模12的最小非负简化剩余系

模12的最小非负简化剩余系

首先，我们来了解一下什么是最小非负简化剩余系。在数学中，一个

简化剩余系可以看作是给定一个模数，然后将所有同余于该模数的数

放在一个集合中，这个集合就称为简化剩余系。而最小非负简化剩余

系则是在简化剩余系的基础上，使得集合中的数都是非负整数，并且

从0开始，直至模数减1。这个系列对于计算所有模数同余运算的答案

特别有用。

下面是模12的最小非负简化剩余系：

{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11}

可以看到，我们将所有同余于12的数都放入了一个集合中，并且从0

开始逐一往上加，直至11。这个集合中的数就是模12的最小非负简化

剩余系。

现在让我们来看几个例子，来了解一下模12的最小非负简化剩余系的

使用。

例1：计算10 + 9 (mod 12)

首先我们在模12的简化剩余系中找到10和9，它们分别对应着10和9。

我们将它们相加得到19，但是19不在最小非负简化剩余系中，因此我们需要将19减去12直到得到的数在最小非负简化剩余系中。这里，19 - 12 = 7，因此10 + 9 (mod 12) = 7。

例2：计算8 + 6 (mod 12)

同样地，在模12的最小非负简化剩余系中找到8和6，它们分别对应着8和6。将它们相加得到14，但是14不在该系列中，因此我们需要将14减去12直到得到的数在最小非负简化剩余系中。这里，14 - 12 = 2，因此8 + 6 (mod 12) = 2。

以上这些例子都是比较简单的，但是当数值较大或运算较复杂时，使用最小非负简化剩余系可以大大减少计算量，并且避免产生过多的溢出和误差。因此，在进行模运算时，使用最小非负简化剩余系是非常方便的。

同余理论

同余理论及其应用 东北育才学校 费振鹏 基础知识 一、定义 定义1：整数集Z 根据模正整数()1m m >来分类：若a 、b 被m 除的余数相同，则a 与b 属于同一类，否则不属于同一类．这样得到m 个类，即{}|Z,0,1,2,1i M i km k i m =+∈=- ．称之为模m 的剩余类（同余类）． 定义2：若整数a 、b 之差被正整数m 整除，称a 、b 关于模m 同余，记作()mod a b m ≡．即 ()()m o d a b m m a b ≡?-．从字面上理解，所属模m 的同一个剩余类的两个整数模m 同余． 定义3：在模m 的m 个剩余类中各取一个整数作为代表，这些代表的集合称为模m 的完全剩余系．简称完系． 定义4：绝对值不超过2m ?????? 的模m 的完系称为模m 的绝对最小完系．将0,1,2,,1m - 称为模m 的最小非负完系． 定义5：当模m 的某一剩余类i M 中某一整数与m 互质，由欧氏除法（辗转相除法）知i M 中每个数与m 均互质，则称此剩余类是模m 的缩剩余类（亦称简化剩余类）． 定义6：设m 为正整数，从1到m 的整数中与m 互质的整数的个数用()m ?表示，称()m ?为欧拉函数．模m 的缩剩余类（简化剩余类）也是()m ?个． 定义7：在模m 的()m ?个缩剩余类（简化剩余类）中各取一个整数作为代表，这些代表的集合称为模m 的缩剩余系（简化剩余系），简称缩系（简系）． 定义8：满足()1mod k a m ≡的最小正整数k 称为整数a 模m 的指数（阶）． 二、定理 定理1：同余的基本性质： ⑴()mod a a m ≡； ⑵若()mod a b m ≡，则()mod b a m ≡； ⑶若()mod a b m ≡，()mod b c m ≡，则()mod a c m ≡；

初等数论作业答案

初等数论 1：[单选题]已知361a是一个4位数（其中a是个位数），它能被5整除，也能被3整除，则a的值是（）。 A：0B：2C：5D：9参考答案：C 2：[单选题]下面的（）是模4的一个简化剩余系。 A：4,17B：1,15C：3,23D：13,6参考答案：B 3：[单选题]小于20的正素数的个数是（）。 A：11B：10C：9D：8参考答案：D 4：[单选题] 下面的数是3的倍数的数是（）。 A：19B：119C：1119D：11119参考答案：C 5：[单选题]-4除-39的余数是（）。 A：3B：2C：1D：0参考答案：C 6：[单选题]一个正整数n的各位上的数字是0或1，并且n能被2和3整除，则最小的n 是（）。 A：1110B：1101C：1011D：1001参考答案：A 7：[单选题][[4.5]+[3.7]]等于（）。 A：3B：4C：7D：8参考答案：C 8：[单选题]{{1.8}+{2.9}}等于（）。 A：0.4B：0.5C：0.6D：0.7参考答案：D 9：[单选题]100与44的最小公倍数是（）。 A：4400B：2200C：1100D：440参考答案：C 10：[单选题]使3的n次方对模7同余于1的最小的正整数n等于（）。 A：6B：2C：3D：13参考答案：A 11：[单选题]设a,b,c,d是模5的一个简化剩余系，则a+b+c+d对模5同余于（）。 A：0B：1C：2D：3参考答案：A 12：[单选题]下面的（）是不定方程3x + 7y = 20的一个整数解。 A：x=0,y=3B：x=2,y=1C：x=4,y=2D：x=2,y=2参考答案：D 13：[单选题]下面的（）是模4的一个完全剩余系。 A：9，17，-5，-1B：25，27，13，-1C：0，1，6，7D：1，-1，2，-2参考答案：C 14：[单选题]下面的（）是模12的一个简化剩余系。 A：0，1，5，11B：25，27，13，-1C：1，5，7，11D：1，-1，2，-2参考答案：C 15：[单选题]若a，b均为偶数，则a + b为（）。 A：偶数B：奇数C：正整数D：负整数参考答案：A 16：[单选题]1到20之间的素数是（）。 A：1，2，3，5，7，11，13，17，19B：2，3，5，7，11，13，17，19C：1，2，4，5，10，20D：2，3，5，7，12，13，15，17参考答案：B 17：[单选题]如果a|b，b|c，则（）。 A：a=cB：a=-cC：a|cD：c|a参考答案：C 18：[单选题]360与200的最大公约数是（）。 A：10B：20C：30D：40参考答案：D 19：[单选题]如果 a|b，b|a ，则（）。 A：a=bB：a=-bC：a=b或a=-bD：a，b的关系无法确定参考答案：C 20：[单选题]如果5|n ，7|n，则35（）n 。 A：不整除B：等于C：不一定D：整除参考答案：D 21：[单选题]整数6的正约数的个数是（）。 A：1B：2C：3D：4参考答案：D 22：[单选题]设n，m为整数，如果3整除n，3整除m，则9（）mn。 A：整除B：不整除C：等于D：小于参考答案：A 初等数论第二次作业 填空题 1．16除100的余数是 4 _。

初等数论期末复习题

一、填空 1. 若b 是任一正整数，则=),0(b 。 2. 若b 是任一整数，则=),0(b 。 3. [5.7]= {5.7}= [ 5.9]-= { 5.8}-= 4. [1.2]= =}2.1{ [ 1.2]-= =-}2.1{ 5. 写出标准分解式 (1)!20= . (2)30!= (3)32!= . 6. !20中质因数2的指数是 。在!40的标准分解式中质因数3的指数是 。 7. 同余式(mod )ax b m ≡有解的充要条件是 。 8. 不定方程ax by c +=，其中a,b 都是整数，且都不为零，方程有解的充分必要条件是 。 9. 设模为正整数m ，则整数的同余关系作为等价关系满足的三个基本性质是： (1) (自反性) ； (2) (对称性)若)(mod m b a ≡，则)(mod m a b ≡； (3) （传递性） 。 10. 写出模7的绝对最小完全剩余系： ，写出模7的最小非负完全剩余系： 模7的一组简化剩余系： . 11. 欧拉函数2(7)?= ， =)10(? ，=)37(? ，

=)120(? 。 12. 求最大公因数 (169, 121)= ，(1859, 1753)= ， (76501, 9719)= ，（48, 72, 108）= 。 13. 求最小公倍数 [21, 35 ]= ，[123, 321]= ，[138, 36]= ， [125, 725, 1125]= [128, 234, 524]= . 14. 写出82798848的标准分解式 。 15. 写出51480的标准分解式 。 二、判断 1.若)(mod m b a ≡，d 是m b a ,,的任一公因数，则)(mod d m d b d a =。 （ ） 2.模m 的一个简化剩余系中数的个数为1)(-m ?。（ ） 3.若)(m od 22m b a ≡成立，则)(mod m b a ≡。（ ） 4.若)2(mod b a ≡，则)2(mod 222b a ≡。 （ ） 5. 4063的十进制中后两位数是2和9。 （ ） 6. 30！的标准分解式中质因数13的指数是3. （ ） 7. 30！的标准分解式中质因数13的指数是2. （ ） 8. 180的标准分解式是53222??。（ ） 9. （198,252）=16. （ ） 10. 从260到545的整数中,是13倍数的整数有 22 个。( ) 11. 若)(mod m b a ≡，0,|>d m d ，则)(mod d b a ≡. （ ） 12. 同余式)5(m od 0421525103467≡-+--x x x x 是模5的七次同余式. （ ） 13. 若)(mod m b a ≡，0>k ，则)(mod mk bk ak ≡. （ ） 14. 若435693=a ，则a 既能被3整除也能被9整除。 （ ）

模12的最小非负简化剩余系

模12的最小非负简化剩余系 首先，我们来了解一下什么是最小非负简化剩余系。在数学中，一个 简化剩余系可以看作是给定一个模数，然后将所有同余于该模数的数 放在一个集合中，这个集合就称为简化剩余系。而最小非负简化剩余 系则是在简化剩余系的基础上，使得集合中的数都是非负整数，并且 从0开始，直至模数减1。这个系列对于计算所有模数同余运算的答案 特别有用。 下面是模12的最小非负简化剩余系： {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11} 可以看到，我们将所有同余于12的数都放入了一个集合中，并且从0 开始逐一往上加，直至11。这个集合中的数就是模12的最小非负简化 剩余系。 现在让我们来看几个例子，来了解一下模12的最小非负简化剩余系的 使用。 例1：计算10 + 9 (mod 12) 首先我们在模12的简化剩余系中找到10和9，它们分别对应着10和9。

我们将它们相加得到19，但是19不在最小非负简化剩余系中，因此我们需要将19减去12直到得到的数在最小非负简化剩余系中。这里，19 - 12 = 7，因此10 + 9 (mod 12) = 7。 例2：计算8 + 6 (mod 12) 同样地，在模12的最小非负简化剩余系中找到8和6，它们分别对应着8和6。将它们相加得到14，但是14不在该系列中，因此我们需要将14减去12直到得到的数在最小非负简化剩余系中。这里，14 - 12 = 2，因此8 + 6 (mod 12) = 2。 以上这些例子都是比较简单的，但是当数值较大或运算较复杂时，使用最小非负简化剩余系可以大大减少计算量，并且避免产生过多的溢出和误差。因此，在进行模运算时，使用最小非负简化剩余系是非常方便的。

剩余系

剩余系 一、基础知识： 对于任意正整数n而言，一个整数除以m所得的余数只能是0,1,2, …,n-1中的某一个。依次可将整数分成n个类（例如n＝2时，就是奇数或偶数），从每一类中各取一个数所组成的集合就称为模的一个完全剩余系，简称为模的完系。 定义1：如果一个剩余系中包含了这个正整数所有可能的余数（一般地，对于任意正整数n，有n个余数：0,1,2,...,n-1），那么就被称为是模n的一个完全剩余系。 定义2：剩余系：设模为m,则根据余数可将所有的整数分成m类，分别记成 [0],[1],[2],…[m-1]，这m个数{0,1,2,…m-1}称为一个完全剩余系，每个数称为相应类的代表元。 例如：当m=10则,{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} 最小非负完全 {-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4} 绝对值最小 {-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5} 绝对值最小 （一）根据剩余类的概念，很容易得到以下几条有关剩余类的性质： ①每一个整数一定包含在而且仅包含在模m的一个剩余类中 ②整数p所属的模m的剩余类中的每一个数都可以写成km+p的形式，这里k是整数 用符号p mod m表示p所属的模m的剩余类，这条性质写成数学表达式就是 p mod m= {p+km（k是整数）} ③整数p、q在模m的同一个剩余类中的充要条件是p、q对模m同余。这条性质用数学符号就可表示为：p mod m= q mod ≡q（mod m） 实际上，同余式就是剩余类等式的一个特殊情况，是集合中的一个元素，前面有关同余的一些性质对剩余类仍然成立。 这条性质表明，对于模m的两个剩余类要么相等，要么它们的交集为空集，因此，模m有且仅有m个剩余类，它们是： 0modm，1 mod m，2 mod m，…（m―1）mod m。 在解决一些有关模m余数的问题时，我们就可以查看m个数：0，1，2，…，m―1，从而得相应的剩余类的情况，使问题变得异常简单，具体例子，请看后面的例题。 ④在任意取定的m+1个整数中，必有两个整数对模m同余。 在解决一些有关模m余数的问题时，我们就可以查看m个数：0，1，2，…，m―1，从而得相应的剩余类的情况，使问题变得异常简单，具体例子，请看后面的例题。 ④在任意取定的m+1个整数中，必有两个整数对模m同余。 （二）根据同余式的性质，我们很容易得到剩余系的其它一些性质： ⑤m个整数x1，x2，…，x m是模m的一组完全剩余系的充要条件是x1，x2，…，x m 中的任意两个数对模m都不同余。 ⑥如果x1，x2，…，x m是模m的一组完全剩余系，那么对任意的整数c，x1+c，x2+c，…，x m+c也是模m的一组完全剩余系。 ⑦设k1，k2，…，k m是m个整数，如果x1，x2，…，x m是模m的一组完全剩余系，那么x1+k1m，x2+k2m，…，x m+k1m也是模m的一组完全剩余系。 二、典型例题： 1．求证：一定存在整数n，使4n2+27n―12能被5整除，并求出这些数。 分析：可以选模5的一个完全剩余系逐个验算，只要数a使4a2+27a―12能被5整除，那么剩余类a mod 5中的任何一个整数也满足条件。 解：取模5的一个完全剩余系0，1，2，3，4直接计算可知，3和4满足条件，所以使4n2+27n―12能被5整除的所有的整数是n≡3（mod 5）和n≡4（mod 5）。 2．求使2n-1为7的倍数的所有正整数n．

第7章习题答案

第7章习题答案 习题7 1.证明：当a≡b(mod m)时，对任何正整数，a n≡b n(mod m)。 证明当a≡b(mod m)时，a-b是m的倍数，故从a n-b n＝(a-b)(a n-1＋…＋b n-1)可知也是m的倍数，所以a n≡b n(mod m)。 2.设a、b是非零整数，m是满足m＞|a|＋|b|的正整数，证明：当a≡b(mod m)时，必有a＝b。 证明当a≡b(mod m)时，则存在整数k使得a-b＝mk，于是m＞|a|＋|b|?|a-b|＝m|k|，有|k|＜1，因而k＝0，故a＝b。 3.用弃九法证明： (1)4568×7391＝30746529；(2)16×937×1559＝23373528。 证明(1)因为4568≡4＋5＋6＋8≡5(mod 9)，7391≡7＋3＋9＋1≡2(mod 9)，30746529≡3＋7＋4＋6＋5＋2＋9≡0(mod 9)，而2×5≡/0(mod 9)，所以原式计算错误。 (2)因为16≡1＋6≡7(mo d 9)，937≡9＋3＋7≡1(mod 9)，1559≡1＋5＋5＋9≡2(mod 9)，23373528≡2＋3＋3＋7＋3＋5＋2＋8≡6(mod 9)，而7×1×2≡/6(mod 9)，所以原式计算错误。 4.完成定理7.9的证明。 证明（1）由定义立得。 （2）若a i＋b≡a j＋b(mod m)（0?i＜j?m-1)，则m|(a i-a j)，由(1)知此式不成立。所以a i＋b≡/a j＋b(mod m)（0?i＜j?m-1)，故a0＋b、a1＋b、…、a n-1＋b也是模m的一完全剩余系。 （3）若ba i≡ba j(mod m)（0?i＜j?m-1)，则m|b(a i-a j)，而(b，m)＝1，于是m|b(a i-a j)，由(1)知此式不成立。所以ba i≡/ba j(mod m)（0?i＜j?m-1)，故ba0、ba1、…、ba n-1也是模m的一完全剩余系。 （4）若a0、a1、…、a m－1是模m的一完全剩余系，且(b，m)＝1，由（3）知ba0、ba1、…、ba m－1是模m的一完全剩余系，再由（2）知ba0＋c、ba1＋c、…、ba m－1＋c也是模m的一完全

第三节 简化剩余系

初等数论第二章同余 第三节简化剩余系 在模m的完全剩余系中，与m互素的整数所成的集合有一些特殊的性质，我们要在这一节中对它们做些研究。 定义1 设R是模m的一个剩余类，若有a R，使得(a, m) = 1，则称R是模m的一个简化剩余类。 显然，若R是模的简化剩余类，则R中的每个整数都与m互素。 例如，模4的简化剩余类有两个： R1(4) = { , -7 , -3, 1 , 5 , 9 , }， R3(4) = { , -5 , -1 , 3 , 7 , 11 , }。 定义2对于正整数k，令函数ϕ(k)的值等于模k的所有简化剩余类的个数，称ϕ(k)为Eule r函数，或Eule r—ϕ函数。 例如，容易验证ϕ(2) = 1，ϕ(3) = 2，ϕ(4) = 2，ϕ(7) = 6。 显然，ϕ(m)就是在m的一个完全剩余系中与m互素的整数的个数。 定义3对于正整数m，从模m的每个简化剩余类中各取一个数x i，构成一个集合{x1, x2, ,xϕ(m)}，称为模m的一个简化剩余系（或简称为简化系）。 显然，由于选取方式的任意性，模m的简化剩余系有无穷多个。 例如，集合{9, -5, -3, -1}是模8的简化剩余系，集合{1, 3, 5, 7}也是模8的简化剩余系，通常称最小非负简化剩余系。 定理1整数集合A是模m的简化剩余系的充要条件是 (ⅰ) A中含有ϕ(m)个整数； (ⅱ) A中的任何两个整数对模m不同余； (ⅲ) A中的每个整数都与m互素。 证明留作习题。 定理2设a是整数，(a, m) = 1，B = {x1, x2, , xϕ(m)}是模m的简化剩余系，则集合A = {ax1, ax2, , axϕ(m)}也是模m的简化剩余系。 证明显然，集合A中有ϕ(m)个整数。其次，由于(a, m) = 1，所以，对于任意的x i（1 ≤i≤ϕ(m)），x i B，有(ax i, m) = (x i, m) = 1。因此，A中的每一个数都与m互素。最后，我们指出，A中的任何两个不同的整数对模m不同余。事实上，若有x', x B，使得 a x'ax(mod m)，

模30的简化剩余系

模30的简化剩余系 模30的简化剩余系是指对于任意整数a，求a除以30的余数所构成的集合。简化剩余系通常用集合中的最小非负整数表示。本文将围绕模30的简化剩余系展开讨论，探究其性质和应用。 一、模30的简化剩余系的定义和性质 模30的简化剩余系可以表示为{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29}。其中，0表示被30整除的数，其余数表示被30除后的余数。 1.1 模30的简化剩余系的元素个数为30个，且不重复。 1.2 模30的简化剩余系的最小非负整数为0，最大整数为29。 1.3 模30的简化剩余系中的元素两两互不相等。 1.4 对于任意整数a，它在模30的简化剩余系中的表示是唯一的。 以上性质保证了模30的简化剩余系的唯一性和完备性。 2.1 日历计算 模30的简化剩余系可以用于计算日历中的星期。将星期一到星期日分别用0到6表示，通过对日期取模30的余数，可以快速计算出任意日期是星期几。

例如，假设某年某月某日对应的模30的余数为x，可以通过查表或计算得知当x为0时，表示星期一，x为1时表示星期二，以此类推。 2.2 周期性计算 模30的简化剩余系的周期性特征可应用于周期性计算。例如，某任务每30天重复一次，可以通过取模30的余数来确定当前是第几天，从而判断是否需要执行该任务。 2.3 数字运算 模30的简化剩余系可以简化数字运算。对于大数相加、相减、相乘等运算，可以先对每个数取模30的余数，再进行运算，最后再取模30的余数得到结果。这样可以大大简化运算过程，减少计算量。 2.4 素数判定 模30的简化剩余系可以用于判定一个数是否为素数。根据数论知识，除了2和3之外的所有素数必然在模30的简化剩余系中的某个元素上。因此，通过将待判定的数模30取余，再与模30的简化剩余系中的元素进行比较，可以快速判断一个数是否为素数。 三、总结

初等数论练习题答案

初等数论练习题一 一、填空题 1、d(2420)=12; 0(2420)=_880_ 2、设比n是大于1的整数，若是质数，则a=_2. 3、模9的绝对最小完全剩余系是_卜4, -3, -2, -1,0,1,2,3,4}. 4、同余方程9x+12=0(mod 37)的解是x三11 (mod 37)。 5、不定方程18x-23y=100 的通解是x=900+23t, y=700+18t t Z。. 6、分母是正整数m的既约真分数的个数为—(山)_。 7、18100被172除的余数是_殛。 9、若p是素数，则同余方程L 1 l(modp)的解数为p-1 。 二、计算题 疋11X 20 0 (mod lO5)o 1、解同余方程： 3 解：因105 = 3 5 7, 同余方程3x211X 20 0 (mod 3)的解为x 1 (mod 3), 同余方程3x211X 38 0 (mod 5)的解为x0, 3 (mod 5), 同余方程3x211X 20 0 (mod 7啲解为x2, 6 (mod 7), 故原同余方程有4解。 作同余方程组：x (mod 3), x b2 (mod 5), x b3 (mod 7), 其中®=1, b2 = 0, 3, b3 = 2, 6, 由子定理得原同余方程的解为x 13, 55, 58, 100 (mod 105)o

2. 判断同余方程/三42(mod 107)是否有解? *3x7 2 3 7 )=(二)(一)(―-) 107 107 107 107 2 3 I 。， 2 v( —) = -1, ( — ) = (-1) 2 2 (ArL) = -<±) = L 107 107 3 3 .-.(—) = 1 107 故同余方程x 2三42(mod 107)有解。 3、求(12715C +34) 23除以ill 的最小非负余数。 解：易知 1271 = 50 (mod 111)0 由 502 =58 (mod 111) , 503 三58X50三 14 (mod 111), 509=143=80 (mod 111)知 502G = (509)彳x50三803X50三803x50三68x50三70 (mod 111) 从而 505C =16 (mod 11 l)o 故(12715C +34) 2c = (16+34) 20 =502G =70 (mod 111) 三、证明题 1、 已知p 是质数，(a,p) =1,证明： (1) 当 Q 为奇数时,a p l +(p-l)A =O (mod p); (2) 当a 为偶数时,衣三°(mod p)。 证明：由欧拉定理知右】三1 (mod p)及(p-1广三-1 (mod p)立得(1)和(2)成立。 2n 2、 设Q 为正奇数，n 为正整数，试证a =l(mod 2n+2)0 (1) 证明设n = 2m 1,当22=1时，有 = {2/n I)2 = 4m(/n 1) 1 1 (mod 23),即原式成立。 2* 设原式对于n = &成立，则有 a 1 (mod 2k+2) a 21 = 1 吐, 107 42 =(一1)—呼(凹 107 7

初等数论试卷

初等数论试卷 一、填空题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1.μ(2002)=_________； d(2002)=_________. 2.自然数225，226，…，240中的素数是_________. 3.n+2,2n+3,3n+1中必定互素的一组数是_________. 4.模7的绝对值最小简化剩余系是_________. 5.同余方程16x ≡6(mod 46)的解是_________. 6.不定方程3x+4y=5的通解是_________. 7.17|(2002n -1)，则正整数n 的最小值是_________. 8.满足j(n) =20的n 有多个，其中两个是_________. 9.弗罗贝纽斯(Frobenius)问题可表述为_________. 10.?? 17954 =_________. 二、计算题(本大题共3小题，第1，2小题各7分，第3小题9分，共23分) 1.判断下面同余方程组是否有解，如有解则求出其解： ≡≡≡9).5(mod x 20),7(mod x 15),2(mod x 2.试求不定方程y 2+x=x 2 +y-22的所有正整数解. 3.判断同余方程x 2≡62(mod 113)是否有解，如有解，则使用高斯(Gauss)逐步淘汰法求其解. 三、论证题(本大题共4小题，第1，2小题各8分，第3小题10分，第4题11分，共37 分) 1.试证一个正整数的平方，必与该正整数的各位数码字的和的平方，关于模9同余。 2.设(a,m)=1,x 通过模m 的一个简化剩余系，试证ax 也通过模m 的简化剩余系. 3.设F n =n 22+1，试证(F n ,F n+1)=1.

华中师范大学《初等数论》期末考试复习集

华中师范大学《初等数论》期末考试复习 集

单选题： 题目：如果（a,b)=1，则(ab,a+b)=（） A.a B.b C.1 D.a+b 正确选项：C 题目：取1元、2元、5元的硬币共10枚，付出18元，有（）种不同的付法 A.1 B.2 C.3 D.4 正确选项：C 题目：大于10且小于30的素数有（） A.4个 B.5个 C.6个 D.7个 正确选项：C 题目：7的7次方个位数是（） A.1 B.3 C.7 D.9 正确选项：B 题目：下面的（）是不定方程3x+7y=20的一个整数解 A.x=0,y=3 B.x=2,y=1 C.x=4,y=2 D.x=2,y=2 正确选项：D 题目：(12345,678)=( ). A.3 B.7 C.9 D.11 正确选项：A 题目：从236到781的整数中是11倍数的整数个数为（）. A.48 B.49 C.50 D.51 正确选项：C 题目：整数637693能被（）整除

A.3 B.5 C.7 D.9 正确选项：C 题目：下列结论正确的是（） A.若a^2≡b^2(modm)，则a≡b(modm) B.若a^2≡b^2(modm)，则a≡b(modm)或a≡-b(modm)至少有一个成立 C.若a≡b(modm)，则a^2≡b^2(modm^2) D.若a≡b(mod2)，则a^2≡b^2(mod4) 正确选项：D 题目：欧拉函数ψ(4)=（）. A.1 B.2 C.3 D.4 正确选项：B 题目：模5的最小非负完全剩余系是（） A.-2,-1,0,1,2 B.-5,-4,-3,-2,-1 C.1,2,3,4,5 D.0,1,2,3,4 正确选项：D 题目：同余方程7x≡1(mod31)解为（）. A.x≡6(mod31) B.x≡7(mod31) C.x≡8(mod31) D.x≡9(mod31) 正确选项：D 题目：（54,198）=（） A.3 B.6 C.9 D.18 正确选项：D 题目：157！的标准分解式中素数7的指数为（）. A.22 B.23 C.24 D.25 正确选项：D 题目：120以内仅有10个正约数的自然数有（）个 A.0 B.1 C.2

信息安全数学基础习题集一

信息安全数学基础----习题集一 一、填空题 1、设a=18、b=12，c=27，求a、b、c的最小公倍数[a,b,c]= . 2、求欧拉函数= . 3、设，则模的最小非负简化剩余系{ }. 4、设，则模的所有平方剩余= . 5、设，则模的所有原根个数= . 6. 设m，n是互素的两个正整数，则φ(mn)=________________。 7. 设m是正整数，a是满足的整数，则一次同余式：ax≡b (mod m)有解的充分必要条件是_________________ 。 8. 设m 是一个正整数，a是满足____________的整数，则存在整数a’，1≤a’＜m ，使得aa’≡1 (mod m)。 9. 设, 如果同余方程__________, 则叫做模的平方剩余. 10. 设, 则使得成立的最小正整数叫做对模的__________. 二、判断题（在题目后面的括号中，对的画“”，错的画“”） 1、若是任意正整数, 则. （） 2、设是个不全为零的整数，则与, ||, ||,…, ||的公因数相同（） 3、设是正整数, 若, 则或. （） 4、设为正整数, 为整数, , 且, 则

. （） 5、{1,-3,8,4,-10}是模5的一个完全剩余系. （） 6、设是素数, 模的最小非负完全剩余系和最小非负简化剩余系中元素个数相等. （） 7、设为奇素数, 模的平方剩余和平方非剩余的数量各为8. （） 8、一次同余方程有解. （） 9、设是素数, 是模的原根, 若, 则是的整数倍. （） 10、设, 则, …, 构成模的简化剩余系. （） 11. , 则. （） 12. 设是两个互素正整数, 那么, 则. （） 13. 设m是一个正整数, a,b,d都不为0，若ad≡bd(modm)。则a≡b(mod m)。 （） 14. 设为正整数, a是满足的整数，b为整数. 若为模的一个简化剩余系, 则也为模的一个简化剩余系. （） 15. p为素数,n为整数且与p互素，则n2为模p的平方剩余. （） 16. 设为正整数, 设, 则是模的平方剩余的充要条 件是: . （） 17. 3是模7的原根。（） 18. 设为正整数, 若，则

信息安全数学基础习题集一

信息安全数学基础习题 集一 集团档案编码：[YTTR-YTPT28-YTNTL98-UYTYNN08] 信息安全数学基础一一习题集一 一、填空题

1、设沪18、b二12, c二27,求d、b、c 的最小公倍数[a,b, c]=^ 2、求欧拉函数4>(3000)= 3、设=9,则模的最小非负简化剩余系={}. 4、设=11,则模的所有平方剩余三 5、设=22,则模的所有原根个数匚 6.设m, n是互素的两个正整数，则0(mn)二___________________ 。 7.设m是正整数，a是满足的整数，则一次同余式：ax^b(modm)有解的充分必 要条件是_________________ o 8.设m是一个正整数，a是满足的整数,则存在整数a' , 1W&' < m,使得aa' = 1 (modm) <> 9.设e ,( , ) = 1,如果同余方程-=(mod L ,则叫做模的平方剩余. 10 •设,e , >Z(‘)=厶则使得三7(mod )成立的最小正整数叫做对模的 二、判断题(在题日后面的括号中，对的画'丁 ” ,错的画“X”) 1、若是任意正整数，则(，)=(,).() 2、设”2…，是个不全为零的整数,则 b 2,与 V 1儿1丿，…，丨丨的公因数相同() 3、设是正整数，若 / ，则 /或/.() 4、设为正整数，，为整数，三(mod ),/且〉Q 则一三一(mod—)・ () 5、{1,-3, & 4,-10}是模5的一个完全剩余系. () 6、设是素数，模的最小非负完全剩余系和最小非负简化剩余系中元素个数相等. () 7、设=17为奇素数，模的平方剩余和平方非剩余的数量各为8. () 8、一次同余方程9 = 2(mod 24)有解. ()

信息安全数学基础习题集一

信息安全数学基础习题集一

信息安全数学基础----习题集一 一、填空题 1、设a=18、b=12，c=27，求a、b、c的最小公倍数[a,b,c]= . 2、求欧拉函数φ(3000)= . 3、设m=9，则模m的最小非负简化剩余系={ }. 4、设m=11，则模m的所有平方剩余= . 5、设m=22，则模m的所有原根个数= . 6. 设m，n是互素的两个正整数，则φ(mn)=________________。 7. 设m是正整数，a是满足 m∤a的整数，则一次同余式：ax≡b (mod m)有解的充分必要条件是_________________ 。 8. 设 m 是一个正整数，a是满足____________的整数，则存在整数a’，1≤a’＜m ，使得aa’≡1 (mod m)。 9. 设a∈Z,(a,m)=1, 如果同余方程x2≡a(mod m)__________, 则a 叫做模m的平方剩余. 10. 设a,m∈Z,m>1,(a,m)=1, 则使得a e≡1(mod m)成立的最小正整数e叫做a对模m的__________. 二、判断题（在题目后面的括号中，对的画“√”，错的画“×”） 1、若k是任意正整数, 则(ak,bk)=(a,b). （） 2、设a1,a2,…,a n是n个不全为零的整数，则a1,a2,…,a n与a1, |a2|, |a3|,…, |a n|的公因数相同（） 3、设m是正整数, 若m│ab, 则m│a或m│b. （） 4、设m为正整数, a,b为整数, a≡b(mod m), d│b且d>0, 则a d ≡ b d (mod m d ). （） 5、{1,-3,8,4,-10}是模5的一个完全剩余系. （） 6、设m是素数, 模m的最小非负完全剩余系和最小非负简化剩余系中元素

初等数论-网考题库

共 2 道大题，满分 100 分 一、单选题（共 25 道小题，共 50 分） 1. 如果a≡b(modm),c是任意整数，则（）（2 分） A. ac≡cb(modm) B. a=b C. a=c D. a≡bc(modm) 【答案】A 【解析】 2. 同余方程58x≡87(mod47)的解为（）.（2 分） A. x≡25(mod47) B. x≡29(mod47) C. x≡35(mod47) D. x≡37(mod47) 【答案】A 【解析】 3. 如果n是一个自然数，那么n(n+1)是（）（2 分） A. 奇数 B. 偶数 C. 奇数或偶数 D. 由n的奇偶性而定 【答案】B 【解析】 4. 下列各组数哪一组是模8的完全剩余系（）.（2 分） A. 1,3,5,7,9,11,13,15 B. 2,4,6,8,17,21,23 C. -7,-12,-17,-22,-27,-32,-37,-42 D. –2,–7,11,15,18,21,24,27 【答案】C 【解析】 5. 157！的标准分解式中素数7的指数为（）.（2 分） A. 22 B. 23 C. 24 D. 25 【答案】D 【解析】 6. 同余方程7x≡1(mod31)解为（）.（2 分） A. x≡6(mod31) B. x≡7(mod31) C. x≡8(mod31)

D. x≡9(mod31) 【答案】D 【解析】 7. 1001！中末尾0的个数为（）（2 分） A. 200 B. 238 C. 248 D. 249 【答案】D 【解析】 8. 整数6的正约数的个数是（）（2 分） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 9. 20以内的正素数有哪些（）（2 分） A. 1，2，3，5，7，11，13，17，19 B. 2，3，5，7，11，13，17，19 C. 1，2，4，5，10，20 D. 2，3，5，7，12，13，15，17 【答案】B 【解析】 10. 所有不超过156的正整数中，7的倍数有（）个（2 分） A. 20 B. 21 C. 22 D. 23 【答案】C 【解析】 11. 设n，m为整数，如果3|n,3|m，则9（）nm（2 分） A. 整除 B. 不整除 C. 等于 D. 小于 【答案】A 【解析】 12. 47的50次方的个位数为（）.（2 分） A. 1 B. 3 C. 7 D. 9 【答案】D

初等数论 1 习题参考答案

附录1 习题参考答案 第一章习题一 1. (ⅰ) 由a b知b = aq，于是b = (a)(q)，b = a(q)及b = (a)q，即a b，a b及a b。反之，由a b，a b及a b 也可得a b； (ⅱ) 由a b，b c知b = aq1，c = bq2，于是c = a(q1q2)，即a c； (ⅲ) 由b a i知a i= bq i，于是a1x1a2x2a k x k = b(q1x1 q2x2q k x k)，即b a1x1a2x2a k x k；(ⅳ) 由b a知a = bq，于是ac = bcq，即bc ac； (ⅴ) 由b a知a = bq，于是|a| = |b||q|，再由a 0得|q| 1，从而|a| |b|，后半结论由前半结论可得。 2. 由恒等式mq np= (mn pq) (m p)(n q)及条件m p mn pq可知m p mq np。 3. 在给定的连续39个自然数的前20个数中，存在两个自然数，它们的个位数字是0，其中必有一个的十位数字不是9，记这个数为a，它的数字和为s，则a, a 1, , a 9, a 19的数字和为s, s 1, , s 9, s 10，其中必有一个能被11整除。 4. 设不然，n1= n2n3，n2p，n3p，于是n = pn2n3p3，即p3n，矛盾。 5. 存在无穷多个正整数k，使得2k1是合数，对于这样的k，(k1)2

不能表示为a2p的形式，事实上，若(k 1)2= a2p，则(k 1 a)( k 1 a) = p，得k 1 a = 1，k 1 a = p，即p = 2k 1，此与p为素数矛盾。 第一章习题二 1. 验证当n =0,1，2，… ,11时，12|f(n)。 2.写a = 3q1r1，b = 3q2r2，r1, r2 = 0, 1或2，由3a2b2 = 3Q r12r22知r1 = r2 = 0，即3a且3b。 3.记n=10q+r, (r=0,1,…,9)，则n k+4-n k被10除的余数和r k+4-r k=r k(r4-1)被10 除的余数相同。对r=0,1,…,9进行验证即可。 4. 对于任何整数n，m，等式n2 (n 1)2 = m2 2的左边被4除的余数为1，而右边被4除的余数为2或3，故它不可能成立。 5 因a4 3a2 9 = (a2 3a 3)( a2 3a 3)，当a = 1，2时，a2 3a 3 = 1，a4 3a2 9 = a2 3a 3 = 7，13，a4 3a2 9是素数；当a 3时，a2 3a 3 > 1，a2 3a 3 > 1，a4 3a2 9是合数。 6. 设给定的n个整数为a1, a2, , a n，作 s1 = a1，s2 = a1a2，，s n = a1a2a n， 如果s i中有一个被n整除，则结论已真，否则存在s i，s j，i < j，使得s i与s j 被n除的余数相等，于是n s j s i = a i + 1a j。