3. 已知数列{a n}满足a n=4a n-1+3,且a1=0,则a5=________.
【解析】因为a1=0,所以a2=4a1+3=3,
a3=4a2+3=15,a4=4a3+3=63,a5=4a4+3=255.
答案:255
4.已知数列{a n}中,a1=2,a n=-(n≥2),则a2020=________.
【解析】因为a2=-=-,a3=-=2,a4=-=a2,
所以{a n}的周期为2,所以a2 020=a2=-.
答案:-
【新情境·新思维】
两位同学课余玩一种类似于古代印度的“梵塔游戏”:有3个柱子甲、乙、丙,甲柱上有n(n≥3)个盘子,最上面的两个盘子大小相同,从第二个盘子往下大小不等,大的在下,小的在上(如图).
把这n个盘子从甲柱全部移到乙柱游戏结束,在移动的过程中每次只能移动一个盘子,甲、乙、丙柱都可以利用,且3个柱子上的盘子始终保持小的盘子不能放在大的盘子之下.设游戏结束需要移动的最少次数为a n,则当n≥3时,a n和a n+1满足( )
A.a n+1=4a n-3n
B.a n+1=4a n-1
C.a n+1=2a n+1
D.a n+1=2a n+n
【解析】选C.n(n≥3)个盘子最少移动次数为a n,n+1个时,将最大的上面的n个移到丙需a n次,然后将最大的移到乙,再将丙的n个移动到乙需a n次,故总次数为a n+1=2a n+1.
(新教材)2020-2021高中数学人教B版选择性必修三学案：5.1.2数列中的递推含解析
5.1.2 数列中的递推 必备知识·素养奠基 1.数列的递推公式 如果已知数列的首项(或前几项),且数列的相邻两项或两项以上的关系都可以用一个公式来表示,则称这个公式为数列的递推关系(也称为递推公式或递归公式). 数列递推公式与通项公式有什么区别和联系? 提示: 不同点 相同点 通项公式 可根据某项的序号,直接用代入法求出 该项 都可确定一个数 列,都可求出数列 的任何一项 递推公式 可根据第1项或前几项的值,通过一次或多次赋值逐项求出数列的项,直至求出所有的项 2.数列的前n 项和 (1)定义:一般地,给定数列{a n },称S n =a 1+a 2+a 3+…+a n 为数列{a n }的前n 项和. (2)关系:a n = 1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”) (1)递推公式不能用来表示数列. ( )
(2)所有的数列都有递推公式. ( ) (3)由公式a n+1=a n-2(n≥1)可写出数列{a n}的所有项.( ) (4)若数列{a n}满足a n+1=a n,则该数列是常数列. ( ) 提示:(1)×.递推公式也是给出数列的一种重要方法. (2)×.并不是所有的数列都有递推公式.例如精确到1,0.1,0.01,0.001,…的不足近似值排列成一列数:1,1.4,1.41,1.414,…就没有递推公式. (3)×.还需知道数列中至少一项的值. (4)√.该数列每一项都相同. 2.已知数列{a n}满足a1=1,a n+1=a n+n,则a3的值为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 【解析】选C.由a1=1,a n+1=a n+n,所以a2=a1+1=2,a3=a2+2=2+2=4. 3.已知数列{a n}满足a1<0,=2(n∈N+),则数列{a n}是________数列(填“递增”或“递减”). 【解析】由已知a1<0,a n+1=2a n(n∈N+),得a n<0(n∈N+). 又a n+1-a n=2a n-a n=a n<0,所以数列{a n}是递减数列. 答案:递减 关键能力·素养形成 类型一由递推公式写数列的项 【典例】1.数列{a n}满足a1=1,a n+1=2a n+1(n∈N+),那么a4的值为( )
新教材人教B版高中数学选择性必修第三册教案设计-等比数列的性质
第 2课时等比数列的性质 学习目标核心素养 1.理解等比中项的概念．(易错点) 2.掌握等比数列的性质及其应用．(重点) 3.熟练掌握等比数列与等差数列的综合应用．(难点、易错点) 1.通过等比数列性质的学习，培养逻辑推理的素养. 2.通过等比数列与等差数列的综合应用的学习，提升数学运算素养. 在等差数列{a n}中，通项公式可推广为a n＝a m＋(n－m)d，并且若m＋n＝p＋q，则a m＋a n＝a p＋a q(n，m，p，q∈N＋)，特别地，若m＋n＝2p，则a m＋a n＝2a p. 问题：在等比数列中有无类似的性质？ 1．等比中项 定义如果x，G，y是等比数列，那么称G为x与y的等比中项 关系式G2＝xy 结论在等比数列中，中间每一项都是它的前一项与后一项的等比中项 [提示]不是．若G是x与y的等比中项，则G2＝xy，反之不成立． 2．等比数列的性质 在等比数列{a n}中，若s＋t＝p＋q(s，t，p，q∈N＋)，则a s·a t＝a p·a q. (1)特别地，当2s＝p＋q(s，p，q∈N＋)时，a p·a q＝a2s. (2)对有穷等比数列，与首末两项“等距离”的两项之积等于首末两项的积，即a1·a n＝a2·a n－1＝…＝a k·a n－k＋1＝…. 拓展：(1)“子数列”性质 对于无穷等比数列{a n}，若将其前k项去掉，剩余各项仍为等比数列，首项为a k＋1，公比为q；若取出所有的k的倍数项，组成的数列仍为等比数列，首项为a k，公比为q k. (2)两个等比数列合成数列的性质 若数列{a n}，{b n}均为等比数列，c为不等于0的常数，则数列{ca n}，{a n·b n}，
高二数学人教B版(2019)选择性必修三同步课时作业 数列基础
5.1 数列基础-2021-2022学年高二数学人教B 版（2019）选择性必修 三同步课时作业 学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题 1.已知数列{}n a 满足125 a =，且对任意*n ∈N ，都有1142 2n n n n a a a a +++=+，那么4a 为( ) A.17 B.7 C.110 D.10 2.设数列{}n a 中，12a =，1 1 1n n a a -+=（2n ≥且*n N ∈） ，则2021a =（ ） A.1- B.12 C.2 D.32 3.数列1-，85，157-，249，…的一个通项公式是（ ） A.()()2121 n n n n a n +=-⋅ + B.()23121 n n n a n +=-⋅- C.()() 2 11121 n n n a n +-=-⋅ - D.()2121 n n n n a n +=-⋅+ 4.已知{}n a 为等差数列，其公差为2-，且7a 是3a 与9a 的等比中项，n S 为{}n a 的前n 项和，*n N ∈，则11S 的值为( ) A ．-110 B ．-90 C ．90 D ． 110 5.数列0，0，0 ，0( ) A ．既不是等差数列又不是等比数列 B ．是等比数列不是等差数列 C ．是等差数列不是等比数列 D ．是等比数列又是等差数列 6.已知数列{}n a 的首项为2，且数列{}n a 满足11 1 n n n a a a +-=+，数列{}n a 的前n 项的和为n S ，则1008 S 等于( ) A.504 B.294 C.-294 D.-504 7.数列1，12，12，12，13，13，13，13，13，1 4，…的第2021项为( ) A.144 B. 145 C. 146 D. 1 2025 8.若数列{}n a 满足12a =，()11 1n n n a a n a *++=∈-N ，则2022a =（ ） A.2 B.3- C.12- D.13 9.若数列{}n a 的前n 项和1 n n S n =+，则3a =( )
5.1.1 数列的概念(学案)-2020-2021学年高中数学同步备课学案
5.1.1 数列的概念 知识点归纳 知识点一、数列 1．定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列． 2．项：数列中的每一个数叫做这个数列的项．a1称为数列的第1项(或称为首项)，a2称为第2项，…，a n称为第n项． 知识点二、数列的通项公式 数列的表示：数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，a n，…，简记为{a n}．如果数列{a n}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式． 知识点三、数列与函数的关系 从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，关系如下表：
(1)数列－1,1，－1,1，…的通项公式是a n ＝(－1)n . (2)数列1,2,3,4，…的通项公式是a n ＝n . (3)数列1,3,5,7，…的通项公式是a n ＝2n －1. (4)数列2,4,6,8，…的通项公式是a n ＝2n . (5)数列1,2,4,8，…的通项公式是a n ＝2n － 1. (6)数列1,4,9,16，…的通项公式是a n ＝n 2. (7)数列1，12，13，14，…的通项公式是a n ＝1 n . 典例分析 一、观察法求数列的通项公式 例1 根据数列的前几项，写出下面各数列的一个通项公式． (1)－3,0,3,6,9，…；(2)3,5,9,17,33，…；(3)2,0,2,0,2,0，…；(4)12，14，－58，1316，－2932，61 64，…. 解析 (1)a 1＝－3＋0×3，a 2＝－3＋1×3，a 3＝－3＋2×3，a 4＝－3＋3×3，…， ∴a n ＝－3＋(n －1)×3＝3n －6(n ∈N *)． (2)a 1＝2＋1，a 2＝4＋1＝22＋1，a 3＝8＋1＝23＋1，a 4＝16＋1＝24＋1，…， ∴a n ＝2n ＋1(n ∈N *)． (3)a 1＝1＋1，a 2＝1－1，a 3＝1＋1，a 4＝1－1，…， ∴a n ＝1＋(－1)n － 1(n ∈N *)． (4)a 1＝－2－32，a 2＝22－322，a 3＝－23－323，a 4＝24－3 24，…， ∴a n ＝(－1)n 2n －3 2n (n ∈N *). 答案 见解析 归纳总结：根据数列的前几项求通项公式的思路 (1)统一项的结构，如都化成分数，根式等． (2)分析结构中变化的部分与不变的部分，探索变化部分的规律与对应序号间的函数关系式． (3)对于符号交替出现的情况，可先观察其绝对值，再用(－1)n 处理符号． (4)对于周期出现的数列，可考虑拆成几个简单数列和的形式，或者利用周期函数，如三角函数等． 二、数列通项公式的简单应用
2020_2021学年高二下学期数学人教B版(2019)选择性必修第三册数列的概念课时作业
5.1.1 数列的概念 一、选择题 1.已知数列{a n }为-1,3,-5,7,-9,…,下列可作为{a n }的通项公式的是 ( ) A .a n =2n-1 B .a n =(-1)n (2n-1) C .a n =(-1)n (1-2n ) D .a n =(-1)n+1(2n-1) 2.已知数列{a n }的通项公式为a n =25-2n ,下列各数中不是{a n }的项的是 ( ) A .1 B .-1 C .2 D .3 3.已知数列√2,√5,2√2,√11,…,则2√5是这个数列的 ( ) A .第6项 B .第7项 C .第19项 D .第11项 4.(多选题)已知n ∈N *,下列4个表达式中能作为数列{a n }:0,1,0,1,0,1,0,1,…的通项公式的是 ( ) A .a n ={0,n 为奇数,1,n 为偶数 B .a n =1+(-1)n 2 C .a n =1+cos n π2 D .a n =|sin n π2| 5.数列{a n }的通项公式为a n =-58+16n-n 2,则 ( ) A .{a n }是递增数列 B .{a n }是递减数列 C .{a n }先增后减,有最大值 D .{a n }先减后增,有最小值 6.如图所示的三角形图案称为谢宾斯基三角形.在图中四个三角形图案中,白色的小三角形的个数依次构成一个数列{a n }的前4项,则这个数列的一个通项公式为 ( ) A .a n =3n B .a n =3n C .a n =3n+ 1 D .a n =3n-1 7.大衍数列来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论,主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理,数列中的每一项,都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量
2020-2021学年高二数学人教B版(2019)选择性必修第三册第五章数列测试题
数列 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．若{a n }为等差数列，且a 7－2a 4＝－1，a 3＝0，则公差d 等于( ) A ．－2 B ．－1 2 C.1 2 D ．2 2．在数列{a n }中，已知a 1＋a 2＋…＋a n ＝2n －1，则a 21＋a 22＋…＋a 2 n ＝( ) A ．(2n －1)2 B.(2n －1)2 3 C ．4n －1 D.4n －1 3 3．数列{a n }满足2a n ＝a n －1＋a n ＋1(n ≥2)，且a 2＋a 4＋a 6＝12，则a 3＋a 4＋a 5＝( ) A ．9 B ．10 C ．11 D ．12 4．等比数列x,3x ＋3,6x ＋6，…的第四项等于( ) A ．－24 B ．0 C ．12 D ．24 5．已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＋a 3＝52，且a 2＋a 4＝54，则S n a n ＝( ) A ．4n － 1 B ．4n －1 C ．2n － 1 D ．2n －1 6．已知在等比数列{a n }中，a 3＝7，前三项之和S 3＝21，则公比q 的值是( ) A ．1 B ．－1 2 C ．1或－12 D ．－1或1 2 7．公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＝3a 4，且S 10＝λa 4，则λ的值为( ) A ．15 B ．21 C ．23 D ．25 8．等差数列{a n }中，已知|a 6|＝|a 11|，且公差d >0，则其前n 项和取最小值时的n 的值为( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 9．等比数列{a n }的前n 项和为S n ＝32n － 1＋r ，则r 的值为( ) A.13 B ．－13 C.19 D ．－19 10．一种专门占据内存的计算机病毒开机时占据内存1 MB ，然后每3秒自身复制一次，复制后所占内
高中数学第五章统计与概率5.1.数据的数字特征课时素养评价含解析B版第二册
数据的数字特征 (15分钟30分) 1.某地铁运行过程中,10个车站上车的人数统计如下：70,60，60,50,60,40,40,30，30,10，则这组数据的众数、极差的和为（) A。120 B。165 C。160 D.150 【解析】选A。这组数据的众数是60，极差为70-10=60，它们的和为120. 2.已知一组数据:12，5,9，5，14,则下列说法不正确的是 () A。平均数是9 B。中位数是9 C.众数是5 D。极差是5 【解析】选D.数据描述类的题目，主要考查了平均数、中位数、众数、极差的计算，题目数据比较简单，先从简单的众数入手,C 是正确的，其次从小到大排列为5，5,9，12，14,B是正确的，再算平均数，所以A也正确. 3。在某次考试中，10名同学的得分如下:84,77，84,83，68，78,70,85，79,95.则这一组数据的众数、中位数和75%分位数分别为（) A.84,68,83 B。84，78,83 C.84，81，84 D.78，81，84 【解析】选C。将所给数据按从小到大的顺序排列是68,70，77，78,79，83,84,84,85，95，显然众数为84，而本组数据共10个,
中间两位是79，83,它们的平均数为81，即中位数为81.因为10×75%=7。5，所以这一组数据的75％分位数为84。 4.一个样本数据按从小到大的顺序排列为：13,14，19，x,23，27，28，31，中位数为22，则x=________。 【解析】由题意知=22，则x=21。 答案：21 5.甲、乙两名射击运动员参加某大型运动会的预选赛,他们分别射击了5次,成绩如下表(单位:环）。 甲108999 乙1010799 如果甲、乙两人只有1人入选,你认为应如何选择？ 【解析】甲的平均数为=(10+8+9+9+9)=9. 乙的平均数为:=（10+10+7+9+9)=9. 甲的方差为=［(10—9）2+(8-9）2］=.乙的方差为=［(10—9）2+（10-9)2+(7-9）2]=。 甲、乙两人平均数相同,但<,说明乙的波动性大，故应让甲入选. （30分钟60分） 一、单选题（每小题5分，共20分)
精品 高中数学新人教B版选择性必修三 第5章 5.2.1 第2课时 等差数列的性质 教案
第2课时 等差数列的性质 学 习 目 标 核 心 素 养 1.理解等差中项的概念．(重点) 2．掌握等差数列中两项及多项之间的关系．(重点、易错点) 3．能灵活运用等差数列的性质解决问题．(难点) 1.借助等差数列中项的学习，提升数据分析的素养． 2．通过等差数列性质的学习，培养数学运算的素养. 情境导学 高斯怎么计算1＋2＋3＋…＋100这道题目的？推广到一般的等差数列，你有什么猜想？ 1．等差中项 如果x ，A ，y 是等差数列，那么称A 为x 与y 的等差中项，且A ＝x ＋y 2. 在一个等差数列中，中间的每一项都是它的前一项与后一项的等差中项． 思考1：在等差数列中，任意两项都有等差中项吗？ [提示] 是． 2．等差数列的性质 {a n }是公差为d 的等差数列，若正整数s ，t ，p ，q 满足s ＋t ＝p ＋q ，则a s ＋a t ＝a p ＋a q . ①特别地，当p ＋q ＝2s (p ，q ，s ∈N ＋)时，a p ＋a q ＝2a s . ②对有穷等差数列，与首末两项“等距离”的两项之和等于首末两项的和，即a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝…＝a k ＋a n －k ＋1＝…. 思考2：在等差数列{a n }中，2a n ＝a n ＋1＋a n －1(n ≥2)成立吗？2a n ＝a n ＋k ＋a n －k (n >k >0)是否成立？ [提示] 令s ＝t ＝n ，p ＝n ＋1，q ＝n －1，可知2a n ＝a n ＋1＋a n －1成立；令s ＝t ＝n ，p ＝n ＋k ，q ＝n －k ，可知2a n ＝a n ＋k ＋a n －k 也成立． 拓展：(1)从等差数列中，每隔一定的距离抽取一项，组成的数列仍为等差数列． (2)若{a n }是公差为d 的等差数列，则 ①{c ＋a n }(c 为任一常数)是公差为d 的等差数列； ②{ca n }(c 为任一常数)是公差为cd 的等差数列； ③{a n ＋a n ＋k }(k 为常数，k ∈N ＋)是公差为2d 的等差数列． (3)若{a n }，{b n }分别是公差为d 1，d 2的等差数列，则数列{pa n ＋qb n }(p ，q 是常数)是公差为pd 1＋qd 2的等差数列．
(新教材)2020-2021高中数学人教B版选择性必修三学案：5.3.2.2等比数列习题课含解析
第2课时等比数列习题课 关键能力·素养形成 类型一等差、等比数列性质的应用 【典例】1.已知数列{a n}为等比数列,满足a3a11=6a7;数列{b n}为等差数列,其前n项和为S n,且b7=a7,则S13= ( ) A.13 B.48 C.78 D.156 2.由实数构成的等比数列{a n}的前n项和为S n,a1=2,且a2-4,a3,a4成等差数列,则S6= ( ) A.62 B.124 C.126 D.154 【思维·引】1.利用等比数列的性质求出b7,即a7,同时求S13; 2.利用等差条件求出q,再求S6. 【解析】1.选C.因为数列{a n}为等比数列, 满足a3a11=6a7,所以=6a7,解得a7=6, 因为数列{b n}为等差数列,其前n项和为S n, 且b7=a7,所以b7=a7=6, 所以S13==13b7=13×6=78. 2.选C.因为数列{a n}是由实数构成的等比数列,a1=2, 且a2-4,a3,a4成等差数列, 所以2a3=(a2-4)+a4,即2×2q2=2q-4+2q3, 整理,得(q-2)(q2+1)=0,所以{a n}的公比q=2.
则S6==126. 【内化·悟】 本例2中的等差条件的作用是什么? 提示:利用等差中项构造方程求公比. 【类题·通】 等差、等比数列性质的综合应用 (1)等比、等差的条件可以分别利用等比、等差中项构造方程,求解基本量a1,d,q,n等; (2)若涉及求和,一定要先分清求哪种数列的和,再明确该数列的基本量,然后计算. 【习练·破】 (2020·江苏高考)设是公差为d的等差数列,是公比为q的等比数列,已知数列的前n项和S n=n2-n+2n-1,则d+q 的值是______. 【解析】设数列{a n},{b n}的首项分别为a1,b1,前n项和分别为A n,B n,则A n=n2+n,B n=q n+, 结合S n=n2-n+2n-1, 得解得所以d+q=4. 答案:4 【加练·固】
2020-2021学年数学第三册教案：第5章5.4 数列的应用含解析
2020-2021学年数学新教材人教B版选择性必修第三册教案：第5章5.4数列的应用含解析 5。4数列的应用 学 习目标核心素养 1。正确理解分期付款的两种计 算方式．（重点) 2.掌握政府支出的“乘数”效应的相关知识．(重点） 3.能够利用等差（比)数列的知识解决一些实际问题．（难点、易错点）1.通过分期付款及政府支出的“乘数”效应的学习，培养逻辑推理的素养。 2.借助数列的递推关系解决数列问题，形成数学建模的素养. 我国现代都市人的消费观念正在变迁——我们对花明天的钱圆今天的梦已不再陌生，许多年轻人过起了名副其实的“负翁"生活，贷款购物，分期付款已深入我们生活，在当前的市场环境中,分期付款被很多商家看作是抢市场份额的有效手段，为迎合消费心理，商家各尽其能；但面对商家和银行提供的各种分期付款服务,究竟选择什么样的方式好呢？ 分期还款与数列 (1）等额本金还款法：即将本金平均分配到每一期进行偿还, 每期还款金额＝贷款本金 还款期数＋(贷款本金－已还本金总额)×利率．
(2)等额本息还款法:即将本金和利息平均分配到每一期进行偿还． 每期还款金额＝错误!，其中A0为贷款时的资金，r为银行贷款月利率，m为还款总期数（单位：月）． 1．思考辨析(正确的画“√”,错误的画“×") （1）“等额本金还款法”中，每一期还款数构成一个等差数列． () (2)“等额本息还款法”中,每一期还款数构成一个等比数列． （3）如果政府的支出增加，那么经济就会产生“乘数”效应．［答案](1)√(2)√（3）√ 2．某件产品计划每年成本降低q％，若三年后成本为a,则现在的成本是(） A．a（1＋q％）3B．a(1－q％)3 C。错误! D.错误! C[设现在的成本为x,则x（1－q％)3＝a，故x＝错误!.］ 3．（一题两空)(教材P43例1改编）自主创业的大学生张华向银行贷款200 000元作为创业资金，贷款的年利率为5%，如果他按照“等额本金还款法”分10年进行还款，则其第二年应还________元；如果他按照“等额本息还款法”分10年进行还款，则其每年还款约________元．（1。0510≈1。628 89) 29 00025 901［如果采用“等额本金还款法",第二年应还20 000＋（200 000－20 000)×5％＝29 000元．如果采用“等额本息还款法”每年应还错误!≈25 901(元)．］
2020_2021学年新教材高中数学模块质量检测含解析新人教B版选择性必修第三册.doc
模块质量检测 (时间120分钟，满分150分) 一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．已知S n 为等差数列{a n }的前n 项的和，a 2＋a 5＝4，S 7＝21，则a 7的值为( ) A ．6 B ．7 C ．8 D ．9 2．已知等比数列{a n }满足a 1＝2，且a 1，a 2,6成等差数列，则a 4＝( ) A ．6 B ．8 C ．16 D ．32 3．“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于122. 若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为 ( ) A.32f B.3 22f C.1225f D. 1227f 4．已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，则f ′(1)＝( ) A ．－e B ．－1 C ．1 D ．e 5．已知数列{a n }, 则“{a n }为等差数列”是“a 1＋a 3＝2a 2”的( ) A ．充要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分而不必要条件 D ．既不充分又不必要条件 6．已知函数y ＝f (x )的导函数y ＝f ′(x )的图像如图所示，则( ) A ．函数f (x )有1个极大值点，1个极小值点 B ．函数f (x )有2个极大值点，2个极小值点 C ．函数f (x )有3个极大值点，1个极小值点 D ．函数f (x )有1个极大值点，3个极小值点 7．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为( ) A.9 4 e 2 B ．2e 2
高中数学 第五章 统计与概率 5.1.2 数据的数字特征学案 新人教B版必修第二册-新人教B版高一第
5．1.2 数据的数字特征 考点 学习目标 核心素养 基本数字特征 理解数据的基本数字特征：最值、平均数、中位数、 百分位数、众数、极差、方差与标准差等 数据分析 数字特征的应用 会用数字特征解决相关问题 数学运算 问题导学 预习教材P61－P67的内容，思考以下问题： 1．数据的数字特征主要有哪些？ 2．实际问题是如何用数字特征刻画的？ 3．方差与标准差有什么关系？ 1．最值 一组数据的最值指的是其中的最大值与最小值，最值反应的是这组数最极端的情况．一般地，最大值用max 表示，最小值用min 表示． 2．平均数 (1) x － ＝1n (x 1＋x 2＋x 3＋…＋x n )＝1n ∑i ＝1 n x i ＝nt ； 其中符号“∑”表示求和，读作“西格玛”. (2)求和符号的性质： ①∑i ＝1 n (x i ＋y i ) ＝∑i ＝1 n x i ＋∑i ＝1 n y i ； ②∑i ＝1 n ( kx i ) ＝k ∑i ＝1 n x i ； ③∑i ＝1 n t ＝nt ；
④ 1 n ∑ i ＝1 n (ax i ＋b )＝a x － ＋b ． 3．中位数、百分位数 (1)如果一组数有奇数个数，且按照从小到大排列后为x 1，x 2，…，x 2n ＋1，则称x n ＋1为这组数的中位数；如果一组数有偶数个数，且按照从小到大排列后为x 1，x 2，…，x 2n ，则称x n ＋x n ＋1 2 为这组数的中位数． (2)设一组数按照从小到大排列后为x 1，x 2，x 3，…，x n ，计算i ＝np %的值，如果i 不是整数，设i 0为大于i 的最小整数，取xi 0为p %分位数；如果i 是整数，取 x i ＋x i ＋1 2 为p %分位数． 特别地，规定：0分位数是x 1(即最小值)，100%分位数是x n (即最大值)． 4．众数 一组数据中，某个数据出现的次数称为这个数据的频数，出现次数最多的数据称为这组数据的众数． 5．极差、方差与标准差 (1)极差：一组数的极差指的是这组数的最大值减去最小值所得的差． (2)方差：s 2 ＝1n ∑i ＝1 n (x i －x －)2 ． (3)如果a ，b 为常数，则ax 1＋b ，ax 2＋b ，…，ax n ＋b 的方差为a 2s 2 ； (4)方差的算术平方根为标准差．标准差描述了数据相对于平均数的离散程度． 判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)中位数是一组数据中间的数．( ) (2)众数是一组数据中出现次数最多的数．( ) (3)一组数据的标准差越小，数据越稳定，且稳定在平均数附近．( ) 答案：(1)× (2)√ (3)√ 奥运会体操比赛的计分规则为：当评委亮分后，其成绩先去掉一个最高分，去掉一个最低分，再计算剩下分数的平均值，这是因为( ) A ．减少计算量 B ．避免故障 C ．剔除异常值 D ．活跃赛场气氛 解析：选C.因为在体操比赛的评分中使用的是平均分，记分过程中采用“去掉一个最高
新教材人教B版选择性必修三 5.3.1.2 等比数列的性质 学案
第2课时等比数列的性质 必备知识·素养奠基 1.如果x,G,y是等比数列,那么G为x与y的等比中项,且G2=xy,G=±. 2.等比数列的项之间的关系 等比数列{a n},m,n,p,q∈N+ 两项关系a n=a m q n-m 三项关系若m+n=2p,则a n·a m= 四项关系若m+n=p+q,则a m·a n=a p·a q 等比数列两项之间的关系a n=a m q n-m中,当n≤m时成立吗? 提示:成立,如a2=a5q2-5=a5q-3=. 3.等比数列的单调性 a1>0 q>1 递增数列 a1<0 00 01 当q=1,q<0时,分别是什么数列? 提示:当q=1时是常数列;当q<0时是摆动数列.
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”) (1)等比数列{a n}中a2·a6=. ( ) (2)若G是a与b的等比中项,则G=. ( ) (3)若a,G,b满足G2=ab,则a,G,b一定是等比数列. ( ) 提示:(1)×.a 2·a6=. (2)×.G=±. (3)×.如0,0,0满足02=0×0,但不是等比数列. 2.若三个正数1,b,16成等比数列,则b=________. 【解析】因为三个正数1,b,16成等比数列,所以b==4. 答案:4 3.在等比数列{a n}中,已知a7·a12=10,则a8·a9·a10·a11=________. 【解析】因为a7·a12=a8·a11=a9·a10=10, 所以a8·a9·a10·a11=102=100. 答案:100 关键能力·素养形成 类型一等比中项及其应用 【典例】1.若三个实数a,b,c成等比数列,其中a=3-,c=3+,则
2022新教材高中数学课后练习6第1课时等比数列的定义含解析新人教B版选择性必修第三册
等比数列的定义 (建议用时：40分钟) 一、选择题 1．在等比数列{a n }中，a 2 021＝8a 2 020，则公比q 的值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．8 D [由等比数列的定义知q ＝ a 2 021 a 2 020 ＝8．] 2．设a 1＝2，数列{2a n ＋1}是公比为3的等比数列，则a 6等于( ) A ．606 B ．607 C ．608 D ．609 B [由题意可知2a n ＋1＝(1＋2a 1)·3n －1 ＝5×3 n －1 ， ∴2a 6＋1＝5×3 6－1 ＝5×35 ，即a 6＝5×243－12 ＝607．] 3．已知等比数列{a n }满足a 1＋a 2＝3，a 2＋a 3＝6，则a 7等于( ) A ．64 B ．81 C ．128 D ．243 A [∵{a n }为等比数列，∴ a 2＋a 3 a 1＋a 2 ＝q ＝2． 又a 1＋a 2＝3，∴a 1＝1．故a 7＝1·26 ＝64．] 4．在等比数列{a n }中，若a 1＝1，公比|q |≠1，且a m ＝a 1·a 2·a 3·a 4·a 5，则m 等于( ) A ．8 B ．9 C ．10 D ．11 D [由题意可知a m ＝a 5 1·q 10 ，又a 1＝1，a m ＝q m －1 ，∴q m －1 ＝q 10 ，即m －1＝10，解得m ＝ 11．故选D ．] 5．已知正项等比数列{a n }，a 2·a 9＝8，则a 5＝2，则公比q 为( ) A ．12 B ．2 C ．1 4 D ．4 B [因为数列{a n }为正项等比数列，因为a 2·a 9＝8，所以a 2·a 9＝a 5·a 6＝8， 而a 5＝2，所以a 6＝4，所以公比q ＝2，故选B ．] 二、填空题 6．在等比数列{a n }中，若a 1＝2，a 4＝4，则a 7＝________． 8 [由a 4＝a 1q 3 得q 3 ＝2，∴a 7＝a 4q 3 ＝4×2＝8．] 7．若数列{a n }满足a 9＝1，a n ＋1＝2a n (n ∈N * )，则a 5＝_________． 1 16 [由a n ＋1＝2a n 可知数列{a n }是公比为2的等比数列， 又a 9＝1，∴a n ＝a 9q n －9 ＝2 n －9 ，∴a 5＝2－4 ＝116 ．]
学新教材高中数学数列数列基础数列中的递推教案新人教B版选择性必修第三册
５．１．２数列中的递推 学 习目标核心素养 １．理解递推公式的含义．（重点） ２．掌握递推公式的应用．（难点） ３．会利用a n与S n的关系求通项公式．（易错点）１．通过数列递推公式的学习，培养逻辑推理的素养． ２．借助递推公式的应用学习，提升数据分析的素养. 古希腊的毕达哥拉斯学派将１,３,6,１0等数称为三角形数，因为这些数目的点总可以摆成一个三角形，如图所示．把所有的三角形数按从小到大的顺序排列，就能构成一个数列{a n}． 问题：a２与a１，a３与a２，a４与a３之间分别存在怎样的等量关系？ １．数列的递推公式 如果已知数列的首项（或前几项），且数列的相邻两项或两项以上的关系都可以用一个公式来表示，则称这个公式为数列的递推关系（也称为递推公式或递归公式）． 拓展：数列递推公式与通项公式的关系 递推公式通项公式 区别表示a n与它的前一项a n—１（或前几项）之 间的关系 表示a n与n之间的关系 联系（１）都是表示数列的一种方法； （２）由递推公式求出前几项可归纳猜想出通项公式 （１）一般地，给定数列{a n}，称S n＝a１＋a２＋a３＋…＋a n为数列{a n}的前n项和．（２）S n与a n的关系
a n＝错误! １．思考辨析（正确的画“√”，错误的画“×”） （１）递推公式是表示数列的一种方法．（） （２）所有的数列都有递推公式．（） （３）若数列{a n}的前n项和为S n，则a n＝S n—S n—１，n∈N＋. （） （４）若数列{a n}的前n项和为S n，则a１＝S１. （） [答案] （１）√（２）×（３）×（４）√ ２．（教材P9例１改编）数列１，错误!，错误!，错误!，…的递推公式可以是（） Ａ．a n＝错误!Ｂ．a n＝错误! Ｃ．a n＋１＝错误!a nＤ．a n＋１＝２a n C[由题意可知C选项符合，故选Ｃ．] ３．已知数列{a n}的前n项和S n＝n２，则a２＝________. ３[a２＝S２—S１＝４—１＝３．] ４．已知数列{a n}中，a１＝—错误!，a n＋１＝１—错误!，则a２__________. ３[因为a１＝—错误!，a n＋１＝１—错误!， 所以a２＝１—错误!＝１＋２＝３．] 由递推关系写出数列的项 n n n＋１n＋１＋２0１9２0２0＝（） Ａ．—错误!Ｂ．错误!Ｃ．—错误!Ｄ．错误! （２）已知数列{a n}满足a１＝１，a n＋２—a n＝6，则a１１的值为（） Ａ．３１Ｂ．３２C．6１Ｄ．6２ （１）B（２）A[（１）由a n a n＋１＝１—a n＋１， 得a n＋１＝错误!，
新教材 人教B版高中数学选择性必修第三册全册各章节知识点考点重点难点提炼汇总
第五章 数列 5.1 数列基础 5.1.1 数列的概念 1．数列的概念及一般形式 2．数列的分类 一般地，如果数列的第n 项 a n 与n 之间的关系可以用a n ＝f (n )来表示，其中f (n )是关于n 的不含其他未知数的表达式，则称此关系式为这个数列的通项公式． 4．数列与函数的关系 从函数的观点看，数列可以看作是特殊的函数，关系如下表：
①数列的通项公式实际上是一个以正整数集N ＋ 或它的有限子集{1,2,3，…，n}为定义域的函数解析式． ②和所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式． ③有通项公式的数列，其通项公式在形式上不一定是唯一的． (2)摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列． ①2 015,2 016,2 017,2 018,2 019,2 020； ②1，1 2， 1 4，…， 1 2n－1，…； ③1，－2 3， 3 5，…， (－1)n－1·n 2n－1，…； ④1,0，－1，…，sin nπ2，…； ⑤2,4,8,16,32，…； ⑥－1，－1，－1，－1. 其中，有穷数列是________，无穷数列是________，递增数列是________，递减数列是________，常数列是________，摆动数列是________．(填序号) ①⑥②③④⑤①⑤②⑥③④[①为有穷数列且为递增数列；②为无穷、递减数列；③为无穷、摆动数列；④是摆动数列，是无穷数列，也是周期为4的周期数列；⑤为递增数列，也是无穷数列；⑥为有穷数列，也是常数列．] 1．与集合中元素的性质相比较，数列中的项的性质具有以下特点： ①确定性：一个数是或不是某一数列中的项是确定的，集合中的元素也具有确定性； ②可重复性：数列中的数可以重复，而集合中的元素不能重复出现(即互异性)； ③有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列顺序有关，而集合中的元素没有顺序(即无序性)；
(新教材)2020-2021高中数学人教B版选择性必修三学案：5.2.2.1等差数列的前n项和含解析
5.2.2 等差数列的前n项和新版课程标准学业水平要求 1.探索并掌握等差数列的前n项和公式,理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系 2.能在具体问题情境中,发现数列的等差关系,并解决相应的问题1.借助教材实例了解等差数列前n项和公式的推导过程.(数学运算) 2.借助教材掌握a1,a n,d,n,S n的关系.(数学运算) 3.掌握等差数列的前n项和公式、性质及其应用.(数学运算) 4.能利用等差数列的通项公式、前n项和公式解决实际问题、最值问题等相关问题.(数学运算、数学建模) 第1课时等差数列的前n项和 必备知识·素养奠基 等差数列前n项和公式 公式一适用条件 S n=知首项、末项、项数 公式二适用条件 S n=na1+ d 知首项、公差、项数 (1)对于公式二,若将S n看成关于n的函数,试判断此函数是什么函数?
其解析式具有什么特点? 提示:公式二可变形为S n=n2+n,当d≠0时可以看作不含常数项的关于n的一元二次式,反之,若一个数列的前n项和是不含常数项的一元二次式,则此数列是等差数列. (2)等差数列的前n项和公式中的意义是什么? 提示:=,即等差数列前n项的平均数. 1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”) (1)对于a n=S n-S n-1成立的条件是n∈N+. ( ) (2)等差数列前n项和公式的推导方法我们称为“倒序相加法”. ( ) (3)若数列{a n}的前n项和为S n,则a3+a4+a5=S5-S2. ( ) (4)1+3+5+7+9=. ( ) 提示:(1)×.n>1且n∈N+. (2)√.等差数列具有a1+a n=a2+a n-1=a3+a n-2=…特征,可用倒序相加法. (3)√.由数列的前n项和的定义可知此说法正确. (4)×.1+3+5+7+9=. 2.在数列{a n}中,S n=2n2-3n(n∈N+),则a4等于( ) A.11 B.15 C.17 D.20 【解析】选A.a4=S4-S3=2×42-3×4-(2×32-3×3)=11. 3.设{a n}是等差数列,若a2=3,a7=13,则数列{a n}的前8项和为( )
2022年秋高中数学第五章数列测评试题新人教B版选择性必修第三册
第五章测评 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.已知数列{a n }的通项公式为a n =n 2 -n ,则可以作为这个数列的其中一项的数是( ) A.10 B.15 C.21 D.42 2.已知数列{b n }是等比数列,b 9是1和3的等差中项,则b 2b 16=( ) A.16 B.8 C.4 D.2 3.在等差数列{a n }中,已知前21项和S 21=63,则a 2+a 5+a 8+…+a 20的值为( ) A.7 B.9 C.21 D.42 4.在等差数列{a n }中,S 16>0,S 17<0,当其前n 项和取得最大值时,n=( ) A.8 B.9 C.16 D.17 5.已知数列{a n }是以2为首项,1为公差的等差数列,{b n }是以1为首项,2为公比的等比数列,则a b 1+a b 2+…+a b 10=( ) A.1 033 B.1 034 C.2 057 D.2 058 6.我国古代数学巨著《九章算术》中,有如下问题:“今有女子善织,日自倍,五日织五尺,问日织几何?”这个问题的意思为:“有一位善于织布的女子,每天织的布都是前一天的2倍,已知她5天共织布5尺,问这位女子每天分别织布多少?”根据上面的已知条件,可求得该女子第4天织布( ) A.8 15尺 B.16 15尺 C.20 31尺 D.40 31尺 7.已知等比数列{a n }的前n 项和为S n ,公比q>0,a 1=1,a 3=a 2+2.若数列{b n }的前n 项和为 T n ,a n+1=b n S n+1S n ,则T 9=( ) A.510 511 B.1023 1024 C.1022 1023 D.1 1023 8.已知数列{a n }的各项都为正数,定义:G n = a 1+2a 2+3a 3+…+na n n 为数列{a n }的“匀称值”.已知数列{a n } 的“匀称值”为G n =n+2,则该数列中的a 10等于( ) A.8 3 B.12 5 C.9 4 D.21 10
人教B版(2019)高中数学选择性必修三第五章5.2 等差数列
等差数列 A 层知识 一、基本概念 (一)、等差数列 1、 一般地，如果数列{a n }从第 2 项起，每一项与它的前一项之差都等于同一个常数d ，即 a n ＋1－a n ＝d 恒成立，则称{a n }为等差数列，其中d 称为等差数列的 公差 ． 拓展：等差数列定义的理解 (1)“每一项与它的前一项之差”这一运算要求是指“相邻且后项减去前项”强调了： ①作差的顺序；②这两项必须相邻． (2)定义中的“同一常数”是指全部的后项减去前一项都等于同一个常数，否则这个数 列不能称为等差数列． 2、等差数列的通项公式及其推广 若等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则其通项公式为a n ＝a 1＋ (n －1)d .该式可推广为a n ＝a m ＋(n －m )d (其中n ，m ∈N ＋)． 思考：等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)d 是什么函数模型？ [提示]：d ≠0时，一次函数；d ＝0时，常数函数． [探究问题]：（1）、若{a n }是等差数列，试用a m ，a n 表示公差d ，其中n ≠m . [提示]：d ＝a n －a m n －m . （2）、若数列{a n }的通项公式a n ＝kn ＋b ，则该数列是等差数列吗？ [提示]：是．因为a n ＋1－a n ＝k (n ＋1)－kn ＝k ，故{a n }是等差数列． 3、等差数列的单调性 等差数列{a n }中，若公差d >0，则数列{a n }为递增数列； 若公差d <0，则数列{a n }为递减数列． 4、等差数列与一次函数的关系 由等差数列的通项公式1(1)n a a n d =+-，可得1()n a dn a d =+-．
