信息安全数学基础第一阶段知识总结

信息安全数学基础第一阶段知识总结

第一章 整数的可除性

一 整除的概念和欧几里得除法 1 整除的概念

定义１ 设a 、b 是两个整数，其中b ≠0如果存在一个整数 q 使得等式 a=ｂq 成立，就称b 整除a 或者a 被b 整除,记作b ｜a ,并把ｂ叫作a 的因数，把a 叫作b 的倍数。这时,q 也是a 的因数，我们常常将q 写成a ／b 或

否则,就称b 不能整除a 或者ａ不能被b 整除,记作ａ b ．

２整除的基本性质

（1)当b 遍历整数a 的所有因数时,-b 也遍历整数ａ的所有因数. （2）当ｂ遍历整数a 的所有因数时，a/b 也遍历整数ａ的所有因数． (3)设b,ｃ都是非零整数, (ｉ)若b|ａ,则|ｂ|｜|ａ｜. (i ｉ）若b|a,则b ｃ|ac 。

(ｉii)若b ｜ａ，则１〈｜ｂ｜≤｜a|。 3整除的相关定理

(１）设a,ｂ≠0，c ≠０是三个整数.若c|ｂ，b ｜ａ，则c ｜a 。 (２）设a,ｂ,c ≠０是三个整数，若c|a,c|b,则c|a ±b

(３）设a,b,c 是三个整数。若c|a ，c ｜b 则对任意整数s,t ，有c ｜ｓａ+tb ．

(4)若整数ａ1 ， …,ａn 都是整数c ≠0的倍数,则对任意ｎ个整数s 1，…,

a

b

n

n a s a s ++ 11

ｓn,整数是c的倍数

(5)设a,ｂ都是非零整数。若ａ|b，b｜a,则a=±b

（6)设a，ｂ, c是三个整数，且b≠0，c ≠0，如果(a , c)＝1,则（ａｂ,c）＝(b , c)

（７)设ａ, b , c是三个整数，且c≠０，如果ｃ|ab, (a, ｃ）= 1, 则c ｜ｂ.

(８)设p 是素数,若p |ab ，则ｐ|ａ或ｐ|b

(9）设a1, …，a n是ｎ个整数,p是素数，若p| a１…a n,则ｐ一定整除某一个aｋ

二整数的表示

主要掌握二进制、十进制、十六进制等的相互转化.

三最大公因数和最小公倍数

(一）最大公因数

1．最大公因数的概念

定义:设是个整数,若使得，则称为的一个因数．公因数中最大的一个称为的最大公因数．记作。

若,则称互素．

若,则称两两互素．ﻫ思考:1．由两两互素，能否导出

2.由能否导出两两互素？

2.最大公因数的存在性

(１)若不全为零，则最大公因数存在并且

（2)若全为零，则任何整数都是它的公因数.这时,它们没有最大公因数.

3.求两个正整数的最大公因数．

定理1：设任意三个不全为零的整数,且则

辗转相除法

由带余除法得

(1)

……

因为每进行一次带余除法，余数至少减少1,且是有限整数，故经过有限次带余除法后,总可以得到一个余数是零的情况，即由（1)知,

定理2:任意两个正整数,则是(1）中最后一个不等于零的余数.

定理3：任意两个正整数的任意公因数都是的因数．

4．性质

定理4：任意两个正整数,则存在整数,使得成立定理５:设是不全为零的整数．

（i)若则

（ｉi)若则

（iｉi）若是任意整数，则

从上面定理我们很容易得到下面几个常用结论：

①

②且

③

④

5．求两个以上正整数的最大公因数

ﻫ设

则有下面的定理:

定理６:若是个正整数,则

只需证①是的一个公因数.②是的公因数中最大

一个

例求

解：

6．求两个正整数的最大公因数的线性组合（重点掌握)

方法一运用辗转相除法求最大公因数的逆过程;

方法二补充的方法

方法三运用列表法求解

（二）最小公倍数

１．最小公倍数的定义

ﻫ定义：是个整数，如果对于整数，有,那么叫做的一个公倍数.在的一切公倍数中最小一个正整数,叫做最小公倍ﻫ数.记作 .

２．最小公倍数的性质.

定理1：设是任给的两个正整数，则

(ｉ)的所有公倍数都是的倍数.

(ｉｉ)

定理2：设正整数是的一个公倍数,则

3．求两个以上整数的最小公倍数

定理3：设是个正整数, 若ﻫ

则

只需证:①是的一个公倍数,即,

②设是的任一公倍数，则

例1 求

解:

又

四素数算术基本定理

1.素数、合数的概念

定义:一个大于1的整数，如果它的正因数只有1和它的本身,我们就称它为素数,否则就称为合数.

２．性质

定理1：设是大于1的整数,则至少有一个素因数，并且当是合数时，若是它大于1的最小正因数，则

p ，都有

定理２设n是一个正整数,如果对所有地素数n

ｐn，则n一定是素数.

求素数的基本方法:爱拉托斯散筛法。

定理3:设是素数,是任意整数,则

(ｉ）或(ｉｉ）若则或

3．素数的个数

定理４:素数的个数是无穷的．

4．算术基本定理

定理5任一整数n〉１都可以表示成素数的乘积,且在不考虑乘积顺序的情况下,该表达式是唯一的.即

n＝ｐ１… pｓ, p１≤… ≤p s , （１)

其中pｉ是素数，并且若ｎ＝ｑ1…q t, q1≤… ≤ｑｔ, 其中ｑj是素数,则s=t , pｉ= q j, 1≤ｉ≤ｓ.

推论1:设是任一大于１的整数，且

为素数,且则是的正因数的充分必要条件是

推论2:且

为素数．

则

第二章同余

一同余概念和基本性质

<一〉、同余的定义．

ﻫ定义: 如果用去除两个整数所得的余数相同，则称整数关于模同余，记作如果余数不同,则称关于模不同余,记作。

定理１:整数关于模同余充分必要条件是

〈二〉、性质.

定理２:同余关系是一种等价关系,即满足

(１）自反性:

（2）对称性:若

(3)传递性:若

定理3：若

则：

定理4：若且则

定理5：若且则

定理6:若,则

ﻫ定理7:若且则

定理8：若则

定理9设整数n有十进制表示式：

n = ａk１０k + ａk—110k-1＋… + a110 ＋ a0 , 0≤a i〈１０则 3 ｜ n的充分必要条件是 3 ｜ a k+ … + a0 ;

而9 |n 的充分必要条件是 9 | a k＋…+ a0 .

定理10设整数n有100０进制表示式:

n = a k１００0k + …+ a1 10００ + ａ0 , 0≤a i〈１000

则７(或11,或1３)｜n的充分必要条件是7（或1１,或１3）能整除整数

（ａ0 + a２+ …）– ( a1 + a３＋…)

例1:求7除的余数.

ﻫ解：

除的余数为4．

例2：求的个位数.

ﻫ解：

的个位数为．

二完全剩余系和互素剩余系

＜一〉、剩余类.

１．定义1：设是一个给定的正整数．

则叫做模的剩余类.

定理1：设是模的剩余类，

则有(1)中每一个整数必属于这个类中的一个，且仅属于一个．

(2)中任意两个整数属于同一类的充要条件是

〈二〉、完全剩余系

1．定义２：在模的剩余类中各取一个数

则个整数称为模的一组完全剩余系. 任意个连续的整数一定构成模的一组完全剩余系．

2．形成完全剩余系的充要条件.

定理2:个整数形成模的完全剩余系的充要条件是：

3.完全剩余系的性质．

定理3:若则当遍历模的完全剩余系时,则ﻫ

也遍历模的完全剩余系．

定理4 设ｍ是一个正整数,a是满足（a，m）＝1的整数，则存在整数a’

1≤a’＜m，使得aa’≡1（mod m)

定理５：若当分别遍历模的完全剩余系时,则也遍历模的完全剩余系.

例１:问是否构成模的完全剩余系?

ﻫ解:

是的一个排列.

能构成模的一组完全剩余系．

<三〉简化剩余系

1、简化剩余类、简化剩余系概念.

定义3：若模的某一剩余类里的数与互素,则把它称为模的一ﻫ个互素剩余类．在与模互素的全部剩余类中,各取出一整

数组成的系,叫做模的一组简化剩余系.

在完全剩余系中所有与模互素的整数构成模的简化剩余系.

2．简化剩余系的个数．

定义4：欧拉函数是定义在正整数集上的函数，的值等于序列与互素的个数.

为素数

定理６:个整数

构成模的简化剩余系的充要条件是

定理７:若

遍历模的简化剩余系，则也遍历模的

简化剩余系

定理8设 m １,m 2是互素的两个正整数,如果x 1 , x 2分别遍历模 m １和 m 2的简化剩余系,则m 2x 1 ＋ m 1ｘ2遍历模m 1 m 2的简化剩余系. 定理9:若 ，则

∏∏

--=-

===n p k

n

p a k

a a

p p n p n n p

p p

n n s |1|1)

11()11()11()(101 ϕ则

有标准因数分解式为

设正整数定理

＜三〉欧拉定理 费马小定理 威尔逊定理

1． 欧拉定理设m 是大于1的整数,如果a 是满足（a , ｍ）＝1

的整数,则

)m mod (1a

)

m (≡ϕ

２.费马定理 设p 是一个素数，则对任意整数a ，我们有 ａp ≡a （mod p) 3.（wi ｌｓon)设p 是一个素数.则 )p mod (1)!1p (-≡-

<四〉模重复平方计算法 主要掌握运用该方法解题过程

第三章 同余式

1．同余式的定义

定义1设m 是一个正整数,设f(ｘ）为多项式

其中a i 是整数,则ｆ(x) ≡0( ｍｏd m ） (1)叫作模m 同余式 . 若

n a 0 (mod

m ）, 则n 叫做f(x ）的次数，记作ｄegf ．此时,(１)

式又叫做模ｍ的n 次同余式。 2.同余式的解、解数及通解表达式

定理 １ 设ｍ是一个正整数,ａ是满足ａ m 的整数则一次同余式 ａｘ≡b （m ｏd m ）有解的充分必要条件是(a , m ）｜b ，而且, 当同余式有解时，其解数为d =( a , m).

定理2设m 是一个正整数,a 是满足(a ，m)=1的整数，则一次同余式 a ｘ ≡ １(m ｏd m ）有唯一解ｘ≡a'（m ｏd m ）.

定理３ 设m 是一个正整数,a 是满足（a,m ）|ｂ的整数,则一次同余式 a ｘ ≡ b （mo ｄ m) 的全部解为

.

1)m ,a (,,1,0t )m mod ()m ,a (m t ))m ,a (m

mod ()m ,a (a )m ,a (b x 1

-=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅≡- 3.中国剩余定理

定理1 (中国剩余定理）设k 1m ,,m 是k 个两两互素的正整数，则对任意的整数k 1b ,,b ,同余式组

)

1()m mod (b x )m mod (b x k

k 11⎪⎩⎪

⎨⎧≡≡

一定有解,且解是唯一的 例1 计算

).77 mod (21000000

1n n a x a x a )x (f +++=

解一 利用 2．４定理 1（Euler 定理 )及模重复平方计算法直接计算。 因为77＝7·11，,60)11()7()77(=⋅=ϕϕϕ所以由2。４ 定理1(Eu ｌer 定理)，)77 mod (1260

≡，又

10０00０0=166６6·60+40,所以

)77 mod (22)2(2404016666601000000≡⋅=,设m=７7,b=２，令ａ=１. 将４０写成二进制,４0＝23 ＋ 25 ,运用模重复平方法，我们依次计算如下: (1）

)77(mod 4,1,02100≡≡≡==b b a a n 计算

(2) ｎ1 = 0, 计算 )77 mod (16b b ,1a a 21201≡≡≡=

(3） n 2 = ０, 计算

)77 mod (25b b ,1a a 22

312≡≡≡= （4) ｎ３ ＝ １, 计算 )77 mod (9b b ,25b a a 2

34323≡≡≡⋅=

(

５

)

ｎ

4

= ０ , 计算

)77 mod (4b b ,25a a 2

4534≡≡≡=

(6) n 6 = 1 , 计算 )77 23(mod b a a 545≡⋅=

最后,计算出

)77 mod (2321000000≡

解二 令1000000

2x =,因为77=7·1１,所以计算x(m ｏｄ ７７）

等价于求解同余式组⎩⎨

⎧≡≡)

11 mod (b x )77 mod (b x

21 因为Eu ｌer 定理给出

)7 mod (1226)7(≡≡ϕ，以及

1００0０0０＝１６666６·6＋4，

所以

)7 mod (22)2(2b 4166666610000001≡⋅≡≡。

令 77m m m ,11m ,7m 2121=⋅===,7m M ,11m M 1221====

分别求解同余式 )11 mod (17M ),7 mod (111M '2'

1≡≡,得到

8M ,2M '2'1== 故x ≡2·11·2+８·7·1≡１00≡2３(mod 7７） 因此，2100０000≡２３（mo ｄ 77） 例2:解同余式组

ﻫ解:

原同余式组有解且同解于

两两互素

同余式组有惟一解．

原同余式组的解为

第四章 二次同余式与平方剩余

1.二次同余式的定义

定义1 设ｍ是正整数,若同余式1)m ,a (),m mod (a x 2=≡

有解,则ａ叫做模m 的平方剩余(二次剩余);否则,a 叫做模m 的平方非剩余（或二次非剩余).

2. 模为奇素数的平方剩余和平方非剩余 讨论模为素数p 的二次同余式1),(),(mod 2

=≡p a p a x

定理1（欧拉判别条件)设ｐ是奇素数,(a ， p ）＝１， 则

（ ｉ ) a 是模p 的平方剩余的充分必要条件是

);(mod 12

1p a

p

≡-

(ｉi) a 是模ｐ的平方非剩余的充分必要条件是

);(mod 12

1p a

p -≡-并且当a 是模p 的平方剩余时，同

余式(１)恰有二解.

定理2 设ｐ是奇素数，则模p 的简化剩余系中平方剩余与平方非剩余的个数各为(p-1）/2,且（p —1)/２个平方剩余与序列：

2

2

2

)

2

1(,,2,1-p 中的一个数同余.且仅与一个数同余.

例１ 利用定理判断

３.勒让德符号

定义1设p 是素数,定义勒让德符号如下:

⎪⎩⎪

⎨⎧=a

p p a p a |0

1,1)p a (若，的平方非剩余是模，若－的平方剩余是模若 欧拉判别法则

设ｐ是奇素数,则对任意整数

a,

)p mod (a p a 21

p -≡⎪⎭

⎫ ⎝⎛ 常用定理及结论

设p 是奇素数,则 (１)

1p 1=⎪⎭

⎫ ⎝⎛ （2) 2

1p )1(p 1--=⎪⎭

⎫

⎝⎛-

(3）⎩⎨

⎧≡≡=⎪⎭⎫

⎝⎛-4)

3(mod p , 1-)4 mod (1p ,1p 1若若

（４) ;p a p p a ⎪⎭

⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛+

(5）

;p b p a p ab ⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛ (6) 设(a ， p) =１， 则

1p a 2=⎪⎭

⎫ ⎝⎛ （7）设p 是奇素数,如果整数ａ, b 满足

a ≡ b(ｍod p ），则⎪⎭

⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫

⎝⎛p b p a

(8)81

2p )1(p 2--=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛ （9)互倒定律若ｐ，q 是互素奇素数，则⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=⎪⎭

⎫ ⎝⎛-⋅-q p )1(p q 2

1

q 21p

例1⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=

⎪⎭⎫ ⎝⎛5355335325330 ，而

1

53553553)1(5351

32353353)1(5331)1(53221

5321521

532138

1532-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭

⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=⎪⎭

⎫

⎝⎛-⋅--⋅--

所以15355335325330-=⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛

第五章 指数与原根

一 指数 1.指数的定义

定义1 设m ＞1是整数 ，a 是与m 互素的正整数,则使得

)(mod 1m a e

≡成立的最小正整数

e 叫做ａ对模ｍ的指数，记作

)(a ord m

。

2.指数的性质

定理１ 设m 〉1是整数,a 是与m 互素的整数,则整数d 使得

)(mod 1m a d

≡的充分必要条件是d a ord m

|)(.

定理1之推论 设m 〉1是整数,a 是与m 互素的整数,则

)(|)(m a ord m

ϕ

性质1设m 〉1是整数,ａ是与ｍ互素的整数 (i) 若b ≡a （mod m),则)b (ord )a (ord m m =

（ii)设

1

a

-使得)m mod (1a a

1

≡-则 )a (ord )a (ord m

1

m

=-.

性质2 设ｍ>1是整数,ａ是与m 互素的整数，则)(mod m a a k

d

≡

的充分必要条件是))((mod a ord k d m ≡

性质3 设m 〉1是整数，a 是与m 互素的整数设d ≥0，为整数,则

)

),(()()(d a ord a ord a ord m

m

d

m

=

二 原根

1． 原根的定义

定义 若（a,m)=1, 如果a 对模m 的指数是)(m ϕ,即)()(a ord m m =ϕ则a 叫做模m 的原根 2.原根的相关定理及性质

定理1 设m>１是整数 ，a 是与m 互素的整数。则

1

)(1

,,,1-=a ord m a

a a 模m 两两不同余，特别地,当ａ是模m 的原根，

即)()

(m a ord m ϕ=时,这)(m ϕ个数组成模m 的简化剩余系

定理2 设m 〉1是整数，g 是模m 的原根，设d ≥0为整数,则d

g

是模ｍ的原根当且仅当1))m (,d (=ϕ 3． 原根存在的条件

定理１设p 是奇素数,则模ｐ的原根存在。

定理2 设ｇ是模p 的一个原根，则ｇ或者p ＋g 是模p 2 的原根． 定理3设p 是一个奇素数,则对任意正整数ａ，模p ａ的原根存在.更确切地说，如果ｇ是模 p 2的一个原根,则对任意正整数a,g 是模p ａ的原根。

定理４设ａ≥ 1，g 是模ｐａ的一个原根,则g 与ｇ+ p ａ中的奇数是模2p ａ的一个原根

定理5 模m 的原根存在的充分必要条件是a a

2p ,p ,4,2m =,其中p

是奇素数.

定理6设m>1， 的所有不同素因数是ｑ1 , …，q k , 则g 是模m 的一个原根的充分必要条件是i

q /)m (g ϕ １（mod m)，

i=1,…,k

)m (ϕ

信息安全数学基础答案第一二三四五六七八章2

第一章 （1）5,4,1,5. （2）100=22*52, 3288=23*3*137. （4）a,b可以表示成多个素因子的乘积a=p1p2––p r, b=q1q2––q s,又因为(a, b)=1，表明a, b 没有公共(相同)素因子. 同样可以将a n, b n表示为多个素因子相乘a n=(p1p2––p r)n, b n=(q1q2––q s)n明显a n, b n也没有公共(相同)素因子. （5）同样将a, b可以表示成多个素因子的乘积a=p1p2––p r, b=q1q2––q s, a n=(p1p2––p r)n, b n=(q1q2––q s)n,因为a n| b n所以对任意的i有, p i的n次方| b n, 所以b n中必然含有a的所有素因子, 所以b中必然含有a的所有素因子, 所以a|b. （6）因为非零a, b, c互素,所以(a, b)=(a, c)=1,又因为a=p1p2––p r, b=q1q2––q s, ab=p1p2––p r q1q2––q s, 又因为a, b, c互素, 所以a, b, c中没有公共(相同)素因子, 明显ab和c 也没有公共(相同)素因子.所以(ab, c)= (a, b)(a, c). （7）2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,101,103,107, 109, 113, 127,131,137,139,149,151,157,163,167,173,179,181,191,193,197,199. （11）对两式进行变形有21=0(mod m), 1001=0(mod m),可以看出要求满足的m即使求21和1001的公约数, 为7和1. （12）(70!)/(61!)= 62*63*––*70=(-9)*(-8)*––*(-1)=-9!=-362880=1(mod 71). 明显61!与71互素, 所以两边同乘以61!, 所以70!=61!(mod 71). （13）当n为奇数时2n=(-1)n=-1=2(mod 3), 两边同时加上1有2n+1=0(mod 3), 所以结论成立. 当n为偶数时2n=(-1)n=1(mod 3), 两边同时加上1有2n+1=2(mod 3), 所以结论成立. （14）第一个问：因为(c,m)=d, m/d为整数.假设ac=k1m+r, bc=k2m+r,有ac=k1d(m/d)+r, bc=k2d(m/d)+r所以ac=bc(mod m/d),因为(c,m/d)=1,所以两边可以同除以一个c, 所以结论成立. 第二个问题：因为a=b(mod m), 所以a-b=k i*m i，a-b是任意m i的倍数，所以a-b是m i公倍数，所以[m i]|a-b.(利用式子：最小公倍数=每个数的乘积/最大公约数, 是错误的, 该式子在两个数时才成立) （15）将整数每位数的值相加, 和能被3整除则整数能被3整除, 和能被9整除则整数能被9整除, (1)能被3整除, 不能被9整除，(2)都不能，(3)都不能，(4)都不能 第二章 （5）证明：显然在群中单位元e满足方程x2=x, 假设存在一个元素a满足方程x2=x, 则有a2=a, 两边同乘以a-1有a=e. 所以在群中只有单位元满足方程x2=x. （6）证明：因为群G中每个元素都满足方程x2=e, 所以对群中任意元素a,b有aa=e, bb=e, (ab)2=abab=e. 对abab=e, 方程两边左乘以a, 右乘以b有aababb=(aa)ba(bb)=ba=aeb=ab, 有ab=ba, 所以G是交换群. （7）证明：充分性：因为在群中对任意元素a,b有(ab)2=a2b2即abab=aabb, 方程两边左乘以a的逆元右乘以b的逆元, 有a-1ababb-1= a-1aabbb-1, 有ab=ba, 所以G是交换群. 必要性：因为群G是交换群, 所以对任意元素a,b有ab=ba, 方程两边左乘以a右乘以b有abab=aabb, 有(ab)2=a2b2. （8）证明：因为xaaba=xbc，所以x-1xaxbaa-1b-1=x-1xbca-1b-1，所以存在唯一解x=a-1bca-1b-1

信息安全基础知识

信息安全基础知识 信息安全基础知识 1. 了解信息安全基本概念 信息安全是指信息网络的硬件、软件及其系统中的数据受到保护，不受偶然的或者恶意的原因而遭到破坏、更改、泄露，系统连续可靠正常地运行，信息服务不中断。 信息安全是一门涉及计算机科学、网络技术、通信技术、密码技术、信息安全技术、应用数学、数论、信息论等多种学科的综合性学科。 2. 了解网络安全主要概念及意义 网络的安全是指通过采用各种技术和管理措施，使网络系统正常运行，从而确保网络数据的可用性、完整性和保密性。网络安全的具体含义会随着“角度”的变化而变化。比如：从用户（个人、企业等）的角度来说，他们希望涉及个人隐私或商业利益的信息在网络上传输时受到机密性、完整性和真实性的保护。 网络安全是一个关系国家安全和主权、社会的稳定、民族文化的继承和发扬的重要问题。其重要性，正随着全球信息化步伐的加快而变到越来越重要。“家门就是国门”，安全问题刻不容缓。 3.了解安全隐患的产生原因、类型区别（被动攻击，主动攻击等） 产生安全隐患的产生原因: 1.网络通信协议的不安全 2.计算机病毒的入侵 3.黑客的攻击 4操作系统和应用软件的安全漏洞 5.防火墙自身带来的安全漏洞 分类：分为主动攻击和被动攻击 主动攻击包含攻击者访问他所需信息的故意行为。比如远程登录到指定机器的端口25找出公司运行的邮件服务器的信息；伪造无效IP 地址去连接服务器，使接受到错误IP地址的系统浪费时间去连接哪个

非法地址。攻击者是在主动地做一些不利于你或你的公司系统的事情。正因为如此，如果要寻找他们是很容易发现的。主动攻击包括拒绝服务攻击、信息篡改、资源使用、欺骗等攻击方法。 被动攻击主要是收集信息而不是进行访问，数据的合法用户对这种活动一点也不会觉察到。被动攻击包括嗅探、信息收集等攻击方法。 从攻击的目的来看，可以有拒绝服务攻击(Dos)、获取系统权限的攻击、获取敏感信息的攻击；从攻击的切入点来看，有缓冲区溢出攻击、系统设置漏洞的攻击等；从攻击的纵向实施过程来看，又有获取初级权限攻击、提升最高权限的攻击、后门攻击、跳板攻击等；从攻击的类型来看，包括对各种操作系统的攻击、对网络设备的攻击、对特定应用系统的攻击等 4.了解安全分类（技术缺陷，配置缺陷，策略缺陷，人为缺陷等） 技术缺陷： 现有的各种网络安全技术都是针对网络安全问题的某一个或几个方面来设计的，它只能相应地在一定程度上解决这一个或几个方面的网络安全问题，无法防范和解决其他的问题，更不可能提供对整个网络的 系统、有效的保护。如身份认证和访问控制技术只能解决确认网络用户身份的问题，但却无法防止确认的 用户之间传递的信息是否安全的问题，而计算机病毒防范技术只能防范计算机病毒对网络和系统的危害， 但却无法识别和确认网络上用户的身份等等。 现有的各种网络安全技术中，防火墙技术可以在一定程度上解决一些网络安全问题。防火墙产品主要包括 包过滤防火墙，状态检测包过滤防火墙和应用层代理防火墙，但是防火墙产品存在着局限性。其最大的局 限性就是防火墙自身不能保证其准许放行的数据是否安全。同时，防火墙还存在着一些弱点：一、不能防 御来自内部的攻击：来自内部的攻击者是从网络内部发起攻击的，他们的攻击行为不通过防火墙，而防火

信息安全数学基础第一阶段知识总结

信息安全数学基础第一阶段知识总结 第一章 整数的可除性 一 整除的概念和欧几里得除法 1 整除的概念 定义１ 设a 、b 是两个整数，其中b ≠0如果存在一个整数 q 使得等式 a=ｂq 成立，就称b 整除a 或者a 被b 整除,记作b ｜a ,并把ｂ叫作a 的因数，把a 叫作b 的倍数。这时,q 也是a 的因数，我们常常将q 写成a ／b 或 否则,就称b 不能整除a 或者ａ不能被b 整除,记作ａ b ． ２整除的基本性质 （1)当b 遍历整数a 的所有因数时,-b 也遍历整数ａ的所有因数. （2）当ｂ遍历整数a 的所有因数时，a/b 也遍历整数ａ的所有因数． (3)设b,ｃ都是非零整数, (ｉ)若b|ａ,则|ｂ|｜|ａ｜. (i ｉ）若b|a,则b ｃ|ac 。 (ｉii)若b ｜ａ，则１〈｜ｂ｜≤｜a|。 3整除的相关定理 (１）设a,ｂ≠0，c ≠０是三个整数.若c|ｂ，b ｜ａ，则c ｜a 。 (２）设a,ｂ,c ≠０是三个整数，若c|a,c|b,则c|a ±b (３）设a,b,c 是三个整数。若c|a ，c ｜b 则对任意整数s,t ，有c ｜ｓａ+tb ． (4)若整数ａ1 ， …,ａn 都是整数c ≠0的倍数,则对任意ｎ个整数s 1，…, a b n n a s a s ++ 11

ｓn,整数是c的倍数 (5)设a,ｂ都是非零整数。若ａ|b，b｜a,则a=±b （6)设a，ｂ, c是三个整数，且b≠0，c ≠0，如果(a , c)＝1,则（ａｂ,c）＝(b , c) （７)设ａ, b , c是三个整数，且c≠０，如果ｃ|ab, (a, ｃ）= 1, 则c ｜ｂ. (８)设p 是素数,若p |ab ，则ｐ|ａ或ｐ|b (9）设a1, …，a n是ｎ个整数,p是素数，若p| a１…a n,则ｐ一定整除某一个aｋ 二整数的表示 主要掌握二进制、十进制、十六进制等的相互转化. 三最大公因数和最小公倍数 (一）最大公因数 1．最大公因数的概念 定义:设是个整数,若使得，则称为的一个因数．公因数中最大的一个称为的最大公因数．记作。 若,则称互素． 若,则称两两互素．ﻫ思考:1．由两两互素，能否导出 2.由能否导出两两互素？ 2.最大公因数的存在性 (１)若不全为零，则最大公因数存在并且

信息安全数学基础教学大纲

《信息安全数学基础》课程教学大纲 课程编码：ZJ28603课程类别：专业基础课 学分： 4 学时：64 学期： 3 归属单位：信息与网络工程学院 先修课程：高等数学、C语言程序设计、线性代数 适用专业：信息安全、网络工程（中韩合作） 一、课程简介 《信息安全数学基础》（Mathematical foundation of information security）是信息安全、网络工程（中韩合作）专业的专业理论课程。本课程主要讲授信息安全所涉及的数论、代数和椭圆曲线论等基本数学理论和方法，对欧几里得除法、同余、欧拉定理、中国剩余定理、二次同余、原根、有限群、有限域等知识及其在信息安全实践中的应用进行详细的讲述。通过课程的学习，使学生具备较好的逻辑推理能力，具备利用数学理论知识解决信息安全实际问题的能力，树立信息安全危机意识和防范意识，树立探索未知、追求真理、勇攀科学高峰的责任感和使命感，树立为国家信息安全事业发展做贡献的远大理想。 二、课程目标 本课程教学应按照大纲要求，注重培养学生知识的学习和应用能力，使学生在学习过程中，在掌握信息安全领域所必需的数学基础知识的同时，提升学生的理论水平、业务素质、数学知识的应用能力，支撑人才培养方案中“课程设置与人才培养目标达成矩阵”相应指标点的达成。 课程目标对学生价值、知识、能力、素质要求如下： 课程目标1：激发学生爱国主义情怀和专业知识钻研精神，使其树立正确的价值观。 课程目标2：培养学生树立信息安全危机意识和防范意识。 课程目标3：激发学生树立为国家信息安全事业发展做贡献的远大理想。 课程目标4：使学生掌握整除的相关概念和欧几里德算法的原理与应用。 课程目标5：使学生掌握同余式的求解方法及其在密码学中的经典应用。 课程目标6：使学生掌握群环域等代数结构的特点及其在密码学中的经典应用。 课程目标7：使学生掌握信息安全数学基础中的专业韩语知识。

信息安全认知实习-数学基础与密码学部分

数学基础与密码学部分实验内容 第一章信息安全数学基础实验部分 数学是科学的“皇后”，数论是数学领域中的“皇后”。 ——Carl Friedrich Gauss 数论及近世代数知识现在已经得到了广泛的应用，这其中的部分原因应归结为以大素数为基础的密码体系的建立。这种体系的可行性在于我们可以轻松地找到一些大素数，而体系的安全性则在于将大素数的乘积重新分解因数往往十分困难。 本实验部分将通过编程实现数论中比较基本的一些算法，从而加强对信息安全数学基础知识的理解。 1.定理：设n是一个正整数，如果对所有的素数p≤,都有p?n,则n一定是素数。 注：古希腊数学家埃拉托斯散(Eratosthenes，公元前275—公元前194)发明了求比某给定数小的素数的筛法技巧。 方法如下： 对于任意给定的正整数N，要求出所有不超过N的素数。我们列出N个整数，从中删除小于等于的所有素数p1,…,p k的倍数。然后依次删除， p1的倍数：2p1,…,p1 …… p k的倍数：2p k,…,p k 余下的整数（不包括1）就是所要求的不超过N的素数。 使用VC++编程语言编写一个可测定不超过1，000，000的素数判定程序。 2．使用VC++编程语言设计实现一个算法程序库，要求包括以下部分：

1）欧几里德算法求a ，b 的最大公倍数； 2）扩展的欧几里德算法，求出gcd(a,b)和满足gcd(a,b)=ax+by 的整数x 和y ； 3）求解模线性方程 ax ≡ b (mod n) 其中n>0； 4）求解模线性方程组(中国余数定理)； 5）模取幂运算，计算a b mod n （a,b>1032）； 6）Miller-Rabin 随机性素数测试算法（要求判定n>1016）； 3. 使用VC++编程语言编程设计并验证以下公式： 1） （素数定理） 1ln )(lim =∞→x x x x π 2） Mersenne 数，形如M p =2p -1的素数称为Mersenne 数。利用Mersenne 数 可以构造出非常大的素数。（截止2006年4月, 数学家仅发现了42个 Mersenne 素数）。程序验证并找出10个Mersenne 数。 3） Fermat 数，形如F n =22n +1的数被称为 Fermat 数。 Fermat 宣称，对所有的整数n, F n 永远是素数。程序验证并找出一个Fermat 数是合数。 4） Euler 素数，Euler 曾研究过公式：f(n)=n 2+n+41，程序验证，当n=0,1,…,39 时，f(n)都是素数，但f(40)是合数。有趣的是，公式能给出相当多的素 数。 5）孪生素数，间隔为2的相邻素数，如3与5，5与7。关于孪生素数的猜 想是：孪生素数有无穷多个。 用p(x)表示不超过x 的孪生素数的个数。英国数学家Hardy 与Littlewood 猜测 其中 注：迄今为止，孪生素数猜想还没有证明。目前最好的结果是我国数学家 陈景润于1966年获得：存在无穷多个素数p, 使p+2是不超过两个素数 的乘积。截止1999年发现的最大孪生素数是 2) /(ln 2)(x cx x p ≈ )6/11)(4/11)(2/11(2 22---=c 1 2361700055 39020±?

信息安全基础知识点归纳总结

信息安全基础知识点归纳总结 一、引言 随着信息技术的发展和普及，信息安全问题也日益突出。信息安全是指保护信息资源不被非法获取、非法使用和非法修改，并确保其可用性、完整性和保密性的一系列措施和技术手段。信息安全对于个人、组织甚至国家来说都至关重要。本文将对信息安全基础知识进行归纳总结，旨在帮助读者全面了解和掌握相关概念和技术。 二、加密与解密 加密是指将明文转化为密文的过程，依靠密钥保证信息的安全。常见的加密算法有对称加密算法和非对称加密算法。对称加密算法使用相同的密钥进行加解密操作，速度快但密钥传输困难；非对称加密算法使用一对密钥进行加解密操作，安全性高但速度慢。加密的反过程称为解密，需要正确的密钥才能还原明文。 三、数字签名与认证 数字签名是指用于保证信息完整性、真实性和不可抵赖性的技术手段。数字签名的过程包括：生成消息摘要，用私钥对摘要进行加密，将加密结果与原文一起发送；接收方收到密文后，用公钥解密得到摘要，再生成自己的摘要，比对两个摘要，若相同则证明消息完整、真实可信。 四、访问控制与身份认证 访问控制是通过对用户的身份验证和权限控制，确保只有合法用户可以访问对应的资源。常见的身份认证技术包括口令、生物特征识别、身份卡等。访问控制可以采用强制访问控制

（MAC）或自主访问控制（DAC）的方式，确保系统的安全性和可用性。 五、防火墙与入侵检测 防火墙是一种用于阻止非授权访问、保护计算机网络安全的设备或程序。它通过监测和过滤网络数据包，实现对网络流量的控制和管理。入侵检测系统（IDS）是一种可以实时监控 和检测网络中异常行为和攻击行为的设备或程序。防火墙和 IDS可以配合使用，提高系统的安全性。 六、安全协议与安全传输 安全协议是指在网络通信中用于保证通信安全的协议。常见的安全协议有SSL/TLS、IPSec等。安全传输是指依靠安全 协议对数据进行加密和传输，保证数据的安全性。安全传输可以通过虚拟专用网络（VPN）和安全套接字层（SSL）等实现。 七、恶意代码与漏洞利用 恶意代码是指用于攻击计算机系统、窃取敏感信息等恶意目的的程序。常见的恶意代码包括病毒、蠕虫、木马等。漏洞利用是指利用软件或系统存在的漏洞进行攻击的行为。为了防范恶意代码和漏洞利用，用户需要保持软件和系统的更新，并采取相应的安全防护措施。 八、安全管理与培训 安全管理是指对信息系统进行全面的安全管理和维护工作，包括安全策略制定、风险评估、安全事件响应等。安全培训是指对组织成员进行信息安全方面的培训和教育，使其具备相应的安全意识和技能。安全管理和培训是保障信息系统安全的重要环节。 九、总结 本文对信息安全基础知识进行了归纳总结，包括加密与解

信息安全数学基础教学大纲

《信息安全数学基础》课程教学大纲 课程中文名称:信息安全数学基础 课程英文名称: The Mathmatics of Information Security 课程类别:专业基础课 制定时间:2009年 2月 23日 一、课程的性质、任务 1. 课程目标 信息安全数学基础是信息安全专业的一门核心数学基础课, 是一门理论性较强的课程。本课程的目的是为了适应信息安全专业培养目标的要求,使学生学习掌握如何应用信息安全数学中的理论和方法来分析研究信息安全中的实际问题。 2.课程任务 课程的任务是向学生系统介绍信息安全数学基础的理论和方法,使学生认识信息安全数学在信息安全中的作用,领会其基本思想和分析与解决问题的思路。要求掌握整除与欧几里得除法、不定方程、同余、同余方程、二次同余式与平方剩余、原根与指标,近世代数(群与群的结构、环论、域的结构、有限域等)等内容。 3.适用专业与学时数 适用于信息安全及相关专业,学时数为:72学时 4.先修课程

本课程与《密码学》的联系较为紧密,而《密码学》是理解掌握整体安全理论体系的基础。在学习之前,学生应基本掌握抽象代数和高等数学的基础理论和方法。 5.推荐的教材和参考书: 1)《信息安全数学基础》,陈恭亮编著,清华大学出版社, 2004.6 2)《初等数论》第2版,潘承洞,潘承彪著,北京大学出版社 2003.1 3)《数论及其应用》,李文卿著,北京大学出版社 2001.3 6.教学方法与教学形式 教学方法以课堂教学为主,同时指导学生将主要的算法在计算机上加以实现。 二、各章教学内容和要求 本课程的讲授分为7章。对高职专科生必讲前6章,最后一章根据进度选讲。 (一)整除 1、内容 (1)整数的除法 (2)算术基本定理 (3)素数 (4)Euclid算法 2、要求

信息安全数学基础 通俗讲解

信息安全数学基础通俗讲解 一、引言 在数字化时代，信息的重要性不言而喻。与此同时，信息安全逐渐成为人们关注的焦点。为何我们需要信息安全？如何确保信息安全？这其中涉及到了复杂的数学原理。本文将用通俗的语言，为大家解读信息安全背后的数学奥秘。 二、信息加密与密码学基础 1. 什么是加密？ 为了保护信息不被非授权用户获得，我们需要对信息进行加密。简单来说，加密就是将信息转化为别人无法直接理解的格式，通常称为“密文”。而将密文还原为原始信息的过程，称为解密。 2. 密码学的发展历程 自古以来，人们就尝试使用各种方法来保护自己的信息。从最初的简单替换字符，到现代的复杂算法，密码学经历了漫长的发展过程。如今，我们常用的加密方法有对称加密（如AES）和非对称加密（如RSA）。 3. 对称加密与非对称加密的区别 对称加密是指加密和解密使用相同密钥的方法。这种方法简单、速度快，但密钥的管理和分发较为困难。而非对称加密使用两个密钥：公钥和私钥。公钥用于加密，私钥用于解密。这种方法的优点是安全性高，但计算量大，速度慢。 三、数论基础在信息安全中的应用

1. 素数与大数分解 素数是只有1和自身两个正因数的自然数。在密码学中，很多算法都依赖于大数分解的难度。例如，RSA算法的安全性就建立在无法轻易分解大素数的数学难题上。 2. 同余与模运算 同余是数论中的一个概念，表示两个整数对某个固定数取模结果相同。在密码学中，模运算被广泛应用于各种算法，如AES和RSA。 3. 椭圆曲线密码学 椭圆曲线是一类特殊的曲线，其数学性质被用于加密信息。相比于传统的密码学方法，椭圆曲线密码学具有更高的安全性。 四、离散概率与组合数学在信息安全中的应用 1. 离散概率论 离散概率论是研究随机事件及其概率的数学分支。在信息安全中，离散概率论被广泛应用于密码破解、密钥分配等问题。例如，通过计算尝试所有可能的密钥组合来破解密码的概率，可以评估一个密码系统的安全性。 2. 组合数学 组合数学是研究组合问题（如排列、组合、图论等）的数学分支。在信息安全中，组合数学的应用非常广泛。例如，在解决密钥分配问题时，可以使用组合数学中的方法来分析各种可能的密钥组合数量，从而评估系统的安全性。此外，图论中的一些概念也被用于分析网络安全性等问题。

信息安全数学基础 -回复

信息安全数学基础 -回复 信息安全数学基础从理论上为信息安全的发展提供了坚实的基础，数学方法可以帮助 我们理解和设计加密算法，验证安全模型，分析安全性能和威胁模型，同时也有助于我们 针对特定场景下的攻击提出相应的防御措施。 1. 数论 数论是研究整数性质的学科，它在信息安全中有着重要的应用。在加密算法中，数论 被用来设计密钥交换协议和公钥密码算法，如Diffie-Hellman密钥交换协议、RSA算法等。数论的一些重要概念包括：欧拉函数、模运算、离散对数问题、大素数、欧拉定理等。其中，离散对数问题是公钥密码算法的基础，它是指在有限域上，给定一次幂和它的模数， 找到该次幂的指数的难题，这是一种困难的数学问题。基于该问题的难解性，我们可以设 计出RSA、ElGamal等公钥密码算法，这些算法为信息安全提供了可靠的保障。 2. 线性代数 线性代数是研究向量空间和线性变换的学科，它在信息安全中的应用主要在密码分析中。密码分析是破解加密算法的过程，它需要分析算法中使用的矩阵和向量，通过对其进 行线性、非线性运算以及代数操作，来找到加密密钥或者明文。在线性代数中，向量空间 可以用矩阵来表示，而矩阵的各个元素则可以用数学方法来分析和处理。线性代数的一些 重要概念包括：矩阵乘法、逆矩阵、行列式、特征值、特征向量等。这些概念在分析加密 算法时，可以帮助我们理解加密算法的弱点和漏洞。 3. 概率论 概率论是研究随机事件的学科，它在信息安全中的应用主要在密码学安全模型的设计中。密码学安全模型是一种理论框架，用来描述加密算法中的攻击模型和攻击者能够获得 的信息等方面的信息。概率论的一些重要概念包括：概率、随机变量、期望、方差、协方 差矩阵、条件概率、贝叶斯定理等。通过对这些概念的理解和应用，我们可以设计出更加 严密的安全模型，以便在实际应用中确保加密算法的安全性和可靠性。 总的来说，信息安全数学基础对于信息安全的发展和应用起着至关重要的作用。通过 研究数论、线性代数、概率论等数学领域中的知识，我们可以深入理解和分析加密算法的 原理、安全性和攻击模型，为信息安全的发展提供坚实的理论基础。

信息安全数学基础

信息安全数学基础 导言 信息安全是在当前信息时代中广泛关注的一个重要领域。 它涉及到保护数据的机密性、完整性和可用性，以及防止未经授权的访问、修改或破坏数据的行为。在信息安全领域，数学起着至关重要的作用。数学提供了许多基础概念和技术，用于保护信息和数据。本文将介绍信息安全的一些数学基础知识。 1. 整数论 整数论是信息安全中不可或缺的一部分，其主要研究整数 及其性质。在信息安全中，整数论常用于加密算法和密钥生成。其中，最常见的整数论问题是素数的应用。 素数是只能被1和自身整除的整数。在信息安全中，素数 被广泛应用于加密算法，如RSA算法。RSA算法的基本原理 是利用两个大素数的乘积作为公钥的模数，并求解其积的欧拉函数值。因此，整数论中研究素数的性质和生成方法对于实现安全的RSA加密算法非常重要。

除了素数，整数论还涉及到很多其他概念和技术，如模运算、同余和剩余类等。这些概念和技术在信息安全中的密码算法和密钥生成中起着至关重要的作用。 2. 离散数学 离散数学是信息安全中的另一个重要基础。离散数学研究 的是离散结构，如集合、图论、布尔代数等。在信息安全中，离散数学的概念和技术被广泛应用于密码学和网络安全。 密码学是关于信息加密和解密的科学，其中离散数学起着 关键作用。密码学使用离散数学的技术来设计和分析密码算法。例如，离散数学的图论技术可以用于构建网络拓扑图，以评估网络的安全性。布尔代数被广泛应用于逻辑门电路的设计和分析，用于实现对信息的逻辑操作和处理。 离散数学的另一个重要应用是在密码学中的离散对数问题。离散对数问题是指已知一个数的底数和模数，求解指数的问题。这个问题在公钥密码学中扮演着重要角色，如Diffie-Hellman 密钥交换协议和椭圆曲线密码算法。

数学专业信息安全

数学专业信息安全 数学专业与信息安全有着紧密的联系。数学作为一门科学，具有逻辑性、严谨性和抽象性的特点，这些特点使得数学在信息安全领域中发挥着重要的作用。本文将从数学在密码学、数据加密和网络安全等方面的应用角度，探讨数学专业在信息安全领域中的重要性。 一、密码学 密码学是信息安全的重要组成部分，它研究如何在通信过程中保护数据的隐私性和完整性。数学在密码学中起到了关键的作用。在对称加密算法中，数学中的置换和替代运算为数据加密提供了可靠的基础。在非对称加密算法中，数学中的大数分解和离散对数问题构成了加密算法的基石。同时，数学中的概率论和信息论为密码学提供了安全性分析和攻击模型的工具。 二、数据加密 数据加密是保护数据在存储和传输过程中不被未授权者获取和篡改的重要手段。数学在数据加密中发挥着关键的作用。对称加密算法中的数学运算，如异或运算和模运算，为数据加密提供了高效的基础。非对称加密算法中的数学运算，如大数乘法和模指数运算，为数据加密提供了更高的安全性。此外，数学中的哈希函数和消息认证码也为数据完整性检验和身份验证提供了可靠的工具。 三、网络安全 网络安全是保护计算机网络不受未授权访问、数据泄露和恶意攻击

的重要领域。数学在网络安全中发挥着重要的作用。在网络协议设计中，数学中的图论和编码理论为网络拓扑结构和数据传输提供了优化方案。在入侵检测和防火墙技术中，数学中的统计学和机器学习方法为安全事件的识别和分类提供了可靠的手段。此外，数学中的复杂性理论和图像处理技术也为网络安全领域的攻防对抗提供了理论基础和实用方法。 数学专业在信息安全领域中具有重要的地位和作用。数学的逻辑性、严谨性和抽象性为密码学、数据加密和网络安全等方面提供了坚实的基础。数学专业的学生通过学习和掌握数学知识，能够在信息安全领域中发挥自己的才能和创造力。随着信息技术的不断发展和信息安全问题的日益突出，数学专业在信息安全领域的重要性将愈发凸显，为保护网络和数据的安全做出更大的贡献。

信息安全数学基础知识在信息安全领域的应用现状的心得体会

信息安全数学基础知识在信息安全领域的应用现状的心得 体会 随着信息技术的发展，信息安全变得日益重要。信息安全不仅仅是保护重要信息免受外部攻击，而且还要考虑如何减少损失和降低风险。信息安全数学是信息安全的基础，是信息安全领域的基石。因此，信息安全数学在信息安全领域的应用是必不可少的。 信息安全数学基础知识主要包括密码学、对称密码学、非对称密码学、数字签名、隐藏信息、不可知性测试和安全算法等等。这些基础知识包含了互联网安全、网络安全、数据安全和应用安全等各方面的基础思想，为数学安全提供了基本的理论和方法。 信息安全数学的应用在信息安全领域已经得到了广泛的应用。首先，密码学是信息安全的基础，它可以用来加密信息，使其无法被未经授权的用户访问和读取。此外，它还可以用来提供完整性检查，确保信息未经篡改。另外，数字签名可以用来验证消息的发送者，以及保证消息的完整性和可靠性。此外，数字签名还可以被用来判断文件的真实性，以便确保计算机系统中所运行的软件和文件是正确的。总之，信息安全数学基础知识在信息安全领域有着非常重要的应用。 此外，信息安全数学的应用也可以用来保护企业的网络安全。它可以帮助企业制定安全策略，确保系统的安全和可靠性，避免对网络安全的破坏。此外，隐藏信息还可以用来传输保密的消息，比如数据加密技术和混淆技术，使信息无法被未经授权的用户访问和读取。 总之，信息安全数学基础知识在信息安全领域有着重要的作用。

它是信息安全领域的基础知识，可以帮助企业、政府和个人为数据安全问题提供有效的解决方案，以防止可能的安全威胁。信息安全数学的应用越来越广泛，它的重要性也越来越凸显。因此，我们应该加强对信息安全数学基础知识的学习和认知，以确保我们拥有优质的信息安全数学基础，为社会、政府和个人提供信息安全保障。

一年级数学第一单元知识点整理人教版

一年级数学第一单元知识点整理人教版 一、认识0-10的数字 1. 0-5的数字 2. 6-10的数字 3. 0-10的数字卡片 二、认识0-5的数字 1. 0-5的认识 2. 数字的书写 3. 比较大小 三、认识6-10的数字 1. 6-10的认识 2. 数字的书写 3. 比较大小 四、认识数字10以内的加法 1. 加法的认识 2. 加法口诀 3. 计算练习 五、认识数字10以内的减法

1. 减法的认识 2. 减法口诀 3. 计算练习 六、认识简单量词 1. 多少 2. 数量的表示 3. 比较大小 七、简单的时间概念 1. 一天的时间 2. 一周的时间 3. 时间的先后顺序 八、认识简单的长度 1. 长短的认识 2. 长度的比较 3. 使用长度单位 【引言】 在儿童的数学学习中，一年级数学第一单元是非常重要的基础。这一阶段，孩子们开始接触基本的数字和加减法运算，同时也开始认识简单的量词、时间概念和长度单位。接下来，我们将从认识数字、加减

法、量词、时间概念和长度等方面来深入探讨一年级数学第一单元的知识点。 【认识0-10的数字】 孩子们需要认识0-10的数字。在这个阶段，可以通过数字卡片、数字游戏等方式来帮助孩子们认识0-10的数字，并学习数字的书写和比较大小的概念。通过这些方式，孩子们可以轻松地掌握0-10的数字，并为接下来的学习打下坚实的基础。 【认识数字10以内的加法和减法】 一年级的孩子们开始学习数字10以内的加法和减法。在认识加法时，他们需要掌握加法的基本概念和口诀，并进行计算练习。同样，在认识减法时，他们也需要掌握减法的基本概念和口诀，并进行相应的练习。这一阶段，老师和家长的指导和引导非常重要，可以通过趣味的游戏和实际生活中的例子来帮助孩子们更好地掌握加减法运算。 【认识简单的量词、时间概念和长度】 除了数字和加减法，一年级的孩子们还开始认识简单的量词、时间概念和长度单位。他们需要学习多少、数量的表示、时间的先后顺序、长短的认识以及使用长度单位等内容。这些知识点对于孩子们的日常生活和学习都非常实用，也为他们今后更深入的数学学习打下基础。 【个人观点】

北航信息安全数学基础

北航信息安全数学基础 信息安全作为一个重要的领域，已经渗透到我们生活的方方面面。在信息安全领域中，数学基础是不可或缺的一部分。北航作为我国信息安全领域的重要研究机构之一，其信息安全数学基础课程的教学与研究一直处于国内外的领先地位。 北航信息安全数学基础课程主要包括离散数学、密码学、信息论等内容，这些内容为信息安全的理论和实践奠定了坚实的基础。离散数学是信息安全数学基础的核心，它研究数字化的离散结构，如集合、关系、函数等。离散数学的概念和方法能够帮助我们理解和分析信息安全中的各种问题，尤其是在密码学和信息论中起到了重要的作用。 密码学是信息安全领域中最为重要的一部分。它研究如何通过密码算法保护信息的机密性、完整性和可用性。在密码学中，数学是不可或缺的工具。通过数学的方法，我们可以设计出安全的密码算法，并分析已有的密码算法的安全性。在北航信息安全数学基础课程中，学生们将学习到密码学的基本概念、常用的密码算法以及密码协议的设计与分析方法。 信息论是另一个重要的数学基础。它研究信息的量化、压缩和传输等问题。在信息安全中，信息论可以帮助我们理解信息的安全性和可靠性。通过信息论的方法，我们可以分析信息的传输过程中可能

存在的风险，并设计出防御措施。在北航信息安全数学基础课程中，学生们将学习到信息论的基本原理、编码理论以及信息传输的安全性分析方法。 除了离散数学、密码学和信息论，北航信息安全数学基础课程还涉及到其他一些重要的数学概念和方法，如数论、代数等。这些数学基础的学习，为学生们提供了解决信息安全问题的思维工具和方法。北航信息安全数学基础课程的教学方法也非常注重实践与理论相结合。学生们在课程中将会接触到大量的实例和案例，通过实践操作和分析，加深对数学基础在信息安全中的应用理解。同时，北航还开设了一系列的实验课程，让学生们能够亲自动手实践，提高他们的分析和解决问题的能力。 北航信息安全数学基础课程的教学团队也是该课程的成功关键之一。这个团队由一批在信息安全领域具有丰富经验和卓越研究成果的教师组成。他们积极参与国内外重要学术会议和项目研究，不断探索信息安全数学基础领域的前沿问题。他们的教学风格和研究水平都受到了学生们的高度认可。 北航信息安全数学基础课程是信息安全领域中不可或缺的一部分。通过学习这门课程，学生们将能够深入理解信息安全的基本原理和方法，为他们未来在信息安全领域的研究和实践奠定坚实基础。北航信息安全数学基础的教学和研究，不仅在国内具有重要影响力，

信息安全数学基础知识点

第六章 素性检验 6.1 拟素数 引例：根据Fermat 小定理，我们知道：如果n 是一个素数，那么对任意整数b,(b,n)=1,有 由此，我们得到：如果一个整数b,(b,n)=1,使得 )(mod 11n b n ≡/-，那么n 是一个合数。 定义1：设n 是一个奇合数，如果整数b,(b,n)=1使得同余式 )(mod 11n b n ≡-成立，那么n 叫做对于基b 拟素数。 引理：设d,n 都是正整数，如果d 能整除n 那么12-d 能整除12-n 定理1：存在无穷多个对于基2拟素数。 定理2：设n 是一个奇合数，那么 (i)n 是对于基b,((b,n)=1),拟素数当且仅当b 模n 指数整除n-1。 (ii)如果n 是对于基1b ((1b ,n)=1),与基2b ，((2b ,n)=1),拟素数，那么n 是对于基21b b 拟素数。 (iii)如果n 是对于基b,((b,n)=1),拟素数，那么n 是对于基1-b 拟素数。 (iv)如果有一个整数b ，((b,n)=1),使得同余式 )(mod 11n b n ≡-不成立，那么模n 简化剩余系中至少有一半数使得该同余式不成立。 Fermat 素性检验

给定奇整数3≥n 与平安参数t 。 1.随即选取整数 b ,22-≤≤n b ； 2.计算()n b r n mod 1-=; 3.如果1≠r ，那么n 是合数； 4.上述过程重复t 次； 定义2：合数n 称为Carmichael 数，如果对所有正整数b ，(b,n)=1, 都有同余式 ()n b n mod 11≡-成立 定理3：设n 是一个奇合数。 (i)如果n 被一个大于1平方数整除，那么n 不是Carmichael 数。 (ii)如果k p p n 1=是一个无平方数，那么n 是Carmichael 数充要条件是 11--n p i ，k i ≤≤1 定理4：每个Carmichael 数是至少三个不同素数乘积 2.当n 充分大时，区间[]n ,2内Carmichael 数个数大于等于72n 6.2 Euler 拟素数 引例：设n 是奇素数，根据定理，我们有同余式 对任意整数b 成立 因此，如果存在整数b ，(b,n)=1,使得 那么n 不是一个素数。 定义1:设n 是一个正奇合数，设整数b 与n 互素，如果整数n 与b 满足条件： )(mod 21n n b b n ⎪⎭ ⎫ ⎝⎛≡-

信息安全数学基础课后答案完整版

第一章参考答案 （1）5,4,1,5. （2）100=22*52, 3288=23*3*137. （4）a,b可以表示成多个素因子的乘积a=p1p2––p r, b=q1q2––q s,又因为(a, b)=1，表明a, b没有公共(相同)素因子. 同样可以将a n, b n表示为多个素因子相乘a n=(p1p2––p r)n, b n=(q1q2––q s)n明显a n, b n也没有公共(相同)素因子. （5）同样将a, b可以表示成多个素因子的乘积a=p1p2––p r, b=q1q2––q s, a n=(p1p2––p r)n, b n=(q1q2––q s)n,因为a n| b n所以对任意的i有, p i的n次方| b n, 所以 b n中必然含有a的所有素因子, 所以b中必然含有a的所有素因子, 所以a|b. （6）因为非零a, b, c互素,所以(a, b)=(a, c)=1,又因为a=p1p2––p r, b=q1q2––q s, ab=p1p2––p r q1q2––q s, 又因为a, b, c互素, 所以a, b, c中没有公共(相同)素因子, 明显ab和c也没有公共(相同)素因子.所以(ab, c)= (a, b)(a, c). （7）2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97,101,103,107, 109, 113, 127,131,137,139,149,151,157,163,167,173,179,181,191,193,197,199. （11）对两式进行变形有21=0(mod m), 1001=0(mod m),可以看出要求满足的m 即使求21和1001的公约数, 为7和1. （12）(70!)/(61!)= 62*63*––*70=(-9)*(-8)*––*(-1)=-9!=-362880=1(mod 71). 明显61!与71互素, 所以两边同乘以61!, 所以70!=61!(mod 71). （13）当n为奇数时2n=(-1)n=-1=2(mod 3), 两边同时加上1有2n+1=0(mod 3), 所以结论成立. 当n为偶数时2n=(-1)n=1(mod 3), 两边同时加上1有2n+1=2(mod 3), 所以结论成立. （14）第一个问：因为(c,m)=d, m/d为整数.假设ac=k1m+r, bc=k2m+r,有ac=k1d(m/d)+r, bc=k2d(m/d)+r所以ac=bc(mod m/d),因为(c,m/d)=1,所以两边可以同除以一个c, 所以结论成立. 第二个问题：因为a=b(mod m), 所以a-b=k i*m i，a-b是任意m i的倍数，所以a-b是m i公倍数，所以[m i]|a-b.(利用式子：最小公倍数=每个数的乘积/最大公约数, 是错误的, 该式子在两个数时才成立) （15）将整数每位数的值相加, 和能被3整除则整数能被3整除, 和能被9整除则整数能被9整除, (1)能被3整除, 不能被9整除，(2)都不能，(3)都不能，(4)都不能 第二章答案 （5）证明：显然在群中单位元e满足方程x2=x, 假设存在一个元素a满足方程x2=x, 则有a2=a, 两边同乘以a-1有a=e. 所以在群中只有单位元满足方程x2=x. （6）证明：因为群G中每个元素都满足方程x2=e, 所以对群中任意元素a,b 有aa=e, bb=e, (ab)2=abab=e. 对abab=e, 方程两边左乘以a, 右乘以b有aababb=(aa)ba(bb)=ba=aeb=ab, 有ab=ba, 所以G是交换群. （7）证明：充分性：因为在群中对任意元素a,b有(ab)2=a2b2即abab=aabb, 方程两边左乘以a的逆元右乘以b的逆元, 有a-1ababb-1= a-1aabbb-1, 有ab=ba, 所以G是交换群. 必要性：因为群G是交换群, 所以对任意元素a,b有ab=ba, 方程两边左

信息安全数学基础教案(禹勇)

信息安全数学基础教案（禹勇） 教师教案 （2009 —2010 学年第一学期） 课程名称: 信息安全数学基础 授课学时: 40学时 授课班级: 信息安全专业，〜60班任课教师: 禹勇 教师职称: 讲师 教师所在学院：计算机科学与工程学院 电子科技大学

信息安全数学基础教案（禹勇） 第一章整除与同余 授课时数：6 一、教学内容及要求 1. 整除的概念及欧几里得除法，理解 2. 整数的表示，理解 3. 最大公因数及广义欧几里得除法，掌握 4. 整除的进一步性质及最小公倍式，掌握 5. 素数和算术基本定理，掌握 6. 同余的概念，掌握 二、教学重点与难点 本章的内容较多，难点较少，教学重点在于以下方面: 信息安全数学基础教案(禹勇)

1. 欧几里得除法和广义欧几里得除法。 2. 最大公因数和最小公倍数。 3. 整数的标准分解式。 4. 同余的概念 三、内容的深化和拓宽 在内容的深化和拓宽方面，介绍如何运用欧几里得除法求整数的二进制、十进制和十六进制，使学生对欧几里得除法有更深的理解。 四、教学方式(手段)及教学过程中应注意的问题 1. 在讲述本章内容时，主要采用口头讲解，PPT 演示的方式。 2. 讲述证明整除方面的定理的常用方法。 3. 通过举例阐述重要定理的内容和含义。 五、作业 1. 证明：若2|n, 5|n, 7|n那么70|n。 2. 证明：如果a是整数，则a3-a被3整除。 3. 证明：每个奇整数的平方具有形式8k+1。 4. 证明：任意三个连续整数的乘积都被6 整除。 5. 证明：对于任给的正整数k,必有k个连续正整数都是合数。 6. 证明：191，547都是素数，737，747都是合数。 7. 利用爱拉托斯筛法求出500 以内的全部素数。 8. 求如下整数对的最大公因数： (1) (55, 85) (2) (202, 282)