模8的简化剩余系

模8的简化剩余系

1 概述

模8的简化剩余系（Simplified Residue Number System，简称SRNS），又称模8简化残存系统，是一种用来处理电子计算机数据的

方法，通过使用模8的残差数字来进行算术操作来实现快速的计算机

流程。SRNS通过模8算法將數據轉換為模8殘數表示，計算數據通過

對模8殘數擴展，達到快速計算的目的。由於SRNS基於模8數字格式，它比傳統的梯度和九位的系統更為便捷，更為簡單。同時SRNS也可以

搭配浮點數操作，以更合理的精度完成运算。

2 优势

其主要优势包括：（1）易于实现。SRNS在构建方面比九位残余系统简单得多，可以大大简化实现步骤，提高实际应用率。（2）快速。SRNS不仅可以比九位残余系统更快地提取残余，而且每个操作也非常快，因此在实际运算中可以更快地处理数据。（3）低耗能。SRNS可以著名地更加有效地消耗计算机的能量，可以节省对计算机的电池使用

以及节省计算机的温度升高，从而大大提升计算机的随后环境效应。（4）可扩展性。SRNS可以很容易地扩展到多位模拟，因此可以更有效地处理复杂的运算。

3 应用

SRNS已经逐渐被广泛应用于科学和工程计算，尤其在密码技术，

声讯技术，多媒体处理，可编程逻辑阵列以及模式识别等领域中发挥

着重要作用。

SRNS也可以用于数据库和供应链管理系统中，通过使用高效的数

字方式存储和处理信息，可以更快地提取有用的信息，進而提高系統

的效率。

此外，SRNS也可以用于可穿戴式设备，如智能手表，运动饮料，

以及其他物联网设备，以便快速准确地获取信息。

4 结论

模8的简化剩余系（SRNS）是一种基於模8残差数字格式的高效

计算方法，SRNS可以有效减少数据转换及操作的耗费，提高数据计算

和处理的效率。SRNS被广泛用于密码技术，数据库管理，可穿戴式设

备等领域，是一种非常有用的计算方法。尽管SRNS可以擴展到多位

模拟，以便更有效地处理复杂的数值计算，但它的实现仍然相对简单，以及有利的低耗能特性，使它成为目前最为受欢迎的计算技术之一。

模8的简化剩余系

模8的简化剩余系 1 概述 模8的简化剩余系（Simplified Residue Number System，简称SRNS），又称模8简化残存系统，是一种用来处理电子计算机数据的 方法，通过使用模8的残差数字来进行算术操作来实现快速的计算机 流程。SRNS通过模8算法將數據轉換為模8殘數表示，計算數據通過 對模8殘數擴展，達到快速計算的目的。由於SRNS基於模8數字格式，它比傳統的梯度和九位的系統更為便捷，更為簡單。同時SRNS也可以 搭配浮點數操作，以更合理的精度完成运算。 2 优势 其主要优势包括：（1）易于实现。SRNS在构建方面比九位残余系统简单得多，可以大大简化实现步骤，提高实际应用率。（2）快速。SRNS不仅可以比九位残余系统更快地提取残余，而且每个操作也非常快，因此在实际运算中可以更快地处理数据。（3）低耗能。SRNS可以著名地更加有效地消耗计算机的能量，可以节省对计算机的电池使用 以及节省计算机的温度升高，从而大大提升计算机的随后环境效应。（4）可扩展性。SRNS可以很容易地扩展到多位模拟，因此可以更有效地处理复杂的运算。

3 应用 SRNS已经逐渐被广泛应用于科学和工程计算，尤其在密码技术， 声讯技术，多媒体处理，可编程逻辑阵列以及模式识别等领域中发挥 着重要作用。 SRNS也可以用于数据库和供应链管理系统中，通过使用高效的数 字方式存储和处理信息，可以更快地提取有用的信息，進而提高系統 的效率。 此外，SRNS也可以用于可穿戴式设备，如智能手表，运动饮料， 以及其他物联网设备，以便快速准确地获取信息。 4 结论 模8的简化剩余系（SRNS）是一种基於模8残差数字格式的高效 计算方法，SRNS可以有效减少数据转换及操作的耗费，提高数据计算 和处理的效率。SRNS被广泛用于密码技术，数据库管理，可穿戴式设 备等领域，是一种非常有用的计算方法。尽管SRNS可以擴展到多位 模拟，以便更有效地处理复杂的数值计算，但它的实现仍然相对简单，以及有利的低耗能特性，使它成为目前最为受欢迎的计算技术之一。

初等数论教案第二节剩余类与完全剩余系

第二节剩余类与完全剩余系 第三节缩系 教学目的：1、掌握剩余类与完全剩余系的定义与基本性质； 2、掌握缩系的定义与基本性质； 3、证明及应用Wilson定理； 4、证明及应用Fermat小定理、Euler定理的证明及应用； 5、掌握Euler函数计算方法及其基本性质. 教学重点：1、剩余类与完全剩余系的基本性质； 2、证明及应用Wilson定理； 3、证明及应用Fermat小定理； 4、掌握Eule『函数计算方法及其基本性质. 教学课时：8课时 教学过程 一、剩余类与完全剩余系 由上一节我们知道，同余关系满足自反性、对称性、传递性，即对于整数集来说，同余是一个等价关系.这样，可以按同余关系将所有的整数分类. 1、定义1给定正整数加，对于每个整数「，0

而且，属于同一剩余类的任何两个整数对模皿是同余的，不同剩余类中的任何两个整数对模”?是不同余的. 例如，模5的五个剩余类是 K()(5)={…，—10,—5, 0,5, 10,…} &(5)={ ..,-9,-4 J,6 JI,-.- } 心5)={ -,-8,-3,2,7,12,--- } 心5)={ -,-7,-2,3,8,13,--. } 辰(5)={…，_6,—1,4,9,14,…} 2、定义2设〃是正整数，从模加的每一个剩余类中任取一个 数尢(0 < z < m - 1 称集合｛xo, 口…丸加-1｝是模加的一个完全剩余系(或简称为完全系)・ 由于占的选取是任意的，所以模加的完全剩余系有无穷多个，通常称 (i)｛0,1, 2,…，加一1｝是模m的最小非负完全剩余系; —~ + 1, •••, — 1, 0, 1, •••, — }(当2 I AH)或(ii) 乎…—…耳}(当2") 是模血的绝对最小完全剩余系. 例如,集合｛0,6,7, 13,24｝是模5的一个完全剩余系,集合｛0, 1,2, 3,4｝是模5的最小非负完全剩余系. 3.定理1整数集合A是模〃的完全剩余系的充要条件是 (i) A中含有血个整数; (ii)A中任何两个整数对模血不同余.

初等数论练习题

初等数论练习题 信阳职业技术学院 2010年12月

一、填空题 1、d(2420)= (2420)=? 2、设a,n是大丁1的整数，若a n-1是质数，贝U a= 3、模9的绝对最小完全剩余系是o 4、同余方程9x+12三0(mod 37)的解是 5、不定方程18x-23y=100的通解是。 6、分母是正整数m的既约真分数的个数为。 7、18100被172除的余数是o 103 9、若p是素数，则同余方程x p 1 1(mod p)的解数为。 二、计算题 1、解同余方程：3x2 11x 20 0 (mod 105)。 2、判断同余方程x2三42(mod 107)是否有解？ 3、求(127156+34) 28除以111的最小非负余数。 三、证明题 1、已知p是质数，(a,p) =1,证明： (1) 当a 为奇数时,a°-1+(p-1)^= 0 (mod p); (2) 当a 为偶数时,a p-1-(p-1) a=0 (mod p)。 2n 2、设a为正奇数，n为正整数，试证a 三1(mod 2n+2)0 3、设p 是一个素数，且1V k< p-1。证明：C p 1 (-1 ) k(mod p)。 一、填空题

1、d(1000)=;(T(1000)=o 2、2010!的标准分解式中，质数11的次数是。 3、费尔马(Fermat)数是指Fn=22n+1,这种数中最小的合数Fn中的n=。 4、同余方程13x=5(mod 31)的解是。 5、分母不大丁m的既约真分数的个数为。 6、设7 I (80n-1),则最小的正整数n=0 7、使41x+15y=C无非负整数解的最大正整数C=。 8、竺= 。 101 --------------------- 9、若p是质数，n p 1 ,则同余方程x n 1 (mod p)的解数为。 二、计算题 2004、- , ■一…* … 1、试求20022003被19除所得的余数。 2、解同余方程3x14 4x10 6x 18 0 (mod 5)。 3、已知a=5,m=21，求使a x 1 (mod m)成立的最小自然数x。 三、证明题 1、试证13|(54m+46n+2000)。(提示：可取模13进行计算性证明)。 2、证明Wilson定理的逆定理：若n > 1,并且(n 1)! 1 (mod n),贝U n是素数。 3、证明：设P s表示全部由1组成的s位十进制数，若P s是素数，则s也是一个素数 4、证明：若2p 1 是奇素数，WJ (p!)2 ( 1)p 0 (mod 2p 1)。 、单项选择题 1、若n>1, (n)=n-1是n为质数的( )条件。 A.必要但非充分条件 B. 充分但非必要条件

初等数论作业答案

初等数论 1：[单选题]已知361a是一个4位数（其中a是个位数），它能被5整除，也能被3整除，则a的值是（）。 A：0B：2C：5D：9参考答案：C 2：[单选题]下面的（）是模4的一个简化剩余系。 A：4,17B：1,15C：3,23D：13,6参考答案：B 3：[单选题]小于20的正素数的个数是（）。 A：11B：10C：9D：8参考答案：D 4：[单选题] 下面的数是3的倍数的数是（）。 A：19B：119C：1119D：11119参考答案：C 5：[单选题]-4除-39的余数是（）。 A：3B：2C：1D：0参考答案：C 6：[单选题]一个正整数n的各位上的数字是0或1，并且n能被2和3整除，则最小的n 是（）。 A：1110B：1101C：1011D：1001参考答案：A 7：[单选题][[4.5]+[3.7]]等于（）。 A：3B：4C：7D：8参考答案：C 8：[单选题]{{1.8}+{2.9}}等于（）。 A：0.4B：0.5C：0.6D：0.7参考答案：D 9：[单选题]100与44的最小公倍数是（）。 A：4400B：2200C：1100D：440参考答案：C 10：[单选题]使3的n次方对模7同余于1的最小的正整数n等于（）。 A：6B：2C：3D：13参考答案：A 11：[单选题]设a,b,c,d是模5的一个简化剩余系，则a+b+c+d对模5同余于（）。 A：0B：1C：2D：3参考答案：A 12：[单选题]下面的（）是不定方程3x + 7y = 20的一个整数解。 A：x=0,y=3B：x=2,y=1C：x=4,y=2D：x=2,y=2参考答案：D 13：[单选题]下面的（）是模4的一个完全剩余系。 A：9，17，-5，-1B：25，27，13，-1C：0，1，6，7D：1，-1，2，-2参考答案：C 14：[单选题]下面的（）是模12的一个简化剩余系。 A：0，1，5，11B：25，27，13，-1C：1，5，7，11D：1，-1，2，-2参考答案：C 15：[单选题]若a，b均为偶数，则a + b为（）。 A：偶数B：奇数C：正整数D：负整数参考答案：A 16：[单选题]1到20之间的素数是（）。 A：1，2，3，5，7，11，13，17，19B：2，3，5，7，11，13，17，19C：1，2，4，5，10，20D：2，3，5，7，12，13，15，17参考答案：B 17：[单选题]如果a|b，b|c，则（）。 A：a=cB：a=-cC：a|cD：c|a参考答案：C 18：[单选题]360与200的最大公约数是（）。 A：10B：20C：30D：40参考答案：D 19：[单选题]如果 a|b，b|a ，则（）。 A：a=bB：a=-bC：a=b或a=-bD：a，b的关系无法确定参考答案：C 20：[单选题]如果5|n ，7|n，则35（）n 。 A：不整除B：等于C：不一定D：整除参考答案：D 21：[单选题]整数6的正约数的个数是（）。 A：1B：2C：3D：4参考答案：D 22：[单选题]设n，m为整数，如果3整除n，3整除m，则9（）mn。 A：整除B：不整除C：等于D：小于参考答案：A 初等数论第二次作业 填空题 1．16除100的余数是 4 _。

3 简化剩余系与欧拉函数

§3 简化剩余系与欧拉函数 定义 欧拉函数()n ϕ是一个定义在正整数集上的函数，()n ϕ的值等于系列 0,1, ,1n -中与n 互质的整数的个数。 ()()() ()11,21,32,42, ϕϕϕϕ=== = 当1n >时，()0.n n ϕ<<当p 为质数时，() 1.p p ϕ=- 定义 如果一个模m 的剩余类里的数与m 互质（在模m 的一个剩余类中，只要有其中 一个数和m 互质，则该剩余类中所有的数就都与m 互质），就把它叫做一个与m 互质的剩余类. 在与m 互质的全部剩余类中，各取一个数所组成的一组数，叫做模m 的一个简化剩 余系. 定理1 模m 的一个简化剩余系含有()m ϕ个数. 证 模m 的全部剩余类是011,, ,m K K K -. 因为,0,1, ,1r r K r m ∈=-， 所以对每个()01r r m ≤≤-，r K 是一个与m 互质的剩余类的充要条件是(), 1.r m =因此，在模m 的 全部剩余类011,, ,m K K K -中，与m 互质的全部剩余类是满足条件()01,,1 r m r m ≤≤-=的所有剩余类r K . 这样的剩余类公有()m ϕ个，故由简化剩余系的定义知，模m 的简化剩余系含有()m ϕ个数. 定理2 若()1, ,m a a ϕ是()m ϕ个与m 互质的整数，则()1, ,m a a ϕ是模m 的一个简化 剩余系的充要条件是它们两两对模m 不同余. 证 必要性 设()12,, ,m a a a ϕ是模m 的一个简化剩余系，则由简化剩余系的定义，这 ()m ϕ个数是取自模m 的不同剩余类的，故这()m ϕ个数两两对模m 不同余. 充分性 设与m 互质的()m ϕ个整数()12,, ,m a a a ϕ两两对模不同余. 因每个整数都与 m 互质， 故每个整数都属于一个与m 互质的剩余类. 因这()m ϕ个整数两两对模m 不同余，故这()m ϕ个整数分别属于不同的与m 互质的剩余类. 另一方面，与m 互质的剩余类共有 ()m ϕ个，故()12,,,m a a a ϕ分别属于这()m ϕ个与m 互质的剩余类，故()12,,,m a a a ϕ是 模m 的一个简化剩余系.

Z(08)理科 初等数论学期末B答案

《初等数论》试卷答案及评分标准 考试时间：120分钟考试方式：闭卷 班级：专业： 一、填空题（本大题共有3题，每题3分，9分。） 1、b整除a的含义是设 a,b为整数，a≠0. 若有一整数q, 使得 b = aq, 则称 a 是b的因数为是a的倍数; 并称a整除b, 记为a|b, 2、给定一正整数m, 若用m去除两个整数a和b所得余数相同, 则称a为对模m 同余, 记作a≡b(mod m); 若余数不同, 则称 a为对模m不同余, 记作a≠b(mod m). 3、()8 27100化为十进制数是多少 二、判断题（本大题共3题，每小题2分，共6分。） 1、已知a,b，c为整数，a≠0. b≠0.若a|b且b|c, 则a|c.√ 2、只能被1和它本身整除的整数, 称为素数; 否则, 称为合数.× 3、任何大于1的整数均可被一素数整除, 或者说都至少有一素因数. √ 三、选择题（本大题共3题，每小题3分，共9分） 1、a,b为整数,m为正整数,则以下三个结论正确的是（ 123 ） ①自反性: a≡a (mod m). ②对称性: 若a≡b(mod m), 则 b≡a(mod m). ③传递性: 若a≡b(mod m), b≡c(mod m), 则: a≡c(mod m). 2、若a≡b(mod m), c≡d(mod m),命题① ax+cy ≡ bx+dy(mod m), 其中x和y为任给整数.② ac ≡ bd(mod m).③ an ≡ bn(mod m), 其中 n＞0. 则真命题有（D）A、0个 B、1个 C、2个 D、3个 3、若a|b, 则以下结论正确的是（ ABCD ） A、(-a)|b B、a|(-b), C、b| a D、|a|||b|. 四：计算题(本大题共3题，每小题6分，共18分) 1、求(1859,1573) 解法1：由辗转相除法知： 1859=1573×1＋286(3分) 1573＝286×5＋143 286=143×2 ∴（1859,1573）＝143(3分)

初等数论期末考试试卷张

初等数论试卷(B) 一，选择题（满分15分，每题3分） 1，下列不正确的是（ ） A 设m ∈+N ，a ,b ∈Z ,若)(mod m b a ≡ ，则)(mod m a b ≡。 B 设m ∈+N ，a ,b ,c ∈Z ,若)(mod m c b a ≡+,则)(mod m b c a -≡. C 设m ∈+N ，,,11b a 22,b a ∈Z ，,若)(mod 11m b a ≡，)(mod 22m b a ≡，则 )(m o d 2121m b b a a ≡。 D 设m ∈+N ，a ,b ∈Z ,若)(mod 22m b a ≡ ，则)(mod m b a ≡。 2，下列哪一个为模12互质的剩余类（ ） A [2]，B [5]，C [6]，D [3]。 3，下列哪一个有理数不可以化为有限小数（ ） A 203，B 607，C 51，D 100 19。 4，同余方程)5(mod 022≡+x 的解为（ ） A )5(mod 0≡x ， B )5(mod 4≡x ， C )5(mod 2≡x ， D 此方程无解。 5，下列哪一个同余方程组无解（ ） A ?????≡≡)10(mod 7)25(mod 9x x ， B ?????≡≡)6(mod 1)9(mod 4x x C ?????≡≡)45(mod 2)25(mod 17x x ， D ?? ???≡≡)7(mod 26)14(mod 19x x 。 二，填空题（满分10分，每题2分） 1，当m = 时，)(mod 1132m ≡和)(mod 1117m ≡同时成立。 2，设m ∈+N ，则 为模m 的非负最小完全剩余系。 3，=)16(? 。 4，写出模8的一个简化剩余系： 。 5，余式)5(mod a x ≡等价于等式： 。 三，判断题（满分10分，每题2分 ）

信息安全数学基础参考试卷

《信息安全数学基础》参考试卷 一．选择题(在每小题的备选答案中只有一个正确答案，将正确答案序号填入下列叙述中的括号内，多选不给分)：（每题2分，共20分）1．576的欧拉函数值?(576) ＝()。 (1) 96，(2) 192，(3) 64，(4) 288。 2．整数kn和k(n+2)的最大公因数(kn , k(n+2))=()。 (1) 1或2，(2) | kn|， (3) | n|或| kn|，(4) | k|或2| k|。 3．模10的一个简化剩余系是( )。 (1) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10，(2) 11, 17, 19 , 27 (3) 11, 13, 17, 19，(4) 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9。 4．29模23的逆元是( )。 (1) 2，(2) 4， (3) 6，(4) 11。 5．设m1，m2是两个正整数，x1遍历模m1的完全剩余系，x2遍历模m2的完全剩余系，若( )遍历m1m2的完全剩余系。 (1) (m1，m2)=1，则m1x1＋m2x2(2) m1和m2是素数，则m1x1＋m2x2 (3) (m1，m2)=1，则m2x1＋m1x2(4)m1和m2是素数，则m2x1＋m1x2 6．下面的集合和运算构成群的是( ) 。 (1) （N是自然数集，“＋”是加法运算） (2) （R是实数集，“×”是乘法运算） (3) （Z是整数集，“＋”是加法运算） (4) （P(A)＝{U | U是A的子集}是集合A的幂集，“∩”是集合的交运算） 7．下列各组数对任意整数n均互素的是( ) 。 (1) 3n+2与2n，(2) n－1与n2＋n＋1，(3) 6n+2与7n，(4) 2n+1与4n+1。 8．一次同余式234x ≡ 30（mod 198）的解数是( )。 (1) 0，(2) 6， (3) 9，(4) 18。

剩余系

剩余系 一、基础知识： 对于任意正整数n而言，一个整数除以m所得的余数只能是0,1,2, …,n-1中的某一个。依次可将整数分成n个类（例如n＝2时，就是奇数或偶数），从每一类中各取一个数所组成的集合就称为模的一个完全剩余系，简称为模的完系。 定义1：如果一个剩余系中包含了这个正整数所有可能的余数（一般地，对于任意正整数n，有n个余数：0,1,2,...,n-1），那么就被称为是模n的一个完全剩余系。 定义2：剩余系：设模为m,则根据余数可将所有的整数分成m类，分别记成 [0],[1],[2],…[m-1]，这m个数{0,1,2,…m-1}称为一个完全剩余系，每个数称为相应类的代表元。 例如：当m=10则,{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} 最小非负完全 {-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4} 绝对值最小 {-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5} 绝对值最小 （一）根据剩余类的概念，很容易得到以下几条有关剩余类的性质： ①每一个整数一定包含在而且仅包含在模m的一个剩余类中 ②整数p所属的模m的剩余类中的每一个数都可以写成km+p的形式，这里k是整数 用符号p mod m表示p所属的模m的剩余类，这条性质写成数学表达式就是 p mod m= {p+km（k是整数）} ③整数p、q在模m的同一个剩余类中的充要条件是p、q对模m同余。这条性质用数学符号就可表示为：p mod m= q mod ≡q（mod m） 实际上，同余式就是剩余类等式的一个特殊情况，是集合中的一个元素，前面有关同余的一些性质对剩余类仍然成立。 这条性质表明，对于模m的两个剩余类要么相等，要么它们的交集为空集，因此，模m有且仅有m个剩余类，它们是： 0modm，1 mod m，2 mod m，…（m―1）mod m。 在解决一些有关模m余数的问题时，我们就可以查看m个数：0，1，2，…，m―1，从而得相应的剩余类的情况，使问题变得异常简单，具体例子，请看后面的例题。 ④在任意取定的m+1个整数中，必有两个整数对模m同余。 在解决一些有关模m余数的问题时，我们就可以查看m个数：0，1，2，…，m―1，从而得相应的剩余类的情况，使问题变得异常简单，具体例子，请看后面的例题。 ④在任意取定的m+1个整数中，必有两个整数对模m同余。 （二）根据同余式的性质，我们很容易得到剩余系的其它一些性质： ⑤m个整数x1，x2，…，x m是模m的一组完全剩余系的充要条件是x1，x2，…，x m 中的任意两个数对模m都不同余。 ⑥如果x1，x2，…，x m是模m的一组完全剩余系，那么对任意的整数c，x1+c，x2+c，…，x m+c也是模m的一组完全剩余系。 ⑦设k1，k2，…，k m是m个整数，如果x1，x2，…，x m是模m的一组完全剩余系，那么x1+k1m，x2+k2m，…，x m+k1m也是模m的一组完全剩余系。 二、典型例题： 1．求证：一定存在整数n，使4n2+27n―12能被5整除，并求出这些数。 分析：可以选模5的一个完全剩余系逐个验算，只要数a使4a2+27a―12能被5整除，那么剩余类a mod 5中的任何一个整数也满足条件。 解：取模5的一个完全剩余系0，1，2，3，4直接计算可知，3和4满足条件，所以使4n2+27n―12能被5整除的所有的整数是n≡3（mod 5）和n≡4（mod 5）。 2．求使2n-1为7的倍数的所有正整数n．

10的简化剩余系

10的简化剩余系 简化剩余系是数论中一个重要的概念，它在解决整数的除法问题时起到了关键作用。简化剩余系指的是对于给定的整数m，我们可以找到一组整数{r1, r2, ..., rn}，使得对于任意的整数a，都存在唯一的ri满足a ≡ ri (mod m)。 在了解简化剩余系之前，我们先来了解一下模运算。模运算是将一个数除以另一个数，得到的余数。例如，6除以4的余数是2，可以用符号表示为6 ≡ 2 (mod 4)。模运算在数论中经常被使用，它可以帮助我们研究整数的性质和推导一些结论。 简化剩余系的概念就是基于模运算而来。当我们考虑一个整数a时，可以将它表示为a = qm + r，其中q是商，r是余数。我们可以将 r视为a在模m下的简化剩余。简化剩余系的关键在于，对于给定的m，我们可以找到一组整数{r1, r2, ..., rn}，使得它们在模m 下都是不同的，并且对于任意的整数a，都存在唯一的ri满足a ≡ ri (mod m)。 简化剩余系在解决整数除法问题时非常有用。例如，我们想要求解一个整数b除以m的余数，我们可以利用简化剩余系来简化计算过程。首先，我们找到一个在模m下等于b的整数ri，然后我们可以将b表示为b = qm + ri，其中q是商。这样，我们就可以得到b 除以m的余数为ri。

简化剩余系还可以用来解决同余方程。同余方程指的是形如ax ≡ b (mod m)的方程，其中a、b和m都是整数，x是未知数。通过简化剩余系，我们可以找到同余方程的解。首先，我们找到一个在模m下等于b的整数ri，然后我们可以将同余方程表示为ax = qm + ri，其中q是商。我们可以通过对等式两边同时乘以a的逆元来消去a，得到x = (ri * a^-1 - q)m的形式。这样，我们就可以得到同余方程的解x。 简化剩余系还有很多其他的应用。例如，在密码学中，简化剩余系被广泛应用于RSA算法和离散对数问题的求解。在计算机科学中，简化剩余系可以用来进行哈希函数的设计和散列算法的实现。在代数学中，简化剩余系是研究同余环和模运算的基础。 总结来说，简化剩余系是数论中一个重要的概念，它在解决整数的除法问题和同余方程时起到了关键作用。通过简化剩余系，我们可以简化计算过程，得到有效的解。简化剩余系还有很多其他的应用，在不同领域中发挥着重要的作用。对于数论的研究和应用而言，简化剩余系是一个不可或缺的工具。

大学初等数论期末试卷三套

一、填空题(本大题共10小题，每小题4分，共40分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1.μ(2002)=_________； d(2002)=_________. 2.自然数225，226，…，240中的素数是_________. 3.n+2,2n+3,3n+1中必定互素的一组数是_________. 4.模7的绝对值最小简化剩余系是_________. 5.同余方程16x ≡6(mod 46)的解是_________. 6.不定方程3x+4y=5的通解是_________. 7.17|(2002n -1)，则正整数n 的最小值是_________. 8.满足ϕ(n) =20的n 有多个，其中两个是_________. 9.弗罗贝纽斯(Frobenius)问题可表述为_________. 10.⎪⎭ ⎫ ⎝⎛17954 =_________. 二、计算题(本大题共3小题，第1，2小题各7分，第3小题9分，共23分) 1.判断下面同余方程组是否有解，如有解则求出其解： ⎪⎩ ⎪⎨⎧≡≡≡9).5(mod x 20),7(mod x 15),2(mod x 2.试求不定方程y 2+x=x 2+y-22的所有正整数解. 3.判断同余方程x 2≡62(mod 113)是否有解，如有解，则使用高斯(Gauss)逐步淘汰法求其解. 三、论证题(本大题共4小题，第1，2小题各8分，第3小题10分，第4题11 分，共37分) 1.试证一个正整数的平方，必与该正整数的各位数码字的和的平方，关于模9同余。

2.设(a,m)=1,x 通过模m 的一个简化剩余系，试证ax 也通过模m 的简化剩余系. 3.设F n =n 22+1，试证(F n ,F n+1)=1. 4.试证在两继自然数的平方之间，不存在四个自然数a

第三节 简化剩余系

初等数论第二章同余 第三节简化剩余系 在模m的完全剩余系中，与m互素的整数所成的集合有一些特殊的性质，我们要在这一节中对它们做些研究。 定义1 设R是模m的一个剩余类，若有a R，使得(a, m) = 1，则称R是模m的一个简化剩余类。 显然，若R是模的简化剩余类，则R中的每个整数都与m互素。 例如，模4的简化剩余类有两个： R1(4) = { , -7 , -3, 1 , 5 , 9 , }， R3(4) = { , -5 , -1 , 3 , 7 , 11 , }。 定义2对于正整数k，令函数ϕ(k)的值等于模k的所有简化剩余类的个数，称ϕ(k)为Eule r函数，或Eule r—ϕ函数。 例如，容易验证ϕ(2) = 1，ϕ(3) = 2，ϕ(4) = 2，ϕ(7) = 6。 显然，ϕ(m)就是在m的一个完全剩余系中与m互素的整数的个数。 定义3对于正整数m，从模m的每个简化剩余类中各取一个数x i，构成一个集合{x1, x2, ,xϕ(m)}，称为模m的一个简化剩余系（或简称为简化系）。 显然，由于选取方式的任意性，模m的简化剩余系有无穷多个。 例如，集合{9, -5, -3, -1}是模8的简化剩余系，集合{1, 3, 5, 7}也是模8的简化剩余系，通常称最小非负简化剩余系。 定理1整数集合A是模m的简化剩余系的充要条件是 (ⅰ) A中含有ϕ(m)个整数； (ⅱ) A中的任何两个整数对模m不同余； (ⅲ) A中的每个整数都与m互素。 证明留作习题。 定理2设a是整数，(a, m) = 1，B = {x1, x2, , xϕ(m)}是模m的简化剩余系，则集合A = {ax1, ax2, , axϕ(m)}也是模m的简化剩余系。 证明显然，集合A中有ϕ(m)个整数。其次，由于(a, m) = 1，所以，对于任意的x i（1 ≤i≤ϕ(m)），x i B，有(ax i, m) = (x i, m) = 1。因此，A中的每一个数都与m互素。最后，我们指出，A中的任何两个不同的整数对模m不同余。事实上，若有x', x B，使得 a x'ax(mod m)，

福师期末考试《初等数论》复习题及参考答案

福师期末考试《初等数论》复习题及参考答案 复习题及参考答案一 一、填空(40%) 1 、求所有正约数的与等于15的最小正数为 考核知识点：约数，参见P14-19 2、若1 211,,,b b b 是模11的一个完全剩余系，则 121181,81, ,81b b b +++也是模11的 剩余系. 考核知识点：完全剩余系，参见P54-57 3．模13的互素剩余系为 考核知识点：互素剩余系，参见P58 4.自176到545的整数中是13倍数的整数个数为 考核知识点：倍数，参见P11-13 5、如果 p 是素数,a 是任意一个整数,则a 被p 整除或者 考核知识点：整除，参见P1-4 6、 b a ,的公倍数是它们最小公倍数的 .

考核知识点：最小公倍数，参见P11-13 7、如果b a ,是两个正整数,则存在 整数r q ,,使r bq a +=,b r ≤0. 考核知识点：整除，参见P1-4 8、如果n 3，n 5，则15（ ）n . 考核知识点：整除，参见P1-4 二、(10%)试证：6|n(n+1)(2n+1)，这里n 是任意整数。 考核知识点：整除的性质，参见P9-12 提示： i)若 则 ii)若 则 iii)若 则 又 三、(10%)假定a 是任意整数，求证a a (mod )++≡2 103或 a a (mod )+≡203 考核知识点：二次同余式，参见P88 提示:要证明原式成立，只须证明231a a ++，或者2 3a a +成立即可。 四、（10％）设p 是不小于5的素数，试证明2 1(mod24)p ≡ 考核知识点：同余的性质，参见P48-52 提示： 且 是不小于5的素数． 又 且是不小于5的素数．

第二章--同余---第七节--简化剩余系(2)

初 等 数 论 （16） （第二章 同余 第七节 简化剩余系（2）） 一、复习 二、例题 例2 什么样的正整数满足 ϕ (2x ) = ϕ (3x ) 解 设x =2a 3b y ，其中ab 为非负整数，y |6/ 。 若b > 0，（a 、b 大于或等于0）则 ϕ (2x ) =ϕ (2a +1) ϕ (3b ) ϕ (y ) =2a ×3b -1×(3-1)ϕ (y ) ϕ (3x ) =ϕ (2a ) ϕ (3b +1) ϕ (y ) =2a -1×3b ×(3-1)ϕ (y ) 这时ϕ (2x )和ϕ (3x )不会相等。 所以在ϕ (2x ) =ϕ (3x )时，b = 0，x =2a y 。这时， ϕ (2x ) =2a ×ϕ (y )，ϕ (3x ) =2×ϕ (2a )×ϕ (y ) 由ϕ (2x ) = ϕ (3x )得 ϕ (2a ) =2a -1， (a > 0) 故 x =2a y ，a 为正整数，y |6/ 。 例如 x = 215×35，则 ϕ (2×215×35) =215×ϕ (35) ϕ (3×215×35) =（3 - 1）×214×ϕ (35) 例3 证明：n n 41)(= ϕ不可能成立。 证明 若n n 4 1)(=ϕ，则n 4。设 k p p p n αααα 21212=，其中p i 为奇质数，a ≥ 2，则 k k p p p n αααα 2121224 1-= )1()1(2)(111211121--=----k k p p p p p n k ααααϕ，于是 )1()1)(1(22121---=k k p p p p p p 上式右边为偶数，左边为奇数，矛盾。

初等数论期末考试试卷张

初等数论试卷 (B) 一，选择题 （满分 15 分，每题 3 分） 1，下列不正确的是（ ） A 设 m ∈ N ， a , b ∈ Z , 若 a b(mod m) ，则 b a(mod m) 。 B 设 m ∈ N ， a , b , c ∈ Z , 若 a b c(mod m) , 则 a c b(mo d m) . C 设 m ∈ N ， a 1 ,b 1 , a 2 ,b 2 ∈ Z ， , 若 a 1 b 1 (mod m) ， a 2 b 2 (mod m) ， 则 a 1 a 2 b 1b 2 ( m o md) 。 D 设 m ∈ N ， a , b ∈ Z , 若 a 2 b 2 (mod m) ，则 a b(mod m) 。 2，下列哪一个为模 12 互质的剩余类（ ） A [2] ，B [5] ，C [6]， D [3] 。 3，下列哪一个有理数不可以化为有限小数（ ） A 3 ， B 7 ， C 1 ， D 19 。 20 60 5 100 4，同余方程 x 2 2 0(mod 5) 的解为（ ） A x 0(mod 5) ， B x 4(mod 5) ， C x 2(mod 5) ， D 此方程无解。 5，下列哪一个同余方程组无解（ ） x 9(mod 25) x 4(mod 9) A ， B x 7(mod 10) x 1(mod 6) x 17(mod 25) x 19(mod14) C ， D 。 x 2(mod 45) x 26(mod 7) 二，填空题（满分 10 分，每题 2 分） 1，当 m = 时， 32 11(mod m) 和 17 11(mod m) 同时成立。 2，设 m ∈ N ，则 为模 m 的非负最小完全剩余系。 3， (16) 。 4，写出模 8 的一个简化剩余系： 。 5，余式 x a(mod 5) 等价于等式： 。 三，判断题（满分 10分，每题 2 分 ）

初等数论试卷模拟试题和答案

初等数论试卷一 一、 单项选择题：（1分/题×20题=20分） １．设x 为实数，[]x 为x 的整数部分，则( ) Ａ．[][]1x x x ≤<+； Ｂ．[][]1x x x <≤+； Ｃ．[][]1x x x ≤≤+； Ｄ．[][]1x x x <<+． ２．下列命题中不正确的是( ) Ａ．整数12,,,n a a a 的公因数中最大的称为最大公因数； Ｂ．整数12,, ,n a a a 的公倍数中最小的称为最小公倍数 Ｃ．整数a 与它的绝对值有相同的倍数 Ｄ．整数a 与它的绝对值有相同的约数 ３．设二元一次不定方程ax by c +=（其中,,a b c 是整数，且,a b 不全为零）有一整数解 ()00,,,x y d a b =，则此方程的一切解可表为( ) Ａ．00,,0,1,2,;a b x x t y y t t d d =- =+=±± Ｂ．00,,0,1,2, ;a b x x t y y t t d d =+=-=±± Ｃ．00,,0,1,2, ;b a x x t y y t t d d =+=-=±± Ｄ．00,,0,1,2, ;b a x x t y y t t d d =-=-=±± ４．下列各组数中不构成勾股数的是( ) Ａ．５，１２，１３； Ｂ．７，２４，２５； Ｃ．３，４，５； Ｄ．８，１６，１７ ５．下列推导中不正确的是( ) Ａ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a b b m ≡≡⇒+≡+ Ｂ．()()()11221212mod ,mod mod ;a b m a b m a a bb m ≡≡⇒≡ Ｃ．()()111212mod mod ;a b m a a b a m ≡⇒≡ Ｄ．()()112 2 11mod mod .a b m a b m ≡⇒≡ ６．模１０的一个简化剩余系是( ) Ａ．0,1,2, ,9; Ｂ．1,2,3,,10;