必修一数学 函数的值域及单调性讲解及解析
函数的值域与函数的单调性
我们将复习函数的值域与函数的单调性两部分内容．
通过本专题的学习，同学们应掌握求函数值域的常用方法；掌握函数单调性的定义，能用定义判定函数的单调性；会判断复合函数的单调性；了解利用导数研究函数单调性的一般方法．
[知识要点]
一．函数的值域
求函数值域的方法主要有：配方法、判别式法、换元法、基本不等式法、图象法，利用函数的单调性、利用函数的反函数、利用已知函数的值域、利用导数求值域等．
二．函数的单调性
1．定义
如果对于给定区间上的任意两个自变量的值x 1、x 2，当x 1
注：在定义域内的一点处，这个函数是增函数还是减函数呢？函数的单调性是就区间而言，对于单独的一点，由于它的函数值是唯一确定的常数，因而没有增减变化，所以不存在单调性问题．
2．函数单调性的运算规律
在共同的定义域上，设“f 型”是增函数，“g 型”是减函数，则：
（1）f 1(x)+f 2(x)是增函数；
（2）g 1(x)+g 2(x)是减函数；
（3）f(x)-g(x)是增函数；
（4）g(x)-f(x)是减函数．
[典型例题]
一．函数值域的求法
（一）配方法
例1．
的值域求函数2234x x y -+-=
解：
.
424
4)1(422
4)1(04
4)1(04
)1(42222≤≤∴≤+---≤∴≤+--≤∴≤+--≤+---=y x x x x y 值域Θ
例2 求函数 y=2x+2-3×4 x (-1≤x ≤0) 的值域
解 y=2x+2-3·4x
=4·2x -3·22x
令 2x =t
12
101≤≤∴≤≤-t x Θ 3
411,3
43
4)32(3]949434[343min max 222≤≤∴==∴+--=-+--=+-=y y y t t t t t y 例3．
的值域求函数x x y -+-=
53
解： 530
503≤≤???≥-≥-x x x 得由
∴函数定义域为[3,5]
2
20
4
2)4(122)5)(3(2222
2≤≤∴>≤≤∴--+=--+=y y y x x x y ΘΘ又
]2,2[函数的值域为∴ 例4．若实数x 、y 满足x 2+4y 2=4x ，求S=x 2+y 2的值域
解：∵4y 2=4x-x 2≥0
∴x 2-4x ≤0，即0≤x ≤4
31)32(4343442222
22-+=+=-+=+=∴x x x x x x y x S ∴当x=4时，S max =16
当x=0时，S min =0
∴值域0≤S ≤16
例5．已知函数y=f(x)=x 2+ax+3在区间x ∈[-1,1]时的最小值为-3，求实数a 的值． 分析：
2
)(a x x f y -==称轴的抛物线，由于它的对的图象是一条开口向上因为的位置取决于a ，而函数的自变量x 限定在[-1，1]内，因此，有三种可能性，应分别加以讨论．
解：
4
3)2()(2
2a a x x f y -++== 7
34)1(212
)1(min =∴-=-=-=>-<-a a f y a a 时，，即当 )(6234
3)2
(22121)2(2
min 舍得，时，，即当±=-=-=-=≤≤-≤-≤-a a a f y a a 7
34)1(212)3(min -=∴-=+==-<>-a a f y a a
时，即，当
综合（1）（2）（3）可得：a=±7
（二）判别式法
例6．
的值域求函数3221
22+-+-=x x x x y
解 由已知得 (2y-1)x 2-(2y-1)x+(3y-1)=0 (*)
2
10
123(*)21012)1(≠∴≠
-==-y y y 式：，代入，则若
（2）若2y-1≠0，则∵x ∈R
∴Δ=(2y-1)2-4(2y-1)(3y-1)≥0
即 (2y-1)(10y-3)≤0
2
11032
1
103<≤∴≤≤∴y y 值域
例7．
的值域求函数63
422-+++=x x x x y
解 由已知得 (y-1)x 2+(y-4)x-(6y+3)=0 (*)
① 若y=1，代入（*）式-3x-9=0
∴x=-3，此时原函数分母x 2+x-6的值为0
∴y ≠1
② 若y ≠1，则∵x ∈R
∴Δ=(y-4)2+4(y-1)(6y+3)≥0
化简可得(5y-2)2≥0，则y ∈R
.5
21523(*)52≠≠∴≠∴-==y y y x y 且值域式得时，代入但当
说明： 分母”的方法，化成的值域，常可利用“去求形如f
ex dx c bx ax y ++++=22 m(y)x 2+n(y)x+p(y)=0的形式，再利用x ∈R ，由Δ≥0求出y 的取值范围，但需注意两点：
（1）要分m(y)=0和m(y)≠0两种情况讨论，只有m(y)≠0时，才可利用判别式；
（2）在求出y 的取值范围后，要注意“=”能否取到．
（三）换元法
例8．
的值域求函数2341812322--+-=x x x x y
解：
2
044)2(44
)3(3231834423
418)4(322222
2222≤≤≤+--=-+--=-+-=∴=-=---+--=t x x x t t t y t x x t x x x x x x y ，知由，则令
∴y max =1，y min =-23
∴原函数值域 -23≤y ≤1
例9． 的值域，试求函数的值域是已知)(21)()(]9
4,83[)(x f x f x g y x f -+== 解：
]8
7,97[8
7219
731]2
1,31[11)1(21)1(21)1(2
1)()2131()(212
1)(213141)(21919
4)(83max min 222∈∴====∴?+--=+-=∴-=≤≤=-≤-≤∴≤-≤∴≤≤y y t y t t t t y t x f t t x f x f x f x f 时，当时，当，而，则令Θ
函数的概念及定义域、值域基本知识点总结.doc
函数的概念及定义域.值域基本知识点总结 函数概念 1.映射的概念 设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则/ ,对于集合4小的任意元素,在集合B 中都冇唯一确宦的元索与Z对应,那么这样的单值对应叫做从A到B的映射，通常记为f :A^ B , f 表示对应法则 注意：（1）A中元素必须都有彖J1唯一；（2）B中元素不一定都有原彖，但原彖不一定唯一。 2.函数的概念 （1）函数的定义： 设A、B是两个非空的数集,如果按照某种对应法则/,对于集合4屮的每个数兀, 在集合B中都
冇唯一确怎的数和它对应,那么这样的对应叫做从A到B的一个函数，通常
⑵函数的定义域、值域 在函数y = f(x\xeA中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做y = f(x)的定义域；与x的值相对应的y值叫做两数值，函数值的集合{/⑴卜e △}称为函数y = /(%)的值域。 (3)函数的三要素：定义域、值域和对丿应法则 3.函数的三种表示法：图象法、列表法、解析法 (1).图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系； (2).列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系； (3).解析法：就是把两个变量的函数关系，用等式來表示。 4.分段函数 在H变量的不同变化范围屮，对应法则用不同式子來表示的函数称为分段函数。 (-)考点分析 考点1：映射的概念 例1. (1) A = R , B = {yly〉O}, f :x —> y =1 xI ； (2) A = {x\ x>2,x e N^}, B = {y\ y>O,y e N], / : x y = x2 - 2x + 2 ； (3) A = {xI x > 0}, = {>' I y e R}, / : x —> y = ±\[x . 上述三个对应是A到B的映射. 例2.若A = {1,2,3,4}, B = {aM，a,b,cwR,则A到B的映射有个,B到A的映射有个，A到B 的函数有个 例3.设集合M ={-1,0,1}, 7V = {-2,-1,0,1,2},如果从M到N的映射/满足条件：对 (4)8 个(3)12 个(C)16 个(0)18 个 M中的每个元素兀与它在N中的象/(兀)的和都为奇数,则映射/的个数是() 考点2：判断两函数是否为同一个函数
求函数的定义域和值域的方法
解：求函数的定义域的常用方法 函数的定义域是高考的必考内容，高考对函数的定义域常常是通过函数性质或函数的应用来考查的，具有隐蔽性，所以在研究函数问题时必须树立“函数的定义域优先”的观念。因此掌握函数的定义域的基本求解方法是十分重要的。下面通过例题来谈谈函数的定义域的常见题型和常用方法。 一，已知函数解析式求函数的定义域 如果只给出函数解析式（不注明定义域），其定义域是指使函数解析式有意义的自变量的取值范围（称为自然定义域），这时常通过解不等式或不等式组求得函数的定义域。主要依据是：（1）分式的分母不为零，（2）偶次根式的被开方数为非负数，（3）零次幂的底数不为零，（4）对数的真数大于零，（5）指数函数和对数函数的底数大于零且不等于1，（6）三角函数中的正切函数y=tanx ，｛x ︱x ∈R 且 x ≠2 k π π+ ， k ∈z ｝和余切函数y=cotx ，｛x ︱x ∈R 且 x ≠k π，k ∈z ｝等。 例题一 求下列函数的定义域： （1） y=2）0+㏒（x —2）x 2 （2） 解：（1）欲使函数有意义，须满足 2≠0 x —1≥0 x —2＞0 解得：x ＞2 且 x ≠3 ，x ≠5 x —2≠1 ∴ 函数的定义域为（2，3）∪（3，5）∪（5，+∞） x ≠0 （2） 由已知须满足 tanx ﹥0 解得： k π ﹤x ﹤2 k π π+ （k ∈z ） x ≠2 k π π+ -4﹤x ﹤4 16—x 2 ﹥0 ∴ 函数的定义域为（-π，2 π - ）∪（0， 2 π ）∪（π，4） 二，复合函数求定义域 求复合函数定义域应按从外向内逐层求解的方法。最外层的函数的定义域为次外层函数的值域，依次求，直到最内层函数定义域为止。多个复合函数的求和问题，是将每个复合函数定义域求出后取其交集。 例题二（1）已知函数f （x ）的定义域为〔-2，2〕，求函数y=f （x 2-1）的定义域。 （2）已知函数y=f （2x+4）的定义域为〔0，1〕，求函数f （x ）的定义域。 （3）已知函数f （x ）的定义域为〔-1，2〕，求函数y=f （x+1）—f （x 2-1）的定义域。 （4）已知函数y=f （tan2x ）的定义域为〔0， 8 π 〕，求函数f （x ）的定义域。 分析：（1）是已知f （x ）的定义域，求f 〔g （x ）〕的定义域。其解法是：已知f
高中数学-函数定义域、值域求法总结
函数定义域、值域求法总结 一.求函数的定义域需要从这几个方面入手： （1）分母不为零 （2）偶次根式的被开方数非负。 （3）对数中的真数部分大于0。 （4）指数、对数的底数大于0，且不等于1 （5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠ 二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。 常用的求值域的方法： （1）直接法 （2）图象法（数形结合） （3）函数单调性法 （4）配方法 （5）换元法 （包括三角换元）（6）反函数法（逆求法） （7）分离常数法 （8）判别式法 （9）复合函数法 （10）不等式法 （11）平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。 定义域的求法 1、直接定义域问题 例1 求下列函数的定义域： ① 2 1 )(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ x x x f -+ +=211)( 解：①∵x-2=0，即x=2时，分式 2 1 -x 无意义， 而2≠x 时，分式 21 -x 有意义，∴这个函数的定义域是{}2|≠x x . ②∵3x+2<0，即x<-32 时，根式23+x 无意义， 而023≥+x ，即3 2 -≥x 时，根式23+x 才有意义， ∴这个函数的定义域是{x |3 2 -≥x }.
③∵当0201≠-≥+x x 且，即1-≥x 且2≠x 时，根式1+x 和分式x -21 同时有意义， ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x } 另解：要使函数有意义，必须： ? ??≠-≥+0201x x ? ???≠-≥21 x x 例2 求下列函数的定义域： ①14)(2 --= x x f ②2 14 3)(2-+--= x x x x f ③= )(x f x 11111++ ④x x x x f -+= 0)1()( ⑤3 7 3132+++-=x x y 解：①要使函数有意义，必须：142 ≥-x 即： 33≤≤-x ∴函数14)(2--= x x f 的定义域为： [3,3-] ②要使函数有意义，必须：???≠-≠-≤≥?? ??≠-+≥--131 40210432x x x x x x x 且或 4133≥-≤<--
函数的定义域与值域单调性与奇偶性三角函数典型例题
函数的定义域与值域、单调性与奇偶性 一、知识归纳： 1. 求函数的解析式 （1）求函数解析式的常用方法： ①换元法（ 注意新元的取值范围） ②待定系数法（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等） ③整体代换（配凑法） ④构造方程组（如自变量互为倒数、已知f （x ）为奇函数且g （x ）为偶函数等） （2）求函数的解析式应指明函数的定义域，函数的定义域是使式子有意义的自变量的取值范围，同时也要注意变量的实际意义。 （3）理解轨迹思想在求对称曲线中的应用。 2. 求函数的定义域 求用解析式y ＝f （x ）表示的函数的定义域时，常有以下几种情况： ①若f （x ）是整式，则函数的定义域是实数集R ； ②若f （x ）是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集； ③若f （x ）是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合； ④若f （x ）是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合； ⑤若f （x ）是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题. 3. 求函数值域（最值）的一般方法： （1）利用基本初等函数的值域； （2）配方法（二次函数或可转化为二次函数的函数）； （3）不等式法（利用基本不等式，尤其注意形如)0(>+=k x k x y 型的函数） （4）函数的单调性：特别关注)0(>+ =k x k x y 的图象及性质 （5）部分分式法、判别式法（分式函数） （6）换元法（无理函数） （7）导数法（高次函数） （8）反函数法 （9）数形结合法 4. 求函数的单调性 （1）定义法： （2）导数法： （3）利用复合函数的单调性： （4）关于函数单调性还有以下一些常见结论： ①两个增（减）函数的和为_____；一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是______； ②奇函数在对称的两个区间上有_____的单调性；偶函数在对称的两个区间上有_____的单调性； ③互为反函数的两个函数在各自定义域上有______的单调性； （5）求函数单调区间的常用方法：定义法、图象法、复合函数法、导数法等 （6）应用：比较大小，证明不等式，解不等式。 5. 函数的奇偶性 奇偶性：定义：注意区间是否关于原点对称，比较f （x ） 与f （－x ）的关系。f （x ） －
函数的定义域、值域及解析式
函数的定义域、值域及解析式 【教学目标】 1.通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型。 2.了解对应关系在刻画函数概念中的作用。 3.了解构成函数的三要素，会求一些简单函数的定义域和值域 【教学重难点】函数定义域、值域以及解析式的求法。 【教学内容】 1.定义 高中函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A →B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x)，x∈A．如：f(x)=x2 f(x)=2x+2等 （1）其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域； （2）与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域．注意：如果只给出解析式y=f(x)，而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式． 2.构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 常见函数的定义域与值域 函数解析式定义域值域 一次函数y=ax+b(a≠0) 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 反比例函数 (k为常数， k≠0） 1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，即称这两个函数相等（或为同一函数） 2）两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方法：①表达式相同；②定义域一致 (两点必须同时具备)例. 判断下列函数f（x）与g（x）是否表示同一个函数，说明理由？ （1）f ( x ) = (x-1) 0；g ( x ) = 1 （2）f ( x ) = x； g ( x ) = （√x）2 （3）f ( x ) = x 2；g ( x ) = (x + 1) 2 （4）f ( x )=x2-2x+2, g ( x )=t2-2t+2 3．区间的概念
高中函数定义域值域单调性及高考题
函数知识综合复习 讲课时间： 知识点：函数的定义域、值域、单调性及奇偶性 考点：函数知识的全面考察 一、定义域 1.基本函数求定义域： 例1：（1）236)(2+-= x x x f （2）42113)(+-+-=x x x f （3）y=x x -||1 （4）y=3102++x x （5）)352(log )(21-+-=-x x x f x 练习：236)(2+-=x x x f 2 )1(102-+-=x x y 2.抽象函数求定义域： 例2：（1）已知)(x f 的定义域为]1,1[-，求)12(-x f 的定义域。 （2）已知)12(-x f 的定义域为]1,1[-，求)(x f 的定义域 学生练习：（1）已知)12(-x f 定义域为]1,0[，求)3(x f 的定义域 （2）已知)(x f 的定义域为[]4,2-，则)()()(x f x f x g +-=的定义域为 。 （3）若[]0,3)1(的定义域为+x f ，求)(x f 的定义域。 例3：（1）已知函数()f x =的定义域为R ，求实数a 的范围. （2）已知函数y =的定义域为R ，求实数m 的范围 二、值域 例1：求下列函数的值域()2f x x =+，2211)(x x x x f +++=（?） 21+-=x x y ，1y x x =+，)1(1222->+++=x x x x y 练习：（1）x x x f 211)(--+=，（2）x x x f 212)(-+=，
（3）212)(x x x f +=，（4）x x x f 82)(+= 例2：求52)(++-=x x x f 的值域 练习：求13)(+--=x x x f 的值域 例3：设函数()y f x =是定义在(0,)+∞上的减函数，且()()()f xy f x f y =+，1)3 1(=f 。（1）求(1)f 的值； （2）若存在实数m ，使得()2f m =，求m 的值； （3）如果()(2)2f x f x +-<，求x 的取值范围。 练习：若()f x 是定义在(0,)+∞上的增函数，且()()x f f x f y y ?? =- ???。 （1）求)1(f 的值；（2）解不等式：(1)0f x -<； （3）若(2)1f =，解不等式1(3)()2f x f x +-< 三、单调性 1.基本函数的单调性及证明方法 例1：函数x x f a log )(=在区间]9,2[上的最大值比最小值大2，求a 例2：判断函数)0(1)(2≠-=a x ax x f 在区间)1,1(-上的单调性。 2.复合函数的单调性 例2：（1）函数22)13()(a x a ax x f +--=在],1[+∞-上是增函数，求实数a 的取值范围． （2）求函数213 2log (32)y x x =-+的单调区间。 练习：（1）函数2()42f x ax x =+-在[]1,3-上为增函数，求a 的取值范围 （2）已知函数)(log )(22m mx x x f +-=的定义域是R ，并且在(-∞,1)上单调递减，则实数m 的取值范围 （3）已知log (2)a y ax =-在[0,1]上是x 的减函数，求a 的取值范围
高中函数定义域和值域的求法总结(十一种)
高中函数定义域和值域的求法总结 一、常规型 即给出函数的解析式的定义域求法，其解法是由解析式有意义列出关于自变量的不等式或不等式组，解此不等式（或组）即得原函数的定义域。 例1 求函数8 |3x |15 x 2x y 2-+--= 的定义域。 解：要使函数有意义，则必须满足 ?? ?≠-+≥--②① 8|3x |015x 2x 2 由①解得 3x -≤或5x ≥。 ③ 由②解得 5x ≠或11x -≠ ④ ③和④求交集得3x -≤且11x -≠或x>5。 故所求函数的定义域为}5x |x {}11x 3x |x {>-≠-≤ 且。 例2 求函数2 x 161 x sin y -+=的定义域。 解：要使函数有意义，则必须满足 ? ??>-≥②①0x 160 x sin 2 由①解得Z k k 2x k 2∈π+π≤≤π， ③ 由②解得4x 4<<- ④ 由③和④求公共部分，得 π≤<π-≤<-x 0x 4或 故函数的定义域为]0(]4(ππ--，， 评注：③和④怎样求公共部分？你会吗？ 二、抽象函数型 抽象函数是指没有给出解析式的函数，不能常规方法求解，一般表示为已知一个抽象函数的定义域求另一个抽象函数的解析式，一般有两种情况。 （1）已知)x (f 的定义域，求)]x (g [f 的定义域。 （2）其解法是：已知)x (f 的定义域是［a ，b ］求)]x (g [f 的定义域是解b )x (g a ≤≤，即为所求的定义域。 例3 已知)x (f 的定义域为［－2，2］，求)1x (f 2-的定义域。 解：令21x 22≤-≤-，得3x 12≤≤-，即3x 02≤≤，因此3|x |0≤≤，从而 3x 3≤≤-，故函数的定义域是}3x 3|x {≤≤-。 （2）已知)]x (g [f 的定义域，求f(x)的定义域。 其解法是：已知)]x (g [f 的定义域是［a ，b ］，求f(x)定义域的方法是：由b x a ≤≤，求 g(x)的值域，即所求f(x)的定义域。 例4 已知)1x 2(f +的定义域为［1，2］，求f(x)的定义域。 解：因为51x 234x 222x 1≤+≤≤≤≤≤，，。 即函数f(x)的定义域是}5x 3|x {≤≤。 三、逆向型 即已知所给函数的定义域求解析式中参数的取值范围。特别是对于已知定义域为R ，求参数的范围问题通常是转化为恒成立问题来解决。 例5 已知函数8m m x 6m x y 2++-=的定义域为R 求实数m 的取值范围。 分析：函数的定义域为R ，表明0m 8mx 6mx 2≥++-，使一切x ∈R 都成立，由2x 项
函数的单调性与值域的关系
函数的单调性和值域 1．函数单调性的定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I： 如果对于定义域I某个区间D上的任意两个自变量的值 x,2x，当 1 x<2x时，都有f(1x)
（3） 解、证不等式 （4）作函数的图象 （5）讨论方程根的分布。 4．判断函数单调性的方法： （1）常用方法有：定义法、导数法、图象法、特殊值法（主要用于解选择题） （2）利用有关于单调性的一些结论：①奇函数在其对称区间上单调性相同；②偶函数在其对称区间上单调相反；③在公共定义域：增函数f(x)+增函数g(x)是增函数；减函数f(x)+减函数g(x)是减函数；增函数f(x)-减函数g(x)是增函数；减函数f(x)-增函数g(x)是减函数. 注意：f(x)为增函数,若a>0,则af(x)为增函数,若a<0,则af(x)为减函数. (3)互为反函数的两个函数具有相同的单调性 (4)利用复合函数的“同增异减”原则，若f(x)与g(x)的单调性相同，则复合函数y=f[g(x)]是增函数；若f(x)与g(x)的单调性相反，则复合函数y=[g(x)]是减函数。（简称同增异减） 例如：①函数f(x)=log ()23x 1-在其定义域为增函数；②f(x)=函数 log ()12 3x 1-在其定义域是减函数。函数f(x)=log ()23x 2-在定义域 ∞)为增函数,在定义域(-∞, 是减函数 5.函数的值域和最值 （1）函数的值域（见函数的概念一节） （2）函数的最值 ①函数最大值的定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，若存在
复合函数定义域与值域经典习题及答案
复合函数定义域和值域练习题 一、 求函数的定义域 1、求下列函数的定义域： ⑴y = ⑵y = ⑶01(21)111 y x x = +-+- 2、设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2 的定义域为_ _ _；函数f x ()-2的定义 域为________； 3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23，，则函数(21)f x -的定义域是 ；函数1 (2)f x +的定义域为 。 4、 知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取值范围。 二、求函数的值域 5、求下列函数的值域： ⑴2 23y x x =+- ()x R ∈ ⑵2 23y x x =+- [1,2]x ∈ ⑶311x y x -=+ ⑷31 1 x y x -=+ (5)x ≥ ⑸ y = ⑹ 22 5941x x y x +=-＋
⑺31y x x =-++ ⑻2y x x =- ⑼ y = ⑽ 4y = ⑾y x =- 6、已知函数222()1 x ax b f x x ++=+的值域为[1，3]，求,a b 的值。 三、求函数的解析式 1、 已知函数2 (1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式。 2、 已知()f x 是二次函数，且2 (1)(1)24f x f x x x ++-=-，求()f x 的解析式。 3、已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x = 。 4、设()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时， ()(1f x x =+ ，则当(,0)x ∈-∞时 ()f x =____ _ ()f x 在R 上的解析式为
定义域和值域的求法
定义域和值域的求法 Final revision by standardization team on December 10, 2020.
函数定义域求法总结 一、定义域是函数y=f(x)中的自变量x 的范围。 （1）分母不为零 （2）偶次根式的被开方数非负。 （3）对数中的真数部分大于0。 （4）指数、对数的底数大于0，且不等于1 （5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠ 二、抽象函数的定义域 1.已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域 由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若)(x f 的定义域为()b a x ,∈，求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围，即为)]([x g f 的定义域。 2.已知复合函数()][x g f 的定义域，求)(x f 的定义域 方法是：若()][x g f 的定义域为()b a x ,∈，则由b x a <<确定)(x g 的范围即为)(x f 的定义域。 3.已知复合函数[()]f g x 的定义域，求[()]f h x 的定义域 结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由()][x g f 定义域求得()x f 的定义域，再由()x f 的定义域求得()][x h f 的定义域。 4.已知()f x 的定义域，求四则运算型函数的定义域 若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。 函数值域求法四种 在函数的三要素中，定义域和值域起决定作用，而值域是由定义域和对应法则共同确定。研究函数的值域，不但要重视对应法则的作用，而且还要特别重视定义域对值域的制约作用。确定函数的值域是研究函数不可缺少的重要一环。对于如何求函数的值域，是学生感到头痛的问题，它所涉及到的知识面广，方法灵活多样，在高考中经常出现，占有一定的地位，若方法运用适当，就能起到简化运算过程，避繁就简，事半功倍的作用。本次课就函数值域求法归纳如下，供参考。 1. 直接观察法 对于一些比较简单的函数，其值域可通过观察得到。
函数的概念、定义域与值域、单调性、奇偶性与周期性
精锐教育学科教师辅导讲义 年 级： 高 一 辅导科目： 数学 课时数：3 课 题 函数的概念、定义域与值域、单调性、奇偶性与周期性 教学目的 1.理解函数的概念；理解构成函数的要素（定义域、值域、对应法则），了解映射的概念． 2.理解函数的三种表示方法（图象法、列表法、解析法），会选择恰当的方法表示简单情境中的函数． 3.理解和熟记函数的单调性和最值的定义； 4.掌握求解函数的值域和最值的基本方法，并能解决与函数值域和最值有关的问题． 5.理解和熟记函数的奇偶性和周期的定义； 6.掌握判定函数的奇偶性和周期性的基本方法，并能解决与函数奇偶性和周期性有关的问题． 教学内容 教材回归 ◎基础重现： 1．函数的概念： 设A ，B 是两个非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对集合A 中的 元素x ，在集合B 中都有 的元素y 和它对应，那么称:f A B →为从集合A 到集合B 的一个函数，记作：()y f x =，x A ∈．其中 叫做函数()y f x =的定义域；将所有 叫做函数的值域． 2．函数的相等 函数的定义含有三个要素： 、 和 ．当函数的定义域及对应法则确定后，函数的值域也随之确定．因此，定义域和对应法则是函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的 和 都分别对应相同时，两个函数才是同一个函数． 3．映射的定义 设A 、B 两个非空集合，如果按照某种对应法则f ，对于集合A 中的每一个元素，在集合B 中都有 的元素与之对应，那么，这样的对应关系叫做集合A 到集合B 的映射，记作：:f A B →． 4．函数的表示法 （1）解析法： ； （2）列表法： ； （3）图象法： ． 5．函数的定义域： （1）函数的定义域是构成函数的非常重要的部分，如没有标明定义域，则认为定义域为使得函数解析式 x 的取值范围． （2）实际问题中还需考虑自变量的实际意义，若解析式由几个部分组成，则定义域为各个部分相应集合的 ． 6．函数的值域： 当函数的自变量取遍定义域中 所有值时叫做函数的值域． 求函数值域主要有以下一些方法： （1）函数的定义域与对应法则直接制约着函数的值域，对于一些比较简单的函数可直接 求得值域，有时也称为 ； （2）二次函数或可转化为二次函数形式的问题常用 求值域；
必修一函数定义域值域和单调性奇偶性练习题
高一数学函数练习题 一、 求函数的定义域 1、 求下列函数的定义域： ⑴y = ⑵y = ⑶01 (21)1 11y x x =+-+-2、设函数f x ()的定义域为[]01，，则函数f x ()2的定义域为_ _ _；函数f x ()-2的定义域为________； 3、若函数(1)f x +的定义域为[]-23，， 则函数(21)f x -的定义域是 ；函数1(2)f x +的定义域为 。 4、 知函数f x ()的定义域为 [1,1]-，且函数()()()F x f x m f x m =+--的定义域存在，求实数m 的取值范围。 二、求函数的值域 5、求下列函数的值域： ⑴223y x x =+- ()x R ∈ ⑵223y x x =+- [1,2]x ∈ ⑶311 x y x -= + ⑷311x y x -=+ (5)x ≥ ⑸ y =⑹ 225941x x y x +=-＋
⑺31y x x =-++ ⑻2y x x =- ⑼ y = ⑽ 4y =⑾y x =- 6、已知函数222()1 x ax b f x x ++=+的值域为[1，3]，求,a b 的值。 三、求函数的解析式系 1、已知函数2(1)4f x x x -=-，求函数()f x ，(21)f x +的解析式。 2、已知()f x 是二次函数，且2 (1)(1)24f x f x x x ++-=-，求()f x 的解析式。 3、已知函数()f x 满足2()()34f x f x x +-=+，则()f x = 。
4、设()f x 是R 上的奇函数，且当[0,)x ∈+∞时， ()(1f x x =+ ，则当(,0)x ∈-∞时()f x =____ _ ()f x 在R 上的解析式为 5、设()f x 与()g x 的定义域是{|,1}x x R x ∈≠±且，()f x 是偶函数，()g x 是奇函数，且1()()1 f x g x x +=-，求()f x 与()g x 的解析表达式 四、求函数的单调区间 6、求下列函数的单调区间： ⑴ 2 23y x x =++ ⑵y ⑶ 261y x x =-- 7、函数()f x 在[0,)+∞上是单调递减函数，则2 (1)f x -的单调递增区间是 8、函数236 x y x -=+的递减区间是 ；函数y =的递减区间是
求函数的定义域与值域的常用方法完整版
求函数的定义域与值域 的常用方法 HEN system office room 【HEN16H-HENS2AHENS8Q8-HENH1688】
求函数的定义域与值域的常用方法 引入： 自变量x 的取值范围为 定义域 因变量y 的取值范围为 值域 求函数的解析式、求函数的定义域、求函数的值域、求函数的最值? 一、求函数的解析式 （一）解析式的表达形式 （解析式的表达形式有一般式、分段式、复合式等。） 1、一般式 （是大部分函数的表达形式） 例：一次函数：b kx y +=)0(≠k 二次函数：c bx ax y ++=2 )0(≠a 反比例函数：x k y = )0(≠k 正比例函数：kx y = )0(≠k 2、复合式 若y 是u 的函数，u 又是x 的函数，即),(),(),(b a x x g u u f y ∈==，那么y 关于x 的函数[]()b a x x g f y ,,)(∈=叫做f 和g 的复合函数。 例1、已知3)(,12)(2+=+=x x g x x f ，则[]=)(x g f ， []=)(x f g 。 解：[]721)3(21)(2)(22+=++=+=x x x g x g f （二）解析式的求法 （根据已知条件求函数的解析式，常用配凑法、换元法、待定系数法、赋值（式）法、方程法等。） 1. 配凑法 例1.已知 ：23)1(2+-=+x x x f ，求f(x)； 解：因为15)1(23)1(22+-+=+-=+x x x x x f 例2、已知：221)1(x x x x f +=+，求)(x f 。 解： 2)1(1)1(222-+=+=+x x x x x x f ∴ )22(2)(2-≤≥-=x x x x f 或 注意：使用配凑法也要注意自变量的范围限制。 2.换元法 例1.已知：x x x f 2)1(+=+，求f(x); 解：令2)1(,1,1-=≥=+t x t t x 即则 则1)1(2)1()(22-=-+-=t t t t f 所以)1(1)(2≥-=x x x f 例2、已知：11)11(2-=+x x f ，求)(x f 。
第05讲-函数的单调性与最值(讲义版)
第05讲-函数的单调性与最值 一、考情分析 借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值，理解它们的作用和实际意义． 二、知识梳理 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数减函数 定义设函数y＝f(x)的定义域为A，区间M?A，如果取区间M中任意两个值x1，x2，改变量Δx＝x2－x1>0，则当 Δy＝f(x2)－f(x1)>0时，就称 函数y＝f(x)在区间M上是增 函数 Δy＝f(x2)－f(x1)<0时，就称函数y ＝f(x)在区间M上是减函数 图象 描述 自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的 (2)上是增函数或是减函数， 性，区间M称为单调区间. 2.函数的最值 前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足 条件(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M； (2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M (3)对于任意x∈I，都有f(x)≥M； (4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M 结论M为最大值M为最小值 [方法技巧] 1.(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到. (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大值(或最小值).
2.函数y ＝f (x )(f (x )>0)在公共定义域内与y ＝－f (x )，y ＝1 f （x ） 的单调性相反. 3.“对勾函数”y ＝x ＋a x (a >0)的增区间为(－∞，－a )，(a ，＋∞)；单调减区间是[－a ，0)，(0，a ]. 三、 经典例题 考点一 确定函数的单调性(区间) 【例1－1】（2019·安徽省泗县第一中学高二开学考试（理））如果函数f(x)在[a ，b]上是增函数，对于任意的x 1，x 2∈[a ，b](x 1≠x 2)，下列结论不正确的是( ) A ． ()()1212 f x f x x x -->0 B ．f(a) <一>求函数定义域、值域方法和典型题归纳 一、基础知识整合 1.函数的定义：设集合A 和B 是非空数集，按照某一确定的对应关系f ，使得集合A 中任意一个数x,在集合B 中都有唯一确定的数f(x)与之对应。则称f:为A 到B 的一个函数。 2.由定义可知：确定一个函数的主要因素是①确定的对应关系（f ）,②集合A 的取值范围。由这两个条件就决定了f(x)的取值范围③{y|y=f(x),x ∈A}。 3.定义域：由于定义域是决定函数的重要因素，所以必须明白定义域指的是： （1）自变量放在一起构成的集合，成为定义域。 （2）数学表示：注意一定是用集合表示的范围才能是定义域，特殊的一个个的数时用“列举法”；一般表示范围时用集合的“描述法”或“区间”来表示。 4.值域：是由定义域和对应关系（f ）共同作用的结果，是个被动变量，所以求值域时一定注意求的是定义域范围内的函数值的范围。 （1）明白值域是在定义域A 内求出函数值构成的集合：{y|y=f(x),x ∈A}。 （2）明白定义中集合B 是包括值域，但是值域不一定为集合B 。 二、求函数定义域 （一）求函数定义域的情形和方法总结 1已知函数解析式时：只需要使得函数表达式中的所有式子有意义。 （1）常见要是满足有意义的情况简总： ①表达式中出现分式时：分母一定满足不为0； ②表达式中出现根号时：开奇次方时，根号下可以为任意实数；开偶次方时，根号下满足大于或等于0（非负数）。 ③表达式中出现指数时：当指数为0时，底数一定不能为0. ④根号与分式结合，根号开偶次方在分母上时：根号下大于0. ⑤表达式中出现指数函数形式时：底数和指数都含有x ，必须满足指数底数大于0且不等于1.（0<底数<1;底数>1） ⑥表达式中出现对数函数形式时：自变量只出现在真数上时，只需满足真数上所有式子大于0，且式子本身有意义即可；自变量同时出现在底数和真数上时，要同时满足真数大于0，底数要大于0且不等于 1. （2 ()log (1)x f x x =-） 注：（1）出现任何情形都是要注意，让所有的式子同时有意义，及最后求的是所有式子解集的交集。 （2）求定义域时，尽量不要对函数解析式进行变形，以免发生变化。(形 函数定义 映射 一般地，设A 、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f ，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应，那么就称对应:f A B →为从集合A 到集合B 的一个映射（mapping ）．记作“:f A B →” 函数的概念 1．定义：如果A ，B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称B A f →:为从集合A 到集合B 的一个函数，记作 )(x f y =，A x ∈。 其中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合{}A x x f ∈|)(叫做函数的值域。 函数与映射的关系与区别 相同点:(1)函数与映射都是两个非空集合中元素的对应关系; (2)函数与映射的对应都具有方向性; (3)A 中元素具有任意性，B 中元素具有唯一性； 区别：函数是一种特殊的映射，它要求两个集合中的元素必须是数，而映射中两个集合的元素是任意的数学对象。 函数的三要素 函数是由三件事构成的一个整体，分别称为定义域．值域和对应法则．当我们认识一个函数时，应从这三方面去了解认识它． 例 函数y ＝x x 2 3与y ＝3x 是不是同一个函数？为什么？ 练习 判断下列函数f （x ）与g （x ）是否表示同一个函数，说明理由？ ① f ( x ) = (x －1) 0；g ( x ) = 1 ② f ( x ) = x ； g ( x ) = 2x ③ f ( x ) = x 2；f ( x ) = (x + 1) 2 ④ f ( x ) = | x | ；g ( x ) = 2x 重点一：函数的定义域各种类型例题分析 数学必修一定义域值域知识点总结 数学必修一定义域知识点 定义 (高中函数定义)设A，B是两个非空的数集，如果按某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A--B为集合A到集合B的一个函数，记作y=f(x)，x属于集合A。其中，x叫作自变量，x的取值范围A叫作函数的定义域; 常见题型 1，已知f(x)的定义域，求f(g(x))的定义域. 例1，已知f(x)的定义域为(-1，1)，求f(2x-1)的定义域. 略解：由-1<2x-1<1有0<1 ∴f(2x-1)的定义域为(0，1) 2，已知f(g(x))的定义域，求f(x)的定义域. 例2，已知f(2x-1)的定义域为(0，1)，求f(x)的定义域。 解：已知0<1，设t=2x-1 ∴x=(t+1)/2 ∴0<(t+1)/2<1 ∴-1<1 ∴f(x)的定义域为(-1,1) 注意比较例1与例2，加深理解定义域为x的取值范围的含义。 3，已知f(g(x))的定义域，求f(h(x))的定义域. 例3，已知f(2x-1)的定义域为(0，1)，求f(x-1)的定义域。 略解：如例2，先求出f(x)的定义域为(-1，1)，然后如例1有-1<1，即0<2 ∴f(x-1)的定义域为(0，2) 指使函数有意义的一切实数所组成的集合。 其主要根据： ①分式的分母不能为零 ②偶次方根的被开方数不小于零 ③对数函数的真数必须大于零 ④指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1 例4，已知f(x)=1/x+√(x+1)，求f(x)的定义域。 略解：x≠0且x+1≧0， ∴f(x)的定义域为[-1，0)∪(0，+∞) 注意：答案一般用区间表示。 例5，已知f(x)=lg(-x2+x+2)，求f(x)的定义域。 略解：由-x2+x+2>0有x2-x-2<0 即-1<2 ∴f(x)的定义域为(-1，2) 函数应用题的函数的定义域要根据实际情况求解。 例6，某工厂统计资料显示，产品次品率p与日产量 x(件)(x∈N,1≦x<99)的关系符合如下规律： 又知每生产一件正品盈利100元，每生产一件次品损失100元. 求该厂日盈利额T(元)关于日产量x(件)的函数; 求解函数定义域、值域、解析式 【课堂笔记】 知识点一 定义域、值域的定义 在函数)(x f y =中，x 叫做自变量，x 的取值范围的集合A 叫作函数的定义域；与x 的值相对应的值y 叫作函数值，函数值的集合})({A x x f ∈叫作函数的值域。 下面我们就以求简单函数的定义域做一讲解。 （1）当函数是以解析式的形式给出的时候，其定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值的集合。 （2）当函数是由实际问题给出时，其定义域不仅要考虑使其解析式有意义，还要有实际意义。 注意：（1）求函数的定义域，一般是转化为解不等式或不等式组的问题，要注意逻辑连接词的恰当使用。 （2）定义域是一个集合，其结果可用集合或区间来表示。 （3）若函数)(x f 是整式型函数，则定义域为全体实数。 （4）若函数)(x f 是分式型函数，则定义域为使分母不为零的实数构成的集合。 （5）若函数)(x f 是偶次根式，则定义域为使被开方式非负的实数构成的集合。 （6）由实际问题确定的函数，其定义域由自变量的实际意义确定。 （7）如果已知函数是由两个以上的数学式子的和、差、积、商的形式构成时，定义域是使其各部分有 意义的公共部分的集合。 （8）复合函数的定义域问题： ①若已知)(x f 的定义域为],[b a ,则复合函数))((x g f 的定义域可由不等式b x g a ≤≤)(解出； ②若已知))((x g f 的定义域为],[b a ，则函数)(x f 的定义域，即为当],[b a x ∈时函数)(x g 的值域。 【例1】求下列函数的定义域 （1）1+= x y （2）x y -= 21 （3）0)1(21-+-= x x y 【例2】 求下列函数的定义域 （1）x y ++ = 11 11； （2）1 42 --= x x y ；求函数定义域和值域方法和典型题归纳
5、函数的定义域和值域答案
数学必修一定义域值域知识点总结
求解函数定义域,值域,解析式讲义(精华版)
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