拓扑空间中的连续函数

拓扑空间中的连续函数

参考文献：

1.岳跃利;方进明诱导I-Fuzzy拓扑空间[期刊论文]-数学研究与评论

5.李清华;方进明 I-Fuzzy拓扑空间中的可数性[期刊论文]-模糊系统与数学

相似文献1.学位论文韩刚 L-拓扑空间中的分离性 2006 本文的目的是进一步讨论L-拓扑空间(即L-Fuzzy拓扑空间)中的分离性，以及I-Fuzzy拓扑空间中的导集和连续性。主要工作如下： (1)在L-拓扑空间中分离性是很重要的性质，SteenLA，etal.在分明拓扑空间中定义了T21/2分离性，陈水利和孟广武以及尤飞将其推广到L-拓扑空间中.本文首先在分明拓扑空间中定义了T21/3分离性，并且指出在分明拓扑空间中T21/3分离性等价于T2分离性，然后在L-拓扑空间中定义了T21/3分离性，并且指出在L-拓扑空间中T21/3分离性与T2分离性是不等价的。同时又定义了ST21/3，层T21/3

分离性，讨论了它们与其它分离性的关系，并且研究了它们各自的一些性质，论证了它们都是L-好的推广。

(2)吉智方教授定义了T3＃分离性，本文继续讨论了它的一些性质，并且定义了一种新的分离性；T3(×)分离性，它是介于T3＃分离性与T3分离性之间，同时研究了它的一些性质，并且证明了T3＃空间范畴是有积和有上积的范畴。

(3)应明生教授1991年用连续值逻辑语义的方法定义了I-fuzzy 拓扑空间，王瑞英在2005年的博士学位论文中在I-Fuzzy拓扑空间中提出了R-邻域系的概念，它是以王国俊教授研究L-拓扑学时给出的远域为特款引入的，在此基础上定义了闭包、内部、基、子基、连续、子空间、积空间、商空间等基本概念，并且建立了网收敛理论。讨论了可数性与分离性。方进明在I-Fuzzy拓扑空间中提出了I-Fuzzy拟重邻域系，它是以刘应明教授研究L-拓扑学时给

出的重域为特款引入的，并。陆续在I-fuzzy拓扑空间讨论了可数性、连续性、诱导空间等性质。本文首先指出I-fuzzy拓扑空间中R-邻域系和拟重邻域系的研究方法是等价的，同时又指出利用R-邻域系来研究I-fuzzy拓扑空间是具有-定优越性的。到目前为止，在I-fuzzy拓扑空间中还没有导集的定义，本文主要是在I-fuzzy拓扑空间中引入导集的定义，它是以刘应明教授研究L-拓扑学时定义的导集为特款引入的，同时研究了它的一些性质，并且利用

R-邻域系在I-fuzzy拓扑空间中定义θ-闭包、θ-内部、Rθ-邻域系和θ-连续函数，证明了θ-连续的一些等价命题。

2.期刊论文王瑞英.吉智方.WANG Rui-ying.JI Zhi-fang I-fuzzy 拓扑的基和子基 -内蒙古师范大学学报（自然科

学汉文版）2007,36(2) 在I-fuzzy拓扑空间中引入R-邻域系,利用R-邻域系给出基和子基的概念,研究了基和子基的充分必要条件. 3.学位论文李宁模糊拓扑空间中分离公理的研究 2008拓扑学从开创至今已经历了一百多年的历史，虽然它的发展相对于其它一些数学学科，如分析学、代数学、欧式几何学和数论要晚了许多，但经过二十世纪五十年代到七十年代的蓬勃发展，拓扑学已经成为拥有众多分支，有着丰富的结果和方法的数学理论，其中一般拓扑学占据重要的位置.另一方面，继确定性、随机性两个阶段后，近代数学的发展开始进入了过去的禁区一模糊性的研究.1968年，美国数学家L.A.Zadeh首先提出了模糊集合理论，这与随后提出的模糊逻辑理论成为现代模糊数学发展的基础。由于模糊集合理论拓广了经典集合论，建立在模糊集合论上的各种数学结构也应运而生.经过海内外学者的共同努力，四十年来，模糊拓扑学，模糊分析学，模糊代数学等都取得了可喜的进展。模糊拓扑理论具有广泛的应用性，它已经被应用于模糊信息理论、粗集理论、数据挖掘等诸多方面。模糊拓扑学的研究主要集中在L-拓扑空间、不分明化拓扑空间、I-fuzzy 拓扑空间等。不分明化拓扑空间以一般拓扑空间为特例，一般拓扑空间中的很多经典理论在其中都得到了推广。不分明化拓扑空间中问题的研究方法与一般拓扑学的研究方法不同，其中很多问题还没有得到解决。I-fuzzy拓扑空间理论是近几年研究的热点，它以不分明化拓扑空间

为特例，其上拓扑问题的研究讨论需要借助更多的工具，其应用性更为广泛，但I-fuzzy拓扑空间理论的研究要复杂很多。本文主要是运用连续值逻辑语义的方法对不分明化拓扑空间及I-fuzzy拓扑空间进行系统的研究。文中研究了这两种模糊拓扑空间中邻域、收敛、拟分离公理等内容，这进一步丰富和发展了模糊拓扑空间的基本理论。全文工作如下：

(1)在一般拓扑学中，拟开集，拟闭集等是非常重要的一类集合.我们运用连续值逻辑语义的方法，以不分明化拓扑空间中的拟开集为工具，定义了不分明化拓扑空间的拟内核、拟θ闭包、拟θ邻域等，讨论了拟θ连续映射的重要性质.特别地，我们定义了不分明化拓扑空间中的拟R0分离公理，利用拟开集、拟闭包、拟θ闭包对其进行刻画.我们证明不分明化拓扑空间中的拟R0分离公理弱于拟T1分离公理，但具有仅用单点集的拟闭包及拟内核就能刻

画的良好性质。

(2)在I-fuzzy拓扑空间中，我们利用R-邻域系理论，定义I-fuzzy拓扑空间中的拟开集与拟闭集，继而定义I-fuzzy拓扑空间中的拟R-邻域系.文中，我们讨论了拟R一邻域系的性质，并利用拟R一邻域系进一步讨论了I-fuzzy拓扑空间中的拟连续映射、拟θ连续映射、拟网收敛、拟分离公理及拟R0分离公理。通过这些讨论，我们可以看到在以不分明化拓扑空间为特例的 I-fuzzy拓扑空间中，不分明化拓扑空间中的很多重要内容得到了有效推广。

函数概念及其基本性质

第二章函数概念与基本初等函数I 一. 课标要求： 函数是高中数学的核心概念，本章把函数作为描述客观世界变化规律的重要数学模型来学习，强调结合实际问题，从而发展学生对变量数学的认识。教材把指数函数，对数函数，幂函数当作三种重要的函数模型来学习，强调通过实例和图象的直观，揭示这三种函数模型增长的差异及其关系，体会建立和研究一个函数模型的基本过程和方法，学会运用具体函数模型解决一些实际问题. 1．会用集合与对应的语言来刻画函数，理解函数符号y=f(x)的含义；了解函数构成 的三要素，了解映射的概念；体会函数是一种刻画变量之间关系的重要数学模型，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；会求一些简单函数的定义域和值域， 2. 了解函数的一些基本表示法（列表法、图象法、分析法），并能在实际情境中，恰当地进行选择；会用描点法画一些简单函数的图象. 3．通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用. 4. 结合熟悉的具体函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义，了解奇偶性和周期性的含义，通过具体函数的图象，初步了解中心对称图形和轴对称图形. 5. 学会运用函数的图象理解和研究函数的性质，体会数形结合的数学方法. 6.理解有理数指数幂的意义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算. 7.了解指数函数模型的实际背景.理解指数函数的概念和意义，掌握f(x)=a x的符号、意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的有关性质（单调性、值域、特别点）. 8.理解对数的概念及其运算性质，了解对数换底公式及其简单应用，能将一般对数转化为常用对数或自然对数，通过阅读材料，了解对数的发现历史及其对简化运算的作用.通过具体函数，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，掌握f(x)=log a x符号及意义，体会对数函数是一类重要的函数模型，能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的有关性质（单调性、值域、特殊点）. 9．知道指数函数y=a x与对数函数y=log a x互为反函数（a＞0, a≠1），初步了解反函数的概念和f- -1(x)的意义. 10．通过实例，了解幂函数的概念，结合五种具体函数 1 312 ,,, y x y x y x y x - ====的 图象，了解它们的变化情况 11．通过应用实例的教学，体会指数函数是一种重要的函数模型. 12. 通过实习作业，使学生初步了解对数学发展有过重大影响的重大历史事件和重要人物,了解生活中的函数实例. 二. 编写意图与教学建议 1．教材突出了函数概念的背景教学，强调从实例出发，让学生对函数概念有充分的感性基础，再用集合与对应语言抽象出函数概念，符合学生的认识规律，同时有利于培养学生的抽象概括的能力，增强学生应用数学的意识，教学中要高度重视数学概念的背景教学. 2．.教材对函数的三要素着重从函数的实质上要求理解，而对定义域、值域的繁难计算，特别是人为的过于技巧化的训练不做提倡，要准确把握这方面的要求，防止拨高教学. 3. 函数的表示是本章的主要内容之一，教材重视采用不同的表示法（列表法、图象法、分析法），目的是丰富学生对函数的认识，帮助理解抽象的函数概念. 在教学中，既要充分发挥图象的直观作用，又要适当地引导学生从代数的角度研究图象，使学生深刻体会数形结合这一重要数学方法.

拓扑空间

算子拓扑空间 1..算子拓扑空间： 设（Ｘ，ζ）是拓扑空间，Τ为2Χ到2Χ的一个算子，记Ω={A∈2Χ|A=TA}。 定义1.若ζ?Ω，则称T为X的一个强算子，Ω中元素称为强算子开集，如果T进一步还是一个保并算子（算子运算与并运算可交换次序的算子），则称Ω为X的一个强 算子拓扑。 定义2.若?≠Ω?ζ则称T为X的一个弱算子，Ω中的元素称为弱算子开集，如果T进一步还是一个保并算子，则称Ω为X的一个弱算子拓扑。 强算子开集和弱算子开集统称为算子开集，或称T开集。 强算子拓扑和弱算子拓扑统称为算子拓扑，又称T拓扑。 我们约定：下文讨论的算子开集均指强算子开集，算子拓扑均指强算子拓扑。 由算子开集的定义显然有： （1）{X，?} ?Ω； （2）Ω中任意多个成员的并仍在Ω中； 事实上，设Γ?Ω，因T（? A∈ΓA）=? A∈Γ TA=? A∈Γ A,故? A∈Γ A∈Ω （3）Ω中两个成员的交集不一定在Ω中。 定义 3. 设（Ｘ，ζ）是拓扑空间，Τ为2Χ到2Χ的一个保并算子，Ω={A∈2Χ|A=TA}，若ζ?Ω，则称（X，Ω）为一个算子拓扑空间。 一般地，若ζ 1和ζ 2 都是X上的拓扑，则ζ 1 ∩ζ 2 是X上的拓扑。对算子拓扑也有 类似结论： 命题1.设（Ｘ，ζ）是拓扑空间，Ωi为由算子T i诱导的算子拓扑（i=1，2）则Ω1∩Ω2是X上的算子拓扑。 T 1（A）∩T 2 （A），A∈Ω 1 ∩Ω 2 证：令TA= ? A ?Ω1∩Ω2 一方面当A∈Ω 1∩Ω 2 时，TA= T 1 （A）∩T 2 （A）=A∩A=A 所以，A∈Ω；

另一方面当A ?Ω 1∩Ω 2 时，TA≠A，所以，A?Ω； 可见Ω 1∩Ω 2 =Ω是由T诱导的拓扑。 命题2.设（Ｘ，ζ）是拓扑空间，Ωi为由算子T i诱导的算子拓扑（i=1，2）则Ω1?Ω2是X上的算子拓扑。 T 1（A）， A∈Ω 1 证：令TA= T 2（A）， A∈Ω 2 类似地可证Ω 1? Ω 2 =Ω是由T诱导的算子拓扑。 ? A ?Ω1且A ?Ω2 2.算子连续映射： 有了算子拓扑空间，我们可以在这个空间上讨论算子连续映射，就像在拓扑空间中讨论连续映射可以得到一系列连续映射的等价刻划那样，我们将会得到算子连续映射的一系列等价刻划。 参考文献：[1] 尤承业基础拓扑学讲义[M] 北京：北京大学出版社，1997 [2] 钱有华，陈胜敏杨忠道定理在算子开集理论下的推广[J] 浙江科技学院 学报，2004，16（1）：1-3 [3] 钱有华，关于算子紧空间[J] 浙江师范大学学报（自然科学版），2003， 26（4）：333-336

函数的连续性极其性质

了解连续函数的性质和初等函数的连续性，理解闭区间上连续函数的性质（有界性、最大值和最小值定理、介值定理），并会应用这些性质. 无穷大量和无穷小量 无穷大量 我们先来看一个例子： 已知函数，当x→0时，可知，我们把这种情况称为趋向无穷大。为此我 们可定义如下：设有函数y=，在x=x0的去心邻域内有定义，对于任意给定的正数N(一个任意大的数)，总可找到正数δ，当 时，成立，则称函数当时为无穷大量。 记为：（表示为无穷大量，实际它是没有极限的） 同样我们可以给出当x→∞时，无限趋大的定义：设有函数y=，当x充分大时有定义，对于任意给定的正数N(一个任意大的数)，总可以找到正数M，当时，成立，则称函 数当x→∞时是无穷大量，记为：。 无穷小量 以零为极限的变量称为无穷小量。 定义：设有函数，对于任意给定的正数ε(不论它多么小)，总存在正数δ(或正数M)，使得对于适合不等式(或)的一切x，所对应的函数值满足不等式，则称函数当(或x→∞)时为无穷小量. 记作：(或) 注意：无穷大量与无穷小量都是一个变化不定的量，不是常量，只有0可作为无穷小量的唯一常量。无穷大量与无穷小量的区别是：前者无界，后者有界，前者发散，后者收敛于0.无穷大量与无穷小量是互为倒数关系的.。 关于无穷小量的两个定理 定理一：如果函数在(或x→∞)时有极限A，则差是当(或x→∞)时的无穷小量，反之亦成立。 定理二：无穷小量的有利运算定理 a)：有限个无穷小量的代数和仍是无穷小量； b)：有限个无穷小量的积仍是无穷小量；c)：常数与无穷小量的积也是无穷小量. 无穷小量的比较 通过前面的学习我们已经知道，两个无穷小量的和、差及乘积仍旧是无穷小.那么两个无穷小量的商会是怎样的呢？好！接下来我们就来解决这个问题，这就是我们要学的两个无穷小量的比较。

空间群

目录 1历史 2空间群的要素 2.1元素，固定点 2.2翻译 2.3滑翔飞机 2.4螺旋轴 2.5一般公式 3空间群的符号 4空间群的分类系统 5在其他维度的空间群 5.1比贝尔巴赫的定理 5.2在小尺寸的分类 5.3双组与时间逆转 6在3维空间群表 7参考 8外部链接 历史 在2维空间群的17壁纸已几百年的群体。 费奥多罗夫（1891年），第一个列举在3维空间群，不久独立Sch?nflies（1891年）和巴洛（1894）列举。这些第一枚举都包含了几个小错误，正确的列表之间费奥多罗夫和Sch?nflies通信过程中发现的230种空间群。 元素的空间群 在三维空间中的空间群是由32与14种布拉维晶格晶体点群，后者属于7晶格系统之一每个组合。在空间组作为一个单元细胞，包括格居中，反射，旋转和不当的旋转（也称为rotoinversion）点群的对称操作，和螺旋轴和滑移面对称操作的平移对称性的某种组合的结果。所有这些对称操作结果共230独特的空间描述所有可能的晶体对称性的群体相结合。 固定点的元素 空间组固定的空间点的元素旋转，反射，身份的元素，和不当的旋转。 翻译 翻译形式的等级3的正常交换子群，称为布拉菲晶格。有14种布拉维晶格可能。空间群由布拉维晶格的智商是一个有限群的32种可能的点群之一。 空间groupsThere符号至少8命名空间组的方法。有些方法可以指定几个不同的名字，以相同的空间群，因此完全有成千上万许多不同的名称。 数。国际晶体学联合会出版的所有空间群类型的表，并赋予每一个唯一的编号从1到230。编号是任意的，除了具有相同的晶体系统或给出点组连续的数字组。国际符号或赫尔曼Mauguin符号。赫尔曼Mauguin（或国际）符号描述晶格和发电机组的一些的。它有一个缩短的形式称为国际短期符号，这是一个使用最常用的晶体，通常由四个符号。首先介绍了围绕布拉菲晶格（P，A，B，C，我，R或F）。未来三年预计沿晶体的高对称性方向之一，描述最突出的对称操作时可见。这些符号是相同的点群，此外滑翔飞机和螺旋轴，上述。例如，石英的空间群为P3121，显示，它表现出原始的图案（即每单位细胞）围绕一个三重螺

点集拓扑学拓扑知识点

(点集拓扑学拓扑)知识点

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第4章 连通性重要知识点 本章讨论拓扑空间的几种拓扑不变性质，包括连通性，局部连通性和弧连通性，并且涉 及某些简单的应用．这些拓扑不变性质的研究也使我们能够区别一些互不同胚的空间． §4．1 连通空间 本节重点: 掌握连通与不连通的定义. 掌握如何证明一个集合的连通与否? 掌握连通性的拓扑不变性、有限可积性、可商性。 我们先通过直观的方式考察一个例子．在实数空间R 中的两个区间（0，l ）和［1，2）， 尽管它们互不相交，但它们的并（0，1）U ［l ，2）＝（0，2）却是一个“整体”；而另外两 个区间（0，1）和（1，2），它们的并（0，1）U （1，2）是明显的两个“部分”．产生上述 不同情形的原因在于，对于前一种情形，区间（0，l ）有一个凝聚点1在［1，2）中；而对 于后一种情形，两个区间中的任何一个都没有凝聚点在另一个中．我们通过以下的定义，用 术语来区别这两种情形． 定义4．1．1设A 和B 是拓扑空间X 中的两个子集．如果 ?=???)()(A B B A 则称子集A 和B 是隔离的． 明显地，定义中的条件等价于?=?B A 和 ?=?A B 同时成立，也就是说，A 与B 无交并且其中的任何一个不包含另一个的任何凝聚点． 应用这一术语我们就可以说，在实数空间R 中，子集（0，1）和（1，2）是隔离的， 而子集（0，l ）和[1，2) 不是隔离的． 又例如，易见，平庸空间中任何两个非空子集都不是隔离的，而在离散空间中任何两个 无交的子集都是隔离的． 定义4．1．2 设X 是一个拓扑空间．如果X 中有两个非空的隔离子集A 和B 使得X=A ∪B ，则称X 是一个不连通空间；否则，则称X 是一个连通空间． 显然，包含着多于两个点的离散空间是不连通空间，而任何平庸空间都是连通空间． 定理4．1．1设X 是一个拓扑空间．则下列条件等价： （l ）X 是一个不连通空间； （2）X 中存在着两个非空的闭子集A 和B 使得A ∩B=? 和 A ∪B ＝ X 成立； （3） X 中存在着两个非空的开子集A 和B 使得A ∩B=? 和 A ∪B ＝ X 成立； （4）X 中存在着一个既开又闭的非空真子集． 证明（l ）蕴涵（2）: 设（1）成立．令A 和B 是X 中的两个非空的隔离子集使得 A ∪ B ＝X ，显然 A ∩B=?，并且这时我们有 B B B A B B A B X B B =???=??=?=)()()( 因此B 是X 中的一个闭子集；同理A 也是一个X 中的一个闭子集．这证明了集合A 和B 满足条件（2）中的要求． （2）蕴涵（3）．如果X 的子集A 和B 满足条件（2）中的要求，所以A 、B 为闭集， 则由于这时有A ＝B /和B=A '，因此A 、B 也是开集，所以A 和B 也满足条件（3）中的要

代数拓扑史

代数拓扑的主要内容及其历史 拓扑学的名称首见于德国数学家利斯廷（listing，-），拓扑是topology 的中文音译，以前长期被称作位置分析（analysis situs），关于位置分析的经典例子是欧拉解决的（Eluer，1707-1783）科尼斯堡七桥问题。拓扑学是研究几何图形在被弯曲，拉大，缩小或任意变形下保持性质不变得一门学科。 20世纪中期最伟大的数学家赫尔曼·外尔（H.weyl，1885-1955）曾经说过：20世纪将是抽象代数的魔鬼和拓扑学的天使争夺数学灵魂的时期。诚如此，从1900年希尔伯特在国际数学家大会上宣读的23个问题中竟然没有一个是拓扑的问题开始，到1935年在苏联召开的国际拓扑学大会的召开，拓扑学的发展可谓天翻地覆，一大批新的概念和理论建立了起来，整个拓扑学仿佛有做不完的问题。数学灵魂争夺的最终结果是群进入了拓扑学。一方面20世纪数学（特别是抽象代数学）的发展为拓扑学提供了工具从而形成了代数拓扑这一学科，另一方面拓代数扑学的发展反过来又促进了新的数学的产生（典型的例子是同调代数，范畴论）。 代数拓扑是现代数学的主流。法国布尔巴基学派的迪厄多内说过：代数拓扑和微分拓扑是现代数学的女王。陈省身先生当年在中央研究院主持工作训练新人时，吸取了苏联函数论学派的和波兰泛函分析学派的成功的经验，认为当时数学的主流乃是代数拓扑，应当以代数拓扑为主要学习内容，培养从全国各地选拔的青年才俊。这种方式取得了很大的成效，如首届国家最高科技奖吴文俊的早期工作就是代数拓扑，廖山涛，张素诚，杨忠道等都出自代数拓扑讨论班。 代数拓扑起源于庞加莱的组合拓扑学，本文旨在简要叙述一下代数拓扑的历史。毫无疑问，早期的代数拓扑学已经成为经典。本文简要介绍一下同调的思想发展史，即组合拓扑学是如何发展到代数拓扑学的。那么组合拓扑学的主要研究对象是什么？同调群是如何引入拓扑学的？同调群的拓扑不变性又是由谁证明的？上同调群、相对上同调群、局部同调群、上同调环之间有什么关系呢？通过一学期的学习，使我下定决心以这种方式写这篇作业。本学期的主要内容是多面体的同调论，我的思路是以重大人物的伟大功绩和重大定理的发明为线索，阐明代数拓扑中许多重要又不为人所知的事实和重大思想，这仅是我的一个尝试。 代数拓扑的主要方法思路：代数拓扑学中的最基本的研究对象是----单纯复合形及其多面体。然后从几何性质出发，利用群的术语，对于每一个多面体的一个固定的剖分，即对于每一个单纯复合形，引进它的同调群，同调群集中反映了单纯复合形的许多重要的几何性质。并进而引出了上同调群，并由此可以定义上同调环，代数拓扑最终导致了同调代数的产生。 1庞加莱（H.poincare,1854-1912） 庞加莱基本引进同调群，尽管他没有以群论的语言表述出来，但是庞加莱已经拥有了全部的同调思想，他引进的是另一个拓扑不变量--基本群。 庞加莱当时法国乃至世界上是伟大的法国数学家，被称为掌握全部数学的最后一位全才，他的哲学思维在数学家中也是首屈一指。庞加莱在1895年发表了他的论文【位置分析】，随后又做了5篇补充（1899,1900，1902,1902,1904），从而一举开创了组合拓扑学。 庞加莱的方法是以多面体为对象，把点、棱、面推广为标准构件----单形，然后把所有图形都分解为单形的组合---复形，从而得到其拓扑性质。（单形和复形的术语是又不劳威尔引入的）

浅论闭区间上连续函数的性质.doc

浅论闭区间上连续函数的性质 中山大学数学与应用数学04级数统基地班黎俊彬 摘要:本文就闭区间上连续函数的性质进行了一定程度上的探讨，从直观感觉和理论论证两面方面论述了有界性，最值定理,介值定理和一致连续性定理，并且将之与开区间上连续函数及不连续函数作一定的对比. 关键字：闭区间连续函数实数的连续性和闭区间的紧致性 实数的连续性和闭区间的紧致性，使闭区间上的连续函数有丰富的性质，而且可由实数的各等价命题推出?本文主要从对连续函数的直观理解深入到纯分析的论证?在论证过程屮，严格地不出现微分学和积分学的内容，只是从连续函数本身的性质及实数系的性质入手. 从直观上理解，连续函数的图像是一条连续不断的曲线，这对于一?般初等函数來说都是成立的?而闭区间b"］上的连续函数/（X）的图像两端必须紧紧地连接着定义在端点处的点（67,/?））,（/>,/⑹X-8 v ./（Q），/⑹V +8）上形成一条封闭的曲线，即与直线x = a,x = b.y =0形成一个或多个封闭的区域.直观理解虽然不完全正确，但却能帮助我们了解和发现闭区间连续函数的性质，某些时候还能帮助我们找到证明.但直观的认识不一定是正确的，的确存在一些连续函数,其图像并不能作岀来?直观认识，在科学里面只是充当一个开路先锋的角色，到最后，一定要用严格的推理来证明. 先看何谓闭区间上的连续函数?连续的定义首先是点连续的定义. 称/（X）在兀=兀0连续，如果lim /（%） = /（x0）, 2X（） B|j/（x）4x o附近有定义W > 0,? > 0,当X G u（x°0）时有|/（x）-/（x°）| < 称/⑴在兀=兀0左连续，如果w > o,? > 0,当兀w （兀0 - 兀0 ］时有（兀）-f（兀0 ）| < ￡? 称 f（x）在兀=%右连续，如果>0,3^ >0,当x w ［x0,x0 +5）时有|/（兀）-/（%）| < 若函数该点的极限值不等于函数值，经验告诉我们函数在该点必定断开，连续的定义与我们的直观认识相符合?而若函数在［G,b］连续,是指函数在区间的每点都连续，在左端点右连续,右端点左连续.下面讨论闭区间连续函数的相关性质, 并从直观和理论上与非闭区间的情况作比较,体会闭区间的独特的性质.

(整理)函数、极限、连续重要概念公式定理

一、函数、极限、连续重要概念公式定理 （一）数列极限的定义与收敛数列的性质 数列极限的定义：给定数列{}n x ,如果存在常数A ,对任给0ε>,存在正整数N ,使当n N >时,恒有 n x A ε-<,则称A 是数列{}n x 的当n 趋于无穷时的极限,或称数列{}n x 收敛于A ,记为lim n n x A →∞ =.若 {}n x 的极限不存在,则称数列{}n x 发散. 收敛数列的性质： (1)唯一性：若数列{}n x 收敛,即lim n n x A →∞ =,则极限是唯一的． (2)有界性：若lim n n x A →∞ =,则数列{}n x 有界,即存在0M >,使得对n ?均有n x M ≤. (3)局部保号性：设lim n n x A →∞ =,且()00A A ><或,则存在正整数N ,当n N >时,有()00n n x x ><或. (4)若数列收敛于A ,则它的任何子列也收敛于极限A . （二）函数极限的定义 （三）函数极限存在判别法 (了解记忆) 1．海涅定理：()0 lim x x f x A →=?对任意一串0n x x →()0,1,2, n x x n ≠=,都有 ()l i m n n f x A →∞ = ． 2.充要条件：(1)()()0 lim ()lim lim x x x x x x f x A f x f x A +- →→→=?==; (2)lim ()lim ()lim ()x x x f x A f x f x A →∞ →+∞ →-∞ =?==.

3.柯西准则：()0 lim x x f x A →=?对任意给定的0ε>,存在0δ>,当 100x x δ<-<,200x x δ<-<时,有()()12f x f x ε-<. 4.夹逼准则：若存在0δ>,当00x x δ<-<时,有)()()x f x x ?φ≤≤（,且0 lim ()lim (),x x x x x x A ?φ→→==则 lim ()x x f x A →=. 5.单调有界准则：若对于任意两个充分大的1212,,x x x x <,有()()12f x f x <(或()()12f x f x >),且存在 常数M ,使()f x M <(或()f x M >),则()lim x f x →+∞ 存在. （四）无穷小量的比较 (重点记忆) 1.无穷小量阶的定义,设lim ()0,lim ()0x x αβ==. (1)若() lim 0() x x αβ=,则称()x α是比)x β（高阶的无穷小量. (2)() lim ,())() x x x x ααββ=∞若则是比（低阶的无穷小量. (3)() lim (0),())() x c c x x x ααββ=≠若则称与（是同阶无穷小量. (4)() lim 1,())() x x x x ααββ=若则称与（是等价的无穷小量,记为()()x x αβ~. (5)() lim (0),0,())() k x c c k x x k x ααββ=≠>若则称是（的阶无穷小量 2.常用的等价无穷小量 (命题重点,历年必考) 当0x →时, sin arcsin tan ~,arctan ln(1)e 1x x x x x x x ? ?? ?? ? ? ? +? -?? () 2 11c o s ~2(1)1~x x x x ααα-+- 是实常数 （五）重要定理 (必记内容,理解掌握) 定理1 0 00lim ()()()x x f x A f x f x A -+→=?==. 定理2 0 lim ()()(),lim ()0x x x x f x A f x A a x a x →→=?=+=其中. 定理3 (保号定理)：0 lim (),0(0),0x x f x A A A δ→=>设又或则一个,当 000(,),()0(()0)x x x x x f x f x δδ∈-+≠><且时，或. 定理4 单调有界准则：单调增加有上界数列必有极限;单调减少有下界数列必有极限. 定理5 (夹逼定理)：设在0x 的领域内,恒有)()()x f x x ?φ≤≤（,且 lim ()lim (),x x x x x x A ?φ→→==则0 lim ()x x f x A →=．

点集拓扑21n维欧氏空间度量空间拓扑空间的概念定义

第二章 点 集 拓 扑 §2.1. n 维欧氏空间、度量空间、拓扑空间的概念 定义2.1.1．) , ,(n 1ξξ =x ，n R y ∈=) , ,(n 1ηη ，定义 R R R d n n →?: 为 ∑=-= n 1 2 )()y ,(i i i x d ηξ． 称d 为n R 上的Euclid 距离． 易证距离d 满足： 01．y x 0)y ,( ,0)y ,(=?=≥x d x d ； 02．) x ,()y ,(y d x d =； 03．)z ,()y ,()z ,(y d x d x d +≤， )R z y, ,(n ∈x ． 定义2.1.2．( 距离空间，Metrical Space ) X 为非空集合，二元函数 R X X d →?: 满足： 01．非负性：y x 0)y ,( ,0)y ,(=?=≥x d x d ； 02．对称性：) x ,()y ,(y d x d =； 03．三角不等式：)z ,()y ,()z ,(y d x d x d +≤ )R z y, ,(∈x ． 称d 为X 上的一个距离，)d ,(X 为距离空间或度量空间．如 X A ?，称)d ,(A 为距离子空间． 0r ,>∈X x ，开球：} ) ,({)r ;(r x y d X y x B <∈=； 闭球：} ) ,({)r ;(r x y d X y x S ≤∈=． 开集：X A ? ．A x ∈，?球 A x B ?)r ;(，称x 为A 的一个内点．如A 中每个点都是内点，则称A 为开集． 开球是开集；2R 中第一象限区域（不含坐标轴）是开集． 记)d ,(A 中开集全体为τ，则有如下结论． 定理2.1.1．(1) τφ∈X ,； (2) ττ∈?∈)( ,2121G G G G ； (3) τλτλλλ∈?Λ∈∈Λ ∈ )( G G ． 例：(1) 离散空间． φ≠X ，定义 ) X y x,( y x ,1y x ,0)y ,(∈?? ?≠==x d ． 称X 为离散距离空间． (2) ] ,[b a C 空间． } b] [a, )( )({] ,[上连续函数为t x t x b a C =．] ,[y(t)y ),(b a C t x x ∈==， 定义y(t)x(t) max )y ,( -=≤≤b t a x d ， d 是距离． (3) 有界函数空间)(X B ． φ≠X ，} X )( )({)(上有界函数为t x t x X B =． 定义 y(t)x (t) sup )y ,( -=∈X t x d ，()(y ,X B x ∈)，d 是距 离．称)(X B 为有界函数空间． 取 +=N X ，记} )( )( {)(有界　n n x l X B ξξ===∞．)(y ),(n ηξ==n x ，n n sup )y ,(ηξ-=∈N n x d ． 定义2.1.3．设 φ≠X ，)(X P ?τ 满足：

半连续函数的性质与应用

摘要 函数的种类极为复杂. 在函数论中, 连续函数的性质和应用占有相当重要的地位. 有一类函数虽然不连续, 但却具有一些与连续函数相近的性质, 即连续函数的一个推广——半连续函数. 从而得到了比连续函数更广泛的一类函数的性质. 通过对半连续函数的研究, 对半连续函数在数学分析中的应用奠定了理论基础. 首先简述连续函数的性质与应用, 之后重点讨论半连续函数的性质, 详细介绍运算性, 保号性, 以及拓扑空间上半连续函数性质定理. 推广到紧致空间中半连续函数的应用. 最后辨析连续函数与半连续函数性质、应用, 最终应用连续函数性质解决半连续函数的问题.实际上半连续函数理论在古典分析和现代分析中都有着较为广泛的应用. 比如在最优化问题、变分不等式问题、相补问题及对策论问题都有着举足轻重的作用. 关键词：半连续；连续；函数

Abstract Category of function is very complicated. Characterization and application of continuous functions are very important in the function theory. Although a kind of function is also continuous, its characterization is similar with the continuous functions, which is called extension of the continuous functions semi-continuous functions, thus a kind of function with more winder characterization is obtained. Through the study, half of the continuous function in the mathematical analysis continuous function which lay a theoretical foundation for the application. First, this paper expounds the nature of the continuous function and application, and then discusses the nature of the semi-continuous functions, detailed mathematical and application, introduced the number of topological space, and the first half of the continuous function theorem of generalized to nature. Tight space in the application of semi-continuous functions. Finally differentiate continuous function and semi-continuous functions properties, application, and finally application continuous function semi-continuous functions nature solution of the problem. Half a continuous function in the classical theory analysis and modern analysis has a wide range of applications. For example, in the most problems, variational inequalities, phase problems and countermeasures for the theory of and so on all has a pivotal role. Key words:semi－continuous;continuous;functions;

基本群

同伦和基本群 在上一次中，我们利用空间的连通性给出了一个拓扑不变量，他可以区分一些简单的空间，但是要想区分更多的空间，需要引入更精细的不变量！ 几个概念： 1。道路连通：拓扑空间X中的一条道路是指一个连续映射r:I->X,（X=[0,1]），点r (0),r(1)分别叫做道路的起点和终点。若X中的任何两点均有道路连接，则称该空间X为道路连通的。若一条道路的起点和终点重合，则称该道路为环道。 2。同伦：设f,g:X->Y为连续映射，若存在连续映射F:X*I->Y,使得F(x,0)=f(x), F(x,1)=g(x),则称f和g是同伦的；如果还有F(a,t)=f(a)=g(a),则称f和g相对于a同伦。例： 1）若f(x),g(x)：X->Sn,且对任意的x,f(x)和g(x)不相等，则f(x)和g(x)是同伦的。 可构造：F(x,t)=(tf(x)+(1-t)g(x))/||(tf(x)+(1-t)g(x))||； 2）在凸集中，任何一个连续映射和恒等映射是同伦的； 可构造：F(x,t)=tf(x)+(1-t)g(x)； 3）在凸集中，任何一条以a为基点的环道和一点独点映射a同伦； 3。空间的同伦 两个空间X和Y称为是同伦等价的，如果存在一个映射f：X->Y，和g：Y->X，使得fg与IdY同伦，gf与IdX同伦，IdX表示X的恒等映射； 如：圆环和圆周就是同伦等价的； 注意：空间的同伦等价比同胚等价更弱一些，若X与Y同胚，则一定同伦等价， 因为存在f：X->Y，且f存在反函数g,从而fg=IdY,gf=IdX。但同伦推不出同胚， 如上例。 在我们建立基本群时，我们将拓扑空间限制在道路连通空间上。 在道路连通空间X中，任去一个点a，把过点a的所有以a为基点的环道做成一个集合，我们对这个集合定义一个关系： r1与r2等价，当且仅当r1与r2同伦。 可以验证这个关系是一个等价关系，从而可以给出该集合的一个划分。设B是由 所有的等价类构成的集合，在该集合上定义乘法为：[r1]*[r2]=[r1*r2]。则可以证明 给集合对于这个运算具有群的结构，成为X在点a的基本群，记为Pi[X,a]。 例： 若X为圆盘，任取a属于X,则对于X中的任何以a为基点的环道r，由上面的3）知r与a同伦，从而，B中只含有一个等价类，从而Pi[X,a]={e}； 定理：若X为道路连通，则对于任何两点p,q,有Pi[X,p]=Pi[X,q]。 该定理表明道路连通空间的基本群和基点的选择无关。 对于一般的拓扑空间X，基本群的计算是个很复杂的问题，可以使用棱到群或群在拓扑空间上的作用等来计算。下面，我列举了几种空间的基本群： 空间X 基本群 凸图形{e} S1 Z Sn(n>1) {e} 环面Z*Z 射影平面Z2 定理：若两个（道路连通的）空间X和Y同伦，则Pi[X,p]=Pi[Y,q]。

连续函数的性质1

§2连续函数的性质 Ⅰ. 教学目的与要求 1.理解连续函数的局部有界性、局部保号性、保不等式性. 2.掌握连续函数的四则运算法则、连续函数的复合函数及反函数的连续性,会利用其讨 论函数的连续性. 3.掌握闭区间上连续函数的性质，会利用其讨论相关命题. 4.理解函数一致连续性的概念. Ⅱ. 教学重点与难点: 重点: 闭区间上连续函数的性质. 难点:. 闭区间上连续函数的性质，函数一致连续性的概念. Ⅲ. 讲授内容 一 连续函数的局部性质 若函数f 在点0x 连续，则f 在点0x 有极限，且极限值等于函数值()0x f .从而，根据 函数极限的性质能推断出函数f 在()0x U 的性态． 定理4．2(局部有界性) 若函数f 在点0x 连续，则f 在某()0x U 内有界． 定理4．3(局部保号性) 若函数f 在点0x 连续，且()0x f 0> (或0<)，则对任何正 数()0x f r < (或()0x f r -<)，存在某()0x U ，使得对一切∈x ()0x U 有 ()r x f >，()r x f -<或(）. 注 在具体应用局部保号性时，常取()021x f r = 则（当()0x f 0>时）存在某()0x U 使在其内有()>x f ()02 1x f . 定理4．4(四则运算) 若函数f 和g 在点0x 连续，则g f g f g f ,,?±(这里 ()00≠x g )也都在点0x 连续． 以上三个定理的证明，都可从函数极限的有关定理直接推得． 对常量函数c y =和函数x y =反复应用定理4．4，能推出多项式函数 ()n n n n a x a x a x a x P +++=--1110 和有理函数()()() x Q x P x R =（Q P ,为多项式)在其定义域的每一点都是连续的． 同样，由x sin 和x cos 在R 上的连续性，可推出x tan 与x cot 在其定义域的每一点 都连续． 关于复合函数的连续性，有如下定理： 定理4.5 若函数f 在点0x 连续，g 在点0u 连续，()00x f u =,则复合函数f g 在点

拓扑学的性质及在建筑形态中的应用

拓扑学的性质及在建筑形态中的应用 谷理1唐晶2韩文翔3 12郑州大学建筑学院3中原工学院建筑工程学院河南省450001 摘要：本文着重介绍拓扑学的性质，尤其是阐述莫比乌斯环和克莱因瓶这两种曲面在建筑设计中的应用。期望能够用拓扑相关理论指导现代建筑形态发生，以促进建筑形态学的发展。 Abstract：This article focuses on the nature of the topology,in particular,is described Mobius Strip and Klein due to bottle the two surfaces in architectural design.Look forward to the topological theory to guide the modern architectural form,in order to promote the development of architectural morphology. 关键字：拓扑学建筑形态莫比乌斯环克莱因瓶 中图分类号：O189.3文献标识码：A文章编号：Keywords：topology architectural form Mobius Ring Klein bottle 正文： 在现代生活节奏日益加快，并伴随着信息科学的飞速发展，人们对事物的感知方式逐渐发生了变化，这种变化以丰富多彩的图像为标志。另外，建筑形式的拓扑化引导建筑设计迈向一种新的、引人入胜的可塑性，引导类似巴洛克建筑和表现主义建筑的塑性美学。其次，随着欧几里得几何学这一影响深远的的数学理论被瓦解，非欧几何学逐渐被人们接受，拓扑几何学也逐渐成为建筑表皮生成的主要理论基础，并伴随表皮的独立逐渐成为建筑师表达建筑形态的主要手段之一。 1.拓扑学的概念 拓扑学是由庞加莱创立并在20世纪繁荣起来的一个数学分支，往往被描绘成“橡皮膜几何学”，但它更适合被定义为“连续性的数学”。拓扑学是研究几何对象在连续变换下保持不变性质的数学。所谓连续变换“也叫拓扑变换”就是使几何学对象受到弯曲、压缩、拉伸、扭转或它们的任意组合，变换前后点与点相对位置保持不变。大小和形状与拓扑学无关，因为这些性质在拉伸时就会发生改变。拓扑学家们只问一个形状是否有洞，是否连通，是否打结。他们不仅想象在欧几里得一、二、三维的曲面，而且想象在不可能形象化的多维空间中的曲面。拓扑学研究逐渐的、光滑的变化，它属于无间断的科学，关心的是定性而不是定量问题，重点则是连续变换。 如今，在拓扑变换下，拓扑学主要研究拓扑空间的不变量和不变性质。拓扑学对于形态艺术具有相互促进的作用，从而，诸多建筑师将其引入到建筑之中。 2.拓扑学的性质 拓扑学的性质有哪些呢？首先来介绍拓扑等价，这是一个比较容易理解的拓扑性质。 一个几何图形任意被“拉扯”，只要不发生粘接和割裂，可以做任意变形，这就称为“拓扑变形”。两个图形通过“拓扑变形”可以变得相同，则称这两个图形是“拓扑等价”。如图1所示，1、2、3同构，4和1、2、3不同构。

《点集拓扑学》第3章 §3.1 子空间

第3章子空间（有限）,积空间，商空间 在这一章中我们介绍通过已知的拓扑空间构造新的拓扑空间的三种惯用的办法．为了避免过早涉及某些逻辑上的难点，在§3.2中我们只讨论有限个拓扑空间的积空间，而将一般情形的研究留待以后去作． §3.1子空间 本节重点：掌握度量子空间、拓扑空间子空间的概念，子空间的拓扑与大空间拓扑之间的关系以及子空间的闭集、邻域、基、导集、闭包与大空间相应子集之间的关系及表示法． 讨论拓扑空间的子空间目的在于对于拓扑空间中的一个给定的子集，按某种“自然的方式”赋予它一个拓扑使之成为一个拓扑空间，以便将它作为一个独立的对象进行考察．所谓“自然的方式”应当是什么样的方式？为回答这个问题，我们还是先从度量空间做起，以便得到必要的启发． 考虑一个度量空间和它的一个子集．欲将这个子集看作一个度量空间，必须要为它的每一对点规定距离．由于这个子集中的每一对点也是度量空间中的一对点，因而把它们作为子集中的点的距离就规定为它们作为度量空间中的点的距离当然是十分自然的．我们把上述想法归纳成定义： 定义3.1.1 设（X，ρ）是一个度量空间，Y是X的一个子集.因此，Y×Y X×X．显然：Y×Y→R是Y的一个度量（请自行验证）．我们称Y的度量，是由X的度量ρ诱导出来的度量.度量空间（Y，ρ）称为度量空间（X，ρ）的一个度量子空间． 我们常说度量空间Y是度量空间X的一个度量子空间，意思就是指Y是X的一个子集，并且Y的度量是由X的度量诱导出来的．我们还常将一个度量空间的任何一个子集自动地认作一个度量子空间而不另行说明．例如我们经常讨论的：实数空间R中的各种区间（a，b）， [a，b]，（a，b]等；n＋1维欧氏空间中的 n维单位球面: n维单位开、闭球体:

(整理)闭区间上连续函数的性质

§4.2 闭区间上连续函数的性质 一、 性质的证明 定理1.（有界性）若函数)(x f 在闭区间[a,b]连续，则函数)(x f 在闭区间[a,b]有界，即?M >0,∈?x [a,b],有|)(x f |≤M . 证法：由已知条件得到函数)(x f 在[a,b]的每一点的某个邻域有界.要将函数 )(x f 在每一点的邻域有界扩充到在闭区间[a,b]有界，可应用有限覆盖定理，从 而得到M >0. 证明：已知函数)(x f 在[a,b]连续，根据连续定义， ∈?a [a,b]，取0ε=1，0δ?>0,∈?x (00,δδ+-a a )?[a,b],有 |)(x f )(a f -|<1.从而∈?x (00,δδ+-a a )?[a,b]有 |)(x f |≤|)(x f )(a f -|+|)(|a f <|)(|a f +1 即∈?a [a,b]，函数)(x f 在开区间(00,δδ+-a a )有界。显然开区间集 { (00,δδ+-a a )|∈a [a,b] }覆盖闭区间[a,b].根据有限覆盖定理（4.1定理3），存在有限个开区间，设有n 个开区间 {（k k a k a k a a δδ+-,）|∈k a [a,b] }，k=1,2,3,…,n 也覆盖闭区间[a,b] ，且 ∈?x （k k a k a k a a δδ+-,）|∈k a [a,b]，有|)(x f |≤|)(|k a f +1，k=1,2,3,…,n 取M =max{|)(||,......,)(||,)(|21n a f a f a f }+1. 于是∈?x [a,b]，∈?i {1，2,…，n},且∈x （i i a i a i a a δδ+-,）?[a,b]， 有|)(x f |≤|)(|i a f +1≤M 定理2（最值性）：若函数()f x 在闭区间[],a b 连续，则函数()f x 在区间

连续函数及连续函数的性质

连续函数及连续函数的性质 张柏忱 数学与统计学院 09级汉本 （三） 班 09041100434 摘要：数学分析的发展史告示我们，无论在理论上或在应用中都应从连续函数开始。这是因为，一方面在生产实际中所遇到的函数多是连续函数；另一方面，我们常常直接或间接地借助于连续函数讨论一些不连续的函数。于是连续函数就成为数学分析研究的主要对象。 关键词：连续 该变量 间断点 有界性 最值性 介值性、 一． 连续函数概念 已知函数f(x)在a 存在极限b ，即a b x f a x ,)(lim =→可能属于函数f(x)的定义域；f(a)也 一定等于b 。但是，当f(a)=b 时,有着特殊意义。 定义 设函数f(x)在U(a)有定义。若函数f(x)在a 存在极限，且极限就是f(a)，即 )()(lim a f x f a x =→ （1） 则称函数f(x)在a 连续，a 是函数f(x)的连续点。 函数f(x)在a 连续，不仅a 属于函数f(x)的定义域，且有（1）式极限。因此函数f(x)在a 连续比函数f(x)在a 存在极限有更高的要求。 用极限的“δε- 定义”，函数f(x)在a 连续（即（1）式极限）.|f(a)-f(x)|,|:|,0,0εδδε<<-?>?>??有a x x 将（1）式极限改写为、 0)]()([lim =-→a f x f a x （2） 设x a x x x a x ?-=??+=.或称为自变数a x 在的改变量。设 ),()()()(a f x a f a f x f y -?+=-=? y ?称为函数y 在a 的改变量.如图3.1..0→??→x a x 于是，由（2）式 函数.0lim )(0 =??→?y a x f x 连续在 有时只需要讨论函数a x f 在)(左侧或右侧的连续性，有下面左右连续概念： 定义 设函数a x f 在以)(为左（右）端点的区间有定义。若 ))0()()(lim )(0()()(lim -==+==- + →→a f a f x f a f a f x f a x a x