函数的单调性与值域的关系
函数的单调性和值域
1．函数单调性的定义
一般地，设函数f(x)的定义域为I：
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值
x,2x，当
1
x<2x时，都有f(1x) 数； 如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值 x,2x，当 1 x<2x时， 1 都有f( x)>(2x)，，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数； 1 如果函数f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D叫做y=f(x)的单调区间。 2.函数单调性的证明方法，通常用两种方法证明：①定义法②导数法 （1）利用定义法证明函数单调性的一般步骤是：①取值②作差（有时也可作商）③变形④定号⑤作出结论判断. 用定义法证明函数的单调性时，要比较f( x)与f(2x)的大小，最常 1 用的方法是作差（或作商）比较法。 （2）用导数法证明函数单调性的理论为：若函数y=f(x)在某区间内 可导，且满足'() f x<0， f x>0，则f(x)在该区间上单调递增；若满足'() 则f(x)在该区间上单调递减。 3.函数单调性的应用： （1）比较（函数值）大小（2）求函数的值域或最值 （3） 解、证不等式 （4）作函数的图象 （5）讨论方程根的分布。 4．判断函数单调性的方法： （1）常用方法有：定义法、导数法、图象法、特殊值法（主要用于解选择题） （2）利用有关于单调性的一些结论：①奇函数在其对称区间上单调性相同；②偶函数在其对称区间上单调相反；③在公共定义域内：增函数f(x)+增函数g(x)是增函数；减函数f(x)+减函数g(x)是减函数；增函数f(x)-减函数g(x)是增函数；减函数f(x)-增函数g(x)是减函数. 注意：f(x)为增函数,若a>0,则af(x)为增函数,若a<0,则af(x)为减函数. (3)互为反函数的两个函数具有相同的单调性 (4)利用复合函数的“同增异减”原则，若f(x)与g(x)的单调性相同，则复合函数y=f[g(x)]是增函数；若f(x)与g(x)的单调性相反，则复合函数y=[g(x)]是减函数。（简称同增异减） 例如：①函数f(x)=log ()23x 1-在其定义域内为增函数；②f(x)=函数 log ()12 3x 1-在其定义域内是减函数。函数f(x)=log ()23x 2-在定义域 ∞)内为增函数,在定义域(-∞, 内是减函数 5.函数的值域和最值 （1）函数的值域（见函数的概念一节） （2）函数的最值 ①函数最大值的定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，若存在 实数M 满足：<1>对任意的x ∈I ，都有f(x)≤M ；<2>存在0x ∈I ，使得f(0x )=M 。那么,称M 是函数y=f(x)的最大值。 ②函数最小值的定义：一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，若存在实数M 满足：<1>对任意的x ∈I ，都有f(x)≥M ；<2>存在0x ∈I ，使得f(0x )=M 。那么,称M 是函数y=f(x)的最小值。 注意：①函数最大（小）值首先应该是某一个函数值，即存在0x ∈I ，使得f(0x )=M ； ②函数最大（小）值应该所有函数值中最大（或最小）的，即对于任意的x ∈I ，都有f(x) ≤M(或f(x)≥M)。 6.求函数值域和最值的常用的方法 （1）配方法（适用于一元二次函数型） 例如，求下列函数的值域 ①y=-22x +5x+6 ②y=2x ﹣2x ﹣3 (0≤x ≤3) ③y=﹣sin 2x ﹣3cosx+3( ①(-∞, 738 ] ②[-4,0] ③ [0,6] ) （2）换元法：一元二次函数型或三角代换。通过换元，将函数化为易求值域的函数形式（注意换元后变量的取值范围，以保证变形是恒等的）。 例如，求下列函数的值域 ①②y=sinx+cosx+sinxcosx ③ 解：①设 =t, 易知 t ∈[0,+∞）,且x=2 1t 2 -, 则原函数可化 为:y=2 1t t 2 --=() 2 1 t 112 -++其中 t ∈[0,+∞）,当x=0时,有最大值max y =12 , 即y ≤12 . 故所求函数的值域为(-∞,12 ] ②设sinx+cosx=t,t ∈ 则原函数可化为:y=t+2 t 12 -（其中t ∈ [- , ]）以下略③设x=2cost,t ∈[0,π],则原函数可化 为:y=2(cost+sinxt)-2,（其中t ∈[0,π]）以下略 ( ① (-∞,12 ] ② [2 1t 2 - 1,12 ③ [-4,（3）利用函数单调性求值域 例如，求下列函数的值域 ① y=3x (1≤x ≤3) ⑤y=2x +lnx (0 22x 1x 2x 2 +-+ (0≤x ≤4) 解；①函数的定义域为[1，+∞），因为 [1， +∞）上均为增函数，故原函数为[1，+∞）上的增函数.所以f(x)≥ 所以原函数的值域为 ∞） ②函数的定义域为[1，+∞） 易知该函数在其定义域上为减函数，所以 f(x)≤ 所以原函数的值域为 ③函数的定义域为(-∞,12 ],而g(x)=x 和 h(x)=(-∞,12 ]上均为增函数，故原 函数为(-∞,12 ]上的增函数.所以f(x)≤f(12 )=12 ,所以原函数的值域 为(-∞,12 ] ④ 函数在[1,3]上为增函数 所以函数的值域为[1，27] ⑤ 函数在(0,3]上为增函数，所以函数的值域为(-∞,9+ln3] ⑥设2x+1=t ，则t ∈[1,9]，且x=t 12 -，从而原函数或化为y= 2 4t t 6t 13 -+。当t=0时，y=0,当t ≠0时，4y 13t 6 t = +-可证得13t t +在 ]上是减 函数，在 ,9]上是增函数。故当t ∈[1,9]时,13t t +∈ ,14]， 进而可求得原函数的值域为[12 （此题还有其他变换法求解） （4）利用基本不等式求值域(基本不等式：①若a,b ∈R,则22a b +≥2∣ab ∣≥2ab 。②若a,b ∈R +,则a+b ≥ 两个不等式均为当a=b 时,等号成立。) 例如：求下列函数的值域 ① y=x+1x (x>0) ② y= 23x x 4 + （x ≥0） 解：①∵x>0,∴x+1x ≥ 当且仅当x=1x 时,即x=1时,等号成立.所以函数的值域为[2，+∞） ②当x=0时,y=0,当x>0时,y= 34 x x + , ∵x>0, ∴x+4x ≥ =4,当且仅当x=2时,等号成立.所以函数的值 域为y ∈[0,4] 注意：用均值不等式：若a,b ∈R +,则a+b ≥ “一正，二定，三等号成立” （5）利用导数求函数的值域。（其实质上是利用函数的单调性求值域） 例如：求函数y=242x x -+2的值域 解：'2y 8x 2x =-=2x(42x ﹣1)，故原函数在区间(-1,-1 2 ),(-12 ,0) ,(0,12 ),(12 ,2)的单调性分别为：递减，递增，递减，递增。进而可得原函数的值域为：[ 15 8 ，30] *（6）基本函数法：一些由基本函数复合而成的函数可利用基本函数的值域求得 例如：求函数y=log ()22x 2x 3-++的值域 解：函数的定义域为（-1，3）,令u=2x 2x 3-++ x ∈（-1，3） 易 求得：0 因为函数y=log 2u 为增函数,所以原函数的值域为：(﹣∞,2] (此题还有其他解法) （7）分离常数法（常用来解决“分式型”函数的值域） 例如：求函数y=3x 1x 2 +-的值域 解：y= 3x 1x 2 +-=()3x 27x 2 -+-=3+ 7x 2 -∵ 7x 2 -≠0,∴3+ 7x 2 -≠3, ∴函数 y=3x 1x 2 +-=的值域为{y ∈R ∣y ≠3} （8）最值法：对于区间上的连续函数，利用求函数最大值和最小值来求函数的值域。 例如：求函数y=2sinx ﹣1的值域。 解：∵-1≤sinx ≤1 ∴-3≤2sinx ﹣1≤1 ∴所以原函数的值域为[-3,1] （9）判别式法：实质是方程思想，通过对二次方程的实根的判别求值域的方法。 例如：求函数2 2x 1 y x 2x 2 +=-+的值域。 解：由2 2x 1y x 2x 2 += -+得y 2x ﹣2(y+1)x+2y ﹣1=0,由y=0得-2x-1=0,则 x=-12 ,∴0是函数值域中的一个值.当y ≠0时,由△= [()]22y 1-+﹣ 4y(2y ﹣1)≥0得: ≤y ≤ ,故函数的值域为 （10）图象法：如果函数的图象较易作出，则可根据图象直观地得出函数的值域（求某些分段函数的值域常用此法） 例如：求函数y=∣x-3∣-∣x+1∣的值域 ([-4,4]) 此外还有观察法等 7.给定函数的值域或最值，求函数中参数的取值范围 例如：(1)设函数f(x)=2x ﹣2x+2a,当x ∈[-2,2]时，f(x)≤0恒成立，求实数a 的取值范围。 解法一，分离系数法； 由f(x)≤0,得2x ﹣2x+2a ≤0，即2a ≤-2x +2x ，设g(x)=-2x +2x=﹣ ()2x 1-+1, x ∈[-2,2] ∵g(x)在[-2,2]的最小值为max ()g x =g(﹣2)=﹣8, ∴2a ≤﹣8, ∴ a ≤﹣4 所以实数a 的取值范围为: (﹣∞,﹣4] 解法二：f(x)= 2x ﹣2x+2a=()2x 1-+2a ﹣1, f(x)在x ∈[-2,2]上值域为[2a-1,2a+8], 要使f(x)≤0, x ∈[-2,2]恒成立，只须2a+8≤0，所以 a ≤-4, 所以实数a 的取值范围为: (﹣∞,﹣4] (2).设f(x)= 2x +ax+3,当x ∈[-2,2]时, f(x)≥0恒成立，求实数的取范围。 ( [﹣7,2]) **(3).函数y=lg(2x +2x+m)的值是R ，则实数m 的取值范围是_______ (﹣∞,1] 8.利用函数的单调性求函数中参数的取值范围 例如：已知函数f(x)= 2x ﹣6ax+1在[2，+∞）上为增函数，则实数a 的取值范围为_______ 解：f(x)= 2x ﹣6ax+1= ()2x 3a -+1﹣92a , 因为函数f(x)在[2，+∞）上为增函数，所以由3a ≤2,得 a ≤23 所以实数a 的取值范围(﹣ ∞,23 ] 若函数y=f(x)在其定义D 内,恒有f(x)≥a 成立,求实数a 的取值范围,就是求f(x)的最小值； 若函数y=f(x)在其定义D 内,恒有f(x)≤a 成立,求实数a 的取值范围,就是求f(x)的最大值。 9.例题 例1 证明函数f(x)=x+ 4x 在x ∈(0,2)上是减函数 解；（定义法）设0<1x <2x <2, 则f(1x )-f(2x )=(11 4 x x + )-(22 4 x x + )=()()21124x x 1x x --∵0<1x <2x <2, ∴()21x x ->0, 120x x 4 4 1x x >?∴12 4 10x x - 在x ∈(0,2)上为减函数。 (此题也可用导数求解) 例2`证明函数f(x)= 2 ax x 1 - (a<0)在(-1,1)上是增函数 例3已知f(x)是定义在[-1,1]上的奇函数，且f(1)=1，若a,b ∈[-1,1],a+b ≠0时,有()()f a f b 0a b +>+，判断函数f(x)在[-1,1]上是增函数 还是减函数，并证明你的结论。 解：任取1x ,2x ∈[-1,1],且12x x <,则﹣2x ∈[-1,1],又f(x)是奇函数，于是 ()() 12 f x f x -=()() 12f x f x +-= ()() () () 121212f x f x x x x x +-?-+-,据已知 ()() () 1212f x f x 0x x +->+-12 x x -<0 ∴ ()()12f x f x -<0 即()()12f x f x <∴f(x)在 [-1,1]上是增函数。 例4 讨论函数f(x)=x+1x 的单调性 (在(-∞,-1),(1,+∞)上均为增函数。在(-1,0),(0,+1)上均为减函数) 例5 如果二次函数f(x)= 2x ﹣(a ﹣1)x+5在区间(12 ,1)上是增函数， 求f(2)的取值范围 解：二次函数f(x)在区间(12 ,1)上是增函数，由于其图象（抛物线） 开口向上，故其对称轴x=a 12 -或与直线x=12 重合或位于直线x=12 的左 侧,于是a 12 -=12 解之得a ≤2,故f(2)≥-2?2+11=7,即f(2)≥7. 例6 定义在R 上的函数y=f(x),f(0)≠0,当x>0时，f(x)>1,且对任意的a,b ∈R,有f(a+b)=f(a)?f(b) （1）求证:f(0)=1 （2）求证：对任意的x ∈恒有f(x)>0 （3）求证：f(x)是R 上的增函数 （4）若f(x)?f(2x-2x )>1,求x 的取值范围 （1）证明：令a=b=0,则f(0)=()2f 0,又f(0)≠0,∴f(0)=1 （2）证明：当x<0时,-x>0,∴f(0)=f(x)?f(-x)=1,∴f(-x)=() 1 0f x >, 又x ≥0时f(x)≥>0,∴x ∈R 时,恒有f(x)>0. （ 3 ） 证 明 ： 设 12 x x <,则 21x x 0 ->,∴ ()()2211f x f x x x =-+=()()211f x x f x -?,∵21x x 0->,∴()21f x x 1->, 又()1f x 0>,∴()()211f x x f x -?>()1f x .∴()()21f x f x >, ∴f(x)是R 上的增函数. （4）解：由f(x)?f(2x-2x )>1,f(0)=1,得f(3x-2x )>f(0),又f(x)是R 上的增函数, ∴3x-2x >0,∴0 1． 求下列函数的值域 （1）y=32 x -x+2 （2）2.求下列函数的值域 （1）（2）3. 求下列函数的值域 (1)y=2x ﹣x+2 x ∈[1,3] (2)y=ln(1-2x) (-2,-1) 4．求下列函数的值域 ①y=2x+1x +②y=2 3x x 4 + 5.（08重庆）函数 ） A 23 B 12 6．（08安微）设函数f(x)=2x+1x ﹣1 (x<0),则f(x)（ ） A 有最大值 B 有最小值 C 是增函数 D 是减函数 7(07全国)设a>1，函数f(x)=log a x 在区间[a,2a]上的最大值与最小值之差为12 ，则a=（ ） 8.(09山东)对任意实数a 、b ，定义运算”*”如下:a*b=() (){a a b b a b ≤>, 则函f(x)= log ()12 3x 2-*log 2x 的值域为（ ） A)[0,+∞) B (-∞,0] C (log 223 ,0) D(log 223 ,+∞) 9. (2009年广东卷文)函数x e x x f )3()(-=的单调递增区间是 ( ) A. )2,(-∞ B.(0,3) C.(1,4) D. ),2(+∞ 10. （2009全国卷Ⅱ文）设 2lg ,(lg ),a e b e c === ( ) （A ）a b c >> （B ）a c b >> （C ）c a b >> （D ）c b a >> *11.(09山东卷理)定义在R 上的函数f(x )满足f(x)= ?? ?>---≤-0 ),2()1(0),1(log 2x x f x f x x ，则f （2009）的值为( ) A.-1 B. 0 C.1 D. 2 12. (2009山东卷文)已知定义在R 上的奇函数)(x f ，满足 (4)()f x f x -=-,且在区间[0,2]上是增函数,则( ). A.(25)(11)(80)f f f -<< B.(80)(11)(25)f f f <<- C.(11)(80)(25)f f f <<- D. (25)(80)(11)f f f -<< 13. (10陕西文数)下列四类函数中，个有性质“对任意的x >0，y >0，函数f (x )满足f （x ＋y ）＝f （x ）f （y ）”的是 ( ) （A ）幂函数 （B ）对数函数 （C ）指数函数 （D ）余弦函数 14. （2010安徽文数）（7）设232 555322555 a b c ===（）,（），（），则a ，b ，c 的大小关系是 （A ）a ＞c ＞b （B ）a ＞b ＞c （C ）c ＞a ＞b （D ）b ＞c ＞a 15. （2010重庆文数）（4）函数y =( ) （A ）[0,)+∞ （B ）[0,4] (C)[0,4) （D ）(0,4) 16. （2010山东文数）(3)函数()()2log 31x f x =+的值域为 A. ()0,+∞ B. )0,+∞?? C. ()1,+∞ D. )1,+∞?? 17 （2010天津文数）(6)设554a log 4b log c log == =2 5，（3），，则 ( ) (A)a *18.（2010天津理数）（8）若函数f(x)=212 log ,0, log (),0x x x x >???-f(-a), 则实数a 的取值范围是 ( ) （A ）（-1，0）∪（0，1） （B ）（-∞，-1）∪（1,+∞） （C ）（-1，0）∪（1,+∞） （D ） （-∞，-1）∪（0,1） 19. （2009浙江文）若函数2()()a f x x a x =+∈R ，则下列结论正确的是（ ） A ．a ?∈R ，()f x 在(0,)+∞上是增函数 B ．a ?∈R ，()f x 在(0,)+∞上是减函数 C ．a ?∈R ，()f x 是偶函数 D ．a ?∈R ，()f x 是奇函数 20. 2009湖南卷文）设函数()y f x =在(,)-∞+∞内有定义，对于给定的正数K ，定义函数 (),(), (),(). K f x f x K f x K f x K ≤?=? >?取函数()2x f x -=。当K =12时，函数()K f x 的单调递增区间为( ) A ．(,0)-∞ B ．(0,)+∞ C ．(,1)-∞- D ．(1,)+∞ 21.（2009福建卷理）下列函数()f x 中，满足“对任意1x ，2x ∈（0， +∞），当1x <2x 时，都有1()f x >2()f x 的是( ) A ．()f x =1x B. ()f x =2(1)x - C .()f x =x e D ()ln(1)f x x =+ 22.(2009)辽宁卷文）已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞单调增加，则满足 (21)f x -＜1()3 f 的 x 取值范围是( ) （A ）（13 ，23） (B) ［13，23 ） (C)（12 ，23 ） (D) ［12 ，23 ） 23. （2009陕西卷文）定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的 1212,[0,)()x x x x ∈+∞≠，有2121 ()()0f x f x x x -<-.则 (A) (3)(2)(1) f f f <-< (B) (1)(2)(3) f f f <-< (C) (2)(1)(3) f f f -<< (D) (3)(1)(2)f f f <<- 24. .(2009陕西卷理)定义在R 上的偶函数()f x 满足：对任意的 1212,(,0]()x x x x ∈-∞≠，有2121()(()())0x x f x f x -->.则当*n N ∈时,有 (A) ()(1)(1) f n f n f n -<-<+ (B) (1)()(1) f n f n f n -<-<+(C) (1)()(1) f n f n f n +<-<- (D) (1)(1)() f n f n f n +<-<- 25.（2010天津文数）（10）设函数2()2()g x x x R =-∈， ()4,(), (),().(){ g x x x g x g x x x g x f x ++<-≥=则()f x 的值域是 （A ）9,0(1,)4 ??-?+∞???? （B ）[0,)+∞ （C ）9[,)4 -+∞（D ）9,0(2,)4 ??-?+∞?? ?? 练习题答案 1 (1)[2312 ,+∞） (2) [0,2] 。 2 (1) [0,+ ∞） (2) 。 3 (1)[4,26]。 (2) (ln5,ln3) 4.①(-∞ ,-2∪ [2∞) ②[-,3344 ]。 5 B ；6A 。7 D 。 8 B 。 9 D 。 (此题用导题用导较快) 10B 。； 11 C 。。 12D 。 13C 。 14A 。 15C 。 16A 。 17D 。 18 C 。 19 C 。 20,C : 21 A 。 22. A 。 23 A.。24.C 25. D 专题：函数单调性、奇偶性、对称性、周期性 一、函数的单调性 1．单调函数与严格单调函数 设 f(x) 为定义在I上的函数，若对任何 x1 , x2I ，当 x1x2时，总有 (ⅰ ) f (x1) f ( x2) ，则称f (x)为I上的增函数，特别当且仅当严格不等式 f ( x1 ) f ( x2 ) 成立时称 f (x) 为I上的严格单调递增函数。 (ⅱ ) f (x1) f ( x2) ，则称f (x)为I上的减函数，特别当且仅当严格不等式 f ( x1 ) f ( x2 ) 成立时称 f (x) 为I上的严格单调递减函数。 2．函数单调的充要条件 ★若 f (x) 为区间I上的单调递增函数，x1、 x2为区间内两任意值，那么有： f (x1) f ( x2)或 x1x20（x1x2)[ f (x1) f (x2)] 0 ★若 f (x) 为区间I上的单调递减函数，x1、 x2为区间内两任意值，那么有： f (x1) x1 3．函数单调性的判断(证明 ) (1)作差法 (定义法 ) (2)作商法 4复合函数的单调性的判定f ( x2)或x 2 )[ f (x1)f (x2)] 0 x20（x1 对于函数 y f (u) 和 u g(x) ，如果函数u g( x) 在区间 (a, b) 上具有单调性，当x a, b 时 u m,n，且函数 y f (u)在区间 (m, n) 上也具有单调性，则复合函数y f ( g( x)) 在区间a,b具有单调性。 5．由单调函数的四则运算所得到的函数的单调性的判断 对于两个单调函数 f (x) 和 g( x) ，若它们的定义域分别为I 和 J ，且 I J： (1)当f (x)和g (x)具有相同的增减性时，函数F1 (x) f (x) g( x) 、 F2 (x) f ( x)g(x) 的增减性与 f ( x)(或g( x) )相同， F3 ( x) f (x) g( x) 、 F4 (x)f (x) ( g(x) 0)的增减性不能确定；g( x) (2)当f (x)和g (x)具有相异的增减性时，我们假设 f ( x) 为增函数， g ( x) 为减函数，那么： ① F1 (x) f (x)g( x) 、 F2 (x) f ( x) g( x) 的增减性不能确定； ② F3 ( x) f ( x)g(x) 、 F4 ( x)f ( x) (g( x)0) 为增函数， F5 (x) g( x) ( f ( x)0) 为减函数。 g (x) f (x) 二、函数的奇偶性 1.奇偶性的定义 如果对于函数 f ( x) 的定义域内的任意一个x ，都有 f ( x) f ( x) ，则称函数 f (x) 为偶函数；如果对于函数 f (x) 的定义域内的任 函数定义域、值域求法总结 一.求函数的定义域需要从这几个方面入手： （1）分母不为零 （2）偶次根式的被开方数非负。 （3）对数中的真数部分大于0。 （4）指数、对数的底数大于0，且不等于1 （5）y=tanx 中x ≠k π+π/2；y=cotx 中x ≠k π等等。 ( 6 )0x 中x 0≠ 二、值域是函数y=f(x)中y 的取值范围。 常用的求值域的方法： （1）直接法 （2）图象法（数形结合） （3）函数单调性法 （4）配方法 （5）换元法 （包括三角换元）（6）反函数法（逆求法） （7）分离常数法 （8）判别式法 （9）复合函数法 （10）不等式法 （11）平方法等等 这些解题思想与方法贯穿了高中数学的始终。 定义域的求法 1、直接定义域问题 例1 求下列函数的定义域： ① 2 1 )(-=x x f ；② 23)(+=x x f ；③ x x x f -+ +=211)( 解：①∵x-2=0，即x=2时，分式 2 1 -x 无意义， 而2≠x 时，分式 21 -x 有意义，∴这个函数的定义域是{}2|≠x x . ②∵3x+2<0，即x<-32 时，根式23+x 无意义， 而023≥+x ，即3 2 -≥x 时，根式23+x 才有意义， ∴这个函数的定义域是{x |3 2 -≥x }. ③∵当0201≠-≥+x x 且，即1-≥x 且2≠x 时，根式1+x 和分式x -21 同时有意义， ∴这个函数的定义域是{x |1-≥x 且2≠x } 另解：要使函数有意义，必须： ? ??≠-≥+0201x x ? ???≠-≥21 x x 例2 求下列函数的定义域： ①14)(2 --= x x f ②2 14 3)(2-+--= x x x x f ③= )(x f x 11111++ ④x x x x f -+= 0)1()( ⑤3 7 3132+++-=x x y 解：①要使函数有意义，必须：142 ≥-x 即： 33≤≤-x ∴函数14)(2--= x x f 的定义域为： [3,3-] ②要使函数有意义，必须：???≠-≠-≤≥?? ??≠-+≥--131 40210432x x x x x x x 且或 4133≥-≤<-- 函数的定义域与值域、单调性与奇偶性 一、知识归纳： 1. 求函数的解析式 （1）求函数解析式的常用方法： ①换元法（ 注意新元的取值范围） ②待定系数法（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等） ③整体代换（配凑法） ④构造方程组（如自变量互为倒数、已知f （x ）为奇函数且g （x ）为偶函数等） （2）求函数的解析式应指明函数的定义域，函数的定义域是使式子有意义的自变量的取值范围，同时也要注意变量的实际意义。 （3）理解轨迹思想在求对称曲线中的应用。 2. 求函数的定义域 求用解析式y ＝f （x ）表示的函数的定义域时，常有以下几种情况： ①若f （x ）是整式，则函数的定义域是实数集R ； ②若f （x ）是分式，则函数的定义域是使分母不等于0的实数集； ③若f （x ）是二次根式，则函数的定义域是使根号内的式子大于或等于0的实数集合； ④若f （x ）是由几个部分的数学式子构成的，则函数的定义域是使各部分式子都有意义的实数集合； ⑤若f （x ）是由实际问题抽象出来的函数，则函数的定义域应符合实际问题. 3. 求函数值域（最值）的一般方法： （1）利用基本初等函数的值域； （2）配方法（二次函数或可转化为二次函数的函数）； （3）不等式法（利用基本不等式，尤其注意形如)0(>+=k x k x y 型的函数） （4）函数的单调性：特别关注)0(>+ =k x k x y 的图象及性质 （5）部分分式法、判别式法（分式函数） （6）换元法（无理函数） （7）导数法（高次函数） （8）反函数法 （9）数形结合法 4. 求函数的单调性 （1）定义法： （2）导数法： （3）利用复合函数的单调性： （4）关于函数单调性还有以下一些常见结论： ①两个增（减）函数的和为_____；一个增（减）函数与一个减（增）函数的差是______； ②奇函数在对称的两个区间上有_____的单调性；偶函数在对称的两个区间上有_____的单调性； ③互为反函数的两个函数在各自定义域上有______的单调性； （5）求函数单调区间的常用方法：定义法、图象法、复合函数法、导数法等 （6）应用：比较大小，证明不等式，解不等式。 5. 函数的奇偶性 奇偶性：定义：注意区间是否关于原点对称，比较f （x ） 与f （－x ）的关系。f （x ） －专题：函数单调性、奇偶性、对称性、周期性.docx
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