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分块矩阵求逆及其应用

摘要 (1)

引言 (2)

一、概述 (2)

二、分块矩阵的求逆及其应用 (5)

第一节２×２分块矩阵的可逆性存在条件和求逆公式及其应用

(5)

第二节 3×3分块矩阵的可逆性存在条件和求逆公式及其应用

(14)

结束语 (21)

分块矩阵求逆及其应用

李东生

（渤海大学数学系辽宁锦州 121000 中国）

摘要：对于分块矩阵，我们比较熟悉分块矩阵的乘法，而对于分块矩阵的求逆，经常遇到的是22?分块矩阵的逆的证明问题，很少涉及分块矩阵逆的计算，并且我们在实际问题中还会遇到33?分块矩阵（或更高阶的分块矩阵）的求逆问题，所以我们研究这样的分块矩阵的可逆性存在条件以及求逆公式显得很有意义。分块是否合理是分块矩阵运算是否简便的关键，所以本文开头便对分块方法做了总结。接着，本文研究了较为简单的22?分块矩阵的可逆性存在条件以及求逆公式，并予以证明，总结了研究方法，还深入探讨了22?分块矩阵中含有零块时的可逆性存在条件以及求逆公式。以22?分块矩阵的研究方法为基础，探讨研究了33?分块矩阵的可逆性存在条件以及求逆公式，并试证成功，还总结出研究更高阶分块矩阵求逆方法。此外本文不仅侧重理论研究，而且侧重于实际应用，在文中列举了大量典型的阶数较高的矩阵，对他们如何分块才能使求逆过程更为简单作出分析，并给出了求解过程，真正做到了“理论联系实际”。关键字：分块方法，分块矩阵，逆矩阵，可逆条件

Begging the negative matrix to a matrix of the cent

and it ′s applying

Li Dongsheng

(Department of Mathsmatic Bohai University Liaoning Jinzhou 121000 China) Abstract: For a matrix of the cent, we relatively know with the multiplication of dividing a matrix. But for begging the negative matrix to a matrix of the cent, we usually meet is 2 the negative certificate problem of a matrix of cent of rank. It is seldom to involve to divide the calculation that a matrix inverse, and we also will meet in actual problem begging 3 the negative certificate problem of a matrix of cent of rank.(or a matrix of more high-level cent).So it is very meaningfully to study this character of inverse of existence condition of such a matrix of cent; to beg the negative formula whether cent is reasonable is the key of whether a matrix operation is simple. What is more, the beginning of thesis does the summary to a method of cent. Immediately, the thesis has studied simple 2 ranks to divide a piece of matrix and the existence condition of inverse character. Finally the thesis gives the evidence. The method has been given, and when

there are zero-pieces in a matrix, the character of inverse condition and begging the negative formula are explored in the 2 ranks to divide a piece of matrix. In the basis of research method of 2 rank to divide a piece of matrix, the character of inverse, and begging the negative formula in 3 ranks to divide a piece of matrix are successfully proved, and also be summed up the method of begging the negative .In addition of this, this thesis not only lays particular emphasis on the theories research, but also deals of high level matrix of typical model which are used in the thesis, and how they divide the piece to make begging negative process more simple is also be analyzed . The process of how to solve is also gi ven. “Theories contact actual” is real attained in this thesis.

key words: the method of dividing the matrix into pieces; a matrix of cent ; negative matrix ; the condition that the matrix has a negative matrix.

引言

我们在处理一些多元线性方程组时，常常用系数矩阵，而且一般情况下，它们的阶数较高，在求解过程中，我们还要常常要求它们的逆．若要用普通的初等变换法，或求伴随矩阵法求逆都很麻烦．这时我们就应该考虑用分块矩阵法求矩阵的逆．我们知道并不是所有的矩阵都有逆，我们要求逆就应该判断矩阵是否可逆，然后再求逆．本文首先介绍了分块矩阵的定义以及常用的分块方法，重点介绍２×２分块矩阵和３×３分块矩阵的可逆性存在条件，并给出了普遍使用的求逆公式，而且文中还举了一些有代表性的例题，并讨论是如何分块，如何应用求逆公式的．一概述

１．分块矩阵的定义

在处理级数较高的矩阵是常用矩阵分块的方法．我们可以把大矩阵看成是由小矩阵组成的，就如矩阵是由数组成的一样．特别在运算

中，把这些小矩阵当作数来处理，这就是所谓的矩阵分块．而把这样的矩阵就叫做分块矩阵．

２．常用的矩阵分块方法

①找零块

例如

1001

2101

0010

0000

可分块为

10|01

21|01

00|10

00|00

----

可表示为

A B

型

②找相同块

例如

1111

可分块为

11|11

----

可表示为

A A

A D

型

③找单位块

例如

1212

1100

1010

1001

可分块为

1|212

1|100

1|010

1|001

-----

可表示为

A B

C I

型（这里的

I表示３阶单位阵,本文中的I都表示单位阵）④化为分块上（下）三角阵

例如

2011

0121

0340

0002

可分块为

2|01|1

0|12|1

0|34|0

0|00|2

------

可表示为

111213

2223

A A A

A A

型

⑤化为分块对角阵

例如

200

0130

0240

0002

可分块为

2|00|0

0|13|0

0|24|0

0|00|2

------

可表示为

型

在具体的运算中，我们要根据运算灵活地分块，上述方法只是比较常用，我们可以灵活地运用，宗旨是使运算变得更加简便．此外，我们在矩阵加法和乘法的运算中，分块矩阵的维数必须加以限制，以使所定义的运算能够进行．我们称任何满足上面这种限制的矩阵分块关于所讨论的运算是相容的．对于加法，相容要求两个矩阵按同样的方式分块；而对于乘法，在矩阵Ａ与矩阵Ｂ相乘时，对Ｂ的一个分块方式，Ａ可以有几种分块方式与之相容，这时便要考虑哪种分块方式使运算更加简便．

例如Ａ＝

100

010

002

Ｂ＝

1010

0101

0110

ＡＢ＝？

解：我们可以把Ｂ分块为

10|10

01|01

01|10

-----

而这时若只考虑乘法

的相容性，Ａ可以分块为10|00

1|0|0

2?? ?

? ?--- ???，或10

|0|01|00

2?? ?---

? ? ???

但是我们可以看到第一种分法中有单位块，对于乘法运算显然更简便.

ＡＢ＝22200I A ?? ???．222122I I B B ?? ???＝2

22221

2222I

I A B A B ??

???＝101001010220??

? ???

３．矩阵的逆

定义：n 阶方阵Ａ可逆，如果有n 阶方阵Ｂ，使ＡＢ＝ＢＡ＝Ｉ，

这里的Ｉ是n 阶单位阵．

而我们将要研究的分块矩阵的求逆，只不过是先将矩阵分块，然后再求逆．

二分块矩阵的求逆及其应用

第一节２×２分块矩阵的可逆性存在条件和求逆公式及其应用首先我们从最简单的2×2分块矩阵开始研究,如何求2×2分块矩阵的逆,用初等变换的方法,这是一个很好解决的问题.而我们重点研究一下这种类型的分块矩阵可逆性的存在条件及其普遍适用的求逆公式. 设A B M C D ??

= ???,A 为n 阶矩阵,B 与C 分别为n ×m 和m ×n 矩阵,D 为m 阶矩阵.

定理1.若A 可逆,则M 可逆?1D CA B --可逆.这时

[1]

111111111

11111()()()()A A B D CA B CA A B D CA B M D CA B CA D CA B --------------??

+---=

---?

证明: ? 由 110A B A B CA C D D CA B ---?????

→ ? ?

-????

∵M =A ?10D CA B --≠ 故11()D CA B ---存在.

由 1111110000()()n n m m A B I A

B I CA A

D I D CA B CA I D CA B -------??????→ ? ?---?????

1111110000()()n n m m A B I A

B I CA A

D I D CA B CA I D CA B -------??????→ ? ?---?????

111

110

0()()n m

I A B A A B I D CA B CA D CA B -------??

-?---??

11111111111

0()()0

()()n

I A A B D CA B CA A B D CA B I D CA B CA D CA B -----------??

+---→ ?---??

即 111111111

11111

()()()()A A B D CA B CA A B D CA B M

D CA B CA D CA B --------------??

+---= ?---??

? 由1D CA B --可逆,可知1A -存在.

∵M =A ?10D CA B --≠, 故1M - 存在.

定理2. 若D 可逆,则M 可逆?1A BD C --可逆,这时 11111

11111()()()()A BD C A BD C BD M

D C A BD C D D C A BD C BD --------------??---= ?--+-??

证明方法同定理1,在此略去证明过程.

在此,我们还可以得出推论:

推论1:若B 可逆,则M 可逆? 1C DB A --可逆推论2:若C 可逆,则M 可逆? 1B AC D --可逆

通过以上的讨论,我们只要知道某一块可逆,运用定理及其推论就可以判断出M 是否可逆,如果可逆,我们就可以运用相应的求逆公式求出.我们在实际应用时,如果一个阶数较大的矩阵,找不到特殊的块(如零块,单位块,相同块等),或者不能化为特殊型(如分块对角阵,分块上(下)三角阵等),那么求它的逆运用分块的方法优势也就不明显了.而以上所研究

的求逆条件和求逆公式的实用价值也就大打折扣.

而我们在实际计算当中,最常遇到的便是矩阵中含有零块的情况,下面我们来研究一下2×2分块矩阵中含有零块时,它的可逆性存在条件及其可逆公式是什么形式的. 1. 分块矩阵中含有3个零块即 000A ??

??? 、000B ?? ??? 、 000C ?? ??? 、000D ??

???

这种情况下,分块矩阵是不可逆的.

以第一种情况为例∵若A 可逆,而1D CA B --=0,是不可逆的 ∴M=000A ??

???

不可逆.(若A 不可逆,那么M 就更不可逆了) 2. 分块矩阵中有两个零块

Ⅰ. 分块矩阵的两个零块在同一行或同一列,即①00A B M ??

= ???

和②

00B M D ??= ???

,则这种分块矩阵不可逆. ∵ 由定理1可知,在①中若1A -存在, 1D CA B --=0不可逆.∴M 不可逆. ∵ 由推论1可知,在②中若1B -存在, 1C DB A --=0不可逆.∴M 不可逆.

Ⅱ.分块矩阵的两个零块不在同一行或同一列,即 ①00A M D ??= ???

和 ②00B M C ??

= ???

∵ 由定理1可知,在①中若1A -存在, 1D CA B --=D,只有当D 可逆时,M 才可逆. 代入求逆公式得 11

100A M

D ---??

= ???

,反过来,若D 可逆,也只有A 可逆

时,M 才可逆. 1M -同前面的一样.

∵由推论1可知,在②中若1B -存在, 1C DB A --=C,只有当C 可逆时,M 才可逆, 此时 11

100C M

B ---??= ???

可以用下面的方法求出上面的1M -,设1M -=11

1221

22D D D D ??

???

则 1

M M -?=0

0B C

???111221

22D D D D ?? ???=21

221112BD BD CD CD ??

???=00I I ??

???

=I ∴11

100C M

---??

= ???

3. 分块矩阵中只有一个零块

Ⅰ. 分块矩阵的零块在主对角线上,即①0A B M C ??= ???和②0

B M C

D ??

???

ⅰ.由定理1可知,在①中若1A -存在,只有 1CA B --可逆,M 才可逆而11()CA B ---= 11B AC --- ∴ 只有当1B - 、1C -同时存在时,M 才可逆.

ⅱ.若A 不可逆,则令1

M -=11

1221

22D D D D ??

???

1M M -?=1121

12221112AD BD AD BD CD CD ++??

???=00I I ??

???

=I 1

M - =1111

0C B

B A

C ----?? ?-??,如果要使1M -存在,那么1B - ﹑1

C -一定存在. ② 可用同样的方法讨论.

总结: 这种类型的分块矩阵,无论A(D)是否可逆,只有B 、C 同时可逆时,M 才可逆.

Ⅱ. 分块矩阵的零块不在主对角线上,即①0A

M C D ??

= ???

和②

0A B M D ??= ???

对于①,可以直接应用定理1判断是否可逆,然后直接代入求逆公式

即只有当A 、D 同时可逆时,M 可逆.此时1

M -= 1111

0A A BD D ----??

- ???

对于②,同样应用定理2可得只有当A ﹑D 同时可逆时,M 可逆.

此时1

M -= 1

10A D CA

D ----?? ?-??

通过以上的讨论,我们不难发现,如果分块矩阵中含有零块,那么判断其可逆性存在条件以及求逆公式都会相应地简单很多.因此,我们在对阶数较大的矩阵分块时应注意零块.下面我们来看一些典型的应用分块矩阵法来求逆的例子,看看是如何分块,如何应用公式及推论的. 例1. 判断下列矩阵是否可逆,如果可逆,求出它的逆.

①M = 000120

00231

10000110000100?? ? ? ? ? ? ??

? ②M = 0100000

200000300

000450

0?? ? ? ? ? ? ??

③M = 1010

10100

01100001100

01?? ? ? ? ? ? ??

? ④M = [2]

21000021000

02100

00210000

2?? ? ? ? ? ? ??

? ⑤ M =[3]

111111111

1111

1??

?-- ?

?-- ? ?--?

? ⑥M =120002300011100010100

000

1?? ? ? ? ? ? ??

解: ①分析: 观察矩阵中有一个2×3的零块和一个3×2的零块,而另外两个分别是上三角块和一个2×2的块,都很容易判断是否可逆.所以可

将M 分块为

000|12000|23110|00011|0000

0?? ? ? ?-----

- ? ? ? ? ???

它正好是00B M C ??

= ???

型,由前面的讨论可知11

100C M

---??

= ???

而运用初等变换法很容易求出

12322321--????= ? ?-????, 1

110111011011001001--???? ? ?=- ? ? ? ?

????故M 可逆. 所以 1M -=00

11100

01100

00132000210

0-??

?- ? ?

?- ? ?-?

②.分析: 不难发现这是一个对角阵经过列变换而得到的矩阵,那我们就还要尽可能找到对角阵,因为对角阵的逆容易求得.结果发现正好还有两个零块.

则可将M 分块为0|1

0000|02000|0

0300|00045|00

0??

? ? ?

? ? ?-----

- ? ??

,也是00B M C ??

= ???

型,B 、C 可逆很容易看出,故M 可逆.

则1M -=10000510000100002100003100

?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??

③.分析:这是一个只有0和1组成的上三角矩阵,我们知道零块比单位块更容易计算,所以我们应本着先找零块的原则,故我们可以将M 分块为

101|01000|11000|01100|001?? ?

? ?

------ ? ? ?

?这样分即有零块,又有一个单位块. 则M 可表示

0I B D ??

???

型.很容易看出2I 和D 都可逆,所以M 可逆. 根据关于零块的讨论,可得1M -=1

210

I BD D --??-

???而1D -=111011001-??

?- ? ?

1BD --=112011--?? ?-??

, 所以1

M -=1

011

2010110

01110001100

01--?? ?

- ? ?- ?- ? ??

④.分析:这是一个很有规律的矩阵,我们可以找到它的一个最大零块,将

M 分块为2

1|00002|1

000|21000|02100

2?? ? ? ?-

----

? ? ? ? ??

可以表示为0A B M T ??= ???型很容易看出1A -和1T -都存在,故M 可逆.

用初等变换的方法求得1

A -=1124102??-

? ? ??

而我们在求1T -时,还可以把T 分块为 21|002|100|2??

---- ?

???

可以表示为T=A H O K ??

???

∵A 、K 可逆很容易看出, ∴1

T -=1

111

A A HK K ----??-

???=1

1124811024100

2??- ?

?- ?

? ? ??

∴1

-=1111

A A BT T ----??- ???=1111124816321111024816111002481100024100

2??-

? ? ?--

? ?

? ? ?- ? ? ??

本题中两次运用分块,因为1A -只求一次，可以在两个地方应用,而且其它的计算也相应的简便.

⑤．分析:这个矩阵中含有3个块相同，故分块很容易M=11|1111|1111|1111|11?? ?-- ?

?----- ?-- ? ?--??

即M=A A A D ??

,∵1A -，1

D -都存在,现在考虑是应用定理1还是应用定理2.

ⅰ.若选择1A -存在，则需判断1D AA A --=D-A 是否可逆 ⅱ.若选择1D -存在，则需判断1A AD A -- 是否可逆。显然，第ⅰ种选择比较好，∵D-A=2222--??

?-??

可逆，∴M 可逆我们可以求得 1()D A --= 114

4114

4??--

? ? ?- ???，1

A -=1

122112

? ?

? ?- ??

由定理1得，1

M -=11

1()()()

()A D A D A D A D A -----??+--- ?---??=111

1444411114

4441111444411114

44?? ? ? ?-- ? ? ?-- ? ? --???

⑥.分析：这个矩阵可以分块为ⅰ12|00023|00011|10001|01000

1?? ? ? ?-

----

? ? ? ? ??

和ⅱ120|00230|00111|00010|10000|01?? ? ? ? ?------ ? ? ? ???

从零块的角度看，这两种分法都可以，但ⅰ中的单位块为3I ，而ⅱ中的为 2I ，

并且ⅱ分法后不容易判断M 是否可逆，故应选择第ⅰ种分块方法. 对于第ⅰ种分法，M 可以表示为30A

I ??

???

，∵A 、3I 都可逆，∴M 可逆. 1A -=3221-??

?-??

，1

3I -=3I ，由定理1，可得

M -=1

1330A I CA

I ----??

?-??=3200021000111002101000001-??

?- ? ?-

?- ? ???

第二节 3×3分块矩阵的可逆性存在条件和求逆公式及其应用在阶数较高的矩阵中，有时还被分为3×3分块矩阵，那么我们如何判断它是否可逆，以及有没有一个通用的求逆公式。给我们任意一个3

×3分块矩阵，M=A

B C D

E F G H

K ?? ?

? ??

，我们应如何对它求出可逆的判断条件呢？我们在研究2×2分块矩阵时，是先设某一块可逆，然后变为上三角阵，或对角阵，利用M =A ?1D CA B --得出可逆性条件的.我们在这里也应用这种方法，先设A 可逆，那么我们考虑

1111000000

m m s s I A B C I A B A C DA I D E F I GA I G H

K I ----??--???? ? ??

?- ?

??? ??? ?-?

?????=11110000A E DA B F DA C H GA B K GA C ----??

-- ? ?--?

若判断M 是否可逆，现在就转移到研究1111E DA B F DA C T H GA B K GA C ----??

--= ?

--??

可逆了。这就回到了2×2分块矩阵的可逆性条件的存在性问题了，那我们就可以设1E DA B --可逆，则T 可逆的条件就是整个分块矩阵可逆的条件了。

定理3. 设M=A

B C D

E F G H

K ?? ?

? ??

，其中A 、E 、K 分别为n 阶、m 阶、s 阶方阵，B 、C 、D 、F 、G 、H 分别为n ×m 、n ×s 、m ×n 、m ×s 、s ×n 、s ×m 矩阵。设A 和1E DA B --可逆，则M 可逆

?11111()()()K GA C H GA B E DA B F DA C ----------，

这时 1111

11A PT PT M

T Q T ------??

+= ???

其中()11

P A B A C --=--，11DA Q GA --??-= ?-??，[4]

1111E DA B F DA C T H GA B K GA C ----??--= ?--??

证明：考虑111

100000000n

m m s s I A B C I A B A C DA I D E F I GA I G H

K I ----??

--???? ?

?- ?

??? ??? ?-??????

11100

00A

E DA B

F DA C H GA B K GA C ----??

?--

? ?--?

=00A T ?? ??? , 其中1111E DA B F DA C T H GA B K GA C ----??--= ?--??，于是M 可逆?A ，T 可逆。根据定理1，可得： T 可逆，1E DA B --可

?11111()()()K GA C H GA B E DA B F DA C ----------可逆。且有

m s I Q I +??

???M 0n

m s I P I +?? ???=00A T ?? ???

其中()11

P A B A C --=--，11DA Q GA --??-= ?-?? 1

M - =0

n m s I P I +??

???

00A T -?? ???0n

m s I Q

I +?? ???=11

111A PT PT T Q T -----??

+ ???

而1T -可由定理1中的公式给出。

由定理3的证明方法以及前面的研究方法，当K 和1E FK H --可逆时，也可以得出一个可逆性存在条件及求逆公式，在这里就不重复证明. 我们知道在分块矩阵中如果有零块，其可逆条件的判断及求逆公式会相对简单一些。那下面我们就来看下面的定理。

我们知道在分块矩阵中如果有零块，其可逆条件的判断及求逆公式会相对简单一些。那下面我们就来看下面的定理。

定理4 设0

000A B M E

C D ?? ?

= ? ??

[3]，其中A 、E 、K 分别为n 阶、m 阶、s 阶方阵，B 、C 分别为n ×s 和s ×n 矩阵，设A 、E 可逆，则M

可逆?1D CA B --可逆。这时

1M - =11111111111111()0()00()0

()A A B D CA B CA A B D CA B E D CA B CA D CA B --------------??

+---

? ?---?? 证明：考虑 1000

m s I I CA I -?? ? ? ?-?

? 0000

A B E

C D ??

? ? ??? 10000

m s I A B I I -??

- ? ? ???

= 100000A B E D CA B -?? ? ? ?-?? 1

00000n m s I A B I I -??-

? ???=10

|00

E D CA B -??

? ?---- ?-?

故A,E 可逆,M 可逆 ? 1D CA B --可逆

1M -=100

000

n m s I A B I I -??- ? ? ??? 1

0000A E

D CA B --??

? ? ?-?? 1

00000

m s I I CA I -??

? ?-?

=1111110()0

000

A A

B D CA B E D CA B ------??--

? ? ?-?

? 1000

m s I I CA

I -??

? ? ?-??

=11111

111111111()0()00()0

()A A B D CA B CA A B D CA B E D CA B CA D CA B --------------??

+---

? ?---??

证明完定理4,我们不妨将定理4与定理1比较一下,从中便会发现定理4中1M -中的四个角的块正是定理1中1M -的四个块.下面我们研究一下几个3×3分块矩阵求逆的例子.

例2. 判断下列矩阵是否可逆,若可逆求其逆.

①M =110011

20100

0300010211001

1?? ? ?

? ? ?

? ②M =1

200002100000

021*********

000320

00021??

? ?

? ? ?

③M =0000120000210

021000013003200002100

00?? ? ? ?

? ? ?

? ??

? ④M =1

210102

101010021100

01301000032000021??

? ?

? ? ?

???

解: ①.分析:这个矩阵经仔细观察,它正好可以分成定理4中的M 的

形式,故可将M 分块为

0112|0|100

0|3|0001|0|2110|0|11??

? ?-------

? ? ?------- ?

? ??

? 可以表示为0

000A B M E

C D ??

= ? ??

型 ∵ 12111A --??=

?-??,113E -=,而令1

T D CA B -=-=2111?? ???1112-??- ?-??=1221?? ?-??

也可逆. ∴M 可逆。

并且1

1255215

5T -?? ?

= ? ?- ???由定理4,得1M -=1111

11111100

A A BT CA A BT E T CA T ----------??

+- ? ? ?-?

又1111A A BT CA ----+=2111-?? ?-??+117557455??- ? ? ?- ???=125

52155??

- ? ? ?

???

T CA ---=31554355??- ? ? ?- ??? 11A BT ---=3455135

5??- ? ? ?- ?

1M -=1234055552

113055551

00331120555543

210

555??-- ?

? ?- ? ? ?

? ? ?-

? ?--

???

②.分析: 这个矩阵可以化为分块对角阵,

即M=12|00|0021|00|000

0|21|0000|13|0000|00|3200|00|21??

? ?

-------- ?

? ? ?-------- ? ?

可表示为M=000000A B C ?? ?

? ???

型. ∵A 、B 、C 都可逆,由定理4,可得:M 可逆。

且112332133A -??- ?= ? ?- ??? 1

3155

125

5B -??

- ?

? ?-

???

11223C --??= ?-?? ∴ 代入定理4中的公式得

1 M-=

0000

000012

000023

- ?

③.分析:这个矩阵可化为分块反对角阵,因为3×3分块矩阵难于判断是否可逆,我们可以先将M分块为

0000|12

0000|21

0021|00

0013|00

3200|00

2100|00

-------

而可将T=

00|21

00|13

32|00

21|00

-----

∵ B ﹑C可逆∴T可逆. 又∵ A﹑T 都可逆.∴M可逆.

1 M-=

000012

000023

0000

分块矩阵求逆

一、分4块的矩阵求逆对于分块矩阵A B 求其逆在计量经济学，马尔科夫链等科目中常常遇到，本文综合了 C D，格林等文件，提供一个一般的汇总性文件，方便查阅。本文采用初等变化法求逆，假设先对矩阵进行了合适的分块并且灰色部分的逆存在： A B | I 0 C D | 0 I 第1行左乘-CA-1并加到第2行有： A B | I 0 0D-CA-1B | -CA-1I 第2行左乘-B(D-CA-1B)-1并加到第1行有： A 0 | I+ B(D-CA-1B)-1 CA-1-B(D-CA-1B)-1 0 D-CA-1B|-CA-1I 第1行左乘A-1，第2行左乘(D-CA-1B)-1后，右边的矩阵为原始矩阵的逆：

注意是左乘，右乘不行，因为右乘副对角线上的矩阵可能没法做矩阵乘法。二、分9块的矩阵求逆对于分9块的矩阵A=[A B C;D E F;G H K]求逆，可先把矩阵进行适当划分，使得以下各灰色部分可逆，然后分别左乘矩阵P和右乘矩阵Q，P、Q如下所示，易见P、Q均可逆。 P A Q I 0 0 | A B C | I -A-1B -A-1C -DA-1 I 0 | D E F | 0 I 0 = B(具体见下三行) -GA-10 I | G H K| 0 0 I A 0 0 0 E-DA-1B F-DA-1C [(K-GA-1C)-(H-GA-1B)(E-DA-1B)-1(F-DA-1C)] 0 H-GA-1B K-GA-1C 要求各灰色部分可逆

可见大矩阵B的逆主要是求其右下角的逆，而这是个分四块矩阵，用第一部分方法即可求得。因为PAQ=B，所以A=P-1BQ-1，A-1=QB-1P，经过最终计算，A-1表示如下: 其中： M=(E-DA-1B)-1+(E-DA-1B)-1(F-DA-1C)[(K-GA-1C)-(H-GA-1B)(E-DA-1B)-1(F-DA-1C)]-1 (H-GA-1B)(E-DA-1B)-1 N=-(E-DA-1B)-1(F-DA-1C)[(K-GA-1C)-(H-GA-1B)(E-DA-1B)-1(F-DA-1C)]-1 R=-[(K-GA-1C)-(H-GA-1B)(E-DA-1B)-1(F-DA-1C)]-1 (H-GA-1B)(E-DA-1B)-1 S=[(K-GA-1C)-(H-GA-1B)(E-DA-1B)-1(F-DA-1C)]-1 此方法原则上还可依此递推至分为n2块矩阵求逆。

分块矩阵求逆公式及证明

分块矩阵求逆公式及证明 A 12 ,如果A ii (i=1,2)的逆存在，则 A 22 A 11 B 12 * A 12B 22 A 21B 11 A 22B 21 A 21 B 12 A 22B 22 将B 22代入方程(2)可以得到： B q 厂-A -1|A 12F 2 将B/弋入方程(1)可以得到： B qi = A ；；(I iq + A 12F 2A 21A ；1) 证毕。同理可得，A ；1的另外一种表达形式为： F -F -1A A -1 1 A I ；；；；； 1 12 22 ,其中 F 广(A ii-A i2A 22；；A 2i ) A - -1 -1 -1 化 1 A 11 (I + A 12F 2A 21A 11 ) _A 11A 12F 2 ； -F 2A 21A 11 F 2 其中 F 2= (A 2^A 21A 11A 12 F 1 证明: 设A 的逆为B 二 B 11 _B 21 B B ：，其中B 与A 分块形式相同'则: A 11 A 12 B 11 A 22 _ -B 21 B q? I 11 B 22H 22 - A 11B 11 A 12B 21 111 (1 ) 定理: A= A 11 A 21 ⑷- A 21A -?⑵二 A 22 B 22 -1 - A 21A 11B 22 -1 1 1 22 = B 22 二(A 22 一 A 21A 11A 12) F 2 (3) - A 21A 11 (1) — A 22B 21 - A 21A 11A 12B 21 =-A 21A -1 二 B 21 二一 B 22A 21A 11

矩阵的分块求逆及解线性方程组

实验3 矩阵的分块求逆及解线性方程组一、问题化已知矩阵为上三角矩阵，构作范德蒙矩阵，高阶非奇异矩阵的分块求逆，求非齐次线性方程组的通解。二、实验目的学会用Matlab 语言编程，实施矩阵的初等变换将已知矩阵化为上三角矩阵；掌握用循环语句由已知向量构造范德蒙矩阵；了解高阶非奇异矩阵用不同分块法求逆矩阵的误差分析；能根据由软件求得的非齐次线性方程组增广矩阵的阶梯型的最简形式写出线性方程组的通解。三、预备知识 1．线性代数知识：（1）向量},,,{21n x x x X =作出的 n 阶范德蒙矩阵为 ??? ?? ??? ??---112112222 1 21111 n n n n n n x x x x x x x x x （2）分块矩阵???? ??=2221 1211A A A A A ，其中11A 为方的可逆子块，求逆矩阵有如下公式：设??? ? ??=-2221 1211 1 B B B B A ，则2212111121 12111212222,)(B A A B A A A A B ----=-=， 1 11211211111111212221,----=-=A A B A B A A B B （3）常用的矩阵范数为Frobenius 范数；2 1112||||||??? ? ??=∑∑==n i n j ij F a A 2．本实验所用Matlab 命令提示：（1）输入语句：input('输入提示')；（2）循环语句：for 循环变量=初始值：步长：终值循环语句组 end （3）条件语句： if(条件式1) 条件块语句组1 elseif(条件式2) 条件块语句组2 else 条件块语句组3 end （4）矩阵和向量的范数：norm(A)；（5）求矩阵A 的秩：rank （A ）；（6）求矩阵A 的阶梯型的行最简形式：rref(A)。

(完整版)逆矩阵的几种求法与解析(很全很经典)

逆矩阵的几种求法与解析矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法. 1.利用定义求逆矩阵定义: 设A 、B 都是n 阶方阵, 如果存在n 阶方阵B 使得AB= BA = E, 则称A 为可逆矩阵, 而称B 为A 的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用. 例1 求证: 如果方阵A 满足A k= 0, 那么EA 是可逆矩阵, 且（E-A ）1-= E + A + A 2+…+A 1-K 证明因为E 与A 可以交换, 所以 (E- A )(E+A + A 2+…+ A 1-K )= E-A K , 因A K = 0 ,于是得 (E-A)（E+A+A 2+…+A 1-K ）=E ，同理可得（E + A + A 2+…+A 1-K ）(E-A)=E ，因此E-A 是可逆矩阵,且 (E-A)1-= E + A + A 2+…+A 1-K . 同理可以证明(E+ A)也可逆,且 (E+ A)1-= E -A + A 2+…+（-1）1-K A 1-K . 由此可知, 只要满足A K =0，就可以利用此题求出一类矩阵E ±A 的逆矩阵. 例2 设 A =? ? ?? ? ???? ???0000 30000020 0010,求 E-A 的逆矩阵. 分析由于A 中有许多元素为零, 考虑A K 是否为零矩阵, 若为零矩阵, 则可以采用例2 的方法求E-A 的逆矩阵. 解容易验证

A 2 =????????? ???0000000060000200， A 3=? ? ?? ? ? ? ?? ???00000000 00006000 ， A 4=0 而 (E-A)(E+A+ A 2+ A 3)=E,所以 (E-A)1-= E+A+ A 2+ A 3= ? ? ?? ? ???????1000 31006210 6211. 2.初等变换法求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法.如果A 可逆，则A 可通过初等变换，化为单位矩阵I ，即存在初等矩阵S P P P ,,21Λ使（1）s p p p Λ21A=I ，用A 1-右乘上式两端，得：（2） s p p p Λ21I= A 1- 比较（1）（2）两式，可以看到当A 通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单位矩阵I 作同样的初等变换，就化为A 的逆矩阵A 1-. 用矩阵表示（A I ）??? →?初等行变换为（I A 1-），就是求逆矩阵的初等行变换法，它是实际应用中比较简单的一种方法.需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初等变换.同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵. 例1 求矩阵A 的逆矩阵.已知A=???? ? ?????521310132. 解 [A I]→??????????100521010310001132→???? ? ?????001132010310100521 → ??????????--3/16/16/1100010310100521→???? ??????-----3/16/16/110012/32/10103/46/136/1001

分块矩阵及其应用汇总

分块矩阵及其应用徐健,数学计算机科学学院摘要：在高等代数中，分块矩阵是矩阵内容的推广. 一般矩阵元素是数量，而分块矩阵则是将大矩阵分割成小矩形矩阵，它的元素是每个矩阵块.分块矩阵的引进使得矩阵工具的利用更加便利，解决相关问题更加强有力，所以其应用也更广泛. 本文主要研究分块矩阵及其应用，主要应用于计算行列式、解决线性方程组、求矩阵的逆、证明与矩阵秩有关的定理. 关键词：分块矩阵；行列式；方程组；矩阵的秩 On Block Matrixes and its Applications Xu Jian, School of Mathematics and Computer Science Abstract In the higher algebra, block matrix is a generalization of matrix content. In general, matrix elements are numbers. However, the block matrix is a large matrix which is divided into some small rectangular matricies, whose elements are matrix blocks. The introduction of the block matrix makes it more convenient to use matrix, and more powerful to solve relevant problems. So the application of the block matrix is much wider. This paper mainly studies the block matrix and its application in the calculation of determinant, such as solving linear equations, calculating inverse matrix, proving theorem related to the rank of matrix , etc. Keywords Block matrix; Determinant; System of equations; Rank of a matrix

分块矩阵的若干性质及其应用

分类号密级 U D C 编号本科毕业论文(设计) 题目分块矩阵的若干性质及其应用学院数学与经济学院专业名称应用统计学年级学生姓名 2017 年 4 月

文献综述一、概述矩阵是数学中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象，也是数学研究和应用的一个重要工具。分块矩阵是矩阵的一种特殊形式，对于一些高阶矩阵，形式表达上就比较抽象，运算上就更为繁杂，然而通过矩阵分块的方法达到降阶的目的。分块矩阵的若干性质及其应用是一个应用型的课题，是通过对分块矩阵的若干性质的掌握并应用于现实生活上的实际问题，它的应用范围非常广，远远不止于本文所列出的这几个方面，还有更广阔的应用有待于我们更加深入地去研究与探索。二、正文通过阅读居余马著作的《线性代数》一书中了解到，“矩阵”这个词是由西尔维斯特首先使用的，他是为了将数字的矩形阵列区别于行列式而发明了这个术语。而实际上，矩阵这个课题在诞生之前就已经发展的很好了。但是追根溯源，矩阵最早是出现在我国的《九章算术》中，在《九章算术》方程一章中，就提出了解线性方程各项系数、常数按顺序排列成一个长方形的形状，随后移动，就可以求出这个方程。从行列式的大量工作中明显的表现出来，为了很多目的，不管行列式的值是否与问题有关，方阵本身都可以研究和使用，矩阵的许多基本性质也是在行列式的发展中建立起来的。现阶段，分块矩阵的性质及其应用在各个方面都起着至关重要的作用，分块矩阵的应用非常广泛和深刻，特别是在高等代数和线性代数中的应用更加广阔，例如在计算行列式以及矩阵的秩等方面，都有着很重要的应用。但国内一些专家对其研究主要还是在证明和计算方面。林瑾瑜在《分块矩阵的若干性质及其在行列式计算中的应用》中，从行列式计算中的经常用到的性质出发，推导出分块矩阵的若干性质，并举例说明这些性质在行列式计算和证明问题中的应用。蔡铭晶在《例说分块矩阵的应用》中论述了分块矩阵的概念，举例说明和分析了分块矩阵在线性代数中的应用，包括利用分块矩阵求逆矩阵、求高阶行

逆矩阵的几种求法与解析(很全很经典)

逆矩阵的几种求法与解析矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法. 1.利用定义求逆矩阵定义: 设A、B 都是n 阶方阵, 如果存在n 阶方阵B 使得AB= BA = E, 则称A 为可逆矩阵, 而称B为A 的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用. 例1 求证: 如果方阵A 满足A k= 0, 那么EA是可逆矩阵, 且（E-A）1-= E + A + A2+…+A1-K 证明因为E 与A 可以交换, 所以 (E- A )(E+A + A2+…+ A1-K)= E-A K, 因A K= 0 ,于是得 (E-A)（E+A+A2+…+A1-K）=E，同理可得（E + A + A2+…+A1-K）(E-A)=E，因此E-A是可逆矩阵,且 (E-A)1-= E + A + A2+…+A1-K. 同理可以证明(E+ A)也可逆,且 (E+ A)1-= E -A + A2+…+（-1）1-K A1-K. 由此可知, 只要满足A K=0，就可以利用此题求出一类矩阵E±A的逆矩阵.

例2 设 A =? ? ?? ? ???? ???000030000020 0010,求 E-A 的逆矩阵. 分析由于A 中有许多元素为零, 考虑A K 是否为零矩阵, 若为零矩阵, 则可以采用例2 的方法求E-A 的逆矩阵. 解容易验证 A 2=???? ????? ???0000 000060000200， A 3=? ? ?? ? ? ? ?? ???0000 0000 00006000 ， A 4=0 而 (E-A)(E+A+ A 2+ A 3)=E,所以 (E-A)1-= E+A+ A 2+ A 3 =? ? ?? ? ???? ???1000 31006210 6211. 2.初等变换法求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法.如果A 可逆，则A 可通过初等变换，化为单位矩阵I ，即存在初等矩阵S P P P ,,21Λ使（1）s p p p Λ21A=I ，用A 1-右乘上式两端，得：（2） s p p p Λ21I= A 1- 比较（1）（2）两式，可以看到当A 通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单位矩阵I 作同样的初等变换，就化为A 的逆矩阵A 1-. 用矩阵表示（A I ）??? →?初等行变换为（I A 1-），就是求逆矩阵的初等行变换法，它是实际应用中比较简单的一种方法.需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初等变换.同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵.

分块矩阵求逆公式及证明

分块矩阵求逆公式及证明 12:,1,2)()()i -??=???? ??+-==- ?-?? 1112ii 2122-1-1-1-1-11112221111112222211112-1221112A A A =A A A A I A F A A A A F A F A A A A F A A F 定理　如果（的逆存在，则，其中??=???? ??????=?=???????????? +=??+=???+=?+=?1112212211121112112122212222111112211111121222211122212112222222B B A B B A B B A A B B I 0AB I A A B B 0I A B A B I A B A B 0A B A B 0A B A B I 证明: 设的逆为，其中与分块形式相同，则：(1) (2)(3) (4) ? 11(4)(2)()--??-=?=-=-1-1-122111222221112222222221112A A A B A A B I B A A A A F 11121(3)(1)-??-=-?=--1-1-1-121112222111122211122211 A A A B A A A B A A B B A A 2 2(2)(1)()=-=+-122121112-1-121111*********B B A A F B B A I A F A A 将代入方程可以得到：　将代入方程可以得到：　证毕。同理可得，A -1的另外一种表达形式为： 11,()()--??-==-??-+??-1-1-1111222111122221-1-122211 222221112F F A A A F A A A A A A F A I A F A 其中

分块矩阵求逆及其应用

. . . . . 目录摘要 (1) 引言 (2) 一、概述 (2) 二、分块矩阵的求逆及其应用 (5) 第一节２×２分块矩阵的可逆性存在条件和求逆公式及其应用 (5) 第二节3×3分块矩阵的可逆性存在条件和求逆公式及其应用 (14) 结束语 (21)

分块矩阵求逆及其应用东生（渤海大学数学系 121000 中国）摘要：对于分块矩阵，我们比较熟悉分块矩阵的乘法，而对于分块矩阵的求逆，经常遇到的是22?分块矩阵的逆的证明问题，很少涉及分块矩阵逆的计算，并且我们在实际问题中还会遇到33?分块矩阵（或更高阶的分块矩阵）的求逆问题，所以我们研究这样的分块矩阵的可逆性存在条件以及求逆公式显得很有意义。分块是否合理是分块矩阵运算是否简便的关键，所以本文开头便对分块方法做了总结。接着，本文研究了较为简单的22?分块矩阵的可逆性存在条件以及求逆公式，并予以证明，总结了研究方法，还深入探讨了22?分块矩阵中含有零块时的可逆性存在条件以及求逆公式。以22?分块矩阵的研究方法为基础，探讨研究了33?分块矩阵的可逆性存在条件以及求逆公式，并试证成功，还总结出研究更高阶分块矩阵求逆方法。此外本文不仅侧重理论研究，而且侧重于实际应用，在文中列举了大量典型的阶数较高的矩阵，对他们如何分块才能使求逆过程更为简单作出分析，并给出了求解过程，真正做到了“理论联系实际”。关键字：分块方法，分块矩阵，逆矩阵，可逆条件 Begging the negative matrix to a matrix of the cent and it ′s applying Li Dongsheng (Department of Mathsmatic Bohai University Liaoning Jinzhou 121000 China) Abstract: For a matrix of the cent, we relatively know with the multiplication of dividing a matrix. But for begging the negative matrix to a matrix of the cent, we usually meet is 2 the negative certificate problem of a matrix of cent of rank. It is seldom to involve to divide the calculation that a matrix inverse, and we also will meet in actual problem begging 3 the negative certificate problem of a matrix of cent of rank.(or a matrix of more high-level cent).So it is very meaningfully to study this character of inverse of existence condition of such a matrix of cent; to beg the negative formula whether cent is reasonable is the key of whether a matrix operation is simple. What is more, the beginning of thesis does the summary to a method of cent. Immediately, the thesis has studied simple 2 ranks to divide a piece of matrix and the existence condition of inverse character. Finally the thesis gives the evidence. The method has been given, and when there are zero-pieces in a matrix, the character of inverse condition and begging the

分块矩阵及其应用汇总

分块矩阵及其应用徐健, 数学计算机科学学院摘要：在高等代数中，分块矩阵是矩阵内容的推广. 一般矩阵元素是数量，而分块矩阵则是将大矩阵分割成小矩形矩阵，它的元素是每个矩阵块. 分块矩阵的引进使得矩阵工具的利用更加便利，解决相关问题更加强有力，所以其应用也更广泛. 本文主要研究分块矩阵及其应用，主要应用于计算行列式、解决线性方程组、求矩阵的逆、证明与矩阵秩有关的定理. 关键词：分块矩阵；行列式；方程组；矩阵的秩 On Block Matrixes and its Applications Xu Jian, School of Mathematics and Computer Science Abstract In the higher algebra, block matrix is a generalization of matrix content. In general, matrix elements are numbers. However, the block matrix is a large matrix which is divided into some small rectangular matricies, whose elements are matrix blocks. The introduction of the block matrix makes it more convenient to use matrix, and more powerful to solve relevant problems. So the application of the block matrix is much wider. This paper mainly studies the block matrix and its application in the calculation of determinant, such as solving linear equations, calculating inverse matrix, proving theorem related to the rank of matrix , etc. Keywords Block matrix; Determinant; System of equations; Rank of a matrix

分块矩阵求逆及其应用

目录摘要 (1) 引言 (2) 一、概述 (2) 二、分块矩阵的求逆及其应用 (5) 第一节２×２分块矩阵的可逆性存在条件和求逆公式及其应用 (5) 第二节 3×3分块矩阵的可逆性存在条件和求逆公式及其应用 (14) 结束语 (21)

分块矩阵求逆及其应用李东生（渤海大学数学系辽宁锦州 121000 中国）摘要：对于分块矩阵，我们比较熟悉分块矩阵的乘法，而对于分块矩阵的求逆，经常遇到的是22?分块矩阵的逆的证明问题，很少涉及分块矩阵逆的计算，并且我们在实际问题中还会遇到33?分块矩阵（或更高阶的分块矩阵）的求逆问题，所以我们研究这样的分块矩阵的可逆性存在条件以及求逆公式显得很有意义。分块是否合理是分块矩阵运算是否简便的关键，所以本文开头便对分块方法做了总结。接着，本文研究了较为简单的22?分块矩阵的可逆性存在条件以及求逆公式，并予以证明，总结了研究方法，还深入探讨了22?分块矩阵中含有零块时的可逆性存在条件以及求逆公式。以22?分块矩阵的研究方法为基础，探讨研究了33?分块矩阵的可逆性存在条件以及求逆公式，并试证成功，还总结出研究更高阶分块矩阵求逆方法。此外本文不仅侧重理论研究，而且侧重于实际应用，在文中列举了大量典型的阶数较高的矩阵，对他们如何分块才能使求逆过程更为简单作出分析，并给出了求解过程，真正做到了“理论联系实际”。关键字：分块方法，分块矩阵，逆矩阵，可逆条件 Begging the negative matrix to a matrix of the cent and it ′s applying Li Dongsheng (Department of Mathsmatic Bohai University Liaoning Jinzhou 121000 China) Abstract: For a matrix of the cent, we relatively know with the multiplication of dividing a matrix. But for begging the negative matrix to a matrix of the cent, we usually meet is 2 the negative certificate problem of a matrix of cent of rank. It is seldom to involve to divide the calculation that a matrix inverse, and we also will meet in actual problem begging 3 the negative certificate problem of a matrix of cent of rank.(or a matrix of more high-level cent).So it is very meaningfully to study this character of inverse of existence condition of such a matrix of cent; to beg the negative formula whether cent is reasonable is the key of whether a matrix operation is simple. What is more, the beginning of thesis does the summary to a method of cent. Immediately, the thesis has studied simple 2 ranks to divide a piece of matrix and the existence condition of inverse character. Finally the thesis gives the evidence. The method has been given, and when

矩阵的分块求逆及解线性方程组

实验4：矩阵的分块求逆及解线性方程组一、问题化已知矩阵为上三角矩阵，构造范德蒙矩阵，高阶非奇异矩阵的分块求逆，非齐次线性方程组的通解二、实验目的 1. 学会使用MATLAB 编程，实施初等变换将矩阵化为上三角矩阵 2. 掌握用循环语句由已知向量构造范德蒙矩阵 3. 了解高阶非奇异矩阵用不同分块法求逆矩阵的误差分析 4. 能根据由MATLAB 所求得的非齐次线性方程组增广矩阵的阶梯形的行最简形式写出线性方程组的通解三、预备知识（一）线性代数知识 1212n 22212n 111121.[,,,]111n n n n n x x x x n x x x x x x x x x ---=? ? ? ? ? ? ? ??? 由向量作出的阶范德蒙矩阵为 11121121 221112-12122111222221111212111222 111 212221111111122111A A 2.A =,A A B B A =,B B (),,A B A A A A B A A B B B A A B A B A A ------?? ????? ??? =-=-=-=- 分块矩阵其中为方的可逆矩阵块，求逆有如下公式：设则 122113. Frobenius A ()n n ij F i j a ===∑ ∑常用的矩阵范数为范数：（二）相关命令提示： 1. 输入语句：变量名=input （‘提示信息’） 2. for 循环 3. if 结构 4. 矩阵与向量的范数:norm(A) 5. 求矩阵A 的秩:rank(A) 6. 求矩阵A 的标准阶梯形：rref(A)