一元二次方程根与系数的关系习题(配答案)
一元二次方程根与系数的关系习题
一、单项选择题：
1．关于x 的方程0122
=+-x ax 中，如果0 （A ）有两个相等的实数根（B ）有两个不相等的实数根 （C ）没有实数根（D ）不能确定 a 4)2(2--=∆ 解：04>-∴a 实数根。原方程有两个不相等的 ∴ a 44-=044>-∴a 0∆即 2．设21,x x 是方程03622=+-x x 的两根，则2 221x x +的值是（C ） （A ）15 （B ）12 （C ）6 （D ）3 21x x ，方程两根为解： 2122122212)(x x x x x x -+=+∴ 2332121= =+x x x x ，623232=⨯-= 3．下列方程中，有两个相等的实数根的是（B ） （A ） 2y 2+5=6y （B ）x 2+5=2 5 x （C ） 3 x 2－ 2 x+2=0（D ）3x 2－2 6 x+1=0 )0(”的方程即可本题为找出“=∆ 4．以方程x 2 ＋2x －3＝0的两个根的和与积为两根的一元二次方程是（B ） （A ） y 2+5y －6=0 （B ）y 2+5y ＋6=0 （C ）y 2－5y ＋6=0 （D ）y 2－5y －6=0 ，则：，解：设方程两根为21x x 0)3)(2()]3()2[(2=--+-+--y y 322121-=-=+x x x x ，0652=++y y 即： ：为根的一元二次方程为和以32--∴ 5．如果21x x ，是两个不相等实数，且满足12121=-x x ，1222 2=-x x ，那么21x x ∙等于（D ） （A ）2 （B ）－2 （C ） 1 （D ）－1 121222 2121=-=-x x x x ，解： 的两根 12221=-∴x x x x 可看作是方程，121-=∴x x 二、填空题： 1、如果一元二次方程0422=++k x x 有两个相等的实数根，那么k ＝2±。 0422=++k x x 方程解： 04162=-=∆∴k 有两个相等的实数根 2±=∴k 2、如果关于x 的方程012)14(222=-++-k x k x 有两个不相等的实数根，那么k 的取值范围是8 9->k 。 012)14(222=-++-k x k x 方程解： 098>+∴k 有两个不相等的实数根8 9->∴k 0)12(8)]14([22>--+-=∆∴k k 3、已知21x x ，是方程04722=+-x x 的两根，则21x x +＝27，21x x ＝2，221)(x x -＝ 4 1724)27(4)(221221=⨯-=-+x x x x 4、若关于x 的方程01)2()2(22=+---x m x m 的两个根互为倒数，则m ＝3-。 ，则：，解：设方程两根为21x x 3±=∴m 2 122221221-=--=+m x x m m x x ，0)2(4)]2([322<----=∆=m m m 时，当 方程两根互为倒数 0)2(4)]2([322>----=∆-=m m m 时，当 12 1221=-=m x x 3-=∴m 122=-∴m 5、当m ＝4±时，方程042 =++mx x 有两个相等的实数根； 有两个相等的实数根方程解：042=++mx x 0162=-=∆∴m 4±=∴m 当m 04≠ 有两个不相等的实数根方程解：0142=++x mx 00416≠>-=∆∴m m 且 等的实数根。时，原方程有两个不相且04≠<∴m m 6、已知关于x 的方程07)3(102 =-++-m x m x ，若有一个根为0，则m =7，这时方程的另一个根是1；若两根之和为－35 ，则m =9-，这时方程的 两个根为15 821=-=x x ，. 07)3(10)1(2=-++-m x m x 设方程解：，则：、设原方程两根为 b a )2( ，则：另一根为1x 10 7103-=+=+m ab m b a ， 10301+= +m x ①5 3-原方程两根之和为 10701-=∙m x ②5 3103-=+=+m b a 由②，得：7=m 9-=∴m 代入将7=m ①，得：08352=-+∴x x 原方程可化为： 11=x 0)1)(85(=-+∴x x 0171时，方程一根为，==∴x m 15 8=-=∴x x 或 7、如果5)1(222+++-m x m x 是一个完全平方式，则m =2； 05)1(222=+++-m x m x 解：令0204)12(422=--++∴m m m 是完全平方式5)1(222+++-m x m x 0168=-∴m 有两个相等实根方程05)1(222=+++-∴m x m x 2=∴m 0)5(4)]1(2[22=+-+-=∆∴m m 8、方程6)4(22-=-x mx x 没有实数根，则最小的整数m =2; 6)4(22-=-x mx x 解：将方程08848<+-∴m 068)12(2=+--x x m 化简，得：6 11>∴m 原方程没有实数根 2为最小整数m ∴ 0)12(2464<--=∆∴m 9、已知方程)4()3)(1(2-=--m x m x x 两根的和与两根的积相等，则m =2; )4()3)(1(2-=--m x m x x 解：将方程m m 32 27=-∴ 06)27(22=+--m x m x 化简，得：2=∴m ，则：，设方程两根为21x x 048)]27([22>---=∆=m m m 时，当 m x x m x x 32 272121=-=+，2=∴m 积相等方程两根的和与两根的 10、设关于x 的方程062 =+-k x x 的两根是m 和n ，且2023=+n m ，则k 值为16-; 是方程的两根、解：n m 代入将8=m ①，得： 6=+n m ①2-=n k mn =②代入，将28-==n m ③，得： 2023=+n m ③16)2(8-=-⨯=k ①×2-③，得：043616>-=∆-=k k 时，当 8-=-m 16-=∴k 8=∴m 11、若方程01)12(22=++--m x m x 有实数根，则m 的取值范围是4 3-≤m ; 原方程有实数根解： 34≥-∴m 0)1(4)]12([22≥+---=∆∴m m 4 3-≤∴m 04414422≥--+-∴m m m 根。时，原方程有两个实数当4 3-≤∴m 12、一元二次方程02=++q px x 两个根分别是32+和32-，则p=4-,q=1; 3232-+和方程两根为解： 4-=p p -=-++∴)32()32(1=q q =-+)32()32(14=-=∴q p ， 解之，得： 13、已知方程01932=+-m x x 的一个根是1，那么它的另一个根是3 16=x ，m=16; ，则： 解：设方程的另一根为1x 31911= +x ①16=m 3 1m x =②01219162>-=∆=a a 时，当 由①，得：3161=x 。，方程另一根为163 16==∴m x 将3 161=x 代入②，得： 14、若方程012 =-+mx x 的两个实数根互为相反数，那么m 的值是0; ，则： ，解：设方程两根为21x x 0=∴m m x x -=+210402>+=∆=m m 时，当 方程两根互为相反数 反数。时，原方程两根互为相0=∴m 021=-=+∴m x x 15、n m 、是关于x 的方程01)12(22=++--m x m x 的两个实数根，则代数式n m =1。 是方程的两根、解：n m 将①代入②，得： 12-=+m n m 1)1(2+=-m m m 12+=m mn 1-=∴m 化简，得：代入把1-=m ①，得： 1-=m n ①2-=n 12+=m mn ②1)1(2=-=∴-n m 16、已知方程0132 =+-x x 的两个根为α,β，则α+β=3, αβ=1; 17、如果关于x 的方程042=+-m x x 与022=--m x x 有一个根相同，则m 的值为30或; 方程有一个相同的根解： ，得：代入将042=+-=m x x m x m x x m x x 2422--=+-∴042=+-m m m m m x --=+-∴2)14(0)3(=-∴m m m x =∴这个相同的根为：30==∴m m 或 18、已知方程0322=+-k x x 的两根之差为212 ，则k=2-; ，则：，解：设方程两根为21x x 4 25249=-∴k 2 232121k x x x x ==+，2-=∴k 2 1221=-x x 0892>-=∆-=k k 时， 4 25)(221=-∴x x ∴关于x 的方程两根0322=+-k x x 4254)(21221=-+∴x x x x 。时，差为22 12-=k 19、若方程03)2(2 2=--+x a x 的两根是1和－3，则a=2±; 31-和方程两根解： 42=∴a )2()3(12--=-+∴a 2±=∴a 20、①、若关于x 的方程04)1(222=+-+m x m x 有两个实数根，且这两个根互为倒数，那么m 的值为2 1-; ，则：，解：设方程两根为21x x 2 1±=∴m 221214)1(2m x x m x x =--=+，016)]1(2[2 122<--=∆=m m m 时，当 方程两根互为倒数 016)]1(2[2 122>--=∆-=m m m 时，当 14221==∴m x x 2 1-=∴m ②、已知关于x 的一元二次方程01)1()1(22=++--x a x a 两根互为倒数，则a=2。 ，则： ，解：设方程两根为21x x 2±=∴a 1 111221221-=-+=+a x x a a x x ，0)1(4)1(222>--+=∆=a a a 时，当 方程两根互为倒数 0)1(4)1(222<--+=∆-=a a a 时，当 11 1221=-=∴a x x 2=∴a 112=-∴a 21、如果关于x 的一元二次方程022=++a x x 的一个根是1－2，那么另一个根是1-=x ，a 的值为 12-。 ，则： 解：设方程的另一根为1x 221 1-=+-x ①12-=a a x =-1)21(②04212>-=∆-=a a 时，当 由①，得：11-=x 。 ，方程另一根为121-= -=∴a x 将11-=x 代入②，得： 22、如果关于x 的方程062=++k x x 的两根差为2，那么k=8。 ，则： ，解：设方程两根为21x x 4436=-∴k k x x x x =-=+21216，8=∴k 221=-x x 04368>-=∆=k k 时， 4)(221=-∴x x ∴关于x 的方程的两根062=++k x x 44)(21221=-+∴x x x x 。 时，差为82=k 23、已知方程0422 =-+mx x 两根的绝对值相等，则m=0。 ，则：，解：设方程两根为21x x 02121=+-=x x x x 时，当 222121-=-=+x x m x x ，02 21=-=+∴m x x 21x x = 0=∴m 2121x x x x -==∴或03202>+=∆=m m 时，当 032221=+=∆=m x x 时，当两根绝对值相等0422=-+∴mx x 0322>+m 。时，0=m 21x x ≠∴ 24、一元二次方程)0(02≠=++p r qx px 的两根为0和－1，则q ∶p=1:1。 ，则：，解：设方程两根为21x x 10-和方程两根为 1=∴p q p q x x -=+211)1(0-=-+=-∴p q 25、已知方程0132=-+x x ，要使方程两根的平方和为9 13，那么常数项应改为2-。 ，，解：设方程两根为21x x 9 1332)31(2=--∴m ，则： 并设方程的常数项为m 1361=-∴m 3 312121m x x x x =-=+，2-=∴m 9 132221=+x x 01212>-=∆-=m m 时， 9 132)(21221=-+∴x x x x 。常数项应改为2-∴ 26、已知方程0242 =-+m x x 的一个根α比另一个根β小4，则α=4-；β=0；m=0。 解：据题意，得：代入将4-=α①，得：0=β 4-=+βα①代入，将04=-=βα②，得： m 2=αβ②0=m 4-=-βα③08160>+=∆=m m 时，当 ①+③，得：4-=α004==-=∴m ，，βα 27、已知关于x 的方程0)1(232=-+-m mx x 的两根为21x x ，，且4 3x 1x 121-=+，则m= 31。 ，则：，方程两根为解：21x x 4 3x 2121-=+∴x x x 31=∴m )1(232121-==+m x x m x x ，43)1(23-=-∴ m m 0)1(8)3(312>---=∆=m m m 时， 4 3x 1x 121-=+ )1(612--=∴m m 31=∴m 28、关于x 的方程0322=+-m x x ，当890≤ 0322=+-m x x 解：设方程02 21<= ∴m x x ， ，则：，两根为21x x 0<∴m 2 232121m x x x x ==+，，负根方程有一个正根，一个 方程有两个正数根、 (1)089>-=∆∴m 0221>=∴m x x ，8 9<∴m 0>∴m 0<∴m 方程有两个正数根又 个根时，方程有一正一负两当0<∴m 089≥-=∆∴m 0(3)方程有一根为、 8 9≤∴m 0=∴m 时，方程有两个正根8 90≤<∴m 。时，方程有一根为当00=∴m 负根方程有一个正根，一个、 (2) 三、解答下列各题： 1、已知3－ 2 是方程072 =++mx x 的一个根，求另一个根及m 的值。 ，则：解：设方程的另一根为1x m x -=+- 123①6-=m 7)23(1=-x ②23+答：方程另一根为 ， 由②，得：23237 1+=-=x 6-=m 。 代入将231+=x ①，得： 2、m 取什么值时，方程012)14(222=-++-m x m x （1）有两个不相等的实数根，（2）有两个相等的实数根，（3）没有实数根； )12(8)14(22--+=∆m m 解：098=+=∆∴m 816181622+-++=m m m 8 9-=∴m 98+=m 时，原方程有两个当8 9-=∴m （1）有两个不相等的实数根 相等的实数根。 098>+=∆∴m （3）没有实数根 8 9->∴m 098<+=∆∴m 时，原方程有两个当89->∴m 8 9-<∴m 不相等的实数根。 时，原方程无实根。当8 9-<∴m （2）有两个相等的实数根 3、求证：方程0)4(2)1(222=++-+m mx x m 没有实数根。 )4)(1(4)2(222++--=∆m m m 证明：022>+m )45(44242++-=m m m 0)2(422<+-∴m 1616424---=m m 0<∆即： )44(424++-=m m 0)4(2)1(222=++-+∴m mx x m 方程 22)2(4+-=m 没有实数根。 4、求证：不论k 为何实数，关于x 的式子2 )2)(1(k x x ---都可以分解成两个一次因式的积。 0)2)(1(2=---k x x 解：令0>∆即： 02322=-+-∴k x x 0)2)(1(2=---∴k x x 方程 )2(492k --=∆∴ 有两个不相等的实数根 142+=k ∴不论k 为何实数，关于x 的式子 042≥k 2)2)(1(k x x ---都可以分解成两个 0142>+∴k 一次因式的积。 5、当k 取什么实数时，二次三项式12)14(22 2-++-k x k x 可因式分解. 012)14(222=-++-k x k x 解：令098≥+∴k 有两当012)14(222=-++-k x k x 8 9-≥∴k 可因式分解个实根时，原二次项式时，二次三项式当8 9-≥∴k 0)12(8)14(22≥--+=∆∴k k 可因式分解。 12)14(222-++-k x k x 6、已知a 是实数，且方程0122 =++ax x 有两个不相等的实根，试判别方程0)1(2 1122222=---++a x a ax x 有无实根？ 0)1(2 1122222=---++a x a ax x 解：0442>-=∆∴a 012422222=++-++∴a x a ax x 12>∴a 034)2(222=+++-∴a ax x a 20204424>>∴a a ， )3)(2(416222+--=∆∴a a a 02420424>-+∴a a )3)(2(416222+--=a a a 0>∆即： 2420424-+=a a 0)1(2 1122222=---++∴a x a ax x 方程 有两个不等实根方程0122=++ax x 有两个不相等的实数根。 7、已知关于x 的方程022=+-nx mx 两根相等，方程0342 =+-n mx x 的一个根是另一个根的3倍。求证：方程0)()(2=-++-m k x n k x 一定有实数根。 022=+-nx mx 方程证明： 2=∴m 两根相等4=∴n 0≠∴m 代入方程，将42==n m 082=-=∆m n ①得：0)()(2=-++-m k x n k x 0342=+-n mx x 方程 得：0)2()4(2=-++-k x k x 倍一根是另一根的3)2(4)4(2--+=∆k k ，则： ，另一根为设方程一根为113x x ∴841682+-++=k k k m x x 4311=+2442++=k k n x x 3311=∙20)2(2++=k 2m n =∴②0)2(2≥+k 将②代入①，得： 020)2(2>++∴k 084=-m m 0>∆∴ 0)8(3=-∴m m 0)()(2=-++-∴m k x n k x 方程 20==∴m m 或 一定有实数根。 0≠m 8、已知方程03522=+-n mx x 的两根之比为2∶3，方程0822 =+-m nx x 的两根相等(mn ≠0)。求证：对任意实数k ，方程01)1(2=++-++k x k n mx 恒有实数根。 03522=+-n mx x 方程证明： 代入方程，将42==n m 3:2的两根比为得：01)1(2=++-++k x k n mx ，则：和设此方程两根为a a 32∴01)14(22=++-++k x k x m a a 2 532= +)1(8)3(2+-+=∆k k n a a 2332=∙88692--++=k k k 2m n =∴①122+-=k k 两根相等方程0822=+-m nx x 2)1(-=k 03242=-=∆∴m n 0)1(2≥-k 又 082=-∴m n ②0≥∆∴ 084=-∴m m ，方程对于任意实数 k ∴ 0)8(3=-∴m m 01)1(2=++-++k x k n mx 20==∴m m 或 恒有实数根。 0≠mn 2=∴m 4=∴n 9、设21x x ，是方程03422 =-+x x 的两根，利用根与系数关系求下列各式的值： )1)(1()1(21++x x 、2111)2(x x +、2 112)3(x x x x +、121212)4(x x x x ++、 是一元二次方程，解：21x x 21 12)3(x x x x +、 的两根03422=-+x x 212221 x x x x += 2322121-=-=+∴x x x x ，21212212)(x x x x x x -+= )1)(1()1(21++x x 、2 3)23(2)2(2--⨯--= 12121+++=x x x x )32(72 334-⨯=-+= 1232+--=3 14-= 2 5-=121212)4(x x x x ++、 2 111)2(x x +、)2(211++=x x x 2 121x x x x +=)22(1+-=x 2 32--=01∙=x 3 4=0= 10、设方程03742=+-x x 的两根为21x x ，，不解方程，求下列各式的值: (1) 2221x x + (2)21x x - （3）21x x + （4）21x x - 是一元二次方程，解：21x x （3）21x x + 的两根03742=+-x x 221)(x x += 4 3472121==+∴x x x x ，21212x x x x ++= (1) 2221x x +4 3247+= 212212)(x x x x -+=347+= 432)47(2⨯-=34 31++= 1625=2)2 31(+= (2)21x x -2 31+= 221)(x x -±=（4）21x x - 212214)(x x x x -+±=221)(x x -= 4 34)47(2⨯-±=212214)(x x x x -+= 161±=4 34)47(2⨯-= 41±=4 1161== 11、已知21x x ，是方程01322=-+x x 的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值： (1))32)(32(21--x x ； (2)3 21231x x x x + 是一元二次方程，解：21x x 169)9(2=+---= 的两根01322=-+x x 16= 2 1232121-=-=+∴x x x x ，(2)321231x x x x + (1))32)(32(21--x x )(2 22121x x x x += 96642121+--=x x x x ]2)[(2122121x x x x x x -+= 9)(642121++-=x x x x )]2 1(2)23[(212-⨯---= 9)23(6)21(4+-⨯--⨯=8 13-= 12、实数ｓ、ｔ分别满足方程0199192=++s s 和且099192=++t t 求代数式t s st 14++的值。 0199192=++s s 解：t s st 14++∴ 099192=++t t t t s s 14++= 可看作是方程、t s 1∴t s t s ∙++=4)1( 的两根0199192=++x x 19 41999+-= 191119991==∙-=+∴t s t s t s ，51995-=-= 13、设：011632=--a a ，011632=--b b 且a ≠b ，求4 4b a +的值。 011632=--a a 解：44b a +∴ 011632=--b b 222222)(b a b a -+= 可看作是方程、b a ∴22222]2)[(b a ab b a --+= 的两根011632=--x x 222)3 11(2)]311(22[-⨯-- ⨯-= 3112-==+∴ab b a ，9914924291156=-= 14、已知a a -=12，b b -=12 ，且a ≠b ，求(a －1)(b －1)的值。 a a -=12 解：11-=-=+∴ab b a ， b b -=12)1)(1(--∴b a 可看作是方程、b a ∴1+--=b a ab 的两根x x -=121)(++-=b a ab 012=-+x x 原方程可化为： 11)1(1=+---= 15、已知042=-+m m ，04112=-+n n ，m ，n 为实数，且n m 1≠，求代数式n m 1+的值 042=-+m m 解：的两根042=-+x x 04112=-+n n 41,11-==∙-=+∴n m n m n m 可看作是方程、n m 1∴∴代数式。的值为11-+n m 16、已知07422=-+s s ，02472 =--t t ，s ，t 为实数，且st ≠1。求下列各式的值： (1) t st 1+； (2)t s st 323+-。 07422=-+s s 解：(1)、211-=+=+t s t st 02472=--t t (2)t t s s t s st 323323+-=+- 可看作是方程、t s 1∴t s t s 12)1(3∙∙-+= 的两根07422=-+x x )2 7(2)2(3-⨯--⨯= 27121-=∙-=+∴t s t s ，1)7(6=---= 17、已知关于x 的方程x 2 －(k+1)x+k+2=0的两根的平方和等于6，求k 的值; 则、解：设方程两根为,21x x 3±=∴k 212121+=+=+k x x k x x ，)2(4)1(2+-+=∆k k 62 221=+x x 不符合题意，应舍去时，当,03<∆=k 62)(21221=-+∴x x x x ，符合题意时，当03>∆-=k 6)2(2)1(2=+-+∴k k 。 的值为3-∴k 92=∴k 18、方程x 2+3x+m=0中的m 是什么数值时，方程的两个实数根满足：(1)一个根比另一个根大2；(2)一个根是另一个根的3倍；(3)两根差的平方是17 则、解：设方程两根为,21x x 16 27)43(49=-⨯-=∴m m x x x x =-=+21213，，符合题意时，当016 27>∆=m m 49-=∆倍。的时，方程一根是另一根316 27=∴m 时，、当2)1(21=-x x 时， 、当17)()3(221=-x x 2 52121-=-=x x ，174)(21221=-+∴x x x x 4 5)25(21=-⨯-=∴m 1749=-∴m ，符合题意时，当04 5>∆=m 2-=∴m 时，方程一根比另一根4 5=∴m 02>∆-=时，m 。大2。是时，方程两根差的平方172-=∴m 时， 、当213)2(x x = 4 34921-=-=x x ， 19、已知a,b,c 是三角形的三边长，且方程(a 2+b 2+c 2)x 2 +2(a+b+c)x+3=0有两个相等的实数根，求证：这个三角形是正三角形 方程有两个相等实根证明： 0)(12)](2[2222=++-++=∆∴c b a c b a c b a ==∴ 0)(3)(2222=++-++∴c b a c b a 这个三角形是正三角形 ∴ 022*******=---++∴bc ac ab c b a 0)2()2()2(222222=-++-++-+∴bc c b ac c a ab b a 0)()()(222=-+-+-∴c b c a b a 000=-=-=-∴c b c a b a ，， 20、已知关于x 的方程0)1(4)12(2=-+--a x a x 的两个根是斜边长为5的直角三角形的两条直角边的长，求这个直角三角形的面积。 则、解：设方程两根为,21x x 14-==∴a a 或 )1(4122121-=-=+a x x a x x ，是三角形的两边、21x x 的直角三是斜边长为、521x x 且01221>-=+a x x 角形的两直角边0)1(421>-=a x x 252221=+∴x x 12 1>>∴a a 且 252)(21221=-+∴x x x x 1>∴a 25)1(8)12(2=---∴a a 4=∴a 只能取 0432=--∴a a )14(4212121-⨯== ∴∆x x S 0)1)(4(=+-∴a a 6= 21、关于x 的一元二次方程0)2()14(322=++--m m x m x 的两实根之和等于两个实根的倒数和，求m 的值。 则、解：设方程两根为,21x x 03201422=-+=-∴m m m 或 3 )2(,31421221+=-=+m m x x m x x 1321214321=-=-==∴m m m m ，，， 2 12111x x x x +=+ )2(12)]14([22+---=∆m m m 2 12121x x x x x x +=+ 不符合题意，应舍去时，当,0211<∆=m 3 )2(31 43 1422+-=-∴m m m m 符合题意时，当,0211>∆-=m ) 2(1431422+-=-∴m m m m 符合题意时，当,031>∆-=m )14(3)2)(14(22-=+-∴m m m m 不符合题意，应舍去 时，当,011<∆=m 0)32)(14(22=-+-∴m m m 32 1--和的值为答：m 22、是否存在实数k ，使关于x 的方程06)74(922=---k x k x 的两个实根21x x ，，满足2 321=x x ，如果存 在，试求出所有满足条件的k 的值，如果不存在，请说明理由。 ，得：解：假设存在。据题意21212323x x x x -=-=时，当 2212132,974k x x k x x -=-=+9 )74(237421--=-=∴k x k x ， 2 321=x x 2329)74(2374k k k -=--∙-∴ 2 3232121-==∴x x x x 或09)74(22=--∴k k 21212323x x x x ==时，当 0)374)(374(=--+-∴k k k k 45 )74(245)74(321-=-=∴k x k x ，71==∴k k 或 23 245)74(245)74(3k k k -=-∙-∴)6(94)]74([22k k -∙⨯---=∆ 0225)74(22=+-∴k k ，符合题意时，当01>∆=k 049562412=+-∴k k ，符合题意时，当07>∆=k 0492414562<⨯⨯-=∆∴时或值，当存在71==∴k k k 此方程无实根；∴2321=x x 方程两根满足 。 23、已知关于x 的方程01)1(22=++--m x m x 的两根满足关系式121=-x x ，求m 的值及两个根。 则、解：设方程两根为,21x x 111=-=∴m m 或 2 1,212121+=-=+m x x m x x )1(8)]1([2+---=∆m m 121=-x x 1004121-==>=∆-=x x m ，，此时方程两根为：时，当 4 34121-=+= ∴m x m x ，32041121==>=∆=x x m ，，此时方程两根为：时，当 214341+=-∙+∴m m m 时，方程两根为：答：1-=m 1021-==x x ，； )1(8)3)(1(+=-+∴m m m 时，方程两根为：11=m 3221==x x ，。 0)83)(1(=--+∴m m 24、α、β是关于x 的方程04442 2=++-m m mx x 的两个实根，并且满足2)1)(1(=--βα，求m 的值。 是方程的两根、解：βα 2±=∴m 4 42m m m +==+∴αββα，)4(161622m m m +-=∆ 2)1)(1(=--βα ，不符合题意，应舍去时，当02<∆=m 21)(=++-∴βααβ，符合题意时，当02>∆-=m 14 42=-+∴m m m 。的值为2-∴m 42=∴m 25、已知一元二次方程0)12(82=++-m x m x ，根据下列条件，分别求出m 的值： (1)两根互为倒数；(2)两根互为相反数；(3)有一根为零；(4)有一根为1；(5)两根的平方和为64 1。 则、解：设方程两根为,21x x 1)4(方程有一根为、 8 ,8122121m x x m x x =+=+0)12(8=++-∴m m m m 32)]12([2-+-=∆7=∴m 两根互为倒数、 )1(07>∆=时，当m 18 =∴ m 17时，方程有一根为=∴m 8=∴m 641)5(方程两根的平方和为、 08>∆=时，当m 时，方程两根互为倒数8=∴m 64 12 221=+x x 两根互为相反数、 )2(6412)(21221=-+x x x x 0812=+∴m 64 1464)12(2=-+m m 即： 2 1-=∴m 032=-∴m m 02 1>∆-=时，当m 0)3(=-∴m m 数时，方程两根互为相反2 1-=∴m 30==∴m m 或 0)3(方程有一根为、 00>∆=时，当m 0=∴m ，不符合题意，应舍去时，当03<∆=m 00>∆=∴时，当m 64 10为 时，方程两根的平方和=∴m 00时，方程有一根为=∴m 26、已知方程042 =++mx x 和016)2(2=---x m x 有一个相同的根，求m 的值及这个相同的根。 方程有一个相同的根解： 16)2(422---=++∴x m x mx x 0)4)(133(=+-∴m m 20)2(-=-+∴x m m 43 13-==∴m m 或 m x -=∴110这个相同的根为：33 13-==x m ：时，两方程相同的根为当 ，得：代入将041102=++-=mx x m x 24=-=x m ：时，两方程相同的根为当 04110)110(2=+-+-m m m ；：时，两方程相同的根为答：当33 13-==x m 05232=--∴m m 24=-=x m ：时，两方程相同的根为 当 27、已知关于x 的二次方程05)2(222=-+--a x a x 有实数根，且两根之积等于两根之和的2倍，求a 的值。 则、解：设方程两根为,21x x 31==∴a a 或 5)2(222121-=-=+a x x a x x ，)5(4)]2(2[22----=∆a a 2121)(2x x x x =+ 3616+-=a 5)2(42-=-∴a a ，符合题意时，当01>∆=a 0342=+-∴a a ，不符合题意，应舍去时，当03<∆=a 0)3)(1(=--∴a a 。的值为答：1a 28、已知方程02 =++c bx x 有两个不相等的正实根，两根之差等于3，两根的平方和等于29，求b 、c 的值。 则、解：设方程两根为,21x x 2922=-∴c b ② c x x b x x =-=+2121，①-②得：10=c 321=-x x 代入将10=c ①，得： 2 32321-=+=∴b x b x ，7±=b c b b =-∙+∴2 323根方程有两个不相等正实 942=-∴c b ①002121>=>-=+∴c x x b x x ， 292 221=+x x 7-=∴b 292)(21221=-+∴x x x x 107=-=c b ，答： 29、已知一元二次方程0524)32(2=-++-k kx x k ，且4k+1是腰长为7的等腰三角形的底边长，求：当k 取何整数时，方程有两个整数根。 方程有两个实根解： 时，原方程可化为：当1=k 0≥∆∴，满足条件和其解为310342=+-x x 0)52)(32(4)4(2≥---k k k 即：时，原方程可化为： 当2=k 16 15≥∴k 其解不是整数，0182=-+x x 的等腰三角形的底边长是腰长为714+k 不满足条件，应舍去 ∴1414<+k 时，原方程可化为： 当3=k 014>+k 其解不是整数，011232=++x x ∴4 13< k 不满足条件，应舍去 4 1->k 。时，原方程两根为整数答：当1=k ∴4131615<≤k ∴321、、可能为 整数k 30、已知21x x ，是关于x 的方程02=++q px x 的两根，1121++x x ，是关于x 的方程02 =++p qx x 的两根，求常数p 、q 的值。 解：据题意，得： p x x -=+21①12-=p q ⑥ q x x =21② 将⑥代入⑤，得： q x x -=+++1121③2)12(=--p p p x x =++)1)(1(21④1-=∴p 将①代入③，得：1-=p 将代入⑥，得： 2=-q p ⑤3-=q 将①、②代入④，得：1-=p 答：，3-=q 一元二次方程根与系数的关系习题 一、单项选择题： 1．关于x 的方程0122=+-x ax 中，如果0-∴a 实数根。原方程有两个不相等的∴ a 44-= 044>-∴a 0?即 2．设21,x x 是方程03622 =+-x x 的两根，则2 221x x +的值是（ C ） （A ）15 （B ）12 （C ）6 （D ）3 21x x ，方程两根为解： 212212 2212)(x x x x x x -+=+∴ 23 32121==+x x x x ， 623 232=?-= 3．下列方程中，有两个相等的实数根的是（ B ） （A ） 2y 2+5=6y （B ）x 2+5=2 5 x （C ） 3 x 2－ 2 x+2=0（D ）3x 2－2 6 x+1=0 )0(”的方程即可本题为找出“=? 4．以方程x 2＋2x －3＝0的两个根的和与积为两根的一元二次方程是（ B ） （A ） y 2+5y －6=0 （B ）y 2+5y ＋6=0 （C ）y 2－5y ＋6=0 （D ）y 2－5y －6=0 ，则：，解：设方程两根为21x x 0)3)(2()]3()2[(2 =--+-+--y y 322121-=-=+x x x x ， 0652=++y y 即： ：为根的一元二次方程为和以32--∴ 5．如果21x x ，是两个不相等实数，且满足12121=-x x ，1222 2=-x x ，那么21x x ?等于（ D ） （A ）2 （B ）－2 （C ） 1 （D ）－1 121222 2121=-=-x x x x ，解： 的两根 122 21=-∴x x x x 可看作是方程， 121-=∴x x 二、填空题： 1、如果一元二次方程0422=++k x x 有两个相等的实数根，那么k ＝2±。 0422=++k x x 方程解： 04162=-=?∴k 有两个相等的实数根 2±=∴k 初中数学一元二次方程解法根与系数关系练习题 一、单选题 1.一元二次方程293x x -=-的解是( ) A.3x = B.4x =- C.123,4x x ==- D.123,4x x == 2.直角三角形两条直角边长的和是7，面积是6，则斜边长是（） B.5 D.7 3.一元二次方程220x x -=的两根分别为1x 和2x ，则12x x 为（ ） A.2- B.1 C.2 D.0 A.2m =± B.2m = C.2m =- D.2m ≠± 5.若a ，β为方程22510x x --=的两个实数根，则2235a a ββ++的值为（ ） A.13- B.12 C.14 D.15 A.2 B. 1- C.2或1- D.不存在 7.已知关于x 的一元二次方程2 (1)2(1)0a x bx a ++++=有两个相等的实数根，下列判断正确的是( ) A.1一定不是关于x 的方程20x bx a ++=的根 B.0一定不是关于x 的方程20x bx a ++=的根 C.1和1-都是关于x 的方程20x bx a ++=的根 D.1和1-不都是关于x 的方程20x bx a ++=的根 8.关于x 的一元二次方程2 (1)320a x x -+-=有实数根，则a 的取值范围是( ) A.18a >- B.18a ≥- C. 18a >-且1a ≠ D. 18 a ≥-且1a ≠ 9.一个正方体的表面展开图如图所示，已知正方体相对两个面上的数值相同，且不相对两个面上的数值不相同，则“★”面上的数为( ) A.1 B.1或2 C.2 D.2或3 10.定义一种新运算：()a b a a b =-?.例如，434(43)4=?-=?.若23x =?，则x 的值是( ) A.3x = B.1x =- C.123,1x x == D.123,1x x ==- 二、解答题 11.已知关于x 的一元二次方程2(1)210m x mx m --++=. （1）求方程的根； （2）当m 为何整数时，此方程的两个根都为正整数？ 12.阅读材料: 把形如2ax bx c ++ (,,a b c 为常数)的二次三项式(或其一部分)配成完全平方式的方法叫做配方法.配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即2222()a ab b a b ±+=±. 例如:222213(1)3,(2)2,(2)24 x x x x x -+-+-+ 是224x x -+的三种不同形式的配方，即“余项”分别是常数项、一次项、二次项. 请根据阅读材料解决下列问题: (1)仿照上面的例子，写出242x x -+的三种不同形式的配方; (2)已知2223240a b c ab b c ++---+=，求a b c ++的值. 14.关于x 的方程2()0a x m b ++=的解是12x =-，21x =（a ，m ，b 均为常数，0a ≠），则方 15.若关于x 的一元二次方程220mx x m ++=的两根之积为-1，则m 的值为 . 16.小明设计了一个魔术盒，当任意实数对(,)a b 进入其中时，会得到一个新的实数223a b -+.若 装…………○……_姓名：___________班级：__装…………○……一元二次方程根与系数的关系基础练习30题含详细答案 一、单选题 1．若12,x x 是一元二次方程²350x x +-=的两根，则12x x +的值是（ ） A ．3 B ．3- C ．5 D ．5- 2．已知方程22430x x +-=的两根分别为1x 和2x ，则12x x 的值等于（ ） A ．2 B ．－1.5 C ．－2 D ．4 3．已知α，β是方程2202010x x ++=的两个根，则（1＋2022α＋α2）（1＋2022β＋β2）的值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4．如图，二次函数()2 0y ax bx c a =++≠的图象与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，且OC ＝2OB 则下列结论：① 0abc <；②0a b c ++>；③240ac b -+=；④ c OA OB a ⋅=- ，其中正确的结论有（ ） A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 5．★在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ，b ，c 分别是∠A ，∠B ，∠C 的对边，a ，b 是关于x 的方程x 2－7x ＋c ＋7＝0的两根，那么AB 边上的中线长是（ ） A ． 3 2 B ． 52 C ．5 D ．2 二、解答题 6．关于x 的一元二次方程x 2+3x ﹣k =0有两个不相等的实数根． （1）求k 的取值范围． （2）若x 1+2x 2=3，求|x 1﹣x 2|的值． 7．已知关于x 的方程x 2+（2m ﹣1）x +m 2＝0有实数根． （1）若方程的一个根为1，求m 的值； 韦达定理与根与系数的关系练习题 一、填空题 1、关于x 的方程0322=+-m x x ，当 时，方程有两个正数根； 当m 时，方程有一个正根，一个负根； 当m 时，方程有一个根为0。 2、已知一元二次方程01322=--x x 的两根为1x 、2x ，则=+21x x ． 3、如果1x ，2x 是方程0652=+-x x 的两个根，那么=⋅21x x ． 4、已知1x ，2x 是方程0362=++x x 的两实数根，则2 112x x x x +的值为______． 5、设1x 、2x 是方程03422=-+x x 的两个根，则=++)1)(1(21x x ． 6、若方程03422=--x x 的两根为βα、，则=+-22ββ2a a ． 7、已知1x 、2x 是关于x 的方程01)1(22=-++-a x x a 的两个实数根，且1x ＋2x ＝3 1，则21x x ⋅＝ ． 8、已知关于x 的一元二次方程0642=--x mx 的两根为1x 和2x ，且221-=+x x ， 则=m ，()=+⋅2121x x x x 。 9、若方程0522=+-k x x 的两根之比是2：3，则=k ． 10、如果关于x 的方程062=++k x x 的两根差为2，那么=k 。 11、已知方程0422=-+mx x 两根的绝对值相等，则=m 。 12、已知方程022=+-mx x 的两根互为相反数，则=m 。 13、已知关于x 的一元二次方程01)1()1(22=++--x a x a 两根互为倒数，则=a 。 14、已知关于x 的一元二次方程0)1(222=+--m x m x 。若方程的两根互为倒数，则=m ； 若方程两根之和与两根积互为相反数，则=m 。 15、一元二次方程)0(02≠=++p r qx px 的两根为 0 和 －1，则=q p : 。 16、已知方程0132=-+x x ，要使方程两根的平方和为9 13，那么常数项应改为 。 17、已知方程0242=-+m x x 的一个根α比另一个根β小4，则=α ；=β ；=m 。 18、已知关于x 的方程032=+-k x x 的两根立方和为 0，则=k 19、已知关于x 的方程0)1(232=-+-m mx x 的两根为1x 、2x ，且4 31121-=+x x ，则=m 。 . .. . 一元二次方程根与系数的关系习题精选〔含答案〕 一．选择题〔共22小题〕 1．〔2021•〕假设关于x的一元二次方程的两个根为x1=1，x2=2，那么这个方程是〔〕 A． x2+3x﹣2=0 B． x2﹣3x+2=0 C． x2﹣2x+3=0 D． x2+3x+2=0 2．〔2021•〕x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+1=0的两个实数根，那么x1•x2等于〔〕 A．﹣4 B．﹣1 C．1D．4 3．〔2021•〕x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣2=0的两个实数根，是否存在实数m使+=0成立？那么正确的结论是〔〕 A．m=0时成立B．m=2时成立C．m=0或2时成立D．不存在 4．〔2021•〕假设α，β是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根，那么α2+β2的值为〔〕 A．10 B．9C．7D．5 5．〔2021•贵港〕假设关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，那么b+c的值是〔〕A．﹣10 B．10 C．﹣6 D．﹣1 6．〔2021•〕关于x的方程x2﹣ax+2a=0的两根的平方和是5，那么a的值是〔〕 A．﹣1或5 B．1C．5D．﹣1 7．〔2021•〕假设方程x2+x﹣1=0的两实根为α、β，那么以下说法不正确的选项是〔〕 A．α+β=﹣1 B．αβ=﹣1 C． α2+β2=3 D． +=﹣1 8．〔2021•威海〕方程x2﹣〔m+6〕x+m2=0有两个相等的实数根，且满足x1+x2=x1x2，那么m的值是〔〕A．﹣2或3 B．3C．﹣2 D．﹣3或2 9．〔2021•模拟〕假设关于x的一元二次方程x2+〔k+3〕x+2=0的一个根是﹣2，那么另一个根是〔〕A．2B．1C．﹣1 D．0 10．〔2021•黄冈样卷〕设a，b是方程x2+x﹣2021 =0的两个实数根，那么a2+2a+b的值为〔〕A．2021 B．2021 C．2021 D．2021 . 一元二次方程根与系数的关系习题精选（含答案）一．选择题（共22小题） 2 3．（2014•玉林）x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣2=0的两个实数根，是否存在实数m使+=0成立？ 222 2 2 2 +=﹣1 22 2 22 22 12．（2014•峨眉山市二模）已知x1、x2是方程x2﹣（k﹣2）x+k2+3k+5=0的两个实数根，则的最大值是 13．（2014•陵县模拟）已知：x1、x2是一元二次方程x2+2ax+b=0的两根，且x1+x2=3，x1x2=1，则a、b的值分别是（） ，， 222 22 2 17．（2013•青神县一模）已知m和n是方程2x2﹣5x﹣3=0的两根，则的值等于（） B C D 18．（2012•莱芜）已知m、n是方程x2+2x+1=0的两根，则代数式的值为（） 19．（2012•天门）如果关于x的一元二次方程x2+4x+a=0的两个不相等实数根x1，x2满足x1x2﹣2x1﹣2x2﹣5=0，那 2 21．（2011•鄂州模拟）已知p2﹣p﹣1=0，1﹣q﹣q2=0，且pq≠1，则的值为（） D 22．（2010•滨湖区一模）若△ABC的一边a为4，另两边b、c分别满足b2﹣5b+6=0，c2﹣5c+6=0，则△ABC的周长 二．填空题（共4小题） 23．（2014•莱芜）若关于x的方程x2+（k﹣2）x+k2=0的两根互为倒数，则k= _________ ． 24．（2014•呼和浩特）已知m，n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，则m2﹣mn+3m+n= _________ ． 25．（2014•广州）若关于x的方程x2+2mx+m2+3m﹣2=0有两个实数根x1、x2，则x1（x2+x1）+x22的最小值为 _________ ． 26．（2014•桂林）已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2﹣2=0的两根为x1和x2，且（x1﹣2）（x1﹣x2）=0，则k的值是_________ ． 一元二次方程根与系数的关系习题精选(含答案) 一．选择题（共22小题) 1．(2014•宜宾）若关于x的一元二次方程的两个根为x1=1，x2=2,则这个方程是（） A．x2+3x﹣2=0 B．x2﹣3x+2=0 C．x2﹣2x+3=0 D．x2+3x+2=0 2．（2014•昆明）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣4x+1=0的两个实数根，则x1•x2等于（） A．﹣4 B．﹣1 C．1D．4 3．（2014•玉林）x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣2=0的两个实数根，是否存在实数m使+=0成 立？则正确的结论是（） A．m=0时成立B．m=2时成立C．m=0或2时成立D．不存在 4．（2014•南昌）若α，β是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根,则α2+β2的值为（） A．10 B．9C．7D．5 5．（2014•贵港）若关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为x1=﹣2，x2=4，则b+c的值是(）A．﹣10 B．10 C．﹣6 D．﹣1 6．（2014•烟台）关于x的方程x2﹣ax+2a=0的两根的平方和是5,则a的值是（） A．﹣1或5 B．1C．5D．﹣1 7．（2014•攀枝花）若方程x2+x﹣1=0的两实根为α、β，那么下列说法不正确的是(） A．α+β=﹣1 B．αβ=﹣1 C．α2+β2=3 D． +=﹣1 8．(2014•威海)方程x2﹣(m+6）x+m2=0有两个相等的实数根，且满足x1+x2=x1x2,则m的值是（） A．﹣2或3 B．3C．﹣2 D．﹣3或2 9．(2014•长沙模拟）若关于x的一元二次方程x2+（k+3）x+2=0的一个根是﹣2，则另一个根是（） A．2B．1C．﹣1 D．0 10．(2014•黄冈样卷）设a，b是方程x2+x﹣2015=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为() A．2012 B．2013 C．2014 D．2015 11．（2014•江西模拟）一元二次方程x2﹣2x﹣3=0与3x2﹣11x+6=0的所有根的乘积等于（) A．﹣6 B．6C．3D．﹣3 12．（2014•峨眉山市二模）已知x1、x2是方程x2﹣（k﹣2)x+k2+3k+5=0的两个实数根,则的最大值是（) A．19 B．18 C．15 D．13 13．（2014•陵县模拟）已知:x1、x2是一元二次方程x2+2ax+b=0的两根，且x1+x2=3，x1x2=1，则a、b的值分别是（） A．a=﹣3，b=1 B．a=3，b=1 C． a=﹣，b=﹣1 D． a=﹣，b=1 一元二次方程根与系数的关系习题精选（含答案）一．选择题（共22小题） 2 3．（2014•玉林）x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣2=0的两个实数根，是否存在实数m使+=0成 222 2 2 2 ． +=﹣1 22 2 22 22 12．（2014•峨眉山市二模）已知x1、x2是方程x2﹣（k﹣2）x+k2+3k+5=0的两个实数根，则的最大值是 13．（2014•陵县模拟）已知：x1、x2是一元二次方程x2+2ax+b=0的两根，且x1+x2=3，x1x2=1，则a、b的值分别 ﹣， 222 22 2 17．（2013•青神县一模）已知m和n是方程2x2﹣5x﹣3=0的两根，则的值等于（） ．C D． 18．（2012•莱芜）已知m、n是方程x2+2x+1=0的两根，则代数式的值为（） 19．（2012•天门）如果关于x的一元二次方程x2+4x+a=0的两个不相等实数根x1，x2满足x1x2﹣2x1﹣2x2﹣5=0， 2 21．（2011•鄂州模拟）已知p2﹣p﹣1=0，1﹣q﹣q2=0，且pq≠1，则的值为（） D． 22．（2010•滨湖区一模）若△ABC的一边a为4，另两边b、c分别满足b2﹣5b+6=0，c2﹣5c+6=0，则△ABC的周 二．填空题（共4小题） 23．（2014•莱芜）若关于x的方程x2+（k﹣2）x+k2=0的两根互为倒数，则k=_________． 24．（2014•呼和浩特）已知m，n是方程x2+2x﹣5=0的两个实数根，则m2﹣mn+3m+n=_________． 25．（2014•广州）若关于x的方程x2+2mx+m2+3m﹣2=0有两个实数根x1、x2，则x1（x2+x1）+x22的最小值为 _________． 26．（2014•桂林）已知关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2﹣2=0的两根为x1和x2，且（x1﹣2）（x1﹣x2）=0，则k的值是_________． 一元二次方程根与系数的关系〔附答案〕 评卷人得分 一 .选择题〔共6小题〕 1.关丁x的一元二次方程3x2+4x-5=0,下歹0说法正确的选项是〔〕 A.方程有两个相等的实数根 B.方程有两个不相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定 2.关丁x的一元二次方程x2+2x - m=0有实数根,贝U m的取值范围是〔 A. m> - 1 B. m>- 1 C. m< - 1 D. m< - 1 3.关丁x的一元二次方程x2+3x - 1=0的根的情况是〔〕 A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.不能确定 4.设x〔、x2是一元二次方程2x2- 4x- 1=0的两实数根,那么x12+x22的值是〔 A. 2 B. 4 C. 5 D. 6 5.假设a、6是一元二次方程x2 - 5x- 2=0的两个实数根,贝U a+6的值为〔 A. - 5 B. 5 C. - 2 D. 5 6.关丁x的方程x2- 4x+c+1=.有两个相等的实数根,贝U常数c的值为〔 A. - 1 B. 0 C. 1 D. 3 评卷人得分 二.填空题〔共1小题〕 7.假设关丁x的一元二次方程x2-3x+a=0 〔a^0〕的两个不等实数根分别为p, q, 且p2-pq+q2=18,那么丑产的值为. P Q 评卷人得分 三.解做题(共8小题) 8 .关丁x 的方程x2- (2k+1) x+k2+1=0. (1)假设方程有两个不相等的实数根,求k的取值范围； (2)假设方程的两根恰好是一个矩形两邻边的长,且k=2,求该矩形的对角线L 的长. 9 .关丁x的方程x2+ax+a - 2=0. (1)假设该方程的一个根为1,求a的值； (2)求证：不管a取何实数,该方程都有两个不相等的实数根. 10.关丁x的一元二次方程(x- m) 2 - 2 (x-m) =0 (m为常数). (1)求证：不管m为何值,该方程总有两个不相等的实数根； (2)假设该方程一个根为3,求m的值. 11.关丁x的一元二次方程x2-x+a- 1=0. (1)当a=- 11时,解这个方程； (2)假设这个方程有两个实数根x〔,x2,求a的取值范围； (3)假设方程两个实数根x〔,x2满足[2+x1 (1 - x〔)][ 2+x2 (1 - x2)] =9,求a的值. 12.x〔,x2是关丁x的一元二次方程4kx2 - 4kx+k+1= 0的两个实数根. (1)是否存在实数k,使(2x1 - x2) (x1 - 2x2)=-音成立？假设存在,求出k的值； 假设不存在,说明理由； (2)求使打+挡-2的值为整数的实数k的整数值； 七 (3)假设k=- 2,入机,试求入的值. s2 13.关丁x的方程(k+1) x2 - 2 (k- 1) x+k=0有两个实数根x〔,x2. (1)求k的取值范围； (2)假设x〔+x2=x1x2+2,求k 的值. 14.关丁x 的方程x2 - 2 (m+1) x+m2-3=0. (1)当m取何值时,方程有两个不相等的实数根？ (2)设x1、x2是方程的两根,且x12+x22=22+x1x2,求实数m的值. 15.关丁x的一元二次方程x2-2x+m- 1=0有两个实数根x i、X2. 一元二次方程及一元二次方程与根与系数关系 一. 选择题。（第1题2分其余每题3分，共53分） 1.（2009，清远）方程2 16x =的解是（ ） A ．4x =± B ．4x = C ．4x =- D ．16x = 2.（2009，云南）一元二次方程2520x x -=的解是（ ） A ．x 1 = 0 ，x 2 =2 5 B ． x 1 = 0 ，x 2 =5 2- C ．x 1 = 0 ，x 2 = 5 2 D ． x 1= 0 ，x 2 =2 5 - 3.（2009，河南）方程2 x =x 的解是 （A ）x =1 （B ）x =0 (C) x 1=1 x 2=0 (D) x 1=﹣1 x 2=0 4.（2009，台州）用配方法解一元二次方程542 =-x x 的过程中，配方正确的是（ ） A ．（1)22=+x B ．1)2(2=-x C ．9)2(2=+x D ．9)2(2=-x 5.（2009，太原）用配方法解方程2 250x x --=时，原方程应变形为（ ） A ．()216x += B ．()2 16x -= C ．()229x += D ．()2 29x -= 6.(2009,深圳)用配方法将代数式a 2 +4a -5变形，结果正确的是（ ） A.(a +2)2 -1 B. (a +2)2 -5 C. (a +2)2+4 D. (a +2)2 -9 7.（2009，荆门）关于x 的方程ax 2 －(a ＋2)x ＋2=0只有一解(相同解算一解)，则a 的值为( ) (A)a =0． (B)a =2． (C)a =1． (D)a =0或a =2． 8.（2009，长沙）已知关于x 的方程2 60x kx --=的一个根为3x =，则实数k 的值为（ ）A ．1 B ．1- C ．2 D ．2- 9.（2009，武汉）已知2x =是一元二次方程2 20x mx ++=的一个解，则m 的值是（ ）A ．3- B ．3 C ．0 D ．0或3 10.(2009,南充)方程(3)(1)3x x x -+=-的解是（ ） A ．0x = B ．3x = C ．3x =或1x =- D ．3x =或0x = 11. （2009，东营）若n （0n ≠）是关于x 的方程2 20x mx n ++=的根，则m +n 的值为 （A ）1 （B ）2 （C ）-1 （D ）-2 12.（2009，济南）若12x x ，是一元二次方程2 560x x -+=的两个根，则12x x +的值是（ ） 2124 —元二次方程的根与系数的关系 ☆知识点 关系 A 基础知识详解 元二次方程根与系数的关系 如果一元二次方程 ax 2+bx+c=0的两个根为X 1, X 2，那么X 1+X 2= - b , X 1X 2= c a — —a 常用变形 逆用 2 2 2 X 1 +X 2 =(x 1+X 2) -2x 1X 2； (x 1 + 1)(X 2+1)=X 1X 2+(X 1 +X 2)+1； 2 1 x 1 x 2 x 2 x 1 (x 1 x 2 ) _ = ------------------------ ;— — X 1 X 2 X 1X 2 X 1 x 2 X 1X 2 x 1 x 2 2X 1X 2 (x i X 2) 4x 1 x 2 ； 如果已知某一元二次方程的两根为X 1 , X 2 ,则该一元二次方程可表示为 x 2-(x 1+X 2)X+X 1X 2=0 或(x-x 1)(X-X 2)=0. 根与系数关系存在的基础是方程有解，即0 特别提醒 O 随堂例题 例1 设a , b 是方程X 2+X -2018=0的两个不相等 的实数根. (1) a+b= _____ ; ab= _____ ; (2 )求代数式a 2 +2a+b 的值. 自主解答：(1)T a , b 是方程X 2+X -2016=0 个不相等的实数根， • a+b=-1 ; ab=-2016 ; (2 )T a 是方程x 2 +x-2018=0的实数根， --a +a-2018=0 ，— a =-a+2018 , 2 • a +2a+b=-a+2018+2a+b=a+b+2018, ■/ a 、b 是方程x 2 +x-2018=0的两个实数根， • a+b=-1 , 2 • a +2a+b=-1+2018=2017 . 【一中名师点拨】(1)直接利用根与系数的关系 求解；(2)要先变形，利用根与系数的关系已经 方程的解来求解. O 随堂训练 1.已知X 1、X 2是方程2X 2 +3X -4=0的两根，那么X 1+ 3 11 3 X 2= 3 - x 1 • X 2= 2 ; 1 + 1 = 3 - 2 X Xo 4 解得m=5 (2) •••当m=2时，设a 、B 是方程的两个实数根, • a + 3 =-4 , a3 =m-1=1, 2+ 3 2+a3 = (a + 3) 2 2 2 + 3 + a3 =15. • *a 即a a3 = (-4 ) 2-1=15 , 的两 例2 (1) (2) 已知：关于X 的方程 求证：方程有两个不相等的实数根； 若方程的一个根是-1，求另一个根及k 值. 2 x +kx-2=0 ， _ X 1 x 2 2 2 7 23 X 1 x 2 =_ 一「； X 1 X 2 = 一 . 4 4 2.已知关于x 的一元二次方程 x +4x+m-仁0. (1 )当m 何值时，方程有两个相等的实数根； (2 )当 m=2时，设a 、3是方程的两个实数根， 求a 2+3 2 +a3的值. 解：(1)依题意得：△ =42-4 ( m-1) =0, B 重难点解读- ☆重难点根据方程中两根的关系确定方程中字母的值 O 随堂例题 例1 已知关于x 的方程X 2+ (2k-1 ) x+k 2 -1=0有 两个实数根X 1、X 2. 自主解答：(1 )•.•△ =k -4 X 1X( -2 ) =k+8>0, •方程有两个不相等的实数根 ； (2 )将x=-1代入原方程，得1-k-2=0 , • k=-1 .设方程的另一个根为 X 1, 根据题意得-1 ?X 1 =-2 , • X 1=2. •方程的另一个根为 2, k 值为-1 . 【八中名师点拨】 利用根与系数的关系可以简便 的根据两根求出方程中未知数的值，也可以简便 的根据一根求出方程的另一根 . O 随堂训练 3.已知关于 x 的一元二次方程X 2-kx-6=0的一个 根为x=3，则另一个根为( A ) A . x=-2 B . x=-3 C. x=2 D. x=3 4. (2017绵阳)关于x 的方程2x 2+mx+ n=0的两个 根是-2和1，则n m 的值为( C ) D. -16 A . -8 B . 8 C. 16 5.若方程x 2+( m+1 X -2n=0的两根分别为2和-5 , 贝U m= 2 , n= 5 . (1)求实数k 的取值范围； (2 )若 X 1、X 2 满足 X 12+X 22=16+X 1?X 2，求实数 k 的 值. 一元二次方程及一元二次方程及根及系数关系 一. 选择题。（第1题2分其余每题3分，共53分） 1.（2009，清远）方程2 16x =的解是（ ） A ．4x =± B ．4x = C ．4x =- D ．16x = 2.（2009，云南）一元二次方程2 520x x -=的解是（ ） A ．x 1 = 0 ，x 2 =2 5 B ． x 1 = 0 ，x 2 =52 - C ．x 1 = 0 ，x 2 = 52 D ． x 1= 0 ，x 2 =25 - 3.（2009，河南）方程2 x =x 的解是 （A ）x =1 （B ）x =0 (C) x 1=1 x 2=0 (D) x 1=﹣1 x 2=0 4.（2009，台州）用配方法解一元二次方程542 =-x x 的过程中，配方正确的是（ ） A ．（1)22=+x B ．1)2(2=-x C ．9)2(2=+x D ．9)2(2=-x 5.（2009，太原）用配方法解方程2 250x x --=时，原方程应变形为（ ） A ． () 2 16x += B ． () 2 16x -= C ． () 2 29x += D ． () 2 29x -= 6.(2009,深圳)用配方法将代数式a 2 +4a -5变形，结果正确的是（ ） A.(a +2)2 -1 B. (a +2)2 -5 C. (a +2)2 +4 D. (a +2)2 -9 7.（2009，荆门）关于x 的方程ax 2 －(a ＋2)x ＋2=0只有一解(相同解算一解)，则a 的值为( ) (A)a =0． (B)a =2． (C)a =1． (D)a =0或a =2． 8.（2009，长沙）已知关于x 的方程2 60x kx --=的一个根为3x =，则实数k 的值为（ ）A ．1 B ．1- C ．2 D ．2- 9.（2009，武汉）已知2x =是一元二次方程220x mx ++=的一个解，则m 的值是（ ）A ．3- B ．3 C ．0 D ．0或3 10.(2009,南充)方程(3)(1)3x x x -+=-的解是（ ） A ．0x = B ．3x = C ．3x =或1x =- D ．3x =或0x = 11. （2009，东营）若n （0n ≠）是关于x 的方程2 20x mx n ++=的根，则m +n 的值为 （A ）1 （B ）2 （C ）-1 （D ）-2 12.（2009，济南）若12x x ，是一元二次方程2 560x x -+=的两个根，则12x x +的值是（ ）A ．1 B ．5 C ．5- D ．6 一元二次方程根与系数的关系 一、选择题 1. （2020•南通）假设3是关于方程x 2 －5x ＋c ＝0的一个根，那么那个方程的另一个根是（ ） A 、﹣2 B 、2 C 、﹣5 D 、5 分析：由根与系数的关系，即3加另一个根等于5，计算得． 解答：解：由根与系数的关系，设另一个根为x ，那么3+x=5，即x=2．应选B ． 点评：此题考查了根与系数的关系，从两根之和动身计算得． 2. （2020南昌，9，3分）已知x =1是方程x 2+bx ﹣2=0的一个根，那么方程的另一个根是（ ） C.﹣2 D.﹣1 分析：依照根与系数的关系得出x 1x 2=a c =﹣2，即可得出另一根的值． 解答：解：∵x =1是方程x 2+bx ﹣2=0的一个根，∴x 1x 2==﹣2，∴1×x 2=﹣2，那么方程 的另一个根是：﹣2，应选C ． 点评：此题要紧考查了一元二次方程根与系数的关系，得出两根之积求出另一根是解决问题的关键． 3. （2020湖北荆州，9，3分）关于x 的方程ax 2 －（3a+1）x+2（a+1）=0有两个不相等的实根x 1、x 2，且有x 1－x 1x 2+x 2=1－a ，那么a 的值是（ ） A 、1 B 、－1 C 、1或－1 D 、2 分析：依照根与系数的关系得出x 1+x 2=－ ba ，x 1x 2= ca ，整理原式即可得出关于a 的方程求出即可． 解答：解：依题意△＞0，即（3a+1）2－8a （a+1）＞0， 即a 2－2a+1＞0，（a －1）2＞0，a≠1， ∵关于x 的方程ax 2－（3a+1）x+2（a+1）=0有两个不相等的实根x 1、x 2，且有x 1－x 1x 2+x 2=1－a ， ∴x 1－x 1x 2+x 2=1－a ， . . . 一元二次方程根与系数的关系习题精选（含答案） 一．选择题（共 22 小题） 1．（ 2014?宜宾）若关于 x 的一元二次方程的两个根为 x1=1， x2=2，则这个方程是（ ） 2 2 ﹣ 3x+2=0 2 2 A ．x +3x ﹣ 2=0 B ． x C ． x ﹣ 2x+3=0 D ． x +3x+2=0 2．（ 2014?昆明）已 知 x 1， x 2 是一元二次方 程 x 2 ﹣ 4x+1=0 的两个实数根，则 x1?x2 等于（ ） A ．﹣4 B ．﹣1 C ． 1 D ．4 3．（ 2014?玉林） x1， x2 是关于 x 的一元二次方程 x 2 ﹣ mx+m ﹣ 2=0 的两个实数根，是否存在实数 m 使 + =0 成 立？则正确的结论是 （ ） A ．m=0 时成立 B ． m=2 时成立 C ． m=0 或 2 时成立 D ．不存在 4．（ 2014?南昌）若 α， β是 方程 2 2 2 ） x ﹣2x ﹣ 3=0 的两个实数根，则 α+β 的值为（ A ．10 B ． 9 C ． 7 D ．5 5．（ 2014?贵港）若关 于 2 的两个实数根分别为 x1=﹣2， x2=4，则 b+c 的值是 （ ） x 的一元二次方程 x +bx+c=0 A ．﹣10 B ． 10 C ．﹣6 D ．﹣1 6．（ 2014?烟台）关于 x 的方程 x 2 ﹣ ax+2a=0 的两根的平方和是 5，则 a 的值是（ ） A ．﹣1或 5 B ． 1 C ． 5 D ．﹣1 7．（ 2014?攀枝花）若方程 A ．α+β=﹣1 2 的两实根为 α、 β，那么下列说法不正确的是（ ） x +x ﹣ 1=0 B ． αβ=﹣ 1 2 2 D ． C ． α+β=3 + =﹣1 8．（ 2014?威海）方程 x 2﹣（ m+6）x+m 2 =0 有两个相等的实数根，且满足 x1+x 2=x 1x2，则 m 的值是 （ ） A ．﹣2或 3 B ． 3 C ．﹣2 D ．﹣3 或 2 9．（ 2014?长沙模拟）若关于 2 （ k+3） x+2=0 的一个根是﹣ 2，则另一个根是（ ） x 的一元二次方程 x + A ．2 B ． 1 C ．﹣1 D ．0 2 2 ） 10．（ 2014?黄冈样卷）设 a ， b 是方程 x +x ﹣ 2015=0 的两个实数根，则 a +2a+b 的值为（ A ．2012 B ． 2013 C ． 2014 D ．2015 11．（2014?江西模拟）一元二次方程 x 2 ﹣ 2x ﹣ 3=0 与 3x 2 ﹣ 11x+6=0 的所有根的乘积等于 （ ） A ．﹣6 B ． 6 C ． 3 D ．﹣3 12．（ 2014?峨眉山市二模）已知 x 1、 x 2 是方程 x 2 ﹣（ k ﹣ 2） x+k 2 +3k+5=0 的两个实数根，则 的最大值 是 （ ） . 一元二次方程根与系数的关系习题 一、单项选择题： 1．关于x 的方程0122=+-x ax 中，如果0-∴a 实数根。原方程有两个不相等的∴ a 44-= 044>-∴a 0∆即 2．设21,x x 是方程03622=+-x x 的两根，则2 22 1x x +的值是（ C ） （A ）15 （B ）12 （C ）6 （D ）3 21x x ，方程两根为解： 212212 2212)(x x x x x x -+=+∴ 23 32121==+x x x x ， 623 232=⨯-= 3．下列方程中，有两个相等的实数根的是（ B ） （A ） 2y 2+5=6y （B ）x 2+5=2 5 x （C ） 3 x 2－ 2 x+2=0（D ）3x 2－2 6 x+1=0 )0(”的方程即可本题为找出“=∆ 4．以方程x 2＋2x －3＝0的两个根的和与积为两根的一元二次方程是（ B ） （A ） y 2+5y －6=0 （B ）y 2+5y ＋6=0 （C ）y 2－5y ＋6=0 （D ）y 2－5y －6=0 ，则：，解：设方程两根为21x x 0)3)(2()]3()2[(2 =--+-+--y y 322121-=-=+x x x x ， 0652=++y y 即： ：为根的一元二次方程为和以32--∴ 5．如果21x x ，是两个不相等实数，且满足12121=-x x ，1222 2=-x x ，那么21x x •等于（ D ） （A ）2 （B ）－2 （C ） 1 （D ）－1 121222 212 1=-=-x x x x ，解： 的两根 12221=-∴x x x x 可看作是方程， 121-=∴x x 二、填空题： 1、如果一元二次方程0422=++k x x 有两个相等的实数根，那么k ＝2±。 0422=++k x x 方程解： 04162=-=∆∴k 有两个相等的实数根 2±=∴k一元二次方程根与系数的关系习题(配答案)
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