第十三讲刚体的运动和动力学问题 (1)

第十三讲 刚体的运动学与动力学问题

一 竞赛内容提要 1、刚体；2、刚体的平动和转动；3、刚体的角速度和角加速度；4、刚体

的转动惯量和转动动能；5、质点、质点系和刚体的角动量；6、转动定理和角动量定理；7、角动量守恒定律。 二 竞赛扩充的内容

1、刚体：在外力的作用下不计形变的物体叫刚体。刚体的基本运动包括刚体的平动和刚体绕定轴的转动，刚体的任何复杂运动均可由这两种基本运动组合而成。

2、刚体的平动；刚体的平动指刚体内任一直线在运动中始终保持平行，刚体上任意两点运动的位移、速度和加速度始终相同。

3、刚体绕定轴的转动；刚体绕定轴的转动指刚体绕某一固定轴的转动，刚体上各点都在与转轴垂直的平面内做圆周运动，各点做圆周运动的角位移Φ、角速度ω和角加速度β相同（可与运动

学的s 、v 、a 进行类比）。且有：ω=t t ??Φ→?lim 0；β=t t ??→?ωlim

0。当β为常量时，刚体做匀加

速转动，类似于匀加速运动，此时有：ω=ω0+βt ； Φ=Φ0+ω0t+βt 2/2；

ω2－ω02=2β（Φ－Φ0）。式中，Φ0、ω0分别是初始时刻的角位移和角速度。对于绕定轴运动的刚体上某点的运动情况，有：v=ωR ， a τ=βR ， a n =ω2R=v 2/R, 式中，R 是该点到轴的距离，a τ、a n 分别是切向加速度和法向加速度。

例1 有一车轮绕轮心以角速度ω匀速转动，轮上有一小虫自轮心沿一根辐条向外以初速度v 0、

加速度a 作匀加速爬行，求小虫运动的轨迹方程。

例2 一飞轮作定轴转动，其转过的角度θ和时间t 的关系式为：θ=at+bt 2－ct 3，式中，a 、b 、c 都是恒量，试求飞轮角加速度的表示式及距转轴r 处的切向加速度和法向加速度。 例3 如图所示，顶杆AB 可在竖直槽K 内滑动，其下端由凸轮K 推动，凸轮

绕O 轴以匀角速度ω转动，在图示瞬间，OA=r ，凸轮轮缘与A 接触处，法线n 与OA 之间的夹角为α，试求此瞬时顶杆OA 的速度。 B K

A M

n α

O ω

例 4 人在电影屏幕上看到汽车向前行驶，车轮似乎并没有转动时，则汽车运动的可能的最小速度是多少？已知电影每秒钟放映24个画面，车轮半径为0.5m.

例5 在水平路面上匀速行驶的拖拉机前轮直径为0.8m ，后轮直径为1.25m ，两轮的轴的距离为2m ，如图所示，在行驶过程中，从前轮边缘的最高点A 处水平飞出一小石块，0.2s 后后轮边缘的最高点B 处也水平飞出一小石块，这两块石块先后落在地面上同一处，求拖拉机行驶时速度的大小。

例6如图所示，由两个圆球所组成的滚珠轴承内环半径为R 2，外环半径为R 1，在两环之间分布的小球半径为r 。外环以线速度v 1顺时针方向转动，而内环则以线速度v 2顺时针方向转动，试求小球中心在围绕圆环的中心顺时针转动的线速度v 和小球自转的角速度ω。设小球与圆环间无滑动。

例7一木板从空中下落，某时刻，板上a 、b 两点速度相同，v a =v b =v ，a 、b 两点均位于板面上，同时还发现板上c 点速度为2v ，c 点到a 和b 两点的距离等于a 和b 两点间的距离。问板上那些点的速度等于3v ？

4、力矩 （1）对转动轴的力矩 如图，转动轴过O 点并垂直于纸面，过P 点的力F 对O 轴的力矩M=Fr 。其中，r 为力臂。∵r=ρsin θ，∴M=Fsin θ·ρ。即，F 对轴O 的力矩，等于F 垂直于OP 连线的分力F φ与OP 的积：M=F φ·ρ。

当力的作用线不在垂直于轴的直线上时，可将力F 分解为平行于轴的分量F ∥2m

O

O ′

A B

R 1 R

R 2

ω

v O

r

P F

ρ θ

F ρ

F φ

z

F

F ∥

和垂直于轴的分量F ⊥，其中，F ∥对物体绕轴的转动没有贡献，F ⊥就是F 在垂直于轴的平面上的投影，此时，F 对轴的力矩可写成：M= F ⊥·ρsin θ。 （2）对参考点的力矩 如图，F 对O 点的力矩M=Fsin θ·ρ。 5、质点的角动量

如右下图，质点m 对 点O 的角动量L=r×p=r·psin θ=mv·r·sin θ，角动量又叫做动量矩（与力矩类比）。同一质点对不同的参考点的角动量是不同的。特别地，当p ⊥r 时，角动量L=mvr 。 6、质点系（或刚体）的角动量

即各质点角动量的总和，L=∑m i v i r i =（∑m i r i 2）ω=I ω。其中，I 是刚体的转动惯量（I 的数值不要求会计算）。质点对轴的转动惯量为：I=mr 2，r 是转动半径。 7、刚体的转动动能 刚体的动能包括质心的平动动能（E K =mv 2/2）和相对质心的转动动能，其中，转动动能的大小： E k =∑m i v i 2/2=1/2（∑m i r i 2）ω2=（1/2）I ω2。 8、刚体绕定轴转动的基本规律

（1）力矩M 和角加速度β的关系 M=I β（类比于F=ma ）；（2）合力矩做的功和刚体转动动能的关系 W=F ·S=F ·r θ=M θ=（1/2）I ωt 2－（1/2）I ω02.（与动能定理类比）。 （2）质点、质点系或刚体的角动量定理L=∑m i v i r i （若是质点则不用∑符号），∴⊿L/⊿t=∑⊿L/⊿t=∑（F i ＋f i ）r i ，式中，F i 表示第i 个质点受到的外力，f i 表示该质点受到的系统内力。∵内力矩为零，∴⊿L/⊿t=∑F i r i =M 外，即M 外⊿t=L t －L 0（与动量定理类比）。角动量定理可写成分量式。

（3）质点、质点系或刚体的角动量守恒定律 当M 外=0时，L=恒量（与动量守恒类比），即系统的角动量守恒。其中，M 外=0有以下三种情况：（i ）体系不受外力，即F i =0（合外力为零≠合力矩为零，如力偶矩的情况）；（ii ）所有外力都通过定点（这种外力叫有心力，如卫星所受的万有引力），尽管外力的矢量和不为零，但每个外力的力矩都为零；（iii ）

每个外力的力矩不为零，但外力矩的矢量和为零。 例8、质量为m ，长为l 的均质细杆，绕着过杆的端点且与杆垂直的轴以角速度ω转动时，它的动能和相对端点的角动量的大小分别为

E k =I ω2/2，L=I ω,其中，I=ml 2/3，现将此杆从水平位置由静止释放，设此杆能绕着过A 的固定光滑细轴摆下，当摆角从0达θ时，试求：（1）细杆转动的角速度ω和角加速度β；（2）固定光滑细轴为杆提供的支持力。

例9、质量为M ，半径为R 的均质圆盘，绕过圆心且与圆盘垂直的轴以角速O

ρ

F

F F ρ

θ

r

m θ

p

O

θ

A

m ，l R

M

a

β

度ω旋转时的角动量大小为L=I ω，其中，I=MR 2/2，如图，细绳质量可忽略，绳与圆盘间无相对滑动，滑轮与轴之间无摩擦，m 1＞m 2，试求物体运动的加速度。

例10、在光滑的水平面上，两个质量分别为m 1和m 2的小球，用长为l 的轻线连接，开始时，线正好拉直，m 1和m 2的速度分别为v 1和v 2（v 1＞v 2），它们的方向相同，并垂直于连线，试求： 系统相对质心的角动量为多大？（2）线中的张力为多大？

例11、如图所示，在光滑水平面上，质量均为M 的两小球用长为l 的轻杆相连，另一质量为m 的小球以v 0的速率向着与杆成θ角的方向运动，若（1）碰后m 以v 0/2的速率沿原路线反弹，试求碰后轻杆系统绕其质心转动的角速度ω。

（2）若M=m ，且θ=45°，小球m 以某一速率v 0与杆上一球发生弹性碰撞后，沿垂直于原速度的方向运动，如图虚线箭头所示方向，求碰后小球的速度及轻杆绕其质心转动的角速度。

例12、一质量m=1 .40×104kg 的登陆飞船，在离月球表面高度h=100km 处绕月球做圆周运动，飞船采用如下登月方式：当飞船位于图中A 点时，它向外侧（即沿OA 方向）短时间喷气，使飞船与月球相切地到达B 点，且OA ⊥OB ，试求飞船到达月球表面时的速度。已知月球半径R=1700km ，月球表面的重力加速度为g=1.62m/s 2。

例13、如图，一长为L ，质量为m 的均质棒被两根细线水平悬挂在天花板上，某时刻，右边的线断了，问线断瞬间，左边线中的张力是多大？已知棒m v 0

M

M

θ

O R

A

B

v v B

绕其一端的转动惯量I=ml 2/3。

例14、一颗卫星沿椭圆轨道绕地球运行，在近地点，卫星与地球中心的距离为地球半径的3倍，卫星的速度为在远地点时速度的4倍，求在远地点时卫星与地球中心的距离为地球半径的多少倍。

例15、两个质量均为m 的小球，用长为l 的绳子连接起来，放在一光滑的水平桌面上，给其中一个小球以垂直于绳子方向的速度v 0，如图所示，求此系统的运动规律和绳中的张力大小。

例16、小滑块A 位于光滑的水平桌面上，小滑块B 位于桌面上的光滑小槽中，两滑块的质量都是m ，并用长为l 、不可伸长的、无弹性的轻绳相连，

如图所示，开始时，A 、B 间的距离为l/2，A 、B 间的连线与小槽垂直，今

给滑块A 一冲击，使其获得平行于槽的速度v 0，求滑块B 开始运动时的速度。

例17、如图所示，质量均为m 的两小球系于轻弹簧的两端，并置于光滑水平桌面上弹簧原长为a ，劲度系数为k 。今两球同时受冲力作用，各获得与连线垂直的等值反向的初速度，若在以后运动过程中弹簧的最大长度b=2a ，求两球的初速度v 0。 l

v 0

A

B

v 0

v 0

v 0

m

m

例18、在半顶角为α的圆锥面内壁离锥顶h 高处以一定初速度沿内壁水平射出一质量为m 的小球，设锥面内壁是光滑的。（1）为使小球在h 处的水平面上做匀速圆周运动，则初速v 0为多少？（2）若初速v 1=2v 0，求小球在运动过程中的最大高度和最小高度。

例19、（1）质量为m 的人造地球卫星作半径为r 0的圆轨道飞行，地球质量为M ，试求卫星的总机械能；（2）若卫星运动中受到微弱的磨擦阻力f （常量），则将缓慢地沿一螺旋轨道接近地球，因f 很小，轨道半径变化非常缓慢，每周的旋转都可近似处理成半径为r 的圆轨道运动，但r 将逐周缩短，试求在r 轨道上旋转一周，r 的改变量⊿r 及卫星动能E K 的改变量⊿E K 。

例20、图中a 为一固定放置的半径为R 的均匀带电球体，O 为其球心，已知取无限远处的电势为零时，球表面处的电势为U=1000V 。在离球心O 很远的O ′点附近有一质子b ，它以E K =2000eV 的动能沿与O ′O 平行的方向射向a ，以L 表示b 与O ′O 线间的垂直距离。要使质子b 能够与带电球体a 的表面相碰，试求L 的最大值。把质子换成电子，再求L 的最大值。 h α

O b O ′ L

O

R a

例21、由火箭将一颗人造卫星送入离地面很近的轨道，进入轨道时，卫星的速度方向平行于地面，其大小为在地面附近做圆运动的速度的2/3倍，试求该卫星在运行中与地球中心的最远距离。

例22，如图所示，在水平光滑平面上开有一个小孔，一条绳穿过小孔，其两端各系一质量为m 的物体，桌上的物体则以v 0=

2

230gr 的速率做半

径为r 0（即桌上部分的绳长）的匀速圆周运动，然后放手，求以后的运动中桌上部分绳索的最大长度和最小长度。

例23，一块半径为R 的水平轻质圆盘，可绕过其圆心O 的竖直轴自由旋转，在圆盘下面的边缘处等间隔地系有四个质量都为m 的小球，如图所示。开始时，圆盘静止，一辆质量也为m 的玩具汽车从O 出发，以恒定的相对于盘的速率v 0沿半径驶往盘边，并沿盘边行驶，试求：

（1）当玩具汽车沿半径行驶时，圆盘的转动角速度ω1；（2）当玩具汽车沿盘边行驶时，圆盘的转动角速度ω2。

例24，若上题中的竖直轴不经过圆心，而经过某一小球的位置处，玩具汽车从该轴处以恒定的相对于圆盘的速率v 0沿盘边行驶，试求：（1）当玩具汽车行驶到第二小球位置处（即行驶了半圈）时，圆盘的转动角速度ω1；（2）当玩具汽车行驶到第三小球位置处（即行驶了3/4圈）时，圆盘的转动角速度ω2；（3）当玩具汽车回倒转轴处时，圆盘的转动角速度ω3。

例25，在一根长为3L 的轻杆上打一个小孔，孔离一端的距离为L ，再在杆的两端及距另一端为L 处各系一质量为M 的小球，然后通过此孔将杆悬挂于一光滑的水平细轴O 上，如图所示。开始时，轻杆静止，一质量为m 的小铅粒以v 0的水平速度射入中间的小球，并留在里面。若铅粒相对小球静止时杆的角位移可以忽m

m

r 0

o R

m

m

m

m

L v 0

略，试求杆在以后摆动中的最大摆角。

例26，一质量为M a ，半径为a 的圆筒A 被另一质量为M b 、半径为b 的圆筒

B 同轴套在其外，均可绕轴自由旋转。在圆筒A 的内表面上散布了薄薄的一

层质量为M 0的砂子，并在壁上开有许多小孔。在t=0时，圆筒以角速度ω0

绕轴匀速转动，而圆筒B 则静止。打开小孔，砂子向外飞出并附着在B 筒的

内壁上，如图所示。设单位时间内喷出砂子的质量为k ，并忽略砂子从A 筒飞到B 筒的时间，求t 时刻两筒旋转的角速度。

例27，光滑水平面上有一小球A 被一轻绳拴住，轻绳穿过平面上小孔O 与小球B 连接。开始时A 球在水平面上绕O 做匀速圆周运动，B 球静止地向下垂挂着，如图所示。今使小球B 的质量缓慢增加，直到A 球绕O 点做匀速圆周运动的半径缩短一半，试问此时B 球质量为初始质量的多少倍？

例28，实心圆柱体从高度为h 的斜坡上由静止做纯滚动到

达水平地面上，且继续做纯滚动，与光滑竖直墙发生完全弹性

碰撞后返回，经足够长的时间后重新做纯滚动，并纯滚动地爬

上斜坡。设地面与圆柱体间的动摩擦因数为μ,试求圆柱体爬坡所能达到的高度h′。

例28，半径为R 的乒乓球绕质心轴的转动惯量为I=2mR 2/3，m 为乒乓球

的质量。乒乓球以一定的初试条件在粗糙的水平面上运动，开始时球的质

心速度为v 0，球的角速度为ω0，两者的方向如图所示。已知乒乓球与地面O a b B

O

A

h v c ωc

R v 0

ω0

间的动摩擦因数为μ，试求乒乓球开始做纯滚动所需的时间及纯滚动时的质心速度。

例29，从地球表面以第一宇宙速度朝着与竖直方向成α角的方向发射一抛射体，忽略空气阻力和地球自转的影响，试问抛射体上升多高？设地球半径为R。

第六章刚体的基本运动习题解答

第六章刚体的基本运动习题解答 习题 6-1 杆O 1A 与O 2B 长度相等且相互平行，在其上铰接一三角形板ABC ，尺寸如图 6-16所示。图示瞬时，曲柄O 1A 的角速度为ω=5rad/s，角加速度为α=2rad/s2, 试求 三角板上点C 和点D 在该瞬时的速度和加速度。 图6-16 v C =v D =O 1A ω=0. 1?5=0. 5m/s a C =a D =O 1A ω τ τ n n 2 =0. 1?5=2. 5m/s 2 22 a C =a D =O 1A α=0. 1?2=0. 2m/s 6-2 如图6-17所示的曲柄滑杆机构中，滑杆BC 上有一圆弧形轨道，其半径R =100mm，圆心O 1在导杆BC 上。曲柄长OA =100mm，以等角速度ω=4rad/s绕O 轴转动。设t =0时，求导杆BC 的运动规律以及曲柄与水平线的夹角?=30?时，导杆BC 的速度和加速度。?=0， 图6-17 x O 1=2OA cos ?=2R cos ωt =2?0. 1?cos 4t =0. 2cos 4t m O 1=-0. 8sin 4t m/s ?=30?时 x O 1=-0. 4m / s x O 1=-3. 2cos 4t m/s2 O 1=-1. 63m /s 2 x x v =0. 4m /s a =1. 63m /s 2=2. 771m /s 2 6-3 一飞轮绕定轴转动，其角加速度为α=-b -c ω2, 式中b 、c 均是常数。设运 动开始时飞轮的角速度为ω0，问经过多长时间飞轮停止转动？ α=-b -c ω

2 d ωb +c ω 2 =-d t ? d ωb +c ω 2 ω0 = ? t -d t arctan(1bc c b ω) |ω=-t arctan( c b ω0) 6-4 物体绕定轴转动的转动方程为?=4t -3t 3。试求物体内与转轴相距R =0.5m的一点，在t =0及t =1s时的速度和加速度度的大小，并问物体在什么时刻改变其转向。 2 =4-9t 2 ? =-18t ?=4t -3t ? t =0时 =4 ? =0 ? v =R ω=0. 5?4=2m/s

最新第六章刚体的基本运动习题解答

习 题 6-1 杆O 1A 与O 2B 长度相等且相互平行，在其上铰接一三角形板ABC ，尺寸如图6-16所示。图示瞬时，曲柄O 1A 的角速度为rad/s 5=ω，角加速度为2rad/s 2=α,试求三角板上点C 和点D 在该瞬时的速度和加速度。 图6-16 m/s 5.051.01=?===ωA O v v D C 2221n n m/s 5.251.0=?===ωA O a a D C 21ττm/s 2.021.0=?===αA O a a D C 6-2 如图6-17所示的曲柄滑杆机构中，滑杆BC 上有一圆弧形轨道，其半径R =100mm ，圆心O 1在导杆BC 上。曲柄长OA =100mm ，以等角速度rad/s 4=ω绕O 轴转动。设t =0时， 0=?， 求导杆BC 的运动规律以及曲柄与水平线的夹角?=30?时，导杆BC 的速度和加速度。 图6-17 m 4cos 2.04cos 1.02cos 2cos 21t t t R OA x O =??===ω? m/s 4sin 8.01t x O -= ?=30?时 m/s 4.01-=O x 21m/s 4cos 2.3t x O -= 21m/s 36.1-=O x m /s 4.0=v 2 2m/s 771.2m/s 36.1==a 6-3 一飞轮绕定轴转动，其角加速度为2ωαc b --=,式中b 、c 均是常数。设运动开始时飞轮的角速度为0ω，问经过多长时间飞轮停止转动？ 2ωαc b --= t c b d d 2-=+ω ω ??-=+t t c b 002d d 0ωωω t b c bc -=00|)arctan(1ωω )arctan(10ωb c bc t = 6-4 物体绕定轴转动的转动方程为334t t -=?。试求物体内与转轴相距R =0.5m 的一点，在t =0及t =1s 时的速度和加速度度的大小，并问物体在什么时刻改变其转向。 234t t -=? 294t -=? t 18-=? t =0时 4=? 0=? m/s 245.0=?==ωR v

《图解刚体力学——欧拉运动学方程》

本科生毕业论文 论文题目：图解刚体力学——欧拉运动学方程 学生姓名：罗加宽 学号： 2008021152 专业名称：物理学 论文提交日期： 2012年05月17日 申请学位级别：理学学士 论文评审等级： 指导教师姓名：陈洛恩 职称：教授 工作单位：玉溪师范学院 学位授予单位：玉溪师范学院 玉溪师范学院理学院物理系 2012年05月

图解刚体力学—欧拉运动学方程 罗加宽 （玉溪师范学院理学院物理系 08级物理1班云南玉溪 653100） 指导教师：陈洛恩、杨春艳 摘要：本文阐述了描述刚体定点转动的欧拉角及欧拉运动学方程的图解，以期让复杂的问题转 化得简单清晰而易于学习者的理解，抽象的概念变得直观具体而易于学习者的掌握；并能在一 定程度上对提高学习者的空间思维能力、引导和培养学习者的创新思维能力有一定的帮助。 关键字：图解；刚体；欧拉角；欧拉运动学方程 1.引言 理论力学是研究物体机械运动一般规律的科学；依照牛顿的说法，理论力学“是关于力产生的运动和产生任何运动的力的理论，是精确的论述和证明” [1]。理论力学作为使用数学方法的自然知识的一部分，不仅研究实际物体，而且研究其模型—质点、质点系、刚体和连续介质。从研究次序来看，通常先研究描述机械运动现象的运动学，然后再进一步研究机械运动应当遵循哪些规律的动力学。至于研究平衡问题的静力学，对理科来讲可以作为动力学的一部分来处理，但在工程技术上，静力学却是十分的重要，因此，常把它和动力学分开，自成一个系统[2]。本文图解的内容为刚体力学运动学问题之一的刚体的绕定点的转动。 “图解”的方法,较早见于上海科学技术出版社1988年翻译出版的《图解量子力学》，原书名为The Picture Book of Quantum Mechanics，由Springer-Verlag 出版；类似的书还有Springer-Verlag出版的Visual Quantum Mechanics。其特点是通过将理论物理与数值计算相结合实现可视化来讲解物理知识。国外对物理的可视化教学十分重视，早在1995-1996年间Wiley出版社出版了9本有关物理多媒体教学的丛书,是由大学高等物理软件联盟(The Consortium for Upper-Level Physics Software，CUPS)编写该丛书及其所用的教学软件[3]。如今，图解法已经广泛应用于力学、电磁学、模拟电子技术等方面，理论力学方面同样也有不少人已经采用了图解法。如赵宗杰使用3dsmax建立质点外弹道运动规律的虚拟模型和场景[4]；乐山师范学院王峰等利用Matlab分别对质点受力仅为位置、速度或时间的函数进行了图解，并说明了Matlab在理论力学中的应用[5]；阜阳师范学院孙美娟、韩修林利用Mathematica进行编程作出了落体的位移—时间图像[6]。通过图解，使很多抽象繁难的物理问题在解析时达到空间立体直观，概念形成清晰，逻辑链路晓畅明朗，数式转换准确易见。 理论力学因理论性较强，与高等数学联系密切，一些概念的形成、公式的推导、逻辑推理等较抽象、繁难、复杂，往往使教授者感到教学很难达到预期的效果，学

102-简谐运动的动力学方程

宁波大学 学校 102 条目的4类题型式样及交稿式样 1. 选择题 题号：10211001 分值：3分 难度系数等级：1 一弹簧振子，物体的质量为m ，弹簧的劲度系数为k ，该振子作振幅为A 的简谐振动。当物体通过平衡位置且向规定的正方向运动时开始计时。则其振动方程为： (A) )21/(cos π+=t m k A x ； (B) )2 1/cos(π-=t m k A x ； (C) )2 1/cos(π-=t k m A x ； (D) t m /k A x cos =。 [ ] 答案：（B ） 题号：10211002 分值：3分 难度系数等级：1 一个弹簧振子和一个单摆（只考虑小幅度摆动），在地面上的固有振动周期分别为T 1和T 2。将它们拿到月球上去，相应的周期分别为1T '和2T '。则有 (A) 11T T >'且22T T >'； (B) 11T T <'且22T T <'； (C) 11T T ='且22T T ='； (D) 11T T ='且22T T >'。 [ ] 答案：（D ） 题号：10212003 分值：3分 难度系数等级：2 两个质量分别为1m 、2m 并由一轻弹簧的两端连结着的小球放在光滑的水平桌面上。当1m 固定时，2m 的振动频率为2ν，当2m 固定时，1m 的振动频率1ν为： （A ）2ν ； （B ） 122m m ν ； （C ）221m m ν ； （D ）ν [ ] 答案：（D ） 题号：10212004 分值：3分 难度系数等级：2

1l ?=22l ?，两弹簧振子的周期之比T 1：T 2为 （A ）2； （B ）2； （C ） 2 1 ； （D ）2/1。 [ ] 答案：（B ） 题号：10212005 分值：3分 难度系数等级：2 同一弹簧振子悬挂相同的质量，分别按如图（a ）、（b ）、（c ）所示的三种方式放置，摩擦力都忽略不计，它们的振动周期分别为 a T 、 b T 、 c T ，则三者之间的关系为 （A ）a b c T T T == ； （B ）a b c T T T => ； （C ）a b c T T T >> ； （D ）a b c T T T << 。 [ ] 答案：（A ） 题号：10213006 分值：3分 难度系数等级：3 如图所示，质量为m 的物体由劲度系数为k 1和k 2的两个轻弹簧连接在水平光滑导轨上作微小振动，则该系统的振动周期为 (A) T = ； (B) 2T = ； (C) 2T =； (D) 2T =。 [ ] 答案：（B ） 题号：10213007 分值：3分 难度系数等级：3 如图所示，质量为m 的物体，由劲度系数为k 1和k 2的两个轻弹簧连接到固定端，在水平光滑导轨上作微小振动，其振动频率为 (B) m k k 212+π=ν； (B) m k k 2 121+π=ν ； (C) 212121k mk k k +π= ν ； (D) ) (21 2121k k m k k +π=ν 。 [ ] （a ） （b ） （c ）

多体系统动力学基本理论

第2章多体系统动力学基本理论

本章主要介绍多体系统动力学的基本理论，包括多刚体系统动力学建模、多柔体系统动力学建模、多体系统动力学方程求解及多体系统动力学中的刚性（Stiff）问题。通过本章的学习可以对多体系统动力学的基本理论有较深入的了解，为具体软件的学习打下良好的理论基础。 2.1 多体系统动力学研究状况 多体系统动力学的核心问题是建模和求解问题，其系统研究开始于20世纪60年代。从60年代到80年代，侧重于多刚体系统的研究，主要是研究多刚体系统的自动建模和数值求解；到了80年代中期，多刚体系统动力学的研究已经取得一系列成果，尤其是建模理论趋于成熟，但更稳定、更有效的数值求解方法仍然是研究的热点；80年代之后，多体系统动力学的研究更偏重于多柔体系统动力学，这个领域也正式被称为计算多体系统动力学，它至今仍然是力学研究中最有活力的分支之一，但已经远远地超过一般力学的涵义。 本节将叙述多体系统动力学发展的历史和目前国内外研究的现状。 2.1.1 多体系统动力学研究的发展 机械系统动力学分析与仿真是随着计算机技术的发展而不断成熟的，多体系统动力学是其理论基础。计算机技术自其诞生以来，渗透到了科学计算和工程应用的几乎每一个领域。数值分析技术与传统力学的结合曾在结构力学领域取得了辉煌的成就，出现了以ANSYS、NASTRAN等为代表的应用极为广泛的结构有限元分析软件。计算机技术在机构的静力学分析、运动学分析、动力学分析以及控制系统分析上的应用，则在二十世纪八十年代形成了计算多体系统动力学，并产生了以ADAMS和DADS为代表的动力学分析软件。两者共同构成计算机辅助工程（CAE）技术的重要内容。 多体系统是指由多个物体通过运动副连接的复杂机械系统。多体系统动力学的根本目的是应用计算机技术进行复杂机械系统的动力学分析与仿真。它是在经典力学基础上产生的新学科分支，在经典刚体系统动力学上的基础上，经历了多刚体系统动力学和计算多体系统动力学两个发展阶段，目前已趋于成熟。 多刚体系统动力学是基于经典力学理论的，多体系统中最简单的情况——自由质点和一般简单的情况——少数多个刚体，是经典力学的研究内容。多刚体系统动力学就是为多个刚体组成的复杂系统的运动学和动力学分析建立适宜于计算机程序求解的数学模型，并寻求高效、稳定的数值求解方法。由经典力学逐步发展形成了多刚体系统动力学，在发展过程中形成了各具特色的多个流派。 早在1687年，牛顿就建立起牛顿方程解决了质点的运动学和动力学问题；刚体的概念最早由欧拉于1775年提出，他采用反作用力的概念隔离刚体以描述铰链等约束，并建立了

(完整版)刚体的基本运动(可编辑修改word版)

第三章刚体力学 §3.1 刚体运动的分析§3.2 角速度矢量 §3.3 刚体运动微分方程§3.4 刚体平衡方程 §3.5 转动惯量§3.6 刚体的平动与定轴转动 §3.7 刚体的平面平行运动 §3.1 刚体运动的分析 一、描述刚体位置的独立变量 1.刚体是特殊质点组 dr ij=0,注意:它是一种理想模型,形变大小可忽略时可视为刚体。 2.描述刚体位置的独立变数 描述一个质点需(x,y,z), 对刚体是否用 3n 个变量？否,由于任意质点之间的距离不变, 如确定不在同一直线上的三点,即可确定刚体的位置,需 9 个变量，由于两点间的距离保持不变，所以共需 9-3=6 个变量即可。 刚体的任意运动=质心的平动+绕质心的转动，描述质心可用(x,y,z), 描述转轴可由α, β,γ。 二、刚体的运动分类 1.平动：刚体在运动过程中，刚体上任意直线始终平行. 任意一点均可代表刚体的运动，通常选质心为代表.需要三个独立变量,可以看成质点力学问题.(注意:平动未必是直线运动) 2.定轴转动: 刚体上有两点不动,刚体绕过这两点的直线转动,该直线为转轴. 需要一个独立变 量φ 3.平面平行运动: 刚体上各点均平行于某一固定平面运动。可以用平行于固定平面的截面代 表刚体。需要三个独立变量。 4.定点运动: 刚体中一点不动,刚体绕过固定点的瞬转转动。需三个独立的欧拉角。 5.一般运动: 平动+转动 §3.2 角速度矢量 定轴转动时角位移用有向线段表示,右手法确定其方向.有向线段不一定是矢量,必须满足平行四边形法则,对定点转动时,不能直接推广,因不存在固定轴. ω = lim ?n = d n 刚体在 dt 时间内转过的角位移为 d n ，则角速度定义为 角速度反映刚体转动的快慢。 ?t →0 ?t dt 线速度与角速度的关系：d r =d n ?r , ∴ v = d r dt =ω ?r

多体系统动力学综述

1. 绝对节点坐标法 传统有限元方法建立的单元为非等参数单元，其使用节点处的位移梯度来描述物体的无限小的转动，但在物体发生大变形时，节点处的位移梯度已不能准确描述物体的转动变形，从而极大影响到计算的精度。 Shabana [1]提出了绝对节点坐标法（Absolute nodal coordinate formulation, ANCF ），其理论基础主要是有限元和连续介质力学理论。该方法将物体的单元节点坐标定义在全局坐标系下，使用节点处的斜率(slope)矢量作为节点坐标而不是节点处的无限小转动[2]，不需要另外计算刚体位移与柔性变形之间的耦合，能较精确地计算大变形的多体系统动力学问题。其最终推导出的多体系统的微分代数方程组（DAEs ）中，质量矩阵是一个常数矩阵，但刚度矩阵将是一个非线性的时间函数。 1.1梁单元的绝对节点坐标法 Shabana 首先推导出一维梁单元的绝对节点坐标法模型[1][3]。在这种模型中，梁单元用中性轴来简化，如图1所示，其上面任意一点P 在全局坐标系下的坐标表达为： 23101232320123r =Se r a a x a x a x r b b x b x b x ??+++??==????+++???? 图1 其中，x 为沿轴线的单元局部坐标，[]0,x l ∈，l 为梁单元初始长度；S 为单元形函数；e 为含有8个单元节点坐标的广义坐标矢量。 123456781102205162e []|,|,|,|, T x x x l x l e e e e e e e e e r e r e r e r ========= 1 2 1 2 304078,,,x x x l x l r r r r e e e e x x x x ====????====????

第十三讲刚体的运动和动力学问题

第十三讲 刚体的运动学与动力学问题 一 竞赛内容提要 1、刚体；2、刚体的平动和转动；3、刚体的角速度和角加速度；4、刚体 的转动惯量和转动动能；5、质点、质点系和刚体的角动量；6、转动定理和角动量定理；7、角动量守恒定律。 二 竞赛扩充的内容 1、刚体：在外力的作用下不计形变的物体叫刚体。刚体的基本运动包括刚体的平动和刚体绕定轴的转动，刚体的任何复杂运动均可由这两种基本运动组合而成。 2、刚体的平动；刚体的平动指刚体内任一直线在运动中始终保持平行，刚体上任意两点运动的位移、速度和加速度始终相同。 3、刚体绕定轴的转动；刚体绕定轴的转动指刚体绕某一固定轴的转动，刚体上各点都在与转轴垂直的平面内做圆周运动，各点做圆周运动的角位移Φ、角速度ω和角加速度β相同（可与运动 学的s 、v 、a 进行类比）。且有：ω=t t ??Φ→?lim 0；β=t t ??→?ωlim 0。当β为常量时，刚体做匀加 速转动，类似于匀加速运动，此时有：ω=ω0+βt ； Φ=Φ0+ω0t+βt 2/2； ω2－ω02=2β（Φ－Φ0）。式中，Φ0、ω0分别是初始时刻的角位移和角速度。对于绕定轴运动的刚体上某点的运动情况，有：v=ωR ， a τ=βR ， a n =ω2R=v 2/R, 式中，R 是该点到轴的距离，a τ、a n 分别是切向加速度和法向加速度。 例1 有一车轮绕轮心以角速度ω匀速转动，轮上有一小虫自轮心沿一根辐条向外以初速度v 0、 加速度a 作匀加速爬行，求小虫运动的轨迹方程。 例2 一飞轮作定轴转动，其转过的角度θ和时间t 的关系式为：θ=at+bt 2－ct 3，式中，a 、b 、c 都是恒量，试求飞轮角加速度的表示式及距转轴r 处的切向加速度和法向加速度。 例3 如图所示，顶杆AB 可在竖直槽K 内滑动，其下端由凸轮K 推动，凸轮 绕O 轴以匀角速度ω转动，在图示瞬间，OA=r ，凸轮轮缘与A 接触处，法线n 与OA 之间的夹角为α，试求此瞬时顶杆OA 的速度。

刚体的基本运动

第七章 刚体的基本运动 一、目的要求 1．明确刚体平行移动（平动）和刚体绕定轴转动的特征，能正确地判断作平动的刚体和定轴转动的刚体。 2．对刚体定轴转动时的转动方程、角速度和角加速度及它们之间的关系要清晰的理解，熟知匀速和匀变速转动的定义与公式。 3．能熟练地计算定轴转动刚体上任一点的速度和加速度。 4．掌握传动比的概念及其公式的应用。 5．对角速度矢、角加速度矢以及用矢积表示定轴转动刚体上任一点的速度和加速度有初步了解。 二、基本内容 刚体的平动；刚体绕定轴转动；转动刚体内各点的速度和加速度；轮系的转动比；以矢量表示角速度和角加速度，以矢积表示点的速度和加速度。 （1）基本概念 刚体平动与定轴转动的定义，刚体在作这两种运动时刚体上各点速度、加速度的分布规律。 （2）主要公式 平动刚体上，任意两点之间均有 B A v v =，B A a a = 定轴转动刚体上任一点的速度和加速度为 ωr v =，ατr a =，2ωr a n =，22n a a a +=τ，n a a tg τθ= 以矢积表示的刚体上一点的速度与加速度为 r v ?=ω v r a ?+?=ωα 三、重点和难点

1．重点 （1）刚体平动及其运动特征。 （2）刚体的定轴转动，转动方程，角速度与角加速度。 （3）转动刚体内各点的速度与加速度。 2．难点： 用矢积表示刚体上任一点的速度与加速度。 四、学习建议 （1）对刚体平动强调“三相同”。 （2）对刚体绕定轴转动的特征及其上点的速度，加速度分布规律要讲透，让学生熟练掌握已知刚体转动规律会求其上一点的运动规律，反之，已知转动刚体上一点的运动规律要会求其上各点的运动规律及整体的转动规律。 （3）对轮系传动比作一般介绍。 （4）对ω ，α 方向的确定要介绍练习，对速度和加速度用矢积表示只作一 般介绍以供推导公式用。

第6章刚体的平面运动习题解答080814

第六章 刚体的平面运动 本章要点 一、刚体平面运动的描述 1 刚体的平面运动方程：)(t x x A A =，)(t y y A A =，)(t ??=. 2 平面图形的运动可以看成是刚体平移和转动的合成运动：刚体的平面运动（绝对运动）便可分解为随动坐标系（基点）的平移（牵连运动）和相对动坐标系（基点）的转动（相对运动）。其平移部分与基点的选取有关，而转动部分与基点的选取无关。因此，以后凡涉及到平面图形相对转动的角速度和角加速度时，不必指明基点，而只说是平面图形的角速度和角加速度即可。 二、平面运动刚体上点的速度 1 基点法：平面图形内任一点B 的速度，等于基点A 的速度与B 点绕基点转动速度的矢量和，即 BA A B v v v +=， 其中BA v 的大小为ωAB v BA =，方向垂直于AB ，指向与图形的转动方向相一致。 2投影法 速度投影定理：在任一瞬时，平面图形上任意两点的速度在这两点连线上的投影相等，即 AB A AB B v v ][][= 3瞬心法 任意瞬时平面运动图形上都存在速度为零的点，称为该平面图形的瞬时速度中心，简称瞬心。 平面图形上各点速度在某瞬时绕瞬心的分布与绕定轴转动时的分布相同，但有本质区别。绕定轴转动时，转动中心是一个固定不动的点，而速度瞬心的位置是随时间而变化的。 面图形内任意一点的速度，其大小等于该点到速度瞬心的距离乘以图形的角速度，即 ωCM v M =， 其方向与CM 相垂直并指向图形转动的一方。若在某瞬时，0=ω，则称此时刚体作瞬时平移，瞬时平移刚体的角加速度不为零。 解题要领： 1 建立平面运动刚体的运动方程时要注意选取合适的点为基点，以使问题简单，。 2 由于在基点建立的是平移坐标系，因此，相对基点的角速度就是相对惯性坐标系的角速度。 3 平面运动刚体上点的速度计算的3种方法各有所长：基点法包含刚体运动的速度信息，但过程繁杂；速度投影法能快捷地求出一点的速度，但失去角速度信息；瞬心法简单明了和直观是

第4章点的运动和刚体基本运动习题解答080814

第四章 点的运动和刚体基本运动 本章要点 一、点的运动 1 点运动位置的确定的三种方法 ⅰ）矢量法：)(t r r =； ⅱ）直角坐标法：)(t x x =，)(t y y =，)(t z z =； ⅲ）弧坐标法（轨迹已知）：)(t s s =. 2 点的速度与加速度的矢量表示 速度 t d d r v =， 加速度 22t d d t d d r v a ＝= . 3 点的速度与加速度的直角坐标表示 速度在各坐标轴上的投影为 t x v d d = x ， t y v d d =y ， t z v d d =z . 速度的大小和方向余弦为 ? ? ? ??===++=v v v v v v v v v v z y x 2z 2y 2x )，cos(，)，cos(，)，cos(k v j v i v 加速度在各坐标轴上的投影为 222222d d d d d d d d d d d d dt z t v a ，t y t v a ，t x t v a z z y y x x ====== 加速度的大小和方向余弦分别为 ? ? ? ??===++=a a a a a a a a a a z y x 2z 2y 2x )，cos(，)，cos(，)，cos(k a j a i a 4 点的速度与加速度的弧坐标表示 点的速度 τv t d s d = ， 切向加速度 ττa 22t d s d t d d ==v τ；

法向加速度 n a ρ v 2 n =， 其中τ为切线单位矢量，指向弧坐标增加的方向；n 表示主法线正向的单位矢量，指向曲率中心（即指向曲线凹的一方）。 全加速度为 n τa a a += 全加速度a 的大小和它与法线间夹角的正切分别为 2 n 2τa a a +=，()n τ tg a a = n a, 解题要领： 1 确定动点，根据题意是选择矢量法、直角坐标法还是弧坐标法，三种方法各有所长. 2 从点的运动方程出发求点的速度和加速度是对时间的求导运算；反之，也可以从加速度出发求速度和运动方程，或从速度出发求运动方程，这是积分运算，但结果都不唯一 ，积分常数需要用初始条件来确定。 3 从直角坐标形式的运动方程出发计算切向加速度、法向加速度、曲率半径、弧坐标的过程 点的速度：222z y x v v v v ++= ， 点的加速度： 2 22z y x a a a a ++=， 切向加速度： t d d t v = a ， 法向加速度：2 t 2n a a a -=， 曲率半径：n 2 a v =ρ， 弧坐标：?=t t v s 0d . 二、刚体的平移 刚体在运动过程中，其上任意一条直线始终平行于它的初始位置，刚体的这种运动称为平移。具有性质：刚体平移时，其上各点的轨迹形状相同，在同一瞬时，各点的速度和加速度也相同。刚体的平移问题可以归结为点的运动问题. 三、刚体的定轴转动 1 刚体定轴转动的整体描述 转动方程 )(t ??=， 角速度 t d d ?ω= ， 角加速度 22t d d t d d ?ωα== . 匀速转动（ω为常量），则 t ω??+=0，

102-简谐运动的动力学方程

102简谐运动的动力学方程 1. 选择题 1，一弹簧振子，物体的质量为m ，弹簧的劲度系数为k ，该振子作振幅为A 的简谐振动。当物体通过平衡位置且向规定的正方向运动时开始计时。则其振动方程为： (A) )2 1/(cos π+=t m k A x ； (B) )21/cos(π-=t m k A x ； (C) )2 1/cos( π-=t k m A x ； (D) t m /k A x cos =。 [ ] 2，一个弹簧振子和一个单摆（只考虑小幅度摆动），在地面上的固有振动周期分别为T 1和T 2。将它们拿到月球上去，相应的周期分别为1T '和2T '。则有 (A) 11T T >'且22T T >'； (B) 11T T <'且22T T <'； (C) 11T T ='且22T T ='； (D) 11T T ='且22T T >'。 [ ] 3，两个质量分别为1m 、2m 并由一轻弹簧的两端连结着的小球放在光滑的水平桌面上。当1m 固定时，2m 的振动频率为2ν，当2m 固定时，1m 的振动频率1ν为： （A ）2ν ； （B ）122 m m ν ； （C ）221 m m ν ； （D ）2 ν [ ] 4，两个质量相同的物体分别挂在两个不同的弹簧下端，弹簧的伸长分别为1l ?和2l ?，且1l ?=22l ?，两弹簧振子的周期之比T 1：T 2为 （A ）2； （B ） 2； （C ） 2 1； （D ）2/1。 [ ] 5，同一弹簧振子悬挂相同的质量，分别按如图（a ）、（b ）、（c ）所示的三种方式放置，摩擦力 都忽略不计，它们的振动周期分别为a T 、 b T 、 c T ，则三者之间的关系为 （A ）a b c T T T == ； （B ）a b c T T T => ； （C ） a b c T T T >> ； （D ）a b c T T T << 。 [ ] 6，如图所示，质量为m 的物体由劲度系数为k 1和k 2的两个轻弹簧连接在水平光滑导轨上作微小振动，则该系统的振动周期为 (A) T = ； (B) 2T = ； （a ） （b ） （c ）

第二章 刚体的基本运动

第二章 刚体的基本运动 一、目的要求 1．明确刚体平行移动（平动）和刚体绕定轴转动的特征，能正确地判断作平动的刚体和定轴转动的刚体。 2．对刚体定轴转动时的转动方程、角速度和角加速度及它们之间的关系要清晰的理解，熟知匀速和匀变速转动的定义与公式。 3．能熟练地计算定轴转动刚体上任一点的速度和加速度。 4．掌握传动比的概念及其公式的应用。 5．对角速度矢、角加速度矢以及用矢积表示定轴转动刚体上任一点的速度和加速度有初步了解。 二、基本内容 刚体的平动；刚体绕定轴转动；转动刚体内各点的速度和加速度；轮系的转动比；以矢量表示角速度和角加速度，以矢积表示点的速度和加速度。 （1）基本概念 刚体平动与定轴转动的定义，刚体在作这两种运动时刚体上各点速度、加速度的分布规律。 （2）主要公式 平动刚体上，任意两点之间均有 B A v v =，B A a a = 定轴转动刚体上任一点的速度和加速度为 ωr v =，ατr a =，2ωr a n =，22n a a a +=τ，n a a tg τ θ= 以矢积表示的刚体上一点的速度与加速度为 r v ?=ω v r a ?+?=ωα

三、重点和难点 1．重点 （1）刚体平动及其运动特征。 （2）刚体的定轴转动，转动方程，角速度与角加速度。 （3）转动刚体内各点的速度与加速度。 2．难点： 用矢积表示刚体上任一点的速度与加速度。 四、学习建议 （1）对刚体平动强调“三相同”。 （2）对刚体绕定轴转动的特征及其上点的速度，加速度分布规律要讲透，让学生熟练掌握已知刚体转动规律会求其上一点的运动规律，反之，已知转动刚体上一点的运动规律要会求其上各点的运动规律及整体的转动规律。 （3）对轮系传动比作一般介绍。 （4）对ω ，α 方向的确定要介绍练习，对速度和加速度用矢积表示只作一 般介绍以供推导公式用。

第六章刚体动力学_大学物理

第七章机械振动 刚体转动的角坐标、角位移、角速度和角加速度的概念以及它们和有关线量的关系 刚体定轴转动的动力学方程，熟练使用刚体定轴转动定律 刚体对固定轴的角动量的计算，正确应用角动量定理及角动量守恒定理 掌握刚体的概念和刚体的基本运动 理解转动惯量的意义及计算方法，会利用平行轴定理和垂直轴定理求刚体的转动惯量 掌握力矩的功，刚体的转动动能，刚体的重力势能等的计算方法 了解进动现象和基本描述 §6.1 刚体和自由度的概念 一. 力矩 力是引起质点或平动物体运动状态(用动量描述)发生变化的原因.力矩则是引起转动物体 运动状态(用动量聚描述)发生变化的原因. 将分解为垂直于z 轴和平行于z 轴的两个力及,如右图.由于 不能改变物体绕z 轴的转动状态,因此定义对转轴z 的力矩为零.这样,任意力对z 轴的力矩就等于力对z 轴的力矩,即 力矩取决于力的大小、方向和作用点.在刚体的定轴转动中,力矩只有两个指向,因此一般可视为代数量.根据力对轴的力矩定义,显然,当力平行于轴或通过轴时,力对该轴的力矩皆为零. 讨论: (1)力对点的力矩. (2) 力对定轴力矩的矢量形式 力矩的方向由右螺旋法则确定. (3) 力对任意点的力矩,在通过该点的任一轴上的投影,等于该力对该轴的力矩.

例: 已知棒长L,质量M,在摩擦系数为μ 的桌面转动(如图) 求摩擦力对y 轴的力矩. 解: 以杆的端点O 为坐标原点,取Oxy坐标系,如 图在坐标为x 处取线元dx,根据题意,这一线元的质量和摩擦力分别为 则该线元的摩擦力对y轴的力矩为 积分得摩擦力对y轴的力矩为 注: 在定轴转动中,力矩可用代数值进行计算,例如

理论力学---第4章点的运动和刚体基本运动习题解答

第四章 点的运动和刚体基本运动 习题解答 4-1 图示曲线规尺的杆长200==AB OA mm ，50====AE AC DE CD mm 。杆OA 绕O 轴转动的规律为t 5 π?= rad ，并且当运动开始时，角 0=?，求尺上D 点的运动方程和轨迹。 解： 已知t π?2.0=，故点D 的运动方程为 m m 2.0cos 200D t x π= m m 2.0sin 100D t y π= 消去时间t 得到点D 的轨迹方程为 11002002 222=+D D y x （椭圆） 4-2 图示AB 杆长l ，以t ω?=的规律绕B 点转动， ω为常量。而与杆连接的滑块B 以t b a s ωsin +=的规 律沿水平线作谐振动，a 、b 为常量。求A 点的轨迹。 解： 采用直角坐标法，取图示直角坐标系O xy , 则A 点位置坐标为?sin l s x += ，?cos l y -=，即 ()t l b a x ωsin ++= t l y ωcos -=. 消去时间t 得A 点轨迹方程为： 2 2 2 2()1()x a y b l l -+=+.（椭圆） 4-3 套筒A 由绕过定滑轮B 的绳索牵引而沿导轨上升，滑 轮中心到导轨的距离为l ，如图所示。设绳索以等速0v 拉下，忽略滑轮尺寸。求套筒A 的速度和加速度与距离x 的关系式。 解：设0=t 时，绳上C 点位于B 处，在瞬时t ,到达图示位置 则 =++= +t v l x BC AB 022常量，将上式求导，得到管套 A 的速度和加速度为 2 20d d l x x v t x v A +-==， 32 20d d x l v t v a A A -==， 负号表示A A a v ,的实际方向与x 轴相反。 4-4 如图所示，半径为R 的圆形凸轮可绕O 轴转动，带动顶杆BC 作铅垂直线运动。设凸轮圆心在A 点，偏心距e =OA ，t ω?=，其中ω为常量。试求顶杆上B 点的运动方程、速度和加速度。 解：以O 点为原点建立坐标系，由余弦定理可得 2222cos AB OA OB OA OB t ω=+-?? 其中OA=e ，AB=R ，设B y =OB 代入上式 题 4-1图 题4-2图 题4-3图

第6章刚体的基本运动习题

第6章 刚体的基本运动习题 1.是非题（对画√，错画×） 6-1.平移刚体上各点的轨迹一定是直线。（ ） 6-2.在每一瞬时刚体上各点的速度相等，刚体作平移运动。（ ） 6-3.某瞬时刚体有两点的速度相等，刚体作平移运动。（ ） 6-4.研究刚体的平移运动用点的运动学知识即可。（ ） 6-5.平移刚体上各点的轨迹形状相同，同一瞬时刚体上各点的速度相等，各点的速度相等。（ ） 6-6.刚体在运动的过程中，存在一条不动的直线，则刚体作定轴转动。 6-7.刚体作定轴转动时各点的速度大小与到转轴的距离成正比，各点的加速度大小与到转轴的距离成反比。 6-8.刚体作定轴转动时法向加速度ωr a n 2=。（ ） 6-9.齿轮传递时其角速度的比等于半径的正比。（ ） 6-10.刚体作定轴转动时角速度与角加速度同号时，刚体作加速转动。（ ） 2.简答题 6-11.刚体作匀速转动时，各点的加速度等于零吗？为什么？ 6-12.齿轮传递时，如图6-12所示，接触点的速度相等，加速度也相等吗？为什么？ 6-13.下列刚体作平移还是作定轴转动： （1）在直线轨道行驶的车箱。 （2）在弯道行驶的车箱。 （3）车床上旋转的飞轮。 （4）在地面滚动的圆轮。 6-14.如图所示，直角刚杆AO=1m ，BO=2m ，已知某瞬时A 点的速度V A =4m/s ，而B 点的加速度与BO 成α=45°，则该瞬时刚杆的角加速度α为多少？。 6-15.如图所示，鼓轮的角速度由下式 题6-14图 题6-15图

r x tan 1 -=? 求得， (dt d dt d ω==?r x tan 1-） 问此解法对吗？为什么？ 3.计算题 6-16.如图所示的机构中，已知O 1A=O 2B=AM=r=0.2m ，O 1O 2=AB ，轮O 1的运动方程为t π15=?（rad ），试求当s 50.t =时，杆AB 上的点M 的速度和加速度。 6-17.揉茶机的揉桶有三个曲柄支持，曲柄支座A 、B 、C 与支轴a 、b 、c 恰好组成等边三角形，如图所示。三个曲柄长相等，长为cm 15=l ，并以相同的转速r/min 45=n 分别绕其支座转动，试求揉桶中心点O 的速度和加速度。 题6-16图 题6-17图 6-18.如图所示，带有水平滑槽的套杆可沿固定板的铅锤导轨运动，从而带动销钉B 沿半径R =100mm 的圆弧滑槽运动。已知套杆以匀速度2=o v m/s 铅直向上运动，试求当y =100mm 时，线段OB 的角速度。

第6章刚体的基本运动

第6章 刚体的基本运动 在上一章的基础上本章的研究对象是刚体，学习的内容是刚体的平行移动和定轴转动，它构成刚体的两个基本运动，也是研究刚体复杂运动的基础。 6.1 刚体平行移动 工程实际中，如气缸内活塞的运动，打桩机上桩锤的运动等等，其共同的运动体点是在运动过程中，刚体上任意直线段始终与它初始位置相平行，刚体的这种运动称为平行移动，简称平移。如图6-1所示车轮的平行推杆AB 在运动过程中始终与它初始位置相平行，因此推杆AB 作平移。 确定平移刚体的位置和运动状况，只需研究刚体上任意直线段AB ，A 、B 两点的矢径为A r 和B r ，A 、B 两点间的有向线段AB r 之间的关系为 AB B A r r r += （6-1） 图6-1 图6-2

由平动定义知AB r 为恒矢量，A 、B 两点的轨迹只相差AB r 的恒矢量，即A 、B 两点的轨迹形状相同。 式（6-1）对时间求导，得 B A v v = （6-2） B A a a = （6-3） 结论： （1）平移刚体上各点的轨迹形状相同； （2）在同一瞬时平移刚体上各点的速度相等，各点的加速度相等。 因此，刚体的平行移动可以转化一点的运动来研究，即点的运动学。 6.2 刚体的定轴转动 工程实际中绕固定转动的物体很多，如飞论、电动机的转子、卷扬机的鼓轮、齿轮等均绕定轴转动。这些刚体的运动特点是：在运动过程中，刚体上存在一条不动的直线段，刚体的这种运动称为刚体的绕定轴转动，简称转动，转动刚体的不动的直线段称为刚体的转轴。 6.2.1转动刚体的运动描述 如图6-3所示，选定参考坐标系oxyz ，设z 轴与刚体的转轴重合，过z 轴作一个不动的平面0P （称为静平面），再作一个与刚体一起转动的平面P （称为动平面），令静平面0P 位于oxz 面上，初始瞬时这两个平面重合，当刚体转动到t 瞬时，两个平面间的夹角为?，?称为刚体的转角，用来描述转动刚体的代数量。按照右手螺旋法则规定转角?的符号，其单位为弧度（rad ）。 刚体定轴转动的运动方程是 f(t)=? （6-4） f(t)是时间t 的单值连续函数。

论简谐运动动力学与运动学公式的统一

论简谐运动动力学与运动学公式的统一 ——用导数、微积分知识推导简谐运动的运动学与动力学公式 【摘要】本文通过简谐运动与数学知识的联系，用导数、微积分的知识推导简谐运动的动力学、运动学公式。 【研究背景】本人通过对《物理》选修3-4第十一章简谐运动的学习，了解了简谐运动的运动学与动力学性质。但是书中并未给出其具体的证明过程，于是对其开展研究。 【正文】根据简谐运动的定义，如果质点的位移与时间的关系遵从正弦函数规律，即它的振动图像（x-t图像）是正弦函数图像，这样的运动叫做简谐运动。接下来我们来证明做简谐运动的质点一定受到随位移均匀变化的合力。 由定义可知，质点的位移随时间变化关系 x=A sin（ωt+φ）(1) 对时间求导，即可得到速度随时间变化关系 v=dx =Aωcos（ωt+φ）(2) dt 再次求导，可得加速度随时间变化关系 =?Aω2sin(ωt+φ)(3) a=dv dt 由牛顿第二定律，可得质点所受合力为 F=ma(4) 联立（3）（4）可得 F=?mAω2sin(ωt+φ)(5) 将(1)代入(5)得 F=?mω2x(6)

上式中，m 与ω都是常数，从而写成 F =?kx (7) 这就证明了做简谐运动的质点一定受到随位移均匀变化的合力，同时联立(6)(7)得 ω= k m (8) 根据周期公式T = 2πω可得 T =2π m k 以上便是简谐运动的周期公式 既然做简谐运动的质点一定受到随位移均匀变化的合力，那么如果一个质点受到随位移均匀变化的合力，是否做简谐运动。答案是肯定的，接下来，我们给出证明。 由简谐运动的运动学公式，得到其所受合力随位移的变化关系 F =?kx (1) 由牛顿第二定律得 F =ma (2) 联立(1)(2)得 a =?k m x (3) 对(3)进行积分可得速度的平方随位移的变化关系 v 2=2 ?k m x 0x dx +C =?k m x 2+C (4) 假设质点处于平衡位置时的速度为v 0，则 当x=0时，有C =v 02 (5)

多体系统动力学简介20081202

多体系统动力学简介

多体系统动力学研究对象——机构 工程中的对象是由大量零部件构成的系统。在对它们进行设计优化与性态分析时可以分成两大类 一类为结构 ——正常工况下构件间没有相对运动（房屋建筑，桥梁等） ——关心的是这些结构在受到载荷时的强度、刚度与稳定 一类为机构 ——系统在运动过程中这些部件间存在相对运动（汽车，飞机起落架。机器人等）——力学模型为多个物体通过运动副连接的系统，称为多体系统 多体系统动力学俄研究的对象——机构（复杂机械系统）

不考虑系统运动起因的情况下研究各部件的位置与姿态及其变化速度和加速度的关系 典型案例：平面和空间机构的运动分析 系统各部件间通过运动副与驱动装置连接在一起 数学模型：各部件的位置与姿态坐标的非线性代数方程，以及速度与加速度的线性代数方程

当系统受到静载荷时，确定在运动副制约下的系统平衡位置以及运动副静反力 典型案例：机车或汽车中安装有大量的弹簧阻尼器，整车设计中必须考虑系统在静止状态下车身的位置与姿态，为平稳性与操纵稳定性的研究打下基础 数学模型：非线性微分代数方程组

讨论载荷和系统运动的关系 研究复杂机械系统在载荷作用下各部件的动力学响应是工程设计中的重要问题 动力学正问题——已知外力求系统运动的问题 动力学逆问题——已知系统运动确定运动副的动反力，是系统各部件强度分析的基础 动力学正逆混合问题——系统的某部分构件受控，当它们按照某已知规律运动时，讨论在外载荷作用下系统其他构件如何运动 数学模型：非线性微分代数方程组

机械系统的多体系统力学模型 在对复杂机械系统进行运动学与动力学分析前需要建立它的多体系统力学模型。对系统如下四要素进行定义： ?物体 ?铰链 ?外力（偶） ?力元 实际工程中的机械系统多体系统力学模型的定义取决于研究的目的 模型定义的要点是以能揭示系统运动学与动力学性态的最简模型为优 性态分析的求解规模与力学模型的物体与铰的个数有关