现代控制理论试卷及答案总结

2012年现代控制理论考试试卷

一、（10

分，每小题1分）试判断以下结论的正确性，若结论是正确的，

（√）1.由一个状态空间模型可以确定惟一一个传递函数。

（√）2.若系统的传递函数不存在零极点对消，则其任意的一个实现均为最小实现。

（×）3.对一个给定的状态空间模型，若它是状态能控的，则也一定是输出能控的。

（√）4.对线性定常系统x

Ax =&，其Lyapunov 意义下的渐近稳定性和矩阵A 的特征值都具有负实部是一致的。

（√）5.一个不稳定的系统，若其状态完全能控，则一定可以通过状态反馈使其稳定。

（×）6.对一个系统，只能选取一组状态变量；

（√）7.系统的状态能控性和能观性是系统的结构特性，与系统的输入和输出无关；

（×）8.若传递函数1()()G s C sI A B -=-存在零极相消，则对应的状态空间模型描述的系统是不能控且不能观的；

（×）9.若一个系统的某个平衡点是李雅普诺夫意义下稳定的，则该系统在任意平衡状态处都是稳定的；

（×）10.状态反馈不改变系统的能控性和能观性。

二、已知下图电路，以电源电压u(t)为输入量，求以电感中的电流和电容中的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻R2上的电压为输出量的输出方程。（10分）

解：（1）由电路原理得：

二．（10分）图为R-L-C 电路，设u 为控制量，电感L 上的支路电流和电容C 上的电压2x 为状态变量，电容C 上的电压2x 为输出量，试求：网络的状态方程和输出方程，并绘制状态变量图。

解：此电路没有纯电容回路，也没有纯电感电路，因有两个储能元件，故有独立变量。

以电感L 上的电流和电容两端的电压为状态变量，即令：12,L c i x u x ==，由基尔霍夫电压定律可得电压方程为：

从上述两式可解出1x •

，2x •

，即可得到状态空间表达式如下：

⎥⎦⎤⎢⎣⎡21y y =⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣⎡

++-2112

12110R R R R R R R ⎥⎦⎤⎢⎣⎡21x x +u R R R ⎥

⎥⎦⎤

⎢⎢⎣⎡+21

20

三、（每小题10分共40分）基础题

（1）试求32y y y u u --=+&&&&&&&的一个对角规范型的最小实现。（10分）

23232

2()(1)(1)11111()21

32(1)(2)2Y s s s s s s s U s s s s s s s s s s +-++-+-====++-+--+----…………4分 不妨令

1()1()2X s U s s =-，2()

1()1

X s U s s -=+…………2分 于是有 又

12()()()

1()()()

X s X s Y s U s U s U s =++，所以12()()()()Y s U s X s X s =++，即有 12y u x x =++…………2分

最终的对角规范型实现为

则系统的一个最小实现为：

[]201, 11011u y ⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦

&x x x +u …………2分 （2）已知系统[]011, 12232u y ⎡⎤⎡⎤

=+=-⎢⎥⎢⎥

-⎣⎦⎣⎦

&x

x x ，写出其对偶系统，判断该系统

的能控性及其对偶系统的能观性。（10分） 解答：

021132u -⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦&x x …………………………2分

[]12y =x

……………………………………2分

（3）设系统为

试求系统输入为单位阶跃信号时的状态响应（10分）。 解

()200

t

t e t e --⎡⎤=⎢

⎥

⎣⎦Φ……………………………..…….……..3分

()()0

()(0)()d τ

t t t t u τ=+⎰x x B ΦΦ……….….……….……..3分

()

()22010

10d τ110

t t t t t e e e e ττ------⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰….……..2分 ()()220d τ

t t t t t e e e e τ

τ------⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰.……….…………………..…..1分

()()()22211==111122t t t t t e e e e e -----⎡⎤+-⎡⎤

⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++-⎢⎥⎣⎦⎣⎦………………..1分

（4）已知系统u x x ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=110011&试将其化为能控标准型。（10分）

解：1210c u ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦

，1

1

12201c

u -⎡⎤

=⎢⎥-⎣⎦

.……..2分 [][][]1

1

1

12

21122010101c p u -⎡⎤===-⎢⎥-⎣⎦

.…….1分

[

][]1111212

2

2

2

1100p p A ⎡⎤==-=⎢⎥⎣⎦

.……..1分

112

211

12

211,11P P --⎡⎤⎡⎤

==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦

.……..2分 能控标准型为u x x

⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=101010&.……..4分

四、设系统为

试对系统进行能控性及能观测性分解，并求系统的传递函数。（10分） 解： 能控性分解： 能观测性分解： 传递函数为4520

()(2)33

g s s s ⨯=

=++L L L 分 五、试用李雅普诺夫第二法，判断系统0111x x •

⎡⎤

=⎢⎥--⎣⎦

的稳定性。（10分） 方法一： 解：21x x =•

原点=0e x 是系统的唯一平衡状态。选取标准二次型函数为李雅普诺夫函数，即

当01=x ，02=x 时，0)(=•x v ；当01≠x ，02=x 时，0)(=•x v ，因此)(x v •

为负半定。根据判断，可知该系统在李雅普诺夫意义下是稳定的。

另选一个李雅普诺夫函数，例如： 为正定，而

为负定的，且当x →∞，有()V x →∞。即该系统在原点处是大范围渐进稳定。 方法二： 解：或设11

122122p p P p p ⎡⎤

=⎢

⎥⎣⎦

则由T

A P PA I +=-得11

1211

1212

2212

22010110111101p p p p p p p p --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤

+=⎢

⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣

⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 可知P 是正定的。因此系统在原点处是大范围渐近稳定的

六、 （20分）线性定常系统的传函为

()4

()(2)(1)

Y s s U s s s +=++ （1）实现状态反馈，将系统闭环的希望极点配置为()4,3--，求反馈阵K 。（5分）

（2）试设计极点为（-10,-10）全维状态观测器（5分）。

（3）绘制带观测器的状态反馈闭环系统的状态变量图（4分） （4）分析闭环前后系统的能控性和能观性（4分）

注明：由于实现是不唯一的，本题的答案不唯一！其中一种答案为： 解：（1）

2()44()(2)(1)32

Y s s s U s s s s s ++==++++ 系统的能控标准型实现为：[]010,41231X X u y X ⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦

&……1分 系统完全可控，则可以任意配置极点……1分 令状态反馈增益阵为[]12K k k =……1分 则有210123A BK k k ⎡

⎤

-=⎢

⎥----⎣⎦

，则状态反馈闭环特征多项式为 又期望的闭环极点给出的特征多项式为：2(4)(3)712s s s s ++=++

由2

2

12(3)(2)712k k s s λλ++++=++可得到[]410K

=……3分

（2）观测器的设计：

由传递函数可知，原系统不存在零极点相消，系统状态完全能观，可以任意配置观测器的极点。……1分 令[]12T

E e e =……1分

由观测器ˆˆ()x

A EC x Bu Ey =-++&可得其期望的特征多项式为: *11

95()()33T

f s f s E ⎡⎤

=⇒=-

⎢⎥⎣⎦

……4分

（3）绘制闭环系统的模拟结构图

第一种绘制方法：

……4分（注：观测器输出端的加号和减号应去掉！不好意思，刚发现！！）

第二种绘制方法：

（4）闭环前系统状态完全能控且能观，闭环后系统能控但不能观（因为状态反馈不改变系统的能控性，但闭环后存在零极点对消，所以系统状体不完全可观测）……4分

A卷

一、判断题，判断下例各题的正误，正确的打√，错误的打×（每小题1分，共10分）

1、状态方程表达了输入引起状态变化的运动，输出方程则表达了状态引起输出变化的变换过程（√）

2、对于给定的系统，状态变量个数和选择都不是唯一的（×）

3、连续系统离散化都没有精确离散化，但近似离散化方法比一般离散化方法的精度高（×）

4、系统的状态转移矩阵就是矩阵指数（×）

5、若系统的传递函数存在零极点相消，则系统状态不完全能控（×）

6、状态的能空性是系统的一种结构特性,依赖于系统的结构,与系统的参数和控制变量作用的位置有关（√）

7、状态能控性与输出能控性之间存在必然的联系（×）

8、一个传递函数化为状态方程后，系统的能控能观性与所选择状态变量有关（√）

9、系统的内部稳定性是指系统在受到小的外界扰动后，系统状态方程解的收敛性，与输入无关（√）

10、若不能找到合适的李雅普诺夫函数，那么表明该系统是不稳定的（×） 二、已知系统的传递函数为 试分别用以下方法写出系统的实现：

（1） 串联分解 （2） 并联分解 （3） 直接分解

（4）

能观测性规范型（20分）

解： 对于

322

103130

s s s +++有

（1） 串联分解

串联分解有多种，如果不将2分解为两个有理数的乘积，如1284

=⨯，绘制该系统串联分解的结构图，然

后每一个惯性环节

()

i

i k s p +的输出设为状态变量，则可得到系统四种典型的实现为：

则对应的状态空间表达式为：

需要说明的是，当交换环节相乘的顺序时，对应地交换对应行之间对角线的元素！！！

如211(2)(3)(5)s s s ⋅⋅+++的实现为：[]20

0213000150001X X u y X u

⎧-⎡⎤⎡⎤

⎪⎢

⎥⎢⎥=-+⎪⎢⎥⎢⎥⎨⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦

⎪

⎪=+⎩& 则211(5)(3)(2)s s s ⋅⋅+++的实现为：[]50

0213000120001X X u y X u ⎧-⎡⎤⎡⎤

⎪⎢

⎥⎢⎥=-+⎪⎢⎥⎢⎥⎨⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦

⎪

⎪=+⎩

& 依次类推！！

（2） 并联分解

实现有无数种，若实现为[]112233123000000b X X b u b y c c c X u

⎧⎡⎤⎡⎤⎪⎢⎥⎢⎥=+⎪⎢⎥⎢⎥⎨

⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎪

⎪=+⎩

&λλλ只要满足 例如：3

2

21

2133(3)103130s s s s -=++++++，则其实现可以为： （3）直接分解 （4）能观测规范型

三、给定一个二维连续时间线性定常自治系统,0x

x A t =≥&。现知，对应于两个不同初态的状态响应分别为

试据此定出系统矩阵A 。（10分） 解：()(0)At

x t e x = 可得

四、已知系统的传递函数为

（1）试确定a 的取值，使系统成为不能控，或为不能观测；

（2）在上述a 的取值下，写出使系统为能控的状态空间表达式，判断系统的能观测性； （3）若3a =，写出系统的一个最小实现。（15分） 解：（1）因为

因此当1a =或2a =或3a =时，出现零极点对消现象，系统就成为不能控或不能观测的系统 （2）可写系统的能控标准形实现为此问答案不唯一 存在零极相消，系统不能观 （3）3a =，则有22

()32

G s s s =

++

可写出能控标准形最小实现为 此问答案不唯一，可有多种解 五、已知系统的状态空间表达式为 （1）判断系统的能控性与能观测性；

（2）若不能控，试问能控的状态变量数为多少？ （3）试将系统按能控性进行分解； （4）求系统的传递函数。（15分） 解：（1）系统的能控性矩阵为

[]0012C U b

Ab ⎡⎤==⎢⎥-⎣⎦

，det 0,12C C U rankU ==<

故系统的状态不能控 系统的能观测性矩阵为

2

51910O c U cA ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥

-⎣⎦⎣⎦

，det 1150,2C O U rankU =-≠= 故系统的状态不能观测4分

（2）1C rankU =，因此能控的状态变量数为11分 （3）由状态方程式

可知是2x 能控的，1x 是不能控的2分 （4）系统的传递函数为

()()11

2225

()2

G s c sI A b c sI A b s --=-=-=

+只与能控子系统有关3分 六、给定系统

解李雅普诺夫方程，求使得系统渐近稳定的a 值范围。（10分） 七、伺服电机的输入为电枢电压，输出是轴转角，其传递函数为

（1）设计状态反馈控制器u Kx v =-+，使得闭环系统的极点为55j -±； （2）设计全维状态观测器，观测器具有二重极点－15；

（3）将上述设计的反馈控制器和观测器结合，构成带观测器的反馈控制器，画出闭环系统的状态变量图； （4）求整个闭环系统的传递函数。（20分） 第二章题A 卷

第一题：判断题，判断下例各题的正误，正确的打√，错误的打×（每小题1分，共10分）

11、状态方程表达了输入引起状态变化的运动，输出方程则表达了状态引起输出变化的变换过程（√） 12、对于给定的系统，状态变量个数和选择都不是唯一的（×）

13、连续系统离散化都没有精确离散化，但近似离散化方法比一般离散化方法的精度高（×） 14、系统的状态转移矩阵就是矩阵指数（×）

15、若系统的传递函数存在零极点相消，则系统状态不完全能控（×）

16、状态的能空性是系统的一种结构特性,依赖于系统的结构,与系统的参数和控制变量作用的位置有关（√） 17、状态能控性与输出能控性之间存在必然的联系（×）

18、一个传递函数化为状态方程后，系统的能控能观性与所选择状态变量有关（√）

19、系统的内部稳定性是指系统在受到小的外界扰动后，系统状态方程解的收敛性，与输入无关（√） 20、若不能找到合适的李雅普诺夫函数，那么表明该系统是不稳定的（×）

第二题：已知系统的传递函数为322()103132

()()(56)(1)

Y s s s s G s U s s s s +++==+++,试分别用以下方法写出系统的实现：

（5） 串联分解（4分） （6） 并联分解（4分） （7） 直接分解（4分）

（8） 能观测性规范型（4分）

（9）

绘制串联分解实现时系统的结构图（4分）

解： 对于

3

2

103130

s s s s +++有

（3） 串联分解

串联分解有三种

3

2

111111(1)(2)(3)(1)(2)(3)(1)(2)(3)

103130111121113(1)...(1)..(1)(1)(2)(3)(1)(2)(3)(1)(2)(3)

s s s s

s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s =⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅++++++++++++=-=-=-+++++++++对应

的状态方程为：

（4） 并联分解

实现有无数种，其中之三为：

（3）直接分解 （4）能观测规范型

（10） 结构图

第二章题B 卷

第一题：判断题，判断下例各题的正误，正确的打√，错误的打×（每小题1分，共10分） 1、状态空间模型描述了输入-输出之间的行为,而且在任何初始条件下都能揭示系统的内部行为（√） 2、状态空间描述是对系统的一种完全的描述，而传递函数则只是对系统的一种外部描述（√） 3、任何采样周期下都可以通过近似离散化方法将连续时间系统离散化（×） 4、对于一个线性系统来说，经过线性非奇异状态变换后，其状态能控性不变（√）

5、系统状态的能控所关心的是系统的任意时刻的运动（×）

6、能观（能控）性问题可以转化为能控（能观）性问题来处理（√）

7、一个系统的传递函数所表示的是该系统既能控又能观的子系统（√）

8、一个系统的传递函数若有零、极点对消现象，则视状态变量的选择不同，系统或是不能控的或是不能观的（√）

9、对于一个给定的系统，李雅普诺夫函数是唯一的（×）

10、若系统对所有有界输入引起的零状态响应的输出是有界的，则称该系统是外部稳定的（√）

第二题：求以下RLC网络系统的状态空间模型,并绘制其结构图。取电压e_i为输入，e_o为输出。其中R1、R2、C和L为常数。

第二题图

答案:

解：（状态变量可以另取）

定义状态变量：x1为电阻两端电压v，x2为通过电感的电流i。输入u为e_i，输出y为e_o。使用基尔霍夫电流定理列R1和R2间节点的电流方程：

使用基尔霍夫电压定理列出包含C、R2、L回路的电压方程：

最后，输出电压的表达式为：

得到状态空间模型：

结构图为：

第三题：如图所示，系统的输入量为u1和u2、输出量为y和请选择适当的状态变量，并写出系统的状态空间表达式，根据状态空间表达式求系统的闭环传递函数：

第三题图

解：状态变量如下图所示（3分）

从方框图中可以写出状态方程和输出方程（4）

状态方程的矩阵向量形式：

系统的传递函数为（3分）：

现代控制理论试题答案

一、概念题

1、何为系统的能控性和能观性？

答：（1）对于线性定常连续系统，若存在一分段连续控制向量u(t)，能在有限时间区间[t0,t1]内将系统从初始状态x(t0)转移到任意终端状态x(t1)，那么就称此状态是能控的。

（2）对于线性定常系统，在任意给定的输入u(t)下，能够根据输出量y(t)在有限时间区间[t0,t1]内的测量值，唯一地确定系统在t0时刻的初始状态x(t0)，就称系统在t0时刻是能观测的。若在任意初始时刻系统都能观测，则称系统是状态完全能观测的，简称能观测的。

2、何为系统的最小实现？

答：由传递函数矩阵或相应的脉冲响应来建立系统的状态空间表达式的工作，称为实现问题。在所有可能的实现中，维数最小的实现称为最小实现。

3、何为系统的渐近稳定性？

答：若在时刻为李雅普若夫意义下的稳定，且存在不依赖于的实数和任意给定的初始状态，使得时，有，则称为李雅普若夫意义下的渐近稳定

二、简答题

1、连续时间线性时不变系统（线性定常连续系统）做线性变换时不改变系统的那些性质？

答：系统做线性变换后，不改变系统的能控性、能观性，系统特征值不变、传递函数不变

2、如何判断线性定常系统的能控性？如何判断线性定常系统的能观性？

答：方法1：对n维线性定常连续系统，则系统的状态完全能控性的充分必要条件为：。

方法2：如果线性定常系统的系统矩阵A具有互不相同的特征值，则系统能控的充要条件是，系统经线性非奇异变换后A阵变换成对角标准形，且不包含元素全为0的行

线性定常连续系统状态完全能观测的充分必要条件是能观性矩阵满秩。即：

3、传递函数矩阵的最小实现A、B、C和D的充要条件是什么？

答：充要条件是系统状态完全能控且完全能观测。

4、对于线性定常系统能够任意配置极点的充要条件是什么？

答：线性定常系统能够任意配置极点的充要条件是系统完全能控。

5、线性定常连续系统状态观测器的存在条件是什么？

答：线性定常连续系统状态观测器的存在条件是原系统完全能观。

三、计算题

1、RC无源网络如图1所示，试列写出其状态方程和输出方程。其中，为系统的输入，选两端的电压为状态变量,两端的电压为状态变量,电压为为系统的输出y。

解：由电路图可知：

选,,可得：

=

所以可以得到：

2

解：运用公式可得：

可得传递函数为：

3、

其中，采样周期为T=2。

解：先求出系统的.

令,可得：

X(k)+

4、求取下列各连续时间线性时不变系统的状态变量解和

解：计算算式为：

所以：

5、确定是下列连续时间线性时不变系统联合完全能控和完全能观测得待定参数a的取值范围：

解：由于A无特定形式，用秩判据简单。

因此，不管a去何值都不能够联合完全能控和完全能观测

6、对下列连续时间非线性时不变系统，判断原点平衡状态即是否为大范围渐近稳定：

解：（1）选取李雅普若夫函数V(x)，取，可知：

V(0)=0,

即为正定。

（2）计算并判断其定号性。对取定和系统状态方程，计算得到：

基此可知：

即：为负半定。

（3）判断。对此，只需判断的

和不为系统状态方程的解。为此，将带入状态方程，导出：

表明，状态方程的解只为，不是系统状态方程的解。通过类似分析也可以得证不是系统状态方

程的解。基此，可知判断。

（4）综合可知，对于给定非线性时不变系统，可构造李雅普若夫函数判断满足：

V(x)为正定，为负定；对任意,

当，有

基此，并根据李雅普若夫方法渐近稳定性定理知：系统原点平衡状态为大范围渐近稳定。

7、 给定一个单输入单输出连续时间线性时不变系统的传递函数为

试确定一个状态反馈矩阵K ，使闭环极点配置为,和。

解：可知，系统完全可控，可以用状态反馈进行任意极点配置。由于状态维数为3维。所以设。 系统期望的特征多项式为：

而

令,二者相应系数相等。

得：

即：

验证：

A 卷

二、基础题（每题10分）

1、给定一个二维连续时间线性定常自治系统,0x

x A t =≥&。现知，对应于两个不同初态的状态响应分别为

试据此定出系统矩阵A 。

解：()(0)At

x t e x =2分

可得 ()()333313333333331533153121244444444315311315311222222

22111244 12t t t t t t t t At t t t t t t

t t t t t t t t t t e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e -------------⎡⎤⎡⎤++++⎢⎥⎢⎥--⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥-+-+-+-+⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎡⎤+-+⎢⎥=⎢⎢-++⎢⎣⎦

⎥⎥⎥4分 33003313131122441341322t t t t At t t t t

t t e e

e e de

A dt e e e e --==--⎡⎤-++⎢⎥⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎣⎦

⎢⎥+-+⎢⎥⎣⎦4分 2、设线性定常连续时间系统的状态方程为

取采样周期1T s =，试将该连续系统的状态方程离散化。

解：①首先计算矩阵指数。采用拉氏变换法： ()()11112121021110.51(2) 100(2)A I A t t t s e L s L s e s s s L e s -------⎧⎫-⎡⎤⎪⎪⎡⎤=-=⎨⎬⎢⎥⎣

⎦+⎣⎦⎪⎪⎩⎭⎡⎤⎢⎥⎡⎤-+⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥+⎣⎦

3分 ②进而计算离散时间系统的系数矩阵。

()2210.510A G T T T e e e --⎡⎤-==⎢⎥⎢⎥⎣⎦

将1T s =代入得10.432300.1353A G T e ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦2分 ()

()22002210.510100.50.250.250.50.51.07890.4323A H t T T t t T T e e dt B dt e T e e ----⎧⎫⎡⎤-⎡⎤⎪⎪==⎢⎥⎨⎬⎢⎥⎣⎦

⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎩⎭⎡⎤+-=⎢⎥-+⎣⎦

⎡⎤=⎢⎥⎣⎦⎰⎰3分 ③故系统离散化状态方程为

()()()()()1122110.4323 1.0789100.13530.4323x k x k u k x k x k +⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣

⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦2分 3、已知系统的传递函数为

（1）试确定a 的取值，使系统成为不能控，或为不能观测；

（2）在上述a 的取值下，写出使系统为能控的状态空间表达式，判断系统的能观测性；

（3）若3a =，写出系统的一个最小实现。（10分）

解：（1）因为

因此当1a =或2a =或3a =时，出现零极点对消现象，系统就成为不能控或不能观测的系统3分

（2）可写系统的能控标准形实现为此问答案不唯一

0100001061161x x u ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦

&[]220y a x =3分 存在零极相消，系统不能观1分

（3）3a =，则有22()32

G s s s =++ 可写出能控标准形最小实现为

此问答案不唯一，可有多种解3分

三、已知系统的状态空间表达式为

（1）判断系统的能控性与能观测性；

（2）若不能控，试问能控的状态变量数为多少？

（3）试将系统按能控性进行分解；

（4）求系统的传递函数。（10分）

解：（1）系统的能控性矩阵为

[]0012C U b Ab ⎡⎤==⎢⎥-⎣⎦

，det 0,12C C U rankU ==< 故系统的状态不能控

系统的能观测性矩阵为

251910O c U cA ⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦

，det 1150,2C O U rankU =-≠= 故系统的状态不能观测4分

（2）1C rankU =，因此能控的状态变量数为11分

（3）由状态方程式

可知是2x 能控的，1x 是不能控的2分

（4）系统的传递函数为

()()112225()2

G s c sI A b c sI A b s --=-=-=

+只与能控子系统有关3分 B 卷

二、基础题（每题10分） 1、给定一个连续时间线性定常系统，已知状态转移矩阵()t Φ为

试据此定出系统矩阵A 。 解：

2222002224()240213Φt t t t t t t t t t e e e e d A t dt e e e e --------==⎡⎤-+-+⎧⎫==⎨⎬⎢⎥-+-+⎩⎭⎣⎦⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦

2、设线性定常连续时间系统的状态方程为 取采样周期1T s =，试将该连续系统的状态方程离散化。

解：①首先计算矩阵指数。采用拉氏变换法：

②进而计算离散时间系统的系数矩阵。

101A G T T e ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦

将1T s =代入得1101A G T e ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦ ③故系统离散化状态方程为

3、已知系统的传递函数为

试写出系统的能控标准形实现。（10分）

解：系统的能控标准形实现为

三、试确定下列系统当p 与q 如何取值系统既能控又能观。（10分）

解：系统的能控性矩阵为

其行列式为[]2det 12b Ab p p =+-

根据判定能控性的定理，若系统能控，则系统能控性矩阵的秩为2，亦即行列式值不为0，[]2det 120b Ab p p =+-≠

因此当3,4p ≠-时系统能控

系统能观测性矩阵为

其行列式为

根据判定能观性的定理，若系统能观，则系统能观性矩阵的秩为2，亦即2det 1210c q q cA ⎡⎤=--≠⎢⎥⎣⎦

因此当11,34

q ≠-时系统能观 综上可知，当3,4p ≠-，11,34q ≠-时系统既能控又能观

现代控制理论试题(详细答案)

现代控制理论试题B 卷及答案 一、1 系统[]210,01021x x u y x ? ??? =+=????-???? &能控的状态变量个数是cvcvx ，能观测的状态变量个数是。 2试从高阶微分方程385y y y u ++=&&&&&求得系统的状态方程和输出方 程（4分/个） 解 1． 能控的状态变量个数是2，能观测的状态变量个数是1。状态变量个数是2。…..（4分） 2．选取状态变量1x y =，2x y =&，3x y =&&，可得 …..….……. （1分） 1223 3131 835x x x x x x x u y x ===--+=&&& …..….…….（1分） 写成 010*********x x u ???? ????=+????????--???? & …..….…….（1分） []100y x = …..….…….（1分） 二、1给出线性定常系统(1)()(),()()x k Ax k Bu k y k Cx k +=+=能控的定义。 （3分） 2已知系统[]210 020,011003x x y x ?? ??==?? ??-?? &，判定该系统是否完 全能观？(5分)

解 1．答：若存在控制向量序列(),(1),,(1)u k u k u k N ++-L ，时系统从第 k 步的状态()x k 开始，在第N 步达到零状态，即()0x N =，其中N 是大于 0的有限数，那么就称此系统在第k 步上是能控的。若对每一个k ，系统的所有状态都是能控的，就称系统是状态完全能控的，简称能控。…..….…….（3分） 2. [][]320300020012 110-=?? ?? ? ?????-=CA ………..……….（1分） [][]940300020012 3202=?? ?? ? ?????--=CA ……..……….（1分） ????? ?????-=??????????=940320110 2CA CA C U O ………………..……….（1分） rank 2O U n =<，所以该系统不完全能观……..….…….（2 分） 三、已知系统1、2的传递函数分别为 2122211 (),()3232 s s g s g s s s s s -+==++-+ 求两系统串联后系统的最小实现。（8分） 解 112(1)(1)11 ()()()(1)(2)(1)(2)4 s s s s g s g s g s s s s s s -+++== ?=++--- …..….……. （5分） 最小实现为

现代控制理论试题详细答案

现代控制理论试题B 卷及答案 一、1 系统[]210,01021x x u y x ⎡⎤⎡⎤ =+=⎢ ⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦ 能控的状态变量个数是cvcvx ，能观测的状态变量个数是。 2试从高阶微分方程385y y y u ++=求得系统的状态方程和输出方程（4分/个） 解 1． 能控的状态变量个数是2，能观测的状态变量个数是1。状态变量个数是2。…..（4分） 2．选取状态变量1x y =，2x y =，3x y =，可得 …..….…….（1分） …..….…….（1分） 写成 010*********x x u ⎡⎤⎡⎤ ⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦ …..….…….（1分） []100y x = …..….…….（1分） 二、1给出线性定常系统(1)()(),()()x k Ax k Bu k y k Cx k +=+=能控的定 义。（3分） 2 已知系统[]210 020,011003x x y x ⎡⎤ ⎢⎥==⎢⎥ ⎢⎥-⎣⎦ ，判定该系统是否 完全能观？(5分) 解 1．答：若存在控制向量序列(),(1), ,(1)u k u k u k N ++-，时系统 从第k 步的状态()x k 开始，在第N 步达到零状态，即()0x N =，其中N 是大于0的有限数，那么就称此系统在第k 步上是能控的。若对

每一个k ，系统的所有状态都是能控的，就称系统是状态完全能控的，简称能控。…..….…….（3分） 2. [][]320300020012 110-=⎥⎥ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎢⎣⎡-=CA ………..……….（1分） [][]940300020012 3202=⎥⎥ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎢⎣⎡--=CA ……..……….（1分） ⎥⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=940320110 2CA CA C U O ………………..……….（1分） rank 2O U n =<，所以该系统不完全能观……..….…….（2 分） 三、已知系统1、2的传递函数分别为 求两系统串联后系统的最小实现。（8分） 解 112(1)(1)11 ()()()(1)(2)(1)(2)4 s s s s g s g s g s s s s s s -+++== ⋅=++--- …..….……. （5分） 最小实现为 []010,10401x x u y x ⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ …..….……. （3分） 四、将下列状态方程化为能控标准形。(8分)

现代控制理论试卷及答案

现代控制理论试卷 一、简答题（对或错，10分） （1）描述系统的状态方程不是唯一的。 （2）用独立变量描述的系统状态向量的维数不是唯一的。 （3）对单输入单输出系统，如果1 ()C sI A B --存在零极点对消，则系统一定不可控或者不可观测。 （4）对多输入多数出系统，如果1()sI A B --存在零极点对消，则系统一定不可控。 （5）李雅普诺夫直接法的四个判定定理中所述的条件都是充分条件。 （6）李雅普诺夫函数是正定函数，李雅普诺夫稳定性是关于系统平衡状态的稳定性。 （8）线性定常系统经过非奇异线性变换后，系统的可控性不变。 （9）用状态反馈进行系统极点配置可能会改变系统的可观测性。 （10）通过全维状态观测器引入状态反馈来任意配置系统的闭环极点时，要求系统必须同时可控和可观测。 对一个线性定常的单输入单输出5阶系统，假定系统可控可观测，通过设计输出至输入的反馈矩阵H 的参数能任意配置系统的闭环极点。 二、试求下述系统的状态转移矩阵()t Φ和系统状态方程的解x 1(t)和x 2(t)。（15分） 1122()()012()()()230x t x t u t x t x t ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤ =+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣ ⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 12(0)0,(),0(0)1t x u t e t x -⎡⎤⎡⎤==≥⎢⎥⎢⎥ ⎣⎦ ⎣⎦ 三、设系统的传递函数为 ()10 ()(1)(2) y s u s s s s =++。试用状态反馈方法，将闭环极点配置在－2，－1＋j ，－1－j 处，并写出闭环系统的动态方程和传递函数。（15分） 四、已知系统传递函数 2()2 ()43 Y s s U s s s +=++，试求系统可观标准型和对角标准型，并画出系统可观标准型的状态变量图。（15分） 五、已知系统的动态方程为[]211010a x x u y b x ⎧⎡⎤⎡⎤ =+⎪⎢⎥⎢⎥⎨⎣⎦⎣⎦⎪=⎩ ，试确定a ，b 值，使系统完全可控、完 全可观。（15分） 六、确定下述系统的平衡状态，并用李雅普诺夫稳定性理论判别其稳定性。（15分）

现代控制理论试卷及答案-总结

、〔10分,每小题1分〕试判断以下结论的正确性,若结论是正确的, 一 〔√〕1. 由一个状态空间模型可以确定惟一一个传递函数. 〔√〕2. 若系统的传递函数不存在零极点对消,则其任意的一个实现均为最小实现. 〔×〕 3. 对一个给定的状态空间模型,若它是状态能控的,则也一定是输出能控的. 〔√〕4. 对线性定常系统x = Ax ,其Lyapunov意义下的渐近稳定性和 矩阵A的特征值都具有负实部是一致的. 〔√〕5.一个不稳定的系统,若其状态彻底能控,则一定可以通过状态 反馈使其稳定. 〔×〕 6. 对一个系统,只能选取一组状态变量； 〔√〕7. 系统的状态能控性和能观性是系统的结构特性,与系统的输 入和输出无关； 〔×〕 8. 若传递函数G(s) = C(sI 一A)一1 B 存在零极相消,则对应的状态空间模型描述的系统是不能控且不能观的； 〔×〕9. 若一个系统的某个平衡点是李雅普诺夫意义下稳定的,则该 系统在任意平衡状态处都是稳定的； 〔×〕 10. 状态反馈不改变系统的能控性和能观性. 二、已知下图电路,以电源电压 u为输入量,求以电感中的电流和 电容中的电压作为状态变量的状态方程,和以电阻 R2 上的电压为输 出量的输出方程.〔10 分〕

解：〔1〕由电路原理得： 二．〔10 分〕图为 R-L-C 电路,设u 为控制量,电感L 上的支路电流和 电容 C 上的电压x 为状态变量,电容 C 上的电压x 为输出量,试求： 网 2 2 络的状态方程和输出方程,并绘制状态变量图. 解：此电路没有纯电容回路,也没有纯电感电路,因有两个储能元件, 故有独立变量. 以 电感 L 上 的 电流和 电容两端 的 电压为状态变量 , 即令： i L = x 1 , u c = x 2 ,由基尔霍夫电压定律可得电压方程为： • • y y 2 1 = - x x 21 + u 三、 〔每小题 10 分共 40 分〕基础题 〔1〕试求 y - 3y - 2y = u + u 的一个对角规 X 型的最小实现.〔10 分〕 Y(s) = s 3 + 1 = (s +1)(s 2 - s +1) = s 2 - s +1 = 1+ 1 + -1 …………4 分 不妨令 X (s)1 = 1 , X (s)2 = - 1 …………2 分 于是有 又 Y(s) U(s) = 1+ X (s)1 U(s)+ X (s) 2U(s) ,所以Y(s) = U (s) + X 1 (s) + X 2 (s) , 即有 y = u + x + x …………2 分 1 2 最终的对角规 X 型实现为 则系统的一个最小实现为： =「|2 0 ]+「| 1 ] | u, y = [1 1…………2 分 U (s) s 3 - 3s - 2 (s +1)(s 2 - s - 2) s 2 - s - 2 s - 2 s + 1 L 0 -1-1」 U (s) s - 2 U (s) s + 1 从上述两式可解出x 1 ,x 2 ,即可得到状态空间表达式如下：

现代控制理论试题与答案

现代控制理论 1.经典-现代控制区别: 经典控制理论中,对一个线性定常系统,可用常微分方程或传递函数加以描述,可将某个单变量作为输出,直接和输入联系起来;现代控制理论用状态空间法分析系统,系统的动态特性用状态变量构成的一阶微分方程组描述,不再局限于输入量,输出量,误差量,为提高系统性能提供了有力的工具.可以应用于非线性,时变系统,多输入-多输出系统以及随机过程. 2.实现-描述 由描述系统输入-输出动态关系的运动方程式或传递函数,建立系统的状态空间表达式,这样问题叫实现问题.实现是非唯一的. 3.对偶原理 系统=∑1(A1,B1,C1)和=∑2(A2,B2,C2)是互为对偶的两个系统,则∑1的能控性等价于∑2的能观性, ∑1的能观性等价于∑2的能控性.或者说,若∑1是状态完全能控的(完全能观的),则∑2是状态完全能观的(完全能控的).对偶系统的传递函数矩阵互为转置 4.对线性定常系统∑0=(A,B,C),状态观测器存在的充要条件是的不能观子系统为渐近稳定 第一章控制系统的状态空间表达式 1.状态方程:由系统状态变量构成的一阶微分方程组 2.输出方程:在指定系统输出的情况下,该输出与状态变量间的函数关系式 3.状态空间表达式:状态方程和输出方程总合,构成对一个系统完整动态描述 4.友矩阵:主对角线上方元素均为1:最后一行元素可取任意值;其余元素均为0 5.非奇异变换:x=Tz,z=T-1x;z=T-1A Tz+T-1Bu,y=CTz+Du.T为任意非奇异阵(变换矩阵),空间表达式非唯一 6.同一系统,经非奇异变换后,特征值不变;特征多项式的系数为系统的不变量 第二章控制系统状态空间表达式的解 1.状态转移矩阵:eAt,记作Φ(t) 2.线性定常非齐次方程的解:x(t)=Φ(t)x(0)+∫t0Φ(t-τ)Bu(τ)dτ 第三章线性控制系统的能控能观性 1.能控:使系统由某一初始状态x(t0),转移到指定的任一终端状态x(tf),称此状态是能控的.若系统的所有状态都是能控的,称系统是状态完全能控 2.系统的能控性,取决于状态方程中系统矩阵A和控制矩阵b 3.一般系统能控性充要条件:(1)在T-1B中对应于相同特征值的部分,它与每个约旦块最后一行相对应的一行元素没有全为0.(2)T-1B中对于互异特征值部分,它的各行元素没有全为0的 4.在系统矩阵为约旦标准型的情况下,系统能观的充要条件是C中对应每个约旦块开头的一列的元素不全为0 5.约旦标准型对于状态转移矩阵的计算,可控可观性分析方便;状态反馈则化为能控标准型;状态观测器则化为能观标准型 6.最小实现问题:根据给定传递函数阵求对应的状态空间表达式,其解无穷多,但其中维数最小的那个状态空间表达式是最常用的. 第五章线性定常系统综合 1.状态反馈:将系统的每一个状态变量乘以相应的反馈系数,然后反馈到输入端与参考输入相加形成控制律,作为受控系统的控制输入.K为r*n维状态反馈系数阵或状态反馈增益阵 2.输出反馈:采用输出矢量y构成线性反馈律H为输出反馈增益阵 3.从输出到状态矢量导数x的反馈:A+GC 4.线性反馈:不增加新状态变量,系统开环与闭环同维,反馈增益阵都是常矩阵 动态补偿器:引入一个动态子系统来改善系统性能 5.(1)状态反馈不改变受控系统的能控性 (2)输出反馈不改变受控系统的能控性和能观性 6.极点配置问题:通过选择反馈增益阵,将闭环系统的极点恰好配置在根平面上所期望的位置,以获得所希望的动态性能(1)采用状态反馈对系统任意配置极点的充要条件是∑0完全能控

《现代控制理论》期末复习试题4套含答案(大学期末复习试题)

第 1 页 共 1 页 西 安 科 技 大 学2004—2005 学 年 第2 学 期 期 末 考 试 试 题（卷） 电控 院系： 班级： 姓名： 学号： 装 订 线 装 订 线 以 内 不 准 作 任 何 标 记 装 订 线

第 2 页 共 1 页 现代控制理论A 卷答案 1. 解： 系统的特征多项式为 2221 ()21(1)1s f s s s s s +-= =++=+ 其特征根为-1（二重），从定理知系统是渐近稳定的。 2 解：Bode 图略 解得：开环截止频率：)/(1.2s rad c =ω； 相角裕量：)(40rad r ≈ 3 解： 1）系统的传递函数阵为： 2231231))((1 ))()((1 ][)(du a s a s a s a s a s Du B A sI C s G +⎥⎦ ⎤⎢ ⎣⎡-----=+-=-

第 3 页 共 1 页 2）系统的状态结构图，现以图中标记的321,,x x x 为 u 2u 1 4解： 1）列写电枢电压u 为输入，以电流i 和旋转速度n 为输出的状态空间表达式。由于ω.πωn 559260==，可得 dt dn J dt d J 55.9=ω， 22)2(D g G mR J == 式中， m 为一个旋转体上的一个质点的质量，质量m 为该质量的重量G 和重力加速度g 之比，R 和D 分别为旋转体的半径和直径，综合上两 式可推得 dt dn GD dt dn D G dt d J 37548.955.922=⨯⨯⨯=ω 2）从而可得到电机电枢回路电压平衡和电机运动平衡的一组微分方程式

现代控制理论试题与答案

现代控制理论试题与答案 《现代控制理论参考答案》第一章答案1-1试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。解：系统的模拟结构图如下：系统的状态方程如 下：令，则所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为1-2有电路如图1-28所示。以电压为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压 作为状态变量的状态方程，和以电阻上的电压作为输出量的输出方程。解：由图，令，输出量有电路原理可知：既得写成矢量矩阵形式为：1- 4两输入，，两输出，的系统，其模拟结构图如图1-30所示，试求其状态空间表达式和传递函数阵。解：系统的状态空间表达式如下所示：1 -5系统的动态特性由下列微分方程描述列写其相应的状态空间表达式，并画出相应的模拟结构图。解：令，则有相应的模拟结构图如下：1-6 （2）已知系统传递函数,试求出系统的约旦标准型的实现，并画出相应的模拟结构图解：1-7给定下列状态空间表达式‘画出其模拟结构图求 系统的传递函数解：（2）1-8求下列矩阵的特征矢量（3）解：A 的特征方程解之得：当时，解得：令得（或令，得）当时，解得：令得（或令，得）当时，解得：令得1-9将下列状态空间表达式化成约旦标准型（并联分解）（2）解：A的特征方程当时，解之得令得当时，解之得令得当时，解之得令得约旦标准型1-10已知两系统的传递函数分别为W1(s)和 W2(s)试求两子系统串联联结和并联连接时，系统的传递函数阵，并讨论所得结果解：（1）串联联结（2）并联联结1-11（第3版教材）已知如图1-22所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别为求系统的闭环传递函数解：1-11（第2版教材）已知如图1-2

现代控制理论试卷及答案总结

2012年现代控制理论考试试卷 一、（10分，每小题1分）试判断以下结论的正确性，若结论是正确的， （ √ ）1. 由一个状态空间模型可以确定惟一一个传递函数。 （ √ ）2. 若系统的传递函数不存在零极点对消，则其任意的一个实现均为最小实现。 （ × ）3. 对一个给定的状态空间模型，若它是状态能控的，则也一定是输出能控的。 （ √ ）4. 对线性定常系统x Ax =&，其Lyapunov 意义下的渐近稳定性和矩阵A 的特征值都具有负实部是一致的。 （ √ ）5.一个不稳定的系统，若其状态完全能控，则一定可以通过状态反馈使其稳定。 （ × ）6. 对一个系统，只能选取一组状态变量； （ √ ）7. 系统的状态能控性和能观性是系统的结构特性，与系统的输入和输出无关； （ × ）8. 若传递函数1()()G s C sI A B -=-存在零极相消，则对应的状态空间模型描述的系统是不能控且不能观的； （ × ）9. 若一个系统的某个平衡点是李雅普诺夫意义下稳定的，则该系统在任意平衡状态处都是稳定的； （ × ）10. 状态反馈不改变系统的能控性和能观性。 二、已知下图电路，以电源电压u(t)为输入量，求以电感中的电流和电容中的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻R2上的电压为输出量的输出方程。（10分）

解：（1）由电路原理得： 二．（10分）图为R-L-C 电路，设u 为控制量，电感L 上的支路电流和电容C 上的电压2x 为状态变量，电容C 上的电压2x 为输出量，试求：网络的状态方程和输出方程，并绘制状态变量图。 解：此电路没有纯电容回路，也没有纯电感电路，因有两个储能元件，故有独立变量。 以电感L 上的电流和电容两端的电压为状态变量，即令：12,L c i x u x ==，由基尔霍夫电压定律可得电压方程为： 从上述两式可解出1x ? ，2x ? ，即可得到状态空间表达式如下： ??????21y y =??? ? ???? ++-2112 12110R R R R R R R ??????21x x +u R R R ? ??? ????+21 20 三、（每小题10分共40分）基础题 （1）试求32y y y u u --=+& &&&&&&的一个对角规范型的最小实现。（10分） 23232 2()(1)(1)11111()21 32(1)(2)2Y s s s s s s s U s s s s s s s s s s +-++-+-====++-+--+----…………4分 不妨令 1()1()2X s U s s =-，2() 1()1 X s U s s -=+…………2分 于是有 又 12()()() 1()()() X s X s Y s U s U s U s =++，所以12()()()()Y s U s X s X s =++，即有 12y u x x =++…………2分 最终的对角规范型实现为 则系统的一个最小实现为： []201, 11011u y ????=+=????--???? &x x x +u …………2分

现代控制理论试卷 答案与解析

现代控制理论试卷作业 一．图为R-L-C 电路，设u 为控制量，电感L 上的支路电流 11121222121212010Y x U R R R R Y x R R R R R R ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 和电容C 上的电压2x 为状态变量，电容C 上的电压2x 为输出量，试求：网络的状态方程和输出方程（注意指明参考 方向）。 解：此电路没有纯电容回路，也没有纯电感电路，因有两个储能元件，故有独立变量。 以电感L 上的电流和电容两端的电压为状态变量，即令：12,L c i x u x ==，由基尔霍夫电压定律可得电压方程为： 从上述两式可解出1x ∙，2x ∙ ，即可得到状态空间表达式如下： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡21y y =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++-211212110R R R R R R R ⎥⎦⎤⎢⎣⎡21x x +u R R R ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+2120 二、考虑下列系统： （a ）给出这个系统状态变量的实现； （b ）可以选出参数K （或a ）的某个值，使得这个实现或者丧失能控性，或者丧失能观性，或者同时消失。 解：（a ）模拟结构图如下： 则可得系统的状态空间表达式： （b ） 因为 3023A -⎡⎢=⎢⎢⎣ 0013 k k a -⎤⎥-⎥⎥-⎦ 110b ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 所以：当1a =时，该系统不能控；当1a ≠时，该系统能控。 又因为：[2C = 1 ]0 所以：当0k =或1a =时，该系统不能观；当0k ≠且1a ≠时，该系统能观。 综上可知：当1a =时或0k =且1a =时，该系统既不能控也不能观。 三、已知系统. Ax x =∙的状态转移矩阵为：

现代控制理论期末试题及答案

现代控制理论期末试题及答案 一、选择题 1. 以下哪项不是现代控制理论的基本特征？ A. 多变量控制 B. 非线性控制 C. 自适应控制 D. 单变量控制 答案：D. 单变量控制 2. PID控制器中，P代表的是什么？ A. 比例 B. 积分 C. 微分 D. 参数 答案：A. 比例 3. 动态系统的状态方程通常是以什么形式表示的？ A. 微分方程 B. 代数方程

C. 积分方程 D. 线性方程 答案：A. 微分方程 4. 控制系统的稳定性可以通过什么分析方法来判断？ A. 傅里叶变换 B. 拉普拉斯变换 C. 巴特沃斯准则 D. 极点分布 答案：C. 巴特沃斯准则 5. 控制系统的性能可以通过什么指标来评估？ A. 驰豫时间 B. 超调量 C. 峰值时间 D. 准确度 答案：A. 驰豫时间 二、问答题 1. 说明PID控制器的原理和作用。

答：PID控制器是一种常用的控制器，它由比例环节（P）、积分环节（I）和微分环节（D）组成。比例环节根据控制误差的大小来产生控制量，积分环节用于累积控制误差并增加控制量，微分环节用于预测控制误差的变化趋势并调整控制量。PID控制器的作用是通过调整上述三个环节的权重和参数，使得控制系统能够尽可能快速地响应控制信号，并且保持控制精度和稳定性。 2. 什么是状态空间法？简要描述其主要思想。 答：状态空间法是用于描述动态系统的一种方法。其主要思想是将系统的状态表示为一组变量的集合，通过对这些变量的微分方程建模来描述系统的动态行为。状态空间模型包括状态方程和输出方程，其中状态方程描述了系统状态的变化规律，输出方程描述了系统输出与状态之间的关系。通过求解状态方程和输出方程，可以得到系统的状态响应和输出响应，进而对系统进行分析和设计。 三、计算题 1. 给定一个具有状态方程和输出方程如下的系统，求解其状态和输出的完整响应。 状态方程： \[\dot{x} = Ax + Bu\] \[y = Cx + Du\] 其中，矩阵A为 \[A = \begin{bmatrix} -1 & 2 \\ 3 & -4 \end{bmatrix}\]

现代控制理论试卷答案3套

现代控制理论试卷 1 一、(10分)判断以下结论，若是正确的，则在括号里打√，反之打× (1)用独立变量描述的系统状态向量的维数是唯一。（） (2)线性定常系统经过非奇异线性变换后，系统的能观性不变。（） (3)若一个系统是李雅普诺夫意义下稳定的，则该系统在任意平衡状态处都是稳定的。（） (4)状态反馈不改变被控系统的能控性和能观测性。（） (5)通过全维状态观测器引入状态反馈来任意配置系统的闭环极点时，要求系统必须同时能控和能观的。（） 二、（12分）已知系统 1001 010,(0)0 0121 x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ == ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭ ，求() x t. 三、(12分) 考虑由下式确定的系统： 2 s+2 (s)= 43 W s s ++ ，求其状态空间实现的能 控标准型和对角线标准型。 四、（9分）已知系统[] 210 020,011 003 x x y ⎡⎤ ⎢⎥ == ⎢⎥ ⎢⎥ - ⎣⎦ ，判定该系统是否完全能观？

五、(17分) 判断下列系统的能控性、能观性；叙述李亚普诺夫稳定性的充要条件并分析下面系统的稳定性. []x y u x x 11103211=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--= 六、（17分）已知子系统 1∑ 111121011x x u -⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥ -⎣⎦⎣⎦，[]1110y x = 2∑ []22222110,01011x x u y x -⎡⎤⎡⎤ =+=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦ 求出串联后系统的状态模型和传递函数. 七、（15分）确定使系统2001020240021a x x u b -⎡⎤⎡⎤ ⎢⎥⎢⎥=-+⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦ 为完全能控时，待定参数的取值范围。 八、（8分）已知非线性系统 ⎩⎨⎧ --=+-=21122 11sin 2x a x x x x x 试求系统的平衡点，并确定出可以保证系统大范围渐近稳定的1a 的范围。

现代控制理论基础试卷及答案

现代控制理论基础试卷 1、①已知系统u u u y y 222++=+ ，试求其状态空间最小实现。（5分） ②设系统的状态方程及输出方程为 11000101;0111x x u ⎡⎤⎡⎤ ⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦ []001y x = 试判定系统的能控性。（5分） 2、已知系统的状态空间表达式为 00001⎛⎫⎡⎤ =+ ⎪⎢⎥ ⎝⎭⎣⎦x x u t ；[]x y 01=； ⎥⎦ ⎤⎢⎣⎡=11)0(x 试求当0;≥=t t u 时，系统的输出)(t y 。（10分） 3、给定系统的状态空间表达式为 u x x ⎥⎥ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=100100110100013 ，211021y x -⎡⎤ =⎢⎥⎣⎦ 试确定该系统能否状态反馈解耦，若能，则将其解耦（10分）

4、给定系统的状态空间表达式为 []12020110,1001011--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦ x x u y x 设计一个具有特征值为 1 1 1---，，的全维状态观测器（10分） 5、①已知非线性系统 ⎩⎨⎧--=+-=2112 211sin 2x a x x x x x 试求系统的平衡点，并确定出可以保证系统大范围渐近稳定的1a 的范围。（5分） ②判定系统112 21223x x x x x x =-+⎧⎨=--⎩在原点的稳定性。(5) 6、已知系统 u x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=110011 ，试将其化为能控标准型。（10分） 7、已知子系统 1∑ 111121011x x u -⎡⎤⎡⎤ =+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，[]1110y x = 2∑ []22222110,01011x x u y x -⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦ 求出串联后系统

现代控制理论试卷及答案-总结

2012年现代控制理论考试试卷 一、〔10分，每题1分〕试判断以下结论的正确性，假设结论是正确的， 〔 √ 〕1. 由一个状态空间模型可以确定惟一一个传递函数。 〔 √ 〕2. 假设系统的传递函数不存在零极点对消，则其任意的一个实现均为最小实现。 〔 × 〕3. 对一个给定的状态空间模型，假设它是状态能控的，则也一定是输出能控的。 〔 √ 〕4. 对线性定常系统x Ax =，其Lyapunov 意义下的渐近稳定性和矩阵A 的特征值都具有负实部是一致的。 〔 √ 〕5.一个不稳定的系统，假设其状态完全能控，则一定可以通过状态反馈使其稳定。 〔 × 〕6. 对一个系统，只能选取一组状态变量； 〔 √ 〕7. 系统的状态能控性和能观性是系统的结构特性，与系统的输入和输出无关； 〔 × 〕8. 假设传递函数1()()G s C sI A B -=-存在零极相消，则对应的状态空间模型描述的系统是不能控且不能观的； 〔 × 〕9. 假设一个系统的某个平衡点是李雅普诺夫意义下稳定的，则该系统在任意平衡状态处都是稳定的； 〔 × 〕10. 状态反馈不改变系统的能控性和能观性。

二、已知以下图电路，以电源电压u(t)为输入量，求以电感中的电流和电容中的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻R2上的电压为输出量的输出方程。〔10分〕 解：〔1〕由电路原理得： 1 12 212 1111222 11 1 11L L c L L c c L L di R i u u dt L L L di R i u dt L L du i i dt c c =--+=- +=- 222R L u R i = 11221111 22 21011000110L L L L c c R i i L L L R i i u L L u u c c ⎡⎤ --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥ =-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢ ⎥⎣⎦ []1222 00L R L c i u R i u ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦

现代控制理论试题(详细答案)

现代控制理论试题(详细答案) LT

[]010,10401x x u y x ⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ …. .….…….（3分） 四、将下列状态方程u x x ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11 4321 化为能控标准形。(8分) 解 []⎥⎦ ⎤ ⎢ ⎣⎡-==7111Ab b U C ……..…………….…….（1分） ()⎥⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎢ ⎣⎡-=-8181 81871C U ……..…………..…….…….（1分） 1118 8P ⎡⎤ =-⎢⎥⎣⎦ ……..………….…..…….…….（1分） ⎥⎦ ⎤ ⎢ ⎣⎡=434 12P ……..………….…...…….…….（1分） ⎥⎥⎥⎦ ⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=434 1 8181 21P P P 1314 88114 8P -⎡⎤-⎢⎥ =⎢⎥--⎢⎥⎣⎦ ..………….…...…….…….（1分） 101105C A PAP -⎡⎤ ==⎢⎥ -⎣⎦………….…...…….…….（1分） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎣⎡-==1011 434 1818 1Pb b C ……….…...…….…….（1分） u x x ⎥⎦ ⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=10 51010 ……….…...…….…….（1分） 五、利用李亚普诺夫第一方法判定系统1211x x -⎡⎤ =⎢⎥--⎣⎦ 的稳定性。（8分） 解

2 12231 1I A λλλλλ+-⎡⎤⋅-==++⎢⎥+⎣⎦…………...……....…….…….（3分） 特征根1λ=-±…………...…...…….…….（3分） 均具有负实部，系统在原点附近一致渐近稳定…...…….…….（2 分） 六、利用李雅普诺夫第二方法判断系统1123-⎡⎤ =⎢⎥-⎣⎦ x x 是否为大范围渐近稳定： （8分） 解 11 1212 22p p P p p ⎡⎤ =⎢ ⎥⎣⎦ T A P PA I +=-…………...……....…….…….（1分） 111211122212 22241 420261 p p p p p p p -+=-⎧⎪ -+=⎨⎪-=-⎩………...……....…….…….（1分） 112212743858p p p ⎧=⎪ ⎪ =⎨⎪ =⎪⎩ ………...…………....…….…….（1分） 11 1212 227 5485 38 8p p P p p ⎡⎤⎡⎤⎢⎥ ==⎢ ⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ ...…………....…….…….（1分） 1112111222757 17480 det det 05346488p p P p p ⎡⎤ ⎡⎤⎢⎥= >==>⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ⎣⎦ ………...（1分） P 正定，因此系统在原点处是大范围渐近稳定的.………（1