java线元法计算

java线元法计算

Java线元法计算

概述：

在计算机科学和工程领域，有许多问题需要使用数值计算方法来求解。其中，线元法是一种常用的数值计算方法，用于近似求解微分方程或积分方程。本文将介绍Java语言中如何使用线元法进行计算，并通过实例进行演示。

1. 线元法的基本原理

线元法是一种基于离散化的数值计算方法，它将连续的问题转化为离散的问题，通过在离散节点上进行计算，近似求解连续问题的解。在线元法中，将连续区域划分为若干个小区域，每个小区域称为一个线元。通过在每个线元上进行计算，最终得到整个区域的解。

2. Java中的线元法计算

在Java中，可以使用数组来表示线元法中的离散节点和线元。首先，需要确定离散节点的数量和位置，然后根据问题的具体要求，确定线元之间的关系和边界条件。接下来，可以使用循环结构在每个线元上进行计算，并将结果保存在数组中。

3. 示例：计算一维热传导问题

下面以一维热传导问题为例，演示使用Java进行线元法计算。假设有一根长度为L的金属棒，两端的温度分别为T1和T2，通过金属

棒的热传导导致温度分布发生变化。我们的目标是求解金属棒上各点的温度分布。

选择离散节点的数量N，并确定节点之间的距离h。根据问题的边界条件，可以确定首尾节点的温度为T1和T2。

接下来，根据离散节点的数量N，可以确定线元的数量为N-1。通过循环结构，在每个线元上进行计算。假设第i个线元的左节点为Ti-1，右节点为Ti，根据热传导方程，可以得到该线元上的温度变化率为：

dTi/dx = (Ti+1 - 2Ti + Ti-1) / h^2

其中，dTi/dx表示温度变化率，h表示节点间的距离。将上述方程转化为差分方程形式，可以得到：

Ti+1 - 2Ti + Ti-1 = h^2 * dTi/dx

通过解决上述差分方程，可以得到每个节点的温度。最后，将结果保存在数组中，并输出温度分布的图表。

4. 总结

通过上述示例，我们了解了如何使用Java语言中的线元法进行数值计算。线元法是一种常用的数值计算方法，适用于求解微分方程或积分方程。在实际应用中，可以根据问题的特点和要求，选择合适

的离散节点和线元，并使用循环结构在每个线元上进行计算。通过线元法的计算，可以近似求解连续问题的解，并得到准确的数值结果。

在实际使用中，需要注意选择合适的离散节点数量和线元数量，以及确定边界条件和初始条件。此外，还可以结合其他数值计算方法，如迭代法或插值法，进一步提高计算结果的精确度。

通过不断学习和实践，我们可以更好地掌握线元法的原理和应用，为解决实际问题提供有效的数值计算方法。同时，通过使用Java语言进行线元法计算，我们可以更加灵活地应用线元法，并将其集成到其他计算程序中，提高计算效率和准确度。

因此，掌握和应用Java线元法计算是计算机科学和工程领域的重要基础知识，希望读者通过本文的介绍和示例，对线元法有更深入的理解，并能够灵活运用于实际问题的求解中。

有限元法与有限差分法的主要区别

有限差分方法()是计算机数值模拟最早采用地方法，至今仍被广泛运用.该方法将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续地求解域.有限差分法以级数展开等方法，把控制方程中地导数用网格节点上地函数值地差商代替进行离散，从而建立以网格节点上地值为未知数地代数方程组.该方法是一种直接将微分问题变为代数问题地近似数值解法，数学概念直观，表达简单，是发展较早且比较成熟地数值方法.对于有限差分格式，从格式地精度来划分，有一阶格式、二阶格式和高阶格式.从差分地空间形式来考虑，可分为中心格式和逆风格式.考虑时间因子地影响，差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等.目前常见地差分格式，主要是上述几种形式地组合，不同地组合构成不同地差分格式.差分方法主要适用于有结构网格，网格地步长一般根据实际地形地情况和柯朗稳定条件来决定.构造差分地方法有多种形式，目前主要采用地是泰勒级数展开方法.其基本地差分表达式主要有三种形式：一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等，其中前两种格式为一阶计算精度，后两种格式为二阶计算精度.通过对时间和空间这几种不同差分格式地组合，可以组合成不同地差分计算格式.有限元方法地基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠地单元，在每个单元内，选择一些合适地节点作为求解函数地插值点，将微分方程中地变量改写成由各变量或其导数地节点值与所选用地插值函数组成地线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解.采用不同地权函数和插值函数形式，便构成不同地有限元方法.有限元方法最早应用于结构力学，后来随着计算机地发展慢慢用于流体力学地数值模拟.在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接地单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数地线形组合来逼近单元中地真解，整个计算域上总体地基函数可以看为由每个单元基函数组成地，则整个计算域内地解可以看作是由所有单元上地近似解构成.在河道数值模拟中，常见地有限元计算方法是由变分法和加权余量法发展而来地里兹法和伽辽金法、最小二乘法等.根据所采用地权函数和插值函数地不同，有限元方法也分为多种计算格式.从权函数地选择来说，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽辽金法，从计算单元网格地形状来划分，有三角形网格、四边形网格和多边形网格，从插值函数地精度来划分，又分为线性插值函数和高次插值函数等.不同地组合同样构成不同地有限元计算格式.对于权函数，伽辽金()法是将权函数取为逼近函数中地基函数；最小二乘法是令权函数等于余量本身，而内积地极小值则为对代求系数地平方误差最小；在配置法中，先在计算域内选取个配置点.令近似解在选定地个配置点上严格满足微分方程，即在配置点上令方程余量为.插值函数一般由不同次幂地多项式组成，但也有采用三角函数或指数函数组成地乘积表示，但最常用地多项式插值函数.有限元插值函数分为两大类，一类只要求插值多项式本身在插值点取已知值，称为拉格朗日()多项式插值；另一种不仅要求插值多项式本身，还要求它地导数值在插值点取已知值，称为哈密特()多项式插值.单元坐标有笛卡尔直角坐标系和无因次自然坐标，有对称和不对称等.常采用地无因次坐标是一种局部坐标系，它地定义取决于单元地几何形状，一维看作长度比，二维看作面积比，三维看作体积比.在二维有限元中，三角形单元应用地最早，近来四边形等参元地应用也越来越广.对于二维三角形和四边形电源单元，常采用地插值函数为有插值直角坐标系中地线性插值函数及二阶或更高阶插值函数、面积坐标系中地线性插值函数、二阶或更高阶插值函数等. 对于有限元方法，其基本思路和解题步骤可归纳为()建立积分方程，根据变分原理或方程余量与权函数正交化原理，建立与微分方程初边值问题等价地积分表达式，这是有限元法地出发点.()区域单元剖分，根据求解区域地形状及实际问题地物理特点，将区域剖分为若干相互连接、不重叠地单元.区域单元划分是采用有限元方法地前期准备工作，这部分工作量比较大，除了给计算单元和节点进行编号和确定相互之间地关系之外，还要表示节点地位置坐标，同时还需要列出自然边界和本质边界地节点序号和相应地边界值.()确定单元基函数，根据单元中节点数目及对近似解精度地要求，选

有限元法介绍

有限元法介绍 周宇 2012330300302 12机制（1）班理论研究、科学实验以及计算分析是人们进行科学研究和解决实际工程问题的重要手段，随着计算机技术及数值分析方法的发展，以有限元方法为代表的数值计算技术得到越来越广泛的应用。 有限元法是一种高效能、常用的数值计算方法。科学计算领域，常常需要求解各类微分方程，而许多微分方程的解析解一般很难得到，使用有限元法将微分方程离散化后，可以编制程序，使用计算机辅助求解。有限元法可应用于以任何微分方程所描述的各类物理场中，而不再要求这类物理场和泛函的极值问题有所联系。 一、基本思想 有限元方法是一种求解复杂对象方程的方法，基本思想来源于“化整为零”、“化弧为直”的直观思路，将实体的对象分割成不同大小、种类、小区域称为有限元。根据不同领域的需求推导出每一个元素的作用力方程，组合整个系统的元素并构成系统方程组，最后将方程组求解。由有限元的发展，该法具有下列的特色： 1、整个系统散为有限个元素； 2、利用能量最低原理与泛函数值定理（见附录）转换成一组线性联立方程； 3、处理过程简明； 4、整个区域左离散处理，需庞大的资料输出空间与计算机内存，解题耗时； 5、线性、非线性均适用； 6、无限区域的问题较难仿真。 二、基本概念 1、有限元法是把分析的连续体假想地分割成有限个单元所组合成的组合体； 2、这些单元仅在顶角处相互联接，这些联接点称为结点。 离散化的组合体和真实的弹性体的区别在于：组合体中单元与单元之间的联接除了结点之外再无任何关联。但是这种联接要满足变形协调条件，即不能出现裂缝，也不允许发生重叠——单元之间只能通过结点来传递内力。通过结点来传递的内力称为结点力，作用在结点上的载荷称为结点载荷。当连续体受到外力作用发生变形时，组成它的

Java编程题87题

1.（考点：排序算法）采用折半查找的算法，在数组中查询到某个数； 2.（数组）将一个数组中值=0的项去掉,将不为0的值存入一个新的数组,比如: int a[]={1,3,4,5,0,0,6,6,0,5,4,7,6,7,0,5}; 生成的新数组为: int b[]={1,3,4,5,6,6,5,4,7,6,7,5} 3.（对象数组）定义10个长度的Student数组，将10个Student对象的年龄全部加1， 然后把10个Student对象的详细信息逐行打印出来(数组和ArrayList实现)。 4.（面向对象，继承）有工人(worker),农民(peasant),教师(teacher),科学家(scientist),服务生 (waiter),其中,工人,农民,服务生只有基本工资(basePay).教师除基本工资外,还有课酬(classPay)(元/天),科学家除基本工资外,还有年终奖(bonus),请你写出相关类,将各种类型的员工的全年工资打印出来; 5.（数学算法★★★）创建一个复数类complex，对复数进行数学运算，复数具有如下格 式： RealPart+ImaginaryPart*I 其中，I为－１的平方根。 要求如下： （１）利用浮点变量表示此类的私有数据。提供两个构造方法，一个用于此类声明时对象的初始化；一个为带默认值得无参构造方法。 （２）提供两复数加、减、乘的运算方法。 （３）按格式（a,b）打印复数。其中a为实部，b为虚部。 6.（数学算法）实现圆类circle，包含相关的成员变量和成员方法。从圆类派生出圆柱类 cylinder。根据建立的两个类，从键盘输入5个圆的半径，5个圆柱的半径和高度，并分别是输出5个圆的面积，5个圆柱的体积。 7.（数组，数学算法）输入一个整数，求这个整数中每位数字相加的和 8.（String类方法或者char[]）编写一个java应用程序，要求如下： （1）声明一个String类的变量并初始化值“Hello World”。 （2）用字符串类的一个方法将上面变量的值拆分成”Hello”和“World”两个字符串 并打印输出。 （3）将”Hello”这个变量转换成大写、“World”转换成小写并打印输出。 （4）声明一个String类的变量并初始化值“20100110”。 （5）将上面变量的值转换成2010年1月10日的形式打印输出。 9.(循环)程序功能：求s=1+3+5+7+...直到s>2000为止。 10.（递归）程序功能：计算s=2!+4!+8!。（首先先定义一个函数，函数的功能就是求任何 一个数的阶乘）

有限元法

有限元法（Finite Element Methods）是将一个连续系统（物体）分割成有限个单元（离散化），先对每一个单元进行分析，给出每一个单元的近似解（单元分析），再将所有单元按照一定的方式进行组合，来模拟或者逼近原来的系统或物体（整体分析），从而将一个连续的无限自由度问题简化成一个离散的有限自由度问题分析求解的一种数值分析方法。 应用于材料加工传热领域的大型有限元模拟软件有：ANSYS、Deform、ProCAST、Fluent 和Marc等。这些软件各有其特点，ANSYS应用最为广泛，Deform主要用于模拟伴有材料流动的传热行为，Fluent主要用于模拟流体的传热行为，ProCAST用于解决凝固传热问题，Marc主要用于模拟材料加工过程中非线性传热问题。 有限元法分析过程可分为：前处理、分析、后处理三大步骤。 （1）前处理：对实际的连续体离散化后就建立了有限元分析模型，这一过程是有限元法的前处理过程。在这一阶段，要构造计算对象的几何模型，要划分有限元网格，生成有限元分析的输入数据，这一步是有限元分析的关键。 （2）有限元分析：主要包括单元分析、整体分析、载荷移置、引入约束、求解约束方程等过程。这一过程是有限元分析的核心部分，有限元理论主要体现在这一过程中。 （3）后处理：主要包括对计算结果的加工处理、编辑组织和图形表示三个方面。它可以把有限元分析得到的数据，进一步转换为设计人员直接需要的信息，如应力分布状态、结构变形状态、瞬时温度分布等，并且绘成直观的图形，从而帮助设计人员迅速的评价和校核设计方案。 一、A NSYS简介 ANSYS软件是融结构、流体、电场、磁场、声场分析于一体的大型通用有限元分析软件，ANSYS软件包括前处理模块、分析计算模块和后处理模块。对应模拟计算过程也分为三步：创建有限元模型、施加载荷并求解和查看结果。 前处理模块提供了一个强大的实体建模及网格划分工具，用户可以方便地构造有限元模型；分析计算模块包括热分析（稳态分析和瞬态分析）、结构分析（可进行线性分析、非线性分析和高度非线性分析，结构静力分析和结构动力学分析）、流体动力学分析、电磁场分析、声场分析、压电分析以及多物理场的耦合分析，可模拟多种物理介质的相互作用，具有灵敏度分析及优化分析能力；后处理模块可将计算结果以彩色等值线显示、梯度显示、矢量显示、粒子流迹显示、立体切片显示、透明及半透明显示（可看到结构内部）等图形方式显示出来，也可将计算结果以图表、曲线形式显示或输出。 ANSYS热分析基于能量守恒原理的热平衡方程，用有限元法计算各节点的温度，并导出其它热物理参数，得到一个系统或部件的温度分布及其它热物理参数，如热量的获取或损失、热梯度、热流密度（热通量）等。ANSYS热分析包括热传导、热对流及热辐射，对三种热传递方式均可进行稳态和瞬态、线性和非线性分析。还可以分析材料固化和熔解过程的相变、有内热源、接触热阻等问题。在传热耦合计算方面，可以进行热－结构、热－流体、热－电、热－磁、热－电－磁－结构等耦合。 二、D eform简介

有限元法的基本步骤

有限元法的基本步骤 有限元法是一种数值计算方法，用于求解一般的物理问题。它将求解区域划分为许多小的有限元，然后在每个有限元中近似地求解物理方程。下面是有限元法的基本步骤。 1.问题建模和离散化： 首先，将待求解的物理问题建模为一个数学模型。确定问题的几何形状、材料特性、边界条件以及所关心的物理量等。然后，将求解区域离散化为有限个子域，即有限元。这些子域通常被称为有限元。这可以通过网格划分、三角剖分等方法完成。 2.选择适当的有限元类型： 根据问题的性质和求解的准确性要求，选择适当的有限元类型。有限元可以是线性元、二次元、高次元等。线性元是最简单的元素类型，但精度较低；高次元则可以提供更高的精度，但可能需要更多的计算资源。 3.构造刚度矩阵和载荷向量： 对每个有限元，需要确定与之相关的刚度矩阵和载荷向量。刚度矩阵描述了有限元中节点之间的刚度关系，载荷向量描述了有限元中的外部载荷。这些可以通过对有限元进行分析和积分得到。 4.组装： 将所有有限元的刚度矩阵和载荷向量组装成整体的刚度矩阵和载荷向量。这可以通过将每个有限元的局部坐标映射到全局坐标系中，然后使用节点编号等方法实现。 5.应用边界条件：

为了得到唯一的解，必须对一些节点施加边界条件。边界条件可以是位移约束、力约束或应力约束等。这些边界条件可以通过直接施加到刚度矩阵和载荷向量上，或通过修改刚度矩阵和载荷向量来实现。 6.求解： 利用数值方法求解稀疏矩阵方程组。通常使用迭代方法，如共轭梯度法、Jacobi迭代法或Gauss-Seidel法等，来求解这个方程组。 7.后处理： 在得到解后，可以通过一些后处理操作进行结果的分析和可视化。后处理可以包括计算附加的物理量，如应力、应变、位移等，并将结果可视化。 有限元法是一种广泛使用的数值计算方法，可以用于求解各种工程和科学领域的问题。它具有高精度、适用范围广等优点，并且可以随着计算资源的增加而提高计算精度。在实际应用中，根据具体问题的特点，有限元方法的步骤和细节可能会有所调整和改变，但上述基本步骤仍然适用于大多数情况。

对有限元法有限差分法边界元法和模拟电荷法的粗略总结

对有限元法、有限差分法、边界元法和模拟电荷法的粗略总结:有限元法 ( finiteelementmethod )：将连续的求解域离散为一组单元的组合体，用在每个单元内假设的近似函数来分片的表示求解域上待求的未知场函数，近似函数通常由未知场函数及其导数在单元各节点的数值插值函数来表达。从而使一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题。缺点是有限元必须同时对所有域内节点和边界节点联立求解，待求未知数多，要求解的方程规模大，导致输入数据多，计算的准备工作量大。 有限差分法( finite difference method )：直接从微分方程出发，将求解区域划分为网格，近似地用差分、差商代替微分、微商，于是无限度的问题化成有限自由度的问题。 这种方法在解决规则边界的问题时极为方便，但是正是由于这种限制而增加了它的局限性，即对于非规则边界的问题适用性较差。 边界元法( boundaryelementmethod )：边界元法是在有限元法之后发展起来的一种较精确有效的工程数值分析方法。它以定义在边界上的边界积分方程为控制方程，通过对边界分元插值离散，化为代数方程组求解。它与基于偏微分方程的区域解法相比，由于降低了问题的维数，而显著降低了自由度数，边界的离散也比区域的离散方便得多，可用较简单的单元准确地模拟边界形状，最终得到阶数较低的线性代数方程组。 又由于它利用微分算子的解析的基本解作为边界积分方程的核函数，而具有解析与数值相结合的特点，通常具有较高的精度。特别是对于边界变量变化梯度较大的问题，如应力集中问题，或边界变量出现奇异性的裂纹问题，边界元法被公认为比有限元法更加精确高效。由于边界元法所利用的微分算子基本解能自动满足无限远处的条件，因而边界元法特别便于处理无限域以及半无限域问题。边界元法的主要缺点是它的应用范围以存在相应微分算子的基本解为前提，对于非均匀介质等问题难以应用，故其适用范围远不如有限元法广泛，而且通常由它建立的求解代数方程组的系数阵是非对称满阵，对解题规模产生较大限制。对一般的非线性问题，由于在方程中会出现域内积分项，从而部分抵消了边界元法只要离散边界的优点。 模拟电荷法(charge simulatio n method):在实际工程计算中，电极表面上 1/ 2

有限差分法、有限单元和有限体积法简介

有限差分法、有限单元法和有限体积法的简介 1.有限差分方法 有限差分方法(Finite Difference Method,FDM)是计算机数值模拟最早采用的方法,至今仍被广泛运用。该方法将求解域划分为差分网格,用有限个网格节点代替连续的求解域。有限差分法以Taylor级数展开等方法,把控制方程中的导数用网格节点上的函数值的差商代替进行离散,从而建立以网格节点上的值为未知数的代数方程组。该方法是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法,数学概念直观,表达简单,是发展较早且比较成熟的数值方法。 对于有限差分格式,从格式的精度来划分,有一阶格式、二阶格式和高阶格式。从差分的空间形式来考虑,可分为中心格式和逆风格式。考虑时间因子的影响,差分格式还可以分为显格式、隐格式、显隐交替格式等。目前常见的差分格式,主要是上述几种形式的组合,不同的组合构成不同的差分格式。差分方法主要适用于有结构网格,网格的步长一般根据实际地形的情况和柯朗稳定条件来决定。构造差分的方法有多种形式,目前主要采用的是泰勒级数展开方法。其基本的差分表达式主要有三种形式:一阶向前差分、一阶向后差分、一阶中心差分和二阶中心差分等,其中前两种格式为一阶计算精度,后两种格式为二阶计算精度。通过对时间和空间这几种不同差分格式的组合,可以组合成不同的差分计算格式。 2.有限元方法 有限元方法(Finite Element Method,FEM)的基础是变分原理和加权余量法,其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元,在每个单元内,选择一些合适的节点作为求解函数的插值点,将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式,借助于变分原理或加权余量法,将微分方程离散求解。采用不同的权函数和插值函数形式,便构成不同的有限元方法。

实验题java

实验1 简单Java程序调试 ✧基本题 1）编写一个程序输出如下图案 ****** ************* *** ******* ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ******** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ** ***** **** ********** 2)编制applet程序，绘制一个长120、宽80的红色矩形，并在矩形内部绘制一个兰色内切椭圆。 ✧提高题 1）编写一个应用程序绘制一个如下的操作菜单。 ***************************** | 1. 增加1个学生 | | 2. 显示所有学生 | | 3. 退出程序 | | 请输入选择（1-3）： | ***************************** 2）创建一个applet程序，绘制两个同心圆，园心显示“同心”两个汉字。

实验2 分支、循环程序设计 ✧基本题 1）从键盘输入4个学生的成绩，找出最高分和最低分。 【提示】引入两个变量分别存放最高分和最低分，根据比较改变这两个变量值。 2）写一个程序输入一个整数n,输出相应三角形。例如：N=4，则三角形如下：# ## ### #### 3）编写一个程序，用于输出Fibonacci数列的前20项。 4)输入一个百分制分数，输出其对应的五分制成绩，包括：优、良、中、及格、不及 格。 5) 计算算式： 1-1/2+1/3-1/4+1/5-…-1/100 6)输出九九乘法表,格式如下: 1*1=1 1*1=2 1*3=3 …… 2*1=1 2*2=2 2*3=3 …… …… 9*1=1 9*2=18 9*3=27 …… ✧提高题 1）设有一元二次方程如下： aX2+bx+c=0 试根据从键盘输入的a，b，c求解方程的根。 【提示】要考虑各种情形：一是a为0的情形，方程根为-c/b。还有就是根据判别式Δ=b2 - 4ac进行判断，如果Δ.>0有两个实根；Δ=0，有一个实根；Δ<0，无实数解。 另外，求x的平方根可用Math.sqrt(x)方法。 2) 输入某人的应纳税所得额，计算个人所得税。税率表如下：

数值计算方法李乃成

数值计算方法李乃成 01有限元法 有限元方法的基础是变分原理和加权余量法，其基本求解思想是把计算域划分为有限个互不重叠的单元，在每个单元内，选择一些合适的节点作为求解函数的插值点，将微分方程中的变量改写成由各变量或其导数的节点值与所选用的插值函数组成的线性表达式，借助于变分原理或加权余量法，将微分方程离散求解。采用不同的权函数和插值函数形式，便构成不同的有限元方法。 在有限元方法中，把计算域离散剖分为有限个互不重叠且相互连接的单元，在每个单元内选择基函数，用单元基函数的线形组合来逼近单元中的真解，整个计算域上总体的基函数可以看为由每个单元基函数组成的，则整个计算域内的解可以看作是由所有单元上的近似解构成。 根据所采用的权函数和插值函数的不同，有限元方法也分为多种计算格式。从权函数的选择来说，有配置法、矩量法、最小二乘法和伽辽金法，从计算单元网格的形状来划分，有三角形网格、四边形网格和多边形网格，从插值函数的精度来划分，又分为线性插值函数和高次插值函数等。不同的组合同样构成不同的有限元计算格式。 对于权函数，伽辽金（Galerkin）法是将权函数取为逼近函数中的基函数；最小二乘法是令权函数等于余量本身，而内积的极小值则为对代求系数的平方误差最小；在配置法中，先在计算域内选取N个

配置点。令近似解在选定的N个配置点上严格满足微分方程，即在配置点上令方程余量为0. 插值函数一般由不同次幂的多项式组成，但也有采用三角函数或指数函数组成的乘积表示，但最常用的多项式插值函数。有限元插值函数分为两大类，一类只要求插值多项式本身在插值点取已知值，称为拉格朗日（Lagrange）多项式插值；另一种不仅要求插值多项式本身，还要求它的导数值在插值点取已知值，称为哈密特（Hermite）多项式插值。 单元坐标有笛卡尔直角坐标系和无因次自然坐标，有对称和不对称等。常采用的无因次坐标是一种局部坐标系，它的定义取决于单元的几何形状，一维看作长度比，二维看作面积比，三维看作体积比。 在二维有限元中，三角形单元应用的最早，近来四边形等参元的应用也越来越广。对于二维三角形和四边形电源单元，常采用的插值函数为有Lagrange插值直角坐标系中的线性插值函数及二阶或更高阶插值函数、面积坐标系中的线性插值函数、二阶或更高阶插值函数等。 对于有限元方法，其基本思路和解题步骤可归纳为 建立积分方程，根据变分原理或方程余量与权函数正交化原理，建立与微分方程初边值问题等价的积分表达式，这是有限元法的出发点。 区域单元剖分，根据求解区域的形状及实际问题的物理特点，将区域剖分为若干相互连接、不重叠的单元。区域单元划分是采用有限

有限元法理论格式与求解方法pdf

有限元法理论格式与求解方法pdf 有限元法（Finite Element Method，FEM）是一种数值计算方法，广泛应用于力学、流体力学、电磁学等领域的工程问题中。本文将介绍有限元法的理论格式和求解方法。 有限元法的理论格式： 有限元法通过将实际问题离散化为有限个小区域，再在每个小区域内建立数学模型，最后通过求解这些局部模型得到全局解。下面是有限元法的一般理论格式： （1）建立刚度矩阵：根据问题的边界条件和材料特性，将每个小区域的数学模型转化为线性方程组。这一步骤的关键是确定每个小区域内的自由度。 （2）装配刚度矩阵：将每个小区域内的线性方程组组装成整体的线性方程组。这一步骤涉及到各个小区域之间的约束条件和连接方式。 （3）施加边界条件：根据问题的边界条件，在整体线性方程组中施加相应的边界条件。这一步骤将限制整体线性方程组的自由度。 （4）求解线性方程组：通过求解整体线性方程组，得到有限元法的解。 有限元法的求解方法： 有限元法的求解方法通常分为以下几种： （1）直接法：直接法是指直接求解整体线性方程组的方法，例如高斯消元法、LU分解法等。直接法的优点是精度高、收敛速度快，但对大规模问题求解的时间和内存开销较大。

（2）迭代法：迭代法是指通过迭代计算逼近解的方法，例如雅可比迭代法、Gauss-Seidel迭代法、共轭梯度法等。迭代法的优点是求解速度快、内存开销小，但收敛性和稳定性有时较低。 （3）稳健法：稳健法是指针对病态问题设计的求解方法，例如预处理共轭梯度法、牛顿迭代法等。稳健法的优点是能够处理病态问题，但相对于直接法和迭代法，稳健法的复杂性较高。 （4）并行算法：为了加快大规模问题的求解速度，通常采用并行算法。并行算法可以将问题划分为多个子问题，然后分别求解，最后通过通信和同步操作将各个子问题的解组合起来。并行算法的优点是能够充分利用多核处理器和分布式计算资源。 总结： 有限元法作为一种广泛应用的数值计算方法，其理论格式和求解方法具有一定的一般性。理论格式包括建立刚度矩阵、装配刚度矩阵、施加边界条件和求解线性方程组等步骤。求解方法包括直接法、迭代法、稳健法和并行算法等。选择合适的理论格式和求解方法，可以提高有限元法的精度和效率。

拉格朗日单元 有限元法-概述说明以及解释

拉格朗日单元有限元法-概述说明以及解释 1.引言 1.1 概述 拉格朗日单元有限元法作为一种常用的数值计算方法，在工程领域具有广泛的应用。它是一种基于拉格朗日乘子法的数学描述方法，通过将模型的变量表示为拉格朗日乘子和原始变量的组合，从而建立了一种有效的数值求解框架。 本文旨在介绍拉格朗日单元有限元法的基本原理和特点，以及其在工程领域的应用情况。通过深入探讨其优势和发展方向，旨在为读者提供对该方法的全面了解，并为未来研究提供指导和启示。 1.2 文章结构 本文将分为三个部分进行详细讨论和分析。首先，在引言部分，将对拉格朗日单元有限元法进行简要概述，介绍文章的结构以及讨论的目的。其次，在正文部分，将详细介绍拉格朗日单元有限元法的概念和原理，探讨其特点和优势，并阐述其在工程领域的应用情况。最后，在结论部分，将总结拉格朗日单元有限元法的优势，展望其未来发展方向，并给出本文的最终结论。通过这样的结构安排，读者将能够全面了解拉格朗日单元有限元法的重要性和应用价值，以及其在工程领域的广泛应用和发展前景。

1.3 目的 本文旨在介绍拉格朗日单元有限元法在工程领域中的重要性和应用。通过对拉格朗日单元的特点和优势进行分析，可以帮助读者更好地理解有限元法在工程分析中的作用。同时，本文也会探讨拉格朗日单元有限元法未来的发展方向，为读者提供对该方法在工程领域中的应用前景有一个清晰的认识。最终，通过本文的阐述，可以让读者对拉格朗日单元有限元法有一个全面而深入的了解，从而为工程实践中的问题解决提供参考和借鉴。 2.正文 2.1 拉格朗日单元有限元法概述 拉格朗日单元有限元法是一种常用的有限元分析方法，它基于拉格朗日插值函数构建单元形状函数，通过单元刚度矩阵和载荷向量的组装，可以得到整个结构的刚度矩阵和载荷向量，进而求解结构的位移场、应力场和应变场。 在拉格朗日单元有限元法中，每个有限元单元内部都包含有节点，节点的位移是有限元分析的主要求解量，位移场通过插值函数来描述，这些插值函数可以根据拉格朗日插值法进行构建。通过将每个单元内的节点的位移场通过插值函数求解出来，整个结构的位移场可以得到。 拉格朗日单元有限元法的优势在于它能够准确地描述结构的变形情况，

拱坝有限元计算模型的程序化建模

拱坝有限元计算模型的程序化建模 牟高翔;陈岗;蔡华龙 【摘要】有限元模型传统建模过程是:几何模型(点、线、面、体)→单元模型(节点、单元),操作极其繁琐,而且调整不便,不利于拱坝体形优化过程中的快速建模计算.本 文利用ANSYS软件命令流文件,采用程序直接生成节点、单元的方式完成建模.【期刊名称】《水电站设计》 【年(卷),期】2010(026)002 【总页数】3页(P24-26) 【关键词】有限元法;拱坝;体型设计;优化;程序化建模;软件 【作者】牟高翔;陈岗;蔡华龙 【作者单位】中国水电顾问集团成都勘测设计研究院,四川,成都,610072;中国水电 顾问集团成都勘测设计研究院,四川,成都,610072;二滩水电开发有限责任公司,四川,成都,610061 【正文语种】中文 【中图分类】TP391;TV642.4 1 问题的提出 随着电算技术的发展,有限单元法在拱坝的应力分析上得到广泛的应用。该方法不 受结构力学假定的限制,不但可以比较合理地考虑拱坝的整体作用,还能够进行各种 复杂条件下的拱坝力学分析,解决了拱梁分载法中较难处理的各种问题。

创建有限单元模型是有限单元计算分析中不可或缺的一个重要环节。有限单元模型创建的一般过程是:几何模型(点、线、面、体)→单元模型(节点、单元)。此过程操作极其繁琐,占整个有限元计算工作量的 70%以上,而且调整不便(计算模型如有调整,整个过程必须重新来过)。对拱坝体形优化而言,针对不同的体形方案,需要建立不同的模型。上述过程建模速度缓慢,而且相同部位的单元网格形状和几何尺寸的一致性难以保证,而单元网格的划分与计算结果密切相关。因此,需要采取另外一种建模方法,一方面能够快速地将优化调整的拱坝体形转化成可以用于计算的单元网格;另一方面有一套各种模型都遵循的网格划分原则,以确保相同部位单元网格形状和几何尺寸一致。 2 ANSYS有限元软件的建模技术①《ANSYS中文学习指南》。 ANSYS软件是融结构、热、流体、电磁、声学于一体的大型通用有限元软件,因其功能强大、界面友好,因而在工程技术领域得到广泛应用。ANSYS有限元分析软件的有限元模型的建立可分为直接法和间接法两种。直接法为人为控制直接生成计算分析所需要的节点和网格单元;间接法是指由实体模型到有限元网格的建模方法。与一般的 CAD软件一样,间接法通过点、线、面、体先建立分析对象的实体模型,再进行实体网格划分,以完成有限元模型的建立。后一种方法因其过程直观,得到了大量应用,而前一种方法,无疑使通过编制程序控制网格的划分,直接形成 ANSYS可以读取的有限元模型成为可能。 在 ANSYS软件中,允许将建模过程中需要的所有命令以命令流文件的形式快速导入。建模所需要的命令流如下: /PREP7 (进入前处理器。此为说明,实际流文件不包含,以下同。) ET,1,PLANE45 (定义 1#单元为 8节点六面体单元) N,num,x1,y1,z1(定义节点,“num”为节点序号;“x1,y1,z1”为实际节点坐标) FLST,2,8,1 (以下 10行,通过 8个节点形成一个单元)

各向异性热传导问题杂交Trefftz有限元法及数值实现

各向异性热传导问题杂交Trefftz有 限元法及数值实现 摘要： 当前各向异性热传导问题，在热学领域得到了广泛的关注，许多学者 开展了深入的研究。Trefftz有限元法是一种新兴的解决此类问题的数值计算方法，该方法通过采取基于边界积分方程的Trefftz函数，避 免了网格依赖性的问题。本文介绍了Trefftz有限元法对各向异性热 传导问题的显式方法，同时还对其相关的数值实现做出了详细的介绍。经过验证，该方法不仅具有高精度和准确性，而且大大提高了计算效率，有很好的应用前景。 关键词：各向异性热传导、Trefftz有限元法、边界积分方程、数值实现、计算效率 一、引言 各向异性热传导问题一直是研究热学领域的重要问题。各向异性材料 的热传导特性的复杂性，使得该问题的数学模型的建立和数值计算变 得十分困难。近年来，解决这一问题的方法也得到了迅速发展。 Trefftz有限元法是最近新兴的解决各向异性热传导问题的数值计算方法之一。该方法的特点是采用基于边界积分方程的Trefftz函数，克 服了传统有限元方法中的网格依赖性问题，同时为计算提供了更好的 精度和准确性。本文将详细介绍Trefftz有限元法在各向异性热传导 问题中的显式方法，并对其给出的数值实现做出详尽的分析和说明。 最后，通过数值实验的结果，验证了该方法的高精度和较高的计算效率。 二、热传导问题的数学模型

本文所考虑的是各向异性介质内的热传导问题。根据热传导学中的基本假设，我们基于傅里叶定律、热对流定律和热辐射定律等假设，建立如下的热传导方程： （1）∇·k∇T+f=ρC(T) 其中，k是热传导系数，T是温度，f是热源项，ρ是密度，C是比热容。在各向异性材料中，k是一个矩阵，可以写为： （2）k=[k11 k12 k13] [k21 k22 k23] [k31 k32 k33] 其中，各个元素反映了各向异性材料的传热特性。下一步，我们需要将上述方程变形为适合于数值计算的形式。这里采用Trefftz有限元法进行求解。 三、Trefftz有限元法 3.1 Trefftz有限元法的基本思想 Trefftz有限元法是边界积分方程法的一种新形式。它采用了相应的复合材料Trefftz基函数，并利用完备性原理，将问题变为一个关于函数系数的线性方程组，从而得到问题的解。相对于传统有限元法，一些关键优点是它的高精度和不依赖于网格。 3.2 Trefftz基函数 Trefftz基函数是解题过程中的重要组成部分。它与该问题的边界条件和嵌入到该问题的解密切相关。若假设边界条件为：

有限元法基础与程序设计教学设计

有限元法基础与程序设计教学设计 一、前言 有限元法是目前工程计算领域中最重要的方法之一，广泛应用于工 程力学、地震工程、流体力学、热力学等领域的计算分析中。为了更 好地培养学生的工程计算能力和实践动手能力，有限元法基础与程序 设计课程一直是工程学院的一门重要的基础专业课程。 本文将探讨如何在教学中加强学生对有限元法基础知识的理解与运用，提高学生的编程能力，促进学生的实践能力的培养。 二、课程背景 有限元法是工程计算中一种重要的数值计算方法。在工程设计和分 析中，有限元法已经成为计算机辅助设计和分析工具的重要组成部分，广泛应用于结构力学、流体力学、声学、热传导、地震工程等计算领域。有限元法的原理、方法和应用已经成为大学工程教育的必修内容。 有限元法基础与程序设计课程的目的是为大学生提供有限元法的基 础知识和程序设计技能。经该课程培养的学生应该能够理解有限元法 的数学基础和程序实现过程，能够独立应用Matlab等软件进行基本的 结构和流体场有限元方法分析，解决一些基本工程问题，为学生今后 专业方向发展打下坚实基础。

三、课程内容 1. 有限元法基础知识 （1）数学知识 有限元方法的数学基础是微积分、线性代数、偏微分方程等数学知识。学生对这些数学知识系统学习的情况下，才能更深入地理解有限 元方法的原理和实现过程。 （2）有限元方法的基本概念 有限元方法是通过将工程结构等分成小的单元，用单元代替整体， 然后把整个结构等效为一个大的有限元模型，最后进行数值计算和分析。学生需要学习有限元方法的基本概念，并理解数据初始化、单元、材料、约束和边界条件等概念的定义和关系。 （3）有限元方法的基本步骤 学生需要了解有限元方法的基本步骤：前处理、求解和后处理。其 中前处理包括：网格划分、数据初始化、单元、边界条件定义等。求 解过程中：线性方程组的求解算法、非线性问题的求解过程等。后期 处理是根据分析结果对结果进行可视化和验证等。

有限元法的基本原理

第二章有限单元法的基本原理 作为一种比较成熟的数值计算方法，有限元的数学基础是变分原理。经过半个过世纪的发展，它的数学基础已经比较完善。 从数学角度分析，有限元法是以变分原理和剖分插值为基础的数值计算方法。它广泛的应用于解算各种类型的偏微分方程，特别对椭圆型方程，因为椭圆型方程的边值问题等价于适当的变分问题，即能量积分的级值问题。通过变分，导出相应的泛涵，再把作用域从几何上剖分为足够小的单元，这样就能够用简单的图形去拟合复杂的边界，用简单的初等函数去模拟单元的性质。在解算中先对每个单元进行分析，后在通过连接单元的节点对作用域的整体进行分析，就是对泛涵求极值，从而把一个复杂的偏微分方程求解问题，变成解线形代数方程组的问题。尽管这样会出现大量的未知数，由于采用了矩阵分析的方法，总体上很有规律，适合编制程序用计算机完成。 通常的数学考虑包括这些：1）从古典变分方法原理去定义微分方程边值问题的广义解以及在古典变分方法的框架对有限元进行理论分析。2）保证偏微分方程边值问题的提法正确，即要求解存在、唯一和稳定，即保证数值解法是可靠的。3）有限元中重要的一点是采用了分块多项式插值函数，因此，有限元的误差估计转化为插值逼近的误差估计问题。4）有限元的收敛性和误差估计。 由于本文是应用有限元的理论解决大地测量中的问题，因此，这里将不讨论上叙问题，而是从固体力学的基本方程出发，通过虚功原理建立起离散化的有限元方程。另外，还以八节点六面体单元为例，简要叙述了实际中最常用的等参单元的概念及其数值变化的一些公式。 §2.1 弹性力学基本方程 有限元法中经常要用到弹性力学的基本方程，这里写出这些方程的矩阵表达式。2-1-1、平衡方程 对任意一点的受力情况分析，沿坐标轴方向x, y ,z分解得到平衡方程

有限元方法的发展及应用

有限元方法的发展及应用 1 有限元法介绍 1.1 有限元法定义 有限元法（FEA，Finite Element Analysis）的基本概念是用较简单的问题代替复杂问题后再求解。它是起源于20世纪50年代末60年代初兴起的应用数学、现代力学及计算机科学相互渗透、综合利用的边缘科学。 有限元法的基本思想是将求解域看成是由许多称为有限元的小的互连子域组成，对每一单元假定一个合适的(较简单的）近似解，然后推导求解这个域总的满足条件(如结构的平衡条件），从而得到问题的解。这个解不是准确解，而是近似解，因为实际问题被较简单的问题所代替。由于大多数实际问题难以得到准确解，而有限元不仅计算精度高，而且能适应各种复杂形状，因而成为行之有效的工程分析手段。有限元法最初应用在工程科学技术中,用于模拟并且解决工程力学、热学、电磁学等物理问题。 1.2 有限元法优缺点 有限元方法是目前解决科学和工程问题最有效的数值方法，与其它数值方法相比，它具有适用于任意几何形状和边界条件、材料和几何非线性问题、容易编程、成熟的大型商用软件较多等优点。 （1）概念浅显，容易掌握，可以在不同理论层面上建立起对有限元法的理解，既可以通过非常直观的物理解释来理解，也可以建立基于严格的数学理论分析。 （2）有很强的适用性，应用范围极其广泛。它不仅能成功地处理线性弹性力学问题、费均质材料、各向异性材料、非线性应立-应变关系、大变形问题、动力学问题已及复杂非线性边界条件等问题，而且随着其基本理论和方法的逐步完善和改进，能成功地用来求解如热传导、流体力学、电磁场等领域的各类线性、非线性问题。他几乎适用于求解所有的连续介质和场问题，以至于目前开始向纳米量级的分子动力学渗透。 （3）有限元法采用矩阵形式表达，便于编制计算机软件。这样，不仅可以充分利用高速计算机所提供的方便，使问题得以快速求解，而且可以使求解问题

数值代数上机实验报告

数值代数课程设计实验报告 姓名： 班级： 学号： 实验日期： 一、实验名称 代数的数值解法 二、实验环境 MATLAB7.0 实验一、平方根法与改进平方根法 一、实验要求： 用熟悉的计算机语言将不选主元和列主元Gasuss 消元法编写成通用的子程序，然后用编写的程序求解下列方程组 ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ ⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦⎤ ⎢⎢⎢⎢⎢⎢ ⎢⎢⎢⎣ ⎡--⨯1415151515768 168 168 168 1681612321 n n n n n x x x x x x 用所编的程序分别求解40、84、120阶方程组的解。 二、算法描述及实验步骤 GAuss 程序如下： （1）求A 的三角分解：LU A =; （2）求解b y =L 得y ； （3）求解y x =U 得x ； 列主元Gasuss 消元法程序如下： 1求A 的列主元分解：LU PA =; 2求解b y P L =得y ； 3求解y x =U 得x ；

三、调试过程及实验结果： %----------------方程系数---------------->> A1=Sanduijiaozhen(8,6,1,40); >> A2=Sanduijiaozhen(8,6,1,84); >> A3=Sanduijiaozhen(8,6,1,120); >> b1(1)=7;b2(1)=7;b3(1)=7; >> for i=2:39 b1(i)=15; end >> b1(40)=14; >> for i=2:83 b2(i)=15; end >> b2(40)=14; >> for i=2:119 b1(i)=15; end >> b3(120)=14; %----------------方程解---------------->> x11=GAuss(A1,b1') >> x12=GAuss Zhu(A1,b1') >> x21=GAuss(A2,b2') >> x22=GAuss Zhu(A3,b3') >> x31=GAuss(A3,b3') >> x32=GAuss Zhu(A3,b3') 运行结果：（n=40） GAuss消元法的解即为 x11 = 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 1.0000 列主元GAuss消元法的解即为x12 =

有限元计算原理与方法

有限元计算原理与方法 有限元法（Finite Element Method，简称FEM）是一种通过将复杂 的物理系统离散成有限的简单子域，并在每个子域上建立适当的解析函数，最终通过数值解法计算系统性质的方法。它是目前工程界最常用的一种数 值分析方法，适用于各种不同领域的问题求解。 有限元法的核心思想是将连续问题转化为离散问题，将复杂的物理系 统划分成有限数量的简单几何单元，称为有限元。每个有限元内只需要考 虑有限自由度的变量，然后通过建立方程组，求解出系统的响应。有限元 法的优点是适用于各种复杂的几何形状和边界条件，并且可以处理非线性、动力学和多物理场等问题。 有限元法的基本步骤包括以下几个方面： 1.几何建模：根据实际问题，将物体的几何形状抽象为有限的简单几 何单元，如线段、三角形、四边形单元等。 2.离散化：将物体划分成有限元，并建立有限元网格。有限元网格的 划分应该足够细致，以保证对模型进行准确的描述。 3.单元及节点自由度的确定：确定每个有限元的节点，以及每个节点 对应的自由度，自由度包括位移、应力、温度等。 4.建立元素刚度矩阵和载荷向量：根据单元的几何关系和物理性质， 建立单元刚度矩阵和载荷向量。单元刚度矩阵描述了单元内各个节点之间 的相互作用关系，载荷向量描述了单元受到的外部力和边界条件。 5.组装：将各个单元的刚度矩阵和载荷向量组装成整个系统的刚度矩 阵和载荷向量。

6.施加边界条件：根据实际问题，将边界条件施加到系统方程中，通 常为位移或载荷。 7.解方程：根据边界条件和施加的载荷，求解系统方程，得到节点的 位移和应力等解。 8.后处理：根据求解的结果，计算出物体的各种性质，并对结果进行 分析和可视化显示。 有限元法具有广泛的应用，例如结构力学、流体力学、电磁场等领域。它的研究包括有限元离散化方法、有限元解法和计算误差分析等。随着计 算机技术的发展和计算能力的提高，有限元法在科学研究和工程实践中的 应用将会更加广泛和深入。