2011年考研数一真题及答案解析
一、选择题
1、 曲线()()()()4
3
2
4321----=x x x x y 的拐点是( )
(A )(1,0) (B )(2,0) (C )(3,0) (D )(4,0)
【答案】C 【考点分析】本题考查拐点的判断。直接利用判断拐点的必要条件和第二充分条件即可。 【解析】由()()()()4
3
2
4321----=x x x x y 可知1,2,3,4分别是()()
()()
2
34
12340
y x x x x =----=的一、二、三、四重根,故由导数与原函数之间的关系可知(1)0y '≠,(2)(3)(4)0y y y '''===
(2)0y ''≠,(3)(4)0y y ''''==,(3)0,(4)0y y ''''''≠=,故(3,0)是一拐点。
2、 设数列{}n a 单调减少,0lim =∞
→n n a ,()∑===
n k k
n n a S 12,1ΛΛ无界,则幂级数()
1
1n
n
n a x ∞
=-∑的收敛域
为( ) (A ) (-1,1] (B ) [-1,1) (C ) [0,2) (D )(0,2]
【答案】C 【考点分析】本题考查幂级数的收敛域。主要涉及到收敛半径的计算和常数项级数收敛性的一些结论,综合性较强。 【解析】()∑===
n k k n n a S 12,1ΛΛ无界,说明幂级数()1
1n
n n a x ∞
=-∑的收敛半径1R ≤;
{}n a 单调减少,0lim =∞
→n
n a ,说明级数()1
1n
n n a ∞
=-∑收敛,可知幂级数()1
1n
n n a x ∞
=-∑的收敛半径1R ≥。
因此,幂级数
()
1
1n
n n a x ∞
=-∑的收敛半径1R =,收敛区间为()0,2。又由于0x =时幂级数收敛,2x =时
幂级数发散。可知收敛域为[)0,2。
3、 设 函数)(x f 具有二阶连续导数,且0)(>x f ,0)0(='f ,则函数)(ln )(y f x f z = 在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是( )
(A ) 0)0(1
)0(>''>f f , (B) 0)0(1)0(<''>f f , (C) 0)0(1
)0(>'' ,() ()() xy f x z f y f y ''''= ()ln ()xx z f x f y ''''=,2 2()()(()) () () yy f y f y f y z f x f y '''-''= 所以00 (0) (0)0(0) xy x y f z f f ==''' '= =,00 (0)ln (0)xx x y z f f ==''''=, 2 2 00 (0)(0)((0))(0)(0)(0) yy x y f f f z f f f =='''-'' ''== 要使得函数)(ln )(y f x f z =在点(0,0)处取得极小值,仅需 (0)ln (0)0f f ''>,(0)ln (0)(0)0f f f ''''?> 所以有0)0(1)0(>''>f f , 4、设4 440 ln sin ,ln cot ,ln cos I xdx J xdx K xdx π π π = ==? ??,则,,I J K 的大小关系是( ) (A )I J K << (B )I K J << (C )J I K << (D )K J I << 【答案】B 【考点分析】本题考查定积分的性质,直接将比较定积分的大小转化为比较对应的被积函数的大小即可。 【解析】(0, )4 x π ∈ 时,0sin cos cot 2 x x x << <<,因此lnsin lncos lncot x x x << 4 4 4 ln sin ln cos ln cot xdx xdx xdx π π π < < ? ? ? ,故选(B ) 5. 设A 为3阶矩阵,将A 的第二列加到第一列得矩阵B ,再交换B 的第二行与第一行得单位矩阵.记 1100110001P ????=??????,2100001010P ????=?? ???? ,则A =( ) (A )12P P (B )112P P - (C )21P P (D )1 21P P - 【答案】D 【考点分析】本题考查初等矩阵与初等变换的关系。直接应用相关定理的结论即可。 【解析】由初等矩阵与初等变换的关系知1AP B =,2P B E =, 所以1111 12121A BP P P P P ----===,故选(D ) 6、设()4321,,,ααααA =是4阶矩阵,* A 为A 的伴随矩阵,若()T 0,1,0,1是方程组0=x A 的一个基础解系, 则0=* x A 基础解系可为( ) (A) 31αα, (B) 21αα, (C) 321ααα,, (D) 432ααα,, 【答案】D 【考点分析】本题考查齐次线性方程组的基础解系,需要综合应用秩,伴随矩阵等方面的知识,有一定的灵活性。 【解析】由0=x A 的基础解系只有一个知()3r A =,所以()1r A * =,又由0A A A E *==知, 1234,,,αααα都是0=*x A 的解,且0=* x A 的极大线生无关组就是其基础解系,又 ()1234131100 ,,,01100A αααααα???? ? ? ? ?==+= ? ? ? ????? ,所以13,αα线性相关,故124ααα,,或432ααα,,为极大无关组,故应选(D ) 7、设()()12,F x F x 为两个分布函数,其相应的概率密度()()12,f x f x 是连续函数,则必为概率密度的是( ) (A )()()12f x f x (B )()()212f x F x (C )()()12f x F x (D )()()()()1221f x F x f x F x + 【答案】D 【考点分析】本题考查连续型随机变量概率密度的性质。 【解析】检验概率密度的性质:()()()()12210f x F x f x F x +≥; ()()()()()()1221121f x F x f x F x dx F x F x +∞ +∞ -∞-∞ +==? 。可知()()()()1221f x F x f x F x +为概率密度,故 选(D )。 8、设随机变量X 与Y 相互独立,且EX 与EY 存在,记{}y x U ,m ax =,{}y x V ,m in =,则=)(UV E ( ) (A) V U E E (B) EXEY (C) EY E U (D) V EXE 【答案】B 【考点分析】本题考查随机变量数字特征的运算性质。计算时需要先对随机变量UV 进行处理,有一定的灵活性。 【解析】由于max{,}min{,}UV X Y X Y XY == 可知()(max{,}min{,})()()()E UV E X Y X Y E XY E X E Y === 故应选(B ) 二、填空题 9、曲线? ??? ? ? ≤≤= x x tdt y 0 40tan π的弧长s = 【答案】14 π - 【考点分析】本题考查曲线弧长的计算,直接代公式即可。 【解析】()2 4 4 4 '2 2 40 tan sec 1tan 14 s y dx xdx x dx x x π π π π π = = = -=-=-? ? ? 10、微分方程x e y y x cos -=+'满足条件0)0(=y 的解为=y 【答案】sin x y xe -= 【考点分析】本题考查一阶线性微分方程的求解。先按一阶线性微分方程的求解步骤求出其通解,再根据定解条件,确定通解中的任意常数。 【解析】原方程的通解为 11[cos ][cos ][sin ]dx dx x x x y e e x e dx C e xdx C e x C ----??=?+=+=+?? 由0)0(=y ,得0C =,故所求解为sin x y xe -= 11、设函数()? +=xy dt t t y x F 0 21sin ,,则=??==2 02 2y x x F 【答案】4 【考点分析】本题考查偏导数的计算。 【解析】()() 2223 2222222cos 12sin sin ,11y xy x y xy xy F y xy F x x y x x y +-??==?+?+。故220 2 4x y F x ==?=?。 12、设L 是柱面方程22 1x y +=与平面z x y =+的交线,从z 轴正向往z 轴负向看去为逆时针方向,则曲线积分 2 2 L y xzdx xdy dz ++=? ? 【答案】π 【考点分析】本题考查第二类曲线积分的计算。首先将曲线写成参数方程的形式,再代入相应的计算公式计算即可。 【解析】曲线L 的参数方程为cos sin cos sin x t y t z t t =?? =??=+? ,其中t 从0到2π。因此 2 220 23222 2 sin cos (cos sin )(sin )cos cos (cos sin )2sin cos sin sin cos cos 22L y xzdx xdy dz t t t t t t t t t dt t t t t t t dt π π π ++=+-++-=--+-=? ?? ? 13、若二次曲面的方程为222 32224x y z axy xz yz +++++=,经正交变换化为221144y z +=,则a = 【答案】1- 【考点分析】本题考查二次型在正交变换下的标准型的相关知识。题目中的条件相当于告诉了二次型的特征值,通过特征值的相关性质可以解出a 。 【解析】本题等价于将二次型2 2 2 (,,)3222f x y z x y z axy xz yz =+++++经正交变换后化为了 22114f y z =+。由正交变换的特点可知,该二次型的特征值为1,4,0。 该二次型的矩阵为1131111a A a ?? ?= ? ??? ,可知2 210A a a =---=,因此1a =-。 14、设二维随机变量(,)X Y 服从2 2 (,;,;0)N μμσσ,则2 ()E XY = 【答案】3 2 μμσ+ 【考点分析】:本题考查二维正态分布的性质。 【解析】:由于0ρ=,由二维正态分布的性质可知随机变量,X Y 独立。因此2 2 ()E XY EX EY =?。 由于(,)X Y 服从2 2 (,;,;0)N μμσσ,可知()2 222 ,EX EY DY EY μμσ==+=+,则 ()22232()E XY μμσμμσ=+=+。 三、解答题 15、(本题满分10分)求极限1 1 0ln(1)lim x e x x x -→+?? ??? 【答案】1 2 e - 【考点分析】:本题考查极限的计算,属于1∞ 形式的极限。计算时先按1∞ 未定式的计算方法将极限式变形,再综合利用等价无穷小替换、洛必达法则等方法进行计算。 【解析】:11 11 00ln(1)ln(1)lim lim 1x x e e x x x x x x x --→→++-????=+ ? ?????2 001 1 1ln(1)ln(1)1lim lim lim 1 2x x x x x x x x x x e x x e e e →→→-+-+-+-=== 01lim 2(1)2 x x x x e e →-- +== 16、(本题满分9分)设(,())z f xy yg x =,其中函数f 具有二阶连续偏导数,函数()g x 可导,且在1 x =处取得极值(1)1g =,求21,1 z x y x y ?==?? 【答案】'' 1,11,2(1,1)(1,1)f f + 【考点分析】:本题综合考查偏导数的计算和二元函数取极值的条件,主要考查考生的计算能力,计算量较大。 【解析】: '''12(,())(,())()z f xy y g x y f xy yg x yg x x ?=+? 2'' '1,11,21''''''2,12,22(,())(,())()(,())(,())()(,())()()(,())() z f xy yg x xy f xy yg x yg x f xy yg x x x y f xy y g x xyg x f xy yg x yg x g x f xy yg x g x ?=++??+++ 由于()g x 在1x =处取得极值(1)1g =,可知' (1)0g =。 故 2'' '1,11,21''''''2,12,22''1,11,2(1,(1))(1,(1))(1)(1,(1)) 1,1 (1,(1))(1)(1,(1))(1)(1)(1,(1))(1)(1,1)(1,1) z f g f g g f g x y x y f g g f g g g f g g f f ?=++==??+++=+ 17、(本题满分10分)求方程arctan 0k x x -=不同实根的个数,其中k 为参数 【答案】1k ≤时,方程arctan 0k x x -=只有一个实根 1k >时,方程arctan 0k x x -=有两个实根 【考点分析】:本题考查方程组根的讨论,主要用到函数单调性以及闭区间上连续函数的性质。解题时,首先通过求导数得到函数的单调区间,再在每个单调区间上检验是否满足零点存在定理的条件。 【解析】:令()arctan f x k x x =-,则(0)0f =,2 22 1()111k k x f x x x --'=-=++, (1) 当1k <时,()0f x '<,()f x 在(,)-∞+∞单调递减,故此时()f x 的图像与x 轴与只有一个交点,也即方程arctan 0k x x -=只有一个实根 (2) 1k =时,在(,0)-∞和(0,)+∞上都有()0f x '<,所以()f x 在(,0)-∞和(0,)+∞是严格的单调递 减,又(0)0f =,故()f x 的图像在(,0)-∞和(0,)+∞与x 轴均无交点 (3) 1k >时, x <<()0f x '>,()f x 在(上单调增加,又(0)0f = 知,()f x 在(上只有一个实根,又()f x (,-∞或)+∞都有()0f x '<, ()f x 在(,-∞或)+∞都单调减,又(0,lim ()x f f x →-∞ <=+∞, 0,lim ()x f f x →+∞ >=-∞,所以()f x 在(,-∞与x 轴无交点,在)+∞上与x 轴有一 个交点 综上所述:1k ≤时,方程arctan 0k x x -=只有一个实根 1k >时,方程arctan 0k x x -=有两个实根 18、(本题满分10分)证明:(1)对任意正整数n ,都有111ln(1)1n n n <+<+ (2)设11 1ln (1,2,)2n a n n n =+ ++-=L L ,证明数列{}n a 收敛 【考点分析】:本题考查不等式的证明和数列收敛性的证明,难度较大。(1)要证明该不等式,可以将其转化为函数不等式,再利用单调性进行证明;(2)证明收敛性时要用到单调有界收敛定理,注意应用(1)的结论。 【解析】:(1)令 1x n =,则原不等式可化为ln(1),01 x x x x x <+<>+。 先证明ln(1),0x x x +<>: 令()ln(1)f x x x =-+。由于' 1 ()10,01f x x x =- >>+,可知()f x 在[)0,+∞上单调递增。又由于(0)0f =,因此当0x >时,()(0)0f x f >=。也即ln(1),0x x x +<>。 再证明 ln(1),01 x x x x <+>+: 令()ln(1)1 x g x x x =+- +。由于' 2 11()0,01(1)g x x x x =->>++,可知()g x 在[)0,+∞上单调递增。由 于(0)0g =,因此当0x >时,()(0)0g x g >=。也即ln(1),01 x x x x <+>+。 因此,我们证明了 ln(1),01 x x x x x <+<>+。再令由于,即可得到所需证明的不等式。 (2)111 ln(1)1n n a a n n +-=-++,由不等式 11ln(1)1n n <++可知:数列{}n a 单调递减。 又由不等式11 ln(1)n n +<可知: 1111 1ln ln(11)ln(1)...ln(1)ln ln(1)ln 022n a n n n n n n =+++->++++++-=+->L 。 因此数列{}n a 是有界的。故由单调有界收敛定理可知:数列{}n a 收敛。 19、(本题满分11分)已知函数(,)f x y 具有二阶连续偏导数,且(1,)0,(,1)0f y f x ==, (,)D f x y dxdy a =??,其中{(,)|01,01}D x y x y =≤≤≤≤,计算二重积分(,)xy D I xyf x y dxdy ''=?? 【答案】:a 【考点分析】:本题考查二重积分的计算。计算中主要利用分部积分法将需要计算的积分式化为已知的积分式,出题形式较为新颖,有一定的难度。 【解析】:将二重积分 (,)xy D xyf x y dxdy ''??转化为累次积分可得 11 (,)(,)xy xy D xyf x y dxdy dy xyf x y dx ''''=???? 首先考虑 1 (,)xy xyf x y dx ''?,注意这是是把变量y 看做常数的,故有 1 1 1 1 1 (,)(,)(,)(,)(1,)(,)xy y y y y y xyf x y dx y xdf x y xyf x y yf x y dx yf y yf x y dx '''''''==- =- ? ? ? ? 由(1,)(,1)0f y f x ==易知'' (1,)(,1)0y x f y f x ==。 故 11 (,)(,)xy y xyf x y dx yf x y dx '''=-??。 11 11 (,)(,)(,)xy xy y D xyf x y dxdy dy xyf x y dx dy yf x y dx '''''= =- ?? ?? ?? 对该积分交换积分次序可得:1 1 1 1 (,)(,)y y dy yf x y dx dx yf x y dy ''- =-???? 再考虑积分 1 (,)y yf x y dy '?,注意这里是把变量x 看做常数的,故有 1 11 1 1 (,)(,)(,)(,)(,)y yf x y dy ydf x y yf x y f x y dy f x y dy '= =-=- ? ?? ? 因此 1111 (,)(,)(,)(,)xy y D D xyf x y dxdy dx yf x y dy dx f x y dy f x y dxdy a '''=-== =?????? ?? 20、(本题满分11分)()()()1231,0,1,0,1,1,1,3,5T T T ααα===不能由 ()()()1231,,1,1,2,3,1,3,5T T T a βββ===线性表出。①求a ;②将123,,βββ由123,,ααα线性表出。 【答案】:①5a =;②()32 1 βββ()???? ? ??--=201102451232 1ααα 【考点分析】:本题考查向量的线性表出,需要用到秩以及线性方程组的相关概念,解题时注意把线性表出与线性方程组的解结合起来。 【解析】:① 由于321,,ααα不能由321,,βββ表示 可知053142 13 11321=-==a a βββ,解得5=a ②本题等价于求三阶矩阵C 使得()()123123,,,,C βββααα= 可知()()1 1123123101113,,,,013124115135C αααβββ--???? ? ? == ? ? ? ????? 计算可得2154210102C ?? ? = ? ?--?? 因此()32 1 βββ()???? ? ??--=201102451232 1ααα 21、(本题满分11分)A 为三阶实矩阵,()2R A =,且111100001111A -???? ? ? = ? ? ? ?-???? (1)求A 的特征值与特征向量(2)求A 【答案】:(1)A 的特征值分别为1,-1,0,对应的特征向量分别为????? ??101,????? ??101-,??? ?? ??010 (2)001000100A ???? =?????? 【考点分析】:实对称矩阵的特征值与特征向量,解题时注意应用实对称矩阵的特殊性质。 【解析】:(1)????? ??=????? ??101--101-A ??? ? ? ??=????? ??101101A 可知:1,-1均为A 的特征值,????? ??=1011ξ与??? ? ? ??=101-2ξ分别为它们的特征向量 2)(=A r ,可知0也是A 的特征值 而0的特征向量与1ξ,2ξ正交 设??? ?? ??=3213x x x ξ为0的特征向量 有???=+-=+00313 1x x x x 得? ??? ? ??=0103k ξ A 的特征值分别为1,-1,0 对应的特征向量分别为????? ??101,????? ??101-,??? ? ? ??010 (2)-1 PΛP A = 其中??????????-=011Λ,?? ????????-=011100011P 故1 110111000110011100110A ---????????????=-?????? ???????????? ??????? ? ????? ?? ?-??????????-??????????-=01 12102 121021 011011100011 ???? ? ?????=001000100 22. (本题满分11分) ()221P X Y == 求:(1)(),X Y 的分布; (2)Z XY =的分布; (3)XY ρ. 【答案】:(1) (2) (3)0XY ρ= 【考点分析】:本题考查二维离散型分布的分布律及相关数字特征的计算。其中,最主要的是第一问联合分布的计算。 【解析】:(1)由于() 221P X Y ==,因此() 220P X Y ≠=。 故()0,10P X Y ===,因此 ()()()()1,11,10,111/3P X Y P X Y P X Y P Y =====+===== 再由()1,00P X Y ===可知 ()()()()0,01,00,001/3P X Y P X Y P X Y P Y =====+===== 同样,由()0,10P X Y ==-=可知 ()()()()0,11,10,111/3P X Y P X Y P X Y P Y ==-===-+==-==-= 这样,我们就可以写出(),X Y 的联合分布如下: (2)可能的取值有,, 其中(1)(1,1)1/3P Z P X Y =-===-=,(1)(1,1)1/3P Z P X Y =====, 则有(0)1/3P Z ==。 因此,Z XY =的分布律为 (3)2/3EX =,0EY =,0,cov(,)0EXY X Y EXY EXEY ==-= 故0 XY ρ= = 23、(本题满分11分)设12,,,n x x x L 为来自正态总体2 0(,)N μσ的简单随机样本,其中0μ已知,20σ>未 知,x 和2S 分别表示样本均值和样本方差, (1)求参数2 σ的最大似然估计^ 2σ (2)计算^ 2 ()E σ和^ 2 ()D σ 【答案】:(1)2^2 01 ()n i i X n μσ=-= ∑ (2)4^^ 222 2(),()E D n σσσσ== 【考点分析】:本题考查参数估计和随机变量数字特征的计算,有一定的难度。在求2 σ的最大似然估计时,最重要的是要将2 σ看作一个整体。在求^ 2 σ的数学期望和方差时,则需要综合应用数字特征的各种运算性质和公式,难度较大。 【解析】: (1)似然函数( )222 00122221 1 ()()1 ,,,,exp 222n n i i n n n i i x x L x x x μμσ σσπσ==?? ??--=-=- ? ? ???? ? ∑ L 则22 2 0022 1 1 ()()1ln ln 2ln ln 2ln 2 2222 n n i i i i x x n n n L n μμπσπσσσ==--=---=---∑ ∑ ()2 02 2221 ()ln 1 22 n i i x L n μσσσ=-?=-+?∑ 令2 ln 0L σ ?=?可得2 σ的最大似然估计值2^ 201 ()n i i x n μσ=-=∑ ,最大似然估计量2 ^ 2 01 ()n i i X n μσ=-=∑ (2)由随机变量数字特征的计算公式可得 2^2 2220010111 2^2220 0102 11()1()()()()11()()()n n i i i i n n i i i i X E E E X E X DX n n X D D D X D X n n n μσμμσμσμμ====??-== -=-==????????-==-=-?????? ∑∑ ∑∑ 由于( )2 100,X N μσ -:,由正态分布的性质可知 ()10 0,1X N μσ -:。因此()2 2 101X μχσ-?? ??? :, 由2χ的性质可知2 102X D μσ-??= ??? ,因此2410()2D X μσ-=,故4^ 2 2()D n σσ=。 P 2002数学(一)试卷 一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上) (1) ? ∞+e x x dx 2ln = _____________. (2)已知2e 610y xy x ++-=,则(0)y ''=_____________. (3)02='+''y y y 满足初始条件1 (0)1,(0)2 y y '== 的特解是_____________. (4)已知实二次型3231212 32221321444)(),,(x x x x x x x x x a x x x f +++++=经正交变换可化为标准型216y f =,则 a =_____________. (5)设随机变量),(~2σμN X ,且二次方程042=++X y y 无实根的概率为0.5,则μ=_____________. 二、选择题(每小题3分.) (1)考虑二元函数),(y x f 的四条性质: ①),(y x f 在点),(00y x 处连续, ②),(y x f 在点),(00y x 处的一阶偏导数连续, ③),(y x f 在点),(00y x 处可微, ④),(y x f 在点),(00y x 处的一阶偏导数存在. 则有: (A)②?③?① (B)③?②?① (C)③?④?① (D)③?①?④ (2)设0≠n u ,且1lim =∞→n n u n ,则级数)11 ()1(11+++ -∑n n n u u 为 (A)发散 (B)绝对收敛 (C)条件收敛 (D)收敛性不能判定. (3)设函数)(x f 在+ R 上有界且可导,则 (A)当0)(lim =+∞ →x f x 时,必有0)(lim ='+∞ →x f x (B)当)(lim x f x '+∞ →存在时,必有0)(lim ='+∞ →x f x (C) 当0)(lim 0=+ →x f x 时,必有0)(lim 0='+ →x f x (D) 当)(lim 0x f x '+ →存在时,必有0)(lim 0='+ →x f x . (4)设有三张不同平面,其方程为i i i i d z c y b x a =++(3,2,1=i )它们所组成的线性方程组的系数矩阵与增广矩阵的秩都为2,则这三张平面可能的位置关系为 (5)设X 和Y 是相互独立的连续型随机变量,它们的密度函数分别为)(x f X 和)(y f Y ,分布函数分别为)(x F X 和 )(y F Y ,则 (A))(x f X +)(y f Y 必为密度函数 (B) )(x f X )(y f Y 必为密度函数 2012年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题 选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上. (1)曲线 2 21 x x y x + = -渐近线的条数为() (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 (2)设函数 2 ()(1)(2) x x nx f x e e e n =--…(-) ,其中n为正整数,则 (0) f' =( ) (A) 1 (1)(1)! n n - -- (B) (1)(1)! n n -- (C) 1 (1)! n n - - (D) (1)! n n - (3)设函数 () f t 连续,则二次积分 2 2 2 02cos () d f r rdr π θ θ ?? =() (A ) 2 22 0 () dx x y dy + ? (B ) 2 22 0 () dx f x y dy + ? (C ) 2 22 0 1 () dx x y dy + ?? (D ) 2 22 0 1 () dx f x y dy + + ?? (4 )已知级数1 1 (1)n i nα ∞ = - ∑ 绝对收敛, 2 1 (1)n i nα ∞ - = - ∑ 条件收敛,则 α范围为() (A)0<α 1 2 ≤ (B) 1 2< α≤1 (C)1<α≤ 3 2(D) 3 2<α<2 (5)设 1234123400110,1,1,1 c c c c αααα-???????? ? ? ? ? ===-= ? ? ? ? ? ? ? ?????????其中1234c c c c ,,,为任意常数,则下列向量组线性相关的是( ) (A )123ααα,, (B )124ααα,, (C ) 134ααα,, (D ) 234ααα,, (6)设A 为3阶矩阵,P 为3阶可逆矩阵,且P-1AP=1 1 2?? ? ? ?? ?, 123=P ααα(,,),1223=Q αααα(+,,)则1 =Q AQ -() (A )1 2 1?? ? ? ??? (B )1 1 2?? ? ? ??? (C )212?? ? ? ?? ? (D )22 1?? ? ? ?? ? (7)设随机变量X 与Y 相互独立,且都服从区间(0,1)上的均匀分布,则+P X Y ≤2 2 {1} ( ) (A ) 1 4 (B ) 1 2 (C ) 8π (D ) 4 π (8)设1234X X X X ,,,为来自总体 N σσ>2 (1,)(0)的简单随机样本,则统计量 12 34|+-2| X X X X -的分布( ) (A ) N (0,1) (B ) (1) t (C ) 2 (1)χ (D ) (1,1) F 二、填空题:9~14小题,每小题4分,共24分,请将答案写在答题纸指定位置上. (9) 1 cos sin 4 lim (tan )x x x x π -→ 2011年考研数学二真题答案解析 2011年考研已经结束,以下是 2011年考研数学二真题答案解析,希望对考生有所帮助 2(111考研数学真题解析——数学二 2011年考研数学试题(数学一) 一、选择题 1、 曲线()()()()4 3 2 4321----=x x x x y 的拐点是( ) (A )(1,0) (B )(2,0) (C )(3,0) (D )(4,0) 【答案】C 【考点分析】本题考查拐点的判断。直接利用判断拐点的必要条件和第二充分条件即可。 【解析】由()()()()4 3 2 4321----=x x x x y 可知1,2,3,4分别是 ()()()()234 12340y x x x x =----=的一、二、三、四重根,故由导数与原函数之间的 关系可知(1)0y '≠,(2)(3)(4)0y y y '''=== (2)0y ''≠,(3)(4)0y y ''''==,(3)0,(4)0y y ''''''≠=,故(3,0)是一拐点。 2、 设数列{}n a 单调减少,0lim =∞ →n n a ,()∑=== n k k n n a S 1 2,1 无界,则幂级数 ()1 1n n n a x ∞ =-∑的收敛域为( ) (A ) (-1,1] (B ) [-1,1) (C ) [0,2) (D ) (0,2] 【答案】C 【考点分析】本题考查幂级数的收敛域。主要涉及到收敛半径的计算和常数项级数收敛性的一些结论,综合性较强。 【解析】()∑=== n k k n n a S 12,1 无界,说明幂级数()1 1n n n a x ∞ =-∑的收敛半径1R ≤; {}n a 单调减少,0lim =∞ →n n a ,说明级数()1 1n n n a ∞ =-∑收敛,可知幂级数()1 1n n n a x ∞ =-∑的收敛 半径1R ≥。 因此,幂级数 ()1 1n n n a x ∞ =-∑的收敛半径1R =,收敛区间为()0,2。又由于0x =时幂级数 收敛,2x =时幂级数发散。可知收敛域为[)0,2。 3、 设 函数)(x f 具有二阶连续导数,且0)(>x f ,0)0(='f ,则函数)(ln )(y f x f z = 2011年考研数学试题(数学一) 一、选择题 1、 曲线()()()() 4 3 2 4321----=x x x x y 的拐点是( ) (A )(1,0) (B )(2,0) (C )(3,0) (D )(4,0) 【答案】C 【考点分析】本题考查拐点的判断。直接利用判断拐点的必要条件和第二充分条件即可。 【解析】由()()()()4324321----=x x x x y 可知1,2,3,4分别是 ()()()()2 3 4 12340y x x x x =----=的一、二、三、四重根,故由导数与原函 数之间的关系可知(1)0y '≠,(2)(3)(4)0y y y '''=== (2)0y ''≠,(3)(4)0y y ''''==,(3)0,(4)0y y ''''''≠=,故(3,0)是一拐点。 2、 设数列{}n a 单调减少,0lim =∞ →n n a ,()∑=== n k k n n a S 1 2,1ΛΛ无界,则幂级数 ()1 1n n n a x ∞ =-∑的收敛域为( ) (A ) (-1,1] (B ) [-1,1) (C ) [0,2) (D )(0,2] 【答案】C 【考点分析】本题考查幂级数的收敛域。主要涉及到收敛半径的计算和常数项级数收敛性的一些结论,综合性较强。 【解析】()∑===n k k n n a S 12,1ΛΛ无界,说明幂级数()1 1n n n a x ∞ =-∑的收敛半径 1R ≤; {}n a 单调减少,0lim =∞ →n n a , 说明级数()1 1n n n a ∞ =-∑收敛,可知幂级数()1 1n n n a x ∞ =-∑的收敛半径1R ≥。 因此,幂级数()1 1n n n a x ∞ =-∑的收敛半径1R =,收敛区间为()0,2。又由于0 x = 2011考研数学一真题试卷 一选择题 1.曲线222)4()3()2)(1(----=x x x x y 拐点 A(1,0) B(2,0) C (3,0) D(4,0) 2设数列{}n a 单调递减,∑=∞→?===n k k n n n n a S a 1,2,1(,0lim )无界,则幂级数∑=-n k n k x a 1)1(的收敛域 A (-1,1] B [-1,1) C[0,2) D (0,2] 3.设函数)(x f 具有二阶连续导数,且0)0(,0)(>'>f x f ,则函数)(ln )(y f x f z =在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件 A 0)0(,1)0(>''>f f B 0)0(,1)0(<''>f f C 0)0(,1)0(>'' n ∑a (x -1) ? ? ? ? 1 2 2 1 0 0 2011 年考研数学一试题 一、选择题:1~8 小题,每小题 4 分,共 32 分,下列每题给出的 四个选项中,只有一个选项符合题目要求,请将所选项前的字母填在答.题.纸. 指定位置上. (1) 曲线 y = (x -1)(x - 2)2 (x - 3)3(x - 4)4 的拐点是( ) (A) (1, 0) . (B) (2, 0) . (C) (3, 0) . (D) (4, 0) . (2) 设数列{a n } 单调减少, lim a n = 0 , S n = ∑a k (n = 1, 2, 无界,则幂级数 n →∞ k =1 ∞ n 的收敛域为( ) n =1 (A) (-1,1] . (B) [-1,1) . (C) [0, 2) . (D) (0, 2] . (3) 设函数 f (x ) 具 有 二 阶 连 续 导 数 , 且 f (x ) > 0 , f '(0) = 0 , 则 函 数 z = f (x ) l n f ( y ) 在点(0, 0) 处取得极小值的一个充分条件是( ) (A) f (0) > 1, f ''(0) > 0 . (B) f (0) > 1, f ''(0) < 0 . (C) f (0) < 1, f ''(0) > 0 . (D) f (0) < 1, f ''(0) < 0 . π π π (4) 设 I = ? 4 ln sin xdx , J = ? 4 ln cot xdx , K = ? 4 ln cos xdx ,则 I , J , K 的大 小关系是( ) (A) I < J < K . (B) I < K < J . (C) J < I < K . (D) K < J < I . (5) 设 A 为 3 阶矩阵,将 A 的第 2 列加到第 1 列得矩阵 B ,再交换 B 的第 2 行与第 3 ? 1 0 0 ? 行得单位矩阵,记 P = 1 1 0 ? , P ? 1 0 0 ? = 0 0 1 ? ,则 A = ( ) 1 ? 0 0 1 ? 2 ? 0 1 0 ? (A) P 1P 2 . (B) P -1 P . (C) P 2 P 1 . (D) P P -1 . (6) 设 A = (α ,α ,α ,α ) 是 4 阶矩阵, A * 为 A 的伴随矩阵,若(1, 0,1, 0)T 是方程组 1 2 3 4 ) n 2011年考研数一真题及答案解析 一、选择题 1、 曲线()()()()4 3 2 4321----=x x x x y 的拐点是( ) (A )(1,0) (B )(2,0) (C )(3,0) (D )(4,0) 【答案】C 【考点分析】本题考查拐点的判断。直接利用判断拐点的必要条件和第二充分条件即可。 【解析】由()()()()4 3 2 4321----=x x x x y 可知1,2,3,4分别是()() ()() 2 34 12340 y x x x x =----=的一、二、三、四重根,故由导数与原函数之间的关系可知(1)0y '≠,(2)(3)(4)0y y y '''=== (2)0y ''≠,(3)(4)0y y ''''==,(3)0,(4)0y y ''''''≠=,故(3,0)是一拐点。 2、 设数列{}n a 单调减少,0lim =∞ →n n a ,()∑=== n k k n n a S 12,1ΛΛ无界,则幂级数() 1 1n n n a x ∞ =-∑的收敛域 为( ) (A ) (-1,1] (B ) [-1,1) (C ) [0,2) (D )(0,2] 【答案】C 【考点分析】本题考查幂级数的收敛域。主要涉及到收敛半径的计算和常数项级数收敛性的一些结论,综合性较强。 【解析】()∑=== n k k n n a S 12,1ΛΛ无界,说明幂级数()1 1n n n a x ∞ =-∑的收敛半径1R ≤; {}n a 单调减少,0lim =∞ →n n a ,说明级数()1 1n n n a ∞ =-∑收敛,可知幂级数()1 1n n n a x ∞ =-∑的收敛半径1R ≥。 因此,幂级数 () 1 1n n n a x ∞ =-∑的收敛半径1R =,收敛区间为()0,2。又由于0x =时幂级数收敛,2x =时 幂级数发散。可知收敛域为[)0,2。 3、 设 函数)(x f 具有二阶连续导数,且0)(>x f ,0)0(='f ,则函数)(ln )(y f x f z = 在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是( ) (A ) 0)0(1 )0(>''>f f , (B) 0)0(1)0(<''>f f , (C) 0)0(1 )0(>'' 2011年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题 一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求,请将所选项前的字母填在答题纸...指定位置上. (1) 已知当0x →时,()3sin sin3f x x x =-与k cx 是等价无穷小,则 ( ) (A ) k=1, c =4 (B ) k=1,c =-4 (C ) k=3,c =4 (D ) k=3,c =-4 (2) 已知函数()f x 在x =0处可导,且()0f =0,则()() 233 2lim x x f x f x x →-= ( ) (A) -2()0f ' (B) -()0f ' (C) ()0f ' (D) 0. (3) 设{}n u 是数列,则下列命题正确的是 ( ) (A)若 1n n u ∞ =∑收敛,则 21 21()n n n u u ∞ -=+∑收敛 (B) 若2121()n n n u u ∞-=+∑收敛,则1n n u ∞ =∑收敛 (C) 若1 n n u ∞ =∑收敛,则 21 21 ()n n n u u ∞ -=-∑收敛 (D) 若2121 ()n n n u u ∞ -=-∑收敛,则1 n n u ∞ =∑收敛 (4) 设40 ln sin I x dx π= ? ,4 ln cot J x dx π =?,40 ln cos K x dx π =?,则,,I J K 的大小关 系是( ) (A) I J K << (B) I K J << (C) J I K << (D) K J I << (5) 设A 为3阶矩阵,将A 的第二列加到第一列得矩阵B ,再交换B 的第二行与第三行得 单位矩阵,记1100110001P ?? ?= ? ???,2100001010P ?? ? = ? ??? ,则A = ( ) (A) 12P P (B) 112P P - (C) 21P P (D) 1 21-P P (6) 设A 为43?矩阵, 123,,ηηη是非齐次线性方程组Ax β=的3个线性无关的解,12,k k 为任意常数,则Ax β=的通解为( ) (A) 23 121()2 k ηηηη++- (B) 23 121()2 k ηηηη-+- 2011年硕士研究生入学统一考试数学一试题完整版 附答案分析及详解 一、选择题 1、 曲线()()()()4 324321----=x x x x y 的拐点是( ) (A )(1,0) (B )(2,0) (C )(3,0) (D )(4,0) 【答案】C 【考点分析】本题考查拐点的判断。直接利用判断拐点的必要条件和第二充分条件即可。 【解析】由()()()()4 324321----=x x x x y 可知1,2,3,4分别是()()()()23412340y x x x x =----=的一、二、三、四重根,故由导数与原函数之间的关系可知(1)0y '≠,(2)(3)(4)0y y y '''=== (2)0y ''≠,(3)(4)0y y ''''==,(3)0,(4)0y y ''''''≠=,故(3,0)是一拐点。 2、 设数列{}n a 单调减少,0lim =∞→n n a ,()∑===n k k n n a S 12,1ΛΛ无界,则幂级数()11n n n a x ∞=-∑的收敛域为( ) (A ) (-1,1] (B ) [-1,1) (C ) [0, 2) (D )(0,2] 【答案】C 【考点分析】本题考查幂级数的收敛域。主要涉及到收敛半径的计算和常数项级数收敛性的一些结论,综合性较强。 【解析】()∑===n k k n n a S 12,1ΛΛ无界,说明幂级数()1 1n n n a x ∞ =-∑的收敛半径1R ≤; {}n a 单调减少,0lim =∞ →n n a ,说明级数()11n n n a ∞=-∑收敛,可知幂级数()11n n n a x ∞=-∑的收敛半径1R ≥。 因此,幂级数()11n n n a x ∞=-∑的收敛半径1R =,收敛区间为()0,2。又由于0x =时 2011年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题 一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求,请将所选项前的字母填在答题纸... 指定位置上. (1) 曲线234 (1)(2)(3)(4)y x x x x =----的拐点是( ) (A) (1,0). (B) (2,0). (C) (3,0). (D) (4,0). (2) 设数列{}n a 单调减少,lim 0n n a →∞ =,1 (1,2,)n n k k S a n == =∑ 无界,则幂级数 1 (1) n n n a x ∞ =-∑的收敛域为( ) (A) (1,1]-. (B) [1,1)-. (C) [0,2). (D) (0,2]. (3) 设函数()f x 具有二阶连续导数,且()0f x >,(0)0f '=,则函数 ()ln ()z f x f y =在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是( ) (A) (0)1f >,(0)0f ''>. (B) (0)1f >,(0)0f ''<. (C) (0)1f <,(0)0f ''>. (D) (0)1f <,(0)0f ''<. (4) 设40 ln sin I x dx π = ? ,4 ln cot J x dx π =?,40 ln cos K x dx π =?,则,,I J K 的大 小关系是( ) (A) I J K <<. (B) I K J <<. (C) J I K <<. (D) K J I <<. (5) 设A 为3阶矩阵,将A 的第2列加到第1列得矩阵B ,再交换B 的第2行与第3 行得单位矩阵,记11001 10001P ?? ?= ? ???,2100001010P ?? ? = ? ??? ,则A =( ) (A) 12P P . (B) 112P P -. (C) 21P P . (D) 1 21P P -. (6) 设1234(,,,)A αααα=是4阶矩阵,*A 为A 的伴随矩阵,若(1,0,1,0)T 是方程组 0Ax =的一个基础解系,则*0A x =的基础解系可为( ) (A) 13,αα. (B) 12,αα. (C) 123,,ααα. (D) 234,,ααα. 2008-2019年考研数学一 真题答案及解析 目录 2019年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 (2) 2018年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 (6) 2017年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 (10) 2016年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 (14) 2015年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 (18) 2014年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 (21) 2013年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 (25) 2012年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 (29) 2011年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 (34) 2010年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 (38) 2009年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 (42) 2008年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 (46) 1 2 2019年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)试卷 一、选择题:1~8小题,每小题4分,共32分,下列每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的,请将所选项前的字母填在答案纸指定位置上。 (1)当0x →时,若tan x x -与k x 是同阶无穷小,则k = (A )1. (B )2. (C )3. (D )4. (2)设函数(),0, ln ,0,x x x f x x x x ?≤?=?>??则0x =是()f x 的 A.可导点,极值点. B.不可导点,极值点. C.可导点,非极值点. D.不可导点,非极值点. (3)设{}n u 是单调递增的有界数列,则下列级数中收敛的是 A.1m n n u n =∑ B.() 1 11m n n n u =-∑ C.111m n n n u u =+??- ?? ?∑ D.()22 11 m n n n u u +=-∑ (4)设函数()2,x Q x y y = .如果对上半平面()0y >内的任意有向光滑封闭曲线C 都有()(),,0C P x y dx Q x y dy +=??,那么函数(),P x y 可取为 A.2 3x y y -. B.231x y y -. C.11x y -. D.1x y - . (5)设A 是3阶实对称矩阵,E 是3 阶单位矩阵。若22A A E +=,且4A =,则二次型T x Ax 的规范形为 A.222123y y y ++. B.222 123y y y +- C.222123y y y -- D.222123y y y --- (6)如图所示,有3张平面两两相交,交线相互平行,他们的方程()1231,2,3i i i i a x a y a z d i +++= 组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为,A A ,则 A.()()2,3r A r A == B.()() 2,2r A r A == C.()()1,2r A r A == D.()() 1,1r A r A == 2011年考研数学三真题一、选择题(18小题,每小题4分,共32分。下列媒体给出的四个选项中,只有一个选项是符合题目要求的。) (1)已知当时,与是等价无穷小,则 (A)(B) (C)(D) 【答案】C。 【解析】 【方法一】 (洛必达法则) (洛必达法则) () 由此得。 【方法二】 由泰勒公式知 则 故。 【方法三】 故 综上所述,本题正确答案是C。 【考点】高等数学—函数、极限、连续—无穷小量的性质及无穷小量的比较,极限的四则运算 高等数学—一元函数微分学—洛必达(L'Hospital)法则 (2)已知在处可导,且,则 (A)(B) (C)(D)0 【答案】B。 【解析】 【方法一】加项减项凑处导数定义 【方法二】拆项用导数定义 由于,由导数定义知 所以 【方法三】排除法:选择符合条件的具体函数,则 而对于,显然选项(A)(C)(D)都是错误的,故应选(B) 【方法四】由于在处可导,则 综上所述,本题正确答案是B。 【考点】高等数学—一元函数微分学—导数和微分的概念,导数 和微分的四则运算 (3)设是数列,则下列命题正确的是 (A)若收敛,则收敛。 (B)若收敛,则收敛。 (C)若收敛,则收敛。 (D)若收敛,则收敛。 【答案】A。 【解析】 若收敛,则该级数加括号后得到的级数仍收敛 综上所述,本题正确答案是A。 【考点】高等数学—无穷级数—级数的基本性质与收敛的必要条件 (4)设,则的大小 关系为 (A)(B) (C)(D) 【答案】B。 【解析】 同一区间上定积分的大小比较最常用的思想就是比较被积函数大小, 由于当时, 又因为为上的单调增函数,所以 2011年考研数学(三)真题及答案详解 一.选择题 1.已知当0x →时,函数()3sin sin3f x x x =-与k cx 是等价无穷小,则 (A ) 1,4k c == (B )1,4k c ==- (C ) 3,4k c == (D )3,4k c ==- 2.已知 ()f x 在0x =处可导,且()00f =,则()() 233 2lim x x f x f x x →-= (A )()' 20f - (B )()'0f - (C) ()'0f (D)0 3.设 {}n u 是数列,则下列命题正确的是 (A )若 1n n u ∞ =∑收敛,则 ()21 21 n n n u u ∞ -=+∑收敛 (B )若 ()21 21n n n u u ∞ -=+∑收敛,则1 n n u ∞ =∑收敛 (C )若 1n n u ∞ =∑收敛,则 ()21 21 n n n u u ∞ -=-∑收敛 (D )若 ()21 21 n n n u u ∞ -=-∑收敛,则1 n n u ∞ =∑收敛 4.设4440 ln sin ,ln cot ,ln cos I xdx J xdx K xdx ππ π ===???,则,,I J K 的大小关系是 (A )I J K << (B )I K J << (C )J I K << (D )K J I << 5.设A 为3阶矩阵,将A 的第二列加到第一列得矩阵B ,再交换B 的第二行与第一行得单位矩阵.记 1100110001P ????=?????? ,2100001010P ?? ??=? ?????,则A = (A )12P P (B )1 12P P - 2011年全国硕士研究生入学统一考试数学一 一、选择题 1.曲线222)4()3()2)(1(----=x x x x y 拐点 A (1,0) B (2,0) C (3,0) D (4,0) 2设数列{}n a 单调递减,∑=∞ →?===n k k n n n n a S a 1,2,1(,0lim )无界,则幂级数∑=-n k n k x a 1 ) 1(的收敛域 A(-1,1] B[-1,1) C[0,2) D(0,2] 3.设函数)(x f 具有二阶连续导数,且0)0(,0)(>'>f x f ,则函数 )(ln )(y f x f z =在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件 A 0)0(,1)0(>''>f f B 0)0(,1)0(<''>f f C 0)0(,1)0(>'' 3、设 函数f (x)具有二阶连续导数,且 f(x) 0, f (0) 0,则函数z f (x)ln f (y) 2011年考研数学试题(数学一) 、选择题 1、曲线y x 1 x 2 2 x 3 3 x 4 4的拐点是( ) (A ) (1, 0) (B ) (2, 0) ( C ( 3, 0) ( D ) (4, 0) 【答案】C 【考点分析】本题考查拐点的判断。直接利用判断拐点的必要条件和第二充分 条件即可。 【解析】由y x 1 x 2 2 x 3 3 x 4 4可知1,2,3,4分别是 2 3 4 y x 1 x 2 x 3 x 4 0的一、二、三、四重根,故由导数与原函数之间的 关系可知 y(1) 0,y (2) y (3) y (4) 0 y (2) 0, y (3) y (4) 0,y (3) 0,y ⑷ 0,故(3,0)是一 拐点。 2、设数列 a n 单调减少,lim n a n 0, S n n a k n 1,2 k 1 无界,则幕级数 a n x 1 n 的收敛域为( ) (A) (-1 , 1] (B ) [-1 ,1) (C ) [0,2) (D ) n 1 (0,2] 【答案】C 【考点分析】本题考查幕级数的收敛域。主要涉及到收敛半径的计算和常数项 级数收敛性的一些结论,综合性较强。 无界,说明幕级数 a n x 1 n 的收敛半径R 1 ; n 1 半径R 1。 因此,幕级数 a n x 1 n 的收敛半径 R n 1 收敛,x 2时幕级数发散。可知收敛域为 0,2。 n 【解析】S n a k n 1,2 k 1 a n 单调减少,lim a n n 0,说明级数 a n n 1 1 n 收敛,可知幕级数 a n x 1 n 的收敛 n 1 1,收敛区间为 0,2。又由于x 0时幕级数考研数学一历年真题(2002-2011)版)
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