现代控制理论试卷及答案总结

2012年现代控制理论考试试卷

一、（10

分，每小题1分）试判断以下结论的正确性，若结论是正确的，

（√）1.由一个状态空间模型可以确定惟一一个传递函数。

（√）2.若系统的传递函数不存在零极点对消，则其任意的一个实现均为最小实现。

（×）3.对一个给定的状态空间模型，若它是状态能控的，则也一定是输出能控的。

（√）4.对线性定常系统x

Ax =&，其Lyapunov 意义下的渐近稳定性和矩阵A 的特征值都具有负实部是一致的。

（√）5.一个不稳定的系统，若其状态完全能控，则一定可以通过状态反馈使其稳定。

（×）6.对一个系统，只能选取一组状态变量；

（√）7.系统的状态能控性和能观性是系统的结构特性，与系统的输入和输出无关；

（×）8.若传递函数1()()G s C sI A B -=-存在零极相消，则对应的状态空间模型描述的系统是不能控且不能观的；

（×）9.若一个系统的某个平衡点是李雅普诺夫意义下稳定的，则该系统在任意平衡状态处都是稳定的；

（×）10.状态反馈不改变系统的能控性和能观性。

二、已知下图电路，以电源电压u(t)为输入量，求以电感中的电流和电容中的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻R2上的电压为输出量的输出方程。（10分）

解：（1）由电路原理得：

二．（10分）图为R-L-C 电路，设u 为控制量，电感L 上的支路电流和电容C 上的电压2x 为状态变量，电容C 上的电压2x 为输出量，试求：网络的状态方程和输出方程，并绘制状态变量图。

解：此电路没有纯电容回路，也没有纯电感电路，因有两个储能元件，故有独立变量。

以电感L 上的电流和电容两端的电压为状态变量，即令：12,L c i x u x ==，由基尔霍夫电压定律可得电压方程为：

从上述两式可解出1x ?

，2x ?

，即可得到状态空间表达式如下：

??????21y y =???

?

????

++-2112

12110R R R R R R R ??????21x x +u R R R ?

???

????+21

20

三、（每小题10分共40分）基础题

（1）试求32y y y u u --=+&&&&&&&的一个对角规范型的最小实现。（10分）

23232

2()(1)(1)11111()21

32(1)(2)2Y s s s s s s s U s s s s s s s s s s +-++-+-====++-+--+----…………4分 不妨令

1()1()2X s U s s =-，2()

1()1

X s U s s -=+…………2分 于是有 又

12()()()

1()()()

X s X s Y s U s U s U s =++，所以12()()()()Y s U s X s X s =++，即有 12y u x x =++…………2分

最终的对角规范型实现为

则系统的一个最小实现为：

[]201, 11011u y ????=+=????--????

&x x x +u …………2分 （2）已知系统[]011, 12232u y ????

=+=-????

-????

&x

x x ，写出其对偶系统，判断该系统

的能控性及其对偶系统的能观性。（10分） 解答：

021132u -????=+????-????&x x …………………………2分

[]12y =x

……………………………………2分

（3）设系统为

试求系统输入为单位阶跃信号时的状态响应（10分）。 解

()200

t

t e t e --??=?

?

??Φ……………………………..…….……..3分

()()0

()(0)()d τ

t t t t u τ=+?x x B ΦΦ……….….……….……..3分

()

()22010

10d τ110

t t t t t e e e e ττ------????????=+???????????????????….……..2分 ()()220d τ

t t t t t e e e e τ

τ------????=+???????????.……….…………………..…..1分

()()()22211==111122t t t t t e e e e e -----??+-??

????????++-??????………………..1分

（4）已知系统u x x ??

????+??????=110011&试将其化为能控标准型。（10分）

解：1210c u ??=????

，1

1

12201c

u -??

=??-??

.……..2分 [][][]1

1

1

12

21122010101c p u -??===-??-??

.…….1分

[

][]1111212

2

2

2

1100p p A ??==-=????

.……..1分

112

211

12

211,11P P --????

==????-????

.……..2分 能控标准型为u x x

??

?

???+??????=101010&.……..4分

四、设系统为

试对系统进行能控性及能观测性分解，并求系统的传递函数。（10分） 解： 能控性分解： 能观测性分解： 传递函数为4520

()(2)33

g s s s ?=

=++L L L 分 五、试用李雅普诺夫第二法，判断系统0111x x ?

??

=??--??

的稳定性。（10分） 方法一： 解：21x x =?

原点=0e x 是系统的唯一平衡状态。选取标准二次型函数为李雅普诺夫函数，即

当01=x ，02=x 时，0)(=?x v ；当01≠x ，02=x 时，0)(=?x v ，因此)(x v ?

为负半定。根据判断，可知该系统在李雅普诺夫意义下是稳定的。

另选一个李雅普诺夫函数，例如： 为正定，而

为负定的，且当x →∞，有()V x →∞。即该系统在原点处是大范围渐进稳定。 方法二： 解：或设11

122122p p P p p ??

=?

???

则由T

A P PA I +=-得11

1211

1212

2212

22010110111101p p p p p p p p --??????????

+=?

?????????----???

??????? 可知P 是正定的。因此系统在原点处是大范围渐近稳定的

六、 （20分）线性定常系统的传函为

()4

()(2)(1)

Y s s U s s s +=++ （1）实现状态反馈，将系统闭环的希望极点配置为()4,3--，求反馈阵K 。（5分）

（2）试设计极点为（-10,-10）全维状态观测器（5分）。

（3）绘制带观测器的状态反馈闭环系统的状态变量图（4分） （4）分析闭环前后系统的能控性和能观性（4分）

注明：由于实现是不唯一的，本题的答案不唯一！其中一种答案为： 解：（1）

2()44()(2)(1)32

Y s s s U s s s s s ++==++++ 系统的能控标准型实现为：[]010,41231X X u y X ????=+=????--????

&……1分 系统完全可控，则可以任意配置极点……1分 令状态反馈增益阵为[]12K k k =……1分 则有210123A BK k k ?

?

-=?

?----??

，则状态反馈闭环特征多项式为 又期望的闭环极点给出的特征多项式为：2(4)(3)712s s s s ++=++

由2

2

12(3)(2)712k k s s λλ++++=++可得到[]410K

=……3分

（2）观测器的设计：

由传递函数可知，原系统不存在零极点相消，系统状态完全能观，可以任意配置观测器的极点。……1分 令[]12T

E e e =……1分

由观测器??()x

A EC x Bu Ey =-++&可得其期望的特征多项式为: *11

95()()33T

f s f s E ??

=?=-

????

……4分

（3）绘制闭环系统的模拟结构图

第一种绘制方法：

……4分（注：观测器输出端的加号和减号应去掉！不好意思，刚发现！！）

第二种绘制方法：

（4）闭环前系统状态完全能控且能观，闭环后系统能控但不能观（因为状态反馈不改变系统的能控性，但闭环后存在零极点对消，所以系统状体不完全可观测）……4分

A卷

一、判断题，判断下例各题的正误，正确的打√，错误的打×（每小题1分，共10分）

1、状态方程表达了输入引起状态变化的运动，输出方程则表达了状态引起输出变化的变换过程（√）

2、对于给定的系统，状态变量个数和选择都不是唯一的（×）

3、连续系统离散化都没有精确离散化，但近似离散化方法比一般离散化方法的精度高（×）

4、系统的状态转移矩阵就是矩阵指数（×）

5、若系统的传递函数存在零极点相消，则系统状态不完全能控（×）

6、状态的能空性是系统的一种结构特性,依赖于系统的结构,与系统的参数和控制变量作用的位置有关（√）

7、状态能控性与输出能控性之间存在必然的联系（×）

8、一个传递函数化为状态方程后，系统的能控能观性与所选择状态变量有关（√）

9、系统的内部稳定性是指系统在受到小的外界扰动后，系统状态方程解的收敛性，与输入无关（√）

10、若不能找到合适的李雅普诺夫函数，那么表明该系统是不稳定的（×） 二、已知系统的传递函数为 试分别用以下方法写出系统的实现：

（1） 串联分解 （2） 并联分解 （3） 直接分解

（4）

能观测性规范型（20分）

解： 对于

322

103130

s s s +++有

（1） 串联分解

串联分解有多种，如果不将2分解为两个有理数的乘积，如1284

=?，绘制该系统串联分解的结构图，然

后每一个惯性环节

()

i

i k s p +的输出设为状态变量，则可得到系统四种典型的实现为：

则对应的状态空间表达式为：

需要说明的是，当交换环节相乘的顺序时，对应地交换对应行之间对角线的元素！！！

如211(2)(3)(5)s s s ??+++的实现为：[]20

0213000150001X X u y X u

?-????

??

???=-+??????????-????

?

?=+?& 则211(5)(3)(2)s s s ??+++的实现为：[]50

0213000120001X X u y X u ?-????

??

???=-+??????????-????

?

?=+?

& 依次类推！！

（2） 并联分解

实现有无数种，若实现为[]112233123000000b X X b u b y c c c X u

??????????=+??????

?????????

?=+?

&λλλ只要满足 例如：3

2

21

2133(3)103130s s s s -=++++++，则其实现可以为： （3）直接分解 （4）能观测规范型

三、给定一个二维连续时间线性定常自治系统,0x

x A t =≥&。现知，对应于两个不同初态的状态响应分别为

试据此定出系统矩阵A 。（10分） 解：()(0)At

x t e x = 可得

四、已知系统的传递函数为

（1）试确定a 的取值，使系统成为不能控，或为不能观测；

（2）在上述a 的取值下，写出使系统为能控的状态空间表达式，判断系统的能观测性； （3）若3a =，写出系统的一个最小实现。（15分） 解：（1）因为

因此当1a =或2a =或3a =时，出现零极点对消现象，系统就成为不能控或不能观测的系统 （2）可写系统的能控标准形实现为此问答案不唯一 存在零极相消，系统不能观 （3）3a =，则有22

()32

G s s s =

++

可写出能控标准形最小实现为 此问答案不唯一，可有多种解 五、已知系统的状态空间表达式为 （1）判断系统的能控性与能观测性；

（2）若不能控，试问能控的状态变量数为多少？ （3）试将系统按能控性进行分解； （4）求系统的传递函数。（15分） 解：（1）系统的能控性矩阵为

[]0012C U b

Ab ??==??-??

，det 0,12C C U rankU ==<

故系统的状态不能控 系统的能观测性矩阵为

2

51910O c U cA ????==????

-????

，det 1150,2C O U rankU =-≠= 故系统的状态不能观测4分

（2）1C rankU =，因此能控的状态变量数为11分 （3）由状态方程式

可知是2x 能控的，1x 是不能控的2分 （4）系统的传递函数为

()()11

2225

()2

G s c sI A b c sI A b s --=-=-=

+只与能控子系统有关3分 六、给定系统

解李雅普诺夫方程，求使得系统渐近稳定的a 值范围。（10分） 七、伺服电机的输入为电枢电压，输出是轴转角，其传递函数为

（1）设计状态反馈控制器u Kx v =-+，使得闭环系统的极点为55j -±； （2）设计全维状态观测器，观测器具有二重极点－15；

（3）将上述设计的反馈控制器和观测器结合，构成带观测器的反馈控制器，画出闭环系统的状态变量图； （4）求整个闭环系统的传递函数。（20分） 第二章题A 卷

第一题：判断题，判断下例各题的正误，正确的打√，错误的打×（每小题1分，共10分）

11、状态方程表达了输入引起状态变化的运动，输出方程则表达了状态引起输出变化的变换过程（√） 12、对于给定的系统，状态变量个数和选择都不是唯一的（×）

13、连续系统离散化都没有精确离散化，但近似离散化方法比一般离散化方法的精度高（×） 14、系统的状态转移矩阵就是矩阵指数（×）

15、若系统的传递函数存在零极点相消，则系统状态不完全能控（×）

16、状态的能空性是系统的一种结构特性,依赖于系统的结构,与系统的参数和控制变量作用的位置有关（√） 17、状态能控性与输出能控性之间存在必然的联系（×）

18、一个传递函数化为状态方程后，系统的能控能观性与所选择状态变量有关（√）

19、系统的内部稳定性是指系统在受到小的外界扰动后，系统状态方程解的收敛性，与输入无关（√） 20、若不能找到合适的李雅普诺夫函数，那么表明该系统是不稳定的（×）

第二题：已知系统的传递函数为322()103132

()()(56)(1)

Y s s s s G s U s s s s +++==+++,试分别用以下方法写出系统的实现：

（5） 串联分解（4分） （6） 并联分解（4分） （7） 直接分解（4分）

（8） 能观测性规范型（4分）

（9）

绘制串联分解实现时系统的结构图（4分）

解： 对于

3

2

103130

s s s s +++有

（3） 串联分解

串联分解有三种

3

2

111111(1)(2)(3)(1)(2)(3)(1)(2)(3)

103130111121113(1)...(1)..(1)(1)(2)(3)(1)(2)(3)(1)(2)(3)

s s s s

s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s =??=??=??++++++++++++=-=-=-+++++++++对应

的状态方程为：

（4） 并联分解

实现有无数种，其中之三为：

（3）直接分解 （4）能观测规范型

（10） 结构图

第二章题B 卷

第一题：判断题，判断下例各题的正误，正确的打√，错误的打×（每小题1分，共10分） 1、状态空间模型描述了输入-输出之间的行为,而且在任何初始条件下都能揭示系统的内部行为（√） 2、状态空间描述是对系统的一种完全的描述，而传递函数则只是对系统的一种外部描述（√） 3、任何采样周期下都可以通过近似离散化方法将连续时间系统离散化（×） 4、对于一个线性系统来说，经过线性非奇异状态变换后，其状态能控性不变（√）

5、系统状态的能控所关心的是系统的任意时刻的运动（×）

6、能观（能控）性问题可以转化为能控（能观）性问题来处理（√）

7、一个系统的传递函数所表示的是该系统既能控又能观的子系统（√）

8、一个系统的传递函数若有零、极点对消现象，则视状态变量的选择不同，系统或是不能控的或是不能观的（√）

9、对于一个给定的系统，李雅普诺夫函数是唯一的（×）

10、若系统对所有有界输入引起的零状态响应的输出是有界的，则称该系统是外部稳定的（√）

第二题：求以下RLC网络系统的状态空间模型,并绘制其结构图。取电压e_i为输入，e_o为输出。其中R1、R2、C和L为常数。

第二题图

答案:

解：（状态变量可以另取）

定义状态变量：x1为电阻两端电压v，x2为通过电感的电流i。输入u为e_i，输出y为e_o。使用基尔霍夫电流定理列R1和R2间节点的电流方程：

使用基尔霍夫电压定理列出包含C、R2、L回路的电压方程：

最后，输出电压的表达式为：

得到状态空间模型：

结构图为：

第三题：如图所示，系统的输入量为u1和u2、输出量为y和请选择适当的状态变量，并写出系统的状态空间表达式，根据状态空间表达式求系统的闭环传递函数：

第三题图

解：状态变量如下图所示（3分）

从方框图中可以写出状态方程和输出方程（4）

状态方程的矩阵向量形式：

系统的传递函数为（3分）：

现代控制理论试题答案

一、概念题

1、何为系统的能控性和能观性？

答：（1）对于线性定常连续系统，若存在一分段连续控制向量u(t)，能在有限时间区间[t0,t1]内将系统从初始状态x(t0)转移到任意终端状态x(t1)，那么就称此状态是能控的。

（2）对于线性定常系统，在任意给定的输入u(t)下，能够根据输出量y(t)在有限时间区间[t0,t1]内的测量值，唯一地确定系统在t0时刻的初始状态x(t0)，就称系统在t0时刻是能观测的。若在任意初始时刻系统都能观测，则称系统是状态完全能观测的，简称能观测的。

2、何为系统的最小实现？

答：由传递函数矩阵或相应的脉冲响应来建立系统的状态空间表达式的工作，称为实现问题。在所有可能的实现中，维数最小的实现称为最小实现。

3、何为系统的渐近稳定性？

答：若在时刻为李雅普若夫意义下的稳定，且存在不依赖于的实数和任意给定的初始状态，使得时，有，则称为李雅普若夫意义下的渐近稳定

二、简答题

1、连续时间线性时不变系统（线性定常连续系统）做线性变换时不改变系统的那些性质？

答：系统做线性变换后，不改变系统的能控性、能观性，系统特征值不变、传递函数不变

2、如何判断线性定常系统的能控性？如何判断线性定常系统的能观性？

答：方法1：对n维线性定常连续系统，则系统的状态完全能控性的充分必要条件为：。

方法2：如果线性定常系统的系统矩阵A具有互不相同的特征值，则系统能控的充要条件是，系统经线性非奇异变换后A阵变换成对角标准形，且不包含元素全为0的行

线性定常连续系统状态完全能观测的充分必要条件是能观性矩阵满秩。即：

3、传递函数矩阵的最小实现A、B、C和D的充要条件是什么？

答：充要条件是系统状态完全能控且完全能观测。

4、对于线性定常系统能够任意配置极点的充要条件是什么？

答：线性定常系统能够任意配置极点的充要条件是系统完全能控。

5、线性定常连续系统状态观测器的存在条件是什么？

答：线性定常连续系统状态观测器的存在条件是原系统完全能观。

三、计算题

1、RC无源网络如图1所示，试列写出其状态方程和输出方程。其中，为系统的输入，选两端的电压为状态变量,两端的电压为状态变量,电压为为系统的输出y。

解：由电路图可知：

选,,可得：

=

所以可以得到：

2

解：运用公式可得：

可得传递函数为：

3、

其中，采样周期为T=2。

解：先求出系统的.

令,可得：

X(k)+

4、求取下列各连续时间线性时不变系统的状态变量解和

解：计算算式为：

所以：

5、确定是下列连续时间线性时不变系统联合完全能控和完全能观测得待定参数a的取值范围：

解：由于A无特定形式，用秩判据简单。

因此，不管a去何值都不能够联合完全能控和完全能观测

6、对下列连续时间非线性时不变系统，判断原点平衡状态即是否为大范围渐近稳定：

解：（1）选取李雅普若夫函数V(x)，取，可知：

V(0)=0,

即为正定。

（2）计算并判断其定号性。对取定和系统状态方程，计算得到：

基此可知：

即：为负半定。

（3）判断。对此，只需判断的

和不为系统状态方程的解。为此，将带入状态方程，导出：

表明，状态方程的解只为，不是系统状态方程的解。通过类似分析也可以得证不是系统状态方

程的解。基此，可知判断。

（4）综合可知，对于给定非线性时不变系统，可构造李雅普若夫函数判断满足：

V(x)为正定，为负定；对任意,

当，有

基此，并根据李雅普若夫方法渐近稳定性定理知：系统原点平衡状态为大范围渐近稳定。

7、 给定一个单输入单输出连续时间线性时不变系统的传递函数为

试确定一个状态反馈矩阵K ，使闭环极点配置为,和。

解：可知，系统完全可控，可以用状态反馈进行任意极点配置。由于状态维数为3维。所以设。 系统期望的特征多项式为： 而

令,二者相应系数相等。 得： 即： 验证：

A 卷

二、基础题（每题10分）

1、给定一个二维连续时间线性定常自治系统,0x

x A t =≥&。现知，对应于两个不同初态的状态响应分别为

试据此定出系统矩阵A 。 解：()(0)At

x t e x =2分 可得

()()333313333333331533153121244444444

315311315311222222

22111244 12t t t t t t

t t At t t t t t t t t t t

t t t t

t t e e e e e e e e e e e e e e e e e

e e e e e e e e -------------????++++????

--????==????

??

??--????????-+-+-+-+????????

??+-+??=??-++???

?

??4分

330

331313112244

1341322t t

t t At

t t t t t t e e e e de

A dt

e e e e --==--??

-++????=

==?

?

????

??+-+????

4分

2、设线性定常连续时间系统的状态方程为 取采样周期1T

s =，试将该连续系统的状态方程离散化。

解：①首先计算矩阵指数。采用拉氏变换法：

()()1

1

112121021

110.51(2)

100(2)A I A t t t s e L s L s e s s s L e s -------??-??????=-=??????+??????

??????-+??==??????????+?

?

3分

②进而计算离散时间系统的系数矩阵。

()2210.510A G T T

T e e e --??-==??????

将1T s =代入得10.432300.1353A G T e ??==????2分 (

)

()22002210.510100.50.250.250.50.51.07890.4323A H t T

T t

t T T

e e dt B dt e T e e ----????-??

??==????????

??????????

+-=??-+????=????

??3分 ③故系统离散化状态方程为

()()()()()1122110.4323 1.0789100.13530.4323x k x k u k x k x k +????????=+????????+?

???????2分 3、已知系统的传递函数为

（1）试确定a 的取值，使系统成为不能控，或为不能观测；

（2）在上述a 的取值下，写出使系统为能控的状态空间表达式，判断系统的能观测性； （3）若3a =，写出系统的一个最小实现。（10分） 解：（1）因为

因此当1a =或2a =或3a =时，出现零极点对消现象，系统就成为不能控或不能观测的系统3分 （2）可写系统的能控标准形实现为此问答案不唯一

0100001061161x x u ????

????=+????????---????

&[]220y a x =3分

存在零极相消，系统不能观1分 （3）3a =，则有2

2

()32

G s s s =

++ 可写出能控标准形最小实现为 此问答案不唯一，可有多种解3分 三、已知系统的状态空间表达式为 （1）判断系统的能控性与能观测性；

（2）若不能控，试问能控的状态变量数为多少？ （3）试将系统按能控性进行分解； （4）求系统的传递函数。（10分） 解：（1）系统的能控性矩阵为

[]0012C U b

Ab ??

==??

-??

，det 0,12C C U rankU ==< 故系统的状态不能控 系统的能观测性矩阵为

2

51910O c U cA ????==????

-????

，det 1150,2C O U rankU =-≠= 故系统的状态不能观测4分

（2）1C rankU =，因此能控的状态变量数为11分 （3）由状态方程式

可知是2x 能控的，1x 是不能控的2分 （4）系统的传递函数为

()()11

2225

()2

G s c sI A b c sI A b s --=-=-=

+只与能控子系统有关3分 B 卷

二、基础题（每题10分）

1、给定一个连续时间线性定常系统，已知状态转移矩阵()t Φ为 试据此定出系统矩阵A 。

解：

22220

2224()240213Φt t t t t t t t t t e e e e d A t dt e e e e --------==??

-+-+??

==???

?

-+-+??????=??--??

2、设线性定常连续时间系统的状态方程为

取采样周期1T

s =，试将该连续系统的状态方程离散化。

解：①首先计算矩阵指数。采用拉氏变换法： ②进而计算离散时间系统的系数矩阵。

101A G T T e ??==????

将1T s =代入得1101A G T

e ??==??

?? ③故系统离散化状态方程为 3、已知系统的传递函数为

试写出系统的能控标准形实现。（10分） 解：系统的能控标准形实现为

三、试确定下列系统当p 与q 如何取值系统既能控又能观。（10分） 解：系统的能控性矩阵为 其行列式为[]2det

12b Ab p p =+-

根据判定能控性的定理，若系统能控，则系统能控性矩阵的秩为2，亦即行列式值不为0，

[]2det 120b Ab p p =+-≠

因此当3,4p ≠-时系统能控 系统能观测性矩阵为 其行列式为

根据判定能观性的定理，若系统能观，则系统能观性矩阵的秩为2，亦即2

det 1210c q q cA ??=--≠????

因此当11

,34

q

≠-时系统能观 综上可知，当3,4p ≠-，11

,34

q

≠-时系统既能控又能观

现代控制理论试题

现代控制理论试题 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】

现代控制理论试题 一、名词解释（15分） 1、能控性 2、能观性 3、系统的最小实现 4、渐近稳定性 二、简答题（15分） 1、连续时间线性时不变系统（线性定常连续系统）做线性变换时不改变系 统的那些性质 2、如何判断线性定常系统的能控性如何判断线性定常系统的能观性 3、传递函数矩阵的最小实现A、B、C和D的充要条件是什么 4、对于线性定常系统能够任意配置极点的充要条件是什么 5、线性定常连续系统状态观测器的存在条件是什么 三、计算题（70分） 1、RC 无源网络如图1所示，试列写出其状态方程和输出方程。其中，为系统的输入，选两端的电压为状态变量,两端的电压为状态变量,电压为为系统的输出y。 2、计算下列状态空间描述的传递函数g(s) 图1：RC无源网络 3、求出下列连续时间线性是不变系统的时间离散化状态方程： 其中，采样周期为T=2. 4、求取下列各连续时间线性时不变系统的状态变量解和 5、确定是下列连续时间线性时不变系统联合完全能控和完全能观测得待定参数a的 取值范围： 6、对下列连续时间非线性时不变系统，判断原点平衡状态即是否为大范围渐 近稳定： 7、给定一个单输入单输出连续时间线性时不变系统的传递函数为 试确定一个状态反馈矩阵K，使闭环极点配置为,和。 现代控制理论试题答案 一、概念题 1、何为系统的能控性和能观性 答：（1）对于线性定常连续系统，若存在一分段连续控制向量u(t)，能在有限时间区间[t0,t1]内将系统从初始状态x(t0)转移到任意终端状态x(t1)，那么就称此状态是能控的。 （2）对于线性定常系统，在任意给定的输入u(t)下，能够根据输出量y(t)在有限时间区间[t0,t1]内的测量值，唯一地确定系统在t0时刻的初始状态x(t0 )，就称系统在t0时刻是能观测的。若在任意初始时刻系统都能观测，则称系统是状态完全能观测的，简称能观测的。

现代控制理论基础考试题A卷及答案

即 112442k g k f M L M ML θθθ??=-+++ ??? && 212 44k k g M M L θθθ??=-+ ??? && （2）定义状态变量 11x θ=，21x θ=&，32 x θ=，42x θ=& 则 一．（本题满分10分） 如图所示为一个摆杆系统，两摆杆长度均为L ，摆杆的质量忽略不计，摆杆末端两个质量块（质量均为M ）视为质点，两摆杆中点处连接一条弹簧，1θ与2θ分别为两摆杆与竖直方向的夹角。当12θθ=时，弹簧没有伸长和压缩。水平向右的外力()f t 作用在左杆中点处，假设摆杆与支点之间没有摩擦与阻尼，而且位移足够小，满足近似式sin θθ=，cos 1θ=。 （1）写出系统的运动微分方程； （2）写出系统的状态方程。 【解】 （1）对左边的质量块，有 ()2111211 cos sin sin cos sin 222 L L L ML f k MgL θθθθθθ=?-?-?-&& 对右边的质量块，有 ()221222 sin sin cos sin 22 L L ML k MgL θθθθθ=?-?-&& 在位移足够小的条件下，近似写成： ()1121 24f kL ML Mg θθθθ=---&& ()2122 4kL ML Mg θθθθ=--&&

2 / 7 1221 334413 44244x x k g k f x x x M L M ML x x k k g x x x M M L =?? ???=-+++ ???? ? =????=-+? ????? &&&& 或写成 11 223 34401 000014420001000044x x k g k x x M L M f ML x x x x k k g M M L ? ? ?? ?????????? ??-+???? ???????????=+???? ????? ??????????????????? ????-+?? ? ? ?????? ? &&&& 二．（本题满分10分） 设一个线性定常系统的状态方程为=x Ax &，其中22R ?∈A 。 若1(0)1?? =??-??x 时，状态响应为22()t t e t e --??=??-?? x ；2(0)1??=??-??x 时，状态响应为 2()t t e t e --?? =??-?? x 。试求当1(0)3??=????x 时的状态响应()t x 。 【解答】系统的状态转移矩阵为()t t e =A Φ，根据题意有 221()1t t t e t e e --????==????--???? A x 22()1t t t e t e e --????==????--???? A x 合并得 2212211t t t t t e e e e e ----????=????----?? ??A 求得状态转移矩阵为 1 22221212221111t t t t t t t t t e e e e e e e e e -----------?????? ?? ==????????------???? ????A 22222222t t t t t t t t e e e e e e e e --------?? -+-+=??--??

现代控制理论基础试卷及答案

现代控制理论基础考试题 西北工业大学考试题（A卷） （考试时间120分钟） 学院：专业：姓名：学号： ) 一．填空题（共27分，每空分） 1.现代控制理论基础的系统分析包括___________和___________。 2._______是系统松弛时，输出量、输入量的拉普拉斯变换之比。 3.线性定常系统齐次状态方程是指系统___________时的状态方程。 4.推导离散化系统方程时在被控对象上串接一个开关，该开关以T为周期进 行开和关。这个开关称为_______。 5.离散系统的能______和能______是有条件的等价。 6.在所有可能的实现中，维数最小的实现称为最小实现，也称为__________。 7.构造一个与系统状态x有关的标量函数V(x, t)来表征系统的广义能量， V(x, t)称为___________。8." 9.单输入-单输出线性定常系统，其BIBO稳定的充要条件是传递函数的所有 极点具有______。 10.控制系统的综合目的在于通过系统的综合保证系统稳定，有满意的 _________、_________和较强的_________。 11.所谓系统镇定问题就是一个李亚普诺夫意义下非渐近稳定的系统通过引入_______，以实现系统在李亚普诺夫意义下渐近稳定的问题。 12.实际的物理系统中，控制向量总是受到限制的，只能在r维控制空间中某一个控制域内取值，这个控制域称为_______。 13._________和_________是两个相并行的求解最优控制问题的重要方法。二．判断题（共20分，每空2分） 1.一个系统，状态变量的数目和选取都是惟一的。（×） 2.传递函数矩阵的描述与状态变量选择无关。（√） 3.状态方程是矩阵代数方程，输出方程是矩阵微分方程。（×） 4.对于任意的初始状态) ( t x和输入向量)(t u，系统状态方程的解存在并且惟一。（√） 5.（ 6.传递函数矩阵也能描述系统方程中能控不能观测部分的特性。（×） 7.BIBO 稳定的系统是平衡状态渐近稳定。（×）

华南农业大学现代控制理论期末考试试卷

华南农业大学期末考试试卷（A卷）2007 学年第1 学期考试科目：自动控制原理II 考试类型：闭卷考试时间：120 分钟 学号年级专业 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总分得分 评阅人 1、已知下图电路，以电源电压u(t)为输入量，求以电感中的电流和电容中的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻R 2 上的电压为输出量的输出方程。并画出相应的模拟结构图。（10分） 解：（1）由电路原理得： 1 1 2 2 12 1 111 2 22 11 1 11 L L c L L c c L L di R i u u dt L L L di R i u dt L L du i i dt c c =--+ =-+ =- 22 2 R L u R i = 11 22 1 11 1 2 22 1 01 1 00 11 L L L L c c R i i L L L R i i u L L u u c c ?? --?? ???? ?? ?? ???? ?? ?? ???? ?? =-+?? ???? ?? ?? ???? ?? ?? ???? ?? ?? - ???? ?????? ?? ?? g g g

[]1222 00L R L c i u R i u ??????=?????????? 2、建立下列输入－输出高阶微分方程的状态空间表达式。（8分） 322y y y y u u u +++=++&&&&&&&&& 解：方法一： 12301233,2,10,1,2,1 a a a b b b b ======= ()001110221120331221300 1301 231201 13121102 b b a b a a b a a a ββββββββββ===-=-?==--=-?-?=-=---=-?--?-?= ()010100111232100x x u y x ?????? ? ?=+-? ? ?? ? ?---????? ?=?& 方法二：

2010《现代控制理论基础》考试题B卷及答案

一．（本题满分10分） 请写出如图所示电路当开关闭合后系统的状态方程和输出方程。其中状态变量的设置如图所示，系统的输出变量为流经电感2L 的电流强度。 【解答】根据基尔霍夫定律得： 11132223321L x Rx x u L x Rx x Cx x x ++=?? +=??+=?&&& 改写为1 13111 22 322 31 211111R x x x u L L L R x x x L L x x x C C ? =--+?? ?=-+???=-?? &&&，输出方程为2y x = 写成矩阵形式为

[]1 1 111222 2 331231011000110010R L L x x L R x x u L L x x C C x y x x ??? --???????????????? ???????=-+???? ??????? ???????????????? ???-??????? ? ??? ?? ?=??? ?????? &&& 二．（本题满分10分） 单输入单输出离散时间系统的差分方程为 (2)5(1)3()(1)2()y k y k y k r k r k ++++=++ 回答下列问题： （1）求系统的脉冲传递函数； （2）分析系统的稳定性； （3）取状态变量为1()()x k y k =，21()(1)()x k x k r k =+-，求系统的状态空间表达式； （4）分析系统的状态能观性。 【解答】 （1）在零初始条件下进行z 变换有： ()()253()2()z z Y z z R z ++=+ 系统的脉冲传递函数： 2()2 ()53 Y z z R z z z +=++ （2）系统的特征方程为 2()530D z z z =++= 特征根为1 4.3z =-，20.7z =-，11z >，所以离散系统不稳定。 （3）由1()()x k y k =，21()(1)()x k x k r k =+-，可以得到 21(1)(2)(1)(2)(1)x k x k r k y k r k +=+-+=+-+ 由已知得 (2)(1)2()5(1)3()y k r k r k y k y k +-+=-+-112()5(1)3()r k x k x k =-+- []212()5()()3()r k x k r k x k =-+-123()5()3()x k x k r k =--- 于是有： 212(1)3()5()3()x k x k x k r k +=--- 又因为 12(1)()()x k x k r k +=+ 所以状态空间表达式为

(完整版)现代控制理论考试卷及答案

西北工业大学考试试题（卷）2008 －2009 学年第2 学期

2009年《现代控制理论》试卷A 评分标准及答案 第一题（10分，每个小题答对1分，答错0分） （1）对 （2）错 （3）对 （4）错 （5）对 （6）对 （7）对 （8）对 （9）对 （10）错 第二题（15分） （1）)(t Φ（7分）：公式正确3分，计算过程及结果正确4分 ? ? ? ???+-+---=-=Φ?? ?? ??????+- +-+- +-+- ++-+=??????-+++=-??? ???+-=------------t t t t t t t t e e e e e e e e A sI L t s s s s s s s s s s s s A sI s s A sI 22221 11 2222}){()(22112 21221112112 213)2)(1(1 )(321 （2） 状态方程有两种解法（8分）：公式正确4分，计算过程及结果正确4分 ??????-+-+-=????? ???????+-+++-+++-++??????+--=??????????? ???????++-++++-=-+-=??????---+-=????? ?+--+??? ???+--=??????-Φ+Φ=------------------------------??t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t t e e te e e te s s s s s s L e e e e t x t x s s s s s L x A sI L t x s BU A sI x A sI s X e e t e e t d e e e e e e e e e t x t x d t Bu x t t x 222 21 22212 21111122)(02222210 2344}2414)1(42212)1(4 {2)()(} )2()1(4) 2()1()3(2{)}0(){()() ()()0()()(2)34()14(22222)()()()()0()()(或者 ττ τττττττ 第三题（15分，答案不唯一，这里仅给出可控标准型的结果） （1） 系统动态方程（3分） []x y u x x 0010 1003201 00010=???? ??????+??????????--=&

现代控制理论知识点汇总

第一章 控制系统的状态空间表达式 １．状态空间表达式 n 阶 Du Cx y Bu Ax x +=+= 1:?r u 1:?m y n n A ?: r n B ?: n m C ?:r m D ?: A 称为系统矩阵，描述系统内部状态之间的联系；Ｂ为输入（或控制）矩阵，表示输入对每个状态变量的作用情 况；C 输出矩阵，表示输出与每个状态变量间的组成关系，Ｄ直接传递矩阵，表示输入对输出的直接传递关系。 ２．状态空间描述的特点 ①考虑了“输入－状态－输出”这一过程，它揭示了问题的本质，即输入引起了状态的变化，而状态决定了输出。 ②状态方程和输出方程都是运动方程。 ③状态变量个数等于系统包含的独立贮能元件的个数，n 阶系统有n 个状态变量可以选择。 ④状态变量的选择不唯一。 ⑤从便于控制系统的构成来说，把状态变量选为可测量或可观察的量更为合适。 ⑥建立状态空间描述的步骤：a 选择状态变量；b 列写微分方程并化为状态变量的一阶微分方程组；c 将一阶微分方程组化为向量矩阵形式，即为状态空间描述。 ⑦状态空间分析法是时域内的一种矩阵运算方法，特别适合于用计算机计算。 ３．模拟结构图（积分器 加法器 比例器） 已知状态空间描述，绘制模拟结构图的步骤：积分器的数目应等于状态变量数，将他们画在适当的位置，每个积分器的输出表示相应的某个状态变量，然后根据状态空间表达式画出相应的加法器和比例器，最后用箭头将这些元件连接起来。 ４．状态空间表达式的建立 ① 由系统框图建立状态空间表达式：a 将各个环节（放大、积分、惯性等）变成相应的模拟结构图；b 每个积 分器的输出选作i x ，输入则为i x ；c 由模拟图写出状态方程和输出方程。 ② 由系统的机理出发建立状态空间表达式：如电路系统。通常选电容上的电压和电感上的电流作为状态变量。 利用KVL 和KCL 列微分方程，整理。 ③由描述系统的输入输出动态方程式（微分方程）或传递函数，建立系统的状态空间表达式，即实现问题。实现是非唯一的。 方法：微分方程→系统函数→模拟结构图→状态空间表达式。熟练使用梅森公式。 注意：a 如果系统函数分子幂次等于分母幂次，首先化成真分式形式，然后再继续其他工作。 b 模拟结构图的等效。如前馈点等效移到综合反馈点之前。p28 c 对多输入多输出微分方程的实现，也可以先画出模拟结构图。 5．状态矢量的线性变换。也说明了状态空间表达的非唯一性。不改变系统的特征值。特征多项式的系数也是系统的不变量。 特征矢量i p 的求解：也就是求0)(=-x A I i λ的非零解。 状态空间表达式变换为约旦标准型（Ａ为任意矩阵）：主要是要先求出变换矩阵。a 互异根时，各特征矢量按列排。b 有重根时，设３阶系统，1λ＝2λ，3λ为单根，对特征矢量1p ，3p 求法与前面相同， 2p 称作1λ的广义特征矢量，应满足121)(p p A I -=-λ。 系统的并联实现：特征根互异；有重根。方法：系统函数→部分分式展开→模拟结构图→状态空间表达式。 6．由状态空间表达式求传递函数阵)(s W D B A sI C s W ++-=-1)()( r m ?的矩阵函数［ij W ］ ij W 表示第j 个输入对第i 个输出的传递关系。 状态空间表达式不唯一，但系统的传递函数阵)(s W 是不变的。

现代控制理论试题

现代控制理论试题 一、名词解释（15分） 1、能控性 2、能观性 3、系统的最小实现 4、渐近稳定性 二、简答题（15分） 1、连续时间线性时不变系统（线性定常连续系统）做线性变换时不改变系统的那些性 质？ 2、如何判断线性定常系统的能控性？如何判断线性定常系统的能观性？ 3、传递函数矩阵错误！未找到引用源。的最小实现A、B、C和D的充要条件是什么？ 4、对于线性定常系统能够任意配置极点的充要条件是什么？ 5、线性定常连续系统状态观测器的存在条件是什么？ 三、计算题（70分） 1、RC无源网络如图1所示，试列写出其状态方程和输出方程。其中，错误！未找到引用源。为系统的输入，选错误！未找到引用源。两端的电压为状态变量错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。两端的电压为状态变量错误！未找到引用源。,电压错误！未找到引用源。为为系统的输出y。 图1：RC无源网络 2、计算下列状态空间描述的传递函数g(s) 3、求出下列连续时间线性是不变系统的时间离散化状态方程： 其中，采样周期为T=2. 4、求取下列各连续时间线性时不变系统的状态变量解错误！未找到引用源。和错误！ 未找到引用源。

5、确定是下列连续时间线性时不变系统联合完全能控和完全能观测得待定参数a的 取值范围： 6、对下列连续时间非线性时不变系统，判断原点平衡状态即错误！未找到引用源。是 否为大范围渐近稳定： 7、给定一个单输入单输出连续时间线性时不变系统的传递函数为 试确定一个状态反馈矩阵K，使闭环极点配置为错误！未找到引用源。,错误！未找到引用源。和错误！未找到引用源。。

现代控制理论试题答案 一、概念题 1、何为系统的能控性和能观性？ 答：（1）对于线性定常连续系统，若存在一分段连续控制向量u(t)，能在有限时间区间[t0,t1]内将系统从初始状态x(t0)转移到任意终端状态x(t1)，那么就称此状态是能控的。 （2）对于线性定常系统，在任意给定的输入u(t)下，能够根据输出量y(t)在有限时间区间[t0,t1]内的测量值，唯一地确定系统在t0时刻的初始状态x(t0 )，就称系统在t0时刻是能观测的。若在任意初始时刻系统都能观测，则称系统是状态完全能观测的，简称能观测的。 2、何为系统的最小实现？ 答：由传递函数矩阵或相应的脉冲响应来建立系统的状态空间表达式的工作，称为实现问题。在所有可能的实现中，维数最小的实现称为最小实现。 3、何为系统的渐近稳定性？ 答：若错误！未找到引用源。在时刻错误！未找到引用源。为李雅普若夫意义下的稳定，且存在不依赖于错误！未找到引用源。的实数错误！未找到引用源。和任意给定的初始状态错误！未找到引用源。，使得错误！未找到引用源。时，有错误！未找到引用源。，则称错误！未找到引用源。为李雅普若夫意义下的渐近稳定 二、简答题 1、连续时间线性时不变系统（线性定常连续系统）做线性变换时不改变系统的那些性 质？ 答：系统做线性变换后，不改变系统的能控性、能观性，系统特征值不变、传递函数不变 2、如何判断线性定常系统的能控性？如何判断线性定常系统的能观性？ 答：方法1：对n维线性定常连续系统，则系统的状态完全能控性的充分必要条件为：错误！未找到引用源。。 方法2：如果线性定常系统的系统矩阵A具有互不相同的特征值，则系统能控的充要条件是，系统经线性非奇异变换后A阵变换成对角标准形，且错误！未找到引用源。不包含元素全为0的行 线性定常连续系统状态完全能观测的充分必要条件是能观性矩阵错误！未找到引用源。满秩。即：错误！未找到引用源。 3、传递函数矩阵错误！未找到引用源。的最小实现A、B、C和D的充要条件是什么？

现代控制理论试卷及答案总结

2012年现代控制理论考试试卷 一、（10分，每小题1分）试判断以下结论的正确性，若结论是正确的， （ √ ）1. 由一个状态空间模型可以确定惟一一个传递函数。 （ √ ）2. 若系统的传递函数不存在零极点对消，则其任意的一个实现均为最小实现。 （ × ）3. 对一个给定的状态空间模型，若它是状态能控的，则也一定是输出能控的。 （ √ ）4. 对线性定常系统x Ax =&，其Lyapunov 意义下的渐近稳定性 和矩阵A 的特征值都具有负实部是一致的。 （ √ ）5.一个不稳定的系统，若其状态完全能控，则一定可以通过状态反馈使其稳定。 （ × ）6. 对一个系统，只能选取一组状态变量； （ √ ）7. 系统的状态能控性和能观性是系统的结构特性，与系统的输入和输出无关； （ × ）8. 若传递函数1()()G s C sI A B -=-存在零极相消，则对应的状态空间模型描述的系统是不能控且不能观的； （ × ）9. 若一个系统的某个平衡点是李雅普诺夫意义下稳定的，则该系统在任意平衡状态处都是稳定的； （ × ）10. 状态反馈不改变系统的能控性和能观性。

二、已知下图电路，以电源电压u(t)为输入量，求以电感中的电流和电容中的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻R2上的电压为输出量的输出方程。（10分） 解：（1）由电路原理得： 112 212 1111 222 11 111L L c L L c c L L di R i u u dt L L L di R i u dt L L du i i dt c c =- -+=-+=- 222R L u R i = 112211112221011000110L L L L c c R i i L L L R i i u L L u u c c ?? -- ?????????????????? ??????=-+??????????????????????????-??????????? ??? g g g

现代控制理论试题(详细答案)

现代控制理论试题B 卷及答案 一、1 系统[]210,01021x x u y x ? ??? =+=????-???? 能控的状态变量个数是cvcvx ，能观测的状态变量个数是。 2试从高阶微分方程385y y y u ++= 求得系统的状态方程和输出方程（4分/个） 解 1． 能控的状态变量个数是2，能观测的状态变量个数是1。状态变量个数是2。…..（4分） 2．选取状态变量1x y =，2x y = ，3x y = ，可得 …..….…….（1分） 12233131 835x x x x x x x u y x ===--+= …..….…….（1分） 写成 010*********x x u ???? ????=+????????--???? …..….…….（1分） []100y x = …..….…….（1分） 二、1给出线性定常系统(1)()(),()()x k Ax k Bu k y k Cx k +=+=能控的定义。 （3分） 2已知系统[]210 020,011003x x y x ?? ??==?? ??-?? ，判定该系统是否完 全能观？(5分)

解 1．答：若存在控制向量序列(),(1),,(1)u k u k u k N ++- ，时系统从第 k 步的状态()x k 开始，在第N 步达到零状态，即()0x N =，其中N 是大于 0的有限数，那么就称此系统在第k 步上是能控的。若对每一个k ，系统的所有状态都是能控的，就称系统是状态完全能控的，简称能控。…..….…….（3分） 2. [][]320300020012 110-=?? ?? ? ?????-=CA ………..……….（1分） [][]940300020012 3202=?? ?? ? ?????--=CA ……..……….（1分） ???? ? ?????-=??????????=940320110 2CA CA C U O ………………..……….（1分） rank 2O U n =<，所以该系统不完全能观……..….……. （2分） 三、已知系统1、2的传递函数分别为 2122211 (),()3232 s s g s g s s s s s -+==++-+ 求两系统串联后系统的最小实现。（8分） 解 112(1)(1)11 ()()()(1)(2)(1)(2)4 s s s s g s g s g s s s s s s -+++== ?=++--- …..….……. （5分） 最小实现为

现代控制理论期末试卷

一、（10分，每小题1分） 1、任一线性连续定常系统的系统矩阵均可对角形化。(×) 2、对SISO 线性连续定常系统，传递函数存在零极点对消，则系统一定不能观且不能控制。(×) 3、对线性连续定常系统，非奇异变换后的系统特征值不变。(√) 4、对于线性连续定常系统的最小实现是唯一的。(×) 5、稳定性问题是相对于某个平衡状态而言的。(√) 6、Lyapunov 第二法只给出了判定稳定性的充分条件。(√) 7、对于SISO 线性连续定常系统，状态反馈后形成的闭环系统零点与原系统一样。(√) 8、对于一个系统，只能选取一组状态变量。(×) 9、对于一个n 维的线性定常连续系统，若其完全能观，则利用状态观测器实现的状态反馈闭环系统是2n 维的。(√) 10、对线性定常系统，其Lyapunov 意义下的渐近稳定性和矩阵特征值都具有负实部是一致的。(√) 二（10分，每小题5分） （1）简述平衡状态及平衡点的定义。 （2）简述状态方程解的意义。 解：（1）状态空间中状态变量的导数向量为零向量的点。由平衡状态在状态空间中所确定的点称之为平衡点。 （2）线性连续定常系统状态方程的解由两部分组成，一部分是由初始状态所引起的自由运动即零输入响应，第二部分是由输入所引起的系统强迫运动，与输入有关称为零状态响应。 三、（10分）考虑如图的质量弹簧系统。其中，m 为运动物体的质量，k 为弹簧的弹性系数，h 为阻尼器的阻尼系数，f 为系统所受外力。取物体位移为状态变量x 1，速度为状态变量x 2，并取位移为系统输出y ，外力为系统输入u ，试建立系统的状态空间表达式。 解： f ma =……………………………….……1分 令位移变量为x 1，速度变量为x 2，外力为输入u ，有 122u kx kx mx --=………………………………2分 于是有 12x x =………………………………..……………1分 2121k h x x x u m m m =--+……….….……………….2分 再令位移为系统的输出y ，有

现代控制理论试卷答案与解析

现代控制理论试卷作业 一．图为R-L-C 电路，设u 为控制量，电感L 上的支路电流 11121222121212010Y x U R R R R Y x R R R R R R ????????????=+????????-????+++???????? 和电容C 上的电压2x 为状态变量，电容C 上的电压2x 为输出量，试求：网络的状态方程和输出方程（注意指明参考 方向）。 解：此电路没有纯电容回路，也没有纯电感电路，因有两个储能元件，故有独立变量。 以电感L 上的电流和电容两端的电压为状态变量，即令：12,L c i x u x ==，由基尔霍夫电压定律可得电压方程为： 从上述两式可解出1x ?，2x ? ，即可得到状态空间表达式如下： ??????21y y =????????++-211212110R R R R R R R ??????21x x +u R R R ????????+2120 二、考虑下列系统： （a ）给出这个系统状态变量的实现； （b ）可以选出参数K （或a ）的某个值，使得这个实现或者丧失能控性，或者丧失能观性，或者同时消失。 解：（a ）模拟结构图如下： 则可得系统的状态空间表达式： （b ） 因为 3023A -??=??? 0013 k k a -??-??-? 110b ????=?????? 所以：当1a =时，该系统不能控；当1a ≠时，该系统能控。 又因为：[2C = 1 ]0 所以：当0k =或1a =时，该系统不能观；当0k ≠且1a ≠时，该系统能观。 综上可知：当1a =时或0k =且1a =时，该系统既不能控也不能观。 三、已知系统. Ax x =?的状态转移矩阵为： （1）试确定矩阵A ，并验证At e 确为上式。

现代控制理论课程学习心得.

现代控制理论基础课程总结 学院:__机械与车辆学院_ 学号:____2120120536___ 姓名:_____王文硕______ 专业:___交通运输工程__ 《现代控制理论》学习心得 摘要:从经典控制论发展到现代控制论,是人类对控制技术认识上的一次飞跃。现代控制论是用状态空间方法表示,概念抽象,不易掌握。对于《现代控制理论》这门课程,本人选择了最为感兴趣的几个知识点进行分析,并谈一下对于学习这么课程的一点心得体会。 关键词:现代控制理论;学习策略;学习方法;学习心得 在现代科学技术飞速发展中,伴随着学科的高度分化和高度综合,各学科之间相互交叉、相互渗透,出现了横向科学。作为跨接于自然科学和社会科学的具有横向科学特点的现代控制理论已成为我国理工科大学高年级的选修课和研究生的学位课。 从经典控制论发展到现代控制论,是人类对控制技术认识上的一次飞跃。经典控制论限于处理单变量的线性定常问题,在数学上可归结为单变量的常系数微分方程问题。现代控制论面向多变量控制系统的问题,它是以矩阵论和线性空间理论作为主要数学工具,并用计算机来实现。现代控制论来源于工程实际,具有明显的工程技术特点,但它又属于系统论范畴。系统论的特点是在数学描述的基础上,充分利用现有的强有力的数学工具,对系统进行分析和综合。系统特性的度量,即表现为状态;系统状态的变化,即为动态过程。状态和过程在自然界、社会和思维中普遍存在。现代控制论是在引入状态和状态空间的概念基础上发展起来的。状态和状态空间早在古典动力学中得到了广泛的应用。在5O年代Mesarovic教授曾提出“结构不确定

性原理”,指出经典理论对于多变量系统不能确切描述系统的内在结构。后来采用状态变量的描述方法,才完全表达出系统的动力学性质。6O年代初,卡尔曼(Kalman从外界输入对状态的控制能力以及输出对状态的反映能力这两方面提出能控制性和能观性的概念。这些概念深入揭示了系统的内在特性。实际上,现代控制论中所研究的许多基本问题,诸如最优控制和最佳估计等,都是以能能控性和能观性作为“解”的存在条件的。 现代控制理论是一门工程理论性强的课程,在自学这门课程时,深感概念抽象,不易掌握;学完之后,从工程实际抽象出一个控制论方面的课题很难,如何用现代控制论的基本原理去解决生产实际问题则更困难,这是一个比较突出的矛盾。 对现代控制理论来说,首先遇到的问题是将实际系统抽象为数学模型,有了数学模型,才能有效地去研究系统的各个方面。许多机电系统、经济系统、管理系统常可近似概括为线 性系统。线性系统和力学中质点系统一样,是一个理想模型,理想模型是研究复杂事物的主要方法,是对客观事物及其变化过程的一种近似反映。现代控制论从自然和社会现象中抽象出的理想模型,用状态空间方法表示,再作理论上的探讨。 线性系统理论是一门严谨的科学。抽象严谨是其本质的属性,一旦体会到数学抽象的丰富含义,再不会感到枯燥乏味。线性系统理论是建立在线性空间的基础上的,它大量使用矩阵论中深奥的内容,比如线性变换、子空间等,是分析中最常用的核心的内容,要深入理解,才能体会其物理意义。比如,状态空间分解就是一种数学分析方法。在控制论中把实际系统按能控性和能观性化分成四个子空间,它们有着确切的物理概念。线性变换的核心思想在于:线性系统的基本性质(如能控性、能观性、极点、传递函数等在线性变换下都不改变,从而可将系统化为特定形式,使问题的研究变得简单而透彻。 在学习现代控制理论教材时,发现不少“引而未发”的问题。由于作者有丰富的教学经验与学术造诣,能深入浅出阐述问题,发人深省。因此,通过自己反复阅读教材,就能理解这些内容。比如,在探讨线性系统的传递函数的零极点相消时,如果潜伏着

现代控制理论基础

现代控制理论基础 １．一个线性系统的状态空间描述( B ) A．是唯一的； B．不是唯一的 C．是系统的内部描述；D．是系统的外部描述 2．设系统的状态空间方程为=X+u，则其特征根为（ D ） A． s1= -2,s2= -3；B． s1= 2,s2= 3；C． s1= 1,s2= -3；D．s1=-1,s2=-2 3．状态转移矩阵（t）的重要性质有（ D）。 A．φ（0）=0； B．φ-1（t）= -φ（t）； C．φk（t）=kφ（t）；D ．φ（t1+t2）=φ（t1）?φ（t2）4．系统矩阵A=,则状态转移矩阵φ（t）= （ C） A． ; B． ; C． ; D． ; 5. 设系统=X+u，y=x，则该系统( A )。 A．状态能控且能观测； B．状态能控但不能观测； C．状态不能控且不能观测 D．状态不能控且能观测； 6．若系统=X+u，y=x是能观测的，则常数a取值范围是（ C）。 A．a ≠ 1；B．a = 1；C．a ≠ 0；D．a = 0； 7. 线性系统和互为对偶系统，则（AD） A．C1=B2T；B． C1=B2；C． C1=C2；D．C1=B2T 8. 李雅普诺夫函数V(x)=（x1+x2）2，则V(x)是(C) A．负定的；B．正定的；C．半正定的；D．不定的 9.单位脉冲响应的拉氏变换为（B）

A．； B．; C． 0； D． 1 10.通过状态反馈能镇定的充分必要条件是，渐近稳定的子系统是（B） A．能控； B．不能控; C．能观测； D．不能观测 二.填空题（每空1分，10分） 11.状态方程揭示了系统的内部特征，也称为内部描述。 12.已知系统矩阵，则特征多项式为S2-S+1 。 13.对于完全能控的受控对象，不能采用输出反馈至参考信号入口处的结构去实现闭环极点的任意配置。 14.在状态空间分析中，常用状态结构图来反映系统各状态变量之间的信息传递关系。 15.为了便于求解和研究控制系统的状态响应，特定输入信号一般采用脉冲函数、阶跃函数和斜坡函数等输入信号。 16.若已知线性系统的矩阵【A AB A2B】的秩为3，那么该系统是能控的。 17.当且仅当系统矩阵A的所有特征值都具有负实部时，系统在平衡状态时渐近稳定的。 18.同一个系统，状态变量的选择不是唯一的。 19.控制系统的稳定性，包括外部稳定性和内部稳定性。 20.能观测性是反映输出对系统状态的判断能力。 三.名词解释（共20分） 21.状态空间描述（3分） 答：用状态变量构成输入，输出与状态之间的关系方程组即为状态空间描述。 22. 零输入响应（3分） 答：是指系统输入为零时，由初始状态引起的自由运动。 23.稳定（3分） 答：系统稳定性包括外部稳定和内部稳定；外部稳定是指系统在零初始条件下通过其外部状

现代控制理论试题与答案

现代控制理论 1、经典-现代控制区别: 经典控制理论中,对一个线性定常系统,可用常微分方程或传递函数加以描述,可将某个单变量作为输出,直接与输入联系起来;现代控制理论用状态空间法分析系统,系统的动态特性用状态变量构成的一阶微分方程组描述,不再局限于输入量,输出量,误差量,为提高系统性能提供了有力的工具、可以应用于非线性,时变系统,多输入-多输出系统以及随机过程、2、实现-描述 由描述系统输入-输出动态关系的运动方程式或传递函数,建立系统的状态空间表达式,这样问题叫实现问题、实现就是非唯一的、 3、对偶原理 系统=∑1(A1,B1,C1)与=∑2(A2,B2,C2)就是互为对偶的两个系统,则∑1的能控性等价于∑2的能观性, ∑1的能观性等价于∑2的能控性、或者说,若∑1就是状态完全能控的(完全能观的),则∑2就是状态完全能观的(完全能控的)、对偶系统的传递函数矩阵互为转置 4、对线性定常系统∑0=(A,B,C),状态观测器存在的充要条件就是的不能观子系统为渐近稳定 第一章控制系统的状态空间表达式 1、状态方程:由系统状态变量构成的一阶微分方程组 2、输出方程:在指定系统输出的情况下,该输出与状态变量间的函数关系式 3、状态空间表达式:状态方程与输出方程总合,构成对一个系统完整动态描述 4、友矩阵:主对角线上方元素均为1:最后一行元素可取任意值;其余元素均为0 5、非奇异变换:x=Tz,z=T-1x;z=T-1ATz+T-1Bu,y=CTz+Du、T为任意非奇异阵(变换矩阵),空间表达式非唯一 6、同一系统,经非奇异变换后,特征值不变;特征多项式的系数为系统的不变量 第二章控制系统状态空间表达式的解 1、状态转移矩阵:eAt,记作Φ(t) 2、线性定常非齐次方程的解:x(t)=Φ(t)x(0)+∫t0Φ(t-τ)Bu(τ)dτ 第三章线性控制系统的能控能观性 1、能控:使系统由某一初始状态x(t0),转移到指定的任一终端状态x(tf),称此状态就是能控的、若系统的所有状态都就是能控的,称系统就是状态完全能控 2、系统的能控性,取决于状态方程中系统矩阵A与控制矩阵b 3、一般系统能控性充要条件:(1)在T-1B中对应于相同特征值的部分,它与每个约旦块最后一行相对应的一行元素没有全为0、(2)T-1B中对于互异特征值部分,它的各行元素没有全为0的 4、在系统矩阵为约旦标准型的情况下,系统能观的充要条件就是C中对应每个约旦块开头的一列的元素不全为0 5、约旦标准型对于状态转移矩阵的计算,可控可观性分析方便;状态反馈则化为能控标准型;状态观测器则化为能观标准型 6、最小实现问题:根据给定传递函数阵求对应的状态空间表达式,其解无穷多,但其中维数最小的那个状态空间表达式就是最常用的、 第五章线性定常系统综合 1、状态反馈:将系统的每一个状态变量乘以相应的反馈系数,然后反馈到输入端与参考输入相加形成控制律,作为受控系统的控制输入、K为r*n维状态反馈系数阵或状态反馈增益阵 2、输出反馈:采用输出矢量y构成线性反馈律H为输出反馈增益阵 3、从输出到状态矢量导数x的反馈:A+GC 4、线性反馈:不增加新状态变量,系统开环与闭环同维,反馈增益阵都就是常矩阵 动态补偿器:引入一个动态子系统来改善系统性能 5、(1)状态反馈不改变受控系统的能控性 (2)输出反馈不改变受控系统的能控性与能观性 6、极点配置问题:通过选择反馈增益阵,将闭环系统的极点恰好配置在根平面上所期望的位置,以获得所希望的动态性能(1)采用状态反馈对系统任意配置极点的充要条件就是∑0完全能控

《现代控制理论基础》考试题A卷及答案

即 112442k g k f M L M ML θθθ??=-+++ ??? 21244k k g M M L θθθ??=-+ ??? （2）定义状态变量 11x θ=，21x θ=,32x θ=,42x θ= 一．（本题满分10分） 如图所示为一个摆杆系统，两摆杆长度均为L ，摆杆的质量忽略不计，摆杆末端两个质量块（质量均为M ）视为质点，两摆杆中点处连接一条弹簧，1θ与2θ分别为两摆杆与竖直方向的夹角。当12θθ=时，弹簧没有伸长和压缩。水平向右的外力()f t 作用在左杆中点处，假设摆杆与支点之间没有摩擦与阻尼，而且位移足够小，满足近似式sin θθ=，cos 1θ=。 （1）写出系统的运动微分方程； （2）写出系统的状态方程。 【解】 （1）对左边的质量块，有 ()2111211cos sin sin cos sin 222 L L L ML f k MgL θθθθθθ=?-?-?- 对右边的质量块，有 ()221222sin sin cos sin 22 L L ML k MgL θθθθθ=?-?- 在位移足够小的条件下，近似写成： ()112124f kL ML Mg θθθθ=--- ()21224kL ML Mg θθθθ=--

则 122133441344244x x k g k f x x x M L M ML x x k k g x x x M M L =?? ???=-+++ ???? ? =????=-+? ????? 或写成 11 22334401 000014420001000044x x k g k x x M L M f ML x x x x k k g M M L ? ? ?? ?????????? ??-+???? ? ??????????=+??? ? ????? ??????????????????? ????-+?? ? ? ?????? ? 二．(本题满分10分) 设一个线性定常系统的状态方程为= x Ax ，其中22R ?∈A 。 若1(0)1?? =??-??x 时，状态响应为22()t t e t e --??=??-?? x ；2(0)1??=??-??x 时，状态响应为 2()t t e t e --?? =??-?? x 。试求当1(0)3??=????x 时的状态响应()t x 。 【解答】系统的状态转移矩阵为()t t e =A Φ，根据题意有 221()1t t t e t e e --????==????--???? A x 22()1t t t e t e e --????==????--???? A x 合并得 2212211t t t t t e e e e e ----????=????----?? ??A 求得状态转移矩阵为 1 22221212221111t t t t t t t t t e e e e e e e e e -----------?????? ?? ==????????------???? ????A