实变函数论课后答案第六章
实变函数论课后答案第六章1
第六章第一节习题
1.证明：当mE <+∞，p p '>时，()()p p L E L E '?，并就[]0,1E =举例说明
p p L L '≠。
证明 若mE <+∞，p p '>，()p f L E '∈则
()
1p p p p
p p p p p p
p p p
p E
E
E E f dx f
dx f dx mE '-''
'
'??'
?
- ?'??
?
???
??≤=<+∞ ? ? ?????
??
?
???
所以()p f L E ∈ 当[]0,1E =时 令()13
1f x x
=
，则()[]()3110,1f x L x
=?，所以()[]30,1f x L ?
但()[]20,1f x L ∈（注意应用P159习题3的结论） 所以[][]230,10,1L L ≠
2.就1E R =的情形举例说明：当mE =+∞时，()p L E 和()p L E '互不包含，此处1p p '>≥。
解 令()1
1
0x f x x x ?>?=+??≤?，则显然()21f L R ∈，而()11f L R ? 易知，()[]
()0,[0,)
lim n n f x dx f x dx →∞
+∞=<+∞??
而f 在[]0,n 上连续，所以
()[]
()()()
()0
0,ln 1ln 10
n
n n f x dx R f x dx x n ==+=+→+∞?
?
矛盾
所以()()2111L R L R ?
又令()1
2
100
x g x x x ?>?=??≤?
则()0g x ≥，()11g L R ∈，()21g L R ?
3.证明：如果()()p p f L E L E '∈?（1p r p '≤<<），则有()r f L E ∈ 证明 设()()p p f L E L E '∈?，1p r p '≤<<，设,s t 满足
1,11
p p r s t s t s t s '?=+??
≥≥???=-? 所以()1p s p r s s
'-=+，rs p p s p ''=+- 则()p p p r s ''-=-，1p p
s p r
'-=
>'- 则11s
t
p
p r
p p s
t
E
E
E E f dx f
f dx f dx f dx '
????=≤ ? ?????
????
1p r
p r p r
r p
p p
p p
p p
p p
p
p p
p E E E E f dx f dx f dx f dx '''-----''''----'
'
????????==<+∞ ? ? ? ???
????
??
????
4.若()p g L E ∈,()p n f L E ∈，()()n f x g x ≤，1,2,,n =()()lim n n f x f x →∞
=..a e 于E ，则lim n n L f f →∞
=，即lim 0p
n n E
f f dx →∞
-=?
证明 从()()f x g x ≤，()()lim n n f x f x →∞
=，()p g L E ∈由Fatou 引理，知 ()()()lim lim p p p
p n n n n E
E E
E
f x dx f x dx f x dx
g dx →∞
→∞
=≤≤<+∞?
???
所以p f L ∈ 又()()
(
)p
p
p p
n n p n f x f f f
f f
α-≤+≤+
(
)()1
p p
p g f
L E α≤+∈
由控制收敛定理知()()lim 0n n f x f x →∞-=..a e 于E 知lim 0p
n n E
f f dx →∞
-=?
（0a ≥，0b ≥，()()p
p p p a b a b α+≤+
1p ≥时，由于p t 为0t ≥上的凸函数，则
()
()22222p
p
p
p a b a b a b +????+=?=+?? ????
? ()()11222
p p
p p p p a b a b -≤?
+=+ 当01p <<时，若01t ≤≤，则()()1221p
p p p t t +≤≤+ 若1t >时，则()()()()
1111p
p
p
f t t f t ξ-=+=+
?+
()2221p p p p p pt pt t ≤+≤+≤+
即0t ≥总有()()121p
p p t t +≤+
所以()
()1212p p
p
p p p
p p p b b a b a a a b a a ??????+=+≤+=+ ? ? ? ???????
） 5.设,p q 是一对共轭指数，()p n f L E ∈，()q n g L E ∈，1,2,3,n =，并且在
()p L E 和()q L E 中分别有lim n n L f f →∞
=，lim n n L g g →∞
=
证明：()()()()lim n n n E
E
f x
g x dx f x g x dx →∞=?
? 证明 由lim n n L f f →∞=，lim n n L g g →∞=，故()p f L E ∈，()q g L E ∈ 且，显然()()lim n n E
E
f x dx f x dx →∞
=??， ()()lim n n E
E
g x dx g x dx →∞
=??
则0M ?<<+∞使()p n E
f x dx M ≤?，()q
n E
g x dx M ≤?
()()()()n
n
E
E
f x
g x dx f x g x dx -??
()()()()()()()()n n n n E E f x g x f x g x f x g x f x g x dx ??=-+- ???
?? ()()()()()()n n n E
E
f x
g x g x dx g x f x f x dx ≤-+-??
()()()()()()1
111p q q p
q q p p
n n n E E E E f x dx g x g x g x dx f x g x dx ????????≤-+- ? ? ? ????????????? ()()()()11
0q p q p
n n E
E M g x g x f x f x dx ?????? ?≤-+-→ ? ? ?
???? ???
?? 所以()()()()lim n n n E
E
f x
g x dx f x g x dx →∞
=??
证毕
7.设E 是1R 中区间[],a b 的一可测集，试利用[](),p L a b 的可分性证明
()p L E 的可分性。
证明 设{}n ψ为[](),p L a b 中的一个可数稠密集，则从E 可测，[],E a b ?知，{}n
E
ψ为()p
L E 中的可数子集。
()p
f L E ?∈令()()[]0
,f x x E
f x a b E
∈??=?-??
则由P104Th4()f x 为[],a b 上的可测函数
()
[]
,p
a b E
f x dx f dx =<+∞??
所以()[],p f x L a b ∈，则0ε?>，?某个n ψ使
[]
,p
n a b f dx ψε-
则p
p
n n E E
E
f dx f dx ψψ-=-??
[]
,p p
n
E
n E
E a b f dx f dx ψψ-≤-+
-??
[]
,p
n E a b f dx ψε-=
-
所以{}n
E
ψ为()p
L E 的稠密集，证毕
8.证明()p L E 中那些只取实值的函数构成()p L E 的一闭实线性子空间()()p r L E ，
（即
()()p r L E 是()p L E 的实线性子空间并且还是()p L E 的闭子集）从而也是完
全的。
证明 ()(),p r f g L E ?∈，1,R αβ∈，显然f g αβ+是实值的且由Minkowshi 不等式
()
()
()
p p p L E L E L E f g
f
g
αβαβ+≤+<+∞
则()()p r f g L E αβ+∈
所以()()p r L E 是()p L E 的实线性子空间。 下证它还是闭集
{}()()p n r f L E ?∈，若lim n n L f f →∞
?则由()p L E 的完备性()p f L E ∈
又由Riesz 定理知?子列k
n f 使k
n f f →..a e 于E
则f 是几乎处处取实值的。所以()()p r f L E ∈，这说明()()p r L E 是闭的。 若{}n f 为()()p r L E 中的Cauchy 列，则由()p L E 的完备性知()p f L E ?∈
n f f →与()p L E ，由()()p r L E 是闭的，有()()p r f L E ∈
所以()()p r L E 完全。
9.设mE <+∞，1p ≥，()()0;,0p E
L f f L E f x dx ??=∈=???
?
?（要加上条件0mE >）
证明0L 是()p L E 的闭线性子空间且在()p L E 中的维数为1，即可以取
()p L E 的一个一维子空间T ，使()p L E 是0L 与T 的直和()0p L E L T =⊕
证明 若0,f g L ∈，,C αβ∈，则()p f g L E αβ+∈
()0E
E
E
f g dx f dx gdx αβαβ+=+=???
则0f g L αβ+∈，则0L 为()p L E 的线性子空间。
又若0n f L ∈（0,1,2,n =）lim n n L
f f →∞
=
则lim n n E
E
f dx f dx →∞
=??，则从0n E
f dx =?得0E
f dx =?
则0f L ∈
所以0L 是()p L E 的闭线性子空间。
令{}1T span =（作为复域C 上的线性空间，T 的维数为1）又mE <+∞，表明()p T L E ?
()p f L E ?∈，11
E E f f f dx f dx mE mE =-
+??，01E f f dx L mE -∈?，1E
f dx T mE ∈? 为说明()0p L E L T =⊕，只用证：若0f L ∈，
g T ∈使{}()p f g L E θ+=∈，{}θ为零元，即0f g +=..a e 于()p L E 则0f g ==
因为g T ∈，所以C α?∈使g α=
则从f g =-知0f L ∈知0E
f dx =?，且
g f α==-
0E
E
dx f dx α=-=??所以0mE α=
从0mE >知0α=则0g =，0f g =-= 证毕
6.用()L E ∞表示在E 上几乎有界（即有N ，使0mN =，而在E N -上有界）的可测函数的全体，并在()L E ∞中规定
()()(){}
,inf sup ,,0x E N
f g f x g x N E mN ρ∈-=-∈=
为f 与g 之间的距离，（几乎处处相等的函数看成相同）则()L E ∞不可分。（E 为n R 中可测集）
证明 显然(),0f g ρ≥，(),f g L E ∞?∈且若(),0f g ρ=则n N ?∈，0n mN =
n N E ??，使()()1
sup n
E N f x g x n
--<
若令1
n n N N +∞==
，则有n E N E N -?-（n N ?∈）
且1
0n n mN mN +∞
=≤=∑，n ?∈，()()1sup E N
f x
g x n
--<，()()sup 0E N
f x
g x ---
则有()()f x g x =于E N - 所以f g =..a e 于E 。
()(),,f g g f ρρ=是显然的。又(),,f g h L E ∞?∈，N E ??10mN =
()()(),sup sup sup E N
E N
E N
f g f x g x f g f g ρ---=-≤-+-
易证：(),,p f g h L E ?∈，()1,N N f h E ?=?，0mN =使
()()()1
,sup E N f g f x h x ρ-=-，
2N E ??，20mN =使()()()2
,sup E N h g h x g x ρ-=-
故 令 12N N N =?，则0mN =且
()()1
,sup sup ,E N
E N f h f h f h f h ρρ--≤-≤-=
所以(),sup E N
f h f h ρ-=-
同理(),sup E N
g h g h ρ-=-
所以有()()(),,,f g f h g h ρρρ≤+ 则ρ确为一个()L E ∞上的距离。 现先就n E R =来证明()L E ∞是不可分的。 反证：设()L E ∞上一个可数稠密集{}1n n F a +∞
==
n R 的一个具有连续势的族，112,r r R ?∈，12r r ≠，
显然
()()()0,n B r x L R χ∞∈，
（1,2,i =）
()()
1
2
0,0,1B r B r χχ∞
-=
这是因为n E R ??且0mE =，()()()()120,\0,n
B r B r R
E -≠?
则()()()()()1
2
0,0,sup 1n B r B r R E
x x χχ--=
()()()()()()12120,0,0,0,,01inf
sup n n B r B r B r B r E R mE R E
x x χχχχ?=-=
-=-
1
r R +?∈，令()()()0,r B r f x x χ=，则(){}1
,r f x r R ∈为不可数集 。
从{}1n n F a +∞
==在()n L R ∞中稠密，对1
3
ρ=
1r R ?∈，r a F ?∈，使()
13
n
r r
L R f a ∞-<
若12r r ≠，则从1
1
1
3r r
L f a ∞
-<，22
1
3
r r L f a ∞
-<和12
1r r L f f ∞
-=
知1
2
r r a a ≠否则若1
2
r r a a =，则
1211
12
1r r r r r r L L L f f f a a f ∞
∞
∞
=-≤-+-
11
22
112333
r r r r L L f a a f ∞
∞
=-+-<+= 得矛盾
所以{}1
,r a r R F +∈?，且{}1,r a r R +∈与1R +11-对应 所以{}1,r a r R +∈为不可数集，这与F 可数矛盾。
对一般的E ，若E 为开集，则0x E ?∈，0ρ?>，使()0,B x E ρ?，作
(){}0,,0A B x r ρρ=<<，则A 不可数与上面一样可证()L E ∞不可分。
实变与泛函期末试题答案
06－07第二学期《实变函数与泛函分析》期末考试参考答案 1. 设()f x 是),(+∞-∞上的实值连续函数, 则对于任意常数a , })(|{a x f x E >=是一开集, 而})(|{a x f x E ≥=总是一闭集. (15分) 证明 (1) 先证})(|{a x f x E >=为开集. (8分) 证明一 设E x ∈0,则a x f >)(0,由)(x f 在),(+∞-∞上连续,知0>?δ,使得 ),(00δδ+-∈x x x 时,a x f >)(, 即 E x U ?),(0δ, 故0x 为E 的内点. 由0x 的任意性可知,})(|{a x f x E >=是一开集. 证明二 })(|{a x f x E >=可表为至多可数的开区间的并(由证明一前半部分), 由定理可知E 为开集. (2) 再证})(|{a x f x E ≥=是一闭集. (7分) 证明一 设0x E '∈, 则0x 是E 的一个聚点, 则E ?中互异点列},{n x 使得 )(0∞→→n x x n . ………………………..2分 由E x n ∈知a x f n ≥)(, 因为f 连续, 所以 a x f x f x f n n n n ≥==∞ →∞ →)(lim )lim ()(0, 即E x ∈0.……………………………………………………………………………………6分 由0x 的任意性可知,})(|{a x f x E ≥=是一闭集. …………………………………7分 证明二 对})(|{a x f x E ≥=, {|()}E x f x a E ??=?,……………………… 5分 知E E E E =?=Y ,E 为闭集. …………………………………………………… 7分 证明三 由(1)知,})(|{a x f x E >=为开集, 同理})(|{a x f x E <=也为开集, 所以})(|{a x f x CE ≥=闭集, 得证. 2. 证明Egorov 定理：设,{()}n mE f x <∞是E 上一列..e a 收敛于一个..e a 有限的函数)(x f 的可测函数, 则对0>?δ, 存在子集E E ?δ, 使)}({x f n 在δE 上一致收敛, 且 .)\(δδ
大学物理第六章课后习题答案(马文蔚第五版)
大学物理第六章课后习题答案(马文蔚第五版) -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
第六章静电场中的导体与电介质6 －1将一个带正电的带电体A 从远处移到一个不带电的导体B 附近，则导体B 的电势将（） （A）升高（B）降低（C）不会发生变化（D）无法确定 分析与解不带电的导体B 相对无穷远处为零电势。由于带正电的带电体A 移到不带电的导体B 附近时，在导体B 的近端感应负电荷；在远端感应正电荷，不带电导体的电势将高于无穷远处，因而正确答案为（A）。 6 －2将一带负电的物体M靠近一不带电的导体N，在N 的左端感应出正电荷，右端感应出负电荷。若将导体N 的左端接地（如图所示），则（） （A） N上的负电荷入地（B）N上的正电荷入地 （C） N上的所有电荷入地（D）N上所有的感应电荷入地 分析与解导体N 接地表明导体N 为零电势，即与无穷远处等电势，这与导体N在哪一端接地无关。因而正确答案为（A）。 6 －3如图所示将一个电量为q的点电荷放在一个半径为R的不带电的导体球附近，点电荷距导体球球心为d，参见附图。设无穷远处为零电势，则在导体球球心O点有（） 2
3 （A ）d εq V E 0π4,0== （B ）d εq V d εq E 02 0π4,π4== （C ）0,0==V E （D ）R εq V d εq E 020π4,π4== 分析与解 达到静电平衡时导体内处处各点电场强度为零。点电荷q 在导 体球表面感应等量异号的感应电荷±q′，导体球表面的感应电荷±q′在球心O 点激发的电势为零，O 点的电势等于点电荷q 在该处激发的电势。因而正确答案为（A ）。 6 －4 根据电介质中的高斯定理，在电介质中电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分等于这个曲面所包围自由电荷的代数和。下列推论正确的是( ) （A ） 若电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分等于零，曲面内一定没有自由电荷 （B ） 若电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分等于零，曲面内电荷的代数和一定等于零 （C ） 若电位移矢量沿任意一个闭合曲面的积分不等于零，曲面内一定有极化电荷
实变函数论课后答案第三章1
实变函数论课后答案第三章1 第三章第一节习题 1.证明：若E 有界，则m E *<∞. 证明：若n E R ?有界，则存在一个开区间 (){}120,,;n M n E R I x x x M x M ?=-<< . （0M >充分大）使M E I ?. 故()()()111 inf ;2n n n n m n n i m E I E I I M M M ∞∞ * ===??=?≤=--=<+∞????∑∏ . 2.证明任何可数点集的外测度都是零. 证：设{}12,,,n E a a a = 是n R 中的任一可数集.由于单点集的外测度为零， 故{}{}{}()12111 ,,,00n i i i i i m E m a a a m a m a ∞ ∞ ∞ * * * *===??==≤== ???∑∑ . 3.证明对于一维空间1R 中任何外测度大于零的有界集合E 及任意常数μ，只要 0m E μ*≤≤，就有1E E ?，使1m E μ*=. 证明：因为E 有界，设[],E a b ?（,a b 有限）， 令()(),f x m E a x b *=?<< ， 则()()()()[]()()0,,f a m E m f b m a b E m E ****=?=?=== . 考虑x x x +?与，不妨设a x x x b ≤≤+?≤， 则由[])[]())()[](),,,,,a x x E a x x x x E a x E x x x E +?=+?=+????? . 可知())()[](),,f x x m a x E m x x x E ** +?≤++??? ()[]()(),f x m x x x f x x *≤++?=+?.
实变函数论试题及答案
实变函数论测试题 1、证明 1lim =n m n n m n A A ∞ ∞ →∞ == 。 证明：设lim n n x A →∞ ∈，则N ?，使一切n N >，n x A ∈，所以 ∞ +=∈ 1 n m m A x ∞ =∞ =? 1n n m m A , 则可知n n A ∞ →lim ∞=∞ =? 1n n m m A 。设 ∞=∞ =∈1n n m m A x ，则有n ,使 ∞ =∈n m m A x ，所以 n n A x lim ∞ →∈。 因此，n n A lim ∞ →= ∞ =∞ =1n n m m A 。 2、设(){}2 2 2,1E x y x y =+<。求2E 在2 R 内的'2 E ，0 2E ，2E 。 解：(){}2 2 2,1E x y x y '=+≤， (){}222,1E x y x y =+< ， (){}222,1E x y x y =+<。 3、若n R E ?，对0>?ε，存在开集G , 使得G E ?且满足 *()m G E ε-<， 证明E 是可测集。 证明：对任何正整数n ， 由条件存在开集E G n ?，使得()1*m G E n -<。 令 ∞ ==1n n G G ,则G 是可测集，又因()()1**n m G E m G E n -≤-< ， 对一切正整数n 成立，因而)(E G m -*=0，即E G M -=是一零测度集，故可测。由)(E G G E --=知E 可测。证毕。 4、试构造一个闭的疏朗的集合[0,1]E ?，12 m E =。 解：在[0,1]中去掉一个长度为1 6的开区间5 7 ( , )1212 ，接下来在剩下的两个闭区间 分别对称挖掉长度为11 6 3 ?的两个开区间，以此类推，一般进行到第n 次时， 一共去掉12-n 个各自长度为1 116 3 n -? 的开区间，剩下的n 2个闭区间，如此重复 下去，这样就可以得到一个闭的疏朗集，去掉的部分的测度为 11 11212166363 2 n n --+?++ ?+= 。
实变函数论课后答案第五章1
实变函数论课后答案第五章1 第无章第一节习题 1.试就[0,1]上 的D i r i c h l e 函数()D x 和Riemann 函数()R x 计算[0,1] ()D x dx ? 和 [0,1] ()R x dx ? 解:回忆1 1()0\x Q D x x R Q ∈?=?∈?即()()Q D x x χ= (Q 为1 R 上全体有理数之集合) 回忆: ()E x χ可测E ?为可测集和P129定理2:若E 是n R 中测度有 限的可测集, ()f x 是E 上的非负有界函数,则_ ()()() E E f x dx f x dx f x =???为E 上的可测函数 显然, Q 可数，则*0m Q =，()Q Q x χ可测，可测，有界,从而Lebesgue 可积 由P134Th4(2)知 [0,1] [0,1][0,1][0,1][0,1]()()()10c c Q Q Q Q Q Q Q x dx x dx x dx dx dx χχχ????= + = + ? ? ? ? ? 1([0,1])0([0,1])10010c m Q m Q =??+??=?+?= 回忆Riemann 函数()R x :1:[0,1]R R 11,()0[0,1]n n x m n m R x x x Q ?= ??==??∈-?? 和无大于的公因子1 在数学分析中我们知道, ()R x 在有理点处不连续,而在所有无理点处连续,且在[0,1]上Riemann 可积, ()0 .R x a e =于[0,1]上,故()R x 可
测(P104定理3),且 [0,1] ()R x dx ? [0,1]()()Q Q R x dx R x dx -= +? ? 而0()10Q Q R x dx dx mQ ≤≤==??(Q 可数,故*0m Q =)故 [0,1] [0,1][0,1]()()00Q Q R x dx R x dx dx --= = =? ? ? 2.证明定理1(iii)中的第一式 证明:要证的是:若mE <+∞,(),()f x g x 都是E 上的非负有界函数,则 ()()()E E E f x dx f x dx g x dx --≥+??? 下面证明之: 0ε?>,有下积分的定义,有E 的两个划分1D 和2D 使 1 ()()2 D E s f f x dx ε -> - ? ,2 ()()2 D E s g g x dx ε -> - ? 此处1 ()D s f ,2 ()D s g 分别是f 关于1D 和g 关于2D 的小和数,合并12 ,D D 而成E 的一个更细密的划分D ,则当()D s f g +为()()f x g x +关于D 的小和数时 12(()())()D D D D D f x g x dx s f g s f s g s f s g - +≥+≥+≥+? ()()()()22E E E E f x dx g x dx f x dx g x dx εε ε----≥ -+-=+-? ???(用到下确界的性 质和P125引理1) 由ε的任意性,令0ε→,而得(()())()()E E f x g x dx f x dx g x dx - --+≥+??? 3.补作定理5中()E f x dx =+∞?的情形的详细证明 证明 :令 {} |||||m E E x x m =≤,当 ()E f x dx =+∞ ?时, ()lim ()m m E E f x dx f x dx →∞ +∞==?? 0M ?>,存在00()m m M N =∈,当0m m ≥时,
实变函数积分理论部分复习试题[附的答案解析版]
2011级实变函数积分理论复习题 一、判断题（判断正误，正确的请简要说明理由，错误的请举出反例） 1、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则1 ()()n n f x f x ∞ ==∑是[0,1]上的Lebesgue 可积函数。（×） 2、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则1 ()()n n f x f x ∞ ==∑是[0,1]上的Lebesgue 可测函数。（√） 3、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则 [0,1][0,1] lim ()d lim ()d n n n n f x x f x x →∞ →∞ =? ? 。 （×） 4、设{}()n f x 是[0,1]上的一列非负可测函数，则存在{}()n f x 的一个子列{} ()k n f x ，使得， [0,1][0,1] lim ()d lim ()d k k n n k k f x x f x x →∞ →∞ ，()f x 在[0,]n 上 黎曼可积，从而()f x 是[0,]n 上的可测函数，进而()f x 是1 [0,)[0,]n n ∞ =+∞= 上的可测函数） 10、设{}()n f x 是[0,1]上的一列单调递增非负可测函数，()[0,1],n G f 表示()n f x 在
第六章课后练习题答案
第四部分课后练习题 一、单项选择题 1．某投资方案的年营业收入为100000元，年总营业成本为60000元，其中年折旧额10000元，所得税率为33％，该方案的每年营业现金流量为( B )。 A．26800元B．36800元C．16800元D．43200元2．当两个投资方案为独立选择时，应优先选择( D )。 A．净现值大的方案B．项目周期短的方案 C．投资额小的方案D．现值指数大的方案 3．计量投资方案的增量现金流量时，一般不需要考虑方案( D )。 A．可能的未来成本B．之间的差额成本 C．有关的重置成本D．动用现有资产的账面成本 4．在计算现金流量时，若某年取得的净残值收入大于预计的净残值时，正确的处理方法是( C )。 A．只将两者差额作为现金流量B．仍按预计的净残值作为现金流量C．按实际净残值减去两者差额部分所补交的所得税的差额作为现金流量D．按实际净残值加上两者差额部分所补交的所得税的差额作为现金流量5．已知某设备原值160000元，累计折IH 127000，如现在变现，则变现价值为30000元，该公司适用的所得税率为40％，那么，继续使用该设备引起的现金流出量为( B)元。 A．30000 B．31200 C．28800 D．33000 6．某企业生产某种产品，需用A种零件。如果自制，该企业有厂房设备；但若外购，厂房设备可出租，并每年可获租金收入8000元。企业在自制与外购之间选择时，应( C)。 A．以8000元作为外购的年机会成本予以考虑 B．以8000元作为外购的年未来成本予以考虑 C．以8000元作为自制的年机会成本予以考虑 D．以8000元作为自制的年沉没成本不予以考虑 7．如果考虑货币的时间价值，固定资产平均年成本是未来使用年限内现金流出总现值与( C )的乘积。 A．年金终值系数B．年金现值系数 C．投资回收系数D．偿债基金系数 8．已知某设备原值60000元，税法规定残值率为10％，最终报废残值5000元，该公司所得税率为40％，则该设备最终报废由于残值带来的现金流入量为( A )元。 A．5400 B．6000 C．5000 D．4600 9．某公司于1999年拟投资一项目，经专家论证总投资需500万元，并已支付专家咨询费50000元，后因经费紧张此项目停了下来，2001年拟重新上马。则已发生的咨询费从性质上来讲属于( C )。 A．相关成本B．重置成本C．沉入成本D．特定成本10．某公司拟新建一车间用以生产受市场欢迎的甲产品，据预测甲产品投产后每年可创造100万元的收入；但公司原生产的A产品会因此受到影响，使其年收入由原来的200万元降低到180万元。则与新建车间相关的现金流量为( B )。 A．100 B．80 C．20 D．120
实变函数引论参考答案 曹怀信 第二章
。习题2.1 1．若E 是区间]1,0[]1,0[?中的全体有理点之集，求b E E E E ,,,' ． 解 E =?；[0,1][0,1]b E E E '===?。 2．设)}0,0{(1sin ,10:),( ???? ??=≤<=x y x y x E ，求b E E E E ,,,' ． 解 E =?；{(,):0,11}.b E E x y x y E E '==-≤≤== 3．下列各式是否一定成立? 若成立，证明之，若不成立，举反例说明． (1) 11n n n n E E ∞ ∞=='??'= ???； (2) )()(B A B A ''=' ； (3) n n n n E E ∞=∞==? ??? ??1 1 ； (4) B A B A =； (5) ???=B A B A )(； (6) .)(? ??=B A B A 解 (1) 不一定。如设12={,, ,,}n r r r Q ，{}n n E r =（单点集），则1 ( )n n E ∞=''==Q R , 而1.n n E ∞ ='=?但是，总有11 n n n n E E ∞∞=='??'? ???。 (2) 不一定。如 A =Q , B =R \Q , 则(),A B '=? 而.A B ''=R R =R (3) 不一定。如设12={,, ,,}n r r r Q ，{}n n E r =（单点集），则 1 n n E ∞===Q R , 而 1 .n n E ∞ ==Q 但是，总有11 n n n n E E ∞∞ ==??? ???。 (4) 不一定。如(,)A a b =，(,)B b c =，则A B =?，而{}A B b =。 (5) 不一定。如[,]A a b =, [,]B b c =, 则(,)A a b =, (,)B b c =，而 ()(,)A B a c =，(,)\{}A B a c b =. (6) 成立。因为A B A ?, A B B ?, 所以()A B A ?, ()A B B ?。因此， 有()A B A B ?。设x A B ∈, 则存在10δ>，20δ>使得1(,)B x A δ?且2(,)B x B δ?,令12min(,)δδδ=,则(,)B x A B δ?。故有()x A B ∈，即 ()A B A B ?。因此，()A B A B =. 4．试作一点集A ，使得A '≠?，而?='')(A ． 解 令1111 {1,,,,,,}234A n =，则{0}A '=，()A ''=?. 5．试作一点集E ，使得b E E ?． 解 取E =Q ，则b E =R 。 6．证明：无聚点的点集至多是可数集． 证明 因为无聚点的点集必然是只有孤立点的点集，所以只要证明：任一只有孤立点的点集A 是最多可数。对任意的x A ∈，都存在0x δ>使得(,){}x B x A x δ=。有理开球（即中心为有理点、半径为正有理数的开球）(,)(,)x x x B P r B x δ?使得(,)x x x B P r ∈，从而 (,){}x x B P r A x =。显然，对于任意的,x y A ∈，当x y ≠时，有(,)(,)x x y y B P r B P r ≠， 从而(,)(,)x x y y P r P r ≠。令()(,)x x f x P r =，则得到单射:n f A + →?Q Q 。由于n + ?Q Q 可
(0195)《实变函数论》网上作业题及答案
[0195]《实变函数论》 第一次作业 [单选题]1.开集减去闭集是（） A:A.开集 B:B.闭集 C:C.既不是开集也不是闭集 参考答案：A [单选题]2.闭集减去开集是（） A:开集 B:闭集 C:既不是开集也不是闭集 参考答案：B [单选题]3.可数多个开集的交是（） A:开集 B:闭集 C:可测集 参考答案：C [单选题]4.可数多个闭集的并是（） A:开集 B:闭集 C:可测集 参考答案：C [单选题]6.可数集与有限集的并是（） A:有界集 B:可数集 C:闭集 参考答案：B
[判断题]5.任意多个开集的并仍是开集。 参考答案：正确 [单选题]8.可数多个有限集的并一定是（） A:可数集 B:有限集 C:以上都不对 参考答案：C [单选题]7.设f(x)是定义在[a,b]上的单调函数，则f(x)的间断点集是（）A:开集 B:闭集 C:可数集 参考答案：C [单选题]9.设f(x)是定义在R上的连续函数，E=R(f>0),则E是 A:开集 B:闭集 C:有界集 参考答案：A [单选题]10.波雷尔集是（） A:开集 B:闭集 C:可测集 参考答案：C [判断题]7.可数多个零测集的并仍是零测集合。 参考答案：正确 [单选题]1.开集减去闭集是（）。 A:A.开集 B.闭集 C.既不是开集也不是闭集 参考答案：A [单选题]5.可数多个开集的并是（） A:开集 B:闭集
C:可数集 参考答案：A [判断题]8.不可数集合的测度一定大于零。 参考答案：错误 [判断题]6.闭集一定是可测集合。 参考答案：正确 [判断题]10.开集一定是可测集合。 参考答案：正确 [判断题]4.连续函数一定是可测函数。 参考答案：错误 [判断题]3.零测度集合或者是可数集合或者是有限集。 参考答案：正确 [判断题]2.有界集合的测度一定是实数。 参考答案：正确 [判断题]1.可数集合是零测集 参考答案：正确 [判断题]9.任意多个闭集的并仍是闭集。 参考答案：错误 [判断题]9.任意多个闭集的并仍是闭集。 参考答案：错误 第二次作业 [单选题]4.设E是平面上边长为2的正方形中所有无理点构成的集合，则E的测度是A:0 B:2 C:4 参考答案：C [单选题]3.设E是平面上边长为2的正方形中所有有理点构成的集合，则E的测度是A:0 B:2 C:4 参考答案：A [单选题].2.[0,1] 中的全体有理数构成的集合的测度是（） A:0 B:1
高等数学课后习题答案第六章
习题6-2 1. 求图6-21 中各画斜线部分的面积: (1) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0, 1]. 所求的面积为 6 1]2132[)(1022310 =-=-=?x x dx x x A . (2) 解法一 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[0, 1]. 所求的面积为 1|)()(101 0=-=-=?x x e ex dx e e A , 解法二 画斜线部分在y 轴上的投影区间为[1, e ]. 所求的面积为 1)1(|ln ln 1 11=--=-==??e e dy y y ydy A e e e . (3) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[-3, 1]. 所求的面积为
3 32 ]2)3[(1 32=--=?-dx x x A . (4) 解 画斜线部分在x 轴上的投影区间为[-1, 3]. 所求的面积为 3 32 |)313()32(3132312=-+=-+=--?x x x dx x x A . 2. 求由下列各曲线所围成的图形的面积: (1) 22 1 x y =与x 2+y 2=8(两部分都要计算); 解: 3 8 8282)218(220220*********--=--=--=????dx x dx x dx x dx x x A 34238cos 16402+=-=?ππ tdt . 3 4 6)22(122-=-=ππS A . (2)x y 1 =与直线y =x 及x =2;
解: 所求的面积为 ?-=-= 2 12ln 2 3)1(dx x x A . (3) y =e x , y =e -x 与直线x =1; 解: 所求的面积为 ?-+=-=-1021 )(e e dx e e A x x . (4)y =ln x , y 轴与直线y =ln a , y =ln b (b >a >0). 解 所求的面积为 a b e dy e A b a y b a y -===?ln ln ln ln 3. 求抛物线y =-x 2+4x -3及其在点(0, -3)和(3, 0)处的切线所围成的图形的面积. 解:
实变函数论考试试题及答案
实变函数论考试试题及答案 证明题：60分 1、证明 1lim =n m n n m n A A ∞ ∞ →∞ ==UI 。 证明：设lim n n x A →∞ ∈，则N ?，使一切n N >，n x A ∈，所以I ∞ +=∈ 1 n m m A x Y I ∞=∞ =?1n n m m A , 则可知n n A ∞ →lim YI ∞ =∞ =?1n n m m A 。设YI ∞ =∞ =∈1n n m m A x ，则有n ,使I ∞ =∈n m m A x ，所以 n n A x lim ∞ →∈。 因此，n n A lim ∞ →=YI ∞=∞ =1n n m m A 。 2、若n R E ?，对0>?ε，存在开集G , 使得G E ?且满足 *()m G E ε-<， 证明E 是可测集。 证明：对任何正整数n ， 由条件存在开集E G n ?，使得()1*m G E n -<。 令I ∞ ==1n n G G ,则G 是可测集，又因()()1**n m G E m G E n -≤-< ， 对一切正整数n 成立，因而)(E G m -*=0，即E G M -=是一零测度集，故可测。由)(E G G E --=知E 可测。证毕。 3、设在E 上()()n f x f x ?，且1()()n n f x f x +≤几乎处处成立，Λ,3,2,1=n , 则有{()}n f x .收敛于)(x f 。 证明 因为()()n f x f x ?，则存在{}{}i n n f f ?，使()i n f x 在E 上.收敛到()f x 。设 0E 是()i n f x 不收敛到()f x 的点集。1[]n n n E E f f +=>，则00,0n mE mE ==。因此 ()0n n n n m E mE ∞∞==≤=∑U 。在1 n n E E ∞ =-U 上，()i n f x 收敛到()f x ， 且()n f x 是单调的。 因此()n f x 收敛到()f x （单调序列的子列收敛，则序列本身收敛到同一极限）。 即除去一个零集1n n E ∞ =U 外，()n f x 收敛于()f x ，就是()n f x . 收敛到()f x 。
热学第六章课后习题答案
第六章热学答案 1． 解 ：由致冷系数2122T T T A Q -== ε ()J T T AT Q 421221025.121 102731000?=-?=-= 2．解：锅炉温度K T 4832732101=+=，暖气系统温度K T 333273602=+=，蓄水池温度 K T 288273153=+=。kg 0.1燃料燃烧放出的热量为1Q 热机的工作效率1212111T T Q Q Q A -=-== η，向制冷机做功)1(1 21T T Q A -=，热机向暖气系统放热分别为11212Q T T A Q Q = -=；设制冷机的制冷系数3 2343T T T A A Q A Q -=-==ε， A T T T T T T T T T A Q ?-?-=-+ =3 22 1213234)1( 暖气系统得到热量为： 112322112421Q T T T T T Q T T Q Q Q ??? ? ??--+= +=1123231Q T T T T T ?-T -= cal 41049.115000483 333 288333288483?=???--= 3．解：（1）两个循环都工作与相同绝热线，且低温T 不变，故放热相同且都为2Q ，在第一个循环 过程中22 1212111Q A Q Q Q T T +- =-=- =η，2 122T T AT Q -=；在第二个循环过程中高温热源温度提高到3T 的循环过程中2223232111Q A Q Q Q T T +-=-=- =η，2 32 22T T T A Q -=；因此2 32 22122T T T A T T AT Q -=-= 解得()()K T T A A T T 473173373800 106.12733 211223=-?+=-+= （2）效率增大为：3.42473 273 1132=-=- =T T η ％ 4．解：热机效率 1211T T Q A -≤，当取等号时1Q 最小，此时1 211T T Q A -=，
统计学第六章课后题及答案解析
第六章 一、单项选择题 1．下面的函数关系是( ) A现代化水平与劳动生产率 B圆周的长度决定于它的半径 C家庭的收入和消费的关系 D亩产量与施肥量 2．相关系数r的取值范围( ) A -∞< r <+∞ B -1≤r≤+1 C -1< r < +1 D 0≤r≤+1 3．年劳动生产率x(干元)和工人工资y=10+70x，这意味着年劳动生产率每提高1千元时，工人工资平均( ) A增加70元 B减少70元 C增加80元 D减少80元 4．若要证明两变量之间线性相关程度高，则计算出的相关系数应接近于( ) A +1 B -1 C 0.5 D 1 5．回归系数和相关系数的符号是一致的，其符号均可用来判断现象( ) A线性相关还是非线性相关 B正相关还是负相关 C完全相关还是不完全相关 D单相关还是复相关 6．某校经济管理类的学生学习统计学的时间(x)与考试成绩(y)之间建立线性回归方程?=a+bx。经计算，方程为?=200—0.8x，该方程参数的计算( ) A a值是明显不对的 B b值是明显不对的 C a值和b值都是不对的 D a值和b值都是正确的 7．在线性相关的条件下，自变量的均方差为2，因变量均方差为5，而相关系数为0.8时，则其回归系数为：( ) A 8 B 0.32 C 2 D 12．5 8．进行相关分析，要求相关的两个变量( ) A都是随机的 B都不是随机的 C一个是随机的，一个不是随机的 D随机或不随机都可以 9．下列关系中，属于正相关关系的有( ) A合理限度内，施肥量和平均单产量之间的关系 B产品产量与单位产品成本之间的关系 C商品的流通费用与销售利润之间的关系
实变函数试题库 及参考答案
实变函数试题库及参考答案（5） 本科 一、填空题 1．设,A B 为集合，则___(\)A B B A A U U 2．设n E R ?，如果E 满足0E E =（其中0E 表示E 的内部），则E 是 3．设G 为直线上的开集，若开区间(,)a b 满足(,)a b G ?且,a G b G ??，则(,)a b 必为G 的 4．设{|2,}A x x n n ==为自然数，则A 的基数 a (其中a 表示自然数集N 的基数) 5．设,A B 为可测集，B A ?且mB <+∞，则__(\)mA mB m A B - 6．设()f x 是可测集E 上的可测函数，则对任意实数,()a b a b <，都有[()]E x a f x b <<是 7．若()E R ?是可数集，则__0mE 8．设{}()n f x 为可测集E 上的可测函数列，()f x 为E 上的可测函数，如果.()() ()a e n f x f x x E →∈，则()()n f x f x ? x E ∈ （是否成立） 二、选择题 1、设E 是1R 中的可测集，()x ?是E 上的简单函数，则 （ ） （A ）()x ?是E 上的连续函数 （B ）()x ?是E 上的单调函数 （C ）()x ?在E 上一定不L 可积 （D ）()x ?是E 上的可测函数 2．下列集合关系成立的是（ ） （A ）()()()A B C A B A C =I U I U I （B ）(\)A B A =?I
（C ）(\)B A A =?I （D ）A B A B ?U I 3. 若() n E R ?是闭集，则 （ ） （A ）0E E = （B ）E E = （C ）E E '? （D ）E E '= 三、多项选择题（每题至少有两个以上的正确答案） 1．设{[0,1]}E =中的有理点，则（ ） （A ）E 是可数集 （B ）E 是闭集 （C ）0mE = （D ）E 中的每一点均为E 的内点 2．若()E R ?的外测度为0，则（ ） （A ）E 是可测集 （B ）0mE = （C ）E 一定是可数集 （D ）E 一定不是可数集 3．设mE <+∞，{}()n f x 为E 上几乎处处有限的可测函数列，()f x 为E 上几乎处处有限的可测函数，如果()(),()n f x f x x E ?∈，则下列哪些结果不一定成立（ ） （A ）()E f x dx ?存在 （B ）()f x 在E 上L -可积 （C ）.()()()a e n f x f x x E →∈ （D ）lim ()()n E E n f x dx f x dx →∞=?? 4．若可测集E 上的可测函数()f x 在E 上有L 积分值，则（ ） （A ）()()f x L E +∈与()()f x L E - ∈至少有一个成立 （B ）()()f x L E +∈且()()f x L E - ∈ （C ）|()|f x 在E 上也有L -积分值 （D ）|()|()f x L E ∈
第6章课后答案汇总
6.1解： 1.计算截面特征值 工字形截面A=20?500?2+12?450=25400mm2 I x=500?4903/12-488?4503/12=11.9629?108mm4； I y=2?5003?20/12=4.1667?108mm4 mm4； i x=217mm；i y=128mm； 2.刚度验算 λx=6000//217=27.65；λy=46.88 λx、λy<[λ] 刚度满足要求 3.强度验算 因无截面稍弱无需验算截面强度 4.整体稳定验算： 焊接工字形截面翼缘焰切边x、y轴都属于b类截面 ?min=?y=0.8704 σ=N/?A=4500?103/(0.8704?25400) =203.54N/mm2 1. 证明：()B A A B -=的充要条件是A B ?. 证明：若() B A A B -=，则()A B A A B ?-?，故A B ?成立. 反之，若A B ?，则()()B A A B A B B -?-?，又x B ?∈，若x A ∈， 则 ()x B A A ∈-，若x A ?，则()x B A B A A ∈-?-.总有 () x B A A ∈-.故 ()B B A A ?-，从而有()B A A B -=。 证毕 2. 证明c A B A B -=. 证明：x A B ?∈-，从而,x A x B ∈?，故,c x A x B ∈∈，从而x A B ?∈-， 所以c A B A B -?. 另一方面， c x A B ?∈，必有,c x A x B ∈∈，故,x A x B ∈?，从而x A B ∈-， 所以 c A B A B ?-. 综合上两个包含式得c A B A B -=. 证毕 3. 证明定理4中的（3）（4），定理6（De Morgan 公式）中的第二式和定理 9. 证明：定理4中的（3）：若A B λλ?（λ∈∧），则 A B λλλλ∈∧ ∈∧ ? . 证：若x A λλ∈∧ ∈，则对任意的λ∈∧，有x A λ∈，所以A B λλ?（?λ∈∧） 成立 知x A B λλ∈?，故x B λλ∈∧ ∈，这说明 A B λλλλ∈∧ ∈∧ ? . 定理4中的（4）： ()()( )A B A B λ λλλλλλ∈∧ ∈∧ ∈∧ =. 证：若 () x A B λ λλ∈∧ ∈ ， 则 有 'λ∈∧ ，使 ''()( )()x A B A B λλλλλλ∈∧ ∈∧ ∈?. 反过来，若()( )x A B λλλλ∈∧ ∈∧ ∈则x A λλ∈∧ ∈或者x B λλ∈∧ ∈ . 不妨设x A λλ∈∧ ∈，则有'λ∈∧使'' '()x A A B A B λλλλλλ∈∧ ∈?? . 故( )()()A B A B λλλ λλλλ∈∧ ∈∧ ∈∧ ? . 综上所述有 ()( )( )A B A B λ λλλλλλ∈∧ ∈∧ ∈∧ =. 定理6中第二式()c c A A λλλλ∈∧ ∈∧ = . 证：( )c x A λλ∈∧ ?∈，则x A λλ∈∧ ? ，故存在'λ∈∧ ，'x A λ?所以 'c c x A A λλλ∈∧ ?? 从而有( )c c A A λλλλ∈∧ ∈∧ ? . 反过来，若c x A λλ∈∧ ∈ ，则'λ?∈∧使'c x A λ?，故'x A λ?， x A λλ∈∧ ∴? ，从而()c x A λλ∈∧ ∈ 《实变函数论》习题选解 一、集合与基数 1.证明集合关系式： （1）)()()()(B D C A D C B A --?---Y ； （2）)()()()(D B C A D C B A Y I I -=--； （3）C B A C B A Y )()(-?--； （4）问)()(C B A C B A --=-Y 成立的充要条件是什么？ 证 （1）∵c B A B A I =-，c c c B A B A Y I =)(（对偶律）， )()()(C A B A C B A I Y I Y I =（交对并的分配律） ， ∴)()( )()()()(D C B A D C B A D C B A c c c c c Y I I I I I ==---第二个用 对偶律 )()()()()()(B D C A D B C A D B A C B A c c c c c --=?=Y I Y I I I Y I I 交对并 分配律 . （2）)()() ()()()(c c c c D B C A D C B A D C B A I I I I I I I ==--交换律 结合律 )()()()(D B C A D B C A c Y I Y I I -== 第二个用对偶律 . （3）)()() ()()(C A B A C B A C B A C B A c c c c I Y I Y I I I = ==--分配律 C B A C B A c Y Y I )()(-=?. （4）A C C B A C B A ??--=-)()(Y . 证 必要性（左推右，用反证法）： 若A C ?，则C x ∈? 但A x ?，从而D ?，)(D A x -?，于是)(C B A x --?； 但C B A x Y )(-∈，从而左边不等式不成立，矛盾！ 充分性（右推左，显然）：事实上， ∵A C ?，∴C C A =I ，如图所示： 故)()(C B A C B A --=-Y . 2.设}1 ,0{=A ，试证一切排列 A a a a a n n ∈ ),,,,,(21ΛΛ 所成之集的势（基数）为c . 证 记}}1 ,0{),,,,,({21=∈==A a a a a a E n n ΛΛ为所有排列所成之集，对任一排列}1 ,0{ ),,,,,(21=∈=A a a a a a n n ΛΛ，令ΛΛn a a a a f 21.0)(=，特别， ]1 ,0[0000.0)0(∈==ΛΛf ，]1 ,0[1111.0)1(∈==ΛΛf ， 即对每一排列对应于区间]1 ,0[上的一个2进小数]1 ,0[.021∈ΛΛn a a a ，则f 是一一对 第六章习题 （二）填空题 1 . MCS-51可提供程序和数据两种存储器、最大存储空间可达64K 的两个并行存储器扩展系统。 2. 为扩展存储器而构造系统总线，应以P0口的8位口线作为低位地址/数据线，以P2口的口线作为高位地址。 3. 在存储器编址技术中，不需要额外增加电路，但却能造成存储器映象区重叠的编址方法是线选法，能有效利用存储空间适用于大容量存储器扩展的编址方法是译码法。 4. 为实现内外程序存储器的衔接，应使用EA 信号进行控制。 5. 访问内部RAM使用MOV 指令，访问外部RAM使用MOVX指令，访问内部ROM 使用MOVC 指令，访问外部ROM使用MOVC 指令。 6. 与微型机不同，单片机必须具有足够容量的程序存储器是因为没有保存程序的外部设备。 7. 在存储器扩展中，无论是线选法还是译码法，最终都是为扩展芯片的片选端提供信号。 8. 在接口电路中，把已经编址并能进行读写操作的寄存器称为口或端口。 9. 从单片机的角度上看，连接到数据总线上的输出口应具有锁存功能，连接到数据总线上的输入口应具有三态缓冲功能。 10. 在三态缓冲电路中，除了数据输入线和数据输出线外，还应当有一个三态控制信号线。 11. 在MCS-51单片机系统中，采用的编址方式是统一编址方式。 12. 在单片机中，为实现数据的I／O传送，可使用3种控制方式，即无条件传送方式、查询方式和中断方式。 13. 在查询和中断两种数据输入输出控制方式中，效率较高的是中断方式。 14. 在多位LED显示器接口电路的控制信号中，必不可少的是段控信号和位 控信号。 15. 简单输入口扩展是为了实现输入数据的缓冲功能，而简单输出口扩展是为了实现输出数据的锁存功能。 16. 8255A能为数据I/O操作提供A、B、C 3个8位口，其中A口和B口只能作为数据口使用，而C口则既可作为数控口使用，又可作为控制口使用。 17. 与8255A比较，8155的功能有所增强，主要表现在8155具有256 单元的RAM 和一个14 位的定时器/计数器。 （三）选择题 1．在MCS-51中，需双向传递信号的是 （A）地址线（B）数据线（C）控制信号线（D）电源线2．在MCS-51中，为实现P0口线的数据和低位地址复用，应使用 （A）地址锁存器（B）地址存储器 （C）地址缓冲器（D）地址译码器 3．在下列信号中，不是给程序存储器扩展使用的是 （A）PSEN （B）EA （C）ALE （D）WR 4．在下列信号中，不是给程序存储器扩展使用的是 （A）EA（B）RD （C）WR （D）ALE第三版实变函数论课后答案
实变函数论习题选解
第六章课后习题答案