现代控制理论试卷及答案-总结

、〔10分,每小题1分〕试判断以下结论的正确性,若结论是正确的, 一

〔√〕1. 由一个状态空间模型可以确定惟一一个传递函数.

〔√〕2. 若系统的传递函数不存在零极点对消,则其任意的一个实现均为最小实现.

〔×〕 3. 对一个给定的状态空间模型,若它是状态能控的,则也一定是输出能控的.

〔√〕4. 对线性定常系统x = Ax ,其Lyapunov意义下的渐近稳定性和

矩阵A的特征值都具有负实部是一致的.

〔√〕5.一个不稳定的系统,若其状态彻底能控,则一定可以通过状态

反馈使其稳定.

〔×〕 6. 对一个系统,只能选取一组状态变量；

〔√〕7. 系统的状态能控性和能观性是系统的结构特性,与系统的输

入和输出无关；

〔×〕 8. 若传递函数G(s) = C(sI 一A)一1 B 存在零极相消,则对应的状态空间模型描述的系统是不能控且不能观的；

〔×〕9. 若一个系统的某个平衡点是李雅普诺夫意义下稳定的,则该

系统在任意平衡状态处都是稳定的；

〔×〕 10. 状态反馈不改变系统的能控性和能观性.

二、已知下图电路,以电源电压 u为输入量,求以电感中的电流和

电容中的电压作为状态变量的状态方程,和以电阻 R2 上的电压为输

出量的输出方程.〔10 分〕

解：〔1〕由电路原理得：

二．〔10 分〕图为 R-L-C 电路,设u 为控制量,电感L 上的支路电流和 电容 C 上的电压x 为状态变量,电容 C 上的电压x 为输出量,试求： 网

2 2

络的状态方程和输出方程,并绘制状态变量图.

解：此电路没有纯电容回路,也没有纯电感电路,因有两个储能元件, 故有独立变量.

以 电感 L 上 的 电流和 电容两端 的 电压为状态变量 , 即令：

i L = x 1 , u c = x 2

,由基尔霍夫电压定律可得电压方程为： • •

y y

2

1 =

-

x x

21

+ u

三、 〔每小题 10 分共 40 分〕基础题

〔1〕试求 y - 3y - 2y = u + u 的一个对角规 X 型的最小实现.〔10 分〕

Y(s) = s 3 + 1 = (s +1)(s 2 - s +1) = s 2 - s +1 = 1+ 1

+ -1 …………4 分

不妨令

X (s)1 = 1 ,

X (s)2 = - 1 …………2 分 于是有 又

Y(s)

U(s)

= 1+ X (s)1

U(s)+ X (s)

2U(s)

,所以Y(s) = U (s) + X 1 (s) + X 2 (s) , 即有

y = u + x + x …………2 分

1 2

最终的对角规 X 型实现为

则系统的一个最小实现为：

=「|2 0 ]+「| 1 ]

|

u, y = [1 1…………2 分 U (s) s 3 - 3s - 2 (s +1)(s 2 - s - 2) s 2 - s - 2 s - 2 s + 1 L 0 -1-1」

U (s) s - 2 U (s) s + 1

从上述两式可解出x 1 ,x 2 ,即可得到状态空间表达式如下：

〔2〕已知系统 =「| 0 1]| +「|1]

|

u, y = [1 -2] ,写出其对偶系统,判断该

系统的能控性与其对偶系统的能观性.〔10 分〕

解答：

= 10 3-2

+ -12 u

…………………………2 分

y = [1 2] ……………………………………2 分

〔3〕设系统为

试求系统输入为单位阶跃信号时的状态响应〔10 分〕 .

解

(t )=「|e

-t 0 ]|

L 0 e -2t 」……………………………..…….……..3 分

(t) = (t )(0) + j 0

t (t )u(t )d τ

……….….……….……..3 分

=

11

+ j 0t

1

1d τ ….……..2 分

=「| e

-t ]| + j t 「| e -(t -t ) ]|d τ

L e -2t 」 0 |L e -2(t -t )」| .................................................................................... 1 分

=

(1- e

1(1-2

= 21 (1 e -2t )

………………..1 分

〔4〕已知系统 x =

01 01x + 11

u 试将其化为能控标准型.〔10 分〕 「0 1 ]

解： u c = 11 02 , u -c 1 =

|L 21 - 21 」

| ............

2 分 p 1

= [0 1]u -c

1 = [0 1]

-

1

21

= [21 - 2

1].…….1 分 p 2

= p 1

A = [21

- 2

1]

01 01

= [21 2

1].……..1 分 L -2 3」 L 2」

「 1 - 1 ] 「 1 1]

P = |

L 2

12」| ,P -1 = |L -1 1」

| ....................2 分

能控标准型为x =「|0 1]|x +「|0]

|u

........ 4 分 四、设系统为

试对系统进行能控性与能观测性分解,并求系统的传递函数.〔10 分〕 解：

能控性分解：

能观测性分解： 传递函数为g(s) =

=

(2分)

五、试用李雅普诺夫第二法,判断系统 x •

=「| 0 1 ]| x 的稳定性.〔10

分〕

方法一：

解： x 1

= x 2

原点 x =0是系统的惟一平衡状态 .选取标准二次型函数为李雅

e

普诺夫函数,即

当x 1 = 0 ,x 2 = 0 时, v(x) = 0 ；当x 1 丰 0 ,x 2 = 0 时,v(x) = 0 ,因此v(x) 为 负半定.根据判断,可知该系统在李雅普诺夫意义下是稳定的. 另选一个李雅普诺夫函数,例如：

为正定,而

为负定的,且当 x ) w ,有V (x)) w .即该系统在原点处是大 X 围渐进 稳定. 方法二：

• • •

•

L -1 -1」

L 0 1」 L 1」

解：或者设P =

则由 A T P + PA = -I 得

+

=

可知 P 是正定的.因此系统在原点处是大 X 围渐近稳定的

六、 〔20 分〕线性定常系统的传函为 Y (s) = s +4

U (s) (s + 2)(s +1)

〔1〕实现状态反馈,将系统闭环的希翼极点配置为(-4,-3),求反馈阵

K .〔5 分〕

〔2〕试设计极点为(-10,-10) 全维状态观测器〔5 分〕 . 〔3〕绘制带观测器的状态反馈闭环系统的状态变量图〔4 分〕 〔4〕分析闭环先后系统的能控性和能观性〔4 分〕

注明：由于实现是不惟一的,本题的答案不惟一！其中一种答案为：

解：〔1〕 Y (s) = s + 4 = s + 4

U (s) (s + 2)(s +1) s 2 + 3s + 2

系统的能控标准型实现为： X =「| 0 1 ]| X +「|0]| u, y = [4 1]X ……1 分

系统彻底可控,则可以任意配置极点……1 分 令状态反馈增益阵为K = [k k ]……1 分

1 2

则有A - BK =「| 0 1 ]|

,则状态反馈闭环特征多项式为

又期望的闭环极点给出的特征多项式为： (s + 4)(s + 3) = s 2+ 7s +12

由入2 + (k + 3)入 + (k + 2) = s 2 + 7s +12 可得到K = [

4 10

]……3 分

1 2

〔2〕观测器的设计：

L -k 2 - 2 -k 1

- 3」 L -2 -3」 L 1」

由传递函数可知,原系统不存在零极点相消,系统状态彻底能观,可以

任意配置观测器的极点.……1 分 令E = [e e ]T ……1 分

1 2

由观测器 = (A - EC)+ Bu + Ey 可得其期望的特征多项式为:

f * (s) = f (s) 亭 E = - 311 395

T ……4 分

〔3〕绘制闭环系统的摹拟结构图

第一种绘制方法：

……4 分

〔注：观测器输出端的加号和减号应去掉！不好意思, 刚发现！！〕

第二种绘制方法：

〔4〕闭环前系统状态彻底能控且能观,闭环后系统能控但不能观〔因 为状态反馈不改变系统的能控性 ,但闭环后存在零极点对消 ,所以系 统状体不彻底可观测〕……4 分

A 卷

-

+

-

4

1 s

3

2

x 2

1 s

x

1

x

1

4

+ + y

10

+

+

22 - 3

+ +

1 s 2

22 - 3

58 -

3

4 3

22 - 3 + +

+

1

+ + - s

1 4 4

3

v u +

-

+

+

+

+

一、判断题,判断下例各题的正误,正确的打√ , 错误的打×〔每小题1 分,共10 分〕

1、状态方程表达了输入引起状态变化的运动,输出方程则表达了状态引起输出变化的变换过程〔√〕

2、对于给定的系统,状态变量个数和选择都不是惟一的〔×〕

3、连续系统离散化都没有精确离散化,但近似离散化方法比普通离散化方法的精度高〔×〕

4、系统的状态转移矩阵就是矩阵指数〔×〕

5、若系统的传递函数存在零极点相消,则系统状态不彻底能控〔×〕

6、状态的能空性是系统的一种结构特性,依赖于系统的结构, 与系统的参数和控制变量作用的位置有关〔√〕

7、状态能控性与输出能控性之间存在必然的联系〔×〕

8、一个传递函数化为状态方程后,系统的能控能观性与所选择状态变量有关〔√ 〕

9、系统的内部稳定性是指系统在受到小的外界扰动后,系统状态方程解的收敛性,与输入无关〔√〕

10、若不能找到合适的李雅普诺夫函数,那末表明该系统是不稳定的〔×〕

二、已知系统的传递函数为

试分别用以下方法写出系统的实现：

(1) 串联分解

(2) 并联分解

(3) 直接分解

(4) 能观测性规X 型〔20 分〕

解：

2

对于s3 +10s2 + 31s + 30 有

(1) 串联分解

串联分解有多种,如果不将 2 分解为两个有理数的乘积,如2 = 1 8 ,绘制该系统串联分解的结

4

构图,然后每一个惯性环节的输出设为状态变量,则可得到系统四种典型的实现为：

则对应的状态空间表达式为：

需要说明的是, 当交换环节相乘的顺序时,对应地交换对应行之间对角线的元素

. . 的实现为：〈

0 0

一311]X

X + u

则

. .

的实现为：〈

0一311]X

X + u

挨次类推！！ (2) 并联分解

实现有无数种,若实现为〈

X = X + 2

1u

只要满足

y = [c L 1 c 2 c 3

]

2 1

〔3〕直接分解

〔4〕能观测规 X 型

三、给定一个二维连续时间线性定常自治系统 = A , t > 0 .现知,对应于两个不同初态的状

态响应分别为

试据此定出系统矩阵A.〔10 分〕

解： x(t) = e At x(0) 可得

四、已知系统的传递函数为

〔1〕试确定 a 的取值,使系统成为不能控,或者为不能观测；

〔2〕在上述 a 的取值下,写出使系统为能控的状态空间表达式,判断系统的能观测性； 〔3〕若a = 3 ,写出系统的一个最小实现.〔15 分〕

解：〔1〕因为

因此当a = 1 或者a = 2 或者a = 3 时, 浮现零极点对消现象,系统就成为不能控或者不能观测的系统 〔2〕可写系统的能控标准形实现为此问答案不惟一 存在零极相消,系统不能观 〔3〕 a = 3 ,则有G(s) =

2 3 一1 3 如

例如： s 3 + 10s 2 + 31s +30 = (s + 2) + (s + 3) + (s + 5)

,则其实现可以为：

可写出能控标准形最小实现为

此问答案不惟一,可有多种解

五、已知系统的状态空间表达式为 〔1〕判断系统的能控性与能观测性； 〔2〕若不能控,试问能控的状态变量数为多少？ 〔3〕试将系统按能控性进行分解； 〔4〕求系统的传递函数.〔15 分〕 解：〔1〕系统的能控性矩阵为

U C = [b Ab ]= 10 -20

, det U C = 0, rankU C = 1 < 2

故系统的状态不能控

系统的能观测性矩阵为

「 c ] 「 2 5 ]

故系统的状态不能观测 4 分

〔2〕 rankU = 1 , 因此能控的状态变量数为 1

C

〔3〕由状态方程式

可知是x 能控的, x 是不能控的

2 1

〔4〕系统的传递函数为

1 分

2 分

G(s) = c (sI - A )-1 b = c (sI - A )-1 b = 5 只与能控子系统有关

六、给定系统

解李雅普诺夫方程,求使得系统渐近稳定的 a 值 X 围.〔10 分〕

七、伺服机电的输入为电枢电压,输出是轴转角,其传递函数为

〔1〕设计状态反馈控制器u = -Kx + v ,使得闭环系统的极点为-5 士 j5 ；

〔2〕设计全维状态观测器,观测器具有二重极点－15；

〔3〕将上述设计的反馈控制器和观测器结合,构成带观测器的反馈控制器,画出闭环系统的状 态变量图；

〔4〕求整个闭环系统的传递函数.〔20 分〕 第二章题 A 卷

第一题：判断题,判断下例各题的正误,正确的打√ ,错误的打× 〔每小题 1 分,共 10 分〕 11、状态方程表达了输入引起状态变化的运动,输出方程则表达了状态引起输出变化的变换 过程〔 √〕

12、对于给定的系统,状态变量个数和选择都不是惟一的〔×〕

13、连续系统离散化都没有精确离散化,但近似离散化方法比普通离散化方法的精度高〔×〕

3 分

2 2 2

s + 2

U O

= |L cA 」| = |L 19 -10」

| , det U C = -115 丰 0, rankU O = 2

14、系统的状态转移矩阵就是矩阵指数〔×〕

15、若系统的传递函数存在零极点相消,则系统状态不彻底能控〔×〕

16、状态的能空性是系统的一种结构特性 ,依赖于系统的结构, 与系统的参数和控制变量作 用的位置有关〔 √〕

17、状态能控性与输出能控性之间存在必然的联系〔×〕

18、一个传递函数化为状态方程后,系统的能控能观性与所选择状态变量有关〔√〕 19、系统的内部稳定性是指系统在受到小的外界扰动后,系统状态方程解的收敛性,与输入无 关〔 √〕

20、若不能找到合适的李雅普诺夫函数,那末表明该系统是不稳定的〔×〕

第二题：已知系统的传递函数为G(s) =

= ,试分别用以下方法写

出系统的实现：

(5) 串联分解〔4 分〕 (6) 并联分解〔4 分〕 (7) 直接分解〔4 分〕 (8) 能观测性规 X 型〔4 分〕

(9) 绘制串联分解实现时系统的结构图〔4 分〕

解：

s

对于

有

s 3 +10s 2 + 31s + 30

(3) 串联分解 串联分解有三种

s = s . 1 . 1 = 1 . s . 1 = 1 . 1 . s s 3 +10s 2 + 31s + 30 (s + 1) (s + 2) (s + 3) (s + 1) (s + 2) (s + 3) (s + 1) (s + 2) (s + 3) = (1

).

.

=

.(1

).

=

.

(1

)

对应的状态方程为：

(4) 并联分解

实现有无数种,其中之三为： 〔3〕直接分解 〔4〕能观测规 X 型 (10) 结构图

第二章题 B 卷

第一题：判断题,判断下例各题的正误,正确的打√ ,错误的打× 〔每小题 1 分,共 10 分〕 1、状态空间模型描述了输入-输出之间的行为,而且在任何初始条件下都能揭示系统的内部 行为〔 √〕

2、状态空间描述是对系统的一种彻底的描述,而传递函数则只是对系统的一种外部描述〔√〕

3、任何采样周期下都可以通过近似离散化方法将连续时间系统离散化〔×〕

4、对于一个线性系统来说,经过线性非奇妙状态变换后,其状态能控性不变〔 √〕

5、系统状态的能控所关心的是系统的任意时刻的运动〔×〕

6、能观〔能控〕性问题可以转化为能控〔能观〕性问题来处理〔√〕

7、一个系统的传递函数所表示的是该系统既能控又能观的子系统〔√〕

8、一个系统的传递函数若有零、 极点对消现象,则视状态变量的选择不同,系统或者是不能控的

Y(s) s 3 +10s 2 + 31s + 32

U (s) (s 2 + 5s + 6)(s + 1)

或者是不能观的〔 √〕

9、对于一个给定的系统,李雅普诺夫函数是惟一的〔 ×〕 10、若系统对所有有界输入引起的零状态响应的输出是有界的,则称该系统是外部稳定的〔√〕 第二题： 求以下 RLC 网络系统的状态空间模型, 并绘制其结构图.取电压 e_i 为输入,e_o 为输 出.其中 R 1 、R 2 、C 和 L 为常数.

第二题图

答案:

解： 〔状态变量可以另取〕

定义状态变量： x 1 为电阻两端电压 v,x 2 为通过电感的电流 i.输入 u 为 e_i ,输出 y 为e_o .使用 基尔霍夫电流定理列 R 1 和 R 2 间节点的电流方程：

使用基尔霍夫电压定理列出包含 C 、R 2 、L 回路的电压方程： 最后,输出电压的表达式为： 得到状态空间模型： 结构图为：

第三题： 如图所示,系统的输入量为 u 1 和 u 2、输出量为 y 和请选择适当的状态变量,并写出系 统的状态空间表达式,根据状态空间表达式求系统的闭环传递函数：

第三题图 解：状态变量如下图所示〔3 分〕

从方框图中可以写出状态方程和输出方程〔4〕 状态方程的矩阵向量形式： 系统的传递函数为〔3 分〕：

. 解：由电路图可知：

图1 ：RC 无源网络

可得：

选

,,

=

所以可以得到：

解：运用公式可得：

可得传递函数为：

解：先求出系统的.

可得：

令

,

X+

解：计算算式为：

所以：

解：由于 A 无特定形式,用秩判据简单.

因此,不管 a 去何值都不能够联合彻底能控和彻底能观测

解：〔1〕选取李雅普若夫函数V,取,可知：

V<0>=0,

即

〔2〕计算基此可知：即：

〔3〕判断

和出：

为正定.

并判断其定号性.对取定和系统状态方程,计算得到：为负半定.

.对此, 只需判断的

不为系统状态方程的解.为此,将带入状态方程, 导

表明,状态方程的解只为, 不是系统状态方程的解.通过类似分析也可以得证不是系统状态方程的解. 基此, 可知判断

.

〔4〕综合可知,对于给定非线性时不变系统,可构造李雅普若夫函数判断满足：

V为正定, 为负定；对任意,

当,有

基此,并根据李雅普若夫方法渐近稳定性定理知：系统原点平衡状态为大X 围渐近稳定.

解：可知,系统彻底可控,可以用状态反馈进行任意极点配置. 由于状态维数为 3 维.

所以设.

系统期望的特征多项式为：

而

令,二者相应系数相等.

得：

5 3 ]

即： 验证：

A 卷

二、基础题〔每题 10 分〕

1、给定一个二维连续时间线性定常自治系统 = A , t > 0 .现知,对应于两个不同初态的状 态响应分别为

试据此定出系统矩阵 A .

解： x(t) = e At x(0) 2 分

可得

e At = 4 4

「| 1 (e -t + e 3t )

4 分

4 e -t + 4 e 3t |「 1 -

5 e -t + 3 e 3t |L -1 1 1 ] 21 (e -t + e 3t )」

2 ]-1 「| 4

3 e -t + 41 e 3t -1」| = - 23 e -t + 21

e 3t

45 e -t + 43

e 3t ]

|

「-1 - 25 e -t + 23

e 3t 」 |L 1

-2] 1 」| A =

=

-

t

e

3t

14-

4

3

t =0 = 41 1

1 2、设线性定常连续时间系统的状态方程为

取采样周期T = 1s ,试将该连续系统的状态方程离散化. 解：① 首先计算矩阵指数.采用拉氏变换法：

e t = L -1 (s -

)-1 = L -1〈

-1

= L -1

2

2)

=

3 分

② 进而计算离散时间系统的系数矩阵.

= e T =「|1 0.5 (1- e -2T )] T 「

1

4 分

0.4323] 0.1353」|

2 分 「

3 e -t + 1 e 3t |L 0 e -2T 」

|| 将T = 1s 代入得 = e = |L 0 - 4 e -t + 4 e 3t

| |- 3 e -t + 1 e 3t |L 2 2 = | 2

||L -e -t + e 3t

2 2 」|

=

(

j T

)

B =〈

(|j T「|1

0 |l 0 |L0

0.5

(

1- e-2t

)] )|「0

]

「0.5T + 0.25e-2T - 0.25]

=

|L -0.5e-2T + 0.5 」|

「1.0789]

= | |

③故系统离散化状态方程为

x

x

2

1 = x

x

2

1

k

k

+ u (k ) 2 分

3、已知系统的传递函数为

〔1〕试确定a 的取值,使系统成为不能控,或者为不能观测；

〔2〕在上述a 的取值下,写出使系统为能控的状态空间表达式,判断系统的能观测性；〔3〕若a = 3 ,写出系统的一个最小实现.〔10 分〕

解：〔1〕因为

因此当a = 1 或者a = 2 或者a = 3 时, 浮现零极点对消现象,系统就成为不能控或者不能观测的系

统 3 分

〔2〕可写系统的能控标准形实现为此问答案不惟一

x =

-

x + u y =

[2a 2 0]x

3 分

存在零极相消,系统不能观 1 分

〔3〕a = 3 ,则有G(s) =

可写出能控标准形最小实现为

此问答案不惟一,可有多种解

三、已知系统的状态空间表达式为

3 分

〔1〕判断系统的能控性与能观测性；

〔2〕若不能控,试问能控的状态变量数为多少？

〔3〕试将系统按能控性进行分解；

〔4〕求系统的传递函数.〔10 分〕

解：〔1〕系统的能控性矩阵为

U

C

= [b Ab]=

1

-2

, det U

C

= 0, rankU

C

= 1 < 2

3 分

L0.4323」

|dt卜||

e-2t 」| J|L 1」

故系统的状态不能控

系统的能观测性矩阵为

「 c ] 「 2 5 ] U O

= | | = | | ,

detU = -115 丰 0, rankU = 2 C O

4 分

〔2〕 rankU = 1 , 因此能控的状态变量数为 1 1 分 C

〔3〕由状态方程式

可知是x 能控的, x 是不能控的 2 分

3 分

B 卷

二、基础题〔每题 10 分〕

1、给定一个连续时间线性定常系统, 已知状态转移矩阵个(t) 为 试据此定出系统矩阵 A .

解：

A =〈

dt d

(t) 卜J

t =0

=

t =0

「 0 2 ] = | |

2、设线性定常连续时间系统的状态方程为

取采样周期T = 1s ,试将该连续系统的状态方程离散化.

解：① 首先计算矩阵指数.采用拉氏变换法： ② 进而计算离散时间系统的系数矩阵.

「 1 T ] 「1 1]

= e T = |L 0 1」|将T = 1s 代入得 = e T = |L 0 1」| ③ 故系统离散化状态方程为 3、已知系统的传递函数为

试写出系统的能控标准形实现.〔10 分〕

解：系统的能控标准形实现为

三、试确定下列系统当 p 与 q 如何取值系统既能控又能观.〔10 分〕 解：系统的能控性矩阵为

其行列式为 det [b Ab ]= p 2 + p - 12

根据判定能控性的定理 , 若系统能控 , 则系统能控性矩阵的秩为 2,亦即行列式值不为

2 1

〔4〕系统的传递函数为

G(s) = c (sI - A )-1 b = c (sI - A )-1 b = 5 只与能控子系统有关

2 2 2

s + 2

L -1 -3」

L cA 」 L 19 -10」 故系统的状态不能观测

[b Ab]= p2+ p - 12 丰0

0 , det

因此当p 丰3,-4 时系统能控

系统能观测性矩阵为

其行列式为

根据判定能观性的定理, 若系统能观, 则系统能观性矩阵的秩为2, 亦即「c ]

det | | = 12q2 - q - 1 丰0

L cA」

1 1

因此当q 丰, - 时系统能观

3 4

1 1

综上可知, 当p 丰3, -4 , q 丰, - 时系统既能控又能观

3 4

现代控制理论试卷及答案

现代控制理论试卷 一、简答题（对或错，10分） （1）描述系统的状态方程不是唯一的。 （2）用独立变量描述的系统状态向量的维数不是唯一的。 （3）对单输入单输出系统，如果1 ()C sI A B --存在零极点对消，则系统一定不可控或者不可观测。 （4）对多输入多数出系统，如果1()sI A B --存在零极点对消，则系统一定不可控。 （5）李雅普诺夫直接法的四个判定定理中所述的条件都是充分条件。 （6）李雅普诺夫函数是正定函数，李雅普诺夫稳定性是关于系统平衡状态的稳定性。 （8）线性定常系统经过非奇异线性变换后，系统的可控性不变。 （9）用状态反馈进行系统极点配置可能会改变系统的可观测性。 （10）通过全维状态观测器引入状态反馈来任意配置系统的闭环极点时，要求系统必须同时可控和可观测。 对一个线性定常的单输入单输出5阶系统，假定系统可控可观测，通过设计输出至输入的反馈矩阵H 的参数能任意配置系统的闭环极点。 二、试求下述系统的状态转移矩阵()t Φ和系统状态方程的解x 1(t)和x 2(t)。（15分） 1122()()012()()()230x t x t u t x t x t ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤ =+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣ ⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 12(0)0,(),0(0)1t x u t e t x -⎡⎤⎡⎤==≥⎢⎥⎢⎥ ⎣⎦ ⎣⎦ 三、设系统的传递函数为 ()10 ()(1)(2) y s u s s s s =++。试用状态反馈方法，将闭环极点配置在－2，－1＋j ，－1－j 处，并写出闭环系统的动态方程和传递函数。（15分） 四、已知系统传递函数 2()2 ()43 Y s s U s s s +=++，试求系统可观标准型和对角标准型，并画出系统可观标准型的状态变量图。（15分） 五、已知系统的动态方程为[]211010a x x u y b x ⎧⎡⎤⎡⎤ =+⎪⎢⎥⎢⎥⎨⎣⎦⎣⎦⎪=⎩ ，试确定a ，b 值，使系统完全可控、完 全可观。（15分） 六、确定下述系统的平衡状态，并用李雅普诺夫稳定性理论判别其稳定性。（15分）

现代控制理论试卷及答案-总结

、〔10分,每小题1分〕试判断以下结论的正确性,若结论是正确的, 一 〔√〕1. 由一个状态空间模型可以确定惟一一个传递函数. 〔√〕2. 若系统的传递函数不存在零极点对消,则其任意的一个实现均为最小实现. 〔×〕 3. 对一个给定的状态空间模型,若它是状态能控的,则也一定是输出能控的. 〔√〕4. 对线性定常系统x = Ax ,其Lyapunov意义下的渐近稳定性和 矩阵A的特征值都具有负实部是一致的. 〔√〕5.一个不稳定的系统,若其状态彻底能控,则一定可以通过状态 反馈使其稳定. 〔×〕 6. 对一个系统,只能选取一组状态变量； 〔√〕7. 系统的状态能控性和能观性是系统的结构特性,与系统的输 入和输出无关； 〔×〕 8. 若传递函数G(s) = C(sI 一A)一1 B 存在零极相消,则对应的状态空间模型描述的系统是不能控且不能观的； 〔×〕9. 若一个系统的某个平衡点是李雅普诺夫意义下稳定的,则该 系统在任意平衡状态处都是稳定的； 〔×〕 10. 状态反馈不改变系统的能控性和能观性. 二、已知下图电路,以电源电压 u为输入量,求以电感中的电流和 电容中的电压作为状态变量的状态方程,和以电阻 R2 上的电压为输 出量的输出方程.〔10 分〕

解：〔1〕由电路原理得： 二．〔10 分〕图为 R-L-C 电路,设u 为控制量,电感L 上的支路电流和 电容 C 上的电压x 为状态变量,电容 C 上的电压x 为输出量,试求： 网 2 2 络的状态方程和输出方程,并绘制状态变量图. 解：此电路没有纯电容回路,也没有纯电感电路,因有两个储能元件, 故有独立变量. 以 电感 L 上 的 电流和 电容两端 的 电压为状态变量 , 即令： i L = x 1 , u c = x 2 ,由基尔霍夫电压定律可得电压方程为： • • y y 2 1 = - x x 21 + u 三、 〔每小题 10 分共 40 分〕基础题 〔1〕试求 y - 3y - 2y = u + u 的一个对角规 X 型的最小实现.〔10 分〕 Y(s) = s 3 + 1 = (s +1)(s 2 - s +1) = s 2 - s +1 = 1+ 1 + -1 …………4 分 不妨令 X (s)1 = 1 , X (s)2 = - 1 …………2 分 于是有 又 Y(s) U(s) = 1+ X (s)1 U(s)+ X (s) 2U(s) ,所以Y(s) = U (s) + X 1 (s) + X 2 (s) , 即有 y = u + x + x …………2 分 1 2 最终的对角规 X 型实现为 则系统的一个最小实现为： =「|2 0 ]+「| 1 ] | u, y = [1 1…………2 分 U (s) s 3 - 3s - 2 (s +1)(s 2 - s - 2) s 2 - s - 2 s - 2 s + 1 L 0 -1-1」 U (s) s - 2 U (s) s + 1 从上述两式可解出x 1 ,x 2 ,即可得到状态空间表达式如下：

《现代控制理论》期末复习试题4套含答案(大学期末复习试题)

第 1 页 共 1 页 西 安 科 技 大 学2004—2005 学 年 第2 学 期 期 末 考 试 试 题（卷） 电控 院系： 班级： 姓名： 学号： 装 订 线 装 订 线 以 内 不 准 作 任 何 标 记 装 订 线

第 2 页 共 1 页 现代控制理论A 卷答案 1. 解： 系统的特征多项式为 2221 ()21(1)1s f s s s s s +-= =++=+ 其特征根为-1（二重），从定理知系统是渐近稳定的。 2 解：Bode 图略 解得：开环截止频率：)/(1.2s rad c =ω； 相角裕量：)(40rad r ≈ 3 解： 1）系统的传递函数阵为： 2231231))((1 ))()((1 ][)(du a s a s a s a s a s Du B A sI C s G +⎥⎦ ⎤⎢ ⎣⎡-----=+-=-

第 3 页 共 1 页 2）系统的状态结构图，现以图中标记的321,,x x x 为 u 2u 1 4解： 1）列写电枢电压u 为输入，以电流i 和旋转速度n 为输出的状态空间表达式。由于ω.πωn 559260==，可得 dt dn J dt d J 55.9=ω， 22)2(D g G mR J == 式中， m 为一个旋转体上的一个质点的质量，质量m 为该质量的重量G 和重力加速度g 之比，R 和D 分别为旋转体的半径和直径，综合上两 式可推得 dt dn GD dt dn D G dt d J 37548.955.922=⨯⨯⨯=ω 2）从而可得到电机电枢回路电压平衡和电机运动平衡的一组微分方程式

现代控制理论试卷 答案与解析

现代控制理论试卷作业 一．图为R-L-C 电路，设u 为控制量，电感L 上的支路电流 11121222121212010Y x U R R R R Y x R R R R R R ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦+++⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 和电容C 上的电压2x 为状态变量，电容C 上的电压2x 为输出量，试求：网络的状态方程和输出方程（注意指明参考 方向）。 解：此电路没有纯电容回路，也没有纯电感电路，因有两个储能元件，故有独立变量。 以电感L 上的电流和电容两端的电压为状态变量，即令：12,L c i x u x ==，由基尔霍夫电压定律可得电压方程为： 从上述两式可解出1x ∙，2x ∙ ，即可得到状态空间表达式如下： ⎥⎦⎤⎢⎣⎡21y y =⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡++-211212110R R R R R R R ⎥⎦⎤⎢⎣⎡21x x +u R R R ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+2120 二、考虑下列系统： （a ）给出这个系统状态变量的实现； （b ）可以选出参数K （或a ）的某个值，使得这个实现或者丧失能控性，或者丧失能观性，或者同时消失。 解：（a ）模拟结构图如下： 则可得系统的状态空间表达式： （b ） 因为 3023A -⎡⎢=⎢⎢⎣ 0013 k k a -⎤⎥-⎥⎥-⎦ 110b ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 所以：当1a =时，该系统不能控；当1a ≠时，该系统能控。 又因为：[2C = 1 ]0 所以：当0k =或1a =时，该系统不能观；当0k ≠且1a ≠时，该系统能观。 综上可知：当1a =时或0k =且1a =时，该系统既不能控也不能观。 三、已知系统. Ax x =∙的状态转移矩阵为：

中国地质大学22春“电气工程及其自动化”《现代控制理论》期末考试高频考点版(带答案)试卷号：2

中国地质大学22春“电气工程及其自动化”《现代控制理论》期末考试高 频考点版（带答案） 一.综合考核(共50题) 1. 下面关于非线性系统近似线性化的说法正确的是()。 A.近似线性化是基于平衡点的线性化 B.系统只有一个平衡点时，才可以近似线性化 C.只有不含本质非线性环节的系统才可以近似线性化 D.线性化后系统响应误差取决于远离工作点的程度：越远，误差越大 参考答案：ACD 2. 下面关于线性时不变连续系统Lyapunov方程说法正确的是()。 A.A渐近稳定，Q正定，P一定正定 B.A渐近稳定，Q半正定，P一定正定 C.Q半正定，P正定，不能保证A渐近稳定 D.A渐近稳定，Q半正定，且xTQx沿方程的非零解不恒为0，P一定正定 参考答案：ACD 3. 若一个系统的某个平衡点是李雅普诺夫意义下稳定的，则该系统在任意平衡状态处都是稳定的。() T.对 F.错 参考答案：F 4. 保证稳定是控制系统正常工作的必要前提，对受控系统通过反馈使其极点均具有负实部，保证系统渐近稳定称为()。 A.能控性 B.能观性 C.系统镇定 D.稳定性 参考答案：C

5. 系统渐近稳定的充分必要条件是()。 A.零输入响应在t→∞时趋于零，对应于系统的每个特征值均有负实部 B.零输入响应在t→∞时趋于零，对应于系统的每个特征值均有正实部 C.零输入响应在t→0时趋于零，对应于系统的每个特征值均有负实部 D.零输入响应在t→0时趋于零，对应于系统的每个特征值均有正实部 参考答案：A 6. 状态方程表达了输入引起状态变化的运动，输出方程则表达了状态引起输出变化的变换过程。() T.对 F.错 参考答案：T 7. 经典控制理论用于解决反馈控制系统中控制器的分析与设计的问题，它一般适用于()。 A.单输入单输出线性定常系统 B.多输入多输出线性定常系统 C.时变系统 D.非线性系统 参考答案：A 8. 下面关于状态矢量的非奇异线性变换说法正确的是()。 A.对状态矢量的线性变换实质是换基 B.非奇异线性变换后的系统特征值不变 C.非奇异线性变换后的系统运动模态不变 D.同一线性时不变系统的两个状态空间描述不可以非奇异线性变换互相转换 参考答案：ABC 9. 系统输入对状态空间中任意初始状态控制到平衡态的能力称为()。 A.状态能观性

现代控制理论试卷答案3套

现代控制理论试卷 1 一、(10分)判断以下结论，若是正确的，则在括号里打√，反之打× (1)用独立变量描述的系统状态向量的维数是唯一。（） (2)线性定常系统经过非奇异线性变换后，系统的能观性不变。（） (3)若一个系统是李雅普诺夫意义下稳定的，则该系统在任意平衡状态处都是稳定的。（） (4)状态反馈不改变被控系统的能控性和能观测性。（） (5)通过全维状态观测器引入状态反馈来任意配置系统的闭环极点时，要求系统必须同时能控和能观的。（） 二、（12分）已知系统 1001 010,(0)0 0121 x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ == ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭ ，求() x t. 三、(12分) 考虑由下式确定的系统： 2 s+2 (s)= 43 W s s ++ ，求其状态空间实现的能 控标准型和对角线标准型。 四、（9分）已知系统[] 210 020,011 003 x x y ⎡⎤ ⎢⎥ == ⎢⎥ ⎢⎥ - ⎣⎦ ，判定该系统是否完全能观？

五、(17分) 判断下列系统的能控性、能观性；叙述李亚普诺夫稳定性的充要条件并分析下面系统的稳定性. []x y u x x 11103211=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--= 六、（17分）已知子系统 1∑ 111121011x x u -⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥ -⎣⎦⎣⎦，[]1110y x = 2∑ []22222110,01011x x u y x -⎡⎤⎡⎤ =+=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦ 求出串联后系统的状态模型和传递函数. 七、（15分）确定使系统2001020240021a x x u b -⎡⎤⎡⎤ ⎢⎥⎢⎥=-+⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦ 为完全能控时，待定参数的取值范围。 八、（8分）已知非线性系统 ⎩⎨⎧ --=+-=21122 11sin 2x a x x x x x 试求系统的平衡点，并确定出可以保证系统大范围渐近稳定的1a 的范围。

现代控制理论基础试卷及答案

现代控制理论基础试卷 1、①已知系统u u u y y 222++=+ ，试求其状态空间最小实现。（5分） ②设系统的状态方程及输出方程为 11000101;0111x x u ⎡⎤⎡⎤ ⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦ []001y x = 试判定系统的能控性。（5分） 2、已知系统的状态空间表达式为 00001⎛⎫⎡⎤ =+ ⎪⎢⎥ ⎝⎭⎣⎦x x u t ；[]x y 01=； ⎥⎦ ⎤⎢⎣⎡=11)0(x 试求当0;≥=t t u 时，系统的输出)(t y 。（10分） 3、给定系统的状态空间表达式为 u x x ⎥⎥ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=100100110100013 ，211021y x -⎡⎤ =⎢⎥⎣⎦ 试确定该系统能否状态反馈解耦，若能，则将其解耦（10分）

4、给定系统的状态空间表达式为 []12020110,1001011--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦ x x u y x 设计一个具有特征值为 1 1 1---，，的全维状态观测器（10分） 5、①已知非线性系统 ⎩⎨⎧--=+-=2112 211sin 2x a x x x x x 试求系统的平衡点，并确定出可以保证系统大范围渐近稳定的1a 的范围。（5分） ②判定系统112 21223x x x x x x =-+⎧⎨=--⎩在原点的稳定性。(5) 6、已知系统 u x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=110011 ，试将其化为能控标准型。（10分） 7、已知子系统 1∑ 111121011x x u -⎡⎤⎡⎤ =+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，[]1110y x = 2∑ []22222110,01011x x u y x -⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦ 求出串联后系统

现代控制理论期末公式总结

现代控制理论期末公式总结 一、传递函数与频域分析 1. 传递函数公式： 传递函数是描述线性时不变系统输入输出关系的数学表达式，用来表示系统的动态特性。 一般形式为： H(s) = Y(s)/X(s) 其中，H(s)表示传递函数，s表示复频域变量，Y(s)和X(s)分别表示输出和输入。 2. 频域分析公式： 常见的频域分析方法包括波特图、根轨迹和Nyquist图等，用于分析系统的稳定性和频率 响应。相关公式如下： a. 波特图：H(jω) = |H(jω)|ejφ 其中，H(jω)表示传递函数在复频域的值，|H(jω)|是幅频特性，φ是相频特性。 b. 根轨迹：K(sI - A)^-1B = 0 根轨迹是描述闭环系统极点随控制参数变化情况的图形。 c. Nyquist图：L(jω) = L(Re(s),Im(s)) = |G(jω)H(jω)|ejφ Nyquist图是描述开环系统传递函数G(jω)H(jω)在复平面上轨迹的图形。 二、状态空间与观测器设计 1. 状态空间模型： 状态空间模型是用状态方程和输出方程描述动态系统的数学模型。一般形式为： ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t) + Du(t) 其中，ẋ(t)表示状态向量的导数，x(t)是状态向量，u(t)和y(t)分别是输入和输出向量，A、B、C、D是系统的系数矩阵。 2. 观测器设计公式： 观测器是一种用于估计系统状态的附加反馈环节。常见的观测器类型包括全状态反馈观测 器和Luenberger观测器。相关公式如下：

a. 全状态反馈观测器： ẋe(t) = (A - LC)x(t) + Ly(t) 其中，ẋe(t)表示观测器误差的导数，x(t)是系统状态向量，y(t)是系统输出，L是观测器的增益矩阵，A是系统的状态转移矩阵，C是输出矩阵。 b. Luenberger观测器： ẋe(t) = (A - LC)x(t) + Ly(t) 其中，ẋe(t)表示观测器误差的导数，x(t)是系统状态向量，y(t)是系统输出，L是观测器的增益矩阵，A是系统的状态转移矩阵，C是输出矩阵。 三、PID控制器设计 PID控制器是一种常见的经典控制算法，通过调节比例、积分和微分增益来实现对系统的控制。相关公式如下： u(t) = Kp[e(t) + 1/Ti∫e(τ)dτ + Tdde(t)/dt] 其中，u(t)是PID控制器输出，e(t)是控制误差，Kp、Ti和Td分别是比例、积分和微分增益。 四、最优控制理论与LQR控制器设计 最优控制理论研究如何设计最优的控制器，使得系统具有最佳的性能指标。最常用的最优控制算法之一是线性二次调节（LQR）控制器。相关公式如下： J(u) = ∫[xTQx + uTRu]dt 其中，J(u)是性能指标，x是状态向量，u是控制输入，Q和R是权重矩阵。 五、自适应控制与模型参考自适应控制器设计 自适应控制是一种根据系统实际情况自动调整控制策略的方法。其中一种常见的自适应控制算法是模型参考自适应控制（MRAC）。相关公式如下： u(t) = K(t)x(t) 其中，u(t)是自适应控制器输出，x(t)是系统状态向量，K(t)是自适应增益矩阵。 六、鲁棒控制与H∞控制器设计 鲁棒控制是一种能够处理系统参数不确定性和外部扰动的控制方法。H∞控制器是一种常见的鲁棒控制算法，通过最小化系统灵敏度函数的最大值来设计控制器。相关公式如下： H∞ problem: min ||G(w)W(w)||∞

现代控制理论知识点归纳

现代控制理论知识点归纳 现代控制理论是指20世纪后半叶发展起来的控制理论，其主要特点是运用数学、电子和计算机等高科技手段解决实际控制问题，在控制理论研究和应用方面取得了巨大成就。 本文将对现代控制理论的知识点进行归纳，以便更好地理解和掌握该学科。 1. 控制系统的基本概念。控制系统指通过对被控对象施加控制以达到预期目的的系统，由输入信号、控制器、被控对象和输出信号组成。其中输入信号指控制器对被控对象 的输入，包括指令信号、干扰信号和噪声信号；控制器是控制系统的核心，通常使用反馈 控制器、前馈控制器和组合控制器等；被控对象是控制系统中被控制的对象，包括机械系统、电力系统、化学系统等；输出信号是被控对象的响应信号，可分析其稳定性、动态性 能和鲁棒性等。 2. 系统建模和分析。将实际控制系统抽象为数学模型是现代控制理论的基础。系统 建模的方法包括基于物理原理的建模、基于经验的建模和基于统计学的建模等。针对特定 的控制问题可采用不同的建模方法。系统的分析包括稳定性分析、动态性能分析和鲁棒性 分析等。稳定性是控制系统的基本要求，通过判断系统是否稳定可以避免系统崩溃或振荡。动态性能是指控制系统对输入信号的响应能力，包括动态误差、响应时间、超调量等性能 指标。鲁棒性是指控制系统对参数变化或外界干扰的鲁棒性，越强的控制系统对各种不确 定因素的适应能力越强。 3. 控制器设计。现代控制理论的目的是设计出满足控制要求的控制器，设计控制器 的方法包括传统方法和现代方法。传统方法是指使用PID控制器、状态反馈控制器、最优 控制器等传统方法设计控制器。现代方法是指使用神经网络、模糊控制、滑动模式控制等 现代方法设计控制器。设计控制器需要综合考虑系统的稳定性、动态性能和鲁棒性等因 素。 4. 联合控制系统。现代控制理论还涉及联合控制系统的研究，即将机械、电气、电子、计算机等多方面因素融合在一起，实现更加复杂的控制任务。联合控制系统的研究需 要考虑各种子系统之间的协同和交互作用，同时要保证系统的稳定性和鲁棒性。 5. 非线性控制系统的研究。传统的控制理论主要是针对线性系统，而实际控制系统 往往是非线性的。现代控制理论对非线性控制系统进行了研究，涉及处理非线性系统的稳 定性、动态性能和鲁棒性等问题。非线性控制系统的研究涉及封闭环系统、开环控制系统等。 6. 先进控制和应用。现代控制理论发展到今天已经非常成熟，应用场景也非常广泛。在自动化、智能化、信息化等领域，现代控制理论提供了广泛的应用前景。先进控制技术 和应用包括自适应控制、模糊控制、神经网络控制、滑模控制等应用。

现代控制理论经典概念总结

第一章控制系统的状态空间表达式 L状态方程:由系统状态变量构成的一阶微分方程组 2•输出方程:在指定系统输出的情况下,该输出与状态变量间的函数关系式 3•状态空间表达式:状态方程和输出方程总合，构成对一个系统完整动态描述 4•友矩阵:主对角线上方元素均为1:最后一行元素可•取任意值;其余元素均为0 5徘奇异变^:x=Tz,z=T-lx;z=T-lATz+T-lBu,y=CTz+Du.T为任意非奇异阵(变换矩阵)，空间表达式非唯一 6•同一系统，经非奇异变换后，特征值不变;特征多项式的系数为系统的不变量 第二章控制系统状态空间表达式的解 1•状态转移矩阵:eAt,记作0>(t) 2.线性定常非齐次方程的解:x(t)=O> (t)x(O)+ f tOO> (t-T )B U(T )dT 第三章线性控制系统的能控能观性 1•能控:使系统由某一初始状态x(tO),转移到指定的任一终端状态称此状态是能控的•若系统的所有状态都是能控的, 称系统是状态完全能控 2一系统的能控性,取决于状态方程中系统矩阵A和控制矩阵b 3•—般系统能控性充要条件:(1)在T-1B中对应于相同特征值的部分，它与每个约旦块最后一行相对应的一行元素没冇全为O (2)T-1B中对于互异特征值部分，它的各行元素没有全为0的 4在系统矩阵为约旦标准型的情况卜•，系统能观的充要条件是C中对应每个约旦块开头的一列的元素不全为0 5 一约口标准型对丁•状态转移矩阵的计算，町控可观性分析方便;状态反馈则化为能控标准型;状态观测器则化为能观标准型 6•最小实现问题:根据给定传递函数阵求对应的状态空间表达式，其解无穷多，但其中维数最小的那个状态空间表达式是最常用的. 第五章线性定常系统综合 1•状态反馈:将系统的每一个状态变量乘以相应的反馈系数，然后反馈到输入端与参考输入相加形成控制律，作为受控系统的控制输入K为r*n维状态反馈系数阵或状态反馈增益阵 2•输出反馈:釆用输出矢量y构成线性反馈律H为输岀反馈增益阵 3•从输岀到状态欠量导数x的反馈:A+GC 4•线性反馈:不增加新状态变量,系统开环与闭坏同维，反馈增益阵都是常矩阵 动态补偿器:引入一个动态子系统来改善系统性能 5.(1)状态反馈不改变受控系统的能控性 (2)输出反馈不改变受控系统的能控性和能观性 6•极点配置问题:通过选择反馈增益阵，将闭环系统的极点恰好配置在根平面上所期望的位置，以获得所希望的动态性能 (1) 采用状态反馈对系统任意配置极点的充要条件是E0完全能控 (2) 对完全能控的单输入-单输出系统，通过带动态补偿器的输出反馈实现极点任意配置的充要条件［1］EO完全能控［2］动态补偿器的阶数为ml (3) 对系统用从输出到x线性反馈实现闭环极点任意配置充要条件是完全能观 7•传递函数没有零极点对消现象，能控能观 &对完全能控的单输入-单输出系统,不能采用输出线性反馈来实现闭环系统极点的任意配豐 9•系统镇定:保证稳定是控制系统正常工作的必要前提，对受控系统通过反馈使其极点均具冇负实部，保证系统渐近稳定 (1) 对系统采用状态反馈能镇定的充要条件是其不能控子系统渐近稳定 (2) 对系统通过输出反馈能镇定的允要条件是其结构分解中的能控且能观子系统是输出反馈能镇定的，其余子系统是渐近稳定的

上海电力学院研究生课程-现代控制理论-试卷8-参考答案和评分标准

2102x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦的状态变量个数是cvcvx 。(4分) 试从高阶微分方程38y y y ++=能控的状态变量个数是2,能观测的状态变量个数是4分) 解：选取状态变量1x y =，2x y =，3x y =，可得 12 23 311 835x x x x x x x u y x ===--+= …..….…….（１分） 写成 01000180x ⎡⎢=⎢⎢--⎣ …．.….…….(1分）[10y =１给出线性定常系统已知系统 2 0200x ⎡⎢=⎢⎢⎣若存在控制向量序列,(u k N +N 步达到零状态，即)0=,其中k 步上是能控的。若对每一个k ,系统的所有状态都是能控的，就称系统是状态完全能控的….…….（[203=⎥⎥⎥⎤ 0140x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦x ⎢⎣⎡-=4321 =U C (C U

-- --

121x -⎡=⎢--⎣3+…………2i …………均具有负实部，系统在原点附近一致渐近稳定112 3-⎡⎤=⎢ ⎥-⎣⎦ x x 是否为大范围渐近稳定…………2210-=………010x ⎡⎢=-⎢⎢⎣１的全维状态观测器。12 3 21E E E λ+++

-- --

10ˆ010x -⎡⎢=-⎢⎢⎣1201 1 λ++23λ++1235,3,0E E E =-=-= 2 1211()10100T T T T T a a Q C A C A C a ⎡⎤ ⎢⎥⎡⎤=⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 1232,0,3E k E =-==- 1031ˆˆ011010x x u --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-++⎢⎢⎣1 2A O O A ⎛⎫= ⎪ ⎝⎭

中国地质大学22秋《现代控制理论》在线作业二答卷

地大《现代控制理论》在线作业二 试卷总分：100 得分：100 一、单选题(共10道试题，共30分) 1.系统的响应与零点相关的一类输入向量函数具有()作用。 A.阻塞 B. 传输 C. 解耦 D.稳定 答案：A 2.线性定常系统的特征值具有共轭复根，则经非奇异线性变换后，系统可转化为()规范型。 A.对角 B. 能控 C. 共轭 D.约旦 答案：C 3.维数和受控系统维数相同的观测器为()。 A.降维观测器 B. 全维观测器 C. 同维观测器 D. 以上均不正确 答案：B 4.根据线性二次型最优控制问题设计的最优控制系统一定是()的。 A.渐近稳定 B. 稳定 C. 一致稳定 D.一致渐近稳定 答案：A 5.对于惯性系统，n阶系统Z=(A,B,C)是可实现传递函数G(s)的一个最小实现的充要条件为()。 A. (A,B)能控且(A,C)不能观 B. (A,B)不能控且(A,C)能观 C. (A,B)不能控且(A,C)不能观 D. (A,B)能控且(A,C)能观 答案：D 6.对状态矢量的线性变换实质是()。 A. 换基 B. 更改系统特征值 C. 保持运动模态

D. 无意义 答案：A 7.下列关于系统按能控性分解的说明，错误的是()。 A. 只存在由不能控部分到能控部分的耦合作用 B.对于LTI系统，系统特征值分离成两部分，一部分是能控振型，一部分是不能控振型 C.结构分解形式是唯一的，结果也是唯一的 D.对于LTI系统，也可以将其作为能控性判据，不能分解成这两种形式的即为能控的 答案：C 8.对于能控能观的线性定常连续系统，采用静态输出反馈闭环系统的状态()。 A. 能控且能观 B. 能观 C. 能控 D. 以上三种都有可能 答案：A 9.由状态空间模型导出的传递函数()。 A.惟一 B.不惟一 C.无法判断 D. 皆有可能 答案：A 10.保证稳定是控制系统正常工作的必要前提，对受控系统通过反馈使其极点均具有负实部，保证系统渐近稳定称为()。 A. 能控性 B.能观性 C.系统镇定 D.稳定性 答案：C 二、多选题(共10道试题，共40分) 11.下面关于状态矢量的非奇异线性变换说法正确的是()。 A.对状态矢量的线性变换实质是换基 B.非奇异线性变换后的系统特征值不变 C.非奇异线性变换后的系统运动模态不变 D. 同一线性时不变系统的两个状态空间描述不可以非奇异线性变换互相转换 答案：ABC 12.具有相同输入输出的两个同阶线性时不变系统为代数等价系统，下列属于代数等价系统基本特征的是()。

《自动控制原理》试卷五

《自动控制原理》试卷五 1. 随动系统对（ ）要求较高。 A.快速性 B.稳定性 C.准确性 D.振荡次数 2.“现代控制理论”的主要内容是以（ ）为基础，研究多输入、多输出等控制系统的分析和设计问题。 A.传递函数模型 B.状态空间模型 C.复变函数模型 D.线性空间模型 3. 主要用于稳定控制系统，提高性能的元件称为（ ） A.比较元件 B.给定元件 C.反馈元件 D.校正元件 4. 某环节的传递函数是()5 173+++=s s s G ，则该环节可看成由（ ）环节串联而组成。 A.比例、积分、滞后 B.比例、惯性、微分 C.比例、微分、滞后 D.比例、积分、微分 5. 已知) 45(32)(22++++=s s s s s s F ，其原函数的终值=∞→t t f )(（ ） A.0 B.∞ C.0.75 D.3 6. 已知系统的单位阶跃响应函数是())1(25.00t e t x --=，则系统的传递函数是（ ） A.122+s B.15.02+s C.121+s D.1 5.01+s 7. 在信号流图中，在支路上标明的是（ ） A.输入 B.引出点 C.比较点 D.传递函数 8. 已知系统的单位斜坡响应函数是()t e t t x 205.05.0-+-=，则系统的稳态误差是（ ） A.0.5 B.1 C.1.5 D.2 9. 若二阶系统的调整时间长，则说明（ ） A.系统响应快 B.系统响应慢 C.系统的稳定性差 D.系统的精度差 10.某环节的传递函数为1 Ts +K ，它的对数幅频率特性L (ω)随K 值增加而（ ） A.上移 B.下移 C.左移 D.右移 11.设积分环节的传递函数为s K s G =)(，则其频率特性幅值A (ω)=（ ） A.ωK B.2ωK C.ω 1 D.21ω 12.根据系统的特征方程()053323=+-+=s s s s D ，可以判断系统为（ ） A.稳定 B.不稳定 C.临界稳定 D.稳定性不确定 13.二阶系统的传递函数()1 2412++=s s s G ，其阻尼比ζ是（ ） A.0.5 B.1 C.2 D.4 14.系统稳定的充分必要条件是其特征方程式的所有根均在根平面的（ ）

现代控制理论知识点归纳

第一章 1、输入-输出描述:通过建立系统输入输出间的数学关系来描述系统特性。含：传递函数、微分方程（外部描述） 2、状态空间描述通过建立状态（能够完善描述系统行为的内部变量）和系统输入输出间的数学关系来描述系统行为。 3、limg ij (s)=c,真有理分式c ≠0的常数，严格真有理分式c=0，非真有理分式c=∞ 4、输入输出描述局限性：a 、非零初始条件无法使用，b 、不能揭示全部内部行为。 5、状态变量的选取：a 、n 个线性无关的量，b 、不唯一，c 、输出量可作状态变量，d 、输入量不允许做状态变量，e 、有时不可测量，f 、必须是时间域的。 6、求状态空间描述的传递函数矩阵：G(s)=C(sI-A)-1 B+D 7、输入-输出描述——>状态空间描述（中间变量法） 8、化对角规范形的条件：系统矩阵A 的n 个特征值λ1，λ2，…, λn 两两互异，或当系统矩阵A 的n 个特征向量线性无关。 9、*x =Ax+Bu *x =A x +B u A =P -1AP B =P -1B *x =P -1* x x =P -1x u =u 10、代数重数σi ：同为λi 的特征值的个数，也为所有属于 λi 的约当小块的阶数之和。几何重数αi ：λi 对应的约当小块个数，也是λi 对应线性相关特征向量个数。 11、组合系统状态空间描述： a 、并联：]*1111*222211212200[]x x B A u A x B x x y C C D D u x ⎧⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎪⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎣⎦⎪⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎨⎪⎡⎤⎪⎡=++⎢⎥⎣⎪⎣⎦⎩ ，1()()N i i G s G s ==∑ b 、串联：]()*1111*221221212122120x A x B u A B C x B D x x y D C C D D u x ⎧⎡⎤⎡⎡⎤⎡⎤⎤⎪⎢⎥=+⎢⎢⎥⎢⎥⎥⎪⎢⎥⎦⎪⎣⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎨⎪⎡⎤⎪⎡=+⎢⎥⎣⎪⎣⎦⎩ ，11()()()...()N N G s G s G s G s -= c 、反馈：1121()()[()()]G s G s I G s G s -=+ 第二章 1、求e At :a 、化对角线线规范形法，b 、拉普拉斯法 2、由 * x =Ax+Bu y=Cx+Du 求 x(t)=e At x 0+∫e A(t-τ)Bu(τ) d τ,(t ≥0) 第三章 1、能控性：如果存在一个不受约束的控制作用u(t)在有限时间间隔t0-tf 内，能使系统从任意初

现代控制理论总结

现代控制理论总结 第一章：控制系统的状态空间表达式 1、状态变量，状态空间与状态轨迹的概念： 在描述系统运动的所有变量中，必定可以找到数目最少的一组变量，他们足以描述系统的全部运动，这组变量就称为系统的状态变量。 以状态变量X1,，X2，X3，……X n为坐标轴所构成的n维欧式空间（实数域上的向量空间）称为状态空间。 随着时间的推移，x（t）在状态空间中描绘出一条轨迹，称为状态轨迹。 2、状态空间表达式： 状态方程和输出方程合起来构成对一个系统完整的动态描述，称为系统的状态空间表达式。 3、实现问题： 由描述系统输入输出关系的运动方程或传递函数建立系统的状态空间表达式，这样的问题称为实现问题 单入单出系统传函：W(s)=，实现存在的条件是系统必须满足 m<=n，否则是物理不可实现系统 最小实现是在所有的实现形式中，其维数最低的实现。即无零，极点对消的传函的实现。 三种常用最小实现：能控标准型实现，能观标准型实现，并联型实现（约旦型） 4、能控标准型实现，能观标准型实现，并联型实现（约旦型） 传函无零点 系统矩阵A的主对角线上方元素为1，最后一行元素是传函特征多项式系数的负值，其余元素为0，A为友矩阵。控制矩阵b除最后一个元素是1，其他为0，矩阵A，b具有上述特点的状态空间表达式称为能控标准型。将b与c矩阵元素互换，另输出矩阵c除第一个元素为1外其他为0，矩阵A，c具有上述特点的状态空间表达式称为能观标准型。 传函有零点见书p17页…….. 5、建立空间状态表达式的方法： ①由结构图建立②有系统分析基里建立③由系统外部描述建立（传函） 6、子系统在各种连接时的传函矩阵： 设子系统1为子系统2为

现代控制理论知识点总结

现代控制理论知识点总结

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第一章控制系统的状态空间表达式１．状态空间表达式 x Ax Bu n阶u:r 1 y:m 1 A:n n B:n r C:m n D:m r y Cx Du A 称为系统矩阵，描述系统内部状态之间的联系；Ｂ为输入(或控制)矩阵，表示输入对每个状态变量的作用情况；C 输出矩阵，表示 输出与每个状态变量间的组成关系，Ｄ直接传递矩阵，表示输入对输出的直接传递关系。 ２．状态空间描述的特点 ①考虑了“输入－状态－输出”这一过程，它揭示了问题的本质，即输入引起了状态的变化，而状态决定了输出。 ②状态方程和输出方程都是运动方程。 ③状态变量个数等于系统包含的独立贮能元件的个数，n 阶系统有n 个状态变量可以选择。 ④状态变量的选择不唯一。 ⑤从便于控制系统的构成来说，把状态变量选为可测量或可观察的量更为合适。 ⑥建立状态空间描述的步骤：a选择状态变量；b列写微分方程并化为状态变量的一阶微分方程组；c 将一阶微分方程组 化为向量矩阵形式，即为状态空间描述。 ⑦状态空间分析法是时域内的一种矩阵运算方法，特别适合于用计算机计算。 ３．模拟结构图(积分器加法器比例器) 已知状态空间描述，绘制模拟结构图的步骤：积分器的数目应等于状态变量数，将他们画在适当的位置，每个积分器的输出表示相应的某个状态变量，然后根据状态空间表达式画出相应的加法器和比例器，最后用箭头将这些元件连接 起来。 ４．状态空间表达式的建立 ①由系统框图建立状态空间表达式：a 将各个环节(放大、积分、惯性等)变成相应的模拟结构图；b 每个积 分器的输出选作x i，输入则为x i；c由模拟图写出状态方程和输出方程。 ②由系统的机理出发建立状态空间表达式：如电路系统。通常选电容上的电压和电感上的电流作为状态变量。 利用KVL 和KCL 列微分方程，整理。 ③由描述系统的输入输出动态方程式(微分方程)或传递函数，建立系统的状态空间表达式，即实现问题。实现是非唯一的。 方法：微分方程系统函数模拟结构图状态空间表达式 注意：a 如果系统函数分子幂次等于分母幂次，首先化成真分式形式，然后再继续其他工作。 b 模拟结构图的等效。如前馈点等效移到综合反馈点之前。p28 c 对多输入多输出微分方程的实现，也可以先画出模拟结构图。5．状态矢量的线性变换。也说明了状态空间表达的非唯一性。不改变系统的特征值。特征多项式的系数也是系统的不变量。 特征矢量p i 的求解：也就是求( i I A)x 0 的非零解。 状态空间表达式变换为约旦标准型(Ａ为任意矩阵) ：主要是要先求出变换矩阵。a互异根时，各特征矢量按列排。b 有重根时，设３阶系统，1＝2，3为单根，对特征矢量p1，p3求法与前面相同，p2称作1的广义特征矢量，应满足 ( 1I A)p2 p1。 系统的并联实现：特征根互异；有重根。方法：系统函数部分分式展开模拟结构图状态空间表达式。 6．由状态空间表达式求传递函数阵W(s) W(s) C(sI A) 1 B D m r的矩阵函数[ W ij ] W ij 表示第j个输入对第i个输出的传递关系。

现代控制理论知识点汇总

第一章 控制系统的状态空间表达式 １． 状态空间表达式 n 阶 Du Cx y Bu Ax x +=+= 1:⨯r u 1:⨯m y n n A ⨯: r n B ⨯: n m C ⨯:r m D ⨯: A 称为系统矩阵，描述系统内部状态之间的联系；Ｂ为输入（或控制）矩阵，表示输入对每个状态变量的作用情况；C 输出矩阵，表示输出与每个状态变量间的组成关系，Ｄ直接传递矩阵，表示输入对输出的直接传递关系。 ２． 状态空间描述的特点 ①考虑了“输入－状态－输出”这一过程，它揭示了问题的本质，即输入引起了状态的变化，而状态决定了输出。 ②状态方程和输出方程都是运动方程。 ③状态变量个数等于系统包含的独立贮能元件的个数，n 阶系统有n 个状态变量可以选择。 ④状态变量的选择不唯一。 ⑤从便于控制系统的构成来说，把状态变量选为可测量或可观察的量更为合适。 ⑥建立状态空间描述的步骤：a 选择状态变量；b 列写微分方程并化为状态变量的一阶微分方程组；c 将一阶微分方程组化为向量矩阵形式，即为状态空间描述。 ⑦状态空间分析法是时域内的一种矩阵运算方法，特别适合于用计算机计算。 ３． 模拟结构图（积分器 加法器 比例器） 已知状态空间描述，绘制模拟结构图的步骤：积分器的数目应等于状态变量数，将他们画在适当的位置，每个积分器的输出表示相应的某个状态变量，然后根据状态空间表达式画出相应的加法器和比例器，最后用箭头将这些元件连接起来。 ４． 状态空间表达式的建立 ① 由系统框图建立状态空间表达式：a 将各个环节（放大、积分、惯性等）变成相应的模拟结构图；b 每个 积 分器的输出选作i x ，输入则为i x ；c 由模拟图写出状态方程和输出方程。 ② 由系统的机理出发建立状态空间表达式：如电路系统。通常选电容上的电压和电感上的电流作为状态变 量。 利用KVL 和KCL 列微分方程，整理。 ③由描述系统的输入输出动态方程式（微分方程）或传递函数，建立系统的状态空间表达式，即实现问题。实现是非唯一的。 方法：微分方程→系统函数→模拟结构图→状态空间表达式。熟练使用梅森公式。 注意：a 如果系统函数分子幂次等于分母幂次，首先化成真分式形式，然后再继续其他工作。 b 模拟结构图的等效。如前馈点等效移到综合反馈点之前。p28 c 对多输入多输出微分方程的实现，也可以先画出模拟结构图。 5．状态矢量的线性变换。也说明了状态空间表达的非唯一性。不改变系统的特征值。特征多项式的系数也是系统的不变量。 特征矢量i p 的求解：也就是求0)(=-x A I i λ的非零解。 状态空间表达式变换为约旦标准型（Ａ为任意矩阵）：主要是要先求出变换矩阵。a 互异根时，各特征矢量按列排。b 有重根时，设３阶系统，1λ＝2λ，3λ为单根，对特征矢量 1p ，3p 求法与前面相同， 2p 称作

现代控制理论(刘豹、唐万生)第3章答案总结

3-6已知系统的微分方程为：u y y y y 66116. .....=+++ 试写出其对偶系统的状态空间表达式及其传递函数。 解：63611603210=====b a a a a ，，，， 系统的状态空间表达式为 [] x 00 6 y u 100x 6116100 010 =⎥⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=x & 传递函数为 []6 1166100611 6 1 00100 6 A) -C(sI )(23 1 1 -+++=⎥⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎢⎣⎡+--==-s s s s s s B s W 其对偶系统的状态空间表达式为： [] x 10 y u 006x 6101101600 =⎥⎥⎥⎦⎤ ⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=x 传递函数为6 1166 )(2 3 +--=s s s s W 3-7已知能控系统的A,b 阵为： ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢ ⎣⎡-=11,43 21 b A 试将该状态方程变换为能控标准型。 解：该状态方程的能控性矩阵为 []⎥⎦ ⎤⎢ ⎣⎡-==71 11Ab b M rankM=2，矩阵非奇异，系统能控。 系统特征多项式： 105||2 +-=-λλλA I 可知a1=-5，a0=10。

所以⎥⎦ ⎤ ⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢ ⎣⎡--=510 1010 10 a a A u x x ⎥⎦ ⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢ ⎣⎡-=10 510 10· 此即为该状态方程的能控标准形。 取P=T C -1 该状态方程的能控性矩阵为 []⎥⎦ ⎤⎢ ⎣⎡-==71 11Ab b M 知它是非奇异的。求得逆矩阵有， ⎥⎥⎥⎦ ⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-818 1818 71 M 由[][ ] 1 1 1 10 --=b A Ab b P n 得 [][]⎥⎦ ⎤⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎢⎣⎡-==-8181818 1818 7 10 10 1 1M P 同理，由A P P 12=得 ⎥⎦ ⎤⎢ ⎣⎡=434 12P 从而得到P ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢ ⎢⎣⎡- =⎥⎦⎤⎢⎣⎡=434 1 818121P P P ⎥⎥⎥⎦ ⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=-814 1814 3811 P 由此可得，