信息安全数学基础习题集一
信息安全数学基础----习题集一
一、填空题
1、设a=18、b=12，c=27，求a、b、c的最小公倍数[a,b,c]= .
2、求欧拉函数= .
3、设，则模的最小非负简化剩余系{ }.
4、设，则模的所有平方剩余= .
5、设，则模的所有原根个数= .
6. 设m，n是互素的两个正整数，则φ(mn)=________________。
7. 设m是正整数，a是满足的整数，则一次同余式：ax≡b (mod m)有解的充分必要条件是_________________ 。
8. 设m 是一个正整数，a是满足____________的整数，则存在整数a’，1≤a’＜m ，使得aa’≡1 (mod m)。
9. 设, 如果同余方程__________, 则叫做模的平方剩余.
10. 设, 则使得成立的最小正整数叫做对模的__________.
二、判断题（在题目后面的括号中，对的画“”，错的画“”）
1、若是任意正整数, 则. （）
2、设是个不全为零的整数，则与, ||, ||,…, ||的公因数相同（）
3、设是正整数, 若, 则或. （）
4、设为正整数, 为整数, , 且, 则
. （）
5、{1,-3,8,4,-10}是模5的一个完全剩余系. （）
6、设是素数, 模的最小非负完全剩余系和最小非负简化剩余系中元素个数相等. （）
7、设为奇素数, 模的平方剩余和平方非剩余的数量各为8. （）
8、一次同余方程有解. （）
9、设是素数, 是模的原根, 若, 则是的整数倍.
（）
10、设, 则, …, 构成模的简化剩余系.
（）
11. , 则. （）
12. 设是两个互素正整数, 那么, 则. （）
13. 设m是一个正整数, a,b,d都不为0，若ad≡bd(modm)。则a≡b(mod m)。
（）
14. 设为正整数, a是满足的整数，b为整数. 若为模的一个简化剩余系, 则也为模的一个简化剩余系. （）
15. p为素数,n为整数且与p互素，则n2为模p的平方剩余. （）
16. 设为正整数, 设, 则是模的平方剩余的充要条
件是: . （）
17. 3是模7的原根。（）
18. 设为正整数, 若，则
. （）
19. 整数集关于整数的乘法构成群。（）
20. 适当定义加法和乘法，集合{0,1}可以构成一个有限域。（）
三、单项选择题（把答案写在题目后面的括号中）
1. 设与是两个整数, 则存在整数, 使得，下面关于与线性组合描述错误的是：（）
A. 整数的取值仅有一组唯一的值；
B. 整数的线性和所能表示的最小的正整数是最大公因数，即
；
C. 的倍数也可以用的线性和表示；
D. 整数，可以使用辗转相除法(欧几里得算法)反推得到。
2、下面关于整除的描述错误的是：（）
A. ±1是任何整数的因子；
B.设（整数集合）,, , 则；
C. 0是任何整数的倍数；
D. 设, 若, ，则,
3、下面的说法正确的是：（）
A. 给定一个正整数和两个整数，若，则
B.设为整数, 若，则
；
C. 设是两个正整数, 若分别遍历的完全剩余系, 则
遍历模的完全剩余系；
D. 设为素数, 为任意正整数, 则
4. 下面哪个集合是模12的简化剩余系？( )。
A. 1,3,5,7
B. 1,5,7,9,
C. 1,5,7,11
D. 3,5,7,11。
5. 一次同余方程的解数是（）
A. 3
B. 2
C. 1
D. 0
6、下面的说法正确的是：（）
A. 有解；
B、一次同余方程，等价于求解一次同余方程组:
的解；
C、一次同余方程组有且仅有唯一的解；
D. 设是正整数, 对于一次同余方程组, 若
, 则同余方程组一定有解。
7、设是奇素数, , ,则下列说法错误的是: （）
A. 如果是模的平方剩余, 是模的平方非剩余, 则是模的平方剩余.
B. 如果是模的平方剩余, 是模的平方非剩余, 则是模的平方非剩余.
C. 如果都是模的平方剩余, 则是模的平方剩余.
D. 如果都是模的平方非剩余, 则是模的平方剩余.
8、下面说法，错误的是（）
A、设p为奇素数，设, 若，方程
方程肯定无解；
B、设是奇素数, 整数两两互素. 若既是模的平方剩余也是模的平方剩余，则不是模的平方剩余；
C、设是奇素数, 整数两两互素. 若既是模的平方剩余也是模的平方剩余, 既不是模的平方剩余也不是模的平方剩余，则不是模的平方剩余；
D、设是奇素数, , 只有)和同时有解，对于二次方程才有解。
9、已知5对模17的阶为16, 5×5≡8(mod17), 求的值是（）
A、2
B、4
C、6
D、8
10、下面说法错误的是（）
A、设是一个正合数, , 则集合对于乘法:
构成一个交换群；
B、设是一个正整数, 令, 即是所有整数的集合. 对于通常意义的加法(+)，是一个交换群；
C、设是一个素数, , , 是模的最小非负简化剩余系. 则集合对于乘法:
构成一个交换群；
D、设是一个奇素数, , 则集合对于乘法:
构成一个有限域。
11．设a, b, c是三个整数，c≠0且c|a，c|b，如果存在整数s, t, 使得sa＋tb ＝1，则( ) 。
A. (a, b)= c
B. c＝1
C. c＝sa＋tb
D. c＝±1
12. 设a, b, c是三个不全为零的整数。如果a = bq + c, 其中q是整数，则有( )。
A. (a, b) = (q, c)
B. (a, b) = (b, c)
C. (a, b) = c
D. (a, b) = (a, c)
13. 下面哪个集合不是模5的一个完全剩余系？( ) 。
A. 1, 3, 5, 7,9
B. 2,4,6,8,10
C. 0, 1, 2,11,13
D. 0, 1, 2, 13, 19。
14. 下面哪个集合是模18的简化剩余系？( )。
A. -1, 5, 7, 11, 13, 17
B. -1, 5, 9, 11, 13, 15,17
C. -5, 1, 5, 7, 11,17
D. 1, 3, 5, 7, 9.11, 13, 17。
15. 满足56≡18 (modm)的正整数m(m>2)的个数是( )。
A. 1
B. 2
C. 4
D. 5
16. 30模23的逆元是( ) 。
A. 23
B. 19
C. 10
D. 4
17. 下列一次同余式无解的是( )。
A. 12x≡3（mod 16）
B. 8x≡9（mod 19），
C. 78x≡30（mod 98）
D. 111x≡6（mod 51）。
18. 下面哪个是模13的平方剩余? ( )。
A. 5
B. 10
C. 11
D. 7
19．下面各组数中，均为模14的原根的是( )。
A. 2, 3, 4, 5
B. 3, 6, 8, 10
C. 9, 11, 13
D. 3, 5
20. 定义运算：, 下面哪个集合构成一个群.（）
A. {1,2,3,4}
B. {1,3,5,7}
C. {1,,5,7,9}
D. {1,5,7,11}
四、简答题
1. 设,,求整数,, 使得. （给出具体求解过程）
2.设为正整数, 则的充分必要条件是. 给出充分性的证明.
3. 计算71005(mod 15)。（给出具体求解过程，提示：可用欧拉定理或也可中国剩余定理进行求解）
4. 求7模26的阶ord26(7)，并给出所有模26的阶为ord26(7)的整数g（1 5. 判断同余方程x2≡3(mod 11)的解的情况。（给出具体求解过程） 6. 设是一个正合数, , 令 , 也即模的最小非负简化剩余系. 则集合对于乘法: 是否构成一个交换群？（请给出详细求解判断过程） 7. a＝42，b＝164，求a和b的最大公因子（a，b）及整数x和y，使 （a, b）＝ax＋by. 8. 证明：设为正整数, 为整数, . 若, 则 . 9. 结合欧拉定理和模重复平方算法(或者平方乘算法)计算62025（mod41） 10. 写出模17的所有平方剩余。 11. 计算5模19的指数ord19(5)。 12. 设不可约多项式，集合G={, , }. 若定义乘法:，根据群的定义，判断{G,}是否构成一个群。 五、综合题（备注，每题必须给出具体求解过程） 1. 解一次同余方程175x≡41081×7(mod 133). 2. 由GF(2)上的4次不可约多项式构成有限域， 中16个域元素，0除外，其余元素可用的幂次方来表示: , , , , , （1）完成上面的填空（4分）。 . (2)已知是中的多项式并根据上 面的结果计算 （1）求 （2）求 （3）求 （4）求 3、求解一次同余方程84x+1≡64(mod 371). 信息安全数学基础----习题集一答案 第一题填空 1、108 2、800 3、{1,2,4,5,7,8} 4、{1,3,4,5,9 } 5、4 6、φ(m)φ(n) 7、(a,m)|b 8、(a,m)=1 9、有解10、阶 二、判断题 1—5：×√××√6-10：×√×√× 11—15：√√××√16-20：×√√×√ 三、单项选择题 1-5：ACBCD 6-10：CABDA 11-15：DBCCB 16-20：CABDD 四、简答题 1、101=156+11 15=11+4 11=42+3 4=31+1 因此(a,b)=（101,15）=1 1=4-3=4-(11-42)=4-11=(15-11)-11=15 =15 因此s=27 ，t=-4 备注：s=27 t=-4不是唯一答案，只要满足都正确 2、证明: 充分性. 由条件，证明 设, 则存在整数, 使得, 从而 . 3、解：71005(mod 15)， 已知（7,15）=1，由欧拉定理， 因此71005(mod 15) (mod 15) (mod 15) (mod 15) 因此71005mod 15) 备注：此计算方法不是唯一，也可以用中国剩余定理化简求解 4、（1）已知26=2，=12。 （2）72≡23，73≡-2176≡25，7是模26的一个原根, ord26(7)=12 因为模12的简化剩余系为{1,5,7,11}, 故模26的所有原根为: 71≡7, 75≡11, 77≡-33≡-7≡19, 711≡-7*9 ≡-11≡15 (mod 26). 即模26的原根为:7,11,19,15 5、解：判断同余方程x2≡3(mod 11)的解的情况 根据欧拉判别式进行求解进行判断 即3是模11的平方剩余，即x2≡3(mod 11)方程有解 备注：判断x2≡3(mod 11)方程解情况也可采用0,1,…..,5代入方程穷举方法求解。 6、设是一个正合数, , 令 , 也即模的最小非负简化剩余系. 则集合对于乘法: 是否构成一个交换群. (1) 封闭性. 对任意, 恒有. (2) 结合律成立. 对任意, 有. (3) 恒等元存在, 恒等元. 即对任意, 有, 使 . (4)对任意, ，因此存在的逆元, 使 . 显然, 乘法满足交换律, 故该群是交换群. 7、164=423+38 42=38+4 38=49+2 4=2 2 因此(a,b)=（166,42）=2 2=38-49=38-(42-38)9=38-429=(164-423)-429=164 备注：不是唯一答案，只要满足都正确 8、证明: 证明: 由可得 . 而, 故, 即. 9、解：62017（mod41）， 已知（6,41）=1，由欧拉定理， 因此62017（mod41）617（mod41） (mod 41) (mod 41) (mod 41) (mod 41) 因此62017mod 41) 10、1,22mod 17), 32mod 17), 42mod 17), 52mod 17), 62mod 17), 72mod 17)，82mod 17)， 模17的所有平方剩余为1，2，4，8，9，13，15，16 11、 52≡6(mod19)，53≡11(mod19)，56≡7(mod19)，59≡1(mod19) (4分) ord19(5)=9 12、(1)封闭性满足 (2)结合律满足 (3)单位元为1 (4)因为1，，都与互素，故逆元都存在 {G,}构成一个群。 五、综合题（备注，每题必须给出具体求解过程） 1. 解一次同余方程175x≡41081×7(mod 133). 解：（1）首先方程可以进行化简（175 mod 133）x≡42x≡41081×7 (mod 133)（42,133）=（6）=7，7|41081×7，因此方程有解，有7个解 （2）(133)=6, 4108≡1(mod 133)，因此41081(mod 133)≡4 因此同余方程175x≡41081×7 (mod 133)等价于42x≡4×7 (mod 133) 首先求解6x≡1(mod 19) 求解为：x≡-3≡16(mod 19) 因此方程的七个解为：x≡-3×4+19t ≡-12+19t(mod 133) t=0,1,2…,6 ,即：x≡7,26,,45，64,83,102,121(mod 133) 备注：与x≡-3×4+19t ≡-12+19t(mod 133) t=0,1,2…,6等价都正确。 2. 解（1）+1 （2） +1 备注：也可以用多项式直接求解 3、求解一次同余方程84x+1≡64(mod 371) 由原方程得84x≡63(mod 371) （84，371）=7|63，故方程有解。 要解84x≡63(mod 371)，需先求12x≡9(mod53) 的解 先解12x≡1(mod53) 53=12×4+5 12=5×2+2 5=2×2+1 1=5-2×2=5-2×（12-5×2）=5×5-12×2 =5×（53-12×4）-12×2=5×53-12×22 故12x≡1(mod53)的解为x≡31（mod53） 12x≡9(mod 49) 的解为x≡14（mod53） 故84x≡63(mod 301)得全部解为x≡14+53t（mod371），4=0,1,2…,6 1、已知a=66,b=75，求正整数x,y ，使ax-by=(a,b)成立 .（知识点：最大公约数、欧几里德除法、线性表达）（进一步：计算方法-）算法-〉程序） 2、计算5模11的逆元 3、解方程567x ≡21(mod 1225) 4、15的完系和缩系，（进一步：全奇或全偶），1 mod5写成x mod15，计算x （剩余类分解） 5、计算15的欧拉函数 6、化简：115x 15+278x 3+12 (mod 12)，x=20 7、已知a=5,b=42,n=435, 求a b mod n 8、求如下同余式组的解 x ≡1(mod 5) x ≡3(mod 7) x ≡2(mod 9) 9、写出模19的所有二次剩余 10、5是模31的二次剩余吗？ 11、（13/283）（知识点：勒让德符号、二次互反） 12、求x 2≡13（mod 113）的解 13、找出模13的所有原根，有多少个？并据此求出1-12每个数的阶 14、1841是强伪素数吗？ 15、连分数与分数（无理数）的相互转换，如求连分数[-3，1，1/2，2，1/3，3]的值， 16、（Z ，*）是群吗？其中*定义为 a*b=a+b-4（进一步：3律3元） 17、（Z 12,+12）的各子群 18、群的阶与元素的阶，如Z 14的的每个元素的阶、所有生成元和所有子群 19、置换，理解含义，会计算 20、多项式环上的运算，如Z2上的多项式环中：（1）f(x)=x 2+x+1，可约吗？（2）加法：f(x)=x 2+x+1，g(x)=x 3+1，f(x+g(x)（3）除法：f(x)= x 4+x+1,g(x)=x+1,f(x)/g(x)（注意：有商有余）（4）求两个多项式的最大公约数 21、构造一个八元域 22、扩成域：由GF(2)上的既约多项式p(x)= x 4+x+1扩成GF(24) 23、CRC 计算：生成多项式为f(x)=x 4+x+1，传送的信息为10110100110，请给出接收方收到的信息，并进行校验 24、RSA ：RSA 加解密运算，防范攻击的措施 注意：重点题目而不是数字，我不提供答案，大家自己完成。 考试题目类型：基础题（指要求结果，部要求运算过程，10分，5个）；计算题（过程给分，60分，7个），证明题（1个，10分），应用题（2个，15分），分析题（关于rsa ，1个，10分） )142(23144321=??? ? ?? 信息安全数学基础----习题集一 一、填空题 1、设a=18、b=12，c=27，求a、b、c的最小公倍数[a,b,c]= . 2、求欧拉函数φ(3000)= . 3、设m=9，则模m的最小非负简化剩余系={ }. 4、设m=11，则模m的所有平方剩余= . 5、设m=22，则模m的所有原根个数= . 6. 设m，n是互素的两个正整数，则φ(mn)=________________。 7. 设m是正整数，a是满足 m?a的整数，则一次同余式：ax≡b (mod m)有解的充分必要条件是_________________ 。 8. 设 m 是一个正整数，a是满足____________的整数，则存在整数a’，1≤a’＜m ，使得aa’≡1 (mod m)。 9. 设a∈Z,(a,m)=1, 如果同余方程x2≡a(mod m)__________, 则a叫做模m的平方剩余. 10. 设a,m∈Z,m>1,(a,m)=1, 则使得a e≡1(mod m)成立的最小正整数e叫做a 对模m的__________. 二、判断题（在题目后面的括号中，对的画“√”，错的画“×”） 1、若k是任意正整数, 则(ak,bk)=(a,b). （） 2、设a1,a2,…,a n是n个不全为零的整数，则a1,a2,…,a n与a1, |a2|, |a3|,…, |a n|的公因数相同（） 3、设m是正整数, 若m│ab, 则m│a或m│b. （） 4、设m为正整数, a,b为整数, a≡b(mod m), d│b且d>0, 则a d ≡b d (mod m d ). （） 5、{1,-3,8,4,-10}是模5的一个完全剩余系. （） 6、设m是素数, 模m的最小非负完全剩余系和最小非负简化剩余系中元素个数相等. （） 7、设p=17为奇素数, 模p的平方剩余和平方非剩余的数量各为8. （） 8、一次同余方程9x≡1(mod 24)有解. （） 9、设p是素数, g是模p的原根, 若g x≡1(mod p), 则x是p?1的整数倍. （） 10、设m>1,(a,m)=1, 则1=a0,a,a2, …, a ord m(a)?1构成模m的简化剩余系. 信息安全数学基础习题答案 第一章整数的可除性 1．证明：因为2|n 所以n=2k , k∈Z 5|n 所以5|2k ，又（5，2）=1，所以5|k 即k=5 k1，k1∈Z 7|n 所以7|2*5 k1 ,又（7，10）=1，所以7| k1即k1=7 k2，k2∈Z 所以n=2*5*7 k2即n=70 k2, k2∈Z 因此70|n 2．证明：因为a3-a=(a-1)a(a+1) 当a=3k，k∈Z 3|a 则3|a3-a 当a=3k-1，k∈Z 3|a+1 则3|a3-a 当a=3k+1，k∈Z 3|a-1 则3|a3-a 所以a3-a能被3整除。 3．证明：任意奇整数可表示为2 k0+1，k0∈Z （2 k0+1）2＝4 k02+4 k0+1=4 k0 (k0+1)+1 由于k0与k0+1为两连续整数，必有一个为偶数，所以k0 (k0+1)=2k 所以（2 k0+1）2=8k+1 得证。 4．证明：设三个连续整数为a-1,a,a+1 则(a-1)a(a+1)= a3-a 由第二题结论3|（a3-a）即3|(a-1)a(a+1) 又三个连续整数中必有至少一个为偶数，则2|(a-1)a(a+1) 又（3，2）=1 所以6|(a-1)a(a+1) 得证。 5．证明：构造下列k个连续正整数列： (k+1)！+2, (k+1)！+3, (k+1)！+4,……, (k+1)！+(k+1), k∈Z 对数列中任一数 (k+1)！+i=i[(k+1)k…(i+1)(i-1)…2*1+1], i=2,3,4,…(k+1) 所以i|(k+1)！+i 即(k+1)！+i为合数 所以此k个连续正整数都是合数。 6．证明：因为1911/2＜14 ,小于14的素数有2，3，5，7，11，13 经验算都不能整除191 所以191为素数。 因为5471/2＜24 ,小于24的素数有2，3，5，7，11，13，17，19，23 经验算都不能整除547 所以547为素数。 由737=11*67 ,747=3*249 知737与747都为合数。 8．解：存在。eg：a=6,b=2,c=9 10．证明：p1 p2 p3|n，则n= p1 p2 p3k，k∈N+ 又p 1 ≤p2≤p3，所以n= p1 p2 p3k≥p13 即p13≤n1/3 p 1为素数则p 1 ≥2，又p 1 ≤p2≤p3，所以n= p1 p2 p3k≥2 p2 p3≥2p22 即p 2 ≤(n/2)1/2得证。 11．解：小于等于5001/2的所有素数为2，3，5，7，11，13，17，19，依次删除这些素数的倍数可得所求素数： 12．证明：反证法 假设3k+1没有相同形式的素因数，则它一定只能表示成若干形如3k-1的素数相乘。 (3 k1+1)(3 k2+1)=[( 3 k1+1) k2+ k1]*3+1 显然若干个3k+1的素数相乘，得 《信息安全数学基础》试卷一 一、判断题（本题满分10分，共含10道小题，每小题1分，认为命题正确的请 在答题表里填写“√”，认为命题错误的请在答题表里填写“×”） 1、任何一个交换群必定是循环群。 2、若4mod b a ≡，则有8mod b a ≡。 3、若无向图中的每一对顶点之间都有链，则此无向图为树。 4、存在一个无向图G ，G 既是哈密顿图，又是欧拉图。 5、若G H ≤1，G H ≤2，则G H H ≤?21。 6、同余方程 有解 。 7、模n 的缩系中共有)1(-n ?个元素。 8、 ),,?+Z （是一个域。 9、对于奇素数p 而言，模p 的两个二次剩余之积为二次剩余，两个二次非剩余之积为 二次剩余。 10、对称群3S 有4阶子群。 二、计算题（本题满分15分） 1、设T 是一棵无向树且有3个次数是3的点,2个次数是2的点,其余均为次数是1的点，求出该树一共有多少个点？（本小题5分） 2、使用扩展的Euclid 算法求解(a,b)及整数s ，t,使得sa+tb=(a,b),其中a=135,b=97。 （本小题10分） 三、解答题（本题满分45分） 1、利用整数的惟一分解定理求出(45，100)和[45，100]。（本小题6分） 2、写出模7的缩同余类集合，列出其乘法运算表，并求出此集合中所有非零元素关于乘法的逆元。（本小题15分） 3、判断下列二次同余方程是否有解，并给出判断依据。（本小题15分） （1） （2） )137(mod 62=x )365(mod 12-=x (mod )k x a n ≡?(,())|g k n ind a ? 4、有向图如图1所示，写出其对应的邻接矩阵、关联矩阵，并判断此图是否为连通图，给出判断依据。（本小题9分） 图1 四、求解下列同余方程或同余方程组 （本题满分15分） 1、)15(mod 93≡x （本小题5分） 2、?? ? ??≡≡≡9mod 711mod 57mod 2x x x （本小题10分） 五、证明题（本题满分15分） 1、证明：若n b a mod ≡，n d c mod ≡，则有n d b c a mod +≡+。（本小题5分） 2、定义集合}|3{3Z k k Z ∈=,证明),3(+Z 是一个群。（本小题10分） 7．集体访谈也叫_会议访谈（法___．实际上是个别访谈的一种扩一、填空题展形式。 社会调查研究分析和研究社会对人口的影响，主要是看社会的11.8 多组___实验设计，一般是各设置两个实验组和对照组，通过诸多方面对--人口的构成和人口过程--的影响。对各组检测结果的交叉比较，得出实验结论。、--- 社会调查研究准备阶段包括三方面工作：即---确定课题12.9．定量分析是最复杂的资料分析。它按照性质可以分为两大类，设计调查方案与具体准备。一类是一_描述性分析_；另一类是推论性分析。的效度，第__13.测量的效度包括两方面内容：第一，_测量方法10．修改调查报告须经过检查和修改两个阶段。常用检查法有 -- 二，测量结果的效度。诵读法- 、冷却法和请教法。 --去估计参数值时所出现的误差。抽样误差是用---统计值14.1．我国在革命和建设的过程中，长期使用着一种通过个别说明一两种分定性和定量__文献分析的正确途径和发展方向应当是15.__般的调查方式，并赋予它特殊称谓，即 -典型调查。析方法的结合。2．社会调查研究课题的产生必须根据理论和实际的需要以及 --非结构16.访谈法按照操作方式和内容可以分为结构式访谈和 --可行性----而定。两种。式访谈-3．只反映质的区别，而不反映量的差异的变量是_离散变量___。和直-- ．在条件许可的情况下，应该尽可能采取一17-电话问卷4．可信且---有效----- 的测量是优秀的测量，是社会调查研究接送发问卷的方式进行调查，以保证问卷的回复率。所追求的境界。观察，适用于定性类型的调查18非结构式-．实地观察多数是一--5．在条件许可的情况下，应可能采取电话问卷、--直接送发--- 研究。问卷的方式进行调查。．实验调查能否成功，在很大程度上取决于能否有效地控制实196．-定的提问方法与一定的 ---行为方式---- 是控制访谈的两个 ---二是对验过程。它包括两个方面：一是对引入自变量的控制，重要因素。的控制。无关变量-- 7．观察法多数是---非结构-------式观察，适用于定性类型的调_20.从形式上看，调查报告除了文字表达以外，还更多地采用了查研究。 __等非纯文字表达形式。图表和数字8．实验法的主要任务就是明确实验对象和-实验激发-之间的因果，另外还有11基本要素．社会调查研究的对象首先是社会的----关系，由此认识实验对象本质及其发展变化的规律。形形色色、种类繁多的具体对象。9．对于文字资料的审查，主要解决其_真实性、准确性和适用近代以来国外流行的社会调查研究的主要哲学理论基础先后12.性问题。 _有人本主义___和实证主义。10.从形式上看，调查报告除了文字表达以外，要更多地采用-图社会调查研究方案可行性研究的常用方法大致有逻辑分析、经13.表--和数字等非纯文字表达形式。验判断和三种。--试调查--1-社会调查研究的对象首先是社会的—基本要素，另外还有形形的测量是优秀的测量，是社会调查研究所追可信且一14.有效-- 色色、种类繁多的具体对象。求的境界。2．文化有广义和狭义之分。狭义的文化专指—精神文化。当场记录是观察法最常用的一种记录方式。它需要注意的最关15.3．社会调查研究方案可行性研究的常用方法大致有逻辑分析、经自然状态--一。键一点是不能破坏观察现场的验判断和—试调查—三种。一是控制访谈的两个重要行为方式定的提问方法与一定的16. ---4．一项测量的结论在普遍应用时的有效性是指—外在效度。因素。5．按照简明的文献分类方法，—零次文献和一次文献—称作原始式观察，适用于定性类型的调查研-----17.观察法多数是非结构文献、直接文献或第一手文献。 ' 究。6．访谈者对结束访谈和—告别一定要有所重视，争取给被访者留因 -18.实验法的主要任务就是明确实验对象和实验激发之间的下一个关于访谈的整体的美好回忆。．果- 关系，由此认识实验对象本质及其发展变化规律。7．观察法多数是—非结构—式观察，适用于定性类型的调查研究。、准确性和适用__19.对于文字资料的审查，主要解决其__真实性8．实验法在验证假设时，必须排除那些—无关变量—引起的自然性问题。变化成分，否则会影响其准确性。．一般认为，调查报告根据其性质不同，可分为两大类：一是209．对于文字资料的审查，主要解决其—真实性—、准确性和适用，也叫社会调查报告或事务文书类调查报普通调查报告____性问题。告；二是学术调查报告，也叫科研调查报告10．调查报告的结构通常包括标题、署名、—导语—、正文和结同期群研_1-社会调查纵贯研究的主要形式：一是趋势研究，二是尾。，三是追踪研究。究_1．普查一般分为—一次性一普查和常规性普查两类。等---假设--2．社会调查研究的观点具体由概念和变量、命题和2．社会调查研究准备阶段包括三方面工作：即—确定课题—、设理论要素联系而成。计调查方案与具体准备。 _3．界定概念的方式有两种，即抽象定义和。___操作定义3．信度是指测量的可靠性。它一是指—测量方法--的可靠，二是．根据许多专家的看法，社会调查研究中的样本规模至少不能少4指测量结果的可靠。个单位。--100-于4．目前，搜集文献的渠道主要有个人、机构和--互联网-三种。的特点，所以不会__无反应性__．文献法具有历史性、间接性和55．一般的访谈时间不宜过长，以----1～2-小时为宜。因调查对象不配合而对收集资料产生影响。6．问卷设计好以后，一定要进行试调查，具体方法有二：一是客文献检索．文献检索的方法主要有人工文献检索法、6_计算 《信息安全数学基础》参考试卷 一．选择题(在每小题的备选答案中只有一个正确答案，将正确答案序号填入下列叙述中的括号内，多选不给分)：（每题2分，共20分）1．576的欧拉函数值?(576) ＝()。 (1) 96，(2) 192，(3) 64，(4) 288。 2．整数kn和k(n+2)的最大公因数(kn , k(n+2))=()。 (1) 1或2，(2) | kn|， (3) | n|或| kn|，(4) | k|或2| k|。 3．模10的一个简化剩余系是( )。 (1) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10，(2) 11, 17, 19 , 27 (3) 11, 13, 17, 19，(4) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9。 4．29模23的逆元是( )。 (1) 2，(2) 4， (3) 6，(4) 11。 5．设m1，m2是两个正整数，x1遍历模m1的完全剩余系，x2遍历模m2的完全剩余系，若( )遍历m1m2的完全剩余系。 (1) (m1，m2)=1，则m1x1＋m2x2(2) m1和m2是素数，则m1x1＋m2x2 (3) (m1，m2)=1，则m2x1＋m1x2(4)m1和m2是素数，则m2x1＋m1x2 6．下面的集合和运算构成群的是( ) 。 (1) 信息安全数学基础习题答案 信息安全数学基础习题答案 信息安全是当今社会中一个重要的领域，它涉及到人们的隐私和数据的保护。 在信息安全的学习过程中，数学是一个不可或缺的基础。本文将为您提供一些 信息安全数学基础习题的答案，帮助您更好地理解和应用相关的数学概念。 一、离散对数问题 离散对数问题是信息安全领域中的一个重要数学概念。以下是一些常见的离散 对数问题及其答案： 1. 如果p是一个素数，a是一个整数，且a不是p的倍数，求解方程a^x ≡ b (mod p)的x值。 答案：x ≡ log_a(b) (mod p-1) 2. 如果p是一个素数，g是一个p的原根，a是一个整数，且a不是p的倍数，求解方程g^x ≡ a (mod p)的x值。 答案：x ≡ log_g(a) (mod p) 二、RSA算法 RSA算法是一种非常常见的公钥加密算法。以下是一些与RSA算法相关的习题 及其答案： 1. 如果p=17，q=11，e=7，计算n和d的值，其中n是模数，d是私钥。 答案：n = p * q = 17 * 11 = 187，d ≡ e^(-1) (mod (p-1)*(q-1)) = 7^(-1) (mod 160) = 23 2. 如果n=187，e=7，加密明文m=88，计算密文c的值。 答案：c ≡ m^e (mod n) = 88^7 (mod 187) = 11 三、椭圆曲线密码学 椭圆曲线密码学是一种基于椭圆曲线数学问题的加密算法。以下是一些与椭圆 曲线密码学相关的习题及其答案： 1. 在椭圆曲线y^2 ≡ x^3 + ax + b (mod p)上，给定一个基点G和一个私钥d，计算公钥Q的值。 答案：Q = d * G 2. 在椭圆曲线y^2 ≡ x^3 + ax + b (mod p)上，给定一个基点G和一个私钥d，计算共享密钥K的值。 答案：K = d * Q = d * (d * G) 结语 本文为您提供了一些信息安全数学基础习题的答案，涉及了离散对数问题、 RSA算法和椭圆曲线密码学等内容。通过学习和理解这些数学概念，您可以更 好地理解和应用信息安全领域的相关知识。希望这些答案对您的学习和实践有 所帮助。 第一章作业答案 1.7习题 1 证(方法一)由2ln,贝U n=2m,又5ln,则512m,由51 5m,则5l(5m- 2 • 2m)=m ,设m=5k(k 为整数)，则n = 10k.又由7ln,则有7110k,由717k, 则有71(3 • 7k - 2 • 10k) = k ,设k = 7p(p 是整数), 则有n=70p,从而有 70ln. (方法二)因为2ln,5ln,7ln,且[2 , 5, 7]=70 ,根据1.4定理7可得70ln. (方法三)因为2ln, 5ln , 7ln ,所以7OI35n , 70ll4n , 70 I lOn,从而有 701(35- 14-2 ・ 10)n = n. 4证：三个连续的整数可以写成，(a-1), a , (a+1),其中任意两个连续 整数中必定有一个是偶数，所以2可以整除它们的乘积，即2l(a - l)a(a+l).又任意整数 a 可以写成 a = 3n+b(bEZ, lWbW3) 当 b = l 时， a—l=3n,所以3l(a-l), 当b=2 时，a + 1 = 3n+3 ,所以3l(a+l), 当b=3 时，a= 3n,所以31a . 所以不论 b 是多少，均有3l(a-l)a(a+l),又(2, 3) = 1 ,故6l(a-l)a(a+l). 6证(运用1.1定义2或1.1定理7) 12证明形如3k-1形式的正整数必有同样形式的素因数. 证(解析：任意整数可表示为3k-l或3k或3k+l ,其中为素因数形式 只能为3k-1或3k+l的形式)假设形如3k-1的正整数只有3m+1 形式的 素因数，那么3k-l = (3mi +l)(3m2+l)-(3m s +l)=3m+l 其中nii GZ ,i=l,2,…，s .m是nii的整系数多项式，故m是一个整数, 可推出3k - 1 = 3m + 1,这是矛盾的. 信息安全数学基础第二版课后练习题含答案介绍 信息安全数学基础是一门重要的课程，它是信息安全领域的基础。在这门课程中，我们将了解许多与信息安全相关的数学知识，例如模运算、质数、离散对数等。 这篇文章将涵盖信息安全数学基础第二版中的一些课后练习题，同时也包含答案。 练习题 1. 模运算 1.1 在模 10 算法下，求以下计算结果： 1.(8 + 4) mod 10 = 2.(4 - 8) mod 10 = 3.(6 * 3) mod 10 = 4.(7 * 8) mod 10 = 5.(4 * 6 * 2) mod 10 = 答案： 1.2 2.6 3.8 4.6 5.2 2.1 以下哪些数为质数？ 1.15 2.43 3.68 4.91 5.113 答案：2、5 3. 离散对数 3.1 在模 13 算法下，计算以下离散对数： 1.3 ^ x ≡ 5 (mod 13) 2.5 ^ x ≡ 4 (mod 13) 3.2 ^ x ≡ 12 (mod 13) 答案： 1.x = 9 2.x = 9 3.x = 4 4. RSA算法 4.1 对于RSA算法，如果p = 71，q = 59，e = 7，n = pq，求以下结果： 1.φ(n) = 2.d = 3.明文为123，加密后的密文为？ 1.φ(n) = (p-1)(q-1) = 4000 2.d = 2287 3.加密后的密文为：5066 5. 椭圆曲线密码 5.1 在GF(7)上，使用下列椭圆曲线： E: y^2 = x^3 + 2x + 2 \\pmod{7} 计算点加： 1.(1,2) + (5,4) = 2.(3,6) + (3,6) = 答案： 1.(1,5) 2.(0,3) 结论 本文介绍了信息安全数学基础第二版中的课后练习题，并包含了所有答案。希望这篇文章对您有所帮助。 一、单项选择题 1、设a, b 都是非零整数。若a |b ，b |a ，则【 】 A.a ＝b B.a ＝± b C.a ＝－b D. a > b 2、设a, b, c 是三个整数，c ≠0且c |a ，c |b ，如果存在整数s, t, 使得sa ＋tb ＝1，则【 】 A.(a, b)= c B. c ＝1 C.c ＝sa ＋tb D. c ＝± 1 3、Fermat 定理：设p 是一个素数，则对任意整数a 有【 】 A. a p ＝1 (mod p) B. a ϕ (p)＝1 (mod a) C. a ϕ (p)＝a (mod p) D. a p ＝a (mod p) 4、已知模41的一个原根是6，则下列也是41的原根的是【 】 A. 26 B. 36 C. 46 D. 56 5、已知，),(88+z 是模8的剩余类加群，下述不正确的是【 】 A. [1] 是生成元 B.有3阶子群 C. [0] 是单位元 D.有真子群 6、设 信息安全数学基础习题答案信息安全数学基础习题答案 1.简答题 a) 什么是信息安全？信息安全是指保护信息的机密性、完整性和 可用性，以防止未经授权的访问、使用、披露、干扰、破坏或篡改信息的行为。 b) 什么是加密？加密是指通过对信息进行转换，使其无法被未经授权的人理解或使用的过程。加密算法通常使用密钥来对信息进行加密和解密。 c) 什么是对称加密算法？对称加密算法是一种使用相同的密钥进行加密和解密的算法。常见的对称加密算法有DES、AES等。 d) 什么是非对称加密算法？非对称加密算法是一种使用不同的密钥进行加密和解密的算法。常见的非对称加密算法有RSA、ECC等。 e) 什么是哈希函数？哈希函数是一种将任意长度的数据映射为固定长度的输出的函数。哈希函数具有单向性，即很难从哈希值逆推出原始数据。 2.选择题 a) 下列哪种算法是对称加密算法？ A. RSA B. AES C. ECC D. SHA-256 答案：B. AES b) 下列哪种算法是非对称加密算法？ A. DES B. AES C. RSA D. SHA-256 答案：C. RSA c) 下列哪种函数是哈希函数？ A. RSA B. AES C. ECC D. SHA-256 答案：D. SHA-256 3.计算题 a) 使用AES算法对明文进行加密，密钥长度为128位，明文长度为 64位。请计算加密后的密文长度。 答案：由于AES算法使用的是128位的块加密，所以加密后的密文长度也为128位。 b) 使用RSA算法对明文进行加密，密钥长度为1024位，明文长度为64位。请计算加密后的密文长度。 答案：由于RSA算法使用的是非对称加密，加密后的密文长度取决于密钥长度。根据经验公式，RSA算法中加密后的密文长度为密钥长度的一半。所以加密后的密文长度为1024/2=512位。 c) 使用SHA-256哈希函数对一个长度为128位的明文进行哈希计算，请计算哈希值的长度。 答案：SHA-256哈希函数的输出长度为256位。 4.应用题 a) 小明使用AES算法对一段文本进行加密，得到的密文为 "9d5f4c2a". 小明使用的密钥为"0123456789abcdef".请问解密后得到的明文是什么？ 答案：根据AES算法的加密规则，将密文与密钥进行解密运算，即可得到明文。所以解密后得到的明文为"546869732069732061206d657373616765"，经过ASCII码转换后为"This is a message"。 b) 小红使用RSA算法对一段文本进行加密，得到的密文为"2f1b5d". 小红使用的公钥为"5"，私钥为"11".请问解密后得到的明文是什么？ 答案：根据RSA算法的加密规则，将密文与私钥进行解密运算，即可得到明文。所以解密后得到的明文为"2"。 c) 小明使用SHA-256哈希函数对一段文本进行哈希计算，得到的哈希值为"3c5d48c".请问另一段与之对应的文本是什么？ 答案：由于SHA-256是单向函数，很难从哈希值逆推出原始文本。所以无法确定另一段与之对应的文本是什么。 一、单项选择题 1、设a,b都是非零整数。若ab，ba，则【】 A.a＝b B.a ＝b C.a＝－b D.a>b 2、设a,b,c 是三个整数，c0且ca，cb，假如存在整数s,t, 使得sa＋tb ＝1，则【】 A.(a,b)=c B.c ＝1 C.c＝sa＋tb D.c ＝1 3、Fermat定理：设p是一个素数，则对随意整数a有【】 A.a p＝1(modp) B.a (p)＝1(moda) C.a (p)＝a(modp) D.a p＝a(modp) 4、已知模41的一个原根是6，则以下也是41的原根的是【】 A. 62 B. 63 C. 64 D. 65 5、已知，(z8,8)是模8的节余类加群，下述不正确的选项是【】 A.[1] 是生成元 B. 有3阶子群 C.[0] 是单位元 D. 有真子群 6、设 一、单项选择题 1、设a ， b 都是非零整数。若a b ，b a,则【 】 A.a ＝b B.a ＝ b C.a ＝－b D 。 a 〉 b 2、设a ， b ， c 是三个整数，c 0且c a ，c b,如果存在整数s ， t, 使得sa ＋tb ＝1，则【 】 A 。(a ， b)= c B. c ＝1 C 。c ＝sa ＋tb D 。 c ＝ 1 3、Fermat 定理：设p 是一个素数，则对任意整数a 有【 】 A 。 a p ＝1 (mod p ） B 。 a (p)＝1 （mod a ） C. a （p ）＝a (mod p ） D. a p ＝a (mod p ） 4、已知模41的一个原根是6,则下列也是41的原根的是【 】 A. 26 B. 36 C 。 46 D. 56 5、已知，),(88 z 是模8的剩余类加群，下述不正确的是【 】 A. ［1] 是生成元 B 。有3阶子群 C 。 [0] 是单位元 D 。有真子群 6、设〈R ，+， >是环，则下列不正确的是【 】 A 。 〈F ，+ 〉是可换群 B 。 信息安全数学基础部分习题答案 信息安全数学基础习题答案 第一章整数的可除性 1．证明：因为2|n 所以n=2k , k∈Z 5|n 所以5|2k ，又（5，2）=1，所以5|k 即k=5 k1，k1∈Z 7|n 所以7|2*5 k1 ,又（7，10）=1，所以7| k1即k1=7 k2，k2∈Z 所以n=2*5*7 k2即n=70 k2, k2∈Z 因此70|n 2．证明：因为a3-a=(a-1)a(a+1) 当a=3k，k∈Z 3|a 则3|a3-a 当a=3k-1，k∈Z 3|a+1 则3|a3-a 当a=3k+1，k∈Z 3|a-1 则3|a3-a 所以a3-a能被3整除。 3．证明：任意奇整数可表示为2 k0+1，k0∈Z （2 k0+1）2＝4 k02+4 k0+1=4 k0 (k0+1)+1 由于k0与k0+1为两连续整数，必有一个为偶数，所以k0 (k0+1)=2k 所以（2 k0+1）2=8k+1 得证。 4．证明：设三个连续整数为a-1,a,a+1 则(a-1)a(a+1)= a3-a 由第二题结论3|（a3-a）即3|(a-1)a(a+1) 又三个连续整数中必有至少一个为偶数，则2|(a-1)a(a+1) 又（3，2）=1 所以6|(a-1)a(a+1) 得证。 5．证明：构造下列k个连续正整数列： (k+1)！+2, (k+1)！+3, (k+1)！+4,……, (k+1)！+(k+1), k∈Z 对数列中任一数(k+1)！+i=i[(k+1)k…(i+1)(i-1)…2*1+1], i=2,3,4,…(k+1) 所以i|(k+1)！+i 即(k+1)！+i为合数 所以此k个连续正整数都是合数。 6．证明：因为1911/2＜14 ,小于14的素数有2，3，5，7，11，信息安全数学基础 练习题
信息安全数学基础习题集一
信息安全数学基础习题答案
信息安全数学基础试卷一
信息安全数学基础习题集一
信息安全数学基础参考试卷
信息安全数学基础习题答案
信息安全数学基础-作业答案.doc
信息安全数学基础第二版课后练习题含答案
(完整word版)信息安全数学基础试题
信息安全数学基础习题答案
版信息安全数学基础试题
(完整word版)信息安全数学基础试题
信息安全数学基础部分习题答案
- 初等数论答案到第四章
- 高中数学竞赛专题讲座---同余理论及其应用(一)
- 3 简化剩余系与欧拉函数
- 信息安全数学基础习题集一
- 高中数学竞赛数论
- 100的欧拉函数
- 模11的简化剩余系
- 第二章--同余---第七节--简化剩余系(2)
- 欧拉函数求法
- 模20的非负最小简化剩余系
- 模300的简化剩余系的个数
- 模12的最小非负简化剩余系
- 信息安全数学基础第一阶段知识总结
- 模8的简化剩余系
- 初等数论教案第二节剩余类与完全剩余系
- 高一联赛班春季班第12讲初等数论——费马小定理与阶
- 初等数论第三章同余
- 人教版B版高中数学选修4-6：剩余系和欧拉函数_课件2
- 简化剩余系与欧拉函数
- (6) 初等数论ppt第三章 简化剩余类、欧拉函数、RSA