模20的非负最小简化剩余系

模20的非负最小简化剩余系

简化剩余系是一种用于求解有限的模量化运算系统的一种数学方法。它可以很容易地搜索一个解，并通过减少重复的计算，有效地帮助解决模20的非负最小简

化剩余系问题。首先，将模20的非负最小简化剩余系分解为三个部分，即增大部分、重新组合部分和最小单元部分。

增大部分主要是将每个项的最小值增大一个较小的值，使得项的两个模不同。比如，令X mod 20 =1，那么增大部分就是把X加1，同理，当X mod 40＝21时，就可以把X加上2，使得X mod 40＝1，有着此类的增大处理，若使每个词的最小值都增大一个较小的值，它的精准性也会被增大。

重新组合部分是根据原来的数字，重新将它们由离散的变为一个整体，这样就可以把原本由小单元组成的多项式，变为一个大的单元，这样就可以减少大量写出、构造的劳动。而最小单元部分就是将变量化的单元，拆解成小的数据单元来求解，将大的词表进行分解再处理的步骤，可以有效控制解决所花费的时间与空间。

通过以上三个步骤，模20的非负最小简化剩余系就可以得到解决。它根据各

种不同的限制条件和约束条件，结合数学工具，有效地找到一个最优解，使得最大的组合或最小的部分可以获得更高的精度，从而将模20的非负最小简化剩余系问

题得到解决。

信息安全数学基础习题集一

信息安全数学基础----习题集一 一、填空题 1、设a=18、b=12，c=27，求a、b、c的最小公倍数[a,b,c]= . 2、求欧拉函数= . 3、设，则模的最小非负简化剩余系{ }. 4、设，则模的所有平方剩余= . 5、设，则模的所有原根个数= . 6. 设m，n是互素的两个正整数，则φ(mn)=________________。 7. 设m是正整数，a是满足的整数，则一次同余式：ax≡b (mod m)有解的充分必要条件是_________________ 。 8. 设m 是一个正整数，a是满足____________的整数，则存在整数a’，1≤a’＜m ，使得aa’≡1 (mod m)。 9. 设, 如果同余方程__________, 则叫做模的平方剩余. 10. 设, 则使得成立的最小正整数叫做对模的__________. 二、判断题（在题目后面的括号中，对的画“”，错的画“”） 1、若是任意正整数, 则. （） 2、设是个不全为零的整数，则与, ||, ||,…, ||的公因数相同（） 3、设是正整数, 若, 则或. （） 4、设为正整数, 为整数, , 且, 则

. （） 5、{1,-3,8,4,-10}是模5的一个完全剩余系. （） 6、设是素数, 模的最小非负完全剩余系和最小非负简化剩余系中元素个数相等. （） 7、设为奇素数, 模的平方剩余和平方非剩余的数量各为8. （） 8、一次同余方程有解. （） 9、设是素数, 是模的原根, 若, 则是的整数倍. （） 10、设, 则, …, 构成模的简化剩余系. （） 11. , 则. （） 12. 设是两个互素正整数, 那么, 则. （） 13. 设m是一个正整数, a,b,d都不为0，若ad≡bd(modm)。则a≡b(mod m)。 （） 14. 设为正整数, a是满足的整数，b为整数. 若为模的一个简化剩余系, 则也为模的一个简化剩余系. （） 15. p为素数,n为整数且与p互素，则n2为模p的平方剩余. （） 16. 设为正整数, 设, 则是模的平方剩余的充要条 件是: . （） 17. 3是模7的原根。（） 18. 设为正整数, 若，则

初等数论模拟试题

初等数论(2013)模拟试题 一、单项选择题(在每小题的四个备选答案中，选出一个正确的答案，并将其代码填入题干后的括号内。每小题2分) 1. 从1到82的整数中，3的倍数有( ) A ．25个 B ．26个 C ．27个 D ．28个 2. 100至500的正整数中，能被17整除的个数是 ( ) A ．23 B ．24 C ．25 D ．26 3. 整数a 和a -被6除时的最小非负剩余分别是2和r ，则r =( ) A ．-4 B ．-2 C ．2 D ．4 4. 30被-7除的带余除法表达式是( ) A ．30=(-7)×(-5)-5 B ．30=(-7)×(-4)+2 C ．30=(-7)×(-3)+9 D ．30=(-7)×(-6)-12 5. 已知,a b 是整数，如果223|a b +，则 ( ) A ．a |3或b |3 B ．a |3且b |3 C ．3|,3|a b / D ．b a +|3 6. 对于任意整数n ，最大公因数(,)n n +-2161的所有可能值是( ) A ．1 B ．1，2 C ．1，4 D ．1，2，4 7. 已知(,)1a b =，则(53,138)a b a b ++的值为 ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 8. 下列数中是质数的是( ) A ．101 B ．111 C ．121 D ．141 9. 在整数100! 50!末尾的连续的0 的个数是( ) A ．2 B ．12

C ．24 D ．36 10. 设,m n 是整数，下列式子中一定不成立的是 （ ） A. 2313+=-n m B. 1501=+n m C. 052=+n m D. 2717-=+n m 11. 180的正因数个数是 （ ） A. 15 B. 16 C. 17 D. 18 12. 模100的最小非负简化剩余系中元素的个数是( )。 A ．100 B ．10 C ．40 D ．4 13. 从满足以下要求的整数中，能选取出模20的简化剩余系的是( ) A ．2的倍数 B ．3的倍数 C ．4的倍数 D ．5的倍数 14. 下列四个数中，个位数是3的是( ) A ．32000 B ．5324 C ．56789 D ．131313 15. 以下四个分数不能化为纯循环小数的是( ) A ．3715 B ．875139 C ．139 D ．171 16. 下列分数能写成纯循环小数的是 （ ） A. 12001 B. 641 C. 331 D. 3081 17. 下列各组数中不是模9的完全剩余系的是 （ ） A. 8,7,6,5,4,3,2,1,0 B. 9,8,7,6,5,4,3,2,1 C. 10,9,8,7,6,5,4,3,2 D. 3,2,1,1,2,3,4,5,6--- 18. 下列各数中，能被11整除的数是 （ ） A. 75523 B. 868967 C. 1095874 D. 38635 19. 下列多元不定方程无整数解的是( )

初等数论知识点汇总

第一节 整数的p 进位制及其应用 正整数有无穷多个，为了用有限个数字符号表示出无限多个正整数，人们发明了进位制，这是一种位值记数法。进位制的创立体现了有限与无限的对立统一关系，近几年来，国与国际竞赛中关于“整数的进位制”有较多的体现，比如处理数字问题、处理整除问题及处理数列问题等等。在本节，我们着重介绍进位制及其广泛的应用。 基础知识 给定一个m 位的正整数A ，其各位上的数字分别记为021,,,a a a m m ，则此数可以简记为：021a a a A m m （其中01 m a ）。 由于我们所研究的整数通常是十进制的，因此A 可以表示成10的1 m 次多项式，即 012211101010a a a a A m m m m ，其中1,,2,1},9,,2,1,0{ m i a i 且 01 m a ，像这种10的多项式表示的数常常简记为10021)(a a a A m m 。在我们的日常 生活中，通常将下标10省略不写，并且连括号也不用，记作021a a a A m m ，以后我们所讲述的数字，若没有指明记数式的基，我们都认为它是十进制的数字。但是随着计算机的普及，整数的表示除了用十进制外，还常常用二进制、八进制甚至十六进制来表示。特别是现代社会人们越来越显示出对二进制的兴趣，究其原因，主要是二进制只使用0与1这两种数学符号，可以分别表示两种对立状态、或对立的性质、或对立的判断，所以二进制除了是一种记数方法以外，它还是一种十分有效的数学工具，可以用来解决许多数学问题。 为了具备一般性，我们给出正整数A 的p 进制表示： 012211a p a p a p a A m m m m ，其中1,,2,1},1,,2,1,0{ m i p a i 且 01 m a 。而m 仍然为十进制数字，简记为p m m a a a A )(021 。 第二节 整数的性质及其应用（1） 基础知识 整数的性质有很多，这里我们着重讨论整数的整除性、整数的奇偶性，质数与合数、完全平方数及整数的尾数等几个方面的应用。 1．整除的概念及其性质 在高中数学竞赛中如果不加特殊说明，我们所涉及的数都是整数，所采用的字母也表示整数。 定义：设b a ,是给定的数，0 b ，若存在整数c ，使得bc a 则称b 整除a ，记作a b |，并称b 是a 的一个约数(因子)，称a 是b 的一个倍数，如果不存在上述c ，则称b 不能整除a 记作b a 。 由整除的定义，容易推出以下性质： (1)若c b |且a c |，则a b |(传递性质)；

第二讲-同余(数论复赛辅导)

第二讲 同余 一.基础知识 1.定义1. 设m 是正整数，若用m 去除整数b a ,，所得的余数相同，则称a 与b 关于模m 同余，记作)(mod m b a ≡，否则称a 与b 关于模m 不同余，记作a )(mod m b .例如：)15(mod 434≡， )7(mod 11000-≡，98(mod 2) 等等。 当m b <≤0时，)(mod m b a ≡，则称b 是a 对模m 的最小非负剩余。 对于固定的模m ，通常有下面的性质： 性质1. )(mod m b a ≡的充要条件是,a mt b t Z =+∈也即)(|b a m -。 性质2.同余关系满足以下规律： （1）（反身性）)(mod m a a ≡； （2）（对称性）若)(mod m b a ≡，则)(mod m a b ≡； （3）（传递性）若)(mod m b a ≡，)(mod m c b ≡，则)(mod m c a ≡； （4）（同余式相加）若)(mod m b a ≡，)(mod m d c ≡，则)(mod m d b c a ±≡±； （5）（同余式相乘）若)(mod m b a ≡，)(mod m d c ≡，则)(mod m bd ac ≡； 注意：① 反复利用（4）（5），可以对多于两个的（模相同的）同余式建立加、减和乘法的运算公式 ； ② 特别地，由（5）易推出：若)(mod m b a ≡，c k ,为整数且0>k ，则)(mod m c b c a k k ≡； ③ 同余式的消去律一般并不成立，即从)(mod m bc ac ≡未必能推出)(mod m b a ≡，可是我们却有以下结果：若)(mod m bc ac ≡，则??? ? ?? ≡),(mod c m m b a . 由此可以推出： （6）若,1),(=m c )(mod m bc ac ≡，则有)(mod m b a ≡，即在c 与m 互素时，可以在原同余式两边约去c 而不改变模. （7）若)(mod m b a ≡，d ｜m ，则)(mod d b a ≡； （8）若)(mod m b a ≡，0≠d ，则)(mod dm db da ≡； （9）若(mod )(1,2,,)i a b m i k ≡=L ，则12(mod [,,,])k a b m m m ≡L ， 特别地，若12,,,k m m m L 两两互素时，则有12(mod )k a b m m m ≡???L ；

初等数论期末复习题

一、填空 1. 若b 是任一正整数，则=),0(b 。 2. 若b 是任一整数，则=),0(b 。 3. [5.7]= {5.7}= [ 5.9]-= { 5.8}-= 4. [1.2]= =}2.1{ [ 1.2]-= =-}2.1{ 5. 写出标准分解式 (1)!20= . (2)30!= (3)32!= . 6. !20中质因数2的指数是 。在!40的标准分解式中质因数3的指数是 。 7. 同余式(mod )ax b m ≡有解的充要条件是 。 8. 不定方程ax by c +=，其中a,b 都是整数，且都不为零，方程有解的充分必要条件是 。 9. 设模为正整数m ，则整数的同余关系作为等价关系满足的三个基本性质是： (1) (自反性) ； (2) (对称性)若)(mod m b a ≡，则)(mod m a b ≡； (3) （传递性） 。 10. 写出模7的绝对最小完全剩余系： ，写出模7的最小非负完全剩余系： 模7的一组简化剩余系： . 11. 欧拉函数2(7)?= ， =)10(? ，=)37(? ，

=)120(? 。 12. 求最大公因数 (169, 121)= ，(1859, 1753)= ， (76501, 9719)= ，（48, 72, 108）= 。 13. 求最小公倍数 [21, 35 ]= ，[123, 321]= ，[138, 36]= ， [125, 725, 1125]= [128, 234, 524]= . 14. 写出82798848的标准分解式 。 15. 写出51480的标准分解式 。 二、判断 1.若)(mod m b a ≡，d 是m b a ,,的任一公因数，则)(mod d m d b d a =。 （ ） 2.模m 的一个简化剩余系中数的个数为1)(-m ?。（ ） 3.若)(m od 22m b a ≡成立，则)(mod m b a ≡。（ ） 4.若)2(mod b a ≡，则)2(mod 222b a ≡。 （ ） 5. 4063的十进制中后两位数是2和9。 （ ） 6. 30！的标准分解式中质因数13的指数是3. （ ） 7. 30！的标准分解式中质因数13的指数是2. （ ） 8. 180的标准分解式是53222??。（ ） 9. （198,252）=16. （ ） 10. 从260到545的整数中,是13倍数的整数有 22 个。( ) 11. 若)(mod m b a ≡，0,|>d m d ，则)(mod d b a ≡. （ ） 12. 同余式)5(m od 0421525103467≡-+--x x x x 是模5的七次同余式. （ ） 13. 若)(mod m b a ≡，0>k ，则)(mod mk bk ak ≡. （ ） 14. 若435693=a ，则a 既能被3整除也能被9整除。 （ ）

模12的最小非负简化剩余系

模12的最小非负简化剩余系 首先，我们来了解一下什么是最小非负简化剩余系。在数学中，一个 简化剩余系可以看作是给定一个模数，然后将所有同余于该模数的数 放在一个集合中，这个集合就称为简化剩余系。而最小非负简化剩余 系则是在简化剩余系的基础上，使得集合中的数都是非负整数，并且 从0开始，直至模数减1。这个系列对于计算所有模数同余运算的答案 特别有用。 下面是模12的最小非负简化剩余系： {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11} 可以看到，我们将所有同余于12的数都放入了一个集合中，并且从0 开始逐一往上加，直至11。这个集合中的数就是模12的最小非负简化 剩余系。 现在让我们来看几个例子，来了解一下模12的最小非负简化剩余系的 使用。 例1：计算10 + 9 (mod 12) 首先我们在模12的简化剩余系中找到10和9，它们分别对应着10和9。

我们将它们相加得到19，但是19不在最小非负简化剩余系中，因此我们需要将19减去12直到得到的数在最小非负简化剩余系中。这里，19 - 12 = 7，因此10 + 9 (mod 12) = 7。 例2：计算8 + 6 (mod 12) 同样地，在模12的最小非负简化剩余系中找到8和6，它们分别对应着8和6。将它们相加得到14，但是14不在该系列中，因此我们需要将14减去12直到得到的数在最小非负简化剩余系中。这里，14 - 12 = 2，因此8 + 6 (mod 12) = 2。 以上这些例子都是比较简单的，但是当数值较大或运算较复杂时，使用最小非负简化剩余系可以大大减少计算量，并且避免产生过多的溢出和误差。因此，在进行模运算时，使用最小非负简化剩余系是非常方便的。

剩余系

剩余系 一、基础知识： 对于任意正整数n而言，一个整数除以m所得的余数只能是0,1,2, …,n-1中的某一个。依次可将整数分成n个类（例如n＝2时，就是奇数或偶数），从每一类中各取一个数所组成的集合就称为模的一个完全剩余系，简称为模的完系。 定义1：如果一个剩余系中包含了这个正整数所有可能的余数（一般地，对于任意正整数n，有n个余数：0,1,2,...,n-1），那么就被称为是模n的一个完全剩余系。 定义2：剩余系：设模为m,则根据余数可将所有的整数分成m类，分别记成 [0],[1],[2],…[m-1]，这m个数{0,1,2,…m-1}称为一个完全剩余系，每个数称为相应类的代表元。 例如：当m=10则,{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} 最小非负完全 {-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4} 绝对值最小 {-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5} 绝对值最小 （一）根据剩余类的概念，很容易得到以下几条有关剩余类的性质： ①每一个整数一定包含在而且仅包含在模m的一个剩余类中 ②整数p所属的模m的剩余类中的每一个数都可以写成km+p的形式，这里k是整数 用符号p mod m表示p所属的模m的剩余类，这条性质写成数学表达式就是 p mod m= {p+km（k是整数）} ③整数p、q在模m的同一个剩余类中的充要条件是p、q对模m同余。这条性质用数学符号就可表示为：p mod m= q mod ≡q（mod m） 实际上，同余式就是剩余类等式的一个特殊情况，是集合中的一个元素，前面有关同余的一些性质对剩余类仍然成立。 这条性质表明，对于模m的两个剩余类要么相等，要么它们的交集为空集，因此，模m有且仅有m个剩余类，它们是： 0modm，1 mod m，2 mod m，…（m―1）mod m。 在解决一些有关模m余数的问题时，我们就可以查看m个数：0，1，2，…，m―1，从而得相应的剩余类的情况，使问题变得异常简单，具体例子，请看后面的例题。 ④在任意取定的m+1个整数中，必有两个整数对模m同余。 在解决一些有关模m余数的问题时，我们就可以查看m个数：0，1，2，…，m―1，从而得相应的剩余类的情况，使问题变得异常简单，具体例子，请看后面的例题。 ④在任意取定的m+1个整数中，必有两个整数对模m同余。 （二）根据同余式的性质，我们很容易得到剩余系的其它一些性质： ⑤m个整数x1，x2，…，x m是模m的一组完全剩余系的充要条件是x1，x2，…，x m 中的任意两个数对模m都不同余。 ⑥如果x1，x2，…，x m是模m的一组完全剩余系，那么对任意的整数c，x1+c，x2+c，…，x m+c也是模m的一组完全剩余系。 ⑦设k1，k2，…，k m是m个整数，如果x1，x2，…，x m是模m的一组完全剩余系，那么x1+k1m，x2+k2m，…，x m+k1m也是模m的一组完全剩余系。 二、典型例题： 1．求证：一定存在整数n，使4n2+27n―12能被5整除，并求出这些数。 分析：可以选模5的一个完全剩余系逐个验算，只要数a使4a2+27a―12能被5整除，那么剩余类a mod 5中的任何一个整数也满足条件。 解：取模5的一个完全剩余系0，1，2，3，4直接计算可知，3和4满足条件，所以使4n2+27n―12能被5整除的所有的整数是n≡3（mod 5）和n≡4（mod 5）。 2．求使2n-1为7的倍数的所有正整数n．

第三节 简化剩余系

初等数论第二章同余 第三节简化剩余系 在模m的完全剩余系中，与m互素的整数所成的集合有一些特殊的性质，我们要在这一节中对它们做些研究。 定义1 设R是模m的一个剩余类，若有a R，使得(a, m) = 1，则称R是模m的一个简化剩余类。 显然，若R是模的简化剩余类，则R中的每个整数都与m互素。 例如，模4的简化剩余类有两个： R1(4) = { , -7 , -3, 1 , 5 , 9 , }， R3(4) = { , -5 , -1 , 3 , 7 , 11 , }。 定义2对于正整数k，令函数ϕ(k)的值等于模k的所有简化剩余类的个数，称ϕ(k)为Eule r函数，或Eule r—ϕ函数。 例如，容易验证ϕ(2) = 1，ϕ(3) = 2，ϕ(4) = 2，ϕ(7) = 6。 显然，ϕ(m)就是在m的一个完全剩余系中与m互素的整数的个数。 定义3对于正整数m，从模m的每个简化剩余类中各取一个数x i，构成一个集合{x1, x2, ,xϕ(m)}，称为模m的一个简化剩余系（或简称为简化系）。 显然，由于选取方式的任意性，模m的简化剩余系有无穷多个。 例如，集合{9, -5, -3, -1}是模8的简化剩余系，集合{1, 3, 5, 7}也是模8的简化剩余系，通常称最小非负简化剩余系。 定理1整数集合A是模m的简化剩余系的充要条件是 (ⅰ) A中含有ϕ(m)个整数； (ⅱ) A中的任何两个整数对模m不同余； (ⅲ) A中的每个整数都与m互素。 证明留作习题。 定理2设a是整数，(a, m) = 1，B = {x1, x2, , xϕ(m)}是模m的简化剩余系，则集合A = {ax1, ax2, , axϕ(m)}也是模m的简化剩余系。 证明显然，集合A中有ϕ(m)个整数。其次，由于(a, m) = 1，所以，对于任意的x i（1 ≤i≤ϕ(m)），x i B，有(ax i, m) = (x i, m) = 1。因此，A中的每一个数都与m互素。最后，我们指出，A中的任何两个不同的整数对模m不同余。事实上，若有x', x B，使得 a x'ax(mod m)，

初等数论试卷

一、填空题(本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分)请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。 1. μ (2002)=_________ ； d(2002)=_________. 2. 自然数 225，226，…， 240 中的素数是_________. 3.n+2,2n+3,3n+1 中必定互素的一组数是_________. 4.模 7 的绝对值最小简化剩余系是_________. 5.同余方程 16x≡6(mod 46)的解是_________. 6.不定方程 3x+4y=5 的通解是_________. 7.17| (2002n-1)，则正整数 n 的最小值是_________. 8.满足 p(n) =20 的 n 有多个，其中两个是_________. 9.弗罗贝纽斯(Frobenius)问题可表述为_________. 10. 54 )| =_________. ( 179 ) 二、计算题(本大题共 3 小题，第 1，2 小题各 7 分，第 3 小题 9 分，共 23 分) 1.判断下面同余方程组是否有解，如有解则求出其解： (|x = 2(mod 15), 〈 |l 2.试求不定方程 y2+x=x2+y-22 的所有正整数解. 3.判断同余方程 x2 ≡62(mod 113)是否有解，如有解，则使用高斯(Gauss)逐步淘汰法求其解. 三、论证题(本大题共 4 小题，第 1，2 小题各 8 分，第 3 小题 10 分，第 4 题 11 分，共 37 分) 1.试证一个正整数的平方，必与该正整数的各位数码字的和的平方，关于模 9 同余。 2.设(a,m)=1,x 通过模 m 的一个简化剩余系，试证 ax 也通过模 m 的简化剩余系. 3.设 F n = 22n +1，试证(F n ,F n+1 )=1. 4.试证在两继自然数的平方之间，不存在四个自然数 a

第二章--同余---第七节--简化剩余系(2)

初 等 数 论 （16） （第二章 同余 第七节 简化剩余系（2）） 一、复习 二、例题 例2 什么样的正整数满足 ϕ (2x ) = ϕ (3x ) 解 设x =2a 3b y ，其中ab 为非负整数，y |6/ 。 若b > 0，（a 、b 大于或等于0）则 ϕ (2x ) =ϕ (2a +1) ϕ (3b ) ϕ (y ) =2a ×3b -1×(3-1)ϕ (y ) ϕ (3x ) =ϕ (2a ) ϕ (3b +1) ϕ (y ) =2a -1×3b ×(3-1)ϕ (y ) 这时ϕ (2x )和ϕ (3x )不会相等。 所以在ϕ (2x ) =ϕ (3x )时，b = 0，x =2a y 。这时， ϕ (2x ) =2a ×ϕ (y )，ϕ (3x ) =2×ϕ (2a )×ϕ (y ) 由ϕ (2x ) = ϕ (3x )得 ϕ (2a ) =2a -1， (a > 0) 故 x =2a y ，a 为正整数，y |6/ 。 例如 x = 215×35，则 ϕ (2×215×35) =215×ϕ (35) ϕ (3×215×35) =（3 - 1）×214×ϕ (35) 例3 证明：n n 41)(= ϕ不可能成立。 证明 若n n 4 1)(=ϕ，则n 4。设 k p p p n αααα 21212=，其中p i 为奇质数，a ≥ 2，则 k k p p p n αααα 2121224 1-= )1()1(2)(111211121--=----k k p p p p p n k ααααϕ，于是 )1()1)(1(22121---=k k p p p p p p 上式右边为偶数，左边为奇数，矛盾。

模30的简化剩余系

模30的简化剩余系 模30的简化剩余系是指对于任意整数a，求a除以30的余数所构成的集合。简化剩余系通常用集合中的最小非负整数表示。本文将围绕模30的简化剩余系展开讨论，探究其性质和应用。 一、模30的简化剩余系的定义和性质 模30的简化剩余系可以表示为{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29}。其中，0表示被30整除的数，其余数表示被30除后的余数。 1.1 模30的简化剩余系的元素个数为30个，且不重复。 1.2 模30的简化剩余系的最小非负整数为0，最大整数为29。 1.3 模30的简化剩余系中的元素两两互不相等。 1.4 对于任意整数a，它在模30的简化剩余系中的表示是唯一的。 以上性质保证了模30的简化剩余系的唯一性和完备性。 2.1 日历计算 模30的简化剩余系可以用于计算日历中的星期。将星期一到星期日分别用0到6表示，通过对日期取模30的余数，可以快速计算出任意日期是星期几。

例如，假设某年某月某日对应的模30的余数为x，可以通过查表或计算得知当x为0时，表示星期一，x为1时表示星期二，以此类推。 2.2 周期性计算 模30的简化剩余系的周期性特征可应用于周期性计算。例如，某任务每30天重复一次，可以通过取模30的余数来确定当前是第几天，从而判断是否需要执行该任务。 2.3 数字运算 模30的简化剩余系可以简化数字运算。对于大数相加、相减、相乘等运算，可以先对每个数取模30的余数，再进行运算，最后再取模30的余数得到结果。这样可以大大简化运算过程，减少计算量。 2.4 素数判定 模30的简化剩余系可以用于判定一个数是否为素数。根据数论知识，除了2和3之外的所有素数必然在模30的简化剩余系中的某个元素上。因此，通过将待判定的数模30取余，再与模30的简化剩余系中的元素进行比较，可以快速判断一个数是否为素数。 三、总结

第7章习题答案

第7章习题答案 习题7 1.证明：当a≡b(mod m)时，对任何正整数，a n≡b n(mod m)。 证明当a≡b(mod m)时，a-b是m的倍数，故从a n-b n＝(a-b)(a n-1＋…＋b n-1)可知也是m的倍数，所以a n≡b n(mod m)。 2.设a、b是非零整数，m是满足m＞|a|＋|b|的正整数，证明：当a≡b(mod m)时，必有a＝b。 证明当a≡b(mod m)时，则存在整数k使得a-b＝mk，于是m＞|a|＋|b|?|a-b|＝m|k|，有|k|＜1，因而k＝0，故a＝b。 3.用弃九法证明： (1)4568×7391＝30746529；(2)16×937×1559＝23373528。 证明(1)因为4568≡4＋5＋6＋8≡5(mod 9)，7391≡7＋3＋9＋1≡2(mod 9)，30746529≡3＋7＋4＋6＋5＋2＋9≡0(mod 9)，而2×5≡/0(mod 9)，所以原式计算错误。 (2)因为16≡1＋6≡7(mo d 9)，937≡9＋3＋7≡1(mod 9)，1559≡1＋5＋5＋9≡2(mod 9)，23373528≡2＋3＋3＋7＋3＋5＋2＋8≡6(mod 9)，而7×1×2≡/6(mod 9)，所以原式计算错误。 4.完成定理7.9的证明。 证明（1）由定义立得。 （2）若a i＋b≡a j＋b(mod m)（0?i＜j?m-1)，则m|(a i-a j)，由(1)知此式不成立。所以a i＋b≡/a j＋b(mod m)（0?i＜j?m-1)，故a0＋b、a1＋b、…、a n-1＋b也是模m的一完全剩余系。 （3）若ba i≡ba j(mod m)（0?i＜j?m-1)，则m|b(a i-a j)，而(b，m)＝1，于是m|b(a i-a j)，由(1)知此式不成立。所以ba i≡/ba j(mod m)（0?i＜j?m-1)，故ba0、ba1、…、ba n-1也是模m的一完全剩余系。 （4）若a0、a1、…、a m－1是模m的一完全剩余系，且(b，m)＝1，由（3）知ba0、ba1、…、ba m－1是模m的一完全剩余系，再由（2）知ba0＋c、ba1＋c、…、ba m－1＋c也是模m的一完全

信息安全数学基础习题集一

信息安全数学基础习题集一 信息安全数学基础----习题集一 一、填空题 1、设a=18、b=12，c=27，求a、b、c的最小公倍数[a,b,c]= . 2、求欧拉函数φ(3000)= . 3、设m=9，则模m的最小非负简化剩余系={ }. 4、设m=11，则模m的所有平方剩余= . 5、设m=22，则模m的所有原根个数= . 6. 设m，n是互素的两个正整数，则φ(mn)=________________。 7. 设m是正整数，a是满足m?a的整数，则一次同余式：ax≡b (mod m)有解的充分必要条件是_________________ 。 8. 设 m 是一个正整数，a是满足____________的整数，则存在整数a’，1≤a’＜m ，使得aa’≡1 (mod m)。 9. 设a∈Z,(a,m)=1, 如果同余方程x2≡a(mod m)__________, 则a 叫做模m的平方剩余. 10. 设a,m∈Z,m>1,(a,m)=1, 则使得a e≡1(mo d m)成立的最小正整数e叫做a 对模m的__________. 二、判断题（在题目后面的括号中，对的画“√”，错的画“×”） 1、若k是任意正整数, 则(ak,bk)=(a,b). （） 2、设a1,a2,…,a n是n个不全为零的整数，则a1,a2,…,a n与a1, |a2|, |a3|,…, |a n|的公因数相同（） 3、设m是正整数, 若m│ab, 则m│a或m│b. （） 4、设m为正整数, a,b为整数, a≡b(mod m), d│b且d>0, 则a d ≡b d (mod m d ). （）

信息安全数学基础习题集一

信息平安数学根底----习题集一 一、填空题 1、设a=18、b=12，c=27，求a、b、c的最小公倍数[a,b,c]= . 2、求欧拉函数φ(3000)= . 3、设m=9，那么模m的最小非负简化剩余系={ }. 4、设m=11，那么模m的所有平方剩余= . 5、设m=22，那么模m的所有原根个数= . 6. 设m，n是互素的两个正整数，那么φ(mn)=________________。 7. 设m是正整数，a是满足 m∤a的整数，那么一次同余式：ax≡b (mod m)有解的充分必要条件是_________________ 。 8. 设m 是一个正整数，a是满足____________的整数，那么存在整数a’，1≤a’＜m ，使得aa’≡1 (mod m)。 9. 设a∈Z,(a,m)=1, 如果同余方程x2≡a(mod m)__________, 那么a 叫做模m的平方剩余. 10. 设a,m∈Z,m>1,(a,m)=1, 那么使得a e≡1(mod m)成立的最小正整数e叫做a对模m的__________. 二、判断题〔在题目后面的括号中，对的画“√〞，错的画“×〞〕 1、假设k是任意正整数, 那么(ak,bk)=(a,b). 〔〕 2、设a1,a2,…,a n是n个不全为零的整数，那么a1,a2,…,a n与a1, |a2|, |a3|,…, |a n|的公因数相同〔〕 3、设m是正整数, 假设m│ab, 那么m│a或m│b. 〔〕 4、设m为正整数, a,b为整数, a≡b(mod m), d│b且d>0, 那么a d ≡ b d (mod m d ). 〔〕 5、{1,-3,8,4,-10}是模5的一个完全剩余系. 〔〕 6、设m是素数, 模m的最小非负完全剩余系和最小非负简化剩余系中元素个 数相等. 〔〕 7、设p=17为奇素数, 模p的平方剩余和平方非剩余的数量各为8.〔〕

信息安全数学基础习题集一修订稿

信息安全数学基础习题 集一 集团档案编码：[YTTR-YTPT28-YTNTL98-UYTYNN08]

信息安全数学基础----习题集一 一、填空题 1、设a=18、b=12，c=27，求a、b、c的最小公倍数[a,b,c]=. 2、求欧拉函数φ(3000)=. 3、设m=9，则模m的最小非负简化剩余系={}. 4、设m=11，则模m的所有平方剩余=. 5、设m=22，则模m的所有原根个数=. 6.设m，n是互素的两个正整数，则φ(mn)=________________。 7.设m是正整数，a是满足mm的整数，则一次同余式：ax≡b(modm)有解的充分必要条件是_________________。 8.设m是一个正整数，a是满足____________的整数，则存在整数a’，1≤a’＜m，使得aa’≡1(modm)。 9.设m∈m,(m,m)=1,如果同余方程m2≡m(mod m)__________,则m叫做模m 的平方剩余. 10.设m,m∈m,m>1,(m,m)=1,则使得m m≡1(mod m)成立的最小正整数m叫做m对模m的__________. 二、判断题（在题目后面的括号中，对的画“√”，错的画“×”） 1、若m是任意正整数,则(mm,mm)=(m,m). （） 2、设m1,m2,…,m m是m个不全为零的整数，则m1,m2,…,m m与 m1,|m2|,|m3|,…,|m m|的公因数相同（） 3、设m是正整数,若m│mm,则m│m或m│m.（） 4、设m为正整数,m,m为整数,m≡m(mod m),m│m且m>0,则m m ≡m m (mod m m ). （） 5、{1,-3,8,4,-10}是模5的一个完全剩余系. （） 6、设m是素数,模m的最小非负完全剩余系和最小非负简化剩余系中元素个数相等.（） 7、设m=17为奇素数,模m的平方剩余和平方非剩余的数量各为8. （） 8、一次同余方程9m≡1(mod24)有解. （）

初等数论练习题答案

初等数论练习题一 一、填空题 1、d(2420)=12; 0(2420)=_880_ 2、设比n是大于1的整数，若是质数，则a=_2. 3、模9的绝对最小完全剩余系是_卜4, -3, -2, -1,0,1,2,3,4}. 4、同余方程9x+12=0(mod 37)的解是x三11 (mod 37)。 5、不定方程18x-23y=100 的通解是x=900+23t, y=700+18t t Z。. 6、分母是正整数m的既约真分数的个数为—(山)_。 7、18100被172除的余数是_殛。 9、若p是素数，则同余方程L 1 l(modp)的解数为p-1 。 二、计算题 疋11X 20 0 (mod lO5)o 1、解同余方程： 3 解：因105 = 3 5 7, 同余方程3x211X 20 0 (mod 3)的解为x 1 (mod 3), 同余方程3x211X 38 0 (mod 5)的解为x0, 3 (mod 5), 同余方程3x211X 20 0 (mod 7啲解为x2, 6 (mod 7), 故原同余方程有4解。 作同余方程组：x (mod 3), x b2 (mod 5), x b3 (mod 7), 其中®=1, b2 = 0, 3, b3 = 2, 6, 由子定理得原同余方程的解为x 13, 55, 58, 100 (mod 105)o

2. 判断同余方程/三42(mod 107)是否有解? *3x7 2 3 7 )=(二)(一)(―-) 107 107 107 107 2 3 I 。， 2 v( —) = -1, ( — ) = (-1) 2 2 (ArL) = -<±) = L 107 107 3 3 .-.(—) = 1 107 故同余方程x 2三42(mod 107)有解。 3、求(12715C +34) 23除以ill 的最小非负余数。 解：易知 1271 = 50 (mod 111)0 由 502 =58 (mod 111) , 503 三58X50三 14 (mod 111), 509=143=80 (mod 111)知 502G = (509)彳x50三803X50三803x50三68x50三70 (mod 111) 从而 505C =16 (mod 11 l)o 故(12715C +34) 2c = (16+34) 20 =502G =70 (mod 111) 三、证明题 1、 已知p 是质数，(a,p) =1,证明： (1) 当 Q 为奇数时,a p l +(p-l)A =O (mod p); (2) 当a 为偶数时,衣三°(mod p)。 证明：由欧拉定理知右】三1 (mod p)及(p-1广三-1 (mod p)立得(1)和(2)成立。 2n 2、 设Q 为正奇数，n 为正整数，试证a =l(mod 2n+2)0 (1) 证明设n = 2m 1,当22=1时，有 = {2/n I)2 = 4m(/n 1) 1 1 (mod 23),即原式成立。 2* 设原式对于n = &成立，则有 a 1 (mod 2k+2) a 21 = 1 吐, 107 42 =(一1)—呼(凹 107 7

初等数论练习题答案

初等数论练习题答 案 信阳职业技术学院 2010 年12 月

初等数论练习题 、填空题 1、 d (2420)=12; (2420)= 880 2、 设a,n 是大于1的整数，若a n -1是质数，则a=_2. 3、 模9的绝对最小完全剩余系是 {-4 , -3, -2, -1,0,1,2,3,4}. 4、 同余方程 9x+12=0(mod 37)的解是 x 三 11(mod 37)。 5、 不定方程 18x-23y=100 的通解是 x=900+23t , y=700+18t t Z 。 6、 分母是正整数m 的既约真分数的个数为_ (n)_0 7、 18100被172除的余数是256。 若p 是素数，则同余方程x p 1 1(mod p)的解数为p-1 、计算题 解同余方程：3x 2 11x 20 0 (mod 105)。 故原同余方程有4解。 故同余方程x 2三42(mod 107)有解。 3、求(127156+34) 28除以111的最小非负余数 判断同余方程x 2=42(mod 107)是否有解? 2 、 解：(竺)( 107 —)1, 107 / 42、 )1 107 2 3 7 ) 107 —) 107 2 3 —)(——) 107 107 L2?!0!! 107 (1) 2 2 (107) 3 —) 107 (2) 3 7 1 107 1 27 2 107、 / 2、 1) 2 2 ( ) (―) 1 7 7 65 而 =-1 0 9、 1、 解：因 105 = 3 57, 同余方程3x 2 11x 20 0 (mod 3) 的解为x 1 (mod 3), 0 (mod 5) 的解为x 0 , 3 (mod 5), 0 (mod 7) 的解为x 2 , 6 (mod 7), 作同余方程组：x b 1 (mod 3), b 2 (mod 5) ,x b s (mod 7), 其中 b 1 = 1 , b 2 = 0 , 3, b a = 2 , 6, 由孙子定理得原同余方程的解为x 13 , 55, 58 , 100 (mod 105)。 同余方程3x 2 11x 38 同余方程3x 2 11x 20