cos sin -=
=θθ
tga y 则可先求出y 的最值。由,2cos sin ,sin 2cos y y y y -=-=-θθθθ
得)(2)sin(12
y tg y y =-=-+??θ其中,1)sin(≤-?θ ,212y y +≤-∴,
即,3333,1422≤≤-
+≤y y y 3
3
33≤
≤-∴tga ,故67)2arg(,65)2arg(max min ππ=-=-z z . 方法二:由1=z ，知z 对应的点Z 在单位圆122
=+y x 上，设A （2，0），根据复数减法的几何意义，
复数2-z 对应的向量是AZ .（如图），
当射线AZ 是圆O 的切线时，2-z 对应的向量分别为21AZ AZ 和，其中
Z 1，Z 2为切点.连接OZ 1，则11AZ OZ ⊥，可知1OAZ ?为直角三角形.
由2,11==OA OZ ,故67)2arg(,65)2arg(max min π
π=-=
-z z
例4 设{}
{},,1z 12 C z z z z A ∈≤?≤+=求A 中辐角主值最大的复数z .
解：12≤+z 满足 的点在以)0,2(-为圆心，以1为半径的圆内（包括圆周），满足1≤z 的点在单位圆内，（包括圆周），A ∴对应如图两圆共同部分 .A ∴中辐角主值最大的复数P 点对应的复数
i i z 2
2
2245sin 45cos
--=+=ππ 例5 若c z z ∈21,,求证：21211z z z z ?-=-成立的充分必要条件是21z z 、中至少有一个是1.
证：必要性：212
2
11z z z z ?-=- ,2
212
211z z z z ?-=-∴,故有
()()()()2
1
2
1
2
1
2
1
11z z z z z z z z ?-??-=-?-.根据互为共轭的复数间关系有： ()())1)(1(2
1
2
1
2
1
2
1
z z z z z z z z ?-?-=--.化简整理得：212
12
2
1
1
1z z z
z z z z z ??+=?+?
2
22
12
22
11z z z z ?+=+∴,(
)(
)
0112
22
1=--∴z z ,1z ∴、2z 至少有一个为1 。
充分性：以上过程均可逆。 结论成立。
常用到的与复数的模相关的结论：
（1）22||||z z z z ==? （2）||||||2121z z z z ?=? )(||||N n z z n n ∈=? （3）)0(|
|||||
22121≠=z z z z z （4）||||||||||||212121z z z z z z +≤+≤-. （5）)(|||||,|||bi a z z b z z a z +=≤≤-≤≤-,.||2||2||||2221221221z z z z z z +=-++ 例6 某草场上有宝.取宝法如下：该草场上原有一株橡树、一株松树、一个绞架.从绞架走到橡树，记住步数，向右拐?
90走同样多步打个桩.然后回到绞架那里，再走到松树，记住步数，向左拐?
90走同样多步，又打一个桩.在这两个桩正中挖掘，可以得宝。年久日长，草场上绞架已经风化，渺无踪迹，但是橡、松二树犹存.问应如何取宝.
解：取草场为复平面，以两棵树所在的直线为实轴，以两棵树连线的中点 为原点O ，建立如图所示的坐标系，设A 、B 为橡、松二树，其坐标分别为 （-1，0），（1，0）. 令点Z 表示绞架，Z 1、Z 2、Z 0分别表示第一个桩、第二个 桩以及两桩的中点.他们对应的复数分别表示为z ,z 1,z 2,z 0.
由复数减法的几何意义，知 1AZ 对应的复数为11+z ；1BZ 对应的复数为12-z .依照乘法的几
Z 2
何几何意义，知1AZ 可由逆时针旋转?
90得到.i z z )1(11+=+,即i z z )1(11++-= 同理,i z z )1(12--=,其中点Z 0 对应的复数为i z z z =+=
2
2
10.即Z 0 为虚轴上的点i .∴不论绞架位置 在哪儿，宝的位置总对应虚轴上相应于复数为 的那一点，故宝可取.
例7 某人在宽大的大草原上自由漫步，突发如下想法：向某一方向走1km 后向左转?
30，后向前
走1km 后向左转?
30，如此下去，能回到出发点吗？
解：以出发点作为坐标原点O ，走第一个1km 时所沿的直线作为 Ox 轴， 建立如图所示的复平面. ∴第一个1km 的终点A 对应的复数是1，第二个1km 的终点B 对应的复数是
1+(??+30sin 30cos i )，第三个1km 的终点C 对应的复数是1+(??+30sin 30cos i )+(?
?+60sin 60cos i ).
如此下去，走第n 个1km 时所达到的点对应的复数是1+(??+30sin 30cos i )+(?
?+60sin 60cos i )
+?
?-+-+30)1sin(30)1cos(n i n ，即1+(??+30sin 30cos i )+(?
?+30sin 30cos i )2
+
1
)
30sin 30(cos -??++n i =)
30sin 30(cos 1)30sin 30(cos 1?
???+-+-i i n 当 n =12时，上述复数为0，即可回到出发点。 专题三 复数与方程
1. n 次方程一定有n 个复数根．
例1 求1=n
z 的根．
解：设)sin (cos θθi r z +=，根据隶莫佛定理，1)sin (cos =+θθn i n r n
，从而方程的根
是n
i n ππ2sin 2cos
+（ ,3,2,1,0=n ）． 注：这n 个根的模都等于1，它的辐角按n
π
2增加，由此可见，这n 个根均位于单位圆上把圆周作了n 等分．
例2 设在1的立方根中，记其中不等于1的一个根为ω，问12
++ωω的值是多少？再问，当n 是整数时，13+n
ω
的值是多少？
解：0)1)(1(12
3=++-=-x x x x ，于是012
=++ωω．213=+n
ω
．
例3 （1）设ω是1的5次方根（1≠），当ω
ωα1
+
=时，求αα+2
的值．
（2）以原点位中心，以)0,1(为顶点作五边形．求与)0,1(相邻的两个顶点的x 坐标β的值． （3）试构造一个以βββ--2
32为一个根的整系数二次方程．
解：（1）αα+2ω
ωωωω
ωω
ω1
1
21
)1
(2
22+
++
+=+
++
=1)1(1
2342
+++++=
ωωωωω,
又1≠ω，故有12
3
4
++++ωωωω01
1
5=--=
ωω，所以12=+αα． （2）今将复平面作为给定的坐标平面，此时画出五边形．5
2sin 52cos
ππωi +=, ===ω
ωωω154
52sin 52cos ππi -,ω及4
ω是点)0,1(的相邻两顶点，他们的横坐标都是52cos π，于是有ω
ω1
+
24=+=ωωβπ252cos
=，而由（1），ωωα1+= 得到012
=-+αα，解得2
51--=α（舍），4
1
5-=
β． （3）4
1
5-=
β，即514=+β，两边平方，518162=++ββ，所以01242=-+ββ （1） x =--βββ232 （2） （1）β?2)2(?-，x 242-=+ββ，所以x 242--=ββ，将此式
代入（1），有01)12(2)12(42=-+++x x ，于是有0520162
=++x x ． 根的存在性问题的判断的问题，有些实数范围内的结论仍可以应用到复数范围内．
例4 设关于x 的方程 0322
2
=-++a a ax x 至少有一个模等于1的根，确定实数a 的值． 解：0322
2
=-++a a ax x . （1）
（1）实根的情形：08)(892
22≥+=--=a a a a a D ，所以0≥a 或8-≤a （2）
将1=x 代入（1）式，0322=-++a a a ，所以0222
=++a a ，解得i a ±-=1，因为a 是实数，所以不符合条件．其次，用1-=x 代入（1）整理后有 0242
=+-a a ，解得22±=a ，这是实数，且
在（2）的范围内，故适合题中条件．
（2）虚根的情形：08)(892
22<+=--=a a a a a D ，所以，08<<-a ．解（1）有，
4832i a a a x --±-=，为使它的模等于1，只须1)4
8()43(2
22=--+-a a a ，
整理后，022=--a a ，∴2=a （舍）或1-=a ．
综上，满足条件的a 为1,22-±．
判断根的个数的问题，可以当解方程有困难时，可以调用不等式，函数单调性等手段来处理问题．
例5 试求满足01||23=+-z z 非实数的复数z 的个数．式中y x yi x z ,(+=为实数时)． 分析：根据yi x +作为根的条件，求出y x ,的关系式，由此对单变数x 的函数求导，再求根． 解：满足01||23=+-z z （1）的非实数的复数记为：y x yi x z ,(+=为实数时，0≠y )，代入
原方程，012)(223=++-+y x yi x ，所以0)3()123(3
22223=-+++--y y x i y x xy x ，
∴?????=-=++--0
30123322223y y x y x xy x
0≠y ，由（3），223y x =,将它代入)2(，有01||483=-+x x .从而，如果0=x ，则由（4），0=y 这
不合题意，为此0≠x ，
（1）当0>x 时，可化为01483=-+x x ,（6）等式左边看成是关于x 的函数求导数得 0)16(42>+x ，
这表明方程左侧关于x 的函数是增函数，又01)0(<-=f ，+∞=∞
→)(lim x f x ．可以推知，方程（6）只有
一个正根，在此，由)4(可确定两个复数．
（2）0=--x x , （7）所以 0)124)(12(2=--+x x x ，从而，（7）
式可以取两个负根：4
5
1,
21--
．这两个值对应于（4）可确定4个复数．
初中数学奥林匹克竞赛方法与测试试题大全
初中数学奥林匹克竞赛方法与试题大全
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初中数学奥林匹克竞赛教程
初中数学竞赛大纲（修订稿） 数学竞赛对于开发学生智力，开拓视野，促进教学改革，提高教学水平，发现和培养数学人才都有着积极的作用。目前我国中学生数学竞赛日趋规范化和正规化，为了使全国数学竞赛活动健康、持久地开展，应广大中学师生和各级数学奥林匹克教练员的要求，特制定《初中数学竞赛大纲（修订稿）》以适应当前形势的需要。 本大纲是在国家教委制定的九年义务教育制“初中数学教学大纲”精神的基础上制定的。《教学大纲》在教学目的一栏中指出：“要培养学生对数学的兴趣，激励学生为实现四个现代化学好数学的积极性。”具体作法是：“对学有余力的学生，要通过课外活动或开设选修课等多种方式，充分发展他们的数学才能”，“要重视能力的培养……，着重培养学生的运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力，要使学生逐步学会分析、综合、归纳、演绎、概括、抽象、类比等重要的思想方法。同时，要重视培养学生的独立思考和自学的能力”。 《教学大纲》中所列出的内容，是教学的要求，也是竞赛的要求。除教学大纲所列内容外，本大纲补充列出以下内容。这些课外讲授的内容必须充分考虑学生的实际情况，分阶段、分层次让学生逐步地去掌握，并且要贯彻“少而精”的原则，处理好普及与提高的关系，这样才能加强基础，不断提高。 1、实数 十进制整数及表示方法。整除性，被2、3、4、5、8、9、11等数整除的判定。 素数和合数，最大公约数与最小公倍数。 奇数和偶数，奇偶性分析。 带余除法和利用余数分类。 完全平方数。 因数分解的表示法，约数个数的计算。 有理数的表示法，有理数四则运算的封闭性。 2、代数式 综合除法、余式定理。 拆项、添项、配方、待定系数法。 部分分式。 对称式和轮换对称式。 3、恒等式与恒等变形 恒等式，恒等变形。 整式、分式、根式的恒等变形。 恒等式的证明。 4、方程和不等式 含字母系数的一元一次、二次方程的解法。一元二次方程根的分布。 含绝对值的一元一次、二次方程的解法。
高中数学竞赛讲义_复数
1 复数 一、基础知识 1．复数的定义：设i 为方程x 2=-1的根，i 称为虚数单位，由i 与实数进行加、减、乘、除 等运算。便产生形如a+bi （a,b ∈R ）的数，称为复数。所有复数构成的集合称复数集。通常用C 来表示。 2．复数的几种形式。对任意复数z=a+bi （a,b ∈R ），a 称实部记作Re(z),b 称虚部记作Im(z). z=ai 称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标，那么z 与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x 轴称为实轴，y 轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标，复数z 又对应唯一一个向量。因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式，称为向量形式；另外设z 对应复平面内的点Z ，见图15-1，连接OZ ，设∠xOZ=θ,|OZ|=r ，则a=rcos θ,b=rsin θ,所以z=r(cos θ+isin θ)，这种形式叫做三角形式。若z=r(cos θ+isin θ)，则θ称为z 的辐角。若0≤θ<2π，则θ称为z 的辐角主值，记作θ=Arg(z). r 称为z 的模，也记作|z|，由勾股定理知|z|=2 2b a +.如果用e i θ表示cos θ+isin θ，则z=re i θ，称为复数的指数形式。 3．共轭与模，若z=a+bi ，（a,b ∈R ）,则=z a-bi 称为z 的共轭复数。模与共轭的性质有： （1）2121z z z z ±=±；（2）2121z z z z ?=?；（3）2||z z z =?；（4）2121z z z z =???? ??；（5）||||||2121z z z z ?=?；（6）|||||| 2121z z z z =；（7）||z 1|-|z 2||≤|z 1±z 2|≤|z 1|+|z 2|；（8）|z 1+z 2|2+|z 1-z 2|2=2|z 1|2+2|z 2|2；（9）若|z|=1，则z z 1=。 4．复数的运算法则：（1）按代数形式运算加、减、乘、除运算法则与实数范围内一致，运算结果可以通过乘以共轭复数将分母分为实数；（2）按向量形式，加、减法满足平行四边形和三角形法则；（3）按三角形式，若z 1=r 1(cos θ1+isin θ1), z 2=r 2(cos θ2+isin θ2)，则z 1??z 2=r 1r 2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]；若2 1212,0r r z z z =≠[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)]，用指数形式记为z 1z 2=r 1r 2e i(θ1+θ2),.)(2 12121θθ-=i e r r z z 5.棣莫弗定理：[r(cos θ+isin θ)]n =r n (cosn θ+isinn θ). 6.开方：若=n w r(cos θ+isin θ)，则)2s i n 2(c o s n k i n k r w n πθπθ+++=，k=0,1,2,…,n-1。 7．单位根：若w n =1，则称w 为1的一个n 次单位根，简称单位根，记Z 1=n i n ππ2sin 2cos +，则全部单位根可表示为1,1Z ,1121,,-n Z Z .单位根的基本性质有（这里记k k Z Z 1=，
高中数学竞赛专题讲座：三角函数与向量
高中数学竞赛专题讲座：三角函数与向量 一、三角函数部分 1．(集训试题)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别记为a 、b 、c(b ≠1)，且 A C ， A B sin sin 都是方程log b x=log b (4x-4)的根，则△ABC （B ） A ．是等腰三角形，但不是直角三角形 B ．是直角三角形，但不是等腰三角形 C ．是等腰直角三角形 D ．不是等腰三角形，也不是直角三角形 解：由log b x=log b (4x-4)得：x 2-4x+4=0，所以x 1=x 2=2，故C=2A ，sinB=2sinA ， 因A+B+C=180°，所以3A+B=180°，因此sinB=sin3A ，∴3sinA-4sin 3A=2sinA ， ∵sinA(1-4sin 2A)=0，又sinA ≠0，所以sin 2A= 41，而sinA>0，∴sinA=2 1. 因此A=30°,B=90°,C=60°。故选B 。 2．（2006吉林预赛）已知函数y=sinx+acosx 的图象关于x=5π/3对称，则函数y=asinx+cosx 的图象的一条对称轴是（C ） A ．x=π/3 B ．x=2π/3 C ．x=11π/6 D ．x=π 3．2006年南昌市）若三角形的三条高线长分别为12,15,20,则此三角形的形状为( B ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．形状不确定 4．（2006年南昌市）若sin tan a θθ=+,cos cot b θθ=+,则以下诸式中错误的是( B ) A ．sin θ= 11+-b ab B ．cos θ=1 1+-a ab C ．tan cot θθ+=) 1)(1(21)1(2++-+++b a ab b a D ．tan cot θθ-=)1)(1()2)((++++-b a b a b a 5．（2006安徽初赛）已知△ABC 为等腰直角三角形，∠C = 90°，D 、E 为AB 边上的两个点，且点D 在AE 之间， ∠DCE = 45°，则以AD 、DE 、EB 为边长构成的三角形的最大角是 （ ） A ．锐角 B ．钝角 C ．直角 D ．不能确定 6．（2006陕西赛区预赛）若3 3sin cos cos sin ,02θθθθθπ-≥-≤<，则角θ的取值范围是(C) A ．[0, ]4 π B ．[,]4 ππ C ．5[, ]4 4ππ D ．3[,)42 ππ 7．（2006年江苏）在△ABC 中，1tan 2A =，310 cos 10 B =．若△AB C 的最长边为1，则最短边的长为 （ D ） A ．455 B ．355 C ．255 D ．5 5 8．(2005年浙江)设2)(1=x f ，x x x f 2cos sin )(2+=，x x x f 2cos 2 sin )(3+=，24sin )(x x f =，上述函数中，周期函数的个数是（ B ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【解】： 2)(1= x f 是以任何正实数为周期的周期函数；)(2x f 不是周期函数。 因为x sin 是以π21=T 为周期 的周期函数, x 2cos 是以222π =T 为周期的周期函数, 而1T 与2T 之比不是有理数，故)(2x f 不是周期函数。 )(3x f 不是周期函数。 因为2sin x 是以π221=T 为周期的周期函数, x 2cos 是以2 22π =T 为周期的周期函数,
-奥林匹克数学竞赛内容与方法选讲
-奥林匹克数学竞赛内容与方法选讲
奥林匹克数学竞赛内容与方法选讲一、标题分析 （1）奥林匹克——一种精神 （2）数学——一种科学哲学 （3）竞赛——一种生存方式 （4）内容——一种意义生成过程 （5）方法——一种思维的简化形式 （6）选讲——一种最普遍的交流方式 二、主题确定 （1）身、心、思、题、方、践 （2）解读 ?人生就是一场竞赛，身体最终决定成败 ?三分养身七分修心，和谐身心美满一生 ?思维是生存的先锋，智慧是成功的法宝 ?问题是实践的使者，善问是智慧的源泉 ?方法是解题的利斧，策略会赐予你机遇 ?思而无为方略枉然，践行思想始见英雄 三、专题研究 （1）身心健康问题 ?如何监测身体健康状况？ ?如何锻炼身体？ ?如何保持修心养性？
? 如何防病、治病？ （2） 学习思维问题 ? 如何认识学习的分类？从实践中学，从符号中学，从反思中学 ? 如何认识思维的分类？逻辑思维，发散思维，直觉思维 ? 如何学习？ ? 如何思考？ （3） 出题解题问题 ? 如何发现问题？——决定了一个人的发展潜能 ? 如何确定问题？——问题的科学化、数学化过程 ? 如何解决问题？——知识的系统化、理论化过程 ? 如何验证问题？——结果的正确性、有效性评价 （4） 方法策略问题 ? 如何认识思想、策略与方法的关系与作用？ ? 数学主要有哪些思想？ ? 数学有哪些主要方法？ ? 解决数学问题的一般策略是什么？ （5） 实践操作问题 ? 如何认识心、言、行的一致性？ ? 如何增加计划的可行性？ ? 数学解题过程的表述与规范？ ? 如何认识社会实践、操作实践、科学实践的关系？ 国际奥林匹克数学竞赛（IMO ）的发展 奥林匹克数学的历史（必讲） 解决奥林匹克数学问题的主要思想（选讲）
高中数学竞赛基础知识讲解
高中数学竞赛基本知识集锦 广州市育才中学数学科 邓军民 整理 一、三角函数 常用公式 由于是讲竞赛，这里就不再重复过于基础的东西，例如六种三角函数之间的转换，两角和与差的三角函数，二倍角公式等等。但是由于现在的教材中常用公式删得太多，有些还是不能不写。先从最基础的开始（这些必须熟练掌握）： 半角公式 2cos 12 sin α α -± = 2 cos 12 cos α α +± = α α ααααα cos 1sin sin cos 1cos 1cos 12 tan +=-=+-± = 积化和差 ()()[]βαβαβα-++= sin sin 21 cos sin ()()[]βαβαβα--+=sin sin 21 sin cos ()()[]βαβαβα-++=cos cos 21 cos cos ()()[]βαβαβα--+-=cos cos 2 1 sin sin 和差化积 2cos 2sin 2sin sin β αβ αβα-+=+ 2sin 2cos 2sin sin β αβαβα-+=- 2cos 2cos 2cos cos β αβαβα-+=+ 2 sin 2sin 2cos cos β αβαβα-+-=- 万能公式 α αα2 tan 1tan 22sin += α α α2 2tan 1tan 12cos +-= α α α2 tan 1tan 22tan -=
三倍角公式 ()() αααααα+-=-=οο60sin sin 60sin 4sin 4sin 33sin 3 ()() αααααα+-=-=οο60cos cos 60cos 4cos 3cos 43cos 3 二、某些特殊角的三角函数值 三、三角函数求值 给出一个复杂的式子，要求化简。这样的题目经常考，而且一般化出来都是一个具体值。要熟练应用上面的常用式子，个人认为和差化积、积化和差是竞赛中最常用的，如果看到一些不常用的角，应当考虑用和差化积、积化和差，一般情况下直接使用不了的时候，可以考虑先乘一个三角函数，然后利用积化和差化简，最后再把这个三角函数除下去 举个例子 求值：7 6cos 74cos 72cos π ππ++ 提示：乘以7 2sin 2π ，化简后再除下去。 求值：??-?+?80sin 40sin 50cos 10cos 2 2 来个复杂的 设n 为正整数，求证 n n n i n i 21 212sin 1 += +∏=π 另外这个题目也可以用复数的知识来解决，在复数的那一章节里再讲 四、三角不等式证明 最常用的公式一般就是：x 为锐角，则x x x tan sin <<；还有就是正余弦的有界性。 例 求证：x 为锐角，sinx+tanx<2x
高中数学竞赛中数论问题的常用方法
高中数学竞赛中数论问题的常用方法 数论是研究数的性质的一门科学,它与中学数学教育有密切的联系.数论问题解法灵活,题型丰富,它是中学数学竞赛试题的源泉之一.下面介绍数论试题的常用方法. 1.基本原理 为了使用方便,我们将数论中的一些概念和结论摘录如下: 我们用),...,,(21n a a a 表示整数1a ,2a ,…,n a 的最大公约数.用[1a ,2a ,…,n a ]表示1a ,2a ,…,n a 的 最小公倍数.对于实数x ,用[x ]表示不超过x 的最大整数,用{x }=x -[x ]表示x 的小数部分.对于整数 b a ,,若)(|b a m -,,1≥m 则称b a ,关于模m 同余,记为)(mod m b a ≡.对于正整数m ,用)(m ?表示 {1,2,…,m }中与m 互质的整数的个数,并称)(m ?为欧拉函数.对于正整数m ,若整数m r r r ,...,,21中任何两个数对模m 均不同余,则称{m r r r ,...,,21}为模m 的一个完全剩余系；若整数)(21,...,,m r r r ?中每一个数都与m 互质,且其中任何两个数关于模m 不同余,则称{)(21,...,,m r r r ?}为模m 的简化剩余系. 定理1 设b a ,的最大公约数为d ,则存在整数y x ,,使得yb xa d +=. 定理2(1)若)(mod m b a i i ≡,1=i ,2,…,n ,)(m od 21m x x =,则 1 1n i i i a x =∑≡2 1 n i i i b x =∑； (2)若)(mod m b a ≡,),(b a d =,m d |,则 )(mod d m d b d a ≡； (3)若b a ≡,),(b a d =,且1),(=m d ,则)(mod m d b d a ≡； (4)若b a ≡(i m mod ),n i ,...,2,1=,M=[n m m m ,...,,21],则b a ≡(M mod ). 定理3(1)1][][1+<≤<-x x x x ； (2)][][][y x y x +≥+； (3)设p 为素数,则在!n 质因数分解中,p 的指数为 ∑≥1 k k p n . 定理4 (1)若{m r r r ,...,,21}是模m 的完全剩余系,1),(=m a ,则{b ar b ar b ar m +++,...,,21}也是模 m 的完全剩余系； (2)若{)(21,...,,m r r r ?}是模m 的简化剩余系,1),(=m a ,则{)(21...,,m ar ar ar ?}是模m 的简化剩余系. 定理5(1)若1),(=n m ,则)()()(n m mn ???=. (2)若n 的标准分解式为k k p p p n ααα (2) 121=,其中k ααα,...,21为正整数,k p p p ,...,21为互不相
高中数学竞赛专题讲座(解析几何)
高中数学竞赛专题讲座（解析几何） 一、基础知识 1．椭圆的定义，第一定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长（大于两个定点之间的距离）的点的轨迹，即|PF 1|+|PF 2|=2a (2a>|F 1F 2|=2c). 第二定义：平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数e(0b>0)， 参数方程为? ? ?==θθ sin cos b y a x （θ为参数）。 若焦点在y 轴上，列标准方程为 12 2 22=+b y a y (a>b>0)。 3．椭圆中的相关概念，对于中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆 122 22=+b y a x ， a 称半长轴长，b 称半短轴长，c 称为半焦距，长轴端点、短轴端点、两个焦点的坐标分别为(±a, 0), (0, ±b), (±c, 0)；与左焦点对应的准线（即第二定义中的定直线）为 c a x 2-=，与右焦点对应的准线为c a x 2=；定义中的比e 称为离心率，且a c e =，由c 2+b 2=a 2 知0b>0), F 1(-c, 0), F 2(c, 0)是它的两焦点。 若P(x, y)是椭圆上的任意一点，则|PF 1|=a+ex, |PF 2|=a-ex. 5．几个常用结论：1）过椭圆上一点P(x 0, y 0)的切线方程为 12020=+b y y a x x ； 2）斜率为k 的切线方程为222b k a kx y +±=；
全国数学竞赛概述
数学竞赛 意义 数学竞赛是发现人才的有效手段之一。一些重大数学竞赛的优胜者，大多在他们后来的事业中卓有建树。因此，世界发达国家都十分重视数学竞赛活动。十余年来，我国中学数学竞赛活动蓬勃发展，其影响越来越大，特别是我国中学生在影响最大、水平最高的国际数学奥林匹克竞赛中，多次荣登榜首，成绩令世人瞩目，充分显示了中华民族的聪明才智和数学才能。了解国际赛史，熟悉国内赛况，认识数赛意义是必要的，也是有益的。 在“普及的基础上不断提高”的方针指引下，全国数学竞赛活动方兴未艾，特别是连续几年我国选手在国际数学奥林匹克中取得了可喜的成绩，使广大中小学师生和数学工作者为之振奋，热忱不断高涨，数学竞赛活动进入一个新的阶段，为了使全国数学竞赛活动持久、健康、逐步深入地开展，应广大中学师生和各级数学奥林匹克教练员的要求，特制定《数学竞赛大纲》以适应当前形势的需要。 本大纲是在国家教委制定的“全日制中学数学教学大纲”的精神和基础上制定的。《教学大纲》在教学目的一栏中指出；“要培养学生对数学的兴趣，激励学生为实现四个现代化学好数学的积极性”。具体作法是：“对学有余力的学生，要通过课外活动或开设选修课等多种方式，充分发展他们的数学才能”，“要重视能力的培养……，着重培养学生的运算能力、逻辑思维能力和空间想象能力，要使学生逐步学会分析、综合、归纳、演绎、概括、抽象、类比等重要的思想方法。同时，要重视培养学生的独立思考和自学的能力”。 《教学大纲》中所列出的内容，是教学的要求，也是竞赛的最低要求。在竞赛中对同样的知识内容的理解程度与灵活运用能力，特别是方法与技巧掌握的熟练程度，有更高的要求。而“课堂教学。为主，课外活动为辅”是必须遵循的原则。因此，本大纲所列的课外讲授的内容必须充分考虑学生的实际情况，分阶段、分层次让学生逐步地去掌握，并且要贯彻“少而精”的原则，这样才能加强基础，不断提高。 —试 全国高中数学联赛的一试竞赛大纲，完全按照全日制中学《数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，即高考所规定的知识范围和方法，在方法的要求上略有提高，其中概率和微积分初步不考。 二试 1．平面几何 基本要求：掌握初中竞赛大纲所确定的所有内容。 补充要求：面积和面积方法。 几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。 几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点——费马点。到三角形三顶点距离的平 方和最小的点——重心。三角形内到三边距离之积最大的点——重心。
高中数学竞赛讲义(十五)复数
高中数学竞赛讲义（十五） ──复数 一、基础知识 1．复数的定义：设i为方程x2=-1的根，i称为虚数单位，由i与实数进行加、减、乘、除等运算。便产生形如a+bi（a,b∈R）的数，称为复数。所有复数构成的集合称复数集。通常用C来表示。 2．复数的几种形式。对任意复数z=a+bi（a,b∈R），a称实部记作Re(z),b 称虚部记作Im(z). z=ai称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标，那么z与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x轴称为实轴，y轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标，复数z又对应唯一一个向量。因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式，称为向量形式；另外设z 对应复平面内的点Z，见图15-1，连接OZ，设∠xOZ=θ,|OZ|=r，则a=rcos θ,b=rsinθ,所以z=r(cosθ+isinθ)，这种形式叫做三角形式。若z=r(cosθ+isinθ)，则θ称为z的辐角。若0≤θ<2π，则θ称为z的辐角主值，记作θ =Arg(z). r称为z的模，也记作|z|，由勾股定理知|z|=.如果用e iθ表示cosθ+isinθ，则z=re iθ，称为复数的指数形式。 3．共轭与模，若z=a+bi，（a,b∈R）,则a-bi称为z的共轭复数。模与共轭的性质有：（1）；（2）；（3）； （4）；（5）；（6）；（7）||z 1|-|z 2 || ≤|z 1±z 2 |≤|z 1 |+|z 2 |；（8）|z 1 +z 2 |2+|z 1 -z 2 |2=2|z 1 |2+2|z 2 |2；（9）若|z|=1，则 。 4．复数的运算法则：（1）按代数形式运算加、减、乘、除运算法则与实数范围内一致，运算结果可以通过乘以共轭复数将分母分为实数；（2）按向量形
高中数学竞赛专题讲座数列
高中数学竞赛专题试题讲座——数列 一、选择题部分 1．（2006年江苏）已知数列{}n a 的通项公式2 2 45 n a n n =-+，则{}n a 的最大项是（ B ） ()A 1a ()B 2a ()C 3a ()D 4a 2（2006安徽初赛）正数列满足()231221,10,103n n n t a a a a a n --===≥，则100lg ()a = （ ） A 、98 B 、99 C 、100 D 、101 3. （2006吉林预赛）对于一个有n 项的数列P=(p 1，p 2，…，p n )，P 的“蔡查罗和”定义为s 1、s 2、…s n 、的算术平均值，其中s k =p 1+p 2+…p k (1≤k≤n )，若数列(p 1，p 2，…，p 2006)的“蔡查罗和”为2007，那么数列(1，p 1，p 2，…，p 2006)的“蔡查罗和”为 （ A ） A. 2007 B. 2008 C. 2006 D. 1004 4．(集训试题)已知数列{a n }满足3a n+1+a n =4(n ≥1)，且a 1=9，其前n 项之和为S n 。则满足不等式|S n -n-6|<125 1 的最小整数n 是 （ ） A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 解：由递推式得：3(a n+1-1)=-(a n -1)，则{a n -1}是以8为首项，公比为- 3 1 的等比数列， ∴S n -n=(a 1-1)+(a 2-1)+…+(a n -1)= 3 11] )31 (1[8+--n =6-6×(-31)n ，∴|S n -n-6|=6×(31)n <1251，得：3n-1 >250，∴满足条件的最小整数n=7，故选C 。 5．(集训试题)给定数列{x n }，x 1=1，且x n+1= n n x x -+313，则 ∑=2005 1 n n x = （ ） A ．1 B ．-1 C ．2+3 D ．-2+3 解：x n+1= n n x x 3 3 133 - +，令x n =tan αn ，∴x n+1=tan(αn +6 π), ∴x n+6=x n , x 1=1，x 2=2+3, x 3=-2-3, x 4=-1, x 5=-2+3, x 6=2-3, x 7=1，……，∴有 ∑===2005 1 11n n x x 。故选A 。 6、（2006陕西赛区预赛）已知数列{}{}n n a b 、 的前n 项和分别为n A ，n B 记
数学竞赛的的内容与方法
（二）数学竞赛的的内容与方法 1 数学竞赛的的基本认识 1-1 数学竞赛的界定 数学竞赛（或数学奥林匹克）是通过数学内容而进行的教育活动，它为为学有余力的学生提供才华展示与个性发展的广阔空间． 数学竞赛教育活动的特点是：以开发智力为根本目的，以问题解决为基本形式，以竞赛数学为主要内容．最本质的是对中学生进行“竞赛数学”的教育． 1-2 数学竞赛教育活动的性质 数学竞赛教育活动的性质有4条：较高层次的基础教育，开发智力的素质教育，生动活泼的业余教育，现代数学的普及教育． （1）较高层次的基础教育 数学竞赛的教育，其对象是中学生，其教育的载体是中学生可以接受的竞赛数学，因此它是基础教育，虽然内容常有大学数学的背景，教练亦不乏大学教师，但这只是提高了教育的层次，而没有脱离基础教育的范围． 如果对高中数学教育按照“因材施教”的原则进行分层，那么可以有循序渐进的三个水平：毕业水平、高考水平、竞赛水平．毕业水平主要是掌握作为现代公民必须具备的数学基础知识和数学基本技能；高考水平是各极科技人才应当具有的数学素质与创造能力；竞赛水平是高级科技人才应当具备的数学素质与创造能力．竞赛水平没有脱离基础教育的目标，但作为较高层次的基础教育则更便于产生科技领袖，起着提高精英与普及大众之间的平衡作用．应该看到，用“相同的教育对待所有学生是不公平的”，让“不同的人在数学上得到不同的发展”，就需要承认基础教育中的“竞赛水平”． 虽然竞赛教育的层次比较高，但不是超前学习大学知识，也不是职业数学工作者的专业培训，更不是大学预科，而只是要充分开发中学生的思维潜能，学会“数学地思维”．同时也提供空间，让一部分学生在其最近发展区内得到最大的发展． （2）开发智力的素质教育 因为数学竞赛是一种智力竞赛而不是单纯的知识竞赛（媒体举办所谓“智力竞赛”大多只是记忆比赛），所以竞赛教育也只能是实施智能教育、数学素质教育，而不是单一的知识教育或片面的升学教育． 求解竞赛题离不开扎实的基础知识，但当命题者把问题解决的情节或数学家的前沿成果变为中学生可以接受的竞赛试题时，主要的不是检查学生是否掌握了这种知识，而是要考察学生对数学本质的洞察力、创造力和数学机智，只有那些综合而灵活的运用知识的选手才有希望成为竞赛的佼佼者．许多平时靠死记硬背而得高分的学生往往在竞赛中成绩欠佳也说明，数学竞赛对选手的数学素质有高要求． 无疑，数学竞赛应当造就IMO的金牌选手，并且选拔尖子人才也确实是数学竞赛的一个直接目的．但是，这项活动的更深刻的教育价值远远不止于此，环绕着竞赛的培训、选拔、赛题解答和赛后研究，广大的青少年都得到思维上的训练与提高；而且这种思维能力的发展，其作用也不仅限于数学，如果理解数学对于自然科学和社会科学的基础作用，如果认识到任何一门科学只有与数学相结合才能更加成熟和完善的话，那么完全可以说，数学竞赛对于开发智力的作用是其他学科竞赛所不能代替的． 因此，竞赛培训中的单纯考试目的，以及庸俗的“题型覆盖”和冲动的功利取向都是开发智力的宗旨背道而驰．竞赛教育要造就高层次的千军万马，让千军万马去涌现金牌选手，
高中数学竞赛_复数【讲义】
第十五章 复数 一、基础知识 1．复数的定义：设i 为方程x 2 =-1的根，i 称为虚数单位，由i 与实数进行加、减、乘、除等运算。便产生形如a+bi （a,b ∈R ）的数，称为复数。所有复数构成的集合称复数集。通常用C 来表示。 2．复数的几种形式。对任意复数z=a+bi （a,b ∈R ），a 称实部记作Re(z),b 称虚部记作Im(z). z=ai 称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标，那么z 与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x 轴称为实轴，y 轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标，复数z 又对应唯一一个向量。因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式，称为向量形式；另外设z 对应复平面内的点Z ，见图15-1，连接OZ ，设∠xOZ=θ,|OZ|=r ，则a=rcos θ,b=rsin θ,所以z=r(cos θ+isin θ)，这种形式叫做三角形式。若z=r(cos θ+isin θ)，则θ称为z 的辐角。若0≤θ<2π，则θ称为z 的辐角主值，记作θ=Arg(z). r 称为z 的模，也记作|z|，由勾股定理知|z|=22b a +.如果用e i θ 表示cos θ+isin θ，则z=re i θ ，称为复数的指数形 式。 3．共轭与模，若z=a+bi ，（a,b ∈R ）,则=z a-bi 称为z 的共轭复数。模与共轭的性质有：（1）2121z z z z ±=±；（2）2121z z z z ?=?；（3）2||z z z =?；（4）2 1 21z z z z =???? ??；（5）||||||2121z z z z ?=?； （6）| || |||2121z z z z = ；（7）||z 1|-|z 2||≤|z 1±z 2|≤|z 1|+|z 2|；（8）|z 1+z 2|2 +|z 1-z 2|2 =2|z 1|2 +2|z 2|2 ；（9）若|z|=1，则z z 1= 。 4．复数的运算法则：（1）按代数形式运算加、减、乘、除运算法则与实数范围内一致，运算结果可以通过乘以共轭复数将分母分为实数；（2）按向量形式，加、减法满足平行四边形和三角形法则；（3）按三角形式，若z 1=r 1(cos θ1+isin θ1), z 2=r 2(cos θ2+isin θ2)，则z 1??z 2=r 1r 2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]；若2 1 212, 0r r z z z = ≠[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)]，用指数形式记为z 1z 2=r 1r 2e i(θ1+θ2) , .) (2 12121θθ-=i e r r z z 5.棣莫弗定理：[r(cos θ+isin θ)]n =r n (cosn θ+isinn θ). 6.开方：若=n w r(cos θ+isin θ)，则)2s i n 2(c o s n k i n k r w n π θπ θ+++= ， k=0,1,2,…,n-1。 7．单位根：若w n =1，则称w 为1的一个n 次单位根，简称单位根，记Z 1=n i n π π2sin 2cos +，则全部单位根可表示为1,1Z ,1 1 21,,-n Z Z .单位根的基本性质有（这里记k k Z Z 1=，
⑨竞赛中的复数问题
Y.P.M 数学竞赛讲座 竞赛中的复数问题 复数不仅具有自身知识体系的丰富性，而且还与代数、三角、几何之间存在内在的紧密联系?复数的演绎独具特色，饶于 技巧,复数是竞赛数学的内容之一. 一、知识结构 1. 概念与运算： ⑴表达形式:①代数式:z=a+bi(a,b €R);②三角式:z=r(cos &+isin 9)(r 为，9 R);③指数式:z=re i 0(rM), 9 A Argz n ；③性质：若 z=cos 0+isin 0,则 1+z=2cos 2 (cos +isin )；1-z=-2sin 三(cos 三 +isin 二). 1,2…,n-1)；②性质:30 = 1； 3k = 31k ；3k 3j =3k+j ；单位根的积仍是单位根；n 次单位根的全部为：1, 31,312,…,3卩-1；③1+ 31+ 3 12+ …+31n-1=0,(x-1)(x- 31)(x- 312)…(x- 31n-1)=x n -1. ⑶基本结论：①实系数n 次方程的虚根a 与其共轭复数 二成对出现；②若|Z 1| = |Z 2| =…=|z n |,且Z 1+Z 2+…+Z n =0,则Z 1,Z 2, …,Z n 对应的点是正n 边形的顶点，且正n 边形的中心在坐标原点；③若复数Z 1,Z 2对应的点分别为 Z 1,Z 2,且Z 1=Z 0Z 2,则/ Z 1OZ 2=argz 0,或 argz 0- n =yr (cos 玉 +isin n )(k=0,1,2 …,n-1). ⑵单位根：①定义:方程x n =1的n 个根叫做n 次单位根，分别记为3 k (k=0,1,2, …,n-1); 3k =(cos 生 +isin 2k 二 n )(k=0,
高中数学竞赛专题讲座---复数
复 数 专题一 复数与数列 复数数列的题目主要体现对复数运算的规律性的把握． 例1 设数列 ,,,,21n z z z 是首项为48，公比为)26(4 1 i +的等比复数列． （1）求4z ． （2）将这个数列中的实数项，不改变原来的次序，从首项开始，排成 ,,,,21n a a a ，试求3a ． （3）求无穷级数 ++++n a a a 21的和． 解：（1）)6sin 6(cos 2 1)26(41ππi i r +=+= ．i r z 2124834==． （2）使r 为实数的最小自然数是6，数列 ,,,,21n a a a 是首项为48，公比为6 r 的等比数列．所以 4 3 3= a ． （3）这个级数是公比8 1 6 - ==r 的无穷等比级数，从而和3 128 ) 8 1(148= --=． 例2 今定义复数列 ,,,,21n a a a 如下，n n ka a a i a i a +=+=+=+1121,31,1（)2≥n ，k 为正的常数．问复数n a 的辐角的正切与哪一个值最接近？（当∞→n 时） 分析：寻求n a 的一般式，再注意取极限的方法以及相关讨论． 解：1+n a 的辐角记作θ，212111)1(a k k k a ka a a n n n n --+++++=+= ． （1）当1=k 时，i n n a a n a n )31()1(211+-+=+-=+，所以)(13 1tan ∞→→+-=n n n θ． （2）当1≠k 时，21111 1)1(a k k k a a n n n --++--=k k k k k n n n ---++ --=-13)13(1111 ∴)()10(1)1(1 3313)13(1tan 1∞→?? ? ??<<>+-→---+=-n k k k k k k k n n n θ． 例3 （1）设在复数列 ,,,,10n z z z 之间有如下关系：),3,2,1)((11 =-=--+n z z z z n n n n α，其中)1(≠αα是常复数．当1,010==z z 时，试将n z 的值用α表示． （2）若（1）中的i 31+=α，求在圆10||=z （z 是复数）的内部总共含有n z 的个数． 解：（1）αα=-=-)(0112z z z z ,2 1223)(αα=-=-z z z z (1) 211)(----=-=-n n n n n z z z z α α 于是，从1≠α得，α α--=11n n z ．
奥林匹克数学竞赛内容与方法选讲
奥林匹克数学竞赛内容与方法选讲一、标题分析 （1）奥林匹克——一种精神 （2）数学——一种科学哲学 （3）竞赛——一种生存方式 （4）内容——一种意义生成过程 （5）方法——一种思维的简化形式 （6）选讲——一种最普遍的交流方式 二、主题确定 （1）身、心、思、题、方、践 （2）解读 ?人生就是一场竞赛，身体最终决定成败 ?三分养身七分修心，和谐身心美满一生 ?思维是生存的先锋，智慧是成功的法宝 ?问题是实践的使者，善问是智慧的源泉 ?方法是解题的利斧，策略会赐予你机遇 ?思而无为方略枉然，践行思想始见英雄 三、专题研究 （1）身心健康问题 ?如何监测身体健康状况？ ?如何锻炼身体？ ?如何保持修心养性？
?如何防病、治病？ （2）学习思维问题 ?如何认识学习的分类？从实践中学，从符号中学，从反思中学?如何认识思维的分类？逻辑思维，发散思维，直觉思维 ?如何学习？ ?如何思考？ （4）方法策略问题 （5）实践操作问题 ?如何认识心、言、行的一致性？ ?如何增加计划的可行性？ ?数学解题过程的表述与规范？ ?如何认识社会实践、操作实践、科学实践的关系？ 国际奥林匹克数学竞赛（IMO）的发展
一、国际奥林匹克数学竞赛源于数学家的交流活动，属于一种有意识的比赛，无意识的竞争 在世界上，以数为内容的竞赛有着悠久的历史： 古希腊时就有解几何难题的比赛； 我国战国时期齐威王与大将田忌的赛马，实是一种对策论思想的比赛； 16世纪在意大利有过关于口吃者塔塔利亚求解三次方程的激烈竞争； 17世纪，不少数学家喜欢提出一些问题向其他数学家挑战，法国的费尔马就是其中的佼佼者，他所提出的费尔马大定理（在整数n≥3时，方程X n+Y n=Z n没有正整数解；……）向人类的智慧挑战了300年； 18世纪，法国曾经进行过独立的数学比赛； 19世纪，法国科学院以悬赏的方法征求对数学难题的解答，常常获得一些重要的数学发现。数学王子高斯就是比赛的优胜者，……但是，所有这些事实，都只有局部的性质并且限于在成人之间进行，而专门以中学生为对象的数学竞赛却是现代的时尚。 二、现代意义下的中学生数学竞赛（以下称中学数学竞赛）源于匈牙利。 1894年，为纪念数理学会主席埃沃斯荣任教育大臣，数理学会通过一项决议：举行以埃沃斯命名的，由高中学生参加的数学竞赛，
高中数学竞赛讲义_复数
复数 一、基础知识 1．复数的定义：设i 为方程x 2 =-1的根，i 称为虚数单位，由i 与实数进行加、减、乘、除等运算。便产生形如a+bi （a,b ∈R ）的数，称为复数。所有复数构成的集合称复数集。通常用C 来表示。 2．复数的几种形式。对任意复数z=a+bi （a,b ∈R ），a 称实部记作Re(z),b 称虚部记作Im(z). z=ai 称为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平面内点的坐标，那么z 与坐标平面唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点构成的集合之间的一一映射。因此复数可以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x 轴称为实轴，y 轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何形式；如果将(a,b)作为向量的坐标，复数z 又对应唯一一个向量。因此坐标平面内的向量也是复数的一种表示形式，称为向量形式；另外设z 对应复平面内的点Z ，见图15-1，连接OZ ，设∠xOZ=θ,|OZ|=r ，则a=rcos θ,b=rsin θ,所以z=r(cos θ+isin θ)，这种形式叫做三角形式。若z=r(cos θ+isin θ)，则θ称为z 的辐角。若0≤θ<2π，则θ称为z 的辐角主值，记作θ=Arg(z). r 称为z 的模，也记作|z|，由勾股定理知|z|=22b a +.如果用e i θ 表示cos θ+isin θ，则z=re i θ ，称为复数的指数形 式。 3．共轭与模，若z=a+bi ，（a,b ∈R ）,则=z a-bi 称为z 的共轭复数。模与共轭的性质有：（1）2121z z z z ±=±；（2）2121z z z z ?=?；（3）2||z z z =?；（4）2 1 21z z z z =???? ??；（5）||||||2121z z z z ?=?； （6）| || |||2121z z z z = ；（7）||z 1|-|z 2||≤|z 1±z 2|≤|z 1|+|z 2|；（8）|z 1+z 2|2 +|z 1-z 2|2 =2|z 1|2 +2|z 2|2 ；（9）若|z|=1，则z z 1= 。 4．复数的运算法则：（1）按代数形式运算加、减、乘、除运算法则与实数范围内一致，运算结果可以通过乘以共轭复数将分母分为实数；（2）按向量形式，加、减法满足平行四边形和三角形法则；（3）按三角形式，若z 1=r 1(cos θ1+isin θ1), z 2=r 2(cos θ2+isin θ2)，则z 1??z 2=r 1r 2[cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)]；若2 1 212, 0r r z z z = ≠[cos(θ1-θ2)+isin(θ1-θ2)]，用指数形式记为z 1z 2=r 1r 2e i(θ1+θ2) , .) (2 12121θθ-=i e r r z z 5.棣莫弗定理：[r(cos θ+isin θ)]n =r n (cosn θ+isinn θ). 6.开方：若=n w r(cos θ+isin θ)，则)2s i n 2(c o s n k i n k r w n π θπ θ+++= ， k=0,1,2,…,n-1。 7．单位根：若w n =1，则称w 为1的一个n 次单位根，简称单位根，记Z 1=n i n π π2sin 2cos +，则全部单位根可表示为1,1Z ,1 1 21,,-n Z Z .单位根的基本性质有（这里记k k Z Z 1=，
