一个子群，如果对G中每个元素a都有 aN=Na, 则称N是群G的一个正规子群。定理7 设群G的子群H由有限个元素构成，即H={a,b,c, …n}则称H为G 的一个有限子群。例2：H≦G，且H有有限个元素构成，H={a,b,c, …n},则称H为G的一个有限子群。定理8群G中关于子群H的互异的左（或右）陪集的个数，叫做H在G的指数，记为：（G∶H）。定理9设H是有限群G的一个子群，则：|G|=|H|（G∶H），从而任何子群的阶和指数都是群G的阶的因数。推论有限群中的每个元素的阶都整除群的阶。

不变子群的判别条件

不变子群的判别条件高海燕 (西北师范大学数学系2003届) 摘要：不变子群是一类重要的子群，它在群的理论中起着重要的作用.判断一个子群是否不变子群，除了应用定义外，也可以应用其判别条件，本文在就对这些判别条件进行归纳，同时证明诸判别条件的等价性并给出一些应用. 关键词：不变子群，陪集，共轭，正规化子，同余关系一、准备知识设H 是G 的一个子群，如果对G a ∈?,都有Ha aH =,那么，就说H 是 G 的一个不变子群. 记为：G H . 设a 和b 是群G 中的两个元素，如果在G 中至少可找到这样的一个元素g ，使ag g b 1-=，则称a 与b 在G 中共轭. 3．正规化子：N G (H)={g ?G ︱H g =H}={g ?G ︱g 1-Hg=H} 称H 在G 中的正规化子。 4．同余关系：设集合A 中有二元运算，记作乘法，若A 的一个等价关系 R 满足：aRb, cRd ? acRbd ?a,b,c ?A 则称R 为A 的一个同余关系。一．判断一个子群为不变子群的条件，及其证明过程. ㈠．与定义等价的判别条件 1.H G ，即?a ?G, 有aH=Ha 2.?a ?G,有aHa 1-=H

3.?a?G,有aHa1-?H 4.?a?G,?h?H,有aha1-?H 5.?a?G,有aH?Ha 6.?a?G,有H?a1-Ha 7.aHbH=abH, ?a,b?G 即两个左陪集的乘积仍是左陪集 8.H在G中的每个左陪集都是一个右陪集 9.?a?G,有a1-Ha=H 10.?a?G,有a1-Ha?H 11.?a?G,?h?H,有a1-ha?H 12.?a?G,有Ha?aH 13.?a?G,有H?aHa1- 14.HaHb=Hab, ?a,b?G 即两个右陪集的乘积仍是右陪集 15.H在G中的每个右陪集都是一个左陪集 16.以群G之子集H为模的G之剩余类（即陪集）之集合关于陪集之积运算构成群.（即商群存在） 17.H是G的子群，则G中由aRb,当a1-b?H，所定义的关系R为同余关系 (H)=G 18.N G 19.若n?N，则所属的G的共轭元素C(n)?H。即H由G的若干整个的共轭类组成。证明上述条件的等价性，在此采用两种证法. 证法1：

正规子群,商群与同态基本定理

（VIII ）正规子群，商群与同态基本定理一、正规子群（不变子群） G H G H Ha aH G a G H 的正规子群，记为为则称，有如果、定义：设=∈?≤,,1 ·G 为交换群（Abel 群），G 的子群为正规子群。 ·{e}，G 是平凡正规子群（trivial ） H aHa H aHa H h G a H aha G H G H =?∈∈?∈? ≤---111)3()2(,,)1(,2 则设、判法 Eg1.)()(R GL R SL n n Eg2.群的中心G G C G x xa ax a G C )(},,|{)(∈?== Eg3.44S A Eg4.)}23)(14(),24)(13(),34)(12(),1{(K 4=四元群，Klein ，44S K ，44A K 正规子群不具有传递性！如H={（1），（12）（34）}，H 左三角K4，K4左三角S4，但是H 不是S4的正规子群。二、商群的商群关于称为是群则在上述条件下上定义代数运算：在、【商群】：设H G H G H G bH aH H ab bH aH H G G a aH H G G H ),/(/,,)(:/} |{/,1?∈?=?∈= .||||/]:[/2H G H G H G G H H G 的阶是，且当时有限群时，中的指数在的阶是、商群（当G 为加群时，则正规子群N 的陪集为a+N ，商群G/N 的运算为（a+N ）+(b+N)=(a+b)+N ）三、群同态基本定理 1、同态的像、同态核设G G f →:是群同态，

同态的像}|)({Im G a a f f ∈=，核})(|{ker e a f G a f =∈= 则有：（1）G f ≤Im （2）G f ker 2、群同态基本定理设G G f →:是群同态?群同构：f f G Im ker /? 特别地，当f 为满射时，G f =Im 则有G f G ?ker /

近世代数判断题

判断题 1.整数的整除关系是Z 的一个等价关系。( ) 2.主理想环不一定是欧氏环,但主理想环一定是唯一分解环。( ) 3.若G 是60阶群,则G 有14阶子群。( ) 4.在多项式环R[x]中，两个多项式积的次数等于两个多项式的次数的和。( ) 5.设G 是一个非空集合,在G 中定义了一个代数运算,称为乘法,如果(1)G 对乘法运算是封闭的(2)G 对乘法适合结合律(3)G 对乘法适合消去律,则G 构成群。 ( ) 6.偶数环2Z 是整环。( ) 7.若N ?H,H ?G ，则N ?G 。( ) 8.在5S 中，(12)(345)的阶是3。 ( ) 9.在整数环Z 中，(-3)是极大理想。( ) 10.有限群都同构于一个置换群。( ) 11.实数集R 关于数的乘法成群。（） 12.设G 和都是群，G ?? , G N ?, N=1-?()，则N ?G,且--?N G N G //。（） 13. 偶数环是有单位元的环。（） 14. 设整环{} Z b a b a I ∈-+=,3, 则4在I 中是唯一分解元。（） 15. 3次对称群3S 是循环群。（） 16. 设非空集合G 关于一个乘法运算满足以下四条： A ）G 对于这个乘法运算是封闭的； B ）?a,b,c ∈G ，都有（ab ）c=a(bc)成立； C ）存在e r ∈G ，使得?a ∈G ，都有ae r =a 成立； D ）?a ∈G ，都存在a 1-∈G ，使得a 1-a=e r 成立。则G 关于这个乘法运算构成一个群。（） 17. 任何一个有限群都与一个循环群同构。（）

18.若H 是群G 的一个非空有限子集，且?a,b ∈H 都有ab ∈H 成立，则H 是G 的一个子群。（） 19.若?是群G 到G 的同态满射，N 是G 的一个不变子群，则?（N ）是G 的不变子群，且N G ?)(N G ? 。 ( ) 20.设R 是一个环，则下列三条是相互等价的。（） A ）R 中无零因子； B ）R 的乘法适合左消去律； C ）R 的乘法适合右消去律； 21．p （p 为质数）阶群G 是循环群．（） 22．任意群都同构于一个变换群．（） 23．剩余类环是一个整环（） 24．整环（R ，＋，）若对乘法成群，则这个整环是域（） 25．若f(x)∈F[x], g(x)∈F[x], f(α)=g(α)=0,α ∈F , f(x)|g(x)。（） 26.素数阶的群G 一定是循环群.( ) 27.一个集合A 的所有变换作成一个变换群G.( ) 28.若?是群G 到G 的同态满射,N 是G 的一个不变子群,? -1(N )表示N 的原象,则?-1(N )是G 不变子群,且()G ?-1?G N 。( ) 29无零因子环R 的特征或是零或是一个素数。( ) 30.没有非平凡理想的环是除环。( ) 31.如果?是A 到A 的一一映射,则?-1[?(a)]=a 。( ) 32.在整环中,左理想一定是理想。( ) 33.无零因子环的特征一定是素数。( ) 34.在5次对称群5S 中，(15)(234)的阶是6.( ) 35.设G 是一个有限非空集合,G 中定义了一个代数运算称为乘法,如果 (1). G 对乘法运算是封闭的;

子群的乘积是子群的判定条件

研究群的子群的乘积是子群的判定条件摘要本次论文研究的题目是子群与子群的乘积是子群的充要条件是什么，所以我们首先要了解子群的定义。子群，子群！从字面意义上知子群是群的一个子集，所以又必须知道群的定义。在了解群与子群的定义后，再发现群与子群的性质，掌握群的代数运算，子群与子群之间的代数运算。现在我所研究的是在已经知道子群与子群的乘积是子群的充要条件下，研究三个子群的乘积是子群的充要条件。关键字：群子群子群与子群的乘积一、群的定义定义1 设G是一个非空集合，⊕是它的一个代数运算，如果满足一下条件： Ⅰ.结合律成立，即对G中任意元素a,b,c都有 (a⊕b) ⊕c=a⊕(b⊕c); Ⅱ.G中有元素e，叫做G的左单位元，它对G中每个元素a都有 e⊕a=a; Ⅲ.对G中每个元素a，在G中都有元素，叫做a的左逆元，使 b⊕a=e; 则称G对代数运算⊕作成一个群。如果对群G中任二元素a,b均有 a⊕b=b⊕a, 即G的代数运算满足交换律，称G为交换群（可换群）或Abel群。否则称G 为非交换群（非可换群）或非Abel群。例如，显然全体非零有理数以及全体正有理数对于数的普通乘法都作成群，分别称其为非零有理数群和正有理数群。但应注意，整数集Z对于数的普通乘法不能作成群。因为，尽管普通乘法是Z的代数运算，并且满足结合律，也有左单位元1，但是，出去1和-1外其他任何整数在Z中都没有左逆元。例1设G为整数集，问：G对运算 a⊕b=a+b+4是否作成群？解由于对任意整数a,b，显然a+b+4为a与b惟一确定的整数，故所给运算⊕是G的一个代数运算。其次，有 (a⊕b) ⊕c=(a+b+4) ⊕c =(a+b+4)+c+4=a+b+c+8. 同理有a⊕(b⊕c)=a+b+c+8.因此，对G中任意元素a,b,c有 (a⊕b)⊕c=a⊕(b⊕c),即代数运算⊕满足结合律。又因为对任意整数a均有（-4）⊕a=-4+a+4=a, 故-4是G的左单位元。

特殊群的子群、不变子群与商群

特殊群的子群、不变子群与商群摘要：群是一种代数运算的代数体系，它是近世代数中比较古老且内容丰富的重要分支，在近似代数中有着广泛的应用.其中子群的相关理论中群的同态与同构不变子群和商群尤为重要.不变子群的重要性在于它与群同态有密切的关系,而群同态的核心就是不变子群.突出了同态的重要性本篇论文主要阐述了对不变子群的判别条件进行归纳,同时证明了诸判别条件的等价性并给出一些应用,通过不变子群与同态的几个关系看出不变子群和商群的重要意义,并且着重列举出了一些特殊群的子群不变子群及商群,使我们更深入的了解特殊群的子群不变子群及商群的相关内容. 关键词：子群；不变子群；判别准则；陪集；商群引言在古典代数中方程论是中心课题.直到19世纪中叶，代数仍是一门以方程式论为中心的数学学科，代数方程的求解问题依然是代数的基本问题，特别是用根式求解方程.群论也就是起源于对代数方程的研究，它是人们对代数方程求解问题逻辑考察的结果.伽罗瓦仔细研究了前人的理论，特别是拉格朗日、鲁菲尼、高斯、阿贝尔等人的著作，开始研究多项式方程的可解性理论，他将重心放在判定已知的方程是否有根式解.如果有，也不去追究该方程的根究竟是怎样的，只需证明有根式解存在即可. 1799年，鲁菲尼证明了五次以上方程的预解式不可能是四次以下的，从而转证五次以上方程是不可用根式求解的，但他的证明不完善.同年，德国数学家高斯开辟了一个新方法，在证明代数基本理论时，他不去计算一个根，而是证明它的存在.随后，在1801年，他解决了分圆方程xp -1=0（p 为质数）可用根式求解，这表明并非所有高次方程不能用根式求解。因此，可用根式求解的是所有高次方程还是部分高次方程的问题需进一步查明. 随后，挪威数学家阿贝尔开始解决这个问题.1824年到1826年，他修正了鲁菲尼证明中的缺陷，严格证明如果一个方程可以根式求解，则出现在根的表达式中的每个根式都可表示成方程的根和某些单位根的有理数.并且利用这个定理又证明出了阿贝尔定理：一般高于四次的方程不可能代数地求解.接着他进一步思考哪些特殊的高次方程才可用根式解的问题.在高斯分圆方程可解性理论的基础上，他解决了任意次的一类特殊方程的可解性问题，发现这类特殊方程的特点是一个方程的全部根都是其中一个根（假设为x ）的有理函数，并且任意两个根1()q x 与2()q x 满足1221()()q q x q q x ，1q ，2()q x 为有理函数.现在称这种方程为阿贝尔方程。阿贝尔解决了构造任意次数的代数可解的方程的问题，却没能解决判定已知方程是否可用根式求解的问题.在此基础上法国数学家伽罗瓦创立群论是为了应用于方程论，主要的成就是提出了群的概念，并用群论彻底解决了根式求解代数方程的问题，而且由此发展了一整套关于群和域的理论，人们称之为伽罗华理论.正是这套理论创立了抽象代数学，把代数学的研究推向了一个新的里程.群论是研究也不仅仅局限于数学领域，在研究物理问题中群论也是重要的工具.并且用群论解决有些问题可以更加简捷，在粒子物理等方面的应用也是很广泛的.在化学中它可以应用于基本粒子、核结构、原子结构和晶体结构等许多方面，分析它在分子偶极距、旋光性上的应用能说明杂化轨道的形成过程.

近世代数 2.11同态与不变子群

§11 同态与不变子群一、同态基本定理定理1 设G 是一个群, N G , 则 φ : a → aN (a ∈G ) 是G 到G /N 的同态满射(称 φ 为自然同态). 因此G ~ G /N . 定义1 设 φ 是群G 到G 的同态满射, G 的单位元e 在 φ 之下的所有逆像作成的G 的子集叫做同态满射 φ 的核, 记为Ker φ . Ker φ = { a ∈G |φ (a ) =e }. 推论若N 是群G 的不变子群, φ 为G 到商群G /N 的自然同态, 则 N = Ker φ. 定理2(群同态基本定理) 设 φ 是群G 到群G 的同态满射, N = Ker φ , 则N G , 且 G /N ?G . 令 :(),aN a a a G ψφ→=?∈. 则ψ是G /N 与G 间的一个同构映射. aN = bN ?b -1a ∈N ?φ (b -1a ) =e ?φ (b )-1φ (a ) =e ?φ (a ) =φ (b ) (?ψ ( aN ) = ψ ( bN )) 例1 设G , G 分别是阶为m , n 的有限群, 且G ~G , 证明 n |m . 二、子群的同态像定义2 设 φ 是集合A 到A 的一个满射. 如果S ?A , 则称 (){()|}S a a S φφ=∈ 为S 在 φ 之下的像. 如果S A ?, 则称 1(){|()}S a A a S φφ-=∈∈ 为S 在 φ 之下的逆像(原像). Ker φ = { a ∈G | φ (a ) =e } = φ -1(e )