线性代数复习题
若干公式
|A*|=|A|n-1, A*=A-1
|AT|=|A|
|lA|=ln|A|，AX=b 有解, AX=b 有唯一解
基本问题
lCh1计算行列式, 求逆矩阵，求解矩阵方程.
lCh2判断线性相关性, 求秩, 求最大无关组
lCh2解线性方程组(齐次的和非齐次的)
lCh3向量组的正交化
lCh4求特征值和特征向量
lCh4矩阵的对角化
lCh5二次型的正交标准化
lCh5二次型正定性的判断
一、 Ch1计算行列式
1.13 计算下列行列式
(2)
二、求逆矩阵
1.7利用初等行变换求下列矩阵的逆矩阵:
(1)
(2)求解X:;
三、 Ch2判断线性相关性
2.1 讨论下列向量组的线性相关性
(3)
四、 Ch2求秩, 求最大无关组
2.2 求下列矩阵的秩
(3)
补充: 最大无关组有
五、 Ch2解线性方程组(齐次的)
2.3 求解下列齐次线性方程组
(1) ;
(1) 对方程组的系数矩阵作行初等变换
得简化行阶梯形(Reduced row echelon form, RREF). 对应的同解方程组为,
方程组的解为
.
六、 Ch2解线性方程组(非齐次的)
2.5 求下列非齐次线性方程组的通解
(1)
对方程组的增广矩阵作行初等变换, 将之化为简化行阶梯形
立刻得到方程组的解
七、 Ch3向量组的正交化
3.5设试用施密特正交化方法把这组向量正交规范化.
正交化:
单位化:
八、 Ch4求特征值和特征向量
4.1求下列矩阵的特征值和特征向量
(3)
(3)解特征方程
得特征值.
对于特征值, 解齐次线性方程组. 其系数矩阵
,
可见特征向量为.
对于特征值, .
可见特征向量为(不全为0).
九、 Ch4矩阵的对角化
4.10将下列矩阵对角化, 并求, 使(为对角阵)
(1)
解特征方程
得特征值.
对于,, 得特征向量. 选.
对于,, 得特征向量 (k2, k3不全为0). 选..
令, 则有.
十、 Ch5二次型的正交标准化
5.3 用正交变换化下列二次型为标准形
(2)
二次型的矩阵为. 解特征方程
,
得的特征值,,.
对于特征值, , 取特征向量.
对于特征值, . 取特征向量.
对于特征值, . 取特征向量.
是正交的. 令
,
则是正交的. 作正交变换, 则给出的二次型化为标准形
.
十一、Ch5二次型正定性的判断
5.7判别下列二次型的正定性:
(1)
(2)
(1)二次型的矩阵的各阶主子式依次为
.
故二次型是负定的.
(2) 二次型的矩阵的各阶主子式依次为
.
故二次型是正定的.
若干联系
向量组构成矩阵
线性组合
向量能由向量组线性表示?有解?
向量组线性相关?有非零解?(=向量个数=未知数个数)
基础解系含个解向量.
部分定理
定理2.1若线性无关, 而线性相关. 则可以由线性表示.
定理2.2()线性相关的充要条件是至少有一个向量是其余向量的线性组合.
定理2.3m个行向量线性相关的充要条件是
定理2.4矩阵A的秩等于r的充要条件是A中有r个行向量线性无关，但任意r+１个行向量（如果存在）都线性相关。
定理2.5 设有向量组T，如果
(1)在T中有r个向量线性无关。
(2)T中任意一个向量都可以由向量组线性表示。
则是向量组T的一个最大无关组。
定理2.6齐次线性方程组（2.10），当其系数矩阵的秩时，只有唯一的零解；当时，有无穷多个解。
引理2.1设向量组可由向量组线性表示.如果,则线性相关.
定理2.7非齐次线性方程组（2.16）有解的充要条件是，他的系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相等。
定理2.8把非齐次线性方程组（2.16）的某个特解加到对应的齐次线性方程组（2.1）的每一个解向量上，就得到（2.16）的全部解向量。
基础解系含有n-r个解向量。
定理3.1对任意n 维向量χ和y ,恒有∣∣
定理3.2若n维向量组是正交向量组，则线性无关。
定理3.3设n维向量组线性无关，令
=
=－
=－－
=－－－…－
则得到的是正交向量组，且与等价。
上述定理3.3从线性无关组导出正交向量组的过程称为施密特(Schmidt)正交化过程。它不仅满足与等价，还满足:对任何，向量组与等价。
定理3.4（1）方阵A是正交矩阵充分必要条件为A的列向量组是标准正交向量组。
（2）方阵A是正交矩阵的充分必要条件为A的行向量组是标准正交向量组。
定理3.5正交变换不改变向量的内积，从而不改变向量的模、夹角和距离。
定理4.1阶方阵A与它的转置矩阵A-T有相同的特征值。
定理4.2 设阶方阵A 有互不相同的特征值，(λiE –A)χ= 0的基础解系为。则
；；……；线性无关。
定理4.3设n阶方阵A = ( a ij ) 的特征值为λ1 ,λ2 ,… ，λn ，则有
（1）λ1 +λ2 + … +λn = a11 + a22 + … + an n (4.9)
(2) λ1λ2 …λn = | A| (4.10)
定理4.4设A为n阶方阵，(A) = a0E + a1A + am Am ，若λ为A的特征值，则(λ) = a0 +
a1λ+… + am λm是(A)的特征值。
定理4.5 若n阶方阵A与B相似，则它们具有相同的特征多项式和特征值。
定理4.6 n阶矩阵A与n阶对角阵
相似的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。
P89定理4.6 阶矩阵与阶对角阵相似的充分必要条件是有个线性无关的特征向量.
P90定理4.6推论4.2 若阶矩阵有个相异的特征值, 则与对角阵相似.
P88性质4.2 若阶方阵与相似, 则(1), (2).
推论4.2 若n阶矩阵A有n个相异的特征值，则A与对角阵相似。
定理4.7n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是对于每一个重特征值对应着个线性无关的特征向量（证明略）。
定理4.8 实对称矩阵的特征值为实数。
定理4.9 设λ1、λ2是对称矩阵A的两个特征值，P1、P2是对应的特征向量。若λ1≠λ2，则P1与P2正交。
定理4.10若λi是实对称矩阵A的k重特征值，则存在k个属于λi的线性无关的特征向量（证明略）。
定理4.11设A为n阶实对称矩阵，则必有正交矩阵P，使
P -1AP = =
其中λ1,λ2,…, λn 是A的特征值。
定理5.1 任给可逆矩阵C，令B=CTAC，如果A为对称矩阵，则B亦为对称矩阵，且
R(B)=R(A)
定理5.2任给二次型f()=TA,总有正交变换=Py，使f化为标准形
f=λ1y12+λ2y22+…+λnyn2
其中为A的所有特征值。
定理5.3二次型f=TA可通过可逆线性变换 =Py化为标准形
f=c1y12+c2y22+…+cryr2且 r=R(A)
(ci≠0,i=1,2, …,r; r称为f的惯性指标)
定理5.4 （Sylvester定理）二次型f=TA通过可逆线性变换化成标准形后，系数为正的平方项的个数（称为二次型f或矩阵A的惯性指标）不变。
定理5.5 实二次型f=TA为正定的的充分必要条件是：它的标准形的n个系数全为正。
定理5.6若A是n阶实对称矩阵，则下列命题等价：
（1）TA是正定二次型（或A是正定矩阵）；
（2）A的正惯性指标为n。
（3）存在可逆阵P，使得A=PTP
（4）A的n个特征值全大于零。
定理5.7（1）对称矩阵A正定的充分必要条件是，A的各阶主子式都为正，即
>0,>0, …, >0
（2）对称矩阵A负定的充分必要条件是：奇数阶主子式为负，偶数阶主子式为正。即
>0 , (r=1,2, …,n)
这个定理称为霍尔维茨定理，这里不予证明。
Matlab部分函数名的义源
线性代数部分词汇英汉对照
线性代数期末考试试题
《线性代数》重点题 一． 单项选择题 1.设A 为3阶方阵，数 = 3，|A | =2，则 | A | =（ ）. A ．54； B ．-54； C ．6； D ．-6. 解. .54227)3(33-=?-=-==A A A λλ 所以填: B. 2、设A 为n 阶方阵，λ为实数，则|λA |=（ ） A 、λ|A |； B 、|λ||A |； C 、λn |A |； D 、|λ|n |A |. 解. |λA |=λn |A |.所以填: C. 3.设矩阵()1,2,12A B ?? ==- ??? 则AB =（ ）. 解. ().24121,221???? ??--=-???? ??=AB 所以填: D. A. 0； B. ()2,2-； C. 22?? ?-??； D. 2142-?? ?-?? . 4、123,,a a a 是3维列向量，矩阵123(,,)A a a a =.若|A |=4，则|-2A |=（ ）. A 、-32； B 、-4； C 、4； D 、32. 解. |-2A |=(-2)3A =-8?4=-32. 所以填: D. 5.以下结论正确的是（ ）. A .一个零向量一定线性无关； B .一个非零向量一定线性相关； C .含有零向量的向量组一定线性相关； D .不含零向量的向量组一定线性无关. 解. A .一个零向量一定线性无关；不对,应该是线性相关. B .一个非零向量一定线性相关；不对,应该是线性无关. C .含有零向量的向量组一定线性相关；对. D .不含零向量的向量组一定线性无关. 不对, 应该是:不能判断. 所以填: C. 6、 1234(1,1,0,0),(0,0,1,1),(1,0,1,0),(1,1,1,1),αααα====设则它的极 大无关组为( ) A 、 12,; αα B 、 123,, ;ααα C 、 124,, ;ααα D 、1234,, ,αααα
线性代数考试题库及答案(五)
线性代数考试题库及答案 一、单项选择题（共5小题，每题2分，共计10分） 1.在111 ()111111 x f x x x -+=-+-展开式中，2x 的系数为 （ ） (A) -1 (B) 0 (C) 1 (D) 2 2.A 是m ×n 矩阵，(),r A r B =是m 阶可逆矩阵，C 是m 阶不可逆矩阵，且 ()r C r <，则 （ ） (A) BAX O =的基础解系由n-m 个向量组成 (B) BAX O =的基础解系由n-r 个向量组成 (C) CAX O =的基础解系由n-m 个向量组成 (D) CAX O =的基础解系由n-r 个向量组成 3.设n 阶矩阵,A B 有共同的特征值，且各自有n 个线性无关的特征向量，则（ ） (A) A B = (B) ,0A B A B ≠-=但 (C) A B (D) A B 与不一定相似，但 A B = 4.设,,A B C 均为n 阶矩阵，且AB BC CA E ===，其中E 为n 阶单位阵，则 222A B C ++= （ ） (A) O (B) E (C) 2E (D) 3E 5．设1010,0203A B ???? == ? ????? ，则A B 与 （ ） (A)合同，且相似 (B)不合同，但相似 (C)合同，但不相似 （D ）既不合同，又不相似
二、填空题（共 二、填空题（共10小题，每题 2分，共计 20 分） 1．已知11 122 233 30a b c a b c m a b c =≠，则1111 22223333 232323a b c c a b c c a b c c ++=+ 。 2．设 1 010 2010 1A ?? ?= ? ?? ? ，若三阶矩阵Q 满足2,AQ E A Q +=+则Q 的第一行的行向量是 。 3．已知β为n 维单位列向量， T β为β的转置，若T C ββ= ，则 2C = 。 4．设12,αα分别是属于实对称矩阵A 的两个互异特征值12,λλ的特征向量，则 12T αα= 。 5．设A 是四阶矩阵，A * 为其伴随矩阵，12,αα是齐次方程组0AX =的两个线 性无关解，则()r A *= 。 6．向量组1 23(1,3,0,5,0),(0,2,4,6,0),(0,3,0,6,9)T T T ααα===的线性关系 是 。 7．已知三阶非零矩阵B 的每一列都是方程组1231231 23220 2030 x x x x x x x x x λ+-=?? -+=??+-=?的解，则 λ= 。 8．已知三维向量空间3R 的基底为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)T T T ααα===，则向量 (2,0,0)T β=在此基底下的坐标是 。 9．设21110012100,112004A a a ?? ?? ? ?== ? ? ? ????? 则 。 10．二次型2 2 2 123123121323(,,)222222f x x x x x x x x x x x x =++++-的秩为 。
线性代数B复习题(2012)
线性代数B 复习资料（2012） (一)单项选择题 1．设A ，B 为n 阶方阵，且()E AB =2 ，则下列各式中可能不成立的是（ A ） (A )1-=B A (B)1-=B ABA (C)1-=A BAB (D)E BA =2 )( 2．若由AB=AC 必能推出B=C （A ，B ，C 均为n 阶矩阵）则A 必须满足（ C ） (A)A ≠O (B)A=O (C )0≠A (D) 0≠AB 3．A 为n 阶方阵，若存在n 阶方阵B ，使AB=BA=A ，则（ D ） (A) B 为单位矩阵 (B) B 为零方阵 (C) A B =-1 (D ) 不一定 4．设A 为n ×n 阶矩阵，如果r(A) 线性代数期末考试试卷 答案合集 文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08] ×××大学线性代数期末考试题 一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。 4．矩阵??? ? ? ??=3231 2221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5．n 阶方阵A 满足032=--E A A ，则=-1A 。 二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（ ） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ ） 3. 向量组m a a a ，， ， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。（ ） 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ，则A A =-1。（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1-A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2 分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。 ① n 2 ② 12-n ③ 12+n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，， ， 21（3 s n ）线性无关的充要条件是（ ）。 ① s ααα，， ， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，， ， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，， ， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 ④ s ααα，， ， 21中不含零向量 3. 下列命题中正确的是( )。 ① 任意n 个1+n 维向量线性相关 ② 任意n 个1+n 维向量线性无关 ③ 任意1+n 个n 维向量线性相关 ④ 任意1+n 个n 维向量线性无关 4. 设A ，B 均为n 阶方阵，下面结论正确的是( )。 ① 若A ，B 均可逆，则B A +可逆 ② 若A ，B 均可逆，则 A B 可逆 ③ 若B A +可逆，则 B A -可逆 ④ 若B A +可逆， 则 A ，B 均可逆 5. 若4321νννν，，，是线性方程组0=X A 的基础解系，则4321νννν+++是0=X A 的（ ） ① 解向量 ② 基础解系 ③ 通解 ④ A 的行向量 四、计算题 ( 每小题9分，共63分) 1. 计算行列式 x a b c d a x b c d a b x c d a b c x d ++++。 《 线性代数复习提纲及复习题 》 理解或掌握如下内容： 第一章 n 阶行列式 .行列式的定义，排列的逆系数，行列式性质，代数余子式， 行列式的计算，三角化法及降阶法，克莱姆法则。 第二章 矩阵及其运算 矩阵的线性运算，初等变换与初等矩阵的定义，方阵的逆矩阵定义及性质 方阵的逆矩阵存在的充要条件，用初等变换求逆矩阵，矩阵方程的解法，矩阵的秩的定义及求法；齐次线性方程组只有零解、有非零解的充要条件，；非齐次线性方程组有解的充要条件，解的判定。 第三章 线性方程组 ｎ维向量的线性运算，向量组线性相关性的定义及证明，向量空间，向量组的极大线性无关组、秩； 齐次线性方程组的基础解系，解的结构，方程组求解；非齐次线性方程组解的结构，用初等变换解方程组，增广矩阵含有字母元素的方程组的求解。 复习题： 一、填空 （1）五阶行列式的项5441352213a a a a a 前的符号为 负 ； （2）设)3,3,2(2),3,3,1(-=+-=-βαβα，则α= （1，0，0） ； （3）设向量组γβα,,线性无关，则向量组γβαβα2,,+-线性 无关 ； （4）设* A 为四阶方阵A 的伴随矩阵，且*A =8，则12)(2-A = 4 ； （5）线性方程组054321=++++x x x x x 的解空间的维数是 4 ； （6）设???? ? ??=k k A 4702031，且0=T A 则k = 0或6 ； （7）n 元齐次线性方程组0=Ax 的系数矩阵A 的秩r(A)秩是r,则其解空间的维数是 n-r ； （8）的解的情况是：方程组b Ax b A R A R 2),,()3(== 有解 ； （9）方阵A 的行向量组线性无关是A 可逆的 充要 条件； 线性代数期末考试题一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题 5 分，共 25 分） 1 3 1 1.若0 5 x 0 ，则__________。 1 2 2 x1 x2 x3 0 2．若齐次线性方程组x1 x2 x3 0 只有零解，则应满足。 x1x2x30 3．已知矩阵 A，B，C (c ij )s n，满足 AC CB ，则 A 与 B 分别是阶矩阵。 4．已知矩阵A 为 3 3的矩阵，且| A| 3，则| 2A|。 5．n阶方阵A满足A23A E 0 ，则A1。 二、选择题（每小题 5 分，共 25 分） 6．已知二次型 f x12 x22 5x32 2tx1x2 2x1 x3 4x2 x3,当t取何值时，该二次型为正定？（） A. 4 0 B. 4 4 C. 0 t 4 4 1 t 5 t D. t 2 5 5 5 5 1 4 2 1 2 3 7．已知矩阵A 0 3 4 , B 0 x 6 ,且 A ~ B ，求x的值（） 0 4 3 0 0 5 A.3 B.-2 C.5 D.-5 8 ．设 A 为 n 阶可逆矩阵，则下述说法不正确的是（） A. A0 B. A 1 0 C.r (A) n D.A 的行向量组线性相关 9 ．过点（ 0， 2， 4）且与两平面x 2z 1和 y 3z 2 的交线平行的直线方程为（） 1 x y 2 z 4 A. 3 1 2 x y 2 z 4 C. 3 1 2 x y 2 z 4 B. 3 2 2 x y 2 z 4 D. 3 2 2 10 3 1 ．已知矩阵 A , 其特征值为（ ） 5 1 A. 1 2, 2 4 B. C. 1 2, 2 4 D. 三、解答题 （每小题 10 分，共 50 分） 1 1 2, 2, 2 2 4 4 1 1 0 0 2 1 3 4 0 2 1 3 0 1 1 0 11.设B , C 0 2 1 且 矩 阵 满足关系式 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 2 T X (C B) E ，求 。 a 1 1 2 2 12. 问 a 取何值时，下列向量组线性相关？ 1 1 1 , 2 a , 3 。 2 1 2 1 a 2 2 x 1 x 2 x 3 3 13. 为何值时，线性方程组 x 1 x 2 x 3 2 有唯一解，无解和有无穷多解？当方 x 1 x 2 x 3 2 程组有无穷多解时求其通解。 1 2 1 3 14.设 1 4 , 2 9 , 3 0 , 4 10 . 求此向量组的秩和一个极大无关 1 1 3 7 0 3 1 7 组，并将其余向量用该极大无关组线性表示。 15. 证明：若 A 是 n 阶方阵，且 AA A1， 证明 A I 0 。其中 I 为单位矩阵 I ， 2 复习重点： 第一部分行列式 1. 排列的逆序数（P.5例4; P26第2、4题） 2. 行列式按行（列）展开法则（P.21例13；P.28第9题） 3. 行列式的性质及行列式的计算（P.27第8题）第二部分矩阵 1. 矩阵的运算性质 2. 矩阵求逆及矩阵方程的求解（P.56第17、18题；P.78第5题） 3. 伴随阵的性质（P.41例9; P56第23、24题；P.109第25题）、正交阵的性质（P.116） 4. 矩阵的秩的性质（P.69至71; P100例13、14、15） 第三部分线性方程组 1. 线性方程组的解的判定（P71定理3; P.77定理4、5、6、7）,带参数的方程组的解的判定 （P.75 例13 ; P80 第16、17、18 题） 2. 齐次线性方程组的解的结构（基础解系与通解的关系） 3. 非齐次线性方程组的解的结构（通解）第四部分向量组（矩阵、方程组、向量组三者之间可以相互转换）1?向量组的线性表示 2. 向量组的线性相关性 3. 向量组的秩第五部分方阵的特征值及特征向量 1. 施密特正交化过程 2. 特征值、特征向量的性质及计算（P.120例8、9、10; P.135第7至13题） 3. 矩阵的相似对角化，尤其是对称阵的相似对角化（P.135第15、16、19、23题） 要注意的知识点： 线性代数 1、行列式 1. n行列式共有n2个元素，展开后有n!项，可分解为2n行列式； 2. 代数余子式的性质： ①、A j和a j的大小无关； ②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0; ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为 A ; 3. 代数余子式和余子式的关系：M j （ 1y j A j A j （ 1/ j M j 4. 行列式的重要公式： ①、主对角行列式：主对角元素的乘积； WORD 格式整理 2009－2010学年第一学期期末考试 《线性代数》试卷 答卷说明：1、本试卷共6页，五个大题，满分100分，120分钟完卷。 2、闭卷考试。 评阅人:_____________ 总分人：______________ 一、单项选择题。(每小题3分,共24分) 【 】1.行列式=----3111131111311113 (A)0 (B) 1 (C) 2 (D)3 【 】2.设A 为3阶方阵，数2-=λ，3=A ，则=A λ (A) 24 (B) 24- (C) 6 (D) 6- 【 】3.已知,,B A 为n 阶方阵，则下列式子一定正确的是 (A)BA AB = (B)2222B)(A B AB A ++=+ (C)BA AB = (D) 22))((B A B A B A -=-+ 【 】4.设A 为3阶方阵, 0≠=a A ，则=*A (A) a （B) 2a (C) 3a (D) 4a __ __ ___ __ __ ___ __ __ 系_ __ __ ___ __ 专业_ __ __ ___ __ _班级 姓名_ __ ___ __ __ ___ __ 学号__ ___ __ __ ___ __ _ ………… … … … … … … … … （ 密） … … … … … … … … … … … … （ 封 ） … … … …… … … … … … … … （ 线 ） … … … … … … … … … … … … (A) )()(B R A R < (B) )()(B R A R > (C) )()(B R A R = (D) 不能确定)(A R 和)(B R 的大小 【 】6.设n 元齐次线性方程组0=Ax 的系数矩阵A 的秩为r ，则0=Ax 有非零解 的充分必要条件是 (A) n r = (B) n r ≥ (C) n r < (D) n r > 【 】7. 向量组)2(,,,21≥m a a a m 线性相关的充分必要条件是 (A) m a a a ,,,21 中至少有一个零向量 (B) m a a a ,,,21 中至少有两个向量成比例 (C) m a a a ,,,21 中每个向量都能由其余1-m 个向量线性表示 (D) m a a a ,,,21 中至少有一个向量可由其余1-m 个向量线性表示 【 】8. n 阶方阵A 与对角阵相似的充分必要条件是 (A)n A R =)( (B)A 有n 个互不相同的特征值 (C)A 有n 个线性无关的特征向量 (D)A 一定是对称阵 二、填空题。(每小题3分,共15分) 1.已知3阶行列式D 的第2行元素分别为1,2,1-，它们的余子式分别为2,1,1-，则=D 。 2.设矩阵方程??????-=???? ??12640110X ，则=X 。 3.设*=ηx 是非齐次线性方程组b Ax =的一个特解，21,ξξ为对应齐次线性方程组 0=Ax 的基础解系， 则非齐次线性方程组b Ax =的通解为 . 4.设n m ?矩阵A 的秩r A R =)(，则n 元齐次线性方程组0=Ax 的解集S 的最大无关组S 的秩=R 。 线性代数 一. 单项选择题 1。设A 、B 均为n 阶方阵，则下列结论正确的是 . （a)若A 和B 都是对称矩阵，则AB 也是对称矩阵 （b ）若A ≠0且B ≠0,则AB ≠0 (c)若AB 是奇异矩阵，则A 和B 都是奇异矩阵 (d ）若AB 是可逆矩阵,则A 和B 都是可逆矩阵 2. 设A 、B 是两个n 阶可逆方阵，则()1-?? ????'AB 等于（ ） （a ）()1-'A ()1-'B (b ） ()1-'B ()1-'A （c ）() '-1B )(1'-A （d ）() ' -1B ()1-'A 3.n m ?型线性方程组AX=b,当r(A ）=m 时，则方程组 。 （a ） 可能无解 (b)有唯一解 (c)有无穷多解 （d ）有解 4.矩阵A 与对角阵相似的充要条件是 。 (a ）A 可逆 (b)A 有n 个特征值 (c) A 的特征多项式无重根 （d) A 有n 个线性无关特征向量 5。A 为n 阶方阵,若02 =A ，则以下说法正确的是 。 (a ） A 可逆 (b ） A 合同于单位矩阵 (c ） A =0 (d ） 0=AX 有无穷多解 6．设A ,B ，C 都是n 阶矩阵，且满足关系式ABC E =,其中E 是n 阶单位矩阵， 则必有（ ） （A ）ACB E = (B)CBA E = (C ）BAC E = (D ） BCA E = 7．若233 32 31 232221 131211 ==a a a a a a a a a D ，则=------=33 32 3131 2322 212113 1211111434343a a a a a a a a a a a a D ( ） （A ）6- （B ）6 （C ）24 （D ）24- 二、填空题 1.A 为n 阶矩阵，|A ｜=3,则|AA '｜= ，｜ 1 2A A -* -|= . 2．设???? ??????=300120211A ,则A 的伴随矩阵=*A ； 3．设A ＝? ? ?? ??--1112，则1 -A ＝ 。 复习题 1.计算下列各行列式（）： (1),其中对角线上元素都是，未写出的元素都是0； (2); (3) ; 提示：利用范德蒙德行列式的结果． (4) (5),. 2.有非零解？ 解 ， 齐次线性方程组有非零解，则 即 得 不难验证，当该齐次线性方程组确有非零解. 3．设方阵满足,证明及都可逆,并求及 . 证明 由得 两端同时取行列式: 即 ,故 所以可逆,而 故也可逆. 由 又由 4．设,,求. 解 由可得 5．(1) 设,求使; (2) 设,求使. 解 (1) (2) ． 故 6．取何值时,非齐次线性方程组 (1)有唯一解；(2)无解；(3)有无穷多个解? 解 (1) ,即时方程组有唯一解. (2) 由 得时,方程组无解. (3) ,由, 得时,方程组有无穷多个解. 7．求下列齐次线性方程组的基础解系: (1) 解 (1) 所以原方程组等价于 取得 取得 因此基础解系为 8．设,求一个矩阵,使,且 . 解 由于,所以可设则由 可得 ,解此非齐次线性方程组可得唯一解 ， 故所求矩阵． 9．求一个齐次线性方程组,使它的基础解系为 . 解 显然原方程组的通解为 ,() 即消去得 此即所求的齐次线性方程组. 10．设四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，已知是它 的三个解向量．且 ， 求该方程组的通解． 解 由于矩阵的秩为3，，一维．故其对应的齐次线性 方程组的基础解系含有一个向量，且由于均为方程组的解，由非齐次线性方程组解的结构性质得 为其基础解系向量，故此方程组的通解：， 11．设都是阶方阵，且，证明． 证明 设的秩为，的秩为，则由知，的每一列向量 都是以为系数矩阵的齐次线性方程组的解向量． (1) 当时,该齐次线性方程组只有零解,故此时, ，，结论成立． (2) 当时,该齐次方程组的基础解系中含有个向量,从而 的列向量组的秩,即,此时,结论成立。 综上,． 12．求下列向量组的秩和一个最大无关组: (1) .(1) ，，，， 解 (1) A=(,,,,)= ， 所以第1、2、3列构成一个最大无关组，秩为3． 13．设,且向量组 线性无关,证明向量组线性无关. 证明设则 因向量组线性无关,故 因为故方程组只有零解 则所以线性无关 14．设是非齐次线性方程组的一个解,是对应的齐 次线性方程组的一个基础解系,证明: ×××大学线性代数期末考试题 一、填空题（将正确答案填在题中横线上。每小题2分，共10分） 1. 若02 2 1 50 1 31 =---x ，则=χ__________。 2．若齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x x x x x x x x λλ只有零解，则λ应满足 。 3．已知矩阵n s ij c C B A ?=)(，，，满足CB AC =，则A 与B 分别是 阶矩阵。 4．矩阵??? ? ? ??=32312221 1211 a a a a a a A 的行向量组线性 。 5．n 阶方阵A 满足032 =--E A A ，则=-1A 。 二、判断正误（正确的在括号内填“√”，错误的在括号内填“×”。每小题2分，共10分） 1. 若行列式D 中每个元素都大于零，则0?D 。（ ） 2. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合。（ ） 3. 向量组m a a a ，， ， 21中，如果1a 与m a 对应的分量成比例，则向量组s a a a ，，， 21线性相关。（ ） 4. ? ? ??? ???? ???=010********* 0010 A ，则A A =-1。（ ） 5. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1 -A 的特征值为λ。 ( ) 三、单项选择题 (每小题仅有一个正确答案，将正确答案题号填入括号内。每小题2分，共10分) 1. 设A 为n 阶矩阵，且2=A ，则=T A A （ ）。 ① n 2 ② 1 2 -n ③ 1 2 +n ④ 4 2. n 维向量组 s ααα，，， 21（3 ≤ s ≤ n ）线性无关的充要条件是（ ）。 ① s ααα，， ， 21中任意两个向量都线性无关 ② s ααα，， ， 21中存在一个向量不能用其余向量线性表示 ③ s ααα，， ， 21中任一个向量都不能用其余向量线性表示 线性代数期末考试试题含 答案 The final edition was revised on December 14th, 2020. 江西理工大学《线性代数》考题 一、 填空题（每空3分，共15分） 1. 设矩阵??????????=333222 111 c b a c b a c b a A ,??????????=333 222111d b a d b a d b a B 且4=A ,1=B 则=+B A ______ 2. 二次型233222213214),,(x x tx x x x x x f +-+=是正定的，则t 的取值范围__________ 3. A 为3阶方阵，且2 1=A ，则=--*12)3(A A ___________ 4. 设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值是___________ 5. 设A 为n 阶方阵，n βββ ,,21为A 的n 个列向量，若方程组0=AX 只有零解，则向量组(n βββ ,,21)的秩为 _____ 二、选择题（每题3分，共15分） 6. 设线性方程组?????=+=+--=-032231 3221ax cx bc bx cx ab ax bx ，则下列结论正确的是（ ） (A)当c b a ,,取任意实数时，方程组均有解 (B)当a ＝0时，方程组无解 (C) 当b ＝0时，方程组无解 (D)当c ＝0时，方程组无解 7. 同为n 阶方阵，则（ ）成立 (A) B A B A +=+ (B) BA AB = (C) BA AB = (D) 111)(---+=+B A B A 8. 设??????????=333231232221 131211 a a a a a a a a a A ，??????????+++=331332123111131211232221a a a a a a a a a a a a B ,??????????=1000010101P , ???? ??????=1010100012P 则（ ）成立 (A)21P AP (B) 12P AP (C) A P P 21 (D) A P P 12 9. A ,B 均为n 阶可逆方阵，则AB 的伴随矩阵=*)(AB （ ） (A) **B A (B) 11--B A AB (C) 11--A B (D)**A B 10. 设A 为n n ?矩阵，r A r =)(＜n ，那么A 的n 个列向量中（ ） 04-05(2) 线性代数总复习大纲及复习题： 一、 概念 1、 行列式的 定义 2、 向量组相关与无关的定义 3、 对称阵与反对称阵 4、 可逆矩阵 5、 矩阵的伴随矩阵 6、 基与向量的坐标 7、 矩阵的特征值与特征向量 8、 正定矩阵 9、 矩阵的迹 10、 矩阵的秩 11、 矩阵的合同 12、 二次型与矩阵 13、 齐次线性方程组的基础解系 二、 性质与结论 1、 与向量组相关与无关相关的等价结论 2、 行列式的性质 3、 克莱姆规则（齐次线性方程组有非零解的充要条件） 4、 矩阵可逆的充要条件及逆矩阵的性质 5、 初等变换与初等矩阵的关系 6、 A A A A A E **== 7、 n 维向量空间坐标变换公式 8、 相似矩阵的性质 9、 合同变换 10、 矩阵正定的充要条件 11、 线性方程组解的性质与结构定理 三、复习题及参考答案 1．若三阶行列式1 23 11 22 331 2 3 2226a a a b a b a b a c c c ---=，则 1 23 1 231 2 3 a a a b b b c c c = 12 2．若方程组12312312 3000 tx x x x tx x x x tx ++=?? ++=??++=?有非零解，则t=????1???。 3．已知齐次线性方程组32023020x y x y x y z λ+=?? -=??-+=? 仅有零解，则λ≠ 0 4．已知三阶行列式D=123 312231，则元素12a =2的代数，余子式12A = -1 ； 3.若n 阶矩阵A 、B 、C 满足ABC=E （其中E 为n 阶可逆阵），则BCA=E 。（ 对 ） 4.行列式 0020 023 16.02342345 = （ 对 ） 5.对向量1234,,,αααα，如果其中任意两个向量都线性无关，则1234,,,αααα线性无关。（ 错 ） 6. 如果A 是n 阶矩阵且0A =，则A 的列向量中至少有一个向量是其余各列向量的线性组合。（ 对 ） 7. 向量组s ααα,,,21 线性无关的充分必要条件是其中任一部分向量组都线性无关。（ 对 ） 8 矩阵212111215A ?? ? = ? ??? 是正定的。（ 对 ） 9. n 阶矩阵A 与B 相似，则A 与B 同时可逆或同时不可逆。（ 对 ） 10．已知向量组123(1,2,1),(,1,1),(1,,1).a a ααα===则当a= 1 或a= 2 时向量组321,,ααα线性相关。 （ 对 ） 11．n 阶矩阵A 满足2320,A A E -+=则A-3E 可逆，A-2E 可逆。 （ 对 ） 12．阵A 与其转置T A 具有相同的行列式和特征值。 （ 对 ） 13．如果n 阶矩阵 A 的行列式┃A ┃=0，则A 至少有一个特征值为零 。（ 对） 14. 设A 为n 阶方阵，k 为常数，则kA k A =。 （ B ） 15.设6阶方阵A 的秩为3，则其伴随矩阵的秩也是3。 （ B ） 江西理工大学《线性代数》考题 一、 填空题（每空3分，共15分） 1. 设矩阵??????????=333222 111 c b a c b a c b a A ,??????????=333 222111d b a d b a d b a B 且4=A ,1=B 则=+B A ______ 2. 二次型233222213214),,(x x tx x x x x x f +-+=是正定的，则t 的取值范围__________ 3. A 为3阶方阵，且2 1=A ，则=--*12)3(A A ___________ 4. 设n 阶矩阵A 的元素全为1，则A 的n 个特征值是___________ 5. 设A 为n 阶方阵，n βββ ,,21为A 的n 个列向量，若方程组0=AX 只有零解，则向量组(n βββ ,,21)的秩为 _____ 二、选择题（每题3分，共15分） 6. 设线性方程组?????=+=+--=-032231 3221ax cx bc bx cx ab ax bx ，则下列结论正确的是（ ） (A)当c b a ,,取任意实数时，方程组均有解 (B)当a ＝0时，方程组无解 (C) 当b ＝0时，方程组无解 (D)当c ＝0时，方程组无解 7. A.B 同为n 阶方阵，则（ ）成立 (A) B A B A +=+ (B) BA AB = (C) BA AB = (D) 111)(---+=+B A B A 8. 设??????????=333231232221 131211 a a a a a a a a a A ，??????????+++=331332123111131211232221a a a a a a a a a a a a B ,??????????=1000010101P , ???? ??????=1010100012P 则（ ）成立 (A)21P AP (B) 12P AP (C) A P P 21 (D) A P P 12 9. A ,B 均为n 阶可逆方阵，则AB 的伴随矩阵=*)(AB （ ） (A) **B A (B) 11--B A AB (C) 11--A B (D)**A B 10. 设A 为n n ?矩阵，r A r =)(＜n ，那么A 的n 个列向量中（ ） （A ）任意r 个列向量线性无关 线性代数考试题库及答案 第一部分 专项同步练习 第一章 行列式 一、单项选择题 1．下列排列是5阶偶排列的是 ( ). (A) 24315 (B) 14325 (C) 41523 (D)24351 2．如果n 阶排列n j j j 21的逆序数是k , 则排列12j j j n 的逆序数是( ). (A)k (B)k n - (C) k n -2 ! (D)k n n --2)1( 3. n 阶行列式的展开式中含1211a a 的项共有( )项. (A) 0 (B)2-n (C) )!2(-n (D) )!1(-n 4． =0 00100100 1001 000( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 5. =0 00110000 0100 100( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 6．在函数10 3 23211112)(x x x x x f ----=中3x 项的系数是( ). (A) 0 (B)1- (C) 1 (D) 2 7. 若2 1 33 32 31 232221 131211==a a a a a a a a a D ，则=---=32 3133 31 2221232112 111311122222 2a a a a a a a a a a a a D ( ). (A) 4 (B) 4- (C) 2 (D) 2- 8．若 a a a a a =22 2112 11，则 =21 11 2212ka a ka a ( ). (A)ka (B)ka - (C)a k 2 (D)a k 2- 9． 已知4阶行列式中第1行元依次是3,1,0,4-, 第3行元的余子式依次为 x ,1,5,2-, 则=x ( ). (A) 0 (B)3- (C) 3 (D) 2 10. 若5 734111113263478 ----=D ，则D 中第一行元的代数余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 11. 若2 23 5 001 01 11 10 40 3 --= D ，则D 中第四行元的余子式的和为( ). (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 12. k 等于下列选项中哪个值时，齐次线性方程组??? ??=++=++=++0 00321 321321x x kx x kx x kx x x 有非零解. ( ) (A)1- (B)2- (C)3- (D)0 二、填空题 《线性代数》综合复习题 一、单项选择题： 1、若三阶行列式D 的第三行的元素依次为1、 2、3，它们的余子式分别为4、2、1，则D =（ ） (A)－3 (B) 3 (C) －11 (D) 11 2、设123,,ααα是三阶方阵A 的列向量组，且齐次线性方程组AX =O 仅有零解，则（ ） (A) 1α可由23,αα线性表示 (B) 2α可由13,αα线性表示 (C) 3α可由12,αα线性表示 (D) 以上说法都不对 3、设A 为n(n ≥2)阶方阵，且A 的行列式|A |=a ≠0，A *为A 的伴随矩阵，则| 3A * | 等于（ ） (A) 3n a (B) 3a n -1 (C) 3n a n -1 (D) 3a n 4、设A =????? ??3332312322 21131211a a a a a a a a a , B =????? ??+++133311311232232122131112a a a a a a a a a a a a ,????? ??=1000010101P ,???? ? ??=1010100012P ，则有（ ） (A) B AP P =12 (B) B AP P =21 (C) B A P P =21 (D) B A P P =12 5、设A 是正交矩阵，则下列结论错误．． 的是（ ） (A) |A |2必为1 (B) |A |必为1 (C) A -1=A T (D) A 的行向量组是正交单位向量组 6、设A 是n 阶方阵，且O E A A =+-232，则（ ） (A) 1和2必是A 的特征值 (B) 若,2E A ≠则E A = (C) 若,E A ≠则E A 2= (D) 若1不是A 的特征值，则E A 2= 7、设矩阵210120001A ?? ?= ? ??? ，矩阵B 满足2ABA BA E **=+，其中E 为三阶单位矩阵，A * 为A 的伴随矩 阵，则B = （A ） 13； （B ）19； （C ）1 4 ； （D ）13。 8、下列命题中，错误的是 (A) 若1110,,,n n n k k αααα++=且线性无关，则常数1,,n k k 必全为零 (B) 若1110,, ,n n n k k αααα+ +=且线性无关，则常数1, ,n k k 必不全为零 (C) 若对任何不全为零的数1,,n k k ，都有1110,, ,n n n k k αααα++≠则 线性无关 线性代数复习题 一、判断题 (正确在括号里打√，错误打×) 1. 把三阶行列式的第一列减去第二列，同时把第二列减去第一列，这样得到的新行列式与原行列式相等，亦即 3 3333222221 1111333222111------=c a b b a c a b b a c a b b a c b a c b a c b a . ( ) 2. 若一个行列式等于零，则它必有一行（列）元素全为零，或有两行（列）完全相同，或有两行（列）元素成比例. ( ) 3. 若行列式D 中每个元素都大于零，则D > 0. ( ) 4. 设C B A ,,都是n 阶矩阵，且E ABC =，则E CAB =. ( ) 5. 若矩阵A 的秩为r ，则A 的r －1阶子式不会全为零. ( ) 6. 若矩阵A 与矩阵B 等价，则矩阵的秩R (A ) = R (B ). ( ) 7. 零向量一定可以表示成任意一组向量的线性组合. ( ) 8. 若向量组s ααα,...,,21线性相关，则1α一定可由s αα,...,2线性表示. ( ) 9. 向量组s ααα,...,,21中，若1α与s α对应分量成比例，则向量组s ααα,...,,21线性相关. ( ) 10. )3(,...,,21≥s s ααα线性无关的充要条件是：该向量组中任意两个向量都线性无关. ( ) 11. 当齐次线性方程组的方程个数少于未知量个数时，此齐次线性方程一定有非零解. ( ) 12. 齐次线性方程组一定有解. ( ) 13. 若λ为可逆矩阵A 的特征值，则1 -λ为1-A 的特征值. ( ) 14. 方程组()A λ-=E x 0的解向量都是矩阵A 的属于特征值λ的特征向量. ( ) 15. n 阶方阵A 有n 个不同特征值是A 可以相似于对角矩阵的充分条件. ( ) 16. 若矩阵A 与矩阵B 相似，则R R =A B ()(). ( ) 二、单项选择题 1. 设行列式 , ,21 23 121322 21 1211n a a a a m a a a a ==则行列式 =++23 2221 131211a a a a a a ( ) n m + )A ( )( )B (n m +- m n - )C ( n m - )D ( 2. 行列式7 012156 83的元素21a 的代数余子式21A 的值为 ( ) 33 )A ( 33 )B (- 56 )C ( 56 )D (- 《线性代数》课程复习大纲与练习题 第一章 线性方程组 1.线性方程组的概念 （1）线性方程组的一般形式：?? ?????=+???++???????????=+???++=+???++s n sn s s n n n n b x a x a x a b x a x a x a b x a x a x a 22112 222212********* （2）用消元法判断线性方程组是否有解，并求出解 2.初等变换对线性方程组进行求解 （1）初等变换的定义 （2）用初等变换将线性方程组化为同解的阶梯形方程组，从而判断是否有解 3.用矩阵的秩判断线性方程组是否有解 记??? ? ?? ?????????????????????=sn s s n n a a a a a a a a a A 212222111211称为线性方程组的系数矩阵; ???? ? ?? ????????????????????=s sn s s n n b a a a b a a a b a a a A 212222 21111211称为线性方程组的增广矩阵 （1）线性方程组有解?秩（A ）＝秩（A ） 当线性方程组有解时：秩（A ）＝未知量个数n 时, 线性方程组有唯一解;秩（A ）<未知量个数n 时，线性方程组有无穷多解。 （2）线性方程组无解?秩（A ）<秩（A ） 4.齐次线性方程组：常数项全为0的线性方程组 ?? ???? ?=+???++???????????=+???++=+???++0 )1(00221122221211212111n sn s s n n n n x a x a x a x a x a x a x a x a x a （1）解的情况： r(A)=n ，（或系数行列式0≠D ）只有零解； r(A)线性代数期末考试试卷答案合集
线性代数复习题及答案
(完整版)线性代数期末测试题及其答案.doc
大学线性代数必过复习资料
(完整word版)线性代数考试题及答案解析
线性代数期末复习题
线性代数总复习题
线性代数期末考试试卷+答案合集
线性代数期末考试试题含答案
线性代数总复习大纲及复习题
线性代数期末考试试题(含答案)
线性代数复习题带参考答案(2)
线性代数期末复习题
线性代数期末复习题
《线性代数》课程复习大纲与练习题