什么是概念的拓扑空间_

什么是概念的拓扑空间?①

江　怡/文

提　要:本文主要讨论的是概念的拓扑空间问题。作者认为,概念研究是哲学

的一个主要任务,哲学研究的工作就是要对已经形成的各种概念进行分类整

理,对概念的意义进行澄清,对概念的作用加以规定。通过对哲学史上的五个

概念问题个案的说明,作者指出了概念的拓扑性质是概念之间具有这样一种空

间关系,即概念与概念的极限关系和连续性质形成了概念之间的拓扑空间。这

里强调的是概念的形式化特征,从逻辑的观点看,概念的拓扑空间就是一种逻

辑空间。

关键词:概念研究;概念的拓扑性质;概念空间;逻辑空间

中图分类号:B812121 文献标识码:A

一、概念研究的目的

我始终认为,概念研究是哲学的一个主要任务,就是说,哲学研究的工作就是要对已经形成的各种概念进行分类整理,对概念的意义进行澄清,对概念的作用加以规定等。这表明,哲学就是以概念为研究对象的,或者说,一切哲学工作都是从研究概念开始的。

在这里,显然我们需要对“概念”(concep t)一词的含义做出规定。弗雷格(Gottl ob Frege)早就指出,我们对概念的使用可以在不同的意义上,如心理学的意义上或逻辑的意义上。只要确定了我们所使用的意义,我们就可以一致地在这种意义上使用,而无须考虑这种意义是否是这个词的恰当意义。所以,我们这里使用“概念”一词,显然也是在逻辑的意义上使用的。我们知道,最早从逻辑上讨论“概念”意义的哲学家是密尔(J1S1M ill),虽然他并没有使用“概念”一词,而是使用的“抽象名称”。其实,从逻辑上看,概念就是指类名,即可以应用于许多对象的抽象语词,它们表达的是类的共同特征。用密尔的说法,抽象名称由于外延的扩大和内涵的缩小,因而成为最没有内容的语词。如果用逻辑的方式表达概念,它们就只能是一些“空类”,这表明概念可以脱离对象而存在。

说哲学以概念为研究对象是与把哲学看作是哲学史这个观点相区别的。按照传统的认识,一个概念的形成和发展本身决定了其内容,因而我们提这个概念的时候是根据哲学家本人对概念的把握,然后再根据这个概念在不同的历史阶段和不同的哲学家那里对概念的使用情况来决定对一个概念的理解。这种理解从某种意义上说是有道理的,换句

①本文系作者于2008年4月在中国社会科学院哲学研究所现代外国哲学室“第一哲学论坛”上发表的讲演稿,由管月飞根据录音摘要整理。

话说是有价值的,因为我们可以由此看出,一个概念在不同的哲学家那里是如何得到展现的。但是也有一个麻烦,这就是使得我们在注意概念的历史发展的同时忽略概念自身的内在结构。因此,对概念的研究不仅要看它的历史演变,更重要的是要对它进行共时性研究。另外需要注意的是,在我们对概念进行结构分析时,我们对概念的理解往往是依据哲学家们的解读,而不同的哲学家是根据自身的理解赋予同一个概念以不同的解释的,所以在某种意义上我们对概念本身的研究也就是对哲学史或者概念史的研究。这样,一个概念的形成和流变,乃至于所有哲学概念的发展历史都可以放在概念史的角度来考察。然而,有时候概念史的研究可能会变形为思想史或者观念史(hist ory of ideas)的研究,结果导致我们不能够很好地理解所讨论的概念本身的内在关联。本文主张,概念研究就是哲学研究的目的,因此如何使得概念的研究成为哲学研究的重要对象,或者说如何强化哲学把概念作为研究对象而不是把通常认为的理论、观点乃至于某种哲学思想作为研究对象就显得非常之必要了。

记住以下几条对于我们这里的讨论非常重要:第一,概念不是语词的思维内容,而是思维得以体现的语词形式;第二,必须从逻辑上而不是从心理学上理解概念,否则就会落入心理主义;第三,作为理性的一般表象的概念是与对象截然区分的,概念没有指示对象,而是蕴涵了对象,对象是由名称命名的,而概念则是由谓词断定的。

二、哲学史上关于概念问题的探讨

11波菲利的概念论

概念论(concep tualis m)的讨论其实是中世纪晚期关于唯名论与唯实论之争的一部分。唯名论(nom inalis m)强调,语词并不指称对象,语词仅仅是约定的产物,因为语词本身就是一些名称而已。唯实论(realis m),也就是我们今天通常所说的实在论的概念。实在论认为,所有的名称都是有指称对象的,因而它们的意义取决于对象的存在。概念论则既不同意唯名论,也不同意唯实论,它是骑墙派。唯名论者认为,共相仅仅是名称,我们不能用共相来指称一个对象。所谓“唯名”,就是说它只是个“名”而已,并没有一个具体的对象存在。波菲利(Por phyri os)在其概念论中则认为,共相不是名称,共相是有对象的。很明显,这是对唯名论的一个批评。对于唯实论,概念论也持批评态度。唯实论认为,所有的共相所指称的对象都是独立于我们对它的指称的,也即是说,它是独立于我们的名称而存在的,因而它是实在的。概念论认为,共相不是独立存在的,因为共相是依赖于我们对一个概念性的事物认识的结果。在这个意义上,共相并不是独立存在的。波菲利的最重要成果是把共相解释为谓词,并且认为它就代表了概念,因而可以或真或假地述说事物。这里似乎已经能够看到后来弗雷格思想的影子。波菲利的理论本身是对亚里士多德理论的一种解读方式,它本身试图解决关于共相问题的讨论,认为共相问题在亚里士多德那里并没有真正得到很好的处理,所以他认为这个理论是用来解释亚里士多德的,但是后来的逻辑学发展表明,波菲利的解读是错误的,没有真正地解读亚里士多德,所以波菲利的理论在整个逻辑史上的重要性并不是很大。当然,虽然波菲利的谓词理论被公认为错误地解释了亚里士多德的思想,但他提出的概念论却在一定程度上表明了概念的分类作用,同时也表明了概念具有脱离单个心灵的意义,这些对于我

们今天讨论概念问题还是具有启发意义的。

21弗雷格对概念与对象的区分

弗雷格关于概念(concep t)与对象(object)的区分是今天讨论概念的一个重要思想来源,最具代表性。弗雷格区分概念与对象的核心思想,是要把概念解释为一种逻辑上的空项,也就是指需要其他东西加以补充才能得以完成的类。就像我们给出一个谓词一样,其实谓词就是一个空项。在逻辑上,谓词就是空项,它不指代任何对象,它是用来述说对象的。在这个意义上,弗雷格区分概念与对象的时候,他就明确地把概念的用法确定为谓词的用法。所以,在弗雷格那里,概念的用法是基本确定的,而对象的用法则是不确定的,就是说,我们可以在不同的层次上谈论对象一词,比如我们可以谈一阶对象或者二阶对象。当然,我们也可以谈一阶谓词跟二阶谓词,但是在对象的概念上,我们说当有些东西进入这个视野的时候我们就可以把它看作对象,而在二阶层面上它就不可能成为对象,而只能成为一个概念了。所以在弗雷格这里,对象本身是可以变化的,而概念本身却是不变的,换句话说,因为概念体现的是谓词的意义,所以概念由于成为谓词而成为进入逻辑讨论的范围。也正是由于这原因,概念才可能有了不同的层次,也就是他所说的一阶概念(first order concep t)和二阶概念(second order concep t)。他明确地说:“对象处于一阶概念之下,而概念则处于二阶概念之下。”什么是“一阶概念”?“一阶概念”就是一阶谓词。当我们用一阶谓词来谈论对象的时候,这时我们使用的这个一阶谓词实际上就是一阶概念。如果我们用二阶谓词来讨论对象,那么这个对象就不是对象,而是概念本身了。所以不能把二者混淆起来,一个是二阶的,一个是一阶的,由此来区分对象跟概念。弗雷格的这个思想对后来的哲学影响非常大,特别是当代分析哲学。当代分析哲学的一个很突出特点就是,我们可以不在一阶谓词的意义上来谈论对象,我们只需要在二阶意义上来谈论对象,因为在二阶意义上谈论对象其实就是谈论概念本身。所以这个时候分析哲学家更加关注的是我们如何建构这个二阶概念。总之,这套方法对后来的哲学产生了很大的影响,其中的一个结果就是在我们考虑所有的实质性的问题时,我们关心的不再是那个对象的存在而是它的形式问题,也就是通常说的“表达”(exp ressi on)本身。这样,“表达”便成了哲学讨论或哲学分析的一个关键了。

31斯特劳森的概念分析

“概念分析”(concep tual analysis)是斯特劳森(Peter Stra ws on)在他的《论个体》里明确阐述、然后又在《分析的形而上学》一书中加以论述的一个说法。这也是斯特劳森最为得意的说法。所谓概念分析,通常可以把它理解为运用逻辑的方法澄清概念或观念的意义。“澄清”就是分解,就是用逻辑的方法把概念加以分类、分解,由此指出我们通常认为的概念其实包含了许多时常不被我们察觉的内容。这里需要注意的是,概念分析有时并不需要直接采用逻辑分析的方法,它主要的工作是发现概念的不同要素及其之间的联系方式。但更重要的是要看到,概念分析的着眼点其实并不是概念本身,而是用来表达概念的命题。因此,概念分析其实应当是命题分析,或者说,构成了命题分析的基础。可以看出,斯特劳森的概念分析更强调的是命题。斯特劳森的概念分析被看作是补充我们通常所说的逻辑分析的另外一个部分,因为我们通常说分析哲学的方法包含两种形式,一种是通常所说的逻辑分析,一种就是概念分析。当然,概念分析本身也是使

用逻辑的分析方法,换句话说,它也使用逻辑的方法来讨论概念问题,因此很难区分这里究竟是使用了逻辑还是没有使用逻辑。需要指出的是,斯特劳森本人是个逻辑学家。他自己也写过逻辑学著作,但是他不想完全使用一些符号的东西,而是使用日常语言来讨论概念问题。在这一点上,他与其他的分析哲学家、比如维也纳学派的哲学家以及后来的奎因、戴维森这样的哲学家是不太一样的。我们把斯特劳森归到日常语言学派当中,就是因为他的确不像罗素(Bertrand Russell)和维特根斯坦(LudwigW ittgenstein)那样完全使用符号语言来讨论概念问题。

41戴维森的概念图式

戴维森(Donald Herbert Davids on)对概念的讨论主要集中在他提出的“概念图式”(concep t sche me)观念上。奎因(W1V1Quine)曾经提出经验论的两个教条,即对分析陈述和综合陈述所作的截然二分以及还原论思想,他认为这两个教条支配着我们整个的认识论乃至整个现代哲学,特别是分析哲学的一个基本思路。当然,这也是逻辑实证主义的一个基本理论。戴维森指出,其实还有第三个教条,这就是所谓的“概念图式”的教条。他认为这个概念图式实际上一直没有被关注到,但却是重要的一条。因为无论是还原论也好,同一性也好,其实都是在讲分析命题与综合命题,这些都是分析哲学内部可能出现的问题。概念图式则不仅仅是分析哲学内部,而且它还可能涉及到整个哲学。那么,什么是“概念图式”呢?可以说,概念图式就是我们用来组织、描述和解释我们经验内容的概念网络或框架。经验内容是可以描述的,但概念图式本身却是难以描述的。正如我们可以用眼睛看世界,但我们的眼睛却无法直接看到眼睛本身。因此,我们一定要把概念图式理解为这样一种形式,就是说,它为我们的感觉材料提供了形式框架,正如时间和空间作为知性范畴为经验内容进入理性活动提供了先天形式。在某种意义上,我们甚至也可以说概念图式也是用来整理我们的经验内容的一种先天形式,虽然戴维森本人并不如此看。戴维森对概念图式的分析给我们提供了很好的思路或线索,他向我们指出,在讨论任何概念问题的时候我们都是在一个框架当中来进行的,我们不能够超越这个框架。就概念图式中形成的命题、意义或者真理而言,它们都只是相对于这个图式而言的,不能超越这个图式。进而言之,无论是思维方式还是概念的使用,都是在一种在先的文化模式中进行的,没有人可以完全超越自己所在的文化模式。

51丘奇兰德的概念相对主义

概念相对主义理论恰好是与上面的概念图式理论针锋相对的。它否认存在普遍的概念图式,认为一切真理都相对于不同的概念图式,每一种概念图式都有其存在的合理性,所以不能用某一种概念图式去评价、说明另一种概念图式。这有点类似于库恩(Thomas S1Kuhn)所说的“不可通约性”(incommensurability)的意义:“不可通约性”的实质就是,人们之间没有办法达成一致的理解,但实际上这种“不可通约性”只是说我们没有一个共同的标准可以衡量不同文化背景当中所形成的各种不同认识,而寻求统一的标准本身就是一个幻想。我们要做的仅仅是在不同的文化背景中寻求相互的宽容和理解。德里达晚年非常强调“宽容”,就是希望人们能够以宽容的态度来对待不同的文化和传统。总之,丘奇兰德(P1M1Churchland)是以概念作用理论为其概念相对主义做辩护,这种理论认为,概念的意义应当取决于概念所处文化的信念网络。因此,不同的网络就会赋

予概念不同的意义。通常,这种理论也被称作概念的多元论。

这里需要注意的是,“概念”与“概念的”两者的用法有所不同。“概念”(concep t)是指一种语词表达形式,而“概念的”(concep tual)则意味着这种语词形式包含的内容。

三、概念的拓扑性质:概念之间的极限关系和连续性质

有了对概念性质的这种理解,我们就可以进一步讨论概念的拓扑性质。所谓概念的“拓扑性质”是指概念之间具有这样一种空间关系,即概念与概念之间具有一种极限的联系和连续性质,这种极限关系和连续性质形成了概念之间的拓扑空间。

这里有两个重要的概念,一个是极限关系,一个是连续性质。所谓“极限关系”是指概念在不同层次所处的具体位置。比如,在一个逻辑空间中出现一个点或若干个点,当我们追问这个点是由什么来决定的、或者这个点的性质是由什么来决定的时候,我们并不是通过这个点本身来确定,而是通过这个点与其他点的外围关系来确定的。换句话说,一个点并不能决定它自己的存在,它的存在依赖于其他的点,其他的点就构成了这个点的极限。也可以用集合论来说明极限的观点。比如A、B、C这三个成分构成一个集合,那么这个集合的极限点是什么?就是AB、ABC和AC,它们构成了A、B、C三者的极限点。这里,我们并不是在讨论中间的某一个元素,我们是把它们作为整体,也就是作为一个集合来看待的。在这个集合中,A、B、C之间有一种内在的逻辑关联性,因而使得我们可以对AB、ABC和AC进行逻辑上的建构。这是集合拓扑学或叫点集拓扑学中经常使用的一个基本例说。

再比如《逻辑哲学论》中的点的概念。假设这里有一个空间,不管这个空间有多大。在这个空间中,点的概念具有一种发散性。在这个发散性过程中,当我们要确定这个点如何成其为自身的时候,我们不是来讨论这个点自身的内在结构,而是它的发散性是如何构成的。我们可以把这个发散性本身看作是决定这个点的性质。就是说,这个点的性质不是由点的内在关系决定,而是由点的外在关系决定的。由于这个空间中有无数个点存在,每一个点与点之间的关系都决定了个别的点的性质。点与点之间就构成了一个网络,由这个网络构成的空间我们称之为“拓扑空间”。这是对拓扑空间的直观理解。当我们把其中的点理解为概念时,这时候它就变成了概念拓扑空间。也就是说,这是一个由概念组成的拓扑空间。

同理,在概念拓扑空间中一个概念也不是由概念本身决定的,而是由一个概念与其它概念之间的相互关系来决定的。这里讲的都是极限的关系。正是由于极限关系的存在,所以才出现了拓扑学上经常使用的邻域概念。邻域关系构成其中所有的点的极限关系,从而决定了每一个点或概念的性质。例如,当概念A属于第一层概念,概念B属于第二层概念,那么,概念AB就以各自的位置作为它们的极限。极限概念在拓扑学中是一个基础概念,非常重要。由于极限所以才产生了性质,性质是由极限来决定的。

再来看概念的连续性质。所谓概念的“连续性质”,是指概念与概念之间的映射关系,这里又涉及到拓扑学中的一个常用术语即“映射”(mapp ing),意思是处于一个概念之下的任何对象都可以处于另一个相似概念之下。例如,设x为概念X之下的任何一个对象,而f(x)在概念Y之下也成立,或者说,x在概念X之下具有的属性完全可以用

在概念Y之下,那么,我们就可以说,概念X和概念Y在对象x上具有连续性质。换句话说,当一个对象可以被使用在两种不同概念的情况下,我们就说这两个概念之间具有“映射”关系。这种“映射”关系就构成了概念之间的连续性质,因为它可以在这个概念下使用,也可以在另一个概念下使用。假设某个对象在两种概念下都可以使用,我们就可以把对象放一边,因为对象是相同的,那么我们就可以说这两个概念之间具有“映射”关系,因而这两个概念之间是连续的。

概念之间具有的这些关系和性质就构成了概念之间的拓扑空间。这里的“拓扑空间”是指,每一个概念都具有决定了它的存在位置的邻域关系。因为每个概念的存在都不是孤立的,我们对概念的把握和理解往往是通过某个概念与其它概念之间的相互关系而完成的。这样,概念之间的关系就决定了每个概念的地位和作用。这样的概念关系必定处于拓扑空间之中,因为每个概念的存在不是由其自身与其它概念的内在关系决定的,而是由这个概念之外的概念对它构成的外部环境决定的。这些就形成了我们这里讨论的概念空间,也就是概念的“拓扑空间”。

由此可见,概念空间就是概念与概念之间的空间关系。这里强调的是概念的形式化特征,即概念的拓扑性质。当我们像弗雷格那样把概念看作逻辑中的函数或语言中的谓词,我们就可以理解,概念的作用不再是表达我们的思想内容或形成判断的意义成分,而是用于连接指称对象的名称并由此形成判断的方式。在这种拓扑空间中,概念不是表现为具有认识内涵的抽象名词,而是显现对象名称之间关系的符号形式。这样的概念空间,恰恰规定了我们的判断得以成立并具有意义的形式规则。只有在这种意义上,我们对概念的研究才能彻底摆脱心理学的纠缠,才能真正进入逻辑学研究的领域。不过,当我们谈到拓扑空间的时候,我们也会涉及到一个悖论。一方面,当我们讨论概念的拓扑空间时,实际上是在追问概念的性质。就是说,概念研究的目的是追问概念的性质,只是这种讨论不是在历史的线索中进行的,而是在空间中进行的。既然是在空间中讨论概念的性质,那么我们要关注的是概念自身的结构。但另一方面,在讨论拓扑空间时,我们又把概念的性质看作是一种外在的关系,是概念与概念之间的关系,这就出现了矛盾。其实,这个矛盾只是个表面现象。因为在讨论概念空间的时候就已经表明,任何概念都只能处于一个概念空间当中,这个空间中的每一个概念的性质都不是由其自身决定的。这就像给出一个坐标系,我们追问其中任意一点的性质一样。很明显,坐标系中的每一个点都不是由自身决定的,而是由它在这个坐标系中所处的位置决定的。对于坐标系中的点作如此理解,概念其实也是一样。其实,正如文章伊始我们就提出的那样,讨论概念问题要排除心理学因素,而应该使用各种外部描述,因为只有通过对外部特征的描述,我们才能准确地从外部来把握这个概念或者从外面来理解这个概念。所以,一旦我们把概念放到空间中来讨论,那个看似矛盾的矛盾也就不存在了。

四、概念的拓扑空间即概念的逻辑空间

概念的逻辑空间是借用了维特根斯坦的说法。从逻辑的观点看,概念的拓扑空间就是一种逻辑空间。在这里,“逻辑空间”是指一个命题的活动空间:在否定的意义上,它限定了其他命题作用于这个命题的自由;在肯定的意义上,它则规定了这个命题得以活

动的空间。这样的逻辑空间在维特根斯坦的《逻辑哲学论》中得到了很好的描述。

我们这里需要分析维特根斯坦给出的命题的一般形式究竟是什么。命题6说:“真值函项的一般形式是[p,ξ,N(ξ)],这也是命题的一般形式。”简单地说,这个一般形式表达的是一个变项公式,其中第一个p代表的是任意一组基本命题的全体,第二个ξ代表的是任意一组真值函项的全体,第三个N(ξ)代表的是该真值函项的形式序列中紧接着ξ的那一项。可以看出,在这个形式序列中,p,ξ就是任意一组的基本命题和真值函项的全部。事实上,这就是由基本命题和真值函项构成的一个逻辑空间,而在这个空间中,N(ξ)的存在又说明了,真值函项具有连续映射的性质,即任意一个真值函项都以下一个真值函项的存在作为根据。由此可见,这是一个由真值函项构造出来的拓扑空间。

我们还可以用集合论来理解这个命题。按照集合论的观点,P和ξ表达的都是集合的概念,即p代表的集合与ξ代表的集合。维特根斯坦说,真值函项的一般形式也是命题的一般形式。这个一般形式是指包含了所有这个集合内的情况,因此任何命题用这种命题形式来解读都是可以成立的。在这个一般形式中,p跟ξ之间具有一种集合关系,因为它们都是被置于一个集合里面。N就是“非”或“否”的意思。这就排除了凡是不是它的所有东西。集合p和集合ξ已经囊括了所有的集合,而N(ξ)是对ξ的一个否定。什么叫对它的否定?在这里,否定其实就是极限,它不再是这个命题,不属于这个命题,而是这个命题之外的东西。一方面是基本命题,另一方面是命题的真值函项,这说明,所有的命题都被包含在内,另外还有一个包含在这个命题的真值函项之后或者其他的东西。用维特根斯坦的话说就是,凡是可以说的东西都包含在这个变项序列当中了。因此,命题p、ξ加上命题N(ξ)就构成了所有的命题形式,而所有的命题也被看作是命题的一般形式。这个命题可以看作就是维特根斯坦给出的极限概念,因为这个命题表达式本身就是一个拓扑学的概念。

我认为,这正是《逻辑哲学论》中隐藏着的逻辑空间。揭示了这个逻辑空间,我们就可以清楚地理解维特根斯坦向我们描述的逻辑图像:这是一个完全由逻辑构造出来的世界。它向我们清晰地表明,通过分析构造出来的逻辑空间就是一种拓扑空间;而这样的空间也是概念的空间,是一种以弗雷格的概念文字的方式展现出来的形式空间。在这个空间中,概念之间的极限关系和连续性质规定了概念存在的关键所在。因此,有了这幅逻辑图像,我们才能够按图索骥地进入维特根斯坦的真实思想。

五、一个案例:认知科学中的概念空间

当代瑞典哲学家、逻辑学家哥登弗斯(Peter G rdenf ors)于2000年出版了《概念空间:思想的几何学》一书,在西方哲学界引起了一些反响。哥登弗斯的主要工作是在认知科学领域。由于认知科学的解释性和建构性要求,因而需要运用表象的方式刻画人类的认识过程,这种方式主要是在认知系统中使用符号和联想形式完成的。符号形式就是首先假定,认知系统是可以使用像图灵机那样的东西加以描述的。由此,认知活动就被看作在本质上是可计算的。而联想形式则是把各种不同的信息要素联系起来,由此产生表象。例如,我们可以用人工神经网络模拟人类认知活动。他提出了使用表象神经活动的第三种方式,即以几何结构的方式表明神经元间的相似关系。(下转第90页)

不一定能推论出社会因素是导致选择范围更为狭窄的原因,(b)科学家在理论之间进行选择的许多个案中,如果把个案看作是根本从经验上不完全决定,那么就错误地表征了选择的环境。

六、结 论

至少可在两个明显的意义上把某一纲领说成“强”。在一种意义上,如果某一组论题成功地经受住了一系列苛求的检验,那么我们说它们是“强”的。在另一种完全不同的(波普尔所说的)意义上,当一组假设提出的主张非常大胆、具有创造性和广泛性时,我们说它们是“强”的。这两种属性中没有一种单独具有很大价值。圆满地通过非常小范围检验的理论与不圆满地通过大范围检验的理论,都不是最符合我们的认识兴趣的。我们所寻求的是双重意义上“强”的理论。知识社会学中的强纲领,特别是与它合为一体的对称性原则,仅仅在第二种意义上是“强”的。它所作出的主张大胆、雄心勃勃且具有普遍性。但是正如我试图表明的那样,对称性原则在至关重要(即得到证据的充分支持)的意义上不是很强。相反,在这样的情形下,人们可能习惯于放弃对称性论题而让强纲领的其他论题不受损害。这样一种策略实则冒着剥夺了强纲领在第二种意义上的力量上的风险,因为没有对称性,强纲领已变成相对温和的主张即信念是有原因的。如果强纲领想获得那样的名称,那么所需要的是对对称性论题做一些重大的调整。让其主张既大胆又明显得到证据支持。在出现这样的替代物时,强纲领才拥有神秘主义、催眠术和一元论意义上“强”的力量:所有这一切都寻求在“科学”的旗帜下提出只具有最空洞证据的论题。

(L1Laudan,“The Pseudo2Science of Science?”载于B r own,J,R(ed):Scientific Rationality:The Sociological Turn,41-73[M],D1Reidel Publishing Company,1984,译者工作单位:肖雷波,南京大学哲学系,袁莹,南京师范大学外国语学院,责任编辑:鲁旭东)

(上接第77页)

他把这种方式称作“概念形式”,即概念构成方式表明了信息可以在概念的层次上得以展现,并可以基于一些质的纬度构造信息的几何结构。哥登弗斯把这样的几何结构称作“概念空间”。在他看来,这种空间是以数学的方式展现的,与纯粹符号的和联想的方式相辅相成,共同构成了认知科学中的表象方式。他提出这个概念空间的目的,是为了用“更为自然的方式”表现认知活动中的神经形态,反对用可能世界语义学的方法对“属性”的传统分析。

我借用了哥登弗斯的概念形式或叫概念空间的说法,但是与之又有明显的区别。哥登弗斯是在认知科学的意义上来理解空间的。对于他来说,这个空间的构造是与认知形式相关联的。由此可见,哥登弗斯的“概念空间”并非我们这里理解的这个概念,不符合我们这里的讨论要达到的形而上学目的。但值得注意的是,他的讨论仍然是以概念之间的相似性为核心,但同时他把相似性理解为一种理论构造,即认为概念由于事物的相似性而得以构成,而相似性本身并非内在地存在于事物之中,相反,是由构成概念的主体投射于事物之上,具体地说,相似性就是对象在概念空间的距离。目前,关于概念空间的研究还是非常之少,即使在西方这个领域也是刚刚起步,也在试图通过这个方法来掌握问题。一句话,我对概念空间或者概念的拓扑空间的讨论,目的并不是要解决认知科学问题,而是为了解决概念本身的问题,换句话说,是为了解决哲学问题。

(作者工作单位:中国社会科学院哲学研究所,责任编辑:张敦敏)

拓扑空间

算子拓扑空间 1..算子拓扑空间： 设（Ｘ，ζ）是拓扑空间，Τ为2Χ到2Χ的一个算子，记Ω={A∈2Χ|A=TA}。 定义1.若ζ?Ω，则称T为X的一个强算子，Ω中元素称为强算子开集，如果T进一步还是一个保并算子（算子运算与并运算可交换次序的算子），则称Ω为X的一个强 算子拓扑。 定义2.若?≠Ω?ζ则称T为X的一个弱算子，Ω中的元素称为弱算子开集，如果T进一步还是一个保并算子，则称Ω为X的一个弱算子拓扑。 强算子开集和弱算子开集统称为算子开集，或称T开集。 强算子拓扑和弱算子拓扑统称为算子拓扑，又称T拓扑。 我们约定：下文讨论的算子开集均指强算子开集，算子拓扑均指强算子拓扑。 由算子开集的定义显然有： （1）{X，?} ?Ω； （2）Ω中任意多个成员的并仍在Ω中； 事实上，设Γ?Ω，因T（? A∈ΓA）=? A∈Γ TA=? A∈Γ A,故? A∈Γ A∈Ω （3）Ω中两个成员的交集不一定在Ω中。 定义 3. 设（Ｘ，ζ）是拓扑空间，Τ为2Χ到2Χ的一个保并算子，Ω={A∈2Χ|A=TA}，若ζ?Ω，则称（X，Ω）为一个算子拓扑空间。 一般地，若ζ 1和ζ 2 都是X上的拓扑，则ζ 1 ∩ζ 2 是X上的拓扑。对算子拓扑也有 类似结论： 命题1.设（Ｘ，ζ）是拓扑空间，Ωi为由算子T i诱导的算子拓扑（i=1，2）则Ω1∩Ω2是X上的算子拓扑。 T 1（A）∩T 2 （A），A∈Ω 1 ∩Ω 2 证：令TA= ? A ?Ω1∩Ω2 一方面当A∈Ω 1∩Ω 2 时，TA= T 1 （A）∩T 2 （A）=A∩A=A 所以，A∈Ω；

另一方面当A ?Ω 1∩Ω 2 时，TA≠A，所以，A?Ω； 可见Ω 1∩Ω 2 =Ω是由T诱导的拓扑。 命题2.设（Ｘ，ζ）是拓扑空间，Ωi为由算子T i诱导的算子拓扑（i=1，2）则Ω1?Ω2是X上的算子拓扑。 T 1（A）， A∈Ω 1 证：令TA= T 2（A）， A∈Ω 2 类似地可证Ω 1? Ω 2 =Ω是由T诱导的算子拓扑。 ? A ?Ω1且A ?Ω2 2.算子连续映射： 有了算子拓扑空间，我们可以在这个空间上讨论算子连续映射，就像在拓扑空间中讨论连续映射可以得到一系列连续映射的等价刻划那样，我们将会得到算子连续映射的一系列等价刻划。 参考文献：[1] 尤承业基础拓扑学讲义[M] 北京：北京大学出版社，1997 [2] 钱有华，陈胜敏杨忠道定理在算子开集理论下的推广[J] 浙江科技学院 学报，2004，16（1）：1-3 [3] 钱有华，关于算子紧空间[J] 浙江师范大学学报（自然科学版），2003， 26（4）：333-336

空间群

目录 1历史 2空间群的要素 2.1元素，固定点 2.2翻译 2.3滑翔飞机 2.4螺旋轴 2.5一般公式 3空间群的符号 4空间群的分类系统 5在其他维度的空间群 5.1比贝尔巴赫的定理 5.2在小尺寸的分类 5.3双组与时间逆转 6在3维空间群表 7参考 8外部链接 历史 在2维空间群的17壁纸已几百年的群体。 费奥多罗夫（1891年），第一个列举在3维空间群，不久独立Sch?nflies（1891年）和巴洛（1894）列举。这些第一枚举都包含了几个小错误，正确的列表之间费奥多罗夫和Sch?nflies通信过程中发现的230种空间群。 元素的空间群 在三维空间中的空间群是由32与14种布拉维晶格晶体点群，后者属于7晶格系统之一每个组合。在空间组作为一个单元细胞，包括格居中，反射，旋转和不当的旋转（也称为rotoinversion）点群的对称操作，和螺旋轴和滑移面对称操作的平移对称性的某种组合的结果。所有这些对称操作结果共230独特的空间描述所有可能的晶体对称性的群体相结合。 固定点的元素 空间组固定的空间点的元素旋转，反射，身份的元素，和不当的旋转。 翻译 翻译形式的等级3的正常交换子群，称为布拉菲晶格。有14种布拉维晶格可能。空间群由布拉维晶格的智商是一个有限群的32种可能的点群之一。 空间groupsThere符号至少8命名空间组的方法。有些方法可以指定几个不同的名字，以相同的空间群，因此完全有成千上万许多不同的名称。 数。国际晶体学联合会出版的所有空间群类型的表，并赋予每一个唯一的编号从1到230。编号是任意的，除了具有相同的晶体系统或给出点组连续的数字组。国际符号或赫尔曼Mauguin符号。赫尔曼Mauguin（或国际）符号描述晶格和发电机组的一些的。它有一个缩短的形式称为国际短期符号，这是一个使用最常用的晶体，通常由四个符号。首先介绍了围绕布拉菲晶格（P，A，B，C，我，R或F）。未来三年预计沿晶体的高对称性方向之一，描述最突出的对称操作时可见。这些符号是相同的点群，此外滑翔飞机和螺旋轴，上述。例如，石英的空间群为P3121，显示，它表现出原始的图案（即每单位细胞）围绕一个三重螺

《点集拓扑讲义》第三章 子空间(有限),积空间,商空间 学习笔记

第3章子空间（有限）,积空间，商空间在这一章中我们介绍通过已知的拓扑空间构造新的拓扑空间的三种惯用的办法．为了避免过早涉及某些逻辑上的难点，在§3.2中我们只讨论有限个拓扑空间的积空间，而将一般情形的研究留待以后去作． §3.1子空间 本节重点：掌握度量子空间、拓扑空间子空间的概念，子空间的拓扑与大空间拓扑之间的关系以及子空间的闭集、邻域、基、导集、闭包与大空间相应子集之间的关系及表示法． 讨论拓扑空间的子空间目的在于对于拓扑空间中的一个给定的子集，按某种“自然的方式”赋予它一个拓扑使之成为一个拓扑空间，以便将它作为一个独立的对象进行考察．所谓“自然的方式”应当是什么样的方式？为回答这个问题，我们还是先从度量空间做起，以便得到必要的启发． 考虑一个度量空间和它的一个子集．欲将这个子集看作一个度量空间，必须要为它的每一对点规定距离．由于这个子集中的每一对点也是度量空间中的一对点，因而把它们作为子集中的点的距离就规定为它们作为度量空间中的点的距离当然是十分自然的．我们把上述想法归纳成定义： 定义3.1.1 设（X，ρ）是一个度量空间，Y是X的一个子集.因此，Y×Y X×X．显然：Y×Y→R是Y的一个度量（请自行验证）．我们称Y的度量，是由X的度量ρ诱导出来的度量.度量空间（Y，ρ）称为度量空间（X，ρ）的一个度量子空间．

我们常说度量空间Y是度量空间X的一个度量子空间，意思就是指Y是X的一个子集，并且Y的度量是由X的度量诱导出来的．我们还常将一个度量空间的任何一个子集自动地认作一个度量子空间而不另行说明．例如我们经常讨论的：实数空间R中的各种区间（a，b），[a，b]，（a，b]等；n＋1维欧氏空间 中的 n维单位球面: n维单位开、闭球体: 以及n维单位开、闭方体和等等，并且它们也自然被认作是拓扑空间（考虑相应的度量诱导出来的拓扑）． 定理3.1.1 设Y是度量空间X的一个度量子空间．则Y的子集U是Y中的一个开集当且仅当存在一个X中的开集V使得U＝V∩Y． 证明由于现在涉及两个度量空间，我们时时要小心可能产生的概念混淆．对于x∈X（y∈Y），临时记度量空间X（Y）中以x（y）为中心以ε＞0为 半径的球形邻域为，. 首先指出：有=∩Y. 这是因为z∈X属于当且仅当z∈Y且(z,y)<ε. 现在设U∈，由于Y的所有球形邻域构成的族是Y的拓扑的一个基，U可以表示为Y中的一族球形邻域，设为A的并．于是

点集拓扑21n维欧氏空间度量空间拓扑空间的概念定义

第二章 点 集 拓 扑 §2.1. n 维欧氏空间、度量空间、拓扑空间的概念 定义2.1.1．) , ,(n 1ξξ =x ，n R y ∈=) , ,(n 1ηη ，定义 R R R d n n →?: 为 ∑=-= n 1 2 )()y ,(i i i x d ηξ． 称d 为n R 上的Euclid 距离． 易证距离d 满足： 01．y x 0)y ,( ,0)y ,(=?=≥x d x d ； 02．) x ,()y ,(y d x d =； 03．)z ,()y ,()z ,(y d x d x d +≤， )R z y, ,(n ∈x ． 定义2.1.2．( 距离空间，Metrical Space ) X 为非空集合，二元函数 R X X d →?: 满足： 01．非负性：y x 0)y ,( ,0)y ,(=?=≥x d x d ； 02．对称性：) x ,()y ,(y d x d =； 03．三角不等式：)z ,()y ,()z ,(y d x d x d +≤ )R z y, ,(∈x ． 称d 为X 上的一个距离，)d ,(X 为距离空间或度量空间．如 X A ?，称)d ,(A 为距离子空间． 0r ,>∈X x ，开球：} ) ,({)r ;(r x y d X y x B <∈=； 闭球：} ) ,({)r ;(r x y d X y x S ≤∈=． 开集：X A ? ．A x ∈，?球 A x B ?)r ;(，称x 为A 的一个内点．如A 中每个点都是内点，则称A 为开集． 开球是开集；2R 中第一象限区域（不含坐标轴）是开集． 记)d ,(A 中开集全体为τ，则有如下结论． 定理2.1.1．(1) τφ∈X ,； (2) ττ∈?∈)( ,2121G G G G ； (3) τλτλλλ∈?Λ∈∈Λ ∈ )( G G ． 例：(1) 离散空间． φ≠X ，定义 ) X y x,( y x ,1y x ,0)y ,(∈?? ?≠==x d ． 称X 为离散距离空间． (2) ] ,[b a C 空间． } b] [a, )( )({] ,[上连续函数为t x t x b a C =．] ,[y(t)y ),(b a C t x x ∈==， 定义y(t)x(t) max )y ,( -=≤≤b t a x d ， d 是距离． (3) 有界函数空间)(X B ． φ≠X ，} X )( )({)(上有界函数为t x t x X B =． 定义 y(t)x (t) sup )y ,( -=∈X t x d ，()(y ,X B x ∈)，d 是距 离．称)(X B 为有界函数空间． 取 +=N X ，记} )( )( {)(有界　n n x l X B ξξ===∞．)(y ),(n ηξ==n x ，n n sup )y ,(ηξ-=∈N n x d ． 定义2.1.3．设 φ≠X ，)(X P ?τ 满足：

点集拓扑学拓扑知识点

(点集拓扑学拓扑)知识点

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第4章 连通性重要知识点 本章讨论拓扑空间的几种拓扑不变性质，包括连通性，局部连通性和弧连通性，并且涉 及某些简单的应用．这些拓扑不变性质的研究也使我们能够区别一些互不同胚的空间． §4．1 连通空间 本节重点: 掌握连通与不连通的定义. 掌握如何证明一个集合的连通与否? 掌握连通性的拓扑不变性、有限可积性、可商性。 我们先通过直观的方式考察一个例子．在实数空间R 中的两个区间（0，l ）和［1，2）， 尽管它们互不相交，但它们的并（0，1）U ［l ，2）＝（0，2）却是一个“整体”；而另外两 个区间（0，1）和（1，2），它们的并（0，1）U （1，2）是明显的两个“部分”．产生上述 不同情形的原因在于，对于前一种情形，区间（0，l ）有一个凝聚点1在［1，2）中；而对 于后一种情形，两个区间中的任何一个都没有凝聚点在另一个中．我们通过以下的定义，用 术语来区别这两种情形． 定义4．1．1设A 和B 是拓扑空间X 中的两个子集．如果 ?=???)()(A B B A 则称子集A 和B 是隔离的． 明显地，定义中的条件等价于?=?B A 和 ?=?A B 同时成立，也就是说，A 与B 无交并且其中的任何一个不包含另一个的任何凝聚点． 应用这一术语我们就可以说，在实数空间R 中，子集（0，1）和（1，2）是隔离的， 而子集（0，l ）和[1，2) 不是隔离的． 又例如，易见，平庸空间中任何两个非空子集都不是隔离的，而在离散空间中任何两个 无交的子集都是隔离的． 定义4．1．2 设X 是一个拓扑空间．如果X 中有两个非空的隔离子集A 和B 使得X=A ∪B ，则称X 是一个不连通空间；否则，则称X 是一个连通空间． 显然，包含着多于两个点的离散空间是不连通空间，而任何平庸空间都是连通空间． 定理4．1．1设X 是一个拓扑空间．则下列条件等价： （l ）X 是一个不连通空间； （2）X 中存在着两个非空的闭子集A 和B 使得A ∩B=? 和 A ∪B ＝ X 成立； （3） X 中存在着两个非空的开子集A 和B 使得A ∩B=? 和 A ∪B ＝ X 成立； （4）X 中存在着一个既开又闭的非空真子集． 证明（l ）蕴涵（2）: 设（1）成立．令A 和B 是X 中的两个非空的隔离子集使得 A ∪ B ＝X ，显然 A ∩B=?，并且这时我们有 B B B A B B A B X B B =???=??=?=)()()( 因此B 是X 中的一个闭子集；同理A 也是一个X 中的一个闭子集．这证明了集合A 和B 满足条件（2）中的要求． （2）蕴涵（3）．如果X 的子集A 和B 满足条件（2）中的要求，所以A 、B 为闭集， 则由于这时有A ＝B /和B=A '，因此A 、B 也是开集，所以A 和B 也满足条件（3）中的要

基本群

同伦和基本群 在上一次中，我们利用空间的连通性给出了一个拓扑不变量，他可以区分一些简单的空间，但是要想区分更多的空间，需要引入更精细的不变量！ 几个概念： 1。道路连通：拓扑空间X中的一条道路是指一个连续映射r:I->X,（X=[0,1]），点r (0),r(1)分别叫做道路的起点和终点。若X中的任何两点均有道路连接，则称该空间X为道路连通的。若一条道路的起点和终点重合，则称该道路为环道。 2。同伦：设f,g:X->Y为连续映射，若存在连续映射F:X*I->Y,使得F(x,0)=f(x), F(x,1)=g(x),则称f和g是同伦的；如果还有F(a,t)=f(a)=g(a),则称f和g相对于a同伦。例： 1）若f(x),g(x)：X->Sn,且对任意的x,f(x)和g(x)不相等，则f(x)和g(x)是同伦的。 可构造：F(x,t)=(tf(x)+(1-t)g(x))/||(tf(x)+(1-t)g(x))||； 2）在凸集中，任何一个连续映射和恒等映射是同伦的； 可构造：F(x,t)=tf(x)+(1-t)g(x)； 3）在凸集中，任何一条以a为基点的环道和一点独点映射a同伦； 3。空间的同伦 两个空间X和Y称为是同伦等价的，如果存在一个映射f：X->Y，和g：Y->X，使得fg与IdY同伦，gf与IdX同伦，IdX表示X的恒等映射； 如：圆环和圆周就是同伦等价的； 注意：空间的同伦等价比同胚等价更弱一些，若X与Y同胚，则一定同伦等价， 因为存在f：X->Y，且f存在反函数g,从而fg=IdY,gf=IdX。但同伦推不出同胚， 如上例。 在我们建立基本群时，我们将拓扑空间限制在道路连通空间上。 在道路连通空间X中，任去一个点a，把过点a的所有以a为基点的环道做成一个集合，我们对这个集合定义一个关系： r1与r2等价，当且仅当r1与r2同伦。 可以验证这个关系是一个等价关系，从而可以给出该集合的一个划分。设B是由 所有的等价类构成的集合，在该集合上定义乘法为：[r1]*[r2]=[r1*r2]。则可以证明 给集合对于这个运算具有群的结构，成为X在点a的基本群，记为Pi[X,a]。 例： 若X为圆盘，任取a属于X,则对于X中的任何以a为基点的环道r，由上面的3）知r与a同伦，从而，B中只含有一个等价类，从而Pi[X,a]={e}； 定理：若X为道路连通，则对于任何两点p,q,有Pi[X,p]=Pi[X,q]。 该定理表明道路连通空间的基本群和基点的选择无关。 对于一般的拓扑空间X，基本群的计算是个很复杂的问题，可以使用棱到群或群在拓扑空间上的作用等来计算。下面，我列举了几种空间的基本群： 空间X 基本群 凸图形{e} S1 Z Sn(n>1) {e} 环面Z*Z 射影平面Z2 定理：若两个（道路连通的）空间X和Y同伦，则Pi[X,p]=Pi[Y,q]。

《点集拓扑学》第7章§7.1紧致空间

第7章　紧致性 §7.1　紧致空间 本节重点： 掌握紧致子集的定义及判断一个子集是紧致子集的方法．（这些方法哪些是充要条件）； 掌握紧致性是否是连续映射可保留的，是否是可遗传的、有限可积的． 在§5.3中，我们用关于开覆盖和子覆盖的术语刻画了一类拓扑空间，即Lindeloff空间．现在来仿照这种做法，即将Lindeloff空间定义中的“可数子覆盖”换成“有限子覆盖”，以定义紧致空间．读者在数学分析中早已见过的Heine－Borel定理断言：实数空间R的任何一个子集为有界闭集的充分必要条件是它的每一个开覆盖都有一个有限子覆盖．（在§7.3中我们将要推广这个定理．）因此我们现在作的事也应当在意料之中． 定义7.1.1　设X是一个拓扑空间．如果X的每一个开覆盖有一个有限子覆盖，则称拓扑空间X是一个紧致空间． 明显地，每一个紧致空间都是Lindeloff空间．但反之不然，例如包含着无限但可数个点的离散空间是一个Lindeloff空间，但它不是一个紧致空间． 例7.1.1　实数空间R不是一个紧致空间．这是因为如果我们设 A＝{（－n，n）R|b∈Z+},则A的任何一个有限子族 { },由于它的并为 (-max{},max{}) 所以不是R的一个子覆盖．因此R的开覆盖A没有任何一个有限子覆盖． 定义7.1.2　设X是一个拓扑空间，Y是X中的一个子集,如果Y作为X的子空间是一个紧致空间，则称Y是拓扑空间X的一个紧致子集． 根据定义，拓扑空间X中的一个子集Y是X的紧致子集意味着每一个由子空间Y中的开集构成的Y的开覆盖有一个有限子覆盖，这并不明显地意味着由X中的开集构成的每一个Y的覆盖都有有限子覆盖．所以陈述以下定理是必要的． 定理7.1.1　设X是一个拓扑空间，Y是X中的一个子集．则Y是X的一个紧致子集当且仅当每一个由X中的开集构成的Y的覆盖都有有限子覆盖．（此定理表明开覆盖中的开子集可以是X的，也可以是Y的）

《点集拓扑学》第3章 §3.1 子空间

第3章子空间（有限）,积空间，商空间 在这一章中我们介绍通过已知的拓扑空间构造新的拓扑空间的三种惯用的办法．为了避免过早涉及某些逻辑上的难点，在§3.2中我们只讨论有限个拓扑空间的积空间，而将一般情形的研究留待以后去作． §3.1子空间 本节重点：掌握度量子空间、拓扑空间子空间的概念，子空间的拓扑与大空间拓扑之间的关系以及子空间的闭集、邻域、基、导集、闭包与大空间相应子集之间的关系及表示法． 讨论拓扑空间的子空间目的在于对于拓扑空间中的一个给定的子集，按某种“自然的方式”赋予它一个拓扑使之成为一个拓扑空间，以便将它作为一个独立的对象进行考察．所谓“自然的方式”应当是什么样的方式？为回答这个问题，我们还是先从度量空间做起，以便得到必要的启发． 考虑一个度量空间和它的一个子集．欲将这个子集看作一个度量空间，必须要为它的每一对点规定距离．由于这个子集中的每一对点也是度量空间中的一对点，因而把它们作为子集中的点的距离就规定为它们作为度量空间中的点的距离当然是十分自然的．我们把上述想法归纳成定义： 定义3.1.1 设（X，ρ）是一个度量空间，Y是X的一个子集.因此，Y×Y X×X．显然：Y×Y→R是Y的一个度量（请自行验证）．我们称Y的度量，是由X的度量ρ诱导出来的度量.度量空间（Y，ρ）称为度量空间（X，ρ）的一个度量子空间． 我们常说度量空间Y是度量空间X的一个度量子空间，意思就是指Y是X的一个子集，并且Y的度量是由X的度量诱导出来的．我们还常将一个度量空间的任何一个子集自动地认作一个度量子空间而不另行说明．例如我们经常讨论的：实数空间R中的各种区间（a，b）， [a，b]，（a，b]等；n＋1维欧氏空间中的 n维单位球面: n维单位开、闭球体:

拓扑学习题

一、选择题. 1、在实数空间中，有理数集Q 的内部o Q 是（A ） A 、?； B 、Q ； C 、R Q -； D 、R . 2、在实数空间中，有理数集Q 的边界Q ?是（D ） A 、?； B 、Q ； C 、R Q -； D 、R . 3、设X 是一个拓扑空间，,A B 是X 的子集，则下列关系正确的是（A ） A 、()()()d A B d A d B =； B 、A B A B -=-； C 、()()()d A B d A d B =； D 、A A =. 4、设X 是一个拓扑空间，,A B 是X 的子集，则下列关系错误的是（C ） A 、()()()d A B d A d B =； B 、A B A B =； C 、()()()d A B d A d B =； D 、A A =. 5、平庸空间的任一非空子集为（D ） A 、开集； B 、闭集； C 、既开又闭； D 、非开非闭. 6、离散空间的任一子集为（C ） A 、开集； B 、闭集； C 、既开又闭； D 、非开非闭. 7、设{1,2,3}X =，{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T X =?是X 的拓扑，则X 的子空间{1,3}A =的拓扑为（B ） A 、{,{1},{3},{1,3}}T =?； B 、{,,{1}}T A =?； C 、{,,{1},{3},{1,3}}T X =?； D 、{,,{1}}T X =?. 8、设{1,2,3}X =，{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T X =?是X 的拓扑， 则X 的子空间{2,3}A =的拓扑为（B ） A 、{,{3},{2,3}}T =?； B 、{,,{2},{3}}T A =?； C 、{,,{2},{3},{2,3}}T X =?； D 、{,,{3}}T X =?. 9、设126X X X X =???…是拓扑空间126,,,X X X …的积空间，p 是X 到1X 的投射，则p 是（D ） A 、单射； B 、连续的单射； C 、满的连续闭映射； D 、满的连续开映射. 10、设R 是实数空间， Z 是整数集，则R 的子空间Z 的拓扑为（B ）

点集拓扑学的基本概念

点集拓扑学 点集拓扑学（Point Set Topology），有时也被称为一般拓扑学（General Topology），是数学的拓扑学的一个分支。它研究拓扑空间以及定义在其上的数学结构的基本性质。这一分支起源于以下几个领域：对实数轴上点集的细致研究，流形的概念，度量空间的概念，以及早期的泛函分析。它的表述形式大概在1940年左右就已经成文化了。通过这种可以为所有数学分支适用的表述形式，点集拓扑学基本上抓住了所有的对连续性的直观认识。 具体地说，在点集拓扑学的定义和定理的证明中使用了一些基本术语，诸如： ?开集和闭集 ?开核和闭包 ?邻域和邻近性 ?紧致空间 ?连续函数 ?数列的极限，网络，以及滤子 ?分离公理 度量空间 在数学中，度量空间是一个集合，在其中可以定义在这个集合的元素之间的距离（叫做度量）的概念。 度量空间中最符合我们对于现实直观理解的是三维欧几里得空间。事实上，“度量”的概念就是对从欧几里得距离的四个周知的性质引发的欧几里得度量的推广。欧几里得度量定义了在两个点之间的距离为连接它们的直线的长度。 空间的几何性质依赖于所选择的度量，通过使用不同的度量我们可以构造有趣的非欧几里得几何，比如在广义相对论中用到的几何。 度量空间还引发拓扑性质如开集和闭集，这导致了对更抽象的拓扑空间的研究。 【性质】 度量空间是元组(M,d)，这里的M 是集合而 d 是在M 上的度量(metric)，就是函数 使得 ?d(x, y) ≥ 0 (非负性) ?d(x, y) = 0 当且仅当 x = y (不可区分者的同一性) ?d(x, y) = d(y, x) (对称性)

?d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) (三角不等式)。 函数d 也叫做“距离函数”或简单的叫做“距离”。经常对度量空间省略d 而只写M，如果在上下文中可明确使用了什么度量。不要求第二、第三或第四个条件分别导致伪度量空间、准度量空间或半度量空间的概念。 第一个条件实际上可以从其他三个得出: 2d(x, y) = d(x, y) + d(y, x) ≥ d(x,x) = 0. 它做为度量空间的性质更恰当一些，但是很多课本都把它包括在定义中。某些作者要求集合M 非空。 —作为拓扑空间的度量空间 把度量空间处理为拓扑空间相容得几乎都成为定义的一部分了。 对于任何度量空间M 中的点x，我们定义半径r (>0) 的关于x 的开球为集合 。 这些开球生成在M 上的拓扑，使它成为拓扑空间。明显的，M 的子集被称为开集，如果它是(有限或无限多)开球的并集。开集的补集被称为闭集。以这种方式从度量空间引发的拓扑空间叫做可度量化空间 因为度量空间是拓扑空间，在度量空间之间有连续函数的概念。这个定义等价于平常的连续性的ε-δ定义(它不提及拓扑)，并可以使用序列的极限直接定义。 开集 在拓扑学和相关的数学领域中，集合U被称为开集，如果在直觉上说，从U中任何一点x开始你可以在任何方向上稍微移动一下而仍处在集合U中。换句话说，在U中任何点x与U的边界之间的距离总是大于零。 例如，实数线上的由不等式规定的集合称为开区间，是开集。这时候的边界为实数轴上的点2和5，如由不等式，或者规定的区间由于包含其边界，因此不能称之为开集。 开集是指不包含自己边界点的集合。或者说，开集把它所包含的任何一点的充分小的邻域也包含在其自身之中。开集的概念一般与拓扑概念是紧密联系着的，通常先公理化开集，然后通过其定义边界的概念。

(点集拓扑学拓扑)知识点

第4章连通性重要知识点 本章讨论拓扑空间的几种拓扑不变性质，包括连通性，局部连通性和弧连通性，并且涉及某些简单的应用?这些拓扑不变性质的研究也使我们能够区别一些互不同胚的空间. § 4. 1连通空间 本节重点：掌握连通与不连通的定义. 掌握如何证明一个集合的连通与否？ 掌握连通性的拓扑不变性、有限可积性、可商性。 我们先通过直观的方式考察一个例子?在实数空间R中的两个区间（0, I）和］1, 2）, 尽管它们互不相交，但它们的并（0, 1）U :1, 2） = （0, 2）却是一个“整体”；而另外两个区间（0, 1）和（1, 2）,它们的并（0, 1）U （1, 2）是明显的两个“部分”.产生上述不同情形的原因在于，对于前一种情形，区间（0, I）有一个凝聚点1在］1, 2）中；而对于后一种情形，两个区间中的任何一个都没有凝聚点在另一个中. 我们通过以下的定义，用 术语来区别这两种情形. 定义4. 1. 1设A和B是拓扑空间X中的两个子集.如果 （A - B）（B - A）二?一 则称子集A和B是隔离的. 明显地，定义中的条件等价于 A r B =、和B r A二.一同时成立，也就是说，A 与B无交并且其中的任何一个不包含另一个的任何凝聚点. 应用这一术语我们就可以说，在实数空间R中，子集（0, 1）和（1, 2）是隔离的， 而子集（0, I ）和［1 , 2）不是隔离的. 又例如，易见，平庸空间中任何两个非空子集都不是隔离的，而在离散空间中任何两个 无交的子集都是隔离的. 定义4. 1. 2设X是一个拓扑空间.如果X中有两个非空的隔离子集A和B使得X=A U B,则称X 是一个不连通空间；否则，则称X是一个连通空间. 显然，包含着多于两个点的离散空间是不连通空间，而任何平庸空间都是连通空间. 定理4. 1. 1设X是一个拓扑空间.则下列条件等价： （1）X是一个不连通空间； （2）X中存在着两个非空的闭子集A和B使得A A B= ?一和A U B = X成立； （3）X中存在着两个非空的开子集A和B使得A A B= ?一和A U B = X成立； （4）X中存在着一个既开又闭的非空真子集. 证明（I）蕴涵（2）:设（1）成立.令A和B是X中的两个非空的隔离子集使得 A U B = X，显然A A B= ?_ ,并且这时我们有 B = B 一X = B「（A 一B）=（B 一A）一（B 一B）= B 因此B是X中的一个闭子集；同理A也是一个X中的一个闭子集.这证明了集合A和B 满足条件（2）中的要求. （2）蕴涵（3）.如果X的子集A和B满足条件（2）中的要求，所以A、B为闭集，则由于

拓扑空间中集合的导集

拓扑空间中集合的导集 题目：拓扑空间中集合的导集 摘要：如果在一个拓扑空间中给定一个子集，那么拓扑空间中的每一个点相对于这个子集而言“处境”各不相同，因此可以对它们进行分类处理。本文介绍了拓扑空间中集合的导集。 正文： 1、拓扑空间的定义： 设X是一个集合，T是X的一个子集族，如果T满足如下条件：（1）X，∈T；（2）若A，B∈T，则A∩B∈T；（3）若∈T，则，则称T是X的一个拓扑。 如果T是集合X的一个拓扑，则称偶对（X，T）是一个拓扑空间或称集合X是一个相对于拓扑T的拓扑空间，或当拓扑T早已约定或在行文中已有说明而无须指出时，则称集合X是一个拓扑空间。2、导集的定义 设X是一个拓扑空间，A X．如果点x∈X的每一个邻域U中都有A中异于x的点，即U∩（A-{x}）≠，则称点x是集合A的一个凝聚点或极限点．集合A的所有凝聚点构成的集合称为A的导集，记作d（A）．如果x∈A并且x不是A的凝聚点，即存在x的一个邻域U使得U∩（A-{x}）＝，则称x为A的一个孤立点．

即:(牢记) 3、离散空间中集合的凝聚点和导集． 设X是一个离散空间，A是X中的一个任意子集．由于X中的每一个单点集都是开集，因此如果x∈X，则X有一个邻域{x}，使得 ，以上论证说明，集合A没有任何一个凝聚点，从而A的导集是空集，即d（A）＝． 4、平庸空间中集合的凝聚点和导集． 设X是一个平庸空间，A是X中的一个任意子集．我们分三种情形讨论： 第1种情形：A=．这时A显然没有任何一个凝聚点，亦即 d（A）=．（可以参见定理2.4.1中第（l）条的证明．）第2种情形：A是一个单点集，令 A＝{}如果x∈X，x≠， 点x只有惟一的一个邻域X，这时，所以 ；因此x是A的一个凝聚点，即x∈d（A）．然而对于的惟一邻域X有：所以 d（A）=X-A． 第3种情形：A包含点多于一个．请读者自己证明这时X中的每一个点都是A的凝聚点，即d（A）＝X． 定理：设X是一个拓扑空间，A X．则 （l）d（）=； （2）A B蕴涵d（A）d（B）；

拓扑空间

拓扑空间 维基百科，自由的百科全书 汉漢▼ 上圖為三點集合{1,2,3}上四個拓撲的例子和兩個反例。左下角的集合並不是個拓撲空間，因為缺少{2}和{3}的聯集{2,3}；右下角的集合也不是個拓撲空間，因為缺少{1,2}和{2,3}的交集{2}。 拓扑空间是一种数学结构，可以在上頭形式化地定義出如收敛、连通、连续等概念。 拓扑空间在现代数学的各个分支都有应用，是一个居于中心地位的、统一性的概念。 拓扑空间有独立研究的价值，研究拓扑空间的数学分支称为拓扑学。 目录 [隐藏] ? 1 定义 o 1.1 例子 ? 2 拓扑之间的关系 ? 3 连续映射 ? 4 等價定义 o 4.1 闭集 o 4.2 邻域 o 4.3 闭包运算 o 4.4 开核运算 o 4.5 网

? 5 拓扑空间的例子 ? 6 拓扑空间的构造 ?7 拓扑空间的分类 o7.1 分离性 o7.2 可数性 o7.3 连通性 o7.4 紧性 o7.5 可度量化 ?8 拥有代数结构的拓扑 空间 ?9 拥有序结构的拓扑空 间 ?10 历史 ?11 参考书目 [编辑]定义 拓撲空間是一個集合?X，和一個包含?X?的子集族?τ，其滿足如下公理： 1. 空集和?X?都屬於?τ。 2. τ?內任意个集合的並集都仍然會屬於?τ。 3. τ?內任意两個集合的交集也仍然會屬於?τ。 滿足上述公理的集族?τ?即稱為?X?的拓撲。X?內的元素通常稱做「點」，但它們其實可以是任意的元素。裡面的「點」為函數的拓撲空間稱為「函數空間」。τ?內的集合稱為開集，而其在?X?內的補集則稱為閉集。一個集合可能是開放的、封閉的、非開非閉或亦開亦閉。 [编辑]例子

14拓扑学(下)详解

课题：拓扑学（下） 【教学目标】了解拓扑学的发展史和有趣概念 【教学重点】拓扑学中的几个典型概念 【教学过程】 等价 在拓扑学里不讨论两个图形全等的概念，但是讨论拓扑等价的概念。比如，圆和方形、三角形的形状、大小不同，但在拓扑变换下，它们都是等价图形；足球和橄榄球，也是等价的----从拓扑学的角度看，它们的拓扑结构是完全一样的。 而游泳圈的表面和足球的表面则有不同的拓扑性质，比如游泳圈中间有个“洞”。在拓扑学中，足球所代表的空间叫做球面，游泳圈所代表的空间叫环面，球面和环面是“不同”的空间。 莫比乌斯环（只有一个面）性质 “连通性”最简单的拓扑性质。上面所举的空间的例子都是连通的。而“可定向性”是一个不那么平凡的性质。我们通常讲的平面、曲面通常有两个面，就像一张纸有两个面一样。这样的空间是可定向的。

而德国数学家莫比乌斯(1790～1868)在1858年发现了莫比乌斯曲面。这种曲面不能用不同的颜色来涂满。莫比乌斯曲面是一种“不可定向的”空间。可定向性是一种拓扑性质。这意味着，不可能把一个不可定向的空间连续的变换成一个可定向的空间。 发展简史 萌芽 拓扑学起初叫形势分析学，这是德国数学家莱布尼茨1679年提出的名词。欧拉在1736年解决了七桥问题，1750年发表了多面体公式；高斯1833年在电动力学中用线积分定义了空间中两条封闭曲线的环绕数。Topology这个词是由J.B.利斯廷提出的(1847)，源自希腊文τ?πο?和λ?γο?（“位置”和“研究”）。这是拓扑学的萌芽阶段。 1851年，德国数学家黎曼在复变函数的研究中提出了黎曼面的几何概念，并且强调为了研究函数、研究积分，就必须研究形势分析学。黎曼本人解决了可定向闭曲面的同胚分类问题。 组合拓扑学的奠基人是法国数学家庞加莱。他是在分析学和力学的工作中，特别是关于复函数的单值化和关于微分方程决定的曲线的研究中，引向拓扑学问题的。他的主要兴趣在流形。在1895～1904年间，他创立了用剖分研究流形的基本方法。他引进了许多不变量：基本群、同调、贝蒂数、挠系数，探讨了三维流形的拓扑分类问题，提出了著名的庞加莱猜想。 拓扑学的另一渊源是分析学的严密化。实数的严格定义推动康托尔从1873年起系统地展开了欧氏空间中的点集的研究，得出许多拓

拓扑空间中的连续函数

拓扑空间中的连续函数

参考文献： 1.岳跃利;方进明诱导I-Fuzzy拓扑空间[期刊论文]-数学研究与评论 5.李清华;方进明 I-Fuzzy拓扑空间中的可数性[期刊论文]-模糊系统与数学 相似文献1.学位论文韩刚 L-拓扑空间中的分离性 2006 本文的目的是进一步讨论L-拓扑空间(即L-Fuzzy拓扑空间)中的分离性，以及I-Fuzzy拓扑空间中的导集和连续性。主要工作如下： (1)在L-拓扑空间中分离性是很重要的性质，SteenLA，etal.在分明拓扑空间中定义了T21/2分离性，陈水利和孟广武以及尤飞将其推广到L-拓扑空间中.本文首先在分明拓扑空间中定义了T21/3分离性，并且指出在分明拓扑空间中T21/3分离性等价于T2分离性，然后在L-拓扑空间中定义了T21/3分离性，并且指出在L-拓扑空间中T21/3分离性与T2分离性是不等价的。同时又定义了ST21/3，层T21/3

分离性，讨论了它们与其它分离性的关系，并且研究了它们各自的一些性质，论证了它们都是L-好的推广。 (2)吉智方教授定义了T3＃分离性，本文继续讨论了它的一些性质，并且定义了一种新的分离性；T3(×)分离性，它是介于T3＃分离性与T3分离性之间，同时研究了它的一些性质，并且证明了T3＃空间范畴是有积和有上积的范畴。 (3)应明生教授1991年用连续值逻辑语义的方法定义了I-fuzzy 拓扑空间，王瑞英在2005年的博士学位论文中在I-Fuzzy拓扑空间中提出了R-邻域系的概念，它是以王国俊教授研究L-拓扑学时给出的远域为特款引入的，在此基础上定义了闭包、内部、基、子基、连续、子空间、积空间、商空间等基本概念，并且建立了网收敛理论。讨论了可数性与分离性。方进明在I-Fuzzy拓扑空间中提出了I-Fuzzy拟重邻域系，它是以刘应明教授研究L-拓扑学时给 出的重域为特款引入的，并。陆续在I-fuzzy拓扑空间讨论了可数性、连续性、诱导空间等性质。本文首先指出I-fuzzy拓扑空间中R-邻域系和拟重邻域系的研究方法是等价的，同时又指出利用R-邻域系来研究I-fuzzy拓扑空间是具有-定优越性的。到目前为止，在I-fuzzy拓扑空间中还没有导集的定义，本文主要是在I-fuzzy拓扑空间中引入导集的定义，它是以刘应明教授研究L-拓扑学时定义的导集为特款引入的，同时研究了它的一些性质，并且利用 R-邻域系在I-fuzzy拓扑空间中定义θ-闭包、θ-内部、Rθ-邻域系和θ-连续函数，证明了θ-连续的一些等价命题。

拓扑学习题

' 一、选择题. 1、在实数空间中，有理数集Q 的内部o Q 是（A ） A 、?； B 、Q ； C 、R Q -； D 、R . 2、在实数空间中，有理数集Q 的边界Q ?是（D ） A 、?； B 、Q ； C 、R Q -； D 、R . 3、设X 是一个拓扑空间，,A B 是X 的子集，则下列关系正确的是（A ） A 、()()()d A B d A d B =； B 、A B A B -=-； C 、()()()d A B d A d B =； D 、A A =. ! 4、设X 是一个拓扑空间，,A B 是X 的子集，则下列关系错误的是（C ） A 、()()()d A B d A d B =； B 、A B A B =； C 、()()()d A B d A d B =； D 、A A =. 5、平庸空间的任一非空子集为（D ） A 、开集； B 、闭集； C 、既开又闭； D 、非开非闭. 6、离散空间的任一子集为（C ） A 、开集； B 、闭集； C 、既开又闭； D 、非开非闭. 7、设{1,2,3}X =，{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T X =?是X 的拓扑，则X 的子空间{1,3}A =的拓扑为（B ） * A 、{,{1},{3},{1,3}}T =?； B 、{,,{1}}T A =?； C 、{,,{1},{3},{1,3}}T X =?； D 、{,,{1}}T X =?. 8、设{1,2,3}X =，{,,{1,2},{1,3},{1},{2}}T X =?是X 的拓扑，则X 的子空间{2,3} A =的拓扑为（ B ） A 、{,{3},{2,3}}T =?； B 、{,,{2},{3}}T A =?； C 、{,,{2},{3},{2,3}}T X =?； D 、{,,{3}}T X =?. 9、设126X X X X =???…是拓扑空间126,,,X X X …的积空间，p 是X 到1X 的投射，则

《点集拓扑学》第二章 拓扑空间与连续映射 学习笔记

第2章度量空间与连续映射 从数学分析中已经熟知单变量和多变量的连续函数，它们的定义域和值域都是欧氏空间（直线，平面或空间等等）或是其中的一部分．在这一章中我们首先将连续函数的定义域和值域主要特征抽象出来用以定义度量空间，将连续函数的主要特征抽象出来用以定义度量空间之间的连续映射（参见§2.1）．然后将两者再度抽象，给出拓扑空间和拓扑空间之间的连续映射（参见§2.2）．随后再逐步提出拓扑空间中的一些基本问题如邻域，闭包，内部，边界，基和子基，序列等等． §2.1度量空间与连续映射 本节重点：掌握拓扑学中度量的概念及度量空间中的连续映射的概念．注意区别：数学分析中度量、连续映射的概念与本节中度量、连续映射的概念． 注意，在本节的证明中,应细细体会证明的方法． 首先让我们回忆一下在数学分析中学习过的连续函数的定义．函数f：R→R 称为在点∈R处是连续的，如果对于任意实数ε＞0，存在实数δ＞0，使得对于任何x∈R，当|x-|<δ时,有|f(x)-f()|<ε.在这个定义中只涉及两个实数之间的距离（即两个实数之差的绝对值）这个概念；为了验证一个函数在某点处的连续性往往只要用到关于上述距离的最基本的性质，而与实数的

其它性质无关，关于多元函数的连续性情形也完全类似．以下，我们从这一考察出发，抽象出度量和度量空间的概念. 定义2.1.1 设X是一个集合，ρ：X×X→R．如果对于任何x，y，z∈X，有 （1）（正定性），ρ(x,y)≥0并且ρ(x,y)＝0当且仅当x=y； （2）(对称性)ρ(x,y)=ρ(y,x)； （3）（三角不等式）ρ(x,z)≤ρ(x,y)+ρ(y,z) 则称ρ是集合X的一个度量． 如果ρ是集合X的一个度量，称（X，ρ）是一个度量空间，或称X是一个对于ρ而言的度量空间．有时，或者度量ρ早有约定，或者在行文中已作交代，不提它不至于引起混淆，这时我们称X是一个度量空间．此外，对于任意两点x，y∈X，实数ρ(x，y)称为从点x到点y的距离． 着重理解：度量的本质是什么？ 例2.1.1 实数空间R． 对于实数集合R，定义ρ：R×R→R如下：对于任意x，y∈R，令 ρ（x，y）=|x-y|．容易验证ρ是R的一个度量，因此偶对（R，ρ）是一个度量空间．这个度量空间特别地称为实数空间或直线．这里定义的度量ρ，称为R的通常度量，并且常常略而不提，迳称R为实数空间．（今后我们说实数空间，均指具有通常度量的实数空间．） 例2.1.2 n维欧氏空间． 对于实数集合R的n重笛卡儿积 ＝R×R×…×R

第一章距离空间与拓扑空间

第一章距离空间与拓扑空间 1、 1）下面证明d 满足距离需满足的三个条件。 ①0),(≥y x d 显然，且0),(=y x d 当且仅当0||sup =?y x 与0|''|sup =?y x 当且仅当在D 上y x =。 ②),(),(x y d y x d =显然。③ ),(),(|) ''||''sup(||)||sup(||''|sup ||sup ),(y z d z x d y z z x y z z x y x y x y x d +=?+?+?+?≤?+?=2）D 中点列}{n x 按距离收敛当且仅当}{n x 与}'{n x 一致收敛。3）设D x n ?}{，满足]1,0[C x n ∈且]1,0['C x n ∈，是Cauchy 列。 则εε??>?|)()(|],1,0[,,,,0t x t x t N n m N m n 。从而}{n x 在]1,0[上一致收敛，且其极限函数)(t x 是]1,0[上的连续函数。 同理，}'{n x 在]1,0[上一致收敛，故该函数序列}{n x 的求导运算与极限运算可交换顺序，从而)('t x 就是}'{n x 的极限函数，且)('t x 是]1,0[上的连续函数。 在不等式中令∞→m ，则 ε2|)(')('||)()(|,],1,0[≤?+?>∈?t x t x t x t x N n t n n 。即n x 在D 中趋向于x 。从而D 是完备的。 4、补充最大模原理：在区域内不恒为常数的解析函数的模的最大值只能在边界达到。 ①0),(≥y x d ，且0),(=y x d 当且仅当0||max ||max 1 ||1 ||=?=?=≤y x y x t t 当且仅当 y x =。 ②),(),(x y d y x d =显然。③ ) ,(),(|) ||(|max ||max ),(1 ||1 ||y z d z x d y z z x y x y x d t t +=?+?≤?===5、可以。 例：取}6.5,8.2,0{=X ，按照R 上的距离成为一个距离空间。显然，