九年级数学：一元二次方程根与系数的关系练习题(有答案)
、单项选择
题: 一元二次方程根与系数的关系习题
1.关于x 的方程ax 2 2x 1 0中,如果a 0,那么根的情况是( B ) (A) (C) 有两个相等的实数根 没有实数根 (B)有两个不相等的实数根 (D)不能确定 解: (2)2 4a 4a 0 原方程有两个不相等的实数根.
2.设 (A) 解: X i 4 4a 4 4a 0 X 1,X 2是方程2x 2
15 (B) 12 方程两根为 X 2
3, x 1x 2 6x (C) 6 X i, X 2 3 0的两根,那么 (D) 3 2 X 1 3.以下方程中,有两个相等的实数根的是(
(A)
2y 2+5=6y (B) x 2+5=2 5 x (C) 3 x 2 (此题为找出 0〞的方程即可)
2 X 1 2 X 2
2 X 2的值是( (X i 32
B ) —2 x+2=0 4.以方程X 2
+2X —3=0的两个根的和与积为两根的 (A) y 2+5y —6=0 (B) y 2+5y + 6=0 解：设方程两根为
X1, X2,那
么: x 1 x 2 2, x 1x 2
3为根的一元二次方程为 5.如果X 1, X 2是两个不相等实数,
且满足 (A) 2
(B) -2 X 2)2 21 2x 1x 2 (D) 3x 2—2^x+1=0 二次方程是 (C) y 2-5y + 6=0 (D) 2 - y [( 2)( 3)]y ( 即：y (C) 5y
解：X ：
2
2x 1 1, x 2 2X 2 x n X 2可看作是方程x
2x 二、填空题: 1、如果 二次方程 4x k 2 解：方程X 2 4x k 2
有两个相等的实数根
2
X 1 2x 1
2
X
2
(D)
的两根
X 1X
2
2)( 3) 0
2x 2 1,那么X i ? X 2等于
0有两个相等的实数根,那么 k= 2.
16 4k 2
2、如果关于x的方程2x2(4 k 1)x 2k20有两个不相等的实数根,那么k的取值范围是
k 9.解：方程2x2 (4 k 1)x 2k2 1 0 8k
有两个不相等的实数根
[(4k 1)]2 8(2k21
)
3、x1,x2是方程2x27x 4 0的两根,那么x1
7 2 x2 = 一 , x〔x? = 2 , (x1 x2)= 2
(x1 x2)2 4x1 x227
4、假设关于x的方程(m2 2)x2 (m 2)x 1 0的两个根互为倒数,那
么
m = d3.解：设方程两根为x1, x2,那么: ,3
2
[(m 2)]2 2
4(m2 2) 0 方程两根互为倒数 2
[(m 2)]2 2
4(m2 2) 0
1
4x2 - ------- 1
m 2
m = 4时,方程mx 4 0有两个相等的实数根;
解: 方程x2mx 4 0有两个相等的实数根
解:
m216
m 4且m 0时,方程mx24x 1 0有两个不相等的实数根; 方程mx24x 1 0有两个不相等的实数根
16 4m 0 且m 0
4且m 0时,原方程有两个不相等的实数根.
6、关于x的方程10x2 (m 3)x m 7 0,假设有一个根为0,那么m=7,这时方程的另一个根是1；假设
…,
3 … 八、,、………
8 ■
两根之和为一工,那么m = 9,这时方程的 两个本!!为X 1
x 2 1.
5
—— 5
解 乂1)设方程 10x 2 (m 3)x m 7 0
m 7 y
---------- ②
10
由②,得:
(5x 8)( x 1) 0
m 7, x 1 1时,方程一根为0 x
8
或x 1
5
7、如果x 2 2(m 1)x m 2 5是一个完全平方式,那么
方程x 2 2( m 1)x m 2 5 0W 两个相等实根
m 2
[2(m 1)]2 4(m 2 5) 0
8、方程2x(mx 4) x 2 6没有实数根,那么最小的整数 m = 2； 解：将方程 2x( mx 4) x 2 6
48 m 88 0
化简,得：(2m 1)x 2 8x 6 0
原方程没有实数根
64 24 (2m 1) 0
另一根为 X i,那
么:
10
m 7
10
0 X i m 3 —— a 10 、一 一 3
原方程两根之和为 -
5
将m 7代入①,得:
原方程可化为：5x 2 3x 8 0
9、方程2(x 1)(x 3m) x(m 4)两根的和与两根的积相等,那么
m =2;
(2)设原方程两根为a 、b,那么:
0?X i
10 5
m =2 ；
解：令 x 2 2( m 1)x m 2 5 0 4(m 2 2m 1) 4m 2 20 0
x 2 2(m 1)x m 2 5是完全平方式
8m 16 0
x 1 1 11 m -
6
最小整数m 为2
解：将方程 2(x 1)(x 3m) x(m 4)
化简,得：2x 2 (7m 2)x 6m 0 设方程两根为x1,x 2,那么：
7m 2
x 1 x 2 ---, x 1x 2 3m
方程两根的和与两根的积相等
m 2
当 m 2时,
[(7m 2)]2 48m 0
将m 8代入①,得：
n 2
将m 8, n
2代入③,得: k 8 ( 2)
16
k 16
解：原方程有实数根
3 m -
4 3 .
当m -时,原万程有两个实数 根.
4
解：方程两根为2、；3和2 73
,(2 .3)- (2 、3) p , (2 .,3)(2 .3) q
解之,得:
10、设关于x 的方程x 2 6x k
0的两根是m 和n ,且3m 2n
20,那么k 值为16;
①X 2-③,得:
当 k
16时, 36 4k 0
11、假设方程 x 2 (2m 1)x m 2 1 0有实数根,那么 m 的取值范围是 m
12、一元二次方程 x 2
px q 0两个根分别是2
73 和 2 13,那么 p= 4 ,q= 1;
7m 2 2
3m
解：m 、n 是方程的两根
r m n 6
①
* mn k ②
I 3m 2n 20 ③
4m 3
[(2m 1)]2 4(m 2 1) 0
1,2
4m 4m 14m
4 0
p 4
'' q 1 p
4, q 1
13、方程3x219x m 0的一个根是1,那么它的另一个根是
16
X — , m=16;
3
解：设方程的另一根为X i,那么:
m 16
m
X
1 3
当a 16时, 19212a 0
由①,得：X116
方程另一根为
16
m 1&
方16 , _ 口
将X 一代入②,得:
3
14、假设方程x2mx 1 0的两个实数根互为相反数,那么m的值是0;
解：设方程两根为X1,X2,那
么:
x1 x2m 0
时,
m2 4 0 方程两根互为相反数0时,原方程两根互为相反数.
X
1
x2m 0
15、m、n是关于x的方程x2(2m 1)X m2 1 0的两个实数根,那么代数式m n =
1o
解: m、n是方程的两根将①代入②,得:
m n 2m 1 m(m 1
)
2
mn m
化简,得: 1代入①,得:
2
mn m (1)2
16、方程X23x 1 0 的两个根为a ,3,那么a +3=3, "3=1;
17、如果关于x的方程x24x m 0与x2x 2m 0有一个根相同,那么m的值为0或3 ;
解：方程有一个相同的根将x m代入x24x m 0,得:
2 , 2 c
x 4x m x x 2m 2
m 4m m 0
(4 1)x 2m m m(m 3) 0
这个相同的根为:
18、方程2x23x 0的两根之差为22 ,那么k= 2;
解：设方程两根为x1, x2
, 那
么:
2k
25
4
x i x2 21 2
2
时,
9 8k 0
(x i x2)225
4
关于x的方程2x23x k 0两根
19、解:
20
、解: x1 x2)24x1 x2
25
4
、,,1 ,
差为2—时,k 2
2
假设方程
x2
(a22)x 3 0的两根是1和一3,那么a= 2; 方程两根1和
(3) (a2 2)
D、假设关于x的方
程
设方程两根为义, x2
, x2 2(m 1), x1x2
方程两根互为倒数
2
x1 x2 4m 1
2(m
那
么:
4m2
1)x 4m20有两个实数根,且这两个根互为倒数,
②、关于x的一元二次方程(a2 1)x2
F 1
那么m的值为一；
2
[2(m 1)]2
[2(m 1)]2
16m2
16m2
(a 1)x 1 0两根互为倒数,那么a=J2.
a 1 x 1 x 2
2——,
x 1 x 2
a 1
方程两根互为倒数
1 a
2 1
当 a
.2时, (a 1)2 4(a 2 1) 0 当 a
..2时,
(a 1)2
4(a 2 1) 0
a .. 2
a 2 1 1
解：设方程的另一根为 x v 那么:
a . 2 1
当 a 2 1时,
2 4a 0
方程另一根为x 1, a .2 1
将x 1 1代入②,得:
36 4k 4
k 8
k 8寸,
36 4k 0
(2)
关于x 的方程x 6x k 0的两根
23、方程2x 2 mx 4
0两根的绝对值相等,那么 m=0
o
x 〔 x 2
差为2时,k 8.
解：设方程两根为x1, x 2,那么:
a 、,2
21、如果关于x 的一元二次方程x 2 J2x a 0的一个根是1— &,那么另一个根是 x 1,a 的值为J2 1.
解：设方程两根为x1, x 2,那么: 当 x 〔 x 2时,x 〔 x 2 0
x 1 x 2
x 1x 2 x 1 x 2
1 a
2 1
( 1 V2 x 1 <2
①
1(1 &)x 〔 a ②
由①,得：x 1 22、如果关于x 的方程x 2 6x k
0的两根差为2,那么k=8.
解：设方程两根为x1, x 2,那么:
x 1 x 2 6, x 1x 2 k x 1 x 2 2
(x 〔 x 2)2
4
2
(x 1 x 2) 4x 1 x 2
4
x1 X2M£X1x2
当x i x2 时,m2 32 0 m232 0
当m 0时, m232 0 2x2mx 4 0两根绝对值相等时,m 0.
x i x2
qx r 0( p 0)的两根为0和一1,贝U q ： p=1:1.
解: 设方程两根为x2
, 那
么:
方程两根为0和
x i X29
p
(1)
25、方程3x2x 1 0 ,要使方程两根的平方和为
13
—
,
9
那么常数项应改为2.
解: 设方程两根为xi, x2, (¥2m
3
13
9
并设方程的常数项为i 6m 13
x i x2 1 3,x/2
2
x i 2 x2 13
9
2
时,
i 12m 0
x2)22X1X213
9
常数项应改为2.
26、方程x24x 2m 0的一个根a比另一个根3小4,那么a = 4 ;=0 ；
m=0 .
解：据题意,得：
「 4 ①
< 2m ②
1 4③
①+③,得：4将4代入①,得：0
将4, 0代入②,得：m 0
当m 0时, 16 8m 0
4, 0, m 0
2 1 1
3 1 27、关于x的万程x 3mx 2(m 1) 0的两根为x1,x2,且———一,那么m= 一.
24、一元二次方程px2
解：设方程2x 2 3x
两根为x1,x 2,那么:
9-
0 m -时,方程有两个正根
8
m 0
当m 0时,方程有一根为0.
(2)、方程有一个正根,一个 负根 三、解答以下各题：
1、3-也 是方程x 2 mx 7 0的一个根,求另一个根及 m 的值. 解：设方程的另一根为刈,那么:
(3 j2)x1 7
②
答：方程另一根为3 <2 ,
由②,得：x 1
3 22
m 6.
解：方程两根为x 1, x 2,那么:
X i X 2 3 x 1 x 2 4 3m 3 x 1 x 2 3m, x 1x 2 2(m 1) 一
2(m 1)
4
1 1 3 一— — 12m 6( m 1)
x 1 x 2 4 m 1时, (3m)2 8(m 1) 0
3
28、关于x 的方程2x 2 3x m _ _ 9 .................................. 0,当0 m 一时,万程有两个正数根；当
8
m 0时,方程有一个正根,
个负根；当m 0时,方程有一个根为 0.
x 1 x 2 (1)、方程有两个正数根 方程有一个正根,一个负根
9 8m 0
x 1, x 2 m 0
又方程有两个正数根 9 8m 0
9 m
8
m 0
当m 0时,方程有一正一负两个根
(3)、方程有一根为0
x 1, x 2
3 2
将x1 3 代入①,得：
2、m取什么值时,方程2x2 (4m 1)x 2m2 1 0
(1)有两个不相等的实数根,(2)有两个相等的实数根,(3)没有实数根；
解：(4 m 1)2 8(2m2 1)
16m28m 1 16m28
8m 9
(1)有两个不相等的实数根
8m 9 0
9 m -
8
, 9-
当m -时,原方程有两个8
不相等的实数根.
(2)有两个相等的实数根
3、求证：方程(m2 1)x2 2mx (m2 4)
证实：(2m)2 4(m2 1)(m2 4)
4m2 4(m4 5m2 4)
4m416m216
4(m4 4m2 4)
2 2
4(m2 2)2
4、求证：不管k为何实数,关于x的式子(x
解：令(x 1)(x 2) k2 0
即:
8m 9 0
9 m
8
, 9-
当m -时,原方程有两个
8
相等的实数根.
(3)没有实数根
8m 9 0
9 m
8
当m 9时,原方程无实根.
8
0没有实数根.
m22 0
4(m2 2)2 0
即：0
方程(m2 1)x2 2mx (m2 4) 0
没有实数根.
2
1)(x 2) k都可以分解成两个一次因式的积.
x2 33x 2 k20
9 4(2 k2)
4k21
4k20
2
4k 1 0
方程(x 1)(x 2) k2 0
有两个不相等的实数根
不管k为何实数,关于x的式子 2 .... (x 1)(x 2) k都可以分解成两个
一次因式的积.
解：令2x2 (4k 1)x 2k2 1 0 8k 9 0
a是实数,且方程x22ax 10有两个不相等的实根,试判别方程
x2 2ax 1 1(a2x2 a2 1)
2
解：x2 2ax 1 1(a2x2 a2 2 0有无实根？
1) 0 4a24 0
0 a21
4a44,20 a220
4a4 20a2 24 0
即：0
4a420a224 2 12 2 2
万程x 2ax 1 -(ax a 1) 0
7、关于x的方程mx2nx 2 0两根相等,方程x24mx 3n 0的一个根是另一个根的3倍.求证: 方程x2 (k n)x (k m) 0 一定有实数根.
2 2 2 2 」2x 4ax 2 a x a 1 (2 a2)x2 4ax a2
3 0
16a2 4(2 a2)(a2 3)
16a2 4(2 a2)(a2 3)
5、当k取什么实数时,二次三项式2x2 2 ,
(4k 1)x 2k 1可因式分解当2x2 (4k 1)x 2k2 1 0 有两
个实根时,原二次项式可因式分解
2 2
(4k 1)2 8( 2k2 1) 0 2x2
9 , 一,
-时,二次三项式8
(4 k 1)x 2k2 1可因式分解.
方程x22ax 1 0有两个不等实根有两个不相等的实数根.
m 2 n 4
将m 2, n 4代入方程
x 5 (k n)x (k m) 0得： x 2 (k 4)x (k 2) 0#： (k 4)2 4(k 2)
k 2 8k 16 4k 8 k 2 4k 24
2
(k 2)2
20
2
(k 2)2 0 (k 2)2 20 0
方程 x 2 (k n)x (k m) 0 一定有实数根.
2
5mx 3n 0的两根之比为 2 : 3,方程x 2nx 8m 0的两根相等(mnw0).求证：对
的两根比为2:3
设此方程两根为2a 和3a,那么:
i
5
2a 3a m
I
2
3 2a?3a -n
2
n m 2
①
mx 2 (n k 1)x k 1 0#： 2x 2 (4 k 1)x k 1 0
2
(3 k)2
8( k 1) _ _
2 一 一
9 6k k 8k 8 k 2 2k 1
5
2
证实： 方程2x 5mx 3n 0 将m 2, n 4代入方程
证实：方程mx nx 2 0 两根相等
m 0 2
n 8m 0
①
方程 x 2 4mx 3n 0 一根是另一根的 设方程一根为
x 1 3x 1 x 1 ?3x 1
2
n m
将②代入①,得：
4
m 8m 0
m(m 3 8) 0
m 0 或 m 2 m 0
3倍
x 1,另一根为3x 1,那么: 4m 3n
2)
8、方程
2x 2
方程x22nx 8m 0两根相等 2
(k 1)2 4n232m 0 (k 1)2 0
8m
8m 对于任意实数k,方程m(m3 8) 2
mX (n k 1)x k 1 0
m mn 0或m
2
4
恒有实数根.
9、设X i, X2是方程2x24X0的两根,利用根与系数关系求以下各式的值:
⑴、(X i 1)(X2
1) 1 ⑵、
一X1
X2
X2X1
(31 —
X1 X2
,八 2 .
(4)、x1 x1x2 2x1
解: X
1, X2是一元二次方程
x2
(3) >
— X1
X
1
X2
2X24X 3 0的两根
2
X1 2 X2 X1X
2
X 1 X2 2, X1X2
(x1 x2)2 2x1x2
X1X
2
⑴、〔X11)(X2 1)
2 3
(2)2 2 ( 2)
3
X1 X2
x1 x21
4 3
~~3
2
2
7 (3)
21 14
3
(4)、X1 X1X2 2X1
1 1
⑵、
X1 x2
X1(X1 X2 2)
2 2
⑴ X i X2 (2) X i X2 解：X1, X2是一元二次方程
4X27X 3 0的两根
7 3
X i X2 — X X i X2
4 4
2 2
⑴ X i X2
2
(x i x2) 2x i x2
(7)2 2 3
4 4
25
i6
(2)X i X2
..(X i X2)2
(X i X2)2 4X i X2 (3)1r x i 匹(4) X i X2
(3) ,X i X2
X i X2
7.3
.3
i 一
2
(4 ) X i X2
(x
i
x
2 )
(X i X2)2 4X i X2
0的两个根,利用根与系数的关系,求以下各式的值: 第i4页共26
页2
~~
3
2
4
3
x1?0
10、设方程4x27x 3 0的两根为X1, X2,不解方程,求以下各式的值ii、x1,x2是方程2x23x i
解:
Xi, X 2是一元二次方程 2 ( 9) 9 16
12、 解: 19 2x 2
3x 1 0的两根
16
X i X 2
⑴(2 X i
4x i x 2
4x i x 2
实数s 、 19s 2
3
1 一,X i
X 2
一
2 2
3)(2X 2 3) 6X 1 6(X 1 6X 2 9
X 2)
3 (2) X
i X 2
X i X 2(X
i
3
X 1X 2
X i X 2[(X i
I)2
X 22) X 2)2 2X 1
X 2]
(1) 13
t 分别满足方程 99s 1 0 99t t 2 0 1
s 、1可看作是方程 t 19x 2 99x 1 0的两根 19s 2 99s
1 0和且19
st 4s t 4s s 一 t
(S
I)
99 19 99t t 2
c
st 4s 1
0求代数式——t —— 的
值.
4?s
4 19 99 19, s?1
t 19
95 19
13、
设: 3a 2 6a 11 3b 2 6b 11 0 且aw b,求
a 4
b 4的值.
解: _ 2
_
3a 6a 11 0 3b 2 6b 11 0 2 2X 2
(a b )
2a 2b 2
a
、
b 可看作是方程
2
_
2_22
[(a b) 2ab] 2a b
3x 2
6x 11 0的两根
[22 2 ( ?)]2 2 ( 4) 3 3
11 a b 2, ab
3
1156 242 914 "Q - "-9"
14、 a 2 1 a, b 2 1
b ,且 awb,求(a — 1)(b —1)的值.
2
原方程可化为：x 2
x 1 0
1 ( 1) 1 1
, o
1
1
15、 m 2 m 4 0,-- n n
解：m 2
m 4 0
x 2 x 4 0的两根
1 1m, m —
1, m ?一 —
4
n
n n
1 一 代数式m —的值为 1.
n
3st 2s 3
(2)———s-^. t
st 1
⑴、—p s
1
C 「
3(s -) 2?s?- t t
解：a 2 1 a
a b 1, ab 1 b 2 1 b (a 1)(b 1) a 、b 可看作是方程 ab a b 1 x 2 1 x 的两根
ab (a b) 1
16、 2s 2 4s 7
4t 2 0 , s, t 为实数,且stw1.求以下各式的值:
2
7t 2 4t 2 0
3st 2s 3 ⑵ c 2s
3s —— t
2x 2 4x 7 0的两根
3 ( 2) 2 ( |)
0 , m, n 为实数,且m 1 ,求代数式m n
的值
m 、1可看作是方程 n
st 1 ⑴一p;
解：2s 2 4s 7
1 1 7
s 2, s? 6 ( 7) 1
t t 2
17、关于x的方程x2—(k+1)x+k+2=0的两根的平方和等于6,求k的值;解：设方程两根为x「x2,那么k 3
x1 x2k 1, x1x2k 2
2
乂
2
2
(x1 x2) 2x1 x2 6 (k 1)2 2(k 2) 6
2
(k 1)2 4(k 2)
当k 3寸, 0,不符合题意,应舍去当k 3时, 0,符合题意
k的值为3.
k29
18、方程x2+3x+m=0中的m是什么数值时,方程的两个实数根满足:
(1) 一个根比另一个根大2; (2) 一个根是另一个根的3倍；(3)两根差的平方是17
解：设方程两根为％、x2,那么9 / 3、27
一(一)一
4 4 16
x〔x2 3, x〔x2 m , 27
当m 27时,
16
0,符合题意
9 4m
⑴、当x〔x2 2时,
1 5
x
1 2,x
2 2
1,55
m —(一)一
2 2 4
当m 5时, 0,符合题意
4 m 一时,方程一根是另一根的笳. 16 (3)、当(X x2)2 17时,
2
(x1 x2) 4x1 x2 17
9 4m 17
m 2
5时,方程一根比另一根
4 2时, 0
大2. 2时,方程两根差的平方是17.
⑵、当x1 3x2时,
9 3
X i
-, X 2 —
4
4
19、a,b,c 是三角形的三边长,且方程 (a 2+b?+c2)x 2
+2(a+b+c)x+3=0有两个相等的实数根,求证：这个三角 形是正三角形
证实：方程有两个相等实根
[2(a b c)]2 12(a 2 b 2 c 2) 0
2
2
2
2
(a b c)2
3(a 2 b 2
c 2
)
0 -2-2-2
-
-
-
2a
2b
2c
2ab
2ac 2bc
22_
22_
22_
(a 2
b 2
2ab) (a 2
c 2
2ac) (b 2
c 2
2bc) 0 2
2 2
(a b)2
(a c)2 (b c)2
ab0, ac0, b c 0
求这个直角三角形的面积. 解：设方程两根为x 、x 2,那么
x 〔 x 2 2a 1, x 〔x 2 4(a 1) x 1、x 2是斜边长为5的直角三
角形的两直角边
2 2
x 1 x 2
25
(x 1 x 2)2 2x 1x 2 25 (2a 1)2 8(a 1) 25
a 2 3a 4 0
x 1、x 2是三角形的两边 x 1 x 2 2a 1 0 且 x 1x 2 4(a 1) 0
a ]且a 1
2
a 1
只能取a 4
1 1 S
^1x 2 2 4(4 1)
(a 4)(a 1) 0
解：设方程两根为x 1、x 2,那么
4m 2 1 0 或 m 2 2m 3 0
21、关于x 的一元二次方程3x 2
(4 m 2 1)x m(m 2) 0的两实根之和等于两个实根的倒数和,
求m 的值.
这个三角形是正三角形
20、关于x 的方程x 2
(2a 1)x 4(a 1) 0的两个根是斜边长为 5的直角三角形的两条直角边的长,
X1 X24 m2
3 一,X〔X2
1
m1 m2
p m33, m4 1
X1 X2
4m21
3
4m21
3 m(4m2
[(4m21)]2 12m(m 2) X i
X i
X2
X2
X1X
2
4m21
3
m(m 2)
3
4m21
m(m 2)
1)(m 2) 3(4m 1
)
(4m2 1)(m22m 3) 0
, 1-
当m1 一时,
2
当m i
0,不符合题意,应舍去
0,符合题意
当
m1
当m i 1
时,
答：m的值为
0,符合题意
0,不符合题意,应舍去
22、是否存在实数k ,使关于X的方程9X2 (4k 7)X 6k2 0的两个实根X1,X2,满足上-,如果存
X2 2 在,试求出所有满足条件的k的值,如果不存在,请说明理由.
解：假设存在.据题意 ,得:
4k 7
X1 X2 9 , X1 X2 2k2 3
X1 3
X2 2
上3或x1 3
X2 2 X2 2 少X1 3 3 当一一时,X1 -X2 X2 2 2 当上3时,X1 3X2 X2 2 2
4k 7 2(4k 7) x1x29
4k 7 2(4k 7) 2 2
------- ? - k
3 ------ 9 3
(4k 7)2 9k20
(4k 7 3k)(4k 7 3k) 0
X 1 3(4 k 7) 2(4k 7)
45
3(4k 7)02(4k 7)
45 45 [(4k 2 2
7)]2 4 9?( 6k2)
(4k 7)2 225k2当k 1时, 0,符合题意241k256k 49 当k 7时, 0,符合题意5624 241 49 存在k值,当
此方程无实根; 方程两根满足X1 X2
23、关于x的方程2x2(m 1)x 0的两根满足关系式X1 X2 1,求m的值及两个
根.
解: 设方程两根为X1、x2,那
么
1或m 11
X i X
2 m 1
——,X1X2
2
m 1
""2"
2
(m 1)]2 8(m 1
)
X 1 X2 1 1
时,
4 0, 此时方程两根为: X
1
0, X2 1
X 1
11
时,
4 0, 此时方程两根为: X
1
2, X2 3
1?m 3
. 4
答：m 1时, 方程两根为: X
1
0, X2 1
；
(m 1)(m 3) 8(m 1) m 11时,方程两根为: X1 2, X2 3. (m 1)(m 3 8) 0
24、3是关于X的方程4X2 4
mx
m24m 0的两个实根,并且满足( 1)
(
1) 2,求m的值.
解: 是方程的两根
m, m2 4m
4
16m2一, 2
、
16(m 4m)
1) ( 1)2
时,
0,不符合题意,应舍去
2
时,
0,符合题意
4m
4
m的值为2.
一元二次方程根与系数的关系习题(配答案)
一元二次方程根与系数的关系习题 一、单项选择题： 1．关于x 的方程0122=+-x ax 中，如果0-∴a 实数根。原方程有两个不相等的∴ a 44-= 044>-∴a 0?即 2．设21,x x 是方程03622 =+-x x 的两根，则2 221x x +的值是（ C ） （A ）15 （B ）12 （C ）6 （D ）3 21x x ，方程两根为解： 212212 2212)(x x x x x x -+=+∴ 23 32121==+x x x x ， 623 232=?-= 3．下列方程中，有两个相等的实数根的是（ B ） （A ） 2y 2+5=6y （B ）x 2+5=2 5 x （C ） 3 x 2－ 2 x+2=0（D ）3x 2－2 6 x+1=0 )0(”的方程即可本题为找出“=? 4．以方程x 2＋2x －3＝0的两个根的和与积为两根的一元二次方程是（ B ） （A ） y 2+5y －6=0 （B ）y 2+5y ＋6=0 （C ）y 2－5y ＋6=0 （D ）y 2－5y －6=0 ，则：，解：设方程两根为21x x 0)3)(2()]3()2[(2 =--+-+--y y 322121-=-=+x x x x ， 0652=++y y 即： ：为根的一元二次方程为和以32--∴ 5．如果21x x ，是两个不相等实数，且满足12121=-x x ，1222 2=-x x ，那么21x x ?等于（ D ） （A ）2 （B ）－2 （C ） 1 （D ）－1 121222 2121=-=-x x x x ，解： 的两根 122 21=-∴x x x x 可看作是方程， 121-=∴x x 二、填空题： 1、如果一元二次方程0422=++k x x 有两个相等的实数根，那么k ＝2±。 0422=++k x x 方程解： 04162=-=?∴k 有两个相等的实数根 2±=∴k
初三上学期一元二次方程 韦达定理(根与系数的关系)全面练习题及答案
韦达定理（根与系数的关系） 韦达定理：对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ，那么 1212,b c x x x x a a +=-= 说明：定理成立的条件0?≥ 练习题 一、填空： 1、如果一元二次方程c bx ax ++2=0)(0≠a 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ， 1x 2x = . 2、如果方程02=++q px x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = . 3、方程01322=--x x 的两根为1x ，2x ，那么1x +2x = ，1x 2x = . 4、如果一元二次方程02=++n mx x 的两根互为相反数，那么m = ；如果两根互为倒数，那么n = . 5方程0)1(2=-++n mx x 的两个根是2和－4，那么m = ，n = . 6、以1x ，2x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是 . 7、以13+，13-为根的一元二次方程是 . 8、若两数和为3，两数积为－4，则这两数分别为 . 9、以23+和23-为根的一元二次方程是 . 10、若两数和为4，两数积为3，则这两数分别为 . 11、已知方程04322=-+x x 的两根为1x ，2x ，那么2212x x += . 12、若方程062=+-m x x 的一个根是23-，则另一根是 ，m 的值是 . 13、若方程01)1(2=----k x k x 的两根互为相反数，则k = ，若两根互为倒数，则k = . 14、如果是关于x 的方程02=++n mx x 的根是2-和3，那么n mx x ++2在实数范围内可分解为 .
初中数学一元二次方程解法根与系数关系练习题(附答案)
初中数学一元二次方程解法根与系数关系练习题 一、单选题 1.一元二次方程293x x -=-的解是( ) A.3x = B.4x =- C.123,4x x ==- D.123,4x x == 2.直角三角形两条直角边长的和是7，面积是6，则斜边长是（） B.5 D.7 3.一元二次方程220x x -=的两根分别为1x 和2x ，则12x x 为（ ） A.2- B.1 C.2 D.0 A.2m =± B.2m = C.2m =- D.2m ≠± 5.若a ，β为方程22510x x --=的两个实数根，则2235a a ββ++的值为（ ） A.13- B.12 C.14 D.15 A.2 B. 1- C.2或1- D.不存在 7.已知关于x 的一元二次方程2 (1)2(1)0a x bx a ++++=有两个相等的实数根，下列判断正确的是( ) A.1一定不是关于x 的方程20x bx a ++=的根 B.0一定不是关于x 的方程20x bx a ++=的根 C.1和1-都是关于x 的方程20x bx a ++=的根 D.1和1-不都是关于x 的方程20x bx a ++=的根 8.关于x 的一元二次方程2 (1)320a x x -+-=有实数根，则a 的取值范围是( )
A.18a >- B.18a ≥- C. 18a >-且1a ≠ D. 18 a ≥-且1a ≠ 9.一个正方体的表面展开图如图所示，已知正方体相对两个面上的数值相同，且不相对两个面上的数值不相同，则“★”面上的数为( ) A.1 B.1或2 C.2 D.2或3 10.定义一种新运算：()a b a a b =-?.例如，434(43)4=?-=?.若23x =?，则x 的值是( ) A.3x = B.1x =- C.123,1x x == D.123,1x x ==- 二、解答题 11.已知关于x 的一元二次方程2(1)210m x mx m --++=. （1）求方程的根； （2）当m 为何整数时，此方程的两个根都为正整数？ 12.阅读材料: 把形如2ax bx c ++ (,,a b c 为常数)的二次三项式(或其一部分)配成完全平方式的方法叫做配方法.配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即2222()a ab b a b ±+=±. 例如:222213(1)3,(2)2,(2)24 x x x x x -+-+-+ 是224x x -+的三种不同形式的配方，即“余项”分别是常数项、一次项、二次项. 请根据阅读材料解决下列问题: (1)仿照上面的例子，写出242x x -+的三种不同形式的配方; (2)已知2223240a b c ab b c ++---+=，求a b c ++的值. 14.关于x 的方程2()0a x m b ++=的解是12x =-，21x =（a ，m ，b 均为常数，0a ≠），则方 15.若关于x 的一元二次方程220mx x m ++=的两根之积为-1，则m 的值为 . 16.小明设计了一个魔术盒，当任意实数对(,)a b 进入其中时，会得到一个新的实数223a b -+.若
初中数学一元二次方程根与系数的关系专项训练题三(附答案详解)
初中数学一元二次方程根与系数的关系专项训练题三（附答案详解）1．先阅读，再回答问题：如果x1，x2是关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0） 的两个根，那么x1＋x2，x1x2与系数a，b，c的关系是：x1＋x2＝－，x1x2＝.例如：若x1，x2是方程2x2－x－1＝0的两个根，则x1＋x2＝－＝－＝，x1x2＝＝＝－．若x1，x2是方程2x2＋x－3＝0的两个根，（1）求x1＋x2，x1x2 （2）求＋的值． （3）求（x1－x2）2 2．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，那么称这样的方程为“倍根方程”．例如，一元二次方程x2﹣6x+8=0的两个根是2和4，则方程x2﹣6x+8=0就是“倍根方程”． （1）若一元二次方程x2﹣3x+c=0是“倍根方程”，则c=； （2）若（x﹣2）（mx﹣n）=0（m≠0）是“倍根方程”，求代数式4m2﹣5mn+n2的值；（3）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）是“倍根方程”，求a，b，c之间的关系． 3．已知关于的一元二次方程． 若是此方程的一个根，求的值和它的另一个根； 若方程有两个不相等的实数根，试判断另一个关于的一元二次方程 的根的情况． 4．已知关于的一元二次方程．
若方程有实数根，求的取值范围； 如果是满足条件的最大的整数，且方程一根的相反数是一元二次方程 的一个根，求的值及这个方程的另一根． 5．根据下列命题完成以下问题。（命题）若、是关于的一元二次方程 的两个实数根，则有，。 〖问题1〗若、是关于的一元二次方程的两个实数根，则有 ____________，___________。 〖问题2〗若、是一元二次方程的两个实数根，则有 ____________，___________。 〖问题3〗甲、乙两同学解同一道一元二次方程时，甲看错了一次项系数，得两根为2和7，乙看错了常数项，得两根为1和－10。根据这些数据，你能否确定原来正确的方程？如果能，请写出原方程，并写出你的推导过程；如果不能，请说明理由。 6．已知一元二次方程有两个根分别为． （1）求的取值范围； （2）若原方程的两个根满足，求的值． 7．实验与探究： 三角点阵前n行的点数计算
一元二次方程根与系数的关系基础练习30题含详细答案
装…………○……_姓名：___________班级：__装…………○……一元二次方程根与系数的关系基础练习30题含详细答案 一、单选题 1．若12,x x 是一元二次方程²350x x +-=的两根，则12x x +的值是（ ） A ．3 B ．3- C ．5 D ．5- 2．已知方程22430x x +-=的两根分别为1x 和2x ，则12x x 的值等于（ ） A ．2 B ．－1.5 C ．－2 D ．4 3．已知α，β是方程2202010x x ++=的两个根，则（1＋2022α＋α2）（1＋2022β＋β2）的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4．如图，二次函数()2 0y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且OC ＝2OB 则下列结论：① 0abc <；②0a b c ++>；③240ac b -+=；④ c OA OB a ⋅=- ，其中正确的结论有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 5．★在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，a ，b 是关于x 的方程x 2－7x ＋c ＋7＝0的两根，那么AB 边上的中线长是（ ） A ． 3 2 B ． 52 C ．5 D ．2 二、解答题 6．关于x 的一元二次方程x 2+3x ﹣k =0有两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围． （2）若x 1+2x 2=3，求|x 1﹣x 2|的值． 7．已知关于x 的方程x 2+（2m ﹣1）x +m 2＝0有实数根． （1）若方程的一个根为1，求m 的值；
九年级数学：一元二次方程根与系数的关系练习题(有答案)
、单项选择 题: 一元二次方程根与系数的关系习题 1.关于x 的方程ax 2 2x 1 0中,如果a 0,那么根的情况是( B ) (A) (C) 有两个相等的实数根 没有实数根 (B)有两个不相等的实数根 (D)不能确定 解: (2)2 4a 4a 0 原方程有两个不相等的实数根. 2.设 (A) 解: X i 4 4a 4 4a 0 X 1,X 2是方程2x 2 15 (B) 12 方程两根为 X 2 3, x 1x 2 6x (C) 6 X i, X 2 3 0的两根,那么 (D) 3 2 X 1 3.以下方程中,有两个相等的实数根的是( (A) 2y 2+5=6y (B) x 2+5=2 5 x (C) 3 x 2 (此题为找出 0〞的方程即可) 2 X 1 2 X 2 2 X 2的值是( (X i 32 B ) —2 x+2=0 4.以方程X 2 +2X —3=0的两个根的和与积为两根的 (A) y 2+5y —6=0 (B) y 2+5y + 6=0 解：设方程两根为 X1, X2,那 么: x 1 x 2 2, x 1x 2 3为根的一元二次方程为 5.如果X 1, X 2是两个不相等实数, 且满足 (A) 2 (B) -2 X 2)2 21 2x 1x 2 (D) 3x 2—2^x+1=0 二次方程是 (C) y 2-5y + 6=0 (D) 2 - y [( 2)( 3)]y ( 即：y (C) 5y 解：X ： 2 2x 1 1, x 2 2X 2 x n X 2可看作是方程x 2x 二、填空题: 1、如果 二次方程 4x k 2 解：方程X 2 4x k 2 有两个相等的实数根 2 X 1 2x 1 2 X 2 (D) 的两根 X 1X 2 2)( 3) 0 2x 2 1,那么X i ? X 2等于 0有两个相等的实数根,那么 k= 2. 16 4k 2
一元二次方程根与系数的关系习题精选(含答案)
一元二次方程根与系数的关系习题精选〔含答案〕 一．选择题〔共22小题〕 1．〔2021•宜宾〕假设关于x的一元二次方程的两个根为x1=1，x2=2，那么这个方程是〔〕 A．x2+3x﹣2=0 B．x2﹣3x+2=0 C．x2﹣2x+3=0 D．x2+3x+2=0 2．〔2021•昆明〕x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+1=0的两个实数根，那么x1•x2等于〔〕 A．﹣4 B．﹣1 C．1D．4 3．〔2021•玉林〕x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣2=0的两个实数根，是否存在实数m使+=0成 立？那么正确的结论是〔〕 A．m=0时成立B．m=2时成立C．m=0或2时成立D．不存在 4．〔2021•南昌〕假设α，β是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根，那么α2+β2的值为〔〕 A．10 B．9C．7D．5 5．〔2021•贵港〕假设关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，那么b+c的值是〔〕A．﹣10 B．10 C．﹣6 D．﹣1 6．〔2021•烟台〕关于x的方程x2﹣ax+2a=0的两根的平方和是5，那么a的值是〔〕 A．﹣1或5 B．1C．5D．﹣1 7．〔2021•攀枝花〕假设方程x2+x﹣1=0的两实根为α、β，那么以下说法不正确的选项是〔〕 A．α+β=﹣1 B．αβ=﹣1 C．α2+β2=3 D． +=﹣1 8．〔2021•威海〕方程x2﹣〔m+6〕x+m2=0有两个相等的实数根，且满足x1+x2=x1x2，那么m的值是〔〕A．﹣2或3 B．3C．﹣2 D．﹣3或2 9．〔2021•长沙模拟〕假设关于x的一元二次方程x2+〔k+3〕x+2=0的一个根是﹣2，那么另一个根是〔〕A．2B．1C．﹣1 D．0 10．〔2021•黄冈样卷〕设a，b是方程x2+x﹣2021=0的两个实数根，那么a2+2a+b的值为〔〕 A．2021 B．2021 C．2021 D．2021 11．〔2021•江西模拟〕一元二次方程x2﹣2x﹣3=0与3x2﹣11x+6=0的所有根的乘积等于〔〕 A．﹣6 B．6C．3D．﹣3 12．〔2021•峨眉山市二模〕x1、x2是方程x2﹣〔k﹣2〕x+k2+3k+5=0的两个实数根，那么的最大值是〔〕A．19 B．18 C．15 D．13 13．〔2021•陵县模拟〕：x1、x2是一元二次方程x2+2ax+b=0的两根，且x1+x2=3，x1x2=1，那么a、b的值分别是〔〕 A．a=﹣3，b=1 B．a=3，b=1 C． a=﹣，b=﹣1 D． a=﹣，b=1
人教版九年级数学上册同步练习 21.2.4一元二次方程的根与系数的关系(含答案)
一元二次方程的根与系数的关 一、选择题 1．[一元二次方程x 2－2x ＝0的两根分别为x 1和x 2，则x 1x 2的值为( ) A ．－2 B ．1 C ．2 D ．0 2．若关于x 的一元二次方程x 2－2x ＋m ＝0有一个解为x ＝－1，则另一个解为 ( ) A ．1 B ．－3 C ．3 D ．4 3．若α，β是一元二次方程3x 2＋2x －9＝0的两个根，则βα＋αβ 的值是 ( ) A.427 B ．－427 C ．－5827 D.5827 4．已知一元二次方程2x 2＋2x －1＝0的两个根分别为x 1，x 2，且x 1＜x 2，下列结论正确的是( ) A ．x 1＋x 2＝1 B ．x 1·x 2＝－1 C ．|x 1|＜|x 2| D ．x 12＋x 1＝12 5．若关于x 的方程x 2－(m ＋6)x ＋m 2＝0有两个相等的实数根，且满足x 1＋x 2＝x 1x 2，则m 的值是( ) A ．－2或3 B ．3 C ．－2 D ．－3或2 6．若关于x 的方程x 2－(m 2－4)x ＋m ＝0的两个根互为相反数，则m 等于( ) A ．－2 B ．2 C ．±2 D ．4 二、填空题 7．若x 1，x 2是一元二次方程x 2＋x －2＝0的两个实数根，则x 1＋x 2＋x 1x 2＝________． 8．写出以3，－5为根且二次项系数为1的关于x 的一元二次方程是____________________． 9．若x 1，x 2是一元二次方程x 2－mx －6＝0的两个根，且x 1 初中数学一元二次方程根与系数关系专项练习题（附答案详解） 1．若一个关于x 的一元二次方程的两个根分别是数据2，4，5，4，3，5，5的众数和中位数，则这个方程是（ ） A ．x 2﹣7x+12=0 B ．x 2+7x+12=0 C ．x 2﹣9x+20=0 D ．x 2+9x+20=0 2．关于x 的方程kx 2+2x ﹣1＝0有两个实数根，则k 的取值范围是（ ） A ．k≥1 B ．k≥﹣1 C ．k≥1且k≠0 D ．k≥﹣1且k≠0 3．若m ，n 是方程2250x x --=两根，则() ()22m m m n -+的值为( ) A ．5 B ．10 C ．5- D ．10- 4．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2-6x- 15=0的两个根，则x 1+x 2等于( ) A ．-6 B ．6 C ．-15 D ．15 5．在数轴上用点B 表示实数b ．若关于x 的一元二次方程x 2+bx +1=0有两个相等的实数根，则（ ） A ．2O B = B ．2OB > C ．2OB ≥ D ．2OB < 6．若方程x 2 +x-1 = 0的两实根为α、β，那么下列说法不正确的是( ) . A ．α+β=-1 B ．αβ=-1 C ．1 1 +αβ=1 D ．α2+β2=1 7．已知x 1，x 2是关于x 的方程x 2+bx ﹣3=0的两根，且满足x 1+x 2﹣3x 1x 2=5，那么b 的值为（ ） A ．4 B ．﹣4 C ．3 D ．﹣3 8．下列关于x 的一元二次方程中，有两个不相等的实数的是( ). A ．2x +2 =0 B ．2x +x-1=0 C ．2x +x+3=0 D ．42x -4x+1=0. 9．已知关于x 的一元二次方程x 2＋mx ＋n ＝0的两个实数根分别为x 1＝－2，x 2＝4，则m ，n 的值分别为() A ．m ＝－2，n ＝8 B ．m ＝－2，n ＝－8 C ．m ＝2，n ＝－8 D ．m ＝2，n ＝8 10．已知α，β是方程2201610x x ++=的两个根，则 ()()22 1201812018ααββ++++的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 11．已知1x ，2x 分别是一元二次方程260x x --=的两个实数根，则 12x x +=________． 一元二次方程的根与系数的关系（基础） 一、单选题(共10道，每道10分) 1.一元二次方程的两实数根的和与积分别是( ) A.， B.， C.， D.， 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：一元二次方程的根与系数的关系 2.若α，β是关于x的一元二次方程x2-2x+m=0的两个实数根，且，则m等于( ) A.-2 B.-3 C.2 D.3 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：一元二次方程的根与系数的关系 3.若关于一元二次方程有一个解为，则另一个解为( ) A.1 B.-3 C.3 D.4 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：一元二次方程的根与系数的关系 4.已知x1，x2是关于x的方程的两根，且满足x1+x2-3x1x2=5，那么b的值为( ) A.4 B.-4 C.3 D.-3 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：一元二次方程的根与系数的关系 5.设x1，x2是一元二次方程的两实数根，则的值是( ) A.2 B.4 C.5 D.6 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：一元二次方程的根与系数的关系 6.一元二次方程的两个根为x1，x2，则的值是( ) A.10 B.9 C.8 D.7 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：一元二次方程的根与系数的关系 7.设方程的两实数根分别为c，d，则方程的两实数根分别( ) A.a，b B.c，d C.-a，-b D.-c，-d 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：一元二次方程的根与系数的关系 8.关于x的方程的两根互为相反数，则k值是( ) A.-1 B.±2 C.2 D.-2 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：一元二次方程的根与系数的关系 9.定义运算：a*b=2ab，若a，b是方程的两个根，则(a+1)*a-(b+1)*b 的值为( ) A.0 B.2 C.4m D.-4m 答案：A 解题思路： 2019 初三数学中考复习 一元二次方程的根与系数的关系 专题复习训练题 1．若关于x 的方程x2＋3x ＋a ＝0有一个根为－1，则另一个根为( ) A ．－2 B ．2 C ．4 D ．－3 2．已知：x1、x2是一元二次方程x2＋2ax ＋b ＝0的两根，且x1＋x2＝3，x1x2＝1，则a 、b 的值分别是( ) A ．a ＝－3，b ＝1 B ．a ＝3，b ＝1 C ．a ＝－32，b ＝－1 D ．a ＝－32 ，b ＝1 3. 已知2是关于x 的方程x2－2mx ＋3m ＝0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC 的两条边长，则三角形ABC 的周长为( ) A ．10 B ．14 C ．10或14 D ．8或10 4．一元二次方程x2－3x －2＝0的两根为x1、x2，则下列结论正确的是( ) A ．x1＝－1，x2＝2 B ．x1＝1，x2＝－2 C ．x1＋x2＝3 D ．x1x2＝2 5. 已知x1、x2是关于x 的方程x2＋ax －2b ＝0的两实数根，且x1＋x2＝－2，x1·x2＝1，则ba 的值为( ) A.14 B ．－14 C ．4 D ．－1 6．如果关于x 的方程2x2－7x ＋m ＝0的两个实根互为倒数，那么m 的值为( ) A.12 B ．－12 C ．2 D ．－2 7. 设x1、x2是方程x2＋5x －3＝0的两个根，则x21＋x22的值是( ) A ．19 B ．25 C ．31 D ．30 8．已知m 、n 是关于x 的一元二次方程x2－3x ＋a ＝0的两个解，若(m －1)(n －1)＝－6，则a 的值为( ) A ．－10 B ．4 C ．－4 D ．10 9. 方程x2－(m ＋6)x ＋m2＝0有两个相等的实数根，且满足x1＋x2＝x1x2，则m 是( ) A ．－2或3 B ．3 C ．－2 D ．－3或2 10. 已知关于x 的方程x2＋mx －6＝0的一个根为2，则这个方程的另一个根是 ，m ＝ . 初中数学一元二次方程的根与系数关系基础过关专项训练题（精选100道习题 附答案详解） 1．已知x 1，x 2是一元二次方程x 2-6x- 15=0的两个根，则x 1+x 2等于( ) A ．-6 B ．6 C ．-15 D ．15 2．关于的方程220x ax a -+=的两根的平方和是5，则a 的值是( ) A ．-1或5 B ．1 C ．5 D ．-1 3．已知一元二次方程20(a 0)++=≠ax bx c 中,其中真命题有( ) ①若a+b+c=0，则240b ac -≥；②若方程20ax bx c ++=两根为− 1和2，则2a+c=0；③若方程20ax c +=有两个不相等的实根，则方程20ax bx c ++=必有两个不相等的实根． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．0个 4．一元二次方程x 2+x ﹣1=0的两根分别为x 1，x 2，则12 11x x +=（ ） A ．12 B ．1 C D 5．若α，β是方程x 2﹣2x ﹣2=0的两个实数根，则α2+β2的值为（ ） A ．10 B ．9 C ．8 D ．7 6．若m 、n 是一元二次方程x 2-5x-2=0的两个实数根，则m+n-mn 的值是（ ） A ．-7 B ．7 C ．3 D ．-3 7．若方程22 4()0x m x m +-+=的两个根互为相反数，则m 等于（ ） A ． 2- B ．2 C ．2± D ．4 8．已知m 、n 是方程210++=x 的两根， （ ） A ．9 B ．3± C ．3 D ．5 9．定义运算：a ⋆b=2ab ．若a ，b 是方程x 2+x-m=0(m ＞0)的两个根，则(a+1)⋆a -(b+1)⋆b 的值为（ ） A ．0 B ．2 C ．4m D ．-4m 10．关于x 的一元二次方程()2 2a 1x 2x 30--+=有两个不相等的实数根，则a 的取值范围是（ ） A ．2a 3> B ．2a 3>且1a 2≠ C ．2a 3< D ．2a 3<且1a 2≠ 11． 若x x 的方程20x m -+=的一个根，则方程的另一个根是（ ） 初中数学一元二次方程根与系数关系专项复习题（附答案详解） 1．已知关于x 的一元二次方程2210ax x --=有两个不相等的实数根，则二次项系数a 的取值范围是（ ） A ．1a >- B ．2a >- C ．1a >且0a ≠ D ．1a >-且 0a ≠ 2．若关于x 的一元二次方程x 2-2x+k=0有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是（ ） A ．k ＜1 B ．k≠0 C ．k ＞1 D ．k ＜0 3．一元二次方程ax 2+x ﹣2=0有两个不相等实数根，则a 的取值范围是（ ） A ．a 18 < B ．a= 18 - C ．a 18>- 且a≠0 D ．a 1 8 > 且a≠0 4．下列方程中，两根是﹣2和﹣3的方程是（ ） A ．x 2﹣5x+6=0 B ．x 2﹣5x ﹣6=0 C ．x 2+5x ﹣6=0 D ．x 2+5x+6=0 5．关于x 的一元二次方程260x mx +-=的一个根是3，则另一个根是（ ） A ．-1 B ．1 C ．-2 D ．2 6．已知方程x 2+2x-1=0，则此方程（ ） A ．无实数根 B ．两根之和为2 C ．两根之积为-1 D ．有一个根为 21+ 7．已知方程x 2﹣4x +k ＝0有一个根是﹣1，则该方程的另一根是( ) A ．1 B ．0 C ．﹣5 D ．5 8．已知关于x 的一元二次方程x 2－6x ＋k ＋1＝0的两个实数根是x 1，x 2，且x ＋x ＝24，则k 的值是()． A ．8 B ．－7 C ．6 D ．5 9．关于x 的方程的022 =+-a ax x 两个根的平方和5是，则a 的值是（ ） A ．－1或5 B ． 1 C ．5 D ．－1 10．已知一元二次方程2310x x -+=的两根是1x 、2x ，则12x x +的值是（ ） A ．3 B ．1 C ．3- D ．1- 11．若方程25320x x --=的两个实数根为,m n ，则 11 m n +的值为__________． 12．若方程x 2+（m+1）x ﹣2n=0的两根分别为2和﹣5，则m=_____，n=_____． 13．已知a ，b 是一元二次方程220180x x --=的两个实数根，则 初中数学一元二次方程的根与系数关系综合性练习题（精选100道解答题 附答案详解） 1．如图，已知抛物线y ＝﹣x 2+ax+3的顶点为P ，它分别与x 轴的负半轴、正半轴交于点A ，B ，与y 轴正半轴交于点C ，连接AC ，BC ，若tan ∠OCB ﹣tan ∠OCA ＝23 ． （1）求a 的值； （2）若过点P 的直线l 把四边形ABPC 分为两部分，它们的面积比为1：2，求该直线的解析式． 2．已知关于x 的一元二次方程kx 2﹣2（k +1）x +k ﹣1＝0有两个不相等的实数根x 1，x 2． （1）求k 的取值范围； （2）是否存在实数k ，使12 11 x x ＝1成立？若存在，请求出k 的值；若不存在，请说明理 由． 3．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝x 2+bx +c 的图象与x 轴相交于点A 、B ，与y 轴相交于点C ，B 点的坐标为（6，0），点M 为抛物线上的一个动点． （1）若该二次函数图象的对称轴为直线x ＝4时： ①求二次函数的表达式； ②当点M 位于x 轴下方抛物线图象上时，过点M 作x 轴的垂线，交BC 于点Q ，求线段MQ 的最大值； （2）过点M 作BC 的平行线，交抛物线于点N ，设点M 、N 的横坐标为m 、n ．在点M 运 动的过程中，试问m +n 的值是否会发生改变？若改变，请说明理由；若不变，请求出m +n 的值． 4．关于x 的方程x 2﹣2（k ﹣1）x +k 2＝0有两个实数根x 1、x 2． （1）求k 的取值范围； （2）若x 1+x 2＝1﹣x 1x 2，求k 的值． 5．如图，圆心在坐标原点的⊙O ，与坐标轴的交点分别为A 、B 和C 、D ．弦CM 交OA 于P ，连结AM ，已知tan ∠PCO ＝ 2 3 ，PC 、PM 是方程x 2﹣px +20＝0的两根． （1）求C 点的坐标； （2）写出直线CM 的函数解析式； （3）求△AMC 的面积． 6．阅读理解： 材料1：对于一个关于x 的二次三项式2ax bx c ++(0)a ≠，除了可以利用配方法求请多项式的取值范围外，爱思考的小川同学还想到了其他的方法：比如先令2 ax bx c y ++=(0)a ≠，然后移项可得：2()0ax bx c y ++-=，再利用一元二次方程根的判别式来确定 y 的取值范围，请仔细阅读下面的例子： 例：求225x x ++的取值范围： 解：令2 25x x y ++= ∴2 2(5)0x x y ++-= ∴44(5)0y ∆=-⨯-≥ ∴4y ≥ ∴2254x x ++≥； 2015年暑假初二升初三专项-----韦达定理(根与系数的关系) 韦达定理：对于一元二次方程ax2• bx • c = 0(a = 0)，如果方程有两个实数根x1, x2，那么 b c x1x2, x1x2 : a a 说明：定理成立的条件:-0 练习题 一、填空： 1、如果一元二次方程ax2bx • c=0(a = 0)的两根为x1，x2，那么x1 + x2 = _________ ， 2、如果方程x2 px 0的两根为X i，X2，那么X i + X2= ___________ ，X i X2 = ___ . 3、方程2x2 -3x -1 =0 的两根为x1，x2，那么x1+ x2= _____ ，x1 x2= ____ . 4、如果一元二次方程x2 mx n = 0的两根互为相反数，那么m = ________ ；如果两根互为倒数，那么n= _____ . 5方程x2 mx (n「1) = 0的两个根是2和一4，那么m= ________ ，n = ___ . 6、以X1，X2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是________________________ . 7、以.3 1， 3 -1为根的一元二次方程是______________________ . 8若两数和为3，两数积为—4，则这两数分别为____________ . 9、以3「2和3 -、2为根的一元二次方程是_____________________ . 10、若两数和为4，两数积为3，则这两数分别为__________ . 11、已知方程2x2• 3x - 4 = 0的两根为X1，X2，那么X12 x；= ________ . 12、__________________________________________________________ 若方程x2「6x • m = 0的一个根是3 - 2，则另一根是 ______________________________________ ，m的值是 __ . 13、若方程x2 -(k-1)x-k-1=0的两根互为相反数，则k = ，若两根互为倒数，则k = 14、如果是关于x的方程x2 mx n = 0的根是~咄2和3，那么x2 mx n在实数范围内可分解为. 2016年苏科新版九年级数学上册同步测试：1.3 一元二次方程的根与系数 的关系 一、选择题（共11小题） 1．关于x的一元二次方程x2+2mx+2n=0有两个整数根且乘积为正，关于y的一元二次方程y2+2ny+2m=0同样也有两个整数根且乘积为正，给出三个结论：①这两个方程的根都负根；②（m﹣1）2+（n﹣1）2≥2；③﹣1≤2m﹣2n≤1，其中正确结论的个数是（） A．0个B．1个C．2个D．3个 2．已知实数x1，x2满足x1+x2=7，x1x2=12，则以x1，x2为根的一元二次方程是（） A．x2﹣7x+12=0 B．x2+7x+12=0 C．x2+7x﹣12=0 D．x2﹣7x﹣12=0 3．若关于x的方程x2+3x+a=0有一个根为﹣1，则另一个根为（） A．﹣2 B．2 C．4 D．﹣3 4．已知关于x的一元二次方程x2+mx+n=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，则m+n的值是（）A．﹣10 B．10 C．﹣6 D．2 5．设x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣3=0的两根，则x12+x22=（） A．6 B．8 C．10 D．12 6．设x1，x2是方程x2+5x﹣3=0的两个根，则x12+x22的值是（） A．19 B．25 C．31 D．30 7．一元二次方程x2+4x﹣3=0的两根为x1、x2，则x1•x2的值是（） A．4 B．﹣4 C．3 D．﹣3 8．若x1，x2是一元二次方程x2+10x+16=0的两个根，则x1+x2的值是（） A．﹣10 B．10 C．﹣16 D．16 9．若关于x的一元二次方程的两个根为x1=1，x2=2，则这个方程是（） A．x2+3x﹣2=0 B．x2﹣3x+2=0 C．x2﹣2x+3=0 D．x2+3x+2=0 10．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+1=0的两个实数根，则x1•x2等于（） A．﹣4 B．﹣1 C．1 D．4 11．（2014•南昌）若α，β是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根，则α2+β2的值为（） A．10 B．9 C．7 D．5 二、填空题（共18小题） 12．若m，n是方程x2+x﹣1=0的两个实数根，则m2+2m+n的值为．初中数学一元二次方程根与系数关系专项练习题(附答案详解)
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