相似三角形 之 比例线段

相似形——比例线段

知识点1：比例线段

1、线段的比：如果用同一长度单位量得两条线段a 、b 的长度分别为m ，n ，则m ∶n 就是线段a ，b 的比，记作a ∶b ＝m ∶n 或

a m

b n

=，其中a 叫做比例前项，b 叫做比例后项。 2、比例线段：四条线段，如果其中两条线段的比与另外两条线段的比相同，则称这四条线

段成比例线段，简称比例线段。例如线段a 、b 、c 、d ，如果a c

b d

=，则称线段a 、b 、c 、d 成比例线段，这里要注意，a 、b 、c 、d 必须按顺序写出，不能写成b c a d =或a d

b c

=。

3、比例外项、比例内项、第四比例项、比例中项： 若

a c

b d

=，则称a 、d 为比例外项，b 、c 、为比例内项，d 为第四比例项，如果b ＝c ，则称b 为a 、c 的比例中项。 知识点2：比例性质

1、基本性质：如果a c

b d =，则根据等式的基本性质，两边同时乘以bd 得ad b

c =。 2、合比性质：如果a c b

d =，则根据等式的基本性质，两边同时加上1或－1得a b c d

b d

±±=。

3、等比性质：如果n

m d c b a === （0≠+++n d b ），则n

m

d c b a n d b m c a ====++++++ ，运用这个性质时，一定要注意0≠+++n d b 的条

件。

典型例题 例1、已知

34=b a ，且b 是a 、c 的比例中项，则=c

b

，若a 是b 、c 的比例中项，则=c

b

。

例2、已知35a c e b d f ===，求：3232a c e b d f

-+-+的值。

例3、已知

118x y x +=，求x

y

。

例4、如图，△ABC 中，CD 平分∠ACB 交AB 于D ，DE ∥BC 交AC 于E 点，若AD ︰DB ＝2︰3，

AC ＝15，求DE 的长。

例5、在比例尺为1：8000的安庆市城区地图上，集贤南路的长度约为25 cm ，它的实际长度约为（ ）。

A ．320cm

B ．320m

C ．2000cm

D ．2000m

例6. 已知线段a 、b 、c 、d 满足ab =cd ，把它改写成比例式，错误的是( )

A.a ∶d =c ∶b

B.a ∶b =c ∶d

C.d ∶a =b ∶c

D.a ∶c =d ∶b

（2). 若ac =bd ，则下列各式一定成立的是( )

A.d

c b a =

B.c c b d d a +=+

C.c d

b

a =22 D.

d

a

cd ab =

例7：已知线段3，4，6与x 是成比例线段，则_______=x 。

已知线段3，4，6与x 能组成成比例线段，则_______=x 。

拓展与创新 1、已知3

42b

a c a c

b

c b a -+=-+=-+，则4::2a b c =

2、若

22

33

x y y x -=-，则x y 为（ ）。

A ．

512 B ．125 C ．712 D ．5

12- 3、已知：3

5

a c e

b d f ===，则a

c b

d +=+_______，2323a c

e b d

f +-=+-_______。

4 （1）已知b

a a

b b a x +=+=+=

2

22，求x 的值

（2）已知524232x z z y y x -=-=-，求y

x z

y x -++2的值 5．已知

572z y x ==，设x

z y x C y z x B z y x y A -+=+=++=,,，那么A 、B 、C 的大小顺序为（ ）

6．如果2===c z b y a x ，那么=+-+-c

b a z y x 3232

黄金分割

把线段AB 分成两条线段AP 、PB （AP ＞PB ），如果AP 是线段PB 和AB 的比例中项，则线段AP 把线段AB 黄金分割，点P 叫做线段AB 的黄金分割点。

2

1

5,

215--==较长线段较短线段整条线段较长线段叫做黄金比值。

例1、如果线段上一点P 把线段分割为两条线段PA 、PB 当PA 2

=PB ·AB,

即PA ≈0.618AB 时,则称点P 是线段AB 的黄金分割点,现已知线段

AB=10,点P 是线段AB 的黄金分割点,如图所示,那么线段PB 的长约为（ ）。 A 、6.18 B 、0.382 C 、0.618 D 、3.82

2．已知AB=1，)15(2

1

-=

AC ，且BC AB AC ⋅=2，则BC 的长为（ ） A 、215- B 、2

1

5+ C 、)53(21- D 、)53(21+

3．已知P 是线段AB 的黄金分割点，且15-=AP ，则AB 的长为（ ）

A 、2

B 、15+

C 、2或15+

D 、以上都不对

例4.已知点M 将线段AB 黄金分割(AM ＞BM )，则下列各式中不正确的是( )

A ．AM ∶BM =A

B ∶AM B.AM =215-AB C.BM =2

1

5-AB D.AM ≈0.618AB

例5．如图，线段AB=2，点C 是AB 的黄金分割点(AC ＜BC ），点D （不同于C 点）在AB 上，且AB BD AD ⋅=2

，求：AC

CD

的值

A

C

D

B

形状相同的图形

两个图形的形状完全相同，但图形的大小位置不一定相同 这样的两个图形叫做形状相同的图形(相似图形)

思考

所有的等腰三角形都相似 所有的等边三角形都相似

所有等腰直角三角形都相似 所有的直角三角形都相似

所有的等腰直角三角形都是形状相同的图形

所有的菱形都是形状相同的图形

所有的圆柱体都是形状相同的图形

练习

1. 已知x

b

c a x a c b x c b a =+=+=

+,,，求x 的值

2、量得两条线段a ，b 的长度分别为8㎝，32㎝，则a ∶b = 。

3、如图，点C 是AB 的中点，点D 在BC 上，AB=24，BD=5， （1）AC ∶CB ＝ ；AC ∶AB ＝ ； （2）

_____=BD BC ；_____=AB CD ；_____=CD

AD

。

4、若x 是8和4的比例中项，则x 的值为（ ）

A

． B

．- C

．± D ．以上答案均不对 5、已知

32=y x ，则______=+y y x ，______=+y x x ，______=+-y

x y x 。 6、若

43=-y y x ，则______=y

x

；若045=-y x ，则x ∶y = 。 7、已知

)(0c b a k c

b a d

d b a c d c a b d c b a ≠++=++=++=++=++，则k 等于（ ）

A ．1

B ．

21 C ． 31 D ． 4

1 8、已知A 、B 两地的实际距离AB ＝5千米，画在地图上的距离B A ''＝2㎝，则这张地图的比例尺是（ ）。 A 、 2∶5 B 、 1∶25000 C 、 25000∶1 D 、 1∶250000

9、 已知点C 是线段AB 的黄金分割点，且AC ＞CB ，则下列等式中成立的是（ ） A ．AB 2

=AC ·CB B ．CB 2

=AC ·AB C ．AC 2

=CB ·AB D ．AC 2

=2BC ·AB 10、把长为7cm 的线段进行黄金分割，则分成的较短的线段长为（ ）

A

B

D

11、已知=-+=+-=c b a a b c c b a 23,632,5:4:2::则且 。 12、将数48分成三部分，且三数之比为2:4:6，则最小数是（ ）

A ．8

B ．16

C ．24

D ．4

13、两个相似三角形的相似比系数为2=k ，如果它们的周长之差4cm ，那么这两个相似三角形的周长分别是 。

14、三线段a 、b 、c 中，a 的一半的长等于b 的四分之一长，也等于c 的六分之一长，那么这三条线段的和与b 的比等于（ ）

A 6:1

B 1:6

C 3:1

D 1:3

15、若062

2=--y xy x ，则=y x :

16、如果5:4:3::=c b a ，那么

=+--+c

b a c

b a 3532

17、已知三个数1，2， 3 ，请你再添上一个（只填一个）数，使它们能构成一个比例式，则这个数是________。

18、已知：如图，在ABC ∆中，12=AB ，6=AE ，4=EC ，且

AD AE DB

EC

=

A D B

（1）求AD 的长；（2）求证：AC EC AB DB 。

相似三角形知识点总结

相似三角形知识点总结 1. 比例线段的有关概念： 在比例式 ：：中，、叫外项，、叫内项，、叫前项，a b c d a b c d a d b c a c ==() b 、d 叫后项，d 叫第四比例项，如果b=c ，那么b 叫做a 、d 的比例中项。 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，使AC 2 =AB ·BC ，叫做把线段AB 黄金分割，C 叫做线段AB 的黄金分割点。 2. 比例性质： ①基本性质： a b c d ad bc =?= ②合比性质：±±a b c d a b b c d d =? = ③等比性质： ……≠……a b c d m n b d n a c m b d n a b ===+++?++++++=()0 3. 平行线分线段成比例定理： ①定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例，如图：l 1∥l 2∥l 3。 则 ，，，…AB BC DE EF AB AC DE DF BC AC EF DF === ②推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比 例。 ③定理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。 4. 相似三角形的判定： ①两角对应相等，两个三角形相似 ②两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 ③三边对应成比例，两三角形相似 ④如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角形相似 ⑤平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似 ⑥直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似

线段的比例和相似三角形

线段的比例和相似三角形 线段的比例是指两条线段之间的长度比值关系。在几何学中， 线段的比例是相似三角形理论的重要基础。相似三角形的概念在 解决各种几何问题中起着重要的作用。本文将探讨线段的比例与 相似三角形之间的关系，并给出一些相关的例子和应用。 一、线段的比例 在几何学中，线段的比例是指两个线段长度之间的比值关系。 设有两条线段AB和CD，它们之间的比例关系可以表示为AB:CD 或者AB/CD。线段的比例可以是整数、分数或者小数。 线段的比例在几何学中有广泛的应用。例如，在图形的缩放中，线段的比例被广泛应用。当图形的每个线段的长度按照一定比例 进行缩放时，缩放后的图形与原图形是相似的。 二、相似三角形 相似三角形是指具有相同形状但大小不同的三角形。在相似三 角形中，对应角度相等，对应边长成比例。这个比例关系称为相 似比。

相似三角形的性质非常重要。通过相似三角形的性质，我们可 以解决许多几何问题。例如，根据相似三角形的性质，我们可以 知道两个直角三角形的斜边与斜边对应角度相等，从而可以运用 三角函数来求解问题。 三、线段的比例与相似三角形的关系 线段的比例与相似三角形之间存在密切的关系。当两个三角形 相似时，它们的对应边长之间的比例关系等于相似比，在比例关 系中线段的比例起着重要的作用。 以一个简单的例子来说明线段的比例与相似三角形的关系。设 有两个相似的三角形ABC和DEF，对应边长之间的比例关系为AB:DE、AC:DF和BC:EF。我们可以通过知道这些线段的比例关系，解决许多几何问题。例如，知道了AB:DE=2:3和AC:DF=4:5，我们可以求得BC:EF的比例关系。 四、线段的比例和相似三角形的应用 线段的比例和相似三角形在实际生活中有广泛的应用。以下是 几个例子：

线段的比例与相似三角形

线段的比例与相似三角形 在几何学中，线段的比例与相似三角形是两个重要的概念，它们在解决几何问题时起到了至关重要的作用。本文将讨论线段的比例与相似三角形的基本概念、性质和运用。 一、线段的比例 线段的比例指的是两个线段之间的比较关系。对于两个线段AB和CD来说，我们可以用一个比值来表示它们之间的关系，即AB:CD。这个比值可以是整数、小数或分数形式。 1.1 特殊比例 当AB:CD=1:1时，即两个线段相等，我们称之为等比例。当 AB:CD=1:2时，我们称之为两个线段的比例为1:2。同理，当 AB:CD=2:3时，我们称之为两个线段的比例为2:3。 1.2 比例的性质 线段的比例具有以下性质： 1.2.1 传递性：如果AB:CD和CD:EF两个比例成立，那么AB:EF也成立。 1.2.2 反比例：如果AB:CD成立，那么CD:AB不成立。 1.2.3 倍数关系：如果AB:CD成立，那么kAB:kCD也成立，其中k 为任意非零实数。

二、相似三角形 相似三角形指的是具有相同形状但是大小不同的三角形。两个三角形相似的条件是它们的对应角度相等，并且对应边长的比例相等。 2.1 相似三角形的性质 相似三角形具有以下性质： 2.1.1 对应角度相等性质：两个三角形的对应角度相等。 2.1.2 对应边长比例性质：两个相似三角形的对应边长的比例相等。 2.1.3 完全相似性质：如果两个三角形的对应边长比例相等，那么它们是相似三角形。 2.2 相似三角形的运用 相似三角形在实际问题中有着广泛的运用，以下是一些常见的应用场景： 2.2.1 测量不可达距离：当我们无法直接测量某个高的长度时，可以利用相似三角形来解决。通过测量一个容易测量的长度和它在影子或光线下的投影长度，可以利用三角形的相似性来计算出不可达距离。 2.2.2 建筑设计：在建筑设计中，相似三角形可以用来计算建筑物的高度、长度和角度。例如，通过测量建筑物的影子长度和投影长度，可以利用三角形的相似性来计算出建筑物的高度。

线段比例定理与相似三角形

线段比例定理与相似三角形 线段比例定理和相似三角形是数学中重要的概念和定理。它们在几 何学和实际问题中有着广泛的应用。本文将详细介绍线段比例定理和 相似三角形的定义、性质和应用。 一、线段比例定理 线段比例定理，也称为“点分线段定理”，是指在一个线段上，如果 有两个点将这个线段分成两个部分，那么这两个点所在线段的比例等 于被他们分割的两部分的比例。具体来说，如果在线段AB上有一点C，将线段AB分成两部分，形成长度为AC和CB的两个线段，则有下列 等式成立： AC/CB = AB 为了更好地理解线段比例定理，我们可以通过一个几何图形来解释。考虑一个三角形ABC，从A点引一条平行于BC的直线，交BC于点D。根据线段比例定理，可以得出下列等式： AD/DB = AB/BC 这个定理在几何学中具有重要意义，可以用来解决求长度比例的问题。 二、相似三角形 相似三角形是指两个三角形具有相同的形状，但是对应边的长度不 一定相等。具体来说，如果两个三角形的对应角度相等，则它们是相

似三角形。符号表示为∆ABC ∼ ∆DEF。相似三角形可以通过比较对应 边的长度比例来判断。 在相似三角形中，比较两个对应边的长度，可以使用下列比例： AB/DE = BC/EF = AC/DF 这里AB, BC和AC是三角形ABC的边长，DE, EF和DF是三角形DEF的边长。这个比例关系又称为“对应边比例定理”。 相似三角形有一些重要的性质： 1. 相似三角形的对应角度相等，对应边比例相等； 2. 相似三角形的对应边比例相等，对应角度相等； 3. 如果两个三角形相似，则它们的相似比例为正的常数； 4. 如果两个三角形的任意两边长的比例相等，则它们是相似三角形。 三、线段比例定理与相似三角形的应用 线段比例定理和相似三角形在几何学和实际问题中有广泛应用。以 下是一些常见的应用场景： 1. 测量高度：利用相似三角形的性质，可以通过测量某一物体的阴 影和影子长度来计算物体的高度。 2. 树木的投影：根据相似三角形的对应边比例，可以通过树木在地 面上的投影长度和树木的实际高度，计算出树木的实际宽度。

利用相似三角形证明线段比例式的三种方法

利用相似三角形证明线段比例式的三种方法 莘庄中学 梅建红 利用相似三角形证明线段比例式时，不少同学面对复杂的图形，，感到无从下手。下面介绍的三种方法可以帮助解决这类问题。 一、“横定法”与“竖定法” 利用相似三角形说明线段比例式成立的基本思路是：先找出与结论中的线段相关的两个三角形，然后说明这两个三角形相似，最后利用“相似三角形对应边成比例”即可得出结论。 例1、 如图，在等边三角形ABC 中，P 是BC 边上的任意一点，线段AP 的垂直 平分线分别交AB 、AC 于点M 、N 。求证：B P ·PC=BM ·CN 变式训练 二、等线段代换法 若用“横定法”与“竖定法”找不到相似三角形，我们可以试着根据已知条件找到与比例式中某线段相等的一条线段来代替这条线段，然后，应用上述方法来确定相似三角形。 例2 如图，在△PEA 中，B 是PA 上一点，∠PEB=∠A ，过点P 的直线分别交EB 、 EA 于点D 、C ，且ED=EC 。求证：PA ·CE=AC ·PE A P C B A D B 如图，CD 是RT △ABC 斜边上的高，DE ⊥BC 于E ，求证： BE CD BD AC = 分析 要证明B P ·PC=BM ·CN ，只证明 PC CN BM BP =即可。用“横定法”，找不到两个三角形；用“竖定法”，BP 与BM 同在△BPM 中，于是只要证明△BPM ∽△CNP 就可以了，此时辅助线的作法也明显了。

变式训练 三、等量代换法 当用“横定法”和“竖定法”不能确定相似三角形，同时也无相等线段可代换时，可考虑找等比（或等积）进行代换，然后用上述方法确定出三角形。 例3 如图，在RT △ABC 中，∠ACB=900 ， CD ⊥AB 于D ，M 是CD 上的点，DH ⊥BM ， 垂足为点H ，延长DH 交BC 于点K ，交AC 的延长线于点E 。 求证：（1）△AED ∽△CBM （2）AE ·CM=AC ·CD 变式训练 B P E A C D 分析 要证明PA ·CE=AC ·PE ，证明 CE PE AC PA =即可，用“横定法”，找不出两个三角形；用“竖定法”，找出△PAC 和△PEC ，但这两个三角形不相似，此路也不通，已知条件中有ED=EC ，试用ED 代替EC ，即 要证明ED PE AC PA =。再用“竖定法”定出△ PCA 和△PDE ，而这两个三角形相似，由此可推出命题结论成立 A B C D M H K E 分析 （1）略 （2）要证明AE ·CM=AC ·CD ，用前面 两种方法定不出相似三角形，此时，就应考虑用等比（或等积）代换。由（1），可得CM CB AD AE =，即AE ·CM=AD ·CB ，故只需要证明AC ·CD=CB ·AD 。由RT △CAD ∽RT △BCD 同，即可证明结论 如图，在ABC ∆中，AD 平分∠BAC ， AD 的垂直平分线交AD 于E ，交BC 的 延长线于F 。求证：FC FB FD •=2 C A B E D F

相似三角形的中线比例

相似三角形的中线比例 相似三角形是指具有相同形状但不一定具有相同大小的两个或多个 三角形。在相似三角形中，各边的比例相等，而角度则相等或对应相等。中线是连接三角形两边中点的线段，在相似三角形中，中线的比 例具有一定的规律。 假设有两个相似三角形ABC和DEF，它们的顶点分别为A和D， 各边相似的对应关系为AB∶DE，AC∶DF和BC∶EF。我们来研究一 下相似三角形的中线比例。 首先，我们可以知道，三角形ABC和DEF的对应中线分别为AM 和DN（M是BC的中点，N是EF的中点）。我们需要求解的问题是，中线AM和中线DN的比例。 为了求解问题，我们可以利用类似三角形的性质，使用比例关系进 行计算。根据相似三角形的性质，我们可以得到下面的比例关系：AM/BC = DN/EF 接下来，我们需要寻找辅助线，以便利用几何性质来进行求解。 我们可以在三角形ABC和DEF中分别连接如下辅助线：连接点C 和D，连接点C和E，连接点B和E。我们分别将这些线段记作CD，CE和BE。 通过连接辅助线，我们可以发现一些几何性质： 1. 三角形ABC和DEF是相似三角形，所以∠ABC = ∠DEF。

2. 三角形ACD和DFE是相似三角形，所以∠ACD = ∠DFE。 3. 三角形ABE和DEC是相似三角形，所以∠ABE = ∠DEC。 根据三角形内角和定理，我们可以得到如下关系： ∠ACD + ∠ACB + ∠ABC = 180° ∠DFE + ∠DEF + ∠EDF = 180° 由于∠ABC = ∠DEF，所以可以将上述两个等式相加，并根据三角 形内角和定理的性质得到： ∠ACD + ∠ACB + ∠ABC + ∠DFE + ∠DEF + ∠EDF = 360° 进一步简化得： 2(∠ACB + ∠DFE + ∠ABC + ∠EDF) = 360° 我们可以得到： ∠ACB + ∠DFE + ∠ABC + ∠EDF = 180° 通过将该等式代入到∠ACD = ∠DFE的等式中，我们可以得到 ∠ACD = ∠ACB。 因此，三角形ACD和ABC是全等三角形。根据全等三角形的性质，我们可以知道： AC = BC和AD = CD 同样地，我们可以证明三角形DFE和DEF是全等三角形，从而得到：

利用相似三角形求解线段比例

利用相似三角形求解线段比例线段比例是相似三角形的应用之一。相似三角形具有对应角相等的 特点，根据三角形的性质可以推导出线段比例关系。在几何学中，利 用相似三角形求解线段比例是一种常见的解题方法。本文将介绍相似 三角形的基本概念，并以实际题目为例，详细解答如何利用相似三角 形求解线段比例。 相似三角形是指具有对应角相等的两个三角形。两个相似三角形的 对应边之间存在比例关系。设有两个相似三角形ABC和DEF，记作 ∆ABC∼∆DEF。根据相似三角形的定义，我们可以得出以下结论： 1. 对应角相等：∠A = ∠D，∠B = ∠E，∠C = ∠F。 2. 对应边成比例：AB/DE = BC/EF = AC/DF。 利用相似三角形求解线段比例的基本思路是通过观察已知条件和待 求比例之间的关系，建立相似三角形，并应用上述比例关系求解。接 下来，我们通过实际题目来演示相似三角形求解线段比例的具体过程。 【示例题目】在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的内部点，且满足AD/DB = 2, AE/EC = 3。若线段DE与BC平行，求线段DE与BC 的比例。 解析：根据题目已知条件可以得出AD/DB = 2, AE/EC = 3，而根据 线段平行的性质可知线段DE与线段BC平行。我们可以通过构造相似 三角形来求解。

首先，连接点D、E与点B、C，分别得到线段BD和CE。根据相 似三角形的性质，我们可以得出△ADE∼△ABC。根据对应边成比例 的关系，可得AD/BD = AE/EC = DE/BC。由于已知AD/DB = 2， AE/EC = 3，我们可以将它们带入上述比例关系式中，得到2 = DE/BC = 3。 因此，线段DE与BC的比例为2:3。 通过这个例子，我们可以总结出利用相似三角形求解线段比例的一 般步骤： 1. 根据已知条件，确定相似三角形的构造方式。 2. 建立相似三角形的比例关系。 3. 将已知条件和待求比例带入比例关系，求解未知量。 在实际应用中，利用相似三角形求解线段比例经常出现在建筑设计、地图测量、光学模型等领域。掌握相似三角形的基本概念和求解方法，对于解决这类问题非常有帮助。 总结：利用相似三角形求解线段比例是一种常见的解题方法。通过 建立相似三角形的比例关系，利用已知条件和待求比例的关系，可以 求解未知量。在实际应用中，掌握相似三角形的概念和求解方法对解 决问题很有帮助。 相似三角形的应用还有很多，例如根据相似三角形可以推导出海伦 公式等几何定理，更加深入的学习和应用相似三角形可以帮助我们更

初三数学《相似三角形》知识点归纳

初三数学《相似三角形》知识提纲 (何老师归纳) 一：比例的性质及平行线分线段成比例定理 （一）相关概念：1.两条线段的比：两条线段的比就是两条线段长度的比 在同一长度单位下两条线段a ，b 的长度分别为m ，n ，那么就说这两条线 段 的比是，或写成a ：b=m ：n ； 其中 a 叫做比的前项，b 叫做比的后项 2：比例尺= 图上距离／实际距离 3：成比例线段：在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段，记作：c d a b =（或a ：b=c ：d ） ① 线段a ，d 叫做比例外项，线段b ，c 叫做比例内项， ② 线段a 叫首项，d 叫a ，b ，c 的第四比例项。 ③ 比例中项:若 c a b c a b c b b a ,,2是则即⋅==的比例中项. （二）比例式的性质 1.比例的基本性质: bc ad d c b a =⇔= 2. 合比：若 ，则或a b c d a b b c d d a b a c d c =±=±±=± 3. 等比：若 ……（若……）a b c d e f m n k b d f n =====++++≠0 4、黄金分割： 把线段AB 分成两条线段AC ，BC （AC>BC ），并且使AC 是AB 和BC 的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC=2 1 5-AB ≈0.618AB ， (三)平行线分线段成比例定理 1.平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 如图：当AD∥BE∥CF 时，都可得到 = . = ， = ， n m b a =

相似三角形(一)线段的比、比例线段

相似三角形（一） -------------------线段的比、比例线段 一、知识点： 1、线段的比： 2、比例线段： 等价形式 3、比例尺： 4、合比定理： 5、等比定理： 6、黄金分割点： 黄金比例： 7、方法：

二、精选例题 例1：(1)已知x ∶y ∶z =3∶4∶5，①求 z y x +的值；②若x +y +z =6，求x 、y 、z . (2)已知线段x 、y ，如果(x+y)∶(x-y)＝a ∶b ，求x ∶y. (3)已知a 、b 、c 是非零实数，且k c b a d d a b c d c a b d c b a =++= ++= ++= ++，求k 的值. (4)若a 、b 、c 是非零实数，并满足 a c b a b c b a c c b a ++-= +-= -+，且 abc a c c b b a x ) )()((+++= ，求x 的值. 针对练习： 1.若4x=5y,则x ∶y ＝ . 2.若3 x ＝ 4 y ＝5 z ，则y z y x +- ∶ x x z y -+＝ . 3.已知13 y x -＝ 7 y ，则 y y x +的值为 . 4.已知b a ＝4 3，那么b b a +＝ . 5.若 b a ＝ d c ＝ f e ＝3，且b+d+ f ＝4，则a+c+e ＝ .

6.若(x+y)∶y ＝8∶3，则x ∶y ＝ . 7.若 b a b +＝5 3，那么 b a ＝ . 8.等腰直角三角形中，一直角边与斜边的比是 . 例2、已知a 、b 、c 为ΔABC 的三边，且a+b+c =60cm ，a ∶b ∶c =3∶4∶5，求ΔABC 的面积. 例3、（1）已知线段AB ＝8，C 为黄金分割点，求AC ：BC （2）已知线段AB=a ，在线段AB 上有一点C ，若AC=a 25 3-，则点C 是线段AB 的黄金分 割点吗？为什么？ 课堂练习 9.已知△ABC 和△A ′B ′C ′， ' 'B A AB ＝ ' 'C B BC ＝ ' 'A C CA ＝ 2 3，且A ′B ′+B ′C ′+C ′ A ′＝16cm.则AB+BC+AC ＝ . 10.若a ＝8cm ，b ＝6cm ，c ＝4cm ，则a 、b 、c 的第四比例项d ＝ cm ； a 、c 的比例中项x ＝ cm. 11.已知3∶x ＝8∶y ，求 y x = 12. 已知 b b a 23+＝ 2 7，则 b a = 13. 若 2 x ＝ 3 y ，求y y x + = 14. 如果x ∶y ∶z ＝1∶3∶5，那么 z y x z y x +--+33＝ 15. 正方形对角线的长与它的边长的比是 16.在1∶5000000的福建省地图上，量得福州到厦门的距离约为60cm ，那么福州到厦门的实际距离约为 km. 17、在一张地图上，甲、乙两地的图上距离是3 cm,而两地的实际距离为1500 m ，那么这张地图的比例尺为_______. 18.已知b a ＝ d c ＝5 2 (b+d ≠0)，则 d b c a ++＝

初中数学相似三角形基础知识精讲--比例线段

初中数学相似三角形基础知识精讲--比例线段 【基础知识精讲】 一、两条线段的比：同一长度单位下两条线段长度的比叫两条线段的比。 二、成比例线段：1.比例线段： 四条线段d c b a 、、、中，如果 d c b a =， 那么这四条线段 d c b a 、、、叫做成比例线段，简称比例线段。 2.比例中项： 如果 c b b a =（或a c b =2），则b 叫做c a 、的比例中项。 三、比例的性质：1. 基本性质: 如果 d c b a =，那么b c a d =. 2．更比性质：如果d c b a =，那么d b c a =. 3．反比性质: 如果d c b a =，那么c d a b =. 4．合比性质：如果d c b a =，那么d d c b b a +=+. 5．分比性质：如果d c b a =，那么d d c b b a -=-. 6．等比性质: 如果)0(≠+++===n d b n m d c b a ，那么 b a n d b m c a =++++++ . 四、黄金分割：点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC （AC>BC ），如果 AC BC AB AC =， 那么点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比， 618.02 1 5≈-=AB AC 。 【例题巧解点拨】 例1：（1）已知 2a c a b c d b d b d --==，求和 （2）已知 0,0,a c a b c d a b c d b d a b c d ++=-≠-≠=--，且求证： 例2：已知d c b a 、、、是非零实数，且 k c b a d d a b c d c a b d c b a =++=++=++=++，

相似-第6讲比例线段相似三角形总结

第六讲比例线段、相似三角形总结 一、比例线段、相似三角形的考点 1．成比例线段的概念、比例的性质、平行线分线段成比例定理和推论，重点是与实际相关的比例的计算问题； 2．相似三角形的概念、三角形相似的判定和性质定理。这部分知识是中考的重点内容，其综合运用很丰富，与三角形、四边形的知识综合考查，又与圆的知识综合考查，是中考命题的几何题的必考题型，与相似有关的探索问题，与方程、函数结合的综合问题是中考热点。 二、相似三角形的几种基本类型 1．平行线型 如右图： 如果DE∥BC 则⊿AED∽⊿ABC 2．相交线型 如右图： 若∠1＝∠B 则⊿AED∽⊿ABC 3．旋转型 如右图(1)： 若∠1＝∠2，∠D＝∠B 则⊿AED∽⊿ABC 右图(2)Rt⊿ACB，CD是斜边AB 上的高，则⊿ACD∽⊿CBD (1) (2) 三、例题部分 例1（★）如图，已知⊿ABC、⊿DCE、⊿FEG是三个全等的等腰三角形，底边BC、CE、EG在同一直线上，且AB＝3，BC＝1，连结BF，分别交AC、DC、DE于点P、Q、R求证：⊿BFG∽⊿FEG，并求BF的长； 例2（★）如图，已知⊿ABC、⊿DEF均为正三角形，D、E分别在AB、BC上，请找出一个与⊿DBE相似的三角形并证明.

⊿DBE∽⊿ECH ⊿DBE∽⊿GFH ⊿DBE∽⊿GAD 例3．（★★，94年安徽省数学竞赛）设P是等边三角形ABC的BC边上任一点，连结AP，作AP的中垂线交AB、AC于M、N；证明：BP PC BM CN ⋅=⋅ 《华罗庚数学奥林匹克教材》初二年级 知识出版社，P180，5 例4．（★★，辽宁省竞赛题）设AM是⊿ABC边BC上的中线，任作一条直线分别交AB、AC、AM于P、 Q、N，求证：AB AP 、 AM AN 、 AC AQ 成等差数列． 【证明】：过B、C分别作MN的平行线交PQ的延 长线于E、F；易得 1 () 2 MN BE CF =+ 则 1 () 2 MN BE CF AN AN AN =+ ∵⊿BEP∽⊿ANP，∴BE BP AN AP = ∵⊿CFQ∽⊿ANQ ，∴CF CQ AN AQ = ∴ 1 () 2 MN BP CQ AN AP AQ =+ 根据合比定理得： 1 () 2 AM AB AC AN AP AQ =+ 【证明2】： 过B、C分别作PQ的平行线交AM的 延长线于E、F 例5．（★★，97年河北初中竞赛）在等腰直角三角形ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，BE＝ED＝CF，求∠CEF＋∠CAD的度数； 《华罗庚数学奥林匹克教材》初二年级 知识出版社，P181，9 例6．（★★，93年黄冈初中竞赛）在等边三角形ABC的边BC上取点D，使 1 2 BD CD =，作CH⊥AD，连

相似三角形 之 比例线段

相似形——比例线段 知识点1：比例线段 1、线段的比：如果用同一长度单位量得两条线段a 、b 的长度分别为m ，n ，则m ∶n 就是线段a ，b 的比，记作a ∶b ＝m ∶n 或 a m b n =，其中a 叫做比例前项，b 叫做比例后项。 2、比例线段：四条线段，如果其中两条线段的比与另外两条线段的比相同，则称这四条线 段成比例线段，简称比例线段。例如线段a 、b 、c 、d ，如果a c b d =，则称线段a 、b 、c 、d 成比例线段，这里要注意，a 、b 、c 、d 必须按顺序写出，不能写成b c a d =或a d b c =。 3、比例外项、比例内项、第四比例项、比例中项： 若 a c b d =，则称a 、d 为比例外项，b 、c 、为比例内项，d 为第四比例项，如果b ＝c ，则称b 为a 、c 的比例中项。 知识点2：比例性质 1、基本性质：如果a c b d =，则根据等式的基本性质，两边同时乘以bd 得ad b c =。 2、合比性质：如果a c b d =，则根据等式的基本性质，两边同时加上1或－1得a b c d b d ±±=。 3、等比性质：如果n m d c b a === （0≠+++n d b ），则n m d c b a n d b m c a ====++++++ ，运用这个性质时，一定要注意0≠+++n d b 的条 件。 典型例题 例1、已知 34=b a ，且b 是a 、c 的比例中项，则=c b ，若a 是b 、c 的比例中项，则=c b 。 例2、已知35a c e b d f ===，求：3232a c e b d f -+-+的值。 例3、已知 118x y x +=，求x y 。

相似三角形知识点归纳(全)

《相似三角形》—中考考点归纳与典型例题 知识点1 有关相似形的概念 (1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形. (2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多 边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)． 知识点2 比例线段的相关概念、比例的性质 （1）定义：在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段． 注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为： a d c b =． ②()()()a b c d a c d c b d b a d b c a ⎧=⎪⎪ ⎪=⇔=⎨⎪⎪=⎪⎩ ， 交换内项，交换外项． 同时交换内外项 核心内容：bc ad = （2）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即2 AC AB BC =⋅，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中 AB AC 215-= ≈0.618AB ．即12AC BC AB AC == 简记为：长短＝全长 注：①黄金三角形：顶角是360 的等腰三角形 ②黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形 （3）合、分比性质： a c a b c d b d b d ±±=⇔=． 注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间 发生同样和差变化比例仍成立．如：⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨⎧+-=+--=-⇒=d c d c b a b a c c d a a b d c b a 等等． （4）等比性质：如果 )0(≠++++====n f d b n m f e d c b a 那么 b a n f d b m e c a =++++++++ ．

比例线段与相似三角形培优(含部分答案)

比例线段/黄金分割/相似三角形 【知识要点】 一、比例线段的性质： 1．把 b a 的值叫做线段b a ,的比，若d c b a =，则称线段d c b a ,,,成比例线段。 2．bc a d d c b a d c b a =⇔=⇔=::，其中d c b a ,,,分别叫第一、第二、第三、第四比例 项，d a ,称为外项，c b ,称为内项；外项的积等于内项的积。 3． n 1 =实际距离图上距离，我们称为比例尺，进行有关比例尺的计算时，要注意统一单位 4．比例性质：①基本性质：bc ad d c b a =⇔=；②反比性质：c d a b d c b a =⇔=； ③更比性质：a b c a d c b a =⇔=； ④合比性质：d b c b b a d c b a ±=±⇔=； ⑤等比性质： n n b a b a b a b a === 332211，则1 12121b a b b b a a a n n =+++++ 5．比例中项：若a c b =2 ，则称b 是ac 的比例中项 二、黄金分割： 6．若点P 分线段AB 得到较长线段是较短线段和整条线段的比例中项，则称点P 是线段AB 的黄金分割点； 7． 2 1 5, 215--==较长线段较短线段整条线段较长线段叫做黄金比值。 四．三角形一边平行线的性质定理： 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线,截得的对应线段成比例. 三角形一边的平行线性质定理的推论： 平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线,截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例. 五．三角形一边平行线的判定定理： 如果一条直线截三角形的两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。 三角形一边的平行线判定定理的推论: 如果一条直线截三角形的两边的延长线(这两边的延长线在第三边的同侧)所得的对 应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边。 六．平行线分线段成比例定理 ： 两条直线被三条平行的直线所截，截得的对应线段成比例。 推论：

相似三角形比例线段

第一讲相似三角形一一相似与比例线段 第一课时 .放缩与相似 1 .相似形的概念 一般地，把一个图形放大或缩小，得到的图形和原来的图形，形状一定相同。我们把形状相 同的两个图形叫做相似形。 2 .相似形的特征 B 1c l —L -1=K BC (2)相似多边形的特征 推论：如果两个多边形相似，他们必定同为n 边形，而且各角对应相等，各边对应成比例。 【典型例题】 1 .如果一张地图白^比例尺为1:3000000,在地图上量得大连到长春的距离为25cm,那么长 春到大连的实际距离为千米。 【同类变式】 2 .在地图上，都标有比例尺。现在一张比例尺为1:5000的图纸上，量得？ABC 的三边： AC=3cm,BC=4cm,AB=5cm,求这个图纸所反映的实际？A'B'C'的周长是多少米？ 3 .某两地在比例尺为1:5000000的地图上的距离是30cm,两地的实际距离是多少？如果在 该地图上A 地(正方形场地)面积是3cm 2,问该地实际面积是 4 .下列说法正确的有()个 AB AG AC (1)相似三角形的特征 「/A'=/A;ZB'=ZB;/C'=/C

5 .一张长方形纸片对折后所得的长方形与原长方形是相似形，求原长方形的长与宽之比。 【同类变式】 6 .E 、F 分别为矩形ABCD 的边AD 、BC 的中点，若矩形ABCD 与矩形EABF 相似，AB=1。 求矩形ABCD 的面积。 7 .在相同时刻的物高和影长成正比例，如果在某时，旗杆在地面上的影长为10m 此时身高 是1.8米，小明的影长是1.5米，求旗杆的高度。 8 .把一个矩形截去一个正方形后，所剩的矩形与原矩形是否相似？若相似说明理由；若不 相似，问矩形的短边与长边之比为多少时一定能相似？ 二.比例线段 (1)线段的比：我们把两条线段的长度叫做线段的比。记作a:b 或a 。b (2)比例线段：在四条线段abcd 中，其中两条线段a,b 的比等于两条线段c,d 的比，即 ac …、一一一, — —,那个这四条线段叫做比例线段。其中，abcd 叫做成比例的项。 bd (3)比例外项，比例内项，第四比例项 (4)比例中项：如果比例内项的两条线段是相等的，即a:b=b:c,那么线段b 叫做线段的比例 中项。 ★比例的性质 (1)比例的基本性质 (1)有一个角是100°的等腰三角形相似 (3)所有的等腰直角三角形相似 (5)所有的矩形都相似 (2)有一个角是80°的等腰三角形相似 (4)所有的正六边形都相似 (6)所有的正方形都相似

相似三角形初步之成比例地线段

第一讲：相似三角形初步之成比例的线段： 1、比例 对于四条线段a ，b ，c ，d ，如果其中两条线段的比(即它们长度的比)与另两条线段的比相等，如 a c b d =(即ab ＝bc )，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 1.假如 322=-y y x , 如此_____=y x ； 2．以如下长度〔同一单位〕为长的四条线段中，不成比例的是〔 〕 A ．2，5，10，25 B ．4，7，4，7 C ．2，0.5，0.5，4 D ．2，5，52，25 3．假如a ∶3 =b ∶4 =c ∶5 , 且6=-+c b a , 如此___________,____,===c b a ； 4．：假如43===f e d c b a , 如此______=++++f d b e c a 5、 023 a b =≠，求代数式()2 25224a b a b a b -⋅--的值． 2、平行线分线段成比例、 定理：

推论： 练习1、如右图，EF ∥BC ，假如AE ∶EB=2∶1,EM=1,MF=2,如此AM ∶AN=____；BN ∶NC=_____ 2、：如图，ABCD ，E 为BC 的中点，BF ︰FA ＝1︰2，EF 与对角线BD 相交于G ，求BG ︰BD 。 3、如图，在ΔABC 中，EF//DC ，DE//BC ，求证：〔1〕AF ︰FD ＝AD ︰DB ； 〔2〕AD 2 ＝AF ·AB 。 3 、相似三角形的判定方法 判定0.平行于三角形一边的直线与其他两边或两边延长线相交，所截得的三角形与原三角形相似。 判定1. 两个角对应相等的两个三角形__________． 判定2. 两边对应成_________且夹角相等的两个三角形相似． 判定3. 三边对应成比例的两个三角形___________． 判定4.斜边和对应成比例的两个直角三角形相似 常见的相似形式： 1. 假如DE ∥BC 〔A 型和X 型〕如此______________． 2. 射影三角形〔1〕 射影定理：假如CD 为Rt △ABC 斜边上的高〔双直角图形〕 (2)∠ABD=∠C 如此Rt △ABC ∽Rt △ACD ∽Rt △CBD 且AC 2=________，CD 2=_______，BC 2 =______． E A D C B E A D C B A D C B 练习 1、如图，∠ADE=∠B ，如此△AED ∽__________ 2、如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，DE ⊥AB 于D ，如此△ADE ∽_________ 3、如图；在∠C=∠B ，如此_________ ∽ _________,__________ ∽_________ 4.如图，具备如下哪个条件可以使⊿ACD ∽⊿BCA 〔 〕 A 、BC AB CD AC =B 、CD BD AC AB =C 、CB CD AC •=2D 、BD AD CD •=2 5.如下四个三角形，与右图中的三角形相似的是〔 〕 6、如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3、4与x ，那么x 的值〔 〕A. 只有1个B. 可以有2个C. 可以有3个D. 有无数个 4 、相似三角形的性质与应用 A ． B ． C ． D ． A B C D 第2题 O A C A C A B E C D E E D D

相似三角形比例线段

相似三角形一一比例线段 教学过程 -、课堂导入 1举例说明生活中存在形状相同，但大小不同的图形。 如：照片、放电影中的底片中的图与银幕的象、不同大小的国旗、两把不同大小都含有30角的三角尺等。

2、美丽的蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比约为0.618.一些长方形的画框，宽与长之比也设计成0.618,许多美丽的形状都与0.618 这个比值有关。你知道0.618 这个比值的来历吗？

二、复习预习 1、什么是两个数的比？2与一3的比；一4与6的比，如何表示？其比值相等吗？用小 学学过的方法可说成为什么？可写成什么形式？ 2、比与比例有什么区别？ 3、用字母a,b,c,d表示数，上述四个数成比例可写成怎样的形式？你知道内项、外项的概 念吗？ 2 4 2 2 —4 答案：1、2：（—3）=—3 ；—4：6= —6 =—3 ； __ 3 = 6 ，2，—3，—4，6 四个数 成比例。注意四个数字的书写顺序。 2、比是一个值；比例是一个等式。 a c 3、a:b=c:d即b =d ，a,d叫做比例外项，b,c叫做比例内项。

三、知识讲解 考点1 比例线段 a c 一般地，四条线段a、b、c、d中，如果a与b的比等于c与d比，即b =d，那么这四条线段a、b、c、d叫做成比例线段，简称比例线段。 a _ c 注意：线段的比有顺序性，四条线段成比例也有顺序性•如d是线段a、b、c、d成 比例，而不是线段a、c、b、d成比例。

考点2 比例的性质 1、 比例的基本性质： 比例式化积、积化比例式 a c ad =bc b d 2、 合比性质：分子加（减）分母，分母不变。 c a kb c kd 匚厂— 心、2 3…） 3、等比性质：分子分母分别相加，比值不变 a b 4、比例中项：若一二-即b 2 =a G 则b 是a,c 的比例中项。 b c = m （b d f 一一 七n =0）则 n 若—- b d

01相似三角形题型之一比例与比例线段

01相似三角形题型之一比例与比例线段 比例与比例线段 教学目标： 1.了解比例中项的概念。 2.会求已知线段的比例中项。 3.通过实例了解黄金分割。 4.利用黄金分割进行简单的计算和作图. 教学重点、难点： 教学重点：黄金分割的概念及其简单应用。 教学难点：例5的作图涉及到线段的倍分关系与和差关系，比较复杂，是本节教学的难点。 1．知识点与方法概述 A：比例的性质： 基本性质：如果a:b=c:d，那么ad=bc；如果ad=bc，那么a:b=c:d. 合比性质： 等比性质：如果 ，那么. B：比例线段： 比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比. 那么，这四条线段叫做成比例线段，简

称比例线段. 设a、b、c、d为线段，如果a:b=c:d，b、c叫比例内 项，a、d叫比例外项，d叫做a、b、c的第四比例项；如果 a:b=b:c，或b2=ac，那么b叫a、c的比例中项. C：黄金分割： 如图，把线段AB分成两条线段AC和BC，所得的对应线 段成比例. 推论的扩展：平行于三角形一边，并且和其他两 边相交的直线，所截 得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例. 推论的逆定理：如果一条直线截三角形的两边所得的对 应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边. E：平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线 上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等. 根据被截的两条直线的位置关系，可以分五种图形情况: 推论1：经过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分 另一腰. 已知：在梯形ACFD中，AD//CF，AB=BC 求证：DE=EF 推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必 平分第三边. 已知：在△ACF中，BE//CF，AB=BC 求证： AE=EF F：三角形的中位线定理： 三角形的中位线：连结三角形两边中点的线段叫做三角 形的中位线。