§4–1相似形与比例线段

§4–1相似形與比例線段

一〃 學習重點：

1. 相似多邊形的定義：兩多邊形的對應角相等，且對應邊成比例，則此兩多邊形成稱為相似形。

2. 相似的記號：若兩四邊形ABCD 與A'B'C'D'的∠A=∠A'、∠B=∠B'、∠C=∠C'、∠D=∠D'， 且AB ：A'B'=BC ：B'C'=CD ：C'D'=DA ：D'A'，則稱ABCD 與A'B'C'D'相似，記 為ABCD ～A'B'C'D'。

3. 若邊數大於3的多邊形，只有對應角相等，則不一定是相似形。

例如：任意兩個矩形不一定是相似形。

4. 若邊數大於3的多邊形，只有對應邊成比例，則不一定是相似形。

例如：任意兩個菱形不一定是相似形。

5. 兩相似多邊形的周長比=對應邊長的比。

6. 兩相似多邊形的面積比=對應邊長的平方比。

7. 若DE ∥BC ，則①EC AE DB AD = ②BC

DE AC AE AB AD ==。

8. 平行線截等比例線段：若AD ∥BE ∥CF ，則①EF DE BC AB = ②DF

DE

AC AB =。

9. 若DE ∥BC ，則BC

DE AB

AE AC AD =

=

。

A B

C

D E C C A B

C

D E F

A B C

D E

F

A B C D E

P P

Q

D

E

B C E

F

A

D E

B C A

二〃 範例演練：

１.如圖，EF //BC ，AF ＝3，AC ＝5，AB ＝x ，AE ＝4－

x

1

，則 x ＝【 】。 ２.坐標平面上有 O （0，0）、B （6，0）、C （4，2）三點，若△OBC ～△OB'C' 且 B'（3，0）與 C' 在第四象限，則 C' 的坐標為【 】。

３.如圖，矩形 ABCD 中，以AB 為一邊作正方形 ABFE ，所剩的矩形與原矩形相似，則CD ：CF 的比值為【 】。

４.如圖為一長 30 公尺、寬 24 公尺的長方形草地。現在沿著四周開闢小路，平行寬的小路寬 3 公尺。若欲使所餘長方形草地與原長方形相似，則平行長的小路寬為【 】公尺。

５.如圖，AB ＝8，AF ＝1，FD ＝2，DC ＝3，且FG //DE //BC ，則AG ＝【 】，GE ＝【 】，EB ＝【 】。

６.如圖，DE //AB ，EF //AC ，則x ＝【 】，EF ＝【 】。

７.如圖，若兩四邊形相似，其中∠1＝∠4，∠2＝∠3，則 x ＝【 】，y ＝【 】。 ８.如圖，牆壁影長 10 公尺，而壁頂的直立竹竿影長 3 公尺（竹竿長 2 公尺），則壁高【 】公尺。

９.如圖，正六邊形 ABCDEF 中，L 、M 、N 分為邊AF 、BC 、DE 的中點，若△LMN 面積為 S 1，正六邊形 ABCDEF 的面積 S 2，則 S 1：S 2＝【 】。 １０.將四邊形 ABCD 放大 m 倍，得四邊形 A'B'C'D'，若'D 'A 為AD 的對應邊，則AD ：'D 'A ＝【 】。 １１.如圖，兩個正三角形，△ABD 與△BCD 拼成一個四邊形 ABCD ，若 E 是BC 的中點，連接AE 於BD 於 F ，則BF ：FD ＝【 】。

１２.如圖，平行四邊形 ABCD 中，AE ：DE ＝1：2，AC 交BE 於F ，則△ABF 面積：平行四邊形 ABCD 面積＝【 】。

１３.已知四邊形 ABCD ～四邊形 A'B'C'D'。若AB ：BC ：CD ：DA ＝3：4：6：2，且∠B ＝90°，'C 'A ＝10，則 A'B'C'D'周長為【 】公分。 １４.將一正方形的一邊增加 3 單位，另一邊減少 3 單位，所得的長方形與長為 8 單位，寬為 5 單位的長方形相似，則原正方形的面積是【 】平方單位。

１５.在直角坐標平面上，A （0，0）、B （12，0）、C （8，8），若△ABC ～△AB'C'，AB ：AB '＝1：2，且 B' 在 x 軸上，則 B' 點坐標為【 】。

１６.如圖，L 1//L 2//L 3//L 4，若AB ：BC ：CD ＝3：4：5，又EF ＋GH ＝24 公分，則以EF 、FG 與GH 為三邊的三角形面積為【 】平方公分。

１７.如圖，QT //RS ，PW //MN ，SR ＝3x －19，T Q ＝15－x ，T S ＝1，PS ＝4，MT ＝y ，2WN ＝3NT ，則 x ＝【 】，y ＝【 】。

１８.如圖，ABCD 為梯形，AD //BC ，若AD ＝2 公分，BC ＝4 公分，△ABC 面積為 36 平方公分，則△ACD 面積為【 】平方公分。

１９.△ABC 中，M 是AB 中點，CM 上取一點 N ，使CN ：NM ＝5：3，且MP //AN ，交BC 於 P ，則 BP ：BC ＝【 】。

２０.如圖，BD ：CD ＝4：3，AE ：ED ＝3：2，則△ABD ：△ABC ＝【 】；△ABE ：△ABC ＝【 】。

２１.如圖，平行四邊形 ABCD ，E 為BD 中點，在AD 上一點 F ，使DF ＝3

1〃AF ，則△DEF 面積：ABEF 面

積＝【 】。

２２.如圖，在△ABC中，∠A的平分線交BC於D，若AB＝15，AC＝17，則△ABC面積：△ACD面積＝【】。

２３.如圖，AD：CD＝2：3，BP：PD＝1：1，若△ABC面積為20，則△BPC面積＝【】。

２４.若△ABC～△A'B'C'且△ABC：△A'B'C'＝1：4，△ABC之三邊長為4、7、8，則△A'B'C'周長為【】。２５.設P、Q為平行四邊形ABCD中AB、AD的中點，則△APQ面積：平行四邊形ABCD面積＝【】。

２６.ABCD為矩形，2BE＝EF＝FD，則△CEF面積＝【】。

２７.如圖，AD＝EH＝6cm，△ABC面積＝18cm2，△EFG面積＝12cm2，則BC：FG＝【】。

２８.如圖，L1//L2//L3，則x＝【】，y＝【】。

２９.如圖為一鐵皮屋屋頂側面圖，在△ABC中，AB＝AC＝10公尺，BC＝16公尺，D、E分別為AC，AB 之中點，則BD＝【】公尺。

§4–2相似三角形

一〃學習重點：

◎ 1.三角形的相似性質：

(1) AAA(AA)相似性質：在△ABC 與△DEF 中，若∠A=∠D 、∠B=∠E 、∠C=∠F ，則

△ABC ～△DEF 。

Pf ：1.設AB ＞DE ，在AB 上取AP=DE ，過P 點作PQ ∥BC 交AC 於Q 。 ∵ PQ ∥BC ∴∠APQ=∠B 又∠B=∠E ∴∠APQ=∠E

∵∠A=∠D 、∠APQ=∠E 、AP=DE

∴△APQ ≅△DEF (ASA 全等性質) ∴ AQ=DF ，PQ=EF 2. ∵ PQ ∥BC

∴ BC

PQ AC AQ AB AP == ∴ BC

EF AC DF AB DE == ，又∠A=∠D 、∠B=∠E 、∠C=∠F

∴ △ABC ～△DEF

(2) SSS 相似性質：在△ABC 與△DEF 中，若AC DF BC EF AB DE ==，則△ABC ～△DEF 。

Pf ：1.設AB ＞DE ，在AB 上取AP=DE ，過P 點作PQ ∥BC 交AC 於Q 。 ∵ PQ ∥BC

∴∠APQ=∠B ，∠AQP=∠C ，BC

PQ

AC AQ AB AP ==

∵AB

AP AB DE =

∴BC PQ BC EF =，AC

AQ

AC DF = ∴ EF=PQ ，DF=AQ ∴△APQ ≅△DEF (SSS 全等性質)

∴∠D=∠A 、∠E=∠APQ=∠B 、∠F=∠AQP=∠C 2.∵∠D=∠A 、∠E=∠B 、∠F=∠C AC DF BC EF AB DE ==

∴ △ABC ～△DEF

(3) SAS 相似性質：在△ABC 與△DEF 中，若AC DF AB DE =、∠A=∠D ，則△ABC ～△DEF 。

Pf ：1.設AB ＞DE ，在AB 上取AP=DE ，過P 點作PQ ∥BC 交AC 於Q 。 ∵ PQ ∥BC

∴∠APQ=∠B ，∠AQP=∠C ，BC

PQ

AC AQ AB AP ==

∵AC

DF AB DE =

∴AC AQ

AC DF = ∴

DF=AQ ，又DE=AP 、∠D=∠A

∴△APQ ≅△DEF (ASA 全等性質)

∴∠E=∠APQ=∠B ，∠F=∠AQP=∠C ，EF=PQ

2. ∵BC

PQ

AC AQ AB AP ==

∴BC

EF AC DF AB DE ==，又∠D=∠A 、∠E=∠B 、∠F=∠C

∴ △ABC ～△DEF

D

E F A B

C

P Q D

E F A

B

C

P Q D E F A

B C

P

Q

(4) 兩相似三角形的對應中線的比等於對應邊的比：

若△ABC ～△DEF ，且AM 、DN 分別為△ABC 與△DEF 的中線，則DE

AB DN AM =。

Pf ：1.∵△ABC ～△DEF ∴∠B=∠E ，EF

BC DE AB =

2.∵AM 、DN 分別為△ABC 與△DEF 的中線

∴DE

AB EF BC EF 2

1BC 21EN BM === 3.∵∠B=∠E ，EN

BM DE AB =

∴

△ABM ～△DEN (SAS 相似性質)

∴ DE

AB DN AM =

(5) 兩相似三角形的對應角平分線的比等於對應邊的比：

若△ABC ～△DEF ，且AM 、DN 分別為∠A 與∠D 的角平分線，則DE

AB DN AM =。

Pf ：1.∵△ABC ～△DEF ∴∠B=∠E ，∠BAC=∠EDF

2.∵AM 、DN 分別為∠BAC 與∠EDF 的角平分線

∴∠BAM=21∠BAC =21∠EDF=∠EDN

3.∵∠B=∠E ，∠BAM=∠EDN

∴ △ABM ～△DEN (AA 相似性質) ∴ DE

AB DN AM =

(6) 兩相似三角形的對應高的比等於對應邊的比：

若△ABC ～△DEF ，且AM 、DN 分別為BC 與EF 邊上的高，則DE

AB DN AM =。

Pf ：1.∵△ABC ～△DEF ∴∠B=∠E

2.∵AM 、DN 分別為BC 與EF 的高

∴∠AMB=∠DNE

3.∵∠B=∠E ，∠AMB=∠DNE ∴

△ABM ～△DEN (AA 相似性質)

∴ DE

AB DN AM =

(7) 兩相似三角形的面積比等於對應邊的比：

若△ABC ～△DEF ，則2

2

EF BC DEF ABC =∆∆。 Pf ：∵△ABC ～△DEF

∴EF BC DN AM =

∴2

2

EF BC EF BC EF BC DN EF 2

1AM

BC 21DEF ABC =⨯=⨯⨯=∆∆

A B M D

E F N

A B M

D

E

F

N D

E F A

B M D E F

N A B

M

◎ 2.母子三角形性質：若△ABC 是直角三角形，且∠A=90o 、AD ⊥BC 於D ，則 (1) AB 2=BD BC 。 (2) AC 2=CD CB 。 (3) AD 2=BD CD 。 Pf ：(1) 在△ABD 與△ABC 中 ∵∠ADB=∠BAC=90o ，∠ABD=∠ABC ∴△ABD ～△CBA (AA 相似) ∴

BA

BD

CB AB = 即AB 2=BD BC

(2) 在△ACD 與△ABC 中 (3) 在△ABD 與△ACD 中

∵∠ADC=∠BAC=90o ，∠ACD=∠ACB ∵∠ADB=∠ADC=∠BAC=90o ∴△ACD ～△BCA (AA 相似) ∴∠B+∠BAD=∠BAD+∠CAD ∴CA

CD

CB AC = ∴∠B=∠CAD 即AC 2=CD CB ∴△ABD ～△CAD (AA 相似)

∴AD

BD

CD AD = 即AD 2=BD CD

◎ 3.內分比性質：△ABC 中，若∠A 的角平分線交BC 邊於D ，則AB ：AC = BD ：CD 。

Pf ：1.作DE ⊥AB 、DF ⊥AC ，垂足為E 、F 。在△ADE 與△ADF 中

∵∠AED=∠AFD=90o

，∠DAE=∠DAF ，AD=AD

∴△ADE ≅△ADF (AAS 全等性質) ∴DE=DF

2.∵DF AC 2

1DE

AB 21ACD ABD ⨯⨯⨯⨯=∆∆= AB ：AC ，BD ：CD=ACD

ABD

∆∆

∴ A B ：AC=

ACD

ABD

∆∆=BD ：CD

◎ 4.外分比性質：△ABC 中，若∠A 的外角平分線交BC 邊的延長線於D ，則AB ：AC = BD ：CD 。

Pf ：1.作DE ⊥直線AB 、DF ⊥AC 直線，垂足為E 、F 。

∵AD 為∠EAF 的角平分線

∴DE=DF

2.∵DF AC 2

1DE

AB 21ACD ABD ⨯⨯⨯⨯=∆∆=AB ：AC ，BD ：CD=ACD

ABD

∆∆

∴ A B ：AC=BD ：CD

A B

C

D

E

F

A B

D

E

F

A

B

C D

◎ 5.圓內羃性質：若AB 、CD 為圓O 的兩弦，且AB 與CD 相交於圓內一點E ，則AE BE = CE DE 。

Pf ：1.連接AD 、BC

2.在△ADE 與△BCE 中

∵∠A=︵BD 21=∠C ，∠D =︵

AC 2

1=∠B

∴△ADE ～△CBE (AA 相似)

∴BE

DE CE AE = 即AE BE=CE DE

◎ 6.圓外羃性質：若AB 、CD 為圓O 的兩弦，且AB 與CD 的延長線相交於圓外一點P ，則

PA PB = PC P D

Pf ：1.連接AD 、BC 2.在△PAD 與△PBC 中

∵∠B =︵

AC 2

1=∠D ，∠P =∠P

∴△PAD ～△PCB (AA 相似)

∴PB

PD

PC PA = 即PA PB=PC PD

◎ 7.圓的切割線性質：若PB 為圓O 的割線交圓O 於A 、B 兩點，PC 切圓O 於C ，則PC 2=PA PB 。

Pf ：1.連接AC 、BC

2.在△PAC 與△PBC 中

∵∠B =︵

AC 2

1=∠PCA ，∠P =∠P

∴△PAC ～△PCB (AA 相似)

∴

PB

PC

PC PA =

即PA PB =PC 2

二〃 範例演練：

１.△ABC 中，AD 為∠A 的角平分線交BC 於 D ，且AC ：AB ＝3：2，BD ＝x －1，CD ＝x ＋1，則x ＝【 】。 ２.如圖，若OA ＝3AD ，OB ＝3BE ，OC ＝3CF ，則

面積

△面積

△DEF ABC 面積＝【 】。

３.如圖，在△ABC 中，已知DH //BF ，若BD ：CD ＝5：2，且AE ：DE ＝2：1，則AF ：FC ＝【 】。 ４.如圖，在地圖上，一條筆直的公路行經 A 、B 兩地，若 A 地坐標為（4，2），B 地坐標為（0，5），欲從 C 地（－5，2）作一條連接至公路的便道，則此便道長度最少【 】單位長。

A

B

C

D

E

A E

D

C

B

P

A E

C

B P

５.如圖，△ABP ～△CDP ，∠ABP ＝90°，AB ＝12，AP ＝13，則BP ＝【 】；若PD ＝10，則BC ＝【 】。 ６.在△ABC 中，DE //BC ，AD ＝x －3，BD ＝x －1，BC ＝x －2，DE ＝3，則 x ＝【 】，AB ＝【 】。

７.如圖，∠PAD ＝∠PCB ，AB ＝3cm ，BP ＝5cm ，DP ＝4cm ，CD ＝xcm ，則 x ＝【 】。

８.如圖，在△ABC 中，AD ⊥BC 且DE //AB 交AC 於 E ，已知BC ＝4x ，CD ＝4，AD ＝2x ，則斜線部分面積可用 x 的多項式【 】來表示。

９.如圖，若 L 1//L 2 且AB ＝2 公分，BC ＝1 公分，△ABD 面積為 12㎝2

，則△CBE 面積為【 】㎝2。 １０.如圖，A 、B 、C 、D 為圓上四點，AD ＝4，BE ＝3，DE ＝6，AB 與DC 交於 E ，則BC ＝【 】。

１１.△ABC 中，AC ：CB ＝3：4，∠C 之外角平分線交AB 的延長線於 P ，且A 點介於 P 、B 之間，則 PA ：AB 之值為【 】。

１２.如圖，△ABC 為等腰三角形，AB ＝AC ＝8，AD ＝BD ，CD ＝3，求：

(１)△ABD 面積【 】。 (２)面積

△面積

△BCD ABD ＝【 】。

１３.如圖，直線 3x ＋4y －24＝0 的圖形與x 軸交於 A ，與 y 軸交於 B ，BP 平分∠ABO 且交 x 軸於 P ，則 P 點坐標為【 】。

１４.如圖，在△ABC 中，DE //BC ，則 x －y －z ＝【 】。

１５.如圖，自 E 望一塔AB 之頂 B 與一竿CD 之頂 D ，適成一線，設EA 為水平線，CE ＝4 呎，DC ＝3 呎，

CA ＝36 呎，則此塔之高為【 】呎。

１６.如圖，BD ＝2AD ，CE ＝2AE ，BE 與CD 交於 P ，則DE

BC

＝【 】；若△PDE 面積為 3，則△ABC 面積為【 】。 １７.如圖，求x ＝【 】。

１８.如圖，△ABC 中，D 、E 分別為AB 、AC 的中點，F 、G 分別為AD 、AE 的中點。設△ABC 面積為 a ，四邊形 FDEG 面積為 b ，則

b

a

＝【 】。 １９.如圖，ABCD 是一個梯形，AD //BC ，AD ＝4 公分，AB ＝6 公分，BC ＝7 公分，今阿貴想在AB 上取一點E ，CD 上取一點F ，使EF //AD 且EF ＝5 公分，則他應取AE ＝【 】公分。

２０.如圖，在△ABC 中，BC //DE ，AH ⊥BC ，AH ＝2，BC ＝3，GH ＝0.5，則DE ＝【 】。 ２１.如圖，矩形ABCD 中，E 為BC 上的點，AF ⊥DE 於F 。若CD ＝6，CE ＝8，BE ＝1，則AF 的長為【 】。

２２.如圖，在△ABC 中，D 、E 分別是AB 、AC 的中點，P 是BC 上的一點，且BP ：CP ＝1：2，則△PDE 的面積與△ABC 的面積的比值為【 】。 ２３.設△ABC ～△DEF ～△PQR ，若∠A ＝65°，∠B ＝75°，則∠C ＋∠E ＋∠R ＝【 】。

２４.已知△ABC 、△A'B'C' 均為等腰三角形，BC 、'C 'B 分別為其底邊，若AB ：'B 'A ＝BC ：'C 'B ，則△ABC ～△A'B'C' 是根據【 】相似性質。

２５.如圖，水平桌面上有一不等臂天平，O 點為支點，A 、B 為端點，且AO ＝20 公分，BO ＝30 公分，若將A 點按於桌面，此時 B 點離桌面 24 公分，現在若將 B 點按於桌面，則 A 點離桌面【 】公分。 ２６.在△ABC 中，已知∠A ＝90°，DE ⊥BC ，若 E 為BC 中點，AC ＝6，AB ＝8，則斜線部分面積為【 】。 ２７.如圖，直線 L 為一次函數y ＝－2

1

x ＋3之圖形，AB ⊥x 軸，且BD ：CD ＝2：1，則D 點坐標【 】。

２８.如圖，DE //BC ，且將△ABC 面積二等分。若 A 到BC 的距離為 50，則 A 到DE 的距離為【 】。 ２９.如圖，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ，BD ＝2，CD ＝8，求AD ＝【 】，AB ＝【 】。

３０.如圖，在△ABC 中，DE //BC ，AD ＝8，AE ＝6，CE ＝3，DE ＝4，則AB BC 的值為【 】。 ３１.如圖，ABGH ，BCFG ，CDEF 均為每邊長 1cm 的正方形，求：

(１)AE ：AF ＝【 】。 (２)△ACE 與△AGF 是否相似；如果是，是依據【 】性質。

３２.有一圓錐形高腳杯，高度 16 公分，高腳杯長 6 公分，杯口直徑 5 公分，今倒入一些酒，液面離桌面 10 公分，如圖，問液面的直徑為【 】公分。

３３.如圖，平行四邊形 ABCD 中，2AE ＝ED ，AC 交BE 於 F ，則：

(１)BC ：AE ＝【 】。 (２)△ABF 面積：△ABE 面積＝【 】。

３４.如圖，ABCD 為一梯形，AD //BC ，DC ⊥BC ，AD ＝21BC ，且AC 與BD 相交於 E 。設BC ＝10，CD ＝12，則CE ＝【 】。

３５.如圖，由光源 O 發出的光線將△ABC 映至△A'B'C' 且OA ：'OA ＝2：5，AB ：BC ：CA ＝4：3：2，當AB ＝16 公分時，△A'B'C' 的周長為【 】公分。

３６.如圖，以 E 為圓心的4

1圓與BC 相切於 F 點，且半徑DE //BC ，若△ABC 高為AH ＝10，BC ＝30，則半徑EF ＝【 】。

３７.如圖，△ABC 中，∠A ＝90°，AD 是∠A 的平分線，AB ＝12，AC ＝5，則BD ＝【 】。

３８.在梯形ABCD中，AD//BC，AD＝4，BC＝6，BA、CD之延長線相交於P，若梯形ABCD之面積為25，則△PAD面積＝【】。

３９.圓O圓心為（3，－2），圓外一點P（－3，1），過P作圓O的割線PB，交圓O於A、B兩點，且圓O 半徑為4，則：(１)PO＝【】。(２)PA〃PB＝【】。

４０.一直角三角形斜邊上高分斜邊成兩段，其長分別為r、s，則三角形面積為【】平方單位。（以s、r表示）

４１.如圖，圓O中，弦CD交直徑AB於P，若AP＝x＋10，BP＝x，CP＝x＋7，DP＝x＋2，則圓O半徑為【】。

４２.已知AB切圓O於B，AO交圓O於C，若AB＝12，AC＝8，則圓O面積為【】。

４３.一圓的兩弦AB與CD相交於E，若AE＝8公分，BE＝3公分且CE：DE＝3：2，則CD長為【】㎝。４４.直角△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC於D，BC＝2AB，則△ABD：△CAD＝【】。

４５.如圖，P是△ABC的內心，DE過P平行BC，若AB＝10，AC＝12，則：

(１)DP：PE＝【】。(２)∠APD【】∠APE。（填＞、＝、＜）

４６.如圖，半圓柱形倉庫，其截面為半圓。設圓的直徑為30公尺，今欲在截面內立兩個等高的柱子，使柱子的距離為18公尺，則柱高必須為【】公尺。

４７.如圖，若K為內心，且三邊長分別是AB＝4公分，AC＝2公分，BC＝5公分，則AK：KD之值為【】。

４８.如圖，直角△ABC中，∠A＝90°，AM是BC上的中線，AD平分∠A，若AB＝6，AC＝8，則：

(１)△ABD ：△ADC ＝【 】。 (２)△AMD 面積＝【 】。

４９.△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝8 公分，AC ＝6 公分，而AD 為∠BAC 之外角平分線，交BC 延長線於 D ，則BD ＝【 】公分。

５０.如圖，△ABC 中，∠A 分角線交BC 於 D ，∠ADC 的分角線交AC 於 E ，∠ADB 的分角線交AB 於 F ，則

CE ⨯FB AF ⨯AC

AB ＝【 】。

５１.如圖，在長方形ABCD 中，M 為對角線BD 的中點，設MN ⊥BD ，若AB ＝2，AD ＝4，求NC ＝【 】。

５２.在△ABC 中，AD ＝21DB ，AE ＝2EC ，求面積

△面積△ABC BDE ＝【 】。

５３.如圖，延長△ABC 各邊AB 、BC 、AC 使BD ＝2AB ，CE ＝2BC ，AF ＝2CA ，則△DEF 面積為△ABC 面積的【 】倍。

５４.在等腰梯形 ABCD 中，AD //BC ，BC ＝13，AD ＝5，DE ⊥AC ，∠BAC ＝90°，則DE ＝【 】。

５５.如圖，在坐標平面上：A （－5，0），B （0，4）以 O 為直徑的半圓交AB 於 C ，則AB ＝【 】；AC ＝【 】。

５６.如圖，ABCD 為平行四邊形，若AF ：DF ＝3：2，△DEF 面積＝8 平方公分，則平行四邊形 ABCD 面積＝【 】平方公分。

５７.兩相似多邊形對應邊長的比為 5：9，面積的和是 212 平方公分，則兩多邊形面積各為【 】平

方公分，【 】平方公分。

５８.在△ABC 中，AB ＝CA ＝ ，BC ＝m ，∠B ＝75°，在△DEF 中，DE ＝FD ＝2 ，EF ＝2m ，則∠D ＝

【 】。

５９.如圖，AD ＝DF ＝FB ，AE ＝EG ＝GC ，則：

(１)△ABC 的面積是△ADE 的面積的【 】倍。

(２)△AFG ＝24 平方公分，求 DFGE 面積＝【 】㎝2，FBCG 面積為【 】㎝2。

６０.若一三角形三內角比為 1：2：3，則以此三角形之三邊長為邊，各作一個正三角形，則其面積比為【 】。 ６１.如圖，△ABC 中，DE //BC ，DF //BE ，△ADE ＝2

1△ABC ，則AF ：AC ＝【 】。

６２.△ABC 中，∠A ＝90°，AD ⊥BC ，若AB ：AC ＝2：1 且BC ＝15cm ，則：

(１)CD ＝【 】cm 。 (２)△ABC 面積為【 】cm 2。 ６３.如圖，平行四邊形 ABCD 中，E 、F 三等分對角線AC ，G 、H 三等分對角線BD 。設平行四邊形 ABCD 面積為108，則平行四邊形 EGFH 面積為【 】。

６４.平行四邊形 ABCD 中，若CE ＝DE ，DF ＝3AF ，BE 與CF 相交於 G ，則FG

CG ＝【 】。 ６５.如圖，△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠CAB ＝60°，CD ⊥AB ，則AD ：BD 的比值為【 】。

６６.直角三角形 ABC 中，AH 為BC 邊上的高，若AH ＝6，CH ＝9，則△ABC 周長為【 】；△ABC 面積為【 】。

６７.△ABC 中，∠C ＝90°，CD ⊥AB 於D ，若AC ＝3，BC ＝4，則：

(１)AD 〃BD 的值為【 】。 (２)AD ＝【 】。 (３)△ABC ：△CBD ＝【 】。

６８.如圖，半圓直徑為EF＝15公分，BC⊥EF，BC＝DA，AB＝9公分，則BC＝【】公分。６９.設一圓O半徑為3公分，圓外一點P與圓最近一點C的距離為4公分，自P作割線交圓於A、B兩點如圖，若PA＝8公分，則弦AB＝【】公分。

相似及对应线段成比例

线段的比（一） 基础知识： 1．两条线段的比就是两条线段 的比. 线段a 的长度为3厘米，线段b 的长度为6米，两线段a,b 的比为 2. 在地图或工程图纸上， 与 的比通常称为比例尺 A 、 B 两地的实际距离AB=250m ，画在图上的距离A′B′=5cm，求图上的距离与实际距离的比 为 3．四条线段a ,b ,c ,d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即d c b a ,那么这四条线段a ,b ,c ,d 叫做成比例线段，简称 已知四条线段a 、b 、c 、d 的长度，试判断它们是否成比例？ （1）a=16 cm b=8 cm c=5 cm d=10 cm （2）a=8 cm b=5 cm c=6 cm d=10 cm 课堂学习： 1.两条线段的比的概念 如果选用同一个长度单位量得两条线段AB 、CD 的长度分别是m 、n ，那么就说这两条线段的比（ratio ）AB ∶CD =m ∶n ，或写成 CD AB =n m ，其中，线段AB 、CD 分别叫做这两个线段比的前项 和后项. 如果把n m 表示成比值k ，则CD AB =k 或AB =k ·CD . 【 例1 】在比例尺为1∶8000的某校地图上矩形运动场的图上尺寸是1cm ×2cm ，那么矩形运动场的实际尺寸是多少？ 巩固练习： 在比例尺是1∶8000000的《中国行政》地图上，量得福州到上海之间的距离为7.5厘米，求福州与上海两地的实际距离是多少千米?

归纳与小结： 1、（1）度量两条线段的必须统一 （2）线段的长度的比与所选择的度量线段的长度单位无关 （3）两条线段的长度都是正数，所以两条线段的比值总是 2. 比例线段的概念 四条线段a ,b ,c ,d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即d c b a =,那么这四条线段a ,b ,c , d 叫做成比例线段，简称比例线段（proportional segments ）. 如果a 与b 的比值和c 与d 的比值相等，那么d c b a =或a ∶b =c ∶ d ,这时组成比例的四个数a ,b ,c ,d 叫做比例的项，两端的两项叫做外项，中间的两项叫做内项.即a 、 d 为外项，c 、b 为内项. 【 例2】 （杭州市）已知：1、 、2三个数，请你再添上个数，写出一个比例 式 ． 分析：这是一道多种答案的开放性创新题 巩固练习 1.线段a=4 , b=9 , a 、b 的比例中项c=_____;a 、b 、c 的第四比例d=______． 2.已知三个数1、2、3，请你再添上一个数，使它们构成一个比例式，则这个数是多少？ 归纳与小结： （1）四条线段成比例时，要将这四条线段按 列出 . （2）线段 又叫做a ，b ，c 的第四比例项 （3）如果比例内项是两条相同的线段，即c b b a = 或a ∶b ＝b ∶c ，那么b 叫做线段a ，c 的比例中项. 小结： 1.两条线段的比的概念 2.比例线段的概念 练习：

人教版 九年级数学 相似形及比例线段讲义 (含解析)

第16讲相似形及比例线段 知识定位 讲解用时：3分钟 A、适用范围：人教版初三，基础偏上 B、知识点概述：本讲义主要用于人教版初三新课，本节课我们首先主要对相似多边形的概念和性质进行讲解，重点是理解相似形的相关概念和相似多边形性质的运用，通过对相似多边形的学习，为后面学习相似三角形的知识奠定基础。其次主要讲解比例线段的有关概念和性质，重点在于理解不同概念和性质之间的联系和区别，熟练比例线段之间的转换，并能结合具体图形，运用比例线段的性质进行解题。最后学习平行线分线段成比例定理，为下面相似三角形的学习奠定基础。 知识梳理 讲解用时：30分钟 相似形的概念及性质 1、相似形的概念 把形状相同的两个图形称为相似的图形，简称相似形。 2、相似多边形的性质 如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边 的长度成比例；当两个相似的多边形是全等形时，它们对应边的长度的比 值为1。

比例线段相关概念及性质 1、比和比例 一般来说，两个数或两个同类的量a 与b 相除，叫做a 与b 的比，记作:a b （或表示为a b ）；如果::a b c d =（或a c b d = ），那么就说a 、b 、c 、d 成比例。 2、比例的性质 （1）基本性质： 如果a c b d =，那么ad bc =； 如果a c b d = ，那么b d a c =，a b c d =，c d a b =． （2）合比性质： 如果a c b d = ，那么a b c d b d ++=； 如果a c b d =，那么a b c d b d --=． （3）等比性质： 如果a c k b d ==，那么a c a c k b d b d +===+（如果是实数运算，要注意强 调0b d +≠）。 3、比例线段的概念 对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果::a b c d =（或表示为a c b d = ），那么a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段。 4、黄金分割 如果点P 把线段AB 分割成AP 和PB （AP PB >）两段（如下图），其中AP 是AB 和PB 的比例中项，那么称这种分割为黄金分割，点P 称为线段AB 的黄金分割点．其中， 51 0.6182 AP AB -=≈，称为黄金分割数，简称黄金数。 A P B

§4–1相似形与比例线段

§4–1相似形與比例線段 一〃 學習重點： 1. 相似多邊形的定義：兩多邊形的對應角相等，且對應邊成比例，則此兩多邊形成稱為相似形。 2. 相似的記號：若兩四邊形ABCD 與A'B'C'D'的∠A=∠A'、∠B=∠B'、∠C=∠C'、∠D=∠D'， 且AB ：A'B'=BC ：B'C'=CD ：C'D'=DA ：D'A'，則稱ABCD 與A'B'C'D'相似，記 為ABCD ～A'B'C'D'。 3. 若邊數大於3的多邊形，只有對應角相等，則不一定是相似形。 例如：任意兩個矩形不一定是相似形。 4. 若邊數大於3的多邊形，只有對應邊成比例，則不一定是相似形。 例如：任意兩個菱形不一定是相似形。 5. 兩相似多邊形的周長比=對應邊長的比。 6. 兩相似多邊形的面積比=對應邊長的平方比。 7. 若DE ∥BC ，則①EC AE DB AD = ②BC DE AC AE AB AD ==。 8. 平行線截等比例線段：若AD ∥BE ∥CF ，則①EF DE BC AB = ②DF DE AC AB =。 9. 若DE ∥BC ，則BC DE AB AE AC AD = = 。 A B C D E C C A B C D E F A B C D E F A B C D E P P Q D E B C E F A D E B C A

二〃 範例演練： １.如圖，EF //BC ，AF ＝3，AC ＝5，AB ＝x ，AE ＝4－ x 1 ，則 x ＝【 】。 ２.坐標平面上有 O （0，0）、B （6，0）、C （4，2）三點，若△OBC ～△OB'C' 且 B'（3，0）與 C' 在第四象限，則 C' 的坐標為【 】。 ３.如圖，矩形 ABCD 中，以AB 為一邊作正方形 ABFE ，所剩的矩形與原矩形相似，則CD ：CF 的比值為【 】。 ４.如圖為一長 30 公尺、寬 24 公尺的長方形草地。現在沿著四周開闢小路，平行寬的小路寬 3 公尺。若欲使所餘長方形草地與原長方形相似，則平行長的小路寬為【 】公尺。 ５.如圖，AB ＝8，AF ＝1，FD ＝2，DC ＝3，且FG //DE //BC ，則AG ＝【 】，GE ＝【 】，EB ＝【 】。 ６.如圖，DE //AB ，EF //AC ，則x ＝【 】，EF ＝【 】。 ７.如圖，若兩四邊形相似，其中∠1＝∠4，∠2＝∠3，則 x ＝【 】，y ＝【 】。 ８.如圖，牆壁影長 10 公尺，而壁頂的直立竹竿影長 3 公尺（竹竿長 2 公尺），則壁高【 】公尺。 ９.如圖，正六邊形 ABCDEF 中，L 、M 、N 分為邊AF 、BC 、DE 的中點，若△LMN 面積為 S 1，正六邊形 ABCDEF 的面積 S 2，則 S 1：S 2＝【 】。 １０.將四邊形 ABCD 放大 m 倍，得四邊形 A'B'C'D'，若'D 'A 為AD 的對應邊，則AD ：'D 'A ＝【 】。 １１.如圖，兩個正三角形，△ABD 與△BCD 拼成一個四邊形 ABCD ，若 E 是BC 的中點，連接AE 於BD 於 F ，則BF ：FD ＝【 】。

相似形,放缩,比例线段

一、放缩与相似形 观察下面的图片 提问：图中的两面国旗，大小、形状有什么特点？图中的大五星与小五星，大小、形状有什么特点？ 1.相似形的定义 形状相同，大小也相同的图形是全等形。而日常生活中，还可以看到许多相这样形状相同、大小不一定相同的图形。 对于下图的三个四边形，缩小四边形ABCD，就得到四边形A1B1C1D1；放大四边形ABCD，就得到四边形A2B2C2D2。 像这样对图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动。 四边形A1B1C1D1和四边形A2B2C2D2大小和形状是什么关系？ 将一个图形放大或缩小后，得到的图形与原图形的形状相同吗？ 我们把形状相同的两个图形说成是相似的图形，或者说是相似形。 如何用放缩的观点来描述两个相似形呢？ 相似的图形，其大小与形状有什么特点呢？ 请你举出日常生活中图形放大或缩小的实例。

2.相似形的性质 如图，△A 1B 1C 1是△ABC 通过放大后得到的图形。 提这两个图形是相似形吗？ 提请对这两个三角形的三个内角与三条边的大小进行观察和测量。 这两个三角形的三个内角分别有怎样的大小关系？ （∠A 1与∠A 、∠B 1与∠B 、∠C 1与∠C 对应相等） 三条边的长度的比值间有怎样的大小关系？ （ 111111A B B C A C AB BC AC = = 的长度的长度的长度的长度 的长度 的长度 ，即这两个三角形的边的长度对应成比例） 可见，△ABC 放大为△A 1B 1C 1后，角的大小不变，而各边“同样程度”的放大了。 △A 1B 1C 1是△ABC 形状相同，就是指它们的角对应相等，边的长度对应成比例。 事实上，在其他多边形，比如四边形中，上述结论仍然成立。 由此得到多边形的性质： 如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例。 特别地，当两个相似的多边形是全等形时，它们的对应边的长度的比值都是1. 例题 在下列方格中，画出△ABC 的一个相似形。

图形的相似与比例线段

图形相似与比例线段 学习目标： 1、认识图形的放大与缩小，并能在方格纸上准确的画出。 2、理解相似形的概念和特征。 3、理解比例线段的意义，并能解决比例线段的有关问题。 4、了解黄金分割的意义，知道黄金分割的准确值与近似值，并会判 断一条直线的黄金分割点的确定位置。 5、会利用比例线段及其性质解决一些实际问题。 6、会运用“同高（或等高）的两个三角形的面积比等于对应底边的比” 进行三角形的面积比与线段比的转化；在比例线段性质的证明与运用 过程中，体会方程思想的作用。 主要概念： 1、图形的放缩运动：图形的放大或缩小。 2、相似形：一般来说，把一个图形放大或缩小，得到的图形和原来的图形，形状一定相同。我们把形状相同的两个图形，说成是相似的图形，通常也说是相似形。（形状相同，大小不一定相等） 3、相似多边形的特征：如果两个多边形是相似图形，那么这两个多边形的对应角相等，各对应边的长度成比例（或各对应边长度的比值是相等的）。如果两个相似的多边形是全等形时，它们对应边的长度的比值是1。

4、相似多边形的对应角、对应边：相似多边形在进行放缩运动时所得到的每一对点都称为对应定点；以对应定点为角的顶点的两个内角称为相似多边形的对应角；以相邻的对应顶点为端点的两条线段称为相似多边形的对应边。 5、比例的基本性质：如果a ：b=c ：d ，那么ad=bc 。反之也成立。 ,,,a b c d 四个量中，如果::a b c d ，那么就说,,,a b c d 成比例，即表示两个比相 等的式子叫做比例。其中,,,a b c d 分别叫做第一、二、三、四比例项，第一比例项a 和第四比例项d 叫做比例外项，第二比例项b 和第三比例项c 叫做比例内项。 一般地，如果三个数a 、b 、c 满足比例式a b ＝b c （或a:b ＝b: c ，b 2＝ac ），则b 叫做a ，c 的比例中项. 6、比例线段：在同一长度单位下，a 、b 两线段长度的比叫做这两线段的比。 记为a ：b 或a b 注意：(1)两线段是几何图形，可用它的长度比来确定； (2)度量线段的长，单位多种，但求比值必需在同一长度单位下比值一定是正数，比值与采用的长度单位无关。 (3)表示方式与数字的比表示类同，但它也可以表示为AB:CD. 比例线段：一般地，四条线段a 、b 、c 、d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 比，

九年级《图形的相似》知识点归纳

苏科版九下《图形的相似》知识点归纳 知识点1 有关相似形的概念 (1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形. (2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多 边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)． 知识点2 比例线段的相关概念、比例的性质 （1）定义： 在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段． 注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为： a d c b =． ②()()()a b c d a c d c b d b a d b c a ?=?? ?=?=???=?? ， 交换内项，交换外项． 同时交换内外项 核心内容：bc ad = （2）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即 2 AC AB BC =?，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 2 1 5-= ≈0.618AB ．即 512AC BC AB AC == 简记为：51 2 长短＝＝全长 注：①黄金三角形：顶角是360 的等腰三角形 ②黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形 （3）合、分比性质：a c a b c d b d b d ±±=?= ． 注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间 发生同样和差变化比例仍成立．如：?????? ?+-=+--=-?=d c d c b a b a c c d a a b d c b a 等等． （4）等比性质：如果)0(≠++++=== =n f d b n m f e d c b a ΛΛ， 那么 b a n f d b m e c a =++++++++ΛΛ． 知识点3 比例线段的有关定理 平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例. 已知AD ∥BE ∥CF, 可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BC BC EF AC DF AB DE AC DF DE EF ===== 或或或或等. 特别在三角形中： 由DE ∥BC 可得： AC AE AB AD EA EC AD BD EC AE DB AD = ==或或 知识点4 相似三角形的概念 （1）定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于” ．相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．相似三角形对应角相等，对应边成比例． 注：①对应性：即把表示对应顶点的字母写在对应位置上 ②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的． ③两个三角形形状一样，但大小不一定一样． ④全等三角形是相似比为1的相似三角形． （2）三角形相似的判定方法 1、平行法：（上图）平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似. 2、判定定理1：简述为：两角对应相等，两三角形相似． 3、判定定理2：简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 4、判定定理3：简述为：三边对应成比例，两三角形相似． 5、判定定理4：直角三角形中，“斜边和一直角边对应成比例” 全等与相似的比较：三角形全等 三角形相似 两角夹一边对应相等(ASA) 两角一对边对应相等(AAS) 两边及夹角对应相等(SAS) 三边对应相等(SSS)、(HL ） 两角对应相等 两边对应成比例，且夹角相等 三边对应成比例 “斜边和一直角边对应成比例” （3如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是斜边BC 上的高， 则 ∽ ＝＝＞ AD 2 =BD ·DC ， ∽ ＝＝＞ AB 2 =BD ·BC ， ∽ ＝＝＞ AC 2 =CD ·BC . 知识点5 相似三角形的性质 (1)相似三角形对应角相等，对应边成比例． (2)相似三角形周长的比等于相似比． (3)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． (4)相似三角形面积的比等于相似比的平方． 知识点6 相似三角形的几种基本图形： （1） 如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A 型”与“X 型”图） F E D C B A E B D E D (3) B C A E D B C

相似图形知识点与题型分析

相似图形的知识与题型 知识点1：比例线段的相关概念 1.比例线段： 对于四条线段，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即（或）那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。 注意：⑴在求线段比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位． ⑵当两个比例式的每一项都对应相同，两个比例式才是同一比例式． ⑶比例线段是有顺序的，如果说是的第四比例项， 那么应得比例式为：． 2.比例中项：如果（或），则b叫做a、c的比例中项。 知识点2：比例的性质 基本性质：(1)； (2)． 反比性质（把比的前项、后项交换）：． 合比性质：．发生同样和差变化比例仍成立。 等比性质：若，则. 注意：由一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如，除了可化为，还可化为，，，，，，． 说明：①比例的基本性质是比例变形的重要依据． ②比例的基本性质的互逆关系的变形，可引用比值k的方法， 设＝k，那么a＝kb，c＝kd，ad＝kb×d＝b×kd＝bc 知识点3：比例线段的有关定理 平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等。 推论1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边（即三角形中位线定理的逆定理）。 推论2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰（即梯形中位线定理的逆定理）。 平行线等分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 推论： (1)平行于三角形一边的直线截其它两边(或两边延长线)所得的对应线段成比例。 (2)平行于三角形一边并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例。

相似形.9.21

相似形 知识点 1．相似形：在数学上，具有相同形状的图形称为相似形 2．比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段 3. 比例的项：已知四条线段a 、b 、c 、d ，如果a ∶b ＝c ∶d ，那么a 、b 、c 、d 叫做组成比例的项，线段a 、d 叫做比例的外项，线段b 、c 叫做比例的内项，线段d 叫做a 、b 、c 的比例第四比例项 比例中项：如果比例内项是两条相同的线段a ∶b ＝b ∶c ，即，那么线段b 叫做线段a 和c 的比例中项。 4. 比例的性质 （1）比例的基本性质: bc ad d c b a =?=， a ∶b ＝b ∶ c ?b 2=ac 此性质非常重要,要求掌握把比例式化成等积式、把等积式转化成比例的方法. （2）合、分比性质: d d c b b a d c b a d d c b b a d c b a -=-?=+=+?=或 注意:此性质是分子加（减）分母比分母,不变的是分母. 如:已知 d c c b a a d c b a +=+=:,求证 证明:∵ d c b a = ∴c d a b = ∴c d c a b a +=+ ∴d c c b a a +=+ （3）等比性质:若 )0(≠+???+++=???===n f d b n m f e d c b a 则b a n f d b m e c a =+???++++???+++. （4）比例中项:若 c a b c a b c b b a ,,2是则即?==的比例中项. 5. 如果点C 在线段AB 上，分AB 为两部分AC 与BC ，AC ＞BC ，且 AB AC =AC BC ,那么称线段AB 被点C 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比. 长与宽的比等于黄金比的矩形叫做黄金矩形。 6．相似三角形： 三角对应相等，三边对应成比例的三角形叫相似三角形。如△ABC 与△A /B /C / 相似，记作: △ABC ∽△A /B /C / .相似比：相似三角形的比叫相似比，若△ABC ∽△A /B /C / ，相似比为k ，则△A /B /C / 与△ABC 的相似比是k ，相似比是有顺序的。

线段的比例与相似

线段的比例与相似 在几何学中，线段的比例与相似是一个十分重要的概念。比例可以 帮助我们理解和计算不同线段之间的关系，而相似则描述了一种形状 上的相似性。本文将介绍线段的比例与相似的基本概念，并提供一些 相关的例子和计算方法。 比例是指两个量之间的比较关系。在线段中，我们同样可以通过比 较两个线段的长度来确定它们之间的比例关系。假设有两个线段AB和CD，它们之间的比例可以表示为AB：CD或者AB/CD。如果AB： CD = 2：1，意味着线段AB的长度是线段CD的两倍。同样地，如果AB：CD = 3：4，就表示AB的长度是CD的三分之四。 我们可以通过几何图形来表示线段的比例关系。假设有一个三角形ABC，其中线段DE平行于边BC，并且与边AB和边AC相交于点D 和点E。根据等腰三角形的性质，线段BD与线段CE的长度是相等的。我们可以用比例来表示这个关系，即BD：CE = AB：AC。这个比例关系可以推广到其他类型的几何图形中。 相似是指几何图形在形状上的相似性。如果两个几何图形的相应边 的比例相等，并且对应的角度相等，那么这两个图形就是相似的。对 于线段来说，它们的相似性可以通过比较它们的长度比例来确定。如 果两个线段的长度比例相等，那么这两个线段就是相似的。 如何计算线段的比例和相似性呢？我们可以使用直角三角形的性质 来进行计算。假设有一个直角三角形ABC，其中边AB是斜边，而边AC和边BC分别是直角的两个边。线段BD垂直于直角边BC，将BC

分成了两个线段，即BD和DC。根据直角三角形的相似性质，线段 BD与边AC的比例等于边BC与斜边AB的比例。即BD：AC = BC：AB。通过这个比例关系，我们可以计算出线段间的比例。 例如，假设有一个直角三角形ABC，其中AB = 5 cm，BC = 12 cm。线段BD将BC分成了BD = 4 cm和DC = 8 cm。根据前面的比例关系，BD：AC = BC：AB，我们可以计算出BD：AC = 4：10。这意味着线 段BD的长度是线段AC的四分之一。 线段的比例与相似在几何学中有着广泛的应用。比例关系可以帮助 我们计算未知线段的长度，以及解决与线段相关的几何问题。相似性 则提供了一种判断图形相似性和计算图形比例的方法。掌握线段的比 例与相似的概念和计算方法将对我们理解和解决各种几何问题非常有 帮助。 综上所述，线段的比例与相似是几何学中的重要概念。比例可以帮 助我们计算不同线段之间的比例关系，而相似则描述了图形在形状上 的相似性。我们可以使用比例关系和直角三角形的性质来计算线段的 比例和相似性。掌握这些概念和计算方法将为我们解决各种几何问题 提供有力的工具。

线段的比例与相似三角形

线段的比例与相似三角形 在几何学中，线段的比例与相似三角形是两个重要的概念，它们在解决几何问题时起到了至关重要的作用。本文将讨论线段的比例与相似三角形的基本概念、性质和运用。 一、线段的比例 线段的比例指的是两个线段之间的比较关系。对于两个线段AB和CD来说，我们可以用一个比值来表示它们之间的关系，即AB:CD。这个比值可以是整数、小数或分数形式。 1.1 特殊比例 当AB:CD=1:1时，即两个线段相等，我们称之为等比例。当 AB:CD=1:2时，我们称之为两个线段的比例为1:2。同理，当 AB:CD=2:3时，我们称之为两个线段的比例为2:3。 1.2 比例的性质 线段的比例具有以下性质： 1.2.1 传递性：如果AB:CD和CD:EF两个比例成立，那么AB:EF也成立。 1.2.2 反比例：如果AB:CD成立，那么CD:AB不成立。 1.2.3 倍数关系：如果AB:CD成立，那么kAB:kCD也成立，其中k 为任意非零实数。

二、相似三角形 相似三角形指的是具有相同形状但是大小不同的三角形。两个三角形相似的条件是它们的对应角度相等，并且对应边长的比例相等。 2.1 相似三角形的性质 相似三角形具有以下性质： 2.1.1 对应角度相等性质：两个三角形的对应角度相等。 2.1.2 对应边长比例性质：两个相似三角形的对应边长的比例相等。 2.1.3 完全相似性质：如果两个三角形的对应边长比例相等，那么它们是相似三角形。 2.2 相似三角形的运用 相似三角形在实际问题中有着广泛的运用，以下是一些常见的应用场景： 2.2.1 测量不可达距离：当我们无法直接测量某个高的长度时，可以利用相似三角形来解决。通过测量一个容易测量的长度和它在影子或光线下的投影长度，可以利用三角形的相似性来计算出不可达距离。 2.2.2 建筑设计：在建筑设计中，相似三角形可以用来计算建筑物的高度、长度和角度。例如，通过测量建筑物的影子长度和投影长度，可以利用三角形的相似性来计算出建筑物的高度。

相似形知识点

第二十四章 第一节相似形 24.1 放缩与相似形 1．形状相同的两个图形叫做相似的图形，简称相似形 2．相似的图形，他们的大小不一定相同，大小相同的两个相似形是全等形 3．如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例4．图形的放大或缩小，称为图形的放缩运动，通过放缩运动，两个相似的图形可以相互重合（即成为全等形） 第二节比例线段 24.2 比例线段 1．两条线段长度的比叫做两条线段的比 2．在四条线段中，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段 3．比例线段有以下性质： （1）基本性质 （2）合比性质 （3）等比性质 4．黄金分割：如果点P把线段AB分割成AP和PB（AP＞PB）两段，其中，AP是AB和AP的比例中项，那么这种分割为黄金分割，点P称为AB的黄金分割点，AP与AB的比值 1 称为黄金分割数，它的近似值为0.618 2 24.3 三角形一边的平行线 1．定理1：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的对应线段成比例推论1：平行于三角形的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例 2．三角形三条中线的焦点叫做三角形的重心，三角形的重心到一个顶点的距离，等于它到这个顶点对边中点的距离的两倍 3．定理2：如果一条直线截三角形两边所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边 推论2：如果一条直线截三角形两边的延长线（这两边的延长线在第三边的同侧）所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边 4．两条直线被三条平行线所截，截得的对应线段成比例 两条直线被三条平行线所截，如果在一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等 第三节相似三角形 24.4相似三角形的判定 1．如果两个三角形的三个角对应相等、三条边对应成比例，这两个三角形叫做相似三角形，对应边的比叫做相似比（或相似系数），当相似比等于1时，这两个相似三角形是全等三角形 2．相似三角形的预备定理：平行于三角形一边的直线截其他两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似 3．相似三角形的判定定理1：如果一个三角形的两角与另一个三角形的两角对应相等，那

相似形与比例线段

相似形与比例线段 1．等式y x 3 25=化成比例式是 . 2．,3 2=y x 则=-y y x . 3．若（x+y ）: (3x-2y)=5:2,则x:y= 4．如果2x-5y=0,那么如果（x-y ）: (x+y)= , （3x+y ）: (4x-3y)= 5．已知（2x-y ）: (3x+2y)=1:2,则x:2y= 6．在下列命题中正确的是 （ ） （A ）若7 2=y x ，则必有x=2,y=7 (B)线段长为k 和 k 1 的比例中项为±1 （C ）若 d c b a =，则ab+c d 是a 2+c 2和b 2+d 2的比例中项 （D ）一条线段的黄金分割点是唯一的 7．已知,4 83423+=+=+c b a 且a+b+c=60,求a 、 b 、 c 的值 8．已知31===d c c b b a ，求c a 的值 9．已知（a+ b ）: (b+c): (c+a)=9:5:6,(1) a:b: c (2) b a c b a ++-2的值 10．若实数a 、b 、 c 、 d 、k 满足k a d d c c b b a ====，求k 的值 三角形一边的平行线 1. 如图：BN ∥AM,ND ∥AC ，则下列各式成立的个数有（ ） (1) DC PD BA PB ＝ (2) PD PC PB PA ＝ (3) MC ND PB PA ＝ (4) MA NB BA PB ＝ (A) 1个 (B) 2个 (C) 3个 （D ）4个 2. 如图在△ABC 中，DE ∥BC ，AD=4BD,则AC= EC 3. 如图在△ABC 中，AB>AC,AD ⊥BC 于D,点F 是BC 中点，过F 作BC 垂线交AB 于点E ，BD:DC=3:2,则BE:EA= ____________ 4. 在△ABC 中，如图DE ∥BC ，EF ∥DC ，AC ∶CE=7∶3，已知AB=49，求AF 的长. 5. 如图在△ABC 中，DE ∥CA ，DF ∥BA ，求证： FA CF EB AE ＝. 6. 如图：在△ABC 中，DE ∥BC ，且 3 1=BD AD ，连结DC 与EB 交于F ，则EF ∶FB ＝_________ （第1题） （第2题） F E D C B A M N P D C B A （第3题） （第4题） D A （第5题）

相似形与比例线段

第1讲 比例线段 知识框架 本讲主要对比例线段的有关概念和性质进行讲解，重点是理解不同概念和性质之间的联系和区别，熟练比例线段之间的转换，并能结合具体图形，运用比例线段的性质进行解题．通过对比例线段的学习，一方面为之后学习平行线分线段成比例做好准备，另一方面服务于之后相似三角形知识的学习． 1.1 比例线段的概念 一、线段的比与比例线段 一般来说，两个数或两个同类的量a 与b 相除，叫做a 与b 的比．记作:a b （或表示为a b ），其中0b ≠．a 除以b 所得的商叫做比值．如果:a b 的比值等于k (即 a k b =)，那么a kb =． 如果::a b c d =（或 a c b d =） ，那么就说a 、b 、c 、d 成比例． 两条线段长度的比叫做两条线段的比． 求两条线段长度的比时，对这两条一定要用同一长度单位来度量．因为线段的长度是正数，所以这两条线段的比值总是正数． 在四条线段中，如果其中两条线段的比与另外两条线段的比相等，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段． 对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果::a b c d =（或表示为 a c b d =） ，那么a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段．那么线段d a 、是比例外项，线段c b 、是比例内项，线段 d 是c b a 、、的第四比例项． 表述比例线段时，要注意顺序． 二、比例中项 如果比例的两个内项（或两个外项相同），那么这个相同的项叫做比例中项．如::a b b c =（或::b a c b =）时，b 叫做a 和c 的比例中项．这时2b ac =． 知识精讲

北师大版九年级数学上册同步学案：第4章图形的相似1成比例线段 1

4.1.1成比例线段（1） 【教学目标】 知识与技能：知道线段比的概念.会计算两条线段的比. 过程与方法 通过计算作图掌握概念：线段的比、成比例线段。 情感、态度与价值观 在获得知识的过程中培养学习的自信心． 【教学重难点】 教学重点：成比例线段、比例的性质 教学难点：会求两条线段的比,注意线段长度的单位要统一. 【导学过程】 【创设情景,引入新课】 、小学里已经学过了比例的有关知识,下面请同学们口答下列问题： （1）若a 与b 的比值和c 与d 的比值相等,应记为： 。 （2）已知2：3＝4：x,则：x= 。 【自主探究】 (1) 自主学习完成课本60--62页试一试与概括：填写下列空格： （1）、“比例线段”的概念： 。 已知四条线段a 、b 、c 、d,如果d c b a =（或a:b=c: d ）,那么a 、b 、c 、d 叫做组成比例的 , （2）“比例线段”和“线段的比”的区别 “比例线段”和“线段的比”这两个概念有什么区别？ 结论： （3）注意：概念的有序性 线段的比有顺序性,a:b 和b:a 通常是不相等的。 比例线段也有顺序性,如 d c b a =叫做线段a 、b 、c 、 d 成比例,而不能说成是b 、a 、c 、d 成比例。 【课堂探究】 例1如图一块矩形的绸布长AB=am,宽AD=1m,按照图中所示的方式将它剪裁成相同的三面矩形彩旗,且使裁出的每面彩旗的宽与长的比与原绸布的宽与长的比相同。即 那么a 的值应当是多少？ 判断下列线段a 、b 、c 、d 是否是成比例线段： （1）a ＝4,b ＝6,c ＝5,d ＝10； （2）a ＝2,b ＝5,c ＝152,d ＝35． AB AD AD AE =

新北师大版九年级数学上册第四章4.1成比例线段第1课时比例线段备课素材版

第四章图形的相似 1 成比例线段 第1课时线段的比 素材一新课导入设计 置疑导入归纳导入复习导入类比导入 同学们，色彩斑斓的世界中有许多美丽的图形，它们有的形状、大小都相同，这就是我们 前面学过的全等形(多媒体出示图4－1－1①)；有的只有形状相同，这就是相似图形(多媒体出示图②)．你知道如何刻画图形的相似吗？你知道如何判定两个三角形相似吗？你知道如何将一个图形放大或缩小吗？从今天开始，我们进入第四章的学习． 图4－1－1 本章将研究图形的相似，探索三角形相似的条件，了解相似三角形的性质，并利用图形的相似解决一些简单的实际问题．本节课就让我们一起从“成比例线段”开始学习本章．【板书课题：第1课时线段的比】[说明与建议] 说明：通过用幻灯片展示生活中的图片，引入本章的学习内容——图形的相似．初步感知相似图形，引发学生思考相似图形的特征，激发学生的求知欲及学习兴趣．为新课的学习做好情感铺垫．建议：学生观看生活中存在的全等形及相似图形，体会数学来源于生活，在全等形的基础上感知相似图形，也可以让学生寻找身边的形状相同的图形，以便理解相似图形的特点，为本节课的学习做好铺垫． 请从下图中找出形状相同的图形．这些形状相同的图形有什么不同？怎样描述它们的不同 呢？(多媒体展示图片) 图4－1－2 生活中存在大量形状相同，但大小不同的图形．这些形状相同的图形有什么不同？相似的两个图形有什么主要特征呢？为了探究相似图形的特征，今天这节课，我们先学习成比例线段． [说明与建议] 说明：以形状相同的图形为背景，从生活中的图片到几何图形，从识别相同到寻找不同，设计的问题逐步深入，再到用什么描述形状相同图形的不同点，引出学习线段的比的必要性．建议：学生先自主观察这些图形的特点，然后在小组内交流自己的看法，交流后借助多媒体展示自己的成果．教师在学生交流展示时可作以下引导：(1)图中形状相同的图形，大小有什么不同？(2)形状相同的图形，其中的一个如

比例线段及相似知识点讲解

【知识点讲解】 一、比例线段 1.线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段a ，b 的长度分别是m ，n ，那么就说这两条线段 的比是a:b=m:n ，或写成 ,其中a 叫做比的前项;b 叫做比的后项。 2.成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段． 3.比例的项：已知四条线段ａ，ｂ，ｃ，ｄ，如果 ，那么ａ，ｂ，ｃ，ｄ，叫做组成比例的项，线段ａ，d 叫做比例外项，线段ｂ，ｃ叫做比例内项，线段ｄ还叫做ａ，ｂ，ｃ的第四比例项． 4.比例中项：如果作为比例线段的内项是两条相同的线段，即a:b=b:c 或 ，那么线段ｂ叫做线 段ａ和ｃ的比例中项． 二、比例的性质： (1)比例的基本性质： (2)反比性质： (3)更比性质: 或 (4)合比性质: (5)等比性质: 且 １、判断下列四条线段是否成比例. ① a=2，b=5,c=15，d=32； ② a=2，b=3, c=2，d=3； ③ a=4，b=6, c=5，d=10； ④ a=12，b=8, c=15，d=10. 2、已知：ad=bc . （1） 将其改写成比例式； （2） 写出所有以a ，d 为内项的比例式； （3） 写出使b 作为第四项比例项的比例式； （4）若 d b c a =；写出以c 作第四比例项的比例式； 3 、计算. (1)已知：x ∶y=5∶4，y ∶z=3∶7.求x ∶y ∶z. (2)已知：a ，b ，c 为三角形三边长，(a-c) ∶(c+b) ∶(c-b)=2∶7∶(-1)，周长为24.求三边长.

4 、在相同时刻的物高与影长成比例，如果一古塔在地面上影长为50m ，同时，高为1.5m 的测竿的影长为2.5m ，那么，古塔的高是多么米? 5、 EF BE AD AB = ，AB=10cm ，AD=2cm ，BC=7.2cm ，E 为BC 中点.求EF ，BF 的长. 6.(1)已知：x ：(x+1)=(1—x)：3，求x 。 (2)若 2x-3y x+y =12 ，求y x 。 (3) 若 a ＋ b b ＝65 ，求a b ，a －b b (4)若x 2-3xy+2y 2=0,求y x 7．将比例式中的移到第四比例项，使比例式仍成立。 （1） （2） （3） 8：若25a c e b d f ===，求a c b d --，234234a c e b d f +-+- 练习：已知:, 求的值.

相似形及比例线段(基础) 知识讲解

相似形及比例线段（基础）知识讲解 责编：康红梅 【学习目标】 1、能通过生活中的实例认识图形的相似，能通过观察直观地判断两个图形是否相似； 2、了解比例线段的概念及有关性质； 3、探索相似图形的性质，知道两相似多边形的主要特征，并根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用性质进行相关的计算，提高推理能力. 【要点梳理】 要点一、相似图形 在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形或相似形. 要点诠释： (1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形； (2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形全等； 要点二、相似多边形 【高清课堂：图形的相似二、图形的相似 2】 相似多边形的概念：如果两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例，我们就说它们是相似多边形． 要点诠释： （1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质． （2）相似多边形对应边的比称为相似比． 要点三、比例线段 【高清课堂：图形的相似预备知识】 1．成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 2．比例的性质： （1）基本性质：若a:b=c:d，则ad=bc； （2）合比性质：如果 ++ ==. a c a b c d b d b d ，那么 如果 --==. a c a b c d b d b d ，那么 （3）等比性质：如果 +c c =====k. +d a c a a b d b d b k，那么 （4）比例中项：若a:b=b:c，则2b =ac，b称为a、c的比例中项． 要点诠释： 通常四条线段a,b,c,d的单位应该一致，但有时为了计算方便，a,b的单位一致，c,d的单位一致也可以。 要点四、黄金分割 如果点P把线段AB分割成AP和PB,(AP>PB)两段，其中AP是AB和PB的比例中项， 那么就称这种分割为黄金分割，点P是线段AB的黄金分割点. 1 2 AP AB =≈

2022-2023学年上海九年级数学上学期同步精讲精练第1讲 相似形与比例线段(含详解)

第1讲放缩与相似形 知识梳理 1、相似形的概念 相似形：我们把形状相同的两个图形说成是相似的图形，简称相似形． 2、相似多边形的性质 如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例．当两个相似的多边形是全等形时，它们对应边的长度的比值为1． 要点：(1)相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形； (2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形全等； （3）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质． （4）相似多边形对应边的比称为相似比． 题型探究 题型一、相似形的判断 【例1】有以下命题： （1）邻边之比为2 : 3的两个平行四边形相似； （2）有一个角是40°的两个菱形相似； （3）两个矩形相似； （4）两个正方形相似，其中正确的是（）

A ．1和2 B ．2和4 C ．3和4 D ．1和3 【例2】如图，有三个矩形，其中是相似形的是（ ） A. 甲与乙 B.甲与丙 C.乙与丙 D.以上都不对 【例3】（2021•龙港区一模）如图所示的4个三角形中，相似三角形有（ ） A ．1对 B ．2对 C ．3对 D ．4对 题型二、相似形性质的应用 【例4】将一个多边形I 放大或缩小得到多边形II ，那么在多边形I 和多边形II 的对应量中，没有被放大或缩小的是（ ） A.多边形的边长 B.多边形的周长 C.多边形的面积 D.多边形的内角 【例5】如果两个矩形相似，已知一个矩形的两边长分别为5 cm 和4 cm ，另一边矩形的边长为6 cm ，则另一边长为______． 【例6】在比例尺为1︰1 000 000的地图上，相距3 cm 的两地，它们的实际距离为 （ ） A.3 km B.30 km C.300 km D.3 000 km 1 1.5 甲 乙 丙 3 2 1.5 2.5

沪教版 九年级(上)数学 秋季课程 第1讲 相似性与比例线段(解析版)

相似形与比例线段 内容分析 放缩与相似形是九年级上学期第一章第一节的内容，主要对相似多边形的概念和性质进行讲解，重点是理解相似形的相关概念和相似多边形性质的运用．通过对相似多边形的学习，为后面学习相似三角形的知识奠定基础．比例线段是九年级上学期第一章第二节的内容，主要讲解比例线段的有关概念和性质，以及三角形一边的平行线的相关性质和判定． 比例线段的知识点，重点在于理解不同概念和性质之间的联系和区别，熟练比例线段之间的转换，并能结合具体图形，运用比例线段的性质进行解题．对比例线段的学习之后，我们进一步学习三角形一边的平行线分线段成比例的相关性质和判定． 三角形一边的平行线是九年级数学上学期第一章第二节的内容，本讲主要讲解三角形一边平行线性质定理及推论和三角形一边平行线判定定理及推论，以及平行线分线段成比例定理．重点是掌握这两个定理及其推论，分清两个定理及其推论之间的区别和联系，难点是理解该定理和推论的推导过程中所蕴含的分类讨论思想和转化思想，并认识“A”字型和“X”字形这两个基本图形，最后灵活运用本节的三个定理及两个推论，理解和掌握“作平行线”这一主要的作辅助线的方法，为学习相似三角形的性质和判定做好准备． 知识结构

模块一：放缩与相似形 知识精讲 1、相似形的概念 相似形：我们把形状相同的两个图形称为相似的图形，简称相似形． 2、相似多边形的性质 如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的对应角相等，对应边的长度成比例．当两个相似的多边形是全等形时，它们对应边的长度的比值为1． 例题解析 【例1】下列说法中错误的是（） A．同一底片先后两次冲印出的照片是相似形 B．同一颗树在太阳光下先后两次形成的影子是相似形 C．放在投影仪上的图片及其在屏幕上显示的图片是相似形 D．放在复印件上的图片及其复印后得到的图片是相似形 【答案】B 【解析】不同的时刻下，阳光与树射入的夹角不同，形成的影子大小不同，即不是相似形．【总结】考查相似形的定义，抓住相似形的基本定义即形状完全相同才是相似形． 【例2】有以下命题：1邻边之比为2 : 3的两个平行四边形相似；2有一个角是40°的两个菱形相似；3两个矩形相似；4两个正方形相似，其中正确的是（） A．1和2B．2和4C．3和4D．1和3 【答案】B 【解析】邻边之比固定，但邻边的夹角不确定，形状不一定相同，①错误；矩形每个角都是90度，但长宽之比不确定，即对应边不一定成比例，③错误；故选B． 【总结】考查相似形的定义，根据相似形的性质可知对应角相等，对应边成比例才是相似形． 【例3】如果两个矩形相似，已知一个矩形的两边长分别为5 cm和4 cm，另一边矩形的边长为6 cm，则另一边长为______． 2/ 29