高中数学选择性必修三 7 4 1 二项分布 导学案

7.4.1 二项分布

1.理解伯努利试验以及n重伯努利试验的概念,掌握随机变量服从二项分布的有关计算;

2.能够解决随机变量服从二项分布的实际应用问题，会求服从二项分布的随机变量的均值和方差;

重点：n重伯努利实验，二项分布及其数字特征；

难点：在实际问题中抽象出模型的特征，识别二项分布.

1.伯努利试验

在实际问题中，有许多随机试验与掷硬币试验具有相同的特征，它们只包含两个可能结果. 例如，检验一件产品结果为合格或不合格，飞碟射击时中靶或脱靶，医学检验结果为阳性或阴性等.我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验（Bernoulli trials).我们将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验。显然，n重伯努利试验具有如下共同特征：

(1）同一个伯努利试验重复做n次；（概率相同）

(2) 各次试验的结果相互独立.

2.二项分布

一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0

用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为

P(X=k)=C n k×p k×(1−p)n−k，k=0,1,…,n.

如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布（binomial distribution），记作X~B(n,p).

3.一般地，如果X~B（n,p）,那么E(X)=np; D(X)=np(1-p).

一、问题探究

做一做:问题1.下面3个随机试验是否为n重伯努利试验?

如果是,那么其中的伯努利试验是什么?对于每个试验,定义“成功”的事件为A,那么A的概率是多大?重复试验的次数是多少？

1.抛掷一枚质地均匀的硬币10次.

2.某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8，连续射击3次.

3.一批产品的次品率为5%，有放回地随机抽取20件.

探究1 ：伯努利试验和n重伯努利试验有什么不同?

问题2：某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8.连续3次射击，中靶次数X的概率分布列是怎样的？

探究2：如果连续射击4次，类比上面的分析，表示中靶次数X等于2的结果有哪些？写出中靶次数X的分布列.

思考1：二项分布与两点分布有何关系?

思考2：对比二项分布和二项式定理，你能看出他们之间的联系吗？

二、典例解析

例1 ：将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次，求：

（1）恰好出现5次正面朝上的概率；

（2）正面朝上出现的频率在[0.4，0.6]内的概率.

例2：如图是一块高尔顿板的示意图.在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木钉，小木钉之间留有适当的空隙作为通道，前面挡有一块玻璃，将小球从顶端放入，小球下落的过程中，每次碰到小木钉后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中.格子从左到右分别编号为0，1，2，…，10，用X表示小球最后落入格子的号码，求X的分布列。

二项分布中需要注意的问题和关注点

(1）当X服从二项分布时，应弄清X～B(n，p）中的试验次数n与成功概率p.

(2）解决二项分布问题的两个关注点

①对于公式P(X＝k）＝C k n p k(1－p）n－k(k＝0，1，2，…，n），必须在满足“独立重复试验”时才能应用，否则不能应用该公式．

②判断一个随机变量是否服从二项分布，关键有两点：一是对立性，即一次试验中，事件发生与否两者必有其一；二是重复性，即试验是独立重复地进行了n次．

例3：甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利?

探究3：假设随机变量X服从二项分布B（n,p）,那么X的均值和方差是什么？

例4. 一次数学测验由25道选择题构成，每道选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确的，

每道题选择正确得4分，不作出选择或选错不得分，满分100分，某学生选对任一题的概率均为0.6，求此学生在这一次测验中的成绩的数学期望和方差．

1.某射击选手每次射击击中目标的概率是0.8，这名选手在10次射击中，恰有8次击中目标的概率为( ）

A ．C 810 ×0.88×0.22

B ．0.88×0.22

C ．C 210 ×0.28×0.82

D ．0.28×0.82

2.已知X 是一个随机变量，若X ～B ⎝⎛⎭⎫6，1

3 ，则P (X ＝2）等于( ） A ．316 B ．4243 C ．13243 D ．80

243

3.已知X ～B (n ，p ），E (X ）＝8，D (X ）＝1.6，则n ＝________，p ＝________．

4.甲、乙两队参加世博会知识竞赛，每队3人，每人回答一个问题，答对者为本队赢得一分，答错者得零分．假设甲队中每人答对的概率均为23 ，乙队中每人答对的概率分别为23 ，23 ，1

2 ，且各人答

对正确与否相互之间没有影响．用ξ表示甲队的总得分． (1）求随机变量ξ的分布列．

(2）用A 表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件，用B 表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件，求P (AB ）.

5.一出租车司机从某饭店到火车站途中有6个交通岗，假设他在各交通岗遇到红灯这一事件是相互独立的，并且概率是1

3

.

(1）求这位司机遇到红灯数ξ的期望与方差．

(2）若遇上红灯，则需等待30秒，求司机总共等待时间η的期望与方差．

1.二项分布的定义：

一般地，在n 重伯努利试验中，设每次试验中事件A 发生的概率为p(0

P (X =k )=C n k

×p k ×(1−p)n−k ，k =0,1,…,n.

如果随机变量X 的分布列具有上式的形式，则称随机变量X 服从二项分布（binomial distribution ），

记作X~B(n,p).

2.确定一个二项分布模型的步骤:

（1）明确伯努利试验及事件A的意义，确定事件A发生的概率p；

（2) 确定重复试验的次数n，并判断各次试验的独立性；

（3）设X为n次独立重复试验中事件A发生的次数，则X～B(n，p）.

3.一般地，如果X~B（n,p）,那么E(X)=np; D(X)=np(1-p).

参考答案：

知识梳理

学习过程

一、问题探究

问题1：

探究1 ：伯努利试验是一个“有两个结果的试验”，只能关注某个事件发生或不发生；n重伯努利试验是对一个“有两个结果的试验”重复进行了n次，所以关注点是这n次重复试验中“发生”的次数X.进一步地，因为X是一个离散型随机变量，所以我们实际关心的是它的概率分布列.

表示“第i次射击中靶”(i=1，2，3)，用如下图的树状图表示试验的可能结果：

问题2：用A

i

由分步乘法计数原理，3次独立重复试验共有23

=8种可能结果，它们两两互斥，每个结果都是3个相互独立事件的积，由概率的加法公式和乘法公式得

P(X =0)=P(A 1A 2A 3)=0.23,

P (X =1)=P (A 1A 2A 3)+P (A 1A 2A 3)+P (A 1A 2A 3)=3×0.8×0.22, P(X =2)=P(A 1A 2A 3)+P(A 1A 2A 3)+P(A 1A 2A 3)=3×0.82×0.2,

P(X=3)=P(A 1A 2A 3)=0.83.

为了简化表示，每次射击用1表示中靶，用0表示脱靶，那么3次射击恰好2次中靶的所有可能结果可表示为011，110，101，这三个结果发生的概率都相等，均为0.82

×0.2，并且与哪两次中靶无关.

因此,3次射击恰好2次中靶的概率为C 32×0.82×0.2.同理可求中靶0次,1次,3次的概率.

于是，中靶次数X 的分布列为：

P(X =k)=C 3k

×0.8k ×0.23−k ，k =0,1，2，3

探究2：(1)表示中靶次数X 等于2的结果有：A 1 A 2 A 3 A 4, A 1 A 2 A 3 A 4,, A 1 A 2 A 3 A 4, A 1 A 2 A 3A 4 , A 1 A 2A 3A 4, A 1 A 2 A 3A 4,共6个。

(2)中靶次数X 的分布列为：P (X =k )=C 4k

×0.8k ×0.24−k ，k =0,1，2，3,4

思考1：两点分布是一种特殊的二项分布，即是n=1的二项分布；二项分布可以看做两点分布的一般形式.

思考2： 如果把p 看成b ，1-p 看成a ，则C n k ×p k ×(1−p)n−k 就是二项式[(1−p)+p]n 的展开式

的通项，由此才称为二项分布。

即∑P (x =k )=n k=0∑C n k ×p k ×(1−p)

n−k n k=0=[p +(1−p)]n =1

二、典例解析

例1 ：分析:抛掷一枚质地均匀的硬币,出现“正面朝上”和“反面朝上”两种结果且可能性相等,这是一个10重伯努利试验,因此,正面朝上的次数服从二项分布。

解：设A=“正面朝上”，则P(A）=0.5.用X表示事件A发生的次数，X~B(10,0.5).

(1)恰好出现5次正面朝上等价于X=5，于是

P(X=5)=C105×0.510=252

1024=63

256

;

(2)正面朝上出现的频率在[0.4，0.6]内等价于4≤X≤6，于是

P(4≤X≤6)=C104×0.510+C105×0.510+C106×0.510=672 1024

=

21

32

.

例2：分析：小球落入哪个格子取决于在下落过程中与各小木钉碰撞的结果,设试验为观察小球碰到小木钉后下落的方向,有“向左下落”和“向右下落”两种可能结果,且概率都是0.5.在下落的过程中,小球共碰撞小木钉10次,且每次碰撞后下落方向不受上一次下落方向的影响,因此这是一个10重伯努利试验,小球最后落入格子的号码等于向右落下的次数,因此X服从二项分布。

解：设A=“向右下落”，则A=“向左下落”，且P(A)=P(A)=0.5.因为小球最后落入格子的号码X等于事件A发生的次数，而小球在下落的过程中共碰撞小木钉10次，所以X～B(10，0.5）.于是，X的分布列为P(X=k)=C10k×0.510，k=0,1, (10)

X的概率分布图如下图所示：

例3：分析:判断哪个赛制对甲有利,就是看在哪个赛制中甲最终获胜的概率大,可以把“甲最终获胜”这个事件,按可能的比分情况表示为若干事件的和,再利用各局比赛结果的独立性逐个求概率;也可以假定赛完所有n局,把n局比赛看成n重伯努利试验,利用二项分布求“甲最终获胜”的概率。

解法一：采用3局2胜制，甲最终获胜有两种可能的比分2：0或2：1，前者是前两局甲连胜，后者是前两局甲、乙各胜一局且第3局甲胜.因为每局比赛的结果是独立的，甲最终获胜的概率为

p 1=0.62+C 21

×0.62×0.4=0.648.

类似地，采用5局3胜制，甲最终获胜有3种比分3：0，3：1或3：2因为每局比赛的结果是独立

的，所以甲最终获胜的概率为p 2=0.63+C 32×0.63×0.4+C 42×0.63×0.42=0.68256.

解法2：采用3局2胜制，不妨设赛满3局，用X 表示3局比赛中甲胜的局数，则X ～B(3，0.6).

甲最终获胜的概率为 p 1 =P(X=2)+P(X=3)= C 32×0.62×0.4+C 33×0.63=0.648.

采用5局3胜制，不妨设赛满5局，用X 表示5局比赛中甲胜的局数， 则X ～B(5，0.6).

甲最终获胜的概率为p 2 =P (X =3)+P (X =4)+P (X =5)

=C 53×0.63×0.42+C 54×0.64 ×0.4+ C 55×0.65=0.68256

因为p 2>p 1，所以5局3胜制对甲有利.实际上，比赛局数越多，对实力较强者越有利.

探究3：当n =1时，X 服从两点分布，分布列为P(X =0)=1−p,P(X =1)=p.均值和方差分别为E(X)=p;D(X) =p(1−p).

(2)当n =2时，X 的分布列为 P (X =0)=(1−p )2,P (X =1)=2p (1−p ),

P(X =2)=p 2.均值和方差分别为 E(X)=0×(1−p )2+1×2p （1−p ）+2×p 2=2p. D(X)

=02×(1−p )2+12×2p （1−p ）+22×p 2−(2p)2=2p （1−p ）.

证明：∵P (X=k )= C n k p k q n-k

(∵ k C n

k =n C

n-1

k-1)

∴k P (X=k )= kC n k p k q n-k

= npC

n-1

k-1p k-1q n-k

∴E (X) =0×C n

0p 0q n

+ 1×C n

1p 1q n-1

+ 2×C n

2p 2q n-2

+ …+ k ×C n

k p k q n-k

+…+ n ×C n

n p n q 0

=np (C

n-1

0p 0q n-1+ C

n-1

1p 1q n-2+ … + C

n-1

k-1p k-1q (n-1)-(k-1) +…+ C

n-1

n-1p n-1q 0)

=np (p +q )n-1

=np

例4. 解析：设该学生在这次数学测验中选对答案的题目的个数为ξ，所得的分数为η， 由题意知，η＝4ξ，且ξ～B(25，0.6)，

则E(ξ)＝25×0.6＝15，D(ξ)＝25×0.6×(1－0.6)＝6. 故E(η)＝E(4ξ)＝4E(ξ)＝60，D(η)＝D(4ξ)＝42×D(ξ)＝96. 所以该学生在这一次测验中的成绩的数学期望与方差分别是

60和96. 达标检测

1.解析：设X 为击中目标的次数，则X ～B(10，0.8)，

∴这名选手在10次射击中，恰有8次击中目标的概率为P(X ＝8)＝C 810 ×0.88×(1－0.8)2＝C 810 ×0.88×0.22.故选A . 答案：A

2.解析：由题意知n ＝6，p ＝13 ，

故

P(X ＝2)＝C 26

×⎝⎛⎭⎫13 2

×⎝⎛⎭

⎫1－13 6－2 ＝C 26 ×⎝⎛⎭⎫13 2 ×⎝⎛⎭⎫23 4 ＝80243

.故选D .

答案：D

3. 解析：因为随机变量X ～B(n ，p)，所以E(X)＝np ＝8，D(X)＝np(1－p)＝1.6，解得p ＝0.8，n ＝10.

4.解析：(1)由已知，甲队中3人回答问题相当于3次独立重复试验， 所以ξ～B ⎝⎛⎭⎫3，23 . P(ξ＝0)＝C 03 ×⎝⎛⎭⎫1－23 3

＝1

27

， P(ξ＝1)＝C 13

×23 ×⎝⎛⎭⎫1－23 2 ＝29 ， P(ξ＝2)＝C 23 ×⎝⎛⎭⎫23 2 ⎝⎛⎭⎫1－23 ＝49

，

P(ξ＝3)＝C 33 ×⎝⎛⎭⎫23 3 ＝827 ，

所以ξ的分布列为

(2)用

C 表示“甲得2分乙得1分”这一事件，用

D 表示“甲得3分乙得0分”这一事件，AB ＝C ∪D ，C ，D 互斥． P(C)＝C 23

×⎝⎛⎭⎫23 2

×⎝⎛⎭⎫1－23 ×⎝⎛⎭⎫23×13×12＋13×23×12＋13×13×12 ＝1081

.

P(D)＝827 ×⎝⎛⎭⎫1－23 ⎝⎛⎭⎫1－23 ×⎝⎛⎭⎫1－12 ＝4243 . 所以P(AB)＝P(C)＋P(D)＝1081 ＋4243 ＝34243 .

5.解析：(1)易知司机遇上红灯次数ξ服从二项分布， 且ξ～B ⎝⎛⎭⎫6，13 ，所以E(ξ)＝6×1

3 ＝2， D(ξ)＝6×13 ×⎝⎛⎭⎫1－13 ＝4

3

. (2)由已知η＝30ξ，所以E(η)＝30E(ξ)＝60，D(η)＝900D(ξ)＝1 200.

高中数学选择性必修三 7 4 1 二项分布 导学案

7.4.1 二项分布 1.理解伯努利试验以及n重伯努利试验的概念,掌握随机变量服从二项分布的有关计算; 2.能够解决随机变量服从二项分布的实际应用问题，会求服从二项分布的随机变量的均值和方差; 重点：n重伯努利实验，二项分布及其数字特征； 难点：在实际问题中抽象出模型的特征，识别二项分布. 1.伯努利试验 在实际问题中，有许多随机试验与掷硬币试验具有相同的特征，它们只包含两个可能结果. 例如，检验一件产品结果为合格或不合格，飞碟射击时中靶或脱靶，医学检验结果为阳性或阴性等.我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验（Bernoulli trials).我们将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验。显然，n重伯努利试验具有如下共同特征： (1）同一个伯努利试验重复做n次；（概率相同） (2) 各次试验的结果相互独立. 2.二项分布 一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(0

3.一般地，如果X~B（n,p）,那么E(X)=np; D(X)=np(1-p). 一、问题探究 做一做:问题1.下面3个随机试验是否为n重伯努利试验? 如果是,那么其中的伯努利试验是什么?对于每个试验,定义“成功”的事件为A,那么A的概率是多大?重复试验的次数是多少？ 1.抛掷一枚质地均匀的硬币10次. 2.某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8，连续射击3次. 3.一批产品的次品率为5%，有放回地随机抽取20件. 探究1 ：伯努利试验和n重伯努利试验有什么不同? 问题2：某飞碟运动员每次射击中靶的概率为0.8.连续3次射击，中靶次数X的概率分布列是怎样的？ 探究2：如果连续射击4次，类比上面的分析，表示中靶次数X等于2的结果有哪些？写出中靶次数X的分布列. 思考1：二项分布与两点分布有何关系? 思考2：对比二项分布和二项式定理，你能看出他们之间的联系吗？ 二、典例解析 例1 ：将一枚质地均匀的硬币重复抛掷10次，求：

7.4二项分布与超几何分布- 人教A版(2019)高中数学选择性必修第三册讲义

1.伯努利实验 把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利实验 2.n 重伯努利实验 我们将一个伯努利试验独立地重复进行n 次所组成的随机试验称为n 重伯努利实验，显然，n 重伯努利实验具有如下共同特征： ①同一个伯努利试验重复做n 次 ②各次试验的结果相互独立 3. 二项分布 一般地，在n 重伯努利试验中，设每次试验中事件A 发生的概率为p （0＜P ＜1），用X 表示事件A 发生的次数，则X 的分布列为， ()() 1n k k k n P X k C p p -==-0,1,2,,k n = 如果随机变量X 的分布列具有上式的形式，则称随机变量X 服从二项分布，记作() ,X B n p 注意： 二项分布的均值与方差 (1)二项分布的均值:在n 次独立重复试验中,若X~B(n,p)，则E(X )=np. (2)二项分布的方差:若离散型随机变量X 从二项分布，即X~B(n,p),则D(X)=np(1-p).

1.超几何分布 一般地，假设一批产品共有N件，其中有M件次品，从N件产品中随机抽取n件（不放回），用X表 示抽取的n件产品中的次品数，则X的分布列为() k n k M N M n N C C P X k C -- ==，k=m,m+1,m+2,…，r 其中n，N，M* N ∈,M N ≤,n N ≤,{} max0, m n N M =-+,{} min, r n M =,如果随机变量X的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X服从超几何分布 2.超几何分布的均值 设随机变量X服从超几何分布，则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中，不放回地随机抽取n 件产品中的次品数.令p=M N , 则p是N件产品的次品率，而是抽取的n件产品的次品率,则E( X n )=p,即E(X)=np. 例题1.某篮球队对队员进行考核，规则是：①每人进行3个轮次的投篮；②每个轮次每人投篮2次，若至 少投中1次，则本轮通过，否则不通过，已知队员甲投篮1次投中的概率为2 3 ，如果甲各次投篮投中与否注意： 超几何分布需要知道总体的容量,二项分布不需要知道总体 容量但需要知道“成功率”;超几何分布中的概率计算实质是 古典概型问题;二项分布中的概率计算实质是相互独立事件 的概率问题.

高中数学选择性必修三 概率统计

概率统计 通过上节课的学习，我们已经知道分布列实际是一种函数，确切的说是一种离散型的函数，所谓的分布列的表格就是列表法表示函数.比如我们可以类似于连续函数做出离散型函数的函数图象.如上一讲中的例6，我们知道它的分布列为： X 0 1 2 3 4 5 P 136 112 19 13 19 13 于是，我们可以根据分布列画出函数的图象. 考点1：二点分布 1.如果随机变量X 的分布列为 X 1 0 P p 1p - 其中01p <<，则称离散型随机变量X 服从参数为p 的二点分布．二点分布又称01-分布，由于只有两个可能结果的随机试验叫做伯努利试验，所以这种分布又称为伯努利分布． 【举例】两点分布的应用十分广泛，如抽取的彩票是否中奖；买回的一件产品是否为正品；新生 婴儿的性别；投篮是否命中等等，都可以用二点分布来研究.老师可以以下边的例子讲 解两点分布，让学生从直观上理解二点分布． 屋子里关着一只鸟，这只鸟要从窗户飞出去，屋子里有三扇窗户，只有一个是开着的，剩 下两个有玻璃，不过这只鸟的眼神不是特别好，看不清哪个是开着的．于是，他会随机的 挑选一个撞过去，那么成功率就是1 3 .随机变量X 为这只鸟从窗户飞出去的结果，成功定义为1，失败 定义为0，则X 的分布列满足二点分布． X 1 0 P 13 23 知识点睛 543210 P X

2.二点分布的期望与方差： 若随机变量X 服从参数为p 的二点分布，则 ()()101E X p p p =⨯+⨯-=；()()()()()22 1011D X p p p p p p =-⋅+-⋅-=- 【教师备案】二点分布严格定义是01-分布，不过实际上二点分布的模型可以应用于自然界所有“只有两种情况”的 情况.比如：我们高考考北大，我们可以把考上定义为1，没考上定义为0，这样就可以写出一个二点分布的分布列．我们可以以这个分布列来估计考上北大的可能性，进而决定我们如何报考．这里会有一个比较有意思的问题：在什么情况下我们会比较纠结呢？直观的看，假设我们考上的概率是40%，考不上的概率是60%，我们就会侧重于不报考；如果考上的概率60%，考不上的概率是40%的话，我们就会考虑报考.但是如果我们发现考上的概率是50%的话，就彻底纠结了．这个时候其实我们最靠谱的办法是掷硬币……从数学的角度分析，这件事非常简单，我们知道二点分布的方差是()1p p -，由均值不等式很容易得出当1 2 p =的时候，方差最大，也就是结果的波动性最大.此时我们是最没有办法估计结果的． 【例1】 二点分布 从装有6只白球和4只红球的口袋中任取1只球，用X 表示“取到的白球个数”，求随机变量X 的分布列及 期望与方差． 【解析】 由题意知()420645P X ===+，()631645P X ===+，故随机变量X 的分布列为()2 05 P X ==， ()3 15 P X ==，概率分布表如下： X 0 1 P 25 35 ()35E X =，()236 5525 D X =⨯=． 考点2：超几何分布 1.超几何分布 一般地，设有总数为N 件的两类物品，其中一类有M 件，从所有物品中任取n 件()n N ≤，这n 件中所含这类物品件数X 是一个离散型随机变量，它取值为m 时的概率为 C C ()C m n m M N M n N P X m --==(01m l =，，，，l 为n 和M 中较小的一个 )． 我们称离散型随机变量X 的这种形式的概率分布为超几何分布，也称X 服从参数为N ，M ，n 的超几何分布．在 超几何分布中，只要知道N ，M 和n ，就可以根据公式求出X 取不同值时的概率()P X m =，从而列出X 的分布列． 2.超几何分布的期望与方差： 若离散型随机变量X 服从参数为N M n ，，的超几何分布， 则()nM E X N = ；()11nM M N n D X N N N -⎛⎫=- ⎪ -⎝⎭． 【举例】可以继续延续之前那个鸟的例子，假设现在屋子里有100扇窗户，其中有10扇窗户是打开的，现在鸟不傻 知识点睛 经典精讲

高中数学选择性必修三 7 4二项分布与超几何分布

第七章随机变量及其分布 7.4 二项分布与超几何分布 课后篇巩固提升 基础达标练 1.甲、乙两人进行羽毛球比赛,比赛采取五局三胜制,无论哪一方先胜三局比赛都结束,假定甲每局比赛获胜的概率均为2 3,则甲以3∶1的比分获胜的概率为( ) A.827 B.6481 C.49 D.89 解析当甲以3∶1的比分获胜时,说明甲乙两人在前三场比赛中,甲只赢了两局,乙赢了一局,第四局甲 赢,所以甲以3∶1的比分获胜的概率为P=C 3 2 23 2 1-23×23=3×49×13×23=8 27,故选A . 2.已知X~B (n ,p ),E (X )=8,D (X )=1.6,则n 与p 的值分别为( ) A.100和0.08 B.20和0.4 C.10和0.2 D.10和0.8 X~B (n ,p ),所以{np =8, np (1-p )=1.6, 解得n=10,p=0.8. 3.已知随机变量X~B (100,0.2),则D (4X+3)的值为 ( ) A.64 B.256 C.259 D.320 X~B (100,0.2), ∴D (X )=100×0.2×0.8=16. D (4X+3)=16D (X )=16×16=256. 4.口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球,每次有放回地摸取一个球,定义数列{a n },a n ={-1,第n 次摸取红球, 1,第n 次摸取白球, 如果S n 为数列{a n }的前n 项和,那么S 7=3的概率为 ( ) A.C 7 5×(13)2×(23)5 B.C 7 2×(23)2×(13)5 C.C 75×(13)5 D.C 72 ×(23)2

备战高考数学复习考点知识与题型讲解81---二项分布与正态分布

备战高考数学复习考点知识与题型讲解 第81讲二项分布与正态分布 考向预测核心素养二项分布与正态分布是高考的热点，三种题型均有可 数据分析、数学建模 能出现，中高难度. 一、知识梳理 1．伯努利试验与二项分布 (1)伯努利试验：只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验；将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验． (2)二项分布：一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为p(00为参数，则称随机变量X服从正态分布，记为X～N(μ，σ2)．

(2)正态曲线的特点 ①曲线是单峰的，它关于直线x ＝μ对称； ②曲线在x ＝μ处达到峰值 1 σ2π ； ③当|x |无限增大时，曲线无限接近x 轴． (3)正态分布的均值与方差 若X ～N (μ，σ2)，则E (X )＝μ，D (X )＝σ2． 二、教材衍化 1．(人A 选择性必修第三册P 77练习T 2改编)鸡接种一种疫苗后，有90%不会感染某种病毒，如果有5只鸡接种了疫苗，则恰好有4只鸡没有感染病毒的概率约为( ) A ．0.33 B.0.66 C.0.5 D.0.45 解析：选A.设5只接种疫苗的鸡中没有感染病毒的只数为X ，则X ～B (5，0.9)， 所以P (X ＝4)＝C 45×0.94 ×0.1≈0.33. 2．(人A 选择性必修第三册P 87习题7.5T 1改编)某学校高二年级数学学业质量检测考试成绩X ～N (80，25)，如果规定大于85分为A 等，那么在参加考试的学生中随机选择一名，他的成绩为A 等的概率是________． 解析：P (X >85)＝12[1－P (75≤X ≤85)]＝1－0.682 72＝0.158 65. 答案：0.158 65 3．(人A 选择性必修第三册P 71习题7.3T 4改编)在一次招聘中，主考官要求应聘者从6道备选题中一次性随机抽取3道题，并独立完成所抽取的3道题．乙能正确完成每道题的概率为2 3，且每道题完成与否互不影响．记乙能答对的题数为Y ，则Y 的数学期望为 ________． 解析：由题意知Y 的可能取值为0，1，2，3，且Y ～B ⎝ ⎛ ⎭⎪⎫3，23，则E (Y )＝3×23＝2. 答案：2 4．(人A 选择性必修第三册P 87练习T 2改编)已知随机变量X 服从正态分布N (3，1)，且P (X >2c －1)＝P (X 2c －1)＝P (X

高中数学选择性必修三 专题05二项分布、超几何分布与正态分布(含答案)高二数学下学期期中专项复习

专题05二项分布、超几何分布与正态分布 一、单选题 1．（2020·全国高二课时练习）抛掷一枚质地均匀的正方体骰子4次，设X 表示向上一面出现6点的次数，则X 的数学期望()E X 的值为（ ） A ． 1 3 B ． 49 C ． 59 D ． 23 【答案】D 【详解】 抛掷一枚质地均匀的正方体骰子1次，向上一面出现6点的概率为 16 ()112(4,)4663 X B E X ∴=⨯= 故选：D 2．（2020·全国高二课时练习）甲、乙两人分别独立参加某高校自主招生考试，若甲、乙能通过面试的概率都是 2 3 ，则面试结束后通过的人数X 的数学期望是（ ） A ． 43 B ． 119 C ．1 D ． 89 【答案】A 【详解】 由题意可知：2 ~(2,)3 X B ， 因此面试结束后通过的人数X 的数学期望是242=33 ⨯. 故选：A 3．（2021·河南驻马店市·高三期末（理））已知~(20,)X B p ，且()6E X =，则()D X =（ ） A ．1.8 B ．6 C ．2.1 D ．4.2 【答案】D 【详解】 因为X 服从二项分布~(20,)X B p ，所以()206==E X p ，得0.3p =，故 ()(1)200.30.7 4.2=-=⨯⨯=D X np p ． 故选：D.

4．（2021·山东德州市·高二期末）已知随机变量X 服从二项分布(),X B n p ，若()54 E X = ， ()15 16=D X ，则p =（ ） A ． 1 4 B ． 13 C ． 34 D ． 45 【答案】A 【详解】 由题意54 15(1)16np np p ⎧ =⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ ，解得145p n ⎧=⎪⎨⎪=⎩． 故选：A ． 5．（2020·全国高二课时练习）已知圆22 28130+--+=x y x y 的圆心到直线()10kx y k +-=∈Z 的距离 为14,4X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，则使()P X k =的值为（ ） A ． 23 B ． 35 C ． 13 D ． 2764 【答案】D 【详解】 由题意，知圆心坐标为()1,4， 圆心到直线()10kx y k +-=∈Z 的距离为 =1 7k =-或1k =． 因为k Z ∈，所以1k =． 因为14,4X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ， 所以()1 41 141127114464 P X C -⎛⎫⎛⎫==⋅⋅-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ． 故选：D ． 6．（2021·辽宁大连市·高三期末）2020年12月4日，中国科学技术大学宣布该校潘建伟等科学家成功构建

新课标高中数学人教A版选择性必修第一二三册教学建议〖第七章随机变量及其分布 教学建议〗

教学建议 在本章的教学中，应引导学生通过具体实例，理解可以用随机变量更好地刻画随机现象，感悟随机变量与随机事件的关系；理解随机事件独立性与条件概率之间关系；通过二项分布、超几何分布、正态分布的学习，理解随机变量及其分布． 1．综合典型问题开展概念的教学，培养学生数学抽象素养 条件概率、随机变量、随机变量的均值和方差都是本章的重要概念．在本章教学中，要通过丰富的、有趣的、学生熟悉的问题情境，由具体到抽象，深入分析这些概念的内涵、概念的各种属性及其关系． （1）对于条件概率的概念，应选择从2×2分类的总体中抽样的问题（如71节的问题1、问题2），使学生认识到：在附加事件A发生的条件下，试验的样本空间缩小了，即在事件A 发生的条件下，事件B的条件概率本质上是在缩小的样本空间上积事件AB的概率．再考虑一般的古典概型，进一步认识条件概率的意义．最后从特殊到一般，归纳出条件概率的定义．从这个抽象过程中，可归纳出求条件概率的两种方法．对随机事件的独立性与条件概率之间关系的理解，可采用先直观描述再数学推理的方法． （2）引入随机变量的概念，即将随机试验的样本点数量化，建立样本空间到实数集的对应关系，这是随机现象数学化的进一步抽象，为利用丰富的数学工具全面、系统地研究随机现象的规律提供了研究的新方法、对离散型随机变量概念的教学，应结合典型的随机试验，引导学生建立样本空间，根据需要建立样本点到实数的对应关系，在共性分析的基础上归纳概括出随机变量的定义．同时，让学生通过用随机变量的关系式表示随机事件，用分布列描述变量取值的概率规律，充分理解基于随机变量及其分布解决实际问题的一般方法． （3）随机变量的均值与方差都是度量性概念，度量性概念一般因比较而产生．教学中可选择有关比较的问题情境，例如为比较两名运动员的射箭水平，从n次射箭命中环数的均值出发，根据频率稳定到概率的原理，引入随机变量均值的概念． 2．充分展开抽象试验的特征、推导分布列的过程 抽象随机试验的特征及推导分布列的过程，是体现数学思想方法、提升学生数学素养的

高中数学选择性必修三 专题33 二项分布与超几何分布(含答案)

专题33 二项分布与超几何分布 一、单选题 1．（2020·山西应县一中高二期中（理））盒中有10个螺丝钉,其中有3个是坏的,现从盒中随机地抽取4个, 那么概率是 3 10 的事件为() A．恰有1个是坏的B．4个全是好的C．恰有2个是好的D．至多有2个是坏的【答案】C 【解析】 对于选项A，概率为 13 37 4 10 1 2 C C C =.对于选项B，概率为 4 7 4 10 1 6 C C =.对于选项C，概率为 22 37 4 10 3 10 C C C =.对于选项D， 包括没有坏的，有1个坏的和2个坏的三种情况.根据A选项，恰好有一个坏的概率已经是13 210 >，故D选 项不正确.综上所述，本小题选C. 2．（2020·天山新疆实验高二期末）有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取得次品的个数，则P(X<2)等于（） A． 7 15 B． 8 15 C．14 15 D．1 【答案】C 【解析】 由题意，知X取0，1，2，X服从超几何分布，它取每个值的概率都符合等可能事件的概率公式， 即P(X＝0)＝ 2 7 2 10 7 15 C C =，P(X＝1)＝ 11 73 2 10 7 15 C C C = ⋅ ，P(X＝2)＝ 2 3 2 10 1 15 C C =， 于是P(X<2)＝P(X＝0)＋P(X＝1)＝ 7714 151515 += 故选C

3．（2020·江苏鼓楼 南京师大附中高二期末）某地7个贫困村中有3个村是深度贫困，现从中任意选3个村，下列事件中概率等于 6 7 的是（ ） A ．至少有1个深度贫困村 B ．有1个或2个深度贫困村 C ．有2个或3个深度贫困村 D ．恰有2个深度贫困村 【答案】B 【解析】 用X 表示这3个村庄中深度贫困村数，X 服从超几何分布， 故()334 3 7k k C C P X k C -==， 所以()30433 74 035C C P X C ===， ()21 433718 135C C P X C ===， ()12433712 235C C P X C ===， ()03433 71 335 C C P X C ===， ()()6 127 P X P X =+== . 故选：B 4．（2020·辉县市第二高级中学高二月考（理））在10个排球中有6个正品，4个次品.从中抽取4个，则正品数比次品数少的概率为（ ） A ． 5 42 B ． 435 C ． 1942 D ． 821 【答案】A 【解析】 分析：根据超几何分布，可知共有4 10C 种选择方法，符合正品数比次品数少的情况有两种，分别为0个正品4个次品，1个正品3个次品，分别求其概率即可。 详解：正品数比次品数少，有两种情况：0个正品4个次品，1个正品3个次品，

高中数学选择性必修三 7 4 二项分布与超几何分布(精讲)(无答案)

7.4 二项分布与超几何分布（精讲）

考法一二项分布 【例1】（2020·全国高二课时练习）高尔顿(钉)板是在一块竖起的木板上钉上一排排互相平行､水平间隔相等的圆柱形铁钉(如图)，并且每一排铁钉数目都比上一排多一个，一排中各个铁钉恰好对准上面一排两相邻铁钉的正中央.从入口处放入一个直径略小于两颗铁钉间隔的小球，当小球从两钉之间的间隙下落时，由于碰到下一排铁钉，它将以相等的可能性向左或向右落下，接着小球再通过两铁钉的间隙，又碰到下一排铁钉.如此继续下去，在最底层的5个出口处各放置一个容器接住小球. （1）理论上，小球落入4号容器的概率是多少？ （2）一数学兴趣小组取3个小球进行试验，设其中落入4号容器的小球的个数为X，求X的分布列. 【一隅三反】 1．（2020·重庆市第七中学校高二月考）若随机变量 1 4, 2 X B ⎛⎫ ⎪ ⎝⎭ ～，则() 21 E X+=（）

A．2 B．3 C．4 D．5 2．（多选）（2020·全国高二单元测试）已知随机变量 1 20, 3 X B ⎛⎫ ⎪ ⎝⎭ ，若使() P X k =的值最大，则k等于 （） A．5 B．6 C．7 D．8 3．（2020·江苏淮安市·淮阴中学高二期末）江苏实行的“新高考方案：312 ++”模式，其中统考科目：“3”指语文、数学、外语三门，不分文理：学生根据高校的要求，结合自身特长兴趣，“1”指首先在在物理、历史2门科目中选择一门；“2”指再从思想政治、地理、化学、生物4门科目中选择2门某校，根 据统计选物理的学生占整个学生的3 4 ；并且在选物理的条件下，选择地理的概率为 2 3 ；在选历史的条件下， 选地理的概率为4 5 ． （1）求该校最终选地理的学生概率； （2）该校甲、乙、丙三人选地理的人数设为随机变量X．①求随机变量2 X=的概率； ②求X的概率分布列以及数学期望． 4．（2020·陕西渭南市）已知某植物种子每粒成功发芽的概率都为1 3 ，某植物研究所分三个小组分别独立 进行该种子的发芽试验，每次试验种一粒种子，每次试验结果相互独立.假设某次试验种子发芽，则称该次试验是成功的，如果种子没有发芽，则称该次试验是失败的. （1）第一小组做了四次试验，求该小组恰有两次失败的概率；

高中数学选择性必修三 第七章随机变量及其分布--复习与小结-A基础练(含答案)

第七章 随机变量及其分布--复习与小结 ---A 基础练 一、选择题 1．（2021·全国高二专题练）甲、乙两名运动员练习定点投球，已知在该点每次投篮甲命中的概率是0.8，乙命中的概率是0.9，每人投两次，则甲、乙都恰好命中一次的概率为（ ） A ．0.32 B ．0.18 C ．0.50 D ．0.0576 【答案】D 【详解】甲命中一次的概率为1 2C ×0.8×(1－0.8)＝0.32，乙命中一次的概率为1 2C ×0.9×(1－0.9)＝0.18，他们投篮命中与否相互独立，所以甲、乙都恰好命中一次的概率为P ＝0.32×0.18＝0.0576.故选：D. 2．（2021·全国高二月考）某工厂的一台流水线生产质量稳定可靠，已知在正常工作状态下生产线上 生产的零件内径尺寸Z (单位： m μ)服从正态分布()60,4N .甲､乙两名同学正进行尺寸测量练习.甲､乙对各自抽取的5个零件测量零件内径尺寸(单位：m μ)如下，甲同学测量数据：59，60，62，63， 65；乙同学测量数据：52，53，55，57，62.则可以判断（ ） A ．甲､乙两个同学测量都正确 B ．甲､乙两个同学测量都错误 C ．甲同学测量正确，乙同学测量错误 D ．甲同学测量错误，乙同学测量正确 【答案】C 【详解】 ()60,4Z N ，()330.9974P Z μσμσ∴-<<+=，即()54660.9974P Z <<=； 甲同学测量的数据均落在()54,66之间，测量数据正确；乙同学测量的数据中有两个数据落在 ()54,66之外，即小概率事件发生，知其测量错误.故选：C. 3．（2021·无锡市才智教育培训中心高二月考）一盒中有12个乒乓球，其中9个新的，3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，设此时盒中旧球个数为X ，(5)P X =的值为（ ） A ． 27 55 B ． 1335 C ． 315 D ． 1127 【答案】A 【详解】从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球的个数5X =，即旧球的个数增加了2个，所以，取出的3个球必为2个新球1个旧球， 所以，12393 1227 (5)55 C C P X C ===.故选：A. 4．（2021·全国高二专题练）已知1 03 a << ，随机变量ξ的分布列如下，当a 增大时（ ）

【教案】二项分布+说课稿-2022-2023学年高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第三册

二项分布说课稿 一、教材分析： 1．教材的地位和作用 本节内容是新教材选择性必修三第七章«随机变量及其分布»的第四节«二项与超几何分布»。通过前面的学习，学生差不多学习把握了有关概率和统计的基础知识：等可能事件概率、互斥事件概率、条件概率、以及离散型随机变量分布列有关内容。二项分布是一应用广泛的概率模型。在自然现象和社会现象中，大量的随机变量都服从或近似的的服从二项分布，实际应用广泛，理论上也专门重要。 2．教学目标： 知识目标： 高中数学新课标明确指出本节课需达到的知识目标：在了解条件概率，离散型随机变量分布列概念的前提下，明白得n重伯努利试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题。同时，渗透由特殊到一般，由具体到抽象,观看、分析、类比、归纳的数学思想方法。 能力目标： 培养学生的自主学习能力、数学建模能力和应用数学知识解决实际问题的能力。 德育目标： 培养学生对新知识的科学态度，勇于探究和敢于创新的精神。让学生了解数学来源于实际，应用于实际的唯物主义思想。 情感目标： 通过主动探究、合作学习、相互交流，感受探究的乐趣与成功的欢乐，体会数学的理性与严谨，养成实事求是的科学态度和契而不舍的钻研精神。 3．教学重点、难点： 数学建模是运用数学思想、方法和知识解决实际咨询题的过程，是数学学习的一种新的方式，它为学生提供自主学习的空间，有助于学生体验数学在解决实际咨询题中的价值和作用。教学重点:独立重复试验、二项分布的明白得及应用二项分布模型解决一些简单的实际咨询题。 教学难点:二项分布模型的构建。 重难点的突破将在教学程序分析中详述。 二、教法探讨： 我在课堂教学中做到以学生的自主学习为中心，给学生提供尽可能多的摸索、探究、发觉、想象、创新的时刻和空间。另一方面，从学生的认知结构，预备知识的把握情形由此，本节课要紧采取〝自主探究式〞的教学方法：即学生在老师引导下，观看发觉、自主探究、合作交流、由专门到一样、由感性到理性主动建构新知识。启发引导学生积极的思维，对学生的思维进行调控，关心学生优化思维过程。 三. 学法指导: 学是中心,学会是目的.本节课要紧让学生体会观看、分析、归纳、抽象、应用的自主探究式学习方法.交给学生摸索咨询题的方法,使学生真正成为教学的主体. 四、教学程序： 本节课我设计为五个环节: 1.创设情形激发求知 2.自主探究合作学习 3.信息交流揭示规律 4.运用规律解决问题 5.提炼方法反思小结 (一).创设情形激发求知 1、投掷一枚相同的硬币5次，每次正面向上的概率为0.5。 2、某同学玩射击气球游戏,每次射击击破气球的概率为0.7，现有气球10个。

人教A版(2019)选择性必修第三册新高考名师导学第七章7

人教A 版（2019）选择性必修第三册新高考名师导学第七章 7.4二项分布与超几何分布 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、解答题 1．将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次，X 表示“正面朝上”出现的次数. （1）求X 的分布列； （2）()E X =________，()D X =________. 2．鸡接种一种疫苗后，有80%不会感染某种病毒.如果5只鸡接种了疫苗，求： （1）没有鸡感染病毒的概率； （2）恰好有1只鸡感染病毒的概率. 3．判断下列表述正确与否，并说明理由： （1）12道四选一的单选题，随机猜结果，猜对答案的题目数~(12,0.25)X B ； （2）100件产品中包含10件次品，不放回地随机抽取6件，其中的次品数~(6,0.1)Y B . 4．举出两个服从二项分布的随机变量的例子. 5．一箱24罐的饮料中4罐有奖券，每张奖券奖励饮料一罐，从中任意抽取2罐，求这2罐中有奖券的概率. 6．学校要从12名候选人中选4名同学组成学生会，已知有4名候选人来自甲班.假设每名候选人都有相同的机会被选到，求甲班恰有2名同学被选到的概率. 7．举出两个服从超几何分布的随机变量的例子. 8．抛掷一枚骰子，当出现5点或6点时，就说这次试验成功，求在30次试验中成功次数X 的均值和方差. 9．若某射手每次射击击中目标的概率为0.9，每次射击的结果相互独立，则在他连续4次的射击中，恰好有一次未击中目标的概率是多大. 10．如图，一个质点在随机外力的作用下，从原点0出发，每隔1s 等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6次.求下列事件的概率. （1）质点回到原点； （2）质点位于4的位置. 11．从一副不含大小王的52张扑克牌中任意抽出5张，求至少有2张A 牌的概率(精确到 0.00001).

高中数学第七章随机变量及其分布 二项分布课后提能训练新人教A版选择性必修第三册

第7章 7.4.1 A 级——基础过关练 1．若在一次测量中出现正误差和负误差的概率都是1 2,则在5次测量中恰好出现2次正 误差的概率是( ) A ．516 B ．25 C ．58 D ．132 【答案】A 【解析】p ＝C 2 5·⎝ ⎛⎭⎪⎫123×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＝516 . 2．同时抛两枚均匀的硬币10次,设两枚硬币出现不同面的次数为X ,则D (X )＝( ) A ．158 B ．154 C ．52 D ．5 【答案】C 【解析】每一次抛两枚硬币,出现不同面的概率为1 2 ,10次独立重复试验中,X ～ B ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫ 10，12 ,所以D (X )＝10×12×12＝52 . 3．设随机变量X ～B ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫6，12,则P (X ＝3)＝( ) A ．516 B ．316 C ．58 D ．38 【答案】A 【解析】X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫6，12,由二项分布可得,P (X ＝3)＝C 36⎝ ⎛⎭⎪⎫123 ·⎝ ⎛⎭⎪⎫1－123＝516 . 4．某电子管正品率为34,次品率为1 4,现对该批电子管进行测试,设第X 次首次测到正品, 则P (X ＝3)＝( ) A ．C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫142 ×34 B ． C 23⎝ ⎛⎭⎪⎫342 ×14 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫142×34 D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫342×14 【答案】C 【解析】X ＝3表示第3次首次测到正品,而前两次都没有测到正品,故其概 率是⎝ ⎛⎭⎪⎫142×34 . 5．若随机变量ξ～B (n,0.6),且E (ξ)＝3,则P (ξ＝1)的值是( )

A ．2×0.44 B ．2×0.45 C ．3×0.44 D ．3×0.64 【答案】C 【解析】因为ξ～B (n,0.6),所以E (ξ)＝n ×0.6,故有0.6n ＝3,解得n ＝5.则P (ξ＝1)＝C 1 5×0.6×0.44 ＝3×0.44 . 6．某次考试中,第一大题由12个选择题组成,每题选对得5分,不选或错选得0分．小王选对每题的概率为0.8,则其第一大题得分的均值为________． 【答案】48 【解析】设小王选对的个数为X ,得分为Y ＝5X ,则X ～B (12,0.8),E (X )＝np ＝12×0.8＝9.6,E (Y )＝E (5X )＝5E (X )＝5×9.6＝48. 7．已知随机变量X 服从二项分布B (n ,p )．若E (X )＝30,D (X )＝20,则p ＝________. 【答案】1 3 【解析】由E (X )＝30,D (X )＝20,可得⎩⎪⎨ ⎪⎧ np ＝30，np 1－p ＝20， 解得p ＝1 3 . 8．某射手射击一次,击中目标的概率是0.9,他连续射击3次,且他每次射击是否击中目标之间没有影响,有下列结论： ①他三次都击中目标的概率是0.93 ； ②他第三次击中目标的概率是0.9； ③他恰好2次击中目标的概率是2×0.92 ×0.1； ④他恰好2次未击中目标的概率是3×0.9×0.12 . 其中正确结论的序号是________． 【答案】①②④ 【解析】①正确；由每次射击,击中目标概率为0.9,知他第三次击中目标概率也为0.9,②正确；三次射击恰好2次击中目标概率为C 2 3×0.92 ×0.1,③不正确；恰好2次未击中目标,即恰好击中目标1次,概率为C 1 3×0.9×0.12 ,④正确． 9．某市医疗保险实行定点医疗制度,按照“就近就医,方便管理”的原则,参加保险人员可自主选择四家医疗保险定点医院和一家社区医院作为本人就诊的医疗机构．若甲、乙、丙、丁4名参加保险人员所在地区有A,B,C 三家社区医院,并且他们的选择相互独立．设4名参加保险人员选择A 社区医院的人数为X ,求X 的分布列． 解：由已知每位参加保险人员选择A 社区的概率为1 3 ,4名人员选择A 社区即4次独立重 复试验,即X ～B ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫4，13. 所以P (X ＝k )＝C k 4·⎝ ⎛⎭⎪⎫13k ·⎝ ⎛⎭ ⎪⎫234－k (k ＝0,1,2,3,4)． 所以X 的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 1681 3281 2481 881 181 10.两个人射击,甲射击一次中靶概率是2,乙射击一次中靶概率是1 3 .

高中数学选择性必修三 精讲精炼 7 4 二项分布与超几何分布(精讲)(无答案)

7.4 二项分布与超几何分布(精讲)

考点一超几何与二项分布概念的辨析 【例1-1】(2021·全国·高二课时练习)下列随机变量中，服从超几何分布的有________．(填序号) ①在10件产品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，记取到的次品数为X； ②从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，记X表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数； ③一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，记此学生遇到红灯数为随机变量X. 【例1-2】(2021·全国全国·)下列例子中随机变量ξ服从二项分布的有________． ①随机变量ξ表示重复抛掷一枚骰子n次中出现点数是3的倍数的次数； ②某射手击中目标的概率为0.9，从开始射击到击中目标所需的射击次数ξ； ③有一批产品共有N件，其中M件为次品，采用有放回抽取方法，ξ表示n次抽取中出现次品的件数(M

A ．①② B ．③④ C ．①②④ D ．①②③④ 2．(2021·全国·高二课时练习)下列随机事件中的随机变量X 服从超几何分布的是( ) A ．将一枚硬币连抛3次，记正面向上的次数为X B ．从7男3女共10名学生干部中随机选出5名学生干部，记选出女生的人数为X C ．某射手的射击命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中的次数为X D ．盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1个球且不放回，记第一次摸出黑球时摸取的次数为X 3．(2021·全国·高二课时练习)下列例子中随机变量服从二项分布的个数为( ) ①某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数ξ； ②某射手击中目标的概率为0.9，从开始射击到击中目标所需的射击次数ξ； ③从装有5个红球，5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，摸到白球时的摸球次数ξ； ④有一批产品共有N 件，其中M 件为次品，采用不放回抽取方法，ξ表示n 次抽取中出现次品的件数 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 4．(2021·全国·)下列选项中的随机变量不服从两点分布的是( ) A ．抛掷一枚骰子，所得点数X B ．某射击手射击一次，击中目标的次数X C ．从装有除颜色外其余均相同的5个红球，3个白球的袋中任取1个球，设1,0,X ⎧=⎨⎩ 取出白球取出红球 D ．某医生做一次手术，手术成功的次数X 考点二 二项分布的均值与方差 【例2】．(2021·山东·高三月考)已知随机变量,ζη满足29ζη+=，且()()8,,2B p E ζζ~=，则()(),E D ηη分别是( ) A ．5，3 B ．5，6 C ．8，3 D ．8，6 【一隅三反】 1．(2021·江苏启东·高二期中)设随机变量X ，Y 满足：Y ＝3X ﹣1，X ～B 123⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则V (Y )＝() A ．4 B ．5 C ．6 D ．7

高中数学选择性必修三 7 4 1 二项分布-B提高练(含答案)

7.4.1 二项分布 ---B 提高练 一、选择题 1．（2021·辽宁大连市·辽师大附中高二月考）下列说法正确的个数是（ ） ①某同学投篮的命中率为0.6，他10次投篮中命中的次数X 是一个随机变量，且()10,0.6X B ； ②某福彩中奖概率为p ，某人一次买了8张，中奖张数X 是一个随机变量，且()8,X B p ； ③从装有5个红球、5个白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球为止，则摸球次数X 是随机变量，且1,2X B n ⎛⎫ ⎪⎝⎭ A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 【答案】C 【详解】①某同学投篮的命中率为0.6，该同学投篮10次，是一个独立重复试验，所以他10次投篮中命中的次数X 是一个随机变量，且()10,0.6X B ，所以该命题正确；②某福彩中奖概率为p ， 某人一次买了8张，相当于买了8次，每次中奖的概率都为p ，相当于做了8次独立重复试验，中奖张数X 是一个随机变量，且()8,X B p ，所以该命题正确；③从装有5个红球、5个白球的袋 中，由于它是有放回地摸球，直到摸出白球为止，所以它不是一个独立重复性试验，因为当1X =时，概率为 12，当2X =时，概率为111 =224⨯，当3X =时，概率为1111=2228 ⨯⨯，依次类推，即每次试验摸到白球的概率不相等，所以它不是独立重复性试验，所以X 不服从1,2B n ⎛ ⎫ ⎪⎝ ⎭ ,所以该命题错误.故选：C 2．（2021·辽宁高二月考）已知某种药物对某种疾病的治愈率为 3 4 ，现有3位患有该病的患者服用了这种药物，3位患者是否会被治愈是相互独立的，则恰有1位患者被治愈的概率为（ ） A ． 27 64 B ． 964 C ． 364 D ． 34 【答案】B 【详解】由已知3位患者被治愈是相互独立的，每位患者被治愈的概率为 3 4 ，则不被治愈的概率为14 所以3位患者中恰有1为患者被治愈的概率为1 2 1 3 3194464 P C ⎛⎫⎛⎫=⨯⨯= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故选：B 3．（2021·安徽蚌埠市高二月考）若随机变量13,3X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭ ，则下列说法错误的是（ ）

精品数学 高中数学人教A版选择性必修三第七章 7.4.2 超几何分布

7.4.2 超几何分布 学习目标 1.理解超几何分布.2.了解二项分布同超几何分布的区别与联系． 知识点 超几何分布 1．定义：一般地，假设一批产品共有N 件，其中有M 件次品，从N 件产品中随机抽取n 件(不放回)，用X 表示抽取的n 件产品中的次品数，则X 的分布列为 P (X ＝k )＝C k M C n － k N －M C n N ，k ＝m ，m ＋1，m ＋2，…，r . 其中n ，N ，M ∈N *，M ≤N ，n ≤N ，m ＝max{0，n －N ＋M }，r ＝min{n ，M }． 如果随机变量X 的分布列具有上式的形式，那么称随机变量X 服从超几何分布． 2．均值：E (X )＝nM N . 1．超几何分布是不放回抽样．( √ ) 2．超几何分布的总体是只有两类物品．( √ ) 3．超几何分布与二项分布的均值相同．( √ ) 4．超几何分布与二项分布没有任何联系．( × ) 一、超几何分布的辨析 例1 下列问题中，哪些属于超几何分布问题，说明理由． (1)抛掷三枚骰子，所得向上的数是6的骰子的个数记为X ，求X 的分布列； (2)有一批种子的发芽率为70%，任取10颗种子做发芽实验，把实验中发芽的种子的个数记为X ，求X 的分布列； (3)盒子中有红球3只，黄球4只，蓝球5只，任取3只球，把不是红色的球的个数记为X ，求X 的分布列； (4)某班级有男生25人，女生20人．选派4名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生人数记为X ，求X 的分布列； (5)现有100台平板电脑未经检测，抽取10台送检，把检验结果为不合格的平板电脑的个数记为X ，求X 的分布列．

【人教A版选择性必修三2021版】7.4.1 二项分布

7.4 二项分布与超几何分布 7.4.1 二项分布 基础过关练 题组一 伯努利试验及其概率计算 1.n 重伯努利试验应满足的条件: ①各次试验之间是相互独立的; ②每次试验只有两种结果; ③各次试验成功的概率是相同的; ④每次试验发生的事件是互斥的. 其中正确的是( ) A.①② B.②③ C.①②③ D.①②④ 2.(2020天津河北区高三下模拟)某同学通过普通话二级测试的概率是1 4,若该同学 连续测试3次(各次测试互不影响),则只有第3次通过的概率是( ) A.1 64 B.1 16 C.9 64 D.3 4 3.(2020辽宁抚顺六校协作体高一上期末)已知袋中有3个红球,n 个白球,有放回地摸球2次,则恰好第1次摸到红球且第2次摸到白球的概率是6 25,则n=( ) A.1 B.2 C.6 D.7 4.甲、乙两人各射击一次,击中目标的概率分别是2 3 、3 4.假设两人射击是否击中目 标相互之间没有影响,每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响.

(1)若甲连续射击,命中为止,求甲恰好射击3次结束射击的概率; (2)若乙连续射击,直至命中2次为止,求乙恰好射击3次结束射击的概率. 题组二二项分布的分布列及概率计算 5.设随机变量X~B(6,1 2 ),则P(X=3)等于( ) A.5 16B.3 16 C.5 8 D.7 16 6.(2020四省八校双教研联盟高三上联考)设随机变量X~B(6,1 3 ),则 P(2