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分块矩阵求逆及其应用

. . . . .

摘要 (1)

引言 (2)

一、概述 (2)

二、分块矩阵的求逆及其应用 (5)

第一节２×２分块矩阵的可逆性存在条件和求逆公式及其应用

(5)

第二节3×3分块矩阵的可逆性存在条件和求逆公式及其应用

(14)

结束语 (21)

分块矩阵求逆及其应用

东生

（渤海大学数学系 121000 中国）

摘要：对于分块矩阵，我们比较熟悉分块矩阵的乘法，而对于分块矩阵的求逆，经常遇到的是22?分块矩阵的逆的证明问题，很少涉及分块矩阵逆的计算，并且我们在实际问题中还会遇到33?分块矩阵（或更高阶的分块矩阵）的求逆问题，所以我们研究这样的分块矩阵的可逆性存在条件以及求逆公式显得很有意义。分块是否合理是分块矩阵运算是否简便的关键，所以本文开头便对分块方法做了总结。接着，本文研究了较为简单的22?分块矩阵的可逆性存在条件以及求逆公式，并予以证明，总结了研究方法，还深入探讨了22?分块矩阵中含有零块时的可逆性存在条件以及求逆公式。以22?分块矩阵的研究方法为基础，探讨研究了33?分块矩阵的可逆性存在条件以及求逆公式，并试证成功，还总结出研究更高阶分块矩阵求逆方法。此外本文不仅侧重理论研究，而且侧重于实际应用，在文中列举了大量典型的阶数较高的矩阵，对他们如何分块才能使求逆过程更为简单作出分析，并给出了求解过程，真正做到了“理论联系实际”。关键字：分块方法，分块矩阵，逆矩阵，可逆条件

Begging the negative matrix to a matrix of the cent and

it ′s applying

Li Dongsheng

(Department of Mathsmatic Bohai University Liaoning Jinzhou 121000 China)

Abstract: For a matrix of the cent, we relatively know with the multiplication of dividing a matrix. But for begging the negative matrix to a matrix of the cent, we usually meet is 2 the negative certificate problem of a matrix of cent of rank. It is seldom to involve to divide the calculation that a matrix inverse, and we also will meet in actual problem begging 3 the negative certificate problem of a matrix of cent of rank.(or a matrix of more high-level cent).So it is very

meaningfully to study this character of inverse of existence condition of such a matrix of cent; to beg the negative formula whether cent is reasonable is the key of whether a matrix operation is simple. What is more, the beginning of thesis does the summary to a method of cent.

Immediately, the thesis has studied simple 2 ranks to divide a piece of matrix and the existence condition of inverse character. Finally the thesis gives the evidence. The method has been given, and when there are zero-pieces in a matrix, the character of inverse condition and begging the

negative formula are explored in the 2 ranks to divide a piece of matrix. In the basis of research method of 2 rank to divide a piece of matrix, the character of inverse, and begging the negative formula in 3 ranks to divide a piece of matrix are successfully proved, and also be summed up the method of begging the negative .In addition of this, this thesis not only lays particular emphasis

on the theories research, but also deals of high level matrix of typical model which are used in the thesis, and how they divide the piece to make begging negative process more simple is also be analyzed . The process of how to solve is also given. “Theories contact actual” is real attained

in this thesis.

key words:the method of dividing the matrix into pieces; a matrix of cent ;

negative matrix ; the condition that the matrix has a negative matrix.

引言

我们在处理一些多元线性方程组时，常常用系数矩阵，而且一般情况下，它们的阶数较高，在求解过程中，我们还要常常要求它们的逆．若要用普通的初等变换法，或求伴随矩阵法求逆都很麻烦．这时我们就应该考虑用分块矩阵法求矩阵的逆．我们知道并不是所有的矩阵都有逆，我们要求逆就应该判断矩阵是否可逆，然后再求逆．本文首先介绍了分块矩阵的定义以及常用的分块方法，重点介绍２×２分块矩阵和３×３分块矩阵的可逆性存在条件，并给出了普遍使用的求逆公式，而且文中还举了一些有代表性的例题，并讨论是如何分块，如何应用求逆公式的．一概述

１．分块矩阵的定义

在处理级数较高的矩阵是常用矩阵分块的方法．我们可以把大矩阵看成是由小矩阵组成的，就如矩阵是由数组成的一样．特别在运算中，把这些小矩阵当作数来处理，这就是所谓的矩阵分块．而把这样

的矩阵就叫做分块矩阵．２．常用的矩阵分块方法

①找零块

例如

1001

2101

0010

0000

可分块为

10|01

21|01

00|10

00|00

----

可表示为

A B

型

②找相同块

例如

1111

可分块为

11|11

----

可表示为

A A

A D

型

③找单位块

例如

1212

1100

1010

1001

可分块为

1|212

1|100

1|010

1|001

-----

可表示为

A B

C I

型（这里的

I表示３阶单位阵,本文中的I都表示单位阵）④化为分块上（下）三角阵

例如

2011

0121

0340

0002

可分块为

2|01|1

0|12|1

0|34|0

0|00|2

------

??可表示为

111213

2223

A A A

A A

型

⑤化为分块对角阵

例如

2000

0130

0240

0002

可分块为

2|00|0

0|13|0

0|24|0

0|00|2

------

可表示为

型

在具体的运算中，我们要根据运算灵活地分块，上述方法只是比较常用，我们可以灵活地运用，宗旨是使运算变得更加简便．此外，我们在矩阵加法和乘法的运算中，分块矩阵的维数必须加以限制，以使所定义的运算能够进行．我们称任何满足上面这种限制的矩阵分块关于所讨论的运算是相容的．对于加法，相容要求两个矩阵按同样的方式分块；而对于乘法，在矩阵Ａ与矩阵Ｂ相乘时，对Ｂ的一个分块方式，Ａ可以有几种分块方式与之相容，这时便要考虑哪种分块方式使运算更加简便．

例如Ａ＝

100

010

002

Ｂ＝

1010

0101

0110

ＡＢ＝？

解：我们可以把Ｂ分块为

10|10

01|01

01|10

-----

而这时若只考虑乘法

的相容性，Ａ可以分块为

10|0

01|0

00|2

---

，或

10|0

01|0

00|2

---

但是我们可以看到第一种分法中有单位块，对于乘法运算显然更简便.

ＡＢ＝2

2200I

A ?? ???．2

22122I I B B ?? ???＝2

22221

2222I I A B A B ??

???＝101001010220??

? ?

３．矩阵的逆

定义：n 阶方阵Ａ可逆，如果有n 阶方阵Ｂ，使ＡＢ＝ＢＡ＝Ｉ，

这里的Ｉ是n 阶单位阵．

而我们将要研究的分块矩阵的求逆，只不过是先将矩阵分块，然后再求逆．

二分块矩阵的求逆及其应用

第一节２×２分块矩阵的可逆性存在条件和求逆公式及其应用首先我们从最简单的2×2分块矩阵开始研究,如何求2×2分块矩阵的逆,用初等变换的方法,这是一个很好解决的问题.而我们重点研究一下这种类型的分块矩阵可逆性的存在条件及其普遍适用的求逆公式. 设A B M C D ??

= ???,A 为n 阶矩阵,B 与C 分别为n ×m 和m ×n 矩阵,D 为m 阶矩阵.

定理1.若A 可逆,则M 可逆?1D CA B --可逆.这时

[1]

111111111

11111()()()()A A B D CA B CA A B D CA B M D CA B CA D CA B --------------??

+---=

---?

证明: ? 由 110A B A B CA C D D CA B ---?????

→ ? ?

-????

∵M =A ?10D CA B --≠ 故11()D CA B ---存在.

由 1111110000()()n n m m A B I A

B I CA A

D I D CA B CA I D CA B -------??????→ ? ?---????

1111110000()()n n m m A B I A

B I CA A

D I D CA B CA I D CA B -------??????→ ?

?---?????

11111110

0()()n m I A B A A B I D CA B CA D CA B -------??

-?---??

111111111110()()0

()()n m

I A A B D CA B CA A B D CA B I D CA B CA D CA B -----------??

+---→ ?---??

即 111111111

11111

()()()()A A B D CA B CA A B D CA B M

D CA B CA D CA B --------------??

+---= ?---??

? 由1D CA B --可逆,可知1A -存在.

∵M =A ?10D CA B --≠, 故1M - 存在.

定理2. 若D 可逆,则M 可逆?1A BD C --可逆,这时 11111

111

11111()()()()A BD C A BD C BD M

D C A BD C D D C A BD C BD --------------??---= ?--+-??

证明方法同定理1,在此略去证明过程.

在此,我们还可以得出推论:

推论1:若B 可逆,则M 可逆? 1C DB A --可逆推论2:若C 可逆,则M 可逆? 1B AC D --可逆

通过以上的讨论,我们只要知道某一块可逆,运用定理及其推论就可以判断出M 是否可逆,如果可逆,我们就可以运用相应的求逆公式求出.我们在实际应用时,如果一个阶数较大的矩阵,找不到特殊的块(如零块,单位块,相同块等),或者不能化为特殊型(如分块对角阵,分块上(下)三角阵等),那么求它的逆运用分块的方法优势也就不明显了.而以上所研究的求逆条件和求逆公式的实用价值也就大打折扣.

而我们在实际计算当中,最常遇到的便是矩阵中含有零块的情况,下面我们来研究一下2×2分块矩阵中含有零块时,它的可逆性存在条件及

其可逆公式是什么形式的. 1. 分块矩阵中含有3个零块

即 000A ??

??? 、000B ??

??? 、 0

00C ??

??? 、000D ??

???

这种情况下,分块矩阵是不可逆的.

以第一种情况为例∵若A 可逆,而1D CA B --=0,是不可逆的 ∴M=000A ??

???

不可逆.(若A 不可逆,那么M 就更不可逆了) 2. 分块矩阵中有两个零块

Ⅰ. 分块矩阵的两个零块在同一行或同一列,即①00A B M ??

= ???

和②

00B M D ??= ???

,则这种分块矩阵不可逆. ∵ 由定理1可知,在①中若1A -存在, 1D CA B --=0不可逆.∴M 不可逆. ∵ 由推论1可知,在②中若1B -存在, 1C DB A --=0不可逆.∴M 不可逆.

Ⅱ.分块矩阵的两个零块不在同一行或同一列,即 ①00A M D ??= ???

和 ②00B M C ??

= ???

∵ 由定理1可知,在①中若1A -存在, 1D CA B --=D,只有当D 可逆时,M 才可逆. 代入求逆公式得 11

100A M

D ---??

= ???

,反过来,若D 可逆,也只有A 可逆时,M 才可逆. 1M -同前面的一样.

∵由推论1可知,在②中若1B -存在, 1C DB A --=C,只有当C 可逆时,M

分块矩阵求逆

一、分4块的矩阵求逆对于分块矩阵A B 求其逆在计量经济学，马尔科夫链等科目中常常遇到，本文综合了 C D，格林等文件，提供一个一般的汇总性文件，方便查阅。本文采用初等变化法求逆，假设先对矩阵进行了合适的分块并且灰色部分的逆存在： A B | I 0 C D | 0 I 第1行左乘-CA-1并加到第2行有： A B | I 0 0D-CA-1B | -CA-1I 第2行左乘-B(D-CA-1B)-1并加到第1行有： A 0 | I+ B(D-CA-1B)-1 CA-1-B(D-CA-1B)-1 0 D-CA-1B|-CA-1I 第1行左乘A-1，第2行左乘(D-CA-1B)-1后，右边的矩阵为原始矩阵的逆：

注意是左乘，右乘不行，因为右乘副对角线上的矩阵可能没法做矩阵乘法。二、分9块的矩阵求逆对于分9块的矩阵A=[A B C;D E F;G H K]求逆，可先把矩阵进行适当划分，使得以下各灰色部分可逆，然后分别左乘矩阵P和右乘矩阵Q，P、Q如下所示，易见P、Q均可逆。 P A Q I 0 0 | A B C | I -A-1B -A-1C -DA-1 I 0 | D E F | 0 I 0 = B(具体见下三行) -GA-10 I | G H K| 0 0 I A 0 0 0 E-DA-1B F-DA-1C [(K-GA-1C)-(H-GA-1B)(E-DA-1B)-1(F-DA-1C)] 0 H-GA-1B K-GA-1C 要求各灰色部分可逆

可见大矩阵B的逆主要是求其右下角的逆，而这是个分四块矩阵，用第一部分方法即可求得。因为PAQ=B，所以A=P-1BQ-1，A-1=QB-1P，经过最终计算，A-1表示如下: 其中： M=(E-DA-1B)-1+(E-DA-1B)-1(F-DA-1C)[(K-GA-1C)-(H-GA-1B)(E-DA-1B)-1(F-DA-1C)]-1 (H-GA-1B)(E-DA-1B)-1 N=-(E-DA-1B)-1(F-DA-1C)[(K-GA-1C)-(H-GA-1B)(E-DA-1B)-1(F-DA-1C)]-1 R=-[(K-GA-1C)-(H-GA-1B)(E-DA-1B)-1(F-DA-1C)]-1 (H-GA-1B)(E-DA-1B)-1 S=[(K-GA-1C)-(H-GA-1B)(E-DA-1B)-1(F-DA-1C)]-1 此方法原则上还可依此递推至分为n2块矩阵求逆。

分块矩阵求逆公式及证明

分块矩阵求逆公式及证明 A 12 ,如果A ii (i=1,2)的逆存在，则 A 22 A 11 B 12 * A 12B 22 A 21B 11 A 22B 21 A 21 B 12 A 22B 22 将B 22代入方程(2)可以得到： B q 厂-A -1|A 12F 2 将B/弋入方程(1)可以得到： B qi = A ；；(I iq + A 12F 2A 21A ；1) 证毕。同理可得，A ；1的另外一种表达形式为： F -F -1A A -1 1 A I ；；；；； 1 12 22 ,其中 F 广(A ii-A i2A 22；；A 2i ) A - -1 -1 -1 化 1 A 11 (I + A 12F 2A 21A 11 ) _A 11A 12F 2 ； -F 2A 21A 11 F 2 其中 F 2= (A 2^A 21A 11A 12 F 1 证明: 设A 的逆为B 二 B 11 _B 21 B B ：，其中B 与A 分块形式相同'则: A 11 A 12 B 11 A 22 _ -B 21 B q? I 11 B 22H 22 - A 11B 11 A 12B 21 111 (1 ) 定理: A= A 11 A 21 ⑷- A 21A -?⑵二 A 22 B 22 -1 - A 21A 11B 22 -1 1 1 22 = B 22 二(A 22 一 A 21A 11A 12) F 2 (3) - A 21A 11 (1) — A 22B 21 - A 21A 11A 12B 21 =-A 21A -1 二 B 21 二一 B 22A 21A 11

矩阵的分块求逆及解线性方程组

实验3 矩阵的分块求逆及解线性方程组一、问题化已知矩阵为上三角矩阵，构作范德蒙矩阵，高阶非奇异矩阵的分块求逆，求非齐次线性方程组的通解。二、实验目的学会用Matlab 语言编程，实施矩阵的初等变换将已知矩阵化为上三角矩阵；掌握用循环语句由已知向量构造范德蒙矩阵；了解高阶非奇异矩阵用不同分块法求逆矩阵的误差分析；能根据由软件求得的非齐次线性方程组增广矩阵的阶梯型的最简形式写出线性方程组的通解。三、预备知识 1．线性代数知识：（1）向量},,,{21n x x x X =作出的 n 阶范德蒙矩阵为 ??? ?? ??? ??---112112222 1 21111 n n n n n n x x x x x x x x x （2）分块矩阵???? ??=2221 1211A A A A A ，其中11A 为方的可逆子块，求逆矩阵有如下公式：设??? ? ??=-2221 1211 1 B B B B A ，则2212111121 12111212222,)(B A A B A A A A B ----=-=， 1 11211211111111212221,----=-=A A B A B A A B B （3）常用的矩阵范数为Frobenius 范数；2 1112||||||??? ? ??=∑∑==n i n j ij F a A 2．本实验所用Matlab 命令提示：（1）输入语句：input('输入提示')；（2）循环语句：for 循环变量=初始值：步长：终值循环语句组 end （3）条件语句： if(条件式1) 条件块语句组1 elseif(条件式2) 条件块语句组2 else 条件块语句组3 end （4）矩阵和向量的范数：norm(A)；（5）求矩阵A 的秩：rank （A ）；（6）求矩阵A 的阶梯型的行最简形式：rref(A)。

(完整版)逆矩阵的几种求法与解析(很全很经典)

逆矩阵的几种求法与解析矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法. 1.利用定义求逆矩阵定义: 设A 、B 都是n 阶方阵, 如果存在n 阶方阵B 使得AB= BA = E, 则称A 为可逆矩阵, 而称B 为A 的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用. 例1 求证: 如果方阵A 满足A k= 0, 那么EA 是可逆矩阵, 且（E-A ）1-= E + A + A 2+…+A 1-K 证明因为E 与A 可以交换, 所以 (E- A )(E+A + A 2+…+ A 1-K )= E-A K , 因A K = 0 ,于是得 (E-A)（E+A+A 2+…+A 1-K ）=E ，同理可得（E + A + A 2+…+A 1-K ）(E-A)=E ，因此E-A 是可逆矩阵,且 (E-A)1-= E + A + A 2+…+A 1-K . 同理可以证明(E+ A)也可逆,且 (E+ A)1-= E -A + A 2+…+（-1）1-K A 1-K . 由此可知, 只要满足A K =0，就可以利用此题求出一类矩阵E ±A 的逆矩阵. 例2 设 A =? ? ?? ? ???? ???0000 30000020 0010,求 E-A 的逆矩阵. 分析由于A 中有许多元素为零, 考虑A K 是否为零矩阵, 若为零矩阵, 则可以采用例2 的方法求E-A 的逆矩阵. 解容易验证

A 2 =????????? ???0000000060000200， A 3=? ? ?? ? ? ? ?? ???00000000 00006000 ， A 4=0 而 (E-A)(E+A+ A 2+ A 3)=E,所以 (E-A)1-= E+A+ A 2+ A 3= ? ? ?? ? ???????1000 31006210 6211. 2.初等变换法求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法.如果A 可逆，则A 可通过初等变换，化为单位矩阵I ，即存在初等矩阵S P P P ,,21Λ使（1）s p p p Λ21A=I ，用A 1-右乘上式两端，得：（2） s p p p Λ21I= A 1- 比较（1）（2）两式，可以看到当A 通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单位矩阵I 作同样的初等变换，就化为A 的逆矩阵A 1-. 用矩阵表示（A I ）??? →?初等行变换为（I A 1-），就是求逆矩阵的初等行变换法，它是实际应用中比较简单的一种方法.需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初等变换.同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵. 例1 求矩阵A 的逆矩阵.已知A=???? ? ?????521310132. 解 [A I]→??????????100521010310001132→???? ? ?????001132010310100521 → ??????????--3/16/16/1100010310100521→???? ??????-----3/16/16/110012/32/10103/46/136/1001

逆矩阵的几种求法与解析(很全很经典)

逆矩阵的几种求法与解析矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法. 1.利用定义求逆矩阵定义: 设A、B 都是n 阶方阵, 如果存在n 阶方阵B 使得AB= BA = E, 则称A 为可逆矩阵, 而称B为A 的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用. 例1 求证: 如果方阵A 满足A k= 0, 那么EA是可逆矩阵, 且（E-A）1-= E + A + A2+…+A1-K 证明因为E 与A 可以交换, 所以 (E- A )(E+A + A2+…+ A1-K)= E-A K, 因A K= 0 ,于是得 (E-A)（E+A+A2+…+A1-K）=E，同理可得（E + A + A2+…+A1-K）(E-A)=E，因此E-A是可逆矩阵,且 (E-A)1-= E + A + A2+…+A1-K. 同理可以证明(E+ A)也可逆,且 (E+ A)1-= E -A + A2+…+（-1）1-K A1-K. 由此可知, 只要满足A K=0，就可以利用此题求出一类矩阵E±A的逆矩阵.

例2 设 A =? ? ?? ? ???? ???000030000020 0010,求 E-A 的逆矩阵. 分析由于A 中有许多元素为零, 考虑A K 是否为零矩阵, 若为零矩阵, 则可以采用例2 的方法求E-A 的逆矩阵. 解容易验证 A 2=???? ????? ???0000 000060000200， A 3=? ? ?? ? ? ? ?? ???0000 0000 00006000 ， A 4=0 而 (E-A)(E+A+ A 2+ A 3)=E,所以 (E-A)1-= E+A+ A 2+ A 3 =? ? ?? ? ???? ???1000 31006210 6211. 2.初等变换法求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法.如果A 可逆，则A 可通过初等变换，化为单位矩阵I ，即存在初等矩阵S P P P ,,21Λ使（1）s p p p Λ21A=I ，用A 1-右乘上式两端，得：（2） s p p p Λ21I= A 1- 比较（1）（2）两式，可以看到当A 通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单位矩阵I 作同样的初等变换，就化为A 的逆矩阵A 1-. 用矩阵表示（A I ）??? →?初等行变换为（I A 1-），就是求逆矩阵的初等行变换法，它是实际应用中比较简单的一种方法.需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初等变换.同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵.

分块矩阵求逆公式及证明

分块矩阵求逆公式及证明 12:,1,2)()()i -??=???? ??+-==- ?-?? 1112ii 2122-1-1-1-1-11112221111112222211112-1221112A A A =A A A A I A F A A A A F A F A A A A F A A F 定理　如果（的逆存在，则，其中??=???? ??????=?=???????????? +=??+=???+=?+=?1112212211121112112122212222111112211111121222211122212112222222B B A B B A B B A A B B I 0AB I A A B B 0I A B A B I A B A B 0A B A B 0A B A B I 证明: 设的逆为，其中与分块形式相同，则：(1) (2)(3) (4) ? 11(4)(2)()--??-=?=-=-1-1-122111222221112222222221112A A A B A A B I B A A A A F 11121(3)(1)-??-=-?=--1-1-1-121112222111122211122211 A A A B A A A B A A B B A A 2 2(2)(1)()=-=+-122121112-1-121111*********B B A A F B B A I A F A A 将代入方程可以得到：　将代入方程可以得到：　证毕。同理可得，A -1的另外一种表达形式为： 11,()()--??-==-??-+??-1-1-1111222111122221-1-122211 222221112F F A A A F A A A A A A F A I A F A 其中

分块矩阵求逆及其应用

. . . . . 目录摘要 (1) 引言 (2) 一、概述 (2) 二、分块矩阵的求逆及其应用 (5) 第一节２×２分块矩阵的可逆性存在条件和求逆公式及其应用 (5) 第二节3×3分块矩阵的可逆性存在条件和求逆公式及其应用 (14) 结束语 (21)

分块矩阵求逆及其应用东生（渤海大学数学系 121000 中国）摘要：对于分块矩阵，我们比较熟悉分块矩阵的乘法，而对于分块矩阵的求逆，经常遇到的是22?分块矩阵的逆的证明问题，很少涉及分块矩阵逆的计算，并且我们在实际问题中还会遇到33?分块矩阵（或更高阶的分块矩阵）的求逆问题，所以我们研究这样的分块矩阵的可逆性存在条件以及求逆公式显得很有意义。分块是否合理是分块矩阵运算是否简便的关键，所以本文开头便对分块方法做了总结。接着，本文研究了较为简单的22?分块矩阵的可逆性存在条件以及求逆公式，并予以证明，总结了研究方法，还深入探讨了22?分块矩阵中含有零块时的可逆性存在条件以及求逆公式。以22?分块矩阵的研究方法为基础，探讨研究了33?分块矩阵的可逆性存在条件以及求逆公式，并试证成功，还总结出研究更高阶分块矩阵求逆方法。此外本文不仅侧重理论研究，而且侧重于实际应用，在文中列举了大量典型的阶数较高的矩阵，对他们如何分块才能使求逆过程更为简单作出分析，并给出了求解过程，真正做到了“理论联系实际”。关键字：分块方法，分块矩阵，逆矩阵，可逆条件 Begging the negative matrix to a matrix of the cent and it ′s applying Li Dongsheng (Department of Mathsmatic Bohai University Liaoning Jinzhou 121000 China) Abstract: For a matrix of the cent, we relatively know with the multiplication of dividing a matrix. But for begging the negative matrix to a matrix of the cent, we usually meet is 2 the negative certificate problem of a matrix of cent of rank. It is seldom to involve to divide the calculation that a matrix inverse, and we also will meet in actual problem begging 3 the negative certificate problem of a matrix of cent of rank.(or a matrix of more high-level cent).So it is very meaningfully to study this character of inverse of existence condition of such a matrix of cent; to beg the negative formula whether cent is reasonable is the key of whether a matrix operation is simple. What is more, the beginning of thesis does the summary to a method of cent. Immediately, the thesis has studied simple 2 ranks to divide a piece of matrix and the existence condition of inverse character. Finally the thesis gives the evidence. The method has been given, and when there are zero-pieces in a matrix, the character of inverse condition and begging the

分块矩阵求逆及其应用

目录摘要 (1) 引言 (2) 一、概述 (2) 二、分块矩阵的求逆及其应用 (5) 第一节２×２分块矩阵的可逆性存在条件和求逆公式及其应用 (5) 第二节 3×3分块矩阵的可逆性存在条件和求逆公式及其应用 (14) 结束语 (21)

分块矩阵求逆及其应用李东生（渤海大学数学系辽宁锦州 121000 中国）摘要：对于分块矩阵，我们比较熟悉分块矩阵的乘法，而对于分块矩阵的求逆，经常遇到的是22?分块矩阵的逆的证明问题，很少涉及分块矩阵逆的计算，并且我们在实际问题中还会遇到33?分块矩阵（或更高阶的分块矩阵）的求逆问题，所以我们研究这样的分块矩阵的可逆性存在条件以及求逆公式显得很有意义。分块是否合理是分块矩阵运算是否简便的关键，所以本文开头便对分块方法做了总结。接着，本文研究了较为简单的22?分块矩阵的可逆性存在条件以及求逆公式，并予以证明，总结了研究方法，还深入探讨了22?分块矩阵中含有零块时的可逆性存在条件以及求逆公式。以22?分块矩阵的研究方法为基础，探讨研究了33?分块矩阵的可逆性存在条件以及求逆公式，并试证成功，还总结出研究更高阶分块矩阵求逆方法。此外本文不仅侧重理论研究，而且侧重于实际应用，在文中列举了大量典型的阶数较高的矩阵，对他们如何分块才能使求逆过程更为简单作出分析，并给出了求解过程，真正做到了“理论联系实际”。关键字：分块方法，分块矩阵，逆矩阵，可逆条件 Begging the negative matrix to a matrix of the cent and it ′s applying Li Dongsheng (Department of Mathsmatic Bohai University Liaoning Jinzhou 121000 China) Abstract: For a matrix of the cent, we relatively know with the multiplication of dividing a matrix. But for begging the negative matrix to a matrix of the cent, we usually meet is 2 the negative certificate problem of a matrix of cent of rank. It is seldom to involve to divide the calculation that a matrix inverse, and we also will meet in actual problem begging 3 the negative certificate problem of a matrix of cent of rank.(or a matrix of more high-level cent).So it is very meaningfully to study this character of inverse of existence condition of such a matrix of cent; to beg the negative formula whether cent is reasonable is the key of whether a matrix operation is simple. What is more, the beginning of thesis does the summary to a method of cent. Immediately, the thesis has studied simple 2 ranks to divide a piece of matrix and the existence condition of inverse character. Finally the thesis gives the evidence. The method has been given, and when

矩阵的分块求逆及解线性方程组

实验4：矩阵的分块求逆及解线性方程组一、问题化已知矩阵为上三角矩阵，构造范德蒙矩阵，高阶非奇异矩阵的分块求逆，非齐次线性方程组的通解二、实验目的 1. 学会使用MATLAB 编程，实施初等变换将矩阵化为上三角矩阵 2. 掌握用循环语句由已知向量构造范德蒙矩阵 3. 了解高阶非奇异矩阵用不同分块法求逆矩阵的误差分析 4. 能根据由MATLAB 所求得的非齐次线性方程组增广矩阵的阶梯形的行最简形式写出线性方程组的通解三、预备知识（一）线性代数知识 1212n 22212n 111121.[,,,]111n n n n n x x x x n x x x x x x x x x ---=? ? ? ? ? ? ? ??? 由向量作出的阶范德蒙矩阵为 11121121 221112-12122111222221111212111222 111 212221111111122111A A 2.A =,A A B B A =,B B (),,A B A A A A B A A B B B A A B A B A A ------?? ????? ??? =-=-=-=- 分块矩阵其中为方的可逆矩阵块，求逆有如下公式：设则 122113. Frobenius A ()n n ij F i j a ===∑ ∑常用的矩阵范数为范数：（二）相关命令提示： 1. 输入语句：变量名=input （‘提示信息’） 2. for 循环 3. if 结构 4. 矩阵与向量的范数:norm(A) 5. 求矩阵A 的秩:rank(A) 6. 求矩阵A 的标准阶梯形：rref(A)