图形的相似与比例线段

图形相似与比例线段

学习目标：

1、认识图形的放大与缩小，并能在方格纸上准确的画出。

2、理解相似形的概念和特征。

3、理解比例线段的意义，并能解决比例线段的有关问题。

4、了解黄金分割的意义，知道黄金分割的准确值与近似值，并会判

断一条直线的黄金分割点的确定位置。

5、会利用比例线段及其性质解决一些实际问题。

6、会运用“同高（或等高）的两个三角形的面积比等于对应底边的比”

进行三角形的面积比与线段比的转化；在比例线段性质的证明与运用

过程中，体会方程思想的作用。

主要概念：

1、图形的放缩运动：图形的放大或缩小。

2、相似形：一般来说，把一个图形放大或缩小，得到的图形和原来的图形，形状一定相同。我们把形状相同的两个图形，说成是相似的图形，通常也说是相似形。（形状相同，大小不一定相等）

3、相似多边形的特征：如果两个多边形是相似图形，那么这两个多边形的对应角相等，各对应边的长度成比例（或各对应边长度的比值是相等的）。如果两个相似的多边形是全等形时，它们对应边的长度的比值是1。

4、相似多边形的对应角、对应边：相似多边形在进行放缩运动时所得到的每一对点都称为对应定点；以对应定点为角的顶点的两个内角称为相似多边形的对应角；以相邻的对应顶点为端点的两条线段称为相似多边形的对应边。

5、比例的基本性质：如果a ：b=c ：d ，那么ad=bc 。反之也成立。

,,,a b c d 四个量中，如果::a b c d ，那么就说,,,a b c d 成比例，即表示两个比相

等的式子叫做比例。其中,,,a b c d 分别叫做第一、二、三、四比例项，第一比例项a 和第四比例项d 叫做比例外项，第二比例项b 和第三比例项c 叫做比例内项。 一般地，如果三个数a 、b 、c 满足比例式a b ＝b

c （或a:b ＝b: c ，b 2＝ac ），则b

叫做a ，c 的比例中项.

6、比例线段：在同一长度单位下，a 、b 两线段长度的比叫做这两线段的比。

记为a ：b 或a

b

注意：(1)两线段是几何图形，可用它的长度比来确定；

(2)度量线段的长，单位多种，但求比值必需在同一长度单位下比值一定是正数，比值与采用的长度单位无关。

(3)表示方式与数字的比表示类同，但它也可以表示为AB:CD.

比例线段：一般地，四条线段a 、b 、c 、d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 比，

即a b =c

d

，那么这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段。(如果四条线段的长度成比例，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段)

7、比例的基本性质：a b =c

d

<=>ad ＝bc(a 、b 、c 、d 都不为零)

两内项之积等于两外项之积。

由a b =c d =>ad ＝bc 的形式是唯一的，而由ad ＝bc=>a b =c

d 的形式不唯一，有8个不同的比例式。

8、合比性质：如果

d c b a =，那么d

d

c b b a +=+ 如果

d c b a =，那么d

d

c b b a -=- 把这两个性质叫做合比性质．

9、等比性质：如果

d c b a =，那么d

c

d b c a b a =++=， 等比性质可以推广到任意有相等的比的情形．例如：

如果k b a b a b a ===33

2211，那么k b b b a a a =++++3

21321

10、黄金分割：线段上一定把它分成两条线段，其中较长的线段是较短线段与原线段的比例中项，这种分割叫做黄金分割。

点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC,如果BC AC ＝AC

AB

，

那么称线段AB 被点C 黄金分割,点C 叫做线段AB 的黄金分割点,AC 与AB 的比叫做黄金比.

黄金分割的深远意义：

历史上，人们视黄金分割为“最美丽”的几何比率，广泛应用于建筑和雕刻中，如古代希腊的帕特农神庙、埃及金字塔、上海东方明珠塔等，一些长方形的画框，宽与长之比也设计成0.618，在自然界中也有很多例子，美丽的蝴蝶身长与双翅展开后的长度之比约为0.618.许多美丽的形状都与0.618这个比值有关。

典型例题：

例1: 以下几组图形有什么特征？

例2:如图，△ABC 与△DEF 是相似图形，且点A 与点D 对应，点B 与E 对应，点C 与点F 对应AB =1.7cm ,BC =2.9cm ,AC =3.7cm ,DE =3.4cm ,

50,70A B ︒︒∠=∠=求DF ,EF

的长度,并求∠C ,∠D , ∠E , ∠F 的度数.

练： 已知四边形ABCD 与四边形EFGH 是相似图形，点A 与点E ，点B 与点F ，点C 与点G ，点D 与点H 分别是对应顶点，BC=3，CD=2.4，EF=2.2，FG=2， ∠B=70°，∠C=110°，∠D=90°，求边AB,GH 的长和∠E 的度数。（无图）

A

B

C

A B

C

E

D F

[说明]通过本例题得出“相似图形的对应角相等、对应边成比例”.注意根据对应顶

点确定对应边.学会寻找对应角和对应边.

请问： 两个矩形、两个等腰三角形、两个正方形、两个等腰直角三角形一定是

相似图形吗？为什么呢？

例3. 下列各组图形中一定相似的图形有哪些？（ ） （相似形的理解问题） （A ） 两个等腰直角三角形 (B)两个等边三角形

(C) 两个矩形 (D) 一个角为30°的等腰三角形 (E) 底角相等的等腰梯形

例4、 如图已知BE AB =ME AM =CE AC 。

求证：BC CA BC AB ++=ME AE

证明：∵BE AB =ME AM =CE AC ，∴ CE BE AC AB ++=EM AM

，

即BC AC AB +=ME AM

，∴BC CA BC AB ++=ME ME AM +

即BC CA BC AB ++=ME AE

【解题技巧点拨】

本题要通过观察找出已知条件和待证结论之间的内在联系，然后灵活运用等比性质和合比性质达到证题的目的

例5、 如图，延长正方形ABCD 的一边CB 至E ，ED 与AB 相交于点F ，过F 作FG ∥BE 交AE 于G ，求证GF ＝FB ．

证明：∵GF ∥AD ∴AD GF ＝ED EF

（1）

又FB ∥DC ∴DC FB

＝ED EF （2）

又AD ＝DC （3）由（1）（2）（3）得：AD GF ＝AD FB

，∴GF=FB

【解题技巧点拨】

本题要善于从较复杂的几何图形中，分离出“平行线分线段成比例定理的推论”的基本图形，“A 型”或“

型”，得到相应的比例式，并注意由公共线段

“ED ”产生“中间比”，最后使问题得证。

例6. 已知：如图，在△ABC 中，D 、E 分别在AC 、AB 上，且△ABC 与△ADE 是相似形，其中点A 、B 、C 的对应点分别是点A 、D 、E 。AB=9，BC=8，AC=6，AE=2，求：DE,DC

的长（进一步练习寻找对应边的能力，在相似三角形中的应用）

例7. 下列各组线段成比例的是（ ） （复习比的基本性质） （A ） 1cm ,3cm ,2cm ,4cm (B) 1m ,20cm ,5cm ,25cm

E

D

C

A

B

(C) 3cm ,6cm ,2cm ,4m (D) 4cm ,8cm,6m,12 cm

例6. 已知：b 是a ,c 的比例中项。如果a:b=3:2，则c:b= （复习比例中项）

例8. 已知a=3cm , b=5cm , c=7cm , 则线段 a , b , c 的第四比例项为 （复习成比例线段的概念）

例9. （1）如图，已知

EC

AE

DB AD =， 则DB AB = ，AE EC

=

AD AB = ，AC

EC

=

（2）如图，已知

FD

CF

EB AE =， 则

EB AB = ，CF AE

=

AB

AE

= ，CD

AB

=

(比例的合比性质在基本图形中的应用)

例10. 已知：a,b,c 是实数，且b

a

c a c b c b a +=+=+=k,求k 的值。（比例的等比性质的灵活运用）

E

A B

C

D D

F

C B

E

A

O

A

D

B

C

例11. 如图，已知梯形ABCD 中，AD ∥BC ，对角线AC ，BD 交于O 。已知AOD S △=1，AOB S △=3。求：

ABCD S 梯。（三角形面积比与线段比的转化）

例12. 如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 上，且

EC

AE

DB AD 。已知：ADE S △=1，DBC S △=12，求：ABC S △。（三角形面积比与线段比的转化及方程

思想的运用）

例13. 已知线段AB ，P 是它的黄金分割点，且AP>PB ，设以AP 为边的正方形

E

A B

C

D

面积为1S ，以PB ，AB 为邻边的矩形面积为2S ，则1S 2S （用“>”“<”或“=”连接）（黄金分割的加深理解）

例14. 已知点C 是AB 的黄金分割点,AC=4米，求：CB 的长。（加深印象：一条线段的黄金分割点有两个）

例15.已知1，5，5三个数，如果再添一个数，使之能与已知的三个数成比例，

则这个数应该是 .

练习：在下列各组的四条线段中，成比例线段的有_______________（填写序号） （1）a=2， b=4， c=3， d=6； （2）a=3, b=5, c=9, d=15 （3）a=1, b=3, c=5, d=7 （4）a=0．8，b=3， c=1， d=2．4．

() 写成比例式错误的是

、把pq mn =

例16、在比例尺为1：10000的某市地图上，规划出一块长5cm ×2cm 的矩形工业区，则该工业区的实际面积是 平方米.

练习：在比例尺为1：400000的地图上，量得AB 两地距离是24cm ，

则A 、B 两地实际距离为 （ ）

A 、960m

B 、9600m

C 、96000m

D 、960000m

例17 （1）

（2） 练：

1. _______;,3=-=b b a b a 则若

2. 若43=b a ，则=+a b a =-b a a 2 =-+b

a b

a 工 。

例18.（1）已知x ∶y ∶z =3∶4∶5， ①求z

y

x +的值； ②若x +y +z =6，求x 、y 、z .

q

p n m .D =n

p q m .A =q

n m p .B =p

n m q .C =______;

52==y

x y x ，则

、如果

（2）若3

22=-y

y x , 求y

x 的值。

（3）若c b a 432==，求c b a ::的值。

练：1.若2:3:=y x ，2:3:=z y 则=z y x :: 。

2、已知10:5:3::=c b a ，且16=-+b c a ，求c b a -+23的值。

3、已知743c b a ==，且0≠⋅⋅c b a ，求c

b a

c b a 432234-+-+的值。

例19：求出黄金比的数值

如图4－1－4

设AP

AB

＝x ，则PB ＝AB －AP ＝AB －AB •x. A

B

P

图4-1-4

由PB AP ＝AP AB ，得AB －AB •x AB •x ＝AB •x AB ，即1－x x ＝x 1 化简，得x 2＋x －1＝0. 解得x 1＝

－1＋

5 2 ，x 2＝

－1－

5

2

（不合题意，舍去）

所以AP AB ＝

5 －12 ≈0.618

例20、尺规做线段的黄金分割点

已知线段AB ＝a ，用直尺和圆规作出它的黄金分割点。 分析：线段a 的黄金分割所得的较长线段长应是

5 －12

a ＝ 5

2 a －1

2

a ，

由于 5

2 a 是以a 和1

2 a 为直角边的斜边长

因此本题转化为作两条线段之差.

作法：

1.经过点B 作BD ⊥AB,使BD ＝1

2 AB

2.连接AD,在AD 上截取DE=DB.

3.在AB 上截取AC=AE.

如图，点C 就是线段a 的黄金分割点。

例21、已知线段AB=a ，在线段AB 上有一点C ，若AC=

a 2

5

3-，则点C 是线段AB 的黄金分割点吗？为什么？

练：1、已知P 为线段AB 的黄金分割点，且AP ＜PB ，则 （ ） A 、PB AB AP ⋅=2； B 、PB AP AB ⋅=2； C 、AB AP PB ⋅=2； D 、

222AB BP AP =+

2、已知P 、Q 是线段AB 的两个黄金分割点，且AB ＝10cm ，则PQ 长为（ ）

A 、)15(5-

B 、)15(5+

C 、)25(10-

D 、)53(5-

A

E

B

C D

概念填空：

1.线段的比的定义：在同一单位长度下，两条线段 的比叫做这两条线段的比.

2.比例线段的定义

在四条线段中，如果其中两条线段的 等于另外两条线段的 ，那么这四条线段叫做成比例线段，简称 .在a ：b=c ：d 中，a 、d 叫做比例的 ，

b 、

c 叫做比例的 3.比例的性质

(1)比例的基本性质：如果a ∶b =c ∶d ，那么 .

特别地，若a ∶b=b ∶c ，即 ，则b 叫a ，c 的比例中项. (2)合(分)比性质：若d

c

b a =，则 . (3)等比性质：若

n

m f e d c b a ==== ，且 ，则 . 4.黄金分割

黄金分割的意义：点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果 ，那么称线段AB 被点C 黄金分割.其中点C 叫做线段AB 的 ，AC 与AB 的比叫做 .

练习【课堂】

一、选择题(每小题3分，共30分)

1.已知一矩形的长a =1.35m ，宽b =60cm ，则a ∶b 的值为（ ） (A)9∶400 (B)9∶40 (C)9∶4 (D)90∶4

2.下列线段能成比例线段的是（ ）

(A)1cm,2cm,3cm,4cm (B)1cm,2cm,22cm,2cm (C)2cm,5cm,3cm,1cm (D)2cm,5cm,3cm,4cm

3.已知x ∶y ∶z =1∶2∶3，且2x+y -3z = -15，则x 的值为（ ） (A)-2 (B)2 (C)3 (D)-3

4.在比例尺为1∶38000的南京交通游览图上，玄武湖隧道长约为7cm ，它的实际长度约为（ ）

(A)0.226km (B)2.66km (C)26.6km (D)266km

5.已知点C 是AB 的黄金分割点(AC >BC)，若AB=4cm ，则AC 的长为（ ） (A)(2 5 –2)cm (B)(6-2 5 )cm (C)( 5 –1)cm

(D)(3- 5 )cm

6.若b

a

c a c b c b a k 222-=

-=-=

，且a +b +c ≠0，则k 的值为（ ） (A)-1 (B)21

(C)1 (D)- 12

7、若

15

1011c

a c

b b a +=+=+ ，则=

c b a :: （ ） A 、11：10：15 B 、8：3：7； C 、3：2：5； D 、6：7：8

二、填空题(每小题3分，共30分)

8.在x ∶6= (5 +x )∶2 中的x = ； 2∶3 = ( 5-x )∶x 中的x = .

9.若9

8

10

z y x ==, 则 ______=+++z

y z y x .

10.若a ∶3 =b ∶4 =c ∶5 , 且a +b -c =6, 则a = ，b = ，c = .

11.已知x ∶y ∶z = 3∶4∶5 , 且x +y +z =12, 那么x = ，y = ，z = .

12.若4

3===f

e d

c b

a , 则______=++++f

d b

e c a .

13.已知x ∶4 =y ∶5 = z ∶6 , 则 ①x ∶y ∶z = , ② (x+y )∶(y+z )= .

14.若322=-y y x , 则_____=y x

.

15.已知，线段a = 2 cm ，c=8 cm ，则线段a 、c 的比例中项b 是 .

三、解答题(每小题8分，共40分) 16.已知07

53

≠==z

y x

，求下列各式的值：(1)

y z y x +- (2)z y x z y x +-++35432.

17.已知a 、b 、c 为ΔABC 的三边，且a+b+c =60cm ，a ∶b ∶c =3∶4∶5，求ΔABC 的面积.

18.已知线段AB=10cm ，C 、D 是AB 上的两个黄金分割点，求线段CD 的长. 19.若k c

b a d

d b a c d c a b d c b a =++=++=++=++求k 的值。

20.若ABC ∆三边3:4:6::=c b a ，三边上的高分别为321h h h 、、，求321::h h h 的值。

习题：

1、 已知四边形ABCD 与四边形1111A B C D 是相似图形，并且A 与1A ，B 与1B ，C 与1C ，D 与1D 是对应点.已知,,,AB BC CD AD 的长度分别是6，8，8，10，11B C 的长是6，求11A B ，11AC ，11B C ，11A D 的长.

2、判断题：

（1）、两个直角三角形一定是相似图形……………………（ ） (2）、两个等边三角形一定是相似图形……………………（ ） (3)、有一个角是30度的等腰三角形一定是相似图形……（ ）

(4)、对于任意两个边数大于3的相似图形，它们的各对应边相等、对应角也相等…………（ ）

(5)、两个图形全等也可以说这两个图形式相似的 ………（ ）

3、某两地的实际距离是5000米，画在地图上的距离是20厘米，求图距与实际距离之比是多少？

4、五角星是我们常见的图形.在图1-2中,度量点C 到点A,B 的距离

AC AB 与BC

AC 相等吗？

A C B

图 1-2

5、

(1)已知：x ：(x+1)=(1—x)：3，求x 。

(2)若2x-3y x+y =12 ，求y x 。

(3) 若a ＋b b ＝65 ，求a b ，a －b b

(4)若x 2-3xy+2y 2=0,求

y x

(5)已知x 2 =y 3 =z 4 求2x+3y-z z+2y-3x

，x+y+z x

(6)已知x:y:z=4:5:7,求235x y z z

++，x y y z

++

(7)a ：b ：c=1：3：5 且a+2b —c=8求a 、b 、c

(8)已知x ：y=3：4，x ：z=2：3，求x ：y ：Z 的值。

第四章--图形的相似(知识点)

第四章 图形的相似 一．成比例线段 1.线段的比 ※1.如果选用同一个长度单位量得两条线段AB, CD 的长度分别是m 、n,那么就说这两条线段的比AB:CD=m:n ,或写成n m B A =. ※2.成比例线段及比例的性质： （1）成比例线段：四条线段a 、b 、c 、d 中,如果a 与b 的比等于c 与d 的比,即 d c b a =,那么这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段,简称比例线段. ※注意点: ①a:b=k,说明a 是b 的k 倍； ②由于线段a 、b 的长度都是正数,所以k 是正数； ③比与所选线段的长度单位无关,求出时两条线段的长度单位要一致. （2）比例的基本性质:若 d c b a =, 则ad=bc ； 若ad=bc, 则d b c a d c b a ==或 ※合比性质:如果d c b a =，那么d d c b b a ±=±； ※等比性质：如果n m d c b a =???==（0≠+???++n d b ），那么n d b m c a +???+++???++＝b a 注意：若没有“b+d+…+n ≠0”这个条件，需分类讨论. 二.平行线分线段成比例 ※平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例. 如图1，1l //2l //3l ，则EF BC DE AB =. 推广：过一点的一线束被平行线截得的对应线段成比例. 定理推论： ①平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得对应线段成比例. ②平行于三角形一边，并且和其他两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例. 三.黄金分割 如图,点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC,如果AC BC AB AC =,那么称线段AB 被点C 黄金分割,点C 叫做线段AB 的黄金分割点,AC 与AB 的比叫做黄金比， 一条线段有两个黄金分割点.≈-= 215AB AC ：0.618:1；AB BC 253-=

专题图形相似第一讲：成比例线段与平行线分线段成比例

专题 图形的相似 第一讲：成比例线段与平行线分线段成比例 一、成比例线段 知识点1、 相似的图形 一般而言，形状相同，大小、位置不一定相同的图形就是相似图形，但是全等图形也是相似图形。 注意：形状相同的图形的对应线段的条数相同，对应线段长的比值相等，因此可以看做的把其中一个图形放大或者缩小一点的倍数得到另外一个。 知识点2、两条线段的比 如果选用同一个长度单位量得两条线段AB,CD 的长度分别是m ，n ，那么这两条线段的比就是它们的长度之比，即AB:CD=m:n,或写成 n m CD AB =，其中，线段AB ，CD 分别叫做这个线段比的前项和后项。如果把 n m 表示成比值k ，那么k CD AB =，或者AB=k ·CD 。 注意：1、求两条线段的比的时候两条线段的长度单位要统一，当长度单位不统一时，要先化成同一单位长度； 2、两条线段的比是一个没有单位的正实数，与所选线段的单位无关，只要选取相同的长度单位即可。 ★知识点 3、成比例线段 对于四条线段a,b,c,d ，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即d c b a =，那么这四条线段是成比例线段，简称比例线段。 注意：1、如果 c b b a =，那么b 叫做a 和 c 的比例中项； 2、在比例式a:b=c: d 中，d 叫做a ，b ，c 的第四比例项； 3、成比例线段是有顺序的，即a,b,c,d 是成比例线段，则是a:b=c:d 知识点 4、比例的性质 1、比例的基本性质：如果 d c b a =，那么ad=b c ； 如果ad=bc （a ，b ，c ， d 都不等于0），那么 d c b a = 2、等比性质：如果 )0...(...≠+++===n d b n m d c b a ，那么 b a n d b m c a =++++++...... 3、合比性质：如果 d c b a =，那么d d c b b a +=+

图形的相似与比例线段

图形相似与比例线段 学习目标： 1、认识图形的放大与缩小，并能在方格纸上准确的画出。 2、理解相似形的概念和特征。 3、理解比例线段的意义，并能解决比例线段的有关问题。 4、了解黄金分割的意义，知道黄金分割的准确值与近似值，并会判 断一条直线的黄金分割点的确定位置。 5、会利用比例线段及其性质解决一些实际问题。 6、会运用“同高（或等高）的两个三角形的面积比等于对应底边的比” 进行三角形的面积比与线段比的转化；在比例线段性质的证明与运用 过程中，体会方程思想的作用。 主要概念： 1、图形的放缩运动：图形的放大或缩小。 2、相似形：一般来说，把一个图形放大或缩小，得到的图形和原来的图形，形状一定相同。我们把形状相同的两个图形，说成是相似的图形，通常也说是相似形。（形状相同，大小不一定相等） 3、相似多边形的特征：如果两个多边形是相似图形，那么这两个多边形的对应角相等，各对应边的长度成比例（或各对应边长度的比值是相等的）。如果两个相似的多边形是全等形时，它们对应边的长度的比值是1。

4、相似多边形的对应角、对应边：相似多边形在进行放缩运动时所得到的每一对点都称为对应定点；以对应定点为角的顶点的两个内角称为相似多边形的对应角；以相邻的对应顶点为端点的两条线段称为相似多边形的对应边。 5、比例的基本性质：如果a ：b=c ：d ，那么ad=bc 。反之也成立。 ,,,a b c d 四个量中，如果::a b c d ，那么就说,,,a b c d 成比例，即表示两个比相 等的式子叫做比例。其中,,,a b c d 分别叫做第一、二、三、四比例项，第一比例项a 和第四比例项d 叫做比例外项，第二比例项b 和第三比例项c 叫做比例内项。 一般地，如果三个数a 、b 、c 满足比例式a b ＝b c （或a:b ＝b: c ，b 2＝ac ），则b 叫做a ，c 的比例中项. 6、比例线段：在同一长度单位下，a 、b 两线段长度的比叫做这两线段的比。 记为a ：b 或a b 注意：(1)两线段是几何图形，可用它的长度比来确定； (2)度量线段的长，单位多种，但求比值必需在同一长度单位下比值一定是正数，比值与采用的长度单位无关。 (3)表示方式与数字的比表示类同，但它也可以表示为AB:CD. 比例线段：一般地，四条线段a 、b 、c 、d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 比，

成比例线段及相似图形

成比例线段及相似图形（讲义） ? 课前预习 1. 读一读，想一想： ①两个数相除又叫做两个数的比，比如a ÷b ，又可以写作 a b ，a :b ；在两个数的比中，比号前面的数叫做比的前项，比号后 面的数叫做比的后项．比的前项除以后项所得的商，叫做比值． ②比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变． ③表示两个比相等的式子叫做比例，比如a :b =c :d ，又可以 写作 a c b d =；组成比例的四个数，叫做比例的项，两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项． ④在比例里，两个外项的积等于两个内项的积，这叫做比例的基本性质． ⑤能够完全重合的两个图形称为全等图形． ⑥全等图形的形状和大小都相同． 2. 填空： ①若a :b =2:3，b :c =2:3，则a :b :c =_________． ②若x :y ?2:5，x :z ?5:9，则y :z ?________． ③若2a ?3b ?4c ，则a :b :c ?________． ④若△ABC 三边::6:4:3a b c =，三边上的高分别为 123h h h ，，，则123::h h h =________． 3. 求解下列各式中的x ． 41 2::32x = 10060 2020x x = +- 342x x x x --= 11x x x -=（其中x >0） 1．扫一扫，看课程 2．扫码请使用校讯通客户端

C B A ? 知识点睛 一、成比例线段 1. 四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比， 即 a c b d ，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段， 简称比例线段． 地图或工程图纸上，图上长度与实际长度的比通常称为比例尺．注意：①比例对应；②单位换算；③实际验证． 2. 比例的性质 ①基本性质：若_______________，则__________________；若ad =bc （a ，b ，c ，d 都不等于0），则_________________． *②合（分）比性质：若_______________，则______________． ③等比性质：如果_________________，（_________________）那么______________________． 3. 平行线分线段成比例 两条直线被一组平行线所截，所得的______________成比例． 推论：_____________________________________________． 4. 黄金分割： 点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果_____________，那么称线段AB 被点C _________，点C 叫做线段AB 的黄金 分割点．AC AB =________≈_______，称为黄金比．一条线段 有______个黄金分割点． 二、相似图形 1. 形状相同的图形称为相似图形．利用“∽”来表述两个图形 间的相似关系时，要把表示对应角顶点的字母写在对应的位置上． 2. 相似多边形： _______________、_________的两个多边形叫做相似多边形． 相似多边形对应边的比叫做相似比，周长比等于________． 3. 相似三角形： _____________、___________的两个三角形叫做相似三角形． 相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比、周长的比都等于______；面积的比等于_____________． F E D C B A

九年级《图形的相似》知识点归纳

苏科版九下《图形的相似》知识点归纳 知识点1 有关相似形的概念 (1)形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形. (2)如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多 边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比(相似系数)． 知识点2 比例线段的相关概念、比例的性质 （1）定义： 在四条线段d c b a ,,,中，如果b a 和的比等于d c 和的比，那么这四条线段d c b a ,,,叫做成比例线段，简称比例线段． 注：①比例线段是有顺序的，如果说a 是d c b ,,的第四比例项，那么应得比例式为： a d c b =． ②()()()a b c d a c d c b d b a d b c a ?=?? ?=?=???=?? ， 交换内项，交换外项． 同时交换内外项 核心内容：bc ad = （2）黄金分割：把线段AB 分成两条线段)(,BC AC BC AC >，且使AC 是BC AB 和的比例中项，即 2 AC AB BC =?，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AB AC 2 1 5-= ≈0.618AB ．即 512AC BC AB AC == 简记为：51 2 长短＝＝全长 注：①黄金三角形：顶角是360 的等腰三角形 ②黄金矩形：宽与长的比等于黄金数的矩形 （3）合、分比性质：a c a b c d b d b d ±±=?= ． 注：实际上，比例的合比性质可扩展为：比例式中等号左右两个比的前项，后项之间 发生同样和差变化比例仍成立．如：?????? ?+-=+--=-?=d c d c b a b a c c d a a b d c b a 等等． （4）等比性质：如果)0(≠++++=== =n f d b n m f e d c b a ΛΛ， 那么 b a n f d b m e c a =++++++++ΛΛ． 知识点3 比例线段的有关定理 平行线分线段成比例定理:三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例. 已知AD ∥BE ∥CF, 可得AB DE AB DE BC EF BC EF AB BC BC EF AC DF AB DE AC DF DE EF ===== 或或或或等. 特别在三角形中： 由DE ∥BC 可得： AC AE AB AD EA EC AD BD EC AE DB AD = ==或或 知识点4 相似三角形的概念 （1）定义：对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于” ．相似三角形对应边的比叫做相似比(或相似系数)．相似三角形对应角相等，对应边成比例． 注：①对应性：即把表示对应顶点的字母写在对应位置上 ②顺序性：相似三角形的相似比是有顺序的． ③两个三角形形状一样，但大小不一定一样． ④全等三角形是相似比为1的相似三角形． （2）三角形相似的判定方法 1、平行法：（上图）平行于三角形一边的直线和其它两边(或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似. 2、判定定理1：简述为：两角对应相等，两三角形相似． 3、判定定理2：简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似． 4、判定定理3：简述为：三边对应成比例，两三角形相似． 5、判定定理4：直角三角形中，“斜边和一直角边对应成比例” 全等与相似的比较：三角形全等 三角形相似 两角夹一边对应相等(ASA) 两角一对边对应相等(AAS) 两边及夹角对应相等(SAS) 三边对应相等(SSS)、(HL ） 两角对应相等 两边对应成比例，且夹角相等 三边对应成比例 “斜边和一直角边对应成比例” （3如图，Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD 是斜边BC 上的高， 则 ∽ ＝＝＞ AD 2 =BD ·DC ， ∽ ＝＝＞ AB 2 =BD ·BC ， ∽ ＝＝＞ AC 2 =CD ·BC . 知识点5 相似三角形的性质 (1)相似三角形对应角相等，对应边成比例． (2)相似三角形周长的比等于相似比． (3)相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． (4)相似三角形面积的比等于相似比的平方． 知识点6 相似三角形的几种基本图形： （1） 如图：称为“平行线型”的相似三角形（有“A 型”与“X 型”图） F E D C B A E B D E D (3) B C A E D B C

线段的比例与相似

线段的比例与相似 在几何学中，线段的比例与相似是一个十分重要的概念。比例可以 帮助我们理解和计算不同线段之间的关系，而相似则描述了一种形状 上的相似性。本文将介绍线段的比例与相似的基本概念，并提供一些 相关的例子和计算方法。 比例是指两个量之间的比较关系。在线段中，我们同样可以通过比 较两个线段的长度来确定它们之间的比例关系。假设有两个线段AB和CD，它们之间的比例可以表示为AB：CD或者AB/CD。如果AB： CD = 2：1，意味着线段AB的长度是线段CD的两倍。同样地，如果AB：CD = 3：4，就表示AB的长度是CD的三分之四。 我们可以通过几何图形来表示线段的比例关系。假设有一个三角形ABC，其中线段DE平行于边BC，并且与边AB和边AC相交于点D 和点E。根据等腰三角形的性质，线段BD与线段CE的长度是相等的。我们可以用比例来表示这个关系，即BD：CE = AB：AC。这个比例关系可以推广到其他类型的几何图形中。 相似是指几何图形在形状上的相似性。如果两个几何图形的相应边 的比例相等，并且对应的角度相等，那么这两个图形就是相似的。对 于线段来说，它们的相似性可以通过比较它们的长度比例来确定。如 果两个线段的长度比例相等，那么这两个线段就是相似的。 如何计算线段的比例和相似性呢？我们可以使用直角三角形的性质 来进行计算。假设有一个直角三角形ABC，其中边AB是斜边，而边AC和边BC分别是直角的两个边。线段BD垂直于直角边BC，将BC

分成了两个线段，即BD和DC。根据直角三角形的相似性质，线段 BD与边AC的比例等于边BC与斜边AB的比例。即BD：AC = BC：AB。通过这个比例关系，我们可以计算出线段间的比例。 例如，假设有一个直角三角形ABC，其中AB = 5 cm，BC = 12 cm。线段BD将BC分成了BD = 4 cm和DC = 8 cm。根据前面的比例关系，BD：AC = BC：AB，我们可以计算出BD：AC = 4：10。这意味着线 段BD的长度是线段AC的四分之一。 线段的比例与相似在几何学中有着广泛的应用。比例关系可以帮助 我们计算未知线段的长度，以及解决与线段相关的几何问题。相似性 则提供了一种判断图形相似性和计算图形比例的方法。掌握线段的比 例与相似的概念和计算方法将对我们理解和解决各种几何问题非常有 帮助。 综上所述，线段的比例与相似是几何学中的重要概念。比例可以帮 助我们计算不同线段之间的比例关系，而相似则描述了图形在形状上 的相似性。我们可以使用比例关系和直角三角形的性质来计算线段的 比例和相似性。掌握这些概念和计算方法将为我们解决各种几何问题 提供有力的工具。

九年级同步第1讲：相似形与比例线段

放缩与相似形是九年级上学期第一章第一节的内容，主要对相似多边形的概念和性质进行讲解，重点是理解相似形的相关概念和相似多边形性质的运用. 通过对相似多边形的学习，为后面学习相似三角形的知识奠定基础. 比例线段是九年级上学期第一章第二节的内容，主要对比例线段的有关概念和性质进行讲解，重点是理解不同概念和性质之间的联系和区别，熟练比例线段之间的转换，并能结合具体图形，运用比例线段的性质进行解题.通过对比例线段的学习，一方面为之后学习平行线分线段成比例做好准备，另一方面服务于之后相似三角形知识的学习. (d 5 相似形与比例线段 内容分析

1、相似形的概念 相似形：我们把形状相同的两个图形称为相似的图形，简称相似形. 2、相似多边形的性质 如果两个多边形是相似形，那么这两个多边形的 对应角相等，对应边的长度成比 例.当两个相似的多边形是全等形时，它们对应边的长度的比值为 1. 知识精讲

例题解析 【例1】相似的图形，它们的形状相同，它们的大小相同.（选填 7E 或不一7E 或一7E不） 【难度】★ 【答案】 【解析】 【例2】在下边的方格图中，分别画出ABC和四边形ABCD的一个相似图形.

【例3】 下列给出的图形中，不是相似形的是( ) A.由同一张底片印出来大小不同的照片 B . 一张巨幅画像和用照相机把它拍出来的照片 C.小明在平面镜和在哈哈镜里看到的他自己的像 D.五星红旗上的大五角星和小五角星 【难度】★ 【答案】 【解析】 ★★ 【例5】下列各组中的两个图形一定相似的有( ) 【例6】 已知四边形ABCD 和四边形A'B'C'D'是相似的图形，并且点A 与点A'、点B 与点B'、点C 与点C '、点D 与点D '分别是对应顶点， 已知BC 4 , CD 3.6 , A'B' 3.3 , B'C' 3 , B 75 , C 105 , D 95 ,求 AB , C'D'的长 和 A'的度数. 【难度】★★ 【答案】 【例4】 卜列说法不一定正确的是( A.所有的等边三角形都相似 B.有一个角是100的等腰三角形都相似 C.所有等腰直角三角形都相似 D.所有的直角三角形都相似 (1)两个等腰三角形; (4)两个等边三角形; (7)两个正方形； A . 3组 【难度】★★ 【答案】 【解析】 (2)两个直角三角形； (5)两个矩形； (8)两个等腰梯形； B. 4组 C. 5组 (3)两个等腰直角三角形; (6)两个菱形； (9)两个圆. D . 6组

图形的相似知识点总结及练习

相似三角形基本知识点总结及练习 知识点一：比例线段有关概念及性质 （1）有关概念 1、两条线段的比：选用同一长度单位量得两条线段量得AB 、CD 的长度分别是m 、n ，那 么就说这两条线段的比是AB:CD ＝m ：n 例：已知线段AB=2.5m,线段CD=400cm ，求线段AB 与CD 的比。 2.比例线段：四条线段a 、b 、c 、d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即 d c b a =（或a ：b= c ： d ），那么，这四条线段a 、b 、c 、d 叫做成比例线段，简称比例线段。（注意：在求线段 比时，线段单位要统一，单位不统一应先化成同一单位，还要注意顺序。） 例：b,a,d,c 是成比例线段，其中a=2cm,b=3cm,c=6cm,求线段d 的长度。 （2）比例性质 1.基本性质: bc ad d c b a =⇔= （两外项的积等于两内项积） 2.反比性质： c d a b d c b a =⇒= (把比的前项、后项交换) 3.更比性质(交换比例的内项或外项)： ()()()a b c d a c d c b d b a d b c a ⎧=⎪⎪ ⎪=⇒=⎨⎪ ⎪=⎪⎩， 交换内项，交换外项． 同时交换内外项 4.等比性质：（分子分母分别相加，比值不变.） 如果 )0(≠++++====n f d b n m f e d c b a ，那么 b a n f d b m e c a =++++++++ ． 注意：(1)此性质的证明运用了“设k 法” ，这种方法是有关比例计算，变形中一种常用方法． (2)应用等比性质时，要考虑到分母是否为零． (3)可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．

比例线段及相似知识点讲解

【知识点讲解】 一、比例线段 1.线段的比：如果选用同一长度单位量得两条线段a ，b 的长度分别是m ，n ，那么就说这两条线段 的比是a:b=m:n ，或写成 ,其中a 叫做比的前项;b 叫做比的后项。 2.成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段． 3.比例的项：已知四条线段ａ，ｂ，ｃ，ｄ，如果 ，那么ａ，ｂ，ｃ，ｄ，叫做组成比例的项，线段ａ，d 叫做比例外项，线段ｂ，ｃ叫做比例内项，线段ｄ还叫做ａ，ｂ，ｃ的第四比例项． 4.比例中项：如果作为比例线段的内项是两条相同的线段，即a:b=b:c 或 ，那么线段ｂ叫做线 段ａ和ｃ的比例中项． 二、比例的性质： (1)比例的基本性质： (2)反比性质： (3)更比性质: 或 (4)合比性质: (5)等比性质: 且 １、判断下列四条线段是否成比例. ① a=2，b=5,c=15，d=32； ② a=2，b=3, c=2，d=3； ③ a=4，b=6, c=5，d=10； ④ a=12，b=8, c=15，d=10. 2、已知：ad=bc . （1） 将其改写成比例式； （2） 写出所有以a ，d 为内项的比例式； （3） 写出使b 作为第四项比例项的比例式； （4）若 d b c a =；写出以c 作第四比例项的比例式； 3 、计算. (1)已知：x ∶y=5∶4，y ∶z=3∶7.求x ∶y ∶z. (2)已知：a ，b ，c 为三角形三边长，(a-c) ∶(c+b) ∶(c-b)=2∶7∶(-1)，周长为24.求三边长.

4 、在相同时刻的物高与影长成比例，如果一古塔在地面上影长为50m ，同时，高为1.5m 的测竿的影长为2.5m ，那么，古塔的高是多么米? 5、 EF BE AD AB = ，AB=10cm ，AD=2cm ，BC=7.2cm ，E 为BC 中点.求EF ，BF 的长. 6.(1)已知：x ：(x+1)=(1—x)：3，求x 。 (2)若 2x-3y x+y =12 ，求y x 。 (3) 若 a ＋ b b ＝65 ，求a b ，a －b b (4)若x 2-3xy+2y 2=0,求y x 7．将比例式中的移到第四比例项，使比例式仍成立。 （1） （2） （3） 8：若25a c e b d f ===，求a c b d --，234234a c e b d f +-+- 练习：已知:, 求的值.

线段的比例与相似三角形

线段的比例与相似三角形 在几何学中，线段的比例与相似三角形是两个重要的概念，它们在解决几何问题时起到了至关重要的作用。本文将讨论线段的比例与相似三角形的基本概念、性质和运用。 一、线段的比例 线段的比例指的是两个线段之间的比较关系。对于两个线段AB和CD来说，我们可以用一个比值来表示它们之间的关系，即AB:CD。这个比值可以是整数、小数或分数形式。 1.1 特殊比例 当AB:CD=1:1时，即两个线段相等，我们称之为等比例。当 AB:CD=1:2时，我们称之为两个线段的比例为1:2。同理，当 AB:CD=2:3时，我们称之为两个线段的比例为2:3。 1.2 比例的性质 线段的比例具有以下性质： 1.2.1 传递性：如果AB:CD和CD:EF两个比例成立，那么AB:EF也成立。 1.2.2 反比例：如果AB:CD成立，那么CD:AB不成立。 1.2.3 倍数关系：如果AB:CD成立，那么kAB:kCD也成立，其中k 为任意非零实数。

二、相似三角形 相似三角形指的是具有相同形状但是大小不同的三角形。两个三角形相似的条件是它们的对应角度相等，并且对应边长的比例相等。 2.1 相似三角形的性质 相似三角形具有以下性质： 2.1.1 对应角度相等性质：两个三角形的对应角度相等。 2.1.2 对应边长比例性质：两个相似三角形的对应边长的比例相等。 2.1.3 完全相似性质：如果两个三角形的对应边长比例相等，那么它们是相似三角形。 2.2 相似三角形的运用 相似三角形在实际问题中有着广泛的运用，以下是一些常见的应用场景： 2.2.1 测量不可达距离：当我们无法直接测量某个高的长度时，可以利用相似三角形来解决。通过测量一个容易测量的长度和它在影子或光线下的投影长度，可以利用三角形的相似性来计算出不可达距离。 2.2.2 建筑设计：在建筑设计中，相似三角形可以用来计算建筑物的高度、长度和角度。例如，通过测量建筑物的影子长度和投影长度，可以利用三角形的相似性来计算出建筑物的高度。

中考数学相似图形和比例3篇

中考数学相似图形和比例3篇 初中数学学习要充分发挥自己的主观能动性，养成良好的数学学习习惯，进而培养思考问题、分析问题和解决问题的能力.下面是小编给大家带来的中考数学相似图形和比例，欢迎大家阅读参考，我们一起来看看吧! 初中数学知识点：相似图形 相似图形： 如果两个图形形状相同，但大小不一定相等，那么称这两个图形相似。 相似比： 相似多边形对应边的比。 注： (1)相似比是有顺序的; (2)全等三角形是相似比为1的两个相似三角形。 主要性质： 1.对应内角相等 2.两个图形对应边成比例 如果是正方形，则只要边长成比例就可以，所以所有的正方形，正三角形都相似 长方形是长和高对应成比例 3.相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。 相似图形基本法则: 1. 如果选用同一个长度单位量得的两条线段AB,CD的长度分别是m,n那么就说这两条线段的比AB：CD=m:n，或写成AB/CD=m/n。 分别叫做这个线段比的前项后项。 2. 在地图或工程图纸上，图上长度与实际长度的比通常称为比例尺。 3. 四条线段a,b,c,d中，如果a与b的比等于c与d的比，即a/b=c/d，那么这四条线段a,b,c,d叫做成比例线段，简称比例线段。

4. 如果a/b=c/d，那么ad=bc. 如果ad=bc(a,b,c,d都不等于0)，那么a/b=c/d. 5. 如果a/b=c/d，那么(a±b)/b=(c±d)/d;那么(a±kb)/b=(c±kd)/d;那么a/b±ka=c/d±kc 6如果a/b=c/d=…=m/n(b+d+…+n≠0)，那么(a+c+…+m)/(b+d+…+n)=a/b. 7 如果AC/AB=BC/AC，那么称线段AB被点C黄金分割，点C 叫做线段AB的黄金分割点，(√5-1)/2叫做黄金比。 8. 长于宽的比等于黄金比的矩形叫做黄金矩形。 9. 三角形ABC与三角形A’B’C’是形状形同的图形，其中10 各角对应相等、各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形。 11.相似多边形的比叫做相似比。 12.三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。若三角形ABC与三角形DEF相似，记作： △ ABC∽△DEF，把对应顶点的字母写在相应的位置上 13.探索三角形相似的条件： ① 两角对应相等的两个三角形相似。 ② 三边对应成比例的两个三角形相似。 ③ 两边对应成比例且夹角相等的两个三角相似。 14.相似多边形的性质： ① 相似三角形对应高的比、对应角平分线的比和对应中线的比都等于相似比。 ② 相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方(或相似比等于面积比的算术平方根)。 15.如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。 16.位似图形上任一对对应点到位似中心的距离之比和周长比等于位似比，且面积比等于位似比的平方 对应角相等，各边对应成比例的两个多边形叫做相似多边形。相

北师大版九年级数学上册《图形的相似》知识点归纳

北师大版九年级数学上册《图形的相似》 知识点归纳 北师大版九年级数学上册《图形的相似》知识点归纳第四章图形的相似 一、成比例线段 1、定义： （1）、线段比：如果选用一个长度单位量得两条线段AB、CD的长度分别是m,n，那么这两条线段的比就是它们长 度的比，即AB：CD=m:n,或者写成AB/CD=m/n. （2）、成比例线段：四条线段a、b、c、d中，如果a 与b的比等于c与d的比，即a/b=c/d，那么这四条线段 a、b、c、d叫做成比例线段，简称比例线段。 2、定理：如果a/b=c/d==m/n(b+d++n≠0), 那么（a+c+m）/(b+d++n)=a/b 二、平行线分线段成比例 1、两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 2、平行于三角形一边的直线与其他两边相交。截得的线 段成比例。 三、相似多边形 定义：各角分别相等，各边成比例的两个多边形叫做相 似多边形。相似多边形对应边的比叫做相似比。 四、探索三角形相似的条件

1、两角分别相等的两个三角形相似。 2、两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。 3、三边成比例的两个三角形相似。 4、概念：一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果AC/AB=BC/AC，那么称线段AB被点C黄金分割，点C 叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比。 五、相似三角形判定定理的证明 六、利用相似三角形测高 1、利用阳光下的影子 2、利用标杆 3、利用镜子的反射 七、相似三角形的性质 1、相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比等于相似比。 2、相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方。 八、图形的位似 定义：一般地，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P、P1所在的直线都经过同一个点O，且有 OP1=k*OP(k≠0),那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心。实际上，k就是这两个相似多边形的相似比。

图形的相似知识点

一、相似图形 知识点1 相似图形的概念 具有相同形状的图形叫做相似图形 注意：由定义易得两个圆、正方形、等边三角形，等腰直角三角形必是相似图形； 而两个等腰三角形，菱形，矩形不一定是相似图形。 知识点2 在格点（或网格）图中画已知图形的相似图形 即通过放大或缩小在网格中画出所需图形（按比例放大或缩小） 注意：每一边放大或缩小的数量必须一样，可先定点后定边。 若无特殊说明，画出与原图形全等的图形也正确。 二、相似图形的性质 知识点1 线段的比 一般地，在同一长度单位下量得两条线段长度的比称为这两条线段的比 注意：（1）线段的比与所采用的长度单位无关，但求比时单位应统一； （2）线段的比有顺序，即a:b ≠b:a （3）比值总为正数 知识点2 比例线段 对于四条线段a 、b 、c 、d ，如果其中两条线段的长度的比等于另外两条线段的比，如a c b d =（或::a b c d =） ，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。此时也称这四条线段成比例。 判断四条线段是否成比例：（1）按从小到大（或从大到小）排列 （2）判断前两条线段的比是否等于后两条线段的比 知识点3 比例的基本性质 交叉相乘： (,,,0)a c ad bc a b c d b d =⇔=均不等于（可用于验证等式成立，或求解成比例的未知数） ,.a c a b c d a c b d b d a b c d ++===--如果，那么（可用倒数验证） 拓展：a c a nb c nd b d b d ±±==如果，那么。（分母不变，分子加上或减去分母的倍数） 知识点4 相似多边形的性质、判断 性质：两个相似多边形的对应边成比例（构造比例方程求对应边）， 对应角相等（根据内角和定理求内角）； 判定：如果两个多边形的对应边成比例，对应角相等，那么这两个多边形相似。（两条件同时成立） 全等多边形一定是相似多边形，而相似多边形只有在对应边相等的前提下才是全等多边形。 2. ⎧⎨⎩ 1.全等是相似的特例：即全等必相似，可通过放大或缩小得到：即形状完全相同， 与位置，大小无关

相似图形的知识点总结

相似图形的知识点总结 相似图形的知识点在数学中考得比较多，那么相关的知识点有什么呢?以下是小编为大家精心整理的相似图形的知识点总结，欢迎大家阅读。 相似图形的知识点总结 知识点1.概念 把形状相同的图形叫做相似图形。(即对应角相等、对应边的比也相等的图形) 解读：(1)两个图形相似，其中一个图形可以看做由另一个图形放大或缩小得到. (2)全等形可以看成是一种特殊的相似，即不仅形状相同，大小也相同. (3)判断两个图形是否相似，就是看这两个图形是不是形状相同，与其他因素无关. 知识点2.比例线段 对于四条线段a,b,c,d ，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的长度的比相等，即(或a:b=c:d)那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段. 知识点3.相似多边形的性质 相似多边形的性质：相似多边形的对应角相等，对应边的比相等. 解读：(1)正确理解相似多边形的定义，明确“对应”关系. (2)明确相似多边形的“对应”来自于书写，且要明确相似比具有顺序性. 知识点4.相似三角形的概念 对应角相等，对应边之比相等的三角形叫做相似三角形. 解读：(1)相似三角形是相似多边形中的一种; (2)应结合相似多边形的性质来理解相似三角形; (3)相似三角形应满足形状一样，但大小可以不同; (4)相似用“∽”表示，读作“相似于”;

(5)相似三角形的对应边之比叫做相似比. 知识点5.相似三角的判定方法 (1)定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似; (2)平行于三角形一边的直线截其他两边(或其他两边的延长线)所构成的三角形与原三角形相似. (3)如果一个三角形的两个角分别与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似. (4)如果一个三角的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似. (5)如果一个三角形的三条边分别与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似. (6)直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形都相似. 知识点6.相似三角形的性质 (1)对应角相等，对应边的比相等; (2)对应高的比，对应中线的比，对应角平分线的比都等于相似比; (3)相似三角形周长之比等于相似比;面积之比等于相似比的平方. (4)射影定理

人教版九年级数学下册-图形的相似和比例线段--知识讲解(基础)

图形的相似和比例线段--知识讲解（基础） 【学习目标】 1、能通过生活中的实例认识图形的相似，能通过观察直观地判断两个图形是否相似； 2、了解比例线段的概念及有关性质，探索相似图形的性质，知道两相似多边形的主要特征：对应角相等，对应边的比相等.明确相似比的含义； 3、知道两个相似的平面图形之间的关系，会根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用性质进行相关的计算，提高推理能力. 【要点梳理】 要点一、比例线段 【图形的相似预备知识】 1．线段的比： 如果选用同一长度单位量得两条线段a、b长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比 是a:b=m:n，或写成a m b n ． 2．成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 3．比例的基本性质： （1）若a:b=c:d，则ad=bc； （2）若a:b=b:c，则2b =ac（b称为a、c的比例中项）． 要点二、相似图形 在数学上，我们把形状相同的图形称为相似图形(similar figures). 要点诠释： (1) 相似图形就是指形状相同，但大小不一定相同的图形； (2) “全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状相同”且“大小相同”时，两个图形是全等； 要点三、相似多边形 【图形的相似二、图形的相似 2】 相似多边形的概念：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形． 要点诠释： （1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质． （2）相似多边形对应边的比称为相似比． 【典型例题】 类型一、比例线段 1.若==（abc≠0），求的值． 【答案与解析】解：设===k， 则a=2k，b=3k，c=5k， 所以===．

图形的相似知识点总结

图形的相似 考点一、比例线段 1、比例线段的相关概念 如果选用同一长度单位量得两条线段a ，b 的长度 分别为m ，n ，那么就说这两条线段的比是，或写 成a ：b=m ：n 在两条线段的比a ：b 中，a 叫做比的前项，b 叫做比的后项。 在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段 若四条a ，b ，c ，d 满足或a ：b=c ：d ，那么a ，b ，c ，d 叫做组成比例的项，线段a ，d 叫做比例外项，线段b ，c 叫做比例内项，线段的d 叫做a ，b ，c 的第四比例项。 如果作为比例内项的是两条相同的线段，即 c b b a =或a ： b=b ：c ，那么线段b 叫做线段a ，c 的比例中项。 2、比例的性质 （1）基本性质①a ：b=c ：d ⇔ad=bc ②a ：b=b ：c ac b =⇔2 （2）更比性质（交换比例的内项或外项） d b c a =（交换内项） ⇒=d c b a a c b d =（交换外项） a b c d =（同时交换内项和外项） （3）反比性质（交换比的前项、后项）：c d a b d c b a =⇒= （4）合比性质： d d c b b a d c b a ±= ±⇒= （5）等比性质： b a n f d b m e c a n f d b n m f e d c b a =++++++++⇒≠++++==== )0( 3、黄金分割 把线段AB 分成两条线段AC ，BC （AC>BC ），并且使AC 是AB 和BC 的比例中项，叫做把线段AB 黄金分割，点C 叫做线段AB 的黄金分割点，其中AC= 2 1 5-AB ≈0.618AB 考点二、平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 n m b a =d c b a =

九年级数学图形的相似和比例线段学生版知识点典型例题

图形的相似和比例线段 [学习目标] 1、能通过生活中的实例认识图形的相似，能通过观察直观地判断两个图形是否相似； 2、了解比例线段的概念与有关性质，探索相似图形的性质，知道两相似多边形的主要特征：对应角相等，对应边的比相等.明确相似比的含义； 3、知道两个相似的平面图形之间的关系，会根据相似多边形的特征识别两个多边形是否相似，并会运用性质进行相关的计算，提高推理能力. [要点梳理] 要点一、比例线段 1．线段的比： 如果选用同一长度单位量得两条线段a、b长度分别是m、n，那么就说这两条线段的比是 a:b=m:n，或写成a m b n ． 2．成比例线段：对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等，如a:b=c:d，我们就说这四条线段是成比例线段，简称比例线段． 3．比例的基本性质： （1）若a:b=c:d，则ad=bc； （2）若a:b=b:c，则2b =ac（b称为a、c的比例中项）． 要点二、相似图形 在数学上，我们把形状一样的图形称为相似图形(similar figures). 要点诠释：(1)相似图形就是指形状一样，但大小不一定一样的图形； (2)“全等”是“相似”的一种特殊情况，即当“形状一样”且“大小一样”时，两个图形是全等； 要点三、相似多边形 相似多边形的概念：如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，我们就说它们是相似多边形． 要点诠释： （1）相似多边形的定义既是判定方法，又是它的性质． （2）相似多边形对应边的比称为相似比． [典型例题] 类型一、比例线段 1. 下列四组线段中，成比例线段的有( ) A．3cm、4cm、5cm、6cm B．4cm、8cm、3cm、5cm C．5cm、15cm、2cm、6cm D．8cm、4cm、1cm、3cm 2.求证：如果，那么. 举一反三： 1、判断下列线段a、b、c、d是否是成比例线段：

苏科版九年级数学下册第六章《图形的相似》知识点+易错点汇总

第六章《图形的相似》 知识点一：比例线段 1.比例线段：在四条线段a ，b ，c ，d 中，如果a 与b 的比等于c 与d 的比，即a c b d =，那么这四条线段a ，b ，c ，d 叫做成比例线段，简称比例线段． 2.比例的基本性质： (1)基本性质：a c b d =⇔ ad ＝bc ；（b 、d ≠0） (2)合比性质：a c b d =⇔a b b ±＝c d d ±；（b 、d ≠0） (3)等比性质：a c b d =＝…＝m n ＝k (b ＋d ＋…＋n ≠0)⇔......a c m b d n ++++++＝k .（b+d …+n ≠0） 3.平行线分线段成比例定理：（1）两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例.即如图所示，若l 3∥l 4∥l 5，则AB DE BC EF =. （2）平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长 线)，所得的对应线段成比例. 即如图所示，若AB ∥CD ，则OA OB OD OC =. （3）平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似． 如图所示，若DE ∥BC ，则△ADE ∽△ABC. 4. 黄金分割：点C 把线段AB 分成两条线段AC 和BC ，如果AC AB ＝=5－12≈0.618，那么线段AB 被点C 黄金分割．其中点C 叫做线段AB 的黄金分割点，AC 与AB 的比叫做黄金比． 例1：把长为10cm 的线段进行黄金分割，那么较长线段长为 cm 。 知识点二 ：相似三角形的性质与判定 5. 相似三角形的判定： (1) 两角对应相等的两个三角形相似(AAA). 如图，若∠A ＝∠D ，∠B ＝∠E ，则△ABC ∽△DEF. (2) 两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似． 如图，若∠A ＝∠D ，AC AB DF DE =，则△ABC ∽△DEF. F E D C B A 学 班级 姓名 考试号 - - - -- - -- - -- - -- -- - -- - - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - -- - ---- -- -- - -- - -- 密 - -- - -- - -- - -- - -- - -- - ---- --- - - -- - -- 封 - -- - -- - - - - -- - -- - -- ---- ---- -- -- - -- - 线- - - -- - -- - -- - - - ------ ---- ---------- ----