常微分方程期末试卷

《常微分方程》期末试卷

《常微分方程》期末试卷(16) 班级 学号 姓名 得分 评卷人 一、填空题（每小题5分，本题共30分） 1．方程x x y x y e sin d d =+的任一解的最大存在区间必定是 ． 2．方程04=+''y y 的基本解组是 ． 3．向量函数组)(,),(),(21x x x n Y Y Y 在区间I 上线性相关的________________条件是在区间I 上它们的朗斯基行列式0)(=x W ． 4．李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的 条件． 5．n 阶线性齐次微分方程的所有解构成一个 维线性空间． 6．向量函数组)(,),(),(21x x x n Y Y Y 在其定义区间I 上线性相关的 条件是它们的朗斯基行列式0)(=x W ，I x ∈． 得分 评卷人 二、计算题（每小题8分，本题共40分） 求下列方程的通解 7. x y x y 2e 3d d =+ 8. 0)d (d )(3223=+++y y y x x xy x 9．0e =-'+'x y y 10．求方程x y y 5sin 5='-''的通解． 11．求下列方程组的通解． ???????+=+=y x t y y x t x 4d d d d 得分 评卷人 三、证明题（每小题15分，本题共30分）

12．设)(1x y ?=和)(2x y ?=是方程0)(=+''y x q y 的任意两个解，求证：它们的朗斯基行列式C x W ≡)(，其中C 为常数． 13．设)(x ?在区间),(∞+-∞上连续．试证明方程 y x x y sin )(d d ?= 的所有解的存在区间必为),(∞+-∞．

微分方程总结

第十章：微分方程总结姓名：刘桥 学号：40905237 班级：工商49班 小组：第八小组 组长：刘洪材

一、 微分方程的基本概念 1. 微分方程及其阶的定义 微分方程：凡含有未知函数的导数或微分的方程叫微分方程. 分类1：常微分方程（未知函数为一元函数的微分方程） ()() ,dy axy a dx dy p x y Q x dx =+=为常数 偏微分方程（未知函数为多元函数，从而出现偏导数的微分方程） () 22,2224 2 u u f x y x y u u y x ??+=????=?? 微分方程的阶.：微分方程中出现的未知函数导数或微分的最高阶数. 分类2：一阶微分方程 (,,)0,(,);F x y y y f x y ''== 高阶(n )微分方程 ()(,,,,)0,n F x y y y '= ()(1)(,,, ,).n n y f x y y y -'= 分类3：线性与非线性微分方程. ()(),y P x y Q x '+=2()20;x y yy x ''-+= 分类4：单个微分方程与微分方程组. 32,2,dy y z dx dz y z dx ?=-??? ?=-?? 2. 微风方程的解 微分方程的解：代入微分方程能使方程成为恒等式的函数. 微分方程解的分类：通解（微分方程的解中含有任意常数,且任意常数的个数与 微分方程的阶数相同.）

,y y '=例;x y ce =通解 0,y y ''+=12sin cos ;y c x c x =+通解 特解（ 确定了通解中任意常数以后的解.） 初始条件：用来确定任意常数的条件. 初值问题: 求微分方程满足初始条件的解的问题. 积分曲线：微分方程的任一特解的图形都是一条曲线,称为微分方程的积分曲线 二、 一阶微分方程 1. 可分离变量的方程 可分离变量的微分方程：形如： ()()g y dy f x dx =的一阶微分方程. 例题回味：求方程()290y dy x dy ye ++ =的通解 分离变量得，21 9 y ye dy dx x = + 两边同时积分得， 2 1 9y ye dy dx x =- +?? 于是得到通解为，()11arctan 33 y x y e c -=+ 2. 齐次方程 如果一阶微分方程可化为()dy y f dx x =形如的方程，那么久称之为齐次方程. 解法：作变量代换,y u x = ,y xu =或 两边分求微分得， ,dy udx xdu =+ 代入原式得，(),du u x f u dx +=().du x f u u dx =-即 ()0,f u u -≠若则对上式分离变量得， ()du dx f u u x =-. 两边分别积分得， ()du dx f u u x =-? ? 求出积分后，将y u x = 代入，就求得了原微分方程的通解. 例题回味：求解微分方程(cos )cos 0.y y x y dx x dy x x -+=

常微分方程期末考试题大全东北师大

证明题： 设()x f 在[)+∞,0上连续，且()b x f x =+∞ →lim ，又0>a ，求证：对于方程 ()x f ay dx dy =+的一切解()x y ，均有()a b x y x =+∞→lim 。 证明 由一阶线性方程通解公式，方程的任一解可表示为 ()()?? ????+=?-x at ax dt e t f C e x y 0， 即 ()()ax x at e dt e t f C x y ?+= 。 由于b x f x =+∞ →)(lim ，则存在X ，当X x >时，M x f >)(。因而 ()dt e M dt e t f dt e t f x X at X at x at ??? +≥0 )( ())(0 aX ax X at e e a M dt e t f -+ = ? ， 由0>a ，从而有()∞=?? ????+?+∞→x at x dt e t f C 0lim ，显然+∞=+∞ →ax x e lim 。 应用洛比达法则得 ()()ax x at x x e dt e t f C x y ?+=+∞ →+∞ →0 lim lim ()ax ax x ae e x f +∞→=lim ()a b a x f x ==+∞ →lim 。 证明题：线性齐次微分方程组x A x )(t ='最多有n 个线性无关的解，其中)(t A 是定义在区间b t a ≤≤上的n n ?的连续矩阵函数。 证 要证明方程组x A x )(t ='最多有n 个线性无关的解，首先要证明它有n 个线性无关的解，然后再证明任意1+n 个解都线性相关。

信号与系统课程总结

信号与系统课程总结 The final edition was revised on December 14th, 2020.

信号与系统总结 一信号与系统的基本概念 1信号的概念 信号是物质运动的表现形式；在通信系统中，信号是传送各种消息的工具。 2信号的分类 ①确定信号与随机信号 取决于该信号是否能够由确定的数学函数表达 ②周期信号与非周期信号 取决于该信号是否按某一固定周期重复出现 ③连续信号与离散信号 取决于该信号是否在所有连续的时间值上都有定义 ④因果信号与非因果信号 取决于该信号是否为有始信号（即当时间t小于0时，信号f(t)为零，大于0时，才有定义） 3系统的概念 即由若干相互联系，相互作用的单元组成的具有一定功能的有机整体 4系统的分类 无记忆系统：即输出只与同时刻的激励有关 记忆系统：输出不仅与同时刻的激励有关，而且与它过去的工作状态有关 5信号与系统的关系 相互依存，缺一不可 二连续系统的时域分析 1零输入响应与零状态响应 零输入响应：仅有该时刻系统本身具有的起始状态引起的响应 零状态响应：在起始状态为0的条件下，系统由外加激励信号引起的响应 注：系统的全响应等于系统的零输入响应加上零状态响应 2冲激响应与阶跃响应 单位冲激响应：LTI系统在零状态条件下，由单位冲激响应信号所引起的响应

单位阶跃响应：LTI系统在零状态条件下，由单位阶跃响应信号所引起的响应 三傅里叶变换的性质与应用 1线性性质 2脉冲展缩与频带变化 时域压缩，则频域扩展 时域扩展，则频域压缩 3信号的延时与相位移动 当信号通过系统后仅有时间延迟而波形保持不变，则系统将使信号的所有频率分量相位滞后 四拉普拉斯变换 1傅里叶变换存在的条件：满足绝对可积条件 注：增长的信号不存在傅里叶变换，例如指数函数 2卷积定理 表明：两个时域函数卷积对应的拉氏变换为相应两象函数的乘积 五系统函数与零、极点分析 1系统稳定性相关结论 ①稳定：若H(s)的全部极点位于s的左半平面，则系统是稳定的； ②临界稳定：若H(s)在虚轴上有s=0的单极点或有一对共轭单极点，其余极点全在s的左半平面，则系统是临界稳定的； ③不稳定：H(s)只要有一个极点位于s的右半平面，或者虚轴上有二阶或者二阶以上的重极点，则系统是不稳定的。 六离散系统的时域分析 1常用的离散信号 ①单位序列②单位阶跃序列③矩阵序列④正弦序列⑤指数序列 七离散系统的Z域分析 1典型Z变换 ①单位序列②阶跃序列③指数序列④单边正弦和余弦序列 2Z变化的主要性质 ①线性性质②移位性质③尺度变换④卷和定理 八连续和离散系统的状态变量分析 1状态方程

《常微分方程》期末模拟试题

《常微分方程》模拟练习题及参考答案 一、填空题（每个空格4分，共80分） 1、n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是 n 个。 2、一阶微分方程 2=dy x dx 的通解为 2=+y x C （C 为任意常数） ，方程与通过点（2，3）的特解为 2 1=-y x ，与直线y=2x+3相切的解是 2 4=+y x ，满足条件3 3ydx =?的解为 22=-y x 。 3、李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的 必要 条件。 4、对方程 2()dy x y dx =+作变换 =+u x y ，可将其化为变量可分离方程，其通解为 tan()=+-y x C x 。 5、方程过点共有 无数 个解。 6、方程 ''2 1=-y x 的通解为 42 12122=-++x x y C x C ，满足初始条件13|2,|5====x x y y 的特解为 4219 12264 =-++x x y x 。 7、方程 无 奇解。 8、微分方程2260--=d y dy y dx dx 可化为一阶线性微分方程组 6?=??? ?=+??dy z dx dz z y dx 。 9、方程 的奇解是 y=0 。 10、35323+=d y dy x dx dx 是 3 阶常微分方程。 11、方程 22dy x y dx =+满足解得存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面 。 12、微分方程22450d y dy y dx dx --=通解为 512-=+x x y C e C e ，该方程可化为一阶线性微分方程组 45?=??? ?=+??dy z dx dz z y dx 。 2 1d d y x y -=)1,2 (πx x y x y +-=d d y x y =d d

常微分学习心得

常微分学习心得 标准化文件发布号：（9312-EUATWW-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

常微分学习心得 常微分方程是研究自然现象，物理工程和工程技术的强有力工具，熟练掌握常微分方程的一些基本解法是学习常微分方程的主要任务，凡包含自变量，未知函数和未知函数的导数的方程叫做微分方程。满足微分方程的函数叫做微分方程的解，含有独立的任意常数的解称为微分方程的通解。确定通解中任意常数后所得的解称为该方程的特解。 例如：求解方程dy dx =y x +tan y x 解：令μ=y x ，及dy dx =x ｄμｄｘ +μ代入，则原方程变为 x ｄμｄｘ +μ=μ+tan μ，即ｄμｄｘ =tan μx 将上式变量分离即有cot μd μ=dx x ， 两边积分得㏑｜sin μ｜=㏑｜x ｜+c 这里c 为任意常数 整理后得：sin μ=±e c ，令±e c =c 得到sin μ=c x 此外，方程还有解tan μ=0，sin μ=0. 如果在sin μ=c x 中允许c=0，则sin μ=0也就包括在sin μ=c x 中，这就是方程ｄμｄｘ =tan μx 的通解为sin μ=c x 代回原方程得通解sin y x =c x 。

一阶微分方程的初等解法中把微分方程的求解问题化为了积分问题，这类初等解法是，与我们生活中的实际问题密切相关的值得我们好好探讨。 在高阶微分方程中我们学习的线性微分方程，作为研究线性微分方程的基础，它在物理力学和工程技术，自然科学中时存在广泛运用的，对于一般的线性微分方程，我们又学习了常系数线性微分变量的方程，其中涉及到复值与复值函数问题，相对来说是比较复杂难懂的。 至于后面的非线性微分方程，其中包含的稳定性，定性基本理论和分支，混沌问题及哈密顿方程，非线性方程绝大部分的不可解不可积现象导致了我们只能通过从方程的结构来判断其解的性态问题，在这一章节中，出现的许多概念和方法是我们从未涉及的，章节与章节中环环相扣，步步深入，由简单到复杂，其难易程度可见一斑。 由此，常微分方程整体就是由求通解引出以后的知识点，以求解为基础不断拓展，我们所要学习的就是基础题解技巧，培养自己机制与灵活性，多反面思考问题的能力，敏锐的判断力也是不可缺少的。、

常微分方程期末试题B答案

2005——2006学年第二学期 常微分方程课程试卷（B） 一、填空题（每空2 分，共16分）。 1．李普希滋条件是初值问题存在唯一解的充分条件． 2. 一阶微分方程的一个特解的图像是二 维空间上的一条曲线． 3．线性齐次微分方程组Y A Y ) ( d d x x =的一个基本解组的个数不能多于n个，其中R ∈ x，n R Y∈． 4．二阶线性齐次微分方程的两个解) ( 1 x y? =,) ( 2 x y? =成为其基本解组的充要条件是线性无关． 5．方程2 sin() y xy y '' =+的通解是 6．变量可分离方程()()()()0= +dy y q x p dx y N x M的积分因子是()() x P y N 1 7．性齐次微分方程组的解组) ( , ), ( ), ( 2 1 x x x n Y Y Y 为基本解组的充分必要条件是它们的朗斯基行列式0 ) (≠ x W． 8．方程540 y y y ''' ++=的基本解组是x x e e4 ,- - 二、选择题（每小题3 分，共15分）。 9．两个不同的线性齐次微分方程组（ D ）的基本解组． (A) 一定有相同(B) 可能有相同 (C) 一定有相似(D) 没有相同 10．方程组 ? ? ? ?? ? ? + = + = y x t y y x t x 4 3 d d 2 d d 的奇点)0,0(的类型是（D ）． （A）稳定焦点（B）不稳定焦点（C）鞍点（D）不稳定结点11．方程x(y2－1)d x+y(x2－1)d y=0的所有常数解是（ C ）． (A) 1± = x(B)1± = y

(C )1±=y , 1±=x (D )1=y , 1=x 12．n 阶线性非齐次微分方程的所有解（ D ）． （A ）构成一个线性空间 （B ）构成一个1-n 维线性空间 （C ）构成一个1+n 维线性空间 （D ）不能构成一个线性空间 13．方程4d d +-=x y x y （ A ）奇解． (A) 无 (B) 有一个 (C) 有两个 (D) 可能有 三、计算题（每小题8分，共48分） 。 14．求方程 x y x y x y tan d d +=的通解 解：令x y u =，则u x u y '+='， u x u x tan d d = 当0tan ≠u 时，等号两边积分 1d tan d C x x u u +=?? C x u ln ln sin ln += 0≠C Cx x y =sin 15．求方程0d d )1(2=+--y x x y x 的通解 解：积分因子21)(x x =μ， 则 0d 1d 122=+--y x x x y x 为全微分方程．取10=x ，00=y ，于是通积分为 1012 2d d 1C y x x y x y x =+--?? 即 C x x x y =++1 16．求方程2221)(x y x y y + '-'=的通解 解:令 p y ='，得到2 2 2x xp p y +-= （*） ，两端同时关于求导，

常微分方程期末考试练习题及答案

一，常微分方程的基本概念 常微分方程： 含一个自变量x，未知数y及若干阶导数的方程式。一般形式为：F（x，y，y，.....y(n)）=0 (n≠0). 1. 常微分方程中包含未知函数最高阶导数的阶数称为该方程的阶。如：f(x)（3）+3f(x)+x=f(x)为3阶方程。 2.若f（x）使常微分方程两端恒等，则f（x）称为常微分方程的解。 3.含有独立的任意个常数（个数等于方程的阶数）的方程的解称为常微分方程的通解。如常系数三阶微分方程F（t，x（3））=0的通解的形式为：x（t）=c1x（t）+c2x（t）+c3x（t）。 4.满足初值条件的解称为它的特解（特解不唯一，亦可能不存在）。 5.常微分方程之线性及非线性：对于F（x，y，y，......y(n)）=0而言，如果方程之左端是y，y，......y(n)的一次有理式，则次方程为n阶线性微分方程。（方程线性与否与自变量无关）。如：xy（2）-5y，+3xy=sinx 为2阶线性微分方程；y（2）+siny=0为非线性微分方程。 注：a.这里主要介绍几个主要的，常用的常微分方程的基本概念。余者如常微分方程之显隐式解，初值条件，初值问题等概念这里予以略去。另外，有兴趣的同学不妨看一下教材23页的雅可比矩阵。 b.教材28页第八题不妨做做。 二.可分离变量的方程 A.变量分离方程

1.定义：形如 dx dy =f （x)φ(y)的方程，称为分离变量方程。这里f （x ），φ（x ）分别是x ，y 的连续函数。 2.解法：分离变量法? ? +=c dx x f y dy )()(?. （*） 说明： a 由于（*）是建立在φ（y ）≠0的基础上，故而可能漏解。需视情况补上φ（y ）=0的特解。（有时候特解也可以和通解统一于一式中） b.不需考虑因自变量引起的分母为零的情况。 例1.0)4(2=-+dy x x ydx 解：由题意分离变量得：04 2=+-y dy x dx 即： 0)141(41=+--y dy dx x x 积分之，得：c y x x =+--ln )ln 4(ln 4 1 故原方程通解为：cx y x =-4)4( （c 为任意常数），特 解y=0包含在通解中（即两者统一于一式中）。 *例2.若连续函数f （x ）满足 2 ln )2 ()(20 +=? dt t f x f x ，则f （x ）是？ 解：对给定的积分方程两边关于x 求导，得： )(2)('x f x f = （变上限求积分求导） 分离变量，解之得：x Ce x f 2)(= 由原方程知： f （0）=ln2， 代入上解析式得： C=ln2， B.可化为分离变量方程的类型。 解决数学题目有一个显而易见的思想：即把遇到的新问题，结合已知

常微分方程期末历年考试(B)

广西师范大学漓江学院试卷 课程名称：常微分方程课程序号：开课院系：理学系 任课教师： 年级、专业：07数学考试时间：120分钟 考核方式：闭卷 ■ 开卷 □试卷类型：A 卷□B 卷■ 一、填空题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) (请在每小题地空格中填上正确答案，错填、不填均无分). 1、当_______________时，方程(,)(,)0M x y dx N x y dy +=称为恰当方程. 2、求(,)dy f x y dx =满足00()y x y =地解等价于求积分方程地连续解． 3、函数组t t t e e e 2,,-地朗斯基行列式值为． 4、二阶齐次线性微分方程地两个解)(),(21x y x y 为方程地基本解组充分必要条件是． 5、若矩阵A 具有n 个线性无关地特征向量n v v v ,,,21Λ，它们对应地特征值分别为n λλλΛ,,21，那么常系数线性方程组Ax x ='地一个基解矩阵)(t Φ=. 6、方程tan dy x y dx =地所有常数解是． 7、如果存在常数0L >,使得不等式对于所有12,),(,)x y x y R ∈（都成立，称函数),(y x f 在R 上关于y 满足利普希茨条件，其中L 为利普希茨常数． 8、)()(x Q y x P dx dy += 称为一阶线性方程，它有积分因子 ?-dx x P e )( ，其通解为 _________ . 9、方程22y x dx dy +=定义在矩形域R:-222,2≤≤-≤≤y x 上，则经过点（0，0）地解地存在区间是． 10、若(),()t t Φψ是齐次线性方程组()X A t X '=地基解矩阵，则()t Φ与()t ψ具有关系． 年 级 ： 专 业： 装订密封线 考 生 答 题 不 得 出 现 红 色字 迹 ， 除 画 图 外 ， 不 能 使用 铅笔答 题；答题 留 空 不 足 时 ， 可 写到 试卷 背面 ；请 注意 保 持试 卷完 整.

常微分方程总结

（1） 概念 微分方程：一般，凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量的之间关系的方程。 微分方程的阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数。如： 一阶：2dy x dx = 二阶：220.4d s dt =- 三阶：32243x y x y xy x ''''''+-= 四阶：()4410125sin 2y y y y y x ''''''-+-+= 一般n 阶微分方程的形式：()() ,,,,0n F x y y y '=。这里的()n y 是必须出现。 （2）微分方程的解 设函数()y x ?=在区间I 上有n 阶连续导数，如果在区间I 上， ()()()(),,0n F x x x x ?????'≡???? 则()y x ?=称为微分方程()(),,,,0n F x y y y '=的解。 注：一个函数有n 阶连续导数→该函数的n 阶导函数也是连续的。 函数连续→函数的图像时连在一起的，中间没有断开（即没有间断点）。 导数→导函数简称导数，导数表示原函数在该点的斜率大小。 导函数连续→原函数的斜率时连续变化的，而并没有在某点发生突变。 函数连续定义：设函数()y f x =在点0x 的某一邻域内有定义，如果()()0 0lim x x f x f x →=则称函数()f x 在点0x 连续。 左连续：()() ()000lim x x f x f x f x --→== 左极限存在且等于该点的函数值。 右连续：()() ()000lim x x f x f x f x ++→== 右极限存在且等于该点的函数值。 在区间上每一个点都连续的函数，叫做函数在该区间上连续。如果是闭区间，包括端点，是指函数在右端点左连续，在左端点右连续。 函数在0x 点连续?()()()()000 0lim lim lim x x x x x x f x f x f x f x -+→→→=== 1、()f x 在点0x 有定义 2、()0 lim x x f x →极限存在

一阶常微分方程解法总结

第 一 章 一阶微分方程的解法的小结 ⑴、可分离变量的方程： ①、形如 )()(y g x f dx dy = 当0)(≠y g 时，得到 dx x f y g dy )() (=，两边积分即可得到结果； 当0)(0=ηg 时，则0)(η=x y 也是方程的解。 例、 xy dx dy = 解：当0≠y 时，有 xdx y dy =，两边积分得到)(2ln 2为常数C C x y += 所以)(112 12 C x e C C e C y ±==为非零常数且 … 0=y 显然是原方程的解； 综上所述，原方程的解为)(12 12 为常数C e C y x = ②、形如0)()()()(=+dy y Q x P dx y N x M 当0)()(≠y N x P 时，可有 dy y N y Q dx x P x M ) () ()()(=，两边积分可得结果； 当0)(0=y N 时，0y y =为原方程的解，当0(0=） x P 时，0x x =为原方程的解。 例、0)1()1(2 2 =-+-dy x y dx y x 解：当0)1)(1(2 2 ≠--y x 时，有 dx x x dy y y 1 122-=-两边积分得到 )0(ln 1ln 1ln 22≠=-+-C C y x ，所以有)0()1)(1(22≠=--C C y x ； — 当0)1)(1(2 2 =--y x 时，也是原方程的解； 综上所述，原方程的解为)()1)(1(2 2 为常数C C y x =--。 ⑵可化为变量可分离方程的方程： ①、形如 )(x y g dx dy =

解法：令x y u =，则udx xdu dy +=，代入得到)(u g u dx du x =+为变量可分离方程，得到)(0),,(为常数C C x u f =再把u 代入得到)(0),,(为常数C C x x y f =。 ②、形如)0(),(≠+=ab by ax G dx dy 解法：令by ax u +=，则b du adx dy +=，代入得到)(1u G b a dx du b =+为变量可分离方程， 得到)(0 ),,(为常数C C x u f =再把u 代入得到)(0),,(为常数C C x by ax f =+。 ③、形如 )(2 221 11c y b x a c y b x a f dx dy ++++= ） 解法：01、 02 2 11=b a b a ，转化为 )(by ax G dx dy +=，下同①； 02、 022 1 1≠b a b a ，???=++=++00 222111 c y b x a c y b x a 的解为),(00y x ，令???-=-=00y y v x x u 得到，)()( )(221 12211u v g u v b a u v b a f v b u a v b u a f du dv =++=++=，下同②； 还有几类：xy u dy xy xg dx xy yf ==+,0)()( xy v xy f dx dy x ==),(2 22),(x y w x y xf dx dy == θθsin ,cos ,0))(,())(,(r y r x ydx xdy y x N ydy xdx y x M ===-++ 以上都可以化为变量可分离方程。 例、 2 5 --+-=y x y x dx dy . 解：令2--=y x u ，则du dx dy -=，代入得到u u dx du 71+=- ，有dx udu 7-= 所以)(72 2 为常数C C x u +-=，把u 代入得到)(72 22 为常数） （C C x y x =+--。 例、 1 212+-+-=y x y x dx dy

(完整版)常微分方程期末考试试卷(6)

常微分方程期末考试试卷(6) 学院 ______ 班级 _______ 学号 _______ 姓名 _______ 成绩 _______ 一． 填空题 （共30分，9小题，10个空格，每格3分）。 1.当_______________时，方程M(x,y)dx+N(x,y)dy=0称为恰当方程，或称全 微分方程。 2、________________称为齐次方程。 3、求dx dy =f(x,y)满足00)(y x =?的解等价于求积分方程____________________的连续解。 4、若函数f(x,y)在区域G 内连续，且关于y 满足利普希兹条件，则方程),(y x f dx dy = 的解 y=),,(00y x x ?作为00,,y x x 的函数在它的存在范围内是__________。 5、若)(),...(),(321t x t x t x 为n 阶齐线性方程的n 个解，则它们线性无关的充要条件是__________________________________________。 6、方程组x t A x )(/=的_________________称之为x t A x )(/=的一个基本解组。 7、若)(t φ是常系数线性方程组Ax x =/的基解矩阵，则expAt =____________。 8、满足___________________的点（**,y x ），称为方程组的奇点。 9、当方程组的特征根为两个共轭虚根时，则当其实部________时，零解是稳定 的，对应的奇点称为___________。 二、计算题（共6小题，每题10分）。 1、求解方程：dx dy =3 12+++-y x y x 2.解方程： (2x+2y-1)dx+(x+y-2)dy=0

常微分方程期末试题答案

2005——2006学年第二学期 数学专业 常微分方程课程试卷（A ） 一、填空题（每空2 分，共16分）。 1、方程 22d d y x x y +=满足解的存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面 ． 2. 方程组 n x x x R Y R Y F Y ∈∈=,),,(d d 的任何一个解的图象是 n+1 维空间中的一条积分曲线. 3．),(y x f y ' 连续是保证方程 ),(d d y x f x y =初值唯一的 充分 条件． 4．方程组???????=-=x t y y t x d d d d 的奇点)0,0(的类型是 中心 5．方程2)(2 1y y x y '+ '=的通解是221 C Cx y += 6．变量可分离方程()()()()0=+dy y q x p dx y N x M 的积分因子是 ()() x P y N 1 7．二阶线性齐次微分方程的两个解)(1x y ?=,)(2x y ?=成为其基本解组的充要条件是 线性无关 8．方程440y y y '''++=的基本解组是x x x 22e ,e --

二、选择题（每小题 3 分，共 15分）。 9．一阶线性微分方程d ()()d y p x y q x x +=的积分因子是（ A ）． （A ）? =x x p d )(e μ （B ）? =x x q d )(e μ （C ）?=-x x p d )(e μ （D ）?=-x x q d )(e μ 10．微分方程0d )ln (d ln =-+y y x x y y 是（ B ） （A ）可分离变量方程 （B ）线性方程 （C ）全微分方程 （D ）贝努利方程 11．方程x (y 2－1)d x+y (x 2－1)d y =0的所有常数解是（ C ）． (A) 1±=x (B)1±=y (C )1±=y , 1±=x (D )1=y , 1=x 12．n 阶线性非齐次微分方程的所有解（ D ）． （A ）构成一个线性空间 （B ）构成一个1-n 维线性空间 （C ）构成一个1+n 维线性空间 （D ）不能构成一个线性空间 13．方程222+-= 'x y y （ D ）奇解． （A ）有一个 （B ）有无数个 （C ）只有两个 （D ）无 三、计算题（每小题8分，共48分） 。 14．求方程22 2d d x y xy x y -=的通解 解：令u x y =，则 dx dy x u dx dy +=，于是，Cx u u x u u dx du =--=1,2 所以原方程的通解为 x y x Cx C y =+=,12 15．求方程 0d )ln (d 3=++y x y x x y 的通解 解：取()()x y y x N x y y x M ln ,,,3 +== 则()()x y x N y x M x y 1 ,,==，于是原方程为全微分方程 所以原方程的通解为 ??=+y x C dy y dx x y 1 3 1

常微分方程解题方法总结.doc

常微分方程解题方法总结 来源：文都教育 复习过半， 课本上的知识点相信大部分考生已经学习过一遍 . 接下来， 如何将零散的知 识点有机地结合起来， 而不容易遗忘是大多数考生面临的问题 . 为了加强记忆， 使知识自成 体系，建议将知识点进行分类系统总结 . 著名数学家华罗庚的读书方法值得借鉴， 他强调读 书要“由薄到厚、由厚到薄”，对同学们的复习尤为重要 . 以常微分方程为例， 本部分内容涉及可分离变量、 一阶齐次、 一阶非齐次、 全微分方程、 高阶线性微分方程等内容， 在看完这部分内容会发现要掌握的解题方法太多， 遇到具体的题 目不知该如何下手， 这种情况往往是因为没有很好地总结和归纳解题方法 . 下面以表格的形 式将常微分方程中的解题方法加以总结，一目了然，便于记忆和查询 . 常微分方程 通解公式或解法 ( 名称、形式 ) 当 g( y) 0 时，得到 dy f (x)dx ， g( y) 可分离变量的方程 dy f ( x) g( y) 两边积分即可得到结果； dx 当 g( 0 ) 0 时，则 y( x) 0 也是方程的 解 . 解法：令 u y xdu udx ，代入 ，则 dy 齐次微分方程 dy g( y ) x dx x u g (u) 化为可分离变量方程 得到 x du dx 一 阶 线 性 微 分 方 程 P ( x)dx P ( x) dx dy Q(x) y ( e Q( x)dx C )e P( x) y dx

伯努利方程 解法：令 u y1 n，有 du (1 n) y n dy ， dy P( x) y Q( x) y n（n≠0,1）代入得到du (1 n) P(x)u (1 n)Q(x) dx dx 求解特征方程：2 pq 三种情况： 二阶常系数齐次线性微分方程 y p x y q x y0 二阶常系数非齐次线性微分方程 y p x y q x y f ( x) (1)两个不等实根：1, 2 通解： y c1 e 1x c2 e 2x (2) 两个相等实根：1 2 通解： y c1 c2 x e x (3) 一对共轭复根：i , 通解： y e x c1 cos x c2 sin x 通解为 y p x y q x y 0 的通解与 y p x y q x y f ( x) 的特解之和. 常见的 f (x) 有两种情况： x （ 1）f ( x)e P m ( x) 若不是特征方程的根，令特解 y Q m ( x)e x；若是特征方程的单根，令特 解 y xQ m ( x)e x；若是特征方程的重根， 令特解 y*x2Q m (x)e x； （2）f (x) e x[ P m ( x) cos x p n ( x)sin x]

常微分方程期中考试试卷(2015)

13级常微分方程期中考试试卷 班级__________姓名__________学号________得分__________ 一、填空题（102?'） 1、微分方程0)( 22=+-+x y dx dy dx dy n 的阶数是________________________。 2、微分方程x dx dy 2=与直线32+=x y 相切的解是_____________________。 3、x e y dx dy +=的通解为___________________________________________。 4、若),(y x M 和),(y x N 在矩形区域R 内是),(y x 的连续函数，且有连续的一阶偏导数，则方程0),(),(=+dy y x N dx y x M 有只与y 有关的积分因子的充要条件是__________________________________________。 5、对于任意的),(1y x ，R y x ∈),(2（R 为某一矩形区域），若存在常数 )0(>N N 使_________________， 则称),(y x f 在R 上关于y 满足利普希兹条件。 6、如果),(y x f 在有界区域G 中连续，在G 内满足利普希兹条件，则方程),(y x f dx dy =的通过G 内任一点),(00y x 的解)(x y ?=可以向左右延拓，直到__________________________________________。 7、方程3 1-++-=y x y x dx dy 经过代换__________________后，可化为齐次方程。 8、若),(y x f 在矩形区域R 上___________________且________________则方程),(y x f dx dy =存在唯一解。 9、微分方程dy dx dx dy x y +=的奇解为_______________________________。 10、若函数组),,2,1)((n i t x i =在],[b a 上线性相关，则=)(t w ___________。

一阶常微分方程解法总结

第 一 章 一阶微分方程的解法的小结 ⑴、可分离变量的方程: ①、形如 )()(y g x f dx dy = 当0)(≠y g 时,得到 dx x f y g dy )() (=,两边积分即可得到结果; 当0)(0=ηg 时,则0)(η=x y 也就是方程的解。 例1、1、 xy dx dy = 解:当0≠y 时,有 xdx y dy =,两边积分得到)(2ln 2为常数C C x y += 所以)(112 12 C x e C C e C y ±==为非零常数且 0=y 显然就是原方程的解; 综上所述,原方程的解为)(12 12 为常数C e C y x = ②、形如0)()()()(=+dy y Q x P dx y N x M 当0)()(≠y N x P 时,可有 dy y N y Q dx x P x M ) () ()()(=,两边积分可得结果; 当0)(0=y N 时,0y y =为原方程的解,当0(0=） x P 时,0x x =为原方程的解。 例1、2、0)1()1(2 2 =-+-dy x y dx y x 解:当0)1)(1(22 ≠--y x 时,有 dx x x dy y y 1 122-=-两边积分得到 )0(ln 1ln 1ln 22≠=-+-C C y x ,所以有)0()1)(1(22≠=--C C y x ; 当0)1)(1(2 2 =--y x 时,也就是原方程的解; 综上所述,原方程的解为)()1)(1(2 2 为常数C C y x =--。 ⑵可化为变量可分离方程的方程: ①、形如 )(x y g dx dy = 解法:令x y u =,则udx xdu dy +=,代入得到)(u g u dx du x =+为变量可分离方程,得到

《常微分方程》期末模拟试题教学提纲

《常微分方程》期末 模拟试题

《常微分方程》模拟练习题及参考答案 一、填空题（每个空格4分，共80分） 1、n 阶线性齐次微分方程基本解组中解的个数恰好是 n 个。 2、一阶微分方程 2=dy x dx 的通解为 2=+y x C （C 为任意常数） ，方程与通过点（2，3）的特解为 2 1=-y x ，与直线y=2x+3相切的解是 2 4=+y x ，满足条件3 3ydx =?的 解为 22=-y x 。 3、李普希兹条件是保证一阶微分方程初值问题解惟一的 必要 条件。 4、对方程 2()dy x y dx =+作变换 =+u x y ，可将其化为变量可分离方程，其通解为 tan()=+-y x C x 。 5、方程 过点共有 无数 个解。 6、方程 ''2 1=-y x 的通解为 42 12122=-++x x y C x C ，满足初始条件13|2,|5====x x y y 的 特解为 4219 12264 =-++x x y x 。 7、方程 无 奇解。 8、微分方程2260--=d y dy y dx dx 可化为一阶线性微分方程组 6?=????=+??dy z dx dz z y dx 。 9、方程 的奇解是 y=0 。 10、35 323+=d y dy x dx dx 是 3 阶常微分方程。 11、方程 22dy x y dx =+满足解得存在唯一性定理条件的区域是 xoy 平面 。 21d d y x y -=)1,2 (π x x y x y +-=d d y x y =d d

12、微分方程22450d y dy y dx dx --=通解为 512-=+x x y C e C e ，该方程可化为一阶线性微分方 程组 45?=????=+??dy z dx dz z y dx 。 13、二阶线性齐次微分方程的两个解12(),()y x y x ??==成为其基本解组的充要条件是 线性无关 。 14、设1342A ??=????，则线性微分方程组dX AX dt =有基解矩阵 25253()4φ--?? =??-?? t t t t e e t e e 。 二、解方程（每个小题8分，共120分） 1、 答案：方程化为 令，则，代入上式，得 分离变量，积分，通解为 ∴ 原方程通解为 2、 答案：特征方程为 即。 特征根为 ， 对应特征向量应满足 可确定出 同样可算出对应的特征向量为 ∴ 原方程组的通解为 。 0d d )2(=-+y x x y x x y x y 21d d +=xu y =x u x u x y d d d d +=u x u x +=1d d 1-=Cx u x Cx y -=2 ???????+=+=y x t y y x t x 4d d d d 014 11=--= -λ λλE A 0322=--λλ31=λ12-=λ? ?? ???=????????????--0031413111b a ??????=??????2111b a 12-=λ??? ???-=??????2122b a ?? ????-+??????=??? ???--t t t t C C y x 2e e 2e e 2331

福建师范大学2020年8月《常微分方程》期末试卷A附标准答案

《常微分方程》期末考试A 卷 姓名： 专业：标准答案在后面 学号： 学习中心： 一、 填空题（每个空格4分，共40分） 1、 2 230dy dy x y dx dx ?? +-= ??? 是 阶微分方程， 是 方程（填“线性”或“非线性” ）。 2、 给定微分方程2'=y x ，它的通解是 ，通过点（2，3）的特解是 。 3、 微分方程(,)(,)0+=M x y dx N x y dy 为恰当微分方程的充要条件是 。 4、方程 ''2 1=-y x 的通解为 ，满足初始条件13|2,|5====x x y y 的特解为 。 5、微分方程22250+=d y y dx 的通解为 。 6、微分方程22680-+=d y dy y dx dx 的通解为 ， 该方程可化为一阶线性微分方程组 。 二、求解下列微分方程（每小题8分，共32分）。 1、 -=x y dy e dx ； 2、24+=dy xy x dx ； 3、22265t d x dx x e dt dt ++=； 4、2453dx x y dt dy x y dt ?=-????=-+?? . 三、（8分）考虑方程 2(9)(,),=-dy y f x y dx 假设(,)f x y 及'(,)y f x y 在xOy 平面上连续，试证明：对于任意0x 及0||3