基础拓扑学讲义部分习题解答二

《基础拓扑学讲义》部分习题解答二 P.28

Ex1设:f X Y →是映射，下列条件是等价的：

（1）:f X Y →是连续映射；

（2）若β是Y 的一组拓扑基，β内每个成员的反像为X 的开集；

（3）()()f A f A ?，对于X 的任意子集A ；

（4）11()()f B f B ???，对于Y 的任意子集B ；

（5）Y 内任意闭集的反像为X 的闭集。

证 （1）?（2）

、（5）?（1）书本上定理1.1已证。 （2）?（3）设A 为X 的子集，显然()()f A f A ?，因此只需证明若x A A ∈?，则点()f x 为()f A 的聚点。事实上，设N 是()f x 在Y 中的一个邻域，我们可以找到β内的开集B ，使得()f x B N ∈?。集合1()f B ?是X 的开集，从而是x 的一个邻域。但x A A ∈?，故1()f B ?必含有A 的点。因此B 含有()f A 的点，从而N 含有()f A 的点，故()f x 为()f A 的聚点。

（3）?（4）由（3）得11(())(())f f B f f B B ???=，于是有11()()f B f B ???。

（4）?（5）设B 是Y 的闭集，因111()()()f B f B f B ????=。

故1()f B ?是X 的闭集。

Ex2设B 是Y 的子集，:i B Y →是包含映射，:f X B →是一映射，证明f 连续?:i f X Y → 连续。

证 “?”因i 和f 均连续，故:i f X Y → 连续。 “?”设V 是B 的开集，因B 是Y 的子集，故存在Y 的开集U ，有1()V U B i U ?==∩，而i f 连续，故

1111()()(())()i f U f i U f V ????==

是X 的开集，所以f 连续。

Ex3 若:f X Y →是同胚映射，

A X ?，则|:f A A Y →是嵌入映射。

证 只需证|:()f A A f A →是同胚映射，而|f A 一一显然，|f A 跟它的逆映射的连续性由上题可以得到。

Ex7 设:f X Y →是满的连续映射，其中X 是可分的。证明Y 也是可分的。

证 因X 是可分的，故存在X 的可数稠密子集A ，有A X =。而f 是满的连续映射，由第1题的（2）可知

()()()f A f A f X Y ?==

于是Y 也是可分的。

P.29

Ex8 证明恒等映射:(,)(,)C f id ττ→ 是连续映射，但不是同胚映射。

证 因f C ττ?，故(,)f τ 中的任何一个开集都是(,)C τ 的开集，因此:(,)(,)C f id ττ→ 是连续映射。而f C ττ≠，从而1id ?不连续，于是id 不是同胚映射。

Ex9 规定11:\[0,1)f E E →为

,0,()1, 1.x x f x x x

证明f 是连续映射，但不是同胚映射。

证 因(,0)?∞和[1,)+∞都是1\[0,1)E 中的闭集，f 在(,0)?∞和[1,)+∞上的限制都连续，由粘接引理知f 连续。

1f ?不连续，事实上(,0)?∞是1\[0,1)E 中的闭集，而11()(,0)((,0))(,0)f f ???∞=?∞=?∞不是1E 中的闭集。

Ex10 映射:f X Y →称为开（闭）映射，如果f 把X 的开（闭）集映为Y 的开（闭）集。举例说明开映射不一定是闭映射；闭映射也不一定是开映射。

例1：（开映射不是闭映射）设1{(,)|,0}X x y y x x

==>，将它作为2 的子空间，Y = 。则投射:(,)p X Y x y x → 是开映射但不是闭映射。因为X 是闭集，但()(0,)p X =+∞不是 的闭集。

例2：（闭映射不是开映射）:[1,1]r →? ，规定为

1,0(),11,1

x r x x x x >??=≤???

因为(2,)+∞是 的开集，但((2,)){1}r +∞=不是[1,1]?的开集。

Ex11 如果:f X Y →是一一对应，则①f 是开映射?②f 是闭映射?③1f ?连续。

证 ①?②设B 是X 的闭集，则C B 是X 的开集，于是()C f B 是Y 的开集，而:f X Y →是一一对应，故()()C f B Y f B =?是Y 的闭集。

②?③设B 是X 的闭集，则1

1()()()f B f B ??=是Y 的闭集，故1f ?连续。

③?①设U 是X 的开集，因1f ?连续，11()()()f U f U ??=是Y 的开集，故f 是开映射。

Ex12 设),(d X 是度量空间，A 是X 的非空闭集。规

定1:E X f →为}|),(inf{),()(A a a x d A x d x f ∈==。

证明f 连续，并且A x x f ∈?=0)(。

证 因),(d X 是度量空间，故X a x x ∈?,,21，有),(),(),(2211a x d x x d a x d +≤。于是

}|),(inf{),(}|),(inf{2211A a a x d x x d A a a x d ∈+≤∈

即),()()(2121x x d x f x f ≤?，同理),()()(2112x x d x f x f ≤?，故

),()()(2121x x d x f x f ≤?，

于是εδε=?>?,0，当δ<),(0x x d 时，ε<≤?),()()(00x x d x f x f ，

故)(x f 在0x 点连续，由0x 的任意性知f 连续。

(,)00,,d x A y A ε=??>?∈使得ε<),(y x d ，换言之即是：对于),(εx B ?有?≠A x B ∩),(ε，而这又等价于：对于x 的任意邻域U 有?≠A U ∩，于是A A x =∈。

点集拓扑学

点集拓扑学 注明：这篇文章是一篇读后感，绝大部分是引用别人的观点，其中有本人不同的观点，写出来是和大家共同研究与学习交流。本文灵感来源主要有这些作者或老师：张德学，张景祖，熊金城。由于篇幅比较长，本人也正在学习中，只能一部分一部分续写。 点集拓扑学是几何学的分支，研究的是更一般的几何图形，即拓扑空间中的集合，是研究拓扑不变性与不变量的学科，主要表现在图形的弹性变形后的那些不变性和不变量，比如联通性，可数性，分离性等。其中有几个代表性的例子：1，一笔画问题，2，哥尼斯堡七桥问题，3，四色问题。这种弹性变形指的是拓扑学中的同柸，相近点变相近点的连续概念。拓扑学包括点集拓扑学，代数拓扑学，几何拓扑学，微分拓扑学，其中点集拓扑学是基础，称为一般拓扑学。 集合概念的发展历程： 集合论的最早创立是由德国数学家康托尔创立的朴素集合论，运用于纯数学中，然后经过进一步的规范公理化使其理论更加严谨规范化。朴素集合论对集合没有做出严格的定义，只是表示对元素或者对象的搜集，没有形式化的理解，而公理集合论只使用明确定义的公理列表，是对集合这门学科的进一步认识在现实中得到了广泛的运用。 集合的定义： ① 公认定义：具有共同属性的对象的全体成为集合，对象又可以理解为个体或者集合中的元素。 ② 个人（本人）定义：我们把各种对象按照某种要求抽样集中起来构成一个群体称为集合，这种对象可能是独立的个体或者群体，也可能对象之间本身就有包涵关系的集合但不相同或相等，当我们把所有对象集中在一起称为全集或者幂集族。全集的一部分称为子集，幂集的一部分称为子集族。集合一般用大写字母表示，其中元素用小写。 集合的表示方式: 1枚举法 一般在大括号里罗列出集合的元素，如下: {}{}{}{}香蕉，大象，人,,3,2,1,3,2,1,,, c b a 2文字语言表述法 用文字语言来表达构成集合的要求： 某个班级的全体男生，一盒象棋，一箱牛奶等。 3图示法 4数学关系描述法或者数学语言描述法 用数学关系式来抽象表达构成集合的要求，我们平时研究的最多的也就是这种表达方法： (){}(){}x P X x x x P X x ,∈∈或者 对集合的描述必须合理，要不然会出现悖论比如：理发师只给不给自己理发的人理发，这种表述就不合理，导致理发师傅是给自己理发还是不给自己理发都是矛盾，这句话应该理解为理发师只给除自己以外不给自己理发的人理发。 又比如：

040数学一级学科硕士研究生培养方案12-12

数学一级学科硕士研究生培养方案(0701) 一、适用专业 基础数学、计算数学、概率论与数理统计、应用数学、运筹学与控制论。 二、培养目标 培养德智体全面发展的、适应国家与社会发展需要的数学专业教师以及研究型、应用型高层次数学专门人才。具体目标如下： 1．树立爱国主义和集体主义思想，具有良好的道德品质和强烈的事业心，能立志为祖国的建设和发展服务。善于合作与交流，有宽阔胸怀和远大理想。 2．掌握系统的数学基础理论和专门知识；了解专业研究方向的前沿学术动态；具有较强的独立学习及研究能力和不断更新知识及创造能力；掌握一门外国语；掌握计算机的基础知识和应用技能；具有较强的综合能力，为未来的数学专业方面工作、科学研究工作奠定坚实的基础。 3．具有健康的体魄和健康的心理素质，有顽强的毅力和持之以恒的精神。 三、学习年限 实行弹性学制2-4年，基础学制3年。 四、学分要求 硕士研究生培养实行学分制，总学分不少于32学分，其中学科通开课和专业基础课不少于6分，专业课不少于12分，选修课不少于4学分。 五、考核要求 1. 学科通开课与专业基础课、专业课考核方式为闭卷，成绩60分以上方可获得所规定的学分； 2. 专业选修课的考核方式为闭卷或开卷，成绩60分以上方可获得所规定的学分。 3. 补修课仅供非数学专业考生随本科生课程补修，不计学分。 4.实习在第4学期或第5学期进行。 六、学位论文要求 学位论文是对研究生进行科学研究或承担专门技术工作的全面训练，是培养研究生创新能力，综合运用所学知识发现问题、分析问题和解决问题能力的主要环节。 1. 研究生必须通过教学计划的各门课程并达到所要求的学分后，方可转入论文撰写阶段。在撰写论文之前，须认真的调研，查阅大量的文献资料，了解其主攻研究方向的前沿领域的学术动态，在此基础上确立学位论文题目。 2. 数学科学学院硕士研究生一般在第四学期（秋季）做开题报告，提交开题报告截止时间为10月30日。导师负责论文的检查与督促工作。 3. 学位论文应在导师指导下独立完成，学位论文要有新见解、有创新。 4. 硕士研究生答辩前应至少公开发表学术论文一篇或收到哈师大重点学术

2019年资料员岗位考试试题(附答案)[1](1).doc

2010年资料员考试真题复习资料下面提取的是2010年资料员考试复习题： 一、判断题 1、(对)工程资料应为原件。当为复印件时，应加盖复印件提供单位的公章，注明复印日期，并有经手人签字。 2、(对)钢结构子分部工程所使用的防腐、防火涂料应有涂层厚度检测报告。 3、(对)旁站监理人员实施旁站监理时，应如实准确地做好旁站监理记录。旁站监理人员和施工单位现场质检人员均应在旁站监理记录上签字。 4、(对)《建筑工程资料管理规程》（DB11/T—695—2009）适用于北京市行政区域内新建、改建、扩建建筑工程资料的管理。 5、(对)公共建筑照明系统通电连续试运行时间为24小时。所有照明灯具均应开启，且每2小时记录运行状态一次，连续试运行时间内无故障。 6、(对)大型照明灯具应全数做承载试验。 7、(错)建筑工程中的专业分包工程无论由何方发包的工程，分包单位都应按《建筑工程资料管理规程》（DB11/T—695—2009）的要求将形成的施工资料交总承包单位。 8、(对)由施工单位形成的资料，其编号应与资料的形成同步编写；由施工单位收集的资料，其编号应在收集的同时进行编写。 9、(对)除尘器壳体、组合式空气调节机组应做漏风量的检测，并做记录。 10、(对)工程资料应为原件。当为复印件时，应加盖复印件提供单位的公章，注明复印日期，并有经手人签字。 11、(对)电度表在进场后应送具有相关检定资格的单位全数检定。 12、(错)图纸会审记录由建设单位按专业汇总、整理。 13、(错)所有的室内排水管都要进行通球试验。 14、(对)类别及属性相同的施工资料，数量较多时宜建立资料管理目录。

15、(错)工程的重要部位及重要施工工序应实行旁站监理，旁站监理监理过程中形成的旁站监理记录应由施工单位填写。 16、(对)结构实体检验采用由各方参与的见证抽样形式，以保证检验结果的公正性。 17、(错)承包单位只有收到项目监理部签署的《工程变更单》后，方可实施工程变更。 18、(错)混凝土子分部工程应有结构实体的混凝土强度试件报告。 19、(错)所有排水管都应进行通球试验，并做记录。 20、(对)锅炉安全阀在投入运行前应由有资质的试验单位按设计要求进行调试，并出具调试记录。 二、单选题 1、（ B ）《建设工程资料管理规程》适用内新建、扩建、改建的建筑工程资料管理。 A.中华任命共和国境内 B.北京市行政区域内 C.包括香港在内的中华人民共和国境内 2、（ D ）工程竣工后，工程档案编制组卷的厚度 cm。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 3、（）检验批质量验收应由组织施工项目专业质量技术负责人进行验收 A.总监理工程师 B.监理工程师 C.监理员 D.建设单位代表 4、（ A ）竣工图绘制工作应由单位负责，也可委托相关单位 A、建设 B、设计 C、施工 D、监理 5、（ A ）单位(子单位)工程的验收，应由单位组织勘察、设计、施工、监理进行验收。 A.建设 B.上级主管部门 C. 监督站 D. 相关投资方 6、（ B ）混凝土结构实体检测内容除同条件养护混凝土试块外，还应对进行检验 A.混凝土外观 B.钢筋保护层厚度 C.混凝土抗渗试件 D.钢筋力学性能 7、（ B ）凡列入城建档案馆的工程档案，应在单位工程验收前由对工程档案资料进行预验收，并出具《建设工程竣工档案预验收意见》。 A.监督站 B.城建档案馆 C.建设单位 D.监理单位 8、（ C ）涉及结构安全的试块、试件和材料的见证取样比例，不应低于规定取样数量的

资料员考试题库及答案++新

资料员专业基础知识篇 一、单选题 1、按基础的埋置深度可分为浅基础和深基础，其中浅基础是指埋置深度为（ C ）的基础。 A、＜3m B、＞3m C、＜5m D、＞5m 2、在砌筑地下室、砖基础等砌体时，适宜选择的砂浆是（ A ）。 A、水泥砂浆 B、混合砂浆 C、石灰砂浆 D、粘土砂浆 3、工程签证是（ A ）重要依据。 A、工程结算 B、工程变更 C、工程合同 D、工程记录1、屋面防水等级 4、为Ⅰ级的防水层耐用年限是（ D ）。 A、10年 B、15年 C、20年

D、25年 5、砌筑砂浆的强度等级是由抗压强度确定的，用（ B ）加数字来表示。 A、Mu B、M C、D D、MD 6、砖的强度等级是由其抗压及抗折强度确定的，用（ A ）加数字来表示。 A、Mu B、M C、D D、MD 7、图纸会审后，形成图纸会审记录，较重要的或有原则性问题的记录应经监理公司、（ A ）会签后，传递给设计代表。 A、建设单位 B、勘察单位 C、劳务分包 D、监理单位 8、审计洽商签证的有效性需要审查施工日记、监理日记、值班日记与洽商签证的（ C ）的是否一致。 A、事件原因

C、时间 D、地点 9、设计变更通知单位应由（ B ）单位发出。 A、建设 B、设计 C、监理 D、施工总承包 10、施工条件发生变化时，施工组织设计应（ A ）。 A、及时修改和补充 B、保持不变 C、视情况调整 D、报告业主 11、根据国家有关规定，对于达到一定规模、危险性较大的工程，需要单独编制（ C ）。 A、施工组织设计 B、施工说明 C、专项施工方案 D、施工报告 12、图纸会审过程中，由（ A ）对各专业问题进行答复。 A、设计单位 B、监理单位

答案-拓扑学基础a

东 北 大 学 秦 皇 岛 分 校 课程名称： 拓扑学基础 （答案） 试卷： A 考试形式：闭卷 授课专业：数学与应用数学 考试日期： 2013年 7月 试卷：共 3 页 一、填空题：（每空2分，共20分） 1．设{1,2,3}X =，写出5个拓扑，使得每个拓扑中的所有集合按包含关系构成一个升链 平凡拓扑 ，{,,{3},{1,3}}X ?，{,,{1}}X ?， {,,{2}}X ?，{,,{3}}X ?。 （注：答案不唯一，正确即可） 2. 汉字“东” 的连通分支的个数是 3 ，抛物线的连通分支的个数是 1 。 ( 3．字母Y 的割点个数为 无穷 。字母T 中指数为3的点个数为 1 。 4．叙述同胚映射的定义 拓扑空间之间的连续映射称为同胚映射，若它是一一对应且它的逆也是连续的 。 二、选择题：（每题2分，共8分） 1．下列说法中正确的是（ B ） A 连通空间一定是道路连通空间 B 道路连通空间一定是连通空间 C 道路连通空间一定局部道路连通 D 以上说法都不对 2．下列说法正确的是（ A ） A 紧空间的闭子集紧致 B 紧致空间未必局部紧致 } C 有限空间一定不紧致 D 列紧空间是紧致空间 3．下列说法错误的是（ A ） A 离散空间都是1T 空间 B 2T 空间中单点集是闭集 C 赋予余有限拓扑不是2T 空间 D 第二可数空间可分 4．下列不具可乘性的是（ D ） A 紧致性 B 连通性 C 道路连通性 D 商映射 三、计算题：（共16分） - 1．在上赋予余有限拓扑，记 为有理数集合，[0,1]I =。试求'和I 。 （4分） 答：'= ，I =。 2．确定欧式平面上子集22{(,)|01}A x y x y =<+≤的内部、外部、边界和闭包。（8分） 答：内部，22{(,)|01}x y x y <+<； 外部，22{(,)|1}x y x y <+ 边界，22{(,)|1}x y x y +=； 闭包 A A =。 3．在 上赋予欧式拓扑。（4分） { （1）计算道路2t α=与1t β=+的乘积αβ在1 3 处的值。 答：αβ在13处的值是4 9 。 装 订 线 装 订 线 内 不 要 答 题 学 号 姓 名 班 级

资料员考试试题(附答案)

资料员考试试题(附答案)

资料员考试试题及答案 1、施工时所用的混凝土空心砌块的产品龄期不应小于（D）。 A、14d B、7d C、35d D、28d 11、高强度大六角头螺栓连接副和扭剪型高强度螺栓连接副出厂时应分别随箱带有（ C ）和紧固轴力（预拉力）的检验报告。 A、抗拉强度 B、抗剪强度 C、扭矩系数 D、承载能力 12、勘察、设计、施工、监理等单位应将本单位形成的工程文件立卷后向（ A ）移交。 A、建设单位 B、施工单位 C、监理单位 D、设计单位 13、城建档案管理机构应对工程文件的立卷归档工作进行监督、检查、指导。在工程竣工验收前，应对工程档案进行（ C ），验收合格后，须出具工程档案认可文件。 A、检查 B、验收 C、预验收 D、指导 14、既有文字材料又有图纸的案卷（ A ）。 A、文字材料排前，图纸排后 B、图纸排前，文字材料排后 C、文字材料、图纸按时间顺序排列 D、文字材料，图纸材料交错排列 15、建筑与结构工程包括那几个分部（ B ）。 A、地基与基础、主体、装饰装修、屋面、节能分部 B、地基与基础、主体、装饰装修、屋面分部 C、地基与基础、主体、装饰装修分部 D、地基与基础、主体分部

24、建设工程资料的分类是按照文件资料的来源、类别、（D）以及收集和整理单位的不同来进行分类的。 A、单位 B、类型 C、内容 D、形成的先后顺序 25、对改建、扩建和维修工程，建设单位应当组织设计施工单位据实修改、补充和完善原工程档案，对改变的部位应当重新编制工程档案，并在工程竣工验收后（ B ）内向城建档案馆(室)移交 A、2个月 B、3 个月 C、三周 D、五周 26、对列入城建档案馆(室)接收范围的工程，工程竣工验收后 （ B ）内向当地城建档案馆(室)移交一套符合规定的工程移交。 A、2个月 B、3 个月 C、三周 D、五周 27、施工资料是以（ B ）为组成单元，按不同相关专业分别管理。 A、设计单位 B、单位工程 C、施工项目 D、建设单位 28、施工单位应在（ C ）对建筑物垂直度和标高进行实测并记录，填写建筑物垂直度、标高测量记录，报监理单位审核。 A、工程竣工后 B、工程完工前 C、结构工程完工和工程竣工后 D、技术交底时 29、单位工程施工质量竣工验收记录栏由（ C ）填写。 A、监理单位 B、建设单位 C、施工单位 D、设计单位 30、凡需进行沉降观测的工程，应由（ A ）委托有资质的测量单位进行施工过程中及竣工后的沉降观测工作。 A、建设单位 B、设计单位 C、监理单位 D、工程质量监督机构

基础拓扑学讲义11的习题答案

习题 2、1、18 记S 就是全体无理数的集合,在实数集R 上规定子集族 {} 1\A ,A S U U τ=?是E 的开集、 (1)验证τ就是R 上的拓扑; (2)验证(),R τ满足2T 公理,但不满足3T 公理; (3)验证(),R τ就是满足1C 公理的可分空间; (4)证明τ在S 上诱导的子空间拓扑s τ就是离散拓扑,从而(),s S τ就是不可分的; (5)说明 (),R τ不满足2 C 公理。 证明:(1)○ 1,A U R R U A ττ=?=?? ??∈?∈??=?=??? 所以R 与?都含在τ中 ○ 2()U A U A λλλλλλλ∈Λ ∈Λ ∈Λ -= - ()0 000,,,x U A x U A x U x A x U x A x U A λλλ λλλλλλλλλλ λλλ∈Λ ∈Λ ∈Λ ∈Λ ∈Λ ?∈ -??∈Λ∈-?∈??∈ ? ?∈ - 使 U A λλλλτ∈Λ ∈Λ - ∈ ∴τ中任意多个成员的并集仍在τ中 ○3() ()()() 11221212\\\U A U A U U A A = () ()()() 11221122 11221212121 2\\,,,,,\x U A U A x U A x U A x U x A x U x A x U U x A A x U U A A ?∈?∈-∈-?∈?∈??∈??∈ ()()1212\U U A A τ∈ ∴τ中两个成员的交集仍在τ中 综上所述:τ就是R 上的拓扑 (2)任取一个有理数a ,则a 在(),R τ中存在一个开邻域11\U A 这样我们就可以在1 E 中找到一个与1U 不相交的开集2U ,令有理数2b U ∈

070101基础数学

070101基础数学专业（全日制或非全日制） 硕士研究生培养方案 一、培养目标 本专业培养德、智、体全面发展，具有扎实的数学理论基础和独立从事科学研究的能力，在科研部门、高等院校以及基础教育机构从事科学研究和教学工作的高级专门人才。具体要求如下： 1、具有坚定正确的政治方向，努力学习掌握马克思主义的基本原理，树立正确的世界观、人生观和价值观；遵纪守法，品行端正，作风正派，具有较高的综合素质和愿为社会主义建设艰苦奋斗的献身精神。 2、掌握本专业的基础理论、基本研究方法和技巧；具有坚实的数学理论基础和基本数学素养；具有较强的学术沟通能力和良好的团队协作精神。 3、熟练掌握一门外国语，具有阅读外文资料和使用外文写作论文的能力；具备熟练地使用计算机进行和数学软件科学计算以及借助互联网阅读专业资料的能力。 4、身心健康，德才兼备。 二、研究方向 本学科设置以下研究方向： 1、微分方程与动力系统 2、偏微分方程及其应用 三、学习年限 学习年限一般为3年，最长不超过4年。课程学习时间为一年半。硕士生应在规定的学习期限内完成培养计划要求的课程学习和论文等工作。 四、课程设置与学分 本专业课程设置包括学位课、非学位课和实践环节，应修总学分不少于34学分（具体课程设置见附表）。其中 1、学位课：不少于19学分。其中，公共学位课9学分。 2、非学位课：不少于13学分。 3、实践环节：2学分。 五、实践环节 硕士研究生应参加学术活动、教学实践、科研实践或社会实践等实践活动。学术活动为必修环节，要求硕士研究生必须取得1个学术学分，其中，必须在院及以上级别学术会议上至少做一次学术报告，每次0.5学分，参加院及以上级别学术活动至少5次，每次0.1学分。另外，还应从其它实践环节中至少选1个实践环节,考核合格后取得1学分。参加学术活动和

资料员题库(带答案)

资料员考核题库 一、单项选择题（每小题有4个备选答案，其中只有1个是正确选项。） 专业基础知识 1、工程建设法律的制定主体是（）。 A.国务院 B.全国人民代表大会及其常务委员会 C.国务院部委 D.最高人民法院 正确答案：B 2、工程建设诉讼时效期限为（）。 A. 一年 B.两年 C.四年 D.二十年正确答案：B 3. 工程建设诉讼时效的起算时间为（）。 A.合同签订之日 B.合同履行完毕之日 C .权利人知道或应当知道权利受到侵害之日 D .权利人行使权利之日 正确答案：C 4、行政复议是指公民、法人或者其他组织认为行政主体的具体行政行为违法或不当侵犯其合法权益，依法 向（）提出复查该具体行政行为的申请，行政复议机关依照法定程序对被申请的具体行政行为进行合法性、适当性审查，并作出行政复议决定的一种法律制度。 A.人民法院 B.人民检察院 C.上一级行政机关 D.人民政府 正确答案：C 5、《建筑法》规定，建筑工程开工前，建设单位应当按照国家有关规定向工程所在地（许可证。 A.县级以上人民政府 B.市级以上人民政府 C.市级以上人民政府建设行政主管部门 D.县级以上人民政府建设行政主管部门 正确答案：D 6、《建筑法》规定，建设单位应当自领取施工许可证之日起（ A. —个月 B.两个月—|c.三个月D.四个月）申请领取施工 ）内开工。

正确答案：C 7、《建筑法》规定，在建的建筑工程因故中止施工的，建设单位应当自中止施工之日起（ ）内，向发证 机关报告，并按照规定做好建筑工程的维护管理工作。 A. 一个月 B.两个月 C.三个月 D.四个月 正确答案：A 8?《建筑法》规定，按照国务院有关规定批准开工报告的建筑工程，因故不能按期开工或者中止施工的，应 当及时向批准机关报告情况。因故不能按期开工超过（ ）的，应当重新办理开工报告的批准手续。 9、《建筑法》规定，建筑施工企业的（ ）对本企业的安全生产负责。 A.法定代表人 B.项目负责人 C.主要负责人 D.安全负责人 正确答案：A 10、《建筑法》规定，建筑工程实行总承包的，工程质量由（ ）负责。 A.分包单位 B.建设单位 C.建设单位与承包单位 ]D .工程总承包单位 正确答案：D 11、《建筑法》规定，从事建筑活动的专业技术人员，应当依法取得相应的（ 建筑活动。 A.职业资格证书 B.执业资格证书 C.建筑从业证书 D.建筑专业证书 正确答案：B 12、《建筑法》规定，建筑施工企业因该项承揽工程不符合规定的质量标准造成的损失，建筑施工企业与使 用本企业名义的单位或者个人承担（ ）。 A.民事责任 B.行政责任 C.连带责任 D.刑事责任 正确答案：C 13、《安全生产法》规定， 生产经营单位发生生产安全事故后，事故现场有关人员应当（ ）报告本单 位负责人。 A.1小时内 B.2小时内 C.立即 D.24小时内 正确答案：C A.两个月 B.四个月 正确答案：C C.六个月 D.八个月 ），并在许可的范围内从事

基础拓扑学讲义1.1的习题答案

习题 记S 是全体无理数的集合，在实数集R 上规定子集族 {} 1\A ,A S U U τ=?是E 的开集. （1）验证τ是R 上的拓扑； （2）验证(),R τ满足2T 公理，但不满足3T 公理； （3）验证(),R τ是满足1C 公理的可分空间； （4）证明τ在S 上诱导的子空间拓扑s τ是离散拓扑，从而(),s S τ是不可分的； （5）说明 (),R τ不满足2 C 公理。 证明：（1）○ 1,A U R R U A ττ=?=?? ??∈?∈??=?=??? 所以R 和?都含在τ中 ○ 2()U A U A λλλλλλλ∈Λ ∈Λ ∈Λ -= - ()0 000,,,x U A x U A x U x A x U x A x U A λλλ λλλλλλλλλλ λλλ∈Λ ∈Λ ∈Λ ∈Λ ∈Λ ?∈ -??∈Λ∈-?∈??∈ ? ?∈ - 使 U A λλλλτ∈Λ ∈Λ - ∈ ∴τ中任意多个成员的并集仍在τ中 ○3() ()()() 11221 212\\\U A U A U U A A = () ()()() 11221122 11221212121 2\\,,,,,\x U A U A x U A x U A x U x A x U x A x U U x A A x U U A A ?∈?∈-∈-?∈?∈??∈??∈ ()()1212\U U A A τ∈ ∴τ中两个成员的交集仍在τ中 综上所述：τ是R 上的拓扑 （2）任取一个有理数a ，则a 在(),R τ中存在一个开邻域11\U A 这样我们就可以在1 E 中找到一个与1U 不相交的开集2U ，令有理数2b U ∈

2020资料员复习资料资料员考试题库(带答案)

资料员考试复习资料 一、判断题 1、建筑工程中的专业分包工程无论由何方发包的工程，分包单位都应按《建 筑工程资料管 规程》（DB11/T—695—2009）的要求将形成的施工资料交总承包单位。× 2、图纸会审记录由建设单位按专业汇总、整理。× 3、所有的室内排水管都要进行通球试验。× 4、所有排水管都应进行通球试验，并做记录。× 5、混凝土子分部工程应有结构实体的混凝土强度试件报告。× 6、承包单位只有收到项目监理部签署的《工程变更单》后，方可实施工程变 更。× 7、工程的重要部位及重要施工工序应实行旁站监理，旁站监理监理过程中形 成的旁站监理记录应由施工单位填写。× 8．混凝土施工应进行测温并填写相应的侧温记录。（х） 9、砌体埋筋在隐蔽资料中有植筋内容的，必须做砌体埋筋的拉拔试验。（х） 10、钢筋隐蔽资料中施工依据不用包括设计变更和技术联系单的内容。（х） 11、冬期施工过程中的大气测温可以两天测量一次。（х） 12、检验批的内容填写可以用圆珠笔填写。（х） 13. 所有排水管都应进行通球试验，并做记录。（×） 14、砌体材料的合格证一个单位工程有一份就可以了。（х）

15、防水工人不用有上岗证就可以进场施工。（х） 16、悬挑结构的模板拆模申请不用总工签字就可以进行模板拆除施工。（х） 17、水泥材料的复试必须做3天，7天，28天的强度复试。（х） 18、试验不合格的钢筋可以代换到其他低级别的钢筋，使用在工程上。（х） 19．监理工程师根据实际情况，按合同规定签发《工程暂停令》。（х） 20．普通螺栓只有作为永久性连接螺栓时才需要进行螺栓实物最小拉力载荷试 验。（х） 21. 工程停工原因是由施工单位引起的，施工单位才应填写《工程复工报审表》申请复工。（×） 22、检验批质量验收应由总监理工程师（建设单位项目专业技术负责人）组织项目专业质量检查员等进行验收并签认。（×） 23、工程停工原因是由施工单位引起的，施工单位才应填写《工程复工报审表》申请复工。（×） 24、项目上的资料可以长期保存在施工员手中，不用归档到项目资料室。（х） 25．单位工程施工观感质量检查评价记录中，“好”的项目占中项数的50%以上，可共同确认为“好”。（х） 26．单位工程总案卷数超过40卷时，应编制总目录卷。（х） 27. 在检查装修、装饰工程资料时，应注意抺灰用水泥的见证取样送检试验报 告是否齐全。(×) 28. 除尘器壳体、组合式空气调节机组应做漏风量的检测，并做记录。（×） 29、交工资料一般建设单位一份（原件），档案馆一份。（х） 30．列入城建档案馆的接受范围的工程，竣工验收后1年内，建设单位都应将符合规定的工程档案移交给档案馆。（х） 31．建设工程档案指在工程建设活动中，直接形成具有归档保存价值的的文字 形式的历史记录，简称工程档案。（х）

基础拓扑学第4章答案

《基础拓扑学讲义》部分习题解答四 ex.1（P.43）称X 满足0T 公理，如果对X 中的任意两 个不相同的点中必有一个点有一个开邻域不包含另一点。试举出满足0T 公理但不满足1T 公理的拓扑空间的例 子。 答：{,,}X a b c =,{,,{},{,},{,}}X a a b a c τ=?，则X 满足0T 公理但不满足1T 公理。 ex.6（P.43）证明X 为Hausdorff 空间当且仅当}|),{()(X x x x X ∈=?是乘积空间X X ×的闭集。 证：（必要性）要证)(X ?为闭集，只要证它的余集是 开集。C X y x ))((),(?∈?，),(y x 为内点。由 C X y x ))((),(?∈知，y x ≠，因X 为Hausdorff 空间知，存在x 的开邻域U ，y 的开邻域V ，使得Φ=V U ∩，于是C X V U y x ))((),(??×∈，所以),(y x 为内点，这就证明了)(X ?为闭集。 （充分性）对,,x y X x y ?∈≠，由()X ?的定义知，(,)()x y X ??，即(,)(())C x y X ∈?，由)(X ?为闭集知：()C X ?为开集，于是存在开集,U V 使得C X V U y x ))((),(??×∈，由(())C U V X ×??知，,U V 为,x y

的不相交的邻域，这就证明了X 为Hausdorff 空间。 ex.7（P.43）证明Hausdorff 空间的子空间也是Hausdorff 空间。 证：设X 是Hausdorff 空间，A 是X 的子空间。,x y A ?∈，则,x y X ∈。因X 是Hausdorff 空间，故x ?的邻 域U ，y ?的邻域V ， 有U V =?∩。从而()()A U A V =?∩∩∩，因A U ∩是x 在A 中的邻域，A V ∩是y 在A 中的邻域，所以A 是Hausdorff 空间。 ex.16（P.44）记{[,)|}a b a b Γ=<。证明拓扑空间(,)Γ 不是2C 空间。 证：设μ是拓扑空间(,)Γ 的拓扑基，设a ∈ ，则 [,1)a a +是开集，从而在μ中存在成员a U ，有[,1)a a U a a ∈?+，并且a U 中最小的成员是a 。显然，当a b ≠时，a b U U ≠。于是μ中有不可数个成员，从而(,)Γ 中不存在可数拓扑基。故拓扑空间(,)Γ 不是2C 空间。

2020年资料员考试试题和答案

资料员考试试题及答案 基础知识 1.建筑工程从业的经济组织应具备的条件是(A﹑B﹑D). A.有符合国家规定的注册资本 B.有和其从事的建筑活动相适应的具有法定执业资格的专业技术人员 C.有从事相关建筑活动的一级或二级资质 D.有从事相关建筑活动所应有的技术装备 2.下面关于建筑工程施工许可证的说法正确的是(A﹑B﹑ C). A.建筑单位应当自领取施工许可证之日起3个月内开工 B.按照国务院有关规定批准开工报告的建筑工程,因故不能按期开工超过6个月的,应当重新办理开工报告的批准手续 C.中止施工满一年的工程恢复施工前,建设单位应当报建筑工程施工许可证发证机关核验施工可证 D.在建的建筑工程因故中止施工的,建设单位应当自中止施工之日起3个月内,向建筑工程施工许可证发证机关报告 3.某项目的施工单位和监理单位同属一个上级单位,下面说法错误的是(A﹑B﹑D).

A.只要施工单位和监理单位都是独立法人,此种关系则是合法的 B.此种关系不论在何种情况下都是合法的 C.一个单位同时拥有施工单位和监理单位本身就是违法的 D.只要监理单位和施工单位事实上没有营私舞弊就是合法的 4.依据中国【建筑法】规定,属于违法分包的是(A﹑B﹑C ﹑D)的行为. A.分包单位将其承包的建设工程再分包 B.施工总承包单位将建设工程主体结构的施工分包给其它单位 C.承包单位将其承包全部工程肢解后以分包的名义转给其它单位承包 D.施工总承包单位将建设工程半数以上工程内容的施工分包给其它单位 5.中国【建筑法】中关于(A﹑B﹑C﹑D)的规定,也适用于其它专业建筑工程的建筑活动. A.建筑施工许可 B.建筑活动 C.建筑工程监理 D.建筑工程安全和质量管理

2020年资料员资格考试复习题库及答案(共500题)

2020年资料员资格考试复习题库及答案（共500题） 1、资料的检索和传递是在通过对收集的资料进行分类加工处理后，要及时提供给需要使用资料的部门。（）对 2、文件和记录的作用仅分为证据、参考、培训教育。（）错 3、标引是著录的核心。（）对 4、对通过鉴别的施工资料按单位工程、分部工程、分项工程组织在一起。（）对 5、建筑工程由于工程质量不合格、质量缺陷，必须进行（）、（）或（）处理。 返修、加固、报废 6、资料软件打印施工资料时上下页边距调整的方法有（）。 . 在【打印设置】中调整在【页面设置】中调整 7、专家论证表应由( )审核、审批、签字。专家、组长 8、混凝土养护测温记录应由( )审核、审批、签字。技术负责人、专业工长、质量员 9、建筑工程资料宜优先采用计算机管理，使( )。管理规范化、标准化、电子信息化 10、信息安全主要分( )环节。管理、技术 11、工程概况表资料来源单位为( )单位。施工 12、建筑工程质量事故调查报告书资料来源单位为( )单位。调查 13、见证记录资料来源单位为( )单位。监理 14、监理工程师通知回复单资料来源单位为( )单位施工 15、设计变更通知单资料来源单位为( )单位设计 16、工程洽商记录资料来源单位为( )单位。提出 17、出厂质量证明文件资料来源单位为( )单位供货 18、检测报告资料来源单位为( )单位。供货 19、合格证资料来源单位为( )单位。供货 20、安装使用说明书资料来源单位为( )单位。供货

21、商检证明文件资料来源单位为( )单位。供货 22、3C标志资料来源单位为( )单位。供货 23、材料进场检验记录资料来源单位为( )单位。施工 24、设备及管道附件试验记录资料来源单位为( )单位。施工 25、设备开箱检查记录资料来源单位为( )单位。施工 26、防水卷材料试验报告资料来源单位为( )单位。检测 27、水泥试验报告资料来源单位为( )单位。检测 28、在建设系统各行业、专业管理部门在业务管理和业务技术活动中通过数字设备及环境生成的，以数码形式存储于磁带、磁盘或光盘等载体，依赖计算机等数字设备阅读、处理，并可在通信网络上传送的业务及技术文件是（）建设系统业务管理电子文件 29、在工程建设过程中通过数字设备及环境生成，以数码形式存储于磁带、磁盘或光盘等载体，依赖计算机等数字设备阅读、处理，并可在通信网络上传送的文件是（）。建设工程电子文件 30、具有参考和利用价值并作为档案保存的建设电子文件及相应的支持软件、参数和其他相关数据是（）。建设电子档案 31、电子文件的内容、结构和背景信息等与形成时的原始状况一致，体现了建设电子文件与电子档案的（）真实性 32、电子文件的内容、结构、背景信息、元数据等无缺损，体现了建设电子文件与电子档案（）完整性 33、为避免电子文件因动态因素造成信息缺损的现象，而将其转换为一种相对稳定的通用文件格式的过程称为（）。固化 34、将有保存价值的文件分门别类整理成案卷，称为( )。立卷 35、将有保存价值的文件送交城建档案馆，称为( )。归档

北京大学数学科学学院考研参考书目汇总

北京大学数学科学学院考研参考书目汇总 考试科目编号： 01 数学分析 02 高等代数 03 解析几何 04 实变函数 05 复变函数 06 泛函分析 07 常微分方程 08 偏微分方程 09 微分几何 10 抽象代数 11 拓扑学 12 概率论 13 数理统计 14 数值分析 15 数值代数 16 信号处理 17 离散数学 18 数据结构与算法 01 数学分析（ 150 分） 考试参考书： 1. 方企勤等，数学分析（一、二、三册）高教出版社。 2. 陈纪修、於崇华、金路，数学分析(上、下册)，高教出版社。 02 高等代数（ 100 分） 考试参考书： 1. 丘维声,高等代数(第二版) 上册、下册，高等教育出版社，2002年, 2003年。 高等代数学习指导书（上册），清华大学出版社，2005年。 高等代数学习指导书（下册），清华大学出版社，2009年。 2. 蓝以中，高等代数简明教程（上、下册），北京大学出版社，2003年（第一版第二次印刷）。 03 解析几何（ 50 分） 考试参考书： 1. 丘维声，解析几何（第二版），北京大学出版社，（其中第七章不考）。 2. 吴光磊，田畴，解析几何简明教程，高等教育出版社， 2003年。 04 实变函数（ 50 分） 考试参考书：

1. 周民强，实变函数论，北京大学出版社， 2001年。 05 复变函数（ 50 分） 考试参考书： 1. 方企勤，复变函数教程，北京大学出版社。 06 泛函分析（ 50 分） 考试参考书： 1. 张恭庆、林源渠，泛函分析讲义（上册），北京大学出版社。 07 常微分方程（ 50 分） 考试参考书： 1. 丁同仁、李承治，常微分方程教程，高等教育出版社。 2. 王高雄、周之铭、朱思铭、王寿松，常微分方程（第二版），高等教育出版社。 3. 叶彦谦，常微分方程讲义（第二版）人民教育出版社。 08 偏微分方程（ 50 分） 考试参考书： 1. 姜礼尚、陈亚浙，数学物理方程讲义（第二版），高等教育出版。 2. 周蜀林，偏微分方程，北京大学出版社。 09 微分几何（ 50 分） 考试参考书： 1. 陈维桓，微分几何初步，北京大学出版社（考该书第1-6章）。 2. 王幼宁、刘继志，微分几何讲义，北京师范大学出版社。 10 抽象代数（ 50 分） 考试参考书： 1. 丘维声 , 抽象代数基础，高等教育出版社，2003年。 2. 聂灵昭、丁石孙，代数学引论（第一、二、三、四、七章，第八章第1、2、3节），高等教育出版社，2000年第二版。

数学专业参考书整理推荐

数学专业参考书整理推荐 从数学分析开始讲起： 数学分析是数学系最重要的一门课，经常一个点就会引申出今后的一门课，并且是今后数学系大部分课程的基础。也是初学时比较难的一门课，这里的难主要是对数学分析思想和方法的不适应，其实随着课程的深入会一点点容易起来。当大四考研复习再看时会感觉轻松许多。数学系的数学分析讲三个学期共计15学分270学时。将《数学分析》中较难的一部分删去再加上常微分方程的一些最简单的内容就是中国非数学专业的《高等数学》，或者叫数学一的高数部分 数学分析书： 初学从中选一本教材，一本参考书就基本够了。我强烈推荐11，推荐1，2，7，8。另外建议看一下当不了教材的16，20。 中国人自己写的： 1《数学分析》陈传璋，金福临，朱学炎，欧阳光中著（新版作者顺序颠倒）应该是来自辛钦的《数学分析简明教程》，是数学系用的时间最长，用的最多的书，大部分学校考研分析的指定教材。我大一用第二版，现在出了第三版，但是里面仍有一些印刷错误，不过克可以一眼看出来。网络上可以找到课后习题的参考答案，不过建议自己做。不少经济类工科类学校也用这一本书。里面个别地方讲的比较难懂，而且比其他书少了一俩个知识点，比如好像没有讲斯托尔滋(stolz)定理，实数的定义也不清楚。不过仍然不失为一本好书。能广泛被使用一定有它自己的一些优势。 2《数学分析》华东师范大学数学系著 师范类使用最多的书，课后习题编排的不错，也是考研用的比较多的一本书。课本最后讲了一些流形上的微积分。虽然是师范类的书，难度比上一本有一些降低，不过还是值得一看的。3《数学分析》陈纪修等著 以上三本是考研用的最多的三本书。 4《数学分析》李成章，黄玉民 是南开大学一个系列里的数学分析分册，这套教材里的各本都经常被用到，总体还是不错的，是为教学改革后课时数减少后的数学系各门课编写的教材。 5《数学分析讲义》刘玉链 我的数学分析老师推荐的一本书，不过我没有看，最近应该出了新版，貌似是第五？版，最初是一本函授教材，写的应该比较详细易懂。不要因为是函授教材就看不起，事实上最初的函授工作都是由最好的教授做的。细说就远了，总之可以看看。 6《数学分析》曹之江等著 内蒙古大学数理基地的教材，偏重于物理的实现，会打一个很好的基础，不会盲目的向n维扩展。适合初学者。国家精品课程的课本。 7《数学分析新讲》张筑生 公认是一本新观点的书，课后没有习题。材料的处理相当新颖。作者已经去世。8《数学分析教程》常庚哲，史济怀著 中国科学技术大学教材，课后习题极难。 9《数学分析》徐森林著 与上面一本同出一门，清华大学教材。程度好的同学可以试着看一看。书很厚，看起来很慢。 10《数学分析简明教程》邓东翱著 也是一本可以经常看到的书，作者已经去世。国家精品课程的课本。 11许绍浦《数学分析教程》南京大学出版社

《基础拓扑学讲义》部分习题解答

《基础拓扑学讲义》部分习题解答六 1． 设(,)X Γ是空间，是任何一个不属于1T ∞X 的元素。 令*{}X X =∞∪和*{}*X Γ=Γ∪。证明： （1）**(,X )Γ是一个拓扑空间。 （2）**(,X )Γ是一个空间但不是空间。 0T 1T 证明 （1）（略） （2）先证(,X ??)Γ是空间：由于0T X 是空间，故也是 空间，对1T 0T X ?中的任意两个不相同的点，如果这两个点都不是，则有一个点有一个开邻域不包含另一个点；如果这两个点有一个是∞，则对另一点记为∞p （p ≠∞）而 言，X 是包含点p 的一个开邻域， 并且X ∞?，所以是T 空间． (,X ??Γ))0再说明(,X ??Γ不是空间：由于1T {}X ??Γ=Γ∪ ，故包含的开邻域只有一个，就是∞{}X X ?=∪∞，因此对X 中一点p 而言，包含∞的开邻域一定包含p ，所以不是空间． (,X ??Γ)1T 2.设和Γ Γ 是集合X 上的两个拓扑，并且 Γ?Γ。证明：如果拓扑空间(,)X Γ是一个或空间，则拓扑空间0T 1T (,)X Γ 相应也是一个或空间。 0T 1T

证明 （1）若是空间，则对(,)X Γ0T X 中任意两个不同的点，存在一个点的一个开邻域不包含另外一个点， 又 Γ?Γ，故上述开邻域也是该点在拓扑空间 (,)X Γ 下的一个开邻域，它同样不包含另一个点，得到 (,)X Γ也是空间． T （2）若(,)X Γ是空间，则对1T X 中任意两个不同的点x 与，分别各自存在一个开邻域不包含另外一点，又 y Γ?Γ ，这两个开邻域也是点x 与在拓扑空间y (,)X Γ下的开邻域，它们同样不包含另一个点，得到 (,)X Γ也是空间． 1 T 3．对中的区间进行同胚分类，问总共有几个类？ 答：三个。（1）[,；（2）；（3）[,。 ]a b (,)a b )a b 注：如果对一维连通流形进行同胚分类则有四个，加上。 1S

点集拓扑学教学大纲

《点集拓扑学》教学大纲 课程名称：《点集拓扑学》Point Set Topology 课程性质：数学与应用数学专业必修课 学时数：36 教材:《点集拓扑讲义》熊金城编著.高等教育出版社, 2011年12月第4版. 主要参考书： 《点集拓扑学》徐森林编著，高等教育出版社，2007年7月第1版. 《基础拓扑学》胡适耕编著，华中科技大学出版社，2007年8月第1版. 《基础拓扑学讲义》尤承业编著，北京大学出版社，1997年11月第1版. 《拓扑学》 [美] 芒克里斯编著，熊金城等翻译，机械工业出版社，2006年4月第1版. 授课方式：课堂讲授为主 所属院系：数学学院数学与应用数学系 课程基础：《数学分析》、《实变函数论》 一、课程简介 拓扑学是近代数学的三大基础之一，是研究抽象空间的理论的一门学科，它具有高度的概括性和抽象性.点集拓扑学产生于19世纪.G.康托尔建立了集合论，定义了欧几里得空间中的开集、闭集、导集等概念，获得了欧几里得空间拓扑结构的重要结果.1906年M.-R.弗雷歇把康托尔的集合论与函数空间的研究统一起来，建立了广义分析，可看为拓扑空间理论建立的开始. 泛函分析的兴起，希尔伯特空间和巴拿赫空间的建立，促进了把点集当作空间来研究.数学分析研究的中心问题是极限，而收敛与连续又是极限的基本问题.为把收敛与连续的研究推广到一般集合上，需要在一般集合上描述与点或与集合“邻近”的概念.如何描述“邻近”，可以用“距离”，但“距离”与“邻近”并无必然的联系.1914年F.豪斯道夫开始考虑用“开集”来定义拓扑.对一个非空集合X，规定X的每点有一个包含此点的子集作成的子集族，满足一组开集公理（即仿照欧几里得空间邻域所具特性给出的一组性质）.该子集族中的每个集合称为这点的一个邻域，这就给出了X的一个拓扑结构，X连同此拓扑结构称为一个拓扑空间. X的每点有邻域，故可研究一点的邻近，由此可仿照微积分的方法定义两个拓扑空间之间的连续映射的概念.若一个映射连续，且存在逆映射，逆映射也连续，则称此映射为同胚映射.具有同胚映射的两个拓扑空间称为同胚的（直观地说即两个空间相应的图形从一个可连续地形变为另一个）.要证明两个空间同胚，只要找到它们之间的同胚映射即可.在欧几里得直线上，作为子空间，两个任意的闭区间同胚；任意两开区间同胚；半开半闭的区间[c,d)与[a,b)同胚；二维球面挖去一个点S2－p与欧几里得平面K2同胚. 要证明两个拓扑空间不同胚，需证明它们之间不存在同胚映射.方法是找同胚不变量或拓扑不变性（即在同胚映射下保持不变的性质）；第一个空间具有某同胚不变量，另一个空