作业2(修改2008-10)
4. 掷一枚非均匀的硬币,出现正面的概率为(01)p p <<,若以X 表示直至掷到正、反面
都出现为止所需投掷的次数,求X 的概率分布.
解 对于2,3,k = ,前1k -次出现正面,第k 次出现反面的概率是1(1)k p p --,前1k -次出现反面,第k 次出现正面的概率是1(1)k p p --,因而X 有概率分布
1
1
()(1)(1)
k k P X k p
p p p
--==-+-,2,3,k = .
5. 一个小班有8位学生,其中有5人能正确回答老师的一个问题.老师随意地逐个请学生回答,直到得到正确的回答为止,求在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数的概率分布.
第1个能正确回答的概率是5/8,
第1个不能正确回答,第2个能正确回答的概率是(3/8)(5/7)15/56=, 前2个不能正确回答,第3个能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(5/6)5/56=, 前3个不能正确回答,第4个能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(5/5)1/56=, 前4个都不能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(0/5)0=.
设在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数为X ,则X 有分布
6. 设某人有100位朋友都会向他发送电子邮件,在一天中每位朋友向他发出电子邮件的概率都是0.04,问一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是多少?试用二项分布公式和泊松近似律分别计算.
解 设一天中某人收到X 位朋友的电子邮件,则~(100,0.04)X B ,一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是(4)P X ≥. 1) 用二项分布公式计算
3
1001000(4)1(4)10.04
(10.04)
0.5705k k
k
k P X P X C -=≥=-<=-
-=∑.
2) 用泊松近似律计算
3
3
1004
100
00
4
(4)1(4)10.04(10.04)
10.5665
!
k
k k k
k k P X P X C e
k --==≥=-<=-
-≈-
=∑
∑.
8. 设X 服从泊松分布,分布律为
(),0,1,2,!
k
P X k e
k k λ
λ
-==
=
.
问当k 取何值时{}P X k =最大?
解 设()/(1)k a P X k P X k ===-,1,2,k = ,则
1/!
/(1)!
k k k
e k a k
e
k λ
λ
λ
λλ+--=
=
-,
数列{}k a 是一个递减的数列. 若11a <,则(0)P X =最大.
若11a ≥,则当1k a ≥且11k a +≤时,{}P X k =最大. 由此得
1) 若1λ<,则(0)P X =最大.
2) 若1λ≥,则{}/1/(1)11P X k k k k λλλλ=?≥+≤?-≤≤最大且. 由上面的1)和2)知,无论1λ<或1λ≥,都有
[]
{}1P X k k λλλλ
λ?=?=?
-?不是整数最大或是整数.
12. 设随机变量X 的概率密度为[0,1)[1,2]()()(2)()p x xI x x I x =+-.求X 的分布函数()F x ,并作出()p x 与()F x 的图形. 解 ()0
(,0)[0,1)0()()()0()
0x
x x
F x p v dv I x dv I x dv vdv
-∞-∞
-∞
-∞
=
=?+?+
??
??
()01
[1,2)1
()0(2)x
I x dv vdv x dv -∞
-∞+?+
+-?
??
()
1
2
[2,)
1
2
()0(2)0I x dv vdv v dv dv +∞
+∞-∞
+?+
+
-+
??
???
()()
112
[0,1)[1,2)[2,)0
1
1
()()
(2)()
(2)x x
I x vdv I x vdv v dv I x vdv v dv +∞=++
-++
-??
??
?
22[0,1)[1,2)[2,)(/2)()(2/21)()()x I x x x I x I x +∞=+--+.
11. 设随机变量X 的概率密度为[0,10]()()p x cxI x =.求常数c 和X 的分布函数,并求概率
(16/10)P X X +≤.
解 10
210
01()502
cx p x dx cxdx c +∞
-∞
=
=
=
=??, 1/50c =.
2
[0,10)[10,)[0,10)[10,)0
()()()()()()
50
100
x
x
v x
F x p v dv I x dv I x I x I x +∞+∞-∞=
=+=
+??.
2
(16/10)(10160)(28)
P X X P X X P X +≤=-+≤=≤≤
8
2
8
8
2
22
()3/550100
x x
p x dx dx =
=
==??.
15. 设随机变量X 的密度为2
x x
ce -+.求常数c .
解 2
2
2
1/2
(1/2)
1/4
1/4/4
1x t x x
x t
ce
dx c e
dx
ce
e dt ce
=++∞
+∞+∞-+--+--∞
-∞
-∞
=
===??
?.
由上式得1/41/2c e π--=.
15. 离散型随机向量(,)X Y 有如下的概率分布:
求边缘分布.解 X 有分布
Y
有分布
因为
0(2,0)(2)(0)0.30.1P X Y P X P Y ===≠===?,
所以X ,Y 不独立.
18. 设随机向量
(,)
X Y 服从矩形
{(,):12,02}D x y x y =-≤≤≤≤上的均匀分布,求条件概率(1|)P X X Y ≥≤.
解 1()(622)/62/32
P X Y ≤=-
??=, 1
(,1)(11)/61/122
P X Y X ≤≥=??=,
(,1)
1/12(1|)1/8
()
2/3
P X Y X P X X Y P X Y ≤≥≥≤==
=≤.
22. 随机向量(,)X Y 有联合密度
(,)(,)E p x y x y =
,
其中222{(,):0}E x y x y R =<+≤.求系数c 和(,)X Y 落在圆222{(,):}D x y x y r =+≤内的概率. 解
(
)
2
2
2
cos sin 200
01(,)2x r y r R
x y R
p x y dxdy d cdr cR θ
θ
π
θπ==+∞+∞
-∞-∞
<+≤=
=
=
=????
??
因而12c R
π=.而
2
2
2
{(,)}(,)D
x y r
P X Y D p x y dxdy +≤∈=
=
??
??
(
)
cos sin 200
1/2x r y r r
d dr r R R
θθ
π
θπ===
=??.
27. 设2~(,)X N μσ,分别找出i k ,使得()i i i P k X k μσμσα-<<+=.其中1,2,3i =,
10.9α=,20.95α=,30.99α=.
解1
22
()/(2)
()i i
k x i i i k P k X k dx μσ
μσ
μσ
αμσμσ+---=-<<+=
?
2
/2
()()2()1i
i
x t k t
i i i k
dt k k k σμ
=+--=
=Φ-Φ-=Φ-?.
()(1)/2i i k αΦ=+.
代入i α的值查得1 1.64α=,2 1.96α=,3 2.58α=.
解2 设1~(0,1)
2
X Z N -=
,则~(0,1)Z N .
()i i i i i k k X P k X k P μσμμσμμ
αμσμσσσ
σ
--+--??
=-<<+==<<
?
?
?
()()()2()1i i i i i P k Z k k k k =-<<=Φ-Φ-=Φ-. ()(1)/2i i k αΦ=+.
代入i α的值查得1 1.64α=,2 1.96α=,3 2.58α=.
28. 某商品的每包重量2~(200,)X N σ.若要求{195205}0.98P X <<≥,则需要把σ控制在什么范围内. 解 设200
~(0,1)
X Z N σ
-=
,则~(0,1)Z N .
195200
205200{195205}(5/)(5/)2(5/)1
P X P Z σσσσσ--??<<=≤≤=Φ-Φ-=Φ- ???
.
{195205}0.982(5/)10.98P X σ<<≥?Φ-≥
15/(0.99) 2.335/2.33 2.15σσ-?≥Φ=?≤=.
28. 设X 服从自由度为k 的2χ分布,即X 有密度
/21/2
(0,)/2
1()()
2
(/2)
k x X k p x x
e
I x k --+∞=
Γ.
求Y =.
解1
当0y <时,()())0Y F y P Y y P y =≤=≤=,()()0Y Y p y F y '==.
当0y >时,22()())()()Y X F y P Y y P y P X ky F ky =≤=≤=≤=, 2
22/21
/2
2
(0,)/2
1()()2()2()
()
2
(/2)
k ky
Y Y X k p y F y kyp ky ky ky e
I ky k --+∞'===?Γ
()
()
2
/2
1/2
2/2/2k k ky
k y e
k --=Γ.
因而
()
()
2
/2
1/2
(0,)2/2()()/2k k ky Y k p y y e
I y k --+∞=
Γ.
解2 设(0,)V =+∞,则()1P X V ∈=.
设()y f x ==
x V ∈,则f 有反函数
1
2
()f
y ky
?-==, y G ∈,
其中{():}(0,)G y f x x V ==∈=+∞.因而Y 有密度 ()|()|(()()Y X G p y y p y I y ??'= 2
2/21
/2
2
(0,)/2
12()
()2
(/2)
k ky
k ky ky e
I ky k --+∞=?Γ()
()
2
/2
1/2
2/2/2k k ky
k y
e
k --=
Γ.
29. 由统计物理学知道分子运动的速率遵从麦克斯威尔(Maxwell )分布,即密度为
22
2
/
(0,)()()x X p x I x α
-+∞=
.
其中参数0α>.求分子的动能2/2Y mX =的密度. 解1
当0y <时,2()()(/2)0Y F y P Y y P mX y =≤=≤=,()()0Y Y p y F y '==.
当0y >时,2()()(/2)(Y X F y P Y y P m X y P X F =≤=≤=≤=,
2
2/()
(0,)()()y m Y Y X p y F y p I α-+∞'===
2
2
2/()
2/()
y m y m αα--==
.
因而
2
2/()
(0,)()()y m Y p y I y α
-+∞=
.
解2 设(0,)V =+∞,则()1P X V ∈=.
设2()/2y f x m x ==, x V ∈,则f 有反函数
1
()f
y ?-==y G ∈,
其中{():}(0,)G y f x x V ==∈=+∞.因而Y 有密度 ()|()|(()()Y X G p y y p y I y ??'=
2
2/()
(0,)y m X p I α-+∞==
2
2/()
(0,)()y m I y α-+∞=.
30. 设X 服从[1,2]-上的均匀分布,2Y X =.求Y 的分布. 解 X 有密度[1,2}1()()
3
X P x I x -=
.Y 有分布函数
()()Y F y P Y y =≤ 2()P X y =≤
[0,)()(I y P X +∞=≤≤
[0,)()()X
I y p x dx +∞=
[0,)[1,2]()()I y x dx
+∞-=
[0,1)[1,4)[4,)1
1
()()()3
3
I y I y I y dy
+∞--=++
[0,1)[1,4)[4,)()()()3
y y I y +∞=+
+.
31. 质点随机地落在中心在原点,半径为R 的圆周上,并且对弧长是均匀地分布的.求落点的横坐标的概率密度.
解 设落点极坐标是(,)R Θ,则Θ服从[0,2]π上的均匀分布,有密度
[0,2]1()()2p I πθθπ
Θ=
.
设落点横坐标是X ,则cos X R =Θ,X 的分布函数为
()()(cos )
X F x P X x P R x =≤=Θ≤.
当1x <-时,()0X F x =.当1x >时,()1X F x =.当11x -≤≤时
1()(cos )arccos 2arccos arccos X x x x F x P R x P R R R πππ?
???=Θ≤=≤Θ≤-=- ? ?
?
???.
因而落点的横坐标X 有概率密度
(1,1)()()()X X
p x F x x -'==.
.
34. 设随机变量X 服从在[0,1]上的均匀分布,求ln Y X =-的分布. 解 设(0,1)V =,则()1P X V ∈=.
设()ln y f x x ==-, x V ∈,则f 有反函数
1
()y
f
y e
?--==, y G ∈,
其中{():}(0,)G y f x x V ==∈=+∞.因而Y 有密度
[0,1](0,)(0,)()|()|(())()()()()y y y Y X G p y y p y I y e I e I y e I y ??---+∞+∞'===.
36. 设X 和Y 独立,密度分别为[0,1]()()X p x I x =和(0,)()()y Y p y e I y -+∞=,求Z X Y =+的密度. 解 ()()()Z X Y p z p x p z x dx +∞
-∞=-? ()
[0,1](0,)()()z x I x e I z x dx +∞
--+∞-∞
=-? ()
[0,1](,)()()z x z I x e
I x dx +∞
---∞-∞
=
?
1
()()[0,1)[1,)0
()()z
z x z x I z e dx I z e dx ----+∞=+??
[0,1)[1,)()(1)(1)()z z I z e e e I z --+∞=-+-.
37. 设系统L 由两个相互独立的子系统12,L L 联接而成,联接的方式分别为串联,并联和备用(当系统1L 损坏时,系统2L 开始工作),如图7.1所示.1L 和2L 的寿命为X 和Y ,分别
有密度(0,)()()x X p x e I x αα-+∞=和(0,)()()y Y p y e I y ββ-+∞=,其中0,0αβ>>且αβ≠.请就这三种联接方式分别写出系统L 的寿命Z 的密度.
解 X ,Y 独立,分别服从参数为α和β的指数分布,因此分别有分布函数
(0,)()(1)()x
X F x e
I x α-+∞=-
和
(0,)()(1)()y
Y F y e
I y β-+∞=-.
1) 联接的方式为串联时,min{.}Z X Y =, (){min(,)}1{min(,)}S F z P X Y z P X Y z =≤=->
()(0,)1()()1[1()][1()](1)()z X Y P X z P Y z F z F z e I z αβ-++∞=->>=---=-, ()(0,)()()()()zs Z Z p z F z e I z αβαβ-++∞'==+. 2) 联接的方式为并联时,max{.}Z X Y =,
(){max(,)}()()()()Z X Y F z P X Y z P X z P Y z F z F z =≤=≤≤= (0,)(1)(1)()r b r e e I z αβ--+∞=--,
()(0,)()()(())()z z z Z Z p z F z e e e I z αβαβαβαβ---++∞'==+-+. 3) 联接的方式为备用时,Z X Y =+, ()
(0,)(0,)()()()()()x
z x Z X Y p z p x p z x dx e
I x e
I z x dx αβαβ+∞
+∞
---+∞+∞-∞
-∞=
-=
?-??
()()(0,)(0,)0
()()z z
x z x z x I z e e dx e I z e dx αββαβαβαβ------+∞+∞==??.
因此,
当αβ≠时, (0,)()()()
z
z
Z p z e
e
I z αβαββα
--+∞=
--,
当αβ=时, 2(0,)()()z Z p z ze I z αα-+∞=.
38. ,X Y 相互独立,1~(,)X αβΓ,2~(,)Y αβΓ.证明12~(,)Z X Y a αβ=+Γ+.(提示:称1
1
1
0(,)(1)
s t B s t u
u dx
--=
-?为β函数,由微积分的知识知(,)()()/()B s t s t s t =ΓΓΓ+)
解 (见命题A .2.1)
43. 设12,,,n X X X 独立,都服从参数为,m η的威布尔分布,即都有密度
()
/1(0,)()()
m
x m m
m
p x x
e
I x ηη
--+∞=
.
证明12min(,,,)n X X X 仍服从威布尔分布. 证 i X 1,i n = 有分布函数
()
/1(0,)0
()()m
x v m m
m
F x I x v
e dv
ηη
--+∞=?,
()
()
()
///(0,)(0,)0
()(1)()m
m
m
v t
x x t
I x e dt e
I x ηηη=--+∞+∞=
=-?
.
设
12min(,,,)
n Z X X X = ,
则Z 有分布函数
11()()(min(,,))1(min(,,))Z n n F z P Z z P X X z P X X z =≤=≤=-≤ 11()()1[1()]n n P X z P X z F x =->>=-- .
()()//(,0](0,)
(0,)1()()1()m mn
n
x x I x e I x e I x ηη---∞+∞+∞??
=-+=- ???
,
接下来的证明过程可以有两种。 其一:
()Z F z 与()F x 有相同的形式,从而12min(,,,)n Z X X X = 仍服从威布尔分布. 其二:
因而Z 有密度函数
()
1
/(0,)()()()mn x Z Z
p z F z mne I x η--+∞'==,
从而12min(,,,)n Z X X X = 仍服从威布尔分布.
;第一章 一、填空题 1.若事件A?B且P(A)=, P(B) = , 则 P(A-B)=()。 2.甲、乙各自同时向一敌机炮击,已知甲击中敌机的概率为,乙击 中敌机的概率为.求敌机被击中的概率为()。 3.设A、B、C为三个事件,则事件A,B,C中不少于二个发生可 表示为(AB AC BC ++)。 4.三台机器相互独立运转,设第一,第二,第三台机器不发生故障 的概率依次为,,,则这三台机器中至少有一台发生故障的概率为()。 5.某人进行射击,每次命中的概率为0.6 独立射击4次,则击中二 次的概率为()。 6.设A、B、C为三个事件,则事件A,B与C都不发生可表示为 (ABC)。 7.设A、B、C为三个事件,则事件A,B,C中不多于一个发生可 表示为(AB AC BC); 8.若事件A与事件B相互独立,且P(A)=, P(B) = , 则 P(A|B)= ();
9. 甲、乙各自同时向一敌机炮击,已知甲击中敌机的概率为,乙击中敌机的概率为.求敌机被击中的概率为( ); 10. 若事件A 与事件B 互不相容,且P (A )=, P(B) = , 则 P(B A -)= ( ) 11. 三台机器相互独立运转,设第一,第二,第三台机器不发生故障的 概率依次为,,,则这三台机器中最多有一台发生故障的概率为( )。 12. 若事件 A ? B 且P (A )=, P(B) = , 则 P(B A )=( ); 13. 若事件 A 与事件 B 互不相容,且P (A )=, P(B) = , 则 P(B A )= ( ) 14. A、B为两互斥事件,则A B =( S ) 15. A、B、C表示三个事件,则A、B、C恰有一个发生可表示为 ( ABC ABC ABC ++ ) 16. 若()0.4P A =,()0.2P B =,()P AB =则(|)P AB A B =( ) 17. A、B为两互斥事件,则AB =( S ) 18. 保险箱的号码锁定若由四位数字组成,则一次就能打开保险箱的概 率为( 1 10000 )。 二、选择填空题
1、已知P(A)=0.7, P(B)=0.8,则下列判断正确的是( D )。 A. A,B 互不相容 B. A,B 相互独立 C.A ?B D. A,B 相容 2、将一颗塞子抛掷两次,用X 表示两次点数之和,则X =3的概率为( C ) A. 1/2 B. 1/12 C. 1/18 D. 1/9 3、某人进行射击,设射击的命中率为0.2,独立射击100次,则至少击中9次的概率为( B ) A.91 9910098 .02.0C B.i i i i C -=∑100100 9 10098 .02.0 C.i i i i C -=∑100100 10 10098 .02.0 D.i i i i C -=∑- 1009 0100 98 .02.01 4、设)3,2,1(39)(=-=i i X E i ,则)( )3 12 53(32 1=+ +X X X E B A. 0 B. 25.5 C. 26.5 D. 9 5、设样本521,,,X X X 来自N (0,1),常数c 为以下何值时,统计量25 24 23 2 1X X X X X c +++? 服从t 分布。( C ) A. 0 B. 1 C. 2 6 D. -1 6、设X ~)3,14(N ,则其概率密度为( A ) A.6 )14(2 61- -x e π B. 3 2 )14(2 61- - x e π C. 6 )14(2 321- - x e π D. 2 3 )14(2 61-- x e π 7、321,,X X X 为总体),(2 σμN 的样本, 下列哪一项是μ的无偏估计( A ) A. 32 12 110 351X X X + + B. 32 1416131X X X ++ C. 32 112 5 2 13 1X X X + + D. 32 16 13 13 1X X X + + 8 、设离散型随机变量X 的分布列为 则常数C 为( C ) (A )0 (B )3/8 (C )5/8 (D )-3/8
《概率论与数理统计》习题二答案 《概率论与数理统计》习题及答案 习题二 1.一袋中有5只乒乓球,编号为1,2,3,4,5,在其中同时取3只,以X 表示取出的3只球中的 最大号码,写出随机变量X 的分布律. 【解】 3535 24 35 3,4,51 (3)0.1C 3(4)0.3C C (5)0.6 C X P X P X P X ====== ==== 故所求分布律为 2.设在15只同类型零件中有2只为次品,在其中取3次,每次任取1只,作不放回抽样,以X 表示取出的次品个数,求: (1) X 的分布律; (2) X的分布函数并作图; (3) 133 {},{1},{1},{12}222 P X P X P X P X ≤<≤≤≤<<. 【解】 3 1331512213 3151133 150,1,2. C 22 (0). C 35C C 12(1). C 35 C 1 (2).C 35 X P X P X P X ========== 故X 的分布律为
(2) 当x <0时,F (x )=P (X ≤x )=0 当0≤x <1时,F (x )=P (X ≤x )=P(X=0)= 2235 当1≤x <2时,F (x )=P (X≤x)=P (X=0)+P (X =1)=3435 当x ≥2时,F (x )=P (X≤x )=1 故X 的分布函数 0, 022 ,0135()34,12351,2x x F x x x ??≤=??≤?≥? (3) 1122 ()(), 2235333434 (1)()(1)0 223535 3312 (1)(1)(1)2235 341 (12)(2)(1)(2)10. 3535 P X F P X F F P X P X P X P X F F P X ≤==<≤=-=-=≤≤==+<≤= <<=--==--= 3.射手向目标独立地进行了3次射击,每次击中率为0.8,求3次射击中击中目标的次数的分布律及分布函数,并求3次射击中至少击中2次的概率. 【解】 设X 表示击中目标的次数.则X =0,1,2,3. 312 32 2 3 3(0)(0.2)0.008 (1)C 0.8(0.2)0.096 (2)C (0.8)0.20.384(3)(0.8)0.512 P X P X P X P X ============ 0, 00.008,01()0.104,120.488,231, 3x x F x x x x ?≤? =≤?≤ ≥??
页眉内容 2012年4月全国自考概率论与数理统计(二)参考答案 ()()()()() ()()()()()() (){}{}{}{}{} ()()()()() {}{}()()()() ()()()()()[]()()()()()()()()()()()() n x D n x C x B x A x X x x x N X D C B A X Y X D X D X D C B A p n X D X E p n B X y f x f D y f x f C y f x f B y f x f A Y X y f x f Y X D C B A Y X Y X D C B A X P X P N X x x e X F D x x e X F C x x e X F B x x e X F A X X X P D X P C X P B X P A X P x x f X AB P B P A P D AB P B P A P C AB P A P B B P A P A B A P B A A D A C B B B A A AB B A B A n XY Y X Y X Y X Y X Y X x x x x 92 .32.92.32 ....32~.102.1.0.1-.0.98.03.3.08.4.06.6.04. 44.14.2~.8.2 1..21. .75,1.5,0.1,1.10.~ 12.684.0.68.0.32.0.16.0.084.042~.5.0001..0001..0001..000..472.53.54.21.43. 06331.3....2.....12122-----=>==+++-≤=≤???≤>+=???≤>-=???≤>-=???≤>=≤<≤<≤<≤<≤????<<=-++---= -?----中服从正态分布的是 计量 为样本均值,则下列统的样本,为来自总体,,,,,设总体等于 ,则,令存在,且的设随机变量和和和和的值为和,则参数,,且,设的概率密度为 ,,则、分别为相互独立,其概率密度、设随机变量,准正态分布,则相互独立,且都服从标、设随机变量等于 ,则,,设, ,,,, ,,,的分布函数为 的指数分布,则服从参数为设随机变量等于 ,则其他,,,的概率密度为设随机变量是随机变量,则、设等于 ,则是随机变量,且、设ρσλλλλλλλ选择题答案:1.C 2.B 3.B 4.C 5.A 6D 7D 8.B 9.A 10.C
、填空题 1、设 A 、B 、C 表示三个随机事件,试用 A 、B 、C 表示下列事件:①三个事件都发生 ____________ ;__②_ A 、B 发生,C 3、 设 A 、 B 、C 为三个事件,则这三个事件都不发生为 ABC; A B C.) 4、 设 A 、B 、C 表示三个事件,则事件“A 、B 、C 三个事件至少发生一个”可表示为 ,事件“A 、B 、 C 都发生”可表 示为 , 5、 设 A 、 B 、 C 为三事件,则事件“A 发生 B 与 C 都不发生”可表示为 ________ 事__件; “A 、B 、C 不都发生”可表 示为 ____________ ;_事_ 件“A 、B 、C 都不发生”可表示为 ____ 。_(_ABC ,A B C ;A B C ) 6、 A B ___________ ;__ A B ___________ ;__A B ___________ 。_(_ B A , A B , A B ) 7、 设事件 A 、B 、C ,将下列事件用 A 、B 、C 间的运算关系表示:(1)三个事件都发生表示为: _______ ;_(_ 2)三 个 事件不都发生表示为: ________ ;_(_ 3)三个事件中至少有一个事件发生表示为: _____ 。_(_ ABC , A B C , A B C ) 8、 用 A 、B 、C 分别表示三个事件,试用 A 、B 、C 表示下列事件: A 、B 出现、C 不出现 ;至少有一 个 事 件 出 现 ; 至 少 有 两 个 事 件 出 现 。 ( ABC,A B C,ABC ABC ABC ABC ) 9、 当且仅当 A 发生、 B 不发生时,事件 ________ 发_生_ 。( A B ) 10、 以 A 表 示 事 件 “甲 种 产 品 畅 销 , 乙 种 产 品 滞 销 ”, 则 其 对 立 事 件 A 表 示 。(甲种产品滞销或乙种产品畅销) 11、 有R 1, R 2 , R 3 三个电子元件,用A 1,A 2,A 3分别表示事件“元件R i 正常工作”(i 1,2,3) ,试用 A 1,A 2,A 3表示下列事件: 12、 若事件 A 发生必然导致事件 B 发生,则称事件 B _____ 事_件 A 。(包含) 13、 若 A 为不可能事件,则 P (A )= ;其逆命题成立否 。(0,不成立) 14、 设A、B为两个事件, P (A )=0 .5, P (A -B )=0.2,则 P (A B ) 。(0.7) 15、 设P A 0.4,P A B 0.7,若 A, B 互不相容,则P B ______________ ;_若 A, B 相互独立,则P B _______ 。_(_0.3, 概率论与数理统计试题库 不发生 _________ ;__③三个事件中至少有一个发生 2、 设 A 、B 、C 为三个事件,则这三个事件都发生为 _______________ 。_(__A_BC , ABC , A B C ) ;三个事件恰有一个发生 为 ABC; ABC ABC ABC )。 ;三个事件至少有一个发生为 事件“A 、 B 、C 三事件中至少有两个发生”可表示为 。( A B C , ABC , AB BC AC ) 三个元件都正常工作 ;恰有一个元件不正常工作 至少有一个元件 正常工作 。( A 1 A 2 A 3, A 1A 2 A 3 A 1 A 2A 3 A 1A 2A 3,A 1 A 2 A 3)
第二章练习题(答案) 一、单项选择题 1. 已知连续型随机变量X 的分布函数为 3.若函数f(x)是某随机变量X 的概率密度函数,则一定成立的是(C ) A. f(x)的定义域是[0, 1] B. f(x)的值域为[0,1] 4.设X - N(l,l),密度函数为f(x),则有(C ) 5.设随机变量X ~ N (/M6), Y ?N 仏25),记 P1 = P (X /-4), p 2 = P (Y> “ + 5), 则正确的是 (A)对任意“,均有Pi = p 2 (B)对任意“,均有Pi v p? (c)对任意〃,均有Pl > Pi (D )只对“的个别值有P1 = P2 6.设随机变量x ?N(10^s 2) 9 则随着s 的增加 P{|X- 10|< s} ( C ) F(x) = o, kx+b 、 x<0 0 < x< x> 则常数&和〃分别为 (A) k = —b = 0 龙, (B) k = 0,b 丄 (C) k = —,b = 0 (D) k = 0,b= 1 n In In 2.下列函数哪个是某随机变量的分布函数 (A ) z 7 fl -cosx ; 2 0, f sinx, A. f(x)』沁,xnO C. f (x)= a (a>0); B. f (x) 1, x < 0 [cosx, — - < X < - 1 2 2 D. f (x) 其他 0, 0 < X < 7T 其他 —-< x < - 2 2 其他 C- f(x)非负 D. f (x)在(-叫+00)内连续 A. P {X
第1页 第2页 概率论与数理统计试卷(20170225) 一、单项选择(每小题3分,共30分,答案按左侧学号规则连线成数码数字,不可涂改,否则影响自动评分 ) 1.每次试验的成功概率为)10(<
ε,下列不等式中正确的是( ) (1) 98)91(≥<
作业2(修改2008-10) 4. 掷一枚非均匀的硬币,出现正面的概率为(01)p p <<,若以X 表示直至掷到正、反面 都出现为止所需投掷的次数,求X 的概率分布. 解 对于2,3,k =L ,前1k -次出现正面,第k 次出现反面的概率是1(1)k p p --,前1k -次出现反面,第k 次出现正面的概率是1(1)k p p --,因而X 有概率分布 11()(1)(1)k k P X k p p p p --==-+-,2,3,k =L . 5. 一个小班有8位学生,其中有5人能正确回答老师的一个问题.老师随意地逐个请学生回答,直到得到正确的回答为止,求在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数的概率分布. 第1个能正确回答的概率是5/8, 第1个不能正确回答,第2个能正确回答的概率是(3/8)(5/7)15/56=, 前2个不能正确回答,第3个能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(5/6)5/56=, 前3个不能正确回答,第4个能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(5/5)1/56=, 前4个都不能正确回答的概率是(3/8)(2/7)(1/6)(0/5)0=. 设在得到正确的回答以前不能正确回答问题的学生个数为X ,则X 有分布 6. 设某人有100位朋友都会向他发送电子邮件,在一天中每位朋友向他发出电子邮件的概率都是0.04,问一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是多少?试用二项分布公式和泊松近似律分别计算. 解 设一天中某人收到X 位朋友的电子邮件,则~(100,0.04)X B ,一天中他至少收到4位朋友的电子邮件的概率是(4)P X ≥. 1) 用二项分布公式计算 3 1001000(4)1(4)10.04(10.04)0.5705k k k k P X P X C -=≥=-<=--=∑. 2) 用泊松近似律计算 331004 1000 04(4)1(4)10.04(10.04)10.5665! k k k k k k P X P X C e k --==≥=-<=--≈-=∑ ∑ .
<概率论>试题 一、填空题 1.设 A 、B 、C 是三个随机事件。试用 A 、B 、C 分别表示事件 1)A 、B 、C 至少有一个发生 2)A 、B 、C 中恰有一个发生 3)A 、B 、C 不多于一个发生 2.设 A 、B 为随机事件, P (A)=0.5,P(B)=0.6,P(B A)=0.8。则P(B )A U = 3.若事件A 和事件B 相互独立, P()=,A αP(B)=0.3,P(A B)=0.7,U 则α= 4. 将C,C,E,E,I,N,S 等7个字母随机的排成一行,那末恰好排成英文单词SCIENCE 的概率为 5. 甲、乙两人独立的对同一目标射击一次,其命中率分别为0.6和0.5,现已知目标被命中,则它是甲射中的概率为 6.设离散型随机变量X 分布律为{}5(1/2)(1,2,)k P X k A k ===???则 A=______________ 7. 已知随机变量X 的密度为()f x =? ??<<+其它,010,x b ax ,且{1/2}5/8P x >=,则a = ________ b =________ 8. 设X ~2 (2,)N σ,且{24}0.3P x <<=,则{0}P x <= _________ 9. 一射手对同一目标独立地进行四次射击,若至少命中一次的概率为80 81 ,则该射手的命中率为_________ 10.若随机变量ξ在(1,6)上服从均匀分布,则方程x 2+ξx+1=0有实根的概率是 11.设3{0,0}7P X Y ≥≥= ,4 {0}{0}7 P X P Y ≥=≥=,则{max{,}0}P X Y ≥= 12.用(,X Y )的联合分布函数F (x,y )表示P{a b,c}X Y ≤≤<= 13.用(,X Y )的联合分布函数F (x,y )表示P{X a,b}Y <<= 14.设平面区域D 由y = x , y = 0 和 x = 2 所围成,二维随机变量(x,y)在区域D 上服从均匀分
一、单项选择题 1 已知随机变量X 在(1,5)之间服从均匀分布,则其在此区间的概率密度为( C ) A. B. C. D 4 2 已知二维随机变量(X ,Y )在(X>0,Y>0,X+Y<1)之间服从均匀分布,则其在此区间的概率密度为( B ) A. 0 B. 2 C. D 1 3 已知二维随机变量(X ,Y )在(X>0,Y>0,X+Y<2)之间服从均匀分布,则其不在此区间的概率密度为( A ) A. 0 B. 2 C. 1 D 4 4 已知P(A)= ,则)(A A P ? 的值为( D ) (A) (B) (C) 0 (D) 1 5 已知P(A)= ,则)(A A P 的值为( C ) (A) 1 (B) (C) 0 (D) Φ 6.,,A B C 是任意事件,在下列各式中,成立的是( C ) A. A B =A ?B B. A ?B =AB C. A ?BC=(A ?B)(A ?C) D. (A ?B)(A ? B )=AB 7 设随机变量X~N(3,16), 则P{X+1>5}为( B ) A. Φ B. 1 - Φ C. Φ(4 ) D. Φ(-4) 8 设随机变量X~N(3,16), Y~N(2,1) ,且X 、Y 相互独立,则P{X+3Y<10}为( A ) A. Φ B. 1 - Φ C. Φ(0 ) D. Φ(1) 9. 已知随机变量X 在区间(0,2)的密度函数为, 则其在此区间的分布函数为( C ) A. 2x B. C. 2x D. x 10 已知随机变量X 在区间(1,3)的密度函数为, 则x>3区间的分布函数为( B ) A. 2x B. 1 C. 2x D. 0 11. 设离散型随机变量X 的分布律为 P{X=n}=! n e n λλ, n=0,1,2…… 则称随机变量X 服从( B ) A. 参数为λ的指数分布 B. 参数为λ的泊松分布 C. 参数为λ的二项式分布 D. 其它分布 12. 设f (x )为连续型随机变量X 的密度函数,则f (x )值的范围必须( B )。 (A) 0≤ f (x ) ≤1; (B) 0≤ f (x ); (C )f (x ) ≤1; (D) 没有限制
概率统计练习题答案 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】
《概率论与数理统计》练习题 2答案 考试时间:120分钟 题目部分,(卷面共有22题,100分,各大题标有题量和总分) 一、选择题(10小题,共30分) 1、A 、B 任意二事件,则A B -=( )。 A 、B A - B 、AB C 、B A - D 、A B 答案:D 2、设袋中有6个球,其中有2个红球,4个白球,随机地等可能地作无放回抽样,连 续抽两次,则使P A ()=1 3成立的事件A 是( )。 A 、 两次都取得红球 B 、 第二次取得红球 C 、 两次抽样中至少有一次抽到红球 D 、 第一次抽得白球,第二次抽得红球, 答案:B 3、函数()0 0sin 01 x F x x x x ππ? =≤?≥? ( )。 A 、是某一离散型随机变量的分布函数。 B 、是某一连续型随机变量的分布函数。 C 、既不是连续型也不是离散型随机变量的分布函数。 D 、不可能为某一随机变量的分布函数。 答案:D 4、设ξ,η相互独立,且都服从相同的01-分布,即则下列结论正确的是( )。
A 、ξη= B 、2ξηξ+= C 、2ξηξ= D 、~(2,)B p ξη+ 答案:D 5、设随机变量12,,,n ξξξ???相互独立,且i E ξ及i D ξ都存在(1,2, ,)i n =,又 12,,, ,n c k k k ,为1n +个任意常数,则下面的等式中错误的是( )。 A 、11n n i i i i i i E k c k E c ξξ==??+=+ ???∑∑ B 、11n n i i i i i i E k k E ξξ==??= ???∏∏ C 、11n n i i i i i i D k c k D ξξ==??+= ???∑∑ D 、()111n n i i i i i D D ξξ==??-= ???∑∑ 答案:C 6、具有下面分布密度的随机变量中方差不存在的是( )。 A 、()150050x x x e x ?-≤?=?>? B 、( )2 6 2x x ?-= C 、()312 x x e ?-= D 、()() 42 1 1x x ?π= + 答案:D 7、设随机变量的数学期望和方差均是1m +(m 为自然数),那么 (){}041P m ξ<<+≥( )。 A 、 11m + B 、1m m + C 、0 D 、1m 答案:B 8、设1, , n X X 是来自总体2(, )N μσ的样本, 2 211 11, (),1n n i n i i i X X S X X n n --==--∑∑则以下结论中错误的是( )。 A 、X 与2n S 独立 B 、 ~(0, 1)X N μ σ -
习题2 2.1 (2)抛掷一颗匀称质骰子两次, 以X 表示前后两次出现点数之和,求X 的概率分布,并验证其满足(2.2.2)式。 2.1解:样本空间为{})6,6(),....,1,2(),16(),...,2,1(),1,1(=Ω,且每个样本点出现的概率均为 36 1 ,X 的所有可能的取值为2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,且有 {}{}{}363 )2,2(),1,3(),3,1()4(,36 2)1,2(),2,1()3(,361)1,1()2(= ====== ==P X P P X P P X P 类似地,365)6(,364)5(====X P X P ,365)8(,366)7(====X P X P ,363)10(,364)9(====X P X P ,36 1 )12(,362)11(====X P X P X 的概率分布为 36 118112191365613659112118136112111098765432k p X 满足: 136 2/652636543212366)(12 2 =??+=+++++= =∑=k k X P 2.2设离散随机变量X 的概率分布为 {}k P X k ae -==, k=1,2,…,试确定常数.a 2.2解:由于111 1 1)(1--∞ =-∞=-==== ∑∑e e a ae k X P k k k ,故111 1 -=-=--e e e a 2.3 甲、乙两人投篮,命中率分别为0.7,和0.4,今甲、乙两人各投篮两次,求下列事件的概率: (1)两人投中的次数相同 ; (2)甲比乙投中的次数多。 2.3解:设Y X ,分别为甲、乙投中的次数,则有)4.0,2(~),7.0,2(~B Y B X ,因此有 2,1,0,)6.0()4.0()(,)3.0()7.0()(2222=====--k C k Y P C k X P k k k k k k (1) 两人投中次数相同的概率为 ∑======2 3142.0)()()(k k Y P k X P Y X P
概率论与数理统计B 一.单项选择题(每小题3分,共15分) 1.设事件A 和B 的概率为12 () ,()23 P A P B == 则()P AB 可能为()(A) 0; (B) 1; (C) 0.6; (D) 1/6 2. 从1、2、3、4、5 这五个数字中等可能地、有放回地接连抽取两个数字,则这两个数字不相同的概率为() (A) 12; (B) 225; (C) 4 25 ; (D)以上都不对 3.投掷两个均匀的骰子,已知点数之和是偶数,则点数之和为6的概率为( )(A) 518; (B) 13; (C) 1 2 ; (D)以上都不对 4.某一随机变量的分布函数为()3x x a be F x e += +,(a=0,b=1)则F (0)的值为( )(A) 0.1; (B) 0.5; (C) 0.25; (D)以上都不对 5.一口袋中有3个红球和2个白球,某人从该口袋中随机摸出一球,摸得红球得5分,摸得白球得2分,则他所得分数的数学期望为( ) (A) 2.5; (B) 3.5; (C) 3.8; (D)以上都不对 二.填空题(每小题3分,共15分) 1.设A 、B 是相互独立的随机事件,P (A )=0.5, P (B )=0.7, 则()P A B = . 2.设随机变量~(,), ()3, () 1.2B n p E D ξ ξξ==,则n =______. 3.随机变量ξ的期望为() 5E ξ=,标准差为()2σξ=,则2()E ξ=_______. 4.甲、乙两射手射击一个目标,他们射中目标的概率分别是0.7和0.8.先由甲射击,若甲未射中再由乙射击。设两人的射击是相互独立的,则目标被射中的概率为_________. 5.设连续型随机变量ξ的概率分布密度为 2 ()22 a f x x x = ++,a 为常数,则P (ξ≥0)=_______. 三.(本题10分)将4个球随机地放在5个盒子里,求下列事件的概率 (1) 4个球全在一个盒子里; (2) 恰有一个盒子有2个球. 四.(本题10分) 设随机变量ξ的分布密度为 , 03()10, x<0x>3 A x f x x ?? =+???当≤≤当或 (1) 求常数A ; (2) 求P (ξ<1); (3) 求ξ的数学期望. 五.(本题10分) 设二维随机变量(ξ,η)的联合分布是 (1) ξ与η是否相互独立? (2) 求ξ η?的分布及()E ξη?; 六.(本题10分)有10盒种子,其中1盒发芽率为90%,其他9盒为20%.随机选取其中1盒,从中取出1粒种子,该种子能发芽的概率为多少?若该种子能发芽,则它来自发芽率高的1盒的概率是多少? 七.(本题12分) 某射手参加一种游戏,他有4次机会射击一个目标.每射击一次须付费10元. 若他射中目标,则得奖金100元,且游戏停止. 若4次都未射中目标,则游戏停止且他要付罚款100元. 若他每次击中目标的概率为0.3,求他在此游戏中的收益的期望. 八.(本题12分)某工厂生产的零件废品率为5%,某人要采购一批零件,他希望以95%的概率保证其中有2000个合格品.问他至少应购买多少零件?(注:(1.28)0.90Φ=,(1.65)0.95Φ=) 九.(本题6分)设事件A 、B 、C 相互独立,试证明A B 与 C 相互独立. 某班有50名学生,其中17岁5人,18岁15人,19岁22人,20岁8人,则该班学生年龄的样本均值为________. 十.测量某冶炼炉内的温度,重复测量5次,数据如下(单位:℃):
西南石油大学《概率论与数理统计》考试题及答案 一、填空题(每小题3分,共30分) 1、“事件,,A B C 中至少有一个不发生”这一事件可以表示为 . 2、设()0.7,()0.3P A P AB ==,则()P A B =U ________________. 3、袋中有6个白球,5个红球,从中任取3个,恰好抽到2个红球的概率 . 4、设随机变量X 的分布律为(),(1,2,,8),8 a P X k k ===L 则a =_________. 5、设随机变量X 在(2,8)内服从均匀分布,则(24)P X -≤<= . 6、设随机变量X 的分布律为,则2Y X =的分布律是 . 7、设随机变量X 服从参数为λ的泊松分布,且已知,X X E 1)]2)(1[(=-- 则=λ . 8、设129,,,X X X L 是来自正态总体(2,9)N -的样本,X 是样本均植,则X 服从的分布是 . 二、(本题12分)甲乙两家企业生产同一种产品.甲企业生产的60件产品中有12件 是次品,乙企业生产的50件产品中有10件次品.两家企业生产的产品混合在一起存放,现从中任取1件进行检验.求: (1)求取出的产品为次品的概率; (2)若取出的一件产品为次品,问这件产品是乙企业生产的概率. 三、(本题12分)设随机变量X 的概率密度为 , 03()2,342 0, kx x x f x x ≤?? =-≤≤????其它 (1)确定常数k ; (2)求X 的分布函数()F x ; (3)求 712P X ? ?<≤??? ?. 四、(本题12分)设二维随机向量(,)X Y 的联合分布律为 试求: (1) a 的值; (2)X 与Y 的边缘分布律; (3)X 与Y 是否独立?为什么? 五、(本题12分) 设随机变量X 的概率密度为 (),01,2,12,0,.x x f x x x ≤? =-≤≤??? 其他 求()(),E X D X 一、填空题(每小题3分,共30分) 1、ABC 或A B C U U 2、 3、2 15 6 3 11 C C C 或4 11或 4、1 5、13 6、2 0141315 5 5 k X p 7、1 8、(2,1)N -
1、 已知P (A )=0.7. P (B )=0?8,则下列判断正确的是( D )o A. A.B 互不相容 B. A.B 相互独立 C.Ac B D. A.B 相容 2、 将一颗塞子抛掷两次,用X 表示两次点数之和,则X=3的概率为(C ) A. 1/2 B. 1/12 C. 1/18 D. 1/9 3、 某人进行射击,设射击的命中率为02独立射击100次,则至少击中9次的概率为(B ) 100 9 C ?工 C ;(x )°?2'°?98 叫' D. 1 - 工(7爲020?98叫' (-10 1-0 4、设 E(X,)= 9-3/(/= 1,2,3),则 E(3X 1+-X 2+-X 3) = ( )B 2 3 A. 0 B. 25.5 C. 26.5 D. 9 5、设样本来自N (0, 1),常数c 为以下何值时,统计Me- t 1 —— ■ Jx + x + x 服从t 分布。(C ) A. 0 B. 1 C. 6、设则其概率密度为(A ) 7. X P X 2.X 3为总体的样本,下列哪一项是“的无偏估计(A ) A.-X, + —X. +-X. 5 10「2 C. -X.+-X.+ —X. 3 1 2 ■ 12 3 8、设离散型随机变量X 的分布列为 X 1 2 3 P C 1/4 1/8 则常数(2为( C ) A.C ;;X )0.290.9891 KX) B ?工 Goo 020.98 "I D.-l c. D 詁+朴+朴 (x-vTJ)2 3Q D.
9、设随机变量X?N(4,25),X1、X2、X3-Xn是来自总体X的一个样本,则样本均值乂近 似的服从( B ) (A) N (4, 25) (B) N (4, 25/n) (C) N (0.1) (D) N (0, 25/n) 10、对正态总体的数学期望进行假设检验,如果在显著水平a=0.05下,拒绝假设 H。:“ =,则在显著水平a=0.01下,(B ) A.必接受 B.可能接受,也可能拒绝 C.必拒绝 D.不接受,也不拒绝77。 二、填空题(每空1.5分,共15分) 1、 A.B.C为任意三个事件,则A, B, C至少有一个事件发生表示为:_AUBUC __________ : 2、甲乙两人各自去破译密码,设它们各自能破译的概率为0.8, 06,则密码能被破译的槪 率为 ____ 0.92 ___ : 3、已知分布函数F(x)= A + Barctgx (Y> v x V +s),贝ij A=_1/2 _____ , B=_1/3.14 _______ : 4、随机变量X 的分布律为P(X =x) = C(-)k, k =1,2,3, 则C=_27/13 ____________ ; 5、设X?b (n,p)o 若EX=4, DX=2.4,贝ij _______ 10 ____ , p= ____ 0.4 _____ 0 6、X为连续型随机变量, 1 , 0
概率论与数理统计练习题(2)条件概率 独立性 1.填空题 (1)某大型商场销售某种型号的电视机1000台,其中有20台次品,已售出400台.从剩下的电视机中,任取一台是正品的概率为 . (2)设有10件产品,其中有4件次品,依次从中不放回地抽取一件产品,直到将次品取完为止.则抽取次数为7的概率为 . (3)某射手射靶4次,各次命中率为0.6, 则4次中恰好有2次命中的概率为 . (4)一架轰炸机袭击1号目标,击中的概率为0.8,另一架轰炸机袭击2号目标,击中的概率为0.5,则至少击中一个目标的概率是 . (5)4个人独立地猜一谜语,他们能够猜破的概率都是 41,则此谜语被猜破的概率是 . (6)设两两相互独立的三事件C B A ,,满足条件:,21)()()(< ==C P B P A P φ=ABC ,且已知16 9)(=C B A P ,则=)(A P . (7)已知()0.3P A =,()0.4P B =,()0.5P AB =,则条件概率()P B A B = . 2.选择题 (1)袋中共有5个球,其中3个新球,2个旧球,每次取1个,无放回地取2次,则第二次取到新球的概率是( ). (A )53; (B )43; (C )21; (D )10 3. (2)设0)(=AB P ,则( ). (A )A 和B 不相容; (B )A 和B 独立; (C )0)(0)(==B P A P 或; (D ))()(A P B A P =-. (3)设A 、B 是两个随机事件,且)|()|(,0)(,1)(0A B P A B P B P A P =><<,则必有( ). (A ))|()|(B A P B A P =; (B ))|()|(B A P B A P ≠; (C ))()()(B P A P AB P =; (D ))()()(B P A P AB P ≠. 3.甲、乙、丙3台机床加工同一种零件,零件由各台机床加工的百分比依次是50%,30%,20%.各机床加工的优质品率依次是80%,85%,90%,将加工的零件放在一起,从中任取1个,求取得优质品的概率. 4.将两信息分别编码为A 和B 传递出去,接收站收到时,信息A 被误收作B 的概率为0.02,而B 被误收作A 的概率为0.01.信息A 与信息B 传送的频繁程度为2∶1.若接收站收到的信息是A ,问原发信息是A 的概率是多少? 5.甲、乙、丙三人同时对飞机射击,三人击中的概率分别为0.4,0.5,0.7.飞机被一人击