基础拓扑学讲义1.1的习题答案

习题

记S 是全体无理数的集合，在实数集R 上规定子集族

{}

1\A ,A S U U τ=?是E 的开集.

（1）验证τ是R 上的拓扑；

（2）验证(),R τ满足2T 公理，但不满足3T 公理； （3）验证(),R τ是满足1C 公理的可分空间；

（4）证明τ在S 上诱导的子空间拓扑s τ是离散拓扑，从而(),s S τ是不可分的；

（5）说明

(),R τ不满足2

C

公理。

证明：（1）○

1,A U R R U A ττ=?=??

??∈?∈??=?=???

所以R 和?都含在τ中 ○

2()U A U A λλλλλλλ∈Λ

∈Λ

∈Λ

-=

-

()0

000,,,x U A x U A x U x A x U x A x U A λλλ

λλλλλλλλλλ

λλλ∈Λ

∈Λ

∈Λ

∈Λ

∈Λ

?∈

-??∈Λ∈-?∈??∈

?

?∈

-

使

U A λλλλτ∈Λ

∈Λ

-

∈

∴τ中任意多个成员的并集仍在τ中 ○3()

()()()

11221

212\\\U A U A U U A A =

()

()()()

11221122

11221212121

2\\,,,,,\x U A U A x U A x U A x U x A x U x A x U U x A A x U U A A ?∈?∈-∈-?∈?∈??∈??∈

()()1212\U U A A τ∈

∴τ中两个成员的交集仍在τ中

综上所述：τ是R 上的拓扑

（2）任取一个有理数a ，则a 在(),R τ中存在一个开邻域11\U A

这样我们就可以在1

E 中找到一个与1U 不相交的开集2U ，令有理数2b U ∈

则22\U A 为b 的一个开邻域 且()

()1122\\U A U A =?

∴(),R τ满足2T 公理

由题意可知S 是闭集，a S ??有理数

如果W 是S 的任意一个开邻域

因为S 为全集，所以S 的开邻域W 总会与a 的开邻域相交 因此在(),R τ中，S 与a 不存在不想交的开邻域，故不满足3T 公理 （3）x R ?∈，做x 的一组可数邻域{}11,n U x x x Q n n ????=-+ ? ?????

则{}n U 是x 的一个可数邻域 对x 的任一开邻域U ，U 为R 中开集

(),\\x a b S U S ∈?

当n 充分大，(),\\n U a b S U S ?? 所以{}n U 是x 的一个可数邻域基 说明(),R τ满足1C 公理 显然Q R ?

x R ?∈，x 的任一开邻域\U S

()

\U S Q x Q

R Q

≠??∈??

所以Q R =

所以Q 是(),R τ的可数稠密子集，所以(),R τ是可分的 （4）设A S ?

()\\R S A 是(),R τ的开集

∴有()

\\R S A S A =是(),S S τ的开集

∴S 的每个子集都是(),S S τ的开集 ∴(),S S τ是离散拓扑空间，S 不可数

∴从而(),S S τ是不可分的 （5）假如(),R τ满足2C 公理

2C 公理具有遗传性

则(),S S τ也要满足2C 公理

2C 空间是可分空间

则(),S S τ是可分的与(),S S τ不可分矛盾了 ∴(),R τ不满足2C 公理

设A 和B 都是拓扑空间X 的子集，并且A 是开集.证明A B A B ?.

证明：对x A

B ?∈，即x A ∈且x B ∈

令U 是x 的任一开邻域 则U A 也是x 的开邻域 因为x B ∈ 所以()U A B ≠? 即()U

A

B ≠?

所以x A B ∈，所以A B A B ?

设12,,,n A A A 都是X 的闭集，并且1

n

i i X A ==

.证明B X ?是X 的闭集?i

B A 是()1,2,

,i A i n =的闭集.

证明：()?1,2,

,i n ?=

有()C

i i i A B A B A -=

(),i i i i

C C

i

x A B

A x A x B

A x

B x B x B A ?∈-?∈????∈?∈

又

B 是X 的闭集

∴C B 是X 的开集 从而i B A 是i A 的开集 ∴i B A 是i A 的闭集 ()?因为i B

A 是()1,2,

,i A n 的闭集

故1,2,

,i n ?=，存在X 的闭集i B ，使i i

i B

A B A =，而

()()1

1

1111

n

n n n n n

i i

i i i i i i i i i i i B B A B A B A B X B ======??????=

====

? ? ?

??????

所以B 是X 的闭集（有限多个闭集的并还是闭集）

设{}n x 是(),c R τ中的一个序列.证明：n x x →?存在正整数N ，使得当n N >，

n x x =.

证明：()?显然的

()? 假设当n N >时，n x x =不成立

那么可找到{}n x 的无穷子序列{}k n x ，{}

()1,2,k n x x k ==

{}

\k n R x 为x 的一个开邻域 因为lim n x x x →∞

=

对x 的开邻域{}

\k n R x

会{}

,,\k n n K n K x R x ?>∈ 与{}

\k k n n x R x ?矛盾

所以存在正整数N ，使得当n N >，n x x =

证明：A 是拓扑空间X 的稠密子集?X 的每个非空开集与A 相交非空. 证明：()?因为A 是X 的稠密子集 所以A X =

故对x A ?∈，x 的每个开邻域与A 都有交点 从而X 的每个非空开集与A 相交非空 ()?因为X 的每个非空开集与A 相交非空 故对x X ?∈，X 的每个开邻域与A 都有交点 所以x A ∈，即X A ? 又因为A X ?，所以A X = 所以A 是X 的稠密子集

若A 是X 的稠密子集，B 是A 的稠密子集，则B 也是X 的稠密子集. 证明：令U 是X 的任一非空开集 因为A 是X 的稠密子集 所以U A ≠?

从而U A 是A 的非空开集 又因为B 是A 的稠密子集，则

()U

B U A B =≠?

所以B 也是X 的稠密子集

设:f X Y →是映射，证明下列条件互相等价： （1）f 是连续映射；

（2）对X 的任何子集A ，()

()f A f A ?； （3）对Y 的任何子集B ，()()

1

1f

B f B --?

.

证明：()()12→欲证()

()

f A f A ?

即()

y f A ?∈，要有()y f A ∈ 设V 为y 的任一开邻域 因为f 是连续映射 所以()1

f V -为x 开集

()1

f

y A -∈，()()11f y f V --∈

又因为()

1

f V A -≠?

所以()

()1

f f V A -≠?

即()

()()()

()()()11f

f V A f f V f A V f A y f A --==?∈

所以()

()f A f A ? ()()23→由（2）得，()(

)()()1

1f f B f f B B --?=

所以()()

1

1f

B f B --?

()()31→B 是Y 的闭集，且()()

()1

11f B f B f B ---?=

所以()1

f

B -是X 的闭集

由定理可得，f 是

连续映射

点集拓扑学

点集拓扑学 注明：这篇文章是一篇读后感，绝大部分是引用别人的观点，其中有本人不同的观点，写出来是和大家共同研究与学习交流。本文灵感来源主要有这些作者或老师：张德学，张景祖，熊金城。由于篇幅比较长，本人也正在学习中，只能一部分一部分续写。 点集拓扑学是几何学的分支，研究的是更一般的几何图形，即拓扑空间中的集合，是研究拓扑不变性与不变量的学科，主要表现在图形的弹性变形后的那些不变性和不变量，比如联通性，可数性，分离性等。其中有几个代表性的例子：1，一笔画问题，2，哥尼斯堡七桥问题，3，四色问题。这种弹性变形指的是拓扑学中的同柸，相近点变相近点的连续概念。拓扑学包括点集拓扑学，代数拓扑学，几何拓扑学，微分拓扑学，其中点集拓扑学是基础，称为一般拓扑学。 集合概念的发展历程： 集合论的最早创立是由德国数学家康托尔创立的朴素集合论，运用于纯数学中，然后经过进一步的规范公理化使其理论更加严谨规范化。朴素集合论对集合没有做出严格的定义，只是表示对元素或者对象的搜集，没有形式化的理解，而公理集合论只使用明确定义的公理列表，是对集合这门学科的进一步认识在现实中得到了广泛的运用。 集合的定义： ① 公认定义：具有共同属性的对象的全体成为集合，对象又可以理解为个体或者集合中的元素。 ② 个人（本人）定义：我们把各种对象按照某种要求抽样集中起来构成一个群体称为集合，这种对象可能是独立的个体或者群体，也可能对象之间本身就有包涵关系的集合但不相同或相等，当我们把所有对象集中在一起称为全集或者幂集族。全集的一部分称为子集，幂集的一部分称为子集族。集合一般用大写字母表示，其中元素用小写。 集合的表示方式: 1枚举法 一般在大括号里罗列出集合的元素，如下: {}{}{}{}香蕉，大象，人,,3,2,1,3,2,1,,, c b a 2文字语言表述法 用文字语言来表达构成集合的要求： 某个班级的全体男生，一盒象棋，一箱牛奶等。 3图示法 4数学关系描述法或者数学语言描述法 用数学关系式来抽象表达构成集合的要求，我们平时研究的最多的也就是这种表达方法： (){}(){}x P X x x x P X x ,∈∈或者 对集合的描述必须合理，要不然会出现悖论比如：理发师只给不给自己理发的人理发，这种表述就不合理，导致理发师傅是给自己理发还是不给自己理发都是矛盾，这句话应该理解为理发师只给除自己以外不给自己理发的人理发。 又比如：

040数学一级学科硕士研究生培养方案12-12

数学一级学科硕士研究生培养方案(0701) 一、适用专业 基础数学、计算数学、概率论与数理统计、应用数学、运筹学与控制论。 二、培养目标 培养德智体全面发展的、适应国家与社会发展需要的数学专业教师以及研究型、应用型高层次数学专门人才。具体目标如下： 1．树立爱国主义和集体主义思想，具有良好的道德品质和强烈的事业心，能立志为祖国的建设和发展服务。善于合作与交流，有宽阔胸怀和远大理想。 2．掌握系统的数学基础理论和专门知识；了解专业研究方向的前沿学术动态；具有较强的独立学习及研究能力和不断更新知识及创造能力；掌握一门外国语；掌握计算机的基础知识和应用技能；具有较强的综合能力，为未来的数学专业方面工作、科学研究工作奠定坚实的基础。 3．具有健康的体魄和健康的心理素质，有顽强的毅力和持之以恒的精神。 三、学习年限 实行弹性学制2-4年，基础学制3年。 四、学分要求 硕士研究生培养实行学分制，总学分不少于32学分，其中学科通开课和专业基础课不少于6分，专业课不少于12分，选修课不少于4学分。 五、考核要求 1. 学科通开课与专业基础课、专业课考核方式为闭卷，成绩60分以上方可获得所规定的学分； 2. 专业选修课的考核方式为闭卷或开卷，成绩60分以上方可获得所规定的学分。 3. 补修课仅供非数学专业考生随本科生课程补修，不计学分。 4.实习在第4学期或第5学期进行。 六、学位论文要求 学位论文是对研究生进行科学研究或承担专门技术工作的全面训练，是培养研究生创新能力，综合运用所学知识发现问题、分析问题和解决问题能力的主要环节。 1. 研究生必须通过教学计划的各门课程并达到所要求的学分后，方可转入论文撰写阶段。在撰写论文之前，须认真的调研，查阅大量的文献资料，了解其主攻研究方向的前沿领域的学术动态，在此基础上确立学位论文题目。 2. 数学科学学院硕士研究生一般在第四学期（秋季）做开题报告，提交开题报告截止时间为10月30日。导师负责论文的检查与督促工作。 3. 学位论文应在导师指导下独立完成，学位论文要有新见解、有创新。 4. 硕士研究生答辩前应至少公开发表学术论文一篇或收到哈师大重点学术

答案-拓扑学基础a

东 北 大 学 秦 皇 岛 分 校 课程名称： 拓扑学基础 （答案） 试卷： A 考试形式：闭卷 授课专业：数学与应用数学 考试日期： 2013年 7月 试卷：共 3 页 一、填空题：（每空2分，共20分） 1．设{1,2,3}X =，写出5个拓扑，使得每个拓扑中的所有集合按包含关系构成一个升链 平凡拓扑 ，{,,{3},{1,3}}X ?，{,,{1}}X ?， {,,{2}}X ?，{,,{3}}X ?。 （注：答案不唯一，正确即可） 2. 汉字“东” 的连通分支的个数是 3 ，抛物线的连通分支的个数是 1 。 ( 3．字母Y 的割点个数为 无穷 。字母T 中指数为3的点个数为 1 。 4．叙述同胚映射的定义 拓扑空间之间的连续映射称为同胚映射，若它是一一对应且它的逆也是连续的 。 二、选择题：（每题2分，共8分） 1．下列说法中正确的是（ B ） A 连通空间一定是道路连通空间 B 道路连通空间一定是连通空间 C 道路连通空间一定局部道路连通 D 以上说法都不对 2．下列说法正确的是（ A ） A 紧空间的闭子集紧致 B 紧致空间未必局部紧致 } C 有限空间一定不紧致 D 列紧空间是紧致空间 3．下列说法错误的是（ A ） A 离散空间都是1T 空间 B 2T 空间中单点集是闭集 C 赋予余有限拓扑不是2T 空间 D 第二可数空间可分 4．下列不具可乘性的是（ D ） A 紧致性 B 连通性 C 道路连通性 D 商映射 三、计算题：（共16分） - 1．在上赋予余有限拓扑，记 为有理数集合，[0,1]I =。试求'和I 。 （4分） 答：'= ，I =。 2．确定欧式平面上子集22{(,)|01}A x y x y =<+≤的内部、外部、边界和闭包。（8分） 答：内部，22{(,)|01}x y x y <+<； 外部，22{(,)|1}x y x y <+ 边界，22{(,)|1}x y x y +=； 闭包 A A =。 3．在 上赋予欧式拓扑。（4分） { （1）计算道路2t α=与1t β=+的乘积αβ在1 3 处的值。 答：αβ在13处的值是4 9 。 装 订 线 装 订 线 内 不 要 答 题 学 号 姓 名 班 级

基础拓扑学讲义11的习题答案

习题 2、1、18 记S 就是全体无理数的集合,在实数集R 上规定子集族 {} 1\A ,A S U U τ=?是E 的开集、 (1)验证τ就是R 上的拓扑; (2)验证(),R τ满足2T 公理,但不满足3T 公理; (3)验证(),R τ就是满足1C 公理的可分空间; (4)证明τ在S 上诱导的子空间拓扑s τ就是离散拓扑,从而(),s S τ就是不可分的; (5)说明 (),R τ不满足2 C 公理。 证明:(1)○ 1,A U R R U A ττ=?=?? ??∈?∈??=?=??? 所以R 与?都含在τ中 ○ 2()U A U A λλλλλλλ∈Λ ∈Λ ∈Λ -= - ()0 000,,,x U A x U A x U x A x U x A x U A λλλ λλλλλλλλλλ λλλ∈Λ ∈Λ ∈Λ ∈Λ ∈Λ ?∈ -??∈Λ∈-?∈??∈ ? ?∈ - 使 U A λλλλτ∈Λ ∈Λ - ∈ ∴τ中任意多个成员的并集仍在τ中 ○3() ()()() 11221212\\\U A U A U U A A = () ()()() 11221122 11221212121 2\\,,,,,\x U A U A x U A x U A x U x A x U x A x U U x A A x U U A A ?∈?∈-∈-?∈?∈??∈??∈ ()()1212\U U A A τ∈ ∴τ中两个成员的交集仍在τ中 综上所述:τ就是R 上的拓扑 (2)任取一个有理数a ,则a 在(),R τ中存在一个开邻域11\U A 这样我们就可以在1 E 中找到一个与1U 不相交的开集2U ,令有理数2b U ∈

070101基础数学

070101基础数学专业（全日制或非全日制） 硕士研究生培养方案 一、培养目标 本专业培养德、智、体全面发展，具有扎实的数学理论基础和独立从事科学研究的能力，在科研部门、高等院校以及基础教育机构从事科学研究和教学工作的高级专门人才。具体要求如下： 1、具有坚定正确的政治方向，努力学习掌握马克思主义的基本原理，树立正确的世界观、人生观和价值观；遵纪守法，品行端正，作风正派，具有较高的综合素质和愿为社会主义建设艰苦奋斗的献身精神。 2、掌握本专业的基础理论、基本研究方法和技巧；具有坚实的数学理论基础和基本数学素养；具有较强的学术沟通能力和良好的团队协作精神。 3、熟练掌握一门外国语，具有阅读外文资料和使用外文写作论文的能力；具备熟练地使用计算机进行和数学软件科学计算以及借助互联网阅读专业资料的能力。 4、身心健康，德才兼备。 二、研究方向 本学科设置以下研究方向： 1、微分方程与动力系统 2、偏微分方程及其应用 三、学习年限 学习年限一般为3年，最长不超过4年。课程学习时间为一年半。硕士生应在规定的学习期限内完成培养计划要求的课程学习和论文等工作。 四、课程设置与学分 本专业课程设置包括学位课、非学位课和实践环节，应修总学分不少于34学分（具体课程设置见附表）。其中 1、学位课：不少于19学分。其中，公共学位课9学分。 2、非学位课：不少于13学分。 3、实践环节：2学分。 五、实践环节 硕士研究生应参加学术活动、教学实践、科研实践或社会实践等实践活动。学术活动为必修环节，要求硕士研究生必须取得1个学术学分，其中，必须在院及以上级别学术会议上至少做一次学术报告，每次0.5学分，参加院及以上级别学术活动至少5次，每次0.1学分。另外，还应从其它实践环节中至少选1个实践环节,考核合格后取得1学分。参加学术活动和

基础拓扑学讲义1.1的习题答案

习题 记S 是全体无理数的集合，在实数集R 上规定子集族 {} 1\A ,A S U U τ=?是E 的开集. （1）验证τ是R 上的拓扑； （2）验证(),R τ满足2T 公理，但不满足3T 公理； （3）验证(),R τ是满足1C 公理的可分空间； （4）证明τ在S 上诱导的子空间拓扑s τ是离散拓扑，从而(),s S τ是不可分的； （5）说明 (),R τ不满足2 C 公理。 证明：（1）○ 1,A U R R U A ττ=?=?? ??∈?∈??=?=??? 所以R 和?都含在τ中 ○ 2()U A U A λλλλλλλ∈Λ ∈Λ ∈Λ -= - ()0 000,,,x U A x U A x U x A x U x A x U A λλλ λλλλλλλλλλ λλλ∈Λ ∈Λ ∈Λ ∈Λ ∈Λ ?∈ -??∈Λ∈-?∈??∈ ? ?∈ - 使 U A λλλλτ∈Λ ∈Λ - ∈ ∴τ中任意多个成员的并集仍在τ中 ○3() ()()() 11221 212\\\U A U A U U A A = () ()()() 11221122 11221212121 2\\,,,,,\x U A U A x U A x U A x U x A x U x A x U U x A A x U U A A ?∈?∈-∈-?∈?∈??∈??∈ ()()1212\U U A A τ∈ ∴τ中两个成员的交集仍在τ中 综上所述：τ是R 上的拓扑 （2）任取一个有理数a ，则a 在(),R τ中存在一个开邻域11\U A 这样我们就可以在1 E 中找到一个与1U 不相交的开集2U ，令有理数2b U ∈

基础拓扑学第4章答案

《基础拓扑学讲义》部分习题解答四 ex.1（P.43）称X 满足0T 公理，如果对X 中的任意两 个不相同的点中必有一个点有一个开邻域不包含另一点。试举出满足0T 公理但不满足1T 公理的拓扑空间的例 子。 答：{,,}X a b c =,{,,{},{,},{,}}X a a b a c τ=?，则X 满足0T 公理但不满足1T 公理。 ex.6（P.43）证明X 为Hausdorff 空间当且仅当}|),{()(X x x x X ∈=?是乘积空间X X ×的闭集。 证：（必要性）要证)(X ?为闭集，只要证它的余集是 开集。C X y x ))((),(?∈?，),(y x 为内点。由 C X y x ))((),(?∈知，y x ≠，因X 为Hausdorff 空间知，存在x 的开邻域U ，y 的开邻域V ，使得Φ=V U ∩，于是C X V U y x ))((),(??×∈，所以),(y x 为内点，这就证明了)(X ?为闭集。 （充分性）对,,x y X x y ?∈≠，由()X ?的定义知，(,)()x y X ??，即(,)(())C x y X ∈?，由)(X ?为闭集知：()C X ?为开集，于是存在开集,U V 使得C X V U y x ))((),(??×∈，由(())C U V X ×??知，,U V 为,x y

的不相交的邻域，这就证明了X 为Hausdorff 空间。 ex.7（P.43）证明Hausdorff 空间的子空间也是Hausdorff 空间。 证：设X 是Hausdorff 空间，A 是X 的子空间。,x y A ?∈，则,x y X ∈。因X 是Hausdorff 空间，故x ?的邻 域U ，y ?的邻域V ， 有U V =?∩。从而()()A U A V =?∩∩∩，因A U ∩是x 在A 中的邻域，A V ∩是y 在A 中的邻域，所以A 是Hausdorff 空间。 ex.16（P.44）记{[,)|}a b a b Γ=<。证明拓扑空间(,)Γ 不是2C 空间。 证：设μ是拓扑空间(,)Γ 的拓扑基，设a ∈ ，则 [,1)a a +是开集，从而在μ中存在成员a U ，有[,1)a a U a a ∈?+，并且a U 中最小的成员是a 。显然，当a b ≠时，a b U U ≠。于是μ中有不可数个成员，从而(,)Γ 中不存在可数拓扑基。故拓扑空间(,)Γ 不是2C 空间。

北京大学数学科学学院考研参考书目汇总

北京大学数学科学学院考研参考书目汇总 考试科目编号： 01 数学分析 02 高等代数 03 解析几何 04 实变函数 05 复变函数 06 泛函分析 07 常微分方程 08 偏微分方程 09 微分几何 10 抽象代数 11 拓扑学 12 概率论 13 数理统计 14 数值分析 15 数值代数 16 信号处理 17 离散数学 18 数据结构与算法 01 数学分析（ 150 分） 考试参考书： 1. 方企勤等，数学分析（一、二、三册）高教出版社。 2. 陈纪修、於崇华、金路，数学分析(上、下册)，高教出版社。 02 高等代数（ 100 分） 考试参考书： 1. 丘维声,高等代数(第二版) 上册、下册，高等教育出版社，2002年, 2003年。 高等代数学习指导书（上册），清华大学出版社，2005年。 高等代数学习指导书（下册），清华大学出版社，2009年。 2. 蓝以中，高等代数简明教程（上、下册），北京大学出版社，2003年（第一版第二次印刷）。 03 解析几何（ 50 分） 考试参考书： 1. 丘维声，解析几何（第二版），北京大学出版社，（其中第七章不考）。 2. 吴光磊，田畴，解析几何简明教程，高等教育出版社， 2003年。 04 实变函数（ 50 分） 考试参考书：

1. 周民强，实变函数论，北京大学出版社， 2001年。 05 复变函数（ 50 分） 考试参考书： 1. 方企勤，复变函数教程，北京大学出版社。 06 泛函分析（ 50 分） 考试参考书： 1. 张恭庆、林源渠，泛函分析讲义（上册），北京大学出版社。 07 常微分方程（ 50 分） 考试参考书： 1. 丁同仁、李承治，常微分方程教程，高等教育出版社。 2. 王高雄、周之铭、朱思铭、王寿松，常微分方程（第二版），高等教育出版社。 3. 叶彦谦，常微分方程讲义（第二版）人民教育出版社。 08 偏微分方程（ 50 分） 考试参考书： 1. 姜礼尚、陈亚浙，数学物理方程讲义（第二版），高等教育出版。 2. 周蜀林，偏微分方程，北京大学出版社。 09 微分几何（ 50 分） 考试参考书： 1. 陈维桓，微分几何初步，北京大学出版社（考该书第1-6章）。 2. 王幼宁、刘继志，微分几何讲义，北京师范大学出版社。 10 抽象代数（ 50 分） 考试参考书： 1. 丘维声 , 抽象代数基础，高等教育出版社，2003年。 2. 聂灵昭、丁石孙，代数学引论（第一、二、三、四、七章，第八章第1、2、3节），高等教育出版社，2000年第二版。

数学专业参考书整理推荐

数学专业参考书整理推荐 从数学分析开始讲起： 数学分析是数学系最重要的一门课，经常一个点就会引申出今后的一门课，并且是今后数学系大部分课程的基础。也是初学时比较难的一门课，这里的难主要是对数学分析思想和方法的不适应，其实随着课程的深入会一点点容易起来。当大四考研复习再看时会感觉轻松许多。数学系的数学分析讲三个学期共计15学分270学时。将《数学分析》中较难的一部分删去再加上常微分方程的一些最简单的内容就是中国非数学专业的《高等数学》，或者叫数学一的高数部分 数学分析书： 初学从中选一本教材，一本参考书就基本够了。我强烈推荐11，推荐1，2，7，8。另外建议看一下当不了教材的16，20。 中国人自己写的： 1《数学分析》陈传璋，金福临，朱学炎，欧阳光中著（新版作者顺序颠倒）应该是来自辛钦的《数学分析简明教程》，是数学系用的时间最长，用的最多的书，大部分学校考研分析的指定教材。我大一用第二版，现在出了第三版，但是里面仍有一些印刷错误，不过克可以一眼看出来。网络上可以找到课后习题的参考答案，不过建议自己做。不少经济类工科类学校也用这一本书。里面个别地方讲的比较难懂，而且比其他书少了一俩个知识点，比如好像没有讲斯托尔滋(stolz)定理，实数的定义也不清楚。不过仍然不失为一本好书。能广泛被使用一定有它自己的一些优势。 2《数学分析》华东师范大学数学系著 师范类使用最多的书，课后习题编排的不错，也是考研用的比较多的一本书。课本最后讲了一些流形上的微积分。虽然是师范类的书，难度比上一本有一些降低，不过还是值得一看的。3《数学分析》陈纪修等著 以上三本是考研用的最多的三本书。 4《数学分析》李成章，黄玉民 是南开大学一个系列里的数学分析分册，这套教材里的各本都经常被用到，总体还是不错的，是为教学改革后课时数减少后的数学系各门课编写的教材。 5《数学分析讲义》刘玉链 我的数学分析老师推荐的一本书，不过我没有看，最近应该出了新版，貌似是第五？版，最初是一本函授教材，写的应该比较详细易懂。不要因为是函授教材就看不起，事实上最初的函授工作都是由最好的教授做的。细说就远了，总之可以看看。 6《数学分析》曹之江等著 内蒙古大学数理基地的教材，偏重于物理的实现，会打一个很好的基础，不会盲目的向n维扩展。适合初学者。国家精品课程的课本。 7《数学分析新讲》张筑生 公认是一本新观点的书，课后没有习题。材料的处理相当新颖。作者已经去世。8《数学分析教程》常庚哲，史济怀著 中国科学技术大学教材，课后习题极难。 9《数学分析》徐森林著 与上面一本同出一门，清华大学教材。程度好的同学可以试着看一看。书很厚，看起来很慢。 10《数学分析简明教程》邓东翱著 也是一本可以经常看到的书，作者已经去世。国家精品课程的课本。 11许绍浦《数学分析教程》南京大学出版社

《基础拓扑学讲义》部分习题解答

《基础拓扑学讲义》部分习题解答六 1． 设(,)X Γ是空间，是任何一个不属于1T ∞X 的元素。 令*{}X X =∞∪和*{}*X Γ=Γ∪。证明： （1）**(,X )Γ是一个拓扑空间。 （2）**(,X )Γ是一个空间但不是空间。 0T 1T 证明 （1）（略） （2）先证(,X ??)Γ是空间：由于0T X 是空间，故也是 空间，对1T 0T X ?中的任意两个不相同的点，如果这两个点都不是，则有一个点有一个开邻域不包含另一个点；如果这两个点有一个是∞，则对另一点记为∞p （p ≠∞）而 言，X 是包含点p 的一个开邻域， 并且X ∞?，所以是T 空间． (,X ??Γ))0再说明(,X ??Γ不是空间：由于1T {}X ??Γ=Γ∪ ，故包含的开邻域只有一个，就是∞{}X X ?=∪∞，因此对X 中一点p 而言，包含∞的开邻域一定包含p ，所以不是空间． (,X ??Γ)1T 2.设和Γ Γ 是集合X 上的两个拓扑，并且 Γ?Γ。证明：如果拓扑空间(,)X Γ是一个或空间，则拓扑空间0T 1T (,)X Γ 相应也是一个或空间。 0T 1T

证明 （1）若是空间，则对(,)X Γ0T X 中任意两个不同的点，存在一个点的一个开邻域不包含另外一个点， 又 Γ?Γ，故上述开邻域也是该点在拓扑空间 (,)X Γ 下的一个开邻域，它同样不包含另一个点，得到 (,)X Γ也是空间． T （2）若(,)X Γ是空间，则对1T X 中任意两个不同的点x 与，分别各自存在一个开邻域不包含另外一点，又 y Γ?Γ ，这两个开邻域也是点x 与在拓扑空间y (,)X Γ下的开邻域，它们同样不包含另一个点，得到 (,)X Γ也是空间． 1 T 3．对中的区间进行同胚分类，问总共有几个类？ 答：三个。（1）[,；（2）；（3）[,。 ]a b (,)a b )a b 注：如果对一维连通流形进行同胚分类则有四个，加上。 1S

点集拓扑学教学大纲

《点集拓扑学》教学大纲 课程名称：《点集拓扑学》Point Set Topology 课程性质：数学与应用数学专业必修课 学时数：36 教材:《点集拓扑讲义》熊金城编著.高等教育出版社, 2011年12月第4版. 主要参考书： 《点集拓扑学》徐森林编著，高等教育出版社，2007年7月第1版. 《基础拓扑学》胡适耕编著，华中科技大学出版社，2007年8月第1版. 《基础拓扑学讲义》尤承业编著，北京大学出版社，1997年11月第1版. 《拓扑学》 [美] 芒克里斯编著，熊金城等翻译，机械工业出版社，2006年4月第1版. 授课方式：课堂讲授为主 所属院系：数学学院数学与应用数学系 课程基础：《数学分析》、《实变函数论》 一、课程简介 拓扑学是近代数学的三大基础之一，是研究抽象空间的理论的一门学科，它具有高度的概括性和抽象性.点集拓扑学产生于19世纪.G.康托尔建立了集合论，定义了欧几里得空间中的开集、闭集、导集等概念，获得了欧几里得空间拓扑结构的重要结果.1906年M.-R.弗雷歇把康托尔的集合论与函数空间的研究统一起来，建立了广义分析，可看为拓扑空间理论建立的开始. 泛函分析的兴起，希尔伯特空间和巴拿赫空间的建立，促进了把点集当作空间来研究.数学分析研究的中心问题是极限，而收敛与连续又是极限的基本问题.为把收敛与连续的研究推广到一般集合上，需要在一般集合上描述与点或与集合“邻近”的概念.如何描述“邻近”，可以用“距离”，但“距离”与“邻近”并无必然的联系.1914年F.豪斯道夫开始考虑用“开集”来定义拓扑.对一个非空集合X，规定X的每点有一个包含此点的子集作成的子集族，满足一组开集公理（即仿照欧几里得空间邻域所具特性给出的一组性质）.该子集族中的每个集合称为这点的一个邻域，这就给出了X的一个拓扑结构，X连同此拓扑结构称为一个拓扑空间. X的每点有邻域，故可研究一点的邻近，由此可仿照微积分的方法定义两个拓扑空间之间的连续映射的概念.若一个映射连续，且存在逆映射，逆映射也连续，则称此映射为同胚映射.具有同胚映射的两个拓扑空间称为同胚的（直观地说即两个空间相应的图形从一个可连续地形变为另一个）.要证明两个空间同胚，只要找到它们之间的同胚映射即可.在欧几里得直线上，作为子空间，两个任意的闭区间同胚；任意两开区间同胚；半开半闭的区间[c,d)与[a,b)同胚；二维球面挖去一个点S2－p与欧几里得平面K2同胚. 要证明两个拓扑空间不同胚，需证明它们之间不存在同胚映射.方法是找同胚不变量或拓扑不变性（即在同胚映射下保持不变的性质）；第一个空间具有某同胚不变量，另一个空

《基础拓扑学试卷》

《基础拓扑学试卷》 试卷2 一、填空题（每小题2分，共20分） 1. 设A 为离散空间X 的子集, 那么()i A =_________________________. 2. 设A 为度量空间(,)X ρ的子集, 若,(,)0x X x A ρ∈>, 则准确表示x 与A 的关系的式子是x ∈__________________. 3. 拓扑空间X 的每一个有限集是闭集当且仅当X 是____________空间. 4. 设X 为拓扑空间,A 为X 的子集, x X ∈, 如果_________________________________, 则称x 是A 的凝聚点. 5. 点集拓扑学的中心任务是研究____________________________________________. 6. 对于拓扑空间(,)X τ的一个子空间(,)Y τ', τ与τ'满足: (________________)τ'=. 7. 设X 为满足第一可数公理的拓扑空间, 那么每一个x X ∈有一个的邻域基具有如下特点:_________________________________________. 8. 设12n X X X X =???为拓扑空间12,,,n X X X 的积空间, X φ≠, X 是紧拓扑空间, 则每一个j X 为_______________________空间. 9. 任何一族连通空间的积空间都是_________________________空间. 10. 一个拓扑空间的可分性定义为________________________________. 二、单项选择题 (每小题2分, 共20分) 11. 设:,,f X Y A B Y →?, 则下面不正确的命题是（ ） A. 1(())A f f A -= B. 111()()()f A B f A f B ---= C. 111()()()f A B f A f B ----=- D. 111()() ()f A B f A f B ---= 12. 设X 为拓扑空间, B A ?, 则下面不正确的命题是( ) A. d d B A ? B. 00B A ? C. B A ''? D. B A ? 13. 设X 为拓扑空间, {}n x 是X 中的收敛序列, 则下面正确的命题是( ) A. 对于任何拓扑空间X , {}n x 的极限唯一. B. 若X 是Hausdorff 空间, 则{}n x 的极限唯一.

拓扑学基础复习题

《拓扑学基础》复习题 单项选择题 下列有关连续映射:f X Y →正确的是（ B ） A 、对X 中的任意开集U ，有()f U 是Y 中的一个开集 B 、Y 中的任何一个闭集B ，有1()f B -是X 中的一个闭集 C 、Y 中的任何一个子集A ，有1 1()()f A f A --? D 、若f 还是一一映射，则f 是一个同胚映射 设X 是一个拓扑空间，A X ?，则()A ?=（ D ） A 、A A -'? B 、00A A ''? C 、0()A ? D 、()X A ?- 下列拓扑性质中，没有继承性的是( D ) A 、1T 空间 B 、2T 空间 C 、3T 空间 D 、4T 空间 下列有关实数空间 ，不正确的是（ D ） A 、它满足第一可数性公理 B 、它满足第二可数性公理 C 、它的任何一个子空间都满足第二可数性公理 D 、它的任何一个子空间都是连通的 设A 是度量空间（,X ρ）中的一个非空子集，则下列命题错误的是（ C ） A 、()x d A ∈当且仅当(,{})0x A x ρ-= B 、()x d A ∈当且仅当(,)0x A ρ= C 、对x A ?∈，且有(,)B x A εφ?≠，则A 为X 中的一个开集 D 、x A ∈当且仅当(,)0x A ρ= 填空题 若拓扑空间X 有一个可数稠密子集，则称 是一个 可分空间 。 拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连续映下的象所具有，则称这个性质是一个 在连续映射下保持不变的性质 。 实数空间 中的有理数集Q ，则()d Q = 。 设Y 是拓扑空间(,)X J 的一个子空间，则Y 的拓扑为 |Y J 。 实数空间 的一个基是 {( ,)|,a b a b ∈ 且}a b < 。 设X 是一个拓扑空间，D X ?，若D 是X 的一个稠密子集，则D = X 。 设X 是一个拓扑空间，C 是X 的一个连通分支，则C = C 。 名词解释 紧致空间： 设X 是一个拓扑空间，如果X 的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖，则称拓扑空间X 是一个紧致空间。

大学数学专业名词英汉互译及课程简介

课程代码：311100113 课程名称：解析几何Analytic Geometry 总学时：64 周学时： 4 学分：3 开课学期：一 修读对象：必修 预修课程：无 内容简介：《解析几何》是学科基础课程，是所有数学专业及应用数学专业的主要的基础课。它是用代数的方法来研究几何图形性质的一门学科。《解析几何》包括向量与坐标，轨迹与方程，平面与空间直线，柱面、锥面、旋转曲面与二次曲面，二次曲线的一般理论与二次曲面的一般理论等。 选用教材：吕林根，许子道，《解析几何》(第四版)，高等教育出版社，2006年。 参考书目：周建伟，《解析几何》，高等教育出版社，2005年。 课程代码：311100213、311100314、311100616、311100715 课程名称：数学分析Ⅰ-Ⅳ Mathematical AnalysisⅠ-Ⅳ 总学时：334 周学时：4，4，6，5 学分：18 开课学期：一，二，三，四 修读对象：必修 预修课程：无 内容简介：《数学分析》是学科基础课程，是所有数学专业及应用数学专业的第一基础课。它提供了利用函数分析和解决实际问题的方法, 培养学生严谨的抽象思维能力，为学习其他学科奠定基础。主要内容有：实数、函数、极限论，函数的连续性。一元函数微分学，微分学基本定理。一元微分学应用，实数完备性基本定理，闭区间上连续函数性质的证明，不定积分，定积分及应用，非正常积分。数项级数，函数列与函数项级数，幂级数，付里叶级数，多元函数的极限与连续，多元函数微分学。隐函数定理及其应用，重积分，含参量非正常积分，曲线积分与曲面积分。 选用教材：华东师范大学数学系，《数学分析》（第三版），高等教育出版社，2001年。 参考书目：①陈纪修，《数学分析》(第二版)，高等教育出版社，2004年。 ②刘玉琏,傅沛仁，《数学分析讲义》(第四版),高等教育出版社，2003年。 课程代码：311100416、311100515 课程名称：高等代数Ⅰ-Ⅱ Advanced AlgebraⅠ-Ⅱ 总学时：198 周学时：6，5 学分：11 开课学期：二，三 修读对象：必修 预修课程：无 内容简介：《高等代数》是学科基础课程，是所有数学专业及应用数学专业的主要的基础课。作为其中核心内容的线性代数，是理工科大学各专业的重要的数学工具，牢固掌握和深入理解其中的思想方法和技巧，对于大学生是非常重要的。《高等代数》包括两部分内容。第一部分为多项式，第二部分为线性代数。多项式部分主要讨论一元多项式的性质、最大公因式、因式分解、求根等。线性代数主要讨论线性方程组、矩阵、线性空间、线性变换、欧氏空间等。 选用教材：北京大学数学系几何与代数教研室代数小组，《高等代数》(第三版)，高等教育出版社，2003年。

拓扑学基础试卷1

拓扑学基础（数学教育本科）试卷 一、单项选择题（每小题2分，共20分） 1、设X 是拓扑空间，A 、B ?X ，则下列等式成立的是 A 、)()()( B A d B d A d = Ｂ、)())((A d A d d = Ｃ、B A B A = Ｄ、B A B A = 2、设Ｒ是实数空间，A=（0，1）是开区间，则 A 、]1,0[=A B 、)1,0(=A C 、)1,0[=A D 、]1,0(=A 3、如果拓扑空间X 中每一个单点集都是闭集，那么 A 、X 是T 0空间，非T 1空间 B 、X 是T 1空间 C 、X 是正则空间 D 、X 是正规空间 4、下列哪个条件成立时，拓扑空间X 是连通空间 A 、X 中不存在两个非空的开子集A 、 B ，使得：φ=B A ，且X B A = 成立 B 、X 中存在两个非空的闭子集A 、B ，使得：φ=B A 且X B A = 成立 C 、X 中存在着一个既开又闭的非空真子集 D 、存在X 的子集A 、B ，使得X=B A 5、设R 是实数空间，X 是含多于一点的离散空间，则 A 、R 是道路连通空间 B 、X 是道路连通空间 C 、R 是不连通空间 D 、X 是连通空间 6、下列拓扑空间中，哪个空间不是可分空间 A 、实数空间 B 、平庸空间 C 、包含着不可数多个点的离散空间 D 、满足第二可数性公理的空间 7、下列有关满足诸分离性公理的拓扑空间类之间的蕴含关系中，能成立的是 A 、正规?正则 B 、正则?正规 C 、正则?T 2 D 、完全正则?正则 8、下列拓扑性质中，哪一个是可遗传性质 A 、第一可数性 B 、连通性 C 、紧致性 D 、可分性 9、关于几种紧致性，下列蕴含关系哪一个成立 A 、可数紧致?紧致 B 、紧致?可数紧致 C 、列紧?紧致 D 、局部紧致?紧致 10、下列命题错误的是 A 、A 是闭集?A A = B 、A 是闭集A A d ??)( C 、A 是闭集?A '是开集 D 、A 是闭集?A A =

武汉大学数学用书

1、考试科目 ①101思想政治理论 ②201英语一 ③646数学分析 ④873线性代数 复试笔试科目：常微分方程三题，另外的两题为常微分方程或线性规划或近世代数三者选答一组 同等学力加试科目：①常微分方程②数学基础综合 2、参考书目 数学分析： 华东师范大学：《数学分析》，高等教育出版社 常庚哲、史济怀著：《数学分析教程》，高等教育出版社线性代数： 线性代数 陈志杰：《高等代数与解析几何》，高等教育出版社 北京大学：《高等代数》，高等教育出版社 复试科目参考书目： 常微分方程： 丁同仁，李承志：《常微分方程教程》，高等教育出版社 王柔怀等：《常微分方程讲义》，高等教育出版社 泛函分析： 刘培德：《泛函分析基础》，武汉大学出版社（修订版） 近世代数： 莫宗坚：《代数学》，北京大学出版社 实变函数： 侯友良著：《实变函数》，武汉大学出版社 点集拓扑学： 尤承业：《基础拓扑学讲义》（1-4 章），北京大学出版社 M.A. Armstrong著，孙以丰译：《基础拓扑学》（1-5 章），北京大学出版社 数值分析： 郑慧娆等：《数值计算方法》（第二版），武汉大学出版社2007年版 邹秀芬等：《数值计算方法学习指导书》，武汉大学出版社2007年版 概率论与数理统计： 中山大学：《概率论与数理统计》 复旦大学：《概率论基础》 线性规划： 陈宝林：《最优化理论与方法》，清华大学出版社 邓成梁：《运筹学原理与方法》，华中科技大学出版社 同等学力加试参考书目： 常微分方程： 丁同仁，李承志：《常微分方程教程》，高等教育出版社 王柔怀等：《常微分方程讲义》，高等教育出版社 数学基础综合： 含近世代数、点集拓扑、实变函数、概率论等基础知识

基础拓扑学讲义部分习题解答二

《基础拓扑学讲义》部分习题解答二 P.28 Ex1设:f X Y →是映射，下列条件是等价的： （1）:f X Y →是连续映射； （2）若β是Y 的一组拓扑基，β内每个成员的反像为X 的开集； （3）()()f A f A ?，对于X 的任意子集A ； （4）11()()f B f B ???，对于Y 的任意子集B ； （5）Y 内任意闭集的反像为X 的闭集。 证 （1）?（2） 、（5）?（1）书本上定理1.1已证。 （2）?（3）设A 为X 的子集，显然()()f A f A ?，因此只需证明若x A A ∈?，则点()f x 为()f A 的聚点。事实上，设N 是()f x 在Y 中的一个邻域，我们可以找到β内的开集B ，使得()f x B N ∈?。集合1()f B ?是X 的开集，从而是x 的一个邻域。但x A A ∈?，故1()f B ?必含有A 的点。因此B 含有()f A 的点，从而N 含有()f A 的点，故()f x 为()f A 的聚点。 （3）?（4）由（3）得11(())(())f f B f f B B ???=，于是有11()()f B f B ???。 （4）?（5）设B 是Y 的闭集，因111()()()f B f B f B ????=。

故1()f B ?是X 的闭集。 Ex2设B 是Y 的子集，:i B Y →是包含映射，:f X B →是一映射，证明f 连续?:i f X Y → 连续。 证 “?”因i 和f 均连续，故:i f X Y → 连续。 “?”设V 是B 的开集，因B 是Y 的子集，故存在Y 的开集U ，有1()V U B i U ?==∩，而i f 连续，故 1111()()(())()i f U f i U f V ????== 是X 的开集，所以f 连续。 Ex3 若:f X Y →是同胚映射， A X ?，则|:f A A Y →是嵌入映射。 证 只需证|:()f A A f A →是同胚映射，而|f A 一一显然，|f A 跟它的逆映射的连续性由上题可以得到。 Ex7 设:f X Y →是满的连续映射，其中X 是可分的。证明Y 也是可分的。 证 因X 是可分的，故存在X 的可数稠密子集A ，有A X =。而f 是满的连续映射，由第1题的（2）可知 ()()()f A f A f X Y ?== 于是Y 也是可分的。 P.29

点集拓扑学的基本概念

点集拓扑学 点集拓扑学（Point Set Topology），有时也被称为一般拓扑学（General Topology），是数学的拓扑学的一个分支。它研究拓扑空间以及定义在其上的数学结构的基本性质。这一分支起源于以下几个领域：对实数轴上点集的细致研究，流形的概念，度量空间的概念，以及早期的泛函分析。它的表述形式大概在1940年左右就已经成文化了。通过这种可以为所有数学分支适用的表述形式，点集拓扑学基本上抓住了所有的对连续性的直观认识。 具体地说，在点集拓扑学的定义和定理的证明中使用了一些基本术语，诸如： ?开集和闭集 ?开核和闭包 ?邻域和邻近性 ?紧致空间 ?连续函数 ?数列的极限，网络，以及滤子 ?分离公理 度量空间 在数学中，度量空间是一个集合，在其中可以定义在这个集合的元素之间的距离（叫做度量）的概念。 度量空间中最符合我们对于现实直观理解的是三维欧几里得空间。事实上，“度量”的概念就是对从欧几里得距离的四个周知的性质引发的欧几里得度量的推广。欧几里得度量定义了在两个点之间的距离为连接它们的直线的长度。 空间的几何性质依赖于所选择的度量，通过使用不同的度量我们可以构造有趣的非欧几里得几何，比如在广义相对论中用到的几何。 度量空间还引发拓扑性质如开集和闭集，这导致了对更抽象的拓扑空间的研究。 【性质】 度量空间是元组(M,d)，这里的M 是集合而 d 是在M 上的度量(metric)，就是函数 使得 ?d(x, y) ≥ 0 (非负性) ?d(x, y) = 0 当且仅当 x = y (不可区分者的同一性) ?d(x, y) = d(y, x) (对称性)

?d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) (三角不等式)。 函数d 也叫做“距离函数”或简单的叫做“距离”。经常对度量空间省略d 而只写M，如果在上下文中可明确使用了什么度量。不要求第二、第三或第四个条件分别导致伪度量空间、准度量空间或半度量空间的概念。 第一个条件实际上可以从其他三个得出: 2d(x, y) = d(x, y) + d(y, x) ≥ d(x,x) = 0. 它做为度量空间的性质更恰当一些，但是很多课本都把它包括在定义中。某些作者要求集合M 非空。 —作为拓扑空间的度量空间 把度量空间处理为拓扑空间相容得几乎都成为定义的一部分了。 对于任何度量空间M 中的点x，我们定义半径r (>0) 的关于x 的开球为集合 。 这些开球生成在M 上的拓扑，使它成为拓扑空间。明显的，M 的子集被称为开集，如果它是(有限或无限多)开球的并集。开集的补集被称为闭集。以这种方式从度量空间引发的拓扑空间叫做可度量化空间 因为度量空间是拓扑空间，在度量空间之间有连续函数的概念。这个定义等价于平常的连续性的ε-δ定义(它不提及拓扑)，并可以使用序列的极限直接定义。 开集 在拓扑学和相关的数学领域中，集合U被称为开集，如果在直觉上说，从U中任何一点x开始你可以在任何方向上稍微移动一下而仍处在集合U中。换句话说，在U中任何点x与U的边界之间的距离总是大于零。 例如，实数线上的由不等式规定的集合称为开区间，是开集。这时候的边界为实数轴上的点2和5，如由不等式，或者规定的区间由于包含其边界，因此不能称之为开集。 开集是指不包含自己边界点的集合。或者说，开集把它所包含的任何一点的充分小的邻域也包含在其自身之中。开集的概念一般与拓扑概念是紧密联系着的，通常先公理化开集，然后通过其定义边界的概念。

拓扑学课程大纲

《拓扑学》课程大纲 一、课程简介 课程名称：拓扑学学时/学分：3 先修课程：数学分析, 抽象代数 面向对象：理科班 教学目标：介绍拓扑学的基础概念和基础理论。希望通过这门课程的学习，培养学生抽象概括能力，空间想象能力，逻辑推理能力等，并为进一步学习现代数学打下必要的基础。 主要内容：拓扑空间及其几个重要性质, 同胚, 同伦, Euler数, 同伦群, 单纯同调, 奇异同调, 等等. 二、教学内容 第一章拓扑空间 主要内容：拓扑空间, 子空间拓扑, 拓扑基 第二章拓扑性质 主要内容：连通性, 紧致性, Hausdorff性质 第三章拓扑空间的构造 主要内容：同胚, 乘积空间, 商空间 第四章同伦 主要内容：同伦, 同伦等价, Brouwer不动点定理, 向量场 第五章Euler数 主要内容：单纯复形, Euler数, Euler数及曲面 第六章同伦群 主要内容：同伦群, 诱导同态, 基本群, 道路连通性, Van Kampen定理 第七章单纯同调 主要内容：Mod2系数单纯同调, 整系数单纯同调 第八章奇异同调 主要内容：奇异同调, 同调以及连续映射, 同伦不变性, 重心重分, Mayer-Vietoris序列

第九章拓扑空间的更多构造 主要内容：向量丛, 纤维丛 三、教学进度安排 四、课程考核及说明 20%为平时成绩（大作业等） 80%为考试成绩 五、教材与参考书 教材: Crossley, Martin D.Essential topology. Springer Undergraduate Mathematics Series. Springer-Verlag London, Ltd., London,2005.